Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy funkcji logarytmicznych

W tym rozdziale zajmiemy się rysowaniem wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw logarytmu.

Pierwsza obserwacja polega na tym, że wykres każdej takiej funkcji przechodzi przez punkt $$(1,0)$$, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej da jeden.

Drugą obserwację oprzemy na wzorze zamiany podstaw logarytmu. Przypomnijmy: $$log_{a} b = {log_{c}b}/{log_{c}a}$$. Oczywiście zarówno $$a$$, jak i $$c$$ są tutaj stałymi. Widać więc, że każdy logarytm możemy zamienić na przykład na dziesiętny, mnożąc go przez jakąś stałą.

Teraz wróćmy do poprzedniego tematu, który omawiał przekształcanie wykresów funkcji. Powiedzieliśmy tam, że jeśli mnożymy funkcję przez jakąś stałą, to tak naprawdę rozciągamy albo ściskamy jej wykres w osi y. Stosując to prawo tutaj: wykres każdej funkcji logarytmicznej jest identyczny, a różni się jedynie tym "rozciągnięciem" albo "ściśnięciem". W pewnych przypadkach może się też okazać, że wartość, przez którą musimy pomnożyć, jest ujemna - dzieje się to wtedy, gdy przechodzimy z podstawy mniejszej od jedynki do podstawy większej od jedynki.

Przykład kilku wykresów:

1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla wielomianu w(x)=x³-2x²+3x+1 ...

Obliczamy pierwiastek wielomianu w(x) metodą bisekcji.

`w(x)=x^3-4x^2+3x+1`

Sprawdźmy, czy w(1)>0 oraz w(2)<0.

`w(1)=1^3-4*1^2+3*1+1=1-4+3+1=1>0`

`w(2)=2^3-4*2^2+3*2+1=8-16+6+1=-1<0`

Istniej pierwiastek  x∈ (1;2).

Środek przedziału to 1,5. Obliczamy w(1,5).

`w(1,5)=(1,5)^3-4*(1,5)^2+3*1,5+1=3,375-9+4,5+1=-0,125<0`

Mamy w(1)>0 oraz w(1,5)<0, więc istnieje pierwiastek x∈ (1 ; 1,5). 

Środek przedziału to 1,25. Obliczamy w(1,25).

`w(1,25)=(1,25)^3-4*(1,25)^2+3*1,25+1=1,953125-6,25+3,75+1=0,453125>0`

Mamy w(1,25)>0 oraz w(1,5)<0, więc istnieje pierwiastek x∈ (1,25 ; 1,5). 

Wyznaczamy pierwiastek z dokładnością do 0,05, więc przyjmując jako pierwiastek środek powyższego przedziału, otrzymamy żądaną dokładność.

`x_0~~1,38`

Suma wszystkich liczb naturalnych ...

`S_100=1+2+3+...+100=?` 

 

Kolejne liczby naturalne tworzą ciąg arytmetyczny.

`n=100` 

`a_1=1`   

`a_n=100` 

`S_100=(a_1+a_n)/2*100=101*50=5050` 

 

`"Odpowiedź B."` 

 

Rodzice w dniu narodzin córki założyli...

Oznaczmy wpłacony kapitał przez k, wtedy:

`50000 = k*(1,06)^20` 

`50000 = k*3,207135` 

`k_6 = 15590,24 \ ["zł"]` 

 

Gdybyśmy obniżyli stopę procentową do 5% to:

`k^' = k(1,06)^10` 

`k^' = k *1,790848` 

`k^' = 1,790848k` 

 

`50000 = k^' *(1,05)^10` 

`50000 = 1,790848k*1,6288946k` 

`k=17140,30 \ ["zł"]` 

 

Rodzice musieliby zwiększyć kapitał o:

`k_5 - k_6 = 17140,30 - 15590,24 = 1550,06 \ ["zł"]` 

Uzupełnij i uzasadnij

Trójmian kwadratowy można rozłożyć na czynniki liniowe, jeśli istnieją pierwiastki trójmianu. Jeśli wiec nie istnieją pierwiastki trójmianu, to nie da się go rozłożyć na czynniki liniowe. Pierwiastki trójmianu nie istnieją, gdy jego wyróżnik (delta) jest ujemny. 

 

`a)\ (2x^4+x^3+x^2)=x^2(2x^2+x+1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=1^2-4*2*1=1-8=-7<0`      

`b)\ 18x^5-3x^4+6x^3=3x^3(6x^2-x+2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-1)^2-4*6*2=1-48=-47<0` 

`c)\ -2x^7+x^6-x^5=-x^5(2x^2-x+1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-1)^2-4*2*1=1-8=-7<0`   

`d)\ x^5-2x^4+sqrt2x^3=x^3(x^2-2x+sqrt2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-2)^2-4*1*sqrt2=4-4sqrt2~~4-4*1,41<0`   

Oblicz.

`"Korzystamy z tabelki z zadania poprzedniego (4)."`   

 

`a)` 

`sin90^@+2cos0^@=1+2*1=3` 

 

`b)` 

`3sin0^@-4cos90^@=3*0-4*0=0` 

 

`c)` 

`tg180^@=2cos180^@=0-2(-1)=2` 

 

`d)` 

`4sin0^@-6cos180^@=4*0-6*(-1)=6`   

  

W klasie IIIa

`a)` 

Obliczmy średnią arytmetyczną ocen w klasie IIIa:

`overlinex_a=(4*1+6*2+4*3+2*4+5*5+3*6)/24=(4+12+12+8+25+18)/24=79/24=3 7/24` 

 

Wypiszmy w kolejności rosnącej oceny uzyskane przez uczniów klasy IIIa:

`1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ ul3,\ ul3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6`  

Mamy 24 oceny, więc mediana będzie średnią 12. i 13. oceny (zostały one podkreślone). 

`M_a=(3+3)/2=6/2=3`  

 

Najwięcej razy (aż 6) wystąpiła ocena 2.

`D_a=2`  

 

 

 

`b)` 

Obliczmy średnią arytmetyczną ocen w klasie IIIb:

`overlinex_b=(2*1+2*2+6*3+12*4+5*5+1*6)/28=(2+4+18+48+25+6)/28=103/28=3 19/28` 

 

Wypiszmy w kolejności rosnącej oceny uzyskane przez uczniów klasy IIIb:

`1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ ul4,\ ul4,\ 4,\ 4, \ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5, \ 5,\ 5,\ 5,\ 6`  

Mamy 28 ocen, więc mediana będzie średnią 14. i 15. oceny (zostały one podkreślone). 

`M_b=(4+4)/2=8/2=4` 

 

Najwięcej razy (aż 12) wystąpiła ocena 4. 

`D_b=4` 

 

 

 

`c)` 

Zapiszmy w tabelce ilość danych ocen uzyskanych przez uczniów obu klas trzecich:

 
`"ocena"`  `1`  `2`  `3`  `4`  `5`  `6` 
`"ilość"`  `4+2=6`  `6+2=8`  `4+6=10`  `2+12=14`  `5+5=10`  `3+1=4` 

 

Obliczamy średną ocen w obu klasach:

`overlinex=(6*1+8*2+10*3+14*4+10*5+4*6)/(6+8+10+14+10+4)=(6+16+30+56+50+24)/52=182/52=91/26=7/2=3 1/2` 

 

  Z tabeli możemy odczytać, że jeśli ułożymy wyniki w listę posortowaną rosnąco, to:
  • oceny od 1. do 6. to 1
  • oceny od 7. do 14. to 2
  • oceny od 15. do 24. to 3
  • oceny od 25. do 38. to 4
  • oceny od 39. do 48. to 5
  • oceny od 49. do 52. to 6

Mamy 52 oceny, więc mediana będzie średnią 26. i 27. oceny. 

`M=(4+4)/2=8/2=4` 

 

Najwięcej razy (aż 14) wystąpiła ocena 4. 

`D=4` 

 

`ul("uwaga")` 

Średnią można było obliczyć także, korzystając ze średnich obliczonych w podpunktach a) i b). 

Wiemy, że 24 uczniów liczy klasa IIIa, natomiast klasa IIIb liczy 28 osób. 

Możemy więc obliczyć średnią ogółu uczniów klas III:

`overlinex=(24*overlinex_a+28*overlinex_b)/(24+28)=(24*79/24+28*103/28)/52=(79+103)/52=182/52=91/26=7/2=3 1/2` 

Zmieszano dwa roztwory

`ul("roztwór 17%")` 

`"masa roztworu:"\ \ \ x` 

`"masa soli w roztworze:"\ \ \ 17%*x=0,17x` 

 

 

`ul("roztwór 2%")`  

`"masa roztworu:"\ \ \ y` 

`"masa soli w roztworze:"\ \ \ 2%*y=0,02y` 

 

 

`ul("roztwór 5%")` 

W otrzymanym roztworze masa roztworu to suma mas poprzednich roztworów, podobnie masa cukru, to suma mas cukru w poprzednich roztworach. 

`"masa roztworu:"\ \ \ x+y` 

`"masa soli w roztworze:"\ \ \ 0,17x+0,02y` 

 

Wiemy, że sól stanowi 5% masy roztworu, więc możemy zapisać równanie:

`0,17x+0,02y=5%*(x+y)` 

`0,17x+0,02y=0,05(x+y)\ \ \ \ |*100` 

`17x+2y=5(x+y)` 

`17x+2y=5x+5y\ \ \ \ |-5x-2y` 

`12x=3y\ \ \ \ |:3` 

`4x=y` 

 

Powyższa równość oznacza, że y jest 4 razy większy od x, więc drugiego roztworu (o stężeniu 2%) było więcej.

Obliczamy, o ile procent więcej było roztworu 2%, czyli obliczamy, jakim procentem masy roztworu 17% jest różnica mas tych roztworów:

`(y-x)/x=(4x-x)/x=(3x)/x=3=300/100=300%` 

Rozłóż na czynniki pierwsze

Trójkąt równoboczny ABC ma bok długości 20 cm

`a)` 

`|AM|=|BN|=|CP|=x` 

`|MC|=|PB|=|AN|=20-x` 

 

Oczywiście długości boków muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

`{(x>0), (20-x>0):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>0), (x<20):}\ \ \ =>\ \ \ x in (0,\ 20)` 

 

Zauważmy, że kąty przy wierzchołkach A, B, C są równe (mają po 60 stopni), więc trójkąty ANM, BPN, CMP są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok (mają 2 takie same boki a między nimi kąt 60°), czyli ich pola są takie same: 

`P_(DeltaANM)=P_(DeltaBPN)=P_(DeltaCMP)=1/2*x*(20-x)*sin60^o=sqrt3/4*x*(20-x)` 

 

Obliczmy pole trójkąta ABC:

`P_(DeltaABC)=(20^2sqrt3)/4=(400sqrt3)/4=100sqrt3` 

 

Pole trójkąta MNP obliczymy odejmując od pola trójkąta ABC 3 pola mniejszych trójkątów:

`P_(DeltaMNP)=100sqrt3-(3sqrt3)/4x(20-x)=` `100sqrt3-15sqrt3x+(3sqrt3)/4x^2=(3sqrt3)/4x^2-15sqrt3x+100sqrt3` 

 

 

 

`b)` 

Pole trójkąta MNP jest wyrażone za pomocą funkcji kwadratowej o dodatnim współczynniku a, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, jest osiągana wartość najmniejsza - w wierzchołku.

`x=p=(15sqrt3)/(2*(3sqrt3)/4)=` `(15sqrt3)/((3sqrt3)/2)=15sqrt3:(3sqrt3)/2=15sqrt3*2/(3sqrt3)=` `15*2/3=10` 

Wystarczy więc wybrać pinkty M, N, P w odległości 10 cm od wierzchołków A, B, C.  

 

 

Punkt P należy do wykresu

`y=a/x\ \ \ |*x` 

`xy=a` 

 

Aby otrzymać współczynnik a, wystarczy pomnożyć współrzędne punktu. 

 

`a)\ a=-3*4=-12` 

`b)\ a=strike9^3/strike8^4*(-strike2^1/strike3^1)=-3/4`