Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

W tym temacie zajmiemy się prostymi działaniami na wielomianach. Jest to tak naprawdę bardzo proste.

Dodawanie jest raczej oczywiste: Mając dwa wielomiany, które chcemy dodać, dodajemy po prostu każdy z ich składników (czyli sumujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej). Jeśli są zapisane w postaci iloczynowej, możemy albo wymnożyć oba i wtedy je dodać, albo zauważyć (chociaż nie zawsze jest to możliwe), że da się coś wyłączyć przed nawias i w ten sposób oszczędzić sobie pracy.

Pierwsza sytuacja: dodajemy wielomiany $2x^3+5x+3$ i $4x^5-x^3+2x-10$.
Wynikiem jest oczywiście $4x^5+x^3+7x-7$.

Drugi przypadek: $(x-2)(x^2+4x+5) + (2x-4)(x+6) = (x-2)(x^2+4x+5) + 2(x-2)(x+6) =$
$= (x-2)(x^2+4x+5 + 2(x+6)) = (x-2)(x^2+6x+17)$

Odejmowanie wykonujemy zupełnie analogicznie.

Przykład 1. - odejmowanie wielomianów

$W(x) = 4x^2 + 2$
$Q(x) = -6x^6 + 3x + 3$

$W(x) - Q(x) = 4x^2 + 2 - (-6x^6 + 3x + 3) = 4x^2 + 2 + 6x^6 - 3x - 3 = 6x^6 + 4x^2 -3x -1$

Przykład 2. - odejmowanie wielomianów

$W(x) = 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10$
$Q(x) = 4x^7 - 3x^4 - 7x^3 + 5x - 3$

$W(x) - Q(x) = (3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10) - (4x^7 - 3x^4 + 7x^3 - 5x - 3) =$
$= 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10 - 4x^7 + 3x^4 - 7x^3 + 5x + 3 =$
$= -4x^7 + 3x^6 + (2x^4 + 3x^4) + (7x^3 - 7x^3) + 2x^2 + 5x + (10 + 3) =$
$= -4x^7 + 3x^6 + 5x^4 + 2x^2 + 5x + 13$


Mnożenie wielomianów jest zwykłym wymnażaniem nawiasów, z czym stykaliśmy się w każdym niemal temacie. Po prostu każdy czynnik jednego nawiasu wymnażamy przez wszystkie składniki drugiego.

Przykład 1. - mnożenie wielomianów

$W(x) = 3x^3 + 2x + 1$
$Q(x) = 4x^5 - 3x^2 - x + 1$

$W(x)Q(x) = (3x^3 + 2x + 1)(4x^5 - 3x^2 - x + 1) = 12 x^8+8 x^6-5 x^5-3 x^4-3 x^3-5 x^2+x+1$

Przykład 2. - mnożenie wielomianów

$W(x) = 2x^6 + 9x -1$
$Q(x) = -x^5 -x^4 - x^3$
$P(x) = -3x^2 + 2$

$W(x)Q(x)P(x) = (2x^6 + 9x -1)(-x^5 -x^4 - x^3)(-3x^2 + 2) =$
$= (-2 x^11-2 x^10-2 x^9-9 x^6-8 x^5-8 x^4+x^3)(-3x^2 + 2) =$
$= 6 x^13+6 x^12+2 x^11-4 x^10-4 x^9+27 x^8+24 x^7+6 x^6-19 x^5-16 x^4+2 x^3$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla a≥0 sformułuj definicję

{premium}

Najsilniejsze trzęsienie ziemi, o sile 9,5 stopnia...

Różnica:

 

{premium}

 

A więc:

 

Odpowiedź: Najsilniejsze trzęsienie ziemi było ponad trzykrotnie silniejsze od trzęsienia w Japonii w 2011 r.

Wykaż, ze jeśli zbiorem rozwiązań ...

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W trójkąt ABC wpisano okrąg...

Rysunek poglądowy:

Promień tworzy ze styczną kąt prosty, zatem:

   

{premium}  

 

Trójkąty MAK i KAL są równoramienne zatem:

 

 

 

Wiemy, że suma kątów wewnętrznych w czworokącie jest równa kątowi pełnemu, zatem w czworokącie AMSK

  

 

 

 

W czworokącie KSLB:

 

 

 

 

A więc trzeci kąt wewnętrzny ma miarę:

 

Przez środek wysokości stożka ...

Rysunek pomocniczy przekroju tego stożka:

 

 

 

Z podobieństwa trójkątów GDF i CDB otrzymujemy:   {premium}

 

 

 

 

 

Obliczmy długość odcinka AF.

 

 

 

Z podobieństwa trójkątów ABC i AFe otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Co należało wykazać. 

Na rysunku przedstawiony jest fragment...

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać:

 

 

a) Zauważmy, że:  

Zatem:{premium}

 

Wzór ogólny:

 

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

 

 

b) Zauważmy, że  

Zatem:

 

Wzór ogólny:

 

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

 

Figura F jest sumą dwóch prostych ...

Zauważmy, że proste 3x-4y+14=03x-4y-2=0 to proste równoległe (współczynnik kierunkowy jest taki sam). {premium}

Równanie osi symetrii jest postaci:

- dowolna prosta prostopadła do prostej 3x-4y=0, czyli jest postaci:

 

 

 

 

- prosta równoległa do prostych 3x-4y+14=0 i 3x-4y-2=0, która jest równoodległa od tych prostych, czyli jest postaci:

 

 

 

 

a) Tak, ponieważ jest to prosta równoległa do prostych 3x-4y+14=0 i 3x-4y-2=0, która jest równoodległa od tych prostych.

b) Tak, ponieważ jest to prosta prostopadła do prostych 3x-4y+14=0 i 3x-4y-2=0.

c) Nie.

d) Nie.

 

W przedziale ...

Wierzchołek funkcji  {premium}ma współrzędne , bo: 

  

 

Parabola ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ , zatem w wierzchołku ma wartość największą.

Funkcja ta nie przyjmuje wartości najmniejszej w przedziale .

 

Odpowiedź: D    

Zapisz w prostszej postaci

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                  

W zawodach łuczniczych

 

 

 

 

{premium}  

 

  

Jeśli trafił dokładnie jeden, to mamy trzy możliwości:

  • pierwszy zawodnik trafił i drugi oraz trzeci nie trafili
  • drugi zawodnik trafił i pierwszy oraz trzeci nie trafili
  • trzeci zawodnik trafił i pierwszy oraz drugi nie trafili

 

 

 

Zdarzenie "co najmniej jeden trafił" to zdarzenie przeciwne do zdarzenia "żaden nie trafił".

 

 

Możemy też zapisać to zdarzenie jako sumę zdarzeń (trafił pierwszy lub trafił drugi lub trafił trzeci):

 

 

 

Jeśli co najwyżej jeden trafil, to traifł dokładnie jeden lub nie trafił żaden:

 

 

 

Zdarzenie "co najwyżej dwóch trafiło" to zdarzenie przeciwne do zdarzenia "trafili wszyscy"

 

 

Możemy też wypisać wszystkie możliwości: