Dane:

$\alpha ={30}^{\circ }$  

$v=5\frac{m}{s}$  

$f=0,12$  

Przyjmujemy, że wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi:

$g=10\frac{m}{s^2}$  

Szukane:

$t=?$  

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Na rysunkach  $\overrightarrow{T}$   jest siłą tarcia, $\overrightarrow{N}$  jest siła nacisku odpowiadającą składowej siły ciężkości prostopadłej do równi, ${\overrightarrow{F}}_g$  jest siłą ciężkości,  ${\overrightarrow{F}}_{\mid \mid }$  jest składową równoległą do równi pochyłej siły ciężkości powodującą zjazd sanek.

Wartość siły tarcia możemy wyrazić wzorem jako iloczyn współczynnika tarcia i wartości siły nacisku:

$T=fN$  

gdzie $f$  jest współczynnikiem tarcia kinetycznego, $N$  jest wartością siły nacisku.

Wartość siły ciężkości opisujemy wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie $m$  jest masą ciała, $g$  jest wartością przyspieszenia ziemskiego. 

Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$\cos \alpha =\frac{N}{F_g}\text{, czyli }N=F_g\cos \alpha \text{, }N=mg\cos \alpha$  

$\sin \alpha =\frac{F_{\mid \mid }}{F_g}\text{, czyli }{F}_{\mid \mid }=F_g\sin \alpha \text{, }{F}_{\mid \mid }=mg\sin \alpha$  

Na pierwszym rysunku widzimy przypadek kiedy sanki pchnięto i poruszają się pod górę.

Równanie sił dla tych sanek opiszemy wzorem:

$F_{\text{wyp1}}=F_{\mid \mid }+T$  

Wartość siły wypadkowej działającej na sanki opiszemy zależnością:

$F_{\text{wyp1}}=m{a}_1$  

gdzie $m$  jest masą, $a_1$  jest przyspieszeniem sanek popchniętych pod górę.

Wyznaczamy wartość przyspieszenie sanek pchniętych pod górę:

$m{a}_1=mg\sin \alpha +fN$  

$m{a}_1=mg\sin \alpha +fmg\cos \alpha \mid :m$  

$a_1=g\sin \alpha +fg\cos \alpha$  

$a_1=g\left(\sin \alpha +f\cos \alpha \right)$  

Teraz korzystając z wzoru na przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym wyznaczymy czas, w którym pchnięte sanki wyjechały pod górę:

$a_1=\frac{v}{t_1}\text{, czyli }{t}_1=\frac{v}{a_1}$   

gdzie $v$  jest prędkością, $t_1$  jest czasem wyjeżdżania sanek pod górę.

Wówczas dla naszego przypadku będziemy mieli, że:

$t_1=\frac{v}{g\left(\sin \alpha +f\cos \alpha \right)}$  

Teraz wyznaczamy czas po jakim sanki zjadą z górki.

Zapiszmy teraz równanie sił działających na sanki zjeżdżające z górki. Korzystamy z rysunku pomocniczego (Rys.2.):

$F_{\text{wyp2}}=F_{\mid \mid }-T$  

Siłę wypadkową działającą na zjeżdżające sanki opiszemy zależnością:

$F_{\mid \mid }=m{a}_2$  

gdzie $a_2$  jest przyspieszeniem sanek zjeżdżających z góry.

Wyznaczmy wartość przyspieszenia sanek zjeżdżających z góry:

$m{a}_2=mg\sin \alpha -fmg\cos \alpha \mid :m$  

$a_2=g\sin \alpha -fg\cos \alpha$  

$a_2=g\left(\sin \alpha -f\cos \alpha \right)$  

Wiemy, że sanki wyjeżdżając pod górkę pokonały taką samą drogę jak sanki zjeżdżające z górki. Oznacza to, że możemy zapisać, że:

$s_1=s_2$    

Drogi przebyte przez sanki opiszemy wzorami na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym. Dla sanek wjeżdżających pod górę mamy, że:

$s_1=v{t}_1-\frac{1}{2}{a}_1{t}_1^2$  

Ponieważ szybkość końcowa sanek, które wjechały do góry jest zerowa to możemy zapisać, że droga przebyta przez te sanki ma postać:

$s_1=\frac{1}{2}{a}_1{t}_1^2$  

Dla sanek zjeżdżających z góry (zerowa szybkość początkowa) mamy, że:

$s_2=\frac{1}{2}{a}_2{t}_2^2$  

Korzystając z faktu, że drogi te są takie same możemy zapisać wyznaczyć czas zjazdu sanek z górki:

$s_2=s_1$  

$\frac{1}{2}{a}_2{t}_2^2=\frac{1}{2}{a}_1{t}_1^2\mid \cdot 2$  

$a_2{t}_2^2=a_1{t}_1^2\mid :a_2$  

$t_2^2=t_1^2\frac{a_1}{a_2}$  

Pierwiastkujemy:

$t_2=t_1\sqrt{\frac{a_1}{a_2}}$  

$t_2=t_1\sqrt{\frac{g\left(\sin \alpha +f\cos \alpha \right)}{g\left(\sin \alpha -f\cos \alpha \right)}}$  

$t_2=t_1\sqrt{\frac{\sin \alpha +f\cos \alpha }{\sin \alpha -f\cos \alpha }}$  

$t_2=\frac{v}{g\left(\sin \alpha +f\cos \alpha \right)}\cdot \sqrt{\frac{\sin \alpha +f\cos \alpha }{\sin \alpha -f\cos \alpha }}$  

Wówczas całkowity czas ruchu sanek będzie wynosił:

$t=t_1+t_2$    

$t=\frac{v}{g\left(\sin \alpha +f\cos \alpha \right)}+\frac{v}{g\left(\sin \alpha +f\cos \alpha \right)}\cdot \sqrt{\frac{\sin \alpha +f\cos \alpha }{\sin \alpha -f\cos \alpha }}$  

$t=\frac{v}{g\left(\sin \alpha +f\cos \alpha \right)}\left(1+\sqrt{\frac{\sin \alpha +f\cos \alpha }{\sin \alpha -f\cos \alpha }}\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{5\frac{m}{s}}{10\frac{m}{s^2}\cdot \left(\sin {30}^{\circ }+0,12\cdot \cos {30}^{\circ }\right)}\cdot \left(1+\sqrt{\frac{\sin {30}^{\circ }+0,12\cdot \cos {30}^{\circ }}{\sin {30}^{\circ }-0,12\cdot \cos {30}^{\circ }}}\right)\approx$  

$\approx \frac{5\frac{m}{s}}{10\frac{m}{s^2}\cdot \left(0,5+0,12\cdot 0,866\right)}\cdot \left(1+\sqrt{\frac{0,5+0,12\cdot 0,866}{0,5-0,12\cdot 0,866}}\right)=$  

$=\frac{5\frac{m}{s}}{10\frac{m}{s^2}\cdot \left(0,5+0,10392\right)}\cdot \left(1+\sqrt{\frac{0,5+0,10392}{0,5-0,10392}}\right)=$  

$=\frac{5\frac{m}{s}}{10\frac{m}{s^2}\cdot 0,60392}\cdot \left(1+\sqrt{\frac{0,60392}{0,39608}}\right)\approx$  

$\approx \frac{5\frac{m}{s}}{6,0392\frac{m}{s^2}}\cdot \left(1+\sqrt{1,5237}\right)\approx$  

$\approx 0,82792s\cdot \left(1+1,2344\right)=0,82792s\cdot 2,2344=$  

$=1,84990448s\approx 1,85s$  

Odpowiedź: Sanki wrócą na miejsce po około 1,85 sekundy ruchu.