Wypisujemy dane podane w zadaniu:

$T=1s$

${\pi }^2=10$

$g=10\frac{m}{s^2}$

 

$\text{4.1.}$

Winda umieszczona jest na sprężynach, czyli okres jej drgań możemy przedstawić wzorem:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$  

gdzie $m$  jest całkowitą drgającą masą, $k$  jest współczynnikiem sprężystości. Oznacza to, że współczynnik sprężystości możemy przedstawić zależnością:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}{\mid }^2$  

$T^2=4{\pi }^2\frac{m}{k}\mid \cdot k$  

$k{T}^2=4{\pi }^{2}m\mid :T^2$  

$k=\frac{4{\pi }^{2}m}{T^2}$  

Na windę wraz z materiałami budowlanymi działa siła sprężystości, która swoją maksymalną wartość osiąga, gdy wychylenie windy z położenia równowagi odpowiada amplitudzie drgań:

$x=A$  

Zatem wartość maksymalnej siły sprężystości ma postać:

$F=kx=kA$  

Aby materiały nie oderwały się od podłożą siła ta powinna zostać zrównoważona przez ich ciężar, czyli siłę o wartości:

$F_c=mg$  

gdzie $g$  jest wartością przyspieszenia ziemskiego.

Oznacza to, że:

$F=F_c$  

$kA=mg$  

$\frac{4{\pi }^2\cancel{m}}{T^2}A=\cancel{m}g\mid \cdot T^2$  

$4{\pi }^{2}A=g{T}^2\mid :4{\pi }^2$  

$A=\frac{g{T}^2}{4{\pi }^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$A=\frac{10\frac{m}{s^2}\cdot {\left(1s\right)}^2}{4\cdot 10}=\frac{10m}{40}=0,25m=25cm$

 

$4.2.$

Wzór na wychylenie ma postać:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)$

Gdzie:

$\varphi =0$

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

Szukamy po jakim czasie od chwili przejścia przez położenie równowagi jej położenie jest równe połowie amplitudy:

$x\left(t\right)=\frac{A}{2}$

$A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)=\frac{A}{2}\mid :A$

$\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)=\frac{1}{2}$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\sin \alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{6}$

Oznacza to, że:

$\frac{2\pi }{T}\cdot t=\frac{\pi }{6}\mid :2\pi$

$\frac{t}{T}=\frac{1}{12}\mid \cdot T$

$t=\frac{T}{12}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{1s}{12}=\frac{1}{12}s=0,083s$

 

$4.3.$

Energię potencjalną opisuje wzór:

$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$

Energię kinetyczną opiszemy, przy użyciu zależności:

$E_c=E_k+E_p$

$E_k=E_c-E_p$

Gdzie energia całkowita jest równa energii potencjalnej w największym wychyleniu::

$E_c=\frac{1}{2}k{A}^2$

Dlatego możemy zapisać, że:

$E_k=\frac{1}{2}k{A}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$

$E_k=\frac{1}{2}k\left(A^2-x^2\right)$

Szukamy w jakim położeniu windy jej energia potencjalna będzie równa jej energii kinetycznej:

$E_p=E_k$

$\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k\left(A^2-x^2\right)\mid \cdot \frac{2}{k}$

$x^2=A^2-x^2\mid +x^2$

$2x^2=A^2\mid :2$

$x^2=\frac{A^2}{2}\mid \text{pierwiastkujemy}$

$x=\frac{A}{\sqrt{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{0,25m}{\sqrt{2}}=\frac{0,25m}{1,41}=0,177m=17,7cm$

 

$4.4.$

Korzystamy z wzoru na przyspieszenie:

$a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+\varphi \right)$

Gdzie dla naszego przypadku mamy, że:

$\varphi =0$

$A=0,25m$

$\omega =\frac{2\pi }{T}\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{1s}\Rightarrow \omega =2\pi$

Wówczas otrzymujemy, że:

$a\left(t\right)=-0,25{\left(2\pi \right)}^2\sin \left(2\pi \cdot t\right)$

$a\left(t\right)=-0,25\cdot 4\cdot 10\sin \left(2\pi \cdot t\right)$

$a\left(t\right)=-10\sin \left(2\pi \cdot t\right)$

Wykonujemy wykres: