$\text{Dane:}$  

$\text{I}=25\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$   

$\text{r}=70\text{cm}=0,7\text{m}$  

$\text{m}=12\text{kg}$  

${\text{F}}_1=30\text{N}$  

$f=1\text{Hz}$  

${\text{M}}_{\text{o}}=1\text{N}\cdot \text{m}$    

$\text{Szukane:}$  

$\text{t}=\text{?}$  

Moment siły, jakim ojciec działa na karuzelę wynosi:

${\text{M}}_1=\text{r}\cdot \text{F}$   

Więc wypadkowy moment siły działający na karuzelę, uwzględniając opory ruchu, wynosi:

$\text{M}={\text{M}}_1-{\text{M}}_0=\text{r}\cdot \text{F}-{\text{M}}_0$  

Moment bezwładności karuzeli z dzieckiem wynosi:

${\text{I}}_{\text{k}}=\text{I}+\text{m}\cdot {\text{r}}^2$  

Z II zasady dynamiki możemy więc zapisać przyspieszenie kątowe karuzeli:

$\epsilon =\frac{\text{M}}{{\text{I}}_{\text{k}}}=\frac{\text{r}\cdot \text{F}-{\text{M}}_0}{\text{I}+\text{m}\cdot {\text{r}}^2}$  

Przyspieszenie kątowe zapisujemy również z definicji jako:

$\epsilon =\frac{\omega }{\text{t}}$  

Więc szukany czas możemy obliczyć ze wzoru:

$\epsilon =\frac{\omega }{\text{t}}\text{/}\cdot \text{t}$   

$\epsilon \cdot \text{t}=\frac{\omega \cdot \sout{\text{t}}}{\sout{\text{t}}}$   

$\epsilon \cdot \text{t}=\omega \text{/: }\epsilon$  

$\frac{\sout{\epsilon }\cdot \text{t}}{\sout{\epsilon }}=\frac{\omega }{\epsilon }$  

$\text{t}=\frac{\omega }{\epsilon }$  

A prędkość kątowa to:

$\omega =2\pi f$  

Więc wstawiając wszystkie wyprowadzone wyrażenia otrzymujemy wzór na szukany czas:

$\text{t}=\frac{2\pi f}{\epsilon }=\frac{2\pi f}{\frac{\text{r}\cdot \text{F}-{\text{M}}_0}{\text{I}+\text{m}\cdot {\text{r}}^2}}=\frac{2\pi f\cdot \left(\text{I}+\text{m}\cdot {\text{r}}^2\right)}{\text{r}\cdot \text{F}-{\text{M}}_0}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy czas:

$\text{t}=\frac{2\cdot \pi \cdot 1\text{Hz}\cdot \left(25\text{kg}\cdot \text{N}+12\text{kg}\cdot {\left(0,7\text{m}\right)}^2\right)}{0,7\text{m}\cdot 30\text{N}-1\text{N}\cdot \text{m}}$  

$\text{t}\approx 9,7\text{s}$  

Odpowiedź: Rozpędzanie karuzeli będzie trwało około 9,7 s.