Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy nietypowych funkcji

Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $x$ z przedziału $(- ∞, 2)$ przybiera ona wartość $x^2 -3x + 2$, dla $x$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $x$ większych od $4$ jest to ${1}/{x}$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $x$ z przedziału $< 3, 4 >$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$x^2 - 3x + 2 = 0$
$△ = 1$
$x_1 = -1$
$x_2 = 2$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $(-∞, 2)$
2) Jest stała na przedziale $(2, 3)$
3) Maleje na przedziale $(4, ∞)$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $x$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie ${1}/{x}$ dla dodatnich $x$ jest zawsze większe od $0$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $f(x)$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba ${1}/{3}$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $f(x)$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $x = 3$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $x = 10$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $3, 10$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $f(x)$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Oblicz, dla jakich wartości a i b średnia arytmetyczna ...

a)

Porządkujemy dane:

  oraz   


Średnia arytmetyczna ma wynosić 3,5. Zatem:

 

 

 

 {premium}


Dominanta ma być równa 4, więc co najmniej jedna z tych liczb jest równa 4 (liczba 2 również występuje dwukrotnie). Przyjmijmy, że:

 


Mamy więc:

 

 


Zatem:

 


b)

Porządkujemy dane:

  oraz   


Dominanta ma być równa 5, więc co najmniej jedna z tych liczb jest równa 5 (liczba 9 również występuje trzykrotnie). Przyjmijmy, że:

 

Mamy więc:

  oraz   


Mediana ma wynosić 8. Mamy parzystą liczbę wyrazów, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazów środkowych. 

Liczbę oznaczoną przez d możemy "wstawić" w dwa miejsca (gdybyśmy wstawili ją gdzieś indziej, to wyrazami środkowymi byłby 5 i 9 lub 9 i 9, więc średnia byłaby równa 7 lub 9, a nie 8):

I)   

Wedy d musiałoby być równe 9 i przez to mediana nie byłaby równa 5 - odrzucamy tę możliwość.


II)   

Wtedy:

 

 

 

Zatem:

 


c)

Porządkujemy dane:

  oraz   


Średnia arytmetyczna ma wynosić 6. Zatem:

 

 

 

 


Mediana ma wynosić 7. Mamy nieparzystą liczbę wyrazów, więc mediana jest równa wyrazowi środkowemu. Gdyby liczby e i f były mniejsze od 7, to mediana "przesunęłaby się" na liczbę mniejszą. Jedna z tych liczb jest zatem równa 7. Druga natomiast musi być zerem (bo suma wynosi 7).

Zatem:

 

Oprocentowanie kredytu mieszkaniowego w Banku...

Wprowadźmy oznaczenie:

 -kwota kredytu

 

Obliczmy, ile procent wynosi po podwyżce oprocentowanie kredytu w Banku Rozwoju:   {premium}

 

 

Obliczmy, o ile punktów procentowych wzrosło oprocentowanie kredytu w tym banku:

 

 

Odp.: Oprocentowanie kredytu w tym banku wzrosło o 1,2 punktu procentowego.

Liczba bakterii w badanej próbce w ciągu...

a)

    - liczba bakterii po czasie t

  - początkowa liczba bakterii

  - liczba bakterii po dwóch godzinach

  - liczba bakterii po 2 godzinach

 

 

 

 

 

{premium}

Liczba bakterii po jednej godzinie:

 

 

Obliczmy, o ile procent zwiększyła się liczba bakterii po godzinie:

 

 

b)

  - liczba bakterii po szukanym czasie t

 

  

 

 

 

                  

Dany jest...

Punkt leży na okręgu, jeśli odległość tego punktu od środka okręgu jest równa długości promienia okręgu. {premium}


Korzystając ze wzoru na długość odcinka dostajemy, że

czyli punkt A leży na tym okręgu

dla formalności sprawdzimy jeszcze pozostałe punkty:

  

czyli punkt B nie należy do tego okręgu. 

  

czyli punkt B nie należy do tego okręgu. 

  

czyli punkt B nie należy do tego okręgu. 

 

Odp. A. 

Rozwiąż równanie sin6x+cos3x= ...

Treść:

Rozwiąż równanie   w przedziale  


Rozwiązanie:

 

      {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

 

 

W przedziale   otrzymujemy:

 

 

Określ symetrię, w której obrazem okręgu o środku...

Zauważmy, że:

{premium}

 

 

Skoro rzędne(drugie współrzędne) punktów A i A' są liczbami przeciwnymi to znaczy, że tą symetrią jest symetria względem osi x.

Oblicz granicę.

a)

 

b)

{premium}  

c)

 

d)

 

e)

 

f)

 

Zbadaj istnienie pochodnej ...

Wyznaczamy iloraz różnicowy funkcji  w punkcie  

 {premium}

Wyznaczamy granice jednostronne ilorazu różnicowego funkcji  w punkcie  

 

 

Ponieważ powyższe granice są równe, to granica ilorazu różnicowego funkcji  w punkcie  , czyli pochodna funkcji  w tym punkcie, istnieje. 

Oblicz pięć ...

 

 

 

 

{premium}  

 

 

   

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

Oblicz długość najkrótszego oraz...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

{premium}

Obliczmy długość najkrótszego odcinka łączącego punkt K z okręgiem:

 

 

 

Obliczmy  długość najdłuższego odcinka łączącego punkt K z okręgiem: