Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych

W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

${1}/{x}$, ${x-2}/{x+5}$, ${x^3+5}/{x^2+10x+2}$, ${x^100}/{x+1}$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną ${1}/{x}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: ${x^3+5}/{x^2-10x+25}$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: ${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) ${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$

b) ${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$

c) ${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $x^2 - 6x + 9$ jest liczba $x = $ (ponieważ $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $3$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $1,2,3,4,5$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $x = 1$ i $x = -2$, w drugim: $x = -1$ i $x = 2$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $-2, -1, 1, 2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są wielomiany W i P.

Powołamy się na odpowiednie twierdzenie:

Jeżeli W i Q są niezerowymi wielomianami, to stopień wielomianu{premium} będącego iloczynem W٠Q jest sumą stopni wielomianów W i Q.

Mamy:

 

 

Zdanie A jest prawdziwe.


Po wykonaniu odejmowania W(x)-P(x) otrzymamy wielomian stopnia 7, bo wyraz 3x7 się nie zredukuje.

Zdanie B jest prawdziwe.


Wyraz wolny wielomianu W(x)٠P(x) jest iloczynem wyrazów wolnych każdego z tych wielomianów:

 

Zdanie C jest prawdziwe.

Wyznacz pochodną funkcji f...

a)

 

 

 

 


b)

{premium}  

 

 

 


c)

 

 

 

 


d)

 

 

 

 

Rozwiąż równanie ...

 

 

  

  

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Długość boku trójkąta i wysokość opuszczona ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

      

Dany jest ciąg ...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O pewnym ciągu geometrycznym...

Skorzystajmy z definicji sumy k początkowych wyrazów:{premium}

  

Sprawdźmy, czy zdanie II jest prawdziwe, czyli czy spełniony jest warunek:

 

 

 

Sprzeczność

 

I - FAŁSZ

II - FAŁSZ

III - PRAWDA

IV - PRAWDA

 

Punkty A i B należą do wykresu funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma wzór y=ax+b. 

Podstawiamy pierwsze współrzędne punktów w miejsce x oraz drugie współrzędne punktów w miejsce y. 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkty A, B, C nie są współliniowe

 

{premium}

Z nierówności trójkąta dla trójkąta ABC możemy zapisać:

 

Ale zauważmy, że:

 

Teraz przypuśćmy, że teza nie jest prawdziwa, jeśli dojdziemy przez to do sprzeczności, to będzie oznaczało, że zakończyliśmy dowód i ze nierówność z tezy zachodzi (ponieważ przyjęcie tezy przeciwnej zaprowadzi do sprzeczności)

Zatem przypuśćmy, że:

 

Teraz wykorzystamy gwiazdkę:

Ten warunek jest sprzeczny z nierównością trójkąta - w trójkącie PBC długość boku PC musi być mniejsza niż suma długości boków PB i BC.

 

Jeśli stożek i walec mają równe pola powierzchni...

 

 

 

 

Z pierwszej równości otrzymujemy:

 

{premium}  

 

 

 

Z trzeciej równości otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  

 

Odp. C

Długość ramienia trapezu równoramiennego jest równa...

Rysunek poglądowy:

Obliczmy za pomocą trygonometrii zależności pomiędzy bokami trójkąta AED

 

 

 

 

 

 

W trójkącie ABD:

{premium}  

 

 

Wiemy, że:

 

 

 

 

 

Pole trapezu:

 

 

 

Przekształćmy pomocniczo wyrażenie:

 

 

zatem: