Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $$sin x$$ > $${1}/{2}$$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy $${1}/{2}$$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta $${∏}{6} = 30°$$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta $${5∏ }{6}$$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między $${∏}/{6}$$ a $${5∏}/{6}$$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $$2∏$$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od $${∏}/{6} + k×2∏$$ do $${5 ∏}/{6} + k×2∏$$, gdzie $$k$$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $$ an ({∏}/{2} - x)$$ > $$1$$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $$ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $$∏$$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = $${∏}/{4}$$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do $${∏}/{4}$$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $$k×∏$$ do $$k×∏ + {∏}/{4}$$ dla $$k$$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wielomian w ma pierwiastek jednokrotny

`ul(ul("uwaga"))`

Indeksy dolne często są niewygodne w obliczeniach (łatwo się pomylić), dlatego przyjmijmy następujące oznaczenia:

`x_1=a`

`x_2=b`

 

Zauważmy, że w obu podpunktach wielomian w jest wielomianem stopnia trzeciego, więc jeśli wiemy, że ma on pierwiastek jednokrotny x1=a oraz pierwiastek dwukrotny x2=b, to oznacza to, że nie może on już mieć więcej pierwiastków (ponieważ wielomian stopnia trzeciego ma co najwyżej trzy pierwiastki liczone z krotnościami). 

 

W obu podpunktach współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1. Wielomian w(x) jest więc postaci:

`w(x)=1*(x-a)(x-b)^2=(x-a)(x^2-2xb+b^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-2x^2b+b^2x-ax^2+2abx-ab^2=`

Porządkujemy wielomian ze względu na zmienną x:

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-a)x^2+(b^2+2ab)x-ab^2`

 

 

`a)`

Wiemy, że drugi pierwiastek jest trzy razy mniejszy od pierwszego pierwiastka, czyli:

`a=3b`

 

Podstawimy tą informację do wzoru na wielomian w:

`w(x)=x^3+(-2b-a)x^2+(b^2+2ab)x-ab^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-3b)x^2+(b^2+2*3b*b)x-3b*b^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-5bx^2+7b^2x-3b^3`

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w dany jest wzorem:

`w(x)=x^3-5x^2+px+q`

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach. Możemy więc porównać te współczynniki:

`x^3:\ \ \ 1=1`

`x^2:\ \ \ -5b=-5\ \ \ =>\ \ \ b=-5:(-5)=1`

`x^1:\ \ \ 7b^2=p\ \ \ =>\ \ \ p=7*1^2=7*1=7`

`x^0:\ \ \ -3b^3=q\ \ \ =>\ \ \ q=-3*1^3=-3*1=-3`

 

Znamy więc wartości współczynników p i q:

`ul(ul(p=7,\ \ \ q=-3))`

 

Pierwiastki wielomianu:

`ul(ul(x_2=b=1,\ \ \ x_1=a=3b=3*1=3))`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`b)`

Wiemy, że drugi pierwiastek jest o 4 większy od pierwszego pierwiastka oraz że pierwszy pierwiastek jest liczbą całkowitą (więc drugi też):

`b=a+4\ \ \ \ \ \ \ (a in C)`

`a=b-4`

Podstawimy tą informację do wzoru na wielomian w:

`w(x)=x^3+(-2b-a)x^2+(b^2+2ab)x-ab^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-(b-4))x^2+(b^2+2(b-4)b)x-(b-4)b^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-b+4)x^2+(b^2+2b^2-8b)x-b^3+4b^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-3b+4)x^2+(3b^2-8b)x-b^3+4b^2`

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w dany jest wzorem:

`w(x)=x^3+px^2+qx+8`

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach. Możemy więc porównać te współczynniki:

`x^3:\ \ \ 1=1`

`x^2:\ \ \ -3b+4=p`

`x^1:\ \ \ 3b^2-8b=q`

`x^0:\ \ \ -b^3+4b^2=8`

 

Zacznijmy od rozwiązania ostatniego równania:

`-b^3+4b^2=8\ \ \ |-8`

`-b^3+4b^2-8=0\ \ \ |*(-1)`

`#underbrace(b^3-4b^2+8)_(q(b))=0`

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu q jest równy 8. Dzielniki 8 to: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Szukamy pierwiastków wielomianu q pośród tych dzielników:

`q(2)=2^3-4*2^2+8=8-4*4+8=0`

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu q, więc wielomian q jest podzielny przez dwumian (b-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(b-2)\ *#(#(#(#(#underbrace((b^2-2b-4))_(Delta=(-2)^2-4*1*(-4)=))_(=4+16=20))_(sqrt(Delta)=sqrt4*sqrt5=2sqrt5))_(b_1=(2-2sqrt5)/2=1-sqrt5))_(b_2=(2+2sqrt5)/2=1+sqrt5)=0`

Zauważmy, że pierwiastki otrzymane z czynnika kwadratowego nie są liczbami całkowtymi, więc należy je odrzucić (na początku założyliśmy, że a, a więc także b, są liczbami całkowitymi). Wartość b wynosi więc 2. Obliczamy wartości pozostałych parametrów:

`p=-3b+4=-3*2+4=-6+4=-2`

`q=3b^2-8b=3*2^2-8*2=3*4-16=12-16=-4`

`a=b-4=2-4=-2`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(p=-2,\ \ \ q=-4,\ \ \ x_1=-2,\ \ \ x_2=2))`

     

Wykonaj działania ...

`a)` 

`2/(x+5)-7/x=(2x)/(x(x+5))-(7(x+5))/(x(x+5))=` 

`=(2x-7x-35)/(x^2+5x)=(-5x-35)/(x^2+5x)` 

`x^2+5xne0` 

`x(x+5)ne0` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \xne -5` 

`x notin {-5;0}` 

 

`b)` 

`3/(x-3)+(4+x)/x=(3x)/(x(x-3))+((4+x)(x-3))/(x(x-3))=` 

`(3x+4x-12+x^2-3x)/(x^2-3x)=(x^2+4x-12)/(x^2-3x)` 

`x^2-3xne0` 

`x(x-3)ne0\ implies\ xne0\ \ \wedge\ \ \xne3` 

`x notin{0;3}`     

 

`c)` 

`(2x)/(4x-1)+(6x)/(3x-2)=(2x(3x-2))/((4x-1)(3x-2))+(6x(4x-1))/((3x-2)(4x-1))=` 

`=(6x^2-4x+24x^2-6x)/((4x-1)(3x-2))=(30x^2-10x)/((3x-2)(4x-1))` 

`(3x-2)(4x-1)ne0` 

`3x-2ne0\ implies\ x ne 2/3` 

`4x-1ne0\ implies \ x ne 1/4` 

`x notin{1/4;2/3}`     

 

`d)` 

`(x+1)/(3x+1)-2/(2-x)=((x+1)(2-x))/((3x+1)(2-x))-(2(3x+1))/((2-x)(3x+1))=` 

`=(2x-x^2+2-x-6x-2)/((2-x)(3x+1))=(-x^2-5x)/((2-x)(3x+1))` 

`(2-x)(3x+1)ne0` 

`2-xne0\ implies\ xne2` 

`3x+1ne0\ implies\ xne-1/3` 

`x notin {-1/3;2}`      

 

`e)` 

`(x-3)/(x+4)+(5-x)/(6-x)=((x-3)(6-x))/((x+4)(6-x))+((5-x)(x+4))/((x+4)(6-x))=` 

`=(6x-x^2-18+3x+5x+20-x^2-4x)/(6x-x^2+24-4x)=` 

`=(-2x^2+10x+2)/(-x^2+2x+24)` 

`-x^2+2x+24ne0` 

`(x+4)(6-x)ne0` 

`x+4ne0\ implies\ x ne -4` 

`6-xne0\ implies\ xne6`        

`x notin{-4;6}` 

 

`f)` 

`x/(x-1)-(2x+3)/(2x)=(2x^2)/(2x(x-1))-((2x+3)(x-1))/(2x(x-1))=` 

`=(2x^2-2x^2+2x-3x+3)/(2x^2-2x)=( -x+3)/(2x^2-2x)`    

`2x^2-2xne0` 

`2x(x-1)ne0` 

`x notin {0;1}` 

Sporządź tabelkę...

a) `f(x)=-2/x` 

`x`  `-2`  `-1`  `1`  `2` 
`f(x)`  `1`  `2`  `-2`  `-1` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


b) `f(x)=-4/x` 

 `x`  `-2`  `-1`  `1`   `2` 
 `f(x)`   `2`  `4`   `-4`  `-2` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


c) `f(x)=(-1/2)/x=-1/2*1/x=-1/(2x)` 

 `x`  `-2`   `-1`   `1`   `2` 
 `f(x)`   `1/4`   `1/2`   `-1/2`   `-1/4` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


d) `f(x)=(-1/4)/x=-1/4*1/x=-1/(4x)` 

 `x`  `-2`   `-1`  `1`  `2` 
 `f(x)`  `1/8`   `1/4`   `-1/4`   `-1/8`  

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.

Ile dzielników naturalnych

`a)`

`"dzielniki 25:"\ \ \ \ 1,\ 5,\ 25\ \ \ ("3 dzielniki")`

`"dzielniki 125:"\ \ \ 1,\ 5,\ 25,\ 125\ \ \ ("4 dzielniki")`

`"dzielniki 625:"\ \ \ 1,\ 5,\ 25,\ 125,\ 625\ \ \ ("5 dzielników")`

 

 

`b)`

`"dzielniki 9:"\ \ \ 1,\ 3,\ 9\ \ \ ("3 dzielniki")`

`"dzielniki 18:"\ \ \ 1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18\ \ \ ("6 dzielników")`

`"dzielniki 36:"\ \ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36\ \ \ ("9 dzielników")`

 

 

`c)`

`"dzielniki 6:"\ \ \ 1,\ 2,\ 3,\ 6\ \ \ ("4 dzielniki")`

`"dzielniki 12:"\ \ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\ \ \ ("6 dzielników")`

`"dzielniki 24:"\ \ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\ \ \ ("8 dzielników")`

 

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych ...

`a)` 

`A(-2,0)` 

`B(4,0)` 

`C(4,8)` 

`a=|x_a|+|x_b|=|-2|+4=6`    

`b=|y_c|+|y_b|=8+0=8`  

`c^2=a^2+b^2` 

`c^2=36+64=100` 

`c=10` 

 

`sin alpha=b/c=8/10=4/5` 

`cos alpha=a/c=6/10=3/5` 

`tg \ alpha=b/a=8/6=4/3` 

 

`sin beta=a/c=3/5` 

`cos beta=b/c=4/5` 

`tg\ beta=a/b=3/4` 

 

`b)` 

`A(-2,-2)` 

`B(8,-2)` 

`C(-2,4)` 

`a=8+|-2|=10` 

`b=4+|-2|=6` 

`c^2=36+100=136` 

`c=sqrt136=2sqrt34` 

 

`sin alpha=b/c=cos beta=6/(2sqrt34)=(3sqrt34)/34` 

`cos alpha=sin beta=a/c=10/(2sqrt34)=(5sqrt34)/34` 

`tg alpha=b/a=6/10=3/5` 

`tgbeta=a/b=5/3` 

 

`c)` 

`A(-6,-1)` 

`B(6,4)` 

`C(6,-1)` 

`a=6+|-6|=12` 

`b=4+|-1|=5` 

`c^2=a^2+b^2=144+25=169` 

`c=13` 

 

`sin alpha=b/c=cos beta=5/13` 

`cos alpha=a/c=sin beta=12/13` 

`tg alpha=b/a=5/12` 

`tg beta=a/b=12/5` 

 

`d)` 

`A(-1,-5)` 

`B(4,5)` 

`C(-1,5)` 

`a=4+|-1|=5` 

`b=5+|-5|=10` 

`c^2=a^2+b^2=125` 

`c=5sqrt5` 

 

`sin alpha=a/c=cos beta=5/(5sqrt5)=sqrt5/5` 

`cos alpha=b/c=sin beta=10/(5sqrt5)=(2sqrt5)/5` 

`tg \ alpha=a/b=5/10=1/2` 

`tg \ beta=b/a=10/5=2`   

Podaj miarę łukową...

`a) \ 40^o = 40^o * pi/180^o = 2/9 pi` 

 

`b) \ 54^o = 54^o * pi/180^o = 3/10 pi` 

 

`c) \ 160^o = 160^o * pi/180^o = 8/9 pi` 

 

`d) \ 330^o = 330^o * pi/360^o = 11/12 pi` 

Oblicz skalę, w jakiej wykonany ...

`a)` 

`4\ "m"=400\ "cm"` 

`k=1/400` 

`1:400` 

 

`b)` 

`1\ "cm"^2` 

`4\ "m"^2=40000\ "cm"^2` 

`1/40000=k^2` 

`k=1/200`   

`1:200`    

Wyznacz miary kątów ...

`a)` 

`y=x+4` 

 

`tg\ alpha=1` 

`alpha=45^@` 

 

`y=sqrt3x-1` 

`tg\ beta=sqrt3` 

`beta=60^@` 

 

`beta-alpha=60^@-45^@=ul(15^@`  

`alpha=ul(45^@`  

`delta=180^@-45^@-15^@=ul(120^@` 

 

`b)` 

`y=sqrt3/3x-2` 

`tg \ alpha=sqrt3/3` 

`alpha=30^@` 

 

`y=sqrt3 x+3` 

`tg\ beta=sqrt3` 

`beta=60^@` 

 

`beta-alpha=60^@-30^@=30^@` 

`"Zauważmy, że kąt"\ delta\ "jest kątem wierchołkowym względem kąta o mierze"\ 180^@-gamma.`  

`delta=180^@-gamma`  

`"Rozważmy trójkąt prostokątny o kątach"\ pi,gamma,90^@:` 

`pi=alpha=30^@` 

`gamma+30^@+90^@=180^@` 

`gamma=60^@` 

`delta=180^@-60^@=120^@` 

`lambda=180^@-120^@-30^@=30^@` 

`"Szukane kąty to:"\ 30^@,30^@,120^@.`  

 

  

 

Oblicz

`a)\ root(5)(-3,2)*root(5)(-0,0032)=root(5)(-3,2*(-0,0032))=root(5)(3,2*0,0032)=root(5)(32*0,1*0,0001*32)=` 

`\ \ \ =root(5)(32*0,00001*32)=root(5)32*root(5)(0,00001)*root(5)32=2*0,1*2=0,4` 

`b)\ root(3)(-0,064)*root(3)(0,008)=-0,4*0,2=-0,08` 

`c)\ root(3)(-0,04)*root(3)(-0,36)*root(3)(-0,12)=root(3)(-0,04*(-0,36)*(-0,12))=root(3)(-0,04*0,36*0,12)=` 

`\ \ \ =root(3)(-4*0,01*4*9*0,01*4*3*0,01)=root(3)(-64*27*0,000001)=` 

`\ \ \ =root(3)(-64)*root(3)27*root(3)(0,000001)=-4*3*0,01=-0,12` 

`d)\ root(3)(-3 3/4):root(3)(-1 23/25)=root(3)(-15/4):root(3)(-48/25)=root(3)(-15/4:(-48/25))=root(3)(15/4:48/25)=` 

`\ \ \ =root(3)(strike15^5/4*25/strike48^16)=root(3)(125/64)=5/4=1 1/4` 

`e)\ root(5)(15/64):root(5)(-7,5)=root(5)(15/64:(-7,5))=root(5)(15/64:(-7 1/2))=root(5)(15/64:(-15/2))=root(5)(strike15^1/strike64^32*(-strike2^1/strike15^1))=root(5)(-1/32)=-1/2` 

`f)\ root(3)(root(5)((-32)^3))=root(3)(root(5)(((-2)^5)^3))=root(3)(root(5)(((-2)^3)^5))=root(3)((-2)^3)=-2`        

W pierwszej urnie jest

`I\ \ -\ \ "wybrano pierwszą urnę"` 

`II\ \ -\ \ "wybrano drugą urnę"` 

 

Wybieramy losowo jedną z dwóch urn, więc:

`P(I)=P(II)=1/2` 

 

`A\ \ -\ \ "wylosowano dwie białe kule"` 

 

W każdej z dwóch urn znajduje się 7 kul, wybieramy z nich 2 kule. 

`overline(overline(Omega))=((7),(2))=(7!)/(2!*5!)=(strike(5!)*strike6^3*7)/(1*strike2*strike(5!))=21` 

 

W pierwszej urnie znajduje się 7 kul - 5 białych i 2 czarne. Obliczmy, na ile sposobów możemy wylosować 2 białe kule z pierwszej urny:

`((5),(2))=(5!)/(2!*3!)=(strike(3!)*strike4^2*5)/(1*strike2*strike(3!))=10`  

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul z pierwszej urny:

`P(A|I)=10/21`  

 

 

W drugiej urnie znajduje się 7 kul - 4 białe i 3 czarne. Obliczmy, na ile sposobów możemy wylosować 2 białe kule z drugiej urny:

`((4),(2))=(4!)/(2!*2!)=(1*2*3*strike4)/(1*strike2*1*strike2)=6` 

 

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul z drugiej urny: 

`P(A|II)=6/21` 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

`P(A)=10/21*1/2+6/21*1/2=5/21+3/21=8/21\ \ \ \ odp.\ D`