Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $$sin x$$ > $${1}/{2}$$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy $${1}/{2}$$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta $${∏}{6} = 30°$$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta $${5∏ }{6}$$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między $${∏}/{6}$$ a $${5∏}/{6}$$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $$2∏$$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od $${∏}/{6} + k×2∏$$ do $${5 ∏}/{6} + k×2∏$$, gdzie $$k$$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $$ an ({∏}/{2} - x)$$ > $$1$$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $$ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $$∏$$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = $${∏}/{4}$$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do $${∏}/{4}$$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $$k×∏$$ do $$k×∏ + {∏}/{4}$$ dla $$k$$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pokaż, że liczba 1 jest pierwiastkiem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole podstawy graniastosłupa

 

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Jeśli pole podstawy jest równe 64 cm2, to bok tego kwadratu ma 8 cm. Wykonajmy rysunek pomocniczy.  

 

Odcinek AC to przekątna kwadratu o boku 8. Wiemy, że długość przekątnej kwadratu o boku a jest dana wzorem a√2. 

  

 

Zauważmy teraz, że trójkąt ACE jest prostokątny równoramienny, ponieważ ma dwa kąty o jednakowych miarach (trójkąt ma kąty 90°, 45°, więc trzeci kąt ma miarę 180°-90°-45°=45°). 

Stąd odcinki AE i AC mają jednakowe długości:

  

 

Obliczamy objętość, mnożąc pole podstawy razy wysokość:

 

 

 

  

  

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy, jaką długość ma odcinek AC:

 

 

 

 

 

Odcinek AC jest przekątną kwadratu. Wiemy, że długość przekątnej kwadratu o boku a dana jest wzorem a√2. 

 

 

 

Obliczamy pole podstawy:

 

 

Na pole powierzchni bocznej składają się pola 4 prostokątów o bokach a i 5. 

 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

 

 

Przeczytaj przykład w ramce.

 

  

 

 

Weźmy dowolny punkt P należący do prostej l.

 

 

  

  

 

 

 

 

  

 

 

Weźmy dowolny punkt P należący do prostej l.

 

 

    

   

   

   

Rozwiąż równania:

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

  

  

 

 

 

W takim razie rozwiązaniem równania są:

 

Podstawiamy z powrotem  

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

  

  

 

 

 

W takim razie rozwiązaniem równania są:

 

Podstawiamy z powrotem  

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

  

  

 

 

 

 

W takim razie rozwiązaniem równania są:

 

Przy wprowadzaniu podstawienia  zakładaliśmy, że  więc bierzemy rozwiązania spełniające tę nierówność.

W konsekwencji mamy:

 

Podstawiamy z powrotem  

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

  

  

 

 

 

 

W takim razie rozwiązaniem równania są:

 

Przy wprowadzaniu podstawienia  zakładaliśmy, że  a wszystkie otrzymane rozwiązania są liczbami ujemnymi.

Oznacza to, że początkowe równanie jest sprzeczne.

 

W trapez równoramienny wpisano okrąg. Oblicz pole...

a)

Niech  - oznaczają podstawy

 - oznaczają ramiona

Jeśli można wpisać okrąg w ten trapez to zachodzi warunek:

 

Z treści zadania wiemy, że 

 więc również  

 

 


b)

 

Trapez jest równoramienny, więc  

Zauważmy, że trójkąt  jest charakterystyczny. Jego kąty to  

 

 

Jeśli można wpisać okrąg w ten trapez to zachodzi warunek:

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz równanie symetralnej odcinka...

Prosta AB:

 

 

 

 

 

stąd:

 

 

 

 

równanie prostej:

 

 

 

Wyznaczmy środek odcinka AB:

 

 

Prosta prostopadła przechodząca przez odcinek AB:

 

 

 

 

 

Wstawmy współrzędne środka odcinka AB:

 

 

 

 

Równanie symetralnej odcinka AB:

 

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji

 

 

 

 

 

 

 

Uzupełniamy tabelę:

           
           

 

Rysujemy wykres funkcji:

 

 

Podaj liczbę rozwiązań...

 

 

 

 

 

 

 

 

Wpierw rozwiążmy równanie:

 

 

 

 

 

Teraz wróćmy do naszego równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

Z podpunktu a) wiemy, że:

 

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

Oblicz wyrazy ...

 

 

 

 

 

 

 

 

     

Oblicz ...

Wzory, które będą nam potrzebne do rozwiązania tego zadania:

  1.   
  2.  

 

    {premium}