Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $n$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $n-1$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $k$ pierwszych wyrazów, gdzie $k$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $i+4$ musimy znać składnik $i$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$
$F_0 = 0$
$F_1 = 1$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$ n+2 = 2 $, więc oczywiście $n+1 = 1$ i $n = 0$. Podstawiając pod $ F_0 = 0$ i $F_1 = 1$ otrzymujemy $F_2 = 1+0 = 1$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$. Kontynuując:

$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$ i wreszcie $F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 3a_0 = 3$
$a_2 = 3a_1 = 9$
$a_3 = 3a_2 = 27$
$a_4 = 3a_3 = 81$

Odpowiedź: $81$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$
$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$
$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$

Odpowiedź: $138$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 2^0 = 1$
$a_2 = 2^1 = 2$
$a_3 = 2^2 = 4$
$a_4 = 2^4 = 16$
$a_5 = 2^16 = 65536$


Odpowiedź: $2^16 = 65536$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj wykres funkcji...

W przedziale (-∞, 2) rysujemy wykres funkcji y=1/2x+3, a w przedziale <2,+∞) - wykres funkcji y=-2x+5.{premium}


Z rysunku odczytujemy, że równanie f(x)=m ma dwa rozwiązania dla m ∈ (-∞, 1>.

Narysuj dowolny czworokąt i konstruując...

Przykładowe rozwiązanie:   {premium}



Symetralne boków tego czworokąta nie przecinają się w jednym punkcie, zatem na tym czworokącie nie można opisać okręgu.

Wyznacz największą liczbę z przedziału...

 

 

 

 

 

 

Podstawienie pomocnicze:

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

Po uzgodnieniu z dziedziną:

 

 

 

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

 

 

 

 

 

Ze wzoru na sumę cosinusów:

 

 

 

 

 

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

 

 

 

Podstawienie pomocnicze:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny zostaje nam:

 

 

  

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

Przekątna prostokąta ...

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

  

 

 

 

  

    

 

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

Oblicz, jaki ułamek wszystkich kwadratów...
Numer prostokąta 1 2 3 4 5 n
Liczba niebieskich kwadratów 6 10 14 18 22 4n+2{premium}
Liczba wszystkich kwadratów 12 30 56 90 132 4n2+6n+2
Stosunek liczby niebieskich kwadratów do liczby wszystkich kwadratów 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/n+1


 

 

 

 

 


 

 

 


Obliczmy dla jakich n liczba niebieskich kwadratów stanowi mniej niż 1% (czyli 0,01) wszystkich kwadratów:

 

 

 

 

 


Odp.: Liczba niebieskich kwadratów stanowi mniej niż 1% dla liczb n większych niż 99. 

Na trójkącie prostokątnym ABC o przyprostokątnych długości...

Średnicą koła jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Obliczmy długość przeciwprostokątnej:

 

 

{premium}  

 

 

Zatem promień jest równy:

 

 

a) Pole trójkąta ABC:

  

 

Pole koła:

 

 

Stosunek pola koła do pola trójkąta ABC:

 

 

b) Obwód trójkąta ABC:

 

 

Obwód koła:

 

 

Stosunek obwodu koła do obwodu trójkąta ABC:

 

  

Napisz równanie okręgu stycznego do osi y ...

Szukamy punktu przecięcia prostych  i

 

 

 

Do równania okręgu w miejsce niewiadomej  podstawiamy{premium}  

 

 

 

 

 .

Wyznaczamy  

.

Środek okręgu ma współrzędne

.

Okrąg ma być styczny do osi , więc promień jest równy .

Równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu :

.

Równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu :

.

Wyznacz wyraz ogólny ciągu geometrycznego...

Wyraz ogólny ciągu geometrycznego  wyraża się wzorem:

 

 

{premium}  Mamy  

Obliczamy       

 

 

 Mamy  

Obliczamy       

 

 

 Mamy  

Obliczamy       

 

Codziennie rano Karol przebiega dystans 15 km...

Wzór na prędkość:

 

 

 

Droga do lasu:

 

 

Droga z lasu:

 

 

Drogę powrotną pokonuje z prędkością o 1,5 km/h mniejszą:

 

 

Jogging trwa 2,25 godziny:

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Zredukujmy pierwsze równanie:

  

 

 

 

 

Stąd:

 

 

Rozwiążmy drugie równanie:

 

 

 

 

 

 

Bierzemy pod uwagę tylko dodatnie t:

  

 

 

 

 

Kulę o środku O przecięto płaszczyzną...

Pole powierzchni kuli:

 

Objętość:

 

 

Rysunek poglądowy:    {premium}

Kąty oznaczone literami alfa są równe gdyż są to kąty naprzemianległe.


 

 

 

 

 

Pole powierzchni:

 

Objętość:

 


 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

Pole powierzchni:

 

Objętość:

 


 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole powierzchni:

 

Objętość: