Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

W tym temacie zajmiemy się prostymi działaniami na wielomianach. Jest to tak naprawdę bardzo proste.

Dodawanie jest raczej oczywiste: Mając dwa wielomiany, które chcemy dodać, dodajemy po prostu każdy z ich składników (czyli sumujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej). Jeśli są zapisane w postaci iloczynowej, możemy albo wymnożyć oba i wtedy je dodać, albo zauważyć (chociaż nie zawsze jest to możliwe), że da się coś wyłączyć przed nawias i w ten sposób oszczędzić sobie pracy.

Pierwsza sytuacja: dodajemy wielomiany $2x^3+5x+3$ i $4x^5-x^3+2x-10$.
Wynikiem jest oczywiście $4x^5+x^3+7x-7$.

Drugi przypadek: $(x-2)(x^2+4x+5) + (2x-4)(x+6) = (x-2)(x^2+4x+5) + 2(x-2)(x+6) =$
$= (x-2)(x^2+4x+5 + 2(x+6)) = (x-2)(x^2+6x+17)$

Odejmowanie wykonujemy zupełnie analogicznie.

Przykład 1. - odejmowanie wielomianów

$W(x) = 4x^2 + 2$
$Q(x) = -6x^6 + 3x + 3$

$W(x) - Q(x) = 4x^2 + 2 - (-6x^6 + 3x + 3) = 4x^2 + 2 + 6x^6 - 3x - 3 = 6x^6 + 4x^2 -3x -1$

Przykład 2. - odejmowanie wielomianów

$W(x) = 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10$
$Q(x) = 4x^7 - 3x^4 - 7x^3 + 5x - 3$

$W(x) - Q(x) = (3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10) - (4x^7 - 3x^4 + 7x^3 - 5x - 3) =$
$= 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10 - 4x^7 + 3x^4 - 7x^3 + 5x + 3 =$
$= -4x^7 + 3x^6 + (2x^4 + 3x^4) + (7x^3 - 7x^3) + 2x^2 + 5x + (10 + 3) =$
$= -4x^7 + 3x^6 + 5x^4 + 2x^2 + 5x + 13$


Mnożenie wielomianów jest zwykłym wymnażaniem nawiasów, z czym stykaliśmy się w każdym niemal temacie. Po prostu każdy czynnik jednego nawiasu wymnażamy przez wszystkie składniki drugiego.

Przykład 1. - mnożenie wielomianów

$W(x) = 3x^3 + 2x + 1$
$Q(x) = 4x^5 - 3x^2 - x + 1$

$W(x)Q(x) = (3x^3 + 2x + 1)(4x^5 - 3x^2 - x + 1) = 12 x^8+8 x^6-5 x^5-3 x^4-3 x^3-5 x^2+x+1$

Przykład 2. - mnożenie wielomianów

$W(x) = 2x^6 + 9x -1$
$Q(x) = -x^5 -x^4 - x^3$
$P(x) = -3x^2 + 2$

$W(x)Q(x)P(x) = (2x^6 + 9x -1)(-x^5 -x^4 - x^3)(-3x^2 + 2) =$
$= (-2 x^11-2 x^10-2 x^9-9 x^6-8 x^5-8 x^4+x^3)(-3x^2 + 2) =$
$= 6 x^13+6 x^12+2 x^11-4 x^10-4 x^9+27 x^8+24 x^7+6 x^6-19 x^5-16 x^4+2 x^3$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyprowadź wzór na pole równoległoboku o bokach długości...

Pole równoległoboku o bokach długości a, b i kącie ostrym   będzie równe podwojonemu polu trójkąta o bokach a, b i kącie ostrym  .

 

 

Wiemy, że równoległobok ma kąt ostry i rozwarty, których suma miar wynosi 180o. Zatem:

 

 

A więc pole równoległoboku o bokach a, b i kątach  wyraża się wzorem:

 

Oblicz wartość wyrażenia dla x=-1/2 i dla x=1/4

 

 

 

 

{premium}

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

 

  

 

Licznik pewnego ułamka jest o 1 większy ...

 

  

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

Szukany ułamek to        

 

Zgodnie z empirycznym prawem Webera-Fechnera...

 

 

 

Nasz logarytm w przybliżeniu to:

 

 

 

Odpowiedź: Wzrośnie o około 7 decybeli.

 

 

 

 

 

 

 

 

Z definicji logarytmu:

 

  

 

Sprawdźmy iloraz by określić o ile razy większe jest natężenie dźwięku od progu słyszalności:

 

 

 

Logarytm z 2 to w przybliżeniu:

 

Wiemy, że natężenie L0 wynosi 50dB

 

 

 

Zauważmy, że jeżeli podwoimy natężenie siły bodźca to:

 

 

Logarytm z 4 to w przybliżeniu:

 

 

 

Zatem podwojenie siły bodźca zwiększyło natężenie dźwięku o 3 decybele więcej.

Rozwiąż równania, stosując wzór na kwadrat sumy

 

 

 

Dany jest sześcian o polu powierzchni...

Rysunek pomocniczy:

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz punkty wspólne wykresów ...

 

 

  

      

  

 

 

 

    

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Średnia zestawu liczb...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro `x<y` to:

 

 

 

Odpowiedź C     

Sześcian, którego przekątna ma długość...

Zauważmy, że przekątna sześcianu to  

 ponieważ jest to przekątna podstawy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. A

Dany jest wykres funkcji

Wykres funkcji y=|f(x)| otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OX tej części wykresu funkcji f, która znajduje się pod osią OX. Pozostałej części wykresu nie zmieniamy. 

 

Wykresy funkcji f i g mają część wspólną, dlatego na drugim rysunku zaprezentowano wyłącznie wykres funkcji g (aby łatwo można było zobaczyć, jak wygląda ta funkcja).