Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Zastosowania praktyczne logarytmów

Funkcja logarytmiczna wydaje się na pierwszy rzut oka dość abstrakcyjną i nieintuicyjną. Powstaje pytanie: czy ma ona w ogóle jakieś rzeczywiste zastosowanie?

Odpowiedź brzmi: oczywiście że tak :). Przykładowe zastosowania:

1) Skala natężenia dźwięku korzysta z Belli, czyli jednostki logarytmicznej. Dokładny wzór to $$log_{10}$$ $${I}/{I_0}$$, gdzie I to moc, którą mierzymy, a $$I_0$$ to moc bazowa, czyli granica słyszalności ludzkiego ucha. Tak naprawdę jeśli chcemy wyrazić absolutną ciszę, to jest ona równa minus nieskończoności Belli.

2) W chemii stosuje się logarytmy przy okazji liczenia pH, czyli stężenia jonów wodorowych w roztworze. Warto przypomnieć, że $$pH + pOH = 14$$, ale $$[H^{+}] + [OH^{-}] = 10^{-14}$$, ponieważ $$pH = log_{10}$$ $$[H^{+}]$$.

3) Kiedyś używano logarytmów do mnożenia dużych liczb. Wszystko opierało się o fakt, że logarytm z iloczynu to suma logarytmów, czyli zamieniamy iloczyn na sporo prostsze do przeprowadzenia dodawanie. Jeśli uczony chciał pomnożyć dwie liczby, po prostu znajdował w tablicach ich logarytmy, dodawał je, a później znowu dzięki tablicom zamieniał wynik z logarytmu na wartość. Dlaczego po prostu nie zapisano wyniku mnożenia w tablicach? Cóż, tabliczka mnożenia liczb do miliona zajmuje $$10^12$$ komórek, a tablice logarytmiczne: jedynie $$10^5$$. Mówiąc obrazowo: jeśli tablica logarytmów zajmowała książkę, to tablica mnożenia zajmowałaby przestrzeń pięciu bibliotek aleksandryjskich.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz punkt P...

Niech:

`P = (x, y)` 

 

`a) \ [1-x, 4-y] + [3-x, -5-y] + [7-x, -2-y] = [0,0]` 

`[1-x+3-x+7-x , 4-y-5-y-2-y] = [0 , 0]` 

`[11 -3x , -3 -3y] =[0,0]` 

Stąd:

`{(11-3x=0),(-3-3y=0):}` 

`{(3x=11),(3y=-3):}` 

`{(x=11/3),(y=-1):}` 

`P = (11/3 , -1)` 

 

`b) \ [-1-x, 3-y] + [4-x, 2-y] + [-5-x, 1-y] = [0,0]` 

`[-1-x+4-x-5-x , 3-y+2-y+1-y] = [0 , 0]` 

`[-2 -3x , 6 -3y] =[0,0]` 

Stąd:

`{(-2-3x=0),(6-3y=0):}` 

`{(3x=-2),(3y=6):}` 

`{(x=-2/3),(y=2):}` 

`P = (-2/3 , 2)`  

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny...

Zauważmy, że 

`a^2+(2a)^2=b^2` 

`a^2+4a^2=b^2` 

`5a^2=b^2` 

 

Korzystając z tw. cosinusów otrzymujemy:

`(2a)^2=b^2+b^2-2b*b*cosalpha` 

`4a^2=2b^2-2b^2cosalpha` 

`4a^2=2*5a^2-2*5a^2*cosalpha` 

`4a^2=10a^2-10a^2cosalpha \ \ \ |-10a^2` 

`-6a^2=-10a^2cosalpha \ \ \ |:(-10a^2)` 

`6/10=cosalpha` 

`3/5=cosalpha` 

a) Bok sześciokąta foremnego ma długość...

a)

`a=1` 

 

`r=(asqrt3)/2` 

`r=sqrt3/2` 

`R=a` 

`R=1` 

 

`P_"koła opisanego"=piR^2=pi1^2=pi` 

`P_"koła wpisanego"=pir^2=pi(sqrt3/2)^2=3/4pi` 

`pi-3/4pi=1/4pi` 


b)

`P_"koła opisanego"=piR^2=pi1^2=pi` 

`P_"koła wpisanego"=pir^2=pi(sqrt3/2)^2=3/4pi` 

`pi-3/4pi=1/4pi` 

 

Powyższe wyniki nie są zależne od ilości boków wielokąta foremnego, a od długości boku.

 

Wykonaj działania...

`a)\ underline(5r)\ underline(underline(-9t))\ underline(underline(+11t))\ underline(-14r)\ underline(underline(+16t))-5=-9r+18t-5`

`b)\ underline(4x)\ underline(underline(-9y))\ underline(-14x)\ underline(underline(-4y))\ underline(+8x)=-2x-13y`

Losujemy jedną liczbę spośród

`a)` 

`Omega={1,\ 2,\ 3,\ ...,\ 49,\ 50}` 

`overline(overline(Omega))=50` 

 

`A\ \ -\ \ "liczba jest podzielna przez 2"`  

`A={2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24,\ 26,\ 28,\ 30,\ 32,\ 34,\ 36,\ 38,\ 40,\ 42,\ 44,\ 46,\ 48,\ 50}` 

`overline(overline(A))=25` 

`P(A)=25/50=1/2` 

 

`B\ \ -\ \ "liczba jest podzielna przez 3"` 

`B={3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ 21,\ 24,\ 27,\ 30,\ 33,\ 36,\ 39,\ 42,\ 45,\ 48}` 

`overline(overline(B))=16` 

`P(B)=16/50=8/25`  

 

`AnnB\ \ -\ \ "liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 (czyli jest podzielna przez 6)"` 

`AnnB={6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30,\ 36,\ 42,\ 48}` 

`overline(overline(AnnB))=8` 

`P(AnnB)=8/50=4/25` 

 

`AuuB\ \ -\ \ "liczba jest podzielna przez 2 lub przez 3"` 

`P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)=25/50+16/50-8/50=33/50` 

 

 

 

`b)` 

`Omega={1,\ 2,\ 3,\ ...,\ 98,\ 99,\ 100}` 

`overline(overline(Omega))=100` 

 

`A\ \ -\ \ "wybrana liczba jest podzielna przez 2"` 

Co druga liczba dzieli się przez 2, więc:

`overline(overline(A))=100:2=50` 

`P(A)=50/100=0,5` 

 

 

`B\ \ -\ \ "wybrana liczba dzieli się przez 5"` 

Co piąta liczba dzieli się przez 5, więc:

`overline(overline(B))=100:5=20` 

`P(B)=20/100=0,2` 

 

 

`AnnB\ \ -\ \ "wybrana liczba dzieli się przez 2 i przez 5, czyli dzieli się przez 10"` 

Co dziesiąta liczba dzieli się przez 10, więc:

`overline(overline(AnnB))=10` 

`P(AnnB)=10/100=0,1` 

 

`AuuB\ \ -\ \ "wybrana liczba dzieli się przez 2 lub przez 5"` 

`P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)=0,5+0,2-0,1=0,6` 

 

 

Prędkość wody w nurcie ...

`v_w-` prędkość wody w nurcie rzeki

`s=16` 

`t-` czas podróży z nurtem rzeki 

`t>0`  

 

`v_w=16/t`   

`v_w-4=16/(t+2)` 

`16/t-4=16/(t+2)`   

`16(t+2)-4t(t+2)=16t` 

`16t+32-4t^2-8t=16t`  

`4t^2+8t-32=0`  

`t^2+2t-8=0` 

`Delta=4+32=36` 

`sqrtDelta=6` 

 

`t_1=(-2-6)/2=-4<0`  

`t_2=(-2+6)/2=2` 

 

Czas podróży kajakarza wynosi 2t+2=6.

`"Odpowiedź B."`        

Sprawdź, czy granica ciągu...

`a) \ lim_(n -> oo) (2^n(1+1/2^n))/(2^n(3/2^n+4))= 1/4` 

 

`b) \ lim_(n -> oo) 3^n/(3^n(1/3^n+2)) = 1/2` 

 

`c) \ lim_(n -> oo) (4^n((3/4)^n+1))/(4^n(1-(3/4)^n)) = (0+1)/(1-0) = 1` 

 

`d) \ lim_(n -> oo) (6^n((5/6)^n+4))/(6^n((5/6)^n-1))= 4/(-1) = -4` 

 

`e) \ lim_(n -> oo) (2*7^n-4^n*4)/(4^n+5*7^n) = lim_(n -> oo) (7^n (2-(4/7)^n*4))/(7^n((4/7)^n +5)) = (2-0*4)/(0+5) = 2/5` 

 

`f) \ lim_(n -> oo) (3^n*3+6^n)/(4^n-3*8^n) = lim_(n -> oo) (8^n((3/8)^n*3+(6/8)^n))/(8^n((4/8)^n-3))=(0+0)/(-3) = 0` 

 

Wszystkie granice oprócz tej z podpunktu d) są liczbami nieujemnymi.

Przeczytaj podany w ramce przykład

Obliczamy, jaką odległość pokonał samochód podczas dwóch ostatnich godzin jazdy.

`390-300=90\ km`

 

Obliczamy prędkość, dzieląc drogę przez czas:

`v=(90\ km)/(2\ h)=ul(ul(45\ (km)/h))`

Rozwiąż równanie

`a)`

`x^3-7x^2+12x=0`

`x(x^2-7x+12)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x^2-7x+12=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-7)^2-4*1*12=49-48=1`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=1`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=(7-1)/2=3\ \ \ vee\ \ \ x=(7+1)/2=4`

`ul(x in {0,\ 3,\ 4})`

 

 

 

 

 

`b)`

`-2x^4+9x^3+5x^2=0`

`x^2(-2x^2+9x+5)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ -2x^2+9x+5=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=9^2-4*(-2)*5=81+40=121`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=11`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=(-9-11)/(2*(-2))=5\ \ \ vee\ \ \ x=(-9+11)/(2*(-2))=-1/2`

`ul(x in {-1/2,\ 0,\ 5})`

 

 

 

 

`c)`

`3x^3+4x^2+x=0`

`x(3x^2+4x+1)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ 3x^2+4x+1=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=4^2-4*3*1=16-12=4`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=(-4-2)/(2*3)=-1\ \ \ vee\ \ \ x=(-4+2)/(2*3)=-1/3`

`ul(x in {-1, \ -1/3,\ 0}`

 

 

 

 

`d)`

`4x^5-3x^4+2x^3=0`

`x^3(4x^2-3x+2)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ 4x^2-3x+2=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-3)^2-4*4*2<0`

jedynym rozwiązaniem jest x=0

 

 

 

 

`e)`

`2x^2-3x=x-x^3\ \ \ |+x^3-x`

`x^3+2x^2-4x=0`

`x(x^2+2x-4)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x^2+2x-4=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=2^2-4*1*(-4)=4+16=20`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=sqrt20=sqrt4*sqrt5=2sqrt5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=(-2-sqrt5)/2=-1-sqrt5\ \ \ vee\ \ \ x=-1+sqrt5`

`ul(x in {-1-sqrt5,\ 0,\ -1+sqrt5})`

 

 

 

`f)`

`2x^6-x^5=x^5+x^4\ \ \ |-x^5-x^4`

`2x^6-2x^5-x^4=0`

`x^4(2x^2-2x-1)=0` 
`x=0\ \ \ vee\ \ \ 2x^2-2x-1=0` 
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-2)^2-4*2*(-1)=4+8=12` 
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=sqrt2=sqrt4*sqrt3=2sqrt3` 
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=(2-2sqrt3)/(2*2)=(1-sqrt3)/2\ \ \ vee\ \ \ x=(1+sqrt3)/2` 
`ul(x in {0, \ (1-sqrt3)/2,\ (1+sqrt3)/2})` 
 
W tabeli przedstawiono przybliżone wartości poziomu natężenia...

Wiemy, że:

`1 \ "dB" = 1/10 \ "B"` 

 

a) Różnica szelestu liści i dźwięku odkurzacza:

`6 - 1 = 5 \ ["B"]` 

A więc:

`10^5 = 100000` 

A więc natężenie odgłosów szelestu liści jest 100000 razy mniejsze od odgłosów włączonego odkurzacza.

 

Różnica szeptu i dźwięku odkurzacza:

`6-2 = 4 \ ["B"]` 

A więc:

`10^4 = 10000` 

A więc natężenie odgłosów szeptu jest 10000 razy mniejsze od odgłosów włączonego odkurzacza.

 

Różnica odgłosów ze spokojnej ulicy i dźwięku odkurzacza:

`6 - 3 = 3 \ ["B"]` 

A więc:

`10^3 = 1000` 

A więc natężenie odgłosów ze spokojnej ulicy jest 1000 razy mniejsze od dźwięków włączonego odkurzacza.

 

Różnica odgłosów ze szmerów z domu i dźwięku odkurzacza:

`6 - 4 = 2 \ ["B"]` 

A więc:

`10^2 = 100` 

A więc natężenie szmerów z domu jest 100 razy mniejsze od dźwięków włączonego odkurzacza.

 

Różnica odgłosów ze szmerów z biura i dźwięku odkurzacza:

`6 - 5 = 1 \ ["B"]` 

A więc:

`10^1 = 10` 

A więc natężenie szmerów z biura jest 10 razy większe od dźwięków włączonego odkurzacza.

 

b) Różnica odgłosów z wnętrza głośnej restauracji i dźwięku odkurzacza:

`7-6 = 1 \ ["B"]` 

A więc:

`10^1 = 10` 

A więc natężenie odgłosów z wnętrza głośnej restauracji jest 10 razy większe od odgłosów włączonego odkurzacza.

 

Różnica odgłosów głośnej muzyki i dźwięku odkurzacza:

`8-6 =2 \ ["B"]` 

A więc:

`10^2 = 100` 

A więc natężenie odgłosów głośnej muzyki jest 100 razy większe od odgłosów włączonego odkurzacza.

 

Różnica odgłosów ruchu ulicznego i dźwięku odkurzacza:

`9-6 = 3 \ ["B"]` 

A więc:

`10^3 = 1000` 

A więc natężenie odgłosów ruchu ulicznego jest 1000 razy większe od odgłosów włączonego odkurzacza.

 

Różnica odgłosów motocykla bez tłumika i dźwięku odkurzacza:

`10-6 = 4 \ ["B"]` 

A więc:

`10^4 = 10000` 

A więc natężenie odgłosów motocykla bez tłumika jest 10000 razy większe od odgłosów włączonego odkurzacza.

 

Różnica odgłosów wirnika helikoptera i dźwięku odkurzacza:

`12-6 = 6 \ ["B"]` 

A więc:

`10^6 = 1000000` 

A więc natężenie odgłosów wirnika helikoptera jest 10 razy większe od odgłosów włączonego odkurzacza.