Wyznaczanie równania prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie równania prostej

Jeśli znamy już warunki prostopadłości i równoległości prostych, możemy zadać pytanie: w jaki sposób można wyznazyć równanie prostej równoległej albo prostopadłej do prostej nam danej?

1) Równoległość
Jeśli mamy daną prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$, to (z poprzedniego rozdziału) każda prosta o równaniu $$y = a_1x + b$$ będzie do niej równoległa (czyli współczynnik $$b$$ może być dowolny).

2) Prostopadłość
Mając naszą prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$ i chcąc wyznaczyć prostą do niej prostopadłą, musimy po prostu skorzystać z warunku $$a_1×a_2 = -1$$. Wyliczamy z niego współczynnik $$a_2 = -{1}/{a_1}$$. Okazuje się więc, że każda prosta o równaniu $$y = -{1}/{a_1}x + b$$ będzie prostopadła do prostej $$y$$ - współczynnik $$b$$ może być dowolny.

Jednak jeżeli chcemy, aby dana prosta przechodziła przez konkretny punkt, musimy wyznaczyć konkretną wartość $$b$$. Załóżmy, że interesujący nas punkt ma współrzędne $$(x_p, y_p)$$.

Pierwsza (równoległa) prosta musi wtedy spełniać równanie $$y_p = a_1x_p+b$$, czyli współczynnik $$b$$ jest równy $$b = y_p - a_1x_p$$.

W przypadku drugiej (prostopadłej) prostej postępujemy analogicznie, otrzymując $$b = y_p + {1}/{a_1}x_p$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy poniższa funkcja jest jednomianem

{premium}

Kłody drewna ułożono...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. W całym stosie było 259 kłód drewna.

Wykaż, że jeśli...

Założenia:  

Teza:  

Dowód:

Tezę przekształcimy równoważnie.  

 

 

Równoważność  zachodzi, ponieważ mianownik ułamka jest dodatni.

Równoważność  zachodzi, ponieważ  

Przekształciliśmy równoważnie tezę do nierówności  Jest ona spełniona na mocy założeń.

Zatem teza jest prawdziwa, co kończy dowód.  

   

Oblicz długość łuku okręgu o promieniu...

a)

 

b)

 

c)

 

d)

 

 

Współrzędne punktów

Zauważmy, że odległość punktów na osi x od zera jest mniejsza lub równa 2 (możemy "iść" maksymalnie 2 jednostki w prawo lub maksymalnie 2 jednostki w lewo), więc:

Podobnie odległośc punktów na osi y od zera jest mniejsza lub równa 2 (możemy "iść" maksymalnie 2 jednostki w górę lub maksymalnie 2 jednostki w dół), więc: 

  

 

 

 

Zauważmy, że możemy "iść" co najwyżej 2 jednostki w prawo lub w lewo:

Możemy poruszać się co najmniej 2 jednostki w górę lub w dół:

 

 

 

 

Zauważmy, że możemy "iść" co najmniej 2 jednostki w prawo lub w lewo:

Możemy poruszać się co najmniej 2 jednsotki w górę lub w dół:

  

Wykonaj działania

 

 

 

 

 

Wysokość CD trójkąta prostokątnego...

Rysunek poglądowy:

 

Jeżeli wysokość h dzieli przeciwprostokątną na boki długości x, y to prawdziwy jest wzór:

 

 

Niech:

  

 

Dodatkowo wiemy, że:

 

 

 

 

czyli

  

 

A więc wysokość ma długość:

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCD:

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACD:

 

 

 

 

 

 

Obwód trójkąta:

 

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu...

Jeżeli liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W to:

 

Jeżeli przy dzieleniu wielomianu W przez dwumian x+1 otrzymujemy resztę -8 to znaczy, że:

 

Liczba -1 jest pierwiastkiem dwumianu x+1.{premium}

 

 

 

 

 

Stąd:

 

 

 

A więc:

 

 

 

Rozwiążmy równanie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby: -2, 1, 3.

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu ...

 

       {premium}

 

 

 

Rozwiązując drugie równanie otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Rozwiązując nierówność wielomianową możemy ją przekształcić do postaci:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ ...

 

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy drugie równanie:{premium}

 

 

 

 

 

 

Punkty przecięcia wykresów to P1=(1,3) oraz P2=(-3,-1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

 

 

 

 

 

  

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

  

 

 

  

  

 

  

Punkty przecięcia wykresów to P1=(3,-4) oraz P2=(-2,1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

  

 

 

  

 

   

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

   

   

 

   

  

   

 

     

Punkty przecięcia wykresów to P1=(-2,1) oraz P2=(-4,-3).

 

Rozwiązanie graficzne: