Dane:

$l=4\text{m}$  

$m_1=25\text{kg}$  

$m_2=15\text{kg}$  

Szukane:

$d=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie, w jakiej odległości od drugiego końca belki należałoby podeprzeć belkę, aby dziecko mogło bawić się na huśtawce samodzielnie. Musimy zatem wyznaczyć środek masy układu opisanego w zadaniu. 

Środek masy układu ciał  to punkt, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Wyznaczymy ją z zależności:

$x_m=\frac{\sum _i{m}_i{R}_i}{\sum _i{m}_i}$

gdzie:

$x_m$ - środek masy ciała, 

$i$ - indeks mówiący nam o liczbie ciał, 

$m_i$ - masa i-tego ciała, 

$R_i$ - odległość i-tego ciała od przyjętego początku układu współrzędnych. 

Załóżmy, że początek układu współrzędnych znajduje się w środku masy belki. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$l$ - długość całej belki, 

$x_m$ - odległość środkiem belki, a punktem podparcia belki (środek masy układu), 

$d$ - odległość pomiędzy punktem podparcia belki, a jej wolnym końcem.

Zatem odległość pomiędzy punktem podparcia deski, a jej drugim końcem to:

$d=\frac{1}{2}l+x_m$

Środek masy wynosi:

$x_m=\frac{m_1\cdot 0+m_2\cdot \frac{1}{2}l}{m_1+m_2}$

$x_m=\frac{m_{2}l}{2\left(m_1+m_2\right)}$

Oznacza to, że:

$d=\frac{1}{2}l+x_m$

$d=\frac{1}{2}l+\frac{m_{2}l}{2\left(m_1+m_2\right)}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$d=\frac{\left(m_1+m_2\right)l}{2\left(m_1+m_2\right)}+\frac{m_{2}l}{2\left(m_1+m_2\right)}$

$d=\frac{\left(m_1+m_2\right)l+m_{2}l}{2\left(m_1+m_2\right)}$

$d=\frac{m_{1}l+m_{2}l+m_{2}l}{2\left(m_1+m_2\right)}$

$d=\frac{m_{1}l+2m_{2}l}{2\left(m_1+m_2\right)}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d=\frac{25\text{kg}\cdot 4\text{m}+2\cdot 15\text{kg}\cdot 4\text{m}}{2\cdot \left(25\text{kg}+15\text{kg}\right)}=$

$=\frac{100\text{kg}\cdot \text{m}+120\text{kg}\cdot \text{m}}{2\cdot 40\text{kg}}=$

$=\frac{220\cancel{\text{kg}}\cdot \text{m}}{80\cancel{\text{kg}}}=2,75\text{m}$

Odpowiedź: Deskę należy podeprzeć w odległości 2,75 od jej wolnego końca.