Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$
$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: ${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy ${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - ${(x-1)}^2$, w drugi natomiast rozbijamy $-3x$ na $-x -2x$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $(x-1)$; mianownik zamienia się więc na $(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$. Cały ułamek wygląda więc tak: ${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$. Możemy więc skrócić przez $x-1$, w wyniku otrzymując ${x-1}/{x-3}$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $(x-1)$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$
$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$


Zadanie 2. Wymnożyć:
${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$

${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: ${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$ $= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór

Długości boków powinny być wyrażone liczbą dodatnią. 

 

 

 

{premium}

 

Pani Anna ma torebki w trzech kolorach ...

a)

Ilość czerwonych torebek: 3

Ilość czerwonych par butów: 2

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru czerwonej torebki i czerwonej pary butów: 3٠2=6 {premium}

 

Ilość białych torebek: 4

Ilość białych par butów: 3

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru białej torebki i białej pary butów: 4٠3=12

 

Ilość czarnych torebek: 6

Ilość czarnych par butów: 5

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru czarnej torebki i czarnej pary butów: 6٠5=30

 

Ilość interesujących nas możliwości: 6+12+30=48

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 48 sposobów.


b)

Ilość białych lub czerwonych torebek: 3+4=7

Ilość wszystkich par butów: 2+3+5=10

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru białej lub czerwonej torebki i dowolnego koloru butów: 7٠10=70

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 70 sposobów.


c)

Ilość czarnych torebek: 6

Ilość wszystkich par butów: 10

Ilość możliwości wyboru czarnej torebki i dowolnego koloru butów: 6٠10=60

 

Ilość czerwonych lub białych torebek (czarne torebki uwzględniliśmy wyżej): 3+4=7

Ilość czarnych par butów: 5

Ilość możliwości wyboru czerwonej lub białej torebki i czarnych butów: 7٠5=35

 

Ilość interesujących nas możliwości: 60+35=95

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 95 sposobów.

 

Oblicz wartości pozostałych funkcji ...

 

  

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych można

 

 

 

{premium}

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

Największą liczbą całkowitą

  

  

Największa liczba całkowita mniejsza od powyższej to -2, więc prawidłowa jest odpowiedź C. 

   

W pewnej klasie jest

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Rozwiąż równanie.

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

      

 

 

Skorzystamy z faktu, że:

 

zatem

 

wracając do naszego równania:

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

W trójkącie prostokątnym ABC wysokość CD

 

Liczba ...

Upraszczamy wyrażenia: {premium}

 

 


Liczba  jest mniejsza od liczby . Sprawdzamy, ile razy.

 


Odpowiedź: B

Oblicz granicę ciągu określonego...

a) 

 

 

 

 

 

 


b) 

 

 

 

 

 

 


c)