Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wzory skróconego mnożenia dla sześcianów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe. Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$
$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $(a+b)(a+b)(a+b)$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $a^3$ i $b^3$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $3ab^2$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $a$, a z jednego $b$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $abb$ $bab$ $bba$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $3a^2b$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $b$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $a^3$ i $b^3$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $ab$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $a^3$ lub $b^3$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Okrąg o środku ...

 - ponieważ są to kąty wierzchołkowe.

 

 - ponieważ są to kąty wierzchołkowe

 - ponieważ trójkąty  są równoramienne

Wobec tego  

 

Podobnie dla trójkątów  

 

 

Więc: 

 

 

Trójkąty   są równoramienne, czyli:

 

 

Trójkąty ABP i EFP są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.

Oblicz granicę.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

` `

Rozwiąż nierówność ...

 

 

      {premium}

 

Przypadek, gdy  

 

 

sprzeczność

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

Suma całkowitych rozwiązań mniejszych od 15:

 

 

Wskaż dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W...

Dzielnikami są:  

Sprawdzamy, który z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu  

 

 

 {premium}

 

Odp. Żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu  


Dzielnikami są:  

Sprawdzamy, który z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu  

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkiem wielomianu jest liczba  

Figura na rysunku składa się z czterech...

Pola trzech pierwszych prostokątów tworzą ciąg geometryczny zatem:

  

Pola trzech ostatnich prostokątów tworzą ciąg arytmetyczny zatem:

`2P_3 = P_2 + P_4` 

 

 

 

Stąd:

 

 

`4P_3^2 - 17 P_3 + 4 =0` 

 

 

 

 

 

 

Pole musi być dodatnie zatem:

 

 

Pole figury jest równe:

 

Odpowiedź C

Na rysunku obok przedstawiono

 

W przedziale <1; 2) funkcja jest malejąca. Zbiór wartości będzie więc postaci:{premium}

 

 

 

 

Patrząc na wykres wnioskujemy, że zbiór wartości będzie postaci:

  

Wyznacz wyrażenie W=2S-3T

 

 

  

 

{premium}

 

 

  

Liczby 1, 2, 3, 4, 5 ustawiamy w szereg...

Możliwe przypadki:{premium}

  • 3, 4, __,  __,  __
  • __, 3, 4, __, __
  • __, __, 3, 4, __
  • __, __, __, 3, 4

W każdym z tych (czterech) przypadków liczby 3 i 4 są na ustalonych miejscach, a na pozostałych miejscach ustawiamy liczby 1, 2 i 5 w sposób losowy. Zgodnie z regułą mnożenia możemy to zrobić na 3٠2٠1=6 sposobów. Ponadto, liczby 4 i 3 możemy zamienić miejscami, więc ilość otrzymanych wyników należy jeszcze pomnożyć przez 2. Wobec tego, ilość możliwych ustawień obliczamy następująco:

 

Wyznacz współczynniki wielomianu W(x) tak, aby...

 

 {premium}

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

Cztery ponumerowane kule umieszczono ...

Pierwszą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Drugą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Trzecią kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Czwartą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby. {premium}

Łączna ilość wszystkich możliwości:

 

 

a) A - każda kula trafi do innej szuflady

Pierwszą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Drugą kulę możemy umieścić w jednej z trzech szuflad, czyli możemy to zrobić na 3 sposoby.

Trzecią kulę możemy umieścić w jednej z dwóch szuflad, czyli możemy to zrobić na 2 sposoby.

Czwartą kulę możemy umieścić w pustej szufladzie, czyli możemy to zrobić na 1 sposób.

 

 

 

b) B - wszystkie kule trafią do jednej szuflady

Mamy 4 możliwości - kule trafią do pierwszej szuflady lub kule trafią do drugiej szuflady lub kule trafią do trzeciej szuflady lub kule trafią do czwartej szuflady