Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

$${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$$
$$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: $${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy $${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - $${(x-1)}^2$$, w drugi natomiast rozbijamy $$-3x$$ na $$-x -2x$$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $$(x-1)$$; mianownik zamienia się więc na $$(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$$. Cały ułamek wygląda więc tak: $${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$$. Możemy więc skrócić przez $$x-1$$, w wyniku otrzymując $${x-1}/{x-3}$$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $$(x-1)$$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$$
$$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$$


Zadanie 2. Wymnożyć:
$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$$

$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: $${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$$ $$= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz sumę obwodów trójkątów równobocznych ...

Przyjmijmy, że bok większego trójkąta ma długość a.

Promień okręgu opisanego na tym trójkącie (większy okrąg) jest równy:

`R=(asqrt3)/3` 

Wyznaczamy długość okręgu opisanego na większym trójkącie:

`L=2pi*R=2pi*(asqrt3)/3=2/3sqrt3pia` 

 

Promień okręgu wpisanego w większy trójkąt wynosi:

`r=(asqrt3)/6` 

Wyznaczamy długość okręgu wpisanego w większy trójkąt:

`l=2pi*r=strike2^1pi*(asqrt3)/strike6^3=1/3sqrt3pia`  

 

Suma długości okręgów jest równa 12π:

`L+l=12pi` 

`2/3sqrt3pia+1/3sqrt3pia=12pi\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:pi` 

`2/3sqrt3a+1/3sqrt3a=12` 

`sqrt3a=12\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=12/sqrt3\ stackrel("usuwamy niewymierność")=\ 12/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(strike12^4sqrt3)/strike3^1=4sqrt3` 

 

Obliczamy długość promienia koła wpisanego w większy trójkąt:

`r=(strike4^2sqrt3*sqrt3)/strike6^3=(2*strike3^1)/strike3^1=2` 

Zauważmy, że okrąg wpisany w większy trójkąt jest rónocześnie okręgiem opisanym na mniejszym trójkącie.

Oznaczamy długość boku mniejszego trójkąta jako b. Wówczas:

`r=(bsqrt3)/3` 

`2=(bsqrt3)/\3\ \ \ \ \ \ \ \|*3`  

`6=bsqrt3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`b=6/sqrt3\ stackrel("usuwamy niewymierność")=6/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(strike6^2sqrt3)/strike3^1=2sqrt3` 

 

Obliczamy obwód większego trójkąta ( oboku długości a):

`O_(a)=3*a=3*4sqrt3=12sqrt3` 

Obliczamy obwód mniejszego trójkąta (o boku długości b):

`O_(b)=3*b=3*2sqrt3=6sqrt3`  

Obliczamy sumę obwodów:

`"Suma"=O_(a)+O_(b)=12sqrt3+6sqrt3=18sqrt3`   

Oblicz pole równoległoboku, którego przekątne ...

 

`"Przekątne równoległoboku przecinaja się w połowie swojej długości."` 

`"Rozważy pole równoległoboku jako sume pól trójkątów: ADO, AOB, BOC i COD."`  

`"Zauważmy, że z własności kątów wierzchołkowych zachodzi:"`  

`alpha=60^@` 

`beta=180^@-60^@=120^@` 

`delta=120^@`   

`"Trójkąty AOD i BOC są przystające. Mają odpowiadające sobie boki tej samej długosci."` 

`"Podobnie trójkąty AOB i DAC."` 

`P_(AOB)=P_(DOC)` 

`P_(ADO)=P_(BOC)`   

 

`P_(AOB)=1/2sin delta 6,5*4=13sin 120^@=13sin(90^@+30^@)=13(cos30^@)=13sqrt3/2`       

`P_(ADO)=1/2sin alpha*6,5*4=13sin60^@=13*sqrt3/2`   

`P_(ABCD)=P_(AOB)+P_(DOC)+P_(ADO)+P_(BOC)=2(13*sqrt3/2+13sqrt3/2)=26sqrt3` 

`"Pole równoległoboku wynosi"\ 26sqrt3\ "cm"^2.` 

` `

Na rysunku przedstawiono

`a)` 

`x`    `-3`  `-2`  `-1`  `1`  `2`  `3` 
`f(x)=6/x`  `-2`  `-3`  `-6`  `6`  `3`  `2` 

 

 

 

 

 

 

`b)` 

 

`x`  `-2`  `-1`  `-1/2`  `1/2`  `1`  `2` 
`g(x)=1/2`  `-1/2`  `-1`  `-2`  `2`  `1` 

`1/2` 

 

Wykonaj działania ...

`a)` 

`3/(x+2)+(2(x-5))/(x+2)=(3+2x-10)/(x+2)=(2x-7)/(x+2)` 

`x+2ne0\ implies \ xne-2` 

 

`b)` 

`(2x-7)/(x-3)-(3(x-4))/(x-3)=(2x-7-3x+12)/(x-3)=(-x+5)/(x-3)` 

`x-3ne0\ implies\ xne3` 

 

`c)` 

`(2x)/(x^3-8x^2)-(4x+2)/(x^3-8x^2)=(2x-4x-2)/(x^3-8x^2)=(-2-2x)/(x^2(x-8))` 

`x^2(x-8)ne0` 

`xne0\ \ \wedge\ \ x-8ne0\ implies \ x ne8` 

`x notin {0;8}` 

 

`d)` 

`(x+5)/(x^3+3x^2-4x)+(4-5x)/(x^3+3x^2-4x)=(x+5+4-5x)/(x^3+3x^2-4x)=` 

`=(-4x+9)/(x^2+3x^2-4x)` 

`x^3+3x^2-4xne0` 

`x(x^2+3x-4)ne0`   

`xne0` 

`x^2+3x-4ne0` 

`Delta=9+16=25` 

`sqrtDelta=5` 

`x_1=(-3-5)/2=-4` 

`x_2=(-3+5)/2=1` 

`x notin {-4;0;1}`      

Oblicz.

`"a)"\ 7^(1/2)*7^(1/3)*7^(1/6)=7^(1/2+1/3+1/6)=7^(3/6+2/6+1/6)=7^(6/6)=7^1=7` 

`"b)"\ 5^(5/6)*sqrt5*5^(-4/3)=5^(5/6)*5^(1/2)*5^(-4/3)=5^(5/6+1/2-4/3)=5^(5/6+3/6-8/6)=5^0=1` 

`"c)"\ root(3)2/sqrt2*2^(7/6)=2^(1/3)/2^(1/2)*2^(7/6)=2^(1/3-1/2)*2^(7/6)=2^(2/6-3/6)*2^(7/6)=2^(-1/6+7/6)=2^(6/6)=2^1=2` 

`"d)"\ (root(6)81)^(-3/2)=(81^(1/6))^(-3/2)=81^(1/strike6^2*(-strike3^1/2))=81^(-1/4)=(1/81)^(1/4)=root(4)(1/81)=1/3` 

`"e)"\ root(3)100*5^(1/3)*2^(1/3+1)=100^(1/3)*5^(1/3)*2^(1/3)*2^1=(100*5*2)^(1/3)*2=1000^(1/3)*2=root(3)1000*2=10*2=20` 

`"f)"\ 11^(3/2)/sqrt44*(2/11)^3=11^(3/2)/(44^(1/2))*2^3/11^3=(11^(3/2))/(4^(1/2)*11^(1/2))*2^3/11^3=(11^(3/2-1/2))/((2^2)^(1/2))*2^3/11^3=11/2*2^3/11^3=11^(1-3)*2^(3-1)=`            

`\ \ \ =11^(-2)*2^2=(1/11)^2*4=1/121*4=4/121` 

Dla jakich n spełniona jest nierówność...

`a) \ |(2n)/(1-3n)-(-2/3)|< 10^(-2)` 

`|(2n)/(1-3n)+2/3|< 1/100` 

`|(6n)/(3(1-3n))+(2(1-3n))/(3(1-3n))|< 1/100` 

`|(6n+2-6n)/(3(1-3n))|< 1/100` 

`|2/(3(1-3n))|< 1/100` 

`2/(3(3n-1))< 1/100` 

`200< 3(3n-1)` 

`200 < 9n - 3` 

`203 < 9n` 

`22,(5) < n` 

`22,(5) < 23 leq n` 

A więc:

`n geq 23` 

 

`b) \ |(3n^2+1)/n^2-3| < 1/100000` 

`|(3n^2+1)/n^2-(3n^2)/n^2|< 1/100000` 

`|1/n^2|< 1/100000` 

`1/n^2 < 1/100000` 

`100000< n^2` 

 

Zauważmy, że:

`316^2 = 99856` 

`317^2=100489` 

 

 

`99856< 100000< 317^2 leq n^2` 

A więc:

`n geq 317`  

Wyznacz wartości współczynników

`a)`

`ul(ul("pierwszy sposób"))`

Wielomian w(x) jest wielomianem trzeciego stopnia, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, pierwiastki są postaci a, -a oraz 3a, więc postać iloczynowa wielomianu w wygląda następująco:

`w(x)=(x-a)(x+a)(x-3a)`

Wkonajmy mnożenie:

`w(x)=(x-a)(x+a)(x-3a)=(x^2-a^2)(x-3a)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-3ax^2-a^2x+3a^3`

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w(x) jest postaci:

`w(x)=x^3+px^2-4x+q`

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

`x^3:\ \ \ 1=1`

`x^2:\ \ \ -3a=p`

`x^1:\ \ \ -a^2=-4\ \ \ =>\ \ \ a^2=4\ \ \ =>\ \ \ a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2`

`x^0:\ \ \ 3a^3=q`

 

Mamy więc dwie możliwości:

`{(a=2), (p=-3a=-3*2=-6), (q=3a^3=3*2^3=3*8=24):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-3a=-3*(-2)=6), (q=3a^3=3*(-2)^3=3*(-8)=-24):}`

 

 

Ostatecznie możemy zapisać odpowiedź:

`1)\ p=-6,\ q=24`

`\ \ \ "pierwiastki:"`

`\ \ \ a=2`

`\ \ \ -a=-2`

`\ \ \ 3a=3*3=6`

 

`2)\ p=6,\ q=-24`

`\ \ \ "pierwiastki"`

`\ \ \ a=-2`

`\ \ \ -a=2`

`\ \ \ 3a=3*(-2)=-6`

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`ul(ul("drugi sposób"))`

Jeśli pierwiastki wielomianu są postaci a, -a i 3a, to w(a), w(-a) oraz w(3a) są równe 0. 

`w(a)=0`

`a^3+pa^2-4a+q=0`

 

 

`w(-a)=0`

`(-a)^3+p*(-a)^2-4*(-a)+q=0`

`-a^3+pa^2+4a+q=0`

 

 

`w(3a)=0`

`(3a)^3+p*(3a)^2-4*3a+q=0`

`27a^3+9pa^2-12a+q=0`

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (-a^3+pa^2+4a+q=0), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}`

 

Przepiszmy pierwsze i trzecie równanie, a w miejsce drugiego równania podstawmy sumę pierwszego i drugiego równania:

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (2pa^2+2q=0\ \ \ |:2), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}`

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (pa^2+q=0\ \ \ |-q), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}`

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (pa^2=-q), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}`

`{(a^3-q-4a+q=0), (pa^2=-q), (27a^3+9*(-q)-12a+q=0):}`

`{(a^3-4a=0), (pa^2=-q), (27a^3-12a-8q=0):}`

Zajmijmy się pierwszym równaniem:

`a^3-4a=0`

`a(a^2-4)=0`

`a(a-2)(a+2)=0`

`a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a-2=0\ \ \ "lub"\ \ \ a+2=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ a=-2`

Mamy więc trzy możliwości:

`{(a=0), (p*0^2=-q), (27*0^3-12*0-8q=0):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=2), (p*2^2=-q), (27*2^3-12*2-8q=0):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p*(-2)^2=-q), (27*(-2)^3-12*(-2)-8q=0):}`

`{(a=0), (0=-q\ \ \ |*(-1)), (-8q=0\ \ \ |:(-8)):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=2), (4p=-q), (27*8-24-8q=0):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (4p=-q), (27*(-8)+24-8q=0):} `

`{(a=0), (q=0), (q=0):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=2), (p=-1/4q), (192=8q\ \ \ |:8):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-1/4q), (-192=8q\ \ \ |:8):}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(a=2), (p=-1/4q), (q=24):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-1/4q), (q=-24):}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(a=2), (p=-1/4*24=-6), (q=24):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-1/4*(-24)=6), (q=-24):}`

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie (a=0, q=0) - nie otrzymaliśmy w nim parametru p.

Mamy dwie możliwości:

`1)\ p=-6,\ \ \ q=24`

`\ \ \ "pierwiastki:"`

`\ \ \ a=2`

`\ \ \ -a=-2`

`\ \ \ 3a=3*2=6`

 

 

`2)\ p=6,\ \ \ q=-24`

`\ \ \ "pierwiastki:"`

`\ \ \ a=-2`

`\ \ \ -a=2`

`\ \ \ 3a=3*(-2)=-6`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

 

`b)`

`ul(ul("pierwszy sposób"))`

Wielomian w(x) jest wielomianem trzeciego stopnia, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, pierwiastki są postaci a, 2a oraz a+1, więc postać iloczynowa wielomianu w wygląda następująco:

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-a-1)`

 

Wkonajmy mnożenie:

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-a-1)=(x^2-2ax-ax+2a^2)(x-a-1)=(x^2-3ax+2a^2)(x-a-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-ax^2-x^2-3ax^2+3a^2x+3ax+2a^2x-2a^3-2a^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-a-1-3a)x^2+(3a^2+3a+2a^2)x+(-2a^3-2a^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-4a-1)x^2+(5a^2+3a)x+(-2a^3-2a^2)`

 

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w(x) jest postaci:

`w(x)=x^3+7x^2+px+q`

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

`x^3:\ \ \ 1=1`

`x^2:\ \ \ -4a-1=7\ \ \ =>\ \ \ -4a=8\ \ \ =>\ \ \ a=-2`

`x^1:\ \ \ 5a^2+3a=p\ \ \ =>\ \ \ p=5*(-2)^2+3*(-2)=5*4-6=20-6=14`

`x^0:\ \ \ -2a^3-2a^2=q\ \ \ =>\ \ \ q=-2*(-2)^3-2*(-2)^2=-2*(-8)-2*4=16-8=8`

 

Mamy więc następujące wartości parametrów:

`{(a=-2), (p=14), (q=8):}`

`"pierwiastki:"`

`a=-2`

`2a=2*(-2)=-4`

`a+1=-2+1=-1`

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`ul(ul("drugi sposób"))`

`w(a)=0`

`a^3+7a^2+pa+q=0`

 

 

`w(2a)=0`

`(2a)^3+7*(2a)^2+p*(2a)+q=0`

`8a^3+28a^2+2pa+q=0`

 

 

`w(a+1)=0`

`(a+1)^3+7(a+1)^2+p(a+1)+q=0`

 

 

Mamy do rozwiązania układ równań:

`{(a^3+7a^2+pa+q=0), (8a^3+28a^2+2pa+q=0), ((a+1)^3+7(a+1)^2+p(a+1)+q=0):}`

 

Zauważmy, że powyższy układ równań będzie ciężko rozwiązać, dlatego nie kontynuujemy rozwiązania tym sposobem - pierwszy sposób jest dużo wygodniejszy. 

 

Czy poniższa funkcja jest jednomianem

`a)\ "tak",\ st=7`

`b)\ y=x/4=1/4x^1,\ \ \ "tak",\ \ st=1`

`c)\ y=4/x=4x^-1,\ \ \ "nie, ponieważ" -1notinNN`

`d)\ y=6sqrtx=6x^(1/2),\ \ \ "nie, ponieważ" 1/2notinNN`

`e)\ "tak",\ \ \ st=3`

Dane są zależności...

`sin alpha=1/5` 

 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`(1/5)^2+cos^2alpha=1` 

`1/25+cos^2alpha=1 \ \ \ |-1/25` 

`cos^2alpha=24/25` 

Skoro `alpha in (pi/2, pi)` to `cosalpha < 0` 

`cosalpha=-sqrt24/5=-(2sqrt6)/5` 

 

`cosbeta=-1/3` 

 

`sin^2beta+cos^2beta=1` 

`sin^2beta+(-1/3)^2=1` 

`sin^2beta+1/9=1 \ \ \ |-1/9` 

`sin^2beta=8/9` 

Skoro `beta in (3/2pi, 2pi)` to `sinbeta < 0` 

`sinbeta=-sqrt8/3=-(2sqrt2)/3` 


a)

`sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta=1/5*(-1/3)+(-(2sqrt6)/5)*(-(2sqrt2)/3)=-1/15+(4sqrt12)/15=(-1+8sqrt3)/15` 


b)

`cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta=(-(2sqrt6)/5)*(-1/3)-1/5*(-(2sqrt2)/3)=(2sqrt6)/15+(2sqrt2)/15(2sqrt6+2sqrt2)/15` 


c)

`sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta-cosalphasinbeta=1/5*(-1/3)-(-(2sqrt6)/5)*(-(2sqrt2)/3)=-1/15-(4sqrt12)/15=(-1-8sqrt3)/15`


d)

`cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta=(-(2sqrt6)/5)*(-1/3)+1/5*(-(2sqrt2)/3)=(2sqrt6)/15-(2sqrt2)/15(2sqrt6-2sqrt2)/15` 

Różnica sześcianów dwóch liczb mających...

x, -x  - liczby które mają tę samą wartość bezwzględną

`x^3-(-x)^3=686`

`2x^3=686`

`x^3=343`

`x=7`

Szukane liczby to -7 i 7.