Ułamki dziesiętne - 4 szkoły podstawowej - Baza Wiedzy

Ułamki dziesiętne i ich budowa

Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których mianownikami są liczby 10, 100, 1000...

Przykłady:

  • $$1/{10}= 0,1$$
  • $$2/{100}= 0,02$$
  • $${15}/{100}= 0,15$$
  • $$3/{1000}= 0,003$$
  • $${25}/{10}= 2,5$$

Ułamki dziesiętne zapisujemy bez użycia kreski ułamkowej, natomiast stosujemy przecinek (zwany przecinkiem dziesiętnym), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej.
 

rys1
 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysięczne itd.

Przykład:

cyfry po przecinku
 

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,781= {700}/{1000}+{80}/{1000}+1/{1000}=7/{10}+8/{100}+1/{1000}$$ -> łatwo zauważyć, że 7 to części dziesiąte, 8 części setne, a 1 to części tysięczne.

  Ciekawostka

Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Oddzielenie przecinkiem całości od części dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Jeżeli ułamek zwykły posiada w mianowniku 10, 100, 1000, … to zamieniamy go na ułamek dziesiętny w następujący sposób: między cyframi liczby znajdującej się w liczniku danego ułamka zwykłego stawiamy przecinek tak, aby po przecinku było tyle cyfr, ile zer w mianowniku. Gdyby zabrakło cyfr przy stawianiu przecinka, to należy dopisać brakującą ilość zer.

Przykłady:

  • $$3/{10}= 0,3$$ ← przepisujemy liczbę 3 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${64}/{100}= 0,64$$ ← przepisujemy liczbę 64 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${482}/{1000} = 0,482$$ ← przepisujemy liczbę 482 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były trzy cyfry (bo w mianowniku mamy trzy zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${45}/{10}= 4,5$$ ← przepisujemy liczbę 45 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer,

  • $${2374}/{100}= 23,74$$ ← przepisujemy liczbę 2374 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer.

  Uwaga

Istnieją ułamki zwykłe, które możemy rozszerzyć lub skrócić tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000,... Jednak nie wszystkie ułamki można zamienić na równe im ułamki dziesiętne, to znaczy tak rozszerzyć lub skrócić, aby otrzymać ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 itd.

Przykłady ułamków, które dają się rozszerzyć lub skrócić, tak aby otrzymać ułamek dziesiętny:
$$1/2= {1•5}/{2•5}=5/{10}= 0,5$$
$$3/{20}= {3•5}/{20•5}= {15}/{100}= 0,15$$
$${80}/{400}= {80÷4}/{400÷4}={20}/{100}= 2/{10}= 0,2$$

Nie można natomiast zamienić na ułamek dziesiętny ułamka $$1/3$$. Ułamka tego nie można skrócić ani rozszerzyć tak, aby w mianowniku pojawiła się liczba 10, 100, 1000 itd.

Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Licznikiem ułamka zwykłego jest liczba naturalna jaką utworzyłyby cyfry ułamka dziesiętnego, gdyby nie było przecinka, mianownikiem jest liczba zbudowana z cyfry 1 i tylu zer, ile cyfr po przecinku zawiera ułamek dziesiętny.

Przykłady:

  • $$0,25 = {25}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 25 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku,

  • $$4,305={4305}/{1000}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 4305 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z trzech zer, czyli liczba 1000, ponieważ trzy cyfry stoją po przecinku.

Porównywanie ułamków dziesiętnych

Aby ustalić, który z dwóch ułamków dziesiętnych jest większy, wystarczy porównać kolejno rzędy, zaczynając od najwyższego. Oznacza to, że porównujemy kolejno cyfry z których zbudowany jest ułamek dziesiętny, czyli zaczynamy od cyfr części całkowitej, a później przechodzimy to porównywania cyfr części dziesiętnych.

W praktyce porównywanie ułamków dziesiętnych odbywa się następująco:
  • Najpierw porównujemy części całkowite, jeżeli nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części całkowitej;

  • Jeżeli obie części całkowite są równe, to porównujemy ich części dziesiętne. Jeżeli części dziesiętne nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części dziesiętnej;

  • Gdy części dziesiętne są równe, to porównujemy ich części setne, tysięczne itd., aż do uzyskania odpowiedzi.

  Zapamiętaj

Gdy na końcu ułamka dziesiętnego dopisujemy lub pomijamy zero, to jego wartość się nie zmienia.

Przykłady:
$$0,34=0,340=0,3400=0,34000=...$$
$$0,5600=0,560=0,56$$

W związku z powyższą uwagą, jeżeli w czasie porównywania ułamków w którymś zabraknie cyfr po przecinku, to należy dopisać odpowiednią liczbę zer.
 

Przykład: Porównajmy ułamki 5,25 i 5,23.
Przed porównywaniem ułamków wygodnie jest zapisać porównywane liczby jedna pod drugą, ale tak by zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem.

porownanie1
Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 5>3, zatem ułamek 5,25 jest większy od 5,23. Zatem 5,25>5,23.

Przykład: Porównajmy ułamki 0,8 i 0,81.
Zapisujemy ułamki jeden pod drugim, tak aby zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem. Ponadto dopisujemy 0 w ułamku 0,8.

porownanie2

Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 0<1, zatem ułamek 0,81 jest większy od 0,8. Zatem 0,81>0,8.

Wyrażenie dwumianowane

Wyrażenia dwumianowe to wyrażenia, w których występują dwie jednostki tego samego typu.

Przykłady: 5 zł 30 gr, 2 m 54 cm, 4 kg 20 dag.

Wyrażenia dwumianowe możemy zapisać w postaci ułamka dziesiętnego.

Przykład: 3 m 57 cm = 3,57 cm , bo 57 cm to 0,57 m.

Jednostki:

  • 1 cm = 10 mm; 1 mm = 0,1 cm
  • 1 dm = 10 cm; 1 cm = 0,1 dm
  • 1 m = 100 cm; 1 cm = 0,01 m
  • 1 m = 10 dm; 1 dm = 0,1 m
  • 1 km = 1000 m; 1 m = 0,001 km
  • 1 zł = 100 gr; 1 gr = 0,01 zł
  • 1 kg = 100 dag; 1 dag = 0,01 kg
  • 1 dag = 10 g; 1 g = 0,1 dag
  • 1 kg = 1000 g; 1 g = 0,001 kg
  • 1 t = 1000 kg; 1 kg = 0,001 t

Przykłady zamiany jednostek:

  • 10 zł 80 gr = 1000 gr + 80 gr = 1080 gr
  • 16 gr = 16•0,01zł = 0,16 zł
  • 1 zł 52 gr = 1,52 zł
  • 329 gr = 329•0,01zł = 3,29 zł
  • 15 kg 60 dag = 1500dag + 60dag = 1560 dag
  • 23 dag = 23•0,01kg = 0,23 kg
  • 5 kg 62 dag = 5,62 kg
  • 8 km 132 m = 8000 m+132 m = 8132 m
  • 23 cm 3 mm = 230 mm + 3 mm = 233 mm
  • 39 cm = 39•0,01m = 0,39 m

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz w postaci ułamka dziesiętnego:

  1. $$ {29}/{100}$$
  2. $$ {15}/{10} $$
  3. $$ {33}/{50}$$
  1. $$ {29}/{100}=0,29$$ - przepisujemy liczbę 29 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka;
  2. $$ {15}/{10}=1,5$$ - przepisujemy liczbę 15 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero);
  3. $$ {33}/{50}={66}/{100}=0,66$$ - na początku rozszerzamy dany ułamek przez 2, tak aby otrzymać w mianowniku liczbę 100; następnie przepisujemy liczbę 66 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka.

Zadanie 2.

Podaj przykład ułamka dziesiętnego, którego cyfra części dziesiątych jest równa 2, a cyfra części setnych jest o 5 większa.

$$2$$ -> cyfra części dziesiątych

$$2+5=7$$ -> cyfra części setnych

$$0,27$$ -> szukany ułamek

Odp.: Przykładem takiego ułamka jest $$0,27$$.

Zadanie 3.

Zapisz podane liczby pomijając niepotrzebne zera:

  1. $$ 0,260 $$
  2. $$ 0,0300 $$
  3. $$ 10,0220 $$
  1. $$ 0,260=0,26 $$
  2. $$ 0,0300=0,03 $$
  3. $$ 10,0220=10,022 $$

Zadanie 4.

Porównaj ułamki dziesiętne:

  1. $$ 0,7 $$ i $$0,9 $$
  2. $$ 12,4 $$ i $$ 12,41 $$
  3. $$ 9,909 $$ i $$ 9,990 $$
  1. $$ 0,7$$ < $$0,9$$, ponieważ części jedności są równe, natomiast w częściach dziesiętnych 7<9, zatem ułamek 0,7 jest mniejszy od 0,9 ,
  2. $$ 12,4$$ < $$12,41$$, ponieważ części jedności są równe, części dziesiętne są także takie same, natomiast w częściach setnych mamy 0<1, zatem ułamek 12,40 jest mniejszy od 12,41 ,
  3. $$ 9,909$$ < $$9,990$$, ponieważ części jedności są równe, części dziesiętne są także takie same, natomiast w częściach setnych mamy 0<9, zatem ułamek 9,909 jest mniejszy od 9,990.

Zadanie 5.

Zapisz w postaci wyrażenia dwumianowanego:

  1. 10,42 zł
  2. 12,3 m
  3. 2,13 kg
  1. 10,42 zł=10 zł 42 gr
  2. 12,3 m=12 m 30 cm
  3. 2,13 kg=2 kg 12 dag

Zadanie 6.

Podaj przykład liczby większej od $$0,01$$ i mniejszej od $$0,02$$.

$$0,01=0,010$$ ← możemy dopisać 0 na końcu, ponieważ nie zmienia to wartości ułamka.

$$0,02=0,020$$ ← analogicznie jak wyżej, dopisujemy 0.

$$0,010$$ < $$0,015$$ < $$0,020$$ ← teraz łatwo znaleźć ułamek który jest większy od 0,01 oraz mniejszy od 0,02.

Odp.: Przykładem takiej liczby jest $$0,015$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Paweł i Gaweł rzucają kostką. Za wyrzucenie 1 oczka lub 6 oczek...

Wiemy, że Gaweł w 5 rzutach zdobył 11 punktów zatem:


jeśli wyrzuciłby 1 oczko lub 6 oczek  jeden raz to uzyskałby:

3+1+1+1+1=7 punktów


jeśli wyrzuciłby 1 oczko lub 6 oczek  dwa razy to uzyskałby:

3+3+1+1+1=9 punktów


jeśli wyrzuciłby 1 oczko lub 6 oczek  trzy razy to uzyskałby:

3+3+3+1+1=11 punktów


Odp. Gaweł wyrzucił 3 razy 1 lub 6 oczek.

Zapisz cyframi rzymskimi...

Zapisujemy cyframi rzymskimi:

a) 8 - VIII,

b) 12 - XII, {premium}

c) 16 - XVI,

d) 23 - XXIII,

e) 29 - XXIX,

f) 34 - XXXIV.

Podane ułamki zapisz bez kreski ułamkowej

 

 

 

 

Mama ugotowała 34 pierogi z jagodami...

Mama ugotowała 34 pierogi i rozdzieliła je po równo między pięcioro dzieci, a resztę wzięła dla siebie, zatem:

 

mama dała każdemu dziecku po 6 pierogów, a pozostałe 4 wzięła dla siebie

gdyby mama dała każdemu dziecku po 5 pierogów, to dla niej zostałoby 9,

 

co jest niezgodne  z treścią zadania, gdyż wiemy, że dla mamy zostało mniej pierogów niż zjadło każde dziecko:



Odp. Każde dziecko otrzymało po 5 pierogów dla mamy zostały 4 pierogi.

Przeczytaj wierszyk i oblicz, ile godzin i minut spóźnił się pan Podczas

Na pociąg:

Pociąg odjeżdżał o 7:40, a pan Poczas przybył o 9:00. 

 

 {premium}

Łącznie:  

Pan Poczas spóźnił się na pociąg o 1 godzinę 20 minut.

    

Na autobus:

Autobus odjeżdżał o 20:47, a pan Poczas przybył o 21:21. 

 

 

Łącznie:  

Pan Poczas spóźnił się na autobus o 34 minuty.    

 

Do teatru:

Wesele wystawiano o 19:30 (wpół do ósmej), a pan Poczas przybył na 6:10. 

 

 

 

 

Łącznie:  

Pan Poczas spóźnił się do teatru o 10 godzin 40 minut.    

Janusz mieszka...

Dane:

 - tyle od szkoły mieszka Janusz,

 - tyle od szkoły mieszka Natalia.

Szukane:

O ile kilometrów bliżej szkoły mieszka Janusz?

Rozwiązanie:

Musimy odjąć od siebie odległość od domu Natalii do szkoły i odległość od domu Janusza do szkoły:{premium}

 

Odpowiedź: Janusz mieszka  bliżej szkoły. 

Za osiągnięcia sportowe wyróżniono czterech ...

1 przykład

Każdemu z uczniów można kupić piłkę do siatkówki w sklepie "TENISOWY" (gdyż w tym sklepie piłka ta jest tańsza). 

Obliczamy, ile będzie wynosił koszt tego zakupu. 

Obliczamy ile pieniędzy zostanie, jeśli do dyspozycji mieliśmy 200 zł. 

Pozostanie 40,04 zł. 

 

2 przykład

Można kupić piłkę do siatkówki, kask rowerowy oraz piłki tenisowe w sklepie "TENISOWY" oraz kask rowerowy w sklepie "piłkarski". 

Obliczamy ile pieniędzy zostanie, jeśli do dyspozycji mamy 200 zł. 

Pozostanie 85,21 zł. 

Korzystając z podpowiedzi...

{premium}

Wykonaj dzielenie sposobem pisemnym...

Zmierz długości boków...

Figura I:

 

{premium}

Figura II:

 

 

Figura III:

 

 

Figura IV:

 

 

Figura V: