Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych

W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

$${1}/{x}$$, $${x-2}/{x+5}$$, $${x^3+5}/{x^2+10x+2}$$, $${x^100}/{x+1}$$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną $${1}/{x}$$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: $${x^3+5}/{x^2-10x+25}$$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: $${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) $${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$$

b) $${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$$

c) $${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $$x^2 - 6x + 9$$ jest liczba $$x = $$ (ponieważ $$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $$3$$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $$1,2,3,4,5$$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $$x = 1$$ i $$x = -2$$, w drugim: $$x = -1$$ i $$x = 2$$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $$-2, -1, 1, 2$$.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Rozważmy koła o promieniach różnej długości

`O\ -\ "obwód koła"`

`d\ -\ "długość średnicy koła"`

`O=pi*d,\ \ \ \ \ \ d>0`

Jest to proporcjonalność prosta, współczynnik proporcjonalności to π. 

Na trasie 60 km samochód pana Nowaka

`a)` 

`4,8\ l\ \ \ -\ \ \ 60\ km` 

`12,8\ l\ \ \ -\ \ \ x` 

`x=(12,8*strike60^15)/(strike(4,8)^(1,2))=` `(12,8*strike15^5)/(strike(1,2)^(0,4))=` `(strike(12,8)^(32)*5)/(strike(0,4)^1)=`  `160\ km` 

 

 

`b)` 

`60\ km\ \ \ -\ \ \ 4,8\ l` 

`255\ km\ \ \ -\ \ \ y` 

`y=(255*strike(4,8)^(0,4))/strike60^5=` `(strike255^51*0,4)/strike5^1=` `20,4\ l` 

 

 

`c)` 

Obliczmy, ile paliwa potrzeba na przejechanie jednego kilometra:

`4,8:60=(4,8)/60=48/600=8/100=0,08\ l` 

`y=0,08*x,\ \ \ \ x in RR_+` 

   

 

Kolarz w ciągu 3 sekund przejeżdża drogę

`2\ godz.\ 40\ min=2*60\ mi n+40\ mi n=160\ mi n=160*60\ sek`

 

Mamy zgodność jednostek czasu, możemy zapisać proporcję: 

`3\ sek\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ 15\ m`

`160*60\ sek\ \ \ -\ \ \ x\ m`

`x=(160*60*15)/3=160*20*15=160*300=48\ 000\ m=48\ km`

 

 

Dla każdej z poniższych funkcji liniowych podaj współczynnik

`a)\ a=1,\ \ b=7`

`b)\ a=-1,\ \ b=1`

`c)\ a=sqrt2,\ \ b=0`

`d)\ a=0,\ \ b=-4`

`e)\ a=3/2,\ \ b=-4/2=-2`

`f)\ a=-5/4,\ \ b=8/4=2`

Wyznacz sumę f+g oraz różnicę f-g

`a)`

`(f+g)(x)=f(x)+g(x)=ul(2x^5)-ul(ul(x^2))+ul(ul(ul(3x^3)))+ul(ul(ul(ul(2))))+ul(ul(ul(x^3)))-ul(2x^5)+ul(ul(x^2))-ul(ul(ul(ul(6))))=4x^3-4`

`(f-g)(x)=f(x)-g(x)=ul(2x^5)-ul(ul(x^2))+ul(ul(ul(3x^3)))+ul(ul(ul(ul(2))))-ul(ul(ul(x^3)))+ul(2x^5)-ul(ul(x^2))+ul(ul(ul(ul(6))))=4x^5+2x^3-2x^2+8`

 

 

 

`b)`

`(f+g)(x)=-3x^3+2x^5-x^6+7x^2+x+4x^5-x^2+x^6-3x^3=6x^5-6x^3+6x^2+x`

`(f-g)(x)=-3x^3+2x^5-x^6+7x^2+x-4x^5+x^2-x^6+3x^3=-2x^6-2x^5+8x^2+x`

 

 

 

`c)`

`(f+g)(x)=0,75x^6+2x^4-0,125x^2+2,5+1/8x^2-1/4x^6+3x^4-3/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3/4x^6+2x^4-1/8x^2+2 1/2+1/8x^2-1/4x^6+3x^4-1 1/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/2x^6+5x^4+1`

`(f-g)(x)=0,75x^6+2x^4-0,125x^2+2,5-1/8x^2+1/4x^6-3x^4+3/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3/4x^6+2x^4-1/8x^2+2 1/2-1/8x^2+1/4x^6-3x^4+1 1/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^6-x^4-1/4x^2+4`

Czy poniższa funkcja jest jednomianem

`a)\ "tak",\ st=7`

`b)\ y=x/4=1/4x^1,\ \ \ "tak",\ \ st=1`

`c)\ y=4/x=4x^-1,\ \ \ "nie, ponieważ" -1notinNN`

`d)\ y=6sqrtx=6x^(1/2),\ \ \ "nie, ponieważ" 1/2notinNN`

`e)\ "tak",\ \ \ st=3`

Zapisz wyrażenia opisujące pola wielokątów

`P_1=a*h=ah`

`P_2=1/2*a*h=1/2ah`

`P_3=1/2*(a+b)*h=1/2ah+1/2bh`

Jednomianami są wyrażenia pierwsze i drugie. 

Punkty A i B należą do wykresu funkcji liniowej

Równanie funkcji liniowej to y=ax+b. Aby wyznaczyć współczynniki a i b wystarczy wstawić współrzędne punktów A i B w miejsce x i y, a następnie rozwiązać otrzymany w ten sposób układ równań. 

 

 

`a)`

`{(-10=a*5+b), (5=a*0+b):}`

`{(-10=5a+b), (b=5):}`

`{(-10=5a+5\ \ \ |-5), (b=5):}`

`{(-15=5a\ \ \ |:5), (b=5):}`

`{(a=-3), (b=5):}`

 

`ul(ul(y=-3x+5))`

 

 

`b)`

`{(0=a*0+b), (10=a*6+b):}`

`{(b=0), (10=6a\ \ \ |:6):}`

`{(b=0), (a=10/6=5/3=1 2/3):}`

 

`ul(ul(y=1 2/3x)`

 

 

 

`c)`

`{(-2=a*3+b), (0=a*6+b):}\ \ \ \ |-`

`-2=-3a\ \ \ |:(-3)`

`a=2/3`

 

`0=2/3*6+b`

`0=4+b\ \ \ |-4`

`b=-4`

 

 

`ul(ul(y=2/3x-4))`

 

 

 

`d)`

`{(1=a*(-4)+b), (9=a*0+b):}`

`{(1=-4a+b), (b=9):}`

`{(1=-4a+9\ \ \ |-9), (b=9):}`

`{(-8=-4a\ \ \ |:(-4)), (b=9):}`

`{(a=2), (b=9):}`

 

`ul(ul(y=2x+9):}`

 

 

`e)`

`{(8=a*(-6)+b), (0=a*(-3)+b):}\ \ \ |-`

`8=-6a-(-3a)`

`8=-6a+3a`

`8=-3a\ \ \ |:(-3)`

`a=-8/3=-2 2/3`

 

`0=-8/3*(-3)+b`

`0=8+b\ \ \ |-8`

`b=-8`

 

`ul(ul(y=-2 2/3x-8))`

 

 

`f)`

`{(6=a*0+b), (0=a*(-4)+b):}`

`{(b=6), (0=-4a+6\ \ \ |-6):}`

`{(b=6), (-4a=-6\ \ \ |:(-4)):}`

`{(b=6), (a=6/4=3/2=1 1/2):}`

 

`ul(ul(y=1 1/2x+6):}`

W podanej sumie algebraicznej wskaż wyrazy podobne

`a)\ 2p^3+ul(3p^2)+ul(ul(2p))+ul(1/2p^2)+ul(ul(p))`

`b)\ ul(-3x^3y^2)+ul(ul(2x^2y^3))+ul(3x^3y^2)+2xy^3-ul(ul(x^2y^3))`

 

Zapisz liczbę w postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2

`a)\ 26=3*8+2`

`b)\ 76=3*25+1`

`c)\ 108=3*36`

`d)\ 127=3*42+1`

`e)\ 713=3*237+2`