Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $sin x$ > ${1}/{2}$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy ${1}/{2}$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta ${∏}{6} = 30°$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta ${5∏ }{6}$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między ${∏}/{6}$ a ${5∏}/{6}$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $2∏$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od ${∏}/{6} + k×2∏$ do ${5 ∏}/{6} + k×2∏$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $ an ({∏}/{2} - x)$ > $1$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $∏$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = ${∏}/{4}$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do ${∏}/{4}$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $k×∏$ do $k×∏ + {∏}/{4}$ dla $k$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

Oblicz wartość wyrażenia...

Jeśli tg ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

        

Dane są trzy parami przecinające się...

Pierwszy przypadek, czyli okrąg O1 przecina okręgi{premium} O2 i O3 w punktach A i B:

{premium}

Zauważmy, że punkty A i B dzielą okrąg O1 na dwa łuki, analogicznie okrąg O2 i okrąg O3. Tych łuków jest zatem:

 

 

Drugi przypadek jest taki, że okrąg O1 przecina okrąg O2 w punktach A i B oraz okrąg O3 w punktach A i C.

Każde dwa punkty wyznaczają na jednym okręgu dwa łuki. Na okręgu O1 mamy trzy pary punktów:

 

 

 

A więc łuków na okręgu O1 jest 6. Na okręgach O2 i O3 mamy po jednej parze punktów zatem łuków jest:

 

Wszystkich łuków jest:

 

Trzeci przypadek jest taki, że okręgi O1 i O2 mają dwa punkty wspólne A i C, natomiast okręgu O1 i O3 mają dwa punkty wspólne B i D. 

 

 

Na okręgu O1 mamy cztery punkty A, B, C i D. Takich par jest:

 

 

 

 

 

 

Każda para wyznacza dwa łuki, zatem:

 

 

Na okręgu O2 mamy dwa punkty A i C. Zatem te dwa punkty dzielą okrąg na 2 łuki. Analogicznie punkty B i D dzielą okrąg O3 na dwa łuki. W sumie tych łuków mamy:

 

Wyprowadź podane obok wzory ...

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

Dla jakich wartości parametru a

Liczba 5 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 5 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Musimy jeszcze sprawdzić, czy dla a=6 liczba 5 jest rzeczywiście tylko jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Liczba 5 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

 

Liczba 3 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 3 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Otrzymaliśmy dwie wartości a. Musimy sprawdzić, czy dla tych wartości liczba 3 jest rzeczywiście jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u:

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W obu przypadkach liczba 3 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

Jeśli liczba -½ ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+½)² oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia drugiego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+½)²  jest stopnia 2, a 4-2=2). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -½ jest rzeczywiście tylko dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Dla czynnika kwadratowego otrzymaliśmy inne niż -½ pierwiastki, więc możemy zapisać rozwiązanie:

 

 

 

 

Jeśli liczba -1 ma być trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+1)³ oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia pierwszego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+1)³  jest stopnia 3, a 4-3=1). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania (korzystając przy tym ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy) i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -1 jest rzeczywiście tylko trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Czwarty pierwistek wielomianu w to 2, więc liczba -1 jest trzykrotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Możemy więc zapisać odpowiedź:

 

 

 

Po przeprowadzeniu testu stwierdzono

 Jeśli wypadła liczba nieparzysta, to wypadło 1, 3 lub 5. 

 

 

Aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) musimy podzielić prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B (wypadła nieparzysta liczba oczek i nie wypadło 6 oczek, czyli wypadła nieparzysta ilość oczek - to prawdopodobieństwo liczyliśmy już wcześniej) przez prawdopodobieństwo zdarzenia B (nie wypadło 6 oczek, czyli wypadło 1, 2, 3, 4 lub 5 oczek)

 

 

 

Aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe P(A|C) musimy podzielić prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i C (wypadła nieparzysta liczba oczek i wypadły co najmniej 4 oczka, czyli wypadło 5 oczek) przez prawdopodobieństwo zdarzenia C (wypadły co najmniej 4 oczka, czyli wypadło 4, 5 lub 6 oczek)

 

 

 

 

Aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe P(C|A') musimy podzielić prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń C i A' (wypadły co najmniej 4 oczka i wypadła liczba parzysta, czyli wypadło 4 lub 6 oczek) przez prawdopodobieństwo zdarzenia A' (wypadła liczba parzysta, czyli wypadło 2, 4 lub 6 oczek)

 

Ćwiczenie 5

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz wartości a i b, jeśli wiesz, że punkt...

 

 

Porównajmy współrzędne:

 

 

 

 

 

 

 

 

Porównajmy współrzędne:

 

 

 

 

 

 

 

 

Porównajmy współrzędne:

 

 

 

 

Równanie...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D