Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$

$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$

Poszczególne litery oznaczają:
$x_1$ do $x_n$ to pierwiastki wielomianu.
$a_n$ do $a_0$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $x$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 +bx + c$ przyjmują one postać:
$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$
$x_1x_2 = {c}/{a}$

Dla funkcji $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ wyglądają one natomiast tak:

$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$

$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $n$) ma $n$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $x^2$ w wielomianie $W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$
$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$

Zauważając jeszcze, ze $a_4 = 1$ możemy powiedzieć, że $a_2 = 35$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $△$ > $0$.

$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik ${c}/{a}$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania:

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zamieńmy miarę kątową na miarę łukową:

 

 

  

 

 

 

 

 

 

W podpunkcie a) obliczyliśmy, że:

  

 

zatem

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

zatem wyznaczmy rozwiązanie:

stąd 

 

Zamieńmy na miarę łukową:

 

a więc:

 

Otrzymujemy zatem, że:

 

 

Rozwiązaniem jest:

 

Punkt P należy do ramienia końcowego ...

 

 

 

{premium}  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

     

           

Wyznacz współczynniki b i c trójmianu ...

  

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

   

Wyznacz równanie osi symetrii odcinka AB.

a)

Wyznaczmy środek odcinka AB.

 

 

     {premium}

 

Wyznaczmy równanie prostej AB.

Zauważmy, że współrzędne  punktu  i punktu  są takie same, wobec tego prosta ma wzór  

 

Wyznaczmy równanie osi symetrii odcinka AB.

Prosta prostopadła do tej prostej, przechodząca przez punkt  ma wzór  


b)

Wyznaczmy środek odcinka AB.

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie osi symetrii odcinka AB.

Prosta prostopadła do tej prostej, przechodząca przez punkt  ma wzór

 

 

 

 

 


c)

Wyznaczmy środek odcinka AB.

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie osi symetrii odcinka AB.

Prosta prostopadła do tej prostej, przechodząca przez punkt  ma wzór 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Ćwiczenie 1

   

{premium}    

      

     

 

   

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny...

Wiemy, że:

 

 

 

{premium}

Wobec tego możemy wyznaczyć wysokość ściany bocznej.

 

 

 

Zauważmy, że wysokość ostrosłupa możemy wyznaczyć wykorzystując tw. Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Liczba x...

 

{premium}  

 

 

 

Odpowiedź C

a) W trapez równoramienny o podstawach...

a)

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. o okręgu wpisanym w czworokąt otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 


b)

Rysunek pomocniczy:

 

Korzystając z tw. o okręgu wpisanym w czworokąt otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 


c)

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. o okręgu wpisanym w czworokąt otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 


d)

Rysunek pomocniczy:

 

 

 

 

 

 

  

Korzystając z tw. o okręgu wpisanym w czworokąt otrzymujemy:

 

 

 

 

zauważmy, że:

 

   (ponieważ kąt ostry trapezu ma miarę 45o)

zatem:

 

 

 

 

 

a) Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

a)

 

{premium}

 

b)

 

 

c)

 

Wykonaj mnożenie

{premium}