Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy funkcji logarytmicznych

W tym rozdziale zajmiemy się rysowaniem wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw logarytmu.

Pierwsza obserwacja polega na tym, że wykres każdej takiej funkcji przechodzi przez punkt $$(1,0)$$, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej da jeden.

Drugą obserwację oprzemy na wzorze zamiany podstaw logarytmu. Przypomnijmy: $$log_{a} b = {log_{c}b}/{log_{c}a}$$. Oczywiście zarówno $$a$$, jak i $$c$$ są tutaj stałymi. Widać więc, że każdy logarytm możemy zamienić na przykład na dziesiętny, mnożąc go przez jakąś stałą.

Teraz wróćmy do poprzedniego tematu, który omawiał przekształcanie wykresów funkcji. Powiedzieliśmy tam, że jeśli mnożymy funkcję przez jakąś stałą, to tak naprawdę rozciągamy albo ściskamy jej wykres w osi y. Stosując to prawo tutaj: wykres każdej funkcji logarytmicznej jest identyczny, a różni się jedynie tym "rozciągnięciem" albo "ściśnięciem". W pewnych przypadkach może się też okazać, że wartość, przez którą musimy pomnożyć, jest ujemna - dzieje się to wtedy, gdy przechodzimy z podstawy mniejszej od jedynki do podstawy większej od jedynki.

Przykład kilku wykresów:

1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Licznik pewnego ułamka jest równy ...

a) Wiemy, że licznik pewnego ułamka jest równy 10. Nie znamy mianownika, więc liczbę z mianownika oznaczamy jako x. Mamy więc ułamek:

`10/x` 

Licznik tego ułamka zwiększamy o 20, a mianownik zwiększamy o 30. Otrzymay ułamek wygląda więc następująco:

`(10+20)/(x+30)=30/(x+30)`  

Po dodaniu liczb do liczbnika i mianownika wartość ułamka się nie zmienia, możemy zapisać równość:

`10/x=30/(x+30)` 

Otrzymaliśmy równanie:

`10/x=30/(x+30),\ \ \ "gdzie"\ \ \ x in RR\\{-30,0}` 

Rozwiązujemy równanie:

`10/x=30/(x+30)` 

`10(x+30)=30x` 

`10x+300=30x` 

`300=20x` 

`x=15` 

 

Szukany ułamek to 10/15.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) Oznaczmy:

x - pierwsza liczba

x - 3 druga liczba 

Stosunek liczby mniejszej do liczby większej wynosi 75 do 100. 

Możemy zapisać równanie:

`(x-3)/x=75/100` 

`75x=100(x-3)` 

`75x=100x-300` 

`-25x=-300` 

`x=12` 

 

Większa liczba to 12, a mniejsza to 9.

Wyznacz liczbę, której przybliżeniem jest

Błąd przybliżenia to różnica między daną liczbą a jej przybliżeniem. 

Szukaną liczbę oznaczymy jako x. 

 

`a)` 

`x-32,2=0,03` 

`x=0,03+32,2=32,23` 

 

 

`b)` 

`x-32,2=-0,03` 

`x=-0,03+32,2=32,17` 

 

 

`c)` 

`x-32,2=-0,015` 

`x=-0,015+32,2=32,185` 

 

 

`d)` 

`x-32,2=0,0096` 

`x=0,0096+32,2=32,2096` 

 

Plac zabaw ma kształt prostokąta o wymiarach 12 m x 18 m ...

`P_1=12*18`

`P_2=(12+x)*(18+2x)=`

`\ \ \ \ =12(18+2x)+x(18+2x)=`

`\ \ \ \ =12*18+24x+18x+2x^2=`

`\ \ \ \ =2x^2+42x+12*18`

 

`144=P_2-P_1`

`144=2x^2+42x+12*18-12*18`

`144=2x^2+42x\ \ \ |-144`

`2x^2+42x-144=0\ \ \ |:2`

`x^2+21x-72=0`

`Delta=21^2-4*1*(-72)=`

`\ \ \ =441+288=729`

`sqrtDelta=sqrt729=27`

`x_1=(-21-27)/2<0`

`x_2=(-21+27)/2=6/2=3`

 

`ul(ul(x=3\ m))`

Sprawdź, czy istnieje...

a) `P=x*y` 

`x*y=36` 

`x=36/y` 

 

`2x+2y=40 \ \ \ |:2` 

`x+y=20` 

`36/y+y=20 \ \ \ |*y` 

`36+y^2=20y \ \ \ |-20y` 

`y^2-20y+36=0` 

`Delta=(-20)^2-4*1*36=400-144=256` 

`sqrt(Delta)=16` 

`y_1=(20-16)/2=4/2=2` 

`y_2=(20+16)/2=36/2=18` 

 

Odp. Istnieje taki prostokąt.


b) `P=x*y` 

`x*y=36` 

`x=36/y` 

 

`2x+2y=20 \ \ \ |:2` 

`x+y=10` 

`36/y+y=10 \ \ \ |*y` 

`36+y^2=10y \ \ \ |-10y` 

`y^2-10y+36=0``Delta=(-10)^2-4*1*36=100-144=-144` 

Odp. Nie istnieje taki prostokąt.


c) `P=x*y` 

`x*y=36` 

`x=36/y` 

 

`2x+2y=24 \ \ \ |:2` 

`x+y=12` 

`36/y+y=12 \ \ \ |*y` 

`36+y^2=12y` 

`y^2-12y+36=0` 

`Delta=(-12)^2-4*1*36=144-144=0` 

`y=12/2=6` 

Odp. Istnieje taki prostokąt. 

Trójkąty...

a) Rysunek:

 

b) Rysunek:

 

c) Rysunek:

W prostokącie ABCD przekątne AC i DB przecinają się w punkcie S

`a)`

Przekątne dzielą prostokąt na cztery trójkąty o równym polu (patrz strona 104 w podręczniku), znamy pole trójkąta DSC, więc możemy zapisać: 

`P_(ABCD)=4*1\ dm^2=4\ dm^2`

 

`b)`

Pole trójkąta SCB to 1 dm² (wiemy z poprzedniego popdunktu)

Zaznaczmy niektóre kąty na rysunku oraz poprowadźmy wysokość CE w trójkącie SCB. 

 

`|CE|/|CS|=sin30^o`

`|CE|/|CS|=1/2`

`2|CE|=|CS|`

 

Oznaczmy długość odcinka CE przez x. Trójkąt CSB jest równoramienny (ponieważ odcinki SB i SC to połowy przekątnych prostokąta, mają więc równe długości, bo przekątne prostokąta są równe)

`|CE|=x`

`|CS|=|SB|=2x`

 

Wiemy, że pole trójkąta SCB wynosi 1 dm², to pole możemy obliczyć także jako połowę iloczynu długości podstawy SB i wysokości CE

`1\ dm^2=1/2*|SB|*|CE|`

`1\ dm^2=1/2*2x*x`

`1\ dm^2=x^2`

`x=1\ dm`

`|CS|=2*1\ dm=2\ dm`

 

Odcinek CS to połowa przekątnej prostokąta, więc przekątna ma długość:

`|AC|=|BD|=2*2\ dm=4\ dm`

Połącz wzór funkcji

Zauważmy, że jeśli mamy funkcję wykładniczą postaci:

`f(x)=a^x` 

gdzie a jest liczbą dodatnią różną od zera, to zbiorem wartości takiej funkcji jest zbiór liczb dodatnich (bo podnosimy do potęgi liczbę dodatnią, więc otrzymamy liczby dodatnie). 

`ZW_f\ =(0;\ +infty)` 

 

Funkcję f otrzymujemy przesuwając wykres funkcji y=2x o 5 jednostek w dół wzdłuż osi OY. Stąd zbiór wartości także będzie "przesunięty" o 5 jednostek w dół. 

`f(x)=2^x-5\ \ \ \ -> \ \ \ \ M=(-5;\ +infty)` 

 

Funkcję g otrzymujemy przesuwając wykres funkcji y=4x o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. Stąd zbiór wartości także będzie "przesunięty" o 2 jednostki w dół. 

`g(x)=4^x-2\ \ \ \ ->\ \ \ \ K=(-2;\ +infty)` 

 

Funkcję h otrzymujemy przesuwając wykres funkcji y=5x o 4 jednostki w górę wzdłuż osi OY. Stąd zbiór wartości także będzie "przesunięty" o 4 jednostki w górę. 

`h(x)=5^x+4\ \ \ \ ->\ \ \ \ N=(4;+infty)` 

 

Funkcję j otrzymujemy przesuwając wykres funkcji y=(14)x o 1/5 jednostki w górę wzdłuż osi OY. Stąd zbiór wartości także będzie "przesunięty" o 1/5 jednostki w górę. 

`j(x)=(1/4)^x+1/5\ \ \ \ ->\ \ \ \ L=(1/5;\ +infty)` 

 

Dla jakich wartości parametru ...

`x^2+mx+1=0` 

`Delta=m^2-4` 

`m^2-4>0` 

`m^2>4` 

`m>2\ \ \vv\ \ \m<-2` 

`m in (-oo;-2)cup(2;+oo)`  

 

`1/x_1^2+1/x_2^2=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)/(x_1x_2)^2=((-b/a)^2-2c/a)/(c/a)^2=` 

`=(m^2-2)/1=m^2-2` 

`m^2-2=7` 

`m^2=9` 

`m=3\ \ \vv\ \ \m=-3` 

`ul( m in {-3;3}`      

Wykaż, że ciąg (a_n), gdzie...

Na podstawie twierdzenia `2` będziemy chcieli wykazać, że każdy wyraz ciągu `(a_n)` jest średnią arytmetyczną

wyrazu poprzedniego i następnego.

Wówczas ciąg `(a_n)` będzie ciągiem arytmetycznym.   

Czyli chcemy pokazać, że:

`a_n=(a_(n-1)+a_(n+1))/2` 

Obliczamy:

`(a_(n-1)+a_(n+1))/2=[-4(n-1)+17-4(n+1)+17]/2=(-4n+4+17-4n-4n+17)/2=` 

`=(-8n+34)/2=-4n+17=a_n` 

Pokazaliśmy, że żądana równość jest spełniona, co dowodzi, że ciąg `(a_n)` jest arytmetyczny. 

W ostrosłupie prawidłowym ...

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. 

Jeśli ostrosłup jest prawidłowy to jest także prosty, czyli wszystkie jego krawędzie boczne mają jednakową długość. 

Oznaczmy długość krawędzi bocznej jako x. 

Wykonajmy rysunek pomocniczy. 

 

Każda ściana boczna jest trójkątem równoramiennym (bo ma dwa boki długości x).

Kąt między ramionami tego trójkąta ma 60°. Obliczmy, jaką miarę mają kąty przy podstawie:

`(180^o-60^o):2=120^o:2=60^o` 

Wszystkie kąty w trójkącie będącym ścianą boczną mają miarę 60° co oznacza, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku długości 6 cm. 

Podstawa jest kwadratem o boku długości 6 cm. 
 

Na pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa składają się więc pola 4 trójkątów równobocznych o boku 6 cm oraz pole kwadratu o boku długości 6 cm:

`P_c=strike4^1*(6^2sqrt{3})/strike4^1+6^2=36sqrt{3}+36 \ \ \ ["cm"^2]` 

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi (36√3+36) cm2