Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Współrzędne wektora

Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $$(0,0)$$.

Jeśli początek leży w punkcie $$A = (x_p,y_p)$$, a koniec to punkt $$B = (x_k, y_k)$$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

$${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę

Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze $${v}↖{→} = [v_a, v_b]$$, a $${u}↖{→} = [u_a, u_b]$$, współrzędne wektora będącego ich sumą: $${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $$ są równe $${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę $${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $$ możemy ją zapisać jako $${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $$. Wektor $$(-{u}↖{→})$$ to po prostu wektor $${u}↖{→}$$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora $${v}↖{→}$$ przez liczbę $$a$$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $$a$$ razy wektora $${v}↖{→}$$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $$a$$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów

Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ i $${v_y}↖{→} = [0, b]$$ jeśli wektor $${v}↖{→} = [a, b]$$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu

Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $$y = f(x)$$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$. Aby to zrobić, rozłóżmy $${v}↖{→}$$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład $${v_y}↖{→} = [0, b]$$, to nowa funkcja $$f_2(x)$$ będzie równa $$f_2(x) = f(x) + b$$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ gdzie $$a$$ > $$0$$. Każdemu $$x$$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $$x$$-a leżącego o $$a$$ bliżej, np. punkt $$x=3$$ dostał wartość punktu $$x=3-a$$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $$f_2(x) = f(x-a)$$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $$y = f(x)$$ przesunięta o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$ będzie miała postać $$y = f(x-a)+b$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz dziedzinę funkcji ...

 

 

 

 

 

   

Modół z dowolnej liczby jest nieujemny.

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

Modół z dowolnej liczby jest nieujemny.

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Wyrażenie algebraiczne...

Na rysunku obok przedstawiono szkic wykresu...

a)

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności policzmy pierwszą pochodną funkcji.

 

 

 

 

 

 

Sprawdźmy, kiedy  

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  nie ma pierwiastków, ponieważ  

Wobec tego rozwiązaniem powyższej nierówności jest  

 

Funkcja jest rosnąca w  

Funkcja jest malejąca w  


b)

Z podpunktu a) wiemy, że funkcja jest rosnąca w przedziale  

Wobec tego największa wartość funkcji w przedziale  będzie w punkcie  

 


c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykresy podanych funkcji...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Własności wspólne:

- dziedzina

- zbiór wartości

- miejsca zerowe

- funkcje okresowe

- funkcje przedziałami monotoniczne

 

 

 

Suma sześcianu i kwadratu...

Oznaczmy liczbę spełniającą warunek przez x, wtedy suma sześcianu i kwadratu tej liczby jest równa 12:

 

 

Zauważmy, że wielomian:

 

dla x = 2 ma wartość równą 0, a więc dwumian x-2 wystąpi w rozkładzie wielomianu f na czynniki:

 

 

 

 

 

 

 

Wielomian jest stale większy od 0.

 

 

Jedyna liczba rzeczywista spełniająca warunek to 2.

Zapisz liczbę b w postaci ...

 

  

 

 

   

 

 

 

 

 

    

 

Magda i Ola podjęły pracę wakacyjną w dwóch różnych pizzeriach

Opiszmy zarobki dziewcząt (w zł) w zależności od liczby dostarczonych pizz (tą liczbę oznaczmy x) jako funkcje:

 

Policzmy, ile zarabia każda z dziewczyn, jeśli dostarczy 30 pizz:

 

 

ODP: Jeśli średnia liczba dostaw wynosi 30, to korzystniejsze warunki pracy wybrała Magda.

 

 

 

 

ODP: Zarobek dziewczyn będzie identyczny, jeśli średnia liczba dostaw wyniesie 40. 

Określ dziedzinę i naszkicuj...

a)

 

 

 

 

Granica nie istnieje.


b)

 

 

 

 

Granica istnieje.


c)

 

 

 

 

Nie jest to granica niewłaściwa.

W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg...

W oparciu o twierdzenie o kątach wpisanych na tym samym łuku, możemy przyjąć oznaczenia jak na rysunku poniżej:

By pokazać, że dwusieczne kątów  oraz  są równoległe, wystarczy pokazać, że  

{premium}

Z sumy kątów trójkąta dla  mamy:

 

Z sumy kątów trójkąta dla  mamy:

 

Z sumy kątów trójkąta dla  mamy:

 

Z sumy katów trójkąta dla  mamy:

 

 

Po pomnożeniu równań  i  przez  otrzymujemy:

 

 

Zapiszmy powyższe równania trochę inaczej:

 

 

W miejsce wyrażeń w nawiasach podstawiamy zależności wyznaczone z równań  i  

 

 

Odejmujemy równania stronami:

 

 

 co należało dowieść.

Do wykresu proporcjonalności odwrotnej

 

{premium}