Wyznaczanie równania prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie równania prostej

Jeśli znamy już warunki prostopadłości i równoległości prostych, możemy zadać pytanie: w jaki sposób można wyznazyć równanie prostej równoległej albo prostopadłej do prostej nam danej?

1) Równoległość
Jeśli mamy daną prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$, to (z poprzedniego rozdziału) każda prosta o równaniu $$y = a_1x + b$$ będzie do niej równoległa (czyli współczynnik $$b$$ może być dowolny).

2) Prostopadłość
Mając naszą prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$ i chcąc wyznaczyć prostą do niej prostopadłą, musimy po prostu skorzystać z warunku $$a_1×a_2 = -1$$. Wyliczamy z niego współczynnik $$a_2 = -{1}/{a_1}$$. Okazuje się więc, że każda prosta o równaniu $$y = -{1}/{a_1}x + b$$ będzie prostopadła do prostej $$y$$ - współczynnik $$b$$ może być dowolny.

Jednak jeżeli chcemy, aby dana prosta przechodziła przez konkretny punkt, musimy wyznaczyć konkretną wartość $$b$$. Załóżmy, że interesujący nas punkt ma współrzędne $$(x_p, y_p)$$.

Pierwsza (równoległa) prosta musi wtedy spełniać równanie $$y_p = a_1x_p+b$$, czyli współczynnik $$b$$ jest równy $$b = y_p - a_1x_p$$.

W przypadku drugiej (prostopadłej) prostej postępujemy analogicznie, otrzymując $$b = y_p + {1}/{a_1}x_p$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z kawałka płótna w kształcie trójkąta prostokątnego

Zauważmy, że kąty CEF i CBA są odpowiadające, więc mają równe miary. Trójkąty ABC i FEC są podobne (cecha kkk)

`DeltaABC~DeltaFEC\ \ \ =>\ \ \ |AB|/|FE|=|AC|/|FC|\ \ \ =>\ \ \ 30/y=40/(40-x)\ \ \ =>\ \ \ 30(40-x)=40y\ \ \ =>\ \ \ y=3/4(40-x)=30-3/4x`

 

Oczywiście x i y muszą być liczbami dodatnimi, :

`{(x>0), (y>0):} \ \ \ =>\ \ \ {(x>0), (30-3/4x>0):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>0), (x<40):} \ \ \ =>\ \ \ x in (0,\ 40)`

 

 

Zapiszmy pole serwety: 

`P(x)=x*y=x*(30-3/4x)=-3/4x^2+30x`

 

 

Współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, osiągane jest maksimum (w wierzchołku)

`x=p=(-30)/(2*(-3/4))=30/(3/2)=30:3/2=30*2/3=20`

`y=30-3/4x=30-3/strike4^1*strike20^5=30-15-15`

 

 

    

 

Plac zabaw ma kształt prostokąta o wymiarach 12 m x 18 m ...

`P_1=12*18`

`P_2=(12+x)*(18+2x)=`

`\ \ \ \ =12(18+2x)+x(18+2x)=`

`\ \ \ \ =12*18+24x+18x+2x^2=`

`\ \ \ \ =2x^2+42x+12*18`

 

`144=P_2-P_1`

`144=2x^2+42x+12*18-12*18`

`144=2x^2+42x\ \ \ |-144`

`2x^2+42x-144=0\ \ \ |:2`

`x^2+21x-72=0`

`Delta=21^2-4*1*(-72)=`

`\ \ \ =441+288=729`

`sqrtDelta=sqrt729=27`

`x_1=(-21-27)/2<0`

`x_2=(-21+27)/2=6/2=3`

 

`ul(ul(x=3\ m))`

Wyznacz miary kątów α,ß i γ.

Samolot, lecąc z wiatrem

v - prędkość własna samolotu (w km/h)

v+10 - prędkość samolotu lecącego z wiatrem (w km/h)

v-10 - prędkość samolotu lecącego pod wiatr (w km/h)

s - odległość między miastami (w kilometrach)

 

`3 \godz\ 45\ mi n=3 45/60\ godz=3 3/4\ godz`

 

Wiemy, że prędkość to iloraz drogi przez czas:

`{(v+10=s/(3 3/4)\ \ \ |*3 3/4), (v-10=s/4\ \ \ |*4):}`

`{(3 3/4(v+10)=s), (4v-40=s):}`

`{(15/4v+150/4=4v-40\ \ \ |*4), (s=4v-40):}`

`{(15v+150=16v-160\ \ \ |+160-15v), (s=4v-40):}`

`{(v=310), (s=4*310-40=1240-40=1200):}`

Oblicz wartość pozostałych funkcji ...

`"a)"\ sinalpha=3/4` 

Aby obliczyć cosα, korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`

`(3/4)^2+cos^2alpha=1` 

`9/16+cos^2alpha=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-9/16` 

`cos^2alpha=7/16` 

`ul(cosalpha)=sqrt(7/16)=ul(sqrt7/4)`  

`ul("tg"alpha)=sinalpha/cosalpha=(3/4)/(sqrt7/4)=3/strike4^1*strike4^1/sqrt7=3/sqrt7=ul((3sqrt7)/7)` 

 

   

`"b)"\ cosalpha=0,1`  

Aby obliczyć sinα, korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`sin^2alpha+(0,1)^2=1`  

`sin^2alpha+0,01=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-0,01`   

`sin^2alpha=0,99=99/100` 

`ul(sinalpha)=sqrt(99/100)=ul((3sqrt11)/10)`       

 

`ul("tg"alpha)=sinalpha/cosalpha=((3sqrt11)/10)/(1/10)=(3sqrt11)/strike10^1*strike10^1/1=ul(3sqrt11)`  

 

 

`"c)"\ cosalpha=1/5`   

Aby obliczyć sinα, korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`sin^2alpha+(1/5)^2=1`  

`sin^2alpha+1/25=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/25`     

`sin^2alpha=24/25`  

`ul(sinalpha)=sqrt(24/25)=ul((2sqrt6)/5)`        

 

`ul("tg"alpha)=sinalpha/cosalpha=((2sqrt6)/5)/(1/5)=(2sqrt6)/strike5^1*strike5^1/1=ul(2sqrt6)`  

 

 

`"d)"\ sinalpha=24/25`  

Aby obliczyć cosα, korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`(24/25)^2+cos^2alpha=1`  

`576/625+cos^2alpha=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-576/625`   

`cos^2alpha=49/625` 

`ul(cosalpha)=sqrt(49/625)=ul(7/25)`   

`ul("tg"alpha)=sinalpha/cosalpha=(24/25)/(7/25)=24/strike25^1*strike25^1/7=ul(24/7)`  

Uzupełnij tabelkę.
Lp.

Oprocentowanie

w skali roku [%]

Liczba lat Okres kapitalizacji odsetek Liczba okresów kapitalizacji odsetek Stopa oprocentowania odpowiadająca okresowi kapitalizacji odsetek
1. `8`  `3`  kwartał `3*4=12`  `8%:4=2%=0,02` 
2. `0,01*12=0,12=12%`  `2`  miesięcznie `24`  `0,01` 
3. `8,5`  `6:2=3`  półrocze `6`  `8,5%:2=4,25%=0,0425` 
4. `0,0125*12=0,15=15%`  `36:12=3`  miesiąc `36`  `0,0125` 
5. `9`  `8:2=4`  półrocze `8`  `9%:2=4,5%=0,045` 
Wyprowadź wzór.

`a)` 

`Teza:|cos(alpha/2)|=sqrt((1+cosalpha)/2)` 

 

`P=sqrt((1+cosalpha)/2)=sqrt((1+cos(alpha/2 +alpha/2))/2)=sqrt((1+cos^2(alpha/2)-sin^2(alpha/2))/2)=` 

`=sqrt((sin^2(alpha/2)+cos^2(alpha/2)+cos^2(alpha/2)-sin^2(alpha/2))/2)=sqrt((2cos^2(alpha/2))/2)=` 

`=sqrt(cos^2(alpha/2))=|cos(alpha/2)|` 

`L=P` 

 

`b)` 

`Teza:|sin(alpha/2)|=sqrt((1-cosalpha)/2)` 

 

`P=sqrt((1-cosalpha)/2)=sqrt((1-cos(alpha/2 +alpha/2))/2)=sqrt((1-cos^2(alpha/2)+sin^2(alpha/2))/2)=` 

`=sqrt((sin^2(alpha/2)+cos^2(alpha/2)-cos^2(alpha/2)+sin^2(alpha/2))/2)=sqrt((2sin^2(alpha/2))/2)=` 

 

`=sqrt(sin^2(alpha/2))=|sin(alpha/2)|`  

`L=P` 

Do hurtowni dostarczono 14 ton jabłek

`14\ t=14\ 000\ kg`

`x\ -\ "liczba dni",\ \ \ x in NN`

`f(x)=14\ 000-200*x`

 

 

Ale liczba kilogramów jabłek, które zostały w magazynie nie może być liczbą ujemną: 

`f(x)>=0`

`14\ 000-200*x>=0\ \ \ |-14\ 000`

`-200*x>=-14\ 000\ \ \ |:(-200)`

`x<=70`

 

 

Zatem ostateczna odpowiedź to: 

`f(x)=14\ 000-200x,\ \ \ \ x in {0,\ 1,\ 2,\ ...,\ 69,\ 70}`

Wyznacz wartości parametru m tak, aby ...

`x^2+mx+2m-3=0` 

`Delta=m^2-8m+12`  

`m^2-8m+12>0` 

`Delta_m=64-48=16` 

`sqrt16=4` 

 

`m_1=(8-4)/2=2` 

`m_2=(8+4)/2=6` 

`(**)\ m in (-oo;2)cup(6;+oo)`  

 

`a)` 

`x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-b/a)^2-2c/a=m^2-4m+6`  

`m^2-4m+6=3` 

`m^2-4m+3=0` 

`Delta=16-12=4` 

`sqrtDelta=2` 

 

`m_1=(4-2)/2=1 `  

`m_2=(4+2)/2=3 notin (**)`   

`ul (m=1` 

 

`b)` 

`x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=(2m-3)(-m)=-2m^2+3m`  

`-2m^2+3m<0` 

`-m(2m-3)<0` 

`m=0\ \ \vv\ \ \m=3/2` 

`m in (-oo;0)cup(2/3;+oo)` 

 

`m in (-oo;0)cup(2/3;+oo) \ \wedge\ \ \(**)\ implies ul ( m in (-oo;0)cup (2/3;2)cup(6;+oo)`     

Uzasadnij, że równość

Rozpisując lewą stronę rowności, dojdziemy do jej prawej strony:

`L=(n+1)!-n! =n!*(n+1)-n! =n!*(n+1-1)=n!*n=n*n! =P` 

 

Zauważmy, że kolejne składniki danej sumy możemy zapisać w innej postaci, korzystając ze wzoru:

`1*1! =(1+1)!-1! =2!-1!` 

`2*2! =(2+1)!-2! =3!-2!`  

`3*3! =(3+1)!-3! =4!-3!` 

`.`  

`.` 

`.` 

`n*n! =(n+1)!-n!` 

 

 

`1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n! =(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+...+((n+1)!-n!)=` 

`=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(n+1)!-n! =(n+1)!-1! =(n+1)!-1`