Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

W tym temacie zajmiemy się prostymi działaniami na wielomianach. Jest to tak naprawdę bardzo proste.

Dodawanie jest raczej oczywiste: Mając dwa wielomiany, które chcemy dodać, dodajemy po prostu każdy z ich składników (czyli sumujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej). Jeśli są zapisane w postaci iloczynowej, możemy albo wymnożyć oba i wtedy je dodać, albo zauważyć (chociaż nie zawsze jest to możliwe), że da się coś wyłączyć przed nawias i w ten sposób oszczędzić sobie pracy.

Pierwsza sytuacja: dodajemy wielomiany $$2x^3+5x+3$$ i $$4x^5-x^3+2x-10$$.
Wynikiem jest oczywiście $$4x^5+x^3+7x-7$$.

Drugi przypadek: $$(x-2)(x^2+4x+5) + (2x-4)(x+6) = (x-2)(x^2+4x+5) + 2(x-2)(x+6) =$$
$$= (x-2)(x^2+4x+5 + 2(x+6)) = (x-2)(x^2+6x+17)$$

Odejmowanie wykonujemy zupełnie analogicznie.

Przykład 1. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 4x^2 + 2$$
$$Q(x) = -6x^6 + 3x + 3$$

$$W(x) - Q(x) = 4x^2 + 2 - (-6x^6 + 3x + 3) = 4x^2 + 2 + 6x^6 - 3x - 3 = 6x^6 + 4x^2 -3x -1$$

Przykład 2. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10$$
$$Q(x) = 4x^7 - 3x^4 - 7x^3 + 5x - 3$$

$$W(x) - Q(x) = (3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10) - (4x^7 - 3x^4 + 7x^3 - 5x - 3) =$$
$$= 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10 - 4x^7 + 3x^4 - 7x^3 + 5x + 3 =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + (2x^4 + 3x^4) + (7x^3 - 7x^3) + 2x^2 + 5x + (10 + 3) =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + 5x^4 + 2x^2 + 5x + 13$$


Mnożenie wielomianów jest zwykłym wymnażaniem nawiasów, z czym stykaliśmy się w każdym niemal temacie. Po prostu każdy czynnik jednego nawiasu wymnażamy przez wszystkie składniki drugiego.

Przykład 1. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 3x^3 + 2x + 1$$
$$Q(x) = 4x^5 - 3x^2 - x + 1$$

$$W(x)Q(x) = (3x^3 + 2x + 1)(4x^5 - 3x^2 - x + 1) = 12 x^8+8 x^6-5 x^5-3 x^4-3 x^3-5 x^2+x+1$$

Przykład 2. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 2x^6 + 9x -1$$
$$Q(x) = -x^5 -x^4 - x^3$$
$$P(x) = -3x^2 + 2$$

$$W(x)Q(x)P(x) = (2x^6 + 9x -1)(-x^5 -x^4 - x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= (-2 x^11-2 x^10-2 x^9-9 x^6-8 x^5-8 x^4+x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= 6 x^13+6 x^12+2 x^11-4 x^10-4 x^9+27 x^8+24 x^7+6 x^6-19 x^5-16 x^4+2 x^3$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W równoległoboku o obwodzie 40 cm ...

`"Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie."`  

`"Równoległobok w, którym przekątne są dwusiecznymi kątów jest rombem."` 

`2b+2a=40` 

`a+b=20` 

`a=b` 

`2a=20` 

`a=10` 

{premium}

 

`"Z tw. Pitagorasa:"` 

`a^2=(2x)^2+(3/2x)^2`  

`a^2=4x^2+9/4x^2=25/4 x^2` 

`a=5/2x` 

 

`x=2/5a=2/5*10=4` 

`e,f- "przekątne równoległoboku"` 

`e=3x=12`  

`f=4x=16` 

 

`"Przekątne mają długość 12 cm i 16 cm."`   

Dla jakich wartości parametru m...

Funkcja liniowa o wzorze:

`f(x) = ax+b` 

jest stała gdy a=0

 

`a) \ f(x) = (m+2)x+7` 

Funkcja jest stała gdy:

`m+2 =0` 

`m=-2` 

 

`b) \ f(x) = (2+2/m)x+4` 

Funkcja jest stała gdy:

`2+2/m =0 \ \ \ |*m` 

`2m+2=0`

`2m=-2` 

`m=-1` 

Naszkicuj wykres funkcji f jeśli

`a)`

Obliczamy współrzędne trzech punktów dla każdego przypadku, aby łatwo było narysować wykres:

`x in (-infty, \ 1)`

`f(-7)=-(-7)-2=7-2=5\ \ \ =>\ \ \ (-7,\ 5)`

`f(-5)=-(-5)-2=5-2=3\ \ \ =>\ \ \ (-5,\ 3)`

`f(-3)=-(-3)-2=3-2=1\ \ \ =>\ \ \ (-3,\ 1)`

 

 

`x in <<1,\ +infty)`

`f(1)=1-4=-3\ \ \ =>\ \ \ (1,\ -3)`

`f(4)=4-4=0\ \ \ =>\ \ \ (4,\ 0)`

`f(6)=6-4=2\ \ \ =>\ \ \ (6,\ 2)`

 

`1)\ ZW_f \ =\ <<-3,\ +infty)`

`2)\ f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x in {-2,\ 4}\ \ -\ \ "m. zerowe"`

`3)\ (0,\ -2)\ \ -\ \ "punkt przec. z OY"`

`4)\ f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -2)\ uu\ (4,\ +infty)`

`5)\ f(x)>=0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -2>>\ uu\ <<4,\ +infty)`

`6)\ f(x)uarr\ \ \ <=>\ \ \ x in <<1,\ +infty)`

`\ \ \ f(x)darr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 1>>`

 

 

 

 

`b)`

`x in <<-1,\ 4)`

`f(-1)=-1-2=-3\ \ \ =>\ \ \ (-1,\ -3)`

`f(0)=0-2=-2\ \ \ =>\ \ \ (0,\ -2)`

`f(3)=3-2=1\ \ \ =>\ \ \ (3,\ 1)`

 

 

`x in <<4,\ +infty)`

`f(4)=-4+6=2\ \ \ =>\ \ \ (4,\ 2)`

`f(6)=-6+6=0\ \ \ =>\ \ \ (6,\ 0)`

`f(8)=-8+6=-2\ \ \ =>\ \ \ (8,\ -2)`

 

 

 

`1)\ ZW_f\ =\ (-infty,\ 2>>`

`2)\ f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x in {2,\ 6}`

`3)\ (0,\ -2)`

`4)\ f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (2,\ 6)`

`5)\ f(x)>=0\ \ \ <=>\ \ \ x in <<2,\ 6>>`

`6)\ f(x)uarr\ \ \ <=>\ \ \ x in <<-1,\ 4>>`

`\ \ \ f(x)darr\ \ \ <=>\ \ \ x in <<4,\ +infty)`

`\ \ \ f(x)\ -\ "stała"\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -1>>`

 

 

 

`c)`

`x in (-infty,\ 0)`

`f(-4)=-3/4*(-4)-3=-3-3=0\ \ \ =>\ \ \ (-4,\ 0)`

`f(-8)=-3/4*(-8)-3=6-3=3\ \ \ =>\ \ \ (-8,\ 3)`

 

 Dla wartości x z przedziału <0, 4) funkcja jest stale równa -3.

 

`x in <<4,\ +infty)`

`f(4)=3/4*4-6=3-6=-3\ \ \ =>\ \ \ (4,\ -3)`

`f(8)=3/4*8-6=6-6=0\ \ \ =>\ \ \ (8,\ 0)`

 

 

`1)\ ZW_f \ =\ <<-3,\ +infty)`

`2)\ f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x in {-4,\ 8}`

`3)\ (0,\ -3)`

`4)\ f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -4)\ uu\ (8,\ +infty)`

`5)\ f(x)>=0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -4>>\ uu\ <<8,\ +infty)`

`6)\ f(x)uarr\ \ \ <=>\ \ \ x in <<4,\ +infty)`

`\ \ \ f(x)darr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 0>>`

`\ \ \ f(x)\ -\ "stała"\ \ \ <=>\ \ \ x in <<0,\ 4>>`

 

 

 

`d)`

`x in (-infty,\ -3)`

`f(-6)=-1/3*(-6)+2=2+2=4\ \ \ =>\ \ \ (-6,\ 4)`

`f(-9)=-1/3*(-9)+2=3+2=5\ \ \ =>\ \ \ (-9,\ 5)`

 

 

`x in <<-3,\ 2>>`

`f(-3)=3\ \ \ =>\ \ \ (-3,\ 3)`

`f(0)=0\ \ \ =>\ \ \ (0,\ 0)`

`f(2)=-2\ \ \ =>\ \ \ (2,\ -2)`

 

 

 

`x in (2,\ +infty)`

`f(3)=2*3-6=6-6=0 \ \ \ =>\ \ \ (3,\ 0)`

`f(5)=2*5-6=10-6=4\ \ \ =>\ \ \ (5,\ 4)`

 

 

`1)\ ZW_f\ =\ <<-2,\ +infty)`

`2)\ f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x in {0,\ 3}`

`3)\ (0,\ 0)`

`4)\ f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 0)\ uu\ (3,\ +infty)`

`5)\ f(x)>=0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 0>>\ uu\ <<3,\ +infty)`

`6)\ f(x)uarr\ \ \ <=>\ \ \ x in <<2,\ +infty)`

`\ \ \ f(x)darr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -3>>,\ \ x in <<-3,\ 2>>`

 

Wykaż, że jeśli P(A|B)=P(A|B')

`"założenia:"\ \ \ A,\ BsubOmega,\ \ \ 0<P(B)<1,\ \ \ P(A|B)=P(A|B')` 

`"teza:"\ \ \ P(AnnB)=P(A)*P(B)` 

`"dowód:"` 

Z założenia wiemy, że zachodzi równość:

`P(A|B)=P(A|B')` 

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego możemy zapisać:

`(P(AnnB))/(P(B))=(P(AnnB'))/(P(B'))` 

Zauważmy, że P(B) oraz P(B') są różne od 0, ponieważ P(B) jest większe od 0 i mniejsze od 1. 

Po pomnożeniu stronami przez P(B) otrzymujemy:

`P(AnnB)=(P(AnnB')*P(B))/(P(B'))` 

Po pomnożeniu stronami przez P(B') otrzymujemy:

`P(AnnB)*P(B')=P(AnnB')*P(B)` 

Suma prawdopodobieństwa danego zdarzenia i zdarzenia do niego przeciwnego są równe 1, więc możemy zapisać:

`P(AnnB)*(1-P(B))=P(AnnB')*P(B)` 

Wykonajmy mnożenie po lewej stronie:

`P(AnnB)-P(AnnB)*P(B)=P(AnnB')*P(B)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+P(AnnB)*P(B)` 

`P(AnnB)=P(AnnB')*P(B)+P(AnnB)*P(B)` 

Wyciągnijmy po prawej stronie P(B) przed nawias:

`P(AnnB)=P(B)*(P(AnnB')+P(AnnB))` 

Wykonajmy rysunki pomocnicze, na których zaznaczymy iloczyn zbiorów A i B' oraz iloczyn zbiorów A i B:

Zauważmy, że powyższe zbiory są rozłączne, więc suma ich prawdopodobieństw to prawdopodobieństwo sumy (bo iloczyn tych zbiorów jest zbiorem pustym). 

Możemy więc zapisać:

`P(AnnB)=P(B)*(P((AnnB')uu(AnnB)))` 

Suma zaznaczonych zbiorów to zbiór A:

`P(AnnB)=P(B)*P(A)` 

`P(AnnB)=P(A)*P(B)` 

Otrzymaliśmy żądaną równość.  

Wykres funkcji wykładniczej ...

Wiemy, że dany punkt należy do wykresu funkcji y=ax.

Aby wyznaczyć wzór tej funkcji do wzoru y=ax podstawiamy współrzędne punktu i wyznaczamy a.

 

`"a)"\ P(5/2,32)` 

`32=a^(5/2)` 

`32=(sqrta)^5` 

`2^5=(sqrta)^5` 

`2=sqrta` 

`a=4` 

Wzór funkcji, do której należy dany punkt P to:

`y=4^x` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ P(1/2,sqrt2/2)`  

`sqrt2/2=a^(1/2)`  

`2^(1/2)/2=a^(1/2)`   

`2^(-1/2)=a^(1/2)`  

`(1/2)^(1/2)=a^(1/2)`  

`a=1/2`  

Wzór funkcji, do której należy dany punkt P to:

`y=(1/2)^x`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ P(-6,729)` 

`729=a^(-6)`  

`27^2=a^-6`  

`(3^3)^2=a^-6` 

`3^6=a^-6`  

`(1/3)^(-6)=a^-6` 

`a=1/3`   

Wzór funkcji, do której należy dany punkt P to:

`y=(1/3)^x` 

Ustal dla jakich wartości...

a) Oś OY to oś symetrii cos x. Wystarczy więc zauważyć, dla jakich wartości parametru a w przedziale [0, 2π], cos x = a ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeżeli a=-1, to:

`cos x = -1`

`x = pi` 

a więc na przedziale [-2π, 0] mamy:

`x = -pi`

 

b) Na przedziale [0, 2π], cos x = a ma dwa rozwiązania dla a =1.

`cos (2pi) = 1 = cos (-2pi)

A więc dla a=1 funkcja ma trzy rozwiązania na przedziale [-2π,2π]     

Różnica pola koła opisanego na ośmiokącie...

Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

`P_o-P_w=4pi` 

Stąd:

`piR^2-pir^2=4pi`  

`pi(R^2-r^2)=4pi\ "/":pi`  

`R^2-r^2=4`  

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta `DeltaBOC` i wyznaczamy długość boku ośmiokąta.

`r^2+(1/2a)^2=R^2`  

`1/4a^2=R^2-r^2\ "/"*4` 

`a^2=4(R^2-r^2)` 

`a^2=4*4` 

`a^2=16` 

`a=4` 

Odp. Bok ośmiokąta ma długość `4.` 

Wykres funkcji f(x)...

Wzór otrzymanej funkcji:

`g(x) = f(x+2)+4 = 2/(x+2) + 4` 

 

Dziedzina i zbiór wartości funkcji f:

`D_f = R \ \\ \ {0}` 

`(Z_w)_f = R \ \\ \ {0}` 

 

Dziedzina i zbiór wartości funkcji g:

`D_g = R \ \\ \ {-2}` 

`(Z_w)_g = R \ \\ \ {4}` 

Pierwszy wyraz ciągu...

 

`a) \ a_1 = 2`

`a_2 + a_8 = a_3 + a_9 + 6`

`2a_5 = 2a_6 + 6`

`2a_5 = 2(a_5 + r) + 6`

`2a_5 = 2a_5 + 2r + 6`

`2r = -6`

`r = -3`

 

`a_n = a_1 + (n-1)*(-3) = 2 -3n+3 = -3n + 5` 

`a_12 = -3*12+ 5 = -36+5 = -31`

 

 

`b) \ a_2 = 8 => a_1 + r = 8`

`a_5 + a_7 = a_9 + 10`

`a_1 + 4r + a_1 + 6r = a_1 + 8r + 10`

`a_1 + 2r = 10`

`a_1 + r + r = 10`

`8 + r = 10`

`r = 2`

 

`a_1 + r = 8`

`a_1 + 2 =8`

`a_1 = 6`

 

`a_n = a_1 + (n-1)r = 6 + (n-1)*2 = 6 + 2n - 2 = 2n + 4`

`a_15 = 2*15+4 = 34`                    

 

 

Rozwiąż równanie

W każdym równaniu musimy zacząć od wypisania założeń. Kreska ułamkowa oznacza dzielenie, więc musimy założyć, że mianowniki podanych ułamków nie przyjmują wartości 0. 

 

 

`a)` 

`"założenia:"` 

`xne0` 

 

 

`6/x=-9\ \ \ |*x` 

`6=-9x\ \ \ |:(-9)` 

`x=-6/9=-2/3` 

Otrzymane rozwiązanie spełnia założenia. 

 

 

 

`b)` 

`"założenia:"` 

`7xne0\ \ \ |:7`  

`xne0` 

 

`(x-4)/(7x)=1\ \ \ \ |*7x` 

`x-4=7x\ \ \ \ |-x` 

`-4=6x\ \ \ \ |:6` 

`x=-4/6=-2/3` 

Otrzymane rozwiązanie spełnia założenia. 

 

 

 

`c)` 

`"założenia:"` 

`2x-1ne0\ \ \ |+1` 

`2xne1\ \ \ |:2` 

`xne1/2` 

 

 

`(7x)/(2x-1)=2\ \ \ \ |*(2x-1)` 

`7x=2(2x-1)` 

`7x=4x-2\ \ \ \ |-4x` 

`3x=-2\ \ \ |:3` 

`x=-2/3` 

Otrzymane rozwiązanie spełnia założenia. 

 

 

 

`d)` 

`"założenia:"`  

`8x+3ne0\ \ \ |-3` 

`8xne-3\ \ \ |:8` 

`xne-3/8` 

 

 

`(3x-1)/(8x+3)=1/2\ \ \ \ \ |*(8x+3)` 

`3x-1=1/2(8x+3)\ \ \ \ |*2` 

`6x-2=8x+3\ \ \ \ |-8x` 

`-2x-2=3\ \ \ |+2` 

`-2x=5\ \ \ |:(-2)` 

`x=-5/2` 

Otrzmymane rozwiązanie spełnia założenia. 

 

 

`e)` 

`"założenia:"` 

`{(3x-5ne0\ \ \ |+5), (6-2xne0\ \ \ |-6):}` 

`{(3xne5\ \ \ |:3), (-2xne-6\ \ \ |:(-2)):}` 

`{(xne5/3), (xne3):}`  

 

`3/(3x-5)=4/(6-2x)\ \ \ \ \ |*(3x-5)(6-2x)` 

`3(6-2x)=4(3x-5)` 

`18-6x=12x-20\ \ \ \ |-12x` 

`18-18x=-20\ \ \ |-18` 

`-18x=-38\ \ \ \ |:(-18)` 

`x=19/9` 

Otrzymane rozwiązanie spełnia założenia.

 

 

 

`f)` 

`"założenia:"` 

`{(2x+3ne0\ \ \ |-3) , (3x-2ne0\ \ \ |+2):}` 

`{(2xne-3\ \ \ |:2), (3xne2\ \ \ |:3):}` 

`{(xne-3/2), (xne2/3):}` 

 

`4/(2x+3)=6/(3x-2)\ \ \ \ \ |*(2x+3)(3x-2)` 

`4(3x-2)=6(2x+3)` 

`12x-8=12x+18\ \ \ \ |-12x` 

`-8=18` 

Otrzymana równość jest sprzeczna, więc równanie nie ma rozwiązania.

 

 

`g)` 

`"założenia:"` 

`3-xne0\ \ \ |-3` 

`-xne-3\ \ \ |*(-1)` 

`xne3` 

 

`(3x)/(3-x)=x\ \ \ \ |*(3-x)` 

`3x=x(3-x)` 

`3x=3x-x^2\ \ \ \ |+x^2-3x` 

`x^2=0` 

`x=0` 

Otrzymane rozwiązanie spełnia założenia.  

 

 

`h)` 

`"założenia:"`  

`2x-5ne0\ \ \ |+5` 

`2xne5\ \ \ \ |:2` 

`xne5/2` 

 

 

`(10x-8)/(2x-5)=-2x\ \ \ \ |*(2x-5)` 

`10x-8=-2x(2x-5)` 

`10x-8=-4x^2+10x\ \ \ \ \ |+4x^2-10x` 

`4x^2-8=0\ \ \ |:4` 

`x^2-2=0` 

`(x-sqrt2)(x+sqrt2)=0` 

`x=sqrt2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-sqrt2` 

Oba otrzymane rozwiązania spełniają założenia.