Zastosowania logarytmów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Zastosowania praktyczne logarytmów

Funkcja logarytmiczna wydaje się na pierwszy rzut oka dość abstrakcyjną i nieintuicyjną. Powstaje pytanie: czy ma ona w ogóle jakieś rzeczywiste zastosowanie?

Odpowiedź brzmi: oczywiście że tak :). Przykładowe zastosowania:

1) Skala natężenia dźwięku korzysta z Belli, czyli jednostki logarytmicznej. Dokładny wzór to $$log_{10}$$ $${I}/{I_0}$$, gdzie I to moc, którą mierzymy, a $$I_0$$ to moc bazowa, czyli granica słyszalności ludzkiego ucha. Tak naprawdę jeśli chcemy wyrazić absolutną ciszę, to jest ona równa minus nieskończoności Belli.

2) W chemii stosuje się logarytmy przy okazji liczenia pH, czyli stężenia jonów wodorowych w roztworze. Warto przypomnieć, że $$pH + pOH = 14$$, ale $$[H^{+}] + [OH^{-}] = 10^{-14}$$, ponieważ $$pH = log_{10}$$ $$[H^{+}]$$.

3) Kiedyś używano logarytmów do mnożenia dużych liczb. Wszystko opierało się o fakt, że logarytm z iloczynu to suma logarytmów, czyli zamieniamy iloczyn na sporo prostsze do przeprowadzenia dodawanie. Jeśli uczony chciał pomnożyć dwie liczby, po prostu znajdował w tablicach ich logarytmy, dodawał je, a później znowu dzięki tablicom zamieniał wynik z logarytmu na wartość. Dlaczego po prostu nie zapisano wyniku mnożenia w tablicach? Cóż, tabliczka mnożenia liczb do miliona zajmuje $$10^12$$ komórek, a tablice logarytmiczne: jedynie $$10^5$$. Mówiąc obrazowo: jeśli tablica logarytmów zajmowała książkę, to tablica mnożenia zajmowałaby przestrzeń pięciu bibliotek aleksandryjskich.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

`a) \ (1+cos2x)/sinx = (sin2x)/(cos2x-1)` 

Założenia:

`sin x ne 0 \ \ ^^ \ \ cos2x - 1 ne 0` 

`x ne kpi \ \ ^^ \ \ cos 2x ne 1` 

`x ne kpi \ \ ^^ \ \ 2x ne 2kpi` 

`x ne kpi \ \ ^^ \ \ x ne kpi` 

`x ne kpi` 

 

 

`(sin^2x + cos^2x + cos^2x - sin^2x)/sinx = (sin2x)/(cos^2x - sin^2x - sin^2x - cos^2x)` 

`(2cos^2x)/sinx = (sin2x)/(-2sin^2x)` 

`-4sin^2x cos^2x = sinx sin2x` 

`-(2sinxcosx)^2 - sinxsin2x=0` 

`-(sin2x)^2 - sinx sin 2x=0` 

`-sin2x[sin2x + sinx]=0` 

`sin 2x[2sinxcosx+sinx]=0` 

`sin2x sinx (2cosx + 1)=0` 

`sin 2x =0 \ \ vv \ \ sin x = 0 \ \ vv \ \ cos x = -1/2` 

`2x = kpi \ \ vv \ \ x = kpi \ \ vv \ \ x =  -(2pi)/3+ 2kpi \ \ vv \ \ x = (2pi)/3 + 2kpi` 

`x_1 = (kpi)/2 \ \ vv \ \ x_2 = kpi \ \ vv \ \ x_3 = -(2pi)/3 + 2kpi \ \ vv \ \ x_4 = (2pi)/3 + 2kpi` 

Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy:

`x_1^' = pi/2 + kpi \ \ vv \ \ x_2^' = -(2pi)/3 + 2kpi \ \ vv \ \ x_3^' = (2pi)/3 + 2kpi \ \ \ k in C` 

 

`b) \ (sin^2 3x)/(sin^2 x) - (cos^2 3x)/(cos^2x) = 4` 

Założenia:

`sin^2 x ne 0 \ \ ^^ \ \ cos^2x ne 0`  

`x ne kpi \ \ ^^ \ \ x ne pi/2 + kpi` 

 

Przekształćmy kwadraty potrojonych kątów funkcji sinus i cosinus:

`sin^2 3x = (sin3x)^2 = (sin(x+2x))^2 = (sinxcos2x + cosx sin2x)^2 = (sinx cos2x + cosx *2sinxcosx)^2 =` 

`=(sinx (cos2x + 2cos^2x))^2 = (sinx (cos^2x - sin^2x + 2cos^2x))^2 = (sinx(cos^2x - sin^2x + cos^2x + cos^2x))^2=` 

`=(sinx(cos^2x - sin^2x + cos^2x + 1 - sin^2x))^2 = (sinx(cos2x + cos2x + 1))^2 = sin^2x (2cos2x +1)^2` 

 

`cos^2 3x = (cos3x)^2 = (cos(x+2x))^2 = (cosx cos2x - sin x sin2x)^2 = (cosx cos2x - sinx *2sinxcosx)^2=` 

`=(cosx cos2x - 2sin^2x cosx)^2 = (cosx(cos2x - 2sin^2x))^2 = (cosx(cos^2x - sin^2x - sin^2x - sin^2x))^2=` 

`=(cosx(cos^2x - sin^2x -(1-cos^2x) - sin^2x))^2 = (cosx(cos^2x - sin^2x + cos^2x - sin^2x -1))^2 =` 

`=(cosx (cos2x + cos2x -1 ))^2 = cos^2x (2cos2x -1)^2` 

 

a więc nasze równanie ma postać:

`(sin^2x(2cos2x +1)^2)/sin^2x - (cos^2x (2cos2x-1)^2)/cos^2x = 4` 

`(2cos2x+1)^2 - (2cos2x-1)^2 = 4` 

`(2cos2x+1-(2cos2x-1))(2cos2x+1+2cos2x-1)=4` 

`(2cos2x + 1 - 2cos2x+1)*4cos2x=4` 

`2*4cos2x = 4` 

`cos2x = 1/2` 

`2x = -pi/3 + 2kpi \ \ vv \ \ 2x = pi/3 + 2kpi` 

`x = -pi/6  + kpi \ \ vv \ \ x = pi/6 + kpi \ \ \ k in C` 

 

`c) \ (tg \ 2x - cosx)/cosx = 2 sinx` 

Założenia:

`cos x ne 0` 

`x ne pi/2 + kpi` 

 

`(tg \ 2x)/cosx - 1 = 2 sin x` 

`(sin2x)/(cos2x)*1/cosx - 1 = 2 sin x` 

Założenia:

`cos 2x ne 0` 

`2x ne pi/2 + kpi` 

`x ne pi/4 + (kpi)/2` 

 

`(2sinx strike(cosx))/(cos^2x - sin^2x) *1/(strike(cosx)) - 1 = 2 sin x` 

`(2sinx)/(1-2sin^2x) - 1 = 2 sinx`  

 

Podstawienie pomocnicze:

`t = sin x` 

`t in [-1,1]` 

`(2t)/(1-2t^2) -1 = 2t` 

`2t -(1-2t^2) = 2t(1-2t^2)` 

`2t - 1 + 2t^2 = 2t - 4t^3` 

`4t^3 + 2t^2 - 1 =0` 

Możliwe pierwiastki wielomianu:

`{-1/4, -1/2, -1, 1, 1/2 , 1/4}`  

`w(-1/2)=4*(-1/2)^3 + 2*(-1/2)^2 - 1 =4*(-1/8) + 2*1/4 -1 = -1/2 + 1/2 -1` 

Zauważmy, że jeżeli wyrażenie podnoszone do trzeciej potęgi będzie bez minusa to otrzymamy wartość 0, zatem:

 

`4t^3 - 2t^2 + 4t^2 - 1 =0`  

`2t^2(2t-1) + (2t-1)(2t+1)=0` 

`(2t-1)(2t^2+2t+1)=0` 

Trójmian kwadratowy w nawiasie jest stale większy od 0 a więc:

`2t-1 =0` 

`t_0 = 1/2` 

`sin x = 1/2` 

`x_1 = pi/6 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = (5pi)/6 + 2kpi \ \ \ k in C` 

 

`d) \ (tg \ x + sin x)/(tg \ x - sin x) = 4 cos^2 (x/2)` 

Założenia:

`tg \ x - sin x ne 0` 

`sinx/cosx - sin x ne 0` 

`sinx - sinxcosx ne 0 \ \ ^^ \ \ cosx ne 0` 

`sinx(1-cosx) ne 0 \ \ ^^ \ \ cosx ne 0`

`sin x ne 0 \ \ ^^ \ \ cos x ne 1 \ \ ^^ \ \ cos x ne 0` 

`x ne kpi \ \ ^^ \ \ x ne 2kpi \ \ ^^ \ \ x ne pi/2 + kpi`  

A więc:

`x ne (kpi)/2` 

 

Wiemy, że:

`cos2x = cos^2x - sin^2x` 

Zauważmy, że:

`cos2x = cos^2x - sin^2x = cos^2x - (1-cos^2x) = cos^2x - 1 + cos^2x = 2cos^2x-1` 

A więc:

`cos2x = 2cos^2x - 1 \ \ \ |+1` 

`cos2x + 1 = 2cos^2x \ \ \ |:2` 

`(cos2x+1)/2 = cos^2x` 

 

czyli:

`cos^2 (x/2) = (cos(2*x/2)+1)/2` 

`cos^2 (x/2) = (cosx + 1)/2 \ \ \ |*4` 

`4 cos^2 (x/2) = 2cosx + 2` 

 

Przekształćmy jeszcze pomocniczo lewą stronę równania:

`(tg \ x + sinx)/(tg \ x- sinx) = (sinx/cosx + sinx)/(sinx/cosx - sinx) = ((sinx)/(cosx) + (sinxcosx)/(cosx))/((sinx)/(cosx) -(sinxcosx)/(cosx))=((sinx(1+cosx))/(cosx))/((sinx(1-cosx))/(cosx))=(sinx(1+cosx))/(cosx)*(cosx)/(sinx(1-cosx))=(1+cosx)/(1-cosx)` 

 

A więc nasze równanie ma postać:

`(1+cosx)/(1-cosx) = 2cosx+2` 

`1+cosx = 2(cosx+1)(1-cosx)` 

`1+cosx = -2(cosx+1)(cosx-1)` 

`1+cosx = -2(cos^2x -1)` 

`1 + cosx = -2cos^2x + 2` 

`2cos^2x + cosx -1=0` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = cosx` 

`t in [-1,1]`  

 

`2t^2 + t - 1=0` 

`2t^2 - t + 2t - 1=0` 

`t(2t-1)+(2t-1)=0` 

`(2t-1)(t+1)=0` 

`t_1 = 1/2 \ \ vv \ \ t_2 = -1` 

`cos x = 1/2 \ \ vv \ \ cos x = -1` 

`x_1 = -pi/3 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/3 + 2kpi \ \ vv \ \ x_3 = pi + 2kpi` 

Po uwzględnieniu dziedziny pozostają nam :

`x_1 = -pi/3 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/3 + 2kpi` 

Uzasadnij, że przekątne deltoidu...

Niech `O` oznacza punkt przecięcia przekątnych.

Z definicji deltoidu, wiemy, że `|AB|=|AD|` 

Więc trójkąt `ABD` jest równoramienny.

`|/_ABD|=|/_ADB|=alpha` 

`|/_BAC|=|/_CAD|=1/2beta` 

 

Z trójkąta `ABD` wiemy, że `alpha+alpha+1/2beta+1/2beta=180^o` 

`2alpha+beta=180^o \ \ \ |:2` 

`alpha+1/2beta=90^o` 

 

Z trójkąta `BAO` wiemy, że `alpha+1/2beta+|/_BOA|=180^o` 

 `90^o +|/_BOA|=180^o` 

`|/_BOA|=90^o`  

Wobec tego przekątne przecinają się pod kątem prostym.


Oznaczmy sobie punkt przecięcia się przekątnych rombu jako S, a wierzchołki tego rombu jako A, B, C, D. Przekątne mają długość d1 i d2.

Pole trójkąta prostokątnego ABS:

`P_(ABS)= 1/2* 1/2d_1*1/2d_2=1/8d_1d_2`

Podobnie:

`P_(ADS)=1/2* 1/2d_1*1/2d_2=1/8d_1d_2`

`P_(CDS)=1/2* 1/2d_1*1/2d_2=1/8d_1d_2`

`P_(BCS)=1/2* 1/2d_1*1/2d_2=1/8d_1d_2`

 

Pole rombu to suma pól tych czterech identycznych trójkątów:

`P= 4*1/8d_1d_2=1/2d_1d_2`

Zaznacz na płaszczyźnie ...

`a)` 

`{(y-x<=0),(2x+y-7>=0):}` 

`{(y<=x),( y >=-2x+7):}` 

`A=(18;5)` 

`B=(24;2)`  

Zauważmy, że zaznaczony zbiór punktów (najciemnieszy odcień) spełniający układ równań jest zbiorem wypukłym.

Odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem zbioru, gdy jeden z punktów należy do wnętrza tego zbioru a drugi nie.

Zauważmy, że oba punkty należą do wnętrza zaznaczonego zbioru, 

zatem odcinek nie ma punktu wspólnego z brzegiem rozważanego zbioru.

 

`b)` 

`{(y<=1/3x+1),(x-3y<=9):}`   

`{(y<=1/3x+1),(y>=x/3-3):}` 

`{(y<=1/3x+1),(y>=x/3-3):}`  

`A=(18;5)` 

`{(5<=1/3*18+1),(5>=18/3-3):}` 

`{(5<=7),(5>=3):}`      

`B=(24;2)`  

`{(2<=1/3*24+1),(2>=24/3-3):}`  

`{(2<=9),(2>=5):}` 

Punkt A spełnia układ równań, (należy do ciemnego obszaru na rysunku, który jest zbiorem rozwiązań układu) natomiast

punkt B nie spełnia układu równań. (czyli nie leży w obrębie ciemnego obszaru)

Odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem zbioru, gdy jeden z punktów należy do wnętrza tego zbioru a drugi nie.

Rozważany odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem obszaru.

 

`c)` 

`{(x-4>=0),(x+2y>=6):}`     

`{(x >=4),( y>=-x/2+3):}`      

`A=(18;5)` 

`B=(24;2)`  

Zauważmy, że zaznaczony zbiór punktów (najciemnieszy odcień) spełniający układ równań jest zbiorem wypukłym.

Odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem zbioru, gdy jeden z punktów należy do wnętrza tego zbioru a drugi nie.

Zauważmy, że oba punkty należą do wnętrza zaznaczonego zbioru, 

zatem odcinek nie ma punktu wspólnego z brzegiem rozważanego zbioru.

Zaproponuj wzór na n-ty ...

`"a)"\ 1,\ 1/4,\ 1/9,\ 1/16,\ 1/25,\ ...\ \ ===>\ \ a_n=1/n^2` 

 

`"b)"\ 1/2,\ 1/4,\ 1/6,\ 1/8,\ 1/10,... \ \ ===>\ \ a_n=1/(2n)`  

Zauważmy, że mianowniki ułamków są kolejnymi liczbami parzystymi zaczynając od 2.

W miejsce n podstawiamy kolejne liczny naturalne (od 1), aby w mianowniku pierwszego ułamka było 2, musimy 1 pomnożyć przez 2.

Aby w mianowniku drugiego ułamka było 4, musimy kolejną liczbę naturalną, czyli 2 pomnożyć przez 2.

Stąd wzór w mianowniku to 2n.

 

`"c)"\ 1/2,\ 2/3,\ 3/4,\ 4/5,\ 5/6,\ ...\ \ \ ===>\ \ \ a_n=n/(n+1) ` 

Zauważmy, że licznik odpowiada numerowi wyrazu ciągu.

Pierwszy wyraz, więc w liczniku znajduje się 1. Drugi wyraz więc w liczniku jest 2. Trzeci wyraz 3, itd.

Mianownik jest natomiast liczbą o 1 większą. Pierwszy wyraz więc mianownik to 2. Drugi wyraz - mianownik 3 itd.

 

`"d)"\ -1/2,\ 1/4, -1/8,\ 1/16, -1/32,\ ...\ \ \ ===>\ \ \ a_n=(-1)^n*1/2^n`    

Zauważmy, że w mianownikach ułamków znajdują się kolejne potegi liczby 2.

W pierwszym ułamku 21=2, w drugim ułamku 22=4, w trzecim 23=8, itd.

Stąd w mianowniku pojawia się wzór 2n.

Wyrazy o nieparzystych numerach są ujemne, a o parzystych są dodatnie. Dlatego w wzorze pojawia się (-1)n.

Liczba -1 do potęgi nieparzystej jest liczbą ujemną (-1), a do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią (1).

 

`"e)"\ 1/2,-1/4,\ 1/8,- 1/16,\ 1/32,\ ...\ \ \ ===>\ \ \ a_n=(-1)^(n+1)*1/2^n`       

Zauważmy, że w mianownikach ułamków znajdują się kolejne potegi liczby 2.

W pierwszym ułamku 21=2, w drugim ułamku 22=4, w trzecim 23=8, itd.

Stąd w mianowniku pojawia się wzór 2n.

Wyrazy o parzystych numerach są ujemne, a o nieparzystych są dodatnie. Dlatego w wzorze pojawia się (-1)n+1.

Liczba -1 do potęgi nieparzystej jest liczbą ujemną (-1), a do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią (1).

 

`"d)"\ -1,\ 3,-5,\ 7,-9\ ...\ \ \ ===>\ \ \ a_n=(-1)^n*(2n-1)`     

Kolejne wyrazy są liczbami nieparzystymi, stąd mamy wzór 2n-1.

Wyrazy o nieparzystych numerach są ujemne, a o parzystych są dodatnie. Dlatego w wzorze pojawia się (-1)n.

Funkcja f(x)...

Zauważmy, że jeżeli:

`0 < a < 1` 

to

`a< 1 \ \ \ |:a`   

`1 < 1/a` 

 

Zatem podstawa funkcji f jest większa od 1, czyli funkcja jest rosnąca.

Odpowiedź B

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 5 ...

`10x+y-"pewna liczba dwucyfrowa "`  

 

`x+y=5` 

`(10x+y)*(10y+x)=736` 

 

 

 `x=5-y` 

`(10(5-y)+y)(10y+5-y)=736` 

`(50-9y)(5+9y)-736=0` 

`250+450y-45y-81y^2-736=0` 

`-81y^2+405y-486=0` 

`-9y^2+45y-54=0` 

`-y^2+5y-6=0` 

`Delta=25-24=1` 

`sqrt(Delta)=1` 

 

`y_1=(-5-1)/-2=3` 

`x_1=5-y_1=5-3=2` 

`10x+y=2*10+3=23` 

 

 

`y_2=(-5+1)/-2=2` 

`x_2=5-y_1=3` 

`10x+y=32` 

 

`"Szukana liczba to 32 lub 23."` 

 

Zapisz przedział, do którego należą

`a)` 

Możemy "iść" mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby 1 (1-2=-1) oraz mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby 1 (1+2=3). 

Szukany przedział:

`(-1;\ 3)` 

 

 

`b)` 

Możemy "iść" mniej niż 3 jednostki w lewo od liczby -1 (-1-3=-4) oraz mniej niż 3 jednostki w prawo od liczby -1 (-1+3=2). 

Szukany przedział:

`(-4;\ 2)` 

 

 

`c)` 

Możemy "iść" nie więcej niż 2 jednostki w lewo od liczby 3 (3-2=1) oraz nie więcej niż 2 jednostki w prawo od liczby 3 (3+2=5). 

Szukany przedział:

`<<1;\ 5>>` 

 

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych ...

`a)` 

`cos alpha=sin (90^@-alpha)=ul(sqrt3/2`  

`cos^2alpha+sin^2alpha=1` 

`sinalpha=sqrt(1-(sqrt3/2)^2)=sqrt(1/4)=ul(1/2`  

`tg alpha=sin alpha / cos alpha=(1/2)/(sqrt3)/2=1/sqrt3=ul(sqrt3/3` 

 

`b)` 

`cos alpha=sin (90^@-alpha)=5/13` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`sinalpha=sqrt(1-(5/13)^2)=sqrt(144/169)=12/13` 

`tg alpha=sin alpha/ cos alpha=(12/13)/(5/13)=12/5` 

 

`c)` 

`sin alpha=cos (90^2-alpha)=1/4` 

`cos^2alpha+sin^2alpha=1` 

`cos alpha=sqrt(1-(1/4)^2)=sqrt(15/16)=sqrt15/4` 

`tg alpha=sin alpha/cos alpha=(1/4)/(sqrt15/4)=1/sqrt15=sqrt15/15` 

 

`d)` 

`sin alpha=cos(90^@-alpha)=sqrt3/3` 

`cos^2alpha+sin ^2 alpha=1`  

`cos alpha=sqrt(1-(sqrt3/3)^2)=sqrt(6/9)=sqrt6/3` 

`tg alpha= sin alpha/cos alpha=(sqrt3/3)/(sqrt6/3)=sqrt3/sqrt6=sqrt18/6=(3sqrt2)/6=sqrt2/2` 

 

`e)` 

`tg\ (90^@-alpha)=2/5` 

`1/(tg \ alpha)=2/5` 

`tg\ alpha=5/2` 

`a=2` 

`b=5` 

`c=sqrt(4+25)=sqrt29` 

 

`sin alpha=5/sqrt29=(5sqrt29)/29`  

`cos alpha=2/sqrt29=(2sqrt29)/29`  

 

`f)` 

`1/(tg \ alpha)=tg\ (90^@-alpha)=2`   

`tg\ alpha=1/2`   

`b=1` 

`a=2` 

`c=sqrt(4+1)=sqrt5` 

`sin alpha=1/sqrt5= sqrt5 /5` 

`cos alpha=2/sqrt5=(2sqrt5)/5` 

O jaki wektor należy przesunąć ...

`y=1/2x^2` 

 

`a)` 

`x_1=1` 

`x_2=5` 

`a=1/2` 

 

`f(x)=1/2(x-1)(x-5)`  

`p=(x_1+x_2)/2`  

`p=(1+5)/2=3` 

`f(p)=1/2(3-1)(3-5)=-2` 

`f(x)=1/2(x-3)^2-2`  

`vec v-"szukany wektor przesunięcia"` 

`vecv=[3;-2]` 

 

`b)` 

`x_1=-6` 

`x_2=2` 

`a=1/2` 

 

`f(x)=1/2(x+6)(x-2)` 

`p=(-6+2)/2=-2` 

`f(p)=1/2(-2+6)(-2-2)=2*(-4)=-8` 

`f(x)=1/2(x+2)^2-8` 

`vecv=[-2;-8]` 

 

`c)` 

`x_1=3-sqrt2` 

`x_2=3+sqrt2 ` 

`a=1/2` 

 

`f(x)=1/2(x-3+sqrt2)(x-3-sqrt2)` 

`p=(3-sqrt2+3+sqrt2)/2=3` 

`f(p)=1/2(3-3+sqrt2)(3-3-sqrt2)=-1` 

`f(x)=1/2(x-3)^2-1` 

`vecv=[3;-1]` 

Po ustąpieniu gołoledzi prędkość autobusu

Oznaczmy prędkość początkową autobusu (w km/h) jako h, a czas przejazdu (w h) jako t. 

Wiemy, że:

`v=s/t\ \ \ =>\ \ \ s=v*t`

 

Droga, jaką pokonuje autobus jest taka sama, niezależnie od tego, czy jest gołoledź, czy nie. 

`30\ mi n=30/60\ h=1/2\ h`

 

`{(s=v*t), (s=120%*v*(t-1/2)):}`

Skoro droga jest taka sama, to możemy porównać lewe strony równań:

`v*t=120%*v*(t-1/2)`

`vt=1,2v(t-1/2)`

`vt=1,2vt-0,6v\ \ |-vt`

`0,2vt-0,6v=0\ \ |*10`

`2vt-6v=0\ \ \|:2`

`vt-3v=0`

`v(t-3)=0`

`v=0\ \ \ vee\ \ \ t-3=0`

 

Ale prędkość jadącego autobusu nie może być równa 0 km/h, więc od razu odrzucamy pierwszą możliwość, mamy więc:

`t-3=0\ \ \ |+3`

`t=3`

`t-1/2=2 1/2`