Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyrażenia wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Operacje na wyrażeniach wymiernych

W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

$${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$$
$$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: $${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy $${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - $${(x-1)}^2$$, w drugi natomiast rozbijamy $$-3x$$ na $$-x -2x$$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $$(x-1)$$; mianownik zamienia się więc na $$(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$$. Cały ułamek wygląda więc tak: $${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$$. Możemy więc skrócić przez $$x-1$$, w wyniku otrzymując $${x-1}/{x-3}$$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $$(x-1)$$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$$
$$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$$


Zadanie 2. Wymnożyć:
$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$$

$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: $${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$$ $$= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny...

Błąd bezwzględny:

`Delta x = |x-a|` 

 

Błąd względny:

`delta = (Deltax)/x * 100%` 

 

`a) \ a = 2,5 \ "m" = 2,5 * 1000 \ "mm" = 2500 \ "mm"` 

`Delta x = |2512 - 2500| = |12| = 12 \ "mm"` 

`delta = 12/2512 *100% approx 0,48%` 

 

`b) \ a = 1,3 \ "kg" = 1,3 * 1000 \ "g" = 1300 \ "g"` 

`Delta x = |1325 - 1300| = |25| = 25 \ "g"` 

`delta = 25/1325 *100% approx 1,89%` 

 

`c) \ a = 12,4 \ "km" = 12,4 * 1000 "m" = 12400 \ "m"` 

`Delta x = |12500 - 12400| = 100 \ "m"` 

`delta = 100/12500 * 100% approx 0,8%` 

 

`d) \ a = 2 \ "min" = 120 \ "s"` 

`Delta x = |119 - 120| = |-1| = 1 \ "s"` 

`delta = 1/119 *100% approx 0,84%` 

Licznik pewnego ułamka jest o 6 większy

`a)`

`m\ -\ "mianownik ułamka",\ \ \ mne0`

`m+6\ -\ "licznik ułamka"`

 

`(m+6+11)/(m+11)=4/3\ \ \ |*3(m+11)`

`3(m+17)=4(m+11)`

`3m+51=4m+44\ \ \ |-3m-44`

`m=7`

`m+6=7+6=13`

`"Ten ułamek to"\ 13/7.`

 

 

 

`b)`

`m-3\ -\ "licznik ułamka",\ \ \ m-3>0\ \ \ =>\ \ \ m>3`

`m\ -\ "mianownik ułamka"`

 

`(m-3+10)/(m+10)=2*(m-3)/m`

`(m+7)/(m+10)=(2m-6)/m\ \ \ |*m(m+10)`

`m(m+7)=(2m-6)(m+10)`

`m^2+7m=2m^2+20m-6m-60\ \ \ |-m^2-7m`

`m^2+7m-60=0`

`Delta=7^2-4*1*(-60)=49+240=289`

`sqrtDelta=17`

`m_1=(-7-17)/2<3`

`m_2=(-7+17)/2=10/2=5>3`

Odrzucamy pierwszą odpowiedż (jest mniejsza od 3, więc nie spełnia założeń).

 

`m=5`

`m-3=5-3=2`

 

`"Ten ułamek to"\ 2/5.`

        

 

 

Wykaż, że wysokości trójkąta prostokątnego...

Dwie wysokości trójkąta to przyprostokątne, mają punkt wspólny w wierzchołku. Ostatnia wysokość wychodzi z tego wierzchołka i pada na przeciwprostokątną, więc wysokość ta przecina się z pozostałymi wysokościami w tym samym punkcie.

Zaznacz w układzie współrzędnych ...

`a)` 

`A={(x;y)in RR^2:4y-x<=4}` 

`A={(x;y)in RR^2:y<=x/4+1}`  

 

`B={(x;y)in RR^2:x-4y<=4}`   

`B={(x;y)in RR^2:y>=x/4-1}`    

 

`C={(x;y)in RR^2:|x|<=4}`   

`C={(x;y)in RR^2:x<=4\ \ \wedge\ \ \ x>=-4}`    

 

`AcapBcapC-"zbiór oznaczony najciemniejszym odcieniem"`     

Pole części wspólnej zbiorów A, B i C możemy wyrazić jako pole równoległoboku o wysokości 8 i podstawie równej 2.

`P=a*h=2*8=16`  

 

`b)` 

`A={(x;y)in RR^2:|y+2|<=4}`   

`A={(x;y)in RR^2: y <=2\ \ \wedge\ \ \y>=-6}`   

 

`B={(x;y)in RR^2:x>=-2}`    

 

 

`C={(x;y)in RR^2:2x-y<=6}`   

`C={(x;y)in RR^2:y>=2x-6}`    

 

`AcapBcapC-"zbiór oznaczony najciemniejszym odcieniem"`     

Pole części wspólnej zbiorów A, B i C możemy wyrazić jako pole trapezu o wysokości 8 i podstawach równych 6 i 2.

`P=(a+b)/2*h=8/2*8=32`    

Naszkicuj wykres funkcji f ...

`a)` 

`f(x)=-sin(x-pi/6)` 

`x_0-"miejsca zerowe funkcji f"` 

`x_0={7/6pi-kpi:k in CC}` 

 

`b)` 

`f(x)=-sin(x+pi/3)` 

`x_0={5/3pi-kpi:k in CC}` 

 

`c)` 

`f(x)=-sin(x+pi/2)` 

`x_0={pi/2+kpi:k in CC}` 

 

`d)` 

`f(x)=-cos(x-pi/3)` 

`x_0={pi/6-kpi:k in CC}`   

 

`e)` 

`f(x)=-cos(x-pi/6)` 

`x_0={2/3pi+kpi:k in CC}` 

 

`f)` 

`f(x)=-cos(x+pi/4)` 

`x_0={pi/4+kpi:k in CC}` 

Rozwiąż nierówności:

`a)` 

`x^2<1` 

`x<1\ \ \vee\ \ \x> -1` 

 

`x in (-1,1)` 

 

`b)` 

`1/3x^2+4>0` 

`1/3x^2> -4` 

`"Zauważmy że dla każdego x nierówność jest spełniona, bo dowolna liczba podniesiona do kwadratu jest dodatnia lub równa zero."` 

 

`c)` 

`-2x^2>=0` 

`x^2<=0` 

`x<=0\ \ \vee\ \ \x>=0` 

 

`x in {0}` 

 

`d)` 

`x^2>=4` 

`x>=2\ \ \vee\ \ \x<=-2` 

 

`x in "("- infty,-2> cup < 2,+infty")"` 

 

`e)` 

`-4x^2-1<0` 

`-4x^2<1` 

 

`"Spełnione dla każdego x, bo liczba podniesiona do kwadratu jest zawsze dodatnia lub równa zero."` 

`"Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest zawsze ujemny."` 

 

`x in RR` 

 

`f)` 

`x^2+8>=0` 

 

`"Suma dwóch liczb dodatnich jest zawsze większa od zera."` 

 

`x in RR` 

Podaj objętość czworościanu foremnego...

a)

`H=2` 

 

`x=2/3h=2/3*(asqrt3)/2=(asqrt3)/3` 

 

`x^2+H^2=a^2` 

`((asqrt3)/3)^2+2^2=a^2` 

`(3a^2)/9+4=a^2` 

`1/3a^2+4=a^2 \ \ \ |-1/3a^2` 

`4=2/3a^2 \ \ \ |:2/3` 

`4*3/2=a^2` 

`6=a^2` 

`sqrt6=a` 

 

`V=1/3*P_p*H` 

`V=1/3*(a^2sqrt3)/4*2` 

`V=1/3*(6sqrt3)/4*2` 

`V=sqrt3 \ ["cm"^3]` 


b)

`P_c=24sqrt3` 

`4*(a^2sqrt3)/4=24sqrt3` 

`a^2sqrt3=24sqrt3 \ \ \ |:sqrt3` 

`a^2=24` 

`a=sqrt24` 

`a=2sqrt6` 

 

`V=1/3*P_p*H` 

`V=1/3*(a^2sqrt3)/4*H` 

`V=1/3*6sqrt3*H` 

`V=2sqrt3*H` 

 

`x=2/3h=2/3*(asqrt3)/2=(asqrt3)/3=(2sqrt6sqrt3)/3=(2sqrt18)/3=(2*3sqrt2)/3=2sqrt2` 

`x^2+H^2=a^2` 

`(2sqrt2)^2+H^2=(2sqrt6)^2` 

`4*2+H^2=4*6` 

`8+H^2=24 \ \ \ |-8` 

`H^2=16` 

`H=4` 

 

`V=2sqrt3*4` 

`V=8sqrt3 \ ["cm"^3]` 


c)

 

`x=2/3h=2/3*(asqrt3)/2=(asqrt3)/3` 

`x^2+H^2=a^2` 

`((asqrt3)/3)^2+H^2=a^2` 

`(3a^2)/9+H^2=a^2`  

`1/3a^2+H^2=a^2 \ \ \ |*-1/3a^2` 

`H^2=2/3a^2` 

`H=sqrt2/sqrt3a` 

`H=sqrt6/3a` 

 

Zauważmy, że `h_b=(asqrt3)/2` , ponieważ jest to wysokość trójkąta równobocznego o długości boku równej `a` 

 

`H+1=h_b` 

`sqrt6/3a+1=sqrt3/2a \ \ \ |*6` 

`2sqrt6a+6=3sqrt3a \ \ \ |-2sqrt6a` 

`6=3sqrt3a-2sqrt6a` 

`6=a(3sqrt3-2sqrt6) \ \ \ |:3sqrt3-2sqrt6` 

`6/(3sqrt3-2sqrt6)=a` 

Usuwając niewymierność z mianownika otrzymamy:

`6/(3sqrt3-2sqrt6)*(3sqrt3+2sqrt6)/(3sqrt3+2sqrt6)=(18sqrt3+12sqrt6)/((3sqrt3)^2-(2sqrt6)^2)=(18sqrt3+12sqrt6)/(27-24)=` 

`=(18sqrt3+12sqrt6)/3=6sqrt3+4sqrt6` 

 

`a=6sqrt3+4sqrt6` 

`a^2=(6sqrt3+4sqrt6)^2=36*3+2*6sqrt3*4sqrt6+16*6=108+48sqrt18+96=204+48*3sqrt2=204+144sqrt2` 

 

`H=sqrt6/3a=sqrt6/3*(6sqrt3+4sqrt6)=2sqrt18+4/3*6=2*3sqrt2+8=6sqrt2+8` 

 

`V=1/3*P_p*H` 

`V=1/3*(a^2sqrt3)/4*H` 

`V=1/3*((204+144sqrt2)sqrt3)/4*(6sqrt2+8)` 

`V=((204sqrt3+144sqrt6)(6sqrt2+8))/12` 

`V=(12(17sqrt3+12sqrt6)(6sqrt2+8))/12` 

`V=(17sqrt3+12sqrt6)(6sqrt2+8)` 

`V=102sqrt6+136sqrt3+72sqrt12+96sqrt6` 

`V=198sqrt6+136sqrt3+72*2sqrt3` 

`V=(198sqrt6+280sqrt3) \  ["cm"^3]` 

Oblicz przybliżoną wartość ...

W zadaniu korzystamy z twierdzenia o zamianie podstawy logarytmu.

Doprowadzamy logarytm do podstawy 10.

`"a)"\ log_(3)7=log7/log3~~(0,8451)/(0,4771)~~1,77` 

`"b)"\ log_(6)3=log3/log6~~(0,4771)/(0,7781)~~0,61`   

`"c)"\ log_(0,5)9=log9/(log0,5)~~(0,9542)/(-0,301)~~-3,17`   

`"d)"\ log_(2)11=log11/log2~~(1,041)/(0,301)~~3,46` 

`"e)"\ log_(4)5=log5/log4~~(0,699)/(0,602)~~1,16` 

Iloczyn trzech liczb całkowitych ...

`x-"pewna liczba"` 

 

`x(x+3)(x+2)=-30` 

`x(x^2+5x+6)+30=0` 

`x^3+5x^2+6x+30=0` 

`x^2(x+5)+6(x+5)=0` 

`(x+5)(x^2+6)=0` 

 

`x=-5` 

 

`x^2=-6` 

`"Sprzeczność."` 

 

`x+3=-2` 

`x+2=-3` 

 

`"Szukane liczby to -5, -3 i -2."` 

Odległość między punktami wspólnymi prostej y=4x

Szukamy pierwszych współrzędnych tych punktów wspólnych: 

`x^3-2x^2+8=4x\ \ \ \ |-4x`

`x^3-2x^2-4x+8=0`

`x^2(x-2)-4(x-2)=0`

`(x-2)(x^2-4)=0`

`(x-2)(x-2)(x+2)=0`

`(x-2)^2(x+2)=0`

 

`x=2\ \ \ \ vee\ \ \ \ x=-2`

 

`x=2\ \ \ =>\ \ \ y=4*2=8\ \ \ =>\ \ \ A=(2,\ 8)`

`x=-2\ \ \ =>\ \ \ y=4*(-2)=-8\ \ \ =>\ \ \ B=(-2,\ -8)`

 

Możemy skorzystać ze wzoru na odległość (długość odcinka) podanego w tablicach matematycznych:

`|AB|=sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)=sqrt((-2-2)^2+(-8-8)^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =sqrt((-4)^2+(-16)^2)=sqrt(16+256)=sqrt272=sqrt16*sqrt17=4sqrt17\ \ \ \ odp.\ D`