Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$
$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: ${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy ${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - ${(x-1)}^2$, w drugi natomiast rozbijamy $-3x$ na $-x -2x$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $(x-1)$; mianownik zamienia się więc na $(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$. Cały ułamek wygląda więc tak: ${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$. Możemy więc skrócić przez $x-1$, w wyniku otrzymując ${x-1}/{x-3}$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $(x-1)$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$
$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$


Zadanie 2. Wymnożyć:
${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$

${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: ${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$ $= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego ...

 

 {premium}

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

  

 

 

 

   

 

 

  

 

 

    

Rozwiąż równanie...

Założenie:

 {premium}

 

Dziedzina:

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązaniem równania jest liczba 2.

Oblicz granicę.

a)  {premium}  

b)  

c)    

Podaj przybliżenia liczb 5^(sqrt3) i 5^(sqrt5)

 

{premium}

   

 

Wyznacz wyrazy ...

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

    

Środkowe trójkąta ABC przecinają się ...

 

 

   

     {premium}

  

 

  

 

Środek ciężkości, czyli punkt przecięcia środkowych trójkąta ma współrzędne:

 

Wiedząc, że  otrzymujemy:

 

 

 

 

Wykaż, że cos ...

Rozpisując lewą stronę równości otrzymujemy:

      {premium}

 

 

 

Zał:

 

Na rysunku obok przedstawiono

 

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX tę część wykresu funkcji f, która {premium}znajduje się pod osią OX. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 10, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 10 punktów wspólnych:

 

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g musimy odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu funkcji f, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 6, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 6 punktów wspólnych:

 

 

 

 

 

Wykres funkcji y=f(-|x|) otrzymujemy z wykresu funkcji f, korzystając z tego, że:

- dla x≤0 (należących do dziedziny) zachodzi równość f(-|x|)=f(x). 

- wykres funkcji y=f(-|x|) jest symetryczny względem osi OY. 

Wystarczy więc odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu, która znajduje się po lewej stronie osi OY. 

 

 

Zauważmy, że wykres funkcji y=f(x) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, więc jest wykresem funkcji nieparzystej. 

Dla funkcji nieparzystej zachodzi warunek:

  

Jeśli za argument x weźmiemy |x| to otrzymujemy:

  

Oznacza to, że wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX wykres otrzymany w podpunkcie b). 

 

Każdy z tych sposobów prowadzi do otrzymania następującego wykresu:

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 4, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 4 punkty wspólne:

 

Skorzystaj z twierdzenia o odcinkach siecznych...

Wiemy, że trójkąty PAB i CDP są równoramienne a więc:

  

{premium}  

 

Zatem:

 

 

A więc z twierdzenia o odcinkach siecznych punkty A, B, C i D należą do okręgu opisanego na tym trapezie.

Podaj wzór...

 

 

{premium}