Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$

$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$

Poszczególne litery oznaczają:
$x_1$ do $x_n$ to pierwiastki wielomianu.
$a_n$ do $a_0$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $x$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 +bx + c$ przyjmują one postać:
$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$
$x_1x_2 = {c}/{a}$

Dla funkcji $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ wyglądają one natomiast tak:

$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$

$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $n$) ma $n$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $x^2$ w wielomianie $W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$
$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$

Zauważając jeszcze, ze $a_4 = 1$ możemy powiedzieć, że $a_2 = 35$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $△$ > $0$.

$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik ${c}/{a}$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Udowodnij twierdzenie: kwadrat...

Wprowadźmy oznaczenie:

  -liczba podzielna przez 3

zatem liczbę n możemy zapisać w postaci:   {premium}

 

gdzie k-liczba całkowita

Zauważmy, że:

 

kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 9 ponieważ liczbę tę możemy zapisać w postaci iloczynu liczby 9 i liczby całkowitej k2

Obserwowano szybkość namnażania się pewnej...

L(0) - liczba bakterii w chwili t=0, czyli początkowa liczba bakterii{premium}

L(0,5) - liczba bakterii po upływie t=0,5 h, czyli po pół godziny od rozpoczęcia obserwacji


Na początku kolonia bakterii liczyła 1000 organizmów.

Obliczamy, po jakim czasie liczba bakterii się podwoiła:

 

 

 

 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

 

 

Odp. Liczba bakterii podwoiła się po 3 h.

Czy podany ciąg jest ...

a)

Sprawdzamy, czy podany ciąg jest geometryczny. 

 {premium}

 

 

Podany ciąg jest ciągiem geometrycznym.


b)

Sprawdzamy, czy podany ciąg jest geometryczny. 

 

 

 

Podany ciąg nie jest ciągiem geometrycznym.


c)

Sprawdzamy, czy podany ciąg jest geometryczny. 

 

 

 

Podany ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Napisz równanie prostej...

 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:{premium}

 

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 

 

 

Oblicz miary narysowanych...

a) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Zauważmy, że prosta AB jest dwusieczną narysowanego kąta, więc

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC.

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

 

  

Korzystając z zaawansowanego kalkulatora mamy 

więc

  


b) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

  

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

więc

  

Rozważmy trójkąt prostokątny ADE. 

Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny, ponieważ

skąd dostajemy, że 

Zatem


c) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

  

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

więc

  

Rozważmy trójkąt prostokątny ABD. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

  

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

więc

  

Zatem

Trójkąt...

Na boku BC trójkąta ABC zaznaczamy taki punkt D, że 

co ilustruje poniższy rysunek{premium}

Trójkąt ABC jest równoboczny, więc skoro 

to oznacza, że

Trójkąt ABC jest równoboczny, więc ma wszystkie kąty wewnętrzne równej miary, czyli

Proste MD i AB są równoległe więc

(jako kąty odpowiadające)

oraz 

(jako kąty odpowiadające)

Zatem trójkąt MDC jest równoboczny.


Rozważmy trójkąty MCN i MBD.

Z treści zadania wiemy, że zachodzi 

 

więc korzystając z (*) mamy

 

Skoro trójkąt MDC jest równoboczny to zachodzi również

 

Dodatkowo zauważmy, że

 

Zatem trójkąty MCN i MBD mają odpowiednie boki równej długości oraz kąt między tymi bokami równej miary,

więc na podstawie cechy przystawania bok-kąt-bok (bkb) te trójkąty są przystające. 

Skoro te trójkąty są przystające to odpowiednie boki tych trójkątów są równe, czyli

 

 

c.n.d.

Wyznacz równanie okręgu, który jest obrazem ...

 

 

 

Prosta m, która jest prostopadła do prostej l przechodząca przez S:

 

 

 

     {premium}

 

Punkt P, czyli punkt przecięcia prostej l i m:

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt P, jest środkiem odcinka  

 

 

 

 

Równanie szukanego okręgu:

 


 

 

Prosta l w postaci ogólnej:

 

 

 

Prosta m, która jest prostopadła do prostej l przechodząca przez S:

 

 

 

 

 

 

Punkt P, czyli punkt przecięcia prostej l i m:

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt P, jest środkiem odcinka  

 

 

 

 

Równanie szukanego okręgu:

 

Liczba...

Przyjmijmy, że liczba a jest postaci

Jeśli liczbę w liczniku ułamka zmniejszymy o 50%, to otrzymamy

Jeśli liczbę w mianowniku ułamka zwiększymy o 50%, to otrzymamy{premium}

Skąd dostajemy, że

 

 

Odp. B. 

Oblicz.

     {premium}

 

 

 

Czy poniższa zależność jest tożsamością ...

 

 

 

 

{premium}