Wielomiany - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

W tym temacie zajmiemy się prostymi działaniami na wielomianach. Jest to tak naprawdę bardzo proste.

Dodawanie jest raczej oczywiste: Mając dwa wielomiany, które chcemy dodać, dodajemy po prostu każdy z ich składników (czyli sumujemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej). Jeśli są zapisane w postaci iloczynowej, możemy albo wymnożyć oba i wtedy je dodać, albo zauważyć (chociaż nie zawsze jest to możliwe), że da się coś wyłączyć przed nawias i w ten sposób oszczędzić sobie pracy.

Pierwsza sytuacja: dodajemy wielomiany $$2x^3+5x+3$$ i $$4x^5-x^3+2x-10$$.
Wynikiem jest oczywiście $$4x^5+x^3+7x-7$$.

Drugi przypadek: $$(x-2)(x^2+4x+5) + (2x-4)(x+6) = (x-2)(x^2+4x+5) + 2(x-2)(x+6) =$$
$$= (x-2)(x^2+4x+5 + 2(x+6)) = (x-2)(x^2+6x+17)$$

Odejmowanie wykonujemy zupełnie analogicznie.

Przykład 1. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 4x^2 + 2$$
$$Q(x) = -6x^6 + 3x + 3$$

$$W(x) - Q(x) = 4x^2 + 2 - (-6x^6 + 3x + 3) = 4x^2 + 2 + 6x^6 - 3x - 3 = 6x^6 + 4x^2 -3x -1$$

Przykład 2. - odejmowanie wielomianów

$$W(x) = 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10$$
$$Q(x) = 4x^7 - 3x^4 - 7x^3 + 5x - 3$$

$$W(x) - Q(x) = (3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10) - (4x^7 - 3x^4 + 7x^3 - 5x - 3) =$$
$$= 3x^6 + 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 10 - 4x^7 + 3x^4 - 7x^3 + 5x + 3 =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + (2x^4 + 3x^4) + (7x^3 - 7x^3) + 2x^2 + 5x + (10 + 3) =$$
$$= -4x^7 + 3x^6 + 5x^4 + 2x^2 + 5x + 13$$


Mnożenie wielomianów jest zwykłym wymnażaniem nawiasów, z czym stykaliśmy się w każdym niemal temacie. Po prostu każdy czynnik jednego nawiasu wymnażamy przez wszystkie składniki drugiego.

Przykład 1. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 3x^3 + 2x + 1$$
$$Q(x) = 4x^5 - 3x^2 - x + 1$$

$$W(x)Q(x) = (3x^3 + 2x + 1)(4x^5 - 3x^2 - x + 1) = 12 x^8+8 x^6-5 x^5-3 x^4-3 x^3-5 x^2+x+1$$

Przykład 2. - mnożenie wielomianów

$$W(x) = 2x^6 + 9x -1$$
$$Q(x) = -x^5 -x^4 - x^3$$
$$P(x) = -3x^2 + 2$$

$$W(x)Q(x)P(x) = (2x^6 + 9x -1)(-x^5 -x^4 - x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= (-2 x^11-2 x^10-2 x^9-9 x^6-8 x^5-8 x^4+x^3)(-3x^2 + 2) =$$
$$= 6 x^13+6 x^12+2 x^11-4 x^10-4 x^9+27 x^8+24 x^7+6 x^6-19 x^5-16 x^4+2 x^3$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są wielomiany ...

`"Stopień iloczynu wielomianów jest sumą stopni poszczególnych wielomianów."` 

`"Stopień"\ W(x)=5`  

`"Stopień"\ P(x)=7` 

 

`"Stopień"\ W(x)*P(x)=5+7=12` 

 

`"Odpowiedź B."` 

Oblicz podaną sumę...

a)

`a_1=3,5` 

`a_n=a_20` 

`r=0,2` 

 

`a_20=a_1+19r` 

`a_20=3,5+19*0,2` 

`a_20=3,5+3,8` 

`a_20=7,3` 

 

`S_20=(3,5+7,3)/2*20` 

`S_20=10,8*10` 

`S_20=108` 


b)

`b_1=2` 

`b_n=b_15` 

`r=-3` 

 

`b_15=b_1+14r` 

`b_15=2+14*(-3)` 

`b_15=2-42` 

`b_15=-40` 

 

`S_15=(2+(-40))/2*15` 

`S_15=(-38)/2*15` 

`S_15=-19*15` 

`S_15=-285` 

`` 

Opisz okrąg na trójkącie...

Konstrukcja:

1. Skonstruuj symetralną na każdym boku trójkąta (opis konstrukcji znajduje się na stronie 49)

2. Punkt przcięcia wyznacza środek okręgu opisanego

3. Wbij cyrkel w środek okręgu i odmierz odlgłość do wierzchołka (dowolnego)

4. Narysuj okrąg

 

Środek okręgu znajsuje się:

a) wewnątrz trójkąta

b) na przeciwprostokątnej

c) na zewnątrz trójkąta

Korzystając z definicji granicy...

`a) \ lim_(x -> -2) (3x^2 -x+2) = 3*(-2)^2 -(-2) + 2 = 3*4 + 2 + 2 = 16` 

 

`b) \ lim_(x -> 3) (x^3 -3x^2 + 3x-1) = 3^3 - 3*3^2 + 3*3 -1 = 27 - 27 + 9 - 1 = 8` 

 

`c) \ lim_(x -> 1) (x^2+1)^10 = (1+1)^10 = 2^10 = 1024` 

Przedstaw trójmian kwadratowy ...

`a)` 

`y=12x^2+11x+2` 

`a=12` 

`Delta=121-96=25` 

`sqrtDelta=5` 

 

`x_1=(-11-5)/24=-2/3` 

`x_2=(-11+5)/24=-1/4` 

`y=12(x+2/3)(x+1/4)`   

 

`b)` 

`y=3x^2-7x+2` 

`a=3` 

`Delta=49-24=25` 

`sqrtDelta=5` 

 

`x_1=(7-5)/6=1/3` 

`x_2=(7+5)/6=2` 

`y=3(x-1/3)(x-2)` 

 

`c)` 

`y=2x^2-3x+4` 

`a=2` 

`Delta=9-32=-23<0` 

`"Brak postaci iloczynowej."` 

 

`d)` 

`y=-7x^2+10x-4` 

`a=-7` 

`Delta=100-112=-12<0` 

`"Brak postaci iloczynowej."` 

 

`e)` 

`y=5x^2-3x` 

`y=5x(x-3/5)` 

 

`f)` 

`y=9x^2-8` 

`9x^2-8=0` 

`x^2=8/9` 

`x=(2sqrt2)/3\ \ \vv\ \ \x=-(2sqrt2)/3` 

`y=9(x-(2sqrt2)/3)(x+(2sqrt2)/3)` 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

`a)` 

`beta=180^o-90^o-30^o=60^o` 

`delta=180^o-beta=120^o` 

`alpha=180^o-45^o-120^o=15^o` 

`e=6` 

`cos30^o=sqrt3/2=e/d=6/d` 

`d=6*2/sqrt3=(12sqrt3)/3=4sqrt3` 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

`|EC|=d=4sqrt3` 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

`tg\ (x-y)=(tg\ x - tg\ y)/(1+tg\ x*tg\ y)` 

`tg\ 15^o=tg\ (60^o-45^o)=(sqrt3-1)/(1+sqrt3)=((sqrt3-1)(sqrt3-1))/(3-1)=(3-2sqrt3+1)/2=2-sqrt3` 

`tg\ 15^o=e/y=6/y` 

`6/y=2-sqrt3` 

`y=6/(2-sqrt3)=(6(2+sqrt3))/(4-3)=12+6sqrt3` 

`P_(ABD)=1/2*6*(12+6sqrt3)=ul(18(2+sqrt3)` 

 

`b)`          

`"Czy"\ sin15^o=(sqrt6-sqrt2)/4?` 

 

Z Pitagorasa:

`f^2=d^2-e^2=48-36=12` 

`f=2sqrt3`    

`sin 15^o=e/x=g/z`  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

`d=gsqrt2` 

`g=(dsqrt2)/2=(4sqrt6)/2=2sqrt6` 

Wiemy, że:

`z=y-f=12+6sqrt3-2sqrt3=12+4sqrt3`  

`sin15^o=g/z=(2sqrt6)/(12+4sqrt3)=sqrt6/(6+2sqrt3)=(sqrt6(6-2sqrt3))/(36-12)=(6sqrt6-2sqrt18)/24=ul((sqrt6-sqrt2)/4`      

`cos^2 15^o +sin^2 15^o=1` 

`cos15^o=sqrt(1-(6-2sqrt12+2)/16)=sqrt((8+4sqrt3)/2)=sqrt(2+sqrt3)/2` 

Kwadrat:

Odpowiedź D. Dwie osie symetrii są poprowadzone z sąsiednich wierzchołków. Pozostałe dwie są poprowadzone  przez środki sąsiednich boków prostopadle do nich.

Proste o równaniach 2x-3y=5, 4x-y=1

Wyznaczamy punkt przecięcia dwóch pierwszych prostych: 

`{(2x-3y=5), (4x-y=1\ \ \ |*(-3)):}`

`{(2x-3y=5), (-12x+3y=-3):}\ \ \ |+`

`{(-10x=2\ \ |:(-10)), (-12x+3y=-3):}`

`{(x=-2/10=-1/5), (-12*(-1/5)+3y=-3\ \ \ |-12/5):}`

`{(x=-1/5), (3y=-27/5\ \ \ |:3):}`

`{(x=-1/5), (y=-9/5):}`

 

Trzecia prosta także przechodzi przez ten punkt, wystarczy więc podstawić wcześniej wyliczone wartości c i y do jej równania:

`(2a-1)*(-1/5)-9/5=3\ \ \ |*5`

`(2a-1)*(-1)-9=15\ \ \ |+9`

`-2a+1=24\ \ \ |-1`

`-2a=23\ \ \ |:(-2)`

`a=-23/2=-11 1/2`

   

 

Zaznacz w układzie współrzędnych

Żaba, wykonując skok ...

`vecu=[3;1]` 

`vecv=[-1;2]` 

`P=(-2;-3)` 

`P'-"punkt w którym znajduje się żaba po trzech skokach"` 

Żaba może wykonać między innym następujące sekwencje skoków:

`P->vecv->vecv->vecv\ implies \ P_1'=(-2-1-1-1;-3+2+2+2)=(-5;3)`   

`P->vecv->vecv->vecu\ implies\ P_2'=(-2-1-1+3;-3+2+2+1)=(-1;2)` 

Wyznaczmy równanie prostej do której należą punkty (-5;3) i (-1;2).

`y=ax+b` 

`3=-5a+b\ iff\ -3=5a-b` 

`2=-a+b` 

Dodajmy równania do siebie.

`-1=4a\ implies \ a=-1/4` 

`b=2+a\ implies \b=7/4` 

`y=-1/4x+7/4` 

 

`"Odpowiedź D."`