Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

a) Rysunek poglądowy:

`tg \ 56^o = b/6` 

`b = tg \ 56^o * 6 approx 1,4826 * 6 approx 8,8956 approx 8,9` 

`cos 56^o = 6/c` 

`c = 6/(cos56^o) approx 6/(0,5592) approx 10,72 approx 10,7` 

b) Rysunek poglądowy:

`sin 66^o = b/10` 

`b = sin 66^o * 10 approx 0,9135 * 10 approx 9,1` 

`cos 66^o = a/10` 

`a = cos66^o* 10 approx 0,4067 * 10 = 4,067 approx 4,1` 

`a)` 

Aby otrzymać wykres funkcji g, wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w górę. 

`y=2\ \ \ ("asymptota pozioma")` 

`g(D_g)=RR\\{2}` 

`b)` 

Aby otrzymać wykres funkcji g, należy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w górę. 

`y=1` 

`g(D_g)=RR\\{1}` 

`c)` 

Aby otrzymać wykres funkcji g, należy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w dół. 

`y=-2` 

`g(D_g)=RR\\{-2}` 

`ZW_f=<0,5>` 

`a)` 

`g(x)=f(x)+1` 

`D=<-4,4>` 

`ZW=<1,6>` 

`b)` 

`g(x)=f(x)-2` 

`D=<-4,4>` 

`ZW=<-2,3>` 

`c)` 

`g(x)=f(x-2)` 

`D=<-2,6>` 

`ZW=<0,5>` 

`d)` 

`g(x)=f(x+1)` 

`D=<-5,3>` 

`ZW=<0,5>` 

a)

`Omega={10, 11, 12, ..., 97, 98, 99}` 

_ _ 

Na pierwszym miejscu możemy wybrać cyfrę od 1-9, czyli 9 możliwości (nie możemy wybrać 0).

Na drugim miejscu możemy wybrać cyfrę od 0-9, czyli 10 możliwości. 

`overline(overline(Omega))=9*10=90` 

A- zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 10 i niepodzielnej przez 3

`A={10, 20, 40, 50, 70, 80}` 

`P(A)=6/90=1/15` 

b)

`Omega={10, 11, 12, ..., 97, 98, 99}` 

_ _ 

Na pierwszym miejscu możemy wybrać cyfrę od 1-9, czyli 9 możliwości (nie możemy wybrać 0).

Na drugim miejscu możemy wybrać cyfrę od 0-9, czyli 10 możliwości. 

`overline(overline(Omega))=9*10=90` 

B- zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 5 lub podzielnej przez 8

`B={10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 16, 24, 32, 48, 56, 64, 72, 88, 96}` 

`P(B)=27/90=3/10`  

`a)`

Chcemy, aby funkcja przecinała OY poniżej tego punktu, więc 

`g(0)<7`

`-3*0+5-2m<7`

`0+5-2m<7`

`5-2m<7\ \ \|-5`

`-2m<2\ \ \ |:(-2)`

`m> -1`

`m in(-1,\ +infty)`

`b)\ g(x)=0`

`\ \ \ -3x+5-2m=0`

`\ \ \ -3x=2m-5`

`\ \ \ x=(2m-5)/(-3)\ \ larr\ \ m.\ zerowe`

`\ \ \ (2m-5)/(-3)>1\ \ \ |*(-3)`

`\ \ \ 2m-5<-3\ \ \ |+5`

`\ \ \ 2m<2\ \ \ |:2`

`\ \ \ m<1`

`\ \ \ m in(-infty,\ 1)`

`a)`

Zajmijmy się funkcją kwadratową, która tworzy funkcję f:

`g(x)=-2x^2-8x-6=-2(x^2+4x+3)=-2(x^2+4x+4-4+3)=`

`=-2((x+2)^2-4+3)=-2((x+2)^2-1)=-2(x+2)^2+2`

Wystarczy przesunąć początek układu współrzędnych o wektor [-2, 2] i w takim układzie narysować wykres funkcji y=-2x². 

Trzeba pamiętać, że parabolę rysujemy tylko dla x mniejszych od 0 (patrząc na główny układ współrzędnych). 

`b)\ ZW_f\ =\ (-infty,\ 2>>`

`c)\ f(-4)=-2*(-4)^2-8*(-4)-6=-2*16+32-6=-32+32-6=-6`

`d)\ f(x)>=0\ \ \ <=>\ \ \ x in << -3,\ -1>>`

a)

liczby parzyste: 2,4,6,8,10

`(2*2-1)/100+(2*4-1)/100+(2*6-1)/100+(2*8-1)/100+(2*10-1)/100=3/100+7/100+11/100+15/100+19/100=55/100=11/20` 

b)

A - wylosowana liczba będzie większa od 4

B - wylosowana liczba będzie nieparzysta

`P(A"|"B)=(P(A nn B))/(P(B))` 

`P(B)=1-11/20=9/20` 

`P(A nn B)=(2*5-1)/100+(2*7-1)/100+(2*9-1)/100=9/100+13/100+17/100=39/100` 

`P(A"|"B)=(39/100)/(9/20)=39/100*20/9=13/5*1/3=13/15` 

`|DG|=h_1` 

`|RG|=h_2` 

`P_1=(d+20)/2*h_1` 

`P_2=(80+d)/2*h_2` 

`h_1+h_2=|DR|=H`   

`P_1+P_2=(20+80)/2*H=50*H=50(h_1+h_2)`   

Skoro trapez jest równoramienny to:

`80=2x+20` 

`x=30` 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`50^2=30^2+H^2` 

`H^2=2500-900=1600` 

`ul(H=40`  

`P_1+P_2=50*H=2000` 

`(80+d)/2*(h_2)=1000` 

`(d+20)/2*(40-h_2)=1000`   

`1000/h_2=40+d/2\ implies \ h_2=1000/(40+d/2)` 

`(d+20)/2*(40-h_2)=1000\ implies \ (d+20)/2*(40-1000/(40+d/2))=1000`     

`(d+20)(40-1000/(40+d/2))=2000` 

`40-1000/(40+d/2)=2000/(d+20)` 

`40(40+d/2)(d+20)-1000(d+20)=2000(40+d/2)` 

`(1600+20d)(d+20)-1000d-20000=80000+1000d` 

`1600d+32000+20d^2+400d-1000d-20000=80000+1000d` 

`20d^2+32000-80000-20000=0` 

`20d^2=68000` 

`d^2=3400`  

`ul(d=10sqrt34`   

`a)\ (5*(-3)+2*2)/(-3)=(-15+4)/(-3)=11/3=3 2/3`

`b)\ (sqrt2^2-sqrt3^2)/(sqrt2^2+2*sqrt2*sqrt3)=(-1)/(2+2sqrt6)=(-(2-2sqrt6))/(4-24)=(-2(1-sqrt6))/(-20)=(1-sqrt6)/10`

`c)\ (3(sqrt3+1))/(2(sqrt3+1)^2-5(sqrt3+1))=(3sqrt3+3)/(2(3+2sqrt3+1)-5sqrt3-5)=(3sqrt3+3)/(3-sqrt3)=((3sqrt3+3)(3+sqrt3))/(9-3)=(9sqrt3+9+9+3sqrt3)/6=(18+12sqrt3)/6=3+2sqrt3`

`d)\ ((sqrt3-root(3)(2))^2-2sqrt3(sqrt2-root(3)(2))-root(3)(4)+3)/(sqrt3-root(3)(2)-sqrt3)=(3-2sqrt3root(3)(2)+root(3)(4)-6+2sqrt3 root(3)(2)-root(3)(4)+3)/(-root(3)(2))=0`

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. o dwusiecznej w trójkącie otrzymujemy:

`(h-x)/x=a/h`

`h^2-xh=xa \ \ \ |+xh` 

`h^2=xa+xh` 

`h^2=x(a+h) \ \ \ |:(a+h)` 

`h^2/(a+h)=x` 

{premium}

Korzystając z podobieństwa trójkątów otrzymujemy proporcję:

`x/b=h/a` 

`xa=bh` 

`h^2/(a+h)*a=bh \ \ \ |:h` 

`(ah)/(a+h)=b` 

Wiemy, że płaszczyzna podzieliła powierzchnię boczną tego ostrosłupa na dwie części o równych polach, zatem obliczmy pole powierzchni nad płaszczyzną:

`1/2ah+2*(1/2ah-1/2a(h-x))+1/2bx=` 

`=1/2ah+ah-a(h-x)+1/2bx=` 

`=1/2ah+ah-ah+ax+1/2bx=` 

`=1/2ah+(ah^2)/(a+h)+1/2*(ah)/(a+h)*h^2/(a+h)=` 

`=1/2ah+(ah^2)/(a+h)+(ah^3)/(2(a+h)^2)` 

Obliczmy pole powierzchni pod płaszczyzną przekroju:

`2*1/2a(h-x)+1/2ah-1/2bx=` 

`=ah-ax+1/2ah-1/2bx=` 

`=3/2ah-a*h62/(a+h)-1/2*(ah)/(a+h)*h^2/(a+h)=` 

`=3/2ah-(ah^2)/(a+h)-(ah^3)/(2(a+h)^2)` 

Wiemy, że pola te są równe, wobec tego otrzymujemy równość:

`1/2ah+(ah^2)/(a+h)+(ah^3)/(2(a+h)^2)=3/2ah-(ah^2)/(a+h)-(ah^3)/(2(a+h)^2)` 

`(2ah^2)/(a+h)+(2ah^3)/(2(a+h)^2)=1ah \ \ \ |:ah` 

`(2h)/(a+h)+h^2/(a+h)^2=1 \ \ \ |*(a+h)^2` 

`2h(a+h)+h^2=(a+h)^2` 

`2ah+2h^2+h^2=a^2+2ah+h^2 \ \ \ |-2ah-h^2` 

`2h^2=a^2` 

`sqrt2h=a` 

`cos2alpha=(1/2a)/h` 

`cos2alpha=(1/2*sqrt2h)/h` 

`cos2alpha=sqrt2/2` 

`cos2alpha=cos45^o` 

`ul(ul(2alpha=45^o))`