Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$

$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$

Poszczególne litery oznaczają:
$x_1$ do $x_n$ to pierwiastki wielomianu.
$a_n$ do $a_0$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $x$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 +bx + c$ przyjmują one postać:
$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$
$x_1x_2 = {c}/{a}$

Dla funkcji $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ wyglądają one natomiast tak:

$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$

$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $n$) ma $n$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $x^2$ w wielomianie $W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$
$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$

Zauważając jeszcze, ze $a_4 = 1$ możemy powiedzieć, że $a_2 = 35$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $△$ > $0$.

$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik ${c}/{a}$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy 25.

 

a) Środek okręgu opisanego na trapezie...

a)

 

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy wyliczyć  

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  

 

 

 

 

 

 


b)

 

Zauważmy, że  jes średnicą więc,  

Trójkąt  jest trójkątem charakterystycznym o kątach  

  

 

 

 

 

Promienie sześciu rozłącznych kół tworzą ciąg geometryczny...

Oznaczmy promień pierwszego koła przez r. Skoro promienie rozłącznych kół tworzą ciąg geometryczny o ilorazie to znaczy, że promień drugiego koła wynosi:

 

Zatem promień trzeciego koła wynosi:

 

A więc promień każdego kolejnego koła będzie dwukrotnie większy, zatem utwórzmy ciąg arytmetyczny (an) taki, że:{premium}

 

 

To znaczy, że 6 wyraz ciągu będzie promieniem największego koła:

 

Promień największego koła wynosi 32 cm, zatem:

 

 

 

Pole najmniejszego koła wynosi:

 

 

 

 

 

 

Łatwo zauważyć, że pola tworzą również ciąg geometryczny (bn) taki, że:

 

a iloraz wynosi:

 

Zatem suma 6 pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa łącznej powierzchni, którą zajmują koła:

 

 

Odpowiedź: Koła zajmują w sumie    

Rozwiąż nierówność.

  

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Założenie:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność ...

 

 

      {premium}

 

Przypadek, gdy  

 

 

sprzeczność

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

Suma całkowitych rozwiązań mniejszych od 15:

 

 

Prosta ...

Postać kierunkowa tej prostej to:

 

 

 

 

Współczynnik kierunkowy tej prostej to  .

Wobec tego prosta równoległa do tej prostej jest postaci  

 

Odp. B

Czy można tak dobrać...

a)

 

 

Nie można dobrać a, tak aby funkcja była ciągła.


b)

 

Wystarczy wybrać  

Wtedy:

 

Określ liczbę ekstremów ...

a)

 

I Przypadek, gdy  

     {premium}

Jest to funkcja liniowa, więc brak ekstremum

 

II przypadek, gdy  

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

 

Jedno ekstremum


b)

 

I Przypadek, gdy  

 

 

 

Brak ekstremum

 

II przypadek, gdy  

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

 

 

Dwa ekstrema


c)

 

I Przypadek, gdy  

 

 

 Sprawdźmy kiedy  

 

 

Jedno ekstremum

 

II przypadek, gdy  

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

 

 

Dwa ekstrema

Na rysunku jest przedstawiony wykres...

 litrów

 litrów

 po sześciu minutach

 Niech:

liczba litrów wody w pojemniku

czas wyciekania wody w minutach,   

Wówczas:

  

Funkcje liniowe f(x)= ...

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

    

Skoro g jest funkcją malejącą to a<0.