Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

$${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$$
$$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: $${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy $${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - $${(x-1)}^2$$, w drugi natomiast rozbijamy $$-3x$$ na $$-x -2x$$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $$(x-1)$$; mianownik zamienia się więc na $$(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$$. Cały ułamek wygląda więc tak: $${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$$. Możemy więc skrócić przez $$x-1$$, w wyniku otrzymując $${x-1}/{x-3}$$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $$(x-1)$$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$$
$$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$$


Zadanie 2. Wymnożyć:
$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$$

$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: $${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$$ $$= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

      {premium}


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  

Odcinek x stanowi dwie trzecie wysokości podstawy, czyli dwie trzecie wysokości trójkąta równobocznego o boku 3:

Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego obliczmy, jaką długość ma odcinek x: {premium}

 

 

Wiemy, że:

 

 

Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole podstawy tego ostrosłupa to pole trójkąta równobocznego o boku 3 cm:

 

 

Na pole powierzchni bocznej składają się pola trzech trójkątów równoramiennych o podstawie 3 oraz ramieniu a. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, jaką długość ma wysokość ściany bocznej. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej: 

   

W tabeli podano skalę podatkową

Wykonujemy mnożenie:

Redukujemy wyrazy podobne, otrzymując szukany wzór:

 

 

Osoba zarabiająca 50 000 zł rocznie mieści się w pierwszym przedziale. Obliczamy, ile zapłaciłaby podatku:

 

Osoba zarabiająca 100 000 zł rocznie mieści się w drugim przedziale. Obliczmy, ile zapłaciłaby podatku:

 

Gdyby obowiązywał podatek liniowy, to osoba zarabiająca 50 000 zł zapłaciłaby:

 

Gdyby obowiązywał podatek liniowy, to osoba zarabiająca 100 000 zł zapłaciłaby:

 

Osoba zarabiająca 50 000 zł zapłaciłaby więc o następująca kwotę więcej przy podatku liniowym:

 

 

Osoba zarabiająca 100 000 zł zapłaciłaby więc o następująca kwotę więcej przy podatku liniowym:

Podstawą ostrosłupa prostego

Obliczmy, jaką długopść ma przekątna podstawy, czyli przekątna prostokąta o bokach 6 cm i 8 cm. 

Wystarczy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. 

 

 

 

 

 

Połowa przekątnej podstawy ma więc długość 5 cm. 

 

 

Ostrosłup ma dwie ściany boczne będące trójkątami równobocznymi o boku 6 cm.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zamalowanego na pomarańczowo możemy zapisać:

 

 

 

 

 

 

 

Ostrosłup ma dwie ściany boczne będące trójkątami równobocznymi o boku 8 cm.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć, jaką długość ma wysokość H:

 

 

 

 

 

Podaj przykład wielomianu ...

Przykładem takiego wielomianu może być:

{premium}

 

Dane są punkty...

a) Wyznaczmy równanie prostej CD:

 

 

 

 

 

stąd:

 

 

A więc:

 

 

Prosta prostopadła do tej prostej jest dana równaniem:

 

 

  • Współrzędne punktu A'

Wstawmy współrzędne punktu A

 

 

 

A więc równanie tej prostej to:

 

 

Punkt przecięcia prostych:

 

 

 

  

stąd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

  • Współrzędne punktu B'

Prosta prostopadła do prostej CD:

 

Współrzędne punktu B:

 

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia się tej prostej z prostą CD:

 

 

 

 

stąd

 

 

 

 

  

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

b) Równanie prostej AD:

  

 

 

 

 

stąd:

 

 

 

 

 

Prosta prostopadła do prostej AD to:

 

 

  • Współrzędne punktu B':

 

wstawmy współrzędne punktu B

 

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia się prostej y = -3x + 11 i prostej AD:

 

  

 

 

 

 

 

stąd:

 

 

 

 

 

 

Zatem:

  

 

 

 

 

 

 

 

  • Współrzędne punktu C':

 

wstawmy współrzędne punktu C

 

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia się prostej y = -3x -5 i prostej AD:

 

  

 

  

 

stąd:

 

 

 

 

 

Zatem:

  

 

 

 

 

 

 

Samochód dostawczy wyjechał z miasta ...

 

 

 średnia prędkość na trasie z miasta B do A

 szukana średnia prędkość na trasie z miasta A do B

  

 

 

 

  

 

Wiemy, że: 

        

  

 

  

 

   

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Średnia prędkość samochodu na trasie z miasta A do miasta B wynosi 64 km/h.    

Suma 6-12+24-48+...

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. B

Długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg...

Krawędzie będą postaci:

 

 

Objętość prostopadłościanu:

 

 

 

 

 

 

Suma długości wszystkich krawędzi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pierwszy przypadek gdy najkrótszym bokiem jest:

 

Wtedy ciąg jest rosnący a więc q=3

 

 

Drugi przypadek gdy najkrótszym bokiem jest:

 

Wtedy ciąg jest malejący a więc q=1/3

  

 

 

 

Wiemy, że:

  

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole powierzchni bocznej:

I przypadek:

 

 

 

 

  

Przekątna prostopadłościanu:

 

 

 

II przypadek:

 

 

 

 

 

 

Przypadek taki sam jak w I

 

III przypadek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Usuwając niewymierność:

   

 

 

Rozwiąż równanie