Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$

$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$

Poszczególne litery oznaczają:
$x_1$ do $x_n$ to pierwiastki wielomianu.
$a_n$ do $a_0$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $x$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 +bx + c$ przyjmują one postać:
$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$
$x_1x_2 = {c}/{a}$

Dla funkcji $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ wyglądają one natomiast tak:

$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$

$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $n$) ma $n$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $x^2$ w wielomianie $W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$
$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$

Zauważając jeszcze, ze $a_4 = 1$ możemy powiedzieć, że $a_2 = 35$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $△$ > $0$.

$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik ${c}/{a}$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podany zbiór jest zbiorem rozwiązań nierówności.

Wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności.

 {premium}

 

Podstawa potęgi jest większa od 1, więc porównując wykładniki otrzymujemy:

 

 

 


Zdania A i B są fałszywe.

Zdanie C jest prawdziwe.

Punkt D (zob. rysunek obok) jest punktem...

Oznaczmy:

 

 


Z sumy kątów dla trójkąta ABC:{premium}

 

 

 


Z sumy kątów dla trójkąta ABD:

 

 

 

Nie wykonując obliczeń ...

Zauważmy, że współczynnik kierunkowy prostej możemy łatwo wyznaczyć

z poniższej zależności:

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Oblicz...

a) dwucyfrowych podzielnych przez 3

Pierwsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 3 to 12, ostatnia liczba dwucyfrowa podzielna przez 3 to 99.

 

{premium}  

 

 

b) dwucyfrowych podzielnych przez 7

Pierwsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 7 to 14, ostatnia liczba dwucyfrowa podzielna przez 7 to 98.

 

 

 

 

c) trzycyfrowych parzystych

Pierwsza liczba trzycyfrowa parzysta to 100, ostatnia liczba trzycyfrowa parzysta to 998.

 

 

 

d) czterocyfrowych nieparzystych

Pierwsza liczba czterocyfrowa nieparzysta to 1001, ostatnia liczba czterocyfrowa nieparzysta to 9999.

      

Odczytaj z wykresu funkcji f przedstawionego...

 

z wykresu możemy odczytać, że:

 {premium}


 

z wykresu możemy odczytać, że:

 


 

z wykresu możemy odczytać, że:

 

Z czterech liczb...

Oznaczmy te cztery liczby jako:

 

 

Trzy pierwsze w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, zatem:

 

 

Trzy końcowe tworzą ciąg arytmetyczny:{premium}

 

 

Suma pierwszej i ostatniej wynosi 14:

 

 

Suma drugiej i trzeciej wynosi 12:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

 

stąd:

  

 

Dodatkowo:

 

a więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przypomnijmy:

 

 

 

 

oraz

 

czyli

 

 

 

Te liczby:

 

lub

 

Liczba

Do ocenienia prawdziwości zdania A przyda nam się poniższa własność logarytmów.

Dla każdego a>0, a≠1 oraz b>0:{premium}

 


 

Zdanie A jest prawdziwe.


 

Zdanie B jest prawdziwe.


 

Zdanie C jest fałszywe.

Pierwszy...

O ciągu arytmetycznym wiemy, że

 Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego dostajemy, że {premium}

więc

więc wzór ogólny tego ciągu jest postaci 

Obliczmy szósty wyraz tego ciągu 

Korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dostajemy, że 

 

Odp. Suma sześciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 78.           

Oblicz.

Korzystamy z informacji, że:

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

  

Suma pól dwóch sześciokątów foremnych...

Pole sześciokąta foremnego o boku długości a jest równe sześciokrotnemu polu trójkąta równobocznego o boku długości a:

 

 

 

Obwód mniejszego z tych sześciokątów wynosi 12:

 

{premium}  

 

 

A więc pole mniejszego sześciokąta foremnego wynosi:

 

 

Zatem:

 

 

 

 

 

Stosunek pól sześciokątów foremnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

 

 

 

 

 

Skoro większy do mniejszego jest podobny w skali 4 to mniejszy do większego jest podobny w skali 1/4

Odpowiedź C