Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Współrzędne wektora

Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $$(0,0)$$.

Jeśli początek leży w punkcie $$A = (x_p,y_p)$$, a koniec to punkt $$B = (x_k, y_k)$$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

$${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę

Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze $${v}↖{→} = [v_a, v_b]$$, a $${u}↖{→} = [u_a, u_b]$$, współrzędne wektora będącego ich sumą: $${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $$ są równe $${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę $${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $$ możemy ją zapisać jako $${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $$. Wektor $$(-{u}↖{→})$$ to po prostu wektor $${u}↖{→}$$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora $${v}↖{→}$$ przez liczbę $$a$$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $$a$$ razy wektora $${v}↖{→}$$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $$a$$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów

Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ i $${v_y}↖{→} = [0, b]$$ jeśli wektor $${v}↖{→} = [a, b]$$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu

Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $$y = f(x)$$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$. Aby to zrobić, rozłóżmy $${v}↖{→}$$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład $${v_y}↖{→} = [0, b]$$, to nowa funkcja $$f_2(x)$$ będzie równa $$f_2(x) = f(x) + b$$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ gdzie $$a$$ > $$0$$. Każdemu $$x$$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $$x$$-a leżącego o $$a$$ bliżej, np. punkt $$x=3$$ dostał wartość punktu $$x=3-a$$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $$f_2(x) = f(x-a)$$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $$y = f(x)$$ przesunięta o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$ będzie miała postać $$y = f(x-a)+b$$.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Rozważmy koła o promieniach różnej długości

`O\ -\ "obwód koła"`

`d\ -\ "długość średnicy koła"`

`O=pi*d,\ \ \ \ \ \ d>0`

Jest to proporcjonalność prosta, współczynnik proporcjonalności to π. 

Na trasie 60 km samochód pana Nowaka

`a)` 

`4,8\ l\ \ \ -\ \ \ 60\ km` 

`12,8\ l\ \ \ -\ \ \ x` 

`x=(12,8*strike60^15)/(strike(4,8)^(1,2))=` `(12,8*strike15^5)/(strike(1,2)^(0,4))=` `(strike(12,8)^(32)*5)/(strike(0,4)^1)=`  `160\ km` 

 

 

`b)` 

`60\ km\ \ \ -\ \ \ 4,8\ l` 

`255\ km\ \ \ -\ \ \ y` 

`y=(255*strike(4,8)^(0,4))/strike60^5=` `(strike255^51*0,4)/strike5^1=` `20,4\ l` 

 

 

`c)` 

Obliczmy, ile paliwa potrzeba na przejechanie jednego kilometra:

`4,8:60=(4,8)/60=48/600=8/100=0,08\ l` 

`y=0,08*x,\ \ \ \ x in RR_+` 

   

 

Kolarz w ciągu 3 sekund przejeżdża drogę

`2\ godz.\ 40\ min=2*60\ mi n+40\ mi n=160\ mi n=160*60\ sek`

 

Mamy zgodność jednostek czasu, możemy zapisać proporcję: 

`3\ sek\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ 15\ m`

`160*60\ sek\ \ \ -\ \ \ x\ m`

`x=(160*60*15)/3=160*20*15=160*300=48\ 000\ m=48\ km`

 

 

Dla każdej z poniższych funkcji liniowych podaj współczynnik

`a)\ a=1,\ \ b=7`

`b)\ a=-1,\ \ b=1`

`c)\ a=sqrt2,\ \ b=0`

`d)\ a=0,\ \ b=-4`

`e)\ a=3/2,\ \ b=-4/2=-2`

`f)\ a=-5/4,\ \ b=8/4=2`

Wyznacz sumę f+g oraz różnicę f-g

`a)`

`(f+g)(x)=f(x)+g(x)=ul(2x^5)-ul(ul(x^2))+ul(ul(ul(3x^3)))+ul(ul(ul(ul(2))))+ul(ul(ul(x^3)))-ul(2x^5)+ul(ul(x^2))-ul(ul(ul(ul(6))))=4x^3-4`

`(f-g)(x)=f(x)-g(x)=ul(2x^5)-ul(ul(x^2))+ul(ul(ul(3x^3)))+ul(ul(ul(ul(2))))-ul(ul(ul(x^3)))+ul(2x^5)-ul(ul(x^2))+ul(ul(ul(ul(6))))=4x^5+2x^3-2x^2+8`

 

 

 

`b)`

`(f+g)(x)=-3x^3+2x^5-x^6+7x^2+x+4x^5-x^2+x^6-3x^3=6x^5-6x^3+6x^2+x`

`(f-g)(x)=-3x^3+2x^5-x^6+7x^2+x-4x^5+x^2-x^6+3x^3=-2x^6-2x^5+8x^2+x`

 

 

 

`c)`

`(f+g)(x)=0,75x^6+2x^4-0,125x^2+2,5+1/8x^2-1/4x^6+3x^4-3/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3/4x^6+2x^4-1/8x^2+2 1/2+1/8x^2-1/4x^6+3x^4-1 1/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/2x^6+5x^4+1`

`(f-g)(x)=0,75x^6+2x^4-0,125x^2+2,5-1/8x^2+1/4x^6-3x^4+3/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3/4x^6+2x^4-1/8x^2+2 1/2-1/8x^2+1/4x^6-3x^4+1 1/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^6-x^4-1/4x^2+4`

Czy poniższa funkcja jest jednomianem

`a)\ "tak",\ st=7`

`b)\ y=x/4=1/4x^1,\ \ \ "tak",\ \ st=1`

`c)\ y=4/x=4x^-1,\ \ \ "nie, ponieważ" -1notinNN`

`d)\ y=6sqrtx=6x^(1/2),\ \ \ "nie, ponieważ" 1/2notinNN`

`e)\ "tak",\ \ \ st=3`

Zapisz wyrażenia opisujące pola wielokątów

`P_1=a*h=ah`

`P_2=1/2*a*h=1/2ah`

`P_3=1/2*(a+b)*h=1/2ah+1/2bh`

Jednomianami są wyrażenia pierwsze i drugie. 

Punkty A i B należą do wykresu funkcji liniowej

Równanie funkcji liniowej to y=ax+b. Aby wyznaczyć współczynniki a i b wystarczy wstawić współrzędne punktów A i B w miejsce x i y, a następnie rozwiązać otrzymany w ten sposób układ równań. 

 

 

`a)`

`{(-10=a*5+b), (5=a*0+b):}`

`{(-10=5a+b), (b=5):}`

`{(-10=5a+5\ \ \ |-5), (b=5):}`

`{(-15=5a\ \ \ |:5), (b=5):}`

`{(a=-3), (b=5):}`

 

`ul(ul(y=-3x+5))`

 

 

`b)`

`{(0=a*0+b), (10=a*6+b):}`

`{(b=0), (10=6a\ \ \ |:6):}`

`{(b=0), (a=10/6=5/3=1 2/3):}`

 

`ul(ul(y=1 2/3x)`

 

 

 

`c)`

`{(-2=a*3+b), (0=a*6+b):}\ \ \ \ |-`

`-2=-3a\ \ \ |:(-3)`

`a=2/3`

 

`0=2/3*6+b`

`0=4+b\ \ \ |-4`

`b=-4`

 

 

`ul(ul(y=2/3x-4))`

 

 

 

`d)`

`{(1=a*(-4)+b), (9=a*0+b):}`

`{(1=-4a+b), (b=9):}`

`{(1=-4a+9\ \ \ |-9), (b=9):}`

`{(-8=-4a\ \ \ |:(-4)), (b=9):}`

`{(a=2), (b=9):}`

 

`ul(ul(y=2x+9):}`

 

 

`e)`

`{(8=a*(-6)+b), (0=a*(-3)+b):}\ \ \ |-`

`8=-6a-(-3a)`

`8=-6a+3a`

`8=-3a\ \ \ |:(-3)`

`a=-8/3=-2 2/3`

 

`0=-8/3*(-3)+b`

`0=8+b\ \ \ |-8`

`b=-8`

 

`ul(ul(y=-2 2/3x-8))`

 

 

`f)`

`{(6=a*0+b), (0=a*(-4)+b):}`

`{(b=6), (0=-4a+6\ \ \ |-6):}`

`{(b=6), (-4a=-6\ \ \ |:(-4)):}`

`{(b=6), (a=6/4=3/2=1 1/2):}`

 

`ul(ul(y=1 1/2x+6):}`

Zapisz liczbę w postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2

`a)\ 26=3*8+2`

`b)\ 76=3*25+1`

`c)\ 108=3*36`

`d)\ 127=3*42+1`

`e)\ 713=3*237+2`

Zbadaj, czy istnieje liczba m, dla której funkcja liniowa ma nieskończenie

Funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych jedynie wtedy, gdy jest stale równa zero, czyli gdy współczynniki a i b są równe zero. 

 

`a)` 

`{(m^2-9=0\ \ \ |+9), (2m-6=0\ \ \ |+6):}\ \ \ =>\ \ \ {(m^2=9), (2m=6\ \ |:2):}\ \ \ =>\ \ \ {(m=3\ \ \ vee\ \ \ m=-3), (m=3):}\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(m=3))` 

 

 

`b)` 

`{(^"(1)"\ m^2-1=0), (^"(2)"\ m^2-2m-3=0):}` 

`(1)\ m^2-1=0\ \ \ |+1` 

`\ \ \ \ \ m^2=1` 

 

 

`(2)\ m^2-2m-3=0` 

`\ \ \ \ \ Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16` 

`\ \ \ \ \ sqrtDelta=4` 

`\ \ \ \ \ m_1=(2-4)/2=-2/2=-1` 

`\ \ \ \ \ m_2=(2+4)/2=6/2=3` 

 

`((1)\ \ \ wedge \ \ \ (2))\ \ \ =>\ \ \ [(m=1\ \ \ vee\ \ \ m=-1)\ \ \ wedge\ \ \ (m=-1\ \ \ vee\ \ \ m=3)]\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(m=-1))` 

 

 

 

`c)` 

`{(^"(1)"\ 1-2m=0), (^"(2)"\ 3-4m-4m^2=0):}` 

 

`(1)\ 1-2m=0\ \ \ |+2m` 

`\ \ \ \ \ 2m=1\ \ \ :2` 

`\ \ \ \ \ m=1/2` 

 

`(2)\ 3-4m-4m^2=0` 

Możemy rozwiązać równanie kwadratowe, jak w b), ale możemy też podstawić m=1/2 i sprawdzić, czy wtedy trójmian kwadratowy się zeruje.

`\ \ \ \ \ 3-4*(1/2)-4*(1/2)^2=` `3-2-4*1/4=3-2-1=0` 

 

 

`ul(ul(m=1/2))` 

 

 

 

`d)` 

`{(3+4m=0\ \ \ |-3), (m^2-2m=0):}\ \ \ =>\ \ \ {(4m=-3\ \ \ |:4), (m(m-2)=0);}\ \ \ =>\ \ \ {(m=-3/4), (m=0\ \ \ vee\ \ \ m=2):}\ \ \ =>\ \ \ m in emptyset`