Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$$

$$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$$

Poszczególne litery oznaczają:
$$x_1$$ do $$x_n$$ to pierwiastki wielomianu.
$$a_n$$ do $$a_0$$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $$x$$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $$f(x) = ax^2 +bx + c$$ przyjmują one postać:
$$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$$
$$x_1x_2 = {c}/{a}$$

Dla funkcji $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ wyglądają one natomiast tak:

$$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$$

$$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $$n$$) ma $$n$$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $$x^2$$ w wielomianie $$W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
$${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$$
$$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$$

Zauważając jeszcze, ze $$a_4 = 1$$ możemy powiedzieć, że $$a_2 = 35$$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $$△$$ > $$0$$.

$$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik $${c}/{a}$$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

$${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

$${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech x=a+b oraz y=a-b...

 

 

 

  

 

 

Uzasadnij, że nierówność

  

    

 

Zauważmy, że aby wykazać nierówność z tezy, możemy wykazać nierówność równoważną:

 

 

Rozpiszmy lewą stronę powyższej nierówności:

 

 

Zauważmy, że każdy z (n-1) czynników jest ułamkiem o liczniku 1 oraz o mianownikach będących kolejnymi liczbami naturalnymi od 2 do n. Z założenia wiadomo, że n jest liczbą naturalną większą od 2. Ułamek 1/3 jest mniejszy niż 1/2, podobnie ułamek 1/4 jest mniejszy od 1/2, tak samo wszystkie pozostałe ułamki są mniejsze od 1/2. Stąd możemy zapisać:

  

 

    

 

Żądana nierówność zachodzi, co kończy dowód. 

Rzucamy cztery razy kostką ...

a)

 {premium}

 

b)

Prawdopodobieństwo nie otrzymania szóstki:

 

Prawdopodobieństwo otrzymania jednej szóstki:

 

Prawdopodobieństwo otrzymania dwóch szóstek: 

 

 

Prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej dwóch szóstek:

 

 

Oblicz długość okręgu opisanego...

a)

 

 

 

 

 

 


b)

Obliczmy kąt przy wierzchołku C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu ...

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

    

Określ stopień wielomianu u+w w zależności od parametru a

{premium}

 

 

 

 

Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=x² o 1 jednostkę w górę (wiemy to dzięki wierzchołkowi).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=-1/2x²  o 2 jednostki w górę. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=3x² o 1 jednostkę w prawo i 3 jednostki w dół (wierzchołek ma współrzędne (1, -3))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=1/2x²  o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół. 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=-x²  o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w dół. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=-x²  o 3 jednostki w lewo. 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Dla jakich wartości parametru a rozwiązania...

Skorzystamy z następującego twierdzenia:

Jeżeli  są rozwiązaniami równania  to

 

 

 

Chcemy, by rozwiązania równania spełniały warunki:

 

 

Podstawiamy powyższe warunki do pierwszego równania w układzie z twierdzenia i wyznaczamy  

 

{premium}

 

 

 

Stąd:

 

 

 

Podstawiamy wyznaczone rozwiązania do drugiego równania w układzie z twierdzenia i wyznaczamy  

 

 

 

Odp.  

Oblicz.

 

 

 

 

  

 

Wśród uczniów pewnej szkoły przeprowadzono ...

Oznaczmy jako x ilość odpowiedzi "TAK" na pytanie A. 

Ilość odpowiedzi "TAK": {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Odp. 90% uczniów, którzy odpowiadali na pytanie A odpowiedziało, że lubi szkołę.