Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$$

$$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$$

Poszczególne litery oznaczają:
$$x_1$$ do $$x_n$$ to pierwiastki wielomianu.
$$a_n$$ do $$a_0$$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $$x$$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $$f(x) = ax^2 +bx + c$$ przyjmują one postać:
$$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$$
$$x_1x_2 = {c}/{a}$$

Dla funkcji $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ wyglądają one natomiast tak:

$$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$$

$$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $$n$$) ma $$n$$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $$x^2$$ w wielomianie $$W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
$${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$$
$$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$$

Zauważając jeszcze, ze $$a_4 = 1$$ możemy powiedzieć, że $$a_2 = 35$$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $$△$$ > $$0$$.

$$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik $${c}/{a}$$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

$${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

$${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstaw zbiór

`a)` 

Zaznaczony zbiór to zbiór elementów, które należą do jednego ze zbiorów A lub B oraz nie należą do zbioru C.

`(AuuB)\\C` 

 

Zaznaczony zbiór to suma elementów, należącyh do zbioru A i nienależących do zbioru C oraz należących do zbioru B i nienależących do zbioru C. 

`(A\\C)uu(B\\C)` 

 

Zaznaczony zbiór to suma zbiorów A, B oraz C z wyłączeniem zbioru C.

`(AuuBuuC)\\C` 

 

Powyższy przykład pokazuje, że można opisać zbiory na kilka sposobów.

 

 

 

`b)` 

Podajemy kilka przykładowych opisów zbioru. 

`((AnnB)uu(BnnC))\ \\\ (AnnBnnC)` 

 `((AnnB)uu(BnnC))\ \\\ (AnnC)` 

 

 

`c)`

Ze zbioru C wyłączamy elementy sumy zbiorów A i B, a następpnie dokładamy iloczyn zbiorów A, B, C. 

 

`(C\\(AuuB))\ uu\ (AnnBnnC)` 

Wyznacz współczynniki funkcji ...

 `a)` Widzimy, że `a=1`. Wierzchołek paraboli ma współrzędne `(-2,-2)`.

Współrzędne wierzchołka paraboli określone są wzorami: 

`p=(-b)/(2a)` i `\ q=(-Delta)/(4a)`.

 

Podstawiając dane do wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka wyznaczymy współczynnik  `b` 

`-2=(-b)/(2*1)`

`-2=(-b)/2 \ \ \ \ \|*2` 

`-4=-b \ \ \ \ \ |*(-1)`

`b=4`  

 

Podstawiając do wzoru `Delta = b^2-4ac` znane już wartości, otrzymamy  `Delta=4^2-4*1*c=16-4c`

 

Postępując analogicznie z drugą współrzędną wierzchołka wyznaczymy współczynnik `c` 

`-2=-(16-4c)/4`

`-2=(-16+4c)/4 \ \ \ \ \|*4`

`-8=-16+4c \ \ \ \ \|+16`

`8=4c \ \ \ \ \ |:4`

`c=2`     


`b)` Ramiona paraboli skierowane do góry, ponieważ  `a=1`.

Skoro parabola ma jeden punkt wspólny z osią `x`, to punktem tym musi być wierzchołek. W takim razie jego druga współrzędna będzie równa zero, czyli  `q=0`.   

Punkt `(0,4)` należy do paraboli, więc podstawiamy współrzędne tego punktu do równania  `y=x^2+bx+c`

`4=0^2+b*0+c`

`c=4` 

`Delta=b^2-4ac=b^2-4*1*4=b^2-16`

Podstawiamy do wzoru na drugą współrzędną wierzchołka znane wartości:

 `0=(-(b^2-16))/4*1`

`0=(-(b^2-16))/4 \ \ \ \ \|*4`

`0=-(b^2-16)`

`0=-b^2+16 \ \ \ \ \|+b^2`

`b^2=16`

`b=4` lub  `b=-4`

 

Mamy dwa rozwiązania: `b=4`,  `c=4` lub  `b=-4`,  `c=4`. 

Ola kupiła cukierki A w cenie x zł/kg

`a)`

Dziewczyny kupiły taką samą ilość cukierków, więc możemy zapisać:

`24/x=30/(x+4)`

 

Oczywiście ceny cukierków to liczby dodatnie, więc zapiszmy założenia:

`{(x>0), (x+4>0):}\ \ \=>\ \ \ D=(0,\ +infty)`

 

 

Teraz rozwiązujemy uzyskane równanie: 

`24/x=30/(x+4)\ \ \ |*x(x+4)`

`24(x+4)=30x`

`24x+96=30x\ \ \ |-24x`

`6x=96\ \ \ |:6`

`x=16`

`x+4=16+4=20`

 

ODP: Kilogram cukierków A kosztuje 16 zł, a kilogram cukierków B kosztuje 20 zł. 

 

 

 

 

`b)` 

Za 20 zł można było kupić taką samą ilość winogron w cenie x+4 złote za kilogram, jaką obecnie można kupić za 12 zł (ale kilogram winogron kosztuje x-1 złotych)

`20/(x+4)=12/(x-1)\ \ \ |*(x+4)(x-1)` 

`20(x-1)=12(x+4)` 

`20x-20=12x+48\ \ \ |+20-12x` 

`8x=68\ \ \ |:8` 

`x=68/8=34/4=17/2=8 1/2=8,50` 

 

ODP: Kilogram winogron kosztuje obecnie 8,50 zł.  

Określ wzajemne położenie okręgów...

`a) \ R+r = 4+7=11` 

Skoro:

`|OS| > R+r` 

to znaczy, że odległość między środkami jest większa od sumy długości promieni, zatem są rozłączne zewnętrznie.

 

`b) \ R+r = 9+8=17` 

Skoro

`|OS| < R + r`  

to znaczy, że odległość między środkami jest mniejsza od sumy długości promieni, zatem są to okręgi przecinające się.

 

`c) \ R+ r = 17+3 = 20` 

`|R-r| = |17-3| = 14` 

 

Skoro

`|OS| = |R-r|` 

to znaczy, że odległość między środkami jest równa różnicy długości promieni, zatem okręgi są styczne wewnętrznie.

 

`d) \ R+ r = 9,5 + 4,5 = 14` 

Skoro:

`|OS| = R+r` 

to znaczy, że odległość między środkami jest równa sumie długości promieni, zatem okręgi są styczne zewnętrznie.

Podaj potrzebne założenia

Przy wypisywaniu założeń należy pamiętać o następujących rzeczach:

- nie można dzielić przez 0, więc jeśli przez coś dzielimy, to musimy założyć, że to wyrażenie jest niezerowe

- kreska ułamkowa oznacza dzielenie, więc wyrazenie w mianowniku musi być niezerowe

- potęga o wykładniku ujemnym sprawia, że bierzemy przeciwną potęgę odwrotności danej liczby (tzn. a-k=(1/a)k), więc jeśli mamy potęgę o wykładniku ujemnym, to nie tylko mianownik, ale też licznik musi być niezerowy (bo po odwróceniu licznik staje się mianownikiem) 

 

`a)`

Podajemy założenia:

`xne0`

 

Upraszczamy wyrażenie:

`(x^5*x^-7)/(x^2)^3=(x^(5+(-7)))/(x^(2*3))=(x^-2)/x^6=x^(-2-6)=x^(-8)`

 

 

`b)`

Podajemy założenia:

`yne0`

 

Upraszczamy wyrażenie:

`((-6y^0*y^-1)/y^-3)^2=((-6y^(0+(-1)))/y^-3)^2=((-6y^-1)/y^-3)^2=(-6y^(-1-(-3)))^2=(-6y^(-1+3))^2=(-6y^2)^2=36y^4`

 

 

`c)`

Podajemy założenia:

`yne0,\ \ zne0`

 

Upraszczamy wyrażenie:         

`((3z^2)/(y^-3))^2-(z^3y^4)/(z^-1y^-2)=(3^2(z^2)^2)/(y^-3)^2-z^(3-(-1))y^(4-(-2))=(9z^4)/y^-6-z^(3+1)y^(4+2)=9z^4*1/y^-6-z^4y^6=9z^4y^6-z^4y^6=8z^4y^6`

 

 

`d)`

Podajemy założenia:

`sne0,\ \ \ \ tne0,\ \ \ \ 1/s^-2-1/t^-2ne0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s^2-t^2ne0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s^2net^2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ snet,\ \ \ sne-t`

 

Upraszczamy wyrażenie:

`(s^2t-t^3)/(1/s^-2-1/t^-2)=(s^2t-t^3)/(s^2-t^2)=(t(s^2-t^2))/(s^2-t^2)=t`

 

 

Ile ekstremów lokalnych ma funkcja...

`f(x)=1/3x^4-1/4x^3` 

`f'(x)=1/3*4x^3-1/4*3x^2` 

`f'(x)=4/3x^3-3/4x^2` 

`4/3x^3-3/4x^2=0` 

`x^2(4/3x-3/4)=0` 

`x=0 \ \ \ vv \ \ \ 4/3x-3/4=0` 

`x=0 \ \ \ vv \ \ \ 4/3x=3/4 \ \ \ |:4/3` 

`x=0 \ \ \ vv \ \ \ x=9/16` 

 

W punkcie `x=0` funkcja nie zmienia znaku, więc nie jest to ekstremum.

 

Odp. C

Oblicz.

`a) \ sin140^o + sin(-140^o) = sin140^o - sin(140^o) = 0` 

 

`b) \ sin((21pi)/2) - sin(-21/2pi) = sin((21pi)/2) + sin((21pi)/2) = sin(1/2 pi + (20pi)/2) + sin(1/2pi + (20pi)/2) = sin(1/2pi) = sin(1/2pi) = 1+1=2` 

 

`c) \ tg150^o + ctg(-600^o) = tg(90^o + 60^o) - ctg(600^o) = -ctg60^o - ctg(540^o + 60^o) = -sqrt3/3 + -sqrt3/3 = -(2sqrt3)/3` 

 

`d) \ ctg(-7/6pi) + tg(8/3pi) = - ctg(7/6pi ) + tg(16/6pi) = - ctg(7/6pi) + tg(7/6 pi + 9/6pi) = - ctg(7/6 pi) - ctg(7/6pi) = - 2ctg(1/6pi + pi) = -2ctg(1/6pi) = -2sqrt3` 

`e) \ tg(-585^o) - sin 675^o  = - tg585^o - sin675^o = -tg(540^o + 45^o) - sin(720^o-45^o) = -tg45^o - (-cos45^o) = - 1 + sqrt2/2 = (sqrt2 -2)/2` 

 

`f) \ cos15/4pi - sin(-11/2pi) = cos(15/4pi) + sin(11/2pi) = cos(16/4 pi- 1/4pi) + sin(10/2 pi + 1/2pi) = cos (1/4pi) - sin (1/2pi ) = sqrt2/2 - 1 = (sqrt2-2)/2`  

Aby zwiększyć pole kwadratu...

Pole przed zwiększeniem:

`P=1a^2` 

 

Pole po zwiększeniu:

`P=1,21a^2` 

`P=(1,1a)^2` 

 

Należy każdy bok wydłużyć o `0,1a` , czyli o `10%a` 

 

Odp. B

 

Kulę o objętości...

Rysunek poglądowy:

 

Objętość kuli:

`V = 4/3 pi r^3` 

`288pi = 4/3 pi R^3 \ \ \ |:4/3pi` 

`R^3 = 288*3/4` 

`R^3 = 216` 

`R = 6` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`3^2 + r^2 = R^2` 

`9 + r^2 = 36` 

`r^2 = 27` 

 

Pole koła:

`P = pir^2 = pi*27 = 27 pi \ ["cm"^2]` 

Naszkicuj...

`a) \ f(x) = -tgx -1` 

Obracamy symetrycznie wykres tangensa względem osi OX i przesuwamy o jedną jednostkę w dół:

`D_f = R \ \\ \ {pi/2 + k pi: k in C}` 

`M_z = {-pi/4 + tpi: t in {0,1,2}}` 

 

 

`b) \ f(x) = -ctg x + 1` 

Obracamy symetrycznie wykres cotangensa względem osi OX i przesuwamy o jedną jednostkę w górę:

`D_f = R \ \\ \ {k pi : k in C}` 

`M_z = {pi/4 + tpi: t in {-1,0,1}}` 

 

 

`c) \ f(x) = -tg(x-pi/3)` 

Obracamy symetrycznie wykres tangensa względem osi OX i przesuwamy o π/3 jednostek w prawo:

`D_f = R \ \\ \ {-pi/6 +kpi: k in C}` 

`M_z = {pi/3 + t pi: t in {-1,0,1}}` 

 

 

`d) \ f(x) = -ctg(x+pi/6)` 

Obracamy symetrycznie wykres cotangensa względem osi OX i przesuwamy o π/6 jednostek w lewo:

 

`D_f = R \ \\ \ {-pi/6 + kpi: k in C}` 

`M_z = {pi/3 + t pi : t in {-1,0,1}}` 

 

 

 `e) \ f(x) = -tg(x+pi/2) -1` 

Obracamy symetrycznie wykres tangensa względem osi OX i przesuwamy o π/2 jednostek w lewo i 1 jednostkę w dół:

 

 

`D_f = R \ \\ \ {kpi: k in C}` 

 `M_z = {-pi/4 + t pi : t in {-1,0,1}}` 

 

 

`f) \ f(x) = - ctg(x-pi/4) +1` 

Obracamy symetrycznie wykres cotangensa względem osi OX i przesuwamy o π/4 jednostek w prawo i 1 jednostkę w górę:

 

`D_f = R \ \\ \ {pi/4 + k pi: k in C}` 

`M_z = {pi/2 + t pi : t in {-1,0,1}}`