Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

W tym temacie zajmiemy się prostymi działaniami na wielomianach. Jest to tak naprawdę bardzo proste.

Dodawanie jest raczej oczywiste: Mając dwa wielomiany, które chcemy dodać, dodajemy po prostu każdy z ich składników (czyli sumujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej). Jeśli są zapisane w postaci iloczynowej, możemy albo wymnożyć oba i wtedy je dodać, albo zauważyć (chociaż nie zawsze jest to możliwe), że da się coś wyłączyć przed nawias i w ten sposób oszczędzić sobie pracy.

Pierwsza sytuacja: dodajemy wielomiany $2x^3+5x+3$ i $4x^5-x^3+2x-10$.
Wynikiem jest oczywiście $4x^5+x^3+7x-7$.

Drugi przypadek: $(x-2)(x^2+4x+5) + (2x-4)(x+6) = (x-2)(x^2+4x+5) + 2(x-2)(x+6) =$
$= (x-2)(x^2+4x+5 + 2(x+6)) = (x-2)(x^2+6x+17)$

Odejmowanie wykonujemy zupełnie analogicznie.

Przykład 1. - odejmowanie wielomianów

$W(x) = 4x^2 + 2$
$Q(x) = -6x^6 + 3x + 3$

$W(x) - Q(x) = 4x^2 + 2 - (-6x^6 + 3x + 3) = 4x^2 + 2 + 6x^6 - 3x - 3 = 6x^6 + 4x^2 -3x -1$

Przykład 2. - odejmowanie wielomianów

$W(x) = 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10$
$Q(x) = 4x^7 - 3x^4 - 7x^3 + 5x - 3$

$W(x) - Q(x) = (3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10) - (4x^7 - 3x^4 + 7x^3 - 5x - 3) =$
$= 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10 - 4x^7 + 3x^4 - 7x^3 + 5x + 3 =$
$= -4x^7 + 3x^6 + (2x^4 + 3x^4) + (7x^3 - 7x^3) + 2x^2 + 5x + (10 + 3) =$
$= -4x^7 + 3x^6 + 5x^4 + 2x^2 + 5x + 13$


Mnożenie wielomianów jest zwykłym wymnażaniem nawiasów, z czym stykaliśmy się w każdym niemal temacie. Po prostu każdy czynnik jednego nawiasu wymnażamy przez wszystkie składniki drugiego.

Przykład 1. - mnożenie wielomianów

$W(x) = 3x^3 + 2x + 1$
$Q(x) = 4x^5 - 3x^2 - x + 1$

$W(x)Q(x) = (3x^3 + 2x + 1)(4x^5 - 3x^2 - x + 1) = 12 x^8+8 x^6-5 x^5-3 x^4-3 x^3-5 x^2+x+1$

Przykład 2. - mnożenie wielomianów

$W(x) = 2x^6 + 9x -1$
$Q(x) = -x^5 -x^4 - x^3$
$P(x) = -3x^2 + 2$

$W(x)Q(x)P(x) = (2x^6 + 9x -1)(-x^5 -x^4 - x^3)(-3x^2 + 2) =$
$= (-2 x^11-2 x^10-2 x^9-9 x^6-8 x^5-8 x^4+x^3)(-3x^2 + 2) =$
$= 6 x^13+6 x^12+2 x^11-4 x^10-4 x^9+27 x^8+24 x^7+6 x^6-19 x^5-16 x^4+2 x^3$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wyraz o numerze k + 1 w ciągu...

 {premium}


 


 


 

Oblicz wartości pozostałych funkcji ...

 

  

 

  

   

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wartość pewnej funkcji liniowej dla...

Wyznaczmy wzór tej funkcji wiedząc, że do jej wykresu należą punkty (100; 1250) i (150; 1600):

 

odejmujemy równania stronami:  {premium}

 

 

 

Obliczmy wartość wyrazu wolnego:

 

 

 


Wzór tej funkcji jest postaci:

 


Obliczmy wartość tej funkcji dla x=50:

 

Obliczmy wartość tej funkcji dla x=200:

 


Wykres tej funkcji przecina oś y w punkcie (0; 550)

Oblicz x.

 

Korzystamy z definicji logarytmu:

 

 

Korzystamy z definicji logarytmu:

 

 

{premium}    

Korzystamy z definicji logarytmu:

 

  

 

 

   

Korzystamy z definicji logarytmu:

  

 

   

lub

 

 

   

Korzystamy z definicji logarytmu:

 

  

 

   

Korzystamy z definicji logarytmu:

 

  

Napisz równanie okręgu przechodzącego ...

Wyznaczmy środki odcinków AC i BC:

 

`Q = S_(BC) = ((4-8)/2 , (8+8)/2) = (-2 , 8)`     {premium}

 

Wyznaczmy równania prostych AC i BC:

Równanie prostej AC:

 

 

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:

 

 

  

Równanie prostej BC:

Zauważmy, że punkty B i C leżą na prostej y=8.

  

 

Prosta prostopadła do prostej AC przechodząca przez środek odcinka AC jest dana równaniem:

 

Podstawiając współrzędne punktu P otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Prosta prostopadła do prostej BC przechodząca przez środek odcinka BC jest dana równaniem:

 

 

Punkt przecięcia się tych prostych jest środkiem okręgu:

 

 

 

Środek okręgu ma współrzędne:

  

 

Długość promienia:

 

 

Równanie okręgu:

 

a) Cenę pewnego produktu zwiększono najpierw o 30%...

a) x- początkowa cena towaru

 

Obliczmy, o ile procent wyższa jest obecna cena od początkowej:  {premium}

 


Odp.: Obecna cena jest o 82% wyższa od początkowej. 


b) y- początkowa cena towaru

 

Obliczmy, o ile procent niższa jest obecna cena od początkowej:

 

Wskaż...

 

 

Czyli jest to trójkąt równoramienny.

 

Punkty tworzące odcinek DE mają współrzędne:

{premium}

 

 

Odcinek DE w trójkącie DEF będzie odpowiadać albo odcinkowi AB albo odcinkowi AC z trójkąta ABC, w takim razie możliwe położenia są przedstawione na rysunku:

 

 

 

 

Prosta jest postaci y=ax+b, a więc:

prosta przechodzi przez punkty F1 i D, czyli podstawmy współrzędne punktów pod równanie prostej y=ax+b:

Zsumujmy:

 

a więc prosta będzie miała postać:

 

 

Prosta zawierająca punkty D i F2 będzie miała przeciwny współczynnik do prostej y1 oraz będzie przesunięta o 2 jednostki w górę, jej wzór to:

 

 

Prosta zawierająca punkty F4 i D, podstawmy współrzędne punktów pod równanie prostej y=ax+b:

Zsumujmy:

 

 

Prosta zawierająca punkty D i F3 będzie miała przeciwny współczynnik do prostej y1 oraz będzie przesunięta o 8 jednostki w górę, jej wzór to:

Ciąg (an) jest rosnący...

Ciąg (an) jest rosnący a więc

 

 

 

 

Zbadajmy różnicę:

 

Zauważmy, że:

{premium}  

 

a więc:

 

Ciąg (bn) jest rosnący.

 

 

 

Zbadajmy różnicę:

 

Zauważmy, że:

 

 

a więc:

 

Ciąg (bn) jest rosnący.

 

 

 

Zbadajmy różnicę:

 

Zauważmy, że:

 

 

stąd:

 

Ciąg (bn) jest rosnący.

Oblicz wartość wyrażenia...

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Granica ciągu...

Zauważmy, że stopień wielomianu w liczniku jest większy od stopnia wielomianu w mianowniku zatem granica będzie wynosić  

{premium}

Wszystko zależy od współczynnika stojącego przy najwyższej potędze wielomianu w mianowniku. Jeżeli k będzie ujemne to cała granica będzie dodatnia.

 

Odpowiedź A