Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $sin x$ > ${1}/{2}$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy ${1}/{2}$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta ${∏}{6} = 30°$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta ${5∏ }{6}$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między ${∏}/{6}$ a ${5∏}/{6}$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $2∏$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od ${∏}/{6} + k×2∏$ do ${5 ∏}/{6} + k×2∏$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $ an ({∏}/{2} - x)$ > $1$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $∏$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = ${∏}/{4}$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do ${∏}/{4}$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $k×∏$ do $k×∏ + {∏}/{4}$ dla $k$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podstawa trójkąta równoramiennego...

W wyniku obrotu trójkąta ABC wokół prostej BC otrzymamy dwa stożki "sklejone" podstawami jak na rysunku poniżej: {premium}


Mamy dane:

 

 


Z tw. Pitagorasa dla trójkąta AEC:

 

 

 

 

 


Porównując wzory na pole dla trójkąta ABC otrzymujemy:

 

 

 

 


Pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły jest równe sumie pól powierzchni bocznych dwóch stożków:

 


Objętość otrzymanej bryły jest równa sumie objętości dwóch stożków:

 


 

Oblicz wartość wyrażenia. Zapisz konieczne założenia.

a) Założenia:

 


Obliczamy wartość wyrażenia:{premium}

 



b) Założenia:

 


Obliczamy wartość wyrażenia:

 

Określ, czy funkcja jest jednomianem

 

Nie jest to jednomian, ponieważ wykładnik potęgi (-1) nie jest liczbą naturalną. 

 

{premium}  

 

 

Nie jest to jednomian, ponieważ pierwiastek kwadratowy to potęga 1/2 - nie jest to liczba naturalna. 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ ...

 

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy drugie równanie:{premium}

 

 

 

 

 

 

Punkty przecięcia wykresów to P1=(1,3) oraz P2=(-3,-1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

 

 

 

 

 

  

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

  

 

 

  

  

 

  

Punkty przecięcia wykresów to P1=(3,-4) oraz P2=(-2,1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

  

 

 

  

 

   

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

   

   

 

   

  

   

 

     

Punkty przecięcia wykresów to P1=(-2,1) oraz P2=(-4,-3).

 

Rozwiązanie graficzne:

Dane są zbiory

Liczby 2log2(x-2), log2(x-2), 1/2 ...

Zał:

 

 

 

 

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:

 

Zatem otrzymujemy: {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy pierwszy i drugi wyraz tego ciągu, a następnie iloraz tego ciągu.

 

 

 

 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu.

 

 

Oś y układu współrzędnych...

a) Skoro oś y jest osią symetrii trójkąta i punkt C leży na tej osi to znaczy, że punkt B jest obrazem punktu A w symetrii względem tej osi:

 

 

b) Skoro trójkąt ma oś symetrii to jest trójkątem równoramiennym lub równobocznym.

{premium}  

 

Obliczmy długości boków:

 

  

 

A więc trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym.

 

c) Wysokość opuszczona z wierzchołka C na bok AB wynosi

 

 

Długość boku AB na który opuszczamy wysokość z wierzchołka C wynosi:

 

 

Pole trójkąta:

 

Obwód wynosi:

 

Rozwiąż nierówność.

a) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność:{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


c) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


d) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Łączymy odpowiednio środki ścian...

Policzmy długość krawędzi ośmiościanu, ośmiościan to dwa sklejone ze sobą podstawami ostrosłupy prawidłowe czworokątne. Rysunek ostrosłupa:

Przekątna kwadratu jest równa długości krawędzi sześcianu. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest połową długości krawędzi sześcianu.

 

 

Długość krawędzi policzymy z twierdzenia Pitagorasa:

 

{premium}  

 

 

Ścianą ośmiościanu jest trójkąt równoboczny. Mamy 8 takich trójkątów a więc pole powierzchni to ośmiokrotne pole trójkąta równobocznego.

Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a:

 

Pole powierzchni całkowitej

 

 

Ośmiościan to dwa ostrosłupy czworokątne prawidłowe sklejone podstawami. Objętość ostrosłupa możemy obliczyć ze wzoru:

 

Wiemy, że przekątna kwadratu jest dana wzorem:

 

  

 

 

 

Obliczmy podwojoną objętość ostrosłupa żeby poznać objętość ośmiościanu.

 

Wyznacz zbiory A, B

{premium}