Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Zastosowania praktyczne logarytmów

Funkcja logarytmiczna wydaje się na pierwszy rzut oka dość abstrakcyjną i nieintuicyjną. Powstaje pytanie: czy ma ona w ogóle jakieś rzeczywiste zastosowanie?

Odpowiedź brzmi: oczywiście że tak :). Przykładowe zastosowania:

1) Skala natężenia dźwięku korzysta z Belli, czyli jednostki logarytmicznej. Dokładny wzór to $log_{10}$ ${I}/{I_0}$, gdzie I to moc, którą mierzymy, a $I_0$ to moc bazowa, czyli granica słyszalności ludzkiego ucha. Tak naprawdę jeśli chcemy wyrazić absolutną ciszę, to jest ona równa minus nieskończoności Belli.

2) W chemii stosuje się logarytmy przy okazji liczenia pH, czyli stężenia jonów wodorowych w roztworze. Warto przypomnieć, że $pH + pOH = 14$, ale $[H^{+}] + [OH^{-}] = 10^{-14}$, ponieważ $pH = log_{10}$ $[H^{+}]$.

3) Kiedyś używano logarytmów do mnożenia dużych liczb. Wszystko opierało się o fakt, że logarytm z iloczynu to suma logarytmów, czyli zamieniamy iloczyn na sporo prostsze do przeprowadzenia dodawanie. Jeśli uczony chciał pomnożyć dwie liczby, po prostu znajdował w tablicach ich logarytmy, dodawał je, a później znowu dzięki tablicom zamieniał wynik z logarytmu na wartość. Dlaczego po prostu nie zapisano wyniku mnożenia w tablicach? Cóż, tabliczka mnożenia liczb do miliona zajmuje $10^12$ komórek, a tablice logarytmiczne: jedynie $10^5$. Mówiąc obrazowo: jeśli tablica logarytmów zajmowała książkę, to tablica mnożenia zajmowałaby przestrzeń pięciu bibliotek aleksandryjskich.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Usuń niewymierność z mianownika

W każdym przykładzie po usunięciu niewymierności szacujemy wartość liczby, aby sprawdzić, czy należy ona do przedziału (0; 4). 


 

{premium}


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 

 

Czy istnieje funkcja liniowa malejąca...

Istnieje taka funkcja, {premium} ponieważ wszystkie funkcje liniowe przechodzące jednocześnie przez podane ćwiartki są malejące.

Dany jest wielomian

 

Szukamy pierwiastków wielomianu w:

{premium}

Czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków (bo delta jest ujemna). Jedynym pierwiastkiem jest x=7.

 

 

Jest to liczba całkowita.  

       

Podstawą graniastosłupa

Przekątną graniastosłupa zaznaczono przerywaną linią.

Obliczmy, jaką długość ma przekątna prostopadłościanu o wymiarach 3 cm x 4 cm x 5 cm. 

   

Sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przeciwprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. 

{premium}

 

 

  

 

 

 

 

 

Punkt C jest wspólnym wierzchołkiem kwadratów ABCD ...

{premium}

  

 

    

 

Zauważmy, że trójkąty REC i  GCT są podobne z cechy KKK. (Oba trójkąty mają kąt prosty i kąt β, czyli trzeci kąt mają również tej samej miary.

Przeciwpostokątne wspomnianych trójkątów są równe a. Trójkąty REC i GTC są przystające.

Z przystawania trojkątów REC i GTC wynika że:

 

 

 

Z faktu, iż kwadrat ma boki równej dugości otrzymujemy, że: 

 

 

Wyznacz współczynniki wielomianu W(x) tak, aby...

 

 {premium}

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

Wykresy funkcji f(x)=x^2+c przedstawiają ...

Wykres funkcji  otrzymujemy po przesunięciu wykresu funkcji  o wektor .

 

Wykresy funkcji  powstały w wyniku przesunięcia wykresu funkcji  wzdłuż osi .

 

Podstawiając za  liczbę  otrzymamy wykres

Jest to wykres funkcji  przesunięty o  jednostkę w dół, czyli wektor 

 Thumb 2.6

Po podstawieniu liczby  otrzymamy , czyli wykres przesunięty o wektor .

Thumb 2.6.

Dla  mamy wykres przesunięty o wektor

Thumb 2.6.. 

I ostatni przykład, dla :  .

Thumb 2.6...


  Przypomnijmy, że wierzchołek paraboli danej wzorem  ma współrzędne .

 

Aby wierzchołek paraboli leżał na prostej , jego druga współrzędna musi być równa , zatem

W przypadku funkcji , to  jest równe .

Podstawiając do podanego wzoru  otrzymamy wykres funkcji  ,

której wierzchołek ma współrzędne  zatem znajduje się na prostej .

           Thumb 2.6a


  Aby wyznaczyć , wystarczy {premium}współrzędne punktu  podstawić do wzoru ,  

ponieważ punkt ten ma należeć do wykresu tej funkcji.

 

 

 

Dla   mamy wykres  powstały przez przesunięcie wykresu  

o wektor .

  Thumb 2.6b


  Miejsca zerowe to punkty, dla których wartość funkcji jest równa .

Jeżeli miejscami zerowymi mają być punkty liczby   i  , to wykres musi przechodzić przez punkty 

  i  .

Postępujemy jak w przykładzie 

1)   

2)   

Thumb 2.6c

W jakim stosunku wagowym należy zmieszać

{premium}

 

 

Zapiszmy masę cukru w tych syropach: 

Miejscem...

Dana jest funkcja określona wzorem

Żeby obliczyć miejsce zerowe tej funkcji rozwiążemy równanie{premium}

 

Odp. C.    

Ustal monotoniczność funkcji.

a) Podstawa logarytmu jest liczbą większą od 1 zatem funkcja jest rosnąca. Dziedzina:

 

{premium}  

 

b) Podstawa logarytmu jest liczbą mniejszą od 1 zatem funkcja jest malejąca. Dziedzina:

 

 

 

 

c) Podstawa logarytmu jest liczbą większą od 1 zatem funkcja jest rosnąca. Dziedzina: