Rozwiązanie:

Dane:

${\tau }_{\frac{1}{2}}=20\min =1200\mathrm{s}$

$t=28,5\min =1710\mathrm{s}$

$c_{\mathrm{Fr}{}^{+}}^0=0,001\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}$

Szukane:

$c_{\mathrm{Fr}{}^{+}}^t=?$

Obliczenia:

Reakcja przebiega zgodnie z równaniem kinetycznym I-rzędu, korzystamy więc z równania podanego w treści zadania dla reakcji I-rzędu:

$c_{\mathrm{Fr}{}^{+}}^t=c_{\mathrm{Fr}{}^{+}}^0\cdot 3^{-k\cdot t}$

Na podstawie czasu połowicznego rozpadu musimy obliczyć wartość stałej szybkości reakcji (k). Dla reakcji pierwszego rzędu czas połowicznego rozpadu jest stały i niezależny od stężenia substratu. Obliczenie stałej szybkości dla tej reakcji na podstawie czasu połowicznego rozpadu jest możliwe po przeprowadzeniu całkowania równania kinetycznego w granicach zmiany stężenia substratu od 0 do  $\frac{1}{2}$ wartości stężenia oraz w granicach zmiany czasu od 0 do  ${\tau }_{\frac{1}{2}}$. Po przekształceniu otrzymanego równania otrzymamy poniższy wzór z którego obliczymy wartość k na podstawie wartości  ${\tau }_{\frac{1}{2}}$:

$k=\frac{-\ln \left(\frac{1}{2}\right)}{{\tau }_{\frac{1}{2}}}=\frac{-\ln \left(\frac{1}{2}\right)}{1200\mathrm{s}}=5,7762\cdot 10^{-4}\frac{1}{\mathrm{s}}$

Podstawiając już wszystkie wartości do powyższego wzoru obliczymy stężenie jonów Fr⁺ po upływie czasu t:

$c_{\mathrm{Fr}{}^{+}}^t=0,001\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}\cdot 3^{-5,7762\cdot 10^{-4}\frac{1}{\mathrm{s}}\cdot 1710\mathrm{s}}$

$c_{\mathrm{Fr}{}^{+}}^t=3,38\cdot 10^{-4}\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}$

Odpowiedź: Stężenie jonów fransu wynosi 3,38 ⋅10^-4 mol/dm³.