Wykresy funkcji logarytmicznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wykresy funkcji logarytmicznych

W tym rozdziale zajmiemy się rysowaniem wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw logarytmu.

Pierwsza obserwacja polega na tym, że wykres każdej takiej funkcji przechodzi przez punkt $$(1,0)$$, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi zerowej da jeden.

Drugą obserwację oprzemy na wzorze zamiany podstaw logarytmu. Przypomnijmy: $$log_{a} b = {log_{c}b}/{log_{c}a}$$. Oczywiście zarówno $$a$$, jak i $$c$$ są tutaj stałymi. Widać więc, że każdy logarytm możemy zamienić na przykład na dziesiętny, mnożąc go przez jakąś stałą.

Teraz wróćmy do poprzedniego tematu, który omawiał przekształcanie wykresów funkcji. Powiedzieliśmy tam, że jeśli mnożymy funkcję przez jakąś stałą, to tak naprawdę rozciągamy albo ściskamy jej wykres w osi y. Stosując to prawo tutaj: wykres każdej funkcji logarytmicznej jest identyczny, a różni się jedynie tym "rozciągnięciem" albo "ściśnięciem". W pewnych przypadkach może się też okazać, że wartość, przez którą musimy pomnożyć, jest ujemna - dzieje się to wtedy, gdy przechodzimy z podstawy mniejszej od jedynki do podstawy większej od jedynki.

Przykład kilku wykresów:

1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ nierówności.

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

    

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

   

  

 

    

  

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

  

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

Dane są okrąg o środku O ...

 

 

  

  

 

`|DB|=sinalpha`  

 

 

 

`|DO|=cosalpha` 

 

 

 

    

  

 

 

`"Trójkąty ABO i ACO maja wspólny kąt przy wierzchołku A oraz każdy z nich zawiera kąt prosty."` 

 

    

  

 

`|BO|/|CB|=|AB|/|BO|` 

`1/|CB|=|AB|/1=|AB|` 

      

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej

Jeśli funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość, to jej ramiona są skierowane w górę, czyli współczynnik a jest dodatni. 

Najmniejszsa wartość osiągana jest w wierzchołku i wynosi ona 0.

Jeśli osią symetrii jest prosta x=-3, to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa -3.

 

 

 

Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o rzędnej (współrzędna y) równej 1 1/8, czyli: 

 

 

 

Przedstaw wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `(-2)/(-1/2)=2:1/2=2*2=4` 

 

 

 

 

 

 `36-32=4` 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `(-20/7)^2+20/7*15=` 

 

 

 `(20/7-50/7)/(10/7)=` `(-30/7)/(10/7)=` `(-3*10/7)/(10/7)=-3` 

 `(70/7)/(10/7)=` `(7*10/7)/(10/7)=7` 

   

Na 42-kilometrowym torze gokartowym...

 - droga jaką pokonał Adam

 - droga jaką pokonał Wojtek

 

 - prędkość z jaką poruszał się Adam

 - prędkość z jaką poruszał się Wojtek

 

 - czas, w którym pokonał trasę Adam

 - czas, w którym pokonał trasę Wojtek

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiając tą zależność do pierwszego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź:

Prędkość z jaką poruszał się Adam:  

Prędkość z jaką poruszał się Wojtek:  

Czas, w którym pokonał trasę Adam:  

Czas, w którym pokonał trasę Wojtek:  

 

Dane są wielomiany...

Uporządkujmy wielomiany:

 

 

 

 

Porównajmy tylko najwyższe potęgi poszczególnych wielomianów:

Najwyższymi potęgami są

   

 

 

 

a) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

 

 

 

b) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

 

 

 

c) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

Różnica miar kątów przeciwległych ...

 

 

 

 

 

 

  

   

 

  

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie...

a)  

 

 

 


b)  

 

 

 

 

 


c)  

 

 

 

 

 

 

 


d)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 


e)  

 

 

 

 

 


f)  

 

 

 

 

 

 

Dla jakiej liczby rzeczywistej ...