Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe. Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$
$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $(a+b)(a+b)(a+b)$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $a^3$ i $b^3$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $3ab^2$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $a$, a z jednego $b$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $abb$ $bab$ $bba$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $3a^2b$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $b$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $a^3$ i $b^3$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $ab$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $a^3$ lub $b^3$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj wykres funkcji...

W przedziale (-∞, 2) rysujemy wykres funkcji y=1/2x+3, a w przedziale <2,+∞) - wykres funkcji y=-2x+5.{premium}


Z rysunku odczytujemy, że równanie f(x)=m ma dwa rozwiązania dla m ∈ (-∞, 1>.

Narysuj dowolny czworokąt i konstruując...

Przykładowe rozwiązanie:   {premium}



Symetralne boków tego czworokąta nie przecinają się w jednym punkcie, zatem na tym czworokącie nie można opisać okręgu.

Wyznacz największą liczbę z przedziału...

 

 

 

 

 

 

Podstawienie pomocnicze:

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

Po uzgodnieniu z dziedziną:

 

 

 

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

 

 

 

 

 

Ze wzoru na sumę cosinusów:

 

 

 

 

 

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

 

 

 

Podstawienie pomocnicze:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny zostaje nam:

 

 

  

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

Przekątna prostokąta ...

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

  

 

 

 

  

    

 

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

Oblicz, jaki ułamek wszystkich kwadratów...
Numer prostokąta 1 2 3 4 5 n
Liczba niebieskich kwadratów 6 10 14 18 22 4n+2{premium}
Liczba wszystkich kwadratów 12 30 56 90 132 4n2+6n+2
Stosunek liczby niebieskich kwadratów do liczby wszystkich kwadratów 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/n+1


 

 

 

 

 


 

 

 


Obliczmy dla jakich n liczba niebieskich kwadratów stanowi mniej niż 1% (czyli 0,01) wszystkich kwadratów:

 

 

 

 

 


Odp.: Liczba niebieskich kwadratów stanowi mniej niż 1% dla liczb n większych niż 99. 

Na trójkącie prostokątnym ABC o przyprostokątnych długości...

Średnicą koła jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Obliczmy długość przeciwprostokątnej:

 

 

{premium}  

 

 

Zatem promień jest równy:

 

 

a) Pole trójkąta ABC:

  

 

Pole koła:

 

 

Stosunek pola koła do pola trójkąta ABC:

 

 

b) Obwód trójkąta ABC:

 

 

Obwód koła:

 

 

Stosunek obwodu koła do obwodu trójkąta ABC:

 

  

Napisz równanie okręgu stycznego do osi y ...

Szukamy punktu przecięcia prostych  i

 

 

 

Do równania okręgu w miejsce niewiadomej  podstawiamy{premium}  

 

 

 

 

 .

Wyznaczamy  

.

Środek okręgu ma współrzędne

.

Okrąg ma być styczny do osi , więc promień jest równy .

Równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu :

.

Równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu :

.

Wyznacz wyraz ogólny ciągu geometrycznego...

Wyraz ogólny ciągu geometrycznego  wyraża się wzorem:

 

 

{premium}  Mamy  

Obliczamy       

 

 

 Mamy  

Obliczamy       

 

 

 Mamy  

Obliczamy       

 

Codziennie rano Karol przebiega dystans 15 km...

Wzór na prędkość:

 

 

 

Droga do lasu:

 

 

Droga z lasu:

 

 

Drogę powrotną pokonuje z prędkością o 1,5 km/h mniejszą:

 

 

Jogging trwa 2,25 godziny:

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Zredukujmy pierwsze równanie:

  

 

 

 

 

Stąd:

 

 

Rozwiążmy drugie równanie:

 

 

 

 

 

 

Bierzemy pod uwagę tylko dodatnie t:

  

 

 

 

 

Kulę o środku O przecięto płaszczyzną...

Pole powierzchni kuli:

 

Objętość:

 

 

Rysunek poglądowy:    {premium}

Kąty oznaczone literami alfa są równe gdyż są to kąty naprzemianległe.


 

 

 

 

 

Pole powierzchni:

 

Objętość:

 


 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

Pole powierzchni:

 

Objętość:

 


 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole powierzchni:

 

Objętość: