Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $n$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $n-1$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $k$ pierwszych wyrazów, gdzie $k$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $i+4$ musimy znać składnik $i$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$
$F_0 = 0$
$F_1 = 1$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$ n+2 = 2 $, więc oczywiście $n+1 = 1$ i $n = 0$. Podstawiając pod $ F_0 = 0$ i $F_1 = 1$ otrzymujemy $F_2 = 1+0 = 1$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$. Kontynuując:

$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$ i wreszcie $F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 3a_0 = 3$
$a_2 = 3a_1 = 9$
$a_3 = 3a_2 = 27$
$a_4 = 3a_3 = 81$

Odpowiedź: $81$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$
$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$
$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$

Odpowiedź: $138$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 2^0 = 1$
$a_2 = 2^1 = 2$
$a_3 = 2^2 = 4$
$a_4 = 2^4 = 16$
$a_5 = 2^16 = 65536$


Odpowiedź: $2^16 = 65536$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz resztę z dzielenie wielomianu w

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian (x-a) jest równa w(a). Musimy więc znaleźć wartość w(3).

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez wielomian 2x²-5x-3 jest równa 5-x, więc zachodzi równość:

gdzie wielomian q(x) to wynik z dzielenia wielomianu w przez wielomian 2x²-5x-3

 

Obliczmy w(3):

 

Reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x-3 jet równa 2.

 

 

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian (x-a) jest równa w(a). Musimy więc znaleźć wartość w(-2).

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez wielomian x³-5x-2 jest równa 2x²+x-1, więc zachodzi równość:

gdzie wielomian q(x) to wynik z dzielenia wielomianu w przez wielomian x³-5x-2. 

 

Obliczmy w(-2):

{premium}

 

Reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian (x+2) jest równa 5. 

 

 

 

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez wielomian x⁴+2x²-3 jest równa x³+5, więc zachodzi równość:

gdzie wielomian q(x) to wynik z dzielenia wielomianu w przez wielomian x⁴+2x²-3. 

Dzieląc wielomian w(x) przez wielomian drugiego stopnia p(x)=x²-1 otrzymamy resztę stopnia co najwyżej 1 (maksymalny stopień reszty jest o 1 mniejszy od stopnia wielomianu, przez który dzielimy). Możemy więc zapisać:

gdzie wielomian s(x) to wynik z dzielenia wielomianu w przez wielomian p(x)=x²-1. 

Obliczmy w(1) korzystając najpierw ze wzoru oznaczonego jedną gwiazdką, a następnie ze wzoru oznaczonego dwoma gwiazdkami: 

Oczywiście wartość w(1) obliczona na dwa sposoby musi być jednakowa, więc mamy równanie:

 

Obliczmy w(-1) korzystając najpierw ze wzoru oznaczonego jedną gwiazdką, a następnie ze wzoru oznaczonego dwoma gwiazdkami: 

Oczywiście wartość w(-1) obliczona na dwa sposoby musi być jednakowa, więc mamy równanie:

 

Mamy do rozwiązania układ równań:

Podstawiamy obliczoną wartość b do pierwszego równania układu równań:

 

Mamy więc rozwiązanie:

 

Reszta jest więc postaci:

Wykaż, że jeśli liczba x_0 jest miejscem zerowym

 

{premium}  

 

  

 

        

Wyznacz wzór ogólny ...

 

 

 

  

 

 

 

{premium}  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

   

 

 

 

Okrąg o równaniu ...

a) Prosta w postaci kierunkowej:

 

 

 

Podstawiając wyznaczony y do równania okręgu otrzymujemy: {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wobec tego otrzymujemy:

 


b)  Równanie okręgu o środku w punkcie A i promieniu 2:

 

 


c) Równanie okręgu o środku w punkcie B i promieniu r:

 

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy warunek na promień:

 

 

W okrąg o promieniu...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Mamy dane:

 

 Zauważmy, że trójkąt  jest równoboczny. Wiemy, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie

stanowi  wysokości trójkąta.

Mamy więc:

 gdzie  {premium}  

Stąd:

    

 

 

 

Odp.   

 

 Obliczamy pole trójkąta  

 

Zauważmy, że odcinek  podzielił kąt  na pół. Dla trójkąta  mamy zatem:

 

 

 

Obliczamy pole trójkąta  

 

Odp.   

Na rysunku przedstawiono ...

 

 

 

{premium}  

 

  

  

 

 

   

 

  

    

    

Oblicz.

       {premium}

 

 


 

 

 


 

 

 


 

   

 

Wykaż, że równanie ma pierwiastek...

a)  

 

 

{premium}  

Odp. O dodatnich znakach.


b)  

 

 

 

Odp. O różnych znakach.


c)  

 

 

 

Odp. O różnych znakach.


d)  

 

 

 

Odp. O ujemnych znakach.

Rozwiąż równanie.

a) Dziedzina:

  

 

  

 

 

 

Z uwagi na fakt, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa:

 

 

Podstawienie pomocnicze:

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny:

 

Z uwagi na fakt że funkcja wykładnicza jest róznowartościowa:

  

Rozwiązaniem równania jest liczba

 

 

b) Założenie:

  

 

Zlogarytmujmy obustronnie logarytmem o podstawie 3.

 

 

Podstawienie pomocnicze:

  

 

 

 

 

 

 

 

Stąd

 

Z definicji logarytmu:

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 

 

Założenie:

 

 

Zlogarytmujmy równanie logarytmem o podstawie 2.

 

 

 

 

Z definicji logarytmu:

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 

Zaznaczone punkty...

Równanie prostej:

{premium}

 

 

b) Skoro każdy punkt ciągu an zawiera się w prostej y=3/2x-11/2 to znaczy, że jeżeli będziemy podstawiać pod x liczby naturalne to będziemy otrzymywać wartości kolejnych wyrazów ciągu an.

 

 

c) Wykres: