Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$$

$$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$$

Poszczególne litery oznaczają:
$$x_1$$ do $$x_n$$ to pierwiastki wielomianu.
$$a_n$$ do $$a_0$$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $$x$$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $$f(x) = ax^2 +bx + c$$ przyjmują one postać:
$$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$$
$$x_1x_2 = {c}/{a}$$

Dla funkcji $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ wyglądają one natomiast tak:

$$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$$

$$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $$n$$) ma $$n$$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $$x^2$$ w wielomianie $$W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
$${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$$
$$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$$

Zauważając jeszcze, ze $$a_4 = 1$$ możemy powiedzieć, że $$a_2 = 35$$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $$△$$ > $$0$$.

$$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik $${c}/{a}$$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

$${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

$${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Suma długości dwóch boków trójkąta...

Niech  i  będą długościami boków trójkąta.

Oznaczmy długość trzeciego boku jako  

Wyznaczamy długość  korzystając z twierdzenia cosinusów:

{premium}

 

 

 

 

Oznaczmy prawą stronę jako funkcję zmiennej  

 

Obwód trójkąta będzie najmniejszy, gdy długość boku  będzie najmniejsza, a tak będzie,

gdy funkcja  będzie przyjmowała najmniejszą wartość.

Obliczamy najmniejszą wartość funkcji  

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 

  

Obliczamy obwód trójkąta:

 

 

Odp. Najmniejsza wartość, jaką może mieć obwód trójkąta to  

Uzupełnij licznik lub mianownik...

a) Doprowadźmy mianownik ułamka z lewej strony tak aby był równy temu z prawej strony, wtedy ułamki będą równe.

  

W liczniku należy wpisać:

 

 

 

 

b) Doprowadźmy licznik ułamka z lewej strony tak aby był równy temu z prawej strony, wtedy ułamki będą równe.

 

W mianowniku należy wpisać:

 

 

 

 

c) Doprowadźmy mianownik ułamka z lewej strony tak aby był równy temu z prawej strony, wtedy ułamki będą równe.

Musimy pomnożyć licznik i mianownik przez pewien dwumian postaci:

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

W liczniku musimy wpisać:

 

 

Rozłóż na czynniki wielomiany:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

  

 

 

 

 

 

 

 

  

Wykres podanej funkcji przekształć w symetrii...

Czerwonym kolorem oznaczymy wykres funkcji f, niebieskim kolorem oznaczymy wykres funkcji g.

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykonano serię rzutów niesymetryczną sześcienną kostką

 

Należy pamiętać, że suma prawdopodobieństw wyrzucenia kolejnych oczek musi być równa 1. Każde prawdopodobieństwo musi być liczbą z przedziału <0, 1>. Z diagramu wnioskujemy, że najczęściej pojawiał się wynik 2, potem wynik 3, potem wynik 6, a wyniki 1, 4, 5 wystąpiły najmniej razy. Warto uwzględnić te informacje przy doborze rozkladu prawdopodobieństwa. 

Oznaczmy:

 

Przykładowy rozkład skonstruujemy w następujący sposób: słupki przy wynikach 1, 4, 5 mają wysokość 1, słupek przy wyniku 2 ma wysokość 4, słupek przy wyniku 3 ma wysokość 3, słupek przy wyniku 6 ma wysokość 2. Łączna wysokość wszystkich słupków to 1+4+3+1+1+2=12. 

 

 

 

 

 

  

 

Oczywiście można zaproponować inny rozkład, z dowolnymi wartościami prawdopodobieństwa sumującymi się do 1. 

 

 

 

Jeśli wypadła parzysta liczba oczek, to wypadło 2, 4 lub 6 oczek.

 

 

 

 

Jeśli wypadła liczba pierwsza, to wypadło 2, 3 lub 5 oczek. 

 

 

 

Wypadło 1 oczko lub 3 oczka. 

 

 

 

Wypadły 2 oczka lub 3 oczka. 

 

 

Wyznacz granicę ciągu...

 

 

 

 

 

 

 

 


 lim_(n -> oo) (1/2 n^2(3+1/n))/(n^2(2-1/n)) = lim_(n -> oo) (1/2(3+(1/n)->0 ))/((2-(1/n)->0 )) = (1/2*3)/(2) = 3/4

Oblicz granicę.

a)

 

 


b)

 

 


c)

 

 

 


d)

 

 

 


e)

 

 

 

 

 


f)

 

 

 

 

W okręgu o środku O poprowadzono cięciwe AB...

 

Trójkąt  jest równoramienny, ponieważ  

 

 

Długości boków ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

   

   

 

 

 

   

 

      

 

 

Porównaj liczby a i b ...

    

  

  {premium}