Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $$n$$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $$n-1$$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $$F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $$k$$ pierwszych wyrazów, gdzie $$k$$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $$a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $$i+4$$ musimy znać składnik $$i$$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$$
$$F_0 = 0$$
$$F_1 = 1$$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$$ n+2 = 2 $$, więc oczywiście $$n+1 = 1$$ i $$n = 0$$. Podstawiając pod $$ F_0 = 0$$ i $$F_1 = 1$$ otrzymujemy $$F_2 = 1+0 = 1$$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $$F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$$. Kontynuując:

$$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$$ i wreszcie $$F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 3a_0 = 3$$
$$a_2 = 3a_1 = 9$$
$$a_3 = 3a_2 = 27$$
$$a_4 = 3a_3 = 81$$

Odpowiedź: $$81$$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$$
$$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$$
$$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$$

Odpowiedź: $$138$$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 2^0 = 1$$
$$a_2 = 2^1 = 2$$
$$a_3 = 2^2 = 4$$
$$a_4 = 2^4 = 16$$
$$a_5 = 2^16 = 65536$$


Odpowiedź: $$2^16 = 65536$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeden bok prostokąta

 

 

 

 

 

 

 

 

W obliczeniu pola prostokąta po zmianach skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. 

 

 

Wiemy, że pole prostokąta zmniejszyło się o mniej niż jeden promil. Promil oznacza częśc tysięczną. 

Różnica pól jest więc mniejsza niż tysięczna część początkowego pola. Zapiszmy nierówność:

 

Możemy podzielić powyższą nierówność obustronnie przez xy. Liczby x oraz y oznaczają długości boków, są więc liczbami dodatnimi, więc nie ma niebezpieczeństwa dzielenia przez 0. Wyrażenie xy jest dodatnie, więc nie zmieniamy znaku nierówności. 

 

 

 

 

Szukamy liczb naturalnych dodatnich, których kwadrat jest mniejszy od 10. Takie liczby to: 1, 2, 3.

Oblicz sumę ...

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

   

   

Wykonaj rysunek przedstawiający interpretację

W każdym przykładzie obliczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu. 

 

  

Wzrostowi argumentu o pięć jednostek odpowiada wzrost wartości funkcji o dwie jednostki. 

 

 

 

Wzostowi argumentu o trzy jednostki odpowiada wzrost wartości funkcji o cztery jednostki. 

 

 

 

Wzrostowi argumentu o trzy jednostki odpowiada spadek wartości funkcji o cztery jednostki. 

 

 

 

Wzrostowi argumentu o pięć jednostek odpowiada spadek wartości funkcji o dwie jednostki. 

 

Wyznacz granicę ciągu...

 

 

 

 

 

 

 

 


 lim_(n -> oo) (1/2 n^2(3+1/n))/(n^2(2-1/n)) = lim_(n -> oo) (1/2(3+(1/n)->0 ))/((2-(1/n)->0 )) = (1/2*3)/(2) = 3/4

Oblicz odległości...

 

 

 

Narysuj trzy proste przecinające się parami

Z prostokątnego arkusza kartonu ...

Prostokątny karton miał wymiary 30 cm na 40 cm. 

Z narożników wycięto kwadraty o boku długości x.

a) Obliczmy objętość pudełka, które powstało po złożeniu kartonu.

Rysunek pomocniczy:

Pudełko to ma wymiary: 30-2x cm, 40-2x cm oraz x cm (x - wysokość pudełka).

Wielomian opisujący objętość pudełka w zależności od zmiennej x:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji opisującej objętość pudełka. Oczywiste jest, że jeżeli wycinamy w narożniku prostokątnego kartonu kwadrat o boku długości x, to długość ta musi być większa od 0. Z drugiej strony długość x, musi być mniejsza od 15 cm (połowy długości krótszego boku). Gdyby x był równy 15 cm, to odcinając z krótszego boku narożniki, odcielibyśmy cały pas o szerokości 15 cm (nie zostałoby nic do złożenia, tak aby otrzymać pudełko).

b) Z wykresu możemy odczytać, że dla x=5 pudełko osiąga największą (3000 cm3) objętość.

Z punktu a) wiemy, że wymiary pudełka to: 30-2x, 40-2x, x.

Podstawiając 5 w miejsce x do długości krawędzi otrzymamy: 20, 30, 5.

Odp: Największą objętość ma pudełko o wymiarach około 20 cm x 30 cm x 5 cm.

c) Sprawdzamy czy spełniona jest nierówność:

Odp: Zadana nierówność nie jest spełniona.

W trapezie ABCD ramiona mają długości 10 cm i 6 cm...

I trapez

 

Trójkąt ABD jest równoramienny, więc:

Niech h to wysokość trapezu, a x - wysokość trójkąta ABD opuszczona na bok AD.

Z twierdzenie Pitagorasa:

Zauważmy, że h jest również wysokością trójkąta ABD, więc pole tego trójkata możemy zapisać na dwa sposoby. Stąd:

Obliczmy traz długości y i z.

 

Obliczamy teraz długość boku CD:

 

II trapez

 

 

Prowadzimy takie same obliczenia jak w trapezie I

co daje sprzeczność, więc drugi przypadek nie jest możliwy. Stąd:

Oblicz objętość sześcianu

 

{premium}

 

 

 

 

 

Dana jest funkcja liniowa f o wzorze

Funkcja liniowa jest malejąca, jeśli jej współczynnik kierunkowy jest ujemny.

 

 

Wykresy funkcji liniowych są prostopadłe, jeśli iloczyn współczynników kierunkowych tych funkcji wynosi -1: