Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wzory viete'a - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory viete'a

Wzory Viete'a to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Mimo że nie służą one do wyznaczenia konkretnych rozwiązań, są niezwykle użyteczne w zadaniach wymagających sprawdzenia pewnych właściwości pierwiastków.

Zaczniemy od przykładowego zadania:

Udowodnij, że równanie $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$ zawsze ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Metoda niekorzystająca ze wzorów Viete'a opierałaby się po prostu na obliczeniu delty i wyznaczeniu obu pierwiastków i późniejszym udowodnieniu, że oba z nich są większe od zera. Jest to jednak pracochłonne i dość skomplikowane - z pomocą przychodzą więc wzory Viete'a.

W ogólnej postaci wyglądają one w ten sposób:
$$x_1 + x_2 + ... + x_n = -{a_{n-1} }/{a_n}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_1x_n + x_2x_3 + x_2x_4 +...+x_{n-1}x_n = {a_{n-2} }/{a_n}$$

$$x_1x_2x_3x_4...x_{n-1}x_n= (-1)^n × {a_0}/{a_n}$$

Poszczególne litery oznaczają:
$$x_1$$ do $$x_n$$ to pierwiastki wielomianu.
$$a_n$$ do $$a_0$$ to współczynniki przy kolejnych potęgach $$x$$-a.

Wzory te wyglądają bardzo skomplikowanie, ale wystarczy zobaczyć je w działaniu, aby od razu zrozumieć, na czym polegają.

Na przykład dla funkcji kwadratowej $$f(x) = ax^2 +bx + c$$ przyjmują one postać:
$$x_1 + x_2 = -{b}/{a}$$
$$x_1x_2 = {c}/{a}$$

Dla funkcji $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ wyglądają one natomiast tak:

$$x_1 + x_2 + x_3 = -{b}/{a}$$

$$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = {c}/{a}$$

$$x_1x_2x_3 = -{d}/{a}$$

Ważna uwaga: wzory Viete'a działają jedynie wtedy, gdy wielomian (stopnia $$n$$) ma $$n$$ pierwiastków. Nie muszą jednak być one różne.


Ćwiczenie:
Oblicz, ile wynosi współczynnik przy $$x^2$$ w wielomianie $$W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$.

Nie znając wzorów Viete'a trzeba by było wymnożyć wszystkie nawiasy i dodać odpowiednie składniki. Korzystając natomiast z nowo poznanej teorii możemy powiedzieć, że:
$${a_2}/{a_4} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 =$$
$$= 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 +2×4 + 3×4 = 35$$

Zauważając jeszcze, ze $$a_4 = 1$$ możemy powiedzieć, że $$a_2 = 35$$.

Teraz, gdy znamy już teorię, możemy wrócić do zadania podanego na początku - równania $$-x^2 + (2m^2+3)x - m^4 - 1 = 0$$.

Najpierw musimy upewnić się, że funkcja rzeczywiście ma dwa różne pierwiastki, tzn. że $$△$$ > $$0$$.

$$△ = b^2 - 4ac = (2m^2+3)^2 - 4(- m^4 - 1)×(-1) = 12 m^2+5$$
Jest to suma kwadratu i liczby dodatniej, więc na pewno jest dodatnia.

Teraz możemy przejść do wzorów Viete'a.

Współczynnik $${c}/{a}$$ będzie dodatni wtedy, gdy oba pierwiastki będą tego samego znaku. Sprawdzamy:

$${c}/{a} = {- m^4 - 1}/{-1} = m^4 + 1$$ - jest to niewątpliwie liczba dodatnia, wiemy więc, że albo oba pierwiastki są dodanie, albo oba ujemne.

Sprawdźmy teraz znak drugiego ilorazu:

$${-b}/{a} = {-2m^2-3}/{-1} = 2m^2+3$$

On też jest dodatni: oznacza to, że suma pierwiastów jest liczbą dodatnią - a skoro tak, to nie może zajść sytuacja, w której oba będą ujemne. Wniosek jest prosty - oba pierwiastki są liczbami dodatnimi, co właśnie chcieliśmy udowodnić.

Jak widać metoda wykorzystująca wzory Viete'a nie wymagała obliczania pierwiastków i porównywania ich z zerem - wystarczyła informacja o współczynnikach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Długości trzech kolejnych boków ...

`x,y,z-"długości trzech kolejnych boków czworokąta, które tworzą ciąg arytmetyczny"` 

`r-"różnica powyższego ciągu"` 

`a-"pozostały bok czworokąta"` 

 

W czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

`x+z=y+a` 

`x+y+z+a=28` 

`y=(x+z)/2\iff\ 2y=x+z`  

`x=11/17z\ iff\ z=17/11x`   

`{(x+z-y-a=0),(x+y+z+a=28),(2y=x+z),(z=17/11x):}`   ` <br> `

`{(2y-y-a=0),(y+2y+a=28) :}` 

`{(y=a),(3y+a=28) :}`      

 `3y+a=4a=28` 

`ul(a=y=7`  

 

`{ (2y=x+z),(z=17/11x):}`    

`2y=x+17/11x` 

`22y=28x` 

`154=28x`

`x=5,5` 

`z=17/11*5,5=(93,5)/11=8,5` 

`{(x=5,5),(y=7),(z=8,5),(a=7):}`   ` <br> `

Gospodyni zmieszała 3 litry wody o temperaturze

x - ilość wody o temperaturze 70 stopni (w litrach)

 

Zapiszmy temperaturę wód:

`3*10^oC+x*70^oC=(3+x)*45^oC\ \ \ |:^oC`

`30+70x=135+45x\ \ \ |-30-45x`

`25x=105\ \ \ |:25`

`x=105/25=4 5/25=4,2`

 

Dla x= ...

`x=sqrt3-2` 

`w(x)=(16x^2-9)^2/((16x^2+24x+9)(16x^2-24x+9))=`    

`=(16x^2-9)^2/((4x+3)^2(4x-3)^2)=(16x^2-9)^2/(16x^2-9)^2=1` 

 

`"Odpowiedź D."` 

Przekątna graniastosłupa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat. Taki graniastosłup to po prostu prostopadłościan o podstawie w kształcie kwadratu. 

Długość krawędzi podstawy oznaczyliśmy jako x. Długość przekątnej ściany bocznej oznaczyliśmy jako a. 

Krawędź podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna prostopadłościanu tworzą trójkąt prostokątny. 

 

 

`a)` 

Wiemy, że:

`cosalpha=5/13` 

Z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym (stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej) możemy zapisać:

`x/26=5/13\ \ \ |*26` 

`x=5/strike13^1*strike26^2=10`  

   

Do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebna jest długość krawędzi bocznej. Oznaczmy ją jako h.

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu (patrz ćwicenie 2 strona 85) możemy zapisać:

`sqrt(10^2+10^2+h^2)=26` 

`sqrt(100+100+h^2)=26` 

`sqrt(200+h^2)=26\ \ \ |^2` 

`200+h^2=676\ \ \ |-200` 

`h^2=476` 

`h=sqrt476=sqrt4*sqrt119=2sqrt119\ [cm]` 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=4*x*h=4*10*2sqrt119=80sqrt119\ [cm^2]` 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

 

`b)` 

Wiemy, że:

`"tg"alpha=4/3` 

Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym (stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do drugiej przyprostokątnej) możemy zapisać:

`a/x=4/3\ \ \ |*x` 

`a=4/3x` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

`a^2+x^2=20^2` 

`(4/3x)^2+x^2=400` 

`16/9x^2+x^2=400` 

`16/9x^2+9/9x^2=400` 

`25/9x^2=400\ \ \ |*9/25` 

`x^2=(strike400^16*9)/strike25^1` 

`x^2=16*9` 

`x=sqrt(16*9)=sqrt16*sqrt9=4*3=12\ [cm]` 

 

Do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebna jest długość krawędzi bocznej. Oznaczmy ją jako h.

 

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu (patrz ćwicenie 2 strona 85) możemy zapisać:

`sqrt(12^2+12^2+h^2)=20` 

`sqrt(144+144+h^2)=20` 

`sqrt(288+h^2)=20\ \ \ |^2` 

`288+h^2=400\ \ \ |-288` 

`h^2=112` 

`h=sqrt112=sqrt16*sqrt7=4sqrt7\ [cm]` 

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=4*x*h=4*12*4sqrt7=192sqrt7\ [cm^2]` 

Rozwiąż równanie.

`"Założenie globalne (dla wszystkich podpunktów)":\ k inCC.`  

`a)` 

`sin3x=1` 

`t=3x` 

`sint=1` 

`t=pi/2+2kpi` 

`3x=pi/2+2kpi` 

`ul(x=pi/6+2/3kpi`  

 

`b)` 

`cos2x=-1` 

`t=2x` 

`cost=-1` 

`t=pi+2kpi` 

`2x=pi+2kpi` 

`x=pi/2+kpi` 

 

`c)` 

`cos4x=1/2` 

`4x=t` 

`cost=1/2` 

`t=pi/3+2kpi\ \ \vee\ \ \t=3/2pi+pi/3+2kpi=5/3pi+2kpi`   

`4x=pi/3+2kpi\ \ \vee\ \ \4x=5/3pi+2kpi` 

`x=pi/12+pi/2k\ \ \vee\ \ \x=5/12pi+pi/2k` 

 

`d)` 

`2sin(2x-pi/4)=sqrt2` 

`t=2x-pi/4` 

`2sint=sqrt2` 

`sint=sqrt2/2` 

`t=pi/4+2kpi \ \ \vee\ \ \t=pi-pi/4+2kpi=3/4pi+2kpi` 

`2x-pi/4=pi/4+2kpi \ \ \vee\ \ \2x-pi/4=3/4pi+2kpi` 

`2x=pi/2+2kpi\ \ \vee\ \ \2x=pi+2kpi` 

`x=pi/4+kpi\ \ \vee\ \ \ x=pi/2+kpi`   

 

`e)` 

`cos(3x+pi/2)=sqrt3/2` 

`t=3x+pi/2` 

`cost=sqrt3/2` 

`t=pi/6+2kpi \ \ \vee\ \ \t=2pi-pi/6+2kpi=11/6pi+2kpi` 

`3x+pi/2=pi/6+2kpi\ \ \vee\ \ \3x+pi/2=11/6pi+2kpi` 

`3x=-pi/3+2kpi\ \ \vee\ \ \3x=8/6pi+2kpi` 

`x=-pi/9+2/3kpi\ \ \vee\ \ \x=4/9pi+2/3kpi` 

 

`f)` 

`cos(2x+pi/6)=-1/2` 

`2x+pi/6=t` 

`cost=-1/2` 

`cos(pi-t)=-cost=1/2` 

`cos(pi-t)=1/2` 

`pi-t=pi/3+2kpi \ \ \vee\ \ \pi-t=2pi-pi/3+2kpi=5/3pi+2kpi` 

`-t=-2/3pi+2kpi \ \ \vee\ \ \-t=2/3pi+2kpi` 

`-2x-pi/6=-2/3pi+2kpi\ \ \vee \ \ \-2x-pi/6=2/3pi+2kpi` 

`-2x=-pi/2+2kpi\ \ \vee\ \ \-2x=5/6pi+2kpi` 

`x=pi/4-kpi\ \ \vee\ \ \x=-5/12pi-kpi` 

 

`g)` 

`sin^2 3x=1\ implies \ sin3x=1\ \ \vee\ \ \sin3x=-1` 

`t=3x` 

`sint=1\ \ \vee\ \ \sint=-1`  

`t=pi/2+2kpi\ \ \vee\ \ \t=3/2pi+2kpi` 

`3x=pi/2+2kpi\ \ \vee\ \ \3x=3/2pi+2kpi` 

`x=pi/6pi+2/3kpi\ \ \vee\ \ \x=pi/2pi+2kpi` 

 

`h)` 

`cos^2 (x-pi/4)=1/4` 

`cos(x-pi/4)=1/2\ \ \vee\ \ \[cos(x-pi/4)=-1/2 iff cos(pi-x+pi/4)=-cos(x-pi/4)=1/2]`      

`x-pi/4=pi/3+2kpi\ \ \vee\ \ \x-pi/4=2pi-pi/4+2kpi\ \ \vee pi-x+pi/4=pi/3+2kpi\ \ \vee\ \ \pi-x+pi/4=2pi-pi/4+2kpi`   

`x=7/12pi+2kpi\ \ \vee\ \ \ x=2kpi\ \ \vee \ \ \x=11/12pi+2kpi\ \ \vee\ \ \x=-pi/2+2kpi` 

 

`i)` 

`2cos^2 2x=1` 

`2x=t` 

`2cos^2 t=1` 

`cos^2 t=1/2` 

`cost=sqrt2/2\ \ \vee\ \ cost=-sqrt2/2` 

`t=pi/4+2kpi\ \ \vee\ \ \t=2pi-pi/4+2kpi\ \ \t=pi-pi/4+2kpi\ \ \vee\ \ \t=pi+pi/4+2kpi` 

`x=pi/8+kpi\ \ \vee\ \ \x=7/8pi+kpi\ \ \vee\ \ \x=3/8pi+kpi\ \ \vee\ \ \x=5/8pi+kpi`   

Wielkości H i s są odwrotnie proporcjonalne...

`H*S=a` 

`9*140=a` 

`1260=a` 

 

`H*S=1260` 

`60*S=1260 \ \ \ |:60` 

`S=21` 

Na diagramach poniżej

`ul(ul("drużyna A"))` 

Obliczmy średni wzrost zawodniczek z drużyny A:

`overlinex_A=(170+2*171+173+174+175+178+2*179+180)/10=1750/10=175\ [cm]` 

 

Aby łatwiej było obliczyć odchylenie standardowe, sporządzamy tabelę. 

 
`i` 
`x_i` 
`x_i-overlinex_A` 
`(x_i-overlinex_A)^2` 
`1` 
`170` 
`170-175=-5` 
`(-5)^2=25` 
`2` 
`171` 
`171-175=-4` 
`(-4)^2=16` 
`3` 
`171` 
`171-175=-4` 
`(-4)^2=16` 
`4` 
`173` 
`173-175=-2` 
`(-2)^2=4` 
`5` 
`174` 
`174-175=-1` 
`(-1)^2=1` 
`6` 
`175` 
`175-175=0` 
`0^2=0` 
`7` 
`178` 
`178-175=3` 
`3^2=9` 
`8` 
`179` 
`179-175=4` 
`4^2=16` 
`9` 
`179` 
`179-175=4` 
`4^2=16` 
`10` 
`180` 
`180-185=5` 
`5^2=25` 
`"suma"` 
`128` 

 

Obliczamy wariancję wzrostu zawodniczek z drużyny A:

`sigma^2_A=128/10=12,8\ [cm^2]` 

 

Obliczamy odchylenie standardowe wzrostu zawodniczek z drużyny A:

`sigma_A=sqrt(12,8)~~3,58\ [cm]` 

 

 

 

`ul(ul("drużyna B"))` 

Obliczmy średni wzrost zawodniczek z drużyny B:

`overlinex_B=(170+173+174+4*175+176+177+180)/10=1750/10=175\ [cm]`  

 

Aby łatwiej było obliczyć odchylenie standardowe, sporządzamy tabelę. 

 
`i` 
`x_i` 
`x_i-overlinex_B` 
`(x_i-overlinex_B)^2` 
`1` 
`170` 
`170-175=-5` 
`(-5)^2=25` 
`2` 
`173` 
`173-175=-2` 
`(-2)^2=4` 
`3` 
`174` 
`174-175=-1` 
`(-1)^2=1` 
`4` 
`175` 
`175-175=0` 
`0^2=0` 
`5` 
`175` 
`175-175=0` 
`0^2=0` 
`6` 
`175` 
`175-175=0` 
`0^2=0` 
`7` 
`175` 
`175-175=0` 
`0^2=0` 
`8` 
`176` 
`176-175=1` 
`1^2=1` 
`9` 
`177` 
`177-175=2` 
`2^2=4` 
`10` 
`180` 
`180-175=5` 
`5^2=25` 
`"suma"` 
`60` 

 

 

 

Obliczamy wariancję wzrostu zawodniczek z drużyny B:

`sigma^2_B=60/10=6\ [cm^2]` 

 

Obliczamy odchylenie standardowe wzrostu zawodniczek z drużyny B: 

`sigma_B=sqrt6~~2,45\ [cm]` 

 

 

`ul(ul("obie drużyny")` 

Wiemy, że suma wzrostów w drużynie A jest równa 1750, tak samo w drużynie B. W każdej z drużyn jest 10 zawodniczek, więc łącznie mamy 20 zawodniczek. Oblicamy średnią wzrostu zawodniczek w obu drużynach:

`overlinex=(1750+1750)/20=3500/20=175\ [cm]` 

 

Średnia jest taka sama, jak średnie w drużynach A i B. Mamy już wykonane tabelki i policzone sumy. Korzystając z nich możemy obliczyć wariancję wzrostu zawodniczek w obu drużynach:

`sigma^2=(128+60)/20=188/20=94/10=9,4\ [cm^2]` 

 

Obliczamy odchylenie standardowe wzrostu zawodniczek w obu drużynach:

`sigma=sqrt(9,4)~~3,07\ [cm]`   

 

Dany jest trapez o wierzchołkach: A(0,3), B(2,-1)

a)

b)

c)

d)

Dana jest liczba siedmiocyfrowa

`a)` 

Suma cyfr tej liczby musi dzielić się przez 9

`3+1+5+0+5+9+a=` `9+5+9+a=23+a` 

`a=4` 

 

`b)` 

Ostatnia cyfra musi być parzysta, a suma cyfr musi dzielić się przez 3.

Z pierwszego warunku mamy, że możliwe a to 0, 2, 4, 6, 8

Z drugiego warunku (suma to 23+a) mamy, że a to 1, 4, 7

Cyfra która spełnia oba te warunki to 4.

`a=4` 

 

 

`c)` 

Liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr musi być podzielna przez 4 (ta liczba to 9a)

`a=2\ \ \ \ albo\ \ \ \ a=6`   

 

Sprawdź, czy proste k i l...

a) Musi zachodzić równość pomiędzy stosunkami długości odpowiednich boków:

`a/c = b/d` 

`(1,5)/(0,15) = (4,5)/(0,5)` 

`10 = 9` 

Proste nie są równoległe

 

`b) \ a/c = b/d`  

`sqrt2/2 = 1/(2sqrt2)*sqrt2/sqrt2` 

`sqrt2/2 = sqrt2/(2*2)` 

`sqrt2/2 = sqrt2/4` 

Proste nie są równoległe

 

`c) \ c/a = d/b` 

`(2sqrt2+2)/(1/(sqrt2-1)) = 4/2` 

 `2(sqrt2+1)(sqrt2-1) = 2` 

`2*(2-1) = 2` 

`2=2` 

Proste są równoległe