Wyznaczanie równania prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie równania prostej

Jeśli znamy już warunki prostopadłości i równoległości prostych, możemy zadać pytanie: w jaki sposób można wyznazyć równanie prostej równoległej albo prostopadłej do prostej nam danej?

1) Równoległość
Jeśli mamy daną prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$, to (z poprzedniego rozdziału) każda prosta o równaniu $$y = a_1x + b$$ będzie do niej równoległa (czyli współczynnik $$b$$ może być dowolny).

2) Prostopadłość
Mając naszą prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$ i chcąc wyznaczyć prostą do niej prostopadłą, musimy po prostu skorzystać z warunku $$a_1×a_2 = -1$$. Wyliczamy z niego współczynnik $$a_2 = -{1}/{a_1}$$. Okazuje się więc, że każda prosta o równaniu $$y = -{1}/{a_1}x + b$$ będzie prostopadła do prostej $$y$$ - współczynnik $$b$$ może być dowolny.

Jednak jeżeli chcemy, aby dana prosta przechodziła przez konkretny punkt, musimy wyznaczyć konkretną wartość $$b$$. Załóżmy, że interesujący nas punkt ma współrzędne $$(x_p, y_p)$$.

Pierwsza (równoległa) prosta musi wtedy spełniać równanie $$y_p = a_1x_p+b$$, czyli współczynnik $$b$$ jest równy $$b = y_p - a_1x_p$$.

W przypadku drugiej (prostopadłej) prostej postępujemy analogicznie, otrzymując $$b = y_p + {1}/{a_1}x_p$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz liczby w kolejności od ...

a) Funkcja y=5x jest funkcją rosnącą oraz

`0,3<0,33<1/3<1/2` 

zatem:

`5^(0,3)<5^(0,3)<5^(1/3)<5^(1/2)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) Funkcja y=7x jest funkcją rosnącą oraz

`sqrt5<3,1<pi<3,2`  

zatem:

`7^(sqrt5)<7^(3,1)<7^(pi)<7^(3,2)`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) Funkcja y=0,6x jest funkcją malejącą oraz

`1/3<0,35<3/8<3/7<1/2` 

zatem:

`0,6^(1/2)<0,6^(3/7)<0,6^(3/8)<0,6^(0,35)<0,6^(1/3)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

d) Funkcja y=(1/3)x jest funkcją malejącą oraz

`sqrt2<1,5<pi/2<sqrt3<2` 

zatem:

`(1/3)^2<(1/3)^(sqrt3)<(1/3)^(pi/2)<(1/3)^(1,5)<(1/3)^(sqrt2)` 

Wyznacz dziedzinę i wzór funkcji...

Iloraz podanego szeregu musi spełniać nierówność:

`|q|< 1` 

 

`a) \ |x/(1+x)|< 1` 

`-1 < x/(1+x) < 1` 

`-1 < x/(1+x) \ \ \ ^^ \ \ \ x/(1+x) < 1` 

`0 < x/(1+x) + 1 \ \ \ ^^ \ \ \ x/(1+x) - 1 < 0` 

`0 < (2x+1)/(1+x) \ \ \ ^^ \ \ \ -1/(1+x) < 0` 

`0 < (2x+1)(x+1) \ \ \ ^^ \ \ \ x+1 > 0` 

`x_1 = -1/2 \ \ vv \ \ x_2 = -1` 

`x in (-oo, -1) \cup (-1/2 , oo) \ \ \ ^^ \ \ \ x in (-1, oo)` 

Zatem dziedziną jest:

`D = (-1/2, oo)` 

 

`f(x) = S = a_1/(1-q) = 1/(1-x/(x+1))= 1/((x+1)/(x+1) - x/(x+1)) = 1/(1/(x+1)) = x+1` 

 

 

`b) \ |(x-2)/(x-3)|< 1` 

`-1 < (x-2)/(x-3) < 1` 

`-1< (x-2)/(x-3) \ \ \ ^^ \ \ \ (x-2)/(x-3)< 1` 

`0 < (x-2)/(x-3) + 1 \ \ \ ^^ \ \ \ (x-2)/(x-3) - 1 < 0` 

`0 < (x-2+x-3)/(x-3) \ \ \ ^^ \ \ \ (x-2-x+3)/(x-3) < 0` 

`0 < (2x-5)/(x-3) \ \ \ ^^ \ \ \ 1/(x-3) < 0` 

`0 < (2x-5)(x-3) \ \ \ ^^ \ \ \ x-3 < 0` 

`x_1 = 5/2 \ \ ^^ \ \ x_2 = 3` 

`x in (-oo, 5/2) \cup (3,oo) \ \ \ \cap \ \ \ x in (-oo, 3)` 

Dziedziną jest:

`D = (-oo, 5/2)`  

 

`f(x) = 1 + (x-2)/(x-3) + ((x-2)/(x-3))^2 + . . . = S = a_1/(1-q) = 1/(1-(x-2)/(x-3)) = 1/((x-3)/(x-3) -(x-2)/(x-3)) = 1/(-1/(x-3)) = -(x-3) = -x+3` 

Zbiornik wodny można opróżnić za pomocą dwóch pomp...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

`1-`pojemność zbiornika 

`t-` czas `["h"]` potrzebny do napełnienia zbiornika z wykorzystaniem tylko pierwszej pompy, `t>0`     

`t-3-`czas `["h"]`potrzebny do napełnienia zbiornika z wykorzystaniem tylko drugiej pompy, `t>3`  

`1/t-`taka ilość wody zostanie wypełniona przy użyciu tylko pierwszej pompy w czasie `1\ "h"` 

 `1/(t-3)-`taka ilość wody zostanie wypełniona przy użyciu tylko drugiej pompy w czasie `1\ "h"`

`1/t+1/(t-3)-`taka ilość wody zostanie wypompowana przy użyciu obu pomp jednocześnie w czasie `1\ "h"`

`1/t*1,5\ "h"-`ilość wody, jaką wypompowała pierwsza pompa w ciągu `1,5\ "h"` 

`(1/t+1/(t-3))*5,5\ "h"-`ilość wody, jaką wypompowały obie pompy w ciągu `5,5\ "h"` 

Zatem:

`1/t*1,5+(1/t+1/(t-3))*5,5=1\ "/"*t(t-3)`  

`1,5(t-3)+5,5(t-3)+5,5t=t(t-3)` 

`7(t-3)+5,5t=t^2-3t`  

`7t-21+5,5t=t^2-3t`   

`t^2-15,5+21=0`   

`Delta=240,25-84=156,25,\ \ sqrt(Delta)=12,5` 

`t_1=(15,5-12,5)/2=3/2=1,5< 3\ vv\ t_2=(15,5+12,5)/2=28/2=14` 

Pierwszy wynik odrzucamy, ponieważ jest mniejszy od `3.` Zatem by pierwsza pompa opróżniła

samodzielne zbiornik, potrzeba `14\ "h".`    

      

Na zakup...

Cenę za kilogram oznaczmy przez x, liczbę kupionych kilogramów przez y.

Skoro przeznaczamy 12 złotych na kupno gruszek to znaczy, że:

`x*y=12 \ \ \ |:x`  

`y=12/x` 

 `x`  `12`  `6`  `4`  `3`  `2`  `1` 
 `y`  `1`  `2`  `3`  `4`  `6`  `12` 

Wykres

Wykaż, że jeśli a i b są dodatnie...

Założenia: `a>0,\ b>0` 

Teza: `3(a^2/b^2+b^2/a^2)>=8(a/b+b/a)-10`  

Dowód:

Tezę przekształcamy równoważnie.

`3(a^2/b^2+b^2/a^2)>=8(a/b+b/a)-10<=>3(a^2/b^2+b^2/a^2)-8(a/b+b/a)+10>=0<=>` 

`<=>3((a/b)^2+(b/a)^2)-8(a/b+b/a)+10>=0<=>3(a/b+b/a)^2-3*2*a/b*b/a-8(a/b+b/a)+10>=0<=>` 

`<=>3(a/b+b/a)^2-8(a/b+b/a)+4>=0` 

Na mocy równoważnych przekształceń, pozostało wykazać nierówność `3(a/b+b/a)^2-8(a/b+b/a)+4>=0.` 

Z twierdzenia z przykładu `1` na stronie `294` mamy `a/b+b/a>=2,` stąd `(a/b+b/a)^2>=4.` 

Zatem:

`3(a/b+b/a)^2-8(a/b+b/a)+4>=3*4-8*2+4=12-16+4=0`

Czyli nierówność  `(a/b+b/a)^2-8(a/b+b/a)+4>=0` jest prawdziwa, co dowodzi, że teza jest prawdziwa i kończy dowód. 

Tomek podróżował...

`v_1=s_1/t_1` 

`v_1*t_1=s_1` 

`s_1=tr` 

`v_2=s_2/t_2` 

`v_2*t_2=s_2` 

`s_2=ps` 

 

`s_1+s_2=tr+ps` 

`t_1+t_2=t+p`  

 

`v_1+v_2=(s_1+s_2)/(t_1+t_2)` 

`v_1+v_2=(tr+ps)/(t+p)` 

 

Odp. D

 

 

Udowodnij, że...

`1/(sqrt(a_1) + sqrt(a_2)) + 1/(sqrt(a_2) + sqrt(a_3)) + ... + 1/(sqrt(a_99) + sqrt(a_100))=("*")` 

Każdy ułamek postaci:

`1/(sqrt(a_(i)) + sqrt(a_(i+1)))` 

przemnażamy przez ułamek:

`(sqrt(a_(i)) - sqrt(a_(i+1)))/(sqrt(a_i) - sqrt(a_(i+1))` 

Otrzymujemy wtedy:

`(sqrt(a_i) - sqrt(a_(i+1)))/(a_i - a_(i+1))` 

Co jest równoważne:

`(sqrt(a_i) - sqrt(a_(i+1)))/(-r)` 

 

`("*") = (sqrt(a_1) - sqrt(a_2))/(-r) + (sqrt(a_2) - sqrt(a_3))/(-r) + ... + (sqrt(a_99) - sqrt(a_100))/(-r) = (sqrt(a_1) - sqrt(a_100))/(-r) = (sqrt(a_100) - sqrt(a_1))/(r) *(sqrt(a_100) + sqrt(a_1))/(sqrt(a_100) + sqrt(a_1)) = (a_100 - a_1)/(r(sqrt(a_100) + sqrt(a_1))) = (99r)/(r(sqrt(a_100)+sqrt(a_1)))=` `=99/(sqrt(a_1) + sqrt(a_100))` 

Co kończy dowód.

Czy podana liczba jest ...

`"a)"\ 36^(3/2)=(sqrt36)^3=6^3=216\ \ \ -"liczba wymierna"`     

`"b)"\ (27/8)^(2/3)=(root(3)(27/8))^2=(3/2)^2=9/4=4 1/4\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"c)"\ 6^(5/2)=(sqrt6)^5=(sqrt6)^4*sqrt6=36sqrt6\ \ \ -"liczba niewymierna"` 

`"d)"\ 25^(2/3)=(root(3)25)^2\ \ \ -"liczba niewymierna"` 

`"e)"\ (4/9)^(5/2)=(sqrt(4/9))^5=(2/3)^5=32/243\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"f)"\ 64^(5/3)=(root(3)64)^5=4^5=1024\ \ \ -"liczba wymierna"`  

`"g)"\ (2^(sqrt2-1))^(sqrt2+1)=2^((sqrt2-1)(sqrt2+1))=2^((sqrt2)^2-1)=2^(2-1)=2\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"h)"\ (49/8)^(3/2)=(sqrt(49/8))^3=(7/(2sqrt2))^3=343/(16sqrt2)\ \ \ - "liczba niewymierna"`  

`"i)"\ 0,125^(2/3)=(1/8)^(2/3)=(root(3)(1/8))^2=(1/2)^2=1/4\ \ \ -"liczba wymierna"`               

`"j)"\ 0,001^(4/3)=(10^-3)^(4/3)=10^-4=0,0001\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"k)"\ ((sqrt7)^sqrt6)^sqrt6=(sqrt7)^6=(7^(1/2))^6=7^3=343\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"l)"\ 0,01^(1/3)=root(3)(0,01)=root(3)(1/100)\ \ \ -"liczba niewymierna"` 

Przekrojem osiowym walca

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

`ul(ul("pierwsza możliwość"))` 

Jeśli długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 4 to możemy oznaczyć:

`|AB|=x` 

`|BC|=x+4` 

`|AC|=x+4+4=x+8` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

`x^2+(x+4)^2=(x+8)^2` 

`x^2+x^2+8x+16=x^2+16x+64` 

`2x^2+8x+16=x^2+16x+64\ \ \ |-x^2` 

`x^2+8x+16=16x+64\ \ \ |-16x` 

`x^2-8x+16=64\ \ \ |-64` 

`x^2-8x-48=0` 

`Delta=(-8)^2-4*1*(-48)=64+192=256` 

`sqrtDelta=16` 

`x_1=(8-16)/2=(-8)/2=-4<0` 

`x_2=(8+16)/2=24/2=12>0` 

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie, ponieważ jest ujemne, a liczba x wyraża długość, więc musi być dodatnia.

 

Mamy więc:

`x=12` 

`x+4=16` 

`x+8=20`   

 

Średnica podstawy walca ma więc 12 cm, a wysokość walca ma 16 cm. Jeśli średnica ma 12 cm, to promień ma 6 cm (bo jest 2 razy krótszy). 

Obliczamy objętość:

`V=pi*6^2*16=pi*36*16=576pi\ [cm^3]` 

 

`ul(ul("druga możliwość"))` 

Na pewno odcinek AC jest najdłuższy, ponieważ jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym. Nie wiemy jednak, która przyprostokątna jest dłuższa - AB czy BC. Możliwy jest zatem przypadek:

`|BC|=x` 

`|AB|=x+4` 

`|AC|=x+8` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`x^2+(x+4)^2=(x+8)^2` 

Wiemy już (z pierwszego przypadku), że rozwiązaniem (dodatnim) równania jest x=12. 

Mamy więc:

`|BC|=12` 

`|AB|=16` 

`|AC|=20` 

 

Średnica podstawy walca ma więc 16 cm, a wysokość walca ma 12 cm. Jeśli średnica ma 16 cm, to promień ma 8 cm (bo jest 2 razy krótszy). 

 

Obliczamy objętość:

`V=pi*8^2*12=pi*64*12=768pi\ [cm^3]` 

 

Narysuj wykres funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

 

c) Wykres: