Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

W tym temacie zajmiemy się prostymi działaniami na wielomianach. Jest to tak naprawdę bardzo proste.

Dodawanie jest raczej oczywiste: Mając dwa wielomiany, które chcemy dodać, dodajemy po prostu każdy z ich składników (czyli sumujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej). Jeśli są zapisane w postaci iloczynowej, możemy albo wymnożyć oba i wtedy je dodać, albo zauważyć (chociaż nie zawsze jest to możliwe), że da się coś wyłączyć przed nawias i w ten sposób oszczędzić sobie pracy.

Pierwsza sytuacja: dodajemy wielomiany $2x^3+5x+3$ i $4x^5-x^3+2x-10$.
Wynikiem jest oczywiście $4x^5+x^3+7x-7$.

Drugi przypadek: $(x-2)(x^2+4x+5) + (2x-4)(x+6) = (x-2)(x^2+4x+5) + 2(x-2)(x+6) =$
$= (x-2)(x^2+4x+5 + 2(x+6)) = (x-2)(x^2+6x+17)$

Odejmowanie wykonujemy zupełnie analogicznie.

Przykład 1. - odejmowanie wielomianów

$W(x) = 4x^2 + 2$
$Q(x) = -6x^6 + 3x + 3$

$W(x) - Q(x) = 4x^2 + 2 - (-6x^6 + 3x + 3) = 4x^2 + 2 + 6x^6 - 3x - 3 = 6x^6 + 4x^2 -3x -1$

Przykład 2. - odejmowanie wielomianów

$W(x) = 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10$
$Q(x) = 4x^7 - 3x^4 - 7x^3 + 5x - 3$

$W(x) - Q(x) = (3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10) - (4x^7 - 3x^4 + 7x^3 - 5x - 3) =$
$= 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10 - 4x^7 + 3x^4 - 7x^3 + 5x + 3 =$
$= -4x^7 + 3x^6 + (2x^4 + 3x^4) + (7x^3 - 7x^3) + 2x^2 + 5x + (10 + 3) =$
$= -4x^7 + 3x^6 + 5x^4 + 2x^2 + 5x + 13$


Mnożenie wielomianów jest zwykłym wymnażaniem nawiasów, z czym stykaliśmy się w każdym niemal temacie. Po prostu każdy czynnik jednego nawiasu wymnażamy przez wszystkie składniki drugiego.

Przykład 1. - mnożenie wielomianów

$W(x) = 3x^3 + 2x + 1$
$Q(x) = 4x^5 - 3x^2 - x + 1$

$W(x)Q(x) = (3x^3 + 2x + 1)(4x^5 - 3x^2 - x + 1) = 12 x^8+8 x^6-5 x^5-3 x^4-3 x^3-5 x^2+x+1$

Przykład 2. - mnożenie wielomianów

$W(x) = 2x^6 + 9x -1$
$Q(x) = -x^5 -x^4 - x^3$
$P(x) = -3x^2 + 2$

$W(x)Q(x)P(x) = (2x^6 + 9x -1)(-x^5 -x^4 - x^3)(-3x^2 + 2) =$
$= (-2 x^11-2 x^10-2 x^9-9 x^6-8 x^5-8 x^4+x^3)(-3x^2 + 2) =$
$= 6 x^13+6 x^12+2 x^11-4 x^10-4 x^9+27 x^8+24 x^7+6 x^6-19 x^5-16 x^4+2 x^3$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Boki trójkąta mają długości...

 Rysunek pomocniczy:

 

Mamy dane:

 

 

 

Obliczamy cosinus kąta  

 

   

{premium}  

 

 

Obliczamy długość odcinka  

 

    

 

 

 

 

 Oznaczmy promień okręgu opisanego na trójkącie jako  a okręgu wpisanego w trójkąt jako  

Wyznaczamy  z twierdzenia sinusów:

 

 

Obliczamy sinus kąta  korzystając z jedynki trygonometrycznej:

(akceptujemy tylko dodatnie wartości sinusa, bo promień musi być dodatni)

          

 

 

 

 

Wracamy do obliczania promienia  

 

   

Obliczamy promień okręgu wpisanego:

 

 

 

 

Uzasadnij, że jeśli ...

Z treści zadania wiemy, że pierwiastkami równania są liczby -1 i 2, zatem:  {premium}

 

 

 

oraz

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

Uzasadnijmy, że pierwiastkiem tego równania jest liczba 1.

 

 

 

Równość jest spełniona, zatem pierwiastkiem tego równania jest liczba 1.

 

Uzasadnijmy, że pierwiastkiem tego równania jest liczba -2.

 

 

 

 

Równość jest spełniona, zatem pierwiastkiem tego równania jest liczba -2.

Liczba tysiąc razy większa od ...

Liczbę  mnożymy przez  i upraszczamy wyrażenie: {premium}

 


Odpowiedź: D

Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) przez wielomian P(x). Zapisz...

 


{premium}


Zatem:

 

 



 



Zatem:

 

 



 



Zatem:

 

 



 



Zatem:

 

 

Wypisz sześć początkowych wyrazów ciągu ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

 

 

Rzucono sześciokrotnie sześcienną kostką...

Moc przestrzeni zdarzeń elementarnych jest równa liczbie wszystkich wyników sześciu rzutów sześcienną kostką do gry.{premium}

 


A - "chociaż jedna z liczb wypadła przynajmniej dwa razy"

A' - "w każdym rzucie wypadła inna liczba"

Aby w każdym rzucie wypadła inna liczba oczek, wynik pierwszego rzutu wybieramy z 6 możliwości, wynik drugiego - z 5 możliwości, itd. Stąd:

 

 


Stąd:

 

Wykonaj dzielenie z resztą za pomocą...

 

             
           
           

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  otrzymaliśmy

iloraz  i resztę  

{premium}

 

 

             
             
             

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  otrzymaliśmy

iloraz  i resztę  

 

              
             
             

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  otrzymaliśmy

iloraz  i resztę  

 

 

                  
                 
                  

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  otrzymaliśmy

iloraz  i resztę  

 

 

               
               
               

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  otrzymaliśmy

iloraz  i resztę  

 

 

           
           
           

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  otrzymaliśmy

iloraz  i resztę 

 

 

                 
                 
                 

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  otrzymaliśmy

iloraz  i resztę 

 

 

               
                 
               

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  otrzymaliśmy

iloraz  i resztę 

Wyznacz iloczyn. Podaj stopień...

 

 {premium}


 

 


 

 


 

 


 

 


 

 

Wykonaj mnożenie. Odpowiedź podaj...

a) Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

 

 

Wykonujemy mnożenie:{premium}

 


b) Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

Wykonujemy mnożenie:

 


c) Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

 

 

Wykonujemy mnożenie:

 

Rozwiąż dane równania ...

 

 

Podstawiamy  

      {premium}

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 


 

 

Podstawiamy