Wykresy i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy i nierówności

Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $$sin x$$ > $${1}/{2}$$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy $${1}/{2}$$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta $${∏}{6} = 30°$$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta $${5∏ }{6}$$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między $${∏}/{6}$$ a $${5∏}/{6}$$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $$2∏$$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od $${∏}/{6} + k×2∏$$ do $${5 ∏}/{6} + k×2∏$$, gdzie $$k$$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $$ an ({∏}/{2} - x)$$ > $$1$$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $$ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $$∏$$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = $${∏}/{4}$$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do $${∏}/{4}$$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $$k×∏$$ do $$k×∏ + {∏}/{4}$$ dla $$k$$ będącego dowolną liczbą całkowitą.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Promień okręgu opisanego na trójkącie ...

`R-"promień okręgu opisanego na trójkącie"` 

`r-"promień okręgu wpisanego w trójkąt"` 

 

`R=17`  

`r=6` 

`"Z faktu, że jest to trójkąt prostokątny otrzymujemy:"` 

`c=2R=34` 

 

`"Zauważmy, że:"` 

`a-r+b-r=R+R=c` 

`a+b=2R+2r=34+12=46` 

`a=46-b` 

 

`"Z tw. Pitagorasa:"` 

`c^2=a^2+b^2` 

`a^2+b^2=1156` 

  

`(46-b)^2+b^2=1156` 

`2116-92b+b^2+b^2-1156=0` 

`2b^2-92b+960=0` 

`b^2-46b+480=0` 

 

`Delta=2116-1920=196` 

`sqrt(Delta)=14` 

 

`b_1=(46-14)/2=16` 

`b_2=(46+14)/2=30` 

 

`a_1=46-b_1=30` 

`a_2=46-b_2=16` 

 

`{(a=30),(b=16):}\ \ \"lub"\ \ \{(a=16),(b=30):}`   

 

`P=1/2*a*b=1/2*16*30=ul(240`    

 

Wyznacz obwód oraz pole....

`L=3x+2y+x+2y+x+y+x+y+x+y+3x+2y+x+y+x+2y=12x+12y`

`P=(3x+2y)(x+2y+x+y)+(x+y)(x+y)=(3x+2y)(2x+3y)+(x+y)^2=6x^2+4xy+9xy+6y^2+x^2+2xy+y^2=7x^2+15xy+7y^2`

 

Uzupełnij tabele

Napisz równanie prostej...

a) Niech punkt S = (x, y) należy do prostej s. Ze wzoru na współczynnik kierunkowy obliczamy:

`(y-4)/(x-(-3)) = -2/3` 

Wymnażamy na krzyż:

`3(y-4) = -2(x+3)`  

`3y - 12 = -2x - 6` 

`3y = -2x + 6` 

`y = -2/3x + 2` 

 

Zapiszmy równanie prostej w postaci ogólnej:

`y = -2/3x + 2` 

`2/3x + y - 2 =0 \ \ \ |*3` 

`2x + 3y - 6=0` 

 

b) Niech punkt T = (x, y) należy do prostej t. Skorzystamy ponownie ze wzoru na współczynnik kierunkowy.

 

Dla punktów T i B:

`a=(-3-y)/(-1-x)` 

 

Dla punktów T i C:

`a = (3-y)/(2-x)` 

 

Porównajmy współczynniki kierunkowe:

`(-3-y)/(-1-x) = (3-y)/(2-x)` 

`(3+y)/(1+x) = (3-y)/(2-x)` 

`(3+y)(2-x)=(3-y)(1+x)` 

`6 -3x + 2y - xy = 3 + 3x - y - xy \ \ \ |+xy` 

`6 -3x + 2y = 3 + 3x - y \ \ \ |+3x, -6` 

`3y = 6x -3 \ \ \ |:3` 

`y = 2x - 1` 

Zapiszmy równanie prostej w postaci ogólnej:

`-2x + y + 1 =0` 

Skorzystaj ze wzorów...

`cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny` 

`cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny` 

 

`x+y=alpha` 

`x-y=beta` 

 

`2x=alpha+beta \ \ \ |:2` 

`x=(alpha+beta)/2` 

 

`2y=alpha-beta \ \ \ |:2` 

`y=(alpha-beta)/2` 


Po dodaniu stronami otrzymujemy:

 

`cos(x+y)+cos(x-y)=cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny` 

`cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy` 

 

`cosalpha+cosbeta=2"cos"(alpha+beta)/2"cos"(alpha-beta)/2` 


Po odjęciu stronami otrzymujemy:

 

`cos(x+y)-cos(x-y)=cosxcosy-sinxsiny-cosxcosy-sinxsiny` 

`cos(x+y)-cos(x-y)=-2sinxsiny` 

  

`cosalphacosbeta=-2"sin"(alpha+beta)/2"sin"(alpha-beta)/2` 

Punkt P(2,2) należy do wykresu ...

Wiemy, że punkt P(2,2) nalezy do wykresy funkcji f(x)=ax.

Podstawiając współrzędne tego punktu do wzoru funkcji wyznaczymy a:

`y=a^x`

`2=a^2`

Stąd:

`a=sqrt2`

Wzór funkcji jest postaci:

`f(x)=sqrt2^(\ x)` 

 

Sprawdzamy, czy dane punkty należą do wykresu funkcji f(x).

W tym celu do wzoru funkcji podstawiamy współrzędne x i sprawdzamy, czy otrzymany y jest równy współrzędnej y danego punktu. 

 

`"a)"\ Q=(1,1)`

`y=sqrt2^(\ 1)=sqrt2!=1` 

Punkt ten NIE należy do wykresu funkcji f(x).

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ Q=(4,4)`

`y=sqrt2^(\ 4)=sqrt2^(\ 2)*sqrt2^(\ 2)=2*2=4` 

Punkt ten należy do wykresu funkcji f(x).

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ Q=(8,8)`

`y=sqrt2^(\ 8)=(2^(1/2))^8=2^4=16!=8`  

Punkt ten NIE należy do wykresu funkcji f(x).

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ Q=(-8,1/16)`

`y=sqrt2^(\ -8)=(1/sqrt2)^8=1/(sqrt2^(\ 8))=1/(2^(1/2))^8=1/2^4=1/16`   

Punkt ten należy do wykresu funkcji f(x).

Udowodnij, że jeśli wektory ...

`vecu+vecv,\ vecu-vecv-"wektory prostopadłe"`   

`bb(Teza):|vecu|=|vecv|`  

 

`vecu=(u_1;u_2)` 

`vecv=(v_1;v_2)` 

`vecu+vecv=(u_1+v_1;u_2+v_2)` 

`vecu-vecv=(u_1-v_1;u_2-v_2)`  

Rozpatrzmy pewne działanie zwane iloczynem skalarnym.

`veca*vecb=|a|*|b|*cosalpha` 

`alpha-"kąt między wektorami a i b"` 

Jeżeli wektory są prostopadłe to kąt alfa jest prosty.

Cosinus kąta prostego jest równy zero, czyli iloczyn skalarny wektorów prostopadłych jest równy zero.

`(vecu+vecv)*(vecu-vecv)=(u_1+v_1)*(u_1-v_1)+(u_2+v_2)*(u_2-v_2)=0` 

`u_1^2+v_1^2+u_2^2+v_2^2=0` 

Zauważmy, że składniki powyższej sumy są dodtanie. Jedyną wartością wszystkich tych skłądników może być zero.

`u_1=v_1=u_2=v_2=0` 

`vecu=(0;0)\ implies \ |vecu|=0` 

`vecv=(0;0)\ implies\ |vecv|=0` 

`ul(|vecv|=|vecu|` 

Znajdź taką liczbę dwucyfrową, żeby suma jej cyfr wynosiła 11

Niech szukana liczba będzie postaci ab, gdzie a i b to cyfry (0, 1, ..., 8, 9), oczywiście a nie może być równe 0. 

Wartość liczby ab to 10a+b (np. 23=2∙10+3)

 

Liczba powstała po przestawieniu cyfr to ba, jej wartość to 10b+a.

 

Zapiszmy informacje podane w treści zadania: 

`{(a+b=11), (10b+a>33 1/3%(10a+b)):}`

 

Zamieńmy procent na ułamek:

`33 1/3%=(100/3)%=100/3*1/100=1/3`

 

`{(a+b=11\ \ |-b), (10b+a>1/3(10a+b)\ \ \ |*3):}`

`{(a=11-b), (30b+3a>10a+b\ \ \ |-3a-b):}`

`{(a=11-b), (29b>7a):}`

`{(a=11-b), (29b>7(11-b)):}`

`{(a=11-b), (29b>77-7b\ \ \ |+7b):}`

`{(a=11-b), (36b>77\ \ \ |:36):}`

`{(a=11-b), (b>2.13(8)):}`

 

b jest cyfrą, mamy więc następujące możliwości: 

`{(b=3), (a=11-3=8):}\ \ vee\ \ {(b=4), (a=7):}\ \ vee\ \ {(b=5), (a=6):}\ \ vee\ \ {(b=6), (a=5):}\ \ vee\ \ {(b=7), (a=4):}\ \ vee\ \ {(b=8), (a=3):}\ \ vee\ \ {(b=9), (a=2):}`

 

Przekątne prostokąta przecinają się pod kątem...

`(1/2a)/(1/2b)=tg30^o` 

`a/b=sqrt3/3` 

 

Odp. Stosunek długości tych boków wynosi `sqrt3/3` 

Na rysunku obok przedstawiono...

a) `f(x)=|x^2+bx+c|` 

`A=(0,0)` 

`B=(4,0)` 

Podstawmy współrzędne punktu A.

`0=|0^2+b*0+c|` 

`0=|c|` 

`c=0` 

 

Podstawmy współrzędne punktu B. 

`0=|4^2+b*4+0|` 

`0=|16+4b|` 

`0=16+4b` 

`-4b=16 \ \ \ |:(-4)` 

`b=-4` 


b) ALGEBRAICZNIE

`|x^2-4x|=|x^2-4x+6|` 

I przypadek:

`x^2-4x=x^2-4x+6` 

`0=6` 

sprzeczność

II przypadek: 

`x^2-4x=-(x^2-4x+6)` 

`x^2-4x=-x^2+4x-6` 

`x^2-4x+x^2-4x+6=0` 

`2x^2-8x+6=0 \ \ \ |:2` 

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`x_1=(-(-4)-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(-(-4)+2)/(2*1)=(4+2)/2=6/2=3` 

 

GRAFICZNIE

`f(x)=|x^2-4x|` 

`g(x)=|x^2-4x+6|` 

 


c) ALGEBRAICZNIE

`|x^2-4x|=|1/4x^2-x+3 3/4|` 

I przypadek:

`x^2-4x=1/4x^2-x+3 3/4` 

`x^2-4x-1/4x^2+x-3 3/4=0` 

`3/4x^2-3x-15/4=0 \ \ \ |*4` 

`3x^2-12x-15=0 \ \ \ |:3` 

`x^2-4x-5=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36` 

`sqrt(Delta)=6` 

`x_1=(-(-4)-6)/(2*1)=(4-6)/2=(-2)/2=-1` 

`x_2=(-(-4)+6)/(2*1)=(4+6)/2=10/2=5` 

II przypadek:

`x^2-4x=-(1/4x^2-x+3 3/4)` 

`x^2-4x=-1/4x^2+x-3 3/4` 

`x^2-4x+1/4x^2-x+3 3/4=0` 

`1 1/4x^2-5x+3 3/4=0` 

`5/4x^2-5x+15/4=0 \ \ \ |*4` 

`5x^2=20x+15=0 \ \ \ |:5` 

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`x_1=(-(-4)-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(-(-4)+2)/(2*1)=(4+2)/2=6/2=3` 

 

GRAFICZNIE

`f(x)=|x^2-4x|` 

`g(x)=|1/4x^2-x+3 3/4|`