Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $$sin x$$ > $${1}/{2}$$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy $${1}/{2}$$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta $${∏}{6} = 30°$$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta $${5∏ }{6}$$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między $${∏}/{6}$$ a $${5∏}/{6}$$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $$2∏$$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od $${∏}/{6} + k×2∏$$ do $${5 ∏}/{6} + k×2∏$$, gdzie $$k$$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $$ an ({∏}/{2} - x)$$ > $$1$$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $$ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $$∏$$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = $${∏}/{4}$$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do $${∏}/{4}$$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $$k×∏$$ do $$k×∏ + {∏}/{4}$$ dla $$k$$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz równanie stycznej do okręgu...

a) Dowolna prosta przechodząca przez punkt A jest dana równaniem:

 

Stąd:

 

 

Odległość środka okręgu od prostej musi być równa długości promienia:

 

 

 

 

 

 

 

 

Stąd:

 

Równania stycznych:

 

 

 

b)

Dowolna prosta przechodząca przez punkt A jest dana równaniem:

 

Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

 

Odległość środka okręgu ma być równa długości promienia:

 

 

 

 

 

 

 

 

Równania stycznych:

 

W tabeli podano prawdopodobieństwo ...

 

Wiemy,  że prawdopodobieństwo trafienia "szóstki" wynosi około 0,000 000 072.

Prawdopodobieństwo tego, że nie trafimy "szóstki" wynosi więc 1- 0,000 000 072=0,999 999 928.

Oznaczmy szukaną wysokość wygranej jako x. Gdy nie trafimy "szóstki" to przegywamy 1 zł - tracimy kwotę, za którą kupiliśmy kupon. 

{premium}

Gra jest sprawiedliwa, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0. 

 

 

 

 

 

Aby gra była sprawiedliwa, wartość wygranej powinna wynosić ponad trzynaście milionów osiemset tysięcy złotych.

 

 

 

Wiemy, że:

  • z prawdopodobieństwem 0,017 650 404 wygramy 10 zł
  • z prawdopodobieństwem 0,000 968 620 wygramy 100 zł
  • z prawdopodobieństwem 0,000 018 450 wygramy 1000 zł
  • z prawdopodobieństwem 0,000 000 072 wygramy x zł
  • z prawdopodobieństwem 1-(0,017 650 404+0,000 968 620+0,000 018 450+0,000 000 072)=1-0,018 637 546=0,981 362 454 przegramy postawioną złotówkę

Gra jest sprawiedliwa, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0. 

 

 

 

 

 

 

 

Aby gra była sprawiedliwa, wartość wygranej przy trafieniu "szóstki" powinna wynosić ponad dziewięć milionów pięćset siedemdziesiąt siedem tysięcy złotych.

 

 

 

 

Oznaczmy cenę jednego zakładu jako x. Obliczenia przebiegają analogicznie jak w podpunkcie b) - prawdopodobieństwa nie ulegają zmianie. 

 

 

 

 

 

Cena jednego zakładu powinna wynosić około 3,71 zł.  

Które z liczb należących do zbioru

 

Można byłoby podstawiać kolejne liczby w miejsce x, ale możemy też klasycznie rozwiązać równanie. 

Szukamy pierwiastków wielomianu w, więc chcemy rozwiązać równanie:

 

 

Podstawmy:

 

Wtedy równanie jest postaci:

 

 

 

 

 

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie (jest ujemne). Mamy więc:

 

Pierwiastkami równania są więc liczby -3 oraz 3. 

 

 

 

 

Na pierwszy rzut oka nie widać sprytnego rozwiązania równania, więc podstawmy.

 

 

 

 

 

 

 

 

Pierwiastkami wielomianu w są liczby -2, 1, 3.

 

 

Zauważmy, że wielomian w można łatwo zapisać w postaci iloczynowej.

 

Pierwiastkami wielomianu w są więc liczby -2, 4, -4. 

Z liczb należących do podanego zbioru jedynym pieriwastkiem wielomianu w jest -2.

 

 

 

Na pierwszy rzut oka nie widać sprytnego rozwiązania równania, więc podstawmy.

 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz długość odcinka AB...

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

 

 

 

 

Podstawmy a pod pierwsze równanie:

 

 

 

 

 

Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

  

 

 

Odległość punktu od prostej:

 

 

Pole trójkąta:

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

 

 

 

 

Podstawmy a pod drugie równanie równanie:

 

 

 

 

 

Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

  

  

  

 

Odległość punktu od prostej:

 

 

Pole trójkąta:

 

Oblicz miarę kąta, który

   

  

 

Oznaczmy promień podstawy jako r. Wtedy mamy:

 

Oznaczmy wysokość walca jako h. Wiemy, ile wynosi pole powierzchni bocznej, więc możemy zapisać:

 

Wiemy, że tangens kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej. 

 

 

 

 

Wiemy, że:

  

 

 

 

 

Musimy obliczyć tangens miarę kąta alfa:

Zapiszmy tangens tego kąta:

 

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania

{premium}

 

 

 

 

 

 

   

  

 

 

 

Równanie spełniają wszystkie pary postaci (x, -x-12) 

   

Oblicz cztery początkowe wyrazy ciągu (an).

 

 

 

 

 

Skorzystamy z ilorazu:

 

A więc:

 

 

 

Opiszmy ciąg rekurencyjnie:

 

 

 

 

 

 

 

 

Skorzystamy z ilorazu:

 

A więc:

 

 

 

Opiszmy ciąg rekurencyjnie:

 

 

 

 

 

 

 

 

Skorzystajmy z ilorazu:

 

A więc:

 

 

 

Opiszmy ciąg rekurencyjnie:

  

Oblicz podstawę logarytmu...

 

 

 

Podstawa logarytmu musi być dodatnia

 

 

 

 

 

 

 

Podstawa logarytmu musi być dodatnia.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawa logarytmu musi być dodatnia.

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz punkty wspólne wykresów wielomianów u i w

 

Szukane punkty oznaczymy jako A i B

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku obok przedstawiono...

Wystarczy policzyć liczbę punktów przecięcia funkcji f(x) i prostej y=m.

 

 

Brak rozwiązań.

 

2 rozwiązania. 

 

 

4 rozwiązania.

 

5 rozwiązań.

 

8 rozwiązań.