Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Zastosowania praktyczne logarytmów

Funkcja logarytmiczna wydaje się na pierwszy rzut oka dość abstrakcyjną i nieintuicyjną. Powstaje pytanie: czy ma ona w ogóle jakieś rzeczywiste zastosowanie?

Odpowiedź brzmi: oczywiście że tak :). Przykładowe zastosowania:

1) Skala natężenia dźwięku korzysta z Belli, czyli jednostki logarytmicznej. Dokładny wzór to $$log_{10}$$ $${I}/{I_0}$$, gdzie I to moc, którą mierzymy, a $$I_0$$ to moc bazowa, czyli granica słyszalności ludzkiego ucha. Tak naprawdę jeśli chcemy wyrazić absolutną ciszę, to jest ona równa minus nieskończoności Belli.

2) W chemii stosuje się logarytmy przy okazji liczenia pH, czyli stężenia jonów wodorowych w roztworze. Warto przypomnieć, że $$pH + pOH = 14$$, ale $$[H^{+}] + [OH^{-}] = 10^{-14}$$, ponieważ $$pH = log_{10}$$ $$[H^{+}]$$.

3) Kiedyś używano logarytmów do mnożenia dużych liczb. Wszystko opierało się o fakt, że logarytm z iloczynu to suma logarytmów, czyli zamieniamy iloczyn na sporo prostsze do przeprowadzenia dodawanie. Jeśli uczony chciał pomnożyć dwie liczby, po prostu znajdował w tablicach ich logarytmy, dodawał je, a później znowu dzięki tablicom zamieniał wynik z logarytmu na wartość. Dlaczego po prostu nie zapisano wyniku mnożenia w tablicach? Cóż, tabliczka mnożenia liczb do miliona zajmuje $$10^12$$ komórek, a tablice logarytmiczne: jedynie $$10^5$$. Mówiąc obrazowo: jeśli tablica logarytmów zajmowała książkę, to tablica mnożenia zajmowałaby przestrzeń pięciu bibliotek aleksandryjskich.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wielomian h(x)=3f(x)-4g(x)

`a)\ h(x)=3(-2x^6+4x^3-8x+5)-4(x^6-2x^4+3x^3-6x+2)=` 

`\ \ \ =ul(-6x^6)+ul(ul(12x^3))-ul(ul(ul(24x)))+ul(ul(ul(ul(15))))-ul(4x^6)+8x^4-ul(ul(12x^3))+ul(ul(ul(24x)))-ul(ul(ul(ul(8))))=` 

`\ \ \ =-10x^6+8x^4+7` 

 

`\ \ \ h(-1)=-10*(-1)^6+8*(-1)^4+7=-10*1+8*1+7=-10+8+7=5` 

 

 

`b)\ h(x)=3(2x^5-6x^4-x^2+4x)-4(1,5x^5-x^4+3x^2+3x-1)=` 

`\ \ \ =ul(6x^5)-ul(ul(18x^4))-ul(ul(ul(3x^2)))+ul(ul(ul(ul(12x))))-ul(6x^5)+ul(ul(4x^4))-ul(ul(ul(12x^2)))-ul(ul(ul(ul(12x))))+4=` 

`\ \ \ =-14x^4-15x^2+4` 

 

`\ \ \ h(-1)=-14*(-1)^4-15*(-1)^2+4=` `-14*1-15*1+4=-29+4=-25` 

Wyznacz wartość parametru a

`a)` 

`u(x)=(x-a)^2=x^2-2ax+a^2` 

`w(x)=x^2+a^2x+4` 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach. Porównajmy więc:

`x^2:\ \ \ 1=1` 

`x^1:\ \ \ -2a=a^2` 

`x^0:\ \ \ a^2=4` 

 

Musimy więc rozwiązać układ równań:

`{(-2a=a^2\ \ \ |+2a), (a^2=4):}` 

`{(0=a^2+2a), (a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2):}` 

`{(a(a+2)=0), (a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2):}` 

`{(a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a+2=0), (a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2):}` 

`{(a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2), (a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2):}`

 

Istnieje tylko jedna wartość a spełniająca obie równości:

`ul(ul(a=-2))` 

 

 

`b)` 

`u(x)=(x-1)(x-a)^2=(x-1)(x^2-2ax+a^2)=x^3-2ax^2+a^2x-x^2+2ax-a^2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2a-1)x^2+(a^2+2a)x-a^2` 

`w(x)=x^3-3x^2+(a^3+2)x-a` 

 

`x^3:\ \ \ 1=1` 

`x^2:\ \ \ -2a-1=-3` 

`x^1:\ \ \ a^2+2a=a^3+2` 

`x^0:\ \ \ -a^2=-a` 

 

 

Wyliczmy wartość a z drugiego równania:

`-2a-1=-3\ \ \ |+1` 

`-2a=-2\ \ \ |:(-2)` 

`a=1` 

 

I sprawdźmy, czy spełnia ona pozostałe dwa równania:

`1^2+2*1#=^?1^3+2` 

`1+2#=^?1+2` 

Trzecie równanie jest spełnione.

 

`-1^2#=^?-1` 

`-1#=^?-1` 

Czwarte równanie jest spełnione. 

 

 

Mamy więc rozwiązanie:

`ul(ul(a=1))` 

 

 

 

`c)` 

`u(x)=(ax+1)^3=(ax)^3+3(ax)^2*1+3ax*1^2+1^3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =a^3x^3+3a^2x^2+3ax+1` 

`w(x)=4ax^3+(a^2+4a)x^2+3ax+1` 

 

`x^3:\ \ \ a^3=4a` 

`x^2:\ \ \ 3a^2=a^2+4a` 

`x^1:\ \ \ 3a=3a` 

`x^0:\ \ \ 1=1` 

 

Ostatnie dwa równania są zawsze spełnione. Rozwiążmy układ utworzony z dwóch pierwszych równań:

`{(a^3=4a\ \ \ |-4a), (3a^2=a^2+4a\ \ \ \ \|-a^2-4a):}` 

`{(a^3-4a=0) , (2a^2-4a=0\ \ \ |:2):}` 

`{(a(a^2-4)=0), (a^2-2a=0):}` 

`{(a(a-2)(a+2)=0) , (a(a-2)=0):}` 

`{(a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2), (a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a=2):}` 

 

Istnieją dwie wartości parametru u spełniające ten układ:

`ul(ul(a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a=2))` 

 

Funkcja y=p(m) określa liczbę rozwiązań ...

`y=p(m)` 

`|(2-3x)/(x+1)|=2m-1` 

 

`"I".\ m=3` 

`|(2-3x)/(x+1)|=5` 

`(2-3x)/(x+1)=5\ \ \vv\ \ \(2-3x)/(x+1)=-5` 

`2-3x=5x+5\ \ \vv\ \ \2-3x=-5x-5` 

`8x=-3\ \ \ \vv\ \ \ \2x=7` 

`x=-3/8\ \ \ vv\ \ \x=7/2` 

`ul(p(3)=2` 

 

`"II".\ m=0` 

`|(2-3x)/(x+1)|=-1` 

Wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych.

Brak rozwiązań.

`ul(p(0)=0`  

 

`p(m)=1` 

`f(x)=|(2-3x)/(x+1)|=|(-3(x+1)+5)/(x+1)|=|5/(x+1)-3|`  

Narysujmy funkcję f.

`f(x)=|5/(x+1)-3|` 

`f(x)=2m-1` 

`2m-1=0\ \ \vv \ \ \2m-1=3` 

`m=1/2 \ \ \vv\ \ \m=2` 

`ul(m in {1/2;2}` 
ℝ,ℂ,

Oblicz...

a) rysunek poglądowy:

Zastosujmy twierdzenie pitagorasa dla trójkąta BCF:

`8^2 + 4^2 = c^2`

`64 + 16 = c^2`

`c^2 = 80 `

`c = sqrt80`

`c = sqrt(16*5)`

`c = 4 sqrt5`

 

Obwód trapezu wynosi:

`16 + 4 sqrt 5 + 24 + 4 sqrt5 = (40 + 8 sqrt5) \ [cm]`

 

 

b) rysunek poglądowy:

Przekątne w rombie połowią się i przecinają pod kątem prostym.

Zastosujmy twierdzenie pitagorasa dla trójkąta CGD:

`12^2 + 5^2 = |CD|^2`

`144 + 25 = |CD|^2`

`|CD|^2 = 169`

`|CD|=13 \ [cm]`

 

Obwód rombu to czterokrotność długości jego boku:

`4*|CD|=4*13 = 52 \ [cm]`  

Na rysunku...

a) Skala k=2 czyli odległość każdego odcinka musi zwiększyć dwukrotnie, rysunek:

 

b) Skala k=-2 czyli odległość każdego odcinka musimy zwiększyć dwukrotnie i zaznaczyć ją po drugiej stronie punktu O:

Dany jest pierwszy wyraz i różnica ciągu arytmetycznego

`a)\ {(a_1=-3), (a_n=a_(n-1)+4\ \ \ \ \ \ n>1):}` 

 

`\ \ \ a_n=-3+(n-1)*4=` `-3+4n-4=4n-7` 

 

 

`b)\ {(a_1=3), (a_n=a_(n-1)-2\ \ \ \ \ \ \ n>1):}` 

 

`\ \ \ a_n=3+(n-1)*(-2)=` `3-2n+2=-2n+5` 

 

Rodzice w dniu narodzin córki założyli...

Oznaczmy wpłacony kapitał przez k, wtedy:

`50000 = k*(1,06)^20` 

`50000 = k*3,207135` 

`k_6 = 15590,24 \ ["zł"]` 

 

Gdybyśmy obniżyli stopę procentową do 5% to:

`k^' = k(1,06)^10` 

`k^' = k *1,790848` 

`k^' = 1,790848k` 

 

`50000 = k^' *(1,05)^10` 

`50000 = 1,790848k*1,6288946k` 

`k=17140,30 \ ["zł"]` 

 

Rodzice musieliby zwiększyć kapitał o:

`k_5 - k_6 = 17140,30 - 15590,24 = 1550,06 \ ["zł"]` 

Oblicz

`a)\ 2^-2/3^-3*(4/9)^2=2^-2/3^-3*((2/3)^2)^2=2^-2/3^-3*(2/3)^4=2^-2/3^-3*2^4/3^4=2^2/3^2=4/3=1 1/3`

`b)\ ((2/3)^-2)^-2=(2/3)^(-2*(-2))=(2/3)^4=16/81`

`c)\ (6^0+0^6)/(6^-1)+(4^6-16^3)=(1+0)/(1/6)+(4^6-(4^2)^3)=1/(1/6)+(4^6-4^6)=1:1/6+0=1*6/1=6`

`d)\ ((1/3)^4*(2/3)^-5):6^-2=(1^4/3^4*(3/2)^5):1/6^2=(1/3^4*3^5/2^5)*6^2=3/2^5*6^2=3/strike32^8*strike36^9=27/8=3 3/8`

`e)\ (0,5*8^6-2*16^4):7^3=(1/2*(2^3)^6-2*(2^4)^4):7^3=(2^-1*2^18-2*2^16):7^3=(2^17-2^17):7^3=0:7^3=0`

`f)\ ((5/2)^3:(2/5)^2)*(5/2)^-4=((5/2)^3*(5/2)^2)*(5/2)^-4=(5/2)^5*(5/2)^-4=(5/2)^1=5/2=2 1/2`

Oblicz

`a)\ root(4)16+root(4)81+root(4)256+root(4)625=2+3+4+5=14`

`b)\ root(4)2*root(4)8-root(4)27*root(4)3+root(4)(10\ 000)=root(4)16-root(4)81+10=2-3+10=9`

`c)\ root(6)4*root(6)16-root(6)1000/root(6)(0,001)-root(5)32=root(6)64-root(6)(1000/(0,001))-2=2-root(6)(1000000/1)-2=2-10-2=-10`

`d)\ root(8)8*root(8)32-root(10)1024+root(5)1024=root(8)256-2+4=2-2+4=4`

`e)\ 2root(4)(81/16)-3root(4)(256/625)=strike2^1*3/strike2^1-3*4/5=3-12/5=3-2 2/5=3/5`

`f)\ 6root(4)(0,0625)-3root(4)(0,0081)=6*0,5-3*0,3=3-0,9=2,1`

`g)\ root(6)64-root(6)(1/64)-root(3)(1/64)=2-1/2-1/4=1 1/2-1/4=1 2/4-1/4=1 1/4`

`h)\ root(6)(1\ 000\ 000)+root(8)256=10+2=12`

   

Wyznacz wskazany wyraz...

a)

`a_1=5, r=-2` 

`a_15=a_1+14r` 

`a_15=5+14*(-2)` 

`a_5=5-28` 

`a_5=-23` 


b)

`b_1=-2, r=-3` 

`b_11=b_1+10r` 

`b_11=-2+10*(-3)` 

`b_11=-2-30` 

`b_11=-32` 


c)

`c_1=-3x, r=4x` 

`c_45=c_1+44r` 

`c_45=-3x+44*4x` 

`c_45=-3x+176x` 

`c_45=173x` 


d) 

`d_1=-6y, r=3y` 

`d_n=d_1+(n-1)*r` 

`d_n=-6y+(n-1)*3y` 

`d_n=-6y+3y*n-3y` 

`d_n=-9y+3y*n`