Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $n$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $n-1$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $k$ pierwszych wyrazów, gdzie $k$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $i+4$ musimy znać składnik $i$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$
$F_0 = 0$
$F_1 = 1$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$ n+2 = 2 $, więc oczywiście $n+1 = 1$ i $n = 0$. Podstawiając pod $ F_0 = 0$ i $F_1 = 1$ otrzymujemy $F_2 = 1+0 = 1$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$. Kontynuując:

$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$ i wreszcie $F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 3a_0 = 3$
$a_2 = 3a_1 = 9$
$a_3 = 3a_2 = 27$
$a_4 = 3a_3 = 81$

Odpowiedź: $81$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$
$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$
$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$

Odpowiedź: $138$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 2^0 = 1$
$a_2 = 2^1 = 2$
$a_3 = 2^2 = 4$
$a_4 = 2^4 = 16$
$a_5 = 2^16 = 65536$


Odpowiedź: $2^16 = 65536$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech x będzie taką liczbą, że ...

    {premium}

 

 

 

 

 

Rozwiąż...

Dane jest równanie

grupując wyrazy równania otrzymujemy{premium}

wyłączając wspólny czynnik przed nawias dostajemy

iloczyn dwóch liczb jest równy zero, gdy co najmniej jedna z liczb jest równa zero

    

Równanie ma więc trzy rozwiązania

 

Zbiorem rozwiązań równania...

 

{premium}

 

   zbiór rozwiązań 

Wykaż, że...

Wykażmy podaną nierówność:  {premium}

 

 

 

 

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem nierówność ta jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej  .

c.n.w.

Trójkąty prostokątne ABC i KLM są podobne ...

Rysunek pomocniczy:

   {premium}

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy:

 

1,96+23,04=c^2

 

 

 

Obliczmy skalę podobieństwa:

 

Zatem możemy wyznaczyć długości przyprostokątnych trójkąta KLM.

 

 

 

 

 

Dany jest wzór funkcji f ...

 

 

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

Jeden z boków trójkąta ...

 

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny, ponieważ jest oparty na średnicy.    {premium}

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 


 

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny, ponieważ jest oparty na średnicy.

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

Rozwiąż nierówności:

 

 

          {premium}

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 


 

 

 

 

 

 

 

Podaj dwa kolejne przekształcenia...

 

Aby z wykresu funkcji  otrzymać wykres funkcji  należy:

1) Przekształcić wykres funkcji f przez symetrię względem osi OX- wówczas powstanie wykres funkcji .  {premium}

2) Przesunąć wykres funkcji h o wektor  .


 

Aby z wykresu funkcji  otrzymać wykres funkcji  należy:

1) Przekształcić wykres funkcji f przez symetrię względem osi OY- wówczas powstanie wykres funkcji .

2) Przesunąć wykres funkcji i o wektor .


 

Aby z wykresu funkcji  otrzymać wykres funkcji  należy:

1) Przekształcić wykres funkcji f przez symetrię względem punktu (0, 0)- wówczas powstanie wykres funkcji .

2) Przesunąć wykres funkcji j o wektor .

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt...

Zauważmy, że:{premium}

 

Zatem z twierdzenia odwrotnego to Pitagorasa wiemy, że w podstawie mamy trójkąt prostokątny. Jeżeli krawędzie boczne są nachylone do podstawy pod tym samym kątem to rzut prostokątny wierzchołka ostrosłupa na podstawę to środek okręgu opisanego na podstawie. Przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu. Rysunek poglądowy:

Wiemy, że odcinek ED jest prostopadły do płaszczyzny podstawy. Wynika to stąd, że trójkąty ADE i CDE są trójkątami prostokątnymi równoramiennymi. Stąd:

 

Objętość V ostrosłupa o polu podstawy P i wysokości h wyraża się wzorem:

 

Pole podstawy czyli trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a, b możemy wyrazić za pomocą wzoru:

 

A więc: