Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Zastosowania praktyczne logarytmów

Funkcja logarytmiczna wydaje się na pierwszy rzut oka dość abstrakcyjną i nieintuicyjną. Powstaje pytanie: czy ma ona w ogóle jakieś rzeczywiste zastosowanie?

Odpowiedź brzmi: oczywiście że tak :). Przykładowe zastosowania:

1) Skala natężenia dźwięku korzysta z Belli, czyli jednostki logarytmicznej. Dokładny wzór to $log_{10}$ ${I}/{I_0}$, gdzie I to moc, którą mierzymy, a $I_0$ to moc bazowa, czyli granica słyszalności ludzkiego ucha. Tak naprawdę jeśli chcemy wyrazić absolutną ciszę, to jest ona równa minus nieskończoności Belli.

2) W chemii stosuje się logarytmy przy okazji liczenia pH, czyli stężenia jonów wodorowych w roztworze. Warto przypomnieć, że $pH + pOH = 14$, ale $[H^{+}] + [OH^{-}] = 10^{-14}$, ponieważ $pH = log_{10}$ $[H^{+}]$.

3) Kiedyś używano logarytmów do mnożenia dużych liczb. Wszystko opierało się o fakt, że logarytm z iloczynu to suma logarytmów, czyli zamieniamy iloczyn na sporo prostsze do przeprowadzenia dodawanie. Jeśli uczony chciał pomnożyć dwie liczby, po prostu znajdował w tablicach ich logarytmy, dodawał je, a później znowu dzięki tablicom zamieniał wynik z logarytmu na wartość. Dlaczego po prostu nie zapisano wyniku mnożenia w tablicach? Cóż, tabliczka mnożenia liczb do miliona zajmuje $10^12$ komórek, a tablice logarytmiczne: jedynie $10^5$. Mówiąc obrazowo: jeśli tablica logarytmów zajmowała książkę, to tablica mnożenia zajmowałaby przestrzeń pięciu bibliotek aleksandryjskich.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz równanie prostej, której wykres jest podany na poniższych rysunkach

Nie jest to wykres funkcji, ponieważ dla argumentu x=-3 jest przyjmowane nieskończenie wiele wartości.

 

{premium}

Jest to wykres funkcji, dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość, ta wartość to 2. 

 

 

Podstawiamy w miejsce x i y współrzędne punktów, które należą do wykresu funkcji, np. (-2, 0) i (0, 3):

Jest to wykres funkcji - dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość. 

Punkty A, B i C wyznaczają...

a) Rzuty prostokątne odpowiednich prostych zostały zaznaczone kolorem czerwonym:{premium}

Rzutem prostokątnym prostej PA jest odcinek AS.

Rzutem prostokątnym prostej PB jest odcinek BS.

Rzutem prostokątnym prostej PC jest odcinek CS.


b) Kąty nachylenia odpowiednich prostych zostały zaznaczone kolorem pomarańczowym:

Kątem nachylenia prostej PA jest kąt PAS.

Kątem nachylenia prostej PB jest kąt PBS.

Kątem nachylenia prostej PC jest kąt PCS.

 

a) Dany jest ciąg arytmetyczny ...

   

 

 

      {premium}

 

 

Zatem:

 

 

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Rozwiązując drugą równość otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

Łatwo zauważyć, że  nie spełnia pierwszego równania.

Dla  otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla  otrzymujemy:

 

 

  

 

 

 

 

 

Wyznacz wartość najmniejszą...

a) rozwiązane w ćwiczeniach

 

b)

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Uzasadnij, że pole trójkąta równobocznego...

Wiemy, że:

{premium}  

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, zatem:

 

Beata poprosiła koleżanki o pomoc ...

x - liczba poproszonych koleżanek

y - liczba zaproszeń przypadająca na jedną osobę (w przypadku gdy mamy x koleżanek)

  

 

{premium}   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

           

 

Pamiętajmy, że dwie Panie nie przyszły, zatem 6-2=4.

Zaproszenia wypisywały 4 osoby.  

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych niepodzielnych przez 4...

Wypiszmy kilka kolejnych liczb parzystych: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... . 

Widzimy, że co druga liczba parzysta jest podzielna przez 4, więc:{premium}

2n, 2n+4, 2n+8 - trzy kolejne liczby parzyste niepodzielne przez 4 (∈ C)

(zakładamy, że n jest dobrane tak, by liczba 2n była niepodzielna prze 4; będziemy później sprawdzać, czy n jest odpowiednie)


Suma kwadratów tych liczb jest równa 1004, więc:

 

 

 

 

 

 

 


Dla n=-11:

 

 

 


Dla n=7:

 

 

 


W obu przypadkach  żadna z otrzymanych liczb nie jest podzielna przez 4, więc oba otrzymane rozwiązania są prawidłowe.


Odp. Szukane liczby to -22, -18, -14 lub 14, 18, 22.

 

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych

 

Rysujemy wykres funkcji f. 

Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji f o{premium} 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX. 

Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji g o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

Zauważmy, że aby otrzymać wykres funkcji h można przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX oraz 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY, czyli o wektor [1, -2].

 

  

 

 

 

Rysujemy wykres funkcji f. 

Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji g o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

Zauważmy, że aby otrzymać wykres funkcji h można przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX oraz 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY, czyli o wektor [3,2].

 

 

Zaznacz na osi liczbowej

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia przekątnych...

Równanie ogólne prostej:

 

 

Wyznaczmy równania prostych AC i BD.

 

  • Prosta AC:

 

 

Stąd:

 

{premium}  

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy:

 

czyli

 

 

 

 

Równanie ogólne prostej:

 

 

Prosta BD:

 

 

Stąd

 

 

 

zatem

 

 

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy

C = 1

Równanie ogólne prostej:

 

 

Punkt przecięcia prostych zawierających przekątne czworokąta:

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia ma współrzędne: