$\text{Dane:}$  

$\text{m}=40\text{g}=0,04\text{kg}$  

$\Delta \text{x}=60\text{cm}=0,6\text{m}$  

$\text{F}=180\text{N}$  

 

$\text{a)}$  

$\text{Szukane:}$  

$\text{H}=\text{?}$  

Ze wzoru na siłę F odkształcającą sprężynę wyprowadzamy wzór na wartość współczynnika k:

$\text{F}=\text{k}\Delta \text{x}\text{/: }\Delta \text{x}$  

$\frac{\text{F}}{\Delta \text{x}}=\frac{\text{k}\cdot \sout{\Delta \text{x}}}{\sout{\Delta \text{x}}}$  

$\text{k}=\frac{\text{F}}{\Delta \text{x}}$  

Możemy więc wstawić to wyrażenie do wzoru na energię potencjalną sprężystości cięciwy łuku:

${\text{E}}_{\text{ps}}=\frac{1}{2}\cdot \text{k}\cdot {\left(\Delta \text{x}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\text{F}}{\sout{\Delta \text{x}}}\cdot {\left(\Delta \text{x}\right)}^{\sout{2}}$  

${\text{E}}_{\text{ps}}=\frac{1}{2}\cdot \text{F}\cdot \Delta \text{x}$  

Przed wystrzałem, jak i w najwyższym położeniu strzały, jej energia kinetyczna była zerowa. Energia potencjalna grawitacji rosła od momentu strzału.

Z zasady zachowania energii możemy zapisać:

$\Delta {\text{E}}_{\text{p}}=\Delta {\text{E}}_{\text{ps}}$  

$\text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{H}=\frac{1}{2}\cdot \text{F}\cdot \Delta \text{x}$  

Skąd możemy wyprowadzić wyrażenie na wysokość, na jaką wzniosła się strzała:

$\text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{H}=\frac{1}{2}\cdot \text{F}\cdot \Delta \text{x}\mid :\text{m}\cdot \text{g}$  

$\frac{\sout{\text{m}\cdot \text{g}}\cdot \text{H}}{\sout{\text{m}\cdot \text{g}}}=\frac{\text{F}\cdot \Delta \text{x}}{2\cdot \text{m}\cdot \text{g}}$   

$\text{H}=\frac{\text{F}\cdot \Delta \text{x}}{2\cdot \text{m}\cdot \text{g}}$   

Wstawiamy więc dane liczbowe i obliczamy wysokość:

$\text{H}=\frac{180\text{N}\cdot 0,6\text{m}}{2\cdot 0,04\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$    

$\text{H}\approx 138\text{m}$  

Odpowiedź: Jeżeli strzałę wystrzelimy pionowo w górę, to wzniesie się ona na wysokość około 138 m. 

 

$\text{b)}$  

$\text{Dane:}$  

$\text{h}=120\text{cm}=1,2\text{m}$  

$\text{Szukane:}$  

$\text{z}=\text{?}$  

W treści zadania mamy założenie, że cała energia sprężystości jest zamieniana na energię kinetyczną:

${\text{E}}_{\text{ps}}={\text{E}}_{\text{k}}$  

Możemy więc zapisać:

$\frac{1}{2}\cdot \text{F}\cdot \Delta \text{x}=\frac{1}{2}\cdot \text{m}\cdot {\text{v}}^2$  

$\text{F}\cdot \Delta \text{x}=\text{m}\cdot {\text{v}}^2$  

Z tego wyprowadźmy wzór na prędkość tej strzały:

$\text{F}\cdot \Delta \text{x}=\text{m}\cdot {\text{v}}^2\text{/: m}$  

$\frac{\text{F}\cdot \Delta \text{x}}{\text{m}}=\frac{\sout{\text{m}}\cdot {\text{v}}^2}{\sout{\text{m}}}$  

${\text{v}}^2=\frac{\text{F}\cdot \Delta \text{x}}{\text{m}}\text{/}\cdot \sqrt{}$  

$\text{v}=\sqrt{\frac{\text{F}\cdot \Delta \text{x}}{\text{m}}}$  

Możemy wstawić ten wzór do wyrażenia na zasięg w rzucie poziomym. Otrzymamy wówczas wzór:

$\text{z}=\text{v}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot \text{h}}{\text{g}}}=\sqrt{\frac{\text{F}\cdot \Delta \text{x}}{\text{m}}}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot \text{h}}{\text{g}}}$   

$\text{z}=\sqrt{\frac{2\cdot \text{h}\cdot \Delta \text{x}\cdot \text{F}}{\text{m}\cdot \text{g}}}$    

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy zasięg strzały:

$\text{z}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,2\text{m}\cdot 0,6\text{m}\cdot 180\text{N}}{0,04\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}$  

$\text{z}\approx 26\text{m}$  

Odpowiedź: Jeżeli strzałę wystrzelimy poziomo, doleci ona na odległość około 26 m.