Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych

W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

${1}/{x}$, ${x-2}/{x+5}$, ${x^3+5}/{x^2+10x+2}$, ${x^100}/{x+1}$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną ${1}/{x}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: ${x^3+5}/{x^2-10x+25}$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: ${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) ${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$

b) ${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$

c) ${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $x^2 - 6x + 9$ jest liczba $x = $ (ponieważ $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $3$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $1,2,3,4,5$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $x = 1$ i $x = -2$, w drugim: $x = -1$ i $x = 2$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $-2, -1, 1, 2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstaw wielomiany: k(x), m(x), p(x) w postaci...

a) Przykładowe rozwiązanie:

 {premium}

 

 


b) Przykładowe rozwiązanie:

 

 

 

Rozłóż dane wielomiany...

 

   {premium}


 

 


 

 


 

 


 

 


 

 

Uzasadnij, że pole czworokąta opisanego ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

{premium}


W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukły i sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Wynika stąd, że:

 


Pole czworokąta opisanego na okręgu jest równe iloczynowi promienia tego okręgu przez połowę obwodu tego czworokąta. Wobec tego:

 

Co należało dowieść.

Wyznacz wszystkie wartości parametru...

 

Korzystamy z metody wyznaczników:

  {premium}

 

 

 

wówczas rozwiązania tego układu będą miały postać:

 

 

 

Wiemy, że:

 

zatem:

 

 

 

 

 

 

czyli:

 

 

Odp.: Aby para (x, y) spełniająca dany układ równań spełniała również podaną nierówność wartość parametru k musi należeć do przedziału (-, -2 2/3> <2/3, +).

Wyznacz wartości (o ile istnieją) ...

a)

 

 

 

 

Wyznaczmy punkty krytyczne. {premium}

 

 

 

 

Obliczmy wartości funkcji f w punktach krytycznych i na końcach przedziałów. 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

UWAGA!!!

Odpowiedź podana na końcu książki do tego podpunktu jest błędna. 

Poprawna odpowiedź to: M = 9, m = -25


b)

 

 

 

 

Wyznaczmy punkty krytyczne.

 

 

 

 

 

 

Obliczmy wartości funkcji f w punktach krytycznych i na końcach przedziału. 

 

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 


c)

 

 

 

 

Wyznaczmy punkty krytyczne.

 

 

 

 

 

Obliczmy wartości funkcji f w punktach krytycznych i na końcach przedziału. 

 

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 


d)

 

 

 

Wyznaczmy punkty krytyczne.

 

 

 

Obliczmy wartości funkcji f w punktach krytycznych i na końcach przedziału. 

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

a) Ile czteroliterowych słów ...

a)

ATAK, ATKA, AATK, AAKT, AKAT, AKTA,

KAAT, KATA, KTAA{premium}

TAAK, TAKA, TKAA

 

b)

Chcemy utworzyć 9-literowe słowa

Zauważmy, że litera A powtarza się 3 razy, litera T powtarza się 2 razy.

 

Jest to 9-elementowa permutacja z powtórzeniami.

Liczba tych permutacji jest równa:  

Punkt P(1, -2) należy do wykresu funkcji ...

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy wzór prostej prostopadłej do prostej 3x+y+5=0, czyli prostej y=-3x-5:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego...

 Zauważmy najpierw, że   

Z twierdzenia o cięciwach mamy:

 

  

 

 

 

Do obliczenia pola trójkąta  przyda nam się rysunek pomocniczy:

 

Zauważmy, że po dorysowaniu odcinka  otrzymaliśmy trójkąt  który jest równoramienny.

Wysokość tego trójkąta będzie jednocześnie wysokością trójkąta     

Obliczamy  korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

{premium}  

 

 

 

Obliczamy pole trójkąta  

 

 

Odp. Pole trójkąta  jest równe  a promień okręgu ma długość                

 

 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta   obliczamy długość odcinka     

 

 

 

 

 

Zauważmy teraz, że  oraz, że  

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta  obliczamy    

 

 

 

      

 

 

Obliczamy pole trójkąta  

 

Odp. Pole trójkąta  wynosi  a promień okręgu jest równy  

 

 Zauważmy, że  

Z twierdzenia o cięciwach mamy:

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa dla  obliczamy  

 

 

 

 

 

Obliczamy pole trójkąta  

 

                

Odp. Pole trójkąta  wynosi  a promień jest równy     

       

W trójkącie ABC dane są długości...

Twierdzenie cosinusów

Dla dowolnego trójkąta (oznaczenia jak na rysunku) prawdziwe są następujące zależności:

 

 

 


Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Mamy dane:

 

 

 


Z twierdzenia o dwusiecznej:

 

 

 

 

 

 

 

 


Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC obliczamy cosinus kąta α:

 

 

 

 

 

 


Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC obliczamy d:

 

 

 

 

 

 

 

 

Na którym poniższych rysunków ...

Zauważmy, że na rysunku B przedstawiono siatkę graniastosłupa.

Aby obliczyć objętość tego graniastosłupa, należy obliczyć pole podstawy. {premium}