Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy funkcji logarytmicznych

W tym rozdziale zajmiemy się rysowaniem wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw logarytmu.

Pierwsza obserwacja polega na tym, że wykres każdej takiej funkcji przechodzi przez punkt $$(1,0)$$, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej da jeden.

Drugą obserwację oprzemy na wzorze zamiany podstaw logarytmu. Przypomnijmy: $$log_{a} b = {log_{c}b}/{log_{c}a}$$. Oczywiście zarówno $$a$$, jak i $$c$$ są tutaj stałymi. Widać więc, że każdy logarytm możemy zamienić na przykład na dziesiętny, mnożąc go przez jakąś stałą.

Teraz wróćmy do poprzedniego tematu, który omawiał przekształcanie wykresów funkcji. Powiedzieliśmy tam, że jeśli mnożymy funkcję przez jakąś stałą, to tak naprawdę rozciągamy albo ściskamy jej wykres w osi y. Stosując to prawo tutaj: wykres każdej funkcji logarytmicznej jest identyczny, a różni się jedynie tym "rozciągnięciem" albo "ściśnięciem". W pewnych przypadkach może się też okazać, że wartość, przez którą musimy pomnożyć, jest ujemna - dzieje się to wtedy, gdy przechodzimy z podstawy mniejszej od jedynki do podstawy większej od jedynki.

Przykład kilku wykresów:

Spis treści

Rozwiązane zadania

Oblicz stosunek pola koła opisanego...

R - promień okręgu opisanego

r - promień okręgu wpisanego

`R=2/3h`

`r=1/3h`

gdzie

`h=(9sqrt3)/2`

`(P_o)/(P_w)=(piR^2)/(pi r^2)=(4/9h^2)/(1/9h^2=4/1)`

Rozwiąż równanie.

`a) \ sin(pi/4 + x) - sin(3/4 pi - 2x) =0`

`2 sin((pi/4+x -3/4pi + 2x)/2) cos((pi/4 + x+3/4pi - 2x)/2)=0`

`sin((3x-pi/2)/2) cos((pi-x)/2) =0`

`sin((3x-pi/2)/2) =0 \ \ vv \ \ cos((pi - x)/2)=0`

`(3x-pi/2)/2 = kpi \ \ vv \ \ (pi-x)/2 = pi/2 + kpi`

`3x - pi/2 = 2kpi \ \ vv \ \ pi - x = pi + 2kpi`

`3x = pi/2 + 2kpi \ \ vv \ \ -x = 2kpi`

`x = pi/6 +(2kpi)/3 \ \ vv \ \ x = -2kpi , \ \ \ k in C`

`b) \ cos(5/4pi + x) + cos(3/4pi - x)=0`

`2 cos ((5/4pi + x + 3/4pi - x)/2) cos((5/4pi + x -3/4pi + x)/2)=0`

`cos(pi) cos (pi/4 + x)=0`

`cos(pi/4 + x) =0`

`pi/4 + x = pi/2 + kpi`

`x = pi/4 + kpi , \ \ \ k in C`

Czy podane wielkości są odwrotnie ...

`a)`

`"NIE"`

`b)`

`"TAK"`

`P=a*h`

`a=P/h`

Współczynnik proporcjonalności to P.

`c)`

`"NIE"`

`d)`

`"NIE"`

`e)`

`"TAK"`

`V=P_p*H`

`P_p=V/H`

Współczynnik proporcjonalności to V.

Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny...

Oznaczmy te liczby przez x, y, z. Z własności ciągu geometrycznego wiemy, że:

`y^2 = xz`

Utwórzmy układ równań:

`{(x+y+z=15),(1/x + 1/y + 1/z = 3/20),(y^2=xz):}`

Przekształćmy drugie równanie:

`1/x + 1/y + 1/z = (yz)/(xyz) + (xz)/(xyz) + (xy)/(xyz) = (yz+xz+xy)/(xyz)`

Wiemy, że:

`xz = y^2`

stąd

`{(x+y+z=15),((yz+y^2+xy)/(xyz)=3/20),(y^2=xz):}`

`{(x+y+z=15),((y(z+y+x))/(xyz)=3/20),(y^2=xz):}`

`{(x+y+z=15),((x+y+z)/(xz)=3/20),(y^2=xz):}`

`{(x+y+z=15),(15/y^2 = 3/20),(y^2=xz):}`

Rozwiążmy drugie równanie osobno:

`15/y^2 = 3/20`

`300 = 3y^2`

`y^2 = 100`

`y = 10 \ \ vv \ \ y = -10`

Zatem:

`{(x+z=5),(y=10),(xz=100):} \ \ vv \ \ {(x+z=25),(y=-10),(xz=100):}`

`{(z=5-x),(y=10),(xz=100):} \ \ vv \ \ {(z=25-x),(y=-10),(xz=100):}`

Rozwiążmy trzecie równanie w pierwszym układzie równań:

`x(5-x) = 100`

`5x - x^2 = 100`

`x^2 -5x + 100=0`

`Delta = (-5)^2 -4*1*100 = 25 - 400 < 0`

A więc pierwszy układ jest sprzeczny, zajmijmy się drugim:

`{(z=25-x),(y=-10),(xz=100):}`

Rozwiążmy trzecie równanie:

`x(25-x) = 100` ``

`25x - x^2 = 100`

`x^2 - 25x + 100 =0`

`x^2 - 20x - 5x+100=0`

`x(x-20) - 5(x-20)=0`

`(x-20)(x-5)=0`

`x_1 = 20 \ \ vv \ \ x_2 = 5`

Czyli:

`{(x_1=20),(y=-10),(z_1 = 5):} \ \ vv \ \ {(x_2 = 5),(y=-10),(z_2 = 20):}`

Oba ciągi nie są monotoniczne.

Ciąg o kolejnych wyrazach...

Odp. D

`a_1=1/2`

`a_2=2/3`

`a_3=3/4`

itd.

W trójkącie prostokątnym ABC ...

`"Zauważmy, że trójkąty ABC, DBE i GBH są podobne."`

`a-"bok kwadratu ADEF"`

`b-"bok kwadratu DGHI"`

`3/2=(3-a)/a`

`3a=6-2a`

`5a=6`

`a=6/5`

`|DB|=2-6/5=4/5`

`(6/5)/(4/5)=(6/5-b)/b`

`6/5b=4/5(6/5-b)`

`6b=24/5 -4b`

`30b=24-20b`

`50b=24`

`b=24/50=12/25`

`ul(k=(12/25)/(6/5)=12/25*5/6=2/5`

Wyznacz resztę z dzielenia

`a)`

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x-4 wynosi 9, więc:

`w(x)=p(x)*(x-4)+9\ \ \ =>\ \ \ w(4)=9`

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x+3 wynosi 2:

`w(x)=q(x)*(x+3)+2\ \ \ =>\ \ \ w(-3)=2`

Szukamy reszty z dzielenia przez (x-4)(x+3) - jest to wielomian stopnia drugiego. Otrzymana reszta będzie więc stopnia co najwyżej 1 (o 1 mniej niż stopień wielomianu (x-4)(x+3)). Możemy więc zapisać:

`w(x)=s(x)*(x-4)(x+3)+#underbrace(ax+b)_"reszta"\ \ \ \ \ \ (**)`

Wiemy, że:

`w(4)=9`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`s(4)*#underbrace((4-4))_0*(4-3)+a*4+b=9`

`4a+b=9`

Wiemy, że:

`w(-3)=2`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`s(-3)*(-3-4)*#underbrace((-3+3))_0+a*(-3)+b=2`

`-3a+b=2`

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(4a+b=9), (-3a+b=2\ \ \ |*(-1)):}`

`{(4a+b=9), (3a-b=-2):}\ \ \ \ |+`

`7a=7\ \ \ |:7`

`a=1`

Wstawiamy obliczoną wartość a do pierwszego równania pierwszego układu rownań:

`4*1+b=9`

`4+b=9\ \ \ |-4`

`b=5`

Znamy wartości współczynników a oraz b, możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(x+5))`

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

`b)`

Postępując analogicznie jak w podpunkcie a) otrzymujemy:

`w(x)=p(x)*(2x-1)+10`

`w(x)=p(x)*2*(x-1/2)+10`

`w(x)=2p(x)(x-1/2)+10\ \ \ =>\ \ \ w(1/2)=10`

`w(x)=q(x)(x+5)-6 1/2\ \ \ =>\ \ \ w(-5)=-6 1/2`

Dzieląc wielomian w(x) przez wielomian stopnia drugiego otrzymamy resztę stopnia co najwyżej jeden:

`w(x)=s(x)*(2x^2+9x-5)+#underbrace(ax+b)_("reszta")\ \ \ \ \ (**)`

Wiemy, że:

`w(1/2)=10`

Podstawiając do zalezności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`s(1/2)*(2*(1/2)^2+9*1/2-5)+a*1/2+b=10`

`s(1/2)*(2*1/4+9/2-5)+1/2a+b=10`

`s(1/2)*(1/2+9/2-5)+1/2a+b=10`

`s(1/2)*#underbrace((10/2-5))_0+1/2a+b=10`

`1/2a+b=10`

Wiemy, że:

`w(-5)=-6 1/2`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`s(-5)*(2*(-5)^2+9*(-5)-5)+a*(-5)+b=-6 1/2`

`s(-5)*#underbrace((2*25-45-5))_0-5a+b=-6 1/2`

`-5a+b=-6 1/2`

Mamy więc układ równań:

`{(1/2a+b=10\ \ \ \ |*20), (-5a+b=-6 1/2\ \ \ |*2):}`

`{(10a+20b=200), (-10a+2b=-13):}\ \ \ |+`

`22b=187\ \ \ \ |:22`

`b=8,5`

Wstawiamy obliczoną wartość b do pierwszego równania pierwszego układu rownań:

`1/2a+8,5=10\ \ \ |-8,5`

`1/2a=1,5\ \ \ |*2`

`a=3`

Znamy wartości współczynników a oraz b, możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(3x+8,5))`

`c)`

`w(x)=p(x)(x-1)+2\ \ \ =>\ \ \ w(1)=2`

`w(x)=q(x)(x+1)-6\ \ \ =>\ \ \ w(-1)=-6`

`w(x)=s(x)(x+2)+8\ \ \ =>\ \ \ w(-2)=8`

Dzieląc wielomian w(x) przez wielomian stopnia trzeciego otrzymamy resztę stopnia co najwyżej drugiego:

`w(x)=t(x)*(x^2-1)(x+2)+#underbrace(ax^2+bx+c)_("reszta")\ \ \ \ \ \ \ \ (**)`

Wiemy, że:

`w(1)=2`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`t(1)*#underbrace((1^2-1))_0*(1+2)+a*1^2+b*1+c=2`

`a+b+c=2`

Wiemy, że:

`w(-1)=-6`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`t(-1)*#underbrace(((-1)^2-1))*(1+2)+a*(-1)^2+b*(-1)+c=-6`

`a-b+c=-6`

Wiemy, że:

`w(-2)=8`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`t(-2)*((-2)^2-1)*#underbrace((-2+2))_0+a*(-2)^2+b*(-2)+c=8`

`4a-2b+c=8`

Mamy do rozwiązania układ równań:

`{(a+b+c=2), (a-b+c=-6), (4a-2b+c=8):}`

Wyznaczamy c x pierwszego równania i podstawiamy do pozostałych równań:

`{(c=2-a-b), (a-b+2-a-b=-6), (4a-2b+2-a-b=8):}`

`{(c=2-a-b), (2-2b=-6\ \ \ |-2), (3a-3b+2=8\ \ \ |-2):}`

`{(c=2-a-b), (-2b=-8\ \ \ |:(-2)), (3a-3b=6\ \ \ |:3):}`

`{(c=2-a-b), (b=4), (a-b=2):}`

`{(c=2-a-4), (b=4), (a-4=2\ \ \ |+4):}`

`{(c=-2-a), (b=4), (a=6):}`

`{(c=-2-6=-8), (b=4), (a=6):}`

Znamy wartości współczynników a, b oraz c możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(6x^2+4x-8))`

Obwód rombu jest równy ...

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania znamy wartość obwodu i pola rombu:

`O=8sqrt3\ "cm"`

`P=12\ "cm"^2`

Korzystając z obwodu wyznaczamy długość boku rombu:

`O=4a`

`8sqrt3=4a\ \ \ \ \ \ |:4`

`a=2sqrt3\ ["cm"]`

Korzystając z pola wyznaczamy wysokość rombu:

`P=a*h`

`12=2sqrt3*h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2sqrt3`

`h=6/sqrt3\ stackrel("usuwamy niewymierność")=\ 6/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(strike6^2sqrt3)/strike3^1=2sqrt3\ ["cm"]`

Zauważmy, że wysokość rombu ma taką samą długość, jak średnica (d) koła wpisanego w ten romb. Stąd:

`d=h=2sqrt3\ "cm"`

Promień koła jest równy połowie średnicy, czyli:

`r=1/2d=1/strike2^1*strike2^1sqrt3=sqrt3\ ["cm"]`

Obliczamy pole koła wpisanego w romb:

`P_(kw)=pi*r^2=pi*(sqrt3)^2=3pi\ ["cm"^2]`

Miary x, y pewnych zmiennych wielkości X, Y

Sprawdzamy, czy iloraz x przez y jest stały.

`x/y#=^?const.`

`(1,5)/(4,5)=15/45=1/3`

`2/6=1/3`

`(2,5)/(7,5)=25/75=1/3`

`3/9=1/3`

`x/y=1/3\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x=1/3y))`

Wyznacz współczynnik p

`a)`

`3^3-6*3^2+p*3+15=-24`

` ` `27-6*9+3p+15=-24\ \ \ \ |:3`

`9-2*9+p+5=-8`

`9-18+p+5=-8`

`-4+p=-8\ \ \ |+4`

`p=-4`

`b)`

`(-2)^3-6*(-2)^2+p*(-2)+15=15\ \ \ |-15`

`-8-6*4-2p=0`

`-8-24-2p=0\ \ \ |:(-2)`

`4+12+p=0`

`16+p=0\ \ \ |-16`

`p=-16`

` `