Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych

W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

$${1}/{x}$$, $${x-2}/{x+5}$$, $${x^3+5}/{x^2+10x+2}$$, $${x^100}/{x+1}$$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną $${1}/{x}$$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: $${x^3+5}/{x^2-10x+25}$$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: $${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) $${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$$

b) $${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$$

c) $${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $$x^2 - 6x + 9$$ jest liczba $$x = $$ (ponieważ $$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $$3$$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $$1,2,3,4,5$$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $$x = 1$$ i $$x = -2$$, w drugim: $$x = -1$$ i $$x = 2$$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $$-2, -1, 1, 2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz wzór funkcji f ...

`a)` 

`f(x)=3x^2` 

`vecu=[1;-2]` 

`g(x)=f(x-1)-2` 

`g(x)=3(x-1)^2-2=3(x^2-2x+1)-2=3x^2-6x+3-2=ul(3x^2-6x+1`  

 

`b)` 

`f(x)=1/x` 

`vecu=[-5;4]` 

`g(x)=ul(1/(x+5)+4`  

 

`c)` 

`f(x)=2x^2+3x` 

`vecu=[-1;3]` 

`g(x)=2(x+1)^2+3(x+1)+3` 

`g(x)=2x^2+4x+2+3x+3+3=ul(2x^2+7x+8`  

 

`d)` 

`f(x)=5|x|-x` 

`vecu=[2;-6]` 

`g(x)=f(x-2)-6=5|x-2|-(x-2)-6=ul(5|x-2|-x-4`      

Ćwiczenie 3

`a_1=1/32` 

`a_2=1/16` 

`q=a_2/a_1=(1/16)/(1/32)=2` 

`S_10=1/32*(1-2^10)/(1-2)=1/32*(-1023)/-1=1023/32` 

Oblicz wyróżnik ...

`a)` 

`x^2-3x+4=0` 

`Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4*1*4=9-16=-7<0` 

`"Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych."`  

 

`b)` 

`5x^2+3x-2=0` 

`Delta=3^2-4*5*(-2)=9+40=49>0` 

`"Równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste."` 

 

`c)` 

`4x^2+20x+25=0` 

`Delta=20^2-4*4*25=400-400=0` 

`"Równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty."` 

Skorzystaj z informacji podanych w zadaniu...

`P=pi ((12sqrt3)/6)^2\ dm^2=12 pi \ dm^2`

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań.

a) Wpierw będziemy liczyć graficznie a następnie algebraicznie.

`x - 3y = 0 <=> 3y = x <=> y = 1/3x` 

Do wykresu funkcji należą punkty (3,1) , (6,2)

 

`2x-y=10 <=> -y = -2x+10 <=> y = 2x- 10` 

Do wykresu funkcji należa punkty (3,-4) , (4,-2)

Wykres:

Zatem rozwiązaniem jest punkt (6,2).

 

Algebraicznie:

`{(x-3y=0),(2x-y=10):}` 

`{(x=3y),(2*3y-y=10):}` 

`{(x=3y),(6y-y=10):}` 

`{(x=3y),(5y=10):}` 

`{(x=6),(y=2):}` 

Zgadza się.

 

b) Wyznaczmy dwa punkty należące do prostej opisanej pierwszym równaniem i dwa punkty należące do prostej opisanej drugim równaniem.

Do wykresu pierwszej prostej należą np. punkty (2,5) , (4,6)

Do wykresu drugiej prostej należą np. punkty (0,-3) , (-1,0)

Wykres:

Rozwiązaniem jest punkt (-2, 3).

 

Algebraicznie:

`{(y-4=0,5x),(y+3=-3x):}` 

`{(y-4 = 0,5x),(y=-3x-3):}` 

`{(-3x-3-4=0,5x),(y=-3x-3):}` 

`{(-3x-7=0,5x \ \ \ |*2),(y=-3x-3):}` 

`{(-6x-14=x),(y=-3x-3):}` 

`{(-7x=14),(y=-3x-3):}` 

`{(x = -2),(y=-3*(-2)-3):}` 

`{(x=-2),(y=6-3):}` 

`{(x=-2),(y=3):}` 

 

c) Do  wykresu prostej opisanej pierwszym równaniem należą np. punkty:

`(0,5) \ , \ (-1,3)` 

Do wykresu prostej opisanej drugim równaniem należą np. punkty:

`(3,0) \ , \ (0,5)` 

Rozwiązaniem jest punkt (0,5).

 

Algebraicznie:

`{(-4x+2y=10 \ \ \ |*3),(5x+3y=15 \ \ \ |*2):}` 

`{(-12x+6y=30),(10x+6y=30):}` 

`underline(underline(stackrel( \ )( - ) \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-12x-10x=0` 

`-22x = 0` 

`x = 0` 

`6y = 30` 

`y = 5` 

Rozwiązaniem jest punkt (0,5), zgadza się.

 

d) Do wykresu prostej opisanej pierwszym równaniem należą np. punkty:

`(0,2) \ , \ (-4,5)` 

Do wykresu prostej opisanej drugim równaniem należą np. punkty:

`(0,-2) \ , \ (4,-1)` 

Rozwiązaniem jest punkt (4, -1)

 

Algebraicznie:

`{(2y=4-1,5x),(4y=x-8):}` 

`{(2y=4-1,5x),(2y = 0,5x -4):}` 

`4-1,5x = 0,5x - 4` 

`8=2x` 

`x = 4` 

a więc:

`2y = 0,5*4-4`  

`2y = 2 - 4`  

`2y = -2` 

`y = -1` 

A więc rzeczywiście rozwiązaniem jest punkt (4,-1).

 

e) Do wykresu prostej opisanej pierwszym równaniem należą np. punkty:

`(0,5) \ , \ (-6,2)` 

Do wykresu prostej opisanej drugim równaniem należą np punkty:

`(1,1) \ , \ (3,2)` 

Nie ma rozwiązań.

 

Algebraicznie:

`{(-0,1x+0,2y=1),(2y=x+1):}` 

`{(0,2y=0,1x+1 \ \ \ |*10),(2y=x+1):}` 

`{(2y=x+10),(2y=x+1):}` 

Równanie sprzeczne a więc nie ma rozwiązań. Zgadza się.

 

f) Do wykresu prostej opisanej pierwszym równaniem należą np. punkty:

`(0,2)  \ , \ (-1,-2)` 

Do wykresu prostej opisanej drugim równaniem należą np. punkty:

`(0,-3) \ , \ (-1,-2)` 

Rozwiązaniem jest punkt (-1,-2)

 

Algebraicznie:

`{(0,25y = x+0,5 \ \ \ |*4),(y=-x-3):}` 

`{(y=4x+2),(y=-x-3):}` 

`{(-x-3=4x+2),(y=-x-3):}` 

`{(-5x=5),(y=-x-3):}` 

`{(x=-1),(y=-x-3):}` 

`{(x=-1),(y=-2):}` 

Rozwiązaniem jest punkt (-1,-2), zgadza się.

Wyznacz...

`a) \ a_2 = 3a_1 - 1 = 3-1 = 2` 

`a_3 = 3a_2 -2^2 = 3*2 - 4 = 2` 

`a_4 = 3a_3 - 3^2 = 3*2 - 9 = -3` 

`a_5 = 3a_4 - 4^2 = 3*(-3) -16 = -25` 

`a_6 = 3a_5 -5^2 = 3*(-25) - 25 = -100` 

 

`b) \ a_2 = 1*a_1 -1 = 1*2-1 = 1` 

`a_3 = 2*a_2 -1 = 2*1-1 = 1` 

`a_4 = 3*a_3 -1 = 3*1 - 1 = 2` 

`a_5 = 4 * a_4 - 1 = 4*2 -1 = 7` 

`a_6 = 5 * a_5 - 1 = 5*7 - 1 = 34` 

Na rysunku obok przedstawiono okrąg o środku

Na rysunku poniżej czworokąt ABCD jest ...

`a)` 

`bb(Teza):h=h_1+h_2` 

`"Trójkąty PAD, DQC i PQB są podobne. (cecha KKK)"`  

`h_1/(|PD|)=h_2/(|DQ|)=h/(|PD|+|DQ|)` 

`h_1=(h|PD|)/(|PD|+|DQ|)` 

`h_2=(h|DQ|)/(|PD|+|DQ|)`   

`h_2+h_1=(h|DQ|)/(|PD|+|DQ|)+(h|PD|)/(|PD|+|DQ|)= (h(|PD|+|DQ|))/(|PD|+|DQ|) =h` 

`ul(h_1+h_2=h` 

 

`b)` 

`bb(Teza):h=h_1+h_2` 

 

`|angleAPD|=|angleQPC|`   (kąty wierzchołkowe)

`|angleABC|=|angleADP|`   (z własności równoległoboku)

 

`"Zauważmy, że trójkąty ADP, ABQ i PCQ są podobne z cechy KKK."` 

`h_1/(|AP|)=h_2/(|PQ|)=h/(|AP+|PQ|)`    

`h_1=(h|AP|)/(|AP|+|PQ|)` 

`h_2=(h|PQ|)/(|AP|+|PQ|)`    

`h_2+h_1=(h|AP|)/(|AP|+|PQ|)+(h|PQ|)/(|AP|+|PQ|)= (h(|AP|+|PQ|))/(|AP|+|PQ|) =h` 

`ul(h_1+h_2=h` 

Oblicz promień okręgu opisanego na równoramiennym

Oznaczmy sobie przyprostokątne tego trójkąta jako a, a przeciwprostokątną trójkąta jako x. Uzależnijmy długość przeciwprostokątnej od długości przyprostokątnej

`a^2+a^2=x^2`

`2a^2=x^2`

`x=sqrt2a`

 

a)

`O=4+2sqrt2`

`a+a+sqrt2a=4+2sqrt2`

`2a+sqrt2a=4+2sqrt2`

`a(2+sqrt2)=4+2sqrt2`

`a=(4+2sqrt2)/(2+sqrt2)*(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(8-4sqrt2+4sqrt2-4)/(2^2-(sqrt2)^2)=4/(4-2)=4/2=2`

`asqrt2=2sqrt2`

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę przeciwprostokątnej tego trójkąta:

`r=2sqrt2:2=ul(ul(sqrt2))`

 

b)

`O=4`

`O=a+a+asqrt2`

`a+a+asqrt2=4`

`2a+asqrt2=4`

`a(2+sqrt2)=4`

`a=4/(2+sqrt2) *(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(8-4sqrt2)/(2^2-(sqrt2)^2)=(8-4sqrt2)/(4-2)=(8-4sqrt2)/2=4-2sqrt2`

`asqrt2=(4-2sqrt2)*sqrt2=4sqrt2-4`

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę przeciwprostokątnej tego trójkąta:

`r=(4sqrt2-4):2=ul(ul(2sqrt2-2))`

 

c)

`O=1`

`O=a+a+asqrt2`

`a+a+asqrt2=1`

`2a+asqrt2=1`

`a(2+sqrt2)=1`

`a=1/(2+sqrt2) *(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(2-sqrt2)/(2^2-(sqrt2)^2)=(2-sqrt2)/(4-2)=(2-sqrt2)/2`

`asqrt2=(2-sqrt2)/2*sqrt2=(2sqrt2-2)/2=sqrt2-1`

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę przeciwprostokątnej tego trójkąta:

`r=(sqrt2-1):2=ul(ul((sqrt2-1)/2)`

 

 

 

 

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego...

`a_1 + a_2 + a_3 + . . . + a_n = 16` 

`a_1 + a_2 + a_3 + . . . + a_(2n) = 64` 

 

Zatem ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:

`{(S_n = (a_1+a_n)/2*n),(S_(2n) = (a_1+a_(2n))/2*2n):}`  

Podstawmy znaną wartość pod wartości sum i pierwszego wyrazu ciągu.

`{(16=(1+1+(n-1)r)*n/2 \ \ \ |:n/2),(64=(1+1+(2n-1)r)*n \ \ \ |:n):}` 

`{(32/n = 2+r(n-1)),(64/n = 2+r(2n-1)):}` 

`{(32/n - 2=r(n-1)),(64/n-2=r(2n-1)):}` 

`{(32/n-(2n)/n = r(n-1)),(64/n -(2n)/n = r(2n-1)):}` 

`{((32-2n)/n = r(n-1) \ \ \ |:(n-1) "," \ \ \ \ n ne 1),((64-2n)/n = r(2n-1) \ \ \ |:(2n-1)):}` 

n jest różne od 1 gdyż sumy dla n wyrazów i dla 2n wyrazów są różne czyli ciąg nie może składać się z jednego wyrazu.

`{(r=(32-2n)/(n(n-1))),(r=(64-2n)/(n(2n-1))):}` 

A więc:

`(32-2n)/(n(n-1)) = (64-2n)/(n(2n-1))` 

Wymnóżmy na krzyż

`n(32-2n)(2n-1) = n(n-1)(64-2n)` 

`n(64n-32-4n^2+2n) = n(64n -2n^2-64 + 2n)` 

`n(-4n^2+66n -32) = n(-2n^2 + 66n - 64) \ \ \ |:n` 

`-4n^2 + 66n - 32 = -2n^2 + 66n - 64` 

`-2n^2 = -32` 

`n^2 = 16` 

`n = 4` 

 

A więc:

`r = (32-2n)/(n(n-1)) = (32-8)/(4*3) = 24/12 =2` 

Odpowiedź: Różnica ciągu wynosi 2.