Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$
$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: ${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy ${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - ${(x-1)}^2$, w drugi natomiast rozbijamy $-3x$ na $-x -2x$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $(x-1)$; mianownik zamienia się więc na $(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$. Cały ułamek wygląda więc tak: ${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$. Możemy więc skrócić przez $x-1$, w wyniku otrzymując ${x-1}/{x-3}$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $(x-1)$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$
$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$


Zadanie 2. Wymnożyć:
${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$

${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: ${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$ $= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkt P=(-2, -2) jest wierzchołkiem rombu, którego ...

Zaczniemy od wykonania rysunku.

Następnie wyznaczymy równanie prostej, na której znajdują się punkty  i .

Współrzędne tych punktów podstawiamy kolejno do równania prostej w postaci kierunkowej

() i tworzymy układ równań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prosta, na której leżą punkty  i  ma {premium}równanie 

.

 

Punkt  jest punktem jednakowo oddalonym od punktu  i drugiego

wierzchołka rombu  będącego końcem przekątnej .

Wtedy , zatem

 

 

 

 

 

Szukamy takiego punktu, który dodatkowo znajduje się na prostej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe

 

 

 

 

Wyznaczamy  dla :

 .

Wyznaczamy  dla :

.

 

Na prostej  znajdują się dwa punkty spełniające warunek 

 i

Punkty  i  nie mogą się pokrywać (punkt  jest kolejnym wierzchołkiem rombu),

zatem punkt  ma współrzędne .

 

Niech punkt  jest kolejnym wierzchołkiem rombu,

czyli punktem jednakowo oddalonym od punktów  i .

Wtedy , zatem

 

 

 

 

Równanie to opisuje wszystkie punkty jednakowo oddalone od punktów  i ,

ale my szukamy takiego punktu, który dodatkowo znajduje się na prostej

(w postaci kierunkowej:  ), 

 

 

 

 

 

 

.

Pierwsza współrzędna punktu równo odległego od punktów  i  równa jest .

Drugą obliczymy podstawiając  do wzoru prostej, na której leży ten punkt.

 

 

.

Szukanym punktem jest .

 

Wyznaczymy równanie prostej, na której znajdują się punkty  i .

Współrzędne tych punktów podstawiamy kolejno do równania prostej w postaci kierunkowej

() i tworzymy układ równań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prosta, na której leżą punkty i  ma równanie 

.

Równanie tej prostej można było również wyznaczyć korzystając z własności prostych prostopadłych

(przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym).

 

Punkt  jest punktem jednakowo oddalonym od punktu  i drugiego

wierzchołka rombu  będącego końcem przekątnej .

Wtedy , zatem

 

 

 

 

 

 

Szukamy takiego punktu, który dodatkowo znajduje się na prostej

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe

 

 

 

 

Wyznaczamy  dla :

.

Wyznaczamy  dla :

.

Na prostej  znajdują się dwa punkty spełniające warunek 

 i

Punkty  i  nie mogą się pokrywać (punkt  jest kolejnym wierzchołkiem rombu),

zatem punkt  ma współrzędne .

Odległość między punktami  i  obliczamy ze wzoru

.

Wyznaczamy długości przekątnych, aby obliczyć pole tego rombu.

  

Pole rombu wynosi

.

Punkty A(-1, 5) oraz B(3, 3) są symetryczne względem prostej k

Jeśli punkty A i B są symetryczne względem prostej k, to odległość punktów A i B od prostej k musi być taka sama (odległość to odcinek poprowadzony z punktów A i B odpowiednio do prostej k pod kątem prostym). Oznaczmy środek odcinka AB przez S. Prosta prostopadła do prostej AB przechodząca przez punkt S to szukana prosta k. 

 

Najpierw wyznaczamy równanie prostej AB, wykorzystując w tym celu współrzędne punktów A i B: 

{premium}

 

 

Teraz wyznaczmy współrzędne środka odcinka AB (pierwsza współrzędna punktu S to średnia arytmetyczna pierwszych współrzędnych punktów A i B, tak samo druga współrzędna jest średnią arytmetyczną drugich współrzędnych);

 

 

Prosta k jest prostopadła do prostej AB, więc znamy jej współczynnik kierunkowy (iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1), więc:

Wartość współczynnika c wyliczymy podstwiając w miejsce x i y współrzędne punktu S (punkt S należy do prostej k, więc musi spełniać jej równanie):

Sinus...

Wiemy, że α jest kątem ostrym, dla którego 

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej"

dostajemy {premium}

więc

 

Odp. B.       

Wysokość stożka jest równa h, a promień podstawy ...

Rysunek pomocniczy:

  {premium}

Z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

Przypomnijmy wzór na pole boczne stożka:

 

Przypomnijmy wzór na pole wycinka kołowego:

 

Zauważmy, że pole boczne stożka to pole wycinka kołowego, zatem otrzymujemy:

 

 

 


a)

 

 

 

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Udowodnij poniższe twierdzenie

Założenie:

Prosta o współczynniku kierunkowym a przechodzi przez punkt (x1, y1).

 

Teza:

Równanie prostej jest postaci y-y1=a(x-x1).

 

Dowód:

Wiemy, że równanie kierunkowe prostej jest postaci:{premium}

Jeśli podany punkt należy do prostej, to spełnia jej równanie, więc możemy zapisać:

Podstawmy do równania kierunkowego prostej wyliczony powyżej współczynnik b.

Uzyskaliśmy tezę, co kończy dowód.  

Rozwiąż równanie:

a)

 

 

     {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b)

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


c)

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 


d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dana jest prosta k: 2x-3y-21=0 ...

a) Wyznaczmy równanie kierunkowe prostej k.

 

 

 

Prosta l równoległa do prostej k jest postaci (współczynnik kierunkowy a jest taki sam): {premium}

 

Podstawiając współrzędne punktu P otrzymujemy:

 

 

 

Zatem szukana prosta jest postaci:

 

 

 


b) Iloczyn współczynnika kierunkowego prostej k i prostej l musi być równy -1, zatem:

 

 

Prosta l prostopadła do prostej k jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu Q otrzymujemy:

 

 

 

 

Zatem szukana prosta jest postaci:

 

 

 

Wykres funkcji f

 

Wykres funkcji f otrzymano przesuwając wykres funkcji y=x2 o 2 jednostki w {premium}prawo wzdłuż osi OX oraz o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

 

  

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymano przesuwając wykres funkcji y=x2 o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX oraz o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

 

  

 

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymano przesuwając wykres funkcji y=x2 o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi OX oraz o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

 

 

Dany jest wielomian W(x).

 

 {premium}

 

 

 

 

 


Zdania A i B są prawdziwe.

Zdanie C jest fałszywe.

Zapisz w postaci ilorazu ...

 {premium}