Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie kolejnych wzorów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie kolejnych wzorów

W tym rozdziale zajmiemy się ciągami rekurencyjnymi, czyli ciągami, których kolejne wyrazy są zdefiniowane przez poprzedzające je. To oczywiście znaczy, że jeśli chcemy poznać wartość $n$-tego wyrazu, to w wielu przypadkach musimy po prostu obliczyć wszystkie $n-1$ poprzedzających go.

Jednym z najczęściej spotykanych ciągów rekurencyjnych jest ciąg Fibonacciego. Jego wzór to $F_{n+2} = F_(n+1) + F_{n}$. Mówiąc wprost, każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich.

Oczywiście sam wzór nie wystarczy do zdefiniowania ciągu rekurencyjnego - skoro pojawiają się w nim odwołania do wcześniejszych wyrazów, to nigdy nie moglibyśmy zacząć ich liczyć.

Pełna definicja ciągu musi więc zawierać także $k$ pierwszych wyrazów, gdzie $k$ to stopień równania rekurencyjnego. Stopień równania to po prostu najdalszy wyraz, który występuje w równaniu. Przykład: równanie opisujące ciąg Fibonacciego ma stopień 2, ponieważ najdalszy wyraz, który musimy znać, aby obliczyć aktualny, jest oddalony o 2.
 

Ćwiczenie 1. Jaki stopień ma równanie $a_{i+4} = 4a_i + 9a_{i+2}$?

Odpowiedź: Cztery, ponieważ żeby obliczyć składnik $i+4$ musimy znać składnik $i$, który jest oddalony właśnie o 4.


Pełna definicja ciągu Fibonacciego wygląda więc w ten sposób:

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} dla n ∈ N$
$F_0 = 0$
$F_1 = 1$


Aby obliczyć kolejne wyrazy ciągu podstawiamy po prostu do równania rekurencyjnego odpowiednie poprzedzające wyrazy.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć piąty wyraz. Potrzebujemy do tego czwartego i trzeciego, z kolei do policzenia czwartego potrzebujemy trzeciego i drugiego itd. Musimy zatem zacząć od odbliczenia wyrazu drugiego.

$ n+2 = 2 $, więc oczywiście $n+1 = 1$ i $n = 0$. Podstawiając pod $ F_0 = 0$ i $F_1 = 1$ otrzymujemy $F_2 = 1+0 = 1$. Postępując tak samo z trzecim otrzymujemy $F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2$. Kontynuując:

$F_4 = F_3 + F_2 = 1+2 = 3$ i wreszcie $F_5 = F_4 + F_3 = 3+2 = 5$.
 

Ćwiczenie 2. Oblicz czwarty wyraz ciągu $a_{i+1} = 3×a_{i}, a_0 = 1$

Podstawiając do wzoru kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 3a_0 = 3$
$a_2 = 3a_1 = 9$
$a_3 = 3a_2 = 27$
$a_4 = 3a_3 = 81$

Odpowiedź: $81$.

Możemy też po prostu rozwinąć wzór:

$a_4 = 3a_3 = 3^2a_2 = 3^3a_1 = 3^4a_0 = 3^4 = 81$

 

Ćwiczenie 3. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+3} = 3×a_{i+2} + a_{i+1} + a_{i}, a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3$

Podstawiając kolejne wyrazy otrzymujemy:

$a_3 = 3×3 + 2 + 1 = 12$
$a_4 = 3×12 + 3 + 2 = 41$
$a_5 = 3×41 + 12 + 3 = 138$

Odpowiedź: $138$.

 

Ćwiczenie 4. Oblicz piąty wyraz ciągu $a_{i+1} = 2^{a_{i} }, a_0 = 0$

Podstawiając kolejne wartości otrzymujemy:

$a_1 = 2^0 = 1$
$a_2 = 2^1 = 2$
$a_3 = 2^2 = 4$
$a_4 = 2^4 = 16$
$a_5 = 2^16 = 65536$


Odpowiedź: $2^16 = 65536$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Okrąg o środku ...

 - ponieważ są to kąty wierzchołkowe.

 

 - ponieważ są to kąty wierzchołkowe

 - ponieważ trójkąty  są równoramienne

Wobec tego  

 

Podobnie dla trójkątów  

 

 

Więc: 

 

 

Trójkąty   są równoramienne, czyli:

 

 

Trójkąty ABP i EFP są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.

Oblicz granicę.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

` `

Rozwiąż nierówność ...

 

 

      {premium}

 

Przypadek, gdy  

 

 

sprzeczność

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

Suma całkowitych rozwiązań mniejszych od 15:

 

 

Wskaż dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W...

Dzielnikami są:  

Sprawdzamy, który z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu  

 

 

 {premium}

 

Odp. Żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu  


Dzielnikami są:  

Sprawdzamy, który z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu  

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkiem wielomianu jest liczba  

Figura na rysunku składa się z czterech...

Pola trzech pierwszych prostokątów tworzą ciąg geometryczny zatem:

  

Pola trzech ostatnich prostokątów tworzą ciąg arytmetyczny zatem:

`2P_3 = P_2 + P_4` 

 

 

 

Stąd:

 

 

`4P_3^2 - 17 P_3 + 4 =0` 

 

 

 

 

 

 

Pole musi być dodatnie zatem:

 

 

Pole figury jest równe:

 

Odpowiedź C

Na rysunku obok przedstawiono

 

W przedziale <1; 2) funkcja jest malejąca. Zbiór wartości będzie więc postaci:{premium}

 

 

 

 

Patrząc na wykres wnioskujemy, że zbiór wartości będzie postaci:

  

Wyznacz wyrażenie W=2S-3T

 

 

  

 

{premium}

 

 

  

Liczby 1, 2, 3, 4, 5 ustawiamy w szereg...

Możliwe przypadki:{premium}

  • 3, 4, __,  __,  __
  • __, 3, 4, __, __
  • __, __, 3, 4, __
  • __, __, __, 3, 4

W każdym z tych (czterech) przypadków liczby 3 i 4 są na ustalonych miejscach, a na pozostałych miejscach ustawiamy liczby 1, 2 i 5 w sposób losowy. Zgodnie z regułą mnożenia możemy to zrobić na 3٠2٠1=6 sposobów. Ponadto, liczby 4 i 3 możemy zamienić miejscami, więc ilość otrzymanych wyników należy jeszcze pomnożyć przez 2. Wobec tego, ilość możliwych ustawień obliczamy następująco:

 

Wyznacz współczynniki wielomianu W(x) tak, aby...

 

 {premium}

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

Cztery ponumerowane kule umieszczono ...

Pierwszą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Drugą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Trzecią kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Czwartą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby. {premium}

Łączna ilość wszystkich możliwości:

 

 

a) A - każda kula trafi do innej szuflady

Pierwszą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Drugą kulę możemy umieścić w jednej z trzech szuflad, czyli możemy to zrobić na 3 sposoby.

Trzecią kulę możemy umieścić w jednej z dwóch szuflad, czyli możemy to zrobić na 2 sposoby.

Czwartą kulę możemy umieścić w pustej szufladzie, czyli możemy to zrobić na 1 sposób.

 

 

 

b) B - wszystkie kule trafią do jednej szuflady

Mamy 4 możliwości - kule trafią do pierwszej szuflady lub kule trafią do drugiej szuflady lub kule trafią do trzeciej szuflady lub kule trafią do czwartej szuflady