Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$$

$$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$$

Poszczególne litery oznaczają:
$$x_1$$ do $$x_n$$ to pierwiastki wielomianu.
$$a_n$$ do $$a_0$$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $$x$$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $$f(x) = ax^2 +bx + c$$ przyjmują one postać:
$$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$$
$$x_1x_2 = {c}/{a}$$

Dla funkcji $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ wyglądają one natomiast tak:

$$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$$

$$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $$n$$) ma $$n$$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $$x^2$$ w wielomianie $$W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
$${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$$
$$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$$

Zauważając jeszcze, ze $$a_4 = 1$$ możemy powiedzieć, że $$a_2 = 35$$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $$△$$ > $$0$$.

$$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik $${c}/{a}$$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

$${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

$${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz dziedzinę funkcji ...

`a)` 

`f(x)=sqrt(x^2-3x-4)` 

`D:\ x^2-3x-4>=0`  

`Delta=9+16=25` 

`sqrtDelta=5` 

 

`x_1 = (3-5)/2=-1` 

`x_2 = (3+5)/2=4` 

 

`x in (-oo;-1]cup[4;+oo) ` 

`ul(D=(-oo;-1]cup[4;+oo) ` 

 

`b)` 

`f(x)=sqrt(-2x^2+5x+3)` 

`D:-2x^2+5x+3>=0`  

`Delta=25+24=49` 

`sqrtDelta=7` 

 

`x_1=(-5+7)/-4=-1/2` 

`x_2=(-5-7)/-4=3` 

`x in [-1/2;3]` 

`ul(D=[-1/2;3]` 

 

`c)` 

`f(x)=sqrt(x^2-1)-sqrt(4-x^2)` 

`D:x^2-1>=0\ \ \wedge\ \ \4-x^2>=0`  

 

`"I". \ x^2-1>=0` 

`x^2>=1` 

`x>=1\ \ \vv\ \ \x<=-1` 

`x in (-oo;-1] cup [1;+oo)` 

 

`"II".\ 4-x^2>=0` 

`x^2<=4` 

`x<=2\ \ \wedge \ \ \x>=-2`  

`x in [-2;2]`   

 

`"Weźmy część wspólną wyznaczonych zbiorów w punktach I i II:"` 

`D=[(-oo;-1]cup[1;+oo)]cap[-2;2]=ul([-2;-1]cup[1;2]` 

 

`d)` 

`f(x)=sqrt(2x^2-1)-sqrt(9-4x^2)` 

`D: 2x^2-1>=0\ \ \wedge\ \ \ 9-4x^2>=0` 

 

`"I".\ 2x^2-1>=0` 

`2x^2>=1` 

`x^2>=1/2` 

`x>=1/sqrt2=sqrt2/2\ \ \vv\ \ \x<=-sqrt2/2`      

`x in (-oo;-sqrt2/2]cup[sqrt2/2;+oo)` 

 

`"II".\ 9-4x^2>=0` 

`x^2<=9/4` 

`x<=3/2\ \ \wedge\ \ \x>=-3/2` 

`x in [-3/2;3/2]` 

`"Weźmy część wspólną wyznaczonych zbiorów w punktach I i II:"`  

`D=[(-oo;-sqrt2/2]cup[sqrt2/2;+oo)]cap [-3/2;3/2]=ul([-3/2;-sqrt2/2]cup[sqrt2/2;3/2])`    

W pięciu różnych księgarniach...

Średnia arytmetyczna:

`(21+25+22+22+25)/5 = 23`  

Wariancja

`sigma^2=((21-23)^2 + 2*(22-23)^2 + 2*(25-23)^2)/5 = (4+2+8)/5=2,8` 

Odchylenie standardowe:

`sqrt(sigma^2) = sqrt(2,8) approx 1,67` 

Wyznacz wzór ogólny podanego ...

`"a)"\ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ ...` 

Wyznaczamy różnicę np:

`r=7-5=2` 

Podstawiamy dane do wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

`a_n=a_1+(n-1)r` 

`a_n=1+(n-1)*2=1+2n-2=2n-1` 

Wyznaczamy 100 wyraz podanego ciągu:

`a_100=2*100-1=200-1=199` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ 6,\ 6 1/3,\ 6 2/3,\ 7,\ 7 1/3,\ ...` 

Wyznaczamy różnicę np:

`r= 7 1/3-7=1/3` 

Podstawiamy dane do wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

`a_n=6+(n-1)*1/3=6+1/3n-1/3=1/3n+5 2/3`  

Wyznaczamy 100 wyraz podanego ciągu:

`a_100=1/3*100+5 2/3=100/3+5 2/3=33 1/3+5 2/3=39`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 6,\ 2,-2,-6,-10,\ ...` 

Wyznaczamy różnicę np:

`r=-6-(-2)=-6+2=-4`  

Podstawiamy dane do wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

`a_n=6+(n-1)*(-4)=6-4n+4=-4n+10`   

Wyznaczamy 100 wyraz podanego ciągu:

`a_100=(-4)*100+10=-400+10=-390` 

Sprawdź czy równanie ma dwa pierwiastki ...

`a)` 

`sqrt2x^2+sqrt5x+1=0` 

`Delta=5-4sqrt2~~-0,66<0` 

`"Brak pierwiastków rzeczywistych."` 

 

`b)` 

`sqrt2x^2-x+1-sqrt2=0` 

`Delta=1-4sqrt2*(1-sqrt2)=1-4sqrt2+8=9-4sqrt2~~3,34>0` 

`x_1+x_2=-b/a=1/sqrt2=sqrt2/2` 

`x_1*x_2=c/a=(1-sqrt2)/sqrt2=(sqrt2-2)/2`  

 

`c)` 

`x^2-(1+sqrt3)x+2=0` 

`Delta=(-(1+sqrt3))^2-4*2=1-2sqrt3+3-8=-4-2sqrt3<0`          

 

`d)` 

`(1-sqrt3)x^2+2x-1=0` 

`Delta=4+4-4sqrt3=8-4sqrt3~~1,07>0` 

`x_1+x_2=-b/a=-2/(1-sqrt3)=(-2-2sqrt3)/-2=1+sqrt3` 

`x_1*x_2=c/a=-1/(1-sqrt3)=(-1-sqrt3)/-2=(1+sqrt3)/2`   

 

Suma kwadratów trzech liczb tworzących ciąg geometryczny...

`(a_1, a_1q, a_1q^2)` - ciąg geometryczny

`(a_1+1, a_1q-4, a_1q^2)` - ciąg arytmetyczny

 

Korzystając z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

 `a_1q-4=(a_1+1+a_1q^2)/2 \ \ \ |*2` 

`2a_1q-8=a_1+1+a_1q^2` 

`2a_1q-a_1-a_1q^2=9`   

`a_1(2q-1-q^2)=9` 

`a_1(-(q^2-2q+1))=9` 

`-a_1(q-1)^2=9` 

`a_1=9/(-(q-1)^2` 

`a_1^2=81/(q-1)^4` 

 

Korzystając z informacji z zadania:

`(a_1)^2+(a_1q)^2+(a_1q^2)^2=21` 

`a_1^2+a_1^2q^2+a_1^2q^4=21` 

`a_1^2(1+q^2+q^4)=21` 

`81/(q-1)^4(1+q^2+q^4)=21` 

Zakładamy, że `(q-1)^4!=0` czyli `q!=1` 

`81(q^2+1)^2=21(q-1)^4` 

`81(q^4+2q^2+1)=21((q-1)^2)^2` 

`81q^4+162q^2+81=21(q^2-2q+1)^2` 

`81q^4+162q^2+81=21(q^2-2q+1)(q^2-2q+1)` 

`81q^4+162q^2+81=21(q^4-2q^3+q^2-2q^3+4q^2-2q+1q^2-2q+1)` 

`81q^4+162q^2+81=21(q^4-4q^3+6q^2-4q+1)` 

`81q^4+162q^2+81=21q^4-84q^3+126q^2-84q+21` 

`60q^4+84q^3+36q^2-84q+60=0 \ \ \ |:4` 

`15q^4+21q^3+9q^2-21q+15=0 \ \ \ |:3` 

`5q^4+7q^3+3q^2-7q+5=0` 

 

 

 

 

Funkcja y=p(m) określa liczbę rozwiązań ...

`y=p(m)` 

`|(2-3x)/(x+1)|=2m-1` 

 

`"I".\ m=3` 

`|(2-3x)/(x+1)|=5` 

`(2-3x)/(x+1)=5\ \ \vv\ \ \(2-3x)/(x+1)=-5` 

`2-3x=5x+5\ \ \vv\ \ \2-3x=-5x-5` 

`8x=-3\ \ \ \vv\ \ \ \2x=7` 

`x=-3/8\ \ \ vv\ \ \x=7/2` 

`ul(p(3)=2` 

 

`"II".\ m=0` 

`|(2-3x)/(x+1)|=-1` 

Wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych.

Brak rozwiązań.

`ul(p(0)=0`  

 

`p(m)=1` 

`f(x)=|(2-3x)/(x+1)|=|(-3(x+1)+5)/(x+1)|=|5/(x+1)-3|`  

Narysujmy funkcję f.

`f(x)=|5/(x+1)-3|` 

`f(x)=2m-1` 

`2m-1=0\ \ \vv \ \ \2m-1=3` 

`m=1/2 \ \ \vv\ \ \m=2` 

`ul(m in {1/2;2}` 
ℝ,ℂ,

Uzasadnij, że jeżeli

`"założenia:"\ \ \ a+b+c=0`  

`"teza:"\ \ \ ab+bc+ca<=0` 

`"dowód:"` 

Jeśli suma liczb a, b, c jest równa 0, to kwadrat sumy tych liczb także musi być równy 0. 

`a+b+c=0\ \ \ =>\ \ \ (a+b+c)^2=0` 

 

Wykonajmy podnoszenie do kwadratu:

`(a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)=` 

`=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac` 

 

 

Wartość powyższego wyrażenia jest równa 0:

`a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0` 

Możemy zapisać równość w postaci równoważnej:

`2ab+2bc+2ac=-(a^2+b^2+c^2)\ \ \ \ |:2` 

`ab+bc+ac=-1/2(a^2+b^2+c^2)` 

 

Suma kwadratów liczb a, b, c na pewno jest liczbą nieujemną (bo kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny). Po pomnożeniu sumy kwadratów liczb  a, b, c przez ujemną liczbę -1/2 otrzymamy liczbę niedodatnią.

`ab+bc+ac=#underbrace(-1/2#underbrace((a^2+b^2+c^2))_(>=0))_(<=0)` 

Udowodniliśmy żądaną nierówność.  

 

Dla jakich wartości parametrów...

`f(x)=(ax^3+(a+b)x+1)/(2x^2-5x-3)` 

 

`2x^2-5x-3=0` 

`Delta=(-5)^2-4*2*(-3)=25+24=49` 

`x_1=(5-7)/(2*2)=(-2)/4=-1/2` 

`x_2=(5+7)/(2*2)=12/4=3` 

`D_f=R\\{-1/2, 3}` 

 

Żeby była przynajmniej jedna asymptota to `a=0` 

`f(x)` ma wtedy postać:

`f(x)=(bx+1)/(2x^2-5x-3)=(b(x+1/b))/(2(x+1/2)(x-3))` 

 

`1/b=1/2 \ \ \ vv \ \ \ 1/b=-3`  

`b=2 \ \ \ vv \ \ \ b=-1/3` 

Pęd ciała jest równy...

`P=m*v` 

 

`4,8 [(kg*m)/s]=m*v` 

`4,8/m=v` 

 

 

a)

`4,8/0,18=v` 

`480/18=v` 

`26 2/3 [m/s]=v` 

 

b)

`4,8/m=800 \ \ \ |*m` 

`4,8=800*m \ \ \ |:800` 

`4,8/800=m` 

`48/8000=m` 

`0,006 [kg]=m` 

Oblicz P(AuB)

Przypomnijmy przydatne wzory:

`P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)` 

`P(A\\B)=P(A)-P(AnnB)` 

 

 

`a)` 

`P(AuuB)=3/4+1/4-1/8=1-1/8=7/8` 

`P(A\\B)=3/4-1/8=6/8-1/8=5/8` 

 

 

`b)` 

`P(AuuB)=5/12+5/6-1/3=5/12+10/12-4/12=11/12` 

`P(A\\B)=5/12-1/3=5/12-4/12=1/12`