Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $$n$$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $$n-1$$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $$F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $$k$$ pierwszych wyrazów, gdzie $$k$$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $$a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $$i+4$$ musimy znać składnik $$i$$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$$
$$F_0 = 0$$
$$F_1 = 1$$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$$ n+2 = 2 $$, więc oczywiście $$n+1 = 1$$ i $$n = 0$$. Podstawiając pod $$ F_0 = 0$$ i $$F_1 = 1$$ otrzymujemy $$F_2 = 1+0 = 1$$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $$F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$$. Kontynuując:

$$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$$ i wreszcie $$F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 3a_0 = 3$$
$$a_2 = 3a_1 = 9$$
$$a_3 = 3a_2 = 27$$
$$a_4 = 3a_3 = 81$$

Odpowiedź: $$81$$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$$
$$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$$
$$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$$

Odpowiedź: $$138$$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 2^0 = 1$$
$$a_2 = 2^1 = 2$$
$$a_3 = 2^2 = 4$$
$$a_4 = 2^4 = 16$$
$$a_5 = 2^16 = 65536$$


Odpowiedź: $$2^16 = 65536$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ciągiem geometrycznym jest ciąg...

Odp. D

 

Między sąsiednimi wyrazami zachodzi warunek:  

 

Narysuj w układzie współrzędnych ...

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku zamieszczonym obok można wskazać....

a)

b) i c) Oznaczmy:

Wtedy:

Stąd:

a trójkąty ADC i ACE nie są podobne

Oblicz wysokość trójkąta równobocznego ...

Korzystamy ze wzorów:

- na pole trójkąta równobocznego:

 

- na długość wysokości w trójkącie równobocznym:

 

(gdzie a - długość boku trójkąta równobocznego)

 

 

a) Znamy wartość pola trójkąta równobocznego:

 

Podstawiamy dane pole do wzoru i obliczamy długość boku trójkąta (a):

 

 

 

 

 

Wyznaczamy długość wysokości trójkąta równobocznego:

 

b) Znamy wartość pola trójkąta równobocznego:

 

Podstawiamy dane pole do wzoru i obliczamy długość boku trójkąta (a):

 

 

 

    

Wyjaśnienie  

 

Korzystamy ze wzoru:

 

   

 

Wyznaczamy długość wysokości trójkąta równobocznego:

     

Uzupełnij licznik lub mianownik...

a) Doprowadźmy mianownik ułamka z lewej strony tak aby był równy temu z prawej strony, wtedy ułamki będą równe.

  

W liczniku należy wpisać:

 

 

 

 

b) Doprowadźmy licznik ułamka z lewej strony tak aby był równy temu z prawej strony, wtedy ułamki będą równe.

 

W mianowniku należy wpisać:

 

 

 

 

c) Doprowadźmy mianownik ułamka z lewej strony tak aby był równy temu z prawej strony, wtedy ułamki będą równe.

Musimy pomnożyć licznik i mianownik przez pewien dwumian postaci:

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

W liczniku musimy wpisać:

 

 

Oblicz x i y. W miejsce ...

  

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podaj przykład ciągu zbieżnego...

a)  

b)  

c)  

d)  

W trapezie równoramiennym ABCD ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz dziedzinę funkcji...

Zajmijmy się nieskończoną sumą:{premium}

 

Suma istnieje gdy:

 

zatem

 

Z własności wartości bezwzględnej:

  

 

 

 

 

 

 

cały badany przedział jest rozwiązaniem.

 

 

 

 

 

 

uwzględniając założenie:

 

 

 

 

 

brak rozwiązań.

 

Suma istnieje gdy:

  

 

Skorzystajmy ze wzoru na sumę:

 

zatem:

 

 

Wykres:

podglad pliku

 

 

 

Zbiór wartości:

  

Na rysunku obok przedstawiono deltoid ...

{premium}

Zauważmy, że pole całego deltoidu ABCD możemy wyrazić jako sumę pól czterech trójkątów prostokatnych.

 

  

    

 

 

 

     

      

    

 

 

Zauważmy, że trójkąt ADC jest równoramienny. Tym samym wysokość m dzieli odcinek |AC| na dwa równe odcinki długości z.

 

   

   

Z twierdzenia Pitagorasa: