Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$\omega =54\frac{\text{rad}}{\text{min}}=54\frac{\text{rad}}{60s}=0,9\frac{\text{rad}}{s}$  

$\alpha ={20}^{\circ }$  

Przyjmujemy, że:

$g=10\frac{m}{s^2}$  

 

$a)$  

Z mojego punktu widzenia (lub innej ososby siedzącej na krzesełku) Ania pozostaje w spoczynku. Powołujemy się na I zasadę dynamiki, która mówi nam:

jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

$b)$  

$F_g\text{ - siła cięz˙kosˊci}$    

$F_{\text{od}}\text{ - siła odsˊrodkowa bezwładnosˊci}$  

$F_N\text{ - siła spręz˙ystosˊci nici}$  

$F_w\text{ - siła roˊwnowaz˙ąca siłę spręz˙ystosˊci, będąca wypadkową siły cięz˙kosˊci i bezwładnosˊci}$    

 

$c)$  

Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać zależność na kąt α wychylenia się krzesełka karuzeli z położenia równowagi:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{F_{\text{od}}}{F_g}$  

Siłę odśrodkową możemu przedstawić za pomocą wzoru:

$F_{\text{od}}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie m jest masą ciała poruszającego się po okręgu o promieniu r z prędkością liniową v.  Prędkość liniową możemy przestawić jako:

$v=\omega r$  

gdzie ω jest prędkością kątową, r jest promieniem. Wówczas otrzymamy wzór na siłę odśrodkową bezwładności w postaci:

$F_{\text{od}}=\frac{m{\left(\omega r\right)}^2}{r}$  

$F_{\text{od}}=\frac{m{\omega }^2{r}^2}{r}$  

$F_{\text{od}}=m{\omega }^{2}r$  

Siłę ciężkości możemy opisać zależnością:

$F_g=mg$  

gdzie m jest masą ciała, g jest wartością przyspieszenia ziemskiego. Wówczas korzystając z zależności opisującej kąt odchylenia się krzesełka karuzeli możemy wyznaczyć wartość promienia karuzeli:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{F_{\text{od}}}{F_g}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{m{\omega }^{2}r}{mg}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{{\omega }^{2}r}{g}\mid \cdot g$

$g\mathrm{tg}\alpha ={\omega }^{2}r\mid :{\omega }^2$   

$\frac{g\mathrm{tg}\alpha }{{\omega }^2}=r$  

Zamieniamy stronami:

$r=\frac{g\mathrm{tg}\alpha }{{\omega }^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r=\frac{10\frac{m}{s^2}\cdot \mathrm{tg}{20}^{\circ }}{{\left(0,9\frac{1}{s}\right)}^2}=\frac{10\frac{m}{s^2}\cdot 0,364}{0,81\frac{1}{s^2}}=\frac{3,64\frac{m}{s^2}}{0,81\frac{1}{s^2}}\approx 4,49383m\approx 4,5m$  

 

$d)$  

Tak, są odchylone o taki sam kąt. W podpunkcie c) wyznaczyliśmy zależność wielkości kąta od sił działający na krzesełko:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{{\omega }^{2}r}{g}$  

Z tej zależności wynika, że kąt odchylenia się krzesełka nie zależy od masy krzesełka, ani masy osoby siedzącej na krzesełku.