Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wykresy nietypowych funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy nietypowych funkcji

Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $$x$$ z przedziału $$(- ∞, 2)$$ przybiera ona wartość $$x^2 -3x + 2$$, dla $$x$$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $$x$$ większych od $$4$$ jest to $${1}/{x}$$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $$x$$ z przedziału $$< 3, 4 >$$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$
$$△ = 1$$
$$x_1 = -1$$
$$x_2 = 2$$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $$(-∞, 2)$$
2) Jest stała na przedziale $$(2, 3)$$
3) Maleje na przedziale $$(4, ∞)$$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $$x$$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie $${1}/{x}$$ dla dodatnich $$x$$ jest zawsze większe od $$0$$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $$f(x)$$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba $${1}/{3}$$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $$x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $$f(x)$$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $$x = 3$$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $$x = 10$$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $$3, 10$$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $$(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $$f(x)$$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy podana liczba jest ...

`"a)"\ 36^(3/2)=(sqrt36)^3=6^3=216\ \ \ -"liczba wymierna"`     

`"b)"\ (27/8)^(2/3)=(root(3)(27/8))^2=(3/2)^2=9/4=4 1/4\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"c)"\ 6^(5/2)=(sqrt6)^5=(sqrt6)^4*sqrt6=36sqrt6\ \ \ -"liczba niewymierna"` 

`"d)"\ 25^(2/3)=(root(3)25)^2\ \ \ -"liczba niewymierna"` 

`"e)"\ (4/9)^(5/2)=(sqrt(4/9))^5=(2/3)^5=32/243\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"f)"\ 64^(5/3)=(root(3)64)^5=4^5=1024\ \ \ -"liczba wymierna"`  

`"g)"\ (2^(sqrt2-1))^(sqrt2+1)=2^((sqrt2-1)(sqrt2+1))=2^((sqrt2)^2-1)=2^(2-1)=2\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"h)"\ (49/8)^(3/2)=(sqrt(49/8))^3=(7/(2sqrt2))^3=343/(16sqrt2)\ \ \ - "liczba niewymierna"`  

`"i)"\ 0,125^(2/3)=(1/8)^(2/3)=(root(3)(1/8))^2=(1/2)^2=1/4\ \ \ -"liczba wymierna"`               

`"j)"\ 0,001^(4/3)=(10^-3)^(4/3)=10^-4=0,0001\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"k)"\ ((sqrt7)^sqrt6)^sqrt6=(sqrt7)^6=(7^(1/2))^6=7^3=343\ \ \ -"liczba wymierna"` 

`"l)"\ 0,01^(1/3)=root(3)(0,01)=root(3)(1/100)\ \ \ -"liczba niewymierna"` 

W klasie Marty...

Niech p oznacza liczbę ocen dobrych.

 

`(5*0,1n + 4*p + 3*(n - 0,1n -p))/n= 3,6`  

`0,5n + 4p + 3*(0,9n -p) = 3,6n` 

`0,5 n + 4p + 2,7n - 3p = 3,6n` 

`3,2n + p = 3,6n` 

`0,4n = p` 

A więc 40% osób dostało ocenę dobrą.

50% dostało ocenę dostateczną.

 

A więc medianą będzie:

`(3+4)/2 = 3,5` 

 

Dominanta to:

`3` 

Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań

`a)` 

`|x|-4<=(|x|-1)/2\ \ \ \ |*2` 

`2|x|-8<=|x|-1\ \ \ |-|x|` 

`|x|-8<=-1\ \ \ |+8` 

`|x|<=7` 

Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 7. 

 

 

 

`b)` 

`(2-3|x|)/4>=|x|/2\ \ \ \ |*4` 

`2-3|x|>=2|x|\ \ \ \ |-2|x|` 

`2-5|x|>=0\ \ \ |-2` 

`-5|x|>=-2\ \ \ |:(-5)` 

`|x|<=2/5` 

Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 2/5.

 

 

 

`c)` 

`(3-|x|)/4+(2|x|-1)/3<=1\ \ \ \ |*12` 

`3(3-|x|)+4(2|x|-1)<=12` 

`9-3|x|+8|x|-4<=12` 

`5|x|+5<=12\ \ \ |-5` 

`5|x|<=7\ \ \ |:5` 

`|x|<=7/5` 

`|x|<=1 2/5` 

Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 7/5.

Przeprowadź obliczenia dla danych z ćwiczenia...

Skorzystamy ze wzoru na procent składany:

`K_n = K(1+p/m)^(n*m)`  

 

`a) \ K_n = K(1+p/m)^(n*m)` 

`200 = 100*(1+(0,06)/2)^(2n)` 

`(1,03)^(2n) = 2` 

Korzystając z kalkulatora.

`(1,03)^(11*2) approx 1,92` 

`(1,03)^(12*2) approx 2,03` 

A więc nasz kapitał wzrośnie do 200 zł po 12 latach.

 

K_n = K(1+p/m)^(n*m)` 

`300 = 100*(1+(0,06)/2)^(2n)` 

`(1,03)^(2n) = 3` 

Korzystając z kalkulatora.

`(1,03)^(2*18) approx 2,9` 

`(1,03)^(2*19) approx 3,07` 

A więc nasz kapitał wzrośnie do 300 zł po 19 latach.

 

`K_n = K(1+p/m)^(n*m)`  

`500 = 100*(1+(0,06)/2)^(2n)` 

`(1,03)^(2n) = 5` 

Korzystając z kalkulatora.

`(1,03)^(2*27) approx 4,93` 

`(1,03)^(2*28) approx 5,23` 

A więc nasz kapitał wzrośnie do 500 zł po 28 latach.

 

 `b) \ K_n= K(1+p/m)^(n*m)` 

`200 = 100(1+(0,06)/3)^(3n)` 

`(1,02)^(3n) = 2` 

Korzystając z kalkulatora.

`(1,02)^(3*11) approx 1,92` 

`(1,02)^(3*12) approx 2,04` 

A więc kapitał wzrośnie do 200 zł po 12 latach.

 

`300 = 100(1+(0,06)/3)^(3n)` 

`(1,02)^(3n) = 3` 

Korzystając z kalkulatora.

`(1,02)^(3*18) approx 2,91` 

`(1,02)^(3*19) approx 3,09` 

A więc kapitał wzrośnie do 300 zł po 19 latach.

 

`500 = 100(1+(0,06)/3)^(3n)` 

`(1,02)^(3n) = 5` 

Korzystając z kalkulatora.

`(1,02)^(3*27) approx 4,97` 

`(1,02)^(3*28) approx 5,28` 

A więc kapitał wzrośnie do 500 zł po 28 latach.

 

`c) \ K_n = K(1+p/m)^(n*m)` 

`200 = 100(1+(0,06)/12)^(12n)` 

`(1,005)^n = 2` 

Korzystając z kalkulatora.

`(1,005)^(12*11) approx 1,93` 

`(1,005)^(12*12) approx 2,05` 

A więc kapitał wzrośnie do 200 zł po 12 latach.

 

`300 = 100(1+(0,06)/12)^(12n)` 

`(1,005)^n = 3` 

Korzystając z kalkulatora.

`(1,005)^(12*18) approx 2,94` 

`(1,005)^(12*19) approx 3,12` 

A więc kapitał wzrośnie do 300 zł po 19 latach.

 

`500 = 100(1+(0,06)/12)^(12n)` 

`(1,005)^n = 5` 

Korzystając z kalkulatora.

`(1,005)^(12*26) approx 4,74` 

`(1,005)^(12*27) approx 5,03` 

A więc kapitał wzrośnie do 500 zł po 27 latach.

Kupiec ma dwie beczki wina ...

`b_1-"liczba litrów w pierwszej beczce"`  

`b_2-"liczba litrów w drugiej beczce"`    

`l_1-"cena za litr wina z pierwszej beczki"` 

`l_2-"cena za litr wina z drugiej beczki"` 

 

 

`b_1 /b_2 =3/2` 

`3b_2=2b_1\ implies b_1=3/2b_2`  

 

`l_1=(5b_2)/100=b_2/20` 

`l_2=l_1+2\ implies \ b_2/20+2`   

{premium}

`b_2*l_2+b_1*l_1=960`  

`b_2(b_2/20 +2)+3/2 b_2 *b_2/20=960`  

`b_2^2/20+2b_2+(3b_2^2)/40-960=0`  

`2b_2^2+80b_2+3b_2^2-38400=0` 

`5b_2^2+80b_2-38400=0` 

 

`Delta=6400+20*38400=774400` 

`sqrt(Delta)=880`  

``

   

`b_2>0` 

 

`b_2=(-80-880)/10=-96` 

`b_2=(-80+880)/10=80` 

 

`"W drugiej beczce jest 80 litrów."` 

`b_1=3/2 b_2=3/2*80=120` 

`"W pierwszej beczce jest 120 litrów."` 

 

`l_1=b_2/20=80/20=4` 

`l_2=l_1+2=6` 

 

`"Litr wina z pierwszej beczki kosztuje 4 zł, natomiast z drugiej 6 zł."`    

 

Wyznacz zbiór wszystkich pierwiastków wielomianu.

`a) \ f(x) = (x-3)(x+2)(x-13)` 

Pierwiastkami wielomianu są liczby:

`-2, 3, 13` 

Zbiór złożony z nich to:

`M_z = {-2,3,13}` 

 

`b) \ g(x) = (x-3)(x^2+3x+9)` 

Policzmy wyróżnik funkcji dla trójmianu kwadratowego:

`Delta = 3^2 - 4*1*9 = 9 - 36 < 0` 

Trójmian nie ma miejsc zerowych, zatem zbiorem wszystkich pierwiastków jest singleton(zbiór jednoelementowy):

`M_z = {3}`  

Liczba 130 jest przybliżeniem...

Przybliżenie 130 jest zrobone z nadmiarem a więc x musi być mniejszy od tego przybliżenia.

`x<130` 

 

`Delta x = |x-130|=5` 

`x - 130 = 5 \ \ vv \ \ x - 130 = -5` 

`x=135 \ \ vv \ \ x = 125` 

 

`x=125` 

 

`delta = (Deltax)/x = 5/125 *100%= 4%` 

Ile początkowych wyrazów ...

`a)` 

`315=5*(1-2^n)/(1-2)=-5(1-2^n)\ \|:5`  

`63=-1+2^n` 

`2^n=64\ \ \=> n =ul6`   

`"Należy zsumować 6 początkowych wyrazów."` 

 

`b)` 

`5*(1-2^n)/(1-2)=2555` 

`-1+2^n=511` 

 

`2^n=512 => n=ul9`  

`"Należy zsumowac 9 początkowych wyrazów."` 

 

`c)` 

`5*(1-2^n)/(1-2)=5115`  

`-1+2^n=1023` 

`2^n=1024 =>n=10` 

`"Należy zsumowac 10 początkowych wyrazów."`

Wykaż, że dla dowolnych liczb...

Obie strony nierówności są nieujemne a więc możemy podnieść obustronnie do kwadratu:

`(a+b)/2 geq (a+2sqrt(ab)+b)/4 \ \ \ |*4` 

`2(a+b) geq a+2sqrt(ab)+b` 

`2a+2b geq a+2sqrtab+b` 

`a+b geq sqrt(ab)` 

 

Zauważmy, że:

`(sqrta-sqrtb)^2 geq 0` 

`a - 2sqrt(ab) + b geq 0` 

`a+b geq 2sqrt(ab) geq sqrt(ab)` 

 

A więc rzeczywiście nasza nierówność jest spełniona dla dowolnych nieujemnych liczb a, b.

Dla jakich wartości parametru m ...

`(2m-1)x^2-(m+2)x+2m-1=0` 

 

`Delta=(m+2)^2-4(2m-1)^2>0`  

`m^2+4m+4-4(4m^2-4m+1)>0` 

`m^2+4m+4-16m^2+16m-4>0` 

`-15m^2+20m>0` 

`15m(m-4/3)<0` 

`(**)\ m in (0;4/3)`  

 

`x_1*x_2>0` 

`x_1*x_2=c/a` 

`(2m-1)/(2m-1)>0` 

`1>0` 

 

`x_1+x_2=-b/a>0` 

`(m+2)/(2m-1)>0` 

`(m+2)(2m-1)>0` 

`m_1=-2` `` 

`m_2=1/2` 

`(** **)\ m in (-oo;-2)cup(1/2;+oo)` 

`(**) cap (** **)=(1/2;4/3)`         

`ul(m in (1/2;4/3)`