Dane:

$l_0=20\text{cm}=0,2\text{m}$    

$l=25\text{cm}=0,25\text{m}$  

$m=50\text{g}=0,05\text{kg}$   

$A=6\text{cm}=0,06\text{m}$  

Przyjmujemy, że:

$g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

 

$\text{a)}$  

Mamy początkowo sytuację, w której mamy nierozciągniętą sprężynę o długości $x_0$ , gdy układ znajduje się w położeniu równowagi:

$x_0=l-l_0$  

Skoro układ znajduje się wówczas w położeniu równowagi to siła sprężystości $x_0$  i współczynnika sprężystości $k$ : 

$F_s=k{x}_0$  

Wartość siły ciężkości przedstawimy jako masy $m$  i wartości przyspieszenia ziemskiego $g$ :

$F_c=mg$  

Porównując te wzory możemy wyznaczyć wartość współczynnika sprężystości dla tej sprężyny: 

$F_s=F_c$  

$k{x}_0=mg\mid :x_0$  

$k=\frac{mg}{x_0}$  

$k=\frac{mg}{l-l_0}$  

Wiemy, że okres drgań $T$  ciała zawieszonego na sprężynie obliczamy za pomocą wzoru:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$  

gdzie $m$  jest masą ciała zawieszonego na sprężynie o współczynniku sprężystości $k$ .

Wiemy, że częstotliwość $f$  jest odwrotnością okresu:

$f=\frac{1}{T}$  

Oznacza to, że częstotliwość dla naszego przypadku przedstawimy za pomocą wzoru:

$f=\frac{1}{T}$  

$f=\frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}$  

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$  

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\frac{\cancel{m}g}{l-l_0}}{\cancel{m}}}$  

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f=\frac{1}{2\cdot 3,14}\cdot \sqrt{\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,25\text{m}-0,2\text{m}}}=$  

$=\frac{1}{6,28}\cdot \sqrt{\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,05\text{m}}}\approx$  

$\approx 0,15924\cdot \sqrt{196\frac{1}{{\text{s}}^2}}=0,15924\cdot 14\frac{1}{\text{s}}=$  

$=2,22936\frac{1}{\text{s}}\approx 2,23\frac{1}{\text{s}}=2,23\text{Hz}$  

Odpowiedź: Częstotliwość drgań ciężarka wynosi około 2,23 Hz. 

 

$\text{b)}$  

Pytamy o energię kinetyczną ciężarka po czasie:

$t=0,6\text{s}$  

W treści zadania podane mamy, że ciężarek początkowo znajdował się w najniższym położeniu, czyli jego faza jest przesunięta o $\frac{\pi }{2}$  w stronę mniejszych argumentów. Początkowa szybkość w tym punkcie jest zerowa, czyli otrzymamy zależność szybkości od czasu wzorem:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$  

gdzie $A$  jest amplitudą, $\omega$  jest częstością drgań, $t$  jest czasem, $\phi$  jest fazą. 

W naszym przypadku możemy zapisać, że:

$\omega =2\pi f$  

$\phi =\frac{\pi }{2}$  

Wówczas szybkość tego ciężarka w podanym czasie będzie miała postać:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$  

$v\left(t\right)=A\cdot 2\pi f\cos \left(2\pi ft+\frac{\pi }{2}\right)$  

$v\left(t\right)=A\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}\cos \left(2\pi \cdot \frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}t+\frac{\pi }{2}\right)$  

$v\left(t\right)=A\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}t+\frac{\pi }{2}\right)$  

Wiemy, że:

$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha$  

Wówczas:

$v\left(t\right)=-A\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}\sin \left(\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}t\right)$  

Energię kinetyczną obliczamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie $m$  jest masą ciała poruszającego się z szybkością $v$ . 

Wówczas dla naszego przypadku mamy:

$E_k=\frac{mv{\left(t\right)}^2}{2}$  

$E_k=\frac{m{\left(-A\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}\sin \left(\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}t\right)\right)}^2}{2}$  

$E_k=\frac{1}{2}m{A}^2\frac{g}{l-l_0}{\sin }^2\left(\sqrt{\frac{g}{l-l_0}}t\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_k=\frac{1}{2}\cdot 0,05\text{kg}\cdot {\left(0,06\text{m}\right)}^2\cdot \frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,25\text{m}-0,2\text{m}}\cdot {\sin }^2\left(\sqrt{\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,25\text{m}-0,2\text{m}}}\cdot 0,6\text{s}\right)=$  

$=0,5\cdot 0,05\text{kg}\cdot 0,0036{\text{m}}^2\cdot \frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,05\text{m}}\cdot {\sin }^2\left(\sqrt{\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,05\text{m}}}\cdot 0,6\text{s}\right)=$  

$=0,5\cdot 0,05\text{kg}\cdot 0,0036{\text{m}}^2\cdot 196,2\frac{1}{{\text{s}}^2}\cdot {\sin }^2\left(\sqrt{196,2\frac{1}{{\text{s}}^2}}\cdot 0,6\text{s}\right)\approx$  

$\approx 0,017658\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot {\sin }^2\left(8,4042\right)$  

W sinusie mamy miarę łukową. Zamieńmy ją na stopnie, aby móc skorzystać z tablic trygonometrycznych. Korzystamy z metody proporcji:

$\pi \frac{}{}{180}^{\circ }$  

$8,4042\frac{}{}\alpha$  

Wówczas:

$\alpha =\frac{8,4042\cdot {180}^{\circ }}{\pi }=\frac{8,4042\cdot {180}^{\circ }}{3,14}\approx 2,676\cdot {180}^{\circ }={481,68}^{\circ }\approx {482}^{\circ }$  

Wiemy, że:

$\sin \left({360}^{\circ }+\alpha \right)=\sin \alpha$  

$\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$  

Wówczas otrzymamy, że:

$\sin \left(8,4042\right)\approx \sin \left({482}^{\circ }\right)=\sin \left({360}^{\circ }+{122}^{\circ }\right)=\sin \left({122}^{\circ }\right)=$  

$=\sin \left({180}^{\circ }-{58}^{\circ }\right)=\sin {58}^{\circ }=0,848$  

Otrzymujemy wówczas, że energia kinetyczna wynosi:

$E_k=0,017658\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot {\sin }^2\left(8,4042\right)=0,017658\text{J}\cdot {\left(0,848\right)}^2=$  

$=0,017658\text{J}\cdot 0,719104=0,01269793843\text{J}\approx 0,0127\text{J}$  

UWAGA! Różnice w odpowiedziach wynikają z przyjętych przybliżeń!         

 

$\text{c)}$  

Gdy ciężarek znajduje się w najwyższym położeniu to jego szybkość ma wówczas zerową wartość, a zatem energia kinetyczna wówczas również jest zerowa:

$E_k=0$  

Za poziom odniesienia energii potencjalnej ciężkości przyjmujemy położenie równowagi ciężarka. Zatem gdy ciężarek znajduje się w najwyższym położeniu to jego wychylenie od położenia równowagi równe jest amplitudzie, a zatem i wysokość odpowiada amplitudzie:

$h=A$  

Wówczas energia potencjalna ciężkości ma postać:

$E_{p.c}=mgh$  

$E_{p.c}=mgA$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{p.c}=0,05\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,06\text{m}=0,02943\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$  

$=0,02943\text{J}\approx 0,029\text{J}$  

Energię potencjalną sprężystości obliczamy za pomocą wzoru:

$E_{p.s}=\frac{1}{2}k{x}^2$  

gdzie $k$  jest współczynnikiem sprężystości sprężyny (wyznaczony w podpunkcie a), $x$  jest jej wydłużeniem. 

Zauważmy, że wydłużenie sprężyny przedstawić możemy na rysunku jako:

Z tego wynika, że w naszym przypadku:

$x+x_0=A\mid -x_0$  

$x=A-x_0$  

$x=A-\left(l-l_0\right)$  

$x=A-l+l_0$  

Wówczas energia potencjalna sprężystości ma postać:

$E_{p.s}=\frac{1}{2}k{x}^2$  

$E_{p.s}=\frac{1}{2}\frac{mg}{l-l_0}{\left(A-l+l_0\right)}^2$  

$E_{p.s}=\frac{mg{\left(A-l+l_0\right)}^2}{2\left(l-l_0\right)}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E=\frac{0,05\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(0,06\text{m}-0,25\text{m}+0,2\text{m}\right)}{2\cdot \left(0,25\text{m}-0,2\text{m}\right)}=$  

$=\frac{0,4905\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(0,01\text{m}\right)}^2}{2\cdot 0,05\text{m}}=\frac{0,4905\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,0001{\text{m}}^2}{0,1\text{m}}=$  

$=\frac{0,00004905\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{m}}^2}{0,1\text{m}}=0,0004905\text{N}\cdot \text{m}\approx 0,00049\text{J}$