Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy nietypowych funkcji

Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $x$ z przedziału $(- ∞, 2)$ przybiera ona wartość $x^2 -3x + 2$, dla $x$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $x$ większych od $4$ jest to ${1}/{x}$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $x$ z przedziału $< 3, 4 >$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$x^2 - 3x + 2 = 0$
$△ = 1$
$x_1 = -1$
$x_2 = 2$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $(-∞, 2)$
2) Jest stała na przedziale $(2, 3)$
3) Maleje na przedziale $(4, ∞)$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $x$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie ${1}/{x}$ dla dodatnich $x$ jest zawsze większe od $0$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $f(x)$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba ${1}/{3}$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $f(x)$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $x = 3$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $x = 10$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $3, 10$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $f(x)$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są wielomiany W i P.

Powołamy się na odpowiednie twierdzenie:

Jeżeli W i Q są niezerowymi wielomianami, to stopień wielomianu{premium} będącego iloczynem W٠Q jest sumą stopni wielomianów W i Q.

Mamy:

 

 

Zdanie A jest prawdziwe.


Po wykonaniu odejmowania W(x)-P(x) otrzymamy wielomian stopnia 7, bo wyraz 3x7 się nie zredukuje.

Zdanie B jest prawdziwe.


Wyraz wolny wielomianu W(x)٠P(x) jest iloczynem wyrazów wolnych każdego z tych wielomianów:

 

Zdanie C jest prawdziwe.

Wyznacz pochodną funkcji f...

a)

 

 

 

 


b)

{premium}  

 

 

 


c)

 

 

 

 


d)

 

 

 

 

Rozwiąż równanie ...

 

 

  

  

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Długość boku trójkąta i wysokość opuszczona ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

      

Dany jest ciąg ...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O pewnym ciągu geometrycznym...

Skorzystajmy z definicji sumy k początkowych wyrazów:{premium}

  

Sprawdźmy, czy zdanie II jest prawdziwe, czyli czy spełniony jest warunek:

 

 

 

Sprzeczność

 

I - FAŁSZ

II - FAŁSZ

III - PRAWDA

IV - PRAWDA

 

Punkty A i B należą do wykresu funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma wzór y=ax+b. 

Podstawiamy pierwsze współrzędne punktów w miejsce x oraz drugie współrzędne punktów w miejsce y. 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkty A, B, C nie są współliniowe

 

{premium}

Z nierówności trójkąta dla trójkąta ABC możemy zapisać:

 

Ale zauważmy, że:

 

Teraz przypuśćmy, że teza nie jest prawdziwa, jeśli dojdziemy przez to do sprzeczności, to będzie oznaczało, że zakończyliśmy dowód i ze nierówność z tezy zachodzi (ponieważ przyjęcie tezy przeciwnej zaprowadzi do sprzeczności)

Zatem przypuśćmy, że:

 

Teraz wykorzystamy gwiazdkę:

Ten warunek jest sprzeczny z nierównością trójkąta - w trójkącie PBC długość boku PC musi być mniejsza niż suma długości boków PB i BC.

 

Jeśli stożek i walec mają równe pola powierzchni...

 

 

 

 

Z pierwszej równości otrzymujemy:

 

{premium}  

 

 

 

Z trzeciej równości otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  

 

Odp. C

Długość ramienia trapezu równoramiennego jest równa...

Rysunek poglądowy:

Obliczmy za pomocą trygonometrii zależności pomiędzy bokami trójkąta AED

 

 

 

 

 

 

W trójkącie ABD:

{premium}  

 

 

Wiemy, że:

 

 

 

 

 

Pole trapezu:

 

 

 

Przekształćmy pomocniczo wyrażenie:

 

 

zatem: