Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy nietypowych funkcji

Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $$x$$ z przedziału $$(- ∞, 2)$$ przybiera ona wartość $$x^2 -3x + 2$$, dla $$x$$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $$x$$ większych od $$4$$ jest to $${1}/{x}$$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $$x$$ z przedziału $$< 3, 4 >$$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$
$$△ = 1$$
$$x_1 = -1$$
$$x_2 = 2$$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $$(-∞, 2)$$
2) Jest stała na przedziale $$(2, 3)$$
3) Maleje na przedziale $$(4, ∞)$$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $$x$$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie $${1}/{x}$$ dla dodatnich $$x$$ jest zawsze większe od $$0$$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $$f(x)$$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba $${1}/{3}$$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $$x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $$f(x)$$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $$x = 3$$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $$x = 10$$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $$3, 10$$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $$(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $$f(x)$$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dwie siostry kupiły wspólnie

`a)` 

Starsza siostra wybiera dla siebie 4 z 10 długopisów, młodsza siostra dostaje pozostałe 6 długopisów (młodsza siostra bierze to, co zostało - nie ma wyboru):

`((10),(\ 4))=(10!)/(4!*6!)=(strike(6!)*7*8*9*10)/(4!*strike(6!))=(7*strike8*9*10)/(1*strike2*3*strike4)=(7*strike9^3*10)/strike3^1=210` 

 

Zauważmy, że taki sam wynik uzyskalibyśmy, gdyby najpierw młodsza siostra dostała 6 z 10 długopisów, a starsza siostra zabrałaby cztery pozostałe.

 

 

 

`b)` 

Obydwie mają dostać tyle samo długopisów, więc każda z sióstr ma dostać 5 długopisów. Młodsza siostra wybiera  dla siebie 5 długopisów, starsza siostra zabieta pozostałle 5 długopisów.

`((10),(\ 5))=(10!)/(5!*5!)=(strike(5!)*6*7*8*9*10)/(strike(5!)*5!)=(6*7*8*9*strike10)/(1*strike2*3*4*strike5)=(6*7*strike8^2*strike9^3)/(strike3*strike4)=252`       

Dany jest okrąg o środku...

Wszystkie kąty w trójkącie równobocznym mają miary 60°.

Kąt oparty na średnicy ma miarę 90°.

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają taką samą miarę.

 

`beta + gamma + alpha = 30^o + 120^o + 30^o = 180^o` 

Odpowiedź C

Uzasadnij, że jeśli trójmian ...

`y=x^2+bx+c` 

 

`"Zakładam, że powyższy trójmian ma pierwiastki"\ x_1, x_2.` 

`"Wzory Viete'a:"` 

`x_1+x_2=(-b)/a=-b`  

`x_1*x_2=c/a=c` 

 

`y=x^2+bx+c=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2`

Ciąg jest opisany wzorem ogólnym...

`a_n=(-1)^(2n-1)/n^2` 

 

`a_7=(-1)^(2*7-1)/7^2` 

`a_7=(-1)^13/49` 

`a_7=-1/49` 

 

`a_11=(-1)^(2*11-1)/11^2` 

`a_11=(-1)^21/121` 

`a_11=-1/121` 

 

`a_14=(-1)^(2*14-1)/14^2` 

`a_14=(-1)^27/196` 

`a_14=-1/196` 

 

Odp. C

 

Dwóch pasterzy ma razem 585 owiec

x - tyle owiec ma pierwszy pasterz

y - tyle owiec ma drugi pasterz

x-23 - tyle owiec będzie miał pierwszy pasterz, jeśli sprzeda drugiemu 23 owce

y+23 - tyle owiec będzie miał drugi pasterz, jeśli kupi od pierwszego 23 owce

 

`{(x+y=585\ \ \ |-x), (4(x-23)=y+23):}`

`{(y=585-x), (4x-92=585-x+23):}`

`{(y=585-x), (4x-92=608-x\ \ \ |+92+x):}`

`{(y=585-x), (5x=700\ \ \ |:5):}`

`{(y=585-x), (x=140):}`

`{(y=585-140=445), (x=140):}`

 

W trójkącie ABC boki mają długości odpowiednio..

Narysuj trójkąt o podanych wymiarach (narysuj odcinek o długości jednego boku, potem z jednego końca odmierz kolejny bok a z drugiego końca ostatni bok. Punkt przecięcia wyznacza trzeci wierzchołek) i sprawdź czy jest on prostokątny (wtedy środek okręgu jest na przeciwprostokątnej), ostrokątny (środek jest wewnątrz trójkąta) czy rozwartokątny (środek okręgu jest na zewnątrz trójkąta).

Niech x=a-2b i y=3a+b....

`a)\ 3x^2-5x+2=3(a-2b)^2-5(a-2b)+2=3(a^2-4ab+4b^2)-5a+10b+2=3a^2-12ab+12b^2-5a+10b+2`

`b)\ -4y^2-7y-1=-4(3a+b)^2-7(3a+b)-1=-4(9a^2+6ab+b^2-21a-7b-1=-36a^2-24ab-4b^2-21a-7b-1`

`c)\ 2x^2-xy+y^2=2(a-2b)^2-(a-2b)(3a+b)+(3a+b)^2=2(a^2-4ab+4b^2)-(3a^2-6ab+ab-2b^2)+9a^2+6ab+b^2=2a^2-3a^2+9a^2-8ab+5ab+6ab+8b^2+2b^2+b^2=8a^2+3ab+11b^2`

Wszystkie rozwiązania równania

`x(2x+4)(2x-5)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ 2x+4=0\ \ \ vee \ \ \ 2x-5=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x=-2\ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=5/2=2 1/2`

 

`odp.\ C`

We wspólnym układzie współrzędnych naszkicuj...

Z definicji wartości bezwzględnej i własności funkcji `y=cosx` wiemy, że:

`|cosx|={(cosx,\ "dla"\  x in (-pi/2,\ pi/2)),(-cos x,\ "dla"\ x in (-3/2pi,-pi/2)uu(pi/2,\ 3/2pi)):}`  

Stąd wykres funkcji `f(x)=|cosx|-1` otrzymamy, przesuwając wykres funkcji `y=|cosx|` o wektor `vecu=[0,-1].` 

`"a)"` Funkcje przyjmują tę samą wartość w danym przedziale dla `x in {  -pi, -pi/2,\ 0,\ pi,\ 3/2pi}.`  

`"b)"` Funkcja `g` przyjmuje większe wartości niż funkcja `f` dla `x in << -3/2pi,-pi)uu (0,\ pi).` 

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych ...

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|AC|^2=6^2+4^2=36+16=52` 

`|AC|=2sqrt13` 

 

`|DB|^2=6^2-4^2=36-16=20` 

`|DB|=2sqrt5` 

 

`tg\ alpha=4/6` 

`ctg \ alpha=6/4` 

`sinalpha=4/(2sqrt13)=(4sqrt13)/26=(2sqrt13)/13` 

`cosalpha=6/(2sqrt13)=(6sqrt13)/26=(3sqrt13)/13` 

 

`tg\ beta=4/(2sqrt5)=(4sqrt5)/10=(2sqrt5)/5` 

`ctg\ beta=1/(tg\ beta)=5/(2sqrt5)=(5sqrt5)/10=sqrt5/2`  

`sin beta=4/6=2/3` 

`cos beta=(2sqrt5)/6=sqrt5/3`