Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $$sin x$$ > $${1}/{2}$$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy $${1}/{2}$$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta $${∏}{6} = 30°$$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta $${5∏ }{6}$$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między $${∏}/{6}$$ a $${5∏}/{6}$$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $$2∏$$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od $${∏}/{6} + k×2∏$$ do $${5 ∏}/{6} + k×2∏$$, gdzie $$k$$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $$ an ({∏}/{2} - x)$$ > $$1$$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $$ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $$∏$$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = $${∏}/{4}$$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do $${∏}/{4}$$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $$k×∏$$ do $$k×∏ + {∏}/{4}$$ dla $$k$$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji

`a)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f, należy najpierw przesunąć wykres funkcji y=x² przesunąć o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX oraz o 4 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

Następnie należy odbić symetrycznie względem osi OY tę część otrzymanego wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

`y=x^2\ \ \ \ #(->)^(vecu=[3;\ -4])\ \ \ \ y=(x-3)^2-4\ \ \ \ #(->)^(S_(OY)^+)\ \ \ \ f(x)=(|x|-3)^2-4`  

 

Wykonujemy pierwsze przekształcenie:

 

 

 

Wykonujemy drugie przekształcenie, otrzymując szukany wykres:

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

 

`b)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f, należy najpierw przesunąć wykres funkcji y=x² przesunąć o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi OX. 

 

Następnie należy odbić symetrycznie względem osi OY tę część otrzymanego wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

`y=x^2\ \ \ \ #(->)^(vecu=[-2;\ 0])\ \ \ \ y=(x+2)^2\ \ \ \ #(->)^(S_(OY)^+)\ \ \ \ f(x)=(|x|+2)^2` 

 

Wykonujemy pierwsze przekształcenie:

 

Wykonujemy drugie przekształcenie, otrzymując szukany wykres:

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

`f(x)=(1-|x|)^2-4=(-|x|+1)^2-4` 

Aby otrzymać wykres funkcji f, należy najpierw przesunąć wykres funkcji y=-x² przesunąć o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi OX oraz o 4 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

 

Następnie należy odbić symetrycznie względem osi OY tę część otrzymanego wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

`y=-x^2\ \ \ \ #(->)^(vecu=[-1;\ -4])\ \ \ \ y=(-x+1)^2-4 \ \ \ #(->)^(S_(OY)^+)\ \ \ \ f(x)=(-|x|+1)^2-4` 

 

Wykonujemy pierwsze przekształcenie:

Wykonujemy drugie przekształcenie, otrzymując szukany wykres:

Wykres funkcji kwadratowej y= ...

`y=1/3 x^2` 

`g(x)=1/3(x+2)^2`  

 

`"Odp. B."`  

Wykonaj dzielenie....

`a)\ 4/13:8/52=(strike(4)^1)/(strike(13)_1)*(strike(52)^4)/(strike(8)_2)=2`

`b)\ 16/25:8/125=(strike(16)^2)/(strike(25)_1) * (strike(125)^5)/(strike(8)_1)=10`

`c)\ 30/55:9/110=(strike(6)^2)/(strike(11)_1)*(strike(110)^(10))/(strike(9)_3)=20/3`

`d)\ 5 1/4:3/16=(strike(21)^7)/(strike(4)_1) * (strike(16)^4)/(strike(3)_1)=28`

Dla jakiej wartości parametru k...

a)

`f(x)=x^2-4x` 

`p=4/2=2` 

`f(2)=2^2-4*2=4-8=-4` 

 

`f(k)=k^2-4k` 

`f(k)-f(2)=2` 

`k^2-4k+4=2` 

`k^2-4k+2=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*2=16-8=8` 

`k_1=(4-sqrt8)/2=2-sqrt2 < 1` 

`k_2=(4+sqrt8)/2=2+sqrt2` 


b)

`f(x)=kx^2+2x-3` 

 

`f(1)=k*1^2+2*1-3=k+2-3=k-1` 

`f(2)=k*2^2+2*2-3=4k+4-3=4k+1` 

 

Przypadek I. 

W przedziale `<< 1, 2>>` nie ma wierzchołka tej funkcji.

`f(2)-f(1)=2` 

`4k+1-(k-1)=2` 

`4k+1-k+1=2` 

`3k+2=2` 

`3k=0` 

`k=0` 

 

Przypadek II.

`f(1)-f(2)=0` 

`k-1-(4k+1)=2` 

`k-1-4k-1=2` 

`-3k-2=2` 

`-3k=4` 

`k=-4/3` 

 

Przypadek III.

W przedziale `<< 1, 2>>` jest wierzchołek funkcji.

`p=(-2)/(2k)=(-1)/k` 

Założenie: `k!=0` 

 

`f(p)=k*((-1)/k)^2+2*(-1)/k-3=k*1/k^2-2/k-3=1/k-2/k-3=(-1)/k-3` 

`(-1)/k-3 >1 \ \ \ |*k^2` 

`-k-3k^2>k^2` 

`-k-4k^2>0` 

`4k^2+k< 0` 

`k(4k+1)< 0` 

`k in (-1/4, 0)` 

 

`(-1)/k-3 < 2 \ \ \ |*k^2` 

`-k-3k^2< 2k^2` 

`-k-5k^2< 0` 

`5k^2+k>0` 

`k(5k+1)>0` 

`k in (-1/5, 0)` 

 

`k in (-1/5, 0) !in << 1,2>>` 

Brak rozwiązań.

 

 

 

 

 

 

Wśród poniższych wektorów wskaż te ...

`vecu=[-6;8]` 

 

`vecv_1=[-2;2 2/3]=1/3[-6;8]=1/3vecu` 

`vecv_2=[3;-4]=-1/2[-6;8]=-1/2vecu` 

`vecv_3=[18;-16]=-3vecu` 

`vecv_4=[-3/4;1]=1/8vecu` 

`vecv_5=[24;-32]=-4vecu` 

 

Wektory o takim samym kierunku i zwrocie jak wektor u:

`vecv_1,\ vecv_4`  

Wektory o takim samym kierunku jak wektor u lecz o przeciwnym zwrocie:

`vecv_2,\ vecv_3,\ vecv_5`  

Sprawdź, czy zmienne x i y ...

`a)` 

`x=5` 

`y=4/10` 

`y=a_1/x`  

`a_1=xy`

`a_1=5*4/10=2` 

 

`x=-4`  

`y=0,5`   

`y=a_2/x`  

`a_2=xy` 

`a_2=-4*0,5=-4*1/2=-2` 

`a_1nea_2`    

Zmienne x i y nie są odwrotnie proporscjonalne.

 

`b)` 

`x=2-sqrt3` 

`y=2+sqrt3` 

`a_1=xy=(2-sqrt3)(2+sqrt3)=4-3=1` 

 

`x=sqrt6-sqrt5` 

`y=sqrt6+sqrt5` 

`a_2=xy=(sqrt6-sqrt5)(sqrt6+sqrt5)=6-5=1` 

 

`x=sqrt2-1` 

`y=sqrt2+1` 

`a_3=xy=(sqrt2-1)(sqrt2+1)=2-1=1` 

 

`x=3-2sqrt2` 

`y=3+2sqrt2` 

`a_4=xy=(3-2sqrt2)(3+2sqrt2)=9-8=1` 

 

`x=2sqrt2-sqrt7` 

`y=2sqrt2+sqrt7` 

`a_5=xy=(2sqrt2-sqrt7)(2sqrt2+sqrt7)=(2sqrt2)^2-(sqrt7)^2=8-7=1` 

 

`x=4-sqrt15` 

`y=4+sqrt15` 

`a_6=xy=(4-sqrt15)(4+sqrt15)=16-15=1`  

 

`x=5-2sqrt6` 

`y=5+2sqrt6` 

`a_7=xy=(5-2sqrt6)(5+2sqrt6)=25-24=1`    

 

`a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=a_6=a_7` 

Zmienne x i y są odwrotnie proporcjonalne.

Skorzystaj z zależności...

`1/(tgx)=(cosx)/(sinx)` 

 

`tgx=(sinx)/(cosx)` 

 

 

 

D=RD=<0,2π>\{π2,3π2} 

ZW=RZW=R 

Miejsca zerowe 𝑥1=0,𝑥2=𝜋,𝑥3=2𝜋x1=0,x2=π,x3=2π 

Funkcja monotoniczna przedziałami:

- rosnąca w przedziałach <0,𝜋2),(𝜋2,3𝜋2),(3𝜋2,2𝜋><0,π2),(π2,3π2),(3π2,2π>  

Asymptoty pionowe: 𝑥=𝜋2,𝑥=3𝜋2x=π2,x=3π2 

 

```"D"="R"\\{0+kpi, k in "C"}` 

`"ZW"="R"` 

Miejsca zerowe `x=pi/2+kpi, k in "C"` 

Funkcja monotonicznie przedziałami malejąca

Proste o równaniach `x=0+kpi, k in "C"` są asymptotami pionowymi wykresu funkcji.

Funkcja jest okresowa o okresie podstawowym `T=pi` 

Naszkicuj wykres funkcji f(x) ...

`f(x)=sinx`  

`a)` 

`sinx>0\ "dla"\ x in (-2pi;-pi)cup(0;pi)` 

 

`b)` 

`x in [-2pi;-3/2pi]cup[-pi/2;pi/2]cup[3/2pi;2pi]` 

 

`c)` 

`x in [-3/2pi;-pi/2]cup[pi/2;3/2pi]` 

Wyznacz równanie prostej przechodzącej ...

`a)` 

`P=(-2;3)` 

`Q=(4;9)` 

`y=ax+b` 

`{(3=-2a+b),(9=4a+b):}` 

`{(-3=2a-b),(9=4a+b):}` 

`6=6a` 

`a=1` 

`3=-2a+b\ implies\ b=3+2a=5` 

`y=x+5` 

`ul(x-y+5=0` 

 

`b)` 

`P=(6;2)` 

`Q=(-3;6)` 

`y=ax+b` 

`{(2=6a+b),(6=-3a+b):}` 

`{(-2=-6a-b),(6=-3a+b):}` 

`4=-9a`  

`a=-4/9` 

`b=2-6a=18/9+24/9=42/9`  

`y=-4/9x+42/9`  

`ul(-9y-4x+42=0`          

 

`c)` 

`P=(-3;7)` 

`Q=(-3;8)` 

`y=ax+b` 

`{(7=-3a+b),(8=-3a+b):}`  

Zauważmy, że oba punkty mają wspólną pierwszą współrzędną.

Zatem: x=-3

`ul(x+3=0)` 

 

`d)` 

`P=(1;2)` 

`Q=(-4;-4)` 

`y=ax+b` 

`{(2=a+b),(-4=-4a+b):}` 

`{(-2=-a-b),(-4=-4a+b):}` 

`-6=-5a` 

`a=6/5` 

`b=2-a=4/5` 

`y=6/5x+4/5` 

`ul(6/5x-y+4/5=0` 

 

`e)` 

`P=(7;4)` 

`Q=(-12;4)` 

`y=ax+b` 

`{(4=7a+b),(4=-12a+b):}`   

`{(-4=-7a-b),(4=-12a+b):}`    

`0=-19a` 

`a=0` 

`b=4-7a=4` 

`y=4` 

`ul(-y+4=0` 

 

`f)` 

`P=(12;0)` 

`Q=(12;-13)` 

`y=ax+b` 

`{(0=12x+b),(-13=12x+b):}` 

Zauważmy, że oba punkty mają wspólną pierwszą współrzędną.

Zatem: x=12

`ul(x-12=0)`  

Oblicz współczynnik a wielomianu w jeśli

`a)`

`w(2)=2^2-a*2+2=4-2a+2=6-2a`

`"wiemy, że "w(2)=4," czyli "6-2a=4`

`6-2a=4\ \ \ |-6`

`-2a=-2\ \ \ |:(-2)`

`a=1`

 

 

 

`b)`

`w(0)=0^3-2*0^2+a=a`

`a=-2`

 

 

 

`c)`

`w(1)-w(-1)=(a*1^3-5*1^2+1)-(a*(-1)^3-5*(-1)^2+(-1))=`

`=(a-5+1)-(-a-5-1)=(a-4)-(-a-6)=a-4+a+6=2a+2`

 

`2a+2=3/2\ \ \ |-2`

`2a=-1/2\ \ \ |:2`

`a=-1/4`

 

` `