Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe (przeczytaj). Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $$ (a+b)(a+b)(a+b) $$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $$ a^3 $$ i $$ b^3 $$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $$3ab^2$$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $$a$$, a z jednego $$b$$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $$abb$$ $$bab$$ $$bba$$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $$3a^2b$$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $$b$$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $$a^3$$ i $$b^3$$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $$ab$$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $$a^3$$ lub $$b^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj dziedzinę funkcji f

Nie wolno dzielić przez 0, więc musimy zadbać o to, aby w mianowniku na pewno nie było 0. 

 

`a)`

`x-1ne0\ \ \ |+1`

`xne1`

 

`D=RR\\{1}`

 

 

`b)`

`x+2ne0\ \ \ |-2`

`xne-2`

 

`D=RR\\{-2}`

 

 

`c)`

`3x-1ne0\ \ \ \ |+1`

`3xne1\ \ \ \ |:3`

`xne1/3`

 

`D=RR\\{1/3}`

 

 

`d)`

`2x+5ne0\ \ \ \|-5`

`2xne-5\ \ \ \ |:2`

`xne-5/2`

 

`D=RR\\{-5/2}`

 

 

Suma pierwszego, trzeciego i piątego wyrazu...

`{(a_1+a_3+a_5=21),(a_3-a_1=3):}` 

`{(a_1+a_1q^2 +a_1q^4=21),(a_1q^2-a_1=3):}` 

`{(a_1(1+q^2+q^4)=21),(a_1(q^2-1)=3 \ \ \ |:(q^2-1) "," \ \ \ q ne {-1,1}):}` 

Iloraz jest różny od -1 bo jest monotoniczny oraz jest różny od 1 bo różnica elementu trzeciego i pierwszego jest różna od 0.

`{(a_1=21/(1+q^2+q^4)),(a_1=3/(q^2-1)):}` 

A więc:

`21/(1+q^2+q^4) = 3/(q^2-1)` 

`21(q^2-1) = 3(1+q^2+q^4)` 

`21q^2-21 = 3+3q^2+3q^4` 

`3q^4-18q^2+24=0 \ \ \ |:3` 

`q^4 -6q^2 + 8 =0` 

`q^4 - 2q^2 - 4q^2 + 8 =0` 

`q^2 (q^2-2)-4(q^2-2)=0` 

`(q^2-2)(q^2-4)=0` 

`(q-sqrt2)(q+sqrt2)(q-2)(q+2)=0` 

Skoro ciąg jest monotoniczny to q nie może być ujemne.

`q_1 = sqrt2 \ \ vv \ \ q_2 = 2` 

 

`"Dla" \ q_1 = sqrt2` 

`a_1 = 3/(q^2-1) = 3/(2-1) = 3` 

`a_n = a_1 *q^(n-1) = 3*(sqrt2)^(n-1)` 

 

`"Dla" \ q_2 = 2` 

`a_1 = 3/(q^2-1) = 3/(4-1) = 3/3=1` 

`a_n = a_1 * q^(n-1) = 2^(n-1)` 

Odległość prostej l od środka...

Usuńmy niewymierność z mianownika:

`1/(sqrt2-1) *(sqrt2+1)/(sqrt2+1) = (sqrt2+1)/(2-1) = sqrt2+1` 

A więc odległość prostej od środka okręgu jest równa długości promienia, zatem prosta l jest styczną.

Odpowiedź B

Niech w(x)

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 24. Dzielniki 24 to: -24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4-2*1^3-11*1^2+6*1+24=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1-2-11+6+24=18ne0`

`w(2)=2^4-2*2^3-11*2^2+6*2+24=`

`\ \ \ \ \ \ \ =16-2*8-11*4+12+24=`

`\ \ \ \ \ \ \ =16-16-44+12+24=-8ne0`

`w(-2)=(-2)^4-2*(-2)^3-11*(-2)^2+6*(-2)+24=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =16-2*(-8)-11*4-12+24=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =16+16-44-12+24=0`

Liczba -2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+2). Wykonajmy dzielenie pisemne.    

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x+2)(x^3-4x^2-3x+12)=(x+2)(x^2(x-4)-3(x-4))=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x+2)((x-4)(x^2-3))=(x+2)(x-4)(x^2-3)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x+2)(x-4)(x^2-sqrt3^2)=(x+2)(x-4)(x-sqrt3)(x+sqrt3)`

Pierwiastki wielomianu w:

`x in {-2;\ 4;\ sqrt3;\ -sqrt3}`

W zbiorze pierwiastków wielomianu w tylko dwa są liczbami całkowitymi (-2 i 4), więc prawidłowa jest odpowiedź B.  

Udowodnij, że jeżeli dla dodatnich liczb...

`1/(2a) + 1/(2b) = 2/(a+b)` 

`b/(2ab) + a/(2ab) = 2/(a+b)` 

`(a+b)/(2ab) =2/(a+b)` 

`(a+b)^2 = 2*2ab`  

`a^2 + 2ab + b^2 = 4ab` 

`a^2 - 2ab + b^2 =0` 

`(a-b)^2 =0` 

`a-b =0` 

`a=b` 

Dla jakich wartości parametru ...

`a)` 

`F(x)=(m-2x)/(mx +1)` 

`mx+1ne0` 

`mxne-1`

Zauważmy, że tylko dla m=0 możemy być pewni, że mianownik będzie różny od zera dla dowolnego x.

`ul(m=0)` 

 

`b)` 

`F(x)=(x+1)/(2x^2+mx+2)` 

`D:\ 2x^2+mx+2ne0` 

Skoro powyższe wyrażenie musi być różne od zera dla dowolnego x to:

`Delta<0` 

`m^2-16<0` 

`m^2<16` 

`m<4\ \ \wedge \ \ \m> -4` 

`ul(m in (-4;4)`     

Uzasadnij, że podana równość

Przypomnijmy własność symbolu Newtona:

`((n),(k))=((\ \ \ n),(n-k))` 

 

Można łatwo wykazać tę równość:

`((n),(k))=(n!)/(k!(n-k)!)=(n!)/((n-k)!*k!)=(n!)/((n-k)!*(n-(n-k))!)=((\ \ \ n),(n-k))` 

 

Zachodzą więc równości:

`((n),(0))=((n),(n))` 

`((n),(1))=((\ \ \ n),(n-1))` 

`((n),(2))=((\ \ \ n),(n-2))` 

`((n),(3))=((\ \ \ n),(n-3))` 

I tak dalej, dla kolejnych wartości k. 

 

Zauważmy, że ilość wszystkich symboli Newtona (po jednej i po drugiej stronie) jest równa n+1. Wiemy, że liczba n jest nieparzysta, więc n+1 jest liczbą parzystą. Po obu stronach równości znajduje się wiec jednakowa ilość symboli Newtona, a każdy z tych symboli ma parę (jak zauważyliśmy wcześniej). Rozpisując lewą stronę dojdziemy do prawej strony:

`L=((n),(0))+((n),(2))+...+((\ \ \ n),(n-1))=((n),(n))+((\ \ \ n),(n-2))+...+((n),(1))=((n),(1))+...+((\ \ \ n),(n-2))+((n),(n))=P` 

 

Uzupełnij tabelę

Wyznacz ekstrema funkcji f.

`a) \ f^' (x) = (-x^3 + 3x^2 + 9x + 2)^' = (-x^3)^' + (3x^2)^' + (9x)^' + (2)^' = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2-2x-3)=` 

`-3(x^2 + x - 3x - 3) = -3(x(x+1) -3(x+1)) = -3(x+1)(x-3)` 

``

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ -3(x+1)(x-3) =0` 

`x_1 = -1 \ \ vv \ \ x_2 = 3` 

Wykresem funkcji jest parabola. Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc

`f^'(x) < 0 \ \ "Dla" \ x in (-infty, -1) \cup (3, infty)` 

`f^'(x) > 0 \ \ "Dla" \ x in (-1, 3)` 

A więc funkcja f ma ekstremum w punktach -1 , 3.

Minimum:

`f(-1) = -(-1)^3 + 3*(-1)^2 + 9*(-1) + 2 = 1 + 3 -9 + 2 = -3` 

Maksimum:

`f(3) = -3^3 + 3*3^2 + 9*3 + 2 = -27 + 27 + 27 + 2 = 29` 

 

`b) \ f^' (x) = (x^4 - 8x^2 + 6)^' = (x^4)^' - (8x^2)^' + (6)^' = 4x^3 - 16x = 4x(x^2-4) = 4x(x-2)(x+2)` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ 4x(x-2)(x+2) =0` 

`x_1 = 0 \ \ vv \ \ x_2 = 2 \ \ vv \ \ x_3 = -2` 

 

  `(-infty,-2)`  `-2`   `(-2;0)`  `0`  `(0;2)`  `2`  `(2;infty)` 
`x+2`  `-`  `0`  `+`  `+`  `+`  `+`  `+` 
`x`   `-`  `-`  `-`  `0`  `+`  `+`  `+` 
`x-2`  `-`  `-`  `-`  `-`  `-`  `0`  `+` 
znak `-`  `0`  `+`  `0`  `-`  `0`  `+` 

W każdym punkcie, gdzie wartość pochodnej wynosi 0, dochodzi do zmiany znaku pochodnej a więc funkcja f ma ekstremum w punktach -2, 0, 2.

Minimum:

`f(-2) = (-2)^4 - 8*(-2)^2 + 6 = 16 -8*4 + 6 = 16 - 32 + 6 = -10` 

`f(2) = 2^4 - 8*2^2 + 6 = 16 - 8*4 + 6 = 16 - 32 + 6 = -10` 

Maksimum:

`f(0) = 0-8*0 + 6 = 6` 

 

`c) \ f^'(x) = (1/2x^4+x^2-3)^' = (1/2x^4)^' + (x^2)^' - (3)^' = 1/2 * 4 x^3 + 2x = 2x^3+ 2x = 2x(x^2+1)` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ 2x(x^2+1) =0` 

`2x(x^2+1) =0` 

`2x = 0` 

`x_1 = 0` 

Na lewo od punktu 0 wartość pochodnej jest ujemna, na prawo dodatnia a więc w punkcie 0 funkcja f ma ekstremum, jest to minimum.

`f(0) = 1/2*0+0-3 = -3` 

 

`d) \ f^' (x) = (x^5 + x^2 - 2)^' = (x^5)^' + (x^2)^' - (2)^' = 5x^4 + 2x = x(5x^3 + 2)` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ x(5x^3+2) = 0` 

`x(5x^3 + 2) =0` 

`x_1 = 0 \ \ vv \ \ 5x^3+2=0` 

`x_1 = 0 \ \ vv \ \ x^3 = -2/5` 

`x_1 = 0 \ \ vv \ \ x_2 = -root(3)(2/5)`

 

  `(-infty,-root(3)(2/5))`  `-root(3)(2/5)`   `(-root(3)(2/5);0)`  `0`  `(0;infty)` 
`(5x^3+2)`   `-`  `0`  `+`  `+`  `+` 
`x`  `-`  `-`  `-`  `0`  `+` 
znak `+`  `0`  `-`  `0`  `+` 

A więc funkcja ma ekstremum w punktach:

`- root(3)(2/5) \ , \ 0` 

Maksimum:

`f(-root(3)(2/5)) = (-root(3)(2/5))^5 + (-root(3)(2/5))^2 - 2 = -root(3)((2/5)^3  (2/5)^2) + root(3)((2/5)^2) - 2 = - 2/5*root(3)(4/25) + root(3)(4/25) - 2 = 3/5 root(3)(4/25) -2` 

Minimum:

`f(0) = 0+0-2 = -2` 

 

`e) \ f^' (x) = (1/2x^2+1/x)^' = (1/2x^2)^' + (1/x)^' = x - 1/x^2` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ x - 1/x^2 =0` 

`x - 1/x^2 =0 \ \ \ |*x^2` 

`x^3 - 1 =0` 

`x^3 = 1` 

`x_1 = 1` 

Na lewo od punktu 1 wartość pochodnej jest ujemna, natomiast na prawo jest dodatnia a więc funkcja ma ekstremum w punkcie 1. Jest to minimum.

`f(1) = 1/2*1 + 1/1 = 1/2 + 1 = 3/2` 

 

`f) \ f^' (x) = (x^3 + 3/x)^' = (x^3)^' + (3/x)^' = 3x^2 - 3/x^2` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ 3x^2 - 3/x^2 =0` 

`3x^2 - 3/x^2 =0 \ \ \ |*x^2` 

`3x^4 - 3 =0` 

`x^4 - 1 =0` 

`(x^2-1)(x^2+1)=0` 

`(x-1)(x+1)(x^2+1)=0` 

`(x-1)(x+1)=0` 

`x_1 = 1 \ \ vv \ \ x_2 = -1` 

 

  `(-infty,-1)`  `-1`   `(-1;1)`  `1`  `(1;infty)` 
`(x+1)`   `-`  `0`  `+`  `+`  `+` 
`x-1`  `-`  `-`  `-`  `0`  `+` 
znak `+`  `0`  `-`  `0`  `+` 

A więc funkcja ma ekstremum w punktach -1, 1.

Maksimum:

`f(-1) = (-1)^3 + 3/(-1) = -1 - 3 = -4` 

Minimum:

`f(1) = 1^3 + 3/1 = 1 + 3 = 4` 

Zaznacz w układzie współrzędnych...

`a) \ B={(x,y) in R^2 : x^2 - 6x + y^2 leq 0}` 

`x^2 - 6x + y^2 leq 0 \ \ \ |+9`

`x^2 - 6x + 9 + y^2 leq 9`

`(x-3)^2 + y^2 leq 9`

 

`A= {(x,y) in R^2:x^2 + y^2 leq 9 }`

 

`A cap B`

 

 

`A \\ B`

 

 

`b) \ A={(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 - 2y leq 15}`

`x^2 + y^2 - 2y + 1 leq 16`

`x^2 + (y-1)^2 leq 16`

 

`B= {(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 + 4y leq 9 }`

`x^2 + y^2 + 4y + 4 leq 13`

`x^2 + (y+2)^2 leq 13`

 

`A cap B`

 

`A \\ B`

 

 

`c) \ A={(x,y) in R^2 : y geq x^2 -4 }`

 

`B={(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 - 8y + 7 leq 0}`

`x^2 + y^2 -8y + 7 leq 0 \ \ \ |+9`

`x^2 + y^2 - 8y + 16 leq 9`

`x^2 + (y-4)^2 leq9`

 

`A cap B`

 

`A \\ B`