Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $$n$$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $$n-1$$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $$F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $$k$$ pierwszych wyrazów, gdzie $$k$$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $$a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $$i+4$$ musimy znać składnik $$i$$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$$
$$F_0 = 0$$
$$F_1 = 1$$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$$ n+2 = 2 $$, więc oczywiście $$n+1 = 1$$ i $$n = 0$$. Podstawiając pod $$ F_0 = 0$$ i $$F_1 = 1$$ otrzymujemy $$F_2 = 1+0 = 1$$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $$F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$$. Kontynuując:

$$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$$ i wreszcie $$F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 3a_0 = 3$$
$$a_2 = 3a_1 = 9$$
$$a_3 = 3a_2 = 27$$
$$a_4 = 3a_3 = 81$$

Odpowiedź: $$81$$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$$
$$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$$
$$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$$

Odpowiedź: $$138$$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 2^0 = 1$$
$$a_2 = 2^1 = 2$$
$$a_3 = 2^2 = 4$$
$$a_4 = 2^4 = 16$$
$$a_5 = 2^16 = 65536$$


Odpowiedź: $$2^16 = 65536$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W okrąg o promieniu...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Mamy dane:

`R=4sqrt3` 

`"a)"` Zauważmy, że trójkąt `ABD` jest równoboczny. Wiemy, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie

stanowi `2/3` wysokości trójkąta.

Mamy więc:

`R=2/3h,` gdzie `h=(asqrt3)/2` 

Stąd:

`R=2/3*(asqrt3)/2`    

`4sqrt3=2/3*(asqrt3)/2` 

`4sqrt3=(asqrt3)/3\ "/"*3/sqrt3` 

`a=12` 

Odp. `|AB|=12.`  

 

`"b)"` Obliczamy pole trójkąta `DeltaABD:` 

`P_(DeltaABD)=(a^2sqrt3)/4=(12^2sqrt3)/4=(144sqrt3)/4=36sqrt3` 

Zauważmy, że odcinek `H` podzielił kąt `120^@` na pół. Dla trójkąta `DeltaCEB` mamy zatem:

`"tg"\ 60^@=(1/2a)/H` 

`H=(1/2a)/("tg"\ 60^@)` 

`H=6/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(6sqrt3)/3=2sqrt3` 

Obliczamy pole trójkąta `DeltaABC:` 

`P_(DeltaABC)=1/2aH=1/2*12*2sqrt3=12sqrt3` 

Odp. `P_(DeltaABD)=36sqrt3,\ P_(DeltaABC)=12sqrt3.`  

Długości boków wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny...

Długości boków tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3 cm. Skoro najdłuższy bok ma długość 23 cm a obwód jest równy 100 cm to:

`a_n = 23`

`a_1 + 3(n-1) = 23` 

`a_1 + 3n - 3 = 23`  

`a_1 = 26-3n`  

 

`S_n = 100` 

`(a_1+a_1+3(n-1))/2*n = 100` 

`(2a_1 + 3n - 3)*n = 200` 

`(52-6n + 3n - 3)*n = 200` 

`(49-3n)*n = 200` 

`-3n^2 + 49n = 200` 

`3n^2 - 49n + 200=0` 

`Delta = (-49)^2 - 4*3*200 = 2401 - 2400 = 1` 

`sqrtDelta = sqrt1 = 1` 

`n_1 = (49-1)/6 = 48/6 = 8` 

`n_2 = (49+1)/6 notinN` 

A więc rozwiązaniem jest:

`n = 8` 

 

Odpowiedź: Jest to ośmiokąt.

Naszkicuj wykres funkcji

`a)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=2x² o 3 jednostki w lewo wzdłuż osi OX. 

`y=2x^2\ \ \ #(->)^(vecu=[-3,\ 0])\ \ \ f(x)=2(x+3)^2` 

 

`"Funkcja"\ f\ "jest rosnąca, gdy"\ x in <<-3;\ +infty). `

`"Funkcja"\ f\ "jest malejaca, gdy"\ x in (-infty;\ -3>>.` 

 

 

`b)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=2x² o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX. 

`y=2x^2\ \ \ #(->)^(vecu=[1,\ 0])\ \ \ f(x)=2(x-1)^2` 

`"Funkcja"\ f\ "jest rosnąca, gdy"\ x in <<1;\ +infty).`

`"Funkcja"\ f\ "jest malejaca, gdy"\ x in (-infty;\ 1>>.` 

 

 

`c)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=-2x² o 3 jednostki w lewo wzdłuż osi OX. 

`y=-2x^2\ \ \ #(->)^(vecu=[-3,\ 0])\ \ \ f(x)=-2(x+3)^2`

`"Funkcja"\ f\ "jest rosnąca, gdy"\ x in (-infty;\ -3>>.` 

`"Funkcja"\ f\ "jest malejaca, gdy"\ x in <<-3;\ +infty).` 

 

 

 

 

`d)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=-2x² o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX. 

`y=-2x^2\ \ \ #(->)^(vecu=[1,\ 0])\ \ \ f(x)=-2(x-1)^2` 

 

`"Funkcja"\ f\ "jest rosnąca, gdy"\ x in (-infty;\ 1>>.` 

`"Funkcja"\ f\ "jest malejaca, gdy"\ x in<<1;\ +infty).`  

Uporządkuj sumy algebraiczne S i T

`a)` 

`S=x^3-2x^2+3x^5-4=` `3x^5+x^3-2x^2-4` 

`T=3x^2-2x^4+4-x^3=-2x^4-x^3+3x^2+4` 

 

`S+T=(3x^5+x^3-2x^2-4)+(-2x^4-x^3+3x^2+4)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 3x^5+x^3-2x^2-4-2x^4-x^3+3x^2+4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =3x^5-2x^4+x^2` 

 

`S-T=(3x^5+x^3-2x^2-4)-(-2x^4-x^3+3x^2+4)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =3x^5+x^3-2x^2-4+2x^4+x^3-3x^2-4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =3x^5+2x^4+2x^3-5x^2-8` 

 

 

 

`b)` 

`S=1/2x^4-1/3x^3+x-3x^2=1/2x^4-1/3x^3-3x^2+x` 

`T=3x^2-x-3/2x^4+2/3x^3=` `-3/2x^4+2/3x^3+3x^2-x` 

 

`S+T=(1/2x^4-1/3x^3-3x^2+x)+(-3/2x^4+2/3x^3+3x^2-x)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/2x^4-1/3x^3-3x^2+x-3/2x^4+2/3x^3+3x^2-x=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-x^4+1/3x^3` 

 

`S-T=(1/2x^4-1/3x^3-3x^2+x)-(-3/2x^4+2/3x^3+3x^2-x)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/2x^4-1/3x^3-3x^2+x+3/2x^4-2/3x^3-3x^2+x=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2x^4-x^3-6x^2+2x`   

 

 

Oblicz granicę.

`a)` 

`lim_(n->oo)root(n)(2^n+3^n+4^n)` 

`"Zauważmy, że:"\ root(n)(4^n)\<=root(n)(2^n+3^n+4^n)<=root(n)(3*4^n)` 

 

`root(n)(4^n)=4` 

`lim_(n->oo)root(n)(4^n)=4` 

 

`lim_(n->oo)root(n)(3*4^n)=lim_(n->oo)root(n)(4^n)root(n)(3)=lim_(n->oo)4root(n)(3)=4lim_(n->oo)root(n)(3)=(**)`   

`"Wiemy, że"\ lim_(n->oo)root(n)(a)=1,\ "gdy"\ a>0.` 

`"Na tej podstawie:"` 

`(**)=4*1=4`  

 

`"Z twierdzenia o trzech ciągach wiemy, że jeżeli: " `   

`root(n)(4^n)\<=root(n)(2^n+3^n+4^n)<=root(n)(3*4^n)\ \ \"i"\lim_(n->oo)root(n)(4^n)=4=lim_(n->oo)root(n)(3*4^n)=g=4,\ "to":`

`ul(lim_(n->oo)root(n)(2^n+3^n+4^n)=4` 

 

`b)` 

`lim_(n->oo)root(n)(7+sinn)` 

`"Zauważmy, że:"\ -1<=sinn<=1\ "dla dowolnego n".` 

`(**)\ "Wiemy, że"\ lim_(n->oo)root(n)(a)=1,\ "gdy"\ a>0.`  

`7-1<=7+sinn<=1+7` 

`6<=7+sinn<=8` 

`sinn+7 >0` 

`"Z faktu"\ (**)\ "wnioskujemy, że:"` 

`ul(lim_(n->oo)root(n)(7+sinn)=1`  

` `

Wykaż, że podane wyrażenie...

`a) \ (1-2sin^2x)/(2cos^2x-1) = (sin^2x + cos^2x - 2 sin^2x)/(2cos^2x - sin^2x - cos^2x) = (cos^2x -sin^2x)/(cos^2x-sin^2x) = 1` 

 

`b) \ (cos^4 x - sin^4x)/(cos^2x - sin^2x) = ((cos^2x-sin^2x)(cos^2x+sin^2x))/(cos^2x-sin^2x) = cos^2x + sin^2x = 1` 

 

`c) \ (cos^4x + sin^4x)/(1-2sin^2xcos^2x) = (cos^4x + 2 cos^2xsin^2x + sin^4x - 2cos^2xsin^2x)/(1 - 2 sin^2xcos^2x) = ((cos^2x+sin^2x)^2 - 2cos^2xsin^2x)/(1-2sin^2xcos^2x) = (1 - 2cos^2xsin^2x)/(1-2cos^2xsin^2x) =1` 

Pewien szczep bakterii...

a)

`a_1=10` 

`a_2=20` 

`a_3=40` 

`a_4=80` 

`a_5=160` 

`a_6=320` 

`a_7=640` 

`a_8=1280` 

`a_9=2560` 

`a_10=5120` 

 

b)

`a_n=10*2^(n-1)`  

Obwód rombu jest równy 116 cm ...

Boki rombu są równej długości, oznaczymy jest literką `a`.

Z treści zadania wiemy, że obwód tego rombu jest równy `116 \ cm`, zatem  

`4a=116 \ \ \ \ \|:4`

`a=29cm`  

Przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym i w połowie.

Długości przekątnych różnią się o `2 cm`, więc możemy zapisać:

Długość pierwszej przekątnej: `2x \ cm`

Długość połowy pierwszej przekątnej:  `x \ cm` 

Długość drugiej przekątnej: `2x+2 \ cm`

Długość połowy drugiej przekątnej:  `x+1 \ cm` 

Zobaczmy jak wygląda to na rysunku

Mamy 4 trójkąty prostokątne. Wszystkie one są przystające (takie same).

 

Aby obliczyć długości przekątnych, wystarczy {premium}skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

 

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych

jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

 

Zatem 

`x^2+(x+1)^2=29^2` 

`x^2+x^2+2x+1=841` 

`2x^2+2x+1=841 \ \ \ \ \ |-841` 

`2x^2+2x-840=0` 

`2(x^2+x-420)=0 \ \ \ \ \|:2`

`x^2+x-420=0`  

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe

`Delta = 1^1-4*1*(-420)=1+1680=1681`

`x_1=(-1-sqrt(1681))/(2*1)=(-1-41)/2=(-42)/2=-21` - nie może być rozwiązaniem,

ponieważ długość boku musi być liczbą dodatnią.

`x_2=(-1+sqrt(1681))/(2*1)=(-1+41)/2=(40)/2=20`   

 

Długość połowy krótszej przekątnej wynosi `20 \ cm`, zatem cała krótsza przekątna ma długość  `2*20 \ cm= \ 40 cm`.

Długość dłuższej przekątnej wynosi `40 \ cm +2 \ cm = 42 \ cm`. 

Proste zawierające boki równoległoboku ...

`a)` 

Wyznaczmy równanie prostej AB oraz BC.

`AB:\ y=ax+b` 

`A=(-2;-2)` 

`B=( 7;-1)` 

`{(-2=-2a+b),(-1=7a+b):}` 

`{( 2= 2a-b),(-1=7a+b):}` 

`9a=1` 

`a=1/9` 

`b=-1-7a=-1-7/9=-16/9` 

`AB:\ y=1/9x-16/9` 

 

`BC:\ y=ax+b`    

`B=(7;-1)` 

`C=(9;3)` 

`{(-1=7a+b),(3=9a+b):}` 

`{( 1=-7a-b),(3=9a+b):}` 

`4=2a` 

`a=2` 

`b=3-9a=-15` 

`BC:\ y=2x-15` 

Szukany układ równań to:

`ul({(y=1/9x-16/9),(y=2x-15):}`  

Rozwiązanie:

`{(x=7),(y=-1):}` 

 

`b)` 

Wyznaczmy równanie prostej AD oraz AB.

`AB:\ y=1/9x-16/9` 

`AD:\ y=2x+6` 

(Prosta AD jest równoległa do wyznaczonej prostej BC, czyli ma taki sam współczynnik

kierunkowy. Dodatkowo prosta AD przecina oś OY w punkcie (0;6), zatem wyraz

wolny rozważanej prostej to 6.  

Szukany układ równań to:

`ul({(y=1/9x-16/9),(y=2x +6):}`    

Rozwiązanie:

`{(x=-2),(y=2):}`  

 

`c)` 

Aby otrzymać układ sprzeczny wystarczy wybrać równania dwóch prostych

równoległych. Weźmy równania prostych AD i BC.

`ul({(y=2x-15),(y=2x +6):}` 

(Układ równań złożony z prostych równoległych AB i DC również jest sprzeczny.)    

Trzy liczby, które tworzą ...

`(a,\ b,\ c)-"ciąg arytmetyczny"` 

`(a-3,\ b-5,\ c-3)-"ciąg geometryczny"` 

 

`{(b=(a+c)/2),((b-5)^2=(a-3)(c-3)),(a+b+c=39):}` 

`{(2b= a+c ),((b-5)^2=(a-3)(c-3)),(3b=39):}` 

`{(a=26-c),((b-5)^2=(a-3)(c-3)),(b=13):}` 

`(13-5)^2=(26-c-3)(c-3)` 

`64=(23-c)(c-3)` 

`64=23c-69-c^2+3c` 

`c^2-26c+133=0` 

`Delta=676-532=144` 

`sqrtDelta=12` 

 

`c_1=(26-12)/2=7` 

`c_2=(26+12)/2=19`   

`a_1=26-c_1=19`  

`a_2=26-c_2=7` 

`{(a=7),(b=13 ),(c=19):}\ \ \"lub"\ \ \{(a=19),(b=13),(c=7):}`   

Szukane liczby to 7, 13 i 19.