Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $$sin x$$ > $${1}/{2}$$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy $${1}/{2}$$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta $${∏}{6} = 30°$$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta $${5∏ }{6}$$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między $${∏}/{6}$$ a $${5∏}/{6}$$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $$2∏$$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od $${∏}/{6} + k×2∏$$ do $${5 ∏}/{6} + k×2∏$$, gdzie $$k$$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $$ an ({∏}/{2} - x)$$ > $$1$$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $$ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $$∏$$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = $${∏}/{4}$$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do $${∏}/{4}$$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $$k×∏$$ do $$k×∏ + {∏}/{4}$$ dla $$k$$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji...

`f(x) = sin(x + pi/6)` 

Wykres:

1 rozwiązanie dla:

`sin x =-1 \ \ vv \ \ sin x = 1` 

2 rozwiązania dla:

`-1 

3 rozwiązania dla:

`sin x = -1/2` 

 

  • 1 rozwiązanie:

`k^2-1=-1` 

`k^2 = 0` 

`k = 0` 

 

`k^2-1 = 1` 

`k^2 = 2` 

`k = sqrt2 \ \ vv \ \ k = - sqrt2` 

  • 3 rozwiązania:

`k^2-1=-1/2` 

`k^2 = 1/2` 

`k = sqrt2/2 \ \ vv \ \ k = -sqrt2/2` 

  • 2 rozwiązania:

`-1 < k^2 -1 < -1/2` 

`0 < k^2 < 1/2` 

`k^2 < 1/2` 

`k^2 - 1/2 < 0` 

`(k-sqrt2/2)(k+sqrt2/2)<0` 

`k in (-sqrt2/2, 0) \cup (0, sqrt2/2)` 

 

 

`-1/2 < k^2-1 < 1` 

`1/2 < k^2 < 2` 

`1/2 < k^2 \ \ ^^ \ \ k^2 < 2` 

`0 < k^2 -1/2 \ \ ^^ \ \ k^2 - 2 < 0` 

`0 < (k-sqrt2/2)(k+sqrt2/2) \ \ ^^ \ \ (k-sqrt2)(k+sqrt2)<0` 

`k in (-oo, -sqrt2/2) \cup (sqrt2/2, oo) \ \ ^^ \ \ k in (-sqrt2, sqrt2)` 

A więc:

`k in (-sqrt2, -sqrt2/2) \cup (sqrt2/2, sqrt2)` 

 

Podsumowując:

`k in (-sqrt2, -sqrt2/2) \cup (-sqrt2/2, 0) \cup (0, sqrt2/2) \cup (sqrt2/2, sqrt2)` 

 

  • A więc 0 rozwiązań będzie dla:

`k in (-oo, -sqrt2) \cup (sqrt2, oo)`  

Pole trójkąta ABC jest równe 24....

k - skala podobieństwa

`k=56/8=7`

`P_(K L M)/P_(A B C)=k^2`

`P_(K L M)=49*24\ cm^2=1176\ cm^2`

Rozwiąż równanie.

`a) \ cos3x - sin3x = 1` 

Z własności

`sin(pi/2-alpha) = cos(alpha)` 

 

`sin(pi/2 - 3x) - sin3x = 1` 

`2 sin((pi/2 -3x-3x)/2) cos((pi/2-3x+3x)/2)=1` 

`sin(pi/4 - 3x) cos(pi/4) =1/2` 

`sin(pi/4 - 3x) * sqrt2/2 = 1/2` 

`sin(pi/4 - 3x) = sqrt2/2` 

`pi/4 - 3x = pi/4 + 2kpi \ \ vv \ \ pi/4 - 3x = (3pi)/4 + 2kpi` 

`-3x = 2kpi \ \ vv \ \ -3x = pi/2 + 2kpi` 

`x = -(2kpi)/3 \ \ vv \ \ x = -pi/6 - (2kpi)/3, \ \ \ k in C` 

 

`b) \ sin 4x - sin2x = sinx` 

`2 sin((4x-2x)/2) cos((4x+2x)/2) = sin x` 

`2 sinx cos(3x) = sinx` 

`2 sinx cos 3x - sinx =0` 

`sinx(2cos3x-1)=0` 

`sin x =0 \ \ vv \ \ 2 cos3x - 1 =0` 

`sin x = 0 \ \ vv \ \ cos3x = 1/2` 

`x = kpi \ \ vv \ \ 3x = - pi/3 + 2kpi \ \ vv \ \ 3x = pi/3 + 2kpi` 

`x_1 = kpi \ \ vv \ \ x_2 = -pi/9 + (2kpi)/3 \ \ vv \ \ x_3=pi/9 + (2kpi)/3 , \ \ \ k in C` 

 

`c) \ cos 7x = cos 4x - cosx` 

`cos 7x + cosx = cos4x` 

`2 cos((7x+x)/2) cos((7x-x)/2) = cos4x` 

`2 cos4x cos3x = cos4x` 

`2cos4x cos3x - cos4x=0` 

`cos4x(2cos3x - 1)=0` 

`cos4x = 0 \ \ vv \ \ cos3x = 1/2` 

`4x = pi/2 + kpi \ \ vv \ \ 3x = -pi/3 + 2kpi \ \ vv \ \ 3x = pi/3 + 2kpi` 

`x_1 = pi/8 + (kpi)/4 \ \ vv \ \ x_2 = -pi/9 + (2kpi)/3 \ \ vv \ \ x_3 = pi/9 + (2kpi)/3 , \ \ \ k in C` 

 

`d) \ cos x - cos3x = sinx - sin3x` 

`-2 sin((x + 3x)/2)sin((x - 3x)/2) = 2 sin((x-3x)/2) cos((x+3x)/2)` 

`-2 sin2x sin(-x) = 2 sin(-x) cos2x` 

`2 sin2xsinx = -2sinxcos2x` 

`2sin2xsinx+2sinxcos2x=0` 

`2sinx(sin2x + cos2x)=0` 

Z własności:

`sin(pi/2 -alpha) = cos alpha`  

 

`2 sinx (sin2x + sin(pi/2-2x))=0` 

`2sinx (2sin((2x + pi/2 -2x)/2) cos((2x-pi/2 + 2x)/2))=0` 

`4 sinx sin(pi/4) cos(2x - pi/4) =0` 

`sinx cos(2x-pi/4) =0` 

`sin x = 0 \ \ vv \ \ cos(2x-pi/4)=0` 

`x_1 = kpi \ \ vv \ \ 2x - pi/4 = pi/2 + kpi` 

`x_1 = kpi \ \ vv \ \ 2x = (3pi)/4 + kpi` 

`x_1 = kpi \ \ vv \ \ x_2 = (3pi)/8 + (kpi)/2 , \ \ \ k in C` 

 

`e) \ sqrt2 cos(x+pi/4) = cos3x + sin x` 

`sqrt2(cosx cos(pi/4) - sinx sin(pi/4)) = cos3x + sinx` 

`sqrt2(sqrt2/2 cosx - sqrt2/2 sinx) = cos3x + sinx` 

`cosx - sinx = cos3x + sinx` 

`cosx - cos3x = 2sinx` 

`-2 sin((x+3x)/2) sin((x-3x)/2) = 2 sinx`

`-2sin2x sin(-x) = 2 sinx` 

`2sin2x sinx - 2sinx=0` 

`2sinx(sin2x -1) =0` 

`sinx =0 \ \ vv \ \ sin2x = 1` 

`x_1 = kpi \ \ vv \ \ 2x = pi/2 + 2kpi` 

`x_1 = kpi \ \ vv \ \ x = pi/4 + kpi , \ \ \ k in C` 

 

`f) \ sin(3/2pi + x) = cos2x` 

`sin((x+pi)+pi/2) = cos2x`  

`cos(x+pi) = cos2x` 

`cos(x+pi) - cos2x=0` 

`-2 sin((x+pi +2x)/2) sin((x+pi -2x)/2)=0` 

`sin((3x+pi)/2) sin((pi-x)/2) =0` 

`sin((3x+pi)/2) =0 \ \ vv \ \ sin((pi-x)/2)=0` 

`(3x+pi)/2 = kpi \ \ vv \ \ (pi-x)/2 = kpi` 

`3x + pi = 2kpi \ \ vv \ \ pi - x = 2kpi` 

`3x = -pi + 2kpi \ \ vv \ \ -x = -pi + 2kpi` 

`x_1 = -pi/3 + (2kpi)/3 \ \ vv \ \ x_2 = pi - 2kpi` 

x2 zawiera się w x1 a więc:

`x_1 = -pi/3 + (2kpi)/3 , \ \ \ k in C` 

Ile miejsc zerowych ma funkcja f

W każdym przykładzie zaczniemy od wyznaczenia dziedziny. Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez 0, dlatego musimy zadbać o to, aby wyrażenie w mianowniku nie przyjmowało wartości 0. 

 

`a)` 

`(x-1)^2(x+2)^2ne0` 

`x-1ne0\ \ \ "i" \ \ \ x+2ne0` 

`xne1\ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ xne-2` 

`D=RR\\{-2;\ 1}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`((x^2-1)(x^2-4)(x^2+9))/((x-1)^2(x+2)^2)=0\ \ \ \ \ |*(x-1)^2(x+2)^2` 

`(x^2-1)(x^2-4)(x^2+9)=0` 

`(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x^2+9)=0` 

`x-1=0\ \ \ "lub"\ \ \ x+1=0\ \ \ "lub"\ \ \ x-2=0\ \ \ "lub"\ \ \ x+2=0\ \ \ "lub"\ \ \ x^2+9=0` 

`x=1\ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=-1\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=2\ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=-2\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x^2=-9` 

Ostatnie równanie nie ma rozwiązania - kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nigdy nie przyjmie wartości równej -9.

Stąd mamy czterech "kandydatów na miejsce zerowe". Sprawdzamy, które z otrzymanych rozwiązań należą do dziedziny. 

`x=1notinD\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1inD\ \ \ "lub"\ \ \ x=2inD\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2notinD` 

Odrzucamy rozwiązania nienależące do dziedziny i ostatecznie mamy dwa miejsca zerowe:

`ul(ul(x=-1\ \ \ "lub"\ \ \ x=2))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`   

 

 

`b)` 

`x^2-4x+4ne0` 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy możemy zapisać:

`(x-2)^2ne0` 

`x-2ne0` 

`xne2` 

`D=RR\\{2}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(x^2(x^2-2)(x-2)^2)/(x^2-4x+4)=0\ \ \ \ \ |*(x^2-4x+4)` 

`x^2(x^2-2)(x-2)^2=0` 

`x^2(x-sqrt2)(x+sqrt2)(x-2)^2=0` 

`x=0inD\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=sqrt2inD\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-sqrt2inD\ \ \ \ "lub" \ \ \ \ x=2notinD` 

Odrzucamy rozwiązania nienależące do dziedziny i ostatecznie mamy trzy miejsca zerowe:

`ul(ul(x=0\ \ \ "lub"\ \ \ x=sqrt2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-sqrt2))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

`x(x^2+6x+9)ne0` 

`x(x+3)^2ne0` 

`xne0\ \ \ "i"\ \ \ xne-3` 

`D=RR\\{-3;\ 0}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(x^2(x^2-9)(9x^2+6x+1))/(x(x^2+6x+9))=0\ \ \ \ \ \ \ |*x(x^2+6x+9)` 

`x^2(x^2-9)(9x^2+6x+1)=0` 

`x^2(x-3)(x+3)(3x+1)^2=0` 

`x=0notinD\ \ \ "lub"\ \ \ x=3inD\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3notinD\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1/3inD` 

Odrzucamy rozwiązania nienależące do dziedziny i ostatecznie mamy dwa miejsca zerowe:

`ul(ul(x =3\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1/3))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`(x^2+4)(x+4)^2ne0` 

`x^2+4ne0\ \ \ "i"\ \ \ x+4ne0` 

`x^2ne-4\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ xne-4` 

Pierwszy warunek jest spełniony przez każdą liczbę rzeczywistą, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc na pewno nie będzie równy -4.

`D=RR\\{-4}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`((4x-1)^2(1-4x)^2(x^2+4x+4))/((x^2+4)(x+4)^2)=0\ \ \ \ \ \ |*(x^2+4)(x+4)^2` 

`(4x-1)^2(1-4x)^2(x^2+4x+4)=0` 

`(4x-1)^2(1-4x)^2(x+2)^2=0` 

`x=1/4inD\ \ \ \ "lub"\ \ \ x=1/4inD\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-2inD` 

Wszystkie otrzymane rozwiązania należą do dziedziny, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe:

`ul(ul(x=1/4\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2))` 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`f(x)=-12/x` 

 

`a)` 

`-12/x>=4` 

`x in [-3;0)` 

 

`b)` 

`-12/x<=6` 

`x in (-oo;-2] cup(0;+oo)` 

 

`c)` 

`12/x<=2` 

`-12/x>=-2`   

`x in (-oo;0)cup[6;+oo)` 

 

`d)` 

`3<=12/x<=6` 

`-3>=-12/x>=-6`        

`x in [2;4]`      

 

Sporządź odpowiednią tabelę

Podaj przykład dwóch liczb

Wiemy, że każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną. Jeśli więc rozwinięcie dziesiętne jest nieokresowe nieskończone, to liczba jest niewymierna. 

`a)`   

`x=0,0200\ 2000\ 2000\ 02...`  

`y=0,1011\ 0111\ 0111\ 10...` 

 

 

`b)` 

`"przykład pierwszy:"` 

`x=0,2022\ 0222\ 0222\ 20...` 

`y=0,1011\ 0111\ 0111\ 10...` 

 

`"przykład drugi:"` 

`x=0,9099\ 0999\ 0999\ 90...` 

`y=0,8088\ 0888\ 0888\ 80...` 

 

`"przykład trzeci:"` 

`x=0,4144\ 1444\ 1444\ 41...` 

`y=0,3133\ 1333\ 1333\ 31...` 

 

 

 

`c)` 

`x=0,0202\ 2022\ 2022\ 22...` 

`y=0,2020\ 0200\ 0200\ 00...` 

 

 

`d)` 

`"przykład pierwszy:"` 

`x=0,9199\ 1999\ 1999\ 91...` 

`y=0,8188\ 1888\ 1888\ 81...` 

 

`"przykład drugi:"` 

`x=0,2322\ 3222\ 3222\ 23...` 

`y=0,1211\ 2111\ 2111\ 12...` 

 

 

 

Fabryka rowerów

Wiemy, że kooperanci I i II dostarczają tyle samo lamp (oznaczmy jako x), a kooperant III dostarcza dwa razy więcej niż każdy z pozostałych (oznaczamy więc 2x). Wiemy, że kooperantów jest tylko trzech. Możemy zapisać równanie:

`x+x+2x=100%` 

`4x=100%\ \ \ \ |:4` 

`x=25%` 

`2x=2*25%=50%` 

 

Wiemy już, jaki jest udział w dostawie kolejnych kooperantów. Wprowadźmy oznaczenia:

`I\ \ -\ \ "lampa pochodzi od pierwszego kooperanta"`  

`II\ \ -\ \ "lampa pochodzi od drugiego kooperanta"` 

`III\ \ -\ \ "lampa pochodzi od trzeciego kooperanta"` 

 

`P(I)=P(II)=25%=25/100=1/4` 

`P(III)=50%=50/100=1/2` 

 

 

`A\ \ -\ \ "lampa świeci krócej, niż przewiduje czas podany w specyfikacji"` 

`P(A|I)=80%=80/100=4/5` 

`P(A|II)=60%=60/100=3/5` 

`P(A|III)=40%=40/100=2/5` 

 

 

`a)` 

`P(A)=P(A|I)*P(I)+P(A|II)*P(II)+P(A|III)*P(III)=4/5*1/4+3/5*1/4+2/5*1/2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =4/20+3/20+2/10=4/20+3/20+4/20=11/20` 

 

 

`b)` 

`P(A|I)*P(I)+P(A|II)*P(II)=4/5*1/4+3/5*1/4=4/20+3/20=7/20` 

 

`ul("uwaga")` 

W podręczniku podano błędną odpowiedź: 0,7 - zamiast mianownika 20 wzięto mianownik 10.  

 

Z miast A i B oddalonych o 510 km

Jeśli pociągi spotkały się w odległości 270 km od miasta A, to jeden pociąg pokonał 270 km, a drugi pokonał 510-270=240 km.

Oznaczmy prędkość drugiego pociągu przez v, prędkość pierwszego pociągu wynosi wtedy v+10. Pierwszy pociąg pokonał 270 km, ponieważ jego prędkość jest większa. 

Jeśli pociągi się spotkały, to czas jazdy jest taki sam, więc możemy zapisać: 

`270/(v+10)=240/v\ \ \ |*v(v+10)`

`270v=240(v+10)\ \ \ |:30`

`9v=8(v+10)`

`9v=8v+80\ \ \ |-8v`

`v=80`

`v+10=80+10=90`

 

Pociągi poruszały się z prędkościami 80 km/h oraz 90 km/h.

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

`a)\ P=(10,\ 12)` 

`b)\ x=10`  (pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek)

`c)\ fuarr\ \ \ gdy\ \ \ x in(10,\ +infty)` 

`\ \ \ fdarr\ \ \ gdy\ \ \ x in(-infty,\ 10)` 

`d)\ f(10)=12=f_(min)`  (bo ramiona są skierowane w górę, więc w wierzchołku P funkcja osiąga minimum)