Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

$${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$$
$$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: $${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy $${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - $${(x-1)}^2$$, w drugi natomiast rozbijamy $$-3x$$ na $$-x -2x$$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $$(x-1)$$; mianownik zamienia się więc na $$(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$$. Cały ułamek wygląda więc tak: $${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$$. Możemy więc skrócić przez $$x-1$$, w wyniku otrzymując $${x-1}/{x-3}$$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $$(x-1)$$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$$
$$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$$


Zadanie 2. Wymnożyć:
$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$$

$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: $${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$$ $$= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

`a) \ 2 sin^2 x - 3 sin x = -1` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = sin x` 

`t in [-1,1]` 

 

`2t^2 - 3 t = - 1` 

`2t^2 -3t + 1 =0` 

`2t^2 - 2t - t + 1 =0` 

`2t(t-1) -(t-1)=0` 

`(t-1)(2t-1)=0` 

`t_1 = 1 \ \ vv \ \ t_2 = 1/2` 

`sin x = 1 \ \ vv \ \ sin x = 1/2` 

`x_1 = pi/2 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/6 + 2kpi \ \ vv \ \ x_3 = pi - pi/6 + 2kpi` 

`x_1 = pi/2 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/6 + 2kpi \ \ vv \ \ x_3 = (5pi)/6 + 2kpi \ \ \ \ k in C` 

 

`b) \ 2 cos^2 x - 7 cos x = 4` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = cos x` 

`t in [-1, 1]` 

 

`2 t^2 - 7t = 4` 

`2t^2 - 7t - 4 =0` 

`2t^2 - 8t + t - 4 =0` 

`2t(t-4) + (t-4)=0` 

`(t-4)(2t+1)=0` 

`t_1 = 4 \ \ vv \ \ t_2 = -1/2` 

`cos x = 4 \ \ vv \ \ cos x = -1/2` 

`cos x = -1/2` 

`x_1 = -pi - pi/3 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi + pi/3 + 2kpi` 

`x_1 = -(4pi)/3 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = (4pi)/3 + 2kpi , \ \ k in C` 

 

`c) \ 2 cos^2x + sqrt2 sin x = 2` 

`2 (1-sin^2x) + sqrt2sin x = 2` 

`2 - 2sin^2x + sqrt2sin x = 2` 

`- 2sin^2x + sqrt2sin x =0` 

`-sinx(2sinx - sqrt2) =0` 

`- sin x =0 \ \ vv \ \ 2 sin x - sqrt2 =0` 

`sin x = 0 \ \ vv \ \ sin x = sqrt2/2` 

`x_1 = kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/4 + 2kpi \ \ vv \ \ x_3 = pi - pi/4 + 2kpi` 

`x_1 = kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/4 + 2kpi \ \ vv \ \ x_3 = (3pi)/4 + 2kpi` 

 

`d) \ 4sin^2x = 8 cosx - 1` 

`4 (1- cos^2x) = 8 cos x - 1` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = cos x` 

`t in [-1,1]` 

 

`4 (1 - t^2) = 8 t - 1`  

`4 - 4t^2 - 8t+1 =0` 

`-4t^2 -8t + 5 =0` 

`Delta = (-8)^2 - 4*(-4)*5 = 64 + 80 = 144` 

`sqrtDelta = sqrt144 = 12` 

`t_1 = (-(-8)-12)/(-8) = (8-12)/(-8) = (-4)/(-8) = 1/2` 

`t_2 = (-(-8)+12)/(-8) = 20/(-8) = - 5/2` 

`t_1 = 1/2 \ \ vv \ \ t_2 = -5/2` 

`t_1 = 1/2` 

`cos x = 1/2` 

`x_1 = -pi/3 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/3 + 2kpi \ \ \ k in C`

 

`e) \ sin x = cos 2x` 

`sin x = cos^2x - sin^2x` 

`sinx = (1- sin^2x) - sin^2x` 

`sin x = 1 - sin^2x - sin^2x` 

`2sin^2x + sin x - 1 =0` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = sin x` 

`t in [-1, 1]` 

 

`2t^2 + t - 1 =0`   

`2t^2 + 2t - t - 1 =0` 

`2t(t+1) -(t+1)=0` 

`(t+1)(2t-1)=0` 

`t_1 = -1 \ \ vv \ \ t_2 = 1/2` 

`sin x = -1 \ \ vv \ \ sin x = 1/2` 

`x_1 = -pi/2 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/6 + 2kpi \ \ vv \ \ x_3 = pi - pi/6 + 2kpi` 

`x_1 = -pi/2 + 2kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/6 + 2kpi \ \ vv \ \ x_3 = (5pi)/6 + 2kpi` 

Zauważmy, że:

`x_2 - x_1 = pi/6 + 2kpi - (-pi/2 + 2kpi) = pi/6 + 2kpi + pi/2 - 2kpi = pi/6 + (3pi)/6 = (4pi)/6 = (2pi)/3` 

`x_3 - x_2 = (5pi)/6 +2kpi - (pi/6 + 2kpi) = (5pi)/6 + 2kpi - pi/6 - 2kpi = (4pi)/6 = (2pi)/3` 

 

`x_1 = -pi/2 + 2kpi = (3pi)/2 + 2kpi` 

`x_1 - x_3 = (3pi)/2 + 2kpi - (5pi)/6 - 2kpi = (9pi)/6 - (5pi)/6 = (4pi)/6 = (2pi)/3` 

 

A więc miejsca zerowe powtarzają się co:

`(2pi)/3` 

zatem można zapisać:

`x_0 = (-pi/2) + (2pik)/3 , \ \ k in C` 

 

`f) \ sin^2x + cos2x = 2 - cosx` 

`sin^2x + cos^2x - sin^2x = 2 - cosx` 

`cos^2 x = 2 - cosx` 

`cos^2x + cos x - 2 =0` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = cos x`  

`t in [-1, 1]` 

 

`t^2 + t - 2 =0` 

`t^2 - t + 2t - 2 =0` 

`t(t-1) + 2(t-1)=0` 

`(t-1)(t+2)=0` 

`t_1 = 1 \ \ vv \ \ t_2 = -2` 

`t_1 = 1` 

`cos x = 1` 

`x_1 = 2kpi \ \ \ k in C` 

 

`g) \ tg^2 \ x - (2sqrt3)/3 tg \ x = tg \ pi/4` 

`tg^2 \ x - (2sqrt3)/3 tg \ x = 1` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = tg \ x`  

`t in R` 

 

`t^2 - (2sqrt3)/3 t = 1 \ \ \ |*3` 

`3t^2 - (2sqrt3)t - 3 =0`  

`Delta = (2sqrt3)^2 - 4*3*(-3) = 4*3 + 36 = 48` 

`sqrtDelta = sqrt48 = 4sqrt3` 

`t_1 = (-(-2sqrt3)-4sqrt3)/6 = (-2sqrt3)/6 = -sqrt3/3` 

`t_2 = (-(-2sqrt3) + 4sqrt3)/6 = (6sqrt3)/6 = sqrt3` 

`t_1 = -sqrt3/3 \ \ vv \ \ t_2 = sqrt3` 

`tg \ x = - sqrt3/3 \ \ vv \ \ tg \ x = sqrt3` 

`x_1 = -pi/6 + kpi \ \ vv \ \ x_2 = pi/3 + kpi \ \ \ k in C` 

Zauważmy, że:

`x_2 -x_1= pi/3 + kpi - (-pi/6 + kpi) = (2pi)/6 + kpi + pi/6 - kpi = (3pi)/6 = pi/2` 

 

`x_1 = -pi/6 + kpi = (5pi)/6 + kpi`

`x_1 - x_2 = (5pi)/6 + kpi - pi/3 - kpi = (5pi)/6 - (2pi)/6 = (3pi)/6 = pi/2` 

 

 

 

A więc można zapisać:

`x_0 = pi/3 + (kpi)/2 \ \ \ k in C` 

 

`h) \ 3tg \ x * tg (pi - x) = 4sqrt3 tg \ x + 3` 

 

Zauważmy, że:

`tg (pi - x) = tg (-(x-pi))` 

Z nieparzystości funkcji tangens:

`- tg (x - pi)` 

Z okresowości funkcji tangens:

`- tg (x - pi ) = - tg x` 

A więc:

`tg(pi-x) = - tg \ x` 

 

`3 tg \ x * ( - tg \ x) = 4 sqrt3 tg \ x + 3` 

`-3tg^2 \ x = 4 sqrt3 tg \ x + 3` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = tg \ x` 

 

`-3t^2 x = 4sqrt3 t + 3` 

`- 3t^2 - 4sqrt3t - 3 =0` 

`3t^2 + 4sqrt3 + 3 =0` 

`Delta = (4sqrt3)^2 - 4*3*3 = 16*3 - 36 = 12` 

`sqrtDelta = sqrt12 = sqrt(4*3) = 2sqrt3` 

`t_1 = (-4sqrt3-2sqrt3)/6 = (-6sqrt3)/6 = -sqrt3` 

`t_2 = (-4sqrt3+2sqrt3)/6 = (-2sqrt3)/6 = -sqrt3/3` 

`t_1 = -sqrt3 \ \ vv \ \ t_2 = -sqrt3/3` 

`tg \ x = -sqrt3 \ \ vv \ \ tg \ x = -sqrt3/3` 

`x_1 = - pi/3 + kpi \ \ vv \ \ x_2 = -pi/6 + kpi \ \ \ k in C` 

O ile wyżej sięgnie sześciometrowa ...

Rysunek pomocniczy:

Rozpatrzmy pierwszą sytuację (rysunek po lewej stronie).

Aby obliczyć wysokość x korzystamy z sin73o:

`sin73^@~~0,9563` 

`x/6~~0,9563\ \ \ \ \ \ \ \ |*6` 

`x~~5,7\ ["m"]` 

 

Rozpatrzmy drugą sytuację (rysunek po prawej stronie).

Aby obliczyć wysokość y korzystamy z sin53o:

`sin53^@~~0,7986` 

`y/6~~0,7986\ \ \ \ \ \ \ \ |*6` 

 

`y~~4,8\ ["m"]` 

 

Drabina ustawiona pod kątem 73o do ziemi sięgnie o około 0,9m wyżej niż drabina ustawiona pod kątem 53o do ziemi.

`5,7-4,8=0,9\ ["m"]` 

Dane są pierwsze trzy wyrazy ciągu...

a)

`a_1=1` 

`r=2` 

 

`a_n=a_1+(n-1)*r` 

`a_n=1+(n-1)*2` 

`a_n=1+2n-2` 

`a_n=2n-1` 

 

`a_5=2*5-1=10-1=9` 

`a_8=2*8-1=16-1=15` 


b)

`a_1=8` 

`r=-5` 

 

`a_n=a_1+(n-1)*r` 

`a_n=8+(n-1)*(-5)` 

`a_n=8-5n+5` 

`a_n=-5n+13` 

 

`a_5=-5*5+13=-25+13=-12` 

`a_8=-5*8+13=-40+13=-27` 


c)

`a_1=-1` 

`r=1/2` 

 

`a_n=a_1+(n-1)*r` 

`a_n=-1+(n-1)*1/2` 

`a_n=-1+1/2n-1/2` 

`a_n=1/2n-1 1/2` 

 

`a_5=1/2*5-1 1/2=5/2-1 1/2=2 1/2-1 1/2=1` 

`a_8=1/2*8-1 1/2=4-1 1/2=2 1/2` 

Ciąg jest opisany wzorem...

a)

`a_n=n^3` 

`n^3>100` 

`n^3>100> 4^3` 

`n in {5, 6, 7, "..."}` 

Odp. Wszystkie jego wyrazy począwszy od piątego wyrazu.

 

b)

`a_n=n^3` 

`n^3>1000` 

`n^3>10^3` 

`n in {11, 12, 13, "..."}` 

Odp. Wszystkie jego wyrazy począwszy od jedenastego wyrazu.

 

c) 

`a_n=n^3` 

`n^3>106` 

`n^3>106>4^3` 

`n in {5, 6, 7, "..."}` 

Odp. Wszystkie jego wyrazy począwszy od piątego wyrazu.

Dla jakich wartości parametrów

W każdym przykładzie najpierw wykonamy mnożenie wielomianu po prawej stronie równości. 

Następnie skorzystamy z faktu, że dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki stojące przy jednakowych potęgach są równe. 

 

`a)`

`(x^2-ax+b)(x^2-1)=x^4-x^2-ax^3+ax+bx^2-b=`

`=x^4-ax^3+(-1+b)x^2+ax-b`

 

Porównujemy współczynniki stojące przy jednakowych potęgach: 

`x^4:\ \ \ 1=1`

`x^3:\ \ \ -1=-a\ \ \ =>\ \ \ a=1`

`x^2:\ \ \ 2=-1+b\ \ \ =>\ \ \ b=2+1=3`

`x^1:\ \ \ 1=a\ \ \ =>\ \ \ a=1`

`x^0:\ \ \ -3=-3b\ \ \ =>\ \ \ b=3`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`{(a=1), (b=3):}`

 

 

`b)`

`(ax^2+bx+1)(x^2+x)=ax^4+ax^3+bx^3+bx^2+x^2+x=`

`=ax^4+(a+b)x^3+(b+1)x^2+x`

 

`x^4:\ \ \ -1=a\ \ \ =>\ \ \ a=-1`

`x^3:\ \ \ 3=a+b\ \ \ =>\ \ \ 3=-1+b\ \ \ =>\ \ \ b=3+1=4`

`x^2:\ \ \ 5=b+1\ \ \ =>\ \ \ b=5-1=4`

`x^1:\ \ \ 1=1`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`{(a=-1), (b=4):}`

 

 

`c)`

`(x^2+x+1)(ax+b)=ax^3+bx^2+ax^2+bx+ax+b=`

`=ax^3+(b+a)x^2+(b+a)x+b`

 

`x^3:\ \ \ 4=a\ \ \ =>\ \ \ a=4`

`x^2:\ \ \ 1=b+a\ \ \ =>\ \ \ 1=b+4\ \ \ =>\ \ \ b=1-4=-3`

`x^1:\ \ \ b+a=1\ \ \ =>\ \ \ (-3)+4=1`

`x^0:\ \ \ -3=b\ \ \ =>\ \ \ b=-3`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`{(a=4), (b=-3):}`

 

 

`d)`

`(x^3+ax+b)(x^2-2)=x^5-2x^3+ax^3-2ax+bx^2-2b=`

`=x^5+(-2+a)x^3+bx^2-2ax-2b`

 

`x^5:\ \ \ 1=1`

`x^3: \ \ \ -2+a=-1\ \ \ =>\ \ \ a=-1+2=1`

`x^2:\ \ \ -2=b\ \ \ =>\ \ \ b=-2`

`x^1:\ \ \ -2=-2a\ \ \ =>\ \ \ a=-2:(-2)=1`

`x^0:\ \ \ 4=-2b\ \ \ =>\ \ \ b=4:(-2)=-2`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`{(a=1), (b=-2):}`

Rozwiąż równanie.

`"a)"\ 2/(5x+10)=(-3)/(x^2-4)`   

`"Założenia:"`    

`{(5x+10!=0),(x^2-4!=0):}`    

`{(x != -2),((x-2)(x+2)!=0):}` 

`{(x!=-2),(x!=2\ \ "i"\ \ x!=-2):}`    

`D=RR\\{-2,2}` 

 

`2/(5x+10)=(-3)/(x^2-4)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(5x+10)(x^2-4)` 

`2(x^2-4)=-3(5x+10)` 

`2x^2-8=-15x-30\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+15x+30` 

`2x^2+15x+22=0` 

`Delta=15^2-4*2*22=225-176=49` 

`sqrtDelta=sqrt49=7` 

`x_1=(-15-7)/4=-22/4=-5 2/4=-5 1/2 inD`  

`x_2=(-15+7)/4=(-8)/4=-2 !inD`  

Liczba -5 1/2 spełnia podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ (2x+5)/(x^2-1)=1/(x+1)`    

`"Założenia:"`    

`{(x+1!=0),(x^2-1!=0):}`    

`{(x != -1),((x-1)(x+1)!=0):}` 

`{(x!=-1),(x!=1\ \ "i"\ \ x!=-1):}`    

`D=RR\\{-1,1}` 

 

`(2x+5)/(x^2-1)=1/(x+1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(x^2-1)(x+1)` 

`(2x+5)(x+1)=1(x^2-1)` 

`2x^2+2x+5x+5=x^2-1` 

`2x^2+7x+5=x^2-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-x^2+1` 

`x^2+7x+6=0` 

`Delta=7^2-4*1*6=49-24=25` 

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(-7-5)/2=(-12)/2=-6 inD` 

`x_2=(-7+5)/2=(-2)/2=-1 !inD` 

Liczba -6 spełnia podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 1/(1-x)+x/(x-1)=1`    

`"Założenia:"`    

`{(1-x!=0),(x-1!=0):}`    

`{(x != 1),(x!=1):}` 

`D=RR\\{1}` 

 

`1/(1-x)+x/(x-1)=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(1-x)(x-1)`  

`1(x-1)+x(1-x)=(1-x)(x-1)` 

`x-1+x-x^2=x-1-x^2+x` 

`2x-1+x^2=2x-1-x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2x+1-x^2` 

`0=0` 

Równanie jest tożsamościowe, więc spełnia je każda liczba rzeczywista oprócz 1.

Każda liczba rzeczywista oprócz 1 spełnia podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ (2x)/(2x+3)-1=(2x)/(2x-3)` 

`"Założenia:"`    

`{(2x+3!=0),(2x-3!=0):}`    

`{(x != -3/2),(x!=3/2):}` 

`D=RR\\{-3/2,3/2}` 

 

`(2x)/(2x+3)-1=(2x)/(2x-3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(2x+3)(2x-3)`  

`2x(2x-3)-(2x+3)(2x-3)=2x(2x+3)` 

`4x^2-6x-(4x^2-9)=4x^2+6x` 

`4x^2-6x-4x^2+9=4x^2+6x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-4x^2-6x` 

`-4x^2-12x+9=0` 

`Delta=(-12)^2-4*(-4)*9=144+144=288` 

`sqrtDelta=sqrt288=sqrt(144*2)=12sqrt2`  

`x_1=(12-12sqrt2)/(-8)=(-3+3sqrt2)/2 inD` 

`x_2=(12+12sqrt2)/(-8)=(-3-3sqrt2)/2 inD`    

Rozwiązaniem równania są liczby x1 oraz x2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"e)"\ 6/x-1=2/(x-1)`   

`"Założenia:"`    

`{(x!=0),(x-1!=0):}` 

`{(x!=0),(x!=1):}`   

`D=RR\\{0,1}`  

 

`6/x-1=2/(x-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|*x(x-1)`  

`6(x-1)-x(x-1)=2x` 

`6x-6-x^2+x=2x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2x` 

`-x^2+5x-6=0` 

`Delta=5^2-4*(-1)*(-6)=25-24=1` 

`sqrtDelta=sqrt1=1` 

`x_1=(-5-1)/(-2)=(-6)/(-2)=3 in D`  

`x_2=(-5+1)/(-2)=(-4)/(-2)=2\ inD`      

Liczby 2 i 3  spełniają podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"f)"\ (2x+1)/(x^2-9)-3/(x-3)=0` 

`"Założenia:"`    

`{(x^2-9!=0),(x-3!=0):}`   

`{((x-3)(x+3)!=0),(x!=3):}`    

`{(x!=3\ \ "i" \ \ x!=-3),(x!=3):}`  

`D=RR\\{-3,3}` 

 

`(2x+1)/(x^2-9)-3/(x-3)=0` 

`(2x+1)/((x-3)(x+3))-3/(x-3)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(x-3)(x+3)` 

`2x+1-3(x+3)=0` 

`2x+1-3x-9=0` 

`-x=8` 

`x=-8` 

Liczba -6 spełnia podane równanie.

Oblicz granicę ciągu...

`a) \ lim_(n -> oo) (sqrt(2n+1) - sqrt(2n-3)) *(sqrt(2n+1)+sqrt(2n-3))/(sqrt(2n+1)+sqrt(2n-3)) = (2n+1-(2n-3))/(sqrt(2n+1)+sqrt(2n-3))= 4/(sqrt(2n+1)+sqrt(2n-3)) stackrel(n->oo)(->) 4/(oo+oo) = 0` 

 

`b) \ lim_(n -> oo) (sqrt(3n^2+1)-sqrt(n^2+n+6))*(sqrt(3n^2+1)+sqrt(n^2+n+6))/(sqrt(3n^2+1)+sqrt(n^2+n+6)) = (3n^2+1-(n^2+n+6))/(sqrt(3n^2)+sqrt(n^2+n+6))=` 

`(3n^2+1-n^2-n-6)/(nsqrt3 +nsqrt(1+1/n+6/n^2))= (n(2n-1-5/n))/(n(sqrt3+sqrt(1+1/n+6/n^2))) stackrel(n -> oo)(->) (oo-1-0)/(sqrt3+sqrt1)=oo` 

Wyznacz zbiór rozwiązań równania....

`a)\ (x-3)(x+2)(x-13)=0` 

` ` `x-3=0\ l u b\ x+2=0\ l u b\ x-13=0` 

`x=3\ l u b \ x=-2\ l u b\ x=13` 

`{-2,\ 3,\ 13}`  zbiór rozwiązań

 

`b)\ (x^2-16)(x^2-49)=0` 

`(x-4)(x+4)(x-7)(x+7)=0` 

`x-4=0\ l u b\ x+4=0\ l u b\ x-7=0\ l u b\ x+7=0` 

`x=4\ l u b\ x=-4\ l u b\ x=7\ l u b\ x=-7` 

`{-7,\ -4,\ 4,\ 7} `zbiór rozwiązań

 

`c)\ (x-3)(x^2+3x+9)=0`

`x-3=0\ =>\ x=3`

Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej x:

`x^2+3x+9>0,\ b o Delta=3^2-4*1*9=9-36<0` 

`{3}`   zbiór rozwiązań

Wypisz wszystkie podzbiory zbioru A

`a)` 

`a` 

`{a}` 

`{a,\ {a}}` 

`emptyset` 

 

 

`b)` 

`a` 

`b` 

`{a}` 

`{a,\ b}` 

`{a,\ {a}}` 

`{b,\ {a}}` 

`{a,\ b,\ {a}}` 

`emptyset` 

 

 

 

Oblicz wartość wyrażenia

`a)` 

`x^2+y^2=(sqrt(4sqrt2+sqrt7))^2+(sqrt(4sqrt2-sqrt7))^2=4sqrt2+sqrt7+4sqrt2-sqrt7=8sqrt2` 

 

`b)` 

`xy=sqrt(4sqrt2+sqrt7)*sqrt(4sqrt2-sqrt7)=sqrt((4sqrt2+sqrt7)*(4sqrt2-sqrt7))=sqrt((4sqrt2)^2-sqrt7^2)=sqrt(16*2-7)=sqrt(32-7)=sqrt25=5` 

 

Wykorzystując wyniki uzyskane w podpunktach a oraz b rozwiążemy podpunkty c oraz d.

 

`c)` 

`(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=x^2+y^2+2*xy=8sqrt2+2*5=8sqrt2+10` 

 

`d)` 

`(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=x^2+y^2-2*xy=8sqrt2-2*5=8sqrt2-10`