Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie równania prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie równania prostej

Jeśli znamy już warunki prostopadłości i równoległości prostych, możemy zadać pytanie: w jaki sposób można wyznazyć równanie prostej równoległej albo prostopadłej do prostej nam danej?

1) Równoległość
Jeśli mamy daną prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$, to (z poprzedniego rozdziału) każda prosta o równaniu $$y = a_1x + b$$ będzie do niej równoległa (czyli współczynnik $$b$$ może być dowolny).

2) Prostopadłość
Mając naszą prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$ i chcąc wyznaczyć prostą do niej prostopadłą, musimy po prostu skorzystać z warunku $$a_1×a_2 = -1$$. Wyliczamy z niego współczynnik $$a_2 = -{1}/{a_1}$$. Okazuje się więc, że każda prosta o równaniu $$y = -{1}/{a_1}x + b$$ będzie prostopadła do prostej $$y$$ - współczynnik $$b$$ może być dowolny.

Jednak jeżeli chcemy, aby dana prosta przechodziła przez konkretny punkt, musimy wyznaczyć konkretną wartość $$b$$. Załóżmy, że interesujący nas punkt ma współrzędne $$(x_p, y_p)$$.

Pierwsza (równoległa) prosta musi wtedy spełniać równanie $$y_p = a_1x_p+b$$, czyli współczynnik $$b$$ jest równy $$b = y_p - a_1x_p$$.

W przypadku drugiej (prostopadłej) prostej postępujemy analogicznie, otrzymując $$b = y_p + {1}/{a_1}x_p$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź która z liczb...

a) `w(x)=x^3-x^2-5x+6`

`w(-1)=-1-1+5+6!=0`

`w(1)=1-1-5+6=1!=0`

`w(2)=8-4-10+6=0`

`x_0=2`

 

`w(x)=(x^2+x-3)(x-2)`

`Delta=1-4*1*(-3)=13`

`x_1={-1+sqrt13}/2`

`x_2={-1-sqrt13}/2`

 

b) ` w(x)=2x^3+7x^2+2x-3`

`w(-1)=-2+7-2-3=0`

`x_0=-1`

`w(x)=(2x^2+5x-3)(x+1)`

`Delta=25-4*2*(-3)=49`

`x_1={-5+7}/4=1/2`

`x_2={-5-7}/4=-3`

 

c) `w(x)=2x^3-x^2-5x+4` 

`w(-1)=-2-1+5+4!=6=0`

`w(1)=2-1-5+4=0`

`x_0=1`

`w(x)=(2x^2+x-4)(x-1)`

`Delta=1-4*2*(-4)=1+32=33`

`x_1={-1+sqrt33}/4`

`x_2={-1-sqrt33}/4`

 

d) `w(x)=-x^3+1/2x^2+4x-2` 

`w(-1)=1+1/2-4-2!=0`

`w(1)=-1+1/2+4-2!=0`

`w(2)=-8+2+8-2=0`

`x_0=2`

`w(x)=(-x^2-3/2x+1)(x-2)`

`Delta=(-3/2)^2-4*(-1)*1=9/4+4=9/4+16/4=25/4`

`sqrt{Delta}=5/2`

`x_1={3/2+5/2}/{-2}=4/-2=-2`

`x_2={3/2-5/2}/{-2}=1/2`

Dane jest równanie z niewiadomą x...

`"a)"\ f(x)=(1-x^2)/|x+1|=((1-x)(1+x))/|x+1|`  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji `f:` 

`|x+1|!=0`  

`x+1!=0` 

`x!=-1` 

`D_f=bbR-{-1}`  

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x+1|={(x+1,\ "dla"\ x> -1),(-x-1,\ "dla"\ x < -1):}`

Stąd:

`f(x)={([(1-x)(1+x)]/(x+1),\ "dla"\ x> -1),(((1-x)(1+x))/(-(x+1)),\ "dla"\ x < -1):}`      

`f(x)={(1-x,\ "dla"\ x> -1),(-(1-x),\ "dla"\ x < -1):}` 

`f(x)={(-x+1,\ "dla"\ x> -1),(x-1,\ "dla"\ x < -1):}` 

Szkicujemy wykres funkcji `f:` 

 

Wyznaczmy ilość rozwiązań równania `f(x)=k` w zależności od parametru `k in bbR.` 

`1)` Równanie `f(x)=k` nie ma rozwiązań dla `k in << 2,+oo).` 

`2)` Równanie `f(x)=k` ma dokładnie jedno rozwiązanie dla `k in << -2,\ 2).` 

`3)` Równanie `f(x)=k` ma dwa rozwiązania dla `k in (-oo, -2).` 

Przyjmijmy teraz `k=m-3.` 

Stąd: `m=k+3.`           

W takim razie, aby wyznaczyć liczbę rozwiązań równania `f(x)=m-3` w zależności od parametru `m in bbR,` 

wystarczy przesunąć przedziały wyznaczone dla `k` o `3` jednostki w prawo. Mamy więc:    

`1)` Równanie `f(x)=m-3` nie ma rozwiązań dla `m in << 5,+oo).` 

`2)` Równanie `f(x)=m-3` ma dokładnie jedno rozwiązanie dla `m in << -1,\ 5).` 

`3)` Równanie `f(x)=m-3` ma dwa rozwiązania dla `m in (-oo, -1).`

 

`"b)"` Dla `m=0` mamy:

`(1-x^2)/|x+1|=-3\ "/"*|x+1|!=0` 

`1-x^2=-3|x+1|`     

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x+1|={(x+1,\ "dla"\ x> -1),(-x-1,\ "dla"\ x < -1):}`

Zatem: 

dla `x in (-oo,-1):` 

`1-x^2=-3(-x-1)` 

`(1-x)(1+x)=3(1+x)\ "/":(1+x)` 

`1-x=3` 

`-x=2\ "/"*(-1)` 

`x=-2 in (-oo,-1)` 

 

dla `x in (-1,+oo):` 

`1-x^2=-3(x+1)` 

`(1-x)(1+x)=-3(1+x)\ "/":(1+x)` 

`1-x=-3` 

`-x=-4\ "/"*(-1)` 

`x=4 in (-1,+oo)` 

Stąd:

`x in {-2,\ 4}` dla `m=0.`    

 

Wyznacz długości przekątnych wszystkich ścian...

a) Rysunek:

Przekątna ściany bocznej x:

`x^2 = 5^2 + 9^2` 

`x^2 = 25 + 81` 

`x^2 = 106` 

`x = sqrt106` 

 

Przekątna podstawy y:

`y^2 = 5^2 + 12^2` 

`y^2 = 25 + 144` 

`y^2 = 169` 

`y = 13` 

 

Przekątna ściany bocznej z:

`z^2 = 9^2 + 12^2` 

`z^2 = 81 + 144` 

`z^2 = 225` 

`z = 15` 

 

Przekątna prostopadłościanu t:

`t^2 = y^2 + 9^2` 

`t^2 = 169 + 81` 

`t^2 = 250` 

`t = sqrt250 = sqrt(25*10) = 5sqrt10` 

 

b) Rysunek:

Przekątna ściany bocznej x:

`x^2 = 6^2 + 8^2` 

`x^2 = 36 + 64` 

`x^2 = 100` 

`x = 10 \ ["cm"]` 

 

Przekątna podstawy y:

`y^2 = 6^2 + 15^2` 

`y^2 = 36 + 225` 

`y^2 = 261` 

`y = sqrt261= sqrt(9*29) = 3sqrt29 \ ["cm"]` 

 

Przekątna ściany bocznej z:

`z^2 = 8^2 + 15^2` 

`z^2 = 64 + 225` 

`z^2 = 289` 

`z = 17 \ ["cm"]` 

 

Przekątna prostopadłościanu t:

`t^2 = y^2 + 8^2` 

`t^2 = 261 + 64` 

`t^2 = 325` 

`t = sqrt325 = sqrt(25*13) = 5sqrt13 \ ["cm"]` 

Wykres funkcji kwadratowej f(x)=2(x-3)(x+1) ...

`f(x)=2(x-3)(x+1)` 

`f(0)=2*(-3)*1=-6` 

 

`"Odp. D."`  

Które wyrazy ciągu ...

`a)` 

 

`1/2n^2-18=0 ` 

 

`n^2=36` 

`n=6\ \ \vee\ \ \n=-6` 

`n\in mathbbN \implies n=6` 

`ul(a_6=0)`  

 

`b)` 

`(n^2-4n)/(n+1)=0\implies n^2-4n=0` 

`n^2-4n=n(n-4)` 

`n=0\ \ \vee\ \ \n=4` 

`n\inmathbbN implies n=4` 

`a_4=0` 

 

`c)` 

`n^2-6n+8=0` 

`Delta=36-4*1*8=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`n_1=(6-2)/2=2\ \ \wedge\ \ \n_2=(6+2)/2=4` 

`a_2=a_4=0`           

 

`d)` 

`(n^2-4n+3)/(n+1)=0 implies n^2-4n+3=0` 

`Delta=16-12=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`n_1=(4-2)/2=1\ \ \wedge\ \ \n_2=(4+2)/2=3` 

`a_1=a_3=0` 

 

`e)` 

`(n^2-49)(n^2-6n)=0 implies n^2-49=0\ \ \vee\ \ \n^2-6n=0` 

`n^2-49=0 implies n^2=49` 

`n=7\ \ \vee\ \ \n=-7` 

`n in mathbbN implies n=7` 

 

`n^2-6n=0 implies n(n-6)=0` 

`n=0\ \ \vee\ \ \n=6` 

`n in mathbbN implies n=6` 

 

`a_6=a_7=0` 

 

`f)` 

`(n^3-4n^2+4n)/(n^2+4)=0 implies =n^3-4n^2+4n=0` 

`n^3-4n^2+4n=n(n^2-4n+4)=n(n-2)^2=0`   

`n=0\ \ \vee\ \ \n=2` 

`n in mathbbN implies n=2` 

 

`a_2=0`   

 

 

 

   

 

Krawędź sześcianu ma długość 6...

`P_(ABCD)=6*6=36` 

`P_(ADP)=1/2*6*3=9` 

 

`|AP|=3sqrt2` 

`|/_PAB|=90^o` 

`P_(ABP)=1/2*6*3sqrt2=9sqrt2` 

 

`|PD|=3sqrt2` 

`|/_PDC|=90^o` 

`P_(CDP)=1/2*6*3sqrt2=9sqrt2` 

 

`|PA|^2+|AB|^2=|PB|^2` 

`(3sqrt2)^2+6^2=|PB|^2` 

`18+36=|PB|^2` 

`54=|PB|^2` 

`|PB|=sqrt54=sqrt(9*6)=3sqrt6` 

Trójkąt `BCP` jest równoramienny, o ramionach długości `3sqrt6` i podstawie równej `6`  

`(1/2|BC|)^2+h^2=|PB|^2` 

`3^2+h^2=54` 

`h^2=54-9` 

`h^2=45` 

`h=sqrt45=(sqrt9*5)=3sqrt5` 

 

`P_(BCP)=1/2*6*3sqrt5=9sqrt5` 

 

`P_c=36+9+9sqrt2+9sqrt2+9sqrt5=45+18sqrt2+9sqrt5`  

`` 

 

Wyznacz współrzędną y punktu należącego do okręgu...

`a) \ 10^2 + y^2 = 100` 

`100 + y^2 = 100` 

`y^2 = 0` 

`y = 0` 

 

`b) \ (-7)^2 + y^2 = 100` 

`49 + y^2 = 100` 

`y^2 = 51` 

`y = sqrt51 \ \ vv \ \ y = -sqrt51` 

 

`c) \ (-sqrt6)^2 +y^2 = 100` 

`6 + y^2 = 100` 

`y^2 = 94` 

`y = sqrt94 \ \ vv \ \ y = - sqrt94`

 

`d) \ 6^2 + y^2 = 100` 

`36 + y^2 = 100` 

`y^2 = 64` 

`y = 8 \ \ vv \ \ y = -8` 

 

Wykażmy, że żaden punkt o współrzędnych (11, y) nie należy do tego okręgu:

`11^2 +y^2 = 100` 

`121 + y^2 = 100` 

`y^2 = -21` 

Sprzeczność, żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie jest ujemna.

Dane są dwa kąty przyległe. Znajdź ich miary...

Oznaczmy oba kąty jako:

`alpha \ , \ beta` 

 

Skoro są to kąty przyległe to zachodzi równość:

`alpha + beta =180^o` 

 

 

`a) \ alpha = 2 beta` 

 

`alpha + beta = 180^o` 

`2 beta + beta = 180^o` 

`3 beta = 180^o` 

`beta = 60^o` 

stąd

`alpha = 2 * 60^o = 120^o` 

 

`b) \ alpha = 3beta` 

 

`alpha + beta = 180^o`  

`3 beta + beta = 180^o` 

`4 beta = 180^o` 

`beta = 45^o` 

stąd

`alpha = 3* 45^o = 135^o` 

 

`c) \ alpha = n beta` 

 

`alpha + beta = 180^o`  

`n beta + beta = 180^o` 

`(n+1)beta = 180^o` 

`beta = 180^o/(n+1)` 

stąd

`alpha = n*180^o/(n+1) = n/(n+1)*180^o` 

Wyznacz współrzędne środków ...

`a)` 

`A=(-2;-1)` 

`B=(17;2)` 

`C=(18;5)` 

`D=(-1;2)` 

 

`S_(AC)=((18-2)/2;(5-1)/2)=(8;2)` 

`S_(BD)=((17-1)/2;(2+2)/2)=(8;2)` 

`vec(AB)=[x_b-x_a;y_b-y_a]=[17+2;2+1]=[19;3]`   

`vec{DC}=[1+18;5-2]=[19;3]=vec{AB}` 

`vec(BC)=[18-17;5-2]=[1;3]` 

`vec(AD)=[-1+2;2+1]=[1;3]=vec(BC)`   

Czworokąt ABCD jest równoległobokiem. 

 

`b)` 

`A=(1;-1)` 

`B=(7;1)` 

`C=(8;5)` 

`D=(2;2)` 

 

`S_(AC)=((8+1)/2;(5-1)/2)=(4 1/2;2)`  

`S_(BD)=((7+2)/2;(1+2)/2)=(4 1/2;1 1/2)`  

Czworokąt ABCD nie jest równoległobokiem, ponieważ jego przekątne nie przecinają się w połowie. 

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych...

Oznaczmy te liczby całkowite jako x, y.

 

Różnica tych liczb:

`x - y` 

Iloczyn tych liczb:

`xy` 

 

Przyrównajmy je do siebie:

`x - y = xy`  

`x = xy+y` 

`x = y(x+1)` 

`y = x/(x+1)` 

`y = (x+1-1)/(x+1)` 

`y = 1 - 1/(x+1)` 

 

Określmy dla jakich x całkowitych wartość wyrażenia:

`1/(x+1)` 

jest liczbą całkowitą.

 

Zauważmy, że wartość wyrażenia jest liczbą całkowitą jeżeli:

`x+1 = 1 \ \ vv \ \ x+1 = -1` 

`x = 0 \ \ vv \ \ x = -2` 

zatem

`{(x_1=0),(y_1 = 0):} \ \ \ vv \ \ \ {(x_2 = - 2),(y_2 = 2):}` 

 

Pary liczb całkowitych dla któych różnica jest równa iloczynowi to:

`(0,0) \ , \ (-2, 2)`