Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe. Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $$(a+b)(a+b)(a+b)$$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $$a^3$$ i $$b^3$$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $$3ab^2$$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $$a$$, a z jednego $$b$$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $$abb$$ $$bab$$ $$bba$$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $$3a^2b$$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $$b$$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $$a^3$$ i $$b^3$$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $$ab$$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $$a^3$$ lub $$b^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Które wyrażenie...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

Odpowiedź: Wyrażenie I ma większą wartość.

Wyznacz wyrażenie W=2S-3T

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `2x^5+6x^4+3` 

 

{premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `3x^2-4x-10` 

Rozwiąż układ równań ...

Rozwiązujemy układ równań

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne {premium}

 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Wyznaczamy rownanie matematyczne dla rownanie matematyczne:

rownanie matematyczne.

Wyznaczamy rownanie matematyczne dla rownanie matematyczne:

rownanie matematyczne.

 

Rozwiązaniem układu równań są pary liczb

rownanie matematyczne  i  rownanie matematyczne 

Magda i Ola podjęły pracę wakacyjną w dwóch różnych pizzeriach

rownanie matematyczne

Opiszmy zarobki dziewcząt (w zł) w zależności od liczby dostarczonych pizz (tą liczbę oznaczmy x) jako funkcje:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Policzmy, ile zarabia każda z dziewczyn, jeśli dostarczy 30 pizz:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

ODP: Jeśli średnia liczba dostaw wynosi 30, to korzystniejsze warunki pracy wybrała Magda.

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

ODP: Zarobek dziewczyn będzie identyczny, jeśli średnia liczba dostaw wyniesie 40. 

Uzasadnij, że liczba log₂√6 + ...

Sprawdzamy, czy liczba określona następująco:

rownanie matematyczne 

jest liczbą wymierną.

 

Korzystamy z tw. o logarytmie iloczynu oraz tw. o logarytmie ilorazu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Liczbę 2 możemy zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie p,q C oraz q 0, więc jest to liczba wymierna.

rownanie matematyczne 

 

Odp: Liczba określona za pomocą podanego w treści zadania wyrażenia jest równa 2, czyli jest liczbą wymierną.

Wyznacz wartość parametru a ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

{premium}

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 `10+5a^2-90+75=0`

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne    

Rozwiąż równania:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

` `

Dane są funkcje f(x)= ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

Skoro a i c są różnych znaków to również b i d muszą być różnych znaków.

Zatem funkcje f i g przedstawia rysunek III.

Wskaż zbiór rozwiązań równania....

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  zbiór rozwiązań  

Naszkicuj wykres funkcji f ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne