Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $n$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $n-1$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $k$ pierwszych wyrazów, gdzie $k$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $i+4$ musimy znać składnik $i$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$
$F_0 = 0$
$F_1 = 1$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$ n+2 = 2 $, więc oczywiście $n+1 = 1$ i $n = 0$. Podstawiając pod $ F_0 = 0$ i $F_1 = 1$ otrzymujemy $F_2 = 1+0 = 1$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$. Kontynuując:

$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$ i wreszcie $F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 3a_0 = 3$
$a_2 = 3a_1 = 9$
$a_3 = 3a_2 = 27$
$a_4 = 3a_3 = 81$

Odpowiedź: $81$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$
$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$
$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$

Odpowiedź: $138$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 2^0 = 1$
$a_2 = 2^1 = 2$
$a_3 = 2^2 = 4$
$a_4 = 2^4 = 16$
$a_5 = 2^16 = 65536$


Odpowiedź: $2^16 = 65536$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech a będzie ...

 

 

{premium}  

 

 

   

 

 

 

 

 

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność jest prawdziwa. Powyższe nierówności są równoważne, co dowodzi nierówności  

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}   

  

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

` `  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

  

Wykres funkcji f powstał przez ...

 

 

 

{premium}  

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

   

Dla jakich wartości parametru m różne rozwiązania...

 

Sprawdźmy najpierw, dla jakich wartości parametru  równanie ma dwa różne rozwiązania.

Będzie tak, gdy:  

Obliczamy:

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

Chcemy, by był spełniony warunek:

 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów, możemy przekształcić go następująco:

 

 

Z wzorów Viete'a mamy:

 

 

 

 

 

 

Odp.  

Wyznacz liczbę

{premium}

Rozwiąż nierówności:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

` `  

 

 

 

 

Do dwóch akwariów

Obliczmy, jaka jest objętość wody znajdującej się w akwarium A:

 

 

Obliczmy, jaka jest łączna objętość wody i kamienia - patrzymy na akwarium B:

{premium}  

 

Jeśli odejmiemy te dwie objętości, to otrzymamy objętość wrzuconego kamienia:

 

 

Obliczmy, jaka jest objętość wody znajdującej się w akwarium C:

 

 

Obliczmy, jaka będzie łączna objętość wody z akwarium C i kamienia:

 

 

Patrząc na rysunek D możemy ułożyć równanie:

 

 

 

Przyjmij, że ...

a)  

   {premium}

 

 

 

 


b)  

 

 

 

 

 

 


c)  

 

 

 

 

 

 

 

 


d)  

 

 

 

 

 

 

 


e)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

Wyznacz równanie okręgu o promieniu r...

a) Oznaczmy środek szukanego okręgu przez:

 

 

Jeżeli okręgi o środkach S1 i S są styczne zewnętrznie to:

  

 

 

 

 

Jeżeli okręgi o środkach S2 i S są styczne zewnętrznie to:

 

 

 

 

 

Rozwiążmy układ równań:

  

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie tego okręgu to:

 

lub

 

 

b) Oznaczmy środek szukanego okręgu przez:

 

 

Jeżeli okręgi o środkach S1 i S są styczne zewnętrznie to:

  

 

 

 

 

Jeżeli okręgi o środkach S2 i S są styczne zewnętrznie to:

 

 

 

 

 

Rozwiążmy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie tego okręgu to:

 

lub

 

Funkcja W jest określona ...

Obliczamy ile wynosi wartość funkcji W dla argumentu 1, czyli dla x=1. {premium}

 

Wartość tej funkcji dla argumentu 1 wynosi -2016. 


Poprawna odpowiedź: A. -2016