Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

W tym temacie zajmiemy się prostymi działaniami na wielomianach. Jest to tak naprawdę bardzo proste.

Dodawanie jest raczej oczywiste: Mając dwa wielomiany, które chcemy dodać, dodajemy po prostu każdy z ich składników (czyli sumujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej). Jeśli są zapisane w postaci iloczynowej, możemy albo wymnożyć oba i wtedy je dodać, albo zauważyć (chociaż nie zawsze jest to możliwe), że da się coś wyłączyć przed nawias i w ten sposób oszczędzić sobie pracy.

Pierwsza sytuacja: dodajemy wielomiany $$2x^3+5x+3$$ i $$4x^5-x^3+2x-10$$.
Wynikiem jest oczywiście $$4x^5+x^3+7x-7$$.

Drugi przypadek: $$(x-2)(x^2+4x+5) + (2x-4)(x+6) = (x-2)(x^2+4x+5) + 2(x-2)(x+6) =$$
$$= (x-2)(x^2+4x+5 + 2(x+6)) = (x-2)(x^2+6x+17)$$

Odejmowanie wykonujemy zupełnie analogicznie.

Przykład 1. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 4x^2 + 2$$
$$Q(x) = -6x^6 + 3x + 3$$

$$W(x) - Q(x) = 4x^2 + 2 - (-6x^6 + 3x + 3) = 4x^2 + 2 + 6x^6 - 3x - 3 = 6x^6 + 4x^2 -3x -1$$

Przykład 2. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10$$
$$Q(x) = 4x^7 - 3x^4 - 7x^3 + 5x - 3$$

$$W(x) - Q(x) = (3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10) - (4x^7 - 3x^4 + 7x^3 - 5x - 3) =$$
$$= 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10 - 4x^7 + 3x^4 - 7x^3 + 5x + 3 =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + (2x^4 + 3x^4) + (7x^3 - 7x^3) + 2x^2 + 5x + (10 + 3) =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + 5x^4 + 2x^2 + 5x + 13$$


Mnożenie wielomianów jest zwykłym wymnażaniem nawiasów, z czym stykaliśmy się w każdym niemal temacie. Po prostu każdy czynnik jednego nawiasu wymnażamy przez wszystkie składniki drugiego.

Przykład 1. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 3x^3 + 2x + 1$$
$$Q(x) = 4x^5 - 3x^2 - x + 1$$

$$W(x)Q(x) = (3x^3 + 2x + 1)(4x^5 - 3x^2 - x + 1) = 12 x^8+8 x^6-5 x^5-3 x^4-3 x^3-5 x^2+x+1$$

Przykład 2. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 2x^6 + 9x -1$$
$$Q(x) = -x^5 -x^4 - x^3$$
$$P(x) = -3x^2 + 2$$

$$W(x)Q(x)P(x) = (2x^6 + 9x -1)(-x^5 -x^4 - x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= (-2 x^11-2 x^10-2 x^9-9 x^6-8 x^5-8 x^4+x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= 6 x^13+6 x^12+2 x^11-4 x^10-4 x^9+27 x^8+24 x^7+6 x^6-19 x^5-16 x^4+2 x^3$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz dziedzinę funkcji ...

 

 

 

 

 

   

Modół z dowolnej liczby jest nieujemny.

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

Modół z dowolnej liczby jest nieujemny.

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Wyrażenie algebraiczne...

Na rysunku obok przedstawiono szkic wykresu...

a)

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności policzmy pierwszą pochodną funkcji.

 

 

 

 

 

 

Sprawdźmy, kiedy  

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  nie ma pierwiastków, ponieważ  

Wobec tego rozwiązaniem powyższej nierówności jest  

 

Funkcja jest rosnąca w  

Funkcja jest malejąca w  


b)

Z podpunktu a) wiemy, że funkcja jest rosnąca w przedziale  

Wobec tego największa wartość funkcji w przedziale  będzie w punkcie  

 


c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykresy podanych funkcji...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Własności wspólne:

- dziedzina

- zbiór wartości

- miejsca zerowe

- funkcje okresowe

- funkcje przedziałami monotoniczne

 

 

 

Suma sześcianu i kwadratu...

Oznaczmy liczbę spełniającą warunek przez x, wtedy suma sześcianu i kwadratu tej liczby jest równa 12:

 

 

Zauważmy, że wielomian:

 

dla x = 2 ma wartość równą 0, a więc dwumian x-2 wystąpi w rozkładzie wielomianu f na czynniki:

 

 

 

 

 

 

 

Wielomian jest stale większy od 0.

 

 

Jedyna liczba rzeczywista spełniająca warunek to 2.

Zapisz liczbę b w postaci ...

 

  

 

 

   

 

 

 

 

 

    

 

Magda i Ola podjęły pracę wakacyjną w dwóch różnych pizzeriach

Opiszmy zarobki dziewcząt (w zł) w zależności od liczby dostarczonych pizz (tą liczbę oznaczmy x) jako funkcje:

 

Policzmy, ile zarabia każda z dziewczyn, jeśli dostarczy 30 pizz:

 

 

ODP: Jeśli średnia liczba dostaw wynosi 30, to korzystniejsze warunki pracy wybrała Magda.

 

 

 

 

ODP: Zarobek dziewczyn będzie identyczny, jeśli średnia liczba dostaw wyniesie 40. 

Określ dziedzinę i naszkicuj...

a)

 

 

 

 

Granica nie istnieje.


b)

 

 

 

 

Granica istnieje.


c)

 

 

 

 

Nie jest to granica niewłaściwa.

W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg...

W oparciu o twierdzenie o kątach wpisanych na tym samym łuku, możemy przyjąć oznaczenia jak na rysunku poniżej:

By pokazać, że dwusieczne kątów  oraz  są równoległe, wystarczy pokazać, że  

{premium}

Z sumy kątów trójkąta dla  mamy:

 

Z sumy kątów trójkąta dla  mamy:

 

Z sumy kątów trójkąta dla  mamy:

 

Z sumy katów trójkąta dla  mamy:

 

 

Po pomnożeniu równań  i  przez  otrzymujemy:

 

 

Zapiszmy powyższe równania trochę inaczej:

 

 

W miejsce wyrażeń w nawiasach podstawiamy zależności wyznaczone z równań  i  

 

 

Odejmujemy równania stronami:

 

 

 co należało dowieść.

Do wykresu proporcjonalności odwrotnej

 

{premium}