Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy funkcji logarytmicznych

W tym rozdziale zajmiemy się rysowaniem wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw logarytmu.

Pierwsza obserwacja polega na tym, że wykres każdej takiej funkcji przechodzi przez punkt $(1,0)$, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej da jeden.

Drugą obserwację oprzemy na wzorze zamiany podstaw logarytmu. Przypomnijmy: $log_{a} b = {log_{c}b}/{log_{c}a}$. Oczywiście zarówno $a$, jak i $c$ są tutaj stałymi. Widać więc, że każdy logarytm możemy zamienić na przykład na dziesiętny, mnożąc go przez jakąś stałą.

Teraz wróćmy do poprzedniego tematu, który omawiał przekształcanie wykresów funkcji. Powiedzieliśmy tam, że jeśli mnożymy funkcję przez jakąś stałą, to tak naprawdę rozciągamy albo ściskamy jej wykres w osi y. Stosując to prawo tutaj: wykres każdej funkcji logarytmicznej jest identyczny, a różni się jedynie tym "rozciągnięciem" albo "ściśnięciem". W pewnych przypadkach może się też okazać, że wartość, przez którą musimy pomnożyć, jest ujemna - dzieje się to wtedy, gdy przechodzimy z podstawy mniejszej od jedynki do podstawy większej od jedynki.

Przykład kilku wykresów:

1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz miejsca zerowe funkcji...

Dana jest funkcja:

 

Wyznaczmy miejsca zerowe tej funkcji:

   {premium}

 

zatem:

 

 

zatem punkty wspólne wykresu funkcji f i osi x to:

 

 

Zauważmy, że:

 

zatem punkt wspólny wykresu funkcji f i osi y to:

 

Bok rombu ma długość...

Wiemy, że przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym. 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Wyznacz pierwszy wyraz ...

`a)` 

 

    

 

 

  

 

 

 

 

 

{premium} 

 

 

  

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

Drugie równanie jest sprzeczne, ponieważ po lewej stronie mamy iloczyn i iloraz liczb dodatnich, czyli liczbę dodatnią, natomiast po prawej stronie równania mamy liczbę ujemną.

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

  

 

 

 

 

Podstawiamy t=q2.

 

 

 

  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej q.

 

 

  

   

Objętość pewnego prostopadłościanu...

Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu jako x, y, z. Wtedy skoro tworzą ciąg geometryczny to:{premium}

 

Ich iloczyn wynosi 216:

 

 

 

 

 

 

Jedna z krawędzi ma długość 6.

 

b) Stosunek długości pozostałych krawędzi:

 

 

stąd

 

 

 

 

Wszystkie zmienne muszą być dodatnie gdyż długość boków musi być dodatnia.

 

Pole powierzchni całkowitej:

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

 

{premium}  

 

  

 

 

 

 

 

   

 

 

     

 

 

 

Niech x oznacza średnią arytmetyczną ...

Odchylenie standardowe jest równe.

 {premium}

Obliczamy średnią arytmetyczną podanych liczb.

 


Odchylenie standardowe jest więc równe:

 

Czyli:

  

Oblicz pole trójkąta prostokątnego...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Trójkąty ABC i ABD są podobne na podstawie cechy KKK (mają po jednym kącie prostym i wspólny kąt DAC).

Trójkąty ABC i CBD są podobne na podstawie cechy KKK (mają po jednym kącie prostym i wspólny kąt CBD).

Trójkąty CBD i ABD są podobne na podstawie cechy KKK (oba trójkąty są podobne do trójkąta ABC, więc mają takie same kąty).


Z podobieństwa trójkątów CBD i ABD:

 

 

 


Obliczamy pole trójkąta ABC:

 


Odp. Pole trójkąta jest równe 20 cm2.

Zaznacz liczby parzyste

Jeśli liczbę da się zapisać w postaci: 

gdzie "coś" jest liczbą naturalną, to jest to liczba parzysta. {premium} 

Jeśli natomiast liczbę da się zapisać jako:

to jest to liczba nieparzysta.

 

Liczby a i b już są w takiej postaci, zajmijmy sie następnymi liczbami:

   

 

 

Możemy teraz rozwiązać zadanie:

Na lokatę roczną, której oprocentowanie ...

a)

Wpłacona kwota wynosi:

 


Oprocentowanie jest równe:

 


Odsetki są naliczane co rok, więc:

 


Obliczamy kwotę, jaka będzie na koncie po upływie 5 lat.{premium}

  


b)

Wpłacona kwota wynosi:

 


Oprocentowanie jest równe:

 


Odsetki są naliczane co rok, więc:

  


Obliczamy kwotę, jaka będzie na koncie po upływie 5 lat.

  


c)

Wpłacona kwota wynosi:

 


Oprocentowanie jest równe:

 


Odsetki są naliczane co rok, więc:

 


Obliczamy kwotę, jaka będzie na koncie po upływie 5 lat.

  


d)

Wpłacona kwota wynosi:

 


Oprocentowanie jest równe:

 


Odsetki są naliczane co rok, więc:

 


Obliczamy kwotę, jaka będzie na koncie po upływie 5 lat.

  

Oblicz (1/4)^4 ...

{premium}