Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Współrzędne wektora

Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $(0,0)$.

Jeśli początek leży w punkcie $A = (x_p,y_p)$, a koniec to punkt $B = (x_k, y_k)$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę

Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze ${v}↖{→} = [v_a, v_b]$, a ${u}↖{→} = [u_a, u_b]$, współrzędne wektora będącego ich sumą: ${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $ są równe ${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę ${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $ możemy ją zapisać jako ${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $. Wektor $(-{u}↖{→})$ to po prostu wektor ${u}↖{→}$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora ${v}↖{→}$ przez liczbę $a$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $a$ razy wektora ${v}↖{→}$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $a$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów

Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych ${v_x}↖{→} = [a, 0]$ i ${v_y}↖{→} = [0, b]$ jeśli wektor ${v}↖{→} = [a, b]$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu

Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $y = f(x)$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor ${v}↖{→} = [a,b]$. Aby to zrobić, rozłóżmy ${v}↖{→}$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład ${v_y}↖{→} = [0, b]$, to nowa funkcja $f_2(x)$ będzie równa $f_2(x) = f(x) + b$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor ${v_x}↖{→} = [a, 0]$ gdzie $a$ > $0$. Każdemu $x$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $x$-a leżącego o $a$ bliżej, np. punkt $x=3$ dostał wartość punktu $x=3-a$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $f_2(x) = f(x-a)$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $y = f(x)$ przesunięta o wektor ${v}↖{→} = [a,b]$ będzie miała postać $y = f(x-a)+b$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ równań i podaj jego ...

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

  

Którą z podanych nierówności...

Sprawdźmy A.

Założenie  

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

Narysujmy ten wielomian i odczytajmy rozwiązanie z rysunku.

 

 

Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy:

 

Jest to suma przedziałów jaką chcieliśmy uzyskać.

 

Odp. A

Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych ...

Zacznijmy od przykładu i poszukajmy jakiejś liczby naturalnej, która przy dzieleniu przez   daje resztę  ,

np.  .

 

Liczbę taką można przedstawić w postaci

 , 

gdzie   jest szukaną liczbą, a   jest dowolną liczbą naturalną (bo   jest liczbą naturalną).

 

Następną liczbą naturalną, która przy dzieleniu przez   daje resztę  , jest liczba o   większa od  , czyli {premium}

 .

 

Suma kwadratów tych liczb jest równa  

 .

Wyznaczamy  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  jest liczbą naturalną, więc

 .

Wyznaczamy  

 

oraz  

 .

 

Szukane liczby to:   i  .

Obwód czworokąta jest równy 52 cm

Rysunki są tylko pomocnicze - trójkąt równoboczny nie musi wyglądać na nim jak rówboboczny, ważne są długości boków, które oznaczamy literą x. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest ramieniem trójkąta równoramiennego. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest podstawą trójkąta równoramiennego. 

 

{premium}

`4x=46`

`x=46/4=23/2=11,5`

W pierwszym przypadku boki czworokąta mają długość 11,5 cm, 11,5 cm, 11,5 cm oraz 17,5 cm. 

 

 

`4x-12=52\ \ \ |+12`

`4x=64\ \ \ |:4`

W drugim przypadku boki czworokąta mają długość 16 cm, 16 cm, 10 cm, 10 cm. 

W trapezie ABCD, w którym...

Rysunek poglądowy:{premium}

Trójkąty DCE i ABE są podobne, wyznaczmy skale podobieństwa:

 

Skala podobieństwa pól jest kwadratem skali podobieństwa boków:

 

 

 

  

Pole trapezu:

 

Wyznacz współrzędne środka okręgu o średnicy PQ

a)

Współrzędne środka okręgu:

{premium}

Promień:

b)

Współrzędne środka okręgu:

Promień:

Oblicz podaną sumę:

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

 

 

 

{premium}  

   

 

Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

  

 

 

 

   

 

Zatem:

   

W jakich punktach przecinają się wykresy ...

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia tych wykresów.

 {premium}

 

 

 

 


Podstawiamy pomocniczą zmienną.

 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

 

 

 

 


Mamy więc:

 - równanie sprzeczne

 


Wyznaczamy drugą współrzędną puntu przecięcia.

 


Wykresy tych funkcji przecinają się w punkcie o współrzędnych .

 

Rozłóż sumę algebraiczną...

{premium}

 

 

 

 

 

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem ...

Przekrój osiowy stożka ma kształt trójkąta równobocznego o boku długości 6. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}

Średnica podstawy stożka ma długość 6. 

Promień podstawy ma długość: 

 

Pole podstawy wynosi: 

 


Wysokość trójkąta będącego przekrojem jest jednocześnie wysokością stożka. 

Wysokość stożka ma więc długość: 

 


Objętość stożka wynosi: 

 

  


Poprawna odpowiedź: D.