Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy funkcji logarytmicznych

W tym rozdziale zajmiemy się rysowaniem wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw logarytmu.

Pierwsza obserwacja polega na tym, że wykres każdej takiej funkcji przechodzi przez punkt $$(1,0)$$, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej da jeden.

Drugą obserwację oprzemy na wzorze zamiany podstaw logarytmu. Przypomnijmy: $$log_{a} b = {log_{c}b}/{log_{c}a}$$. Oczywiście zarówno $$a$$, jak i $$c$$ są tutaj stałymi. Widać więc, że każdy logarytm możemy zamienić na przykład na dziesiętny, mnożąc go przez jakąś stałą.

Teraz wróćmy do poprzedniego tematu, który omawiał przekształcanie wykresów funkcji. Powiedzieliśmy tam, że jeśli mnożymy funkcję przez jakąś stałą, to tak naprawdę rozciągamy albo ściskamy jej wykres w osi y. Stosując to prawo tutaj: wykres każdej funkcji logarytmicznej jest identyczny, a różni się jedynie tym "rozciągnięciem" albo "ściśnięciem". W pewnych przypadkach może się też okazać, że wartość, przez którą musimy pomnożyć, jest ujemna - dzieje się to wtedy, gdy przechodzimy z podstawy mniejszej od jedynki do podstawy większej od jedynki.

Przykład kilku wykresów:

1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż trójkąt prostokątny ABC...

a) Rysunek poglądowy:

`tg \ 56^o = b/6` 

`b = tg \ 56^o * 6 approx 1,4826 * 6 approx 8,8956 approx 8,9` 

 

`cos 56^o = 6/c` 

`c = 6/(cos56^o) approx 6/(0,5592) approx 10,72 approx 10,7` 

 

b) Rysunek poglądowy:

 

`sin 66^o = b/10` 

`b = sin 66^o * 10 approx 0,9135 * 10 approx 9,1` 

 

`cos 66^o = a/10` 

`a = cos66^o* 10 approx 0,4067 * 10 = 4,067 approx 4,1` 

Naszkicuj wykres funkcji g

`a)` 

Aby otrzymać wykres funkcji g, wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w górę. 

 

 

`y=2\ \ \ ("asymptota pozioma")` 

`g(D_g)=RR\\{2}` 

 

 

 

`b)` 

Aby otrzymać wykres funkcji g, należy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w górę. 

 

`y=1` 

`g(D_g)=RR\\{1}` 

 

 

 

`c)` 

Aby otrzymać wykres funkcji g, należy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w dół. 

 

`y=-2` 

`g(D_g)=RR\\{-2}` 

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`ZW_f=<0,5>` 

 

`a)` 

`g(x)=f(x)+1` 

`D=<-4,4>` 

`ZW=<1,6>` 

 

`b)` 

`g(x)=f(x)-2` 

`D=<-4,4>` 

`ZW=<-2,3>` 

 

`c)` 

`g(x)=f(x-2)` 

`D=<-2,6>` 

`ZW=<0,5>` 

 

`d)` 

`g(x)=f(x+1)` 

  

`D=<-5,3>` 

`ZW=<0,5>` 

Ze zbioru liczb dwucyfrowych...

a)

`Omega={10, 11, 12, ..., 97, 98, 99}` 

_ _ 

Na pierwszym miejscu możemy wybrać cyfrę od 1-9, czyli 9 możliwości (nie możemy wybrać 0).

Na drugim miejscu możemy wybrać cyfrę od 0-9, czyli 10 możliwości. 

 

`overline(overline(Omega))=9*10=90` 

 

A- zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 10 i niepodzielnej przez 3

`A={10, 20, 40, 50, 70, 80}` 

 

`P(A)=6/90=1/15` 


b)

`Omega={10, 11, 12, ..., 97, 98, 99}` 

_ _ 

Na pierwszym miejscu możemy wybrać cyfrę od 1-9, czyli 9 możliwości (nie możemy wybrać 0).

Na drugim miejscu możemy wybrać cyfrę od 0-9, czyli 10 możliwości. 

 

`overline(overline(Omega))=9*10=90` 

 

B- zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 5 lub podzielnej przez 8

`B={10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 16, 24, 32, 48, 56, 64, 72, 88, 96}` 

 

`P(B)=27/90=3/10`  

Funkcję liniową g opisuje wzór g(x)=-3x+5-2m

`a)`

Chcemy, aby funkcja przecinała OY poniżej tego punktu, więc 

`g(0)<7`

`-3*0+5-2m<7`

`0+5-2m<7`

`5-2m<7\ \ \|-5`

`-2m<2\ \ \ |:(-2)`

`m> -1`

`m in(-1,\ +infty)`

 

 

`b)\ g(x)=0`

`\ \ \ -3x+5-2m=0`

`\ \ \ -3x=2m-5`

`\ \ \ x=(2m-5)/(-3)\ \ larr\ \ m.\ zerowe`

 

`\ \ \ (2m-5)/(-3)>1\ \ \ |*(-3)`

`\ \ \ 2m-5<-3\ \ \ |+5`

`\ \ \ 2m<2\ \ \ |:2`

`\ \ \ m<1`

`\ \ \ m in(-infty,\ 1)`

 

Dana jest funkcja f(x)

`a)`

Zajmijmy się funkcją kwadratową, która tworzy funkcję f:

`g(x)=-2x^2-8x-6=-2(x^2+4x+3)=-2(x^2+4x+4-4+3)=`

`=-2((x+2)^2-4+3)=-2((x+2)^2-1)=-2(x+2)^2+2`

 

Wystarczy przesunąć początek układu współrzędnych o wektor [-2, 2] i w takim układzie narysować wykres funkcji y=-2x². 

Trzeba pamiętać, że parabolę rysujemy tylko dla x mniejszych od 0 (patrząc na główny układ współrzędnych). 

 

`b)\ ZW_f\ =\ (-infty,\ 2>>`

`c)\ f(-4)=-2*(-4)^2-8*(-4)-6=-2*16+32-6=-32+32-6=-6`

`d)\ f(x)>=0\ \ \ <=>\ \ \ x in << -3,\ -1>>`

 

 

Losujemy jedną liczbę spośród...

a)

liczby parzyste: 2,4,6,8,10

 

`(2*2-1)/100+(2*4-1)/100+(2*6-1)/100+(2*8-1)/100+(2*10-1)/100=3/100+7/100+11/100+15/100+19/100=55/100=11/20` 

 

b)

A - wylosowana liczba będzie większa od 4

B - wylosowana liczba będzie nieparzysta

 

`P(A"|"B)=(P(A nn B))/(P(B))` 

`P(B)=1-11/20=9/20` 

`P(A nn B)=(2*5-1)/100+(2*7-1)/100+(2*9-1)/100=9/100+13/100+17/100=39/100` 

`P(A"|"B)=(39/100)/(9/20)=39/100*20/9=13/5*1/3=13/15` 

Działkę budowlaną w kształcie trapezu ...

`|DG|=h_1` 

`|RG|=h_2` 

`P_1=(d+20)/2*h_1` 

`P_2=(80+d)/2*h_2` 

 

`h_1+h_2=|DR|=H`   

`P_1+P_2=(20+80)/2*H=50*H=50(h_1+h_2)`   

Skoro trapez jest równoramienny to:

`80=2x+20` 

`x=30` 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`50^2=30^2+H^2` 

`H^2=2500-900=1600` 

`ul(H=40`  

`P_1+P_2=50*H=2000` 

 

`(80+d)/2*(h_2)=1000` 

`(d+20)/2*(40-h_2)=1000`   

 

`1000/h_2=40+d/2\ implies \ h_2=1000/(40+d/2)` 

`(d+20)/2*(40-h_2)=1000\ implies \ (d+20)/2*(40-1000/(40+d/2))=1000`     

 

`(d+20)(40-1000/(40+d/2))=2000` 

`40-1000/(40+d/2)=2000/(d+20)` 

`40(40+d/2)(d+20)-1000(d+20)=2000(40+d/2)` 

`(1600+20d)(d+20)-1000d-20000=80000+1000d` 

`1600d+32000+20d^2+400d-1000d-20000=80000+1000d` 

`20d^2+32000-80000-20000=0` 

`20d^2=68000` 

`d^2=3400`  

`ul(d=10sqrt34`   

Oblicz wartość wyrażenia wymiernego....

`a)\ (5*(-3)+2*2)/(-3)=(-15+4)/(-3)=11/3=3 2/3`

`b)\ (sqrt2^2-sqrt3^2)/(sqrt2^2+2*sqrt2*sqrt3)=(-1)/(2+2sqrt6)=(-(2-2sqrt6))/(4-24)=(-2(1-sqrt6))/(-20)=(1-sqrt6)/10`

`c)\ (3(sqrt3+1))/(2(sqrt3+1)^2-5(sqrt3+1))=(3sqrt3+3)/(2(3+2sqrt3+1)-5sqrt3-5)=(3sqrt3+3)/(3-sqrt3)=((3sqrt3+3)(3+sqrt3))/(9-3)=(9sqrt3+9+9+3sqrt3)/6=(18+12sqrt3)/6=3+2sqrt3`

`d)\ ((sqrt3-root(3)(2))^2-2sqrt3(sqrt2-root(3)(2))-root(3)(4)+3)/(sqrt3-root(3)(2)-sqrt3)=(3-2sqrt3root(3)(2)+root(3)(4)-6+2sqrt3 root(3)(2)-root(3)(4)+3)/(-root(3)(2))=0`

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS przecięto płaszczyzną...

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. o dwusiecznej w trójkącie otrzymujemy:

`(h-x)/x=a/h`

`h^2-xh=xa \ \ \ |+xh` 

`h^2=xa+xh` 

`h^2=x(a+h) \ \ \ |:(a+h)` 

`h^2/(a+h)=x` 

{premium}

Korzystając z podobieństwa trójkątów otrzymujemy proporcję:

`x/b=h/a` 

`xa=bh` 

`h^2/(a+h)*a=bh \ \ \ |:h` 

`(ah)/(a+h)=b` 

 

Wiemy, że płaszczyzna podzieliła powierzchnię boczną tego ostrosłupa na dwie części o równych polach, zatem obliczmy pole powierzchni nad płaszczyzną:

 

`1/2ah+2*(1/2ah-1/2a(h-x))+1/2bx=` 

`=1/2ah+ah-a(h-x)+1/2bx=` 

`=1/2ah+ah-ah+ax+1/2bx=` 

`=1/2ah+(ah^2)/(a+h)+1/2*(ah)/(a+h)*h^2/(a+h)=` 

`=1/2ah+(ah^2)/(a+h)+(ah^3)/(2(a+h)^2)` 

 

Obliczmy pole powierzchni pod płaszczyzną przekroju:

`2*1/2a(h-x)+1/2ah-1/2bx=` 

`=ah-ax+1/2ah-1/2bx=` 

`=3/2ah-a*h62/(a+h)-1/2*(ah)/(a+h)*h^2/(a+h)=` 

`=3/2ah-(ah^2)/(a+h)-(ah^3)/(2(a+h)^2)` 

 

Wiemy, że pola te są równe, wobec tego otrzymujemy równość:

`1/2ah+(ah^2)/(a+h)+(ah^3)/(2(a+h)^2)=3/2ah-(ah^2)/(a+h)-(ah^3)/(2(a+h)^2)` 

`(2ah^2)/(a+h)+(2ah^3)/(2(a+h)^2)=1ah \ \ \ |:ah` 

`(2h)/(a+h)+h^2/(a+h)^2=1 \ \ \ |*(a+h)^2` 

`2h(a+h)+h^2=(a+h)^2` 

`2ah+2h^2+h^2=a^2+2ah+h^2 \ \ \ |-2ah-h^2` 

`2h^2=a^2` 

`sqrt2h=a` 

 

`cos2alpha=(1/2a)/h` 

`cos2alpha=(1/2*sqrt2h)/h` 

`cos2alpha=sqrt2/2` 

`cos2alpha=cos45^o` 

`ul(ul(2alpha=45^o))`