Emil odczytał z mapy, że... - Zadanie 2: Elementarz XXI wieku. Ćwiczenia edukacja matematyczna cz. 1 - strona 24
Edukacja wczesnoszkolna
Elementarz XXI wieku. Ćwiczenia edukacja matematyczna cz. 1 (Zeszyt ćwiczeń, Nowa Era)
Emil odczytał z mapy, że... 4.25 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Szkoła podstawowa
  2. 3 Klasa
  3. Edukacja wczesnoszkolna

11 metrów - tyle głębokości ma Jezioro Sromowieckie,

55 metrów - tyle głębokości ma Jezioro Czorsztyńskie.

Obliczamy, o ile głębsze jest Jezioro Czorsztyńskie od Sromowieckiego:

Odpowiedź: Jezioro Czorsztyńskie jest o 44 metry głębsze od Jeziora Sromowieckiego.  

DYSKUSJA
klasa:
3 szkoły podstawowej
Informacje
Autorzy: Krysytna Bielenicka, Maria Bura
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326726668
Autor rozwiązania
user profile

Ola

19831

Nauczyciel

Wiedza
Równoległość i prostopadłość
W geometrii analitycznej często zachodzi potrzeba zbadania, czy dane dwie proste są równoległe albo prostopadłe. Sposobem na sprawdzenie tego jest przyjrzenie się ich równaniom w postaci $y = ax+b$.

Aby dwie proste były równoległe, muszą być nachylone pod tym samym kątem do osi $x$ (powstaną wtedy kąty odpowiadające, co właśnie warunkuje równoległość prostych).

1 równoległe

Tym, co określa kąt nachylenia, jest współczynnik $a$, więc aby dwie proste, określone równaniami $y_1 = a_1x + b_1$ i $y_2 = a_2x + b_2$ były równoległe, musi zachodzić $a_1 = a_2$. Współczynnik $b$ nie ma na to oczywiście żadnego wpływu, bo jedyne, co warunkuje, to odległość między nimi.

Badanie prostopadłości prostych jest równie łatwe. Ponownie: współczynnik $b$ nie ma tutaj żadnego znaczenia, liczy się jedynie kąt nachylenia do prostej X.

2 prostopadłe

Jeśli spojrzymy na rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi kątami przekonamy się, że

$a_1 = an α = {m}/{n} = {1}/{ {n}/{m} } = {1}/{ an α}$ = ctg α$

Ale przecież $α = 180° - β$, więc $- ctg α = ctg β = a_2$

Z jedynki trygonometrycznej: $ an α × (-ctg α) = -1$. Warunkiem prostopadłości jest więc $a_1 × a_2 = -1$.
Układy równań
W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$x = y + 1$
$y^2 = 2z + 3$
$z = 3x + y$

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$:
$y = x - 1$

Podstawiamy do drugiego:
$(x-1)^2 = 2z + 3$

Wyznaczamy $z$
$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$
$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$
$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$
$x^2 - 10x = 0$

Pierwsze rozwiązanie: $x_1 = 0$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $x$ otrzymujemy $x_2 = 10$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$y_1 = 0 - 1 = -1$
$y_2 = 10 - 1 = 9$

I ostatecznie wyliczyć z:
$z_1 = 3x_1 + y_1$
$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$
$z_2 = 3x_2 + y_2$
$z_2 = 3×10 + 9 = 39$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $(0,-1,-1)$ oraz $(10, 9, 39)$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $z$ nie podstawić do jednego równania $x_1$ i $y_2$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$y^2 = 5x + 2$
$3z = 2y - x$
$z = -2x + y$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $z$ z równania trzeciego:

$3(-2x + y) = 2y -x$
$6x - x = 3y - 2y$
$5x = y$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $y$-a do równania pierwszego obliczając $x$:
$(5x)^2 = 5x + 2$
$25x^2 - 5x - 2= 0$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$(5x - 2)(5x + 1) = 0$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $5x - 2 = 0$
$5x = 2$
$x = {2}/{5}$

Wtedy $y = 5x = 2$ oraz $z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$

b) $5x + 1 = 0$
$5x = -1$
$x = -{1}/{5}$

Wtedy $y = 5x = -1$ oraz $z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom