Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Współrzędne wektora

Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $(0,0)$.

Jeśli początek leży w punkcie $A = (x_p,y_p)$, a koniec to punkt $B = (x_k, y_k)$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę

Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze ${v}↖{→} = [v_a, v_b]$, a ${u}↖{→} = [u_a, u_b]$, współrzędne wektora będącego ich sumą: ${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $ są równe ${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę ${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $ możemy ją zapisać jako ${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $. Wektor $(-{u}↖{→})$ to po prostu wektor ${u}↖{→}$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora ${v}↖{→}$ przez liczbę $a$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $a$ razy wektora ${v}↖{→}$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $a$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów

Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych ${v_x}↖{→} = [a, 0]$ i ${v_y}↖{→} = [0, b]$ jeśli wektor ${v}↖{→} = [a, b]$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu

Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $y = f(x)$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor ${v}↖{→} = [a,b]$. Aby to zrobić, rozłóżmy ${v}↖{→}$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład ${v_y}↖{→} = [0, b]$, to nowa funkcja $f_2(x)$ będzie równa $f_2(x) = f(x) + b$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor ${v_x}↖{→} = [a, 0]$ gdzie $a$ > $0$. Każdemu $x$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $x$-a leżącego o $a$ bliżej, np. punkt $x=3$ dostał wartość punktu $x=3-a$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $f_2(x) = f(x-a)$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $y = f(x)$ przesunięta o wektor ${v}↖{→} = [a,b]$ będzie miała postać $y = f(x-a)+b$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz ciąg geometryczny, w którym...

 

 

Rozwiążmy drugie równanie:

 

 

 

 

 

Wracając do pierwszego równania:

 

 

 

 

 

Wstawiając za  otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:

 

 

Rysujemy wykres funkcji o określonej dziedzinie:{premium}

 

 

Odczytujemy zbiór wartości:

  

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do pierwszej części wykresu:

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do drugiej części wykresu:

 

Odczytujemy zbiór wartości:

 

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do pierwszej części wykresu:

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do drugiej części wykresu:

 

 

 

Odczytujemy zbiór wartości:

 

Uzupełnij...

 

 

 

 

            

Podaj warunki, dla których wyrażenie wymierne....

Wyrażenie to ma sens, gdy a≠0 i b≠0.

 

Wyrażenie to ma sens, gdy p≠0 i r≠0. 

 

Wyrażenie to ma sens, gdy a≠0 i b≠0.

 

Wyrażenie to ma sens, gdy x≠0 i x≠- 1/3.

` `

Wyrażenie to ma sens, gdy a≠-4 i a≠0.

Zapisz zaznaczony zbiór w postaci sumy przedziałów

Punkt A(3,-5) jest wierzchołkiem rombu ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Przekątne rombu przecinają się w połowie.

 

 

 

 

 

     

 

(Zamiast korzystać z własności wektorów można zapisać nieznane współrzędne punktu C następująco:

 

(punkt C leży na prostej y=-3x+4)

następnie:

 

 

Z powyższej zależności wyznaczymy c, czyli współrzędne wierzchołka C bez użycia wektorów.)

 

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, zatem: 

  

 

  

  

  

Rozwiązaniem poniższego układu są współrzędne jednego z wierzchołków rombu.

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy nieznane równania prostych zawierających boki rombu.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których...

 

Mamy:

 współczynnik kierunkowy

 wyraz wolny

By funkcja była rosnąca, musi zachodzić:    

  

 

 

By wykres funkcji przecinał oś  poniżej punktu  musi zachodzić:

 

 

 

Bierzemy część wspólną rozwiązań nierówności:

 

 

Odp.  

Ile początkowych wyrazów ...

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

Pierwiastkiem równania...

-2 jest pierwiastkiem tego równania, więc

Wyznacz wartości parametru b...

 

Zakładamy, że  ponieważ liczba pod pierwiastkiem musi być większa lub równa 0.  

 

a) nie ma rozwiązań, gdy   

 

 

Uwzględniając założenie: 

 

 

b) ma dwa rozwiązania, gdy  

 

 

 

c) ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy