$a)$  

Wartość natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie M można zapisać, za pomocą wzoru:

$\gamma =G\cdot \frac{M}{r^2}$  

gdzie γ jest wartością natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie M w odległości r od tego ciała, G jest stałą grawitacyjną.  Jeżeli:

$r\le R$  

gdzie R jest promieniem planety, to:

$\gamma =G\cdot \frac{M}{R^2}$  

Nie znamy masy tej planety, ale znamy jej promień i zakładamy, że jej gęstość jest stała. Korzystając z wzoru na gęstość wyznaczamy masę:

$\rho =\frac{M}{V}\Rightarrow M=\rho \cdot V$  

gdzie M jest masą, V jest objętością, ρ jest gęstością. Przyjmijmy, że planeta jest kulą, wówczas jej objętość wynosi:

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^3$  

Z tego wynika, że natężenie pola grawitacyjnego będzie miało postać:

$\gamma =G\cdot \frac{M}{R^2}$  

$\gamma =G\cdot \frac{\rho \cdot V}{R^2}$  

$\gamma =G\cdot \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R^3}{R^2}$  

$\gamma =\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot G\cdot \rho \cdot R$  

 

$b)$  

W zadaniu podane mamy, że:

$R=60\cdot {10}^{6}m$  

Z wykresu odczytujemy, że dla podanej długości promienia natężenie ma postać:

$\gamma =9\frac{N}{kg}$  

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}$    

Otrzymany w podpunkcie a) wzór przekształcamy, tak aby wyznaczyć gęstość planety:

$\gamma =\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot G\cdot \rho \cdot R\mid \cdot 3$  

$3\cdot \gamma =4\cdot \pi \cdot G\cdot \rho \cdot R\mid :\left(4\cdot \pi \cdot G\cdot R\right)$  

$\frac{3\cdot \gamma }{4\cdot \pi \cdot G\cdot R}=\rho$  

Zamieniamy stronami:

$\rho =\frac{3\cdot \gamma }{4\cdot \pi \cdot G\cdot R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\rho =\frac{3\cdot 9\frac{N}{kg}}{4\cdot 3,14\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\cdot 60\cdot {10}^{6}m}=\frac{27\frac{N}{kg}}{5026,512\cdot {10}^{-5}\frac{N\cdot m^3}{k{g}^2}}=\frac{27kg}{5,026512\cdot {10}^3\cdot {10}^{-5}{m}^3}=$  

$=\frac{27kg}{5,026512\cdot {10}^{-2}{m}^3}\approx 5,37\cdot {10}^2\frac{kg}{m^3}=537\frac{kg}{m^3}$  

 

$c)$  

Odczytujemy wartość natężenia dla wartości h w odległości od powierzchni planety:

$h=1,2\cdot {10}^{8}m=1,2\cdot {10}^2\cdot {10}^{6}m=120\cdot {10}^{6}m$  

Oznacza to, że:

$r=R+h$  

$r=60\cdot {10}^{6}m+120\cdot {10}^{6}m=180\cdot {10}^{6}m$  

Z wykresu wynika, że natężenia pola na tej wysokości wynosi:

$\gamma =1\frac{N}{kg}$