Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

W tym temacie zajmiemy się prostymi działaniami na wielomianach. Jest to tak naprawdę bardzo proste.

Dodawanie jest raczej oczywiste: Mając dwa wielomiany, które chcemy dodać, dodajemy po prostu każdy z ich składników (czyli sumujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej). Jeśli są zapisane w postaci iloczynowej, możemy albo wymnożyć oba i wtedy je dodać, albo zauważyć (chociaż nie zawsze jest to możliwe), że da się coś wyłączyć przed nawias i w ten sposób oszczędzić sobie pracy.

Pierwsza sytuacja: dodajemy wielomiany $$2x^3+5x+3$$ i $$4x^5-x^3+2x-10$$.
Wynikiem jest oczywiście $$4x^5+x^3+7x-7$$.

Drugi przypadek: $$(x-2)(x^2+4x+5) + (2x-4)(x+6) = (x-2)(x^2+4x+5) + 2(x-2)(x+6) =$$
$$= (x-2)(x^2+4x+5 + 2(x+6)) = (x-2)(x^2+6x+17)$$

Odejmowanie wykonujemy zupełnie analogicznie.

Przykład 1. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 4x^2 + 2$$
$$Q(x) = -6x^6 + 3x + 3$$

$$W(x) - Q(x) = 4x^2 + 2 - (-6x^6 + 3x + 3) = 4x^2 + 2 + 6x^6 - 3x - 3 = 6x^6 + 4x^2 -3x -1$$

Przykład 2. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10$$
$$Q(x) = 4x^7 - 3x^4 - 7x^3 + 5x - 3$$

$$W(x) - Q(x) = (3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10) - (4x^7 - 3x^4 + 7x^3 - 5x - 3) =$$
$$= 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10 - 4x^7 + 3x^4 - 7x^3 + 5x + 3 =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + (2x^4 + 3x^4) + (7x^3 - 7x^3) + 2x^2 + 5x + (10 + 3) =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + 5x^4 + 2x^2 + 5x + 13$$


Mnożenie wielomianów jest zwykłym wymnażaniem nawiasów, z czym stykaliśmy się w każdym niemal temacie. Po prostu każdy czynnik jednego nawiasu wymnażamy przez wszystkie składniki drugiego.

Przykład 1. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 3x^3 + 2x + 1$$
$$Q(x) = 4x^5 - 3x^2 - x + 1$$

$$W(x)Q(x) = (3x^3 + 2x + 1)(4x^5 - 3x^2 - x + 1) = 12 x^8+8 x^6-5 x^5-3 x^4-3 x^3-5 x^2+x+1$$

Przykład 2. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 2x^6 + 9x -1$$
$$Q(x) = -x^5 -x^4 - x^3$$
$$P(x) = -3x^2 + 2$$

$$W(x)Q(x)P(x) = (2x^6 + 9x -1)(-x^5 -x^4 - x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= (-2 x^11-2 x^10-2 x^9-9 x^6-8 x^5-8 x^4+x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= 6 x^13+6 x^12+2 x^11-4 x^10-4 x^9+27 x^8+24 x^7+6 x^6-19 x^5-16 x^4+2 x^3$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozłóż na czynniki ...

`a)` 

`W(x)=(x^2+2)(2x-3)+(x^2+2)(x+1)=(x^2+2)[(2x-3)+(x+1)]=(x^2+2)(3x-2)` 

 

`b)` 

`W(x)=(3x^2+1)(x-1)-(3x^2+1)(2x+5)=(3x^2+1)[(x-1)-(2x+5)]=(3x^2+1)(-x-6)` 

 

`c)` 

`W(x)=(x+2)(x^2+6)-(x+2)(1-2x^2)=(x+2)[(x^2+6)-(1-2x^2)]=(x+2)(3x^2+5)` 

 

`d)` 

`W(x)=(x^2+1)(x+3)-(x+3)(4-3x^2)=(x+3)[(x^2+1)-(4-3x^2)]=(x+3)(4x^2-3)= ` 

`=(x+3)(2x-sqrt3)(2x+sqrt3)` 

 

`e)` 

`W(x)=(2x^2+5)(x-1)-(x^2+9)(x-1)=(x-1)[2x^2+5-x^2-9]=(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2)` 

`f)` 

`W(x)=(2x-3)(x^2-3)-(2x-3)(5+2x^2)=(2x-3)[(x^2-3)-(5+2x^2)]=(2x-3)(-x^2-8)`  

Przeczytaj informację w ramce.

`a)` 

`cos(3/2pi+x)=sinx` 

`"Zauważmy, że wykres funkcji"\ cos(3/2pi+x)\ "pokrywa się z wykresem funkcji"\ sinx."` 

 

`b)` 

`cos(pi-x)=-cosx` 

`"Zauważmy, że wykres funkcji"\ cos(pi-x)\ "pokrywa się z wykresem funkcji"\ -cosx."`  

 

`c)` 

`tg(pi/2+x)=-ctgx` 

`"Zauważmy, że wykres funkcji"\ ctg(pi/2+x)\ "pokrywa się z wykresem funkcji"\ ctgx."` 

W klasie liczącej 12 dziewcząt

`a)` 

Musimy wybrać 4 osoby (przewodniczący, 2 zastępców oraz sekretarz). 

Klasa liczy 20 osób (12+8=20).

Na stanowisku przewodniczącego możemy obsadzić jedną z 20 osób - 20 możliwości. 

Na stanowisku pierwszego zastępcy możemy obsadzić jedną z 19 pozostałych osób - 19 możliwości. 

Na stanowisku drugiego zastępcy możemy obsadzić jedną z 18 pozostałych osób - 18 możliwości. 

Na stanowisku sekretarza możemy obsadzić jedną z 17 pozostałych osób - 17 możliwości. 

 

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości jest równa:

`20*19*18*17=116\ 280` 

 

 

`b)` 

Zastępców wybiera sie spośród chłopców. 

Na stanowisku pierwszego zastępcy możemy więc obsadzić jednego z 8 chłopców - 8 możliwości. 

Na stanowisku drugiego zastępcy możemy obsadzić jednego z 7 pozostałych chłopców - 7 możliwości. 

Na stanowisku przewodniczącego możemy obsadzić jedną z 18 pozostałych osób (klasa liczy 20 osób, 2 chłopców objęło już stanowiska) - 18 możliwości. 

Na stanowisku sekretarza możemy obsadzić jedną z 17 pozostałych osób - 17 możliwości. 

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

`8*7*18*17=17\ 136` 

 

 

`c)` 

Zastępców i sekretarza wybiera się spośrod dziewcząt. 

Na stanowisku pierwszego zastępcy możemy obsadzić jedną z 12 dziewcząt - 12 możliwości. 

Na stanowisku drugiego zastępcy możemy obsadzić jedną z 11 pozostałych dziewcząt - 11 możliwości. 

Na stanowisku sekretarza możemy obsadzić jedną z 10 pozostałych dziewcząt - 10 możliwości. 

Na stanowisku przewodniczącego możemy obsadzić jedną z 17 pozostałych osób (klasa liczy 20 osób, 3 dziewczyny objęły już stanowiska) - 17 możliwości. 

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

`12*11*10*17=22\ 440` 

 

Czy poniższa zależność jest tożsamością ...

`a)` 

`Teza:1+sinalpha=(sin(alpha/2)+cos(alpha/2))^2` 

 

`P=(sin(alpha/2)+cos(alpha/2))^2=sin^2(alpha/2)+2sin(alpha/2)cos(alpha/2)+cos^2(alpha/2)=` 

`=1+sin(2*alpha/2)=1+sinalpha` 

`L=P` 

 

`b)` 

`Teza:cosalpha=cos^2 (alpha/2)-sin^2(alpha/2)` 

 

`"Skorzystamy ze wzoru:"\ cos2x=cos^2x-sin^2x.`  

`P=cos^2 (alpha/2)-sin^2(alpha/2)=cos(2*(alpha/2))=cosalpha`  

`L=P` 

 

`c)` 

`Teza:sin^4alpha+cos^4alpha=1-(sin^2 2alpha)/2 \ iff\ sin^4alpha+cos^4alpha+(sin^2 2alpha)/2=1`      

 

`P=sin^4alpha+cos^4+alpha(sin^2 2alpha)/2=sin^4alpha+cos^4alpha+(4sinalpha^2cos^2alpha)/2=` 

`=sin^4alpha+cos^4alpha+2sin^2alphacos^2alpha=(sin^2alpha+cos^2alpha)^2=1^2=1`  

`L=P`        

 

`d)` 

`Teza:sinalphatg(alpha+pi/2)+2cosalpha=sinalpha` 

 

`L=sinalphatg(alpha+pi/2)+2cosalpha=sinalpha(-ctgalpha)+2cosalpha=` 

`=sinalpha(-cosalpha)/sinalpha+2cosalpha=-cosalpha+2cosalpha=cosalpha`  

`L neP`     

` `

W okręgu o promieniu r=2...

Kąt środkowy jest dwa razy wiekszy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

`alpha=2*pi/10=2*((180*pi/10)/pi)^o=2*(180*pi/10*1/pi)^o=2*18^o=36^o` 

 

`l=alpha/360*2pir` 

`l=36/360*2pi*2` 

`l=1/10*4pi` 

`l=2/5pi` 

Iloczyn pierwiastków wielomianu ...

`W(x)=-x^3-x^2+6x`  

`W(x)=-x(x^2+x-6)` 

`Delta=1+24=25` 

`sqrtDelta=5` 

 

`x_1=(-1-5)/2=-3` 

`x_2=(-1+5)/2=2` 

 

`W(x)=-x(x+3)(x-2)` 

`x=0` 

`x=-3` 

`x=2` 

`0*(-3)*2=0` 

 

`"Odpowiedź A."`   

Na bokach prostokąta ABCD o obwodzie...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

`|AB|=|CD|=2R` 

`|AD|=|BC|=2r` 

Wiemy, że obwód prostokąta jest równy `24\ "cm",` stąd:

`2(2R+2r)=24` 

`4(R+r)=24\ "/":4` 

`R+r=6` 

`R=6-r` 

Obliczamy pole figury:

`P=2R*2r+pir^2+piR^2=pi(r^2+R^2)+4rR`  

{premium}

Po podstawieniu `R=6-r,`  mamy:

`P=pi(r^2+(6-r)^2)+4r(6-r)=pi(r^2+36-12r+r^2)+24r-4r^2=` 

`=r^2(2pi-4)+r(-12pi+24)+36pi` 

Chcemy, by pole było najmniejsze. Rozważmy więc funkcję:

`f(r)=(2pi-4)r^2+(24-12pi)r+36pi` 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy więc odciętą wierzchołka:

`r=-b/(2a)` 

`r=-(24-12pi)/(2(2pi-4))=-(12(2-pi))/(-4(2-pi))=12/4=3` 

Stąd:

`R=6-r=6-3=3` 

`2R=6` 

`2r=6` 

Odp. Prostokąt `ABCD` powinien mieć wymiary `6\ "cm"xx6\ "cm".` 

 

Dla jakiej wartości parametru m prawdziwa jest równość

`a)`

`(x^4-2x^2-5x+2):(x-m)=x^3+2x^2+2x-1\ \ \ \ \ \ |*(x-m)`

`x^4-2x^2-5x+2=(x^3+2x^2+2x-1)(x-m)`

`x^4-2x^2-5x+2=x^4+2x^3+2x^2-x-mx^3-2mx^2-2mx+m`

`x^4-2x^2-5x+2=x^4+(2-m)x^3+(2-2m)x^2+(-1-2m)x+m`

 

Porównujemy współczynniki: 

`x^4:\ \ \ 1=1`

`x^3:\ \ \ 0=2-m\ \ \ =>\ \ \ m=2`

`x^2:\ \ \ -2=2-2m\ \ \ =>\ \ \ -2m=-4\ \ \ =>\ \ \ m=2`

`x^1:\ \ \ -5=-1-2m\ \ \ =>\ \ \ -2m=-4\ \ \ =>\ \ \ m=2`

`x^0:\ \ \ 2=m`

 

`ul(ul(odp.:\ \ m=2))`

 

 

 

 

 

`b)`

`(x^3-2x^2-23x+60):(x-m)=x^2+2x-15\ \ \ \ \ \ |*(x-m)`

`x^3-2x^2-23x+60=(x^2+2x-15)(x-m)`

`x^3-2x^2-23x+60=x^3+2x^2-15x-mx^2-2mx+15m`

`x^3-2x^2-23x+60=x^3+(2-m)x^2+(-15-2m)x+15m`

 

`x^3:\ \ \ 1=1`

`x^2:\ \ \ -2=2-m\ \ \ =>\ \ \ -m=-4\ \ \ =>\ \ \ m=4`

`x^1:\ \ \ -23=-15-2m\ \ \ =>\ \ \ -2m=-8\ \ \ =>\ \ \ m=4`

`x^0:\ \ \ 60=15m\ \ \ =>\ \ \ m=4`

 

`ul(ul(odp.:\ \ \ m=4))`

 

 

 

 

Bok AC trójkąta ABC ma długość...

Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

`b=10` 

`gamma=130^@` 

`beta=30^@` 

Obliczamy miarę kąta `epsilon:` 

`epsilon=180^@-gamma`  

`epsilon=180^@-130^@=50^@` 

Obliczamy miarę kąta `alpha:` 

`alpha+beta+gamma=180^@` 

`alpha+160^@=180^@`   

`alpha=20^@` 

Korzystając z twierdzenia sinusów, obliczamy długość boku `a:` 

`a/sinalpha=b/sinbeta\ "/"*sinalpha`   

`a=b/sinbeta*sinalpha` 

Z zależności trygonometrycznych dla `DeltaBCD` mamy:

`h/a=sinepsilon\ "/"*a` 

`h=asinepsilon` 

Wiemy, że:

`a=(bsinalpha)/sinbeta` 

Stąd:

`h=(bsinalphasinepsilon)/sinbeta` 

`h=(10*sin20^@sin50^@)/(sin30^@)=(10sin20^@sin(90^@-40^@))/(1/2)=20sin20^@cos40^@~~20*0,342*0,766~~5,2` 

Odp. Szukana wysokość jest równa `5,2.`  

 

Zbiorem wartości funkcji f...

`a) \ f(x) = a*|sin x|+b` 

 

`-1 leq sin x leq 1`

`0 leq |sin x| leq 1 \ \ \ |*6`  

`0 leq 6|sin x| leq 6 \ \ \ |-1`

`-1 leq 6|sin x|-1 leq 5`

`{(a=6),(b=-1):}` 

 `0 leq |sin x| leq 1 \ \ \ |*(-6)`

`0 geq -6|sin x| geq -6 \ \ \ |+5` 

`5 geq -6|sin x| + 5 geq -1`

`{(a=-6),(b=5):}`   

 

`b) \ f(x)=a cos|3x-pi|+b`

`-1 leq cos|3x-pi| leq 1 \ \ \ |*3`

`-3 leq 3cos|3x-pi|+2 leq 3 \ \ \ |+2`   

`-1 leq 3cos|3x-pi|+2 leq 5`

`{(a=3),(b=2):}` 

 

`-1 leq cos|3x-pi| leq 1 \ \ \ |*(-3)`

`3 geq -3cos|3x-pi| geq -3 \ \ \ |+2`  

`5 geq -3cos|3x-pi| +2 geq -1`

`{(a=-3),(b=2):}`