Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Współrzędne wektora

Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $$(0,0)$$.

Jeśli początek leży w punkcie $$A = (x_p,y_p)$$, a koniec to punkt $$B = (x_k, y_k)$$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

$${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę

Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze $${v}↖{→} = [v_a, v_b]$$, a $${u}↖{→} = [u_a, u_b]$$, współrzędne wektora będącego ich sumą: $${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $$ są równe $${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę $${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $$ możemy ją zapisać jako $${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $$. Wektor $$(-{u}↖{→})$$ to po prostu wektor $${u}↖{→}$$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora $${v}↖{→}$$ przez liczbę $$a$$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $$a$$ razy wektora $${v}↖{→}$$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $$a$$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów

Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ i $${v_y}↖{→} = [0, b]$$ jeśli wektor $${v}↖{→} = [a, b]$$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu

Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $$y = f(x)$$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$. Aby to zrobić, rozłóżmy $${v}↖{→}$$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład $${v_y}↖{→} = [0, b]$$, to nowa funkcja $$f_2(x)$$ będzie równa $$f_2(x) = f(x) + b$$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ gdzie $$a$$ > $$0$$. Każdemu $$x$$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $$x$$-a leżącego o $$a$$ bliżej, np. punkt $$x=3$$ dostał wartość punktu $$x=3-a$$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $$f_2(x) = f(x-a)$$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $$y = f(x)$$ przesunięta o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$ będzie miała postać $$y = f(x-a)+b$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż układy sprzeczne

`A.`

`{(2x-y=4), (-2x+y=2\ \ \ |*(-1)):}`

`{(2x-y=4), (2x-y=-2):}\ \ \ |+`

`0=2`

 

Układ jest sprzeczny. 

 

 

`B.`

`{(x-y=4), (x+y=2):}\ \ \ |+`

`2x=6`

Z powyższego równania można wyliczyć wartość x, a następnie podstawić ją do dowolnego równania układu i wyliczyć wartość y, układ jest więc oznaczony (ma rozwiązanie). 

 

 

`C.`

`{(x+y=1), (x-y=1):}\ \ \ |+`

`2x=2`

Z powyższego równania można wyliczyć wartość x, a następnie podstawić ją do dowolnego równania układu i wyliczyć wartość y, układ jest więc oznaczony (ma rozwiązanie). 

 

 

`D.`

`{(x+3y=6\ \ \ |*(-2)), (2x+6y=8):}`

`{(-2x-6y=-12), (2x+6y=8):}\ \ \ |+`

`0=-4`

Układ  jest sprzeczny. 

 

 

`E.`

`{(-x+3y=2\ \ \ |*3), (3x-9y=6):}`

`{(-3x+9y=6), (3x-9y=6):}\ \ \ |+`

`0=12`

Układ jest sprzeczny. 

 

 

`F.`

`{(-x+y=2), (3x-y=6):}\ \ \ |+`

`2x=8`

Z powyższego równania można wyliczyć wartość x, a następnie podstawić ją do dowolnego równania układu i wyliczyć wartość y, układ jest więc oznaczony (ma rozwiązanie). 

Wykresem funkcji f(x)= ...

`a)` 

`f(x)=ax^2+bx+c` 

`W=(-2;1)` 

`P=(0;5)`     

 

`p=-b/(2a)` 

`4a=b` 

`f(-2)=4a-2b+c=1` 

`f(0)=c=5` 

`4a-2b+c=b-2b+5=1` 

`-b=-4` 

`b=4` 

`a=b/4=1` 

`f(x)=x^2+4x+5` 

 

`b)`        

`f(x)=ax^2+bx+c`  

`W=(1;5)` 

`P=(2;2)`      

 

`p=-b/(2a)` 

`1=-b/(2a)` 

`b=-2a` 

`f(1)=a+b+c=5` 

`f(2)=4a+2b+c=2`      

`{(a+b+c=5),(4a+2b+c=2):}` 

`{(a-2a+c=5),(4a-4a+c=2):}` 

`{(a-c=-5),(c=2):}` 

`a=-5+2=-3` 

`c=2` 

`b=6`    

`f(x)=-3x^2+6x+2`       

 

`c)` 

`f(x)=ax^2+bx+c`   

`W=(0;6)` 

`P=(-1;1)`   

 

`p=-b/(2a)`  

`b=0` 

`f(0)=c=6`   

`f(-1)=a-b+c=1`    

`a=1+b-c=1-6=-5` 

`f(x)=-5x^2+6`    

Naszkicuj wykres funkcji...

Funkcja postaci:

`y= a^x` 

ma asymptotę poziomą daną równaniem:

`y=0` 

 

 

a) Naszkicujmy wykres funkcji:

`g(x) = 3^x` 

Przesuńmy wykres funkcji o 3 jednostki w dół:

`f(x) = g(x) -3 = 3^x - 3` 

 

 

Równanie asymptoty poziomej to:

`y = -3` 

Własności:

`D = R` 

 

`Z_w = (-3, oo)` 

 

`M_z = {1}` 

 

`f(0) = -3` 

 

Funkcja rosnąca.

 

b) Naszkicujmy wykres funkcji:

`g(x) = 4^x` 

Przesuńmy wykres funkcji o 1 jednostkę w górę:

`f(x) = g(x) + 1 = 4^x + 1` 

Równanie asymptoty poziomej to:

`y = 1` 

 

Własności:

`D = R` 

 

`Z_w = (1, oo)` 

 

`M_z = emptyset` 

 

`f(0) = 2` 

 

Funkcja rosnąca.

 

c) Naszkicujmy wykres funkcji:

`g(x) = (1/2)^x`  

Przesuńmy wykres funkcji o 2 jednostki w dół:

Równanie asymptoty poziomej to:

`y = -2`  

 

Własności:

`D = R` 

 

`Z_w = (-2, oo)` 

 

`M_z = {-1}` 

 

`f(0) = -1` 

 

Funkcja malejąca.

 

d) Naszkicujmy wykres funkcji:

`g(x) = (2/3)^x` 

Przesuńmy wykres funkcji o 3/2 jednostki w górę.

Równanie asymptoty poziomej to:

`y = 3/2` 

 

Własności:

`D = R` 

 

`Z_w = (3/2, oo)` 

 

`M_z = emptyset` 

 

`f(0) = 5/2` 

 

Funkcja malejąca.

Ćwiczenie 2

`a)\ a_3=2`      

`a_5=a_3q^2=4,5` 

`q^2=4,5/2=2,25`   

`q=1,5\ \ \vee\ \ \q=-1,5` 

`"Ciąg ten o ilorazie ujemnym nie będzie monotoniczny. Będzie naprzemienny. Wybierzmy zatem q równe 1,5."` 

`a_1=a_3/q^2=2/(2,25)=200/225=8/9`    

`a_n=8/9*3/2^(n-1)=8/9*3/2*3/2*(3/2)^(n-3)=2(3/2)^(n-3)` 

 

`b)` 

`a_2=-4` 

`a_6=a_2q^4=-64` 

`q^4=(-64)/-4=16` 

`q=2\ \ \vee\ \ \q=-2` 

`"Ciąg ten o ilorazie ujemnym nie będzie monotoniczny. Będzie naprzemienny. Wybierzmy zatem q równe 2."`

`a_1=a_2/q=(-4)/2=-2` 

`a_n=-2*2^(n-1)= -2^n`  

Wyznacz punkty wspólne wykresu funkcji

`a)` 

`f(x)=g(x)` 

`1/5x^3-4/5x=x\ \ \ \ |*5` 

`x^3-4x=5x\ \ \ |-5x` 

`x^3-9x=0` 

`x(x^2-9)=0` 

`x(x-3)(x+3)=0` 

`x=0\ \ \ "lub"\ \ \ x=3\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3` 

 

Należy wyznaczyć punkty przecięcia, a więc potrzebne są także drugie współrzędne. Wszystkie te punkty należą zarówno do wykresu funkcji f, jak i do wykresu funkcji g, więc możemy podstawić obliczone wartości x do jednego ze wzorów (f(x) lub g(x)). Oczywiście łatwiej będzie podstawić do wzoru funkcji g. 

`g(0)=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 0)` 

`g(3)=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 3)` 

`g(-3)=-3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-3;\ -3)` 

 

 

 

`b)` 

`f(x)=g(x)` 

`1/5x^3-4/5x=1/5x^3-2/5x^2\ \ \ \ |-1/5x^3` 

`-4/5x=-2/5x^2\ \ \ |*5` 

`-4x=-2x^2\ \ \ |:2`  

`-2x=-x^2\ \ \ |+x^2` 

`x^2-2x=0` 

`x(x-2)=0` 

`x=0\ \ \ "lub"\ \ \ x=2` 

 

Podobnie jak poprzednio, musimy podstawić do któregokolwiek wzoru. 

`f(0)=1/5*0^3-4/5*0=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 0)` 

`f(2)=1/5*2^3-4/5*2=8/5-8/5=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)` 

 

W trapezie podstawy mają długość ...

`a)` 

`25^2=h^2+x^2` 

`17^2=h^2+(28-x)^2` 

 

`25^2-17^2=x^2-(28-x)^2` 

 

`625-289=x^2-784+56x-x^2` 

`56x=1120`   

`x=20` 

 

`h^2=25^2-x^2=625-400=225` 

`ul(h=15` 

{premium}

 

`b)` 

`30+9+x+x+7=72` 

`2x=26` 

`x=13` 

 

`x^2=h^2+y^2` 

`(x+7)^2=h^2+(21-y)^2` 

 

`(x+7)^2-x^2=(21-y)^2-y^2` 

`20^2-13^2=441-42y`  

`400-169-441=-42y`  

 

`42y=210` 

`y=5` 

 

`h^2=x^2-y^2=169-25=144` 

`ul(h=12` 

Dane są długości boków dwóch trójkątów ...

Sprawdzamy, czy stosunki długości odpowiadających sobie boków (najkrótszy do najkrótszego itd) są sobie równe. 

 

`a)` 

`6/9=2/3` 

`8/12=2/3` 

`12/18=2/3` 

`"Te trójkąty są podobne"`

 

`b)` 

`(1 1/2)/9=3/2:9=strike3^1/2*1/strike9^3=`   `1/6`    

`(2 1/2)/15=5/2:15=strike5^1/2*1/strike15^3=1/6` 

`(3 1/2)/20=7/2:20=7/2*1/20=7/40ne1/6` 

`"Te trójkąty nie są podobne."`       

Punkty D i E należą do podstawy trójkąta....

Trójkąt CDE jest równoramienny a więc kąty przy podstawie DE są takie same. Trójkąt ABC jest równoramienny a więc kąty przy podstawie AB są równe, zatem:

`/_CDA = /_BEC` 

skoro

`/_DAC = /_CBE` 

A więc:

`/_ACD = /_ECB`  

Wszystkie kąty są równe. Również wiemy, że:

`|AC|=|BC| \ "i" \ |CD| = |CE|` 

i punkty D i E leżą na odcinku AB a więc są współliniowe, czyli odcinki AD i BE są równoległe. Podsumowując:

`|AD|= |EB|`

Przekrojem osiowym walca

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

`ul(ul("pierwsza możliwość"))` 

Jeśli długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 4 to możemy oznaczyć:

`|AB|=x` 

`|BC|=x+4` 

`|AC|=x+4+4=x+8` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

`x^2+(x+4)^2=(x+8)^2` 

`x^2+x^2+8x+16=x^2+16x+64` 

`2x^2+8x+16=x^2+16x+64\ \ \ |-x^2` 

`x^2+8x+16=16x+64\ \ \ |-16x` 

`x^2-8x+16=64\ \ \ |-64` 

`x^2-8x-48=0` 

`Delta=(-8)^2-4*1*(-48)=64+192=256` 

`sqrtDelta=16` 

`x_1=(8-16)/2=(-8)/2=-4<0` 

`x_2=(8+16)/2=24/2=12>0` 

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie, ponieważ jest ujemne, a liczba x wyraża długość, więc musi być dodatnia.

 

Mamy więc:

`x=12` 

`x+4=16` 

`x+8=20`   

 

Średnica podstawy walca ma więc 12 cm, a wysokość walca ma 16 cm. Jeśli średnica ma 12 cm, to promień ma 6 cm (bo jest 2 razy krótszy). 

Obliczamy objętość:

`V=pi*6^2*16=pi*36*16=576pi\ [cm^3]` 

 

`ul(ul("druga możliwość"))` 

Na pewno odcinek AC jest najdłuższy, ponieważ jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym. Nie wiemy jednak, która przyprostokątna jest dłuższa - AB czy BC. Możliwy jest zatem przypadek:

`|BC|=x` 

`|AB|=x+4` 

`|AC|=x+8` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`x^2+(x+4)^2=(x+8)^2` 

Wiemy już (z pierwszego przypadku), że rozwiązaniem (dodatnim) równania jest x=12. 

Mamy więc:

`|BC|=12` 

`|AB|=16` 

`|AC|=20` 

 

Średnica podstawy walca ma więc 16 cm, a wysokość walca ma 12 cm. Jeśli średnica ma 16 cm, to promień ma 8 cm (bo jest 2 razy krótszy). 

 

Obliczamy objętość:

`V=pi*8^2*12=pi*64*12=768pi\ [cm^3]` 

 

Okręgi o(A, 6) i o(B, 4) są styczne wewnętrznie...

I przypadek:

`|BC| = 4+3 = 7` 

 

II przypadek:

`|BC| = 2 + 6 + 3 = 11` 

 

Odpowiedź B