Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe. Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$
$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $(a+b)(a+b)(a+b)$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $a^3$ i $b^3$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $3ab^2$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $a$, a z jednego $b$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $abb$ $bab$ $bba$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $3a^2b$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $b$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $a^3$ i $b^3$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $ab$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $a^3$ lub $b^3$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie. Wprowadź pomocniczą niewiadomą.

 

Pomocnicze podstawienie:

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

  

 

 

Pomocnicze podstawienie :

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy wyróżniki dla obu trójmianów:

 

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 

W trójkącie prostokątnym ABC wysokość CD poprowadzono...

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:    

      {premium}

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach ADC i BCD:

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

Z podpunktu a wiemy, że:

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

Z podpunktu a wiemy, że:

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przez punkt P odległy o 6 od środka

{premium}

Każdy z trzech poniższych ...

1.

Pierwiastki wielomianu :

 {premium}

Pierwiastki wielomianu :

 

Równanie  nie ma rozwiązań, ponieważ:

 

Pierwiastki wielomianu :

 

 

2.

Przykładowe rozwiązanie:

 

 

3.

Przykładowe rozwiązanie:

 

Miara kąta między ramionami ...

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Niech a - oznacza krawędź podstawy, b - krawędź boczną, h - wysokość ściany bocznej.  {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zaznacz na płaszczyźnie kartezjańskiej...

a) Rysujemy wykres funkcji y=x2 i na jego podstawie wykres funkcji y=2x2.

{premium}

Zaznaczamy zbiór rozwiązań nierówności y≤2x2.


b) Oznaczmy:

 

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

 

Aby narysować wykres funkcji f, wystarczy przysunąć wykres funkcji y=x2 równolegle o wektor [2, 0]. Otrzymamy wówczas wykres funkcji g(x)=(x-2)2. Następnie na postawie wykresu funkcji g należy narysować wykres funkcji f(x)=1/2g(x).

Zaznaczamy zbiór rozwiązań nierówności y1/2x2-2x+2.

 

Podaj wyrazy a_9, a_11, ...

   

 

 

 

 

 {premium}


   

 

 

 

 


   

 

 

 

 


   

 

 

 

 

Znając równanie prostej l ...

Wyznaczmy prostą l w postaci kierunkowej.

 

 

 


a) Prosta równoległa do prostej l ma taki sam współczynnik kierunkowy, zatem jest postaci: {premium}

 

Podstawiając współrzędne punktu K otrzymujemy:

 

 

 

Zatem szukana prosta jest postaci:

 

 

 


b) Iloczyn współczynników prostych prostopadłych jest równy -1, zatem:

 

 

Zatem szukana prosta jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu M otrzymujemy:

 

 

 

Zatem szukana prosta jest postaci:

 

 

 

Boki trójkąta ABC mają długości...

Skala podobieństwa trójkąta KLM do trójkąta ABC wynosi:{premium}

 

Obwód trójkąta ABC wynosi:

 

Zatem obwód trójkąta KLM wynosi:

 

 

Odpowiedź A

W jakim trójkącie...

a) Wysokość i środkowa zawierają się w dwusiecznej zatem{premium} wysokość dzieli podstawę na połowy a kąt przy wierzchołku, z którego wychodzi wysokość jest podzielony na dwa kąty o takiej samej mierze:

Jest to trójkąt równoramienny.

b) Niech wysokością będzie odcinek CE, odcinek CF będzie zawierał się w dwusiecznej a odcinek CD będzie środkową. Wtedy:

Trójkąt ABC jest różnoboczny.