Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych

W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

$${1}/{x}$$, $${x-2}/{x+5}$$, $${x^3+5}/{x^2+10x+2}$$, $${x^100}/{x+1}$$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną $${1}/{x}$$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: $${x^3+5}/{x^2-10x+25}$$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: $${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) $${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$$

b) $${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$$

c) $${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $$x^2 - 6x + 9$$ jest liczba $$x = $$ (ponieważ $$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $$3$$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $$1,2,3,4,5$$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $$x = 1$$ i $$x = -2$$, w drugim: $$x = -1$$ i $$x = 2$$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $$-2, -1, 1, 2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC...

a) Z twierdzenia sinusów:

`a/(sin alpha) = 6/(sin 45^o) = 6/(sqrt2/2) = 6*2/sqrt2 = 6*sqrt2 = 6sqrt2` 

 

A więc:

`b/(sin beta) = 6sqrt2` 

`sin beta = b/(6sqrt2) = 8/(6sqrt2) *sqrt2/sqrt2 = (8sqrt2)/12 = (2sqrt2)/3 approx 0,9428` 

Z tablic wartości trygonometrycznych:

`sin 71^o approx 0,9455` 

stąd:

`beta approx 71^o`  

 

Trzeci kąt ma miarę:

`gamma = 180^o - (alpha + beta) approx 180^o -(45^o + 71^o) = 180^o - 116^o = 64^o` 

Z twierdzenia sinusów:

`c/(sin gamma) = 6sqrt2` 

`c approx 6sqrt2 * sin 64^o approx 6sqrt2* 0,8988 approx 7,63 \ ["cm"]` 

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie:

`R = a/(2*sin 45^o) = 6/(2*sqrt2/2) = 6/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 = (6sqrt2)/2 = 3sqrt2 \ ["cm"]` 

 

`b) \ c/(sin gamma)= 20/(sin 135^o) = 20/(sin 45^o) = 20/(sqrt2/2) = 20*2/sqrt2 = 40/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 = (40sqrt2)/2 = 20sqrt2` 

Z twierdzenia sinusów:

`b/(sin beta) = 20sqrt2` 

`sin beta = b/(20sqrt2) approx 0,53` 

Z tablic wartości trygonometrycznych:

`sin 32^o approx 0,5299` 

a więc:

`beta approx 32^o` 

 

A więc:

`alpha = 180^o - (beta + gamma) approx 180^o - (32^o + 135^o) = 180^o - 167^o = 13^o` 

 

Zatem:

`a/(sin 13^o) = 20sqrt2` 

`a = 20sqrt2 * sin 13^o approx 20sqrt2*0,225 approx 6,4 \ ["cm"]` 

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie:

`R = c/(2*sin gamma) = 20/(2*sin 135^o) = 10/(sin 45^o) = 10/(sqrt2/2) = 10*2/sqrt2 = 20/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 = (20sqrt2)/2 = 10sqrt2` 

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego...

Rysunek:

`y = x/2` 

 

`tg \ alpha = (2x)/y = (2x)/(x/2) = 2x * 2/x = 4` 

Do której ćwiartki układu ...

`"a)"\ x=log_(1/4)1024` 

Z definicji logarytmu mamy:

`(1/4)^x=1024` 

`(1/4)^x=4^5` 

`4^-x=4^5` 

Podstawmy potęg są równe, więc zapisujemy równość pomiędzy ich wykładnikami.

`-x=5` 

Stąd:

`x=-5` 

 

`y=log_(sqrt2)4` 

Z definicji logarytmu mamy:

`(sqrt2)^y=4` 

`(2^(1/2))^y=2^2` 

`2^(1/2y)=2^2`  

Podstawmy potęg są równe, więc zapisujemy równość pomiędzy ich wykładnikami.

`1/2y=2`   

Stąd:

`y=4` 

 

Otrzymujemy punkt o współrzędnych:

`x=-5,\ \ y=4`

Punkt ten leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ x=log_(2)pi` 

Z definicji logarytmu mamy:

`2^x=pi` 

`2^x~~3,14`    

Zauważmy, że:

`2<3,14<4` 

`2^1<3,14<2^2`   

`2^1<2^x<2^2`    

Stąd:

`1<x<2` 

 

`y=log_(1/2)pi`  

Z definicji logarytmu mamy:

`(1/2)^y=pi`  

`(1/2)^y~~3,14`  

Zauważmy, że:

`2<3,14<4` 

`2^1<3,14<2^2` 

`(1/2)^(-1)<3,14<(1/2)^-2` 

`(1/2)^(-1)<(1/2)^y<(1/2)^-2`    

Stąd:

`-2<y< -1`    

 

 

Otrzymujemy więc współrzędną x o dodatnim znaku oraz współrzędną y o ujemnym znaku:

`1<x<2`  

`-2<y< -1`     

 

Punkt ten leży w czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Rozwiąż równanie.

`a) \ 3^(x+3)+ 5*3^(x-1) = 86` 

`3^(x-1+4) +5*3^(x-1) = 86` 

`3^(x-1)*81 + 5*3^(x-1) = 86` 

`3^(x-1) (81+5) = 86` 

`3^(x-1) * 86 = 86 \ \ \ |:86` 

`3^(x-1) = 1` 

`3^(x-1) = 3^0` 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

`x-1 =0` 

`x=1` 

Rozwiązaniem równania jest liczba

`1` 

 

`b) \ 2^(x+3) + 2^x = 54` 

`2^x * 8 + 2^x = 54` 

`2^x (8+1) = 54` 

`2^x * 9 = 54` 

`2^x = 6` 

Z definicji logarytmu:

`x = log_2 6` 

Rozwiązaniem równania jest liczba

`log_2 6` 

 

`c) \ 7^(x+2) - 2*7^(x+1) + 5*7^x = 280` 

`7^x * 49 - 2*7^x * 7 + 5*7^x = 280` 

`7^x (49-14+5) = 280` 

`7^x *40 = 280` 

`7^x = 7` 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

`x = 1`  

Rozwiązaniem równania jest liczba

`1` 

Oblicz

`a)\ root(3)(-8000)=-20`

`b)\ root(3)(-0,001)=-0,1`

`c)\ root(3)(-125/64)=-5/4=-1 1/4`

`d)\ root(3)(-3 3/8)=root(3)(-27/8)=-3/2=-1 1/2`

Wypisz pary trójkątów przystających...

`a)\ Delta ACD equiv Delta BCD`

`b)\ Delta ADE equiv Delta BCF`

`Delta ADG equiv Delta BCG`

`c)\ Delta ACE equiv Delta BCD`

`Delta BCG equiv Delta ACH`

`Delta CDG equiv Delta CEH`

`Delta ADF equiv Delta BEF`

Wyznacz równanie okręgu ...

`O=(0;0)` 

`y=-9/x` 

 

Szukamy równania okręgu stycznego do hiperboli.

`K:\ x^2+y^2=r^2` 

`y=-9/x` 

Najbliżej środka układu współrzędnych leży punkt hiperboli należący do prostej y=-x.

Oznaczmy go jako P.

`P=(x;y)=(x;-9/x)` 

Skoro leży na prostej y=-x to:

`x=9/x` 

`x^2=9` 

`x_1=3\ \ \vv\ \ \x_2=-3` 

`y_1=-9/3=-3`   

`y_2=-9/(-3)=3`         

`P=(3;-3)\ \ \vv \ \ \P=(-3;3)` 

Przyjmijmy, że:

`P=(3;-3)`  

Policzmy odległość punkt P od od punktu S.

`|OP|=sqrt(3^2+(-3)^2)=sqrt18=3sqrt2` 

Zatem:

`r=3sqrt2` 

Szukane równanie okręgu jest postaci:

`ul(x^2+y^2=18` 

 

Współczynnik kierunkowy prostej l prostopadłej do prostej...

Doprowadźmy równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej:

`2x-sqrt2y-1=0` 

`sqrt2y = 2x-1` 

`y = 2/sqrt2x - 1/sqrt2` 

`m: \ y = sqrt2x - 1/sqrt2` 

Iloczyn współczynników kierunkowych prostej m i prostej l jest równy -1:

`a * sqrt2 = -1` 

`a = -1/sqrt2 = -sqrt2/2` 

Odpowiedź D

Wyrazy: a1,a2,a4 rosnącego ciągu geometrycznego...

Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

`2a_2 = a_1 + a_4` 

Ciąg an jest geometryczny czyli:

`2a_1q = a_1 + a_1 q^3` 

`2a_1q -a_1q^3=a_1` 

`a_1q(2-q^2)= a_1` 

a1 jest różne od zera gdyż ciąg geometryczny jest rosnący, możemy podzielić równanie przez wyraz a1.

 

`q(2-q^2)=1` 

`2q - q^3=1` 

`q^3-2q+1=0` 

`q^3-q-q+1=0` 

`q(q^2-1)-(q-1)=0` 

`q(q-1)(q+1)-(q-1)=0` 

`(q-1)[q(q+1)-1]=0` 

`(q-1)(q^2+q-1)=0` 

`q_1 = 1` 

Obliczmy deltę dla trójmianu:

`Delta = 1-4*(-1) = 1+4=5` 

`sqrtDelta = sqrt5` 

 

`q_2 = (-1-sqrt5)/2 < 0` 

`q_3 = (-1+sqrt5)/2` 

 

Zatem rozwiązaniami są:

`q_1 = 1 \ \ vv \ \ q_3=(sqrt5-1)/2` 

 

Ciąg an ma być rosnący zatem q1 odpada z rozwiązania. Skoro q3 jest większe od 0 i mniejsze od 1 to a1 musi być ujemne żeby ciąg był rosnący.

`q = (sqrt5-1)/2 \ , \ a_1 < 0` 

Uzasadnij, że jeśli jeden bok prostokąta

Drugi bok ma długość n, gdzie n jest liczbą naturalną. Jeśli jest to długość boku, to należy zauważyć, że nie może być ona równa zero. 

Długość przekątnej prostokąta możemy obliczyć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. 

 

`1^2+n^2=d^2`

`1+n^2=d^2`

`d^2=n^2+1`

`d=sqrt(n^2+1)`

 

Chcemy uzasadnić, że powyższy pierwiastek jest liczbą niewymierną.  Jeśli n było liczbą naturalną, to n2 także jest liczbą naturalną. Jeśli do liczby naturalnej dodamy 1, to uzyskamy także liczbę naturalną, więc n2+1 jest liczbą naturalną. Jeśli więc wyrażenie pod pierwiastkiem jest liczbą naturalną, to ten pierwiastek byłby liczbą wymierną tylko wtedy, gdyby wyrażenie pod pierwiastkiem było kwadratem pewnej liczby naturalnej. Musiałaby więc zachodzić równość:

`n^2+1=x^2\ \ \ \ \ \ (x \-\ "l. naturalna")`

Można to zapisać w sposób równoważny:

`1=x^2-n^2`

`x^2-n^2=1\ \ \ \ (**)`

 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Wzór ten pojawił się w drugiej gimnazjum, jednak przypomnimy go:

`a^2-b^2=(a-b)(a+b)`

 

Możemy więc zapisać równość oznaczoną gwiazdką w równoważny sposób:

`(x-n)(x+n)=1`

Liczby x oraz n są liczbami naturalnymi. Różnica x-n jest więc liczbą całkowitą, a suma x+n jest liczbą naturalną. Iloczyn liczby całkowitej i naturalnej jest równy 1 tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe 1. Musiałyby więc zachodzić równości:

`{(x-n=1), (x+n=1):}\ \ \ |+` 

`2x=2\ \ \ |:2` 

`x=1` 

Wstawiamy obliczoną wartość x do drugiego równania:

`1+n=1\ \ \ |-1` 

`n=0` 

Nie jest to możliwe, ponieważ n jako długość boku musi być liczbą większą od 0. 

Otrzymaliśmy sprzeczność, co oznacza, że liczba n2+1 nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej, więc pierwiastek z liczby n2+1 nie może być liczbą wymierną.