Wyznaczanie równania prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie równania prostej

Jeśli znamy już warunki prostopadłości i równoległości prostych, możemy zadać pytanie: w jaki sposób można wyznazyć równanie prostej równoległej albo prostopadłej do prostej nam danej?

1) Równoległość
Jeśli mamy daną prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$, to (z poprzedniego rozdziału) każda prosta o równaniu $$y = a_1x + b$$ będzie do niej równoległa (czyli współczynnik $$b$$ może być dowolny).

2) Prostopadłość
Mając naszą prostą $$y_1 = a_1x + b_1$$ i chcąc wyznaczyć prostą do niej prostopadłą, musimy po prostu skorzystać z warunku $$a_1×a_2 = -1$$. Wyliczamy z niego współczynnik $$a_2 = -{1}/{a_1}$$. Okazuje się więc, że każda prosta o równaniu $$y = -{1}/{a_1}x + b$$ będzie prostopadła do prostej $$y$$ - współczynnik $$b$$ może być dowolny.

Jednak jeżeli chcemy, aby dana prosta przechodziła przez konkretny punkt, musimy wyznaczyć konkretną wartość $$b$$. Załóżmy, że interesujący nas punkt ma współrzędne $$(x_p, y_p)$$.

Pierwsza (równoległa) prosta musi wtedy spełniać równanie $$y_p = a_1x_p+b$$, czyli współczynnik $$b$$ jest równy $$b = y_p - a_1x_p$$.

W przypadku drugiej (prostopadłej) prostej postępujemy analogicznie, otrzymując $$b = y_p + {1}/{a_1}x_p$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia...

Z urny, w której jest 8 kul białych

Obliczymy najpierw, ile elementów ma zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Mamy 10 kul (8 białych i 2 czarne), losujemy z nich jednocześnie 9 kule:

 

 

 

Jeśli w urnie ma zostać biała kula, to musimy wylosować 7 z 8 białych kul oraz 2 z 2 czarnych kul. 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność...

 

Podstawienie:

 

 

Rozwiążmy wpierw równanie:

 

 

Wróćmy do nierówności:

 

Rysunek:

Skoro t=4x, to :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiążmy równanie:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

Ostatecznie:

  

Rysunek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc jedyna możliwość to:

 

 

Na diagramie kołowym przedstawiono...

Ilość 1:  

Ilość 2:  

Ilość 3:  

Ilość 4:  

Ilość 5:  

Ilość 6: 

 

Średnia arytmetyczna:

 

 

Odchylenie standardowe:

 

 

 

 

Prosta o równaniu y=x+3 przecina ...

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

   

    

 

 

 

 

 

  

 

      

 

 

 

 

 

W kulę wpisano prostopadłościan...

Zauważmy, że połowa przekątnej tego prostopadłościanu to promień kuli.

Wyznaczmy przekątną tego prostopadłościanu.

 

 

 

 

 

Przekątna podstawy wynosi 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność ...

 

 

Sprawdzamy. dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 lub .

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.{premium}


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

 .


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

(mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

lub 

  

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

(mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.

W n ponumerowanych

W n ponumerowanych szufladach umieszczamy losowo n ponumerowanych kul. Pierwszą kulę możemy włożyć do jednej z n szuflad - n możliwości. Podobnie drugą, trzecią i każdą kolejną kulę. 

 

 

 

 

 

Jeśli dokładnie jedna szuflada ma być pusta, to w jednej szufladzie muszą znajdować się 2 kule, w n-2 szufladach musi znajdować się po 1 kuli, w jednej szufladzie nie ma żadnej kuli. 

Wybieramy 2 z n kul. 

Następnie wybieramy jedną z n szuflad, do której włożymy te 2 kule - n możliwości. 

Zostało nam n-2 kul do dyspozycji oraz n-1 szuflad do dyspozycji. Od tego momentu do każdej szuflady wkładamy po jednej kuli, dzięki czemu dokładnie jedna szuflada zostanie pusta. 

Pierwszą kulę wkładamy do jednej z n-1 szuflad - n-1 możliwości. 

Drugą kulę wkładamy do jednej z n-2 pozostałych szuflad - n-2 możliwości. 

I tak dalej.

(n-3)-cią kulę wkładamy do jednej z 3 pozostałych szuflad - 3 możliwości. 

Ostatnią, (n-2)-gą kulę wkładamy do jednej z 2 pozostałych szuflad - 2 możliwości. 

Jedna szuflada zostaje pusta. 

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

  

Zapisz wzory trzech różnych funkcji logarytmicznych...

  

Funkcja rosnąca

 

 

Funkcja rosnąca

 

 

Funkcja malejąca

Wyróżnik funkcji kwadratowej jest równy 0 ...

 

Wyrażenie  nazywamy {premium}wyróżnikiem funkcji kwadratowej.

 

  

 

 

 

         
           

Thumb str 2024 20  207