Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie dziedziny wyrażen wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych

W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

$${1}/{x}$$, $${x-2}/{x+5}$$, $${x^3+5}/{x^2+10x+2}$$, $${x^100}/{x+1}$$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną $${1}/{x}$$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: $${x^3+5}/{x^2-10x+25}$$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: $${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) $${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$$

b) $${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$$

c) $${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $$x^2 - 6x + 9$$ jest liczba $$x = $$ (ponieważ $$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $$3$$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $$1,2,3,4,5$$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $$x = 1$$ i $$x = -2$$, w drugim: $$x = -1$$ i $$x = 2$$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $$-2, -1, 1, 2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Nie rozwiązując układu równań ...

`a)` 

`{(y=3x+7),(y=-2x+3):}` 

Mimo, iż współczynniki przy niewiadomej y są równe, to współczynniki przy x różnią się.

Równanie ma jedno rozwiąznie.

 

`b)` 

`{(3x-5y=6),(3x-5y=7):}` 

Równanie jest sprzeczne. Po jednej stronie, równania są identyczne, a po drugiej różnią się.

Możemy tak stwierdzić, ponieważ po jednej stronie są tylko stałe liczby.

 

`c)` 

`{(4x-8y=2),(6x-12y=3):}` 

Zauważmy, że oba równania są tak naprawdę jednym równaniem.

Wystarczy pierwsze pomnożyć przez 6, natomiast drugie przez 4.

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W hostelu jest pięć pokoi

W pokoju 1 jest 1 miejsce. 

W pokoju 2 są 2 miejsca.

W pokoju 3 są 3 miejsca. 

W pokoju 4 są 4 miejsca. 

W pokoju 5 jest 5 miejsc. 

 

 

Wybieramy 1 z 15 osób do pokoju 1-osobowego. Wybieramy 2 z pozostałych 14 osób do pokoju 2-osobowego. Wybieramy 3 z pozostałych 12 osób do pokoju 3-osobowego. Wybieramy 4 z pozostałych 9 osób do pokoju 4-osobowego. Wybieramy 5 z pozostałych 5 osób do pokoju 5-osobowego. 

Liczba sposobów jest równa:

`((15),(\ 1))*((14),(\ 2))*((12),(\ 3))*((9),(4))*((5),(5))=` 

`=(15!)/(1!*14!)*(14!)/(2!*12!)*(12!)/(3!*9!)*(9!)/(4!*5!)*(5!)/(5!*0!)=` 

`=(strike(14!)*15)/(1*strike(14!))*(strike(12!)*13*14)/(2!*strike(12!))*(strike(9!)*10*11*12)/(3!*strike(9!))*(strike(5!)*6*7*8*9)/(4!*strike(5!))*1/(0!)=` 

`=15*(13*strike14^7)/(1*strike2)*(10*11*strike12^2)/(1*strike2*strike3)*(strike6*7*strike8^2*9)/(1*strike2*strike3*strike4)*1/1=` 

`=37\ 837\ 800` 

 

Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt...

Proste przechodzące przez punkt A=(-2,1) mają postać:

`y = a(x+2)+1` 

przekształćmy równanie do postaci ogólnej:

`y = ax + 2a+ 1` 

`-ax + y -2a-1=0` 

 

`a) \ S = (0,0)` 

`d = (|Ax+By+C|)/sqrt(A^2+B^2) = (|-a*0 +1*0 -2a-1|)/sqrt((-a)^2 +1^2) = (|2a+1|)/sqrt(a^2+1)` 

 

Jeżeli proste mają być styczne to:

`d = r` 

`(|2a+1|)/sqrt(a^2+1) = 1` 

Podnieśmy równanie obustronnie do kwadratu.

`((2a+1)^2)/(a^2+1) = 1` 

`(2a+1)^2 = a^2 + 1` 

`4a^2 + 4a + 1 = a^2 + 1` 

`3a^2 + 4a =0` 

`a(3a+4) = 0` 

`a =0 \ \ vv \ \ a = -4/3` 

A więc:

`y_1 = 0*(x+2) +1 \ \ \ vv \ \ \ y_2 = -4/3*(x+2)+1` 

`y_1 = 1 \ \ \ vv \ \ \ y_2 = -4/3x - 8/3 + 1` 

`y_1 = 1 \ \ \ vv \ \ \ y_2 = -4/3x -5/3` 

 

`b) \ S = (2,3)` 

`d = (|Ax+By+C|)/sqrt(A^2+B^2) = (|-a*2 +1*3 -2a-1|)/sqrt((-a)^2 +1^2) = (|-2a + 3 -2a - 1|)/sqrt(a^2+1) = (|-4a+2|)/sqrt(a^2+1)` 

 

Jeżeli proste mają być styczne to:

`d = r` 

`(|-4a+2|)/sqrt(a^2+1) = 2` 

Podnieśmy równanie obustronnie do kwadratu.

`((-4a+2)^2)/(a^2+1) = 4` 

`(-4a+2)^2 = 4a^2 + 4` 

`16a^2 - 16a + 4 = 4a^2 + 4` 

`12a^2 -16a =0` 

`4a(3a-4) = 0` 

`a =0 \ \ vv \ \ a = 4/3` 

A więc:

`y_1 = 0*(x+2) +1 \ \ \ vv \ \ \ y_2 = 4/3*(x+2)+1` 

`y_1 = 1 \ \ \ vv \ \ \ y_2 = 4/3x + 8/3 + 1` 

`y_1 = 1 \ \ \ vv \ \ \ y_2 = 4/3x +11/3` 

 

`c) \ S = (3,6)` 

`d = (|Ax+By+C|)/sqrt(A^2+B^2) = (|-a*3 +1*6 -2a-1|)/sqrt((-a)^2 +1^2) = (|-3a + 6-2a - 1|)/sqrt(a^2+1) = (|-5a+5|)/sqrt(a^2+1)` 

 

Jeżeli proste mają być styczne to:

`d = r` 

`(|-5a+5|)/sqrt(a^2+1) = sqrt5` 

Podnieśmy równanie obustronnie do kwadratu.

`((-5a+5)^2)/(a^2+1) = 5` 

`(-5a+5)^2 = 5a^2 + 5` 

`25a^2 - 50a + 25 = 5a^2 + 5` 

`20a^2 -50a +20=0` 

`2a^2-5a+2= 0` 

`2a^2 -a - 4a + 2=0` 

`a(2a-1)-2(2a-1)=0` 

`(2a-1)(a-2)=0` 

`a =1/2 \ \ vv \ \ a = 2` 

A więc:

`y_1 = 1/2*(x+2) +1 \ \ \ vv \ \ \ y_2 = 2*(x+2)+1` 

`y_1 = 1/2x + 1 + 1 \ \ \ vv \ \ \ y_2 = 2x + 4 + 1` 

`y_1 = 1/2x + 2 \ \ \ vv \ \ \ y_2 = 2x +5` 

Uzasadnij równość, jeżeli...

`a) \ log_2 27 = 6p` 

`log_2 27 = 6log_16 9` 

`log_2 3^3 = 6 log_16 3^2` 

`3log_2 3 = 12 log_16 3` 

`log_2 3 = 4 log_16 3` 

`log_2 3 = log_16 3^4` 

`log_2 3 = (log_2 3^4)/(log_2 16)` 

`log_2 3 = (4 log_2 3)/(4)` 

`log_2 3 = log_2 3` 

Równość zachodzi.

 

`b) \ log_3 16 = 2/p` 

`log_3 16 = 2/(log_16 9)` 

`log_3 16 = (log_16 16^2)/(log_16 3^2)` 

`log_3 16 = (2 log_16 16)/(2log_16 3)` 

`log_3 16 = (log_16 16)/(log_16 3)` 

`log_3 16 = log_3 16` 

Równość zachodzi.

 

`c) \ log_3 12 = (p+1)/(p)` 

`log_3 12 = 1 + 1/p` 

`log_3 12 -1 = 1/p` 

`log_3 12 - log_3 3 = 1/(log_16 9)` 

`log_3 4 = log_9 16` 

`log_3 4 = (log_3 16)/(log_3 9)` 

`log_3 4 = (log_3 4^2)/(log_3 3^2)` 

`log_3 4 = (2log_3 4)/(2log_3 3)` 

`log_3 4 = log_3 4` 

Równość zachodzi.

 

`d) \ log_12 8 = (3)/(2p+2)` 

`log_12 8 = 3/(2*log_16 9 + 2)` 

`log_12 8 = (3)/(log_16 81 + log_16 256)` 

`log_12 8 = (3)/(log_16(81*256))` 

`log_12 8 = (3)/(log_16 ((3*4)^4)` 

`log_12 8 = 3/(4 log_16 12)` 

`log_12 8 = (3/4)/(log_16 12)` 

`log_12 8 = (log_16 8)/(log_16 12)` 

`log_12 8 = log_12 8` 

Równość zachodzi.

 

`e) \ log_6 27 = (6p)/(2p+1)` 

`log_6 27 = (6log_16 9)/(2log_16 9 + 1)` 

`log_6 27 = (log_16 9^6)/(log_16 9^2 + log_16 16)` 

`log_6 27 = (log_16 9^6)/(log_16 (9^2 * 16)` 

`log_6 27 = (log_16 9^6)/(log_16 (3*2)^4)` 

`log_6 27 = (6log_16 9)/(4 log_16 6)`

`log_6 27 = (3/2log_16 9)/(log_16 6)` 

`log_6 27 = (log_16 27)/(log_16 6)` 

`log_6 27 = log_6 27` 

Równość zachodzi.

 

`f) \ log_(2sqrt3) 24 = (2p+3)/(p+1)` 

`log_(2sqrt3) 24 = (2p+2+1)/(p+1)` 

`log_(2sqrt3) 24 = (2p+2)/(p+1) + 1/(p+1)` 

`log_(2 sqrt3) 24 = 2 + 1/(p+1)` 

`log_(2sqrt3) 24 = 2+1/(log_16 9 +log_16 16)` 

`log_(2sqrt3) 24 = 2+1/(log_16 144)` 

`log_(2sqrt3) 24 = 2+log_(144) 16` 

`log_(2sqrt3) 24 = 2 + (log_(sqrt12) 16)/(log_(sqrt12) 144)` 

`log_(sqrt12) 24 = 2 + (log_sqrt12 16)/4` 

`log_sqrt12 24 = 2 + 1/4 log_sqrt12 16` 

`log_sqrt12 24 = log_sqrt12 12 + log_sqrt12 2` 

`log_sqrt12 24 = log_sqrt12 (12*2)` 

`log_sqrt12 24 = log_sqrt12 24` 

Równość zachodzi.

Na rysunku obok przedstawiono wykresy ...

`y=2/x,\ \ \ \ y=-x^2+2x+1` 

`"Założenia:"` 

`x!=0` 

`D=RR\\{0}` 

 

`2/x=-x^2+2x+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*x` 

`2=-x^3+2x^2+x` 

`x^3-2x^2-x+2=0` 

`x^2(x-2)-(x-2)=0` 

`(x^2-1)(x-2)=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-1=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2=0`   

`\ \ \ x_1=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ x_2=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_3=2`

Podstawiamy otrzymane x do jednego z równań i wyznaczamy y:

`\ y_1=2/1=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \y_2=2/(-1)=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_3=2/2=1` 

 

Odp: Punkty przecięcia wykresów to (1,2), (-1,-2) oraz (2,1).

Na drodze długości 36 m ...

x - obwód małego koła

y - obwód dużego koła

`36/x` - liczba obrotów małego koła

`36/y` - liczba obrotów dużego koła

 

`36/x=36/y+6 \ \ \ |*xy` 

`36y=36x+6xy \ \ \ |:6` 

`6y=6x+xy` 

`xy=6y-6x` 

`(6y)/(6+y)=x` 

 

`36/(x+1)=36/(y+1)+3` 

`36/(x+1)=36/(y+1)+(3(y+1))/(y+1)` 

`36/(x+1)=36/(y+1)+(3y+3)/(y+1)` 

`36/(x+1)=(39+3y)/(y+1)` 

`36*(y+1)=(39+3y)*(x+1)` 

`36y+36=39x+39+3xy+3y \ \ \ |-3y-39` 

`33y-3=39x+3xy \ \ \ |:3` 

`11y-1=13x+xy` 

`11y-1=13x+6y-6x` 

`5y-1=7x` 

`(5y-1)/7=x` 

 

`(5y-1)/7=(6y)/(6+y)` 

`(5y-1)(6+y)=6y*7` 

`30y+5y^2-6-y=42y` 

`5y^2-13y-6=0` 

`Delta=(-13)^2-4*5*(-6)=169+120=289` 

`sqrt(Delta)=17` 

`y_1=(13-17)/(2*5)=(-4)/10=-2/5 \ \ \ "sprzeczność"` 

`y_2=(13+17)/(2*5)=30/10=3` 

 

`y=3` 

`x=(5y-1)/7` 

`x=(5*3-1)/7` 

`x=(15-1)/7` 

`x=14/7` 

`x=2` 

 

Odp. Obwód mniejszego koła to 2, obwód większego koła to 3.

 

 

 

Motocyklista pokonał drogę z miejscowości...

Wzór na prędkość:

`v = s/t` 

`s = vt` 

 

Motocyklista jadąc z miejscowości A do miejscowości B jechał z prędkością 40 km/h.

`s = 40t_1` 

 

W drodze powrotnej jechał z prędkością 30 km/h.

`s = 30t_2` 

 

Stąd:

`40t_1 = 30t_2`  

`t_1 = 3/4t_2` 

 

Żeby obliczyć prędkość średnią musimy obliczyć iloraz przebytej drogi oraz czasu w którym została pokonana. Motocyklista pokonał dwa razy drogę s (Z punktu A do B oraz z punktu B do A), pokonał tę drogę w czasie t1+t2.

`v_("śr") = (2s)/(t_1+t_2) = (2*30t_2)/(3/4t_2 + t_2) = (60t_2)/(7/4t_2) = 60*4/7 = 240/7 = 34 2/7 \ [("km")/("h")]`  

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego...

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy obliczyć b:

`b^2+b^2=a^2` 

`2b^2=a^2` 

`sqrt2b=a \ \ \ |:sqrt2` 

`b=a/sqrt2` 

`b=(sqrt2)/2a` 

{premium}

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy obliczyć c - krawędź boczną:

`6^2+(2/3h_p)^2=c^2` 

`36+(2/3*(asqrt3)/2)^2=c^2` 

`36+(asqrt3)/3)^2=c^2` 

`36+3/9a^2=c^2` 

`36+1/3a^2=c^2` 

`sqrt(36+1/3a^2)=c` 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy obliczyć h -wysokość ściany bocznej:

`6^2+(1/3h_p)^2=h^2` 

`36+(1/3*(asqrt3)/2)^2=h^2` 

`36+((asqrt3)/6)^2=h^2` 

`36+3/36a^2=h^2` 

`36+1/12a^2=h^2` 

`sqrt(36+1/12a^2)=h` 

 

Obliczmy pole ściany bocznej na dwa sposoby.

`P=1/2*a*h, \ \ P=1/2*b*c` 

Wobec tego otrzymujemy równość:

`1/2ah=1/2bc \ \ \ |*2` 

`ah=bc` 

`asqrt(36+1/12a^2)=sqrt2/2asqrt(36+1/3a^2)` 

Podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy:

`a^2(36+1/12a^2)=2/4a^2(36+1/3a^2) \ \ \ |:a^2` 

`36+1/12a^2=1/2(36+1/3a^2)` 

`36+1/12a^2=18+1/6a^2 \ \ \ |-18-1/12a^2` 

`18=1/6a^2-1/12a^2` 

`18=1/12a^2 \ \ \ |*12` 

`18*12=a^2` 

`216=a^2` 

 

`P_p=(a^2sqrt3)/4=(216sqrt3)/4=54sqrt3` 

`V=1/3*P_p*H=1/3*54sqrt3*6=108sqrt3 ["cm"^3]` 

 

Odp. C

 

 

Na rysunku obok przedstawione ...

ODP: D

 

Odczytujemy z rysunku zbiór rozwiązań nierówności f(x) g(x).

Odczytujemy z wykresu, dla jakich argumentów wartości funkcji f są większe lub równe wartościom funkcji g (wykres funkcji f musi znajdować się nad wykresem funkcji g lub oba wykresy muszą się pokrywać).

Stąd otrzymujemy zbiór:

`(-oo;2)cup<<3,+oo)` 

Rozwiąż równanie

`a)` 

`x^2-36=0` 

`(x-6)(x+6)=0` 

`x-6=0\ \ \ |+6\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x+6=0\ \ \ |-6` 

`x=6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-6`    

 

 

 

`b)` 

`4x^2-25=0` 

`(2x)^2-5^2=0` 

`(2x-5)(2x+5)=0` 

`2x-5=0\ \ \ |+5\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ 2x+5=0\ \ \ |-5` 

`2x=5\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ 2x=-5\ \ \ |:2` 

`x=5/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-5/2`