Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe. Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $$(a+b)(a+b)(a+b)$$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $$a^3$$ i $$b^3$$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $$3ab^2$$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $$a$$, a z jednego $$b$$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $$abb$$ $$bab$$ $$bba$$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $$3a^2b$$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $$b$$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $$a^3$$ i $$b^3$$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $$ab$$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $$a^3$$ lub $$b^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na jednym z osiedli mieszkaniowych ...

`x,y- "przyprostokątne trojkąta"`  

`z- "przeciwprostokątna trójkąta"` 

 

`x=7+y`   

`(x*y)/2=30`   

`xy=60` 

 

`(7+y)*y=60` 

`y^2+7y-60=0` 

`Delta=49+240=289` 

`sqrt(Delta)=17` 

 

`y_1=(-7-17)/2=-12`  

`"Boki nie mogą mieć ujemnej długości."` 

 

`y_2=(-7+17)/2=5` 

`x=7+y=7+10=12` 

`z^2=x^2+y^2` 

`z^2=12^2+5^2=169`  

`z=sqrt(169)=13` 

 

`x+y+z=30` 

 

`"Na ogrodzenie rabaty potrzeba 30 metrów płotka."` 

 

 

Wykonaj działania...

`a)\ (4x^2-7x+3)-(x^2-5x+9)-(8x^2+6x-11)=4x^2-7x+3-x^2+5x-9-8x^2-6x+11=-5x^2-8x+5`

`b)\ (2+8p^2-p^3)+(2p^3-a^2-8)-(12-7p&3+5p^2)=2+8p^2-p^3+2p^3-a^2-8-12+7p^3-5p^2=-a^2+8p^3+3p^2-18`

`c)\ 3x^2y-7x(x-4)+(5yx^2-13x)=3x^2y-7x^2+28x+5x^2y-13x=8x^2y-7x^2+15x`

`d)\ 5x(x-2y(x+3))-2x(3x-4y(5x-8))=5x(x-2xy-6y)-2x(3x-20xy+32y)=5x^2-10x^2y-60xy-6x^2+40x^2y-64xy=-x^2+30x^2y-124xy`

 

Rozwiąż nierówność.

`"a)"\ (x-3)/(x+1)>=1/2` 

`"Zakładamy, że:"\ x!=-1` 

 

`(x-3)/(x+1)-1/2>=0` 

`(2(x-3))/(2(x+1))-(1(x+1))/(2(x+1))>=0` 

`(2x-6)/(2(x+1))-(x+1)/(2(x+1))>=0` 

`(2x-6-x-1)/(2(x+1))>=0` 

`(x-7)/(2(x+1))>=0`  

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb, stąd:

`2(x-7)(x+1)>=0` 

Szkicujemy wykres wielomianu w(x)=2(x-7)(x+1)

Rozwiązaniem nierówności są:

`x in (-oo,-1>>cup<<7,+oo)`  

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

`x in (-oo,-1)cup<<7,+oo)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"b)"\ (x+2)/(x)<=-2` 

`"Zakładamy, że:"\ x!=0`  

 

`(x+2)/(x)<=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+2`  

`(x+2)/x+2<=0`  

`(x+2)/x+(2x)/x<=0` 

`(x+2+2x)/(x)<=0`   

`(3x+2)/(x)<=0`   

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb, stąd:

`x(3x+2)<=0`  

`3x(x+2/3)<=0` 

Szkicujemy wykres wielomianu w(x)=3x(x+2/3)

Rozwiązaniem nierówności są:

`x in <<-2/3,0>>`   

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

`x in <<-2/3,0)`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"c)"\ (x-5)/(x-3)>0`  

`"Zakładamy, że:"\ x!=3`   

 

`(x-5)/(x-3)>0`   

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb, stąd:

`(x-5)(x-3)>0`    

Szkicujemy wykres wielomianu w(x)=(x-5)(x-3)

Rozwiązaniem nierówności są:

`x in (-oo,3)cup(5,+oo)`    

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

`x in (-oo,3)cup(5,+oo)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"d)"\ (x^2+1)/(x-1)<0`   

`"Zakładamy, że:"\ x!=1`   

 

`(x^2+1)/(x-1)<0`    

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb, stąd:

`(x^2+1)(x-1)<0`     

Szkicujemy wykres wielomianu w(x)=(x2+1)(x-1)

Rozwiązaniem nierówności są:

`x in (-oo,1)`    

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

`x in (-oo,1)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"e)"\ (x+1)/(x+2)>1`    

`"Zakładamy, że:"\ x!=-2`    

 

`(x+1)/(x+2)>1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-1` 

`(x+1)/(x+2)-1>0` 

`(x+1)/(x+2)-(x+2)/(x+2)>0` 

`(x+1-x-2)/(x+2)>0` 

`-1/(x+2)>0`      

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb, stąd:

`-1(x+2)>0`      

Szkicujemy wykres wielomianu w(x)=-1(x+2)

Rozwiązaniem nierówności są:

`x in (-oo,-2)`    

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

`x in (-oo,-2)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"f)"\ (x^2+1)/(x-1)<=x`     

`"Zakładamy, że:"\ x!=1`     

 

`(x^2+1)/(x-1)<=x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-x` 

`(x^2+1)/(x-1)-x<=0`  

`(x^2+1)/(x-1)-(x(x-1))/(x-1)<=0` 

`(x^2+1-x^2+x)/(x-1)<=0`  

`(1+x)/(x-1)<=0`       

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb, stąd:

`(x+1)(x-1)<=0`       

Szkicujemy wykres wielomianu w(x)=(x+1)(x-1)

Rozwiązaniem nierówności są:

`x in <<-1,1>>`     

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

`x in <<-1,1)` 

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych

Jeśli NWD(n, k)=15, to liczby n oraz k dzielą się przez 15 i nie mają innego wspólnego dzielnika. Stąd liczby n oraz k można zapisać jako: n=15a oraz k=15b. Liczby a oraz b są naturalne i NWD(a, b)=1 (inaczej NWD(n, k) byłby większy od 15). Liczba a jest mniejsza od b, ponieważ liczba n jest mniejsza od k. Korzystając z tych równości rozwiążemy zadanie. 

 

`a)` 

`n+k=180` 

`15a+15b=180\ \ \ \ |:15` 

`a+b=12` 

Szukamy liczb naturalnych a, b (a<b) które nie mają wspólnych dzielników i których suma jest równa 12. 

Mamy następujące możliwości:

`1)\ a=1,\ \ b=11\ \ \ =>\ \ \ n=15*1=15,\ \ k=15*11=165\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (15,\ 165)`  

`2)\ a=5,\ \ b=7\ \ \ \ =>\ \ \ n=15*5=75,\ \ \ k=15*7=105\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (75,\ 105)` 

 

 

`b)` 

`nk=4500` 

`15a*15b=4500\ \ \ |:15` 

`15a*b=300\ \ \ |:15` 

`a*b=20` 

Szukamy liczb naturalnych a, b (a<b) które nie mają wspólnych dzielników i których iloczyn jest równy 20.

Mamy następujące możliwości:

`1)\ a=1,\ \ b=20\ \ \ =>\ \ \ n=15*1=15,\ \ k=15*20=300\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (15,\ 300)` 

`2)\ a=4,\ b=5\ \ \ =>\ \ \ n=15*4=60,\ \ k=15*5=75\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (60,\ 75)` 

 

Oblicz pole prostokąta...

a)

`P=a*b=49^(1/3)*49^(1/6)=49^(1/3+1/6)=49^(2/6+1/6)=49^(3/6)=49^(1/2)=(7^2)^(1/2)=7^1=7` 

 

b)

`P=a*b=121^(-3/8)*121^(7/8)=121^(-3/8+7/8)=121^(4/8)=121^(1/2)=(11^2)^(1/2)=11^1=11` 

 

c)

`P=a*b=6^(3/5)*2^(2/5)*3^(7/5)=(2*3)^(3/5)*2^(2/5)*3^(7/5)=2^(3/5)*3^(3/5)*2^(2/5)*3^(7/5)=2^(3/5+2/5)*3^(3/5+7/5)=2^(5/5)*3^(10/5)=2^1*3^2=2*9=18` 

 

d)

`P=a*b=8^(5/9)*81^(5/12)*8^(-2/9)*81^(-1/6)=8^(5/9+(-2/9))*81^(5/12+(-1/6))=8^(3/9)*81^(5/12-2/12)=8^(1/3)*81^(1/4)=(2^3)^(1/3)*(3^4)^(1/4)=2^1*3^1=2*3=6` 

 

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg...

Przypadek I.

`a=6` 

`b=6+r` 

`c=6+2r` 

 

`6^2+(6+r)^2=(6+2r)^2` 

`36+36+12r+r^2=36+24r+4r^2` 

`0=3r^2+12r-36 \ \ \ |:3` 

`0=r^2+4r-12` 

`Delta=4^2-4*1*(-12)=16+48=64` 

`r_1=(-4-8)/2=(-12)/2=-6 \ \ \ "sprzeczność, ponieważ wtedy" \ c < 0` 

`r_2=(-4+8)/2=4/2=2` 

 

`a=6` 

`b=8` 

`c=10` 


Przypadek II.

`a=6-r` 

`b=6` 

`c=6+r` 

 

`(6-r)^2+6^2=(6+r)^2` 

`36-12r+r^2+36=36+12r+r^2 \ \ \ |-r^2-36` 

`-12r+36=12r \ \ \ |+12r` 

`36=24r \ \ \ |:24` 

`36/24=r` 

`3/2=r` 

`1,5=r` 

 

`a=4,5` 

`b=6` 

`c=7,5` 

 

 

 

 

Rozwiąż...

`a) \ 5/x <5` 

 

Założenie:

`x ne 0` 

 

`5/x - 5 < 0` 

`5/x - (5x)/x < 0` 

`(5-5x)/x < 0 \ \ \ |*x^2` 

`x(5-5x)<0` 

`x_1 = 0  \ \ \ vv \ \ \ x_2=1` 

`x in (- infty, 0) \cup (1, infty)` 

 

Graficznie:

Naszkicujmy wykres funkcji y=5/x oraz półpłaszczyznę y<5:

 

 

 

`b) \ -3/x leq 1` 

 

Założenie:

`x ne 0` 

 

`-3/x -1 leq 0` 

`-3/x -x/x leq 0 \ \ \ |*(-1)`

`3/x + x/x geq 0` 

`(3+x)/x geq 0 \ \ \ |*x^2` 

`x(3+x) geq 0` 

`x_1 = 0 \ \ \ vv \ \ \ x_2 = -3` 

`x in (- infty , -3 ] \cup (0, infty)` 

 

Graficznie:

Naszkicujmy wykres funkcji y=-3/x oraz półpłaszczyznę y ≤ 1:

 

 

 

`c) \ 4/x geq -1` 

 

Założenie:

`x ne 0` 

 

`4/x geq -1` 

`4/x + 1 geq 0` 

`4/x + x/x geq 0` 

`(4+x)/x geq 0 \ \ \ |*x^2` 

`x(4+x) geq 0` 

`x_1 = 0 \ \ \ vv \ \ \ x_2=-4` 

`x in (- infty , -4] \cup (0,infty)` 

 

Graficznie:

 

Naszkicujmy wykres funkcji y= 4/x oraz półpłaszczyznę y ≥ -1:

 

 

 

`d) \ -2/x leq 4` 

 

Załozenie:

`x ne 0` 

 

`-2/x leq 4` 

`-2/x -4 leq 0` 

`-2/x -(4x)/x leq 0 \ \ \ |*(-1)` 

`2/x + (4x)/x geq 0` 

`(2+4x)/x geq 0 \ \ \ |*x^2` 

`x(2+4x) geq 0` 

`x_1 = 0 \ \ \ vv \ \ \ x_2 = -1/2` 

`x in (- infty , -1/2] \cup (0, infty)` 

 

 

Graficznie:

 

Naszkicujmy wykres funkcji y= -2/x oraz półpłaszczyznę y ≤ 4:

Trójkąt równoboczny ABC ma bok długości 20 cm

`a)` 

`|AM|=|BN|=|CP|=x` 

`|MC|=|PB|=|AN|=20-x` 

 

Oczywiście długości boków muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

`{(x>0), (20-x>0):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>0), (x<20):}\ \ \ =>\ \ \ x in (0,\ 20)` 

 

Zauważmy, że kąty przy wierzchołkach A, B, C są równe (mają po 60 stopni), więc trójkąty ANM, BPN, CMP są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok (mają 2 takie same boki a między nimi kąt 60°), czyli ich pola są takie same: 

`P_(DeltaANM)=P_(DeltaBPN)=P_(DeltaCMP)=1/2*x*(20-x)*sin60^o=sqrt3/4*x*(20-x)` 

 

Obliczmy pole trójkąta ABC:

`P_(DeltaABC)=(20^2sqrt3)/4=(400sqrt3)/4=100sqrt3` 

 

Pole trójkąta MNP obliczymy odejmując od pola trójkąta ABC 3 pola mniejszych trójkątów:

`P_(DeltaMNP)=100sqrt3-(3sqrt3)/4x(20-x)=` `100sqrt3-15sqrt3x+(3sqrt3)/4x^2=(3sqrt3)/4x^2-15sqrt3x+100sqrt3` 

 

 

 

`b)` 

Pole trójkąta MNP jest wyrażone za pomocą funkcji kwadratowej o dodatnim współczynniku a, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, jest osiągana wartość najmniejsza - w wierzchołku.

`x=p=(15sqrt3)/(2*(3sqrt3)/4)=` `(15sqrt3)/((3sqrt3)/2)=15sqrt3:(3sqrt3)/2=15sqrt3*2/(3sqrt3)=` `15*2/3=10` 

Wystarczy więc wybrać pinkty M, N, P w odległości 10 cm od wierzchołków A, B, C.  

 

 

Wykresy funkcji f(x) = ...

Dla `b=4`: ` \ f(x)=x^2+4x` 

`x`  `-5`  `-4`  `-3`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2` 
`3`  `4` 
`5` 
`y`  `5`  `0` 
`-3`  `-4`  `-3`  `0`  `5`  `12`  `21`  `32`    `45` 


 `f(-5)=(-5)^2+4*(-5)=25-20=5` 

 `f(-4)=(-4)^2+4*(-4)=16-16=0` 

 `f(-3)=(-3)^2+4*(-3)=9-12=-3` 

 `f(-2)=(-2)^2+4*(-2)=4-8=-4` 

 `f(-1)=(-1)^2+4*(-1)=1-4=-3` 

 `f(0)=0^2+4*0=0` 

 `f(1)=1^2+4*1=1+4=5` 

 `f(2)=2^2+4*2=4+8=12` 

 `f(3)=3^2+4*3=9+12=21` 

 `f(4)=4^2+4*4=16+16=32` 

 `f(5)=5^2+4*5=25+20=45` 

{premium}

 

Dla `b=2`: ` \ f(x)=x^2+2x` 

`x`   `-3`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2`   `3` 
`y`  `3`  `0`  `-1`  `0`  `3`  `8`  `15` 


 `f(-3)=(-3)^2+2*(-3)=9-6=3` 

 `f(-2)=(-2)^2+2*(-2)=4-4=0`

 `f(-1)=(-1)^2+2*(-1)=1-2=-1` 

 `f(0)=0^2+2*0=0` 

 `f(1)=1^2+2*1=1+2=3` 

 `f(2)=2^2+2*2=4+4=8` 

 `f(3)=3^2+2*3=9+6=15`  

 

Dla `b=0`: ` \ f(x)=x^2` 

`x`   `-3`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2`   `3` 
`y`  `9`  `4`  `1`  `0`  `1`  `4`  `9` 


 `f(-3)=(-3)^2=9` 

 `f(-2)=(-2)^2=4`

 `f(-1)=(-1)^2=1` 

 `f(0)=0^2=0` 

 `f(1)=1^2=1` 

 `f(2)=2^2=4` 

 `f(3)=3^2=9`  

 

Dla `b=-2`: ` \ f(x)=x^2-2x` 

`x`   `-3`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2`   `3`  `4` 
`y`  `15`  `8`  `3`  `0`  `1`  `0`  `3`   `8` 


 `f(-3)=(-3)^2-2*(-3)=9+6=15` 

 `f(-2)=(-2)^2-2*(-2)=4+4=8`

 `f(-1)=(-1)^2-2*(-1)=1+2=3` 

 `f(0)=0^2-2*0=0` 

 `f(1)=1^2-2*1=1-2=-1` 

 `f(2)=2^2-2*2=4-4=0` 

 `f(3)=3^2-2*3=9-6=3`  

 `f(4)=4^2-2*4=16-8=8`  

 

Dla `b=-4`: ` \ f(x)=x^2-4x` 

`x`   `-3`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2`   `3`  `4`  `5` 
`y`  `21`  `12`  `5`  `0`  `-3`  `-4`  `-3`  `0`  `5`  


`f(-3)=(-3)^2-4*(-3)=9+12=21` 

`f(-2)=(-2)^2-4*(-2)=4+8=12` 

`f(-1)=(-1)^2-4*(-1)=1+4=5` 

`f(0)=0^2-4*0=0` 

`f(1)=1^2-4*1=1-4=-3` 

`f(2)=2^2-4*2=4-8=-4` 

`f(3)=3^2-4*3=9=12=-3` 

`f(4)=4^2-4*4=16-16=0` 

`f(5)=5^2-4*5=25-20=5` 

 

Zajmiemy się teraz ustaleniem współczynnika `b` tak, aby prosta  `y=-9` miała dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą  `f(x)=x^2+bx`.

Punktem tym musi być wierzchołek paraboli `(p,q)`. Zatem  `q=-9`.

Przypomnijmy jeszcze wzór na druga współrzędną wierzchołka: `q=(-Delta)/(4a)`.

`Delta=b^2-4*1*0=b^2` 

Podstawmy teraz znane wartości do wzoru i rozwiążmy równanie

`-9=(-b^2)/(4*1)`

`-9=(-b^2)/(4) \ \ \ \ \ |*4`

`-36=-b^2 \ \ \ \ \ |*(-1)`

`36=b^2` 

`b^2=36 \ \ \ \ \ |sqrt` 

`b=-6`  lub   `b=6`   

Napisz równanie prostej równoległej do prostej...

Prosta równoległa do prostej y = -2x + 2 jest dana równaniem:

`y = -2x+b` 

 

Wstawmy współrzędne punktu A:

`4 = -2*2 + b` 

`4 = -4 + b` 

`b = 8` 

 

Równanie tej prostej to:

`y = -2x+8`