Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych

W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

${1}/{x}$, ${x-2}/{x+5}$, ${x^3+5}/{x^2+10x+2}$, ${x^100}/{x+1}$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną ${1}/{x}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: ${x^3+5}/{x^2-10x+25}$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: ${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) ${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$

b) ${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$

c) ${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $x^2 - 6x + 9$ jest liczba $x = $ (ponieważ $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $3$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $1,2,3,4,5$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $x = 1$ i $x = -2$, w drugim: $x = -1$ i $x = 2$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $-2, -1, 1, 2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

Wyznacz współrzędne ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

  

  

 

  

 

 

 

 

  

    

  

 

   

Z urny, w której jest dwa razy więcej

 

Opiszmy zdarzenie na drzewku. Na gałęziach drzewka zapisano odpowiednie prawdopodobieństwa

 

 

Zaznaczono gałęzie, które opisują zdarzenie A. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powierzchnia zadrukowanej części kartki...

 

Wymiary kartki to:

 

 

Pole zadrukowanej części wynosi 192 cm2 a więc:

 

 

 

Czyli funkcja opisująca pole kartki jest równa:

Obliczmy pochodną

 

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jest to minimum gdyż:

 

czyli

 

Zatem wymiary kartki wynoszą:

 

 

Oblicz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym...

 

 

 

Chcemy pokazać, że  

 

 

 

 

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.

  

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru...

Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

Jeżeli równanie ma mieć dwa różne rozwiązania to wyróżnik funkcji musi być dodatni.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podglad pliku

 

 

Zauważmy, że jeżeli x = 2m, to równanie po lewej stronie jest równe 0 a liczba 2m będzie pierwiastkiem. Łatwo wtedy zauważyć, że nie będziemy mieli wtedy kolejnych rozwiązań.

Podstawmy pod równanie kwadratowe x = 2m, jeżeli wyliczone wartości parametru m będą należeć do rozwiązania równania to musimy je odrzucić z rozwiązania gdyż wtedy mamy tylko jedno rozwiązanie.

 

 

 

 

 

 

 

Zatem odrzucamy liczbę  

 

Zatem uwzględniając powyższe założenie otrzymujemy, że:

 

Przedstaw liczbę w postaci...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

a)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:{premium}

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


b)

 

Przesuwając o wektor  

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


c)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  

Wyznacz współrzędna wierzchołków trójkąta...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

   

 

Z pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego i czwartego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

Z trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek pomocniczy:

Thumb 48 285

Łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny.

 

 

 

 

 

 

 

Równanie okręgu: