Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe. Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $$(a+b)(a+b)(a+b)$$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $$a^3$$ i $$b^3$$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $$3ab^2$$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $$a$$, a z jednego $$b$$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $$abb$$ $$bab$$ $$bba$$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $$3a^2b$$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $$b$$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $$a^3$$ i $$b^3$$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $$ab$$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $$a^3$$ lub $$b^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj wykres funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

 

c) Wykres:

Na ile sposobów można wybrać...

a) Wybieramy 2 osoby spośród 7 osób.

 

{premium}

b) Wybieramy 3 osoby spośród 7 osób.

 

c) Wybieramy 4 osoby spośród 7 osób.

 

Okrąg o środku O

Zbiorem wartości funkcji...

Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji:

 

jest zbiór:

 

 

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji g o 2 jednostki w lewo to otrzymamy:

 

skoro przesuwamy równoległe do osi X to znaczy, że zbiór wartości będzie taki sam.

 

Odpowiedź D

Rozwiąż równanie.

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz współczynnik

 

Jeśli podana liczba ma być miejscem zerowym funkcji f, to musi zachodzić równość:

 

 {premium}

 

 

 

 

Funkcja f jest więc dana wzorem:

 

Wystarczy więc wykres funkcji g(x)=|3x| przesunąć o 1/2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX.   

 

 

 

 

Jeśli podana liczba ma być miejscem zerowym funkcji f, to musi zachodzić równość:

 

 

 

 

 

 

Funkcja f jest więc dana wzorem:

 

 

Wystarczy więc wykres funkcji g(x)=|1/2x| przesunąć o 4 jednostki w lewo wzdłuż osi OX.   

 

Wyznacz wartości parametru m tak, aby ...

 

  

 

 

 

{premium}

 

 

  

 

 

  

 

 

 

 

 

  

   

 

 

 

  

 

 

 

 

 

     

Podaj współczynnik kierunkowy

 

Wykres funkcji f(x)...

Naszkicujmy wykres funkcji:

 

 

Przesuńmy wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół, otrzymamy wtedy wykres funkcji g dany wzorem:

 

Zauważmy, że:

 

oraz

 

 

 

 

 

Krawędź boczna ostrosłupa

 

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

 

  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy, jaką długość ma odcinek a, czyli połowa przekątnej podstawy:

 

 

 

 

 

 

Przekątna podstawy ma więc długość 6. Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Kwadrat jest w szczególności rombem (bo ma 2 pary boków równoległych, a wszystkie boki są jednakowej długości), więc jego pole możemy obliczyć tak, jak pole rombu - biorąc połowę iloczynu długości przekątnych. 

 

 

Obliczamy objętość:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa oraz z zależności h=2a wyrazimy H za pomocą a:

 

 

 

 

 

 

Musimy obliczyć sinus kąta alfa:

  

 

 

Długość H mamy wyrażoną za pomocą a. Musimy więc wyrazić długość c za pomocą a - wtedy a się skróci i otrzymamy wartość sinusa. 

Znamy długość wysokości ściany bocznej (h) w zależności od a. Wykonajmy więc rysunek pomocniczy - narysujmy ścianę boczną. 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

  

 

 

Obliczamy szukaną wartość sinusa: