Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy nietypowych funkcji

Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $$x$$ z przedziału $$(- ∞, 2)$$ przybiera ona wartość $$x^2 -3x + 2$$, dla $$x$$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $$x$$ większych od $$4$$ jest to $${1}/{x}$$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $$x$$ z przedziału $$< 3, 4 >$$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$
$$△ = 1$$
$$x_1 = -1$$
$$x_2 = 2$$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $$(-∞, 2)$$
2) Jest stała na przedziale $$(2, 3)$$
3) Maleje na przedziale $$(4, ∞)$$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $$x$$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie $${1}/{x}$$ dla dodatnich $$x$$ jest zawsze większe od $$0$$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $$f(x)$$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba $${1}/{3}$$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $$x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $$f(x)$$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $$x = 3$$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $$x = 10$$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $$3, 10$$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $$(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $$f(x)$$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zbadaj, czy liczby...

Korzystamy z zależności:

`a_k^2=a_(k-1)*a_(k+1)` 

 

`(1/(2-sqrt2))^2=(sqrt2+1)/(sqrt2-1)*1/2` 

`1/(4-4sqrt2+2)=(sqrt2+1)/(2sqrt2-2)` 

`1/(6-4sqrt2)=(sqrt2+1)/(2sqrt2-2)` 

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:

`2sqrt2-2=(sqrt2+1)(6-4sqrt2)` 

`2sqrt2-2=6sqrt2-4*2+6-4sqrt2` 

`2sqrt2-2=2sqrt2-2` 

 

Odp. Są to trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.

 

Na rysunku obok przedstawiono ...

Korzystamy z rysunku zamieszczonego w podręczniku.

`"a)"\ u(x)-w(x)<0`

Popatrzmy jak zmienia się znak funkcji u(x)-w(x) w przedziałach: (-∞,-2), {-2}, (-2,-1), {-1} (-1,2), {2}, (2,3), {3}, (3,+∞).


(-oo,-2)

-2

(-2,-1)

-1

(-1,2)

2

(2,3)

3

(3,+oo)

-

0

+

0

-

0

+

0

-

W przedziałach (-,-2), (-1,2) oraz (3,+∞) wartości funkcji u(x) są mniejsze od wartości funkcji w(x). Odejmując w(x) od u(x) otrzymamy więc wartości ujemne.

Dla argumentów: -2, -1 2 oraz 3 wartości obu funkcji są takie same, więc wykonując odejmowanie u(x)-w(x) otrzymamy 0.

W przedziałach (-2,-1) oraz (2,3) wartości funkcji u(x) są większe od wartości funkcji w(x). Odejmując w(x) od u(x) otrzymamy wartości dodatnie.

Zbiór rozwiązań nierówności:

`u(x)-w(x)<0` 

są:

`x\in (-oo,-2)\ \cup\ (-1,2)\ \cup\ (3,+oo)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ u(x)*w(x)>0`

Popatrzmy jak zmienia się znak funkcji u(x)w(x) w przedziałach: (-∞,-1), {-1}, (-1,1), {1} (1,3), {3} (3,+∞).

(Przedziały dobieramy tak, aby obie wartości były dodatnie, obie byłu ujemne lub jedna ujemna a druga dodatnia oraz jedna (lub obie) przyjmowały wartość 0)


(-oo,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,3)

3

(3,+oo)

+

0

-

0

+

0

+

W przedziałach (-,-1), (1,3) oraz (3,+∞) wartości funkcji u(x) oraz w(x) są albo równocześnie ujemne albo równoczeńsnie dodatnie.

Wiemy, że iloczyn dwóch liczb dodatnich lub dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią. Stąd wartość funkcji u(x)w(x) jest liczbą dodatnią.

Dla argumentów: -1 1 oraz 3 wartości obu lub jednej z funkcji są równe 0, więc iloczyn jest równy zero. Stąd wartości funkcji u(x)w(x) jest 0.

W przedziale (-1,1) wartości funckji w(x) są dodatnie, a wartościa funkcji u(x) są ujemne. Stąd wartości funkcji u(x)w(x) w tym przedziale są ujemne (jako iloczyn liczby ujemnej i dodatniej)

Zbiór rozwiązań nierówności:

`u(x)*w(x)>0` 

są:

`x\in (-oo,-1)\ \cup\ (1,3)\ \cup\ (3,+oo)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ u(v)*w(x)<=0`  

Korzystamy z powyższej tabelki (z tabelki dla przykładu b)).

Z tabelki odczytujemy dla jakich argumentów funkcja u(x)w(x) ma wartości mniejsze lub równe 0.

Zbiór rozwiązań nierówności:

`u(x)*w(x)<=0` 

są:

`x\in <<-1,1>>\ \cup\ {3}` 

Punkty A, B, C, D należą do okręgu o środku ...

`"Zauważmy, że:"` 

`/_BOC=180^2-80^@=100^@` 

`"Kąty"\ /_BDC\ "oraz"\ /_BOC\ " są oparte na tym samym łuku. Kąt"\ /_BDC\ "jest kątem wpisanym, czyli:""` 

{premium}

`/_BDC=1/2/_BOC=50^@`   

`"Wyznaczmy ostatni nieznany kąt w trójkącie DCE, gdzie E to punkt przecięcia się przekątnych."`  

`/_DEC=180^@-70^@-50^@=60^@` 

`P_(ABCD)=1/2*6*10*sin 60^@=ul(15sqrt3`  

 

Na rysunku obok przedstawiono ...

Wzór wykresu to:

`f(x)=60/x\ \ \ \ "dla"\ x>0`

Aby współrzędne punktów, które należą do wykresu były liczbami całkowitymi, musimy za x przyjmować dzielniki liczby 60.

Dzielniki liczby 60 to:  1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Tworzymy tabelkę:

x

1

2

3

4

5

6

10

12

15

20

30

60

y

60

30

20

15

12

10

6

5

4

3

2

1

 

Punkty określone w tabeli są punktami, które należą do wykresu funkcji f(x) oraz mają obie współrzędne całkowite.

Oblicz sin...

`sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta` 

`cos(alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta` 

 

`a) \ cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha = 1 - (-sqrt3/2)^2 = 1 - 3/4 = 1/4` 

`|cos alpha| = 1/2` 

`"Dla" \ alpha in (3/2pi , 2pi) \ \ \ cos alpha > 0` 

`cos alpha = 1/2` 

 

`tg \ beta = -1` 

`sin beta /cos beta = -1` 

`sinbeta = -cosbeta` 

 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 beta + cos^2 beta = 1` 

`(-cos beta)^2 + cos^2 beta = 1` 

`cos^2 beta + cos^2 beta = 1` 

`2cos^2 beta = 1` 

`cos^2 beta = 1/2` 

`|cos beta| = sqrt2/2` 

`"Dla" \ beta in (pi/2 , pi) \ \ \ cos beta < 0` 

`cos beta = -sqrt2/2` 

 

`sin beta = -(-sqrt2/2) = sqrt2/2` 

 

`sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta = -sqrt3/2 * (-sqrt2/2) + 1/2 * sqrt2/2 = sqrt6/4 +sqrt2/4 = (sqrt6+sqrt2)/4` 

`cos(alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta = 1/2 * (-sqrt2/2) + (-sqrt3/2) *sqrt2/2 = -sqrt2/4 -sqrt6/4 = -(sqrt2+sqrt6)/6` 

 

`b) \ cos alpha = 1/4` 

`sin^2 alpha = 1 - cos^2 alpha = 1 - (1/4)^2 = 1 - 1/16 = 15/16`  

`|sin alpha| = sqrt15/4` 

`"Dla" \ alpha in (-pi/2 , 0) \ \ \ sin alpha < 0` 

`sin alpha = -sqrt15/4` 

 

`ctg \ beta = 1/3` 

`cos beta/sin beta = 1/3` 

`sin beta =3cosbeta` 

 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 beta + cos^2 beta = 1` 

`(3cos beta)^2 + cos^2 beta = 1` 

`10cos^2beta = 1` 

`cos^2 beta = 1/10` 

`|cos beta| = sqrt10/10` 

`"Dla" \ beta in (pi , 3/2pi) \ \ \ cos beta < 0` 

`cos beta = -sqrt10/10` 

 

`sin beta = 3*(-sqrt10/10) = -(3sqrt10)/10` 

 

`sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta = -sqrt15/4 * (-sqrt10/10) + 1/4 * (-(3sqrt10))/10 = sqrt150/40 - (3sqrt10)/40 = (5sqrt6-3sqrt10)/10` 

`cos(alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta = 1/4 * (-sqrt10/10) -sqrt15/4 * (-(3sqrt10))/10 = -sqrt10/40 + (3sqrt150)/40 = (3*5sqrt6-sqrt10)/40 = (15sqrt6-sqrt10)/40` 

Oblicz...

`a) \ 6 + 11 + 16 + . . . + 101`

`a_1 = 6`  

`r = 5` 

`a_n = 6 + (n-1)*5 = 101`

`6 + 5n -5 = 101`

`5n + 1 = 101`

`5n = 100`

n = 20

 

`S_20 = (6+101)/2*20 = 107 * 10 = 1070`    

 

 

`b) \ -4-7-10- . . . - 37`

`a_1 = -4`

`r=-3`

`a_n = -4 + (n-1)*(-3) = -37`

`-4 - 3n + 3 = -37`

`-3n -1 = -37` 

`-3n = -36`

`n = 12`

 

`S_12 = (-4-37)/2 * 12 = -41*6=-246`

 

 

`c) \ 1/3 + 4/3 + 7/3 + . . . + 25/3`

`a_1 = 1/3`

`r=1`

`a_n = 1/3 + (n-1) = 25/3`

`1/3 + n - 1 = 25/3` 

`n - 2/3 = 25/3`

`n = 27/3`

`n = 9`

 

`S_9 = (1/3 +25/3)/2 * 9 = 26/6 * 9 = 13/3 * 9 = 13 * 3 = 39` 

 

 

`d) \ -4,2  - 4,4 - 4,6 - . . . - 27,2`

`a_1 = -4,2`

`r = -0,2`

`a_n = -4,2 + (n-1)*(-0,2) = -27,2`

`-4,2 -0,2n + 0,2 = -27,2`

`-0,2n -4 = -27,2`

`-0,2n = -23,2 \ \ \ |*(-5)` 

`n = 116`

 

`S_116 = (-4,2 -27,2)/2 * 116 = -31,4*58 = -1821,2`  

Oblicz.

`"a)"\ (3^-2)^2=3^-4=(1/3)^4=1/81`  

`"b)"\ (1/2)^-4=2^4=16` 

`"c")\ 2^-3*(1/2)^-3=2^(-3)*2^3=2^(-3+3)=2^0=1` 

`"d)"\ 9^3*3^-5=(3^2)^3*3^(-5)=3^6*3^(-5)=3^(6+(-5))=3^1=3` 

`"e)"\ (2^-3*4^-2)/(2^-6)=(2^-3*(2^2)^-2)/(2^-6)=(2^-3*2^-4)/2^-6=2^-7/2^-6=2^-1=1/2` 

`"f)"\ 10^-2/(5^-6*25^2)=((2*5)^-2)/(5^-6*(5^2)^2)=(2^-2*5^-2)/(5^-6*5^4)=(2^-2*strike(5^-2))/(strike(5^-2))=2^-2=(1/2)^2=1/4` 

`"g)"\ (6^4*9^-4)/(4^2*12^-1)=(2^4*3^4*(3^2)^-4)/((2^2)^2*3^-1*4^-1)=(strike(2^4)*3^4*3^-8)/(strike(2^4)*3^-1*(2^2)^-1)=3^-4/(3^-1*2^-2)=3^-3/2^-2=((1/3)^3)/((1/2)^2)=(1/27)/(1/4)=4/27`       

`"h)"\ (166-2*1256-3)/(10^-4*25^-2)=((2^4)^-2*(5^3)^-3)/(2^-4*5^-4*(5^2)^-2)=(2^-8*5^-9)/(2^-4*5^-4*5^-4)=(2^-8*5^-9)/(2^-4*5^-8)=2^-4*5^-1=(1/2)^4*1/5=1/16*1/5=1/80` 

Uzasadnij, że...

Rysunek poglądowy:

Kąty przyległe sumują się do kąta półpełnego, a więc:

`a) \ |/_CBD| = 180^o - alpha = |/_ EDA|`   

 

b) Zauważmy, że:

`|CB| = |AD|` 

`|/_CBD| = |/_EDA|` 

`|BD| = |DE|` 

a więc trójkąty ADE i CBD są przystające na podstawie cechy bok-kąt-bok.  

 

Z tego wynika, że:

`|AE| = |CD|` 

Niech x = a + b i y = a - b...

`a) \ 3x^2 + y^2` 

`3*(a+b)^2 + (a-b)^2 = 3*(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 3a^2 + 6ab + 3b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 4a^4 + 4ab + 4b^2`  

 

`b) \ x^2 - xy - 4y^2` 

`(a+b)^2 - (a+b)(a-b) - 4*(a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - b^2) - 4(a^2-2ab+b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2 - 4a^2 + 8ab - 4b^2 =` 

`= -4a^2+ 10ab -2b^2` 

 

`c) \ -5xy - 2x^2 - 3y^2 = -(5xy+2x^2+3y^2)`  

`- (5(a+b)(a-b) + 2*(a+b)^2 + 3*(a-b)^2) = -(5(a^2 - b^2) + 2*(a^2+2ab+b^2)+3(a^2-2ab+b^2)) =` 

`=-(5a^2 - 5b^2 + 2a^2 + 4ab + 2b^2 + 3a^2 - 6ab + 3b^2) = -(10a^2 -2ab) = -10a^2 + 2ab` 

Dany jest wykres funkcji

W podpunkcie a musimy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

W podpunkcie b - o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

W podpunkcie c - o 3 jednostki w dół wzdłuż osi OY.