Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych

W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

${1}/{x}$, ${x-2}/{x+5}$, ${x^3+5}/{x^2+10x+2}$, ${x^100}/{x+1}$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną ${1}/{x}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: ${x^3+5}/{x^2-10x+25}$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: ${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) ${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$

b) ${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$

c) ${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $x^2 - 6x + 9$ jest liczba $x = $ (ponieważ $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $3$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $1,2,3,4,5$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $x = 1$ i $x = -2$, w drugim: $x = -1$ i $x = 2$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $-2, -1, 1, 2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wypisz wszystkie dzielniki całkowite ...

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego:

 

Sprawdzamy, które z wypisanych dzielników są pierwiastkami:{premium}

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

-3 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

3 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego:

 

Sprawdzamy, które z wypisanych dzielników są pierwiastkami.

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x) 

-2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

-4 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

4 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego:

 

Sprawdzamy, które z wypisanych dzielników są pierwiastkami.

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)  

-2  jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

-3 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

-6 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

6 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego:

 

Sprawdzamy, które z wypisanych dzielników są pierwiastkami.

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)  

-2  nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

-5 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

5 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

-10 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

10 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

 

Rozwiąż graficznie równania:

a)

 

 

 

Zał: x>1

       
        

 

       
       

 

Narysujmy wykres funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych. {premium}

Łatwo odczytać rozwiązanie:

 


b)

 

 

 

Zał: x> -2

       
       

 

 

 

 

 

 

 

Narysujmy wykres funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych.

Łatwo odczytać rozwiązanie:

 


c)

 

 

 

 

       
       

 

 

     
     
           

 

Narysujmy wykres funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych.

Łatwo odczytać rozwiązanie:

 


d)

 

 

 

Zał: x0

       
       

 

 

 

Narysujmy wykres funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych.

Łatwo odczytać rozwiązanie:

 

Pomiędzy liczby 2 i 30 wstaw takie...

Pomiędzy liczby 2 i 30 wstawiamy liczby x, y:

 

 

Pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny:

{premium}  

 

Ostatnie trzy tworzą ciąg arytmetyczny:

 

 

A więc:

   

 

 

 

 

 

 

 

 

Graniastosłup prosty sześciokątny...

Graniastosłup prosty sześciokątny{premium} ma 12 wierzchołków.

Prawidłowa odpowiedź to C.

Czworokąt, którego boki zawierają się w prostych...

Doprowadźmy proste do postaci kierunkowych:

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że czworokąt posiada parę prostych równoległych. Skoro dwa boki są do siebie równoległe to czworokąt jest trapezem.

Odpowiedź D

Wyznacz współczynniki a i b wielomianu ...

 

  

 

{premium}

 

 

  

  

W konkursie zorganizowanym przez samorząd...

Kobiety:

Przez k oznaczmy sumę wzrostów kobiet

 

Mężczyźni:

Przez m oznaczmy sumę wzrostów mężczyzn

Średni wzrost całej grupy:

{premium}  

 

Skorzystajmy ze wzoru:

 

 

Kobiety:

 

 

 

Oznaczmy sumę kwadratów przez k'

 

 

 

Mężczyźni:

 

 

 

Oznaczmy sumę kwadratów przez m'

  

 

Cała grupa:

Średnia kwadratów wzrostów dla całej grupy:

 

 

Wariancja dla całej grupy:

  

Pole podstawy walca jest równe 64...

Pole podstawy:

 

Przekrój osiowy:

 

Obliczmy długość promienia:

  

{premium}  

 

 

 

Pole przekroju osiowego:

 

 

 

 

 

Objętość walca:

 

Wiadomo, że tg ...

Z treści zadania wiemy, że:

     {premium}

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

W trapezie poprowadzono równoległy do obu ...

 

 

 

 

{premium}