Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $$n$$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $$n-1$$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $$F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $$k$$ pierwszych wyrazów, gdzie $$k$$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $$a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $$i+4$$ musimy znać składnik $$i$$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$$
$$F_0 = 0$$
$$F_1 = 1$$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$$ n+2 = 2 $$, więc oczywiście $$n+1 = 1$$ i $$n = 0$$. Podstawiając pod $$ F_0 = 0$$ i $$F_1 = 1$$ otrzymujemy $$F_2 = 1+0 = 1$$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $$F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$$. Kontynuując:

$$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$$ i wreszcie $$F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 3a_0 = 3$$
$$a_2 = 3a_1 = 9$$
$$a_3 = 3a_2 = 27$$
$$a_4 = 3a_3 = 81$$

Odpowiedź: $$81$$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$$
$$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$$
$$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$$

Odpowiedź: $$138$$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 2^0 = 1$$
$$a_2 = 2^1 = 2$$
$$a_3 = 2^2 = 4$$
$$a_4 = 2^4 = 16$$
$$a_5 = 2^16 = 65536$$


Odpowiedź: $$2^16 = 65536$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy poniższa funkcja jest jednomianem

{premium}

Kłody drewna ułożono...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. W całym stosie było 259 kłód drewna.

Wykaż, że jeśli...

Założenia:  

Teza:  

Dowód:

Tezę przekształcimy równoważnie.  

 

 

Równoważność  zachodzi, ponieważ mianownik ułamka jest dodatni.

Równoważność  zachodzi, ponieważ  

Przekształciliśmy równoważnie tezę do nierówności  Jest ona spełniona na mocy założeń.

Zatem teza jest prawdziwa, co kończy dowód.  

   

Oblicz długość łuku okręgu o promieniu...

a)

 

b)

 

c)

 

d)

 

 

Współrzędne punktów

Zauważmy, że odległość punktów na osi x od zera jest mniejsza lub równa 2 (możemy "iść" maksymalnie 2 jednostki w prawo lub maksymalnie 2 jednostki w lewo), więc:

Podobnie odległośc punktów na osi y od zera jest mniejsza lub równa 2 (możemy "iść" maksymalnie 2 jednostki w górę lub maksymalnie 2 jednostki w dół), więc: 

  

 

 

 

Zauważmy, że możemy "iść" co najwyżej 2 jednostki w prawo lub w lewo:

Możemy poruszać się co najmniej 2 jednostki w górę lub w dół:

 

 

 

 

Zauważmy, że możemy "iść" co najmniej 2 jednostki w prawo lub w lewo:

Możemy poruszać się co najmniej 2 jednsotki w górę lub w dół:

  

Wykonaj działania

 

 

 

 

 

Wysokość CD trójkąta prostokątnego...

Rysunek poglądowy:

 

Jeżeli wysokość h dzieli przeciwprostokątną na boki długości x, y to prawdziwy jest wzór:

 

 

Niech:

  

 

Dodatkowo wiemy, że:

 

 

 

 

czyli

  

 

A więc wysokość ma długość:

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCD:

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACD:

 

 

 

 

 

 

Obwód trójkąta:

 

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu...

Jeżeli liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W to:

 

Jeżeli przy dzieleniu wielomianu W przez dwumian x+1 otrzymujemy resztę -8 to znaczy, że:

 

Liczba -1 jest pierwiastkiem dwumianu x+1.{premium}

 

 

 

 

 

Stąd:

 

 

 

A więc:

 

 

 

Rozwiążmy równanie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby: -2, 1, 3.

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu ...

 

       {premium}

 

 

 

Rozwiązując drugie równanie otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Rozwiązując nierówność wielomianową możemy ją przekształcić do postaci:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ ...

 

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy drugie równanie:{premium}

 

 

 

 

 

 

Punkty przecięcia wykresów to P1=(1,3) oraz P2=(-3,-1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

 

 

 

 

 

  

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

  

 

 

  

  

 

  

Punkty przecięcia wykresów to P1=(3,-4) oraz P2=(-2,1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

  

 

 

  

 

   

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

   

   

 

   

  

   

 

     

Punkty przecięcia wykresów to P1=(-2,1) oraz P2=(-4,-3).

 

Rozwiązanie graficzne: