Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy nietypowych funkcji

Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $$x$$ z przedziału $$(- ∞, 2)$$ przybiera ona wartość $$x^2 -3x + 2$$, dla $$x$$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $$x$$ większych od $$4$$ jest to $${1}/{x}$$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $$x$$ z przedziału $$< 3, 4 >$$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$
$$△ = 1$$
$$x_1 = -1$$
$$x_2 = 2$$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $$(-∞, 2)$$
2) Jest stała na przedziale $$(2, 3)$$
3) Maleje na przedziale $$(4, ∞)$$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $$x$$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie $${1}/{x}$$ dla dodatnich $$x$$ jest zawsze większe od $$0$$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $$f(x)$$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba $${1}/{3}$$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $$x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $$f(x)$$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $$x = 3$$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $$x = 10$$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $$3, 10$$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $$(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $$f(x)$$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ nierówności.

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

    

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

   

  

 

    

  

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

  

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

Dane są okrąg o środku O ...

 

 

  

  

 

`|DB|=sinalpha`  

 

 

 

`|DO|=cosalpha` 

 

 

 

    

  

 

 

`"Trójkąty ABO i ACO maja wspólny kąt przy wierzchołku A oraz każdy z nich zawiera kąt prosty."` 

 

    

  

 

`|BO|/|CB|=|AB|/|BO|` 

`1/|CB|=|AB|/1=|AB|` 

      

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej

Jeśli funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość, to jej ramiona są skierowane w górę, czyli współczynnik a jest dodatni. 

Najmniejszsa wartość osiągana jest w wierzchołku i wynosi ona 0.

Jeśli osią symetrii jest prosta x=-3, to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa -3.

 

 

 

Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o rzędnej (współrzędna y) równej 1 1/8, czyli: 

 

 

 

Przedstaw wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `(-2)/(-1/2)=2:1/2=2*2=4` 

 

 

 

 

 

 `36-32=4` 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `(-20/7)^2+20/7*15=` 

 

 

 `(20/7-50/7)/(10/7)=` `(-30/7)/(10/7)=` `(-3*10/7)/(10/7)=-3` 

 `(70/7)/(10/7)=` `(7*10/7)/(10/7)=7` 

   

Na 42-kilometrowym torze gokartowym...

 - droga jaką pokonał Adam

 - droga jaką pokonał Wojtek

 

 - prędkość z jaką poruszał się Adam

 - prędkość z jaką poruszał się Wojtek

 

 - czas, w którym pokonał trasę Adam

 - czas, w którym pokonał trasę Wojtek

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiając tą zależność do pierwszego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź:

Prędkość z jaką poruszał się Adam:  

Prędkość z jaką poruszał się Wojtek:  

Czas, w którym pokonał trasę Adam:  

Czas, w którym pokonał trasę Wojtek:  

 

Dane są wielomiany...

Uporządkujmy wielomiany:

 

 

 

 

Porównajmy tylko najwyższe potęgi poszczególnych wielomianów:

Najwyższymi potęgami są

   

 

 

 

a) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

 

 

 

b) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

 

 

 

c) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

Różnica miar kątów przeciwległych ...

 

 

 

 

 

 

  

   

 

  

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie...

a)  

 

 

 


b)  

 

 

 

 

 


c)  

 

 

 

 

 

 

 


d)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 


e)  

 

 

 

 

 


f)  

 

 

 

 

 

 

Dla jakiej liczby rzeczywistej ...