Autorzy:Marcin Braun, Krzysztof Byczuk, Agnieszka Seweryn-Byczuk

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Na sprężynie o długości 20 cm zawieszono ciężarek o masie 50 g... 4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Fizyka

Na sprężynie o długości 20 cm zawieszono ciężarek o masie 50 g...

1
 Zadanie

2
 Zadanie
3
 Zadanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

`l_1=20\ cm0,2\ m`   

`l_2=25\ cm = 0,25\ m`  

`m=50\ g=0,05\ kg`  

`A=6\ cm = 0,06\ m ` 

Przyjmujemy, że:

`g=9,81\ m/s^2` 

 

`a)` 

Będziemy korzystać z wzoru:

`T=2pisqrt(l/g)` 

gdzie:

`l=l_2-l_1` 

`T=1/f` 

Wówczas otrzymujemy, że:

`1/(f) = 2pisqrt((l_2-l_1)/g)` 

`f=1/(2pisqrt((l_2-l_1)/g))` 

`f=1/(2pi) sqrt(g/(l_2-l_1))` 

Podstawimy dane liczbowe do wzoru:

`f = 1/(2*3,14) * sqrt ((9,81\ m/s^2)/(0,25\ m-0,2\ m)) = 1/(6,28) *sqrt((9,81\ m/s^2)/(0,05\ m)) ~~ 0,15924*sqrt (196\ 1/s^2) = 0,15924*14\ 1/s = ` 

`=2,22936\ 1/s ~~2,23\ 1/s = 2,23\ Hz` 

 

`b)` 

Obliczmy najpierw  całkowitą energie układu:

`E_c = (mg)/(2l) *A^2` 

gdzie dla naszego przypadku:

`l=l_2-l_1` 

Otrzymujemy wtedy, że:

`E_c = (mg)/(2(l_2-l_1)) A^2` 

Podstawiamy dane liczboweb do wzoru:

`E_c = (0,05\ kg * 9,81\ m/s^2 )/( 2 ( 0,25\ m-0,2\ m ) )*(0,06\ m)^2 = ( 0,4905\ kg*m/s^2 )/( 2 * 0,05\ m ) * 0,0036\ m^2 = (0,4905\ kg*m/s^2)/(0,1\ m)*0,0036\ m^2 = ` 

`= 4,905\ (kg)/s^2 *0,0036\ m^2 = 0,017658\ (kg)/s^2 *m^2 = 0,017658\ N*m ~~0,01766\ J` 

Teraz obliczmy energię potencjalną. Skorzystajmy z wzoru:

`E_p = (mg)/(2l)A^2sin^2(omega t )`  

gdzie dla naszego przypadku:

`l=l_2-l_1` 

`omega=(2pi)/T\ \ \ =>\ \ \ omega = (2pi)/(2pisqrt(l/g))\ \ \ =>\ \ \ omega = sqrt(g/l)\ \ \ =>\ \ \ omega = sqrt(g/(l_2-l_1))` 

Pamiętajmy również, że liczymy od chwili gdy ciężarek znajdował się w najniższym położeniu. Mamy wtedy zmianę kąta. Wówczas mamy:

`E_p = (mg)/(2(l_2-l_1))A^2cos^2(sqrt(g/(l_2-l_1)) t )`  

Podstawiamy dane liczbowe do domu:

`E_p = (0,05\ kg * 9,81\ m/s^2)/(2*(0,25\ m-0,2\ m)) * (0,06\ m)^2*cos^2 (sqrt((9,81\ m/s^2)/(0,25\ m - 0,2\ m))*0,6\ s) =(0,05\ kg * 9,81\ m/s^2)/(2*0,05 \ m) *0,0036\ m^2*cos^2(sqrt((9,81\ m/s^2)/(0,05\ m))*0,6\ s) =`   

`= 4,905\ (kg)/s^2 *0,0036\ m^2 * cos^2(sqrt(196,2\ 1/s^2)*0,6\ s)= 0,01766\ N*m* cos^2(14\ 1/s*0,6\ s) = 0,01766\ J* cos^2(8,4) = ` 

` = 0,01766\ J* cos^2(2,6738*pi) =0,01766\ J*cos^2(2pi+0,6738pi) = 0,01766\ J*cos^2(0,6738pi) = 0,01766\ J*cos^2(0,1738pi +0,5pi) =`       

`= 0,01766\ J* cos^2(0,1738pi +pi/2)=0,01766\ J*(-sin(0,1738pi))^2 `   

Metodą proporcjii zamieniamy kąty w radianach na stopnie:

`\ \ pi\ \ ----\ \ 180^@` 

`0,1738pi\ \ ----\ \ x` 

Wymnażamy na krzyż:

`x*pi=180^@*0,1738pi\ \ \ \ |:pi` 

`x=180^@*0,1738` 

`x=31,284~~31` 

Wówczas otrzymujemy, że:

`E_p = 0,01766\ J * (-sin(31^@))^2 = 0,01766\ J * (-0,515)^2 = 0,01766\ J*0,2652 = 0,00468\ J ` 

Obliczamy energię kinetyczną z zależności:

`E_c=E_k+E_p` 

`E_k=E_c-E_p` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`E_k = 0,1766\ J-0,0468\ J = 0,1298\ J` 

 

UWAGA! Różnice w odpowiedziach wynikają z przyjetych przybliżeń!         

 

`c)` 

Ciężarek w najwyższym położeniu będzie miał zerową energie kinetyczną:

`E_k=0\ J` 

Obliczmy energie potencjalną grawitacji, korzystamy z wzoru:

`E_(pg)=mgh` 

gdzie:

`h=A` 

Wówczas otrzymujemy, że:

`E_(pg) = mgA` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`E_(pg) = 0,05\ kg*9,81\ m/s^2*0,06\ m = 0,02943\ J ~~ 0,029\ J ` 

Energie potencjalną sprężystości jest w tym przypadku całkowitą energią ciężarka, dlatego możemy skorzystać ze wzoru:

`E=(mgA^2)/(2l)` 

gdzie dla naszego przypadku amplituda jest różnicą pomiędzy maksymalną amplitudą, a zmianą długości sprężyny. Wówczas mamy, że:

`E= (mg(A-l)^2)/(2(l_2-l_1))` 

`E=(mg(A-l_2+l_1)^2)/(2(l_2-l_1))` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`E=(0,05\ kg*9,81\ m/s^2*(0,06\ m-0,25\ m+0,2\ m))/(2*(0,25\ m-0,2\ m)) = (0,4905\ kg*m/s^2*(0,01\ m)^2)/(2*0,05\ m) = (0,4905\ kg*m/s^2*0,0001\ m^2)/(0,1\ m) =` 

`=(0,00004905\ kg*m/s^2*m^2)/(0,1\ m) = 0,0004905\ N*m ~~0,00049\ J`