Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $$sin x$$ > $${1}/{2}$$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy $${1}/{2}$$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta $${∏}{6} = 30°$$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta $${5∏ }{6}$$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między $${∏}/{6}$$ a $${5∏}/{6}$$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $$2∏$$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od $${∏}/{6} + k×2∏$$ do $${5 ∏}/{6} + k×2∏$$, gdzie $$k$$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $$ an ({∏}/{2} - x)$$ > $$1$$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $$ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $$∏$$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = $${∏}/{4}$$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do $${∏}/{4}$$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $$k×∏$$ do $$k×∏ + {∏}/{4}$$ dla $$k$$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Wyznacz m wiedząc, że wykres funkcji liniowej

Jeśli dwa wykresy funkcji liniowych są prostopadłe, to iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych wynosi -1.

 

`a)`

`3*m=-1\ \ \ |:3`

`m=-1/3`

 

 

`b)`

`(-0,25m+3)*4=-1`

`-m+12=-1\ \ \ |-12`

`-m=-13\ \ \ |*(-1)`

`m=13`

 

 

`c)`

`(4-2m)*(-2/3)=-1\ \ \ |*(-3/2)`

`4-2m=3/2\ \ \ |-4`

`-2m=1 1/2-4`

`-2m=-2 1/2 \ \ \ |:(-2)`

`m=-5/2:(-2)=-5/2*(-1/2)=5/4`

 

 

`d)`

`-1*(2m-sqrt5)=-1\ \ \ |*(-1)`

`2m-sqrt5=1\ \ \ |+sqrt5`

`2m=1+sqrt5 \ \ \ |:2`

`m=(1+sqrt5)/2`

 

 

`e)`

`m(1+sqrt2)*(1-sqrt2)=-1`

`m(1^2-sqrt2^2)=-1`

`m*(1-2)=-1`

`m*(-1)=-1\ \ \ |:(-1)`

`m=1`

 

 

 `f)` 

`-(m^2+4m+4)*1=-1`

`-(m+2)^2=-1\ \ \ |+1`

`1-(m+2)^2=0`

`1^2-(m+2)^2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a^2-b^2=(a-b)(a+b))`

`(1-(m+2))*(1+(m+2))=0`

`(1-m-2)*(1+m+2)=0`

`(-1-m)*(m+3)=0`

`-1-m=0\ \ \ vee\ \ \ m+3=0`

`m=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ m=-3`

   

Dla jakich wartości parametrów m i n wyrażenia S i T

`a)` 

`S=(x+4)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+4(x^2-x+1)=` 

`\ \ \ =x^3-x^2+x+4x^2-4x+4=` `x^3+3x^2-3x+4` 

 

`m=3` 

`n=-3` 

 

 

 

`b)` 

`S=(2x^2-1)(x^2-3x+2)=2x^2(x^2-3x+2)-1(x^2-3x+2)=` 

`\ \ \ =2x^4-6x^3+4x^2-x^2+3x-2=` `2x^4-6x^3+3x^2+3x-2` 

 

`3m=-6\ \ \ =>\ \ \ m=-6:3=-2` 

`6n=3\ \ \ =>\ \ \ n=3/6=1/2` 

Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

`a)\ (x^2+1)(x+1)(x-1)=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2)^2-1^2=x^4-1`

`b)\ (sqrt2-x)(sqrt2+x)(x^2+2)=(sqrt2^2-x^2)(2+x^2)=(2-x^2)(2+x^2)=2^2-(x^2)^2=4-x^4`

`c)\ (2x+1)(4x^2+1)(1-2x)=(1+2x)(1-2x)(1+4x^2)=(1-4x^2)(1+4x^2)=1-16x^4`

`d)\ (x^2-2x+1)(x+1)^2=(x-1)^2(x+1)^2=((x-1)(x+1))^2=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1`

 

Oblicz wartość wyrażenia dla podanego x

W każdym przykładzie najpierw upraszczamy wyrażenie, a dopiero potem obliczamy wartość liczbową. 

 

 

 

`a)\ (x+5)^2-(x-1)^2-12(x+2)=` 

`\ \ \ =x^2+10x+25-(x^2-2x+1)-12x-24=` 

`\ \ \ =x^2+10x+25-x^2+2x-1-12x-24=0` 

Oznacza to, że dla dowolnego x (także dla tego podanego w zadaniu) jest przyjmowana wartość 0.

 

 

`b)\ (x-3)^2+(2x+1)^2+5(x+1)(1-x)=` 

`\ \ \ =x^2-6x+9+4x^2+4x+1+5(1+x)(1-x)=` 

`\ \ \ =5x^2-2x+10+5(1-x^2)=` 

`\ \ \ =5x^2-2x+10+5-5x^2=` 

`\ \ \ =-2x+15=-2*(15-sqrt2)/2+15=` 

`\ \ \ =-(15-sqrt2)+15=-15+sqrt2+15=sqrt2` 

 

 

`c)\ (x-3)(x+3)(2x^2+18)=(x^2-9)(2x^2+18)=` 

`\ \ \ =(x^2-9)(x^2+9)*2=(x^4-81)*2=2x^4-81=` 

`\ \ \ =2*sqrt11^4-81=` `2*11^2-81=` 

`\ \ \ =2*121-81=242-81=161`     

 

Kuba zapomniał dwie ostatnie cyfry

Kuba wie, że dwie ostatnie cyfry to cyfry nieparzyste. Cyfry nieparzyste to: 1, 3, 5, 7, 9. Na każdym z dwóch miejsc Kuba może więc wstawić jedną z pięciu cyfr nieparzystych. Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

`5*5=5^2=25` 

Podaj kąt nachylenia wykresu funkcji liniowej

`a)\ tgalpha=1\ \ \ =>\ \ \ alpha=45^o`

`b)\ tgalpha=-sqrt3=-tg60^o\ \ #=^(II\ "ćwiartka")\ \ tg(180^o-60^o)=tg120^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=120^o`

`c)\ tgalpha=-sqrt3/3=-tg30^o\ \ #=^("II ćwiartka")\ \ tg(180^o-30^o)=tg150^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=150^o`

Oblicz sumę odwrotności pierwiastków równania

`a)` 

`x-4=0\ \ \ vee\ \ \ x-2=0` 

`x=4\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=2` 

`1/4+1/2=1/4+2/4=3/4`  - suma odwrotności pierwiastków równania

 

 

 

`b)` 

`x+1=0\ \ \ vee\ \ \ x-3=0` 

`x=-1\ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=3` 

`-1/1+1/3=-1+1/3=-2/3` 

 

 

 

`c)` 

`2x-1=0\ \ \ vee\ \ \ 3x-1=0` 

`2x=1\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ 3x=1` 

`x=1/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=1/3` 

`1/(1/2)+1/(1/3)=2+3=5` 

 

 

 

`d)` 

`4x-1=0\ \ \ vee\ \ \ 2x+1=0` 

`4x=1\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ 2x=-1` 

`x=1/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=-1/2` 

`1/(1/4)+1/(-1/2)=4+(-2)=2` 

 

 

 

`e)` 

`2x-3=0\ \ \ vee\ \ \ 4x-3=0`  

`2x=3\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ 4x=3` 

`x=3/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=3/4` 

`1/(3/2)+1/(3/4)=2/3+4/3=6/3=2` 

 

 

`f)` 

`4x+5=0\ \ \ vee\ \ \ 3x+5=0` 

`4x=-5\ \ \ \ \ \ vee\ \ \ 3x=-5` 

`x=-5/4\ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=-5/3` 

`1/(-5/4)+1/(-5/3)=-4/5-3/5=-7/5=- 1 2/5`     

       

 

 

Ile rozwiązań równania należy do podanego przedziału?

`a)`

`x^3-16x=0`

`x(x^2-16)=0`

`x(x-4)(x+4)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x=4 \ \ \ vee\ \ \ x=-4`

Do podanego przedziału należą wszystkie trzy rozwiązania

 

 

 

`b)`

`x^3-25x=0`

`x(x^2-25)=0`

`x(x-5)(x+5)=0`

`ul(x=0)\ \ \ vee\ \ \ x=5\ \ \ vee\ \ \ ul(x=-5)`

Do podanego przedziału należą 2 rozwiązania

 

 

 

 

`c)`

`x^3-3x=0`

`x(x^2-3)=0`

`x(x-sqrt3)(x+sqrt3)=0`

`ul(x=0)\ \ \ vee \ \ \ x=sqrt3~~1,73>3/2\ \ \ vee\ \ \ x=-sqrt3~~-1,73<-3/2`

Do podanego przedziału należy jedno rozwiązanie

 

 

 

 

`d)`

`4x-x^3=0`

`x(4-x^2)=0`

`x(2-x)(2+x)=0`

`ul(x=0)\ \ \ vee\ \ \ ul(x=2)\ \ \ vee\ \ \ x=-2`

Do podanego przedziału należą 2 rozwiązania

 

 

 

`e)`

`4x+x^3=0`

`x(#(4+x^2)^(>0))=0`

`x=0`

Do podanego przedziału należy jedyne rozwiązanie

 

 

 

 

`f)`

`x^3-6x=30x\ \ \ |-30x`

`x^3-36x=0`

`x(x^2-36)=0`

`x(x-6)(x+6)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x=6\ \ \ vee\ \ \ x=-6`

Do podanego przedziału należą wszystkie trzy rozwiązania 

 

Oblicz

`a)\ (-2)^5=-32`

`\ \ \ (-2)^(-5)=1/(-2)^5=-1/32`

`\ \ \ 2^-5=1/2^5=1/32`

 

`b)\ (1/3)^-2=3^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-2=(-3)^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-3=(-3)^-3=-27`

 

`c)\ (sqrt3)^4=3^2=9`

`\ \ \ (sqrt3)^-2=1/(sqrt3)^2=1/3`

`\ \ \ (sqrt3)^-6=1/(sqrt3)^6=1/3^3=1/27`

 

`d)\ (sqrt2)^6=2^3=8`

`\ \ \ (sqrt2)^7=(sqrt2)^6*sqrt2=2^3*sqrt2=8sqrt2`

`\ \ \ (sqrt2)^-8=1/(sqrt2)^8=1/2^4=1/16`

Czy dla m=2 liczba a jest pierwiastkiem danego równania

Wystarczy podstawić m=2 oraz podstawić a w miejsce x i sprawdzić, czy otrzymamy równość prawdziwą

 

`a)`

`-3*(-1)^3+2*(-1)^2+2*(-1)-3=`

`=-3*(-1)+2*1-2-3=`

`=3+2-2-3=0`

Liczba a=-1 jest pierwiastkiem równania. 

 

 

`b)`

`2^3+(2*2-1)*2^2-3*2+7=`

`=8+3*4-6+7=`

`=8+12+1=21ne0`

Liczba a=2 nie jest pierwiastkiem równania

 

 

`c)`

`-3^3+2*3^2-2*3+5=`

`=-27+2*9-6+5=`

`=-27+18-1=-10ne0`

Liczba a=3 nie jest pierwiastkiem równania

 

 

`d)`

`(-2)^3+3*(-2)^2+(2^2-2*2)*(-2)-4=`

`=-8+3*4+0*(-2)-4=`

`=-8+12-4=0`

Liczba a=-2 jest pierwiastkiem równania