Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$m=0,35kg$  

$v_0=0,3\frac{m}{s}$  

 

$a)$  

W ruchu obrotowym wzór na energię kinetyczną bryły sztywnej wynosi:

$E_{ko}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$  

gdzie I jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu, ω jest prędkością kątową. Wiemy, że moment bezwładności walca obracającego się wokół własnej osi obrotu wynosi:

$I_w=\frac{1}{2}m{r}^2$  

Wiemy, że prędkość kątową w zależności od prędkości liniowej przedstawiamy wzorem:

$\omega =\frac{v}{r}$  

gdzie $\omega$  jest prędkością kątową, $v$  jest prędkością liniową, $r$  jest odległością od osi obrotu. Walec zabawka obraca się wokół osi przechodzącej przez jego środek. Wówczas otrzymujemy, że energia kinetyczna ruchu obrotowego walca toczącego się wynosi:

$E_{ko}=\frac{1}{2}{I}_w{\omega }^2$  

$E_{ko}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}m{r}^2{\left(\frac{v}{r}\right)}^2$  

$E_{ko}=\frac{1}{4}m\cancel{r^2}\frac{v^2}{\cancel{r^2}}$  

$E_{ko}=\frac{1}{4}m{v}^2$  

Energię kinetyczną ruchu postępowego ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$  

gdzie $E_k$  jest energią kinetyczną ciała o masie $m$  poruszającego się z prędkością $v$ . Wówczas całkowita energia kinetyczna toczącej się bez poślizgu zabawki wynosi:

$E=E_{ko}+E_k$  

$E=\frac{1}{4}m{v}^2+\frac{1}{2}m{v}^2$  

$E=\frac{1}{4}m{v}^2+\frac{2}{4}m{v}^2$  

$E=\frac{3}{4}m{v}^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E=\frac{3}{4}\cdot 0,35kg\cdot {\left(0,3\frac{m}{s}\right)}^2=0,75\cdot 0,35kg\cdot 0,09\frac{m^2}{s^2}=0,023625kg\cdot \frac{m^2}{s^2}=0,023625J\approx 0,024J$         

 

$b)$  

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że całkowita energia kinetyczna zabawki wynosi:

$E=\frac{3}{4}m{v}^2$  

Natomiast energia kinetyczna ruchu obrotowego ma postać:

$E_{ko}=\frac{1}{4}m{v}^2$  

Obliczamy, jaką część całkowitej energii kinetycznej zabawki stanowi energia kinetyczna ruchu obrotowego:

$\frac{E_{ko}}{E}=\frac{\frac{1}{4}\cancel{m{v}^2}}{\frac{3}{4}\cancel{m{v}^2}}=\frac{1}{\cancel{4}}\cdot \frac{\cancel{4}}{3}=\frac{1}{3}$  

Odp.: Energia kinetyczna ruchu obrotowego stanowi $\frac{1}{3}$  całkowitej energii kinetycznej zabawki.

Wiemy,  że energia kinetyczna ruchu postępowego wynosi:

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$  

Obliczamy, jaką część całkowitej energii kinetycznej zabawki stanowi energia kinetyczna ruchu postępowego:

$\frac{E_{ko}}{E}=\frac{\frac{1}{2}\cancel{m{v}^2}}{\frac{3}{4}\cancel{m{v}^2}}=\frac{1}{\underset{1}{\cancel{2}}}\cdot \frac{\stackrel{2}{\cancel{4}}}{3}=\frac{2}{3}$  

Odp.: Energia kinetyczna ruchu postępowego stanowi $\frac{2}{3}$  całkowitej energii kinetycznej zabawki.