Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $sin x$ > ${1}/{2}$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy ${1}/{2}$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta ${∏}{6} = 30°$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta ${5∏ }{6}$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między ${∏}/{6}$ a ${5∏}/{6}$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $2∏$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od ${∏}/{6} + k×2∏$ do ${5 ∏}/{6} + k×2∏$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $ an ({∏}/{2} - x)$ > $1$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $∏$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = ${∏}/{4}$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do ${∏}/{4}$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $k×∏$ do $k×∏ + {∏}/{4}$ dla $k$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wprowadź zmienną pomocniczą, ...

 


Przyjmijmy, że: 

 


Równanie ma wtedy postać: 

 

 

 

 

 


Mamy więc: {premium}

   

 

 


Ostateczna odpowiedź: 

    

 


 


Przyjmijmy, że: 

 


Równanie ma wtedy postać: 

 

 

 

 

 


Mamy więc: 

  

 

 


Ostateczna odpowiedź: 

  

 


 


Przyjmijmy oznaczenia: 

 


Równanie ma postać: 

 

 

 

 

 


Mamy więc: 

     

 

    


Ostateczne rozwiązanie: 

      

 


 


Przyjmijmy oznaczenia: 

 


Równanie ma wtedy postać: 

 

 

 

 

 


Mamy więc: 

 

 

 


Ostateczne rozwiązanie: 

    

 


 


Przyjmijmy, że: 

 


Równanie ma wtedy postać: 

 

 

 

 

 


Mamy więc: 

 

 

      


Ostateczne rozwiązanie: 

 

 


 


Przyjmijmy oznaczenia: 

 


Równanie ma postać: 

 

 

 

 

 

 

 


Mamy więc: 

   

 

 


Ostateczne rozwiązanie: 

 

 

Osiem osób, wśród których są ...

a) Państwo Kowalscy mają być w tej samej drużynie. Mogą być w jednej z 2 drużyn. Do ich drużyny należy wybrać jeszcze 2 osoby. Ze zbioru 6-elementowego chcemy wybrać podzbiór 2-elementowy (pozostała część drużyny). Liczba możliwości wynosi więc: {premium}

 


b) Państwo Kowalscy mają być w różnych drużynach. W jednej drużynie musi znaleźć się 1 z tych dwóch osób i 3 pozostałych graczy. Ze zbioru 2-elementowego chcemy wybrać podzbiór 1-elementowy (pani Kowalska lub pan Kowalski), ze zbioru 6-elementowego chcemy wybrać podzbiór 3-elementowy (pozostała część drużyny). Liczba możliwości wynosi więc:

 

Działka budowlana ma kształt...

a)

 

Zauważmy, że trójkąt  jest charakterystyczny, o kątach  

 

Wobec tego  

 

 

Zauważmy, że trójkąt  jest charakterystyczny, o kątach  

 

{premium}  

 

 

Zauważmy, że 

 

 

 

 

  

 

 


b)

 

Korzystając z tw. cosinusów możemy wyznaczyć długość przekątnej AC.

 

 

 

 

 

 

 

Korzystając z tw. cosinusów możemy wyznaczyć miarę kąta  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W sześciokącie narysowanym obok...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:  {premium}



Sześciokąt ten możemy podzielić na dwa czworokąty, na których możemy opisać okrąg, zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 


Obliczmy miary pozostałych kątów tego sześciokąta:

 

 


Odp.: Miary pozostałych kątów tego sześciokąta mają po 110o

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f ...

a) Aby narysować wykres funkcji g wystarczy funkcję f odbić symetrycznie względem osi OY.

Wykres funkcji g:

 

 


b) Zauważmy, że: {premium}

 

 

Zatem aby narysować wykres funkcji g należy wykres f(-x) przesunąć o wektor [2, 0].

Wykres funkcji g:

 

 


c) Zauważmy, że:

 

 

Zatem aby narysować wykres funkcji g należy wykres f(-x) przesunąć o wektor [2, 1].

Wykres funkcji g:

 


d) Zauważmy, że:

 

 

Należy funkcję f(-x) przesunąć o wektor [1,0], a następnie odbić symetrycznie względem osi OX.

 

Punkt A(1, -5) należy do wykresu wielomianu f(x)

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

Wykorzystując równania oznaczone 1 i 2 gwiazdkami możemy wstawić zależności do równania oznaczonego 3 gwiazdkami: 

Wyznacz przedziału monotoniczności...

 

 

 

 

 

 

 

 

Funkcja malejąca dla:

 

 

  

 

 

 

Funkcja rosnąca dla:

{premium}  

 

 

Funkcja ma ekstremum gdyż dochodzi do zmiany znaku pochodnej. Jest to maksimum.

 

 

 

 

 

 

 

Funkcja jest malejąca dla:

 

 

 

Funkcja jest rosnąca dla:

  

 

Dla x = 0 funkcja ma ekstremum gdyż dochodzi do zmiany znaku pochodnej. Jest to maksimum.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funkcja rosnąca dla:

 

 

 

 

Funkcja malejąca dla:

 

 

Funkcja ma ekstremum w punktach -9 , -1.

Minimum:

 

Maksimum:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Parabola ma ramona skierowane ku dołowi a więc:

 

Funkcja malejąca dla:

 

 

Funkcja rosnąca dla:

 

 

Funkcja ma dwa ekstrema w punktach:

 

Minimum:

 

 

 

Maksimum:

  

Wykaż, że dla każdej liczby...

Wykorzystując wzory skróconego mnożenia przekształćmy podaną nierówność:

   {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem podana nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

c.n.w.

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej ...

Miejsca zerowe:  ,  .

 

A.  Punkty   ,  mogą być miejscami zerowymi zarówno funkcji kwadratowej,

której ramiona są skierowane do góry (dla  ),{premium}

jak i funkcji, której ramiona są skierowane do dołu (dla  ).

Z podanych informacji nie możemy określić, czy  .

A. fałsz 

 

B. Wierzchołek paraboli zawsze leży w połowie między miejscami zerowymi, 

Możemy sprawdzić prawdziwość tego stwierdzenia obliczając średnią arytmetyczną liczb, które są pierwszymi współrzędnymi miejsc zerowych.

 

B. prawda 

 

C.  Punkty   ,  mogą być miejscami zerowymi funkcji kwadratowej,

której wierzchołek znajduje na prostej będącej jej osią symetrii (w tym przypadku  ).

Z podanych informacji nie możemy stwierdzić, czy  .

C. fałsz 

Rozwiąż równanie.

 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:{premium}

 

 

 

Równanie nie ma rozwiązań.


 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

 

 

Rozwiązaniem równania jest liczba 3.


 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

 

 

Rozwiązaniem równania jest liczba 0.


 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

 

Rozwiązaniem równania jest liczba 2.