Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe. Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $$(a+b)(a+b)(a+b)$$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $$a^3$$ i $$b^3$$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $$3ab^2$$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $$a$$, a z jednego $$b$$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $$abb$$ $$bab$$ $$bba$$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $$3a^2b$$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $$b$$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $$a^3$$ i $$b^3$$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $$ab$$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $$a^3$$ lub $$b^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeden bok prostokąta

 

 

 

 

 

 

 

 

W obliczeniu pola prostokąta po zmianach skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. 

 

 

Wiemy, że pole prostokąta zmniejszyło się o mniej niż jeden promil. Promil oznacza częśc tysięczną. 

Różnica pól jest więc mniejsza niż tysięczna część początkowego pola. Zapiszmy nierówność:

 

Możemy podzielić powyższą nierówność obustronnie przez xy. Liczby x oraz y oznaczają długości boków, są więc liczbami dodatnimi, więc nie ma niebezpieczeństwa dzielenia przez 0. Wyrażenie xy jest dodatnie, więc nie zmieniamy znaku nierówności. 

 

 

 

 

Szukamy liczb naturalnych dodatnich, których kwadrat jest mniejszy od 10. Takie liczby to: 1, 2, 3.

Oblicz sumę ...

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

   

   

Wykonaj rysunek przedstawiający interpretację

W każdym przykładzie obliczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu. 

 

  

Wzrostowi argumentu o pięć jednostek odpowiada wzrost wartości funkcji o dwie jednostki. 

 

 

 

Wzostowi argumentu o trzy jednostki odpowiada wzrost wartości funkcji o cztery jednostki. 

 

 

 

Wzrostowi argumentu o trzy jednostki odpowiada spadek wartości funkcji o cztery jednostki. 

 

 

 

Wzrostowi argumentu o pięć jednostek odpowiada spadek wartości funkcji o dwie jednostki. 

 

Wyznacz granicę ciągu...

 

 

 

 

 

 

 

 


 lim_(n -> oo) (1/2 n^2(3+1/n))/(n^2(2-1/n)) = lim_(n -> oo) (1/2(3+(1/n)->0 ))/((2-(1/n)->0 )) = (1/2*3)/(2) = 3/4

Oblicz odległości...

 

 

 

Narysuj trzy proste przecinające się parami

Z prostokątnego arkusza kartonu ...

Prostokątny karton miał wymiary 30 cm na 40 cm. 

Z narożników wycięto kwadraty o boku długości x.

a) Obliczmy objętość pudełka, które powstało po złożeniu kartonu.

Rysunek pomocniczy:

Pudełko to ma wymiary: 30-2x cm, 40-2x cm oraz x cm (x - wysokość pudełka).

Wielomian opisujący objętość pudełka w zależności od zmiennej x:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji opisującej objętość pudełka. Oczywiste jest, że jeżeli wycinamy w narożniku prostokątnego kartonu kwadrat o boku długości x, to długość ta musi być większa od 0. Z drugiej strony długość x, musi być mniejsza od 15 cm (połowy długości krótszego boku). Gdyby x był równy 15 cm, to odcinając z krótszego boku narożniki, odcielibyśmy cały pas o szerokości 15 cm (nie zostałoby nic do złożenia, tak aby otrzymać pudełko).

b) Z wykresu możemy odczytać, że dla x=5 pudełko osiąga największą (3000 cm3) objętość.

Z punktu a) wiemy, że wymiary pudełka to: 30-2x, 40-2x, x.

Podstawiając 5 w miejsce x do długości krawędzi otrzymamy: 20, 30, 5.

Odp: Największą objętość ma pudełko o wymiarach około 20 cm x 30 cm x 5 cm.

c) Sprawdzamy czy spełniona jest nierówność:

Odp: Zadana nierówność nie jest spełniona.

W trapezie ABCD ramiona mają długości 10 cm i 6 cm...

I trapez

 

Trójkąt ABD jest równoramienny, więc:

Niech h to wysokość trapezu, a x - wysokość trójkąta ABD opuszczona na bok AD.

Z twierdzenie Pitagorasa:

Zauważmy, że h jest również wysokością trójkąta ABD, więc pole tego trójkata możemy zapisać na dwa sposoby. Stąd:

Obliczmy traz długości y i z.

 

Obliczamy teraz długość boku CD:

 

II trapez

 

 

Prowadzimy takie same obliczenia jak w trapezie I

co daje sprzeczność, więc drugi przypadek nie jest możliwy. Stąd:

Oblicz objętość sześcianu

 

{premium}

 

 

 

 

 

Dana jest funkcja liniowa f o wzorze

Funkcja liniowa jest malejąca, jeśli jej współczynnik kierunkowy jest ujemny.

 

 

Wykresy funkcji liniowych są prostopadłe, jeśli iloczyn współczynników kierunkowych tych funkcji wynosi -1: