Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy nietypowych funkcji

Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $x$ z przedziału $(- ∞, 2)$ przybiera ona wartość $x^2 -3x + 2$, dla $x$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $x$ większych od $4$ jest to ${1}/{x}$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $x$ z przedziału $< 3, 4 >$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$x^2 - 3x + 2 = 0$
$△ = 1$
$x_1 = -1$
$x_2 = 2$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $(-∞, 2)$
2) Jest stała na przedziale $(2, 3)$
3) Maleje na przedziale $(4, ∞)$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $x$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie ${1}/{x}$ dla dodatnich $x$ jest zawsze większe od $0$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $f(x)$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba ${1}/{3}$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $f(x)$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $x = 3$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $x = 10$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $3, 10$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $f(x)$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wysokość budynku, którego ...

 

Oznaczmy wysokość budynku jako h.

Aby obliczyć wysokość budynku skorzystamy z tgα:

  {premium}  

Podstawiamy dane:

 

Odczytujemy z tablic wartość tg58o:

 

 

 

 

 

Oznaczmy wysokość budynku jako h.

Aby obliczyć wysokość budynku skorzystamy z tgα:

  

Podstawiamy dane:

 

Odczytujemy z tablic wartość tg39o:

 

 

Piramidę zbudowano ...

 

 

  

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Włącz czynnik pod pierwiastek

{premium}  

 

 

 

 

Narysuj dowolny okrąg o środku O i zaznacz...

a)

b)

{premium}

c)

d)

e)

f)

Rozłóż wielomian na czynniki.

 

 

 

     {premium}

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

   

Pole wycinka koła wyznaczonego przez...

Ze wzoru na pole wycinka mamy:

 

A ze wzoru na długość łuku mamy:

 

Wyznaczamy z powyższego wzoru  {premium}  

 

 

Wstawiamy tak wyznaczone  do pierwszego wzoru:     

 

 

   

 

 

   

Dane są dwie funkcje liniowe

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji f, a potem do wykresu funkcji g, aby łatwo było narysować proste, które są wykresami tych funkcji: 

 

 

Odcinkiem czerwonym na osi OX zaznaczono odpowiedź do b). 

Uzasadnij równość dla dowolnego kąta...

a)

 

 


b)

{premium}  

 


c)

 

 

 


d)

 

 

 

 

 

Wobec powyższego  

Która z podanych liczb jest większa?

 

{premium}

 

 

 

Pierwsza liczba jest mniejsza niż -0,4, a druga liczba jest większa niż -0,3.

Czy poniższa funkcja jest jednomianem

{premium}