Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

W tym temacie zajmiemy się prostymi działaniami na wielomianach. Jest to tak naprawdę bardzo proste.

Dodawanie jest raczej oczywiste: Mając dwa wielomiany, które chcemy dodać, dodajemy po prostu każdy z ich składników (czyli sumujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej). Jeśli są zapisane w postaci iloczynowej, możemy albo wymnożyć oba i wtedy je dodać, albo zauważyć (chociaż nie zawsze jest to możliwe), że da się coś wyłączyć przed nawias i w ten sposób oszczędzić sobie pracy.

Pierwsza sytuacja: dodajemy wielomiany $$2x^3+5x+3$$ i $$4x^5-x^3+2x-10$$.
Wynikiem jest oczywiście $$4x^5+x^3+7x-7$$.

Drugi przypadek: $$(x-2)(x^2+4x+5) + (2x-4)(x+6) = (x-2)(x^2+4x+5) + 2(x-2)(x+6) =$$
$$= (x-2)(x^2+4x+5 + 2(x+6)) = (x-2)(x^2+6x+17)$$

Odejmowanie wykonujemy zupełnie analogicznie.

Przykład 1. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 4x^2 + 2$$
$$Q(x) = -6x^6 + 3x + 3$$

$$W(x) - Q(x) = 4x^2 + 2 - (-6x^6 + 3x + 3) = 4x^2 + 2 + 6x^6 - 3x - 3 = 6x^6 + 4x^2 -3x -1$$

Przykład 2. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10$$
$$Q(x) = 4x^7 - 3x^4 - 7x^3 + 5x - 3$$

$$W(x) - Q(x) = (3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10) - (4x^7 - 3x^4 + 7x^3 - 5x - 3) =$$
$$= 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10 - 4x^7 + 3x^4 - 7x^3 + 5x + 3 =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + (2x^4 + 3x^4) + (7x^3 - 7x^3) + 2x^2 + 5x + (10 + 3) =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + 5x^4 + 2x^2 + 5x + 13$$


Mnożenie wielomianów jest zwykłym wymnażaniem nawiasów, z czym stykaliśmy się w każdym niemal temacie. Po prostu każdy czynnik jednego nawiasu wymnażamy przez wszystkie składniki drugiego.

Przykład 1. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 3x^3 + 2x + 1$$
$$Q(x) = 4x^5 - 3x^2 - x + 1$$

$$W(x)Q(x) = (3x^3 + 2x + 1)(4x^5 - 3x^2 - x + 1) = 12 x^8+8 x^6-5 x^5-3 x^4-3 x^3-5 x^2+x+1$$

Przykład 2. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 2x^6 + 9x -1$$
$$Q(x) = -x^5 -x^4 - x^3$$
$$P(x) = -3x^2 + 2$$

$$W(x)Q(x)P(x) = (2x^6 + 9x -1)(-x^5 -x^4 - x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= (-2 x^11-2 x^10-2 x^9-9 x^6-8 x^5-8 x^4+x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= 6 x^13+6 x^12+2 x^11-4 x^10-4 x^9+27 x^8+24 x^7+6 x^6-19 x^5-16 x^4+2 x^3$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z kawałka kartonu w kształcie ...

  

 

 

 

  

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

   

   

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

Na pierwszy taras ...

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

  

 

Do banku wpłacono 5000 zł...

Kapitał w wysokości k, złożony w banku na n lat przy oprocentowaniu rocznym r i kapitalizacji m razy w roku, po n latach wynosi:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Określ dziedzinę i naszkicuj...

a)

 

 

 

 

Granica nie istnieje.


b)

 

 

 

 

Granica istnieje.


c)

 

 

 

 

Nie jest to granica niewłaściwa.

W celu obliczenia szerokości rzeki ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

Naszkicuj wykres funkcji f. Podaj ...

 

Tabelka:

x

-2

-1

0

1

f(x)=(1/2)x-3

1

-1

-2

-2 1/2

 

Równanie asymptoty poziomej:

 

 

Tabelka:

x

0

1

2

3

f(x)=(1/3)x-2

9

3

1

1/3

 

Równanie asymptoty poziomej:

 

  

   

Tabelka:

x

-1

0

1

2

f(x)=-(1/3)x+1

-2

0

2/3

8/9

 

Równanie asymptoty poziomej:

 

Ćwiczenie 8 Wypisz ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla jakich wartości parametru m równanie...

 

Niech:

 

 

 

Równanie  ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych mają, w zależności od wartości parametru 

wykresy funkcji  i  Funkcja  jest funkcją stałą.

{premium}

Aby narysować wykres funkcji  należy przesunąć wykres funkcji  o wektor  

Jeżeli odbijemy wykres funkcji  symetrycznie względem osi  otrzymamy wykres funkcji  

Z rysunku odczytujemy, że równanie  ma dwa różne rozwiązania, gdy:

 

Odp.  

Na wschód od Suwałk znajduje się Wigierski Park Narodowy

 

Skala 1:500 000 oznacza, że 1 cm na mapie odpowiada 500 000 cm w rzeczywistości. 

500 000 cm = 5000 m = 5 km. 

Skoro 1 cm odpowiada 5 km, to 1 cm² odpowiada 25 km².

Obliczamy pole WPN:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy błąd:

  

  

 

Rozwiąż równanie.