Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych

W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

$${1}/{x}$$, $${x-2}/{x+5}$$, $${x^3+5}/{x^2+10x+2}$$, $${x^100}/{x+1}$$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną $${1}/{x}$$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: $${x^3+5}/{x^2-10x+25}$$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: $${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) $${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$$

b) $${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$$

c) $${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $$x^2 - 6x + 9$$ jest liczba $$x = $$ (ponieważ $$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $$3$$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $$1,2,3,4,5$$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $$x = 1$$ i $$x = -2$$, w drugim: $$x = -1$$ i $$x = 2$$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $$-2, -1, 1, 2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ćwiczenie 8

`a)` 

`r=a_2-a_1=11-7=4` 

`a_n=a_1+(n-1)r=7+4(n-1)=4n+3` 

`51=4n+3 implies n=12` 

 

`S_12=(7+51)/2*12=29*12=348` 

`b)` 

`r=a_2-a_1=1-1/2=1/2` 

`a_n=1/2+1/2(n-1)=1/2n` 

`100=1/2n implies n=200` 

`S_200=(1/2+100)/2*200=10050`     

`c)` 

`r=a_2-a_1=-7+5=-2` 

`a_n=-5-2(n-1)=-2n-3` 

`-31=-2n-3 impliesn=14` 

`S_14=(-5-31)/2*14=-18*14=-252` 

`d)` 

`r=a_2-a_1=-15+18=3` 

`a_n=-18+3(n-1)=3n-21` 

`18=3n-21 implies n=13` 

`S_13=(-18+18)/2*13=0`   

 

Na rysunku obok dane są dwie figury ...

`h_1,h_2,h_3-"wysokości równoległoboków odpowiednio o polu"\ P_1,P_2,P_3.` 

`h_1+h_2+h_3=h` 

`h-"wysokość równoległoboku o polu" \ P_4.` 

 

`P_4=|CD|h` 

`P_1+P_2+P_3=|AB|h_1+|AB|h_2+|AB|h_3=|AB|(h_1+h_2+h_3)=|AB|h=2*|CD|h``P_1+P_2+P_3=2P_4`     

 

`"Odpowiedź B."` 

Sporządź tabelę

`a)` 

`x`  `-2`  `-1`  `-1/2`  `0`  `1/2`  `1`  `2` 
`f(x)=2x^2`  `2*(-2)^2=`  `=2*4=8`  `2*(-1)^2=`  `=2*1=2`  `2*(-1/2)^2=`  `=2*1/4=1/2`  `2*0^2=`  `=2*0=0`  `2*(1/2)^2=`  `=2*1/4=1/2`  `2*1^2=`  `=2*1=2`  `2*2^2=`  `=2*4=8` 

 

 

    `b)`   
`x`  `-6`  `-4`  `-2`  `0`  `2`  `4`  `6` 
`f(x)=1/4x^2`  `1/4*(-6)^2=`  `=1/4*36=9`  `1/4*(-4)^2=`  `=1/4*16=4`  `1/4*(-2)^2=`  `=1/4*4=1`  `1/4*0^2=`  `=1/4*0=0`  `1/4*2^2=`  `=1/4*4=1` `1/4*4^2=`  `=1/4*16=4`  `1/4*6^2=`  `=1/4*36=9` 

 

 

 

 

`c)` 

 
`x`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2` 
`f(x)`  `3/2*(-2)^2=`  `=3/strike2^1*strike4^2=6`  `3/2*(-1)^2=`  `=3/2*1=3/2=1 1/2`  `3/2*0^2=`  `=3/2*0=0`  `3/2*1^2=`  `=3/2*1=1 1/2`  `3/2*2^2=`  `=3/strike2^1*strike4^2=6` 

 

 

   
Napisz wzory i naszkicuj ...

`a)` 

`f(x)=x^2-4` 

`g(x)=|f(x)|=|x^2-4|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|*|x|-4=x^2-4` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)` 

 

`b)` 

`f(x)=(x-4)^2`    

`g(x)=|f(x)|=|(x-4)^2|=(x-4)^2`  

`h(x)=f(|x|)=(|x|-4)^2` 

Zauważmy, że:

`f(x)=g(x)`  

 

`c)` 

`f(x)=|x|-3` 

`g(x)=|f(x)|=||x|-3|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|-3` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)`  

Uzasadnij, że równanie nie ....

`"a)"\ x^3-5x^2-2x+24=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli 24.

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-3,\ 3,-4,\ 4,-6,\ 6,-8,\ 8,-12,\ 12,-24,\ 24}`

Sparwdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3-5x2-2x+24.

`w(1)=1^3-5*1^2-2*1+24=1-5-2+24!=0`

`w(-1)=(-1)^3-5*(-1)^2-2*(-1)+24=-1-5+2+24!=0`

`w(2)=2^3-5*2^2-2*2+24=8-20-4+24!=0`

`w(-2)=(-2)^3-5*(-2)^2-2*(-2)+24=-8-20+4+24=0 `

Liczba -2 jest pierwiastkiem welomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(x^3-5x^2-2x+24):(x+2)=x^2-7x+12`

`x^3-5x^2-2x+24=(x+2)(x^2-7x+12)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`x^2-7x+12=0`

`Delta=49-4*1*12=49-48=1`

`sqrtDelta=sqrt1=1`

`x_1=(7-1)/2=3`

`x_2=(7+1)/2=4`

 `x^3-5x^2-2x+24=(x+2)(x-3)(x-4)` 

Równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`(x+2)(x-3)(x-4)=0`

Wyjściowe równanie ma więc trzy pierwiastki: -2, 3 i 4. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ 3x^3+x^2-12x-4=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli -4.

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-4,\ 4}`

Sparwdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=3x3+x2-12x-4.

`w(1)=3*1^3+1^2-12*1-4=3+1-12-4!=0`

`w(-1)=3*(-1)^3+(-1)^2-12*(-1)-4=-3+1+12-4!=0`

`w(2)=3*2^3+2^2-12*2-4=24+4-24-4=0`

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(3x^3+x^2-12x-4):(x-2)=3x^2+7x+2`

`3x^3+x^2-12x-4=(x-2)*(3x^2+7x+2)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`3x^2+7x+2=0`

`Delta=49-4*3*2=49-24=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5`

`x_1=(-7-5)/6=-2`

 

`3x^3+x^2-12x-4=3(x-2)(x+2)(x+1/3)`

Równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`3(x-2)(x+2)(x+1/3)=0`

Wyjściowe równanie ma więc trzy pierwiastki: -2, -1/3, 2. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ 2x^3+8x^2+9x+2=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli 2.

`p={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Sprawdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+8x2+9x+2.

`w(1)=2*1^3+8*1^2+9*1+2=2+8+9+2!=0`

`w(-1)=2*(-1)^3+8*(-1)^2+9*(-1)+2=-2+8-9+2!=0`

`w(2)=2*2^3+8*2^2+9*2+2=16+32+18+2!=0`

`w(-2)=2*(-2)^3+8*(-2)^2+9*(-2)+2=-16+32-18+2=0`

Liczba -2 jest pierwiastkiem welomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(2x^3+8x^2+9x+2):(x+2)=2x^2+4x+1`

`2x^3+8x^2+9x+2=(x+2)(2x^2+4x+1)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`2x^2+4x+1=0`

`Delta=16-8=8`

`sqrtDelta=sqrt8=2sqrt2`

`x_1=(-4-2sqrt2)/4=-1-sqrt2/2`

`x_2=(-4+2sqrt2)/4=-1+sqrt2/2`

 `2x^3+8x^2+9x+2=(x+2)(x-x_1)(x-x_2)`    

Równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`2(x+2)(x-x_1)(x-x_2)=0`

Wyjściowe równanie ma więc trzy pierwiastki: -2, x1, x2. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ x^3+6x^2+8x+15=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli 15.

`p={-1,\ 1,-3,\ 3,-5,\ 5,-15,\ 15}`

Sprawdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3+6x2+8x+15.

`w(1)=1^3+6*1^2+8*1+15=1+6+8+15!=0`

`w(-1)=(-1)^3+6*(-1)^2+8*(-1)+15=-1+6-8+15!=0`

`w(3)=3^3+6*3^2+8*3+15=27+54+24+15!=0`

`w(-3)=(-3)^3+6*(-3)^2+8*(-3)+15=-27+54-24+15!=0`

`w(5)=5^3+6*5^2+8*5+15=125+150+40+15!=0`

`w(-5)=(-5)^3+6*(-5)^2+8*(-5)+15=-125+150-40+15=0`

Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(x^3+6x^2+8x+15):(x+5)=x^2+x+3`

`x^3+6x^2+8x+15=(x+5)(x^2+x+3)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`x^2+x+3=0`

`Delta=1-12<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków.

Wyjściowe równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`(x+5)(x^2+x+3)=0`

Wyjściowe równanie ma jeden pierwiasteki -5.Pierwiastek ten jest jednokrotny.

Równanie nie ma więc pierwiastków wielokrotnych.

Dla jakich wartości parametru m...

`x^2+(2-m)x-2m=0` 

 

`x_2=x_1+2` 

 

`Delta=(2-m)^2-4*1*(-2m)=4-4m+m^2+8m=m^2+4m+4=(m+2)^2` 

`sqrt(Delta)=sqrt((m+2)^2)=|m+2|` 

 

I przypadek. 

Gdy `m+2 >0` 

`x_1=(-(2-m)-(m+2))/2=(-2+m-m-2)/2=(-4)/2=-2` 

`x_2=(-(2-m)+(m+2))/2=(-2+m+m+2)/2=(2m)/2=m` 

`m=-2+2` 

`m=0` 

 

II przypadek. 

Gdy `m+2< 0` 

`x_1=(-(2-m)-(-m-2))/2=(-2+m+m+2)/2=(2m)/2=m` 

`x_2=(-(2-m)+(-m-2))/2=(-2+m-m-2)/2=(-4)/2=-2` 

`-2=m+2` 

`-4=m` 

 

 

Odp. `m in {-4, 0}`  

 

Średnia arytmetyczna

Z treści zadania wiemy, że:

`(a+b+c+d)/4=8` 

 

Jeśli pomnożymy równanie razy 4, to otrzymamy sumę liczb a, b, c, d:

`a+b+c+d=32` 

 

 

`A.\ "FAŁSZ"` 

Średnia arytmetyczna podanych liczb jest równa:

`(a+b+c+d+0)/5=(32+0)/5=32/5=6 2/5=6,4` 

 

 

`B.\ "PRAWDA"`  

Średnia arytmetyczna podanych liczb jest równa:

`(a+b+c+d+13)/5=(32+13)/5=45/5=9` 

 

 

`C.\ "FAŁSZ"`  

Średnia arytmetyczna podanych liczb jest równa:

`(a+a+b+b+c+c+d+d)/8=(2a+2b+2c+2d)/8=(a+b+c+d)/4=8` 

Ramię trójkąta równoramiennego ma długość 12 i tworzy

a)

`sin45^o=h/12`

`sqrt2/2=h/12`      `/*12`

`h=strike12*sqrt2/(strike2)`

`h=6sqrt2`

 

b)

Zacznijmy od obliczenia pola całego trójkąta równoramiennego. Trójkąt ten jest prostokątny(z sumy kątów w trójkącie: 180o-45o-45o=90o) , zatem jego pole stanowi połowę iloczynu długości przyprostokątnych.

`P=1/2*12*12=72cm^2`

Odcinek (oznaczmy go sobie jako x) dzieli kąt między ramionami (kąt prosty) w stosunku 1:2.

`1x+2x=90^o`

`3x=90^o`   `/:3`

`x=30^o`

`2x=2*30^o=60^o`

Na podstawie twierdzenia ze strony 196 możemy wyrazić pola tych figur jako:

`P_1=1/2*12*x*sin60^o=strike6x*sqrt3/(strike2)=3xsqrt3` 

`P_2=1/2*12*x*sin30^o=strike6x*1/(strike2)=3x`

Znamy pole trójkąta wyjściowego, możemy zatem przyrównać je do pól trójkątów, na które został podzielony, wyrażonych za pomocą x i obliczyć wartość x.

`3xsqrt3+3x=24`       `/:3` `<br> `

`xsqrt3+x=24`

`x(sqrt3+1)=24`        `/:(sqrt3+1)`

`x=24/(sqrt3+1) *(sqrt3-1)/(sqrt3-1)=(24(sqrt3-1))/((sqrt3+1)(sqrt3-1))=(24sqrt3-72)/(3-1)=(24sqrt3-24)/2=12sqrt3-12=12(sqrt3-1)`

Teraz podstawiamy niewiadomą x do wzorów na szukane pola figur wyrażonych za pomocą x.

`P_1=3*(12(sqrt3-1))*sqrt3=36(sqrt3-1)*sqrt3=ul(ul(36(3-sqrt3)))`

`P_2=3*(12(sqrt3-1))=ul(ul(36(sqrt3-1)))`

Rozwiąż równania, stosując podstawienie ...

`a)` 

`x^6-26x^3-27=0` 

`t=x^3` 

`t^2-26t-27=0` 

`Delta=676+108=784` 

`sqrtDelta=28` 

 

`t_1=(26-28)/2=-1` `t_2=(26+28)/2=27` 

 

`x^3=-1` 

`x=-1` 

 

`x^3=27` 

`x=3` 

 

`x in {-1;3}` 

 

`b)` 

`8x^6-7x^3-1=0` 

`t=x^3` 

`8t^2-7t-1=0` 

`Delta=49+32=81` 

`sqrtDelta=9` 

 

`t_1=(7-9)/16=-1/8` 

`t_2=(7+9)/16=1` 

 

`x^3=-1/8` 

`x=-1/2` 

 

`x^3=1` 

`x=1` 

 

`x in {-1/2;1}` 

 

`c)` 

`x^6-7x^3-8=0` 

`t=x^2` 

`t^2-7t-8=0` 

`Delta=49+32=81` 

`sqrtDelta=9` 

 

`t_1=(7-9)/2=-1` 

`t_2=(7+9)/2=8` 

 

`x^3=-1` 

`x=-1` 

 

`x^3=8` 

`x=2` 

 

`x in {-1;2}` 

 

`d)` 

`x^6-124x^3-125=0` 

`t=x^3` 

`t^2-124t-125=0` 

`Delta=15 375+500=15 876` 

`sqrtDelta=126` 

 

`t_1=(124-126)/2=-1` 

`t_2=(124+126)/2=125` 

 

`x^3=-1` 

`x=-1` 

 

`x^3=125` 

`x=5` 

 

`x in {-1;5}` 

``

Ile elementów ma zbiór

Zbiór X to zbiór naturalnych dzielników liczby 36. 

`X={n in NN:\ n|36}={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36}` 

 

Prawidłowa jest odpowiedź B.