Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy funkcji logarytmicznych

W tym rozdziale zajmiemy się rysowaniem wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw logarytmu.

Pierwsza obserwacja polega na tym, że wykres każdej takiej funkcji przechodzi przez punkt $$(1,0)$$, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej da jeden.

Drugą obserwację oprzemy na wzorze zamiany podstaw logarytmu. Przypomnijmy: $$log_{a} b = {log_{c}b}/{log_{c}a}$$. Oczywiście zarówno $$a$$, jak i $$c$$ są tutaj stałymi. Widać więc, że każdy logarytm możemy zamienić na przykład na dziesiętny, mnożąc go przez jakąś stałą.

Teraz wróćmy do poprzedniego tematu, który omawiał przekształcanie wykresów funkcji. Powiedzieliśmy tam, że jeśli mnożymy funkcję przez jakąś stałą, to tak naprawdę rozciągamy albo ściskamy jej wykres w osi y. Stosując to prawo tutaj: wykres każdej funkcji logarytmicznej jest identyczny, a różni się jedynie tym "rozciągnięciem" albo "ściśnięciem". W pewnych przypadkach może się też okazać, że wartość, przez którą musimy pomnożyć, jest ujemna - dzieje się to wtedy, gdy przechodzimy z podstawy mniejszej od jedynki do podstawy większej od jedynki.

Przykład kilku wykresów:

1

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Rozważmy koła o promieniach różnej długości

`O\ -\ "obwód koła"`

`d\ -\ "długość średnicy koła"`

`O=pi*d,\ \ \ \ \ \ d>0`

Jest to proporcjonalność prosta, współczynnik proporcjonalności to π. 

Na trasie 60 km samochód pana Nowaka

`a)` 

`4,8\ l\ \ \ -\ \ \ 60\ km` 

`12,8\ l\ \ \ -\ \ \ x` 

`x=(12,8*strike60^15)/(strike(4,8)^(1,2))=` `(12,8*strike15^5)/(strike(1,2)^(0,4))=` `(strike(12,8)^(32)*5)/(strike(0,4)^1)=`  `160\ km` 

 

 

`b)` 

`60\ km\ \ \ -\ \ \ 4,8\ l` 

`255\ km\ \ \ -\ \ \ y` 

`y=(255*strike(4,8)^(0,4))/strike60^5=` `(strike255^51*0,4)/strike5^1=` `20,4\ l` 

 

 

`c)` 

Obliczmy, ile paliwa potrzeba na przejechanie jednego kilometra:

`4,8:60=(4,8)/60=48/600=8/100=0,08\ l` 

`y=0,08*x,\ \ \ \ x in RR_+` 

   

 

Kolarz w ciągu 3 sekund przejeżdża drogę

`2\ godz.\ 40\ min=2*60\ mi n+40\ mi n=160\ mi n=160*60\ sek`

 

Mamy zgodność jednostek czasu, możemy zapisać proporcję: 

`3\ sek\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ 15\ m`

`160*60\ sek\ \ \ -\ \ \ x\ m`

`x=(160*60*15)/3=160*20*15=160*300=48\ 000\ m=48\ km`

 

 

Dla każdej z poniższych funkcji liniowych podaj współczynnik

`a)\ a=1,\ \ b=7`

`b)\ a=-1,\ \ b=1`

`c)\ a=sqrt2,\ \ b=0`

`d)\ a=0,\ \ b=-4`

`e)\ a=3/2,\ \ b=-4/2=-2`

`f)\ a=-5/4,\ \ b=8/4=2`

Wyznacz sumę f+g oraz różnicę f-g

`a)`

`(f+g)(x)=f(x)+g(x)=ul(2x^5)-ul(ul(x^2))+ul(ul(ul(3x^3)))+ul(ul(ul(ul(2))))+ul(ul(ul(x^3)))-ul(2x^5)+ul(ul(x^2))-ul(ul(ul(ul(6))))=4x^3-4`

`(f-g)(x)=f(x)-g(x)=ul(2x^5)-ul(ul(x^2))+ul(ul(ul(3x^3)))+ul(ul(ul(ul(2))))-ul(ul(ul(x^3)))+ul(2x^5)-ul(ul(x^2))+ul(ul(ul(ul(6))))=4x^5+2x^3-2x^2+8`

 

 

 

`b)`

`(f+g)(x)=-3x^3+2x^5-x^6+7x^2+x+4x^5-x^2+x^6-3x^3=6x^5-6x^3+6x^2+x`

`(f-g)(x)=-3x^3+2x^5-x^6+7x^2+x-4x^5+x^2-x^6+3x^3=-2x^6-2x^5+8x^2+x`

 

 

 

`c)`

`(f+g)(x)=0,75x^6+2x^4-0,125x^2+2,5+1/8x^2-1/4x^6+3x^4-3/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3/4x^6+2x^4-1/8x^2+2 1/2+1/8x^2-1/4x^6+3x^4-1 1/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/2x^6+5x^4+1`

`(f-g)(x)=0,75x^6+2x^4-0,125x^2+2,5-1/8x^2+1/4x^6-3x^4+3/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3/4x^6+2x^4-1/8x^2+2 1/2-1/8x^2+1/4x^6-3x^4+1 1/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^6-x^4-1/4x^2+4`

Czy poniższa funkcja jest jednomianem

`a)\ "tak",\ st=7`

`b)\ y=x/4=1/4x^1,\ \ \ "tak",\ \ st=1`

`c)\ y=4/x=4x^-1,\ \ \ "nie, ponieważ" -1notinNN`

`d)\ y=6sqrtx=6x^(1/2),\ \ \ "nie, ponieważ" 1/2notinNN`

`e)\ "tak",\ \ \ st=3`

Zapisz wyrażenia opisujące pola wielokątów

`P_1=a*h=ah`

`P_2=1/2*a*h=1/2ah`

`P_3=1/2*(a+b)*h=1/2ah+1/2bh`

Jednomianami są wyrażenia pierwsze i drugie. 

Punkty A i B należą do wykresu funkcji liniowej

Równanie funkcji liniowej to y=ax+b. Aby wyznaczyć współczynniki a i b wystarczy wstawić współrzędne punktów A i B w miejsce x i y, a następnie rozwiązać otrzymany w ten sposób układ równań. 

 

 

`a)`

`{(-10=a*5+b), (5=a*0+b):}`

`{(-10=5a+b), (b=5):}`

`{(-10=5a+5\ \ \ |-5), (b=5):}`

`{(-15=5a\ \ \ |:5), (b=5):}`

`{(a=-3), (b=5):}`

 

`ul(ul(y=-3x+5))`

 

 

`b)`

`{(0=a*0+b), (10=a*6+b):}`

`{(b=0), (10=6a\ \ \ |:6):}`

`{(b=0), (a=10/6=5/3=1 2/3):}`

 

`ul(ul(y=1 2/3x)`

 

 

 

`c)`

`{(-2=a*3+b), (0=a*6+b):}\ \ \ \ |-`

`-2=-3a\ \ \ |:(-3)`

`a=2/3`

 

`0=2/3*6+b`

`0=4+b\ \ \ |-4`

`b=-4`

 

 

`ul(ul(y=2/3x-4))`

 

 

 

`d)`

`{(1=a*(-4)+b), (9=a*0+b):}`

`{(1=-4a+b), (b=9):}`

`{(1=-4a+9\ \ \ |-9), (b=9):}`

`{(-8=-4a\ \ \ |:(-4)), (b=9):}`

`{(a=2), (b=9):}`

 

`ul(ul(y=2x+9):}`

 

 

`e)`

`{(8=a*(-6)+b), (0=a*(-3)+b):}\ \ \ |-`

`8=-6a-(-3a)`

`8=-6a+3a`

`8=-3a\ \ \ |:(-3)`

`a=-8/3=-2 2/3`

 

`0=-8/3*(-3)+b`

`0=8+b\ \ \ |-8`

`b=-8`

 

`ul(ul(y=-2 2/3x-8))`

 

 

`f)`

`{(6=a*0+b), (0=a*(-4)+b):}`

`{(b=6), (0=-4a+6\ \ \ |-6):}`

`{(b=6), (-4a=-6\ \ \ |:(-4)):}`

`{(b=6), (a=6/4=3/2=1 1/2):}`

 

`ul(ul(y=1 1/2x+6):}`

W podanej sumie algebraicznej wskaż wyrazy podobne

`a)\ 2p^3+ul(3p^2)+ul(ul(2p))+ul(1/2p^2)+ul(ul(p))`

`b)\ ul(-3x^3y^2)+ul(ul(2x^2y^3))+ul(3x^3y^2)+2xy^3-ul(ul(x^2y^3))`

 

Zapisz liczbę w postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2

`a)\ 26=3*8+2`

`b)\ 76=3*25+1`

`c)\ 108=3*36`

`d)\ 127=3*42+1`

`e)\ 713=3*237+2`