Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy nietypowych funkcji

Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $$x$$ z przedziału $$(- ∞, 2)$$ przybiera ona wartość $$x^2 -3x + 2$$, dla $$x$$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $$x$$ większych od $$4$$ jest to $${1}/{x}$$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $$x$$ z przedziału $$< 3, 4 >$$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$
$$△ = 1$$
$$x_1 = -1$$
$$x_2 = 2$$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $$(-∞, 2)$$
2) Jest stała na przedziale $$(2, 3)$$
3) Maleje na przedziale $$(4, ∞)$$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $$x$$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie $${1}/{x}$$ dla dodatnich $$x$$ jest zawsze większe od $$0$$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $$f(x)$$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba $${1}/{3}$$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $$x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $$f(x)$$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $$x = 3$$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $$x = 10$$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $$3, 10$$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $$(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $$f(x)$$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są wielomiany

`a)`

Wielomian stopnia trzeciego to taki, w którym najwyższa potęga x to 3. 

Ten wielomian to to v(x)

 

`v(x)=x^3-6x^2+4`

`a_3=1`

`a_2=-6`

`a_1=0`

`a_0=4`

 

 

`b)`

Wielomian stopnia piątego to taki, w którym najwyższa potęga x to 5. 

Ten wielomian to w(x). 

`w(x)=-1/6x^5+1/4x^4-1/3x^3+1/2x-1`

`a_5=-1/6`

`a_4=1/4`

`a_3=-1/3`

`a_2=0`

`a_1=1/2`

`a_0=-1`

 

`a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=-1/6+1/4-1/3+0+1/2-1=`

`=-2/12+3/12-4/12+6/12-12/12=-9/12=-3/4`

Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników

`a)`

`{(-3x+2y=-7\ \ \ |*(-1)), (5x+2y=1):}`

`{(3x-2y=7), (5x+2y=1):}\ \ \ |+`

`{(8x=8\ \ |:8), (5x+2y=1):}`

`{(x=1), (5*1+2y=1\ \ |-5):}`

`{(x=1), (2y=-4\ \ |:2):}`

`{(x=1), (y=-2):}`

 

 

`b)`

`{((7x-3y)/5=(5x-y)/3-(x+y)/2\ \ \ |*30), (3(x-1)=5(y+1)):}`

`{(6(7x-3y)=10(5x-y)-15(x+y)), (3x-3=5y+5\ \ |-5y+3):}`

`{(42x-18y=50x-10y-15x-15y), (3x-5y=8):}`

`{(42x-18y=35x-25y\ \ \ |-35x+25y), (3x-5y=8):}`

`{(7x+7y=0\ \ |:7), (3x-5y=8):}`

`{(x+y=0\ \ \ |*(-3)), (3x-5y=8):}`

`{(-3x-3y=0), (3x-5y=8):}\ \ \ |+`

`{(-8y=8\ \ |:(-8)), (-3x-3y=0):}`

`{(y=-1), (-3x-3*(-1)=0):}`

`{(y=-1), (-3x+3=0\ \ \ |+3x):}`

`{(y=-1), (3x=3\ \ |:3):}`

`{(y=-1), (x=1):}`

 

 

 

 

`c)`

`{(2x-3y-1=(x-5y)/2-1/2\ \ \ |*2), (1 3/4y-1/4x=(3y)/2+1/4\ \ \ |*4):}`

`{(4x-6y-2=x-5y-1\ \ \ |-x+5y+2), (7y-x=6y+1\ \ |-6y):}`

`{(3x-y=1), (y-x=1):}`

`{(3x-y=1), (-x+y=1):}\ \ \ |+`

`{(2x=2\ \ |:2), (-x+y=1\ \ |+x):}`

`{(x=1), (y=1+x=1+1=2):}`

 

 

 

`d)`

`{((x-4)(x+4)=(x+2)^2-y), ((2x-y)/2-(x-y)/3=1\ \ \ |*6):}`

`{(x^2-16=x^2+4x+4-y\ \ |-x^2), (3(2x-y)-2(x-y)=6):}`

`{(-16=4x+4-y\ \ |-4), (6x-3y-2x+2y=6):}`

`{(-20=4x-y), (4x-y=6):}`

`{(4x-y=-20\ \ |*(-1)), (4x-y=6):}`

`{(-4x+y=20), (4x-y=6):}\ \ \ |+`

`{(0=26), (4x-y=6):}`

Układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązań.    

     

` `

 

 

Rozłóż wielomian w na czynniki

`a)`

`w(x)=(20x^3-28x^2+8x)(x^4+6x^3+2x^2+12x)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(4x(5x^2-7x+2))*(x^4+2x^2+6x^3+12x)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(4x(5x^2-7x+2))*(x^2(x^2+2)+6x(x^2+2))=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(4x(5x^2-7x+2))*(#((x^2+2))^(Delta=0-8<0)(x^2+6x))=`

`\ \ \ \ \ \ \ =4x#(ul(ul((5x^2-7x+2))))^((**))(x^2+2)(x+6)x=...`

  

 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-7)^2-4*5*2=49-40=9`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(7-3)/(2*5)=4/10=2/5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=(7+3)/(2*5)=10/10=1`

 

 

`\ \ ...=4x*5(x-2/5)(x-1)(x^2+2)(x+6)x=`

`\ \ \ \ \ \ =20x^2(x-2/5)(x-1)(x+6)(x^2+2)`

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

 

 

`b)`

`w(x)=#((-1/4x^4-2x^3-4x^2))^a#((x^3-7x^2-4x+28))^b=...`

 

 

`\ \ \ \ \ \ \ a=-1/4x^4-2x^3-4x^2=-1/4x^2(x^2+8x+16)=-1/4x^2(x+4)^2`

`\ \ \ \ \ \ \ b=x^3-7x^2-4x+28=x^2(x-7)-4(x-7)=(x-7)(x^2-4)=(x-7)(x-2)(x+2)`

 

 

`...=-1/4x^2(x+4)^2(x-7)(x-2)(x+2)`

 `overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

 

 

`c)`

`w(x)=#((7x^4+14x^3-21x^2))^a#((x^5-4x^3-x^2+4))^b=...`

 

 

`\ \ \ \ \ \ \ a=7x^4+14x^3-21x^2=7x^2(x^2+2x-3)=7x^2(x+3)(x-1)`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=2^2-4*1*(-3)=4+12=16`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=4`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(-2-4)/2=-6/2=-3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=(-2+4)/2=2/2=1`

 

`\ \ \ \ \ \ \ b=x^5-4x^3-x^2+4=x^3(x^2-4)-1(x^2-4)=(x^2-4)(x^3-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =(x-2)(x+2)(x-1)#((x^2+x+1))^(Delta=1-4<0)`

 

 

`...=7x^2(x+3)(x-1)(x-2)(x+2)(x-1)(x^2+x+1)=`

`\ \ \ \ \ =7x^2(x-2)(x-1)^2(x+2)(x+3)(x^2+x+1)`

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

 

 

`d)`

`w(x)=#((3x^4-2x^3+1/3x^2))^a#((x^6-1))^b=...`

 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ a=3x^4-2x^3+1/3x^2=1/3x^2(9x^2-6x+1)=1/3x^2(3x-1)^2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ b=x^6-1=(x^2)^3-1^3=(x^2-1)(x^4+x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(x-1)(x+1)(ul(ul(x^4+2x^2+1))-x^2)=(x-1)(x+1)((x^2+1)^2-x^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(x-1)(x+1)#((x^2+1-x))^(Delta=1-4<0)#((x^2+1+x))^(Delta=1-4<0)`

 

 

`...=1/3x^2(3x-1)^2(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)`

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Oblicz

`a)\ (-2)^5=-32`

`\ \ \ (-2)^(-5)=1/(-2)^5=-1/32`

`\ \ \ 2^-5=1/2^5=1/32`

 

`b)\ (1/3)^-2=3^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-2=(-3)^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-3=(-3)^-3=-27`

 

`c)\ (sqrt3)^4=3^2=9`

`\ \ \ (sqrt3)^-2=1/(sqrt3)^2=1/3`

`\ \ \ (sqrt3)^-6=1/(sqrt3)^6=1/3^3=1/27`

 

`d)\ (sqrt2)^6=2^3=8`

`\ \ \ (sqrt2)^7=(sqrt2)^6*sqrt2=2^3*sqrt2=8sqrt2`

`\ \ \ (sqrt2)^-8=1/(sqrt2)^8=1/2^4=1/16`

Wyznacz współczynniki a, b, c we wzorze funkcji kwadratowej

`a)`

`{(f(1)=-2), (f(3)=6), (f(0)=0):}`

`{(a*1^2+b*1+c=-2), (a*3^2+b*3+c=6), (a*0^2+b*0+c=0):}`

`{(a+b+c=-2), (9a+3b+c=6), (c=0):}`

`{(c=0), (a+b=-2), (9a+3b=6\ \ \ |:(-3)):}`

`{(c=0), (a+b=-2), (-3a-b=-2):}`

Dodajemy stronami dwa ostatnie równania:

`{(c=0), (-2a=-4\ \ |:(-2)), (a+b=-2):}`

`{(c=0), (a=2), (2+b=-2\ \ |-2):}`

`{(a=2), (b=-4), (c=0):}`

 

 

 

 

 

`b)`

`{(f(-1)=9), (f(1)=9), (f(0)=-5):}`

`{(a*(-1)^2+b*(-1)+c=9), (a*1^2+b*1+c=9), (a*0^2+b*0+c=-5):}`

`{(a-b+c=9), (a+b+c=9), (c=-5):}`

`{(c=-5), (a-b-5=9\ \ |+5), (a+b-5=9\ \ |+5):}`

`{(c=-5), (a-b=14), (a+b=14):}`

Dodajemy stronami dwa ostatnie równania:

`{(c=-5), (2a=28\ \ |:2), (a+b=14):}`

`{(c=-5), (a=14), (14+b=14\ \ |-14):}`

`{(a=14) , (b=0), (c=-5):}`

 

 

 

 

 

`c)`

`{(f(-2)=-10), (f(4)=-10), (f(1)=2):}`

`{(a*(-2)^2+b*(-2)+c=-10), (a*4^2+b*4+c=-10), (a*1^2+b*1+c=2):}`

`{(4a-2b+c=-10), (16a+4b+c=-10), (a+b+c=2\ \ |-a-b):}`

`{(4a-2b+c=-10), (16a+4b+c=-10), (c=2-a-b):}`

`{(4a-2b+2-a-b=-10\ \ |-2), (16a+4b+2-a-b=-10\ \ \ |-2), (c=2-a-b):}`

`{(3a-3b=-12\ \ |:3), (15a+3b=-12\ \ |:3), (c=2-a-b):}`

`{(a-b=-4), (5a+b=-4), (c=2-a-b):}`

Dodajemy stronami dwa pierwsze równania:

`{(6a=-8\ \ \ |:6),(5a+b=-4\ \ |-5a), (c=2-a-b):}`

`{(a=-8/6=-4/3), (b=-4-5a=-4-5*(-4/3)=-4+20/3=-4+6 2/3=2 2/3), (c=2-(-4/3)-2 2/3=2+1 1/3-2 2/3=2/3):}`

 

 

 

 

`d)`

`{(f(-2)=1) , (f(-4)=-3), (f(0)=-3):}`

`{(a*(-2)^2+b*(-2)+c=1), (a*(-4)^2+b*(-4)+c=-3), (a*0^2+b*0+c=-3):}`

`{(4a-2b+c=1), (16a-4b+c=-3), (c=-3):}`

`{(c=-3), (4a-2b-3=1\ \ |+3), (16a-4b-3=-3\ \ |+3):}`

`{(c=-3), (4a-2b=4\ \ |:2), (16a-4b=0\ \ |:4):}`

`{(c=-3), (2a-b=2), (4a-b=0\ \ |+b):}`

`{(c=-3), (b=4a), (2a-4a=2\ \ |:(-2)):}`

`{(c=-3), (a=-1), (b=4*(-1)=-4):}`

 

Podaj odpowiednie założenia i wykonaj działanie

`a)`

`{(xne0), (2xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ => \ \ \ D=RR\\{0}`

 

`6/x+5/(2x)=12/(2x)+5/(2x)=17/(2x)`

 

 

 

`b)`

`{(3xne0), (4xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`4/(3x)-3/(4x)=16/(12x)-9/(12x)=7/(12x)`

 

 

`c)`

`{(x-2ne0), (2x-4ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne2), (xne2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{2}`

 

`3/(x-2)+x/(2x-4)=6/(2x-4)+x/(2x-4)=(6+x)/(2x-4)`

 

 

 

`d)`

`{(3x+3ne0), (x+1ne0):} \ \ \ =>\ \ \ {(xne-1), (xne -1):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-1}`

 

`x/(3x+3)-1/(x+1)=x/(3x+3)-3/(3x+3)=(x-3)/(3x+3)`

 

 

`e)`

`{(x-3ne0), (4x-12ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne3), (xne3):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{3}`

 

`(x+1)/(x-3)+(2x-5)/(4x-12)=(4x+4)/(4x-12)+(2x-5)/(4x-12)=(4x+4+2x-5)/(4x-12)=(6x-1)/(4x-12)`

 

 

`f)`

`{(3x+6ne0), (x+2ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne-2), (xne-2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-2}`

 

`(2x-1)/(3x+6)-(x-1)/(x+2)=(2x-1)/(3x+6)-(3x-3)/(3x+6)=((2x-1)-(3x-3))/(3x+6)=(2x-1-3x+3)/(3x+6)=(-x+2)/(3x+6)`

Podaj odpowiednie założenia i wykonaj dzielenie

`a)`

`{(4xne0), (2x^2ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`3/(4x):1/(2x^2)=3/(4strikex)*2x^strike2=(6x)/4=(3x)/2`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (3x)/2=(3*(-1/2)):2=-3/2*1/2=-3/4`

 

 

 

`b)`

`{(5x^2ne0), (10xne0):} \ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`6/(5x^2):3/(10x)=strike6^2/(5x^2)*(10x)/strike3^1=(20x)/(5x^2)=4/x`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ 4/x=4/(-1/2)=4:(-1/2)=4*(-2)=-8`

 

 

 

 

`c)`

`{(x^2ne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`(4x+2)/(x^2):2/x=(strike2*(2x+1))/(x^2)*x/strike2^1=((2x+1)*x)/x^2=(2x+1)/x`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (2x+1)/(x)=(2*(-1/2)+1)/(-1/2)=0`

 

 

 

`d)`

`{(xne0), (x^2ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`(6x-9)/x:3/x^2=(strike3*(2x-3))/x*x^2/strike3^1=((2x-3)*x^2)/x=(2x-3)x`

 

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (2x-3)*x=(2*(-1/2)-3)*(-1/2)=(-1-3)*(-1/2)=(-4)*(-1/2)=2`

 

 

 

`e)`

`{(x-4ne0), (2x-8ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne4), (xne4):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{4}`

 

`x/(x-4):3/(2x-8)=x/strike(x-4)*(2*strike((x-4)))/3=(2x)/3`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (2x)/3=(2*(-1/2))/3=-1/3`

 

 

 

`f)`

`{(3x-1ne0), (2-6xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne1/3), (xne2/6):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{1/3}`

 

`(20x)/(3x-1):5/(2-6x)=(strike20^4x)/strike(3x-1)*(-2*strike((3x-1)))/strike5^1=-8x`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ -8x=-8*(-1/2)=4`

          

Podaj odpowiednie założenia i wykonaj działanie

`a)`

`x-2ne0\ \ \ =>\ \ \ x ne2\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{2}`

 

`x/(x-2)+(2-2x)/(x-2)=(x+2-2x)/(x-2)=(-x+2)/(x-2)=((-1)*(x-2))/(x-2)=-1`

 

 

 

`b)`

`{(2x-1ne0), (1-2xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne1/2), (xne1/2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{1/2}`

  

`(x+3)/(2x-1)+(3x+1)/(1-2x)=(x+3)/(2x-1)+(3x+1)/((-1)*(2x-1))=(x+3)/(2x-1)+(-3x-1)/(2x-1)=(x+3-3x-1)/(2x-1)=(-2x+2)/(2x-1)`

 

 

`c)`

`{(x+4ne0), (2x+8ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne-4),(xne-4):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-4}`

 

`(-x)/(x+4)-(3-x)/(2x+8)=(-2x)/(2x+8)-(3-x)/(2x+8)=(-2x-(3-x))/(2x+8)=(-2x-3+x)/(2x+8)=(-x-3)/(2x+8)`

 

 

 

`d)`

`{(2-3xne0), (6x-4ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne2/3), (xne4/6):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{2/3}`

 

`2/(2-3x)-(1+x)/(6x-4)=(-4)/(6x-4)-(1+x)/(6x-4)=(-4-(1+x))/(6x-4)=(-4-1-x)/(6x-4)=(-x-5)/(6x-4)`

 

 

`e)`

`{(2x+4ne0), (3x+6ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne-2), (xne-2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-2}`

 

`(x-1)/(2x+4)+(x+7)/(3x+6)=(3x-3)/(6x+12)+(2x+14)/(6x+12)=(3x-3+2x+14)/(6x+12)=(5x+11)/(6x+12)`

 

 

`f)`

`{(10x-15ne0), (2x-3ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne 15/10), (xne3/2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{3/2}`

 

`(2x)/(10x-15)-(x-2)/(2x-3)=(2x)/(10x-15)-(5x-10)/(10x-15)=(2x-(5x-10))/(10x-15)=(2x-5x+10)/(10x-15)=(-3x+10)/(10x-15)`

 

Klub zrzeszający dwunastu hodowców gołębi

Wiemy, że średnia ilość gołębi to 50. Liczba członków klubu wynosi 12. Oznacza to, że po dodaniu ilości gołębi pierwszego, drugiego, ..., dwunastego członka i podzieleniu otrzymanej sumy przez 12 otrzymano 50. 

`(x_1+x_2+...+x_12)/12=50` 

 

Jeśli więc pomnożymy 50 razy 12 to otrzymamy sumę liczby wszystkich gołębi tych hodowców (na początku):

`x_1+x_2+...+x_12=50*12` 

`x_1+x_2+...+x_12=600` 

 

Wiemy, że na początku było 600 gołębi.

Jeden z hodowców sprzedał połowę swoich gołębi i zostało mu 36 gołębi. Jeśli sprzedał połowę, to musiał sprzedać tyle samo, ile mu zostało, a więc 36. Liczba wszystkich gołębi zmniejszyła się więc o 36. Liczba hodowców nie zmieniła się (nadal jest równa 12). Możemy obliczyć, ile gołębi przypada teraz średnio na jednego hodowcę:

`(600-36)/12=600/12-36/12=50-3=47`   

Oblicz długość przekątnych AC ...

`a)` 

`"Korzystając ze związków w trójkącie o kątach"\ 30^@,60^@,90^@\ "otrzymujemy:"` 

`"ul(|AC|=2|DC|=4`  

`"Oznaczmy punkt przecięcia przekatnych przez O."` 

`"Kąty wierzchołkowe są sobie równe czyli trójkąty DCO oraz BCO są prostokątne."` 

`"Co więcej trójkąt DCO ma jeden z kątów równy"\ 30^@\ "(kąt przy wierzchołku D").` 

`"Z własności trójkąta prosotokątnego o kątach"\ 30^@, 60^@, 90^@\ "otrzymujemy:"`   

`|CO|=1/2|DC|=1`        

`|DO|=sqrt(3)` 

 

`"Z tw. Pitagorasa:"` 

`|BO|^2=sqrt(2)^2-1^2=1` 

`|BO|=1` 

`ul(|DB|=sqrt(3)+1`  

 

`b)` 

`"Z tw. Pitagorasa:"` 

`|AC|^2=8^2+(10+6)^2=64+256=320` 

`ul(|AC|=8sqrt(5)`  

 

`x^2=8^2+6^2=100` 

`x=10` 

`"Oznaczmy przez O punkt przecięcia przekątnych."` 

`|BO|^2=10^2-(1/2*8sqrt(5))^2=100-80=20` 

`|BO|=2sqrt(5)` 

 

`"Zauważmy, że trójkąt DOC jest równoramienny."` 

`|DO|=1/2|AC|=4sqrt(5)` 

`|DB|=4sqrt(5)+2sqrt(5)=ul(6sqrt(5)` 

 

`c)` 

`"Oznaczmy przez O punkt przecięcia przekątnych."` 

`"Zauważmy, że trójkąt COB jest równoboczny. Wynika to z faktu, że na dowolnym trójkącie prostokątnym możemy opisać okrąg."` 

`|OB|=12` 

`|DB|=ul24`  

 

`|CO|=12` 

`"Z własności trójkątów prostokatnych o boku"\ 30^@:` 

`|AO|=2*12=24` 

 

`|AC|=12+24=ul36` 

 

`d)` 

`"Oznaczmy przez O punkt przecięcia przekątnych czworokąta, a przez X"` 

`"punkt przecięcia wysokości poprowadzonej z B i przekątnej AC."`     

`"Z własności trójkąta prostokatnego, równoramiennego otrzymujemy:"` 

`|OB|=4sqrt(2)` 

`|OX|=4` 

`|XC|^2=5^2-4^2=9` 

`|XC|=3` 

 

`"Zauważmy, że trójkat DAO jest prostokątny i równoramienny."` 

`|AD|=y` 

`(8,5)^2=y^2+(y+4sqrt(2))^2` 

`289/4=y^2+y^2+8ysqrt(2)+32` 

`8y^2+32ysqrt(2)+128-289=0` 

`8y^2+32ysqrt(2)-161=0` 

`Delta=7200` 

`sqrt(Delta)=60sqrt(2)` 

 

`y_1=(-32sqrt(2) -60sqrt(2))/16 <0` 

`y_2=(-32sqrt(2)+60sqrt(2))/16=7/4* sqrt(2)` 

`ul(|BD|=7/4*sqrt(2)+4sqrt(2)=(23sqrt(2))/4` 

 

`|AO|=ysqrt(2)=7/4*sqrt(2)*sqrt(2)=7/2` 

`ul(|AC|=7/2+7=10 1/2`