Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $n$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $n-1$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $k$ pierwszych wyrazów, gdzie $k$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $i+4$ musimy znać składnik $i$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$
$F_0 = 0$
$F_1 = 1$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$ n+2 = 2 $, więc oczywiście $n+1 = 1$ i $n = 0$. Podstawiając pod $ F_0 = 0$ i $F_1 = 1$ otrzymujemy $F_2 = 1+0 = 1$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$. Kontynuując:

$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$ i wreszcie $F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 3a_0 = 3$
$a_2 = 3a_1 = 9$
$a_3 = 3a_2 = 27$
$a_4 = 3a_3 = 81$

Odpowiedź: $81$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$
$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$
$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$

Odpowiedź: $138$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 2^0 = 1$
$a_2 = 2^1 = 2$
$a_3 = 2^2 = 4$
$a_4 = 2^4 = 16$
$a_5 = 2^16 = 65536$


Odpowiedź: $2^16 = 65536$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówności:

 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji  

 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji  ramiona paraboli są skierowane do dołu,

bo współczynnik przy  jest ujemny.

 

{premium}

 

 

 

 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji  

 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji  ramiona paraboli są skierowane do góry,

bo współczynnik przy  jest dodatni.

 

 

 

 

 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji  

 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji  ramiona paraboli są skierowane do dołu,

bo współczynnik przy  jest ujemny.

 

 

 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji  

 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji  ramiona paraboli są skierowane do dołu,

bo współczynnik przy  jest ujemny.

 

 

 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji  

 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji  ramiona paraboli są skierowane do dołu,

bo współczynnik przy  jest ujemny.

 

 

 

 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji  

 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji  ramiona paraboli są skierowane do dołu,

bo współczynnik przy  jest ujemny.

 

Do zdjęcia o wymiarach 15 cm ...

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W okręgu o promieniu 3 cm cięciwa AB wyznacza długości...

Korzystając ze wzoru na długość łuku:  otrzymujemy:

{premium}  

 

 

 

 

 

Trójkąt AOB jest równoramienny, wobec tego:

  

 

Kąt zawarty między styczną a cięciwą AB :

 

Wskaż na modelu bryły lub na rysunku...

a) Rysunek pomocniczy:

Przykłady par krawędzi zawierających się w prostych skośnych:{premium}

  • AB i CF
  • BC i AD
  • AC i BE

Wymienione pary krawędzi zawierają się w prostych prostopadłych.


b) Rysunek pomocniczy:

Przykłady par krawędzi zawierających się w prostych skośnych:

  • AB i CG
  • AB i DH
  • BC i AE

Wymienione pary krawędzi zawierają się w prostych prostopadłych.


c) Rysunek pomocniczy:

Przykłady par krawędzi zawierających się w prostych skośnych:

  • AB i IJ (krawędzie nie zawierają się w prostych prostopadłych)
  • AB i DJ (krawędzie zawierają się w prostych prostopadłych)
Przekątna graniastosłupa prawidłowego...

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suma rozwiązań równania ...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odległość między równoległymi płaszczyznami...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Mamy dane:

 


Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta ABC:

 

 

 

 

Zbadaj wzajemne położenie prostych ...

 

 

 

Przekształcamy równania obu prostych z postaci ogólnej do postaci kierunkowej.

 

 

 {premium}

 

 

 

 

   

 

Proste  i  mają różne współczynniki kierunkowe, zatem przecinają się.

Są prostopadłe, ponieważ

.

Oblicz miejsca zerowe funkcji kwadratowej

{premium}

 

 

 

 

 

 

a) Jaką długość ma bok kwadratu...

a) Pole powierzchni koła o promieniu r wynosi:

 


Obliczmy długość boku kwadratu, który ma takie samo pole jak koło o promieniu r:   {premium}

a - długość boku tego kwadratu

 

 



b) Obwód koła o promieniu r wynosi:

 


Obliczmy długość obwodu kwadratu o boku długości rπ :

 


Większy obwód ma kwadrat ponieważ:

 


Obliczmy, ile razy większy obwód ma ten kwadrat: