Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$
$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: ${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy ${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - ${(x-1)}^2$, w drugi natomiast rozbijamy $-3x$ na $-x -2x$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $(x-1)$; mianownik zamienia się więc na $(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$. Cały ułamek wygląda więc tak: ${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$. Możemy więc skrócić przez $x-1$, w wyniku otrzymując ${x-1}/{x-3}$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $(x-1)$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$
$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$


Zadanie 2. Wymnożyć:
${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$

${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: ${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$ $= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Basia ma w dwóch pudełkach kartki z zapisanymi cyframi ...

Wszystkie zdarzenia elementarne tego doświadczenia: {premium}

 

Wykaż, że jeśli (an) jest ciągiem ...

 

Zauważmy, że:

 

Zauważmy, że:

1) Suma wyrazów o numerach nieparzystych również jest sumą ciągu arytmetycznego.    {premium}

Wszystkich wyrazów tego ciągu jest 2n, zatem jest n wyrazów parzystych i n wyrazów nieparzystych.

Zatem:

 

 

 

2) Suma wyrazów o numerach nieparzystych również jest sumą ciągu arytmetycznego.

Zatem:

 

 

 

Chcemy pokazać, że spełniona jest zależność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem pokazaliśmy, że zależność jest prawdziwa.

W rombie o boku długości 6 ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.



Wyznaczamy sin 𝛼, korzystając z jedynki trygonometrycznej. {premium}

 

 

 

 

 

 

Ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym, to sin 𝛼 > 0.

 

Wobec tego:

 

 

Obliczamy pole rombu.

 

Wyznaczamy długość promienia koła wpisanego w ten romb.

 

Obliczamy pole tego koła.

 

Oblicz tg15, jeśli wiadomo...

 

 

 


Z jedynki trygonometrycznej obliczamy sin15°:

 {premium}

 

 

 

 

Kąt 15° jest kątem ostrym, więc sin15°>0. Wobec tego:

 


Obliczamy tg15°:

 

Średnie miesięczne ...

Oznaczmy:

 

 

Z treści zadania wiadomo, że: 

 

 

Wiemy zatem, że suma wynagrodzeń 20 pracowników jest równa 64 000 zł. {premium}

 

 

Wiemy, że zatrudniono nowego pracownika. Oznaczmy jego miesięczne zarobki jako y. 

Wiemy, że średnie miesięczne wynagrodzenie w tej firmie jest o 2% wyższe niż poprzednio. 

  

Wiemy, ile wynosi suma miesięcznych wynagrodzeń 20 pracowników, więc możemy postawić:

 

 

 

 

 

Odp. Nowy pracownik zarabia 4544 zł miesięcznie.


 

Wiemy, że zatrudniono nowego pracownika. Oznaczmy jego miesięczne zarobki jako y. 

Wiemy, że średnie miesięczne wynagrodzenie w tej firmie jest o 1% niższe niż poprzednio. 

 

 

 

 

 

 

Odp. Nowy pracownik zarabia 2528 zł miesięcznie. 

 

Prosta o równaniu y=-3x+1 ...

Wyznaczmy wzór prostej symetrycznej względem osi y do prostej y=-3x+1.

 

 

 

 

Rysunek pomocniczy:   {premium}

Wyznaczmy współrzędne punktu B, czyli punkt przecięcia prostej f z osią OX.

 

 

 

 

Punkt A jest symetryczny do punktu B względem osi OY, zatem:

 

Punkt C ma współrzędne  

 

Wyznaczmy pole trójkąta ABC.

 

 

Wyznaczmy obwód trójkąta ABC.

 

 

 

Na rysunku obok przedstawiony...

 Z rysunku odczytujemy, że  oraz  są pierwiastkami dwukrotnymi.

Wobec tego wzór funkcji  możemy zapisać następująco:

   {premium}


Wiemy, że funkcja  dla argumentu  przyjmuje wartość  czyli:

 

Stąd:

 

 

 

 


Zatem:

 

Przekształcamy wzór funkcji  do postaci ogólnej:

 

 

 

 

Odp.  



 Wyznaczamy wzór funkcji  

 

 

 

 

Odp.  

Dla jakich wartości parametru ...

 

Równanie ma dwa różne rozwiązania, zatem spełniony jest warunek: {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązania spełniają warunek:

 

Obie strony nierówności są nieujemne, zatem możemy podnieść do kwadratu.

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Z założenia wiemy, że:

 

Zatem otrzymujemy:

  

  

 

  

 

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

  

 

Uwaga!!!

W odpowiedziach podano błędne rozwiązanie.

Weźmy np. m=-1. Wtedy otrzymujemy:

 

 

 

 

Zatem równanie nie ma rozwiązań.

 

Zapisz odległość na osi liczbowej...

a) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

  {premium}


b) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 


c) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 


d) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 


e) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 


f) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 

Punkty A i B leżą po tej samej ...

Przypomnijmy:

Punkty A i B leżą po tej samej stronie płaszczyzny, jeżeli odcinek AB nie ma punktów wspólnych z tą płaszczyzną.    {premium}


a) Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

 

 

Zatem:

 

 

 

 


b) Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

 

 

Zatem: