Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Współrzędne wektora

Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $$(0,0)$$.

Jeśli początek leży w punkcie $$A = (x_p,y_p)$$, a koniec to punkt $$B = (x_k, y_k)$$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

$${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę

Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze $${v}↖{→} = [v_a, v_b]$$, a $${u}↖{→} = [u_a, u_b]$$, współrzędne wektora będącego ich sumą: $${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $$ są równe $${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę $${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $$ możemy ją zapisać jako $${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $$. Wektor $$(-{u}↖{→})$$ to po prostu wektor $${u}↖{→}$$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora $${v}↖{→}$$ przez liczbę $$a$$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $$a$$ razy wektora $${v}↖{→}$$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $$a$$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów

Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ i $${v_y}↖{→} = [0, b]$$ jeśli wektor $${v}↖{→} = [a, b]$$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu

Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $$y = f(x)$$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$. Aby to zrobić, rozłóżmy $${v}↖{→}$$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład $${v_y}↖{→} = [0, b]$$, to nowa funkcja $$f_2(x)$$ będzie równa $$f_2(x) = f(x) + b$$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ gdzie $$a$$ > $$0$$. Każdemu $$x$$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $$x$$-a leżącego o $$a$$ bliżej, np. punkt $$x=3$$ dostał wartość punktu $$x=3-a$$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $$f_2(x) = f(x-a)$$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $$y = f(x)$$ przesunięta o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$ będzie miała postać $$y = f(x-a)+b$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz równanie okręgu o promieniu r...

a) Oznaczmy środek szukanego okręgu przez:

`S = (x,y)` 

 

Jeżeli okręgi o środkach S1 i S są styczne zewnętrznie to:

`|S S_1| = r+r_1`  

`sqrt((x_(S_1)- x_S)^2+(y_(S_1)-y_S)^2) = 1+3` 

`(0-x)^2+(0-y)^2 = 16` 

`x^2 + y^2 = 16` 

 

Jeżeli okręgi o środkach S2 i S są styczne zewnętrznie to:

`|S S_2| = r+r_2` 

`sqrt((x_(S_2)- x_S)^2+(y_(S_2)-y_S)^2) = 1+2` 

`(5-x)^2+(0-y)^2 = 9` 

`(5-x)^2+y^2 = 9` 

 

Rozwiążmy układ równań:

`{(x^2+y^2=16),((5-x)^2 + y^2 = 9):}`  

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`x^2-(5-x)^2 = 7` 

`x^2 -(25 - 10x + x^2) = 7` 

`-25 + 10x = 7` 

`10x = 32` 

`x = 32/10` 

`{(x=16/5),((16/5)^2 + y^2 = 16):}` 

`{(x=16/5),(y^2 = 16 - 16^2/5^2):}` 

`{(x=16/5),(y^2 = (16*5^2)/5^2 - 16^2/5^2):}` 

`{(x=16/5),(y^2 = 16/5^2 (5^2-16)):}` 

`{(x=16/5),(y^2 = 4^2/5^2 *9):}` 

`{(x=16/5),(|y| = 12/5):}` 

`{(x_1=16/5),(y_1=12/5):} \ \ vv \ \ {(x_2=16/5),(y_2=-12/5):}` 

Równanie tego okręgu to:

`(x-16/5)^2+(y-12/5)^2 = 1` 

lub

`(x-16/5)^2 + (y+12/5)^2 = 1` 

 

b) Oznaczmy środek szukanego okręgu przez:

`S = (x,y)` 

 

Jeżeli okręgi o środkach S1 i S są styczne zewnętrznie to:

`|S S_1| = r+r_1`  

`sqrt((x_(S_1)- x_S)^2+(y_(S_1)-y_S)^2) = 3+6` 

`(0-x)^2+(0-y)^2 = 81` 

`x^2 + y^2 = 81` 

 

Jeżeli okręgi o środkach S2 i S są styczne zewnętrznie to:

`|S S_2| = r+r_2` 

`sqrt((x_(S_2)- x_S)^2+(y_(S_2)-y_S)^2) = 3+3` 

`(9-x)^2+(0-y)^2 = 36` 

`(9-x)^2+y^2 = 36` 

 

Rozwiążmy układ równań:

`{(x^2+y^2=81),((9-x)^2+y^2=36):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`x^2-(9-x)^2 = 45` 

`x^2-(81-18x+x^2) = 45` 

`x^2 - 81 + 18x - x^2 = 45` 

`18x -81 = 45` 

`18x = 126` 

`x = 7` 

`{(x=7),(7^2 + y^2 = 81):}` 

`{(x=7),(y^2 = 81 - 49):}` 

`{(x=7),(y^2 = 32):}` 

`{(x=7),(|y|= 4sqrt2):}` 

`{(x_1=7),(y_1 = 4sqrt2):} \ \ vv \ \ {(x_2 = 7),(y_2 = -4sqrt2):}` 

Równanie tego okręgu to:

`(x-7)^2+(y-4sqrt2)^2 = 9` 

lub

`(x-7)^2 + (y+4sqrt2)^2 = 9` 

Dłuższa podstawa trapezu równoramiennego..

Wyznaczmy punkty przecięcia się okręgu z prostą zawierającą ramię trapezu:

`{((x+1)^2+(y-2)^2=50),(y=3x-15):}` 

Podstawmy drugie równanie pod pierwsze równanie:

`(x+1)^2 + (3x-15-2)^2 = 50` 

`(x+1)^2 + (3x-17)^2 = 50` 

`x^2+2x+1 + 9x^2 -102x+289 = 50` 

`10x^2 -100x + 290 = 50` 

`10x^2 -100x + 240 =0 \ \ \ |:10` 

`x^2-10x + 24 =0` 

`x^2 -4x - 6x + 24 =0` 

`x(x-4)-6(x-4)=0` 

`(x-4)(x-6)=0` 

`x_1 = 4 \ \ vv \ \ x_2 = 6` 

`{(x_1 = 4),(y_1 = -3):} \ \ \ vv \ \ \ {(x_2 = 6),(y_2 = 3):}` 

Rysunek:

 

Pamiętajmy, że kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym. Załóżmy, że prosta zawierająca dłuższą podstawę przechodzi przez punkt (4, -3). Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej y=3x-15 przechodzącą przez punkt (6,3).

`y = ax+b`  

 

Skoro proste mają być prostopadłe to:

`a*3 = -1` 

`a = -1/3` 

 

Podstawmy współrzędne punktu (6,3).

`3 = -1/3*6 + b` 

`3 = -2 + b` 

`b = 5` 

równanie kierunkowe prostej:

`y = -1/3x + 5` 

 

Obliczmy punkt przecięcia się tej prostej z okręgiem, w tym celu podstawmy pod zmienną y równanie naszej funkcji.

`(x+1)^2 + (y-2)^2 = 50`  

`(x+1)^2 + (-1/3x+5-2)^2 = 50` 

`(x+1)^2 + (-1/3x + 3)^2 = 50` 

`x^2 + 2x + 1 + 1/9x^2 -2x + 9 = 50` 

`10/9 x^2 + 10 = 50` 

`10/9x^2 = 40` 

`x^2 = 36` 

`x = 6 \ \ vv \ \ x = -6` 

A więc drugi punkt przecięcia się z okręgiem ma współrzędne:

`(-6, -1/3*(-6)+5) = (-6, 2+5) = (-6 , 7)`  

Rysunek:

Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez punkty (-6,7) oraz (4,-3). Jest to prosta zawierająca dłuższą podstawę trapezu.

`g(x)=cx+d` 

`{(g(-6)=7),(g(4)=-3):}` 

`{(-6c+d=7),(4c+d=-3):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-10c = 10` 

`c = -1` 

stąd:

`4*(-1) + d = -3` 

`-4 + d = -3` 

`d = 1` 

a więc równanie naszej prostej to:

`y = -x+1` 

Zapiszmy równanie tej prostej w postaci ogólnej:

`x+y-1=0` 

 

Wyznaczmy teraz odległość punktu (6,3) od prostej zawierającej dłuższą podstawę trapezu, ta odległość jest równa wysokości trapezu.

`h=d = (|Ax+By+C|)/sqrt(A^2+B^2) = (|1*6+1*3-1|)/sqrt(1^2+1^2) = 8/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 = (8sqrt2)/2 = 4sqrt2` 

Uzasadnij równość, jeżeli...

`a) \ log_2 27 = 6p` 

`log_2 27 = 6log_16 9` 

`log_2 3^3 = 6 log_16 3^2` 

`3log_2 3 = 12 log_16 3` 

`log_2 3 = 4 log_16 3` 

`log_2 3 = log_16 3^4` 

`log_2 3 = (log_2 3^4)/(log_2 16)` 

`log_2 3 = (4 log_2 3)/(4)` 

`log_2 3 = log_2 3` 

Równość zachodzi.

 

`b) \ log_3 16 = 2/p` 

`log_3 16 = 2/(log_16 9)` 

`log_3 16 = (log_16 16^2)/(log_16 3^2)` 

`log_3 16 = (2 log_16 16)/(2log_16 3)` 

`log_3 16 = (log_16 16)/(log_16 3)` 

`log_3 16 = log_3 16` 

Równość zachodzi.

 

`c) \ log_3 12 = (p+1)/(p)` 

`log_3 12 = 1 + 1/p` 

`log_3 12 -1 = 1/p` 

`log_3 12 - log_3 3 = 1/(log_16 9)` 

`log_3 4 = log_9 16` 

`log_3 4 = (log_3 16)/(log_3 9)` 

`log_3 4 = (log_3 4^2)/(log_3 3^2)` 

`log_3 4 = (2log_3 4)/(2log_3 3)` 

`log_3 4 = log_3 4` 

Równość zachodzi.

 

`d) \ log_12 8 = (3)/(2p+2)` 

`log_12 8 = 3/(2*log_16 9 + 2)` 

`log_12 8 = (3)/(log_16 81 + log_16 256)` 

`log_12 8 = (3)/(log_16(81*256))` 

`log_12 8 = (3)/(log_16 ((3*4)^4)` 

`log_12 8 = 3/(4 log_16 12)` 

`log_12 8 = (3/4)/(log_16 12)` 

`log_12 8 = (log_16 8)/(log_16 12)` 

`log_12 8 = log_12 8` 

Równość zachodzi.

 

`e) \ log_6 27 = (6p)/(2p+1)` 

`log_6 27 = (6log_16 9)/(2log_16 9 + 1)` 

`log_6 27 = (log_16 9^6)/(log_16 9^2 + log_16 16)` 

`log_6 27 = (log_16 9^6)/(log_16 (9^2 * 16)` 

`log_6 27 = (log_16 9^6)/(log_16 (3*2)^4)` 

`log_6 27 = (6log_16 9)/(4 log_16 6)`

`log_6 27 = (3/2log_16 9)/(log_16 6)` 

`log_6 27 = (log_16 27)/(log_16 6)` 

`log_6 27 = log_6 27` 

Równość zachodzi.

 

`f) \ log_(2sqrt3) 24 = (2p+3)/(p+1)` 

`log_(2sqrt3) 24 = (2p+2+1)/(p+1)` 

`log_(2sqrt3) 24 = (2p+2)/(p+1) + 1/(p+1)` 

`log_(2 sqrt3) 24 = 2 + 1/(p+1)` 

`log_(2sqrt3) 24 = 2+1/(log_16 9 +log_16 16)` 

`log_(2sqrt3) 24 = 2+1/(log_16 144)` 

`log_(2sqrt3) 24 = 2+log_(144) 16` 

`log_(2sqrt3) 24 = 2 + (log_(sqrt12) 16)/(log_(sqrt12) 144)` 

`log_(sqrt12) 24 = 2 + (log_sqrt12 16)/4` 

`log_sqrt12 24 = 2 + 1/4 log_sqrt12 16` 

`log_sqrt12 24 = log_sqrt12 12 + log_sqrt12 2` 

`log_sqrt12 24 = log_sqrt12 (12*2)` 

`log_sqrt12 24 = log_sqrt12 24` 

Równość zachodzi.

Mając dany wykres funkcji f ...

`g(x)=f(x-2)` 

`h(x)=f(x+3)` 

 

`a)` 

`D_(h)=[-7;2]` 

`h(x)=0\ "dla"\ x=-1` 

 

`D_(g)=[-2;7]` 

`g(x)=0\ "dla"\ x=4` 

 

`b)` 

`D_(h)=[-7;3]` 

`h(x)=0\ "dla"\ x in{-7;-5;-3;-1;1;3}` 

 

`D_(g)=[-2;8]` 

`g(x)=0\ "dla"\ x in{-2;0;2;4;6;8}`  

 

`c)` 

`D_(h)=[-5;2]` 

`h(x)=0\ "dla"\ x in{-4;-2;0;2}`  

 

`D_(g)=[0;7]` 

`g(x)=0\ "dla"\ x in{1;3;5;7}`   

Rozłóż wielomian na czynniki

Przydatne będą niektóre wzory skróconego mnożenia. Ponumerujemy je i w przypadku korzystania z któregoś z nich, nad znakiem równości zapiszemy odpowiedni numerek:

`(1)\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2`

`(2)\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)`

`(3)\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)`

 

 

`a)`

`w(x)=(x-1)^2(9x^2-6x+1)#=^((1))(x-1)^2(3x-1)^2`

Wielomian w ma dwa pierwiastki dwukrotne (1 oraz 1/3)

 

`b)`

`w(x)=(x+x^2)(x^4+x)=x(x+1)x(x^3+1)=x^2(x+1)(x^3+1)#=^((2))x^2(x+1)(x+1)(x^2-x+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^2(x+1)^2#underbrace((x^2\ -\ x\ +\ 1))_(Delta=(-1)^2-4*1*1<0)`

Wielomian w ma dwa pierwiastki dwukrotne (0 oraz -1).

 

 

`c)`

`w(x)=(16x^5-x)(6x^3+3x^2)=x(16x^4-1)3x^2(2x+1)=3x^3(16x^4-1)(2x+1)#=^((3))`

`\ \ \ \ \ \ \ #=^((3))3x^3(4x^2-1)(4x^2+1)(2x+1)=3x^3(2x-1)(2x+1)(4x^2+1)(2x+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =3x^3(2x+1)^2(2x-1)#underbrace((4x^2\ +\ 1))_(Delta=0^2-4*4*1<0)`

Wielomian w ma jeden pierwiastek dwukrotny (-1/2)

 

 

`d)`

`w(x)=(25-x^2)(x^3-4x^2-5x)#=^((3))(5-x)(5+x)x#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ 4x\ -\ 5))_(Delta=(-4)^2-4*1*(-5)=))_(=16+20=46))_(sqrt(Delta)=6))_(x_1=(4-6)/2=-1))_(x_2=(4+6)/2=5)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-(x-5)(x+5)x(x+1)(x-5)=-x(x-5)^2(x+5)(x+1)`

Wielomian w ma jeden pierwiastek dwukrotny (5).

 

 

`e)`

`w(x)=(x^3-x)^2(x^3+2x^2-3x)=[x(x^2-1)]^2x#(#(#(#(#underbrace((x^2+2x-3))_(Delta=2^2-4*1*(-3)=))_(=4+12=16))_(sqrt(Delta)=4))_(x_1=(-2-4)/2=-3))_(x_2=(-2+4)/2=1)#=^((3))[x(x-1)(x+1)]^2x(x+3)(x-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^2(x-1)^2(x+1)^2x(x+3)(x-1)=x^3(x-1)^3(x+1)^2(x+3)`

Wielomian w ma jeden pierwiastek dwukrotny (-1).

 

 

`f)`

`w(x)=#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ x\ -\ 2)^2)_(Delta=(-1)^2-4*1*(-2)=))_(=1+8=9))_(sqrt(Delta)=3))_(x_1=(1-3)/2=-1))_(x_2=(1+3)/2=2)(3x^4+x^3-2x^2)=(x+1)^2(x-2)^2x^2#(#(#(#(#underbrace((3x^2+x-2))_(Delta=1^2-4*3*(-2)))_(=1+24=25))_(sqrt(Delta)=5))_(x_1=(-1-5)/(2*3)=-1))_(x_2=(-1+5)/(2*3)=2/3)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^2(x+1)^2(x-2)^23(x+1)(x-2/3)=3x^2(x+1)^3(x-2)^2(x-2/3)`

Wielomian w ma dwa pierwiatski dwukrotne (0 oraz 2)       

                                         

        

Oblicz iloraz sumy liczb

`a)`

`(x+y)/(x-y)=((2-sqrt5)+(4-sqrt5))/((2-sqrt5)-(4-sqrt5))=(2-sqrt5+4-sqrt5)/(2-sqrt5-4+sqrt5)=(6-2sqrt5)/(-2)=-3+sqrt5`

 

 

`b)`

Najpierw zamieńmy ułamek okresowy na ułamek dziesiętny:

`\ \ \ \ a=0,999...`

`10a=9,999...`

`10a-a=9`

`9a=9\ \ \ |:9`

`a=1`

 

Powyższa równość może wydawać się dziwna, jednak w ułamku 0,(9) po przecinku znajduje się nieskończenie wiele dziewiątek, dlatego ten ułamek jest równy 1. 

Możemy zapisać liczbę y w protszej postaci:

`y=0,(9)-root(3)(3)=1-root(3)(3)`

 

Obliczamy sześcian różnicy liczb x oraz y:

`(x-y)^3=((1-6root(3)(3))-(1-root(3)(3)))^3=(1-6root(3)3-1+root(3)3)^3=(-5root(3)3)^3=(-5)^3*(root(3)3)^3=-125*3=-375`

 

 

 

`c)`

Najpierw zamieńmy ułamek okresowy na ułamek dziesiętny:

`\ \ \ \ a=0,222...`

`10a=2,222...`

`10a-a=2`

`9a=2\ \ \ |:9`

`a=2/9`

 

Możemy zapisać liczbę y w prostszej postaci:

`y=0,(2)*sqrt3=2/9*sqrt3=2/9sqrt3`

 

 

Obliczamy różnicę odwrotności kwadratów liczby x oraz y:

`1/x^2-1/y^2=1/(sqrt2/9)^2-1/(2/9sqrt3)^2=1/(2/81)-1/(4/81*3)=1/(2/81)-1/(4/27)=81/2-27/4=40 1/2- 6 3/4=40 2/4-6 3/4=39 6/4-6 3/4=33 3/4`

   

Zaznacz dany zbiór

Poniżej przedstawiono wykres funkcji ...

`a)` 

`f(x)=AsinBx+C` 

`ZW=[-1;3]` 

`A=(|-1|+|3|)/2=2` 

`C=1`  

`T=pi` 

`T=(2pi)/B=pi` 

`B=2`   

 

`b)` 

`f(x)=AsinBx+C`  

`ZW=[-2;0]` 

`|A|=(0+2)/2=-1`  

`[-1;1]=[0+C;2+C]` 

`C=-1` 

`T=(2pi)/B=2/3pi` 

`B=3`   

 

`c)` 

`f(x)=AsinBx+C`  

`T=(2pi)/B=pi/3`  

`B=6` 

`C=-1/2` 

`|A|=(|-1,5|+|1/2|)/2=-1`  

Rozwiąż równanie.

`"a)"\ 2x^3+x^2+x=1`

`2x^3+x^2+x-1=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -1 to:

`p={-1,\ 1}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 2 to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-1,-1/2,\ 1/2,\ 1}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+x2+x-1.

`w(-1)=2*(-1)^3+(-1)^2+(-1)-1=-2+1-1-1=-3!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=2*1^3+1^2+1-1=2+1+1-1=3!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3+(-1/2)^2+(-1/2)-1=-1/4+1/4-1/2-1=-3/2!=0`

-1/2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1/2)=2*(1/2)^3+(1/2)^2+1/2-1=1/4+1/4+1/2-1=0`

1/2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-1/2)

`(2x^3+x^2+x-1):(x-1/2)=2x^2+2x+2`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 2x2+2x+2

`2x^2+2x+2=0`

`Delta =2^2-4*2*2=4-16<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania jest liczba 1/2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ 3x^3-x=1-7x^2`

`3x^3+7x^2-x-1=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -1 to:

`p={-1,\ 1}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 3 to:

`q={-1,\ 1,-3,\ 3}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-1,-1/3,\ 1/3,\ 1}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+x2+x-1.

`w(-1)=3*(-1)^3+7*(-1)^2-(-1)-1=-3+7+1-1=4!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=3*1^3+7*1^2-1-1=3+7-1-1=8!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/3)=3*(-1/3)^3+7*(-1/3)^2-(-1/3)-1=-1/9+7/9+1/3-1=0`

-1/ jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+1/3)

`(3x^3+7x^2-x-1):(x+1/3)=3x^2+6x-3`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 3x2+6x-3

`3x^2+6x-3=0`

`Delta =6^2-4*3*(-3)=36+36=72`

`sqrtDelta=sqrt72=6sqrt2`

`x_1=(-6-6sqrt2)/6=-1-sqrt2`

`x_2=(-6+6sqrt2)/6=-1+sqrt2`

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby xoraz x2.

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby -1/3, xoraz x2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ -4x+4=3x^3+x^2`

`-3x^3-x^2-4x+4=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 4 to:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-4,\ 4}`

Dzielniki wyrazu an, czyli -3 to:

`q={-1,\ 1,-3,\ 3}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-4,-2,-4/3,-1,-2/3,-1/3,\ 1/3,\ 2/3,\ 1,\ 4/3,\ 2,\ 4}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=-3x3-x2-4x+4.

`w(-1)=-3*(-1)^2-(-1)^2-4*(-1)+4=3-1+4+4=10!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=-3*1^2-1^2-4*1+4=-3-1-4+4=-4!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(2/3)=-3*(2/3)^2-(2/3)^2-4*2/3+4=-8/9-4/9-8/3+4=0`

2/ jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-2/3)

`(-3x^3-x^2-4x+4):(x-2/3)=-3x^2-3x-6`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego -3x2-3x-6

`-3x^2-3x-6=0`

`Delta =(-3)^2-4*(-3)*(-6)<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania jest liczba 2/3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ 2x^4+5x^3=8x^2+5x`

`2x^4+5x^3-8x^2-5x=0`

Możemy wyłączyć x przed nawias.

`x(2x^3+5x^2-8x-5)=0`

Rozwiązaniem równania jest:

`x=0\ \ \ \vv\ \ \ \ 2x^3+5x^2-8x-5=0`

Szukamy rozwiązazań równania

`2x^3+5x^2-8x-5=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -5 to:

`p={-1,\ 1,-5,\ 5}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 2 to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-5,-5/2,-1,-1/2,\ 1/2,\ 1,\ 5/2,\ 5}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+5x2-8x-5.

`w(-1)=2*(-1)^3+5*(-1)^2-8*(-1)-5=2-5-8-5=-16!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=2*1^3+5*1^2-8*1-5=2+5-8-5=-6!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3+5*(-1/2)^2-8*(-1/2)-5=-1/4+5/4+4-5=0`

-1/ jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+1/2)

`(2x^3+5x^2-8x-5):(x+1/2)=2x^2+4x-10`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 2x2+4x-10

`2x^2+4x-10=0`

`Delta =4^2-4*2*(-10)=16+80=96`

`sqrtDelta=sqrt96=4sqrt6`

`x_1=(-4-4sqrt6)/4=-1-sqrt6`

`x_2=(-4+4sqrt6)/4=-1+sqrt6`

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby xoraz x2.

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby 0, -1/2, xoraz x2.

 

Suma...

`a) \ a_1 = 9, \ q = 4, \ S_k = 765`

`S_k = a_1 * (1-q^k)/(1-q) = 765`

`9 * (1-4^k)/(1-4)=765`

`9*(4^k -1)/3 = 765`

`3(4^k-1) = 765 \ \ \ |:3` 

`4^k -1 = 255`

`4^k = 256`

`(2^2)^k = 2^8`

`2^(2k) = 2^8`

`2k=8 \ \ \ |:2`

`k=4`

 

 

`b) \ S_5 = 77/8, \ q=-1/2`

`S_n = a_1 * (1-q^n)/(1-q)` 

`S_5 = a_1 * ( 1-(-1/2)^5)/(1-(-1/2)) = 77/8`

`a_1*(1+1/32)/(3/2) = 77/8`

  `a_1 * 33/32 * 2/3 = 77/8`

`a_1 * 11/16 = 77/8`

`a_1 = 77/8 * 16/11`

`a_1 = 7*2=14`