Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $$n$$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $$n-1$$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $$F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $$k$$ pierwszych wyrazów, gdzie $$k$$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $$a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $$i+4$$ musimy znać składnik $$i$$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$$
$$F_0 = 0$$
$$F_1 = 1$$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$$ n+2 = 2 $$, więc oczywiście $$n+1 = 1$$ i $$n = 0$$. Podstawiając pod $$ F_0 = 0$$ i $$F_1 = 1$$ otrzymujemy $$F_2 = 1+0 = 1$$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $$F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$$. Kontynuując:

$$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$$ i wreszcie $$F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 3a_0 = 3$$
$$a_2 = 3a_1 = 9$$
$$a_3 = 3a_2 = 27$$
$$a_4 = 3a_3 = 81$$

Odpowiedź: $$81$$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$$
$$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$$
$$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$$

Odpowiedź: $$138$$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $$a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$$a_1 = 2^0 = 1$$
$$a_2 = 2^1 = 2$$
$$a_3 = 2^2 = 4$$
$$a_4 = 2^4 = 16$$
$$a_5 = 2^16 = 65536$$


Odpowiedź: $$2^16 = 65536$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Figura F (rysunek obok) opisana jest układem nierówności...

a) Zauważmy, że pierwszą nierówność spełnia każda prosta równoległa do osi X o równaniu:

  

zatem w symetrii względem początku układu współrzędnych tę nierówność będą spełniać wszystkie proste o równaniu:

  

 

 

Druga nierówność jest spełniona przez wszystkie punkty leżące na lub poniżej paraboli o równaniu:

 

obrazem tej paraboli w symetrii względem początku układu współrzędnych jest:

 

wszystkie punkty leżące na lub powyżej paraboli będą rozwiązaniem drugiej nierówności, zatem:

 

 

 

Obrazem środka wyciętego środka koła jest :

  

a więc nierówność będzie miała postać:

 

 

Układ nierówności:

 

 

 

b) Obrazem prostej y = 0 w symetrii względem punktu S = (0, -1) jest dana równaniem:

 

Ta prosta oraz wszystkie do niej równoległe leżące pod nią są rozwiązaniem, zatem:

 

 

 

Obrazem wierzchołka W=(0, 4) w symetrii względem punktu S=(0, -1) jest punkt W'=(x' , y'):

 

 

 

 

 

Parabola będzie miała przeciwny współczynnik kierunkowy, jej równanie to:

 

Wszystkie punkty należące do paraboli lub leżące powyżej jej muszą spełniać nierówność, zatem:

 

 

 

Wyznaczmy punkt O' będący środkiem obrazu środka koła o środku w punkcie (0, 2) w symetrii środkowej względem punktu S = (0, -1):

 

 

 

stąd

  

 

 

A więc obraz środka koła jest dany równaniem:

 

wszystkie elementy leżące na brzegu koła lub poza nim są rozwiązaniem zatem:

 

 

Układ nierówności:

 

 

 

c) Obrazem prostej y = 0 w symetrii względem punktu S = (2, 2) jest dana równaniem:

 

Ta prosta oraz wszystkie do niej równoległe leżące pod nią są rozwiązaniem, zatem:

 

 

 

Obrazem wierzchołka W=(0, 4) w symetrii względem punktu S=(2, 2) jest punkt W'=(x' , y'):

 

 

 

 

 

Parabola będzie miała przeciwny współczynnik kierunkowy, jej równanie to:

 

Wszystkie punkty należące do paraboli lub leżące powyżej jej muszą spełniać nierówność, zatem:

 

 

 

Wyznaczmy punkt O' będący środkiem obrazu środka koła o środku w punkcie (0, 2) w symetrii środkowej względem punktu S = (2, 2):

 

 

 

stąd

  

 

 

A więc obraz środka koła jest dany równaniem:

 

wszystkie elementy leżące na brzegu koła lub poza nim są rozwiązaniem zatem:

 

 

Układ nierówności:

 

Która z liczb jest równa ...

Do rozwiązania zadania wykorzystujemy wzór .{premium}

A.  

 

Odpowiedź: A

Oblicz wartość wyrażenia...

Przekształćmy drugi składnik sumy do prostszej postaci:

 

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

Nierówność ... można rozwiązać graficznie. Niech...

 

Niech:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji:

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

 

{premium}

 

 

Niech:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji:

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

 

 

 

Niech:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji:

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

 

 

 

Niech:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji:

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

 

Wyznacz...

Dowolna prosta równoległa do prostej y=x+1 ma postać:

Bo proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe, Wybierzmy jakiś punkt na prostej k:

 

Punkt P=(0,1) należy do wykresu funkcji k.

 

Równanie ogólne prostej l:

 

Współczynniki:

 

Współrzędne punktu P:

Obliczmy odległość punktu P od prostej l.

 

 

Odległość ma wynosić:

a więc:

Mamy dwa rozwiązania, pierwsze:

Drugie:

 

A więc prosta l ma równanie:

lub

 

 

 

b) dowolna prosta równoległa do prostej y=4/3x ma postać:

Wybierzmy punkt należący do prostej k:

Punkt (0,0) należy do prostej k.

 

 

Równanie ogólne prostej l:

Współczynniki:

Współrzędne punktu P:

 

Obliczmy odległość punktu P od prostej l:

 

Odległośc ma wynosić:

a więc:

lub

 

Równanie prostej l to:

lub

Firma ma trzy oddziały...

Przez oznaczmy liczbę wszystkich pracowników.

Będziemy korzystać kilkukrotnie ze wzoru na wariancję:

 

 

Oddział A:

Przez a oznaczmy sumę wypłat zarobionych przez pracowników tego oddziału.

 

 

 

 

 

 

Przez a' oznaczmy sumę kwadratów wypłat zarobionych przez pracowników tego oddziału.

 

Grupa B:

Przez b oznaczmy sumę wypłat zarobionych przez pracowników należących do tego oddziału.

  

 

 

 

 

Przez b' oznaczmy sumę kwadratów wypłat zarobionych przez pracowników należących do tego oddziału.

 

 

 

 

Grupa C:

Przez c oznaczmy sumę wypłat zarobionych przez pracowników należących do tego oddziału.

 

 

 

 

 

 

Przez c' oznaczmy sumę kwadratów wypłat zarobionych przez pracowników należących do tego oddziału.

 

Cała firma:

Średnia wypłat:

 

 

Wariancja:

 

 

Ile jest liczb trzycyfrowych ...

Najpierw obliczymy, ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, w których zapisie nie występuje cyfra 7.

Do dyspozycji mamy więc cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 (9 cyfr).

{premium}

Na pierwszym miejscu musi stać cyfra różna od zera - 8 możliwości.

Na drugim miejscu musi stać inna cyfra (tym razem zero jest dopuszczalne, wykorzystaliśmy już jedną z dziewięciu cyfr, więc do dyspozycji zostało 8) - 8 możliwości. 

Na trzecim miejscu musi stać jedna z siedmiu pozostałych cyfr - 7 możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

 

 

 

Teraz obliczymy, ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, w których zapisie nie występuje cyfra 7.

Do dyspozycji mamy więc cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 (9 cyfr).

Na pierwszym miejscu musi stać cyfra różna od zera - 8 możliwości.

Na drugim miejscu musi stać inna cyfra (tym razem zero jest dopuszczalne, wykorzystaliśmy już jedną z dziewięciu cyfr, więc do dyspozycji zostało 8) - 8 możliwości.

Na trzecim miejscu musi stać jedna z siedmiu pozostałych cyfr - 7 możliwości.

Na czwartym miejscu musi stać jedna z sześciu pozostałych cyfr - 6 możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

 

 

Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A i B

W każdym przykładzie wyznaczymy współczynniki kierunkowe funkcji f i g, a potem sprawdzimy, czy te współczynniki są równe - jeśli tak, to funkcje f i g są równoległe. 

Funkcja liniowa ma wzór y=ax+b, wystarczy wstawić współrzędne punktów w miejsce x i y, aby wyliczyć współczynniki a i b. 

a, b z indeksem f oznaczają współczynniki funkcji f, natomiast a, b z indeksem g oznaczają współczynniki funkcji g

 

 

 

 

Wykresy są równoległe.  

 

 

 

 

 

 

 

Wykresy funkcji są równoległe.

  

 

 

 

 

 

 

Wykresy nie są równoległe.

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykresy funkcji są równoległe. 

W sklepie jest 80 paczek gwoździ

Obliczmy, ile jest paczek gwoździ zawierających gwoździe I gatunku:

 

 

Obliczmy, ile jest paczek gwoździ zawierających gwoździe II gatunku:

 

 

Wprowadźmy oznaczenia:

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeśli pierwsza sprzedana paczka zawierała gwoździe I gatunku, to zostało 79 paczek - 15 paczek w gwoździami I gatunku i 64 paczki z gwoździami II gatunku. 

Prawdopodobieństwo sprzedania drugiej paczki z gwoździami I gatunku wynosi więc:

 

 

Jeśli pierwsza sprzedana paczka zawierała gwoździe II gatunku, to zostało 79 paczek - 16 paczek w gwoździami I gatunku i 63 paczki z gwoździami II gatunku. 

 

Prawdopodobieństwo sprzedania drugiej paczki z gwoździami I gatunku wynosi więc:

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

   

Przeczytaj podany w ramce ...