Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $$n$$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $$n-1$$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $$F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $$k$$ pierwszych wyrazów, gdzie $$k$$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $$a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $$i+4$$ musimy znać składnik $$i$$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$$
$$F_0 = 0$$
$$F_1 = 1$$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$$ n+2 = 2 $$, więc oczywiście $$n+1 = 1$$ i $$n = 0$$. Podstawiając pod $$ F_0 = 0$$ i $$F_1 = 1$$ otrzymujemy $$F_2 = 1+0 = 1$$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $$F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$$. Kontynuując:

$$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$$ i wreszcie $$F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 3a_0 = 3$$
$$a_2 = 3a_1 = 9$$
$$a_3 = 3a_2 = 27$$
$$a_4 = 3a_3 = 81$$

Odpowiedź: $$81$$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$$
$$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$$
$$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$$

Odpowiedź: $$138$$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 2^0 = 1$$
$$a_2 = 2^1 = 2$$
$$a_3 = 2^2 = 4$$
$$a_4 = 2^4 = 16$$
$$a_5 = 2^16 = 65536$$


Odpowiedź: $$2^16 = 65536$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Które wyrażenie...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

Odpowiedź: Wyrażenie I ma większą wartość.

Wyznacz wyrażenie W=2S-3T

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `2x^5+6x^4+3` 

 

{premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `3x^2-4x-10` 

Rozwiąż układ równań ...

Rozwiązujemy układ równań

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne {premium}

 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Wyznaczamy rownanie matematyczne dla rownanie matematyczne:

rownanie matematyczne.

Wyznaczamy rownanie matematyczne dla rownanie matematyczne:

rownanie matematyczne.

 

Rozwiązaniem układu równań są pary liczb

rownanie matematyczne  i  rownanie matematyczne 

Magda i Ola podjęły pracę wakacyjną w dwóch różnych pizzeriach

rownanie matematyczne

Opiszmy zarobki dziewcząt (w zł) w zależności od liczby dostarczonych pizz (tą liczbę oznaczmy x) jako funkcje:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Policzmy, ile zarabia każda z dziewczyn, jeśli dostarczy 30 pizz:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

ODP: Jeśli średnia liczba dostaw wynosi 30, to korzystniejsze warunki pracy wybrała Magda.

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

ODP: Zarobek dziewczyn będzie identyczny, jeśli średnia liczba dostaw wyniesie 40. 

Uzasadnij, że liczba log₂√6 + ...

Sprawdzamy, czy liczba określona następująco:

rownanie matematyczne 

jest liczbą wymierną.

 

Korzystamy z tw. o logarytmie iloczynu oraz tw. o logarytmie ilorazu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Liczbę 2 możemy zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie p,q C oraz q 0, więc jest to liczba wymierna.

rownanie matematyczne 

 

Odp: Liczba określona za pomocą podanego w treści zadania wyrażenia jest równa 2, czyli jest liczbą wymierną.

Wyznacz wartość parametru a ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

{premium}

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 `10+5a^2-90+75=0`

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne    

Rozwiąż równania:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

` `

Dane są funkcje f(x)= ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

Skoro a i c są różnych znaków to również b i d muszą być różnych znaków.

Zatem funkcje f i g przedstawia rysunek III.

Wskaż zbiór rozwiązań równania....

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  zbiór rozwiązań  

Naszkicuj wykres funkcji f ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne