Wyznaczanie równania prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie równania prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie równania prostej

Jeśli znamy już warunki prostopadłości i równoległości prostych, możemy zadać pytanie: w jaki sposób można wyznazyć równanie prostej równoległej albo prostopadłej do prostej nam danej?

1) Równoległość
Jeśli mamy daną prostą $y_1 = a_1x + b_1$, to (z poprzedniego rozdziału) każda prosta o równaniu $y = a_1x + b$ będzie do niej równoległa (czyli współczynnik $b$ może być dowolny).

2) Prostopadłość
Mając naszą prostą $y_1 = a_1x + b_1$ i chcąc wyznaczyć prostą do niej prostopadłą, musimy po prostu skorzystać z warunku $a_1×a_2 = -1$. Wyliczamy z niego współczynnik $a_2 = -{1}/{a_1}$. Okazuje się więc, że każda prosta o równaniu $y = -{1}/{a_1}x + b$ będzie prostopadła do prostej $y$ - współczynnik $b$ może być dowolny.

Jednak jeżeli chcemy, aby dana prosta przechodziła przez konkretny punkt, musimy wyznaczyć konkretną wartość $b$. Załóżmy, że interesujący nas punkt ma współrzędne $(x_p, y_p)$.

Pierwsza (równoległa) prosta musi wtedy spełniać równanie $y_p = a_1x_p+b$, czyli współczynnik $b$ jest równy $b = y_p - a_1x_p$.

W przypadku drugiej (prostopadłej) prostej postępujemy analogicznie, otrzymując $b = y_p + {1}/{a_1}x_p$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W ciągu arytmetycznym ...

 

 

{premium}   

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Które...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz.

{premium}   

 

 

Wskaż liczbę jednakowo odległą ...

Zauważmy, że liczba jednakowo odległa od dwóch liczb to średnia arytmetyczna tych liczb. {premium}

  

 

 

 

Przeprowadź w klasie badanie...
Indywidualne
Oblicz.

 

     {premium}

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

  

Sprawdź, czy trójkąty ABC i DEF...

 

 

{premium}  

 

  

 

 

 

Trójkąty są przystające na podstawie cechy bbb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdźmy czy:

 

 

Trójkąty są podobne.

Na hiperboli o równaniu ...

Punkt C należy do hiperboli  , zatem jest postaci:

 

Dodatkowo z treści zadania wiemy, że x<0. {premium}

 

 

 

 

Obliczmy pole trójkąta o tych współrzędnych.

Przypomnijmy wzór na pole trójkąta:

 

 

 

 

 

Dodatkowo wiemy, że x<0, zatem:

 

 

Aby wyznaczyć wartość x, dla której pole trójkąta jest najmniejsze rozpatrzmy funkcję:

 

Należy wyznaczyć minimum tej funkcji (wtedy trójkąt ABC będzie najmniejszy). Wyznaczmy pochodną funkcji f, a następnie ekstrema tej funkcji.

 

 

Sprawdźmy kiedy f'(x)=0.

 

 

 

 

Wiemy, że x<0 zatem otrzymujemy:

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne punktu C.

 

 

 

 

 

 

 

Prostokąt ABCD jest wpisany w okrąg...

Rysunek pomocniczy:


Mamy dane:

 


Wyznaczamy współrzędne punktów A i B (punkty przecięcia prostej AB i okręgu):{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

 

 

 

Współrzędne środka okręgu: S=(-2, -3).


Korzystając z działań na wektorach obliczamy współrzędne punktu C=(xC, yC)

 

 

 

Porównujemy odpowiednie współrzędne wektorów.

 

 

 


Analogicznie obliczamy współrzędne punktu D=(xD, yD)

 

 

 

Porównujemy odpowiednie współrzędne wektorów.

 

 

 


Obliczamy długości boków AB i BC:

 

 


Obliczamy pole prostokąta:

 


Odp. Pole prostokąta jest równe 40.

Wykaż, że jeżeli ...

  

{premium}  

 

   

 

 

 

    

Kąt β ma miarę 60 stopni.