Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

$${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$$
$$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: $${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy $${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - $${(x-1)}^2$$, w drugi natomiast rozbijamy $$-3x$$ na $$-x -2x$$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $$(x-1)$$; mianownik zamienia się więc na $$(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$$. Cały ułamek wygląda więc tak: $${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$$. Możemy więc skrócić przez $$x-1$$, w wyniku otrzymując $${x-1}/{x-3}$$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $$(x-1)$$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$$
$$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$$


Zadanie 2. Wymnożyć:
$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$$

$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: $${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$$ $$= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wielomian zmiennej x opisujący objętość

Do wyznaczenia dziedziny wystarczy pamiętać, że długości boków muszą być liczbami dodatnimi:

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Rozwiąż równanie.

a)

 

 

 

 

Możemy zapisać krócej:

 


b)

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 (kolor zielony)

 (kolor pomarańczowy)

 (kolor fioletowy)

 

Pomocniczo:

 

 

 

 

Odp.  

Łatwiej możemy zapisać: 

 


d)

 

 

 (kolor zielony)

 (kolor pomarańczowy)

 (kolor fioletowy)

Pomocniczo:

 

 

 

 

 

 

Odp.  

 

Maksymalny przedział, w którym funkcja kwadratowa ...

 

 

 

{premium}

 

 

 

  

 

     

Zapisz liczbę w postaci a^x

  {premium}

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Jak są położone względem siebie proste...

Mamy dwie proste dane równaniami ogólnymi:

 

 

 

Proste są równoległe jeżeli:

 

 

Proste są prostopadłe jeżeli:

 

 

 

a) Proste nie spełniają ani warunku równoległości ani prostopadłości, zatem proste tylko przecinają się.

 

  

 

  

 

 

 

Zauważmy, że proste są prostopadłe, gdyż:

 

 

 

c) Zauważmy, że proste są równoległe, gdyż:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Proste nie spełniają ani warunku równoległości ani prostopadłości, zatem proste tylko przecinają się.

W trójkącie równoramiennym ...

 

 

 

 

   

` `  

 

  

 

 

 

  

   

 

 

 

  

 

Oblicz...

a) Z twierdzenia Talesa:

 

 

b) Z twierdzenia Talesa:

 

 

c) Z twierdzenia Talesa:

 

Pewna restauracja po pierwszym

Oznaczmy początkową wysokość cen w tej restauracji jako x. Po obniżce o 20% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 25% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 10% te ceny wynosiły:

 

 

Obliczamy, o ile wzrosły ceny w tej restauracji po trzech latach, czyli jakim procentem początkowej ceny jest różnica cen:

 

 

Zapisz trójmian kwadratowy w postaci

 

 

 

 

 

W małej firmie zatrudniającej...

a) Obliczmy średnią arytmetyczną:

Dodajmy do siebie wszystkie wynagrodzenia i podzielmy przez liczbę wynagrodzeń.

  

 

b) 8 pracowników na 10 zarabia poniżej średniej w firmie.