Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

$${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$$
$$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: $${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy $${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - $${(x-1)}^2$$, w drugi natomiast rozbijamy $$-3x$$ na $$-x -2x$$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $$(x-1)$$; mianownik zamienia się więc na $$(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$$. Cały ułamek wygląda więc tak: $${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$$. Możemy więc skrócić przez $$x-1$$, w wyniku otrzymując $${x-1}/{x-3}$$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $$(x-1)$$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$$
$$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$$


Zadanie 2. Wymnożyć:
$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$$

$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: $${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$$ $$= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podstawmy rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

W przedziale rownanie matematyczne otrzymujemy następujące rozwiązania:

rownanie matematyczne 

 

Oblicz ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne {premium}


rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  


rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

Podaj miarę łukową kąta wewnętrznego:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

Zbiorem rozwiązań nierówności ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Uprość wyrażenie

Będziemy korzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Z podpunktu a) wiemy, że zachodzi równość:

rownanie matematyczne 

 

Jeśli obustronnie odejmiemy liczbę 1, to otrzymamy:

rownanie matematyczne 

 

Rozpiszmy dwa pierwsze nawiasy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Udało się zapisać tą liczbę jako iloczyn liczby 16 i pewnych innych liczb naturalnych, więc podana liczba jest podzielna przez 16.

 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Udało się zapisać tą liczbę jako iloczyn liczby 17 i pewnych innych liczb naturalnych, więc podana liczba jest podzielna przez 17.

Cięciwa łącząca punkty A i B leżące na okręgu o promieniu 5

Dorysowujemy sobie kąt wpisany ACB oparty na tym samym łuku co kąt środkowy AOB. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy ma miarę dwa razy od niego mniejszą. 

 

 

Dla trójkąta ABC Układamy zależność trygonometryczną:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne          `/*2`

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne     

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Dany jest równoległobok ABCD...

Punkt E jest środkiem boku BC, czyli:

rownanie matematyczne 

 

Kąty przy wierzchołku E w trójkątach CDE i BEF są równe gdyż są kątami wierzchołkowymi.

 

Zauważmy, że:

rownanie matematyczne 

bo są kątami naprzemianległymi a więc:

rownanie matematyczne 

 

A więc:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

a więc trójkąty BEF i CDE są przystające na mocy cechy kbk zatem ich pola są równe. A więc:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Koniec dowodu.

Na rysunku obok przedstawiono...

a) rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podstawmy współrzędne punktu A.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Podstawmy współrzędne punktu B. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 


b) ALGEBRAICZNIE

rownanie matematyczne 

I przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

sprzeczność

II przypadek: 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

GRAFICZNIE

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 


c) ALGEBRAICZNIE

rownanie matematyczne 

I przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

II przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

GRAFICZNIE

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Na rysunku obok

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Uzupełniamy tabelkę:

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 
rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

 

Rysujemy wykres funkcji g:

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne