Dane:

$m=0,2\text{kg}$  

$h=1\text{m}$  

$t=15,5\text{s}$  

$R=2\text{cm}=0,02\text{m}$  

 

$\text{a)}$  

Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego możemy zapisać równanie sił działających na obciążnik:

$ma=F_g-N$  

gdzie:

$m$  - masa obciążnika,

$a$  - wartość przyspieszenia liniowego, z jakim się porusz,

$F_g$  - wartość siły ciężkości zwróconej w dół (zgodnie z kierunkiem ruchu),

$N$  - wartość siły naciągu nici zwróconej do góry (przeciwnie do kierunku ruchu)..

Wartość siły ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie:

$m$  - masa,

$g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wyznaczmy wartość siły naciągu nici:

$ma=F_g-N\mid +N-ma$  

$N=F_g-ma$  

$N=mg-ma$  

$N=m\left(g-a\right)$  

Wiemy jaką drogę przebył walec. Korzystamy z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez szybkości początkowej:

$s=\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie:

$s$  - drogą jaką przebyło ciało,

$a$  - wartość przyspieszenia ciała, 

$t$  - czas ruchu.

Dla naszego przypadku otrzymujemy wzór, z którego wyznaczamy przyspieszenie:

$\frac{1}{2}a{t}^2=h\mid \cdot 2$  

$a{t}^2=2h\mid :t^2$  

$a=\frac{2h}{t^2}$  

Wiemy, że moment siły przedstawiamy wzorem:

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$  

gdzie:

$\overrightarrow{M}$  - moment siły,

$\overrightarrow{F}$  - siła,

$\overrightarrow{r}$  - odległość pomiędzy punktem przyłożenia siły, a osią obrotu.

W naszym przypadku widzimy, że wektor siły jest prostopadły do wektora odległości, a siłą powodującą ruch walca jest siła naciągu nici. Wówczas otrzymujemy, że:

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{N}$  

$M=RN\sin {90}^{\circ }$  

$M=NR$  

Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy, że:

$I\cdot \epsilon =M$  

gdzie:

$I$  - moment bezwładności,

$\epsilon$  - wartość przyspieszenia kątowego,

$M$  - wartość momentu siły.

Przyspieszenie kątowe możemy przedstawić wzorem:

$\epsilon =\frac{a}{R}$  

gdzie:

$\epsilon$  - wartość przyspieszenia kątowego,

$a$  - wartość przyspieszenia liniowego,

$R$  - promień. 

Wyznaczmy z tego równania moment bezwładności: 

$I\cdot \epsilon =M$  

$I\cdot \epsilon =N\cdot R$  

$I\cdot \frac{a}{R}=N\cdot R\mid \cdot R$  

$I\cdot a=N\cdot R^2$  

$I\cdot a=m\left(g-a\right)R^2$  

$I\cdot a=m{R}^2\left(g-a\right)\mid :a$  

$I=m{R}^2\frac{g-a}{a}$  

$I=m{R}^2\left(\frac{g}{a}-1\right)$  

$I=m{R}^2\left(\frac{g}{\frac{2h}{t^2}}-1\right)$  

$I=m{R}^2\left(\frac{g{t}^2}{2h}-1\right)$      

 

$\text{b)}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I=0,2\text{kg}\cdot {\left(0,02\text{m}\right)}^2\cdot \left(\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(15,5\text{s}\right)}^2}{2\cdot 1\text{m}}-1\right)=$  

$=0,2\text{kg}\cdot 0,0004{\text{m}}^2\cdot \left(\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 240,25{\text{s}}^2}{2\text{m}}-1\right)=$  

$=0,00008\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot \left(\frac{2356,8525\text{m}}{2\text{m}}-1\right)=$  

$=0,00008\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot \left(1178,42625-1\right)=0,00008\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot 1177,42625=$

$=0,0941941\text{kg}\cdot {\text{m}}^2=9,41941\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\approx 0,094\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$

 

$\text{c)}$  

Wiemy, że

$\Delta t=0,5s$  

Z tego wynika, że:

$t_{\text{min}}=t-\Delta t\text{, czyli }{t}_{\text{min}}=15,5s-0,5s=15s$  

$t_{\text{max}}=t+\Delta t\text{, czyli }{t}_{\text{max}}=15,5s+0,5s=16s$  

Wówczas:

$I_{\text{min}}=I=m{R}^2\left(\frac{g{t}_{\text{min}}^2}{2h}-1\right)$  

$I_{\text{max}}=I=m{R}^2\left(\frac{g{t}_{\text{max}}^2}{2h}-1\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe: 

$I_{\text{min}}=0,2\text{kg}\cdot {\left(0,02\text{m}\right)}^2\cdot \left(\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(15\text{s}\right)}^2}{2\cdot 1\text{m}}-1\right)=$   

$=0,2\text{kg}\cdot 0,0004{\text{m}}^2\cdot \left(\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 225{\text{s}}^2}{2\text{m}}-1\right)=$   

$=0,00008\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot \left(\frac{2207,25\text{m}}{2\text{m}}-1\right)=0,00008\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot \left(1103,625-1\right)=$   

$=0,00008\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot 1102,625=0,08821\text{kg}\cdot {\text{m}}^2=$  

$=8,821\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\approx 8,8\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$  

$I_{\text{max}}=0,2\text{kg}\cdot {\left(0,02\text{m}\right)}^2\cdot \left(\frac{9,81\frac{\text{m}}{s^2}\cdot {\left(16s\right)}^2}{2\cdot 1\text{m}}-1\right)=$

$=0,2\text{kg}\cdot 0,0004{\text{m}}^2\cdot \left(\frac{9,81\frac{\text{m}}{s^2}\cdot 256s^2}{2\text{m}}-1\right)=$

$=0,00008\text{kg}\cdot m^2\cdot \left(\frac{2511,36\text{m}}{2\text{m}}-1\right)=0,00008\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot \left(1255,68-1\right)=$

$=0,00008\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot 1254,68=0,1003744\text{kg}\cdot {\text{m}}^2=$  

$=10,03744\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\approx 10\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$  

Obliczamy niepewność bezwzględną:

$\Delta I=\frac{I_{\text{max}}-I_{\text{min}}}{2}$  

$\Delta I=\frac{10,04\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2-8,82\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{2}=$  

$=\frac{1,22\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{2}=0,6\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$  

Z tego wynika, że:

$J=\left(9,4\pm 0,6\right)\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$  

Obliczamy niepewność względną:

$\delta =\frac{\Delta I}{I}\cdot 100\%$  

$\delta =\frac{0,6\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{9,4\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 100\%\approx 0,0638\cdot 100\%=6,38\%$