Z treści dodanej do zadania wynika, że:

$m=40kg$  

$R=3m$  

$f=0,3Hz$  

$t=10s$  

$\eta =80\%$       

W poprzednich zadaniach wyznaczyliśmy moment bezwładności karuzeli, gdy gondole znajdują się w odległości R od osi obrotu:

$I=4m{R}^2$   

Karuzela zaczyna poruszać się z pewną prędkością kątową, aż do uzyskania częstotliwości f. Prędkość kątową w zależności od częstotliwości ruchu przedstawiamy wzorem:

$\omega =2\pi f$  

gdzie ω jest prędkością kątową, f jest częstotliwością. Zacznijmy od obliczenia pracy jaką musiała wykonać karuzela, aby osiągnąć częstotliwość f. Praca jaką wykonała ta karuzela będzie równa energii kinetycznej jaką potrzebowała do osiągnięcia ruchu obrotowego. Energię kinetyczną ruchu obrotowego przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{k\text{obr}}=\frac{I{\omega }^2}{2}$  

gdzie E_kobr jest energia kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej o momencie bezwładności I poruszającej się z prędkością kątową ω. Z tego wynika, że praca wykonana przez karuzelę będzie wynosiła:

$W=E_{kobr}$   

$W=\frac{I{\omega }^2}{2}$  

$W=\frac{4m{R}^2{\left(2\pi f\right)}^2}{2}$  

$W=\frac{4m{R}^{2}4{\pi }^2{f}^2}{2}$  

$W=8{\pi }^{2}m{R}^2{f}^2$  

Moc w zależności od wykonanej pracy przedstawiamy wzorem:

$P=\frac{W}{t}$  

gdzie P jest mocą jaka zostanie wydzielona przy wykonaniu pracy W w czasie t. Z tego wynika, że moc pobrana do wprawienia karuzeli w ruch będzie miała postać:

$P_p=\frac{W}{t}$  

$P_p=\frac{8{\pi }^{2}m{R}^2{f}^2}{t}$  

Wiemy, że sprawność silnika przedstawiamy zależnością:

$\eta =\frac{P_p}{P_s}$  

gdzie η jest sprawnością silnika, P_s jest mocą silnika, P_p jest mocą pobraną. Z tego wynika, że moc silnika możemy przedstawić wzorem:

$P_s=\frac{P_p}{\eta }$  

$P_s=\frac{\frac{8{\pi }^{2}m{R}^2{f}^2}{t}}{\eta }$  

$P_s=\frac{8{\pi }^{2}m{R}^2{f}^2}{\eta t}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:   

 

$P_s=\frac{8\cdot {3,14}^2\cdot 40kg\cdot {\left(3m\right)}^2\cdot {\left(0,3Hz\right)}^2}{80\%\cdot 10s}=\frac{8\cdot 9,8596\cdot 40kg\cdot 9m^{2}0,09H{z}^2}{0,8\cdot 10s}=\frac{78,8768\cdot 40kg\cdot 9m^2\cdot 0,09\frac{1}{s^2}}{8s}=$  

$=\frac{2555,60832kg\cdot \frac{m^2}{s^2}}{8s}=\frac{2555,60832J}{8s}=319,45104\frac{J}{s}=319,45104W\approx 320W$