Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy
Wykresy funkcji logarytmicznych
Pierwsza obserwacja polega na tym, że wykres każdej takiej funkcji przechodzi przez punkt $(1,0)$, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej da jeden.
Drugą obserwację oprzemy na wzorze zamiany podstaw logarytmu. Przypomnijmy: $log_{a} b = {log_{c}b}/{log_{c}a}$. Oczywiście zarówno $a$, jak i $c$ są tutaj stałymi. Widać więc, że każdy logarytm możemy zamienić na przykład na dziesiętny, mnożąc go przez jakąś stałą.
Teraz wróćmy do poprzedniego tematu, który omawiał przekształcanie wykresów funkcji. Powiedzieliśmy tam, że jeśli mnożymy funkcję przez jakąś stałą, to tak naprawdę rozciągamy albo ściskamy jej wykres w osi y. Stosując to prawo tutaj: wykres każdej funkcji logarytmicznej jest identyczny, a różni się jedynie tym "rozciągnięciem" albo "ściśnięciem". W pewnych przypadkach może się też okazać, że wartość, przez którą musimy pomnożyć, jest ujemna - dzieje się to wtedy, gdy przechodzimy z podstawy mniejszej od jedynki do podstawy większej od jedynki.
Przykład kilku wykresów:
Spis treści
Dana jest funkcja:
Wyznaczmy miejsca zerowe tej funkcji:
{premium}
zatem:
zatem punkty wspólne wykresu funkcji f i osi x to:
Zauważmy, że:
zatem punkt wspólny wykresu funkcji f i osi y to:
Wiemy, że przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym.
Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:
{premium}
`a)`
{premium}
Drugie równanie jest sprzeczne, ponieważ po lewej stronie mamy iloczyn i iloraz liczb dodatnich, czyli liczbę dodatnią, natomiast po prawej stronie równania mamy liczbę ujemną.
Rozwiązujemy pierwsze równanie.
Podstawiamy t=q2.
Wracamy z podstawieniem do zmiennej q.
Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu jako x, y, z. Wtedy skoro tworzą ciąg geometryczny to:{premium}
Ich iloczyn wynosi 216:
Jedna z krawędzi ma długość 6.
b) Stosunek długości pozostałych krawędzi:
stąd
Wszystkie zmienne muszą być dodatnie gdyż długość boków musi być dodatnia.
Pole powierzchni całkowitej:
{premium}
Odchylenie standardowe jest równe.
{premium}
Obliczamy średnią arytmetyczną podanych liczb.
Odchylenie standardowe jest więc równe:
Czyli:
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}
Trójkąty ABC i ABD są podobne na podstawie cechy KKK (mają po jednym kącie prostym i wspólny kąt DAC).
Trójkąty ABC i CBD są podobne na podstawie cechy KKK (mają po jednym kącie prostym i wspólny kąt CBD).
Trójkąty CBD i ABD są podobne na podstawie cechy KKK (oba trójkąty są podobne do trójkąta ABC, więc mają takie same kąty).
Z podobieństwa trójkątów CBD i ABD:
Obliczamy pole trójkąta ABC:
Odp. Pole trójkąta jest równe 20 cm2.
Jeśli liczbę da się zapisać w postaci:
gdzie "coś" jest liczbą naturalną, to jest to liczba parzysta. {premium}
Jeśli natomiast liczbę da się zapisać jako:
to jest to liczba nieparzysta.
Liczby a i b już są w takiej postaci, zajmijmy sie następnymi liczbami:
Możemy teraz rozwiązać zadanie:
a)
Wpłacona kwota wynosi:
Oprocentowanie jest równe:
Odsetki są naliczane co rok, więc:
Obliczamy kwotę, jaka będzie na koncie po upływie 5 lat.{premium}
b)
Wpłacona kwota wynosi:
Oprocentowanie jest równe:
Odsetki są naliczane co rok, więc:
Obliczamy kwotę, jaka będzie na koncie po upływie 5 lat.
c)
Wpłacona kwota wynosi:
Oprocentowanie jest równe:
Odsetki są naliczane co rok, więc:
Obliczamy kwotę, jaka będzie na koncie po upływie 5 lat.
d)
Wpłacona kwota wynosi:
Oprocentowanie jest równe:
Odsetki są naliczane co rok, więc:
Obliczamy kwotę, jaka będzie na koncie po upływie 5 lat.
{premium}
