Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Zastosowania praktyczne logarytmów

Funkcja logarytmiczna wydaje się na pierwszy rzut oka dość abstrakcyjną i nieintuicyjną. Powstaje pytanie: czy ma ona w ogóle jakieś rzeczywiste zastosowanie?

Odpowiedź brzmi: oczywiście że tak :). Przykładowe zastosowania:

1) Skala natężenia dźwięku korzysta z Belli, czyli jednostki logarytmicznej. Dokładny wzór to $$log_{10}$$ $${I}/{I_0}$$, gdzie I to moc, którą mierzymy, a $$I_0$$ to moc bazowa, czyli granica słyszalności ludzkiego ucha. Tak naprawdę jeśli chcemy wyrazić absolutną ciszę, to jest ona równa minus nieskończoności Belli.

2) W chemii stosuje się logarytmy przy okazji liczenia pH, czyli stężenia jonów wodorowych w roztworze. Warto przypomnieć, że $$pH + pOH = 14$$, ale $$[H^{+}] + [OH^{-}] = 10^{-14}$$, ponieważ $$pH = log_{10}$$ $$[H^{+}]$$.

3) Kiedyś używano logarytmów do mnożenia dużych liczb. Wszystko opierało się o fakt, że logarytm z iloczynu to suma logarytmów, czyli zamieniamy iloczyn na sporo prostsze do przeprowadzenia dodawanie. Jeśli uczony chciał pomnożyć dwie liczby, po prostu znajdował w tablicach ich logarytmy, dodawał je, a później znowu dzięki tablicom zamieniał wynik z logarytmu na wartość. Dlaczego po prostu nie zapisano wyniku mnożenia w tablicach? Cóż, tabliczka mnożenia liczb do miliona zajmuje $$10^12$$ komórek, a tablice logarytmiczne: jedynie $$10^5$$. Mówiąc obrazowo: jeśli tablica logarytmów zajmowała książkę, to tablica mnożenia zajmowałaby przestrzeń pięciu bibliotek aleksandryjskich.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dwa okręgi styczne zewnętrznie są jednocześnie styczne...

`|O_1O_2|=7-r_2`

`|O_1O_3|=7-r_3`

`|O_2O_3|=r_2+r_3`

`Obw_{O_1O_2O_3}=|O_1O_2|+|O_2O_3|+|O_1O_3|=7-r_2+r_2+r_3+7-r_3=14\ cm`

Obwód równoległoboku ograniczonego ...

`y=x+2` 

`y=x-2` 

`y=2` 

`y=-2` 

Zauważmy, że nastepujące układy, złożone z powyższych równań, mają jedno rozwiązanie:

`(1)\ {(y=x+2),(y=2):},\ \ \(2)\ {(y=x+2),(y=-2):},\ \ \(3)\ {(y=x-2),(y=2):},\ \ \(4)\ {(y=x-2),(y=-2):}` 

Rozwiążmy powyższe układy graficznie.

`A=(0;2)` 

`B=(4;2)` 

`|AB|=sqrt(4^2+(2-2)^2)=4` 

`D=(-4;-2)` 

`|AD|=sqrt((-4)^2+(-2-2)^2)=4sqrt2` 

`Obw_(ABCD)=2|AB|+2|AD|=8+8sqrt2` 

 

`"Odpowiedź D."`   

Przedstaw ilustrację graficzną

`a)`

Najpierw zaznaczymy obszar opisany pierwszą nierównością. 

`-2x+y-3<=0\ \ \ |+2x+3`

`y<=2x+3`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+3. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+3=0+3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 3)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1+3=2+3=5\ \ \ ->\ \ \ "punlkt"\ (1;\ 5)`

 

Rysujemy prostą ciągłą linią i zaznaczamy obszar znajdujący się pod nią. 

  

 

Teraz zaznaczamy jeszcze obszar opisany drugą nierównością. 

  

 

Ilustracja graficzna układu nierówności została zaznaczona na żółto: 

  

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

Najpierw zaznaczymy obszar opisany pierwszą nierównością. 

`3x-y-2<0\ \ \ |-3x+2`

`-y< -3x+2\ \ \ |*(-1)`

`y>3x-2`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=3x-2.

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-2=0-2=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -2)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3*1-2=3-2=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 1)`

 

Rysujemy prostą przerywaną linią i zaznaczamy obszar znajdujący się nad nią. 

  

 

Teraz zaznaczymy obszar opisany drugą nierównością. 

`-6x+2y<0\ \ \ |+6x`

`2y<6x\ \ \|:2`

`y<3x`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=3x.

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 0)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3*1=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 3)`

 

Rysujemy prostą przerywaną linią i zaznaczamy obszar znajdujący się pod nią. 

   

 

 

Ilustracja graficzna układu nierówności została zaznaczona na żółto: 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`c)`

Najpierw zaznaczymy obszar opisany pierwszą nierównością. 

`x-3y+3>=0\ \ \ |-x-3`

`-3y>=-x-3\ \ \ |:(-3)`

`y<=1/3x+1`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=1/₃x+1.

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*0+1=0+1=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 1)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*3+1=1+1=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 2)`

  

Rysujemy prostą ciągłą linią i zaznaczamy obszar znajdujący się pod nią. 

 

Teraz zaznaczymy obszar opisany drugą nierównością. 

`2x+y>=8\ \ \ |-2x`

`y>=-2x+8`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-2x+8.

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2*2+8=-4+8=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 4)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-2*3+8=-6+8=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 2)`

 

  

 

Rysujemy prostą ciągłą linią i zaznaczamy obszar znajdujący się nad nią.    

 

 

Ilustracja graficzna układu nierówności została zaznaczona na żółto: 

Iloczyn kwadratu pewnej liczby i kwadratu...

Niech `x` będzie pewną liczbą, a `x+4` liczbą o `4` od niej większą. `(x in RR)` 

Mamy:

`x^2*(x+4)^2=441` 

Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na jedną stronę, otrzymujemy:

`x^2(x+4)^2-441=0` 

Równanie ma postać `W(x)=0,` gdzie

`W(x)=x^2(x+4)^2-441` 

Przekształćmy `W(x)` do postaci iloczynowej:

`W(x)=[x(x+4)]^2-441=(x(x+4)-21)(x(x+4)+21)=(x^2+4x-21)(x^2+4x+21)`     

Drugi czynnik jest nierozkładalny, bo `Delta< 0.`  

Mamy:

`W(x)=0<=> (x^2+4x-21=0\ vv\ x^2+4x+21=0)` 

Stąd:

`x^2+4x-21=0` 

`Delta=16+84=100,\ \ sqrt(Delta)=10` 

`x_1=(-4-10)/2=-7\ vv\ x_2=(-4+10)/2=3` 

Rozwiązaniem równania są liczby `-7` i `3.` 

Wobec tego szukane liczby to `-7` i `3` lub `3` i `7.`     

  

Rozłóż wyrażenie algebraiczne na czynniki...

`a) \ 3x^3-6x = 3x(x^2-2) = 3x(x-sqrt2)(x+sqrt2)` 

 

`b) \ 2sqrt2x^3y^2 - sqrt6x^2y = 2sqrt2x^3y^2-sqrt3 * sqrt2x^2y = sqrt2x^2y(2xy-sqrt3)` 

 

`c) \ 2axy-4bxy+6cxy = 2xy(a-2b+3c)` 

 

`d) \ 6x^3y^2+2x^2y^2-4xy^3 = 2xy^2 (3x^2+ x-2y)` 

 

`e) \ 4x^2y+8xy^2-12xyz = 4xy(x+2y-3z)` 

 

`f) \ 9x^4 - 6x^3y+12x^2y^2 = 3x^2(3x^2-2xy + 4y^2)` 

 

`g) \ (x-2y)(x+3y) - (x-5y)(x-2y) = (x-2y)[(x+3y)-(x-5y)] = (x-2y)(x+3y-x+5y) = 8y(x-2y)` 

 

`h) \ (2x-1)(x-7)(x-5)-(7-x)(x-1)(x-5) = (2x-1)(x-7)(x-5)+(x-7)(x-1)(x-5)` 

`= (x-7)(x-5)[2x-1+x-1]= (x-7)(x-5)(3x-2)` 

Wykaż, że jeśli liczby...

Jeżeli x1, x2 , x3 tworzą ciąg arytmetyczny to:

`2x_2 = x_1+x_3` 

 

Jeżeli f(x1), f(x2), f(x3) tworzą ciąg geometryczny to:

`(f(x_2))^2 = f(x_1)*f(x_3)`  

 

A więc:

`L=(f(x_2)^2 = (a^(x_2))^2 = a^(2x_2) = a^(x_1+x_3) = a^(x_1)*a^(x_3) = f(x_1)*f(x_3) = P` 

Wyznacz współrzędne obrazu wielokąta ABCD...

`a) \ S_x (A) = (-4, -(-1)) = (-4, 1) = A'` 

`S_x (B) = (2, -(-5)) = (2, 5) = B'` 

`S_x (C) = (3, -(-1)) = (3, 1) = C'` 

`S_x (D) = (1, -7) = D'` 

 

`b) \ S_y (A) = (-(-4) , -1) = (4, -1) = A'` 

`S_y (B) = (-2, -5) = B'`  

`S_y (C) = (-3, -1) = C'` 

`S_y (D) = (-1, 7) = D'` 

 

`c) \ S_((0,0))(A) = (-(-4) , -(-1)) = (4, 1)` 

`S_((0,0)) (B) = (-2, -(-5)) = (-2 , 5)` 

`S_((0,0))(C) = (-3, -(-1)) = (-3, 1)` 

`S_((0,0))(D) = (-1, -7)`

Ile punktów wspólnych wykresów funkcji ...

`a)` 

`f(x)=-x+2` 

`g(x)=x^2-2x` 

`f(x)=g(x)` 

`x^2-2x=-x+2` 

`x^2-x-2=0` 

`Delta=1+8=9` 

`sqrtDelta=3` 

 

`x_1=(1-3)/2=-1` 

`x_2=(1+3)/2=2` 

 

`f(-1)=1+2=3` 

`f(2)=0` 

 

`"Punkty (2;0), (-1;3) należą są punktami wspólnymi wykresów funkcji f i g.""`

`"Dwa punkty wspólne wykresów f i g ma współrzędne całkowite."`          

 

`b)` 

`f(x)=1/2x+1` 

`g(x)=1/2x^2`  

`g(x)=f(x)` 

`1/2x+1=1/2x^2` 

`1/2x^2-1/2x-1=0` 

`x^2-x-2=0`  

`Delta=1+8=9` 

`sqrtDelta=3` 

 

`x_1=(1-3)/2=-1` 

`x_2=(1+3)/2=2` 

 

`f(-1)=1/2` 

`f(2)=2` 

 

`"Punkty"\ (-1;1/2),\ (2;2)\ "należą są punktami wspólnymi wykresów funkcji f i g.""`  

`"Jeden punkt wspólny wykresów f i g ma współrzędne całkowite."`          

 

`c)` 

`f(x)=2x-4` 

`g(x)=-2x^2` 

`f(x)=g(x)` 

`2x-4=-2x^2` 

`2x^2+2x-4=0` 

`x^2+x-2=0`   

`Delta=1+8=9`  

`sqrtDelta=3`  

 

`x_1=(-1-3)/2=-2` 

`x_2=(-1+3)/2=1` 

 

`f(-2)=2*(-2)-4 = -4 - 4 = -8` 

`f(1)=-2` 

 

`"Punkty"\ (-2;-8),\ (1;-2)\ "należą są punktami wspólnymi wykresów funkcji f i g.""`  

`"Dwa punkty wspólne wykresów f i g ma współrzędne całkowite."`          

Wykaż, że jeżeli ułamek

`"założenia:"\ \ \ n,\ k in NN,\ \ kne0,\ \ \ n/k\ -\ "ułamek skracalny"` 

`"teza:"\ \ \ (n-k)/(n+k)\ \ -\ \ "ułamek skracalny"` 

`"dowód:"` 

Jeśli ułamek `n/k`  jest skracalny, to liczby n oraz k muszą mieć pewien wspólny dzielnik. Oznaczmy ten dzielnik jako a. Wynik dzielenia n przez a oznaczmy jako b, a wynik dzielenia k przez a oznaczmy jako c. Wtedy prawdziwe są równości:

`n=b*a` 

`k=c*a` 

 

Podstawmy te zalezności do ułamka z tezy. 

`(n-k)/(n+k)=(b*a-c*a)/(b*a+c*a)=(strikea*(b-c))/(strikea*(b+c))=(b-c)/(b+c)` 

Udało się skrócić ułamek przez a, co kończy dowód.

 

Warto zauważyć, że ułamki `n/k` oraz `(n-k)/(n+k)` można skrócić przez taką samą liczbę - przez pewien wspólny dzielnik liczb n oraz k.   

Dziedziną funkcji f jest zbiór ...

`"Czy"\ ZW_(f)supe[-1;2]?`  

 

Rozważmy funkcję:

`f(x)=-2x-1` 

`f-"funkcja liniowa"` 

`D=[-2;0]cup[1;3]` 

`f(-2)=4-1=3` 

`f(0)=-1` 

`f(1)=-3` 

`f(3)=-7` 

 

Zauważmy, że:

`f([-2;0])=[-1;3]` 

`ZW_(f) supe[-1;3]supe[-1;2]\ implies\ ul(ZW_(f) supe[-1;2]` 

 

`"Odpowiedź C".`