Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $sin x$ > ${1}/{2}$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy ${1}/{2}$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta ${∏}{6} = 30°$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta ${5∏ }{6}$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między ${∏}/{6}$ a ${5∏}/{6}$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $2∏$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od ${∏}/{6} + k×2∏$ do ${5 ∏}/{6} + k×2∏$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $ an ({∏}/{2} - x)$ > $1$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $∏$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = ${∏}/{4}$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do ${∏}/{4}$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $k×∏$ do $k×∏ + {∏}/{4}$ dla $k$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty: A, B, C są wierzchołkami ...

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek BC.

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

     

 

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek BC.

 

 

 

  

  

  

 

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek BC.

 

 

 

  

 

 

 

 

   

     

 

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek BC.

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

      

Suma pierwszego, trzeciego i piątego wyrazu...

 

 

 

Iloraz jest różny od -1 bo jest monotoniczny oraz jest różny od 1 bo różnica elementu trzeciego i pierwszego jest różna od 0.

{premium}  

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro ciąg jest monotoniczny to q nie może być ujemne.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji...

Wiemy, że

{premium}  

A więc:

 

Dane są funkcje...

 

{premium}  

 

Skoro y = -7 jest asymptotą wykresu funkcji to znaczy, że b = -7

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Spodnie...

Oznaczmy przez x cenę spodni przed obniżką. 

Po obniżce o 30 % spodnie kosztowały 126 zł, 

czyli możemy zapisać{premium}

     

 

Odp. B. 

Określ stopień wielomianu.

 

Jednomiany naszego wielomianu są stopnia:

 

{premium}  

 

Najwyższy stopień jednomianów to 5 a więc cały wielomian jest stopnia 5.

 

 

Jednomiany naszego wielomianu są stopnia:

 

 

 

Najwyższy stopień jednomianów to 7 a więc cały wielomian jest stopnia 7.

 

 

Jednomiany naszego wielomianu są stopnia:

 

 

 

Najwyższy stopień jednomianów to 9 a więc cały wielomian jest stopnia 9.

Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego...

Czworościan foremny składa się z czterech trójkątów równobocznych, pole jednego to:

 

    {premium}

Pole trójkąta równobocznego jest równe:

 

 

 

Jeżeli poprowadzimy wysokość H czworościanu z jego wierzchołka opadającą na podstawę to otrzymamy trójkąt:

Wysokość czworościanu dzieli wysokość podstawy w stosunku 2:1. Obliczmy wysokość trójkąta równobocznego:

 

A więc:

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

Odpowiedź A

Dane są punkty: A(1;-1) ...

 

 

 

{premium}

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

Na podstawie cechy podobieństwa BBB dane trójkąty nie są podobne.

(Stosunki długości boków nie zgadzają się)

   

Na rysunku przedstawiono

 

             
             
{premium}

 

 

 

             
             
     

 

Wskaż wzór funkcji...

Funkcja dana wzorem:{premium}

 

leży w I i III ćwiartce gdy a>0.

Odpowiedź B