Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $$sin x$$ > $${1}/{2}$$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy $${1}/{2}$$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta $${∏}{6} = 30°$$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta $${5∏ }{6}$$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między $${∏}/{6}$$ a $${5∏}/{6}$$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $$2∏$$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od $${∏}/{6} + k×2∏$$ do $${5 ∏}/{6} + k×2∏$$, gdzie $$k$$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $$ an ({∏}/{2} - x)$$ > $$1$$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $$ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $$∏$$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = $${∏}/{4}$$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do $${∏}/{4}$$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $$k×∏$$ do $$k×∏ + {∏}/{4}$$ dla $$k$$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczby 2, 5, 8, ...

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. C

Trzy brygady: B1. B2. B3 produkują deski ...

Drzewko: {premium}

podglad pliku

 

Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana deska jest wadliwa:

 

a) Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat

a)

b)

Udowodnij, że kwadrat liczby parzystej...

a) Dowolną liczbę parzystą możemy zapisać w postaci:

 

Jej kwadrat to:

 

Liczba 2 występuje w rozkładzie liczby na czynniki a więc cała liczba jest podzielna przez 2, czyli jest liczbą parzystą.

 

b) Dwie kolejne liczby naturalne możemy zapisać w postaci:

 

Ich suma to:

 

Zauważmy, że 2n jest liczbą parzystą. Jeżeli do liczby parzystej dodamy 1 to powstanie nam liczba nieparzysta.

 

 

2n+1 jest liczbą nieparzystą. 

Punkt S jest środkiem odcinka...

a)

 

 

 

 


b)

 

 

 

 


c)

  

 

 

 


d)

 

 

 

 

 

Rozwiązując pierwsze równanie otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla jakiej wartości parametru...

Jeżeli liczba jest pierwiastkiem równania to znaczy, że spełnia go. Podstawmy zatem pod zmienną x liczbę 1.

 

 

 

 

 

 

Oblicz drugi i piąty wyraz ciągu...

 

 

 

 

 

 

Stąd:

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

  

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

 

Naszkicuj wykres...

a) Wykres:

Granica lewostronna nie jest równa granicy prawostronnej tak więc granica w tym punkcie nie istnieje.

 

 

b) Wykres:

Granica lewostronna nie jest równa granicy prawostronnej tak więc granica w tym punkcie nie istnieje.

Przekątna d prostokąta będącego

Wiemy, że sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. 

 

 

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, ile wynosi r. Należy pamiętać, że trójkąt ma boki h, d oraz 2r (dłuższa przyprostokątna składa się z dwóch promieni). 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

 

 

Funkcja liniowa f(x)=-3ax-b jest malejąca...

 Niech  

Wiemy, ze wykresy funkcji  i  przecinają oś  w tym samym punkcie, stąd:

 

 

 

 

 

Odp. Odcięta punktu  jest równa  

 

 Wiemy, że wykres funkcji  jest prostopadły do wykresu funkcji  stąd:

 

Wówczas:

 

Wstawiamy współrzędne punktu          

 

 

 

 

  

 

 

 

Funkcja  jest malejąca, stąd  

Zatem  

Obliczamy  

    

 

Wstawiamy wyznaczone  i  do wzorów funkcji  i