Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe. Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$
$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $(a+b)(a+b)(a+b)$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $a^3$ i $b^3$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $3ab^2$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $a$, a z jednego $b$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $abb$ $bab$ $bba$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $3a^2b$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $b$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $a^3$ i $b^3$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $ab$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $a^3$ lub $b^3$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W ciągu arytmetycznym ...

 

 

{premium}   

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Które...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz.

{premium}   

 

 

Wskaż liczbę jednakowo odległą ...

Zauważmy, że liczba jednakowo odległa od dwóch liczb to średnia arytmetyczna tych liczb. {premium}

  

 

 

 

Przeprowadź w klasie badanie...
Indywidualne
Oblicz.

 

     {premium}

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

  

Sprawdź, czy trójkąty ABC i DEF...

 

 

{premium}  

 

  

 

 

 

Trójkąty są przystające na podstawie cechy bbb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdźmy czy:

 

 

Trójkąty są podobne.

Na hiperboli o równaniu ...

Punkt C należy do hiperboli  , zatem jest postaci:

 

Dodatkowo z treści zadania wiemy, że x<0. {premium}

 

 

 

 

Obliczmy pole trójkąta o tych współrzędnych.

Przypomnijmy wzór na pole trójkąta:

 

 

 

 

 

Dodatkowo wiemy, że x<0, zatem:

 

 

Aby wyznaczyć wartość x, dla której pole trójkąta jest najmniejsze rozpatrzmy funkcję:

 

Należy wyznaczyć minimum tej funkcji (wtedy trójkąt ABC będzie najmniejszy). Wyznaczmy pochodną funkcji f, a następnie ekstrema tej funkcji.

 

 

Sprawdźmy kiedy f'(x)=0.

 

 

 

 

Wiemy, że x<0 zatem otrzymujemy:

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne punktu C.

 

 

 

 

 

 

 

Prostokąt ABCD jest wpisany w okrąg...

Rysunek pomocniczy:


Mamy dane:

 


Wyznaczamy współrzędne punktów A i B (punkty przecięcia prostej AB i okręgu):{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

 

 

 

Współrzędne środka okręgu: S=(-2, -3).


Korzystając z działań na wektorach obliczamy współrzędne punktu C=(xC, yC)

 

 

 

Porównujemy odpowiednie współrzędne wektorów.

 

 

 


Analogicznie obliczamy współrzędne punktu D=(xD, yD)

 

 

 

Porównujemy odpowiednie współrzędne wektorów.

 

 

 


Obliczamy długości boków AB i BC:

 

 


Obliczamy pole prostokąta:

 


Odp. Pole prostokąta jest równe 40.

Wykaż, że jeżeli ...

  

{premium}  

 

   

 

 

 

    

Kąt β ma miarę 60 stopni.