Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Zastosowania praktyczne logarytmów

Funkcja logarytmiczna wydaje się na pierwszy rzut oka dość abstrakcyjną i nieintuicyjną. Powstaje pytanie: czy ma ona w ogóle jakieś rzeczywiste zastosowanie?

Odpowiedź brzmi: oczywiście że tak :). Przykładowe zastosowania:

1) Skala natężenia dźwięku korzysta z Belli, czyli jednostki logarytmicznej. Dokładny wzór to $log_{10}$ ${I}/{I_0}$, gdzie I to moc, którą mierzymy, a $I_0$ to moc bazowa, czyli granica słyszalności ludzkiego ucha. Tak naprawdę jeśli chcemy wyrazić absolutną ciszę, to jest ona równa minus nieskończoności Belli.

2) W chemii stosuje się logarytmy przy okazji liczenia pH, czyli stężenia jonów wodorowych w roztworze. Warto przypomnieć, że $pH + pOH = 14$, ale $[H^{+}] + [OH^{-}] = 10^{-14}$, ponieważ $pH = log_{10}$ $[H^{+}]$.

3) Kiedyś używano logarytmów do mnożenia dużych liczb. Wszystko opierało się o fakt, że logarytm z iloczynu to suma logarytmów, czyli zamieniamy iloczyn na sporo prostsze do przeprowadzenia dodawanie. Jeśli uczony chciał pomnożyć dwie liczby, po prostu znajdował w tablicach ich logarytmy, dodawał je, a później znowu dzięki tablicom zamieniał wynik z logarytmu na wartość. Dlaczego po prostu nie zapisano wyniku mnożenia w tablicach? Cóż, tabliczka mnożenia liczb do miliona zajmuje $10^12$ komórek, a tablice logarytmiczne: jedynie $10^5$. Mówiąc obrazowo: jeśli tablica logarytmów zajmowała książkę, to tablica mnożenia zajmowałaby przestrzeń pięciu bibliotek aleksandryjskich.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z wycinka koła o promieniu r zrobiono ...

Z wycinka koła o promieniu r zrobiono powierzchnię boczną walca. Wiemy, że wycinek koła stanowi czwartą część koła, zatem obliczmy pole powierzchni tego wycinka.

 

Jest to pole powierzchni bocznej otrzymanego stożka.   {premium}

Rysunek pomocniczy:

Korzystając ze wzoru na pole boczne tego stożka otrzymujemy:

 

Zatem:

 

 

 

Z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Obliczmy kąt rozwarcia stożka.

Korzystamy ze wzoru:

 

Zatem mamy: 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Kąt rozwarcia stożka to ok. 58o.

 

Obliczmy objętość tego stożka.

 

 

 

 

Podaj rozwiązania nierówności ...

 

 

    {premium}

podglad pliku

 

 

 


 

 

 

podglad pliku

 

 


 

 

 

podglad pliku

 

 


 

 

 

podglad pliku

 

 

Oblicz cosinus kąta leżącego ...

a)

 

 

 

 

 

Największy kąt ma miarę 82o, zatem jest to trójkąt ostrokątny.


b)

 

 

 

 

 

Jest to trójkąt prostokątny.


c)

 

 

 

 

 

Największy kąt jest kątem rozwartym, zatem jest to trójkąt rozwartokątny.


d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Największy kąt jest kątem rozwartym, zatem jest to trójkąt rozwartokątny.

Sinus...

Wiemy, że α jest kątem ostrym, dla którego 

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej"

dostajemy {premium}

więc

 

Odp. B.       

Wyznacz wszystkie wartości parametru ...

 

Równanie ma dwa różne rozwiązania, gdy: {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Spełniony jest warunek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uwzględniając wcześniejsze założenie otrzymujemy:

 

Przeczytaj podany w ramce przykład...

 

 {premium}

 

 

 

Równość w(x)+v(x)=5x3+3 zachodzi dla każdego ∈ R, gdy powyższa równość zachodzi dla każdego x ∈ R. Jest tak, gdy wielomian po lewej stronie równania jest wielomianem zerowym, czyli, gdy współczynniki przy wszystkich potęgach zmiennej x są równe 0. Stąd:

 

Dodajemy pierwsze i trzecie równanie stronami.

 

 

 

Podstawiamy p=3 do pozostałych równań w układzie i wyznaczamy q.

 

 

 

 

W trójkącie...

Oznaczmy przez x długość najkrótszego boku w tym trójkącie. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy {premium}

 

więc

Zatem obwód tego trójkąta jest równy

 

 

Odp. D.     

Oblicz wysokość drzewa.

 

Rysunek pomocniczy:

            {premium}

Zatem mamy:

 

 

 

oraz

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Rysunek pomocniczy:

Zatem mamy:

 

 

 

oraz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zbadaj monotoniczność ciągu...

Zauważmy, że:

   {premium}

 

zatem jeśli ciąg ten jest monotoniczny to musi być to ciąg rosnący.

 

Sprawdźmy czy poniższa nierówność jest spełniona:

 

 

 

 

 

 

 

Ta nierówność jest spełniona dla każdej liczby naturalnej n, zatem ciąg an jest rosnący

Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej...

Funkcja f(x)=ax2+bx+c ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych:

 gdzie  


 

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

 

Obliczamy wyróżnik Δ:

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:{premium}

 

 

Otrzymujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W(2, 3).

Podajemy wzór funkcji w postaci kanonicznej:

 

Wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g(x)=x2 o 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w górę.


 

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

 

Obliczamy wyróżnik Δ:

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Otrzymujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W(-2, -4).

Podajemy wzór funkcji w postaci kanonicznej:

 

Wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g(x)=x2 o 2 jednostki w lewo i 4 jednostki w górę.


 

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

 

Obliczamy wyróżnik Δ:

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

  

 

Otrzymujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych  

Podajemy wzór funkcji w postaci kanonicznej:

 

Wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g(x)=x2 o 1/4 jednostki w lewo.