Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy funkcji logarytmicznych

W tym rozdziale zajmiemy się rysowaniem wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw logarytmu.

Pierwsza obserwacja polega na tym, że wykres każdej takiej funkcji przechodzi przez punkt $(1,0)$, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej da jeden.

Drugą obserwację oprzemy na wzorze zamiany podstaw logarytmu. Przypomnijmy: $log_{a} b = {log_{c}b}/{log_{c}a}$. Oczywiście zarówno $a$, jak i $c$ są tutaj stałymi. Widać więc, że każdy logarytm możemy zamienić na przykład na dziesiętny, mnożąc go przez jakąś stałą.

Teraz wróćmy do poprzedniego tematu, który omawiał przekształcanie wykresów funkcji. Powiedzieliśmy tam, że jeśli mnożymy funkcję przez jakąś stałą, to tak naprawdę rozciągamy albo ściskamy jej wykres w osi y. Stosując to prawo tutaj: wykres każdej funkcji logarytmicznej jest identyczny, a różni się jedynie tym "rozciągnięciem" albo "ściśnięciem". W pewnych przypadkach może się też okazać, że wartość, przez którą musimy pomnożyć, jest ujemna - dzieje się to wtedy, gdy przechodzimy z podstawy mniejszej od jedynki do podstawy większej od jedynki.

Przykład kilku wykresów:

1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile rozwiązań ma ...

 

Zał:

 

  {premium}

 

 

Rozwiązując to równanie mamy:

 

 

 

 

 

Zatem równanie ma trzy rozwiązania.

 

Odp. C

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest dwa razy ...

a) Rysunek pomocniczy:

   {premium}

 


b) Rysunek pomocniczy:

Obliczmy długość przekątnej ściany bocznej (oznaczmy jako b).

 

 

 

 

Zauważmy, że trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym.

 

Korzystając z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 


c) Rysunek pomocniczy:

Obliczmy długość przekątnej podstawy (oznaczmy jako b).

 

Obliczmy długość przekątnej graniastosłupa (oznaczmy jako d).

 

 

 

 

 

Ala kupiła pewną liczbę pączków...

Wprowadźmy oznaczenia:

 -liczba pączków kupionych przez Alę

 -cena jednego pączka kupionego przez Alę

 -liczba pączków kupionych przez Ulę {premium}

 -cena jednego pączka kupionego przez Ulę

 -cena pączków kupionych przez Alę

 -cena pączków kupionych przez Ulę

 

Obliczmy wartość  :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp.: Wartość p wynosi 20. 

 

 

Zastosuj odpowiedni wzór ...

 {premium}


 


 

Wyznacz wysokość prostopadłościanu wpisanego...

Obliczmy  , wiedząc że stosunek długości krawędzi podstawy wynosi  

Czyli, jedna krawędź podstawy wynosi  , a druga krawedź podstawy wynosi  

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dany jest trójkąt prostokątny ABC...

Środek przeciwprostokątnej{premium} jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, więc punkt P jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Punkt P jest środkiem okręgu, więc kąty APC i ABC to kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Stąd:

 

Wykaż, że liczba ...

 

Rozszerz wyrażenie, wiedząc, że  

 {premium}

 

 

 

 

Uprość iloczyn, wiedząc, że  

 

Liczba  jest liczbą naturalną - liczby naturalne są również liczbami całkowitymi.

Sprawdź, czy istnieje ...

 

 

     {premium}

 

Wielomiany W(x) i F(x) są równe, gdy:

 

 

 

Zatem nie istnieje liczba a spełniająca oba powyższe warunki.


 

 

 

 

 

Wielomiany W(x) i F(x) są równe, gdy:

 

 

Zatem:

 


 

 

 

 

Wielomiany W(x) i F(x) są równe, gdy:

 

 

 

Zatem nie istnieje liczba a spełniająca wszystkie powyższe warunki.


 

 

 

 

Wielomiany W(x) i F(x) są równe, gdy:

 

 

Zatem:

 

Półprosta CD na rysunku obok ...

Z tw. o podziale boku przez dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta wiemy, że: {premium}

 

 

 

 

 

Odp. C

Napisz równanie prostej, do której należą punkty...

Równanie ogólne prostej to:

 

 

Podstawmy współrzędne punktów:

{premium}  

 

Stąd:

  

 

 

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy:

 

czyli

 

 

Równanie ogólne prostej to: