Kwas będzie dysocjował według równań:

$\mathrm{H}{}_2\mathrm{X}+\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}\to \mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}+\mathrm{HX}{}^{-}\alpha =100\%$

$\mathrm{HX}{}^{-}+\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}+\mathrm{X}{}^{2-}{K}_{a_2}=0,01$

Jego stężenie początkowe oznaczamy jako c. W takim wypadku stężenie anionów HX^- po pierwszym etapie dysocjacji będzie również wynosiło c (pierwszy etap zachodzi w 100%). Jego stężenie równowagowe (po drugim etapie dysocjacji) będzie wynosić:

$\left[\mathrm{HX}{}^{-}\right]=c-\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]$

Z treści zadania wiemy, że:

$\left[\mathrm{HX}{}^{-}\right]=100\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]$

Zatem otrzymujemy zależność:

$c-\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]=100\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]$

czyli:

$c=101\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]$

Stężenie równowagowe kationów hydroniowych będzie zawierało te, powstałe w pierwszym etapie dysocjacji kwasu (c) oraz to powstałe w jego drugim etapie (równe w przybliżeniu równowagowemu stężeniu X^2-):

$\left[\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}\right]=c+\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]$

Wzór na stalą równowagi drugiego etapu dysocjacji przyjmuje postać:

$\mathrm{K}{}_{{\mathrm{a}}_2}=\frac{\left[\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}\right]\cdot \left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}{\left[\mathrm{HX}{}^{-}\right]}$

Z treści zadania wiemy, że jej wartość w omawianych warunkach wynosi:

$\mathrm{K}{}_{{\mathrm{a}}_2}=0,01$

Do wzoru podstawiamy wyznaczone wcześniej zależności tak aby pojawiła się w nim wyłącznie jedna niewiadoma:

$\mathrm{K}{}_{{\mathrm{a}}_2}=\frac{\left[\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}\right]\cdot \left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}{\left[\mathrm{HX}{}^{-}\right]}\Rightarrow \mathrm{K}{}_{{\mathrm{a}}_2}=\frac{\left(c+\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]\right)\cdot \left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}{100\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}$

$\Rightarrow \mathrm{K}{}_{{\mathrm{a}}_2}=\frac{\left(101\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]+\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]\right)\cdot \left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}{100\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}$

Wyznaczamy stężenie równowagowe anionów X^2-:

$0,01=\frac{102\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]\cdot \left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}{100\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}$

$0,01=\frac{102{\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}^2}{100\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}$

$0,01=\frac{102\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]}{100}$

$\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]=\frac{1}{102}$

$\left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]\approx 9,8\cdot 10^{-3}\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}$

Korzystając z wcześniej wyznaczonej zależności obliczamy c:

$c=101\cdot \left[\mathrm{X}{}^{2-}\right]$

$c=101\cdot 9,8\cdot 10^{-3}\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}$

$c=0,9898\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}$

 

Odpowiedź: Stężenie początkowe kwasu wynosi ok. 0,9898 mol/dm³.