$\text{a)}$  

Powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{h_2}{h_1}$  

gdzie $h_1$  jest wysokością przedmiotu, $h_2$  jest wysokością obrazu.

Wiemy, że wysokość przedmiotu wynosi:

$h_1=\left(1\pm 0,05\right)cm$  

POMIAR 1: 

$\text{dla }{h}_2=\left(1,7+0,1\right)\text{cm}\text{, czyli }p=\frac{1,7\text{cm}}{1\text{cm}}=1,7$  

Z tego wynika, że:

$p_{\text{min}}=\frac{1,7\text{cm}-0,1\text{cm}}{1\text{cm}+0,05\text{cm}}=\frac{1,6\text{cm}}{1,05\text{cm}}\approx 1,5$  

$p_{\text{max}}=\frac{1,7\text{cm}+0,1\text{cm}}{1\text{cm}-0,05\text{cm}}=\frac{1,8\text{cm}}{0,95\text{cm}}\approx 1,9$  

Wówczas:

$\Delta p=\frac{p_{\text{max}}-p_{\text{min}}}{2}\text{, czyli }\Delta p=\frac{1,9-1,5}{2}=\frac{0,4}{2}=0,2$  

Otrzymany wynik to:

$p_1=1,7\pm 0,2$     

POMIAR 2:  

$\text{dla }{h}_2=\left(2,3+0,1\right)\text{cm}\text{, czyli }p=\frac{2,3\text{cm}}{1\text{cm}}=2,3$  

Z tego wynika, że:

$p_{\text{min}}=\frac{2,3\text{cm}-0,1\text{cm}}{1\text{cm}+0,05\text{cm}}=\frac{2,2\text{cm}}{1,05\text{cm}}\approx 2,1$  

$p_{\text{max}}=\frac{2,3\text{cm}+0,1\text{cm}}{1\text{cm}-0,05\text{cm}}=\frac{2,4\text{cm}}{0,95\text{cm}}\approx 2,5$  

Wówczas:

$\Delta p=\frac{p_{\text{max}}-p_{\text{min}}}{2}\text{, czyli }\Delta p=\frac{2,5-2,1}{2}=\frac{0,4}{2}=0,2$   

Otrzymany wynik to:

$p_2=2,3\pm 0,2$  

POMIAR 3:  

$\text{dla }{h}_2=\left(3,1+0,1\right)\text{cm}\text{, czyli }p=\frac{3,1\text{cm}}{1\text{cm}}=3,1$  

Z tego wynika, że:

$p_{\text{min}}=\frac{3,1\text{cm}-0,1\text{cm}}{1\text{cm}+0,05\text{cm}}=\frac{3\text{cm}}{1,05\text{cm}}\approx 2,9$  

$p_{\text{max}}=\frac{3,1\text{cm}+0,1\text{cm}}{1\text{cm}-0,05\text{cm}}=\frac{3,2\text{cm}}{0,95\text{cm}}\approx 3,4$  

Wówczas:

$\Delta p=\frac{p_{\text{max}}-p_{\text{min}}}{2}\text{, czyli }\Delta p=\frac{3,4-2,9}{2}=\frac{0,5}{2}=0,25\approx 0,3$  

Otrzymany wynik to:

$p_3=3,1\pm 0,3$   

POMIAR 4:  

$\text{dla }{h}_2=\left(3,6+0,1\right)\text{cm}\text{, czyli }p=\frac{3,6\text{cm}}{1\text{cm}}=3,6$  

Z tego wynika, że:

$p_{\text{min}}=\frac{3,6\text{cm}-0,1\text{cm}}{1\text{cm}+0,05\text{cm}}=\frac{3,5\text{cm}}{1,05\text{cm}}\approx 3,3$   

$p_{\text{max}}=\frac{3,6\text{cm}+0,1\text{cm}}{1\text{cm}-0,05c\text{cm}}=\frac{3,7\text{cm}}{0,95\text{cm}}\approx 3,9$   

Wówczas:

$\Delta p=\frac{p_{\text{max}}-p_{\text{min}}}{2}\text{, czyli }\Delta p=\frac{3,9-3,3}{2}=\frac{0,6}{2}=0,3$   

Otrzymany wynik to:

$p_4=3,6\pm 0,3$  

POMIAR 5:  

$\text{dla }{h}_2=\left(4,2+0,1\right)\text{cm}\text{, czyli }p=\frac{4,2\text{cm}}{1\text{cm}}=1,7$  

Z tego wynika, że:

$p_{\text{min}}=\frac{4,2\text{cm}-0,1\text{cm}}{1\text{cm}+0,05\text{cm}}=\frac{4,1\text{cm}}{1,05\text{cm}}\approx 3,9$    

$p_{\text{max}}=\frac{4,2\text{cm}+0,1\text{cm}}{1\text{cm}-0,05\text{cm}}=\frac{4,3\text{cm}}{0,95\text{cm}}\approx 4,5$    

Wówczas:

$\Delta p=\frac{p_{\text{max}}-p_{\text{min}}}{2}\text{, czyli }\Delta p=\frac{4,5-3,9}{2}=\frac{0,6}{2}=0,3$  

Otrzymany wynik to:

$p_5=4,2\pm 0,3$  

POMIAR 6:  

$\text{dla }{h}_2=\left(5,1+0,1\right)\text{cm}\text{, czyli }p=\frac{5,1\text{cm}}{1\text{cm}}=5,1$  

Z tego wynika, że:

$p_{\text{min}}=\frac{5,1\text{cm}-0,1\text{cm}}{1\text{cm}+0,05\text{cm}}=\frac{5\text{cm}}{1,05\text{cm}}\approx 4,8$   

$p_{\text{max}}=\frac{5,1\text{cm}+0,1\text{cm}}{1\text{cm}-0,05\text{cm}}=\frac{5,2\text{cm}}{0,95\text{cm}}\approx 5,5$   

Wówczas:

$\Delta p=\frac{p_{\text{max}}-p_{\text{min}}}{2}\text{, czyli }\Delta p=\frac{5,5-4,8}{2}=\frac{0,7}{2}=0,35\approx 0,4$   

Otrzymany wynik to:

$p_6=5,1\pm 0,4$    

Uzupełniamy tabelę:

y (cm)	40	50	60	70	80	90
h2 (cm)	1,7土0,1	2,3土0,1	3,1土0,1	3,6土0,1	4,2土0,1	5,1土0,1
p	1,7土0,2	2,3土0,2	3,1土0,3	3,6土0,3	4,2土0,3	5,1土0,4

 

$\text{b)}$  

 

$\text{c)}$  

Powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{y}{x}$  

gdzie $x$  jest odległością przedmiotu od soczewki, $y$  jest odległością obrazu od soczewki.

Z tego wynika, że odległość przedmiotu od soczewki możemy opisać wzorem:

$x=\frac{y}{p}$  

Wiemy, że:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$  

gdzie $f$  jest ogniskową soczewki, $x$  jest odległością przedmiotu od soczewki, $y$  jest odległością obrazu od soczewki. 

Z tego wynika, że zależność powiększenia obrazu od odległości obrazu od zwierciadła będzie miała postać:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{f}\mid -\frac{1}{y}$  

$\frac{1}{x}=\frac{1}{f}-\frac{1}{y}$  

$\frac{1}{\frac{y}{p}}=\frac{y}{y\cdot f}-\frac{f}{y\cdot f}$  

$\frac{p}{y}=\frac{y-f}{y\cdot f}\mid \cdot y$  

$p=\frac{y-f}{f}$  

$p=\frac{y}{f}-1$  

 

$\text{d)}$  

 

$\text{e)}$  

I SPOSÓB

Odczytujemy jeden dowolny punkt z wykresu:

$y=40\text{cm}\text{ oraz }p=1,7$    

Z podpunktu c) wiemy, że:

$p=\frac{y}{f}-1$   

Wyznaczmy ogniskową soczewki:

  $p=\frac{y}{f}-1\mid +1$  

$p+1=\frac{y}{f}\mid \cdot f$  

$f\cdot \left(p+1\right)=y\mid :\left(p+1\right)$  

$f=\frac{y}{p+1}$  

Podstawmy dane liczbowe do wzoru:

$f=\frac{40\text{cm}}{1,7+1}=\frac{40\text{cm}}{2,7}\approx 14,81481481\text{cm}\approx 15\text{cm}$    

II SPOSÓB

Odczytujemy dwa dowolne punkty z wykresu:

$\text{1. }{y}_1=40\text{cm}\text{ oraz }{p}_1=1,7$  

$\text{2. }{y}_2=90\text{cm}\text{ oraz }{p}_2=5,1$   

Wiemy, że równanie prostej ma postać:

$y=a\cdot x+b$  

gdzie dla naszego przypadku mamy, że:

$y=p$  

$x=y$  

Otrzymujemy wówczas układ równań, z którego możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty:

$\{\begin{array}{l}1,7=a\cdot 40\text{cm}+b\mid \cdot \left(-1\right)\\ 5,1=a\cdot 90\text{cm}+b\end{array}$   

$\frac{+\{\begin{array}{l}-1,7=-a\cdot 40\text{cm}-b\\ 5,1=a\cdot 90\text{cm}+b\end{array}}{3,4=50\text{cm}\cdot a}$   

Z tego wynika, że:

$50\text{cm}\cdot a=3,4\mid :50\text{cm}$  

$a=0,068\frac{1}{\text{cm}}$  

Z podpunktu c) wiemy, że:

$p=\frac{y}{f}-1$   

Wówczas korzystając z równania prostej możemy wywnioskować, że:

$a=\frac{1}{f}\mid \cdot f$  

$a\cdot f=1\mid :a$  

$f=\frac{1}{a}$  

$f=\frac{1}{0,068\text{cm}}\approx 14,70588235\text{cm}\approx 15\text{cm}$   

III SPOSÓB 

Wiemy, że prostą przedstawiamy za pomocą wzoru:

$y=a\cdot x+b$  

Z wzoru wyznaczonego w zadaniu wynika, że:

$a=\frac{1}{f}\Rightarrow f=\frac{1}{a}$   

Z własności prostej wiemy, że:

$a=\mathrm{tg}\alpha$  

gdzie $\alpha$  jest kątem nachylenia prostej do osi odciętych. 

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{p{}^{\prime }}{y{}^{\prime }}$  

Z wykresu odczytujemy, że:

$p{}^{\prime }=3,1$  

$y{}^{\prime }=60\text{cm}-15\text{cm}=45\text{cm}$  

Z tego wynika, że ogniskowa będzie wynosiła:

$f=\frac{1}{a}$  

$f=\frac{1}{\frac{p{}^{\prime }}{y{}^{\prime }}}$  

$f=\frac{y{}^{\prime }}{p{}^{\prime }}$  

$f=\frac{45\text{cm}}{3,1}\approx 14,51612903\text{cm}\approx 15\text{cm}$