Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Zastosowania praktyczne logarytmów

Funkcja logarytmiczna wydaje się na pierwszy rzut oka dość abstrakcyjną i nieintuicyjną. Powstaje pytanie: czy ma ona w ogóle jakieś rzeczywiste zastosowanie?

Odpowiedź brzmi: oczywiście że tak :). Przykładowe zastosowania:

1) Skala natężenia dźwięku korzysta z Belli, czyli jednostki logarytmicznej. Dokładny wzór to $$log_{10}$$ $${I}/{I_0}$$, gdzie I to moc, którą mierzymy, a $$I_0$$ to moc bazowa, czyli granica słyszalności ludzkiego ucha. Tak naprawdę jeśli chcemy wyrazić absolutną ciszę, to jest ona równa minus nieskończoności Belli.

2) W chemii stosuje się logarytmy przy okazji liczenia pH, czyli stężenia jonów wodorowych w roztworze. Warto przypomnieć, że $$pH + pOH = 14$$, ale $$[H^{+}] + [OH^{-}] = 10^{-14}$$, ponieważ $$pH = log_{10}$$ $$[H^{+}]$$.

3) Kiedyś używano logarytmów do mnożenia dużych liczb. Wszystko opierało się o fakt, że logarytm z iloczynu to suma logarytmów, czyli zamieniamy iloczyn na sporo prostsze do przeprowadzenia dodawanie. Jeśli uczony chciał pomnożyć dwie liczby, po prostu znajdował w tablicach ich logarytmy, dodawał je, a później znowu dzięki tablicom zamieniał wynik z logarytmu na wartość. Dlaczego po prostu nie zapisano wyniku mnożenia w tablicach? Cóż, tabliczka mnożenia liczb do miliona zajmuje $$10^12$$ komórek, a tablice logarytmiczne: jedynie $$10^5$$. Mówiąc obrazowo: jeśli tablica logarytmów zajmowała książkę, to tablica mnożenia zajmowałaby przestrzeń pięciu bibliotek aleksandryjskich.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest romb ABCD...

Wyznaczymy równanie prostej zawierającej przekątną AC przechodzącą przez punkt S:

 

 

 

 

 

zatem

 

 

 

 

 

Wyznaczymy teraz równanie przekątnej BD, przechodzącej przez punkt S. Prosta ta będzie prostopadła do prostej zawierającej przekątną AC, zatem współczynnik kierunkowy wynosi:

 

  

 

  

Podstawmy współrzędne punktu S:

 

 

 

 

 

Punkt B jest punktem przecięcia się prostej BD oraz prostej y=3x-3.

 

Stąd:

  

 

 

czyli

  

 

 

Obliczmy długości przekątnych AC i BD:

 

 

 

 

 

Pole rombu:

 

Odpowiedź C

Na rysunku przedstawiono wykres ...

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

Oblicz odległość środka odcinka AB od początku

Obliczamy najpierw współrzędne środka odcinka AB a poźniej jego odległość od początku układu współrzędnych.Początek układu współrzędnych to punkt o współrzędnych (0,0).

a)

 

b)

 

c)

Oblicz odległość punktu P od początku ...

Odległość między punktami  i  obliczamy ze wzoru

.

 

    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .  {premium}


     

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .


    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .


    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny rozwiązaniami równania są liczby:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny jedynym rozwiązaniem równania jest liczba 3.

Na ile sposobów

Na stanowisko przewodniczącego może zostać wybrana jedna z dziesięciu osób. 

Na stanowisko wiceprzewodniczącego może zostać wybrana jedna z dziewięciu pozostałych osób. 

Na stanowisko sekretarza może zostać wybrana jedna z ośmiu pozostałych osób. 

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

 

 

Rozwiąż równania:

 

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Zauważmy, że  zatem:

   

  

Stąd:

 trójmian  nie ma pierwiastków, bo  

Czyli:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby  

 

          

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy następującą postać  

 

 

Stąd:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby    

 

      

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Po przekształceniach otrzymujemy następującą postać  

 

 

Stąd:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby   

 

    

Równanie ma postać  gdzie 

   

  

Zastosujemy podstawienie     

Otrzymujemy wówczas:

 

 

 

Zakładaliśmy, że   więc pierwsze rozwiązanie odrzucamy. Zostaje nam:

 

Przenieśmy  na lewą stronę równania. Otrzymujemy:

 

Równanie ma postać  gdzie 

 

Zapiszmy ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia:

 

Mamy:

    

Stąd:

 

Wszystkie powyższe przekształcenia były równoważne, zatem rozwiązaniem równania  są liczby  i      

W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AC...

Rysunek poglądowy:

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

Wskaż wzór funkcji, której wykres ...

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:

 ,

gdzie   i   są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

 

Współrzędne wierzchołka odczytujemy z wykresu funkcji

 

i podstawiamy podane wartości do wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

 .

Doprowadzamy powyższy wzór funkcji do postaci ogólnej{premium}

(korzystamy przy tym ze wzoru skróconego mnożenia)

 .

 

Podstawiając współrzędne punktu należącego do wykresu tej paraboli do wzoru funkcji,

wyznaczymy wartość współczynnika  . Weźmy np. punkt  

 

 

 

 

 

 

 

Wzór funkcji przedstawionej na wykresie:

 

 

Odpowiedź: B

W ciągu arytmetycznym...

 

 

 

Dodając stronami otrzymujemy:

 

 

 

 

Odp. D