Uproszczone równanie całkowe dla reakcji pierwszorzędowych przyjmuje postać:

$\left[\mathrm{A}\right]={\left[\mathrm{A}\right]}_0\cdot 3^{-k\cdot t}$

gdzie:

[A] - stężenie substratu po upływie czasu t,

[A]₀ - początkowe stężenie substratu A,

k - stała szybkości reakcji,

t - czas trwania reakcji.

Przekształcamy równanie tak aby wyznaczyć z niego wartość k. Obustronnie nakładamy logarytm dziesiętny i przekształcamy wzór:

$3^{-k\cdot t}=\frac{\left[\mathrm{A}\right]}{{\left[\mathrm{A}\right]}_0}|\log \left(\right)$

$\log \left(3^{-k\cdot t}\right)=\log \left(\frac{\left[\mathrm{A}\right]}{{\left[\mathrm{A}\right]}_0}\right)$

$-k\cdot t\cdot \log \left(3\right)=\log \left(\frac{\left[\mathrm{A}\right]}{{\left[\mathrm{A}\right]}_0}\right)$

$k=-\frac{\log \left(\frac{\left[\mathrm{A}\right]}{{\left[\mathrm{A}\right]}_0}\right)}{t\cdot \log \left(3\right)}$

Znamy czas połowicznego rozpadu izotopu fransu-212, który wynosi:

$t_{\frac{1}{2}}=20\min$

Po upływie tego czasu, stężenie próbki izotopu zmaleje o połowę:

$\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]=\frac{1}{2}{\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]}_0$

Wyznaczamy wartość stałej szybkości rozpadu izotopu fransu-212, wiedząc, że podlega ona pod mechanizm reakcji pierwszorzędowych:

$k=-\frac{\log \left(\frac{\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]}{{\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]}_0}\right)}{t_{\frac{1}{2}}\cdot \log \left(3\right)}$

$k=-\frac{\log \left(\frac{\frac{1}{2}{\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]}_0}{{\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]}_0}\right)}{t_{\frac{1}{2}}\cdot \log \left(3\right)}$

$k=-\frac{\log \left(\frac{1}{2}\right)}{20\min \cdot \log \left(3\right)}$

$k\approx 0,03155\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$

Znając stężenie początkowe jonów izotopu fransu-212 ([Fr⁺]₀ = 0,001 mol/dm³) obliczamy jakie będzie ich stężenie po upływie czasu równego 28,5 minuty:

$\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]={\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]}_0\cdot 3^{-k\cdot t}$

$\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]=0,001\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}\cdot 3^{-0,03155\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}\cdot 28,5\min }$

$\left[\mathrm{Fr}{}^{+}\right]\approx 3,72\cdot 10^{-4}\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}$

 

Odpowiedź: Stężenie jonów izotopu fransu-212 wyniesie ok. 3,72⋅10^-4 mol/dm³.

 

Uwaga!

Odpowiedź podana z tyłu książki jest błędna. Najprawdopodobniej jest to "literówka" ponieważ wartość stężenia podaną w odpowiedzi można uzyskać używając stałej szybkości reakcji k = 0,3515 min^-1, zamiast k = 0,3155 min^-1, która jest poprawna.