Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Współrzędne wektora

Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $(0,0)$.

Jeśli początek leży w punkcie $A = (x_p,y_p)$, a koniec to punkt $B = (x_k, y_k)$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę

Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze ${v}↖{→} = [v_a, v_b]$, a ${u}↖{→} = [u_a, u_b]$, współrzędne wektora będącego ich sumą: ${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $ są równe ${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę ${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $ możemy ją zapisać jako ${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $. Wektor $(-{u}↖{→})$ to po prostu wektor ${u}↖{→}$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora ${v}↖{→}$ przez liczbę $a$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $a$ razy wektora ${v}↖{→}$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $a$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów

Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych ${v_x}↖{→} = [a, 0]$ i ${v_y}↖{→} = [0, b]$ jeśli wektor ${v}↖{→} = [a, b]$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu

Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $y = f(x)$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor ${v}↖{→} = [a,b]$. Aby to zrobić, rozłóżmy ${v}↖{→}$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład ${v_y}↖{→} = [0, b]$, to nowa funkcja $f_2(x)$ będzie równa $f_2(x) = f(x) + b$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor ${v_x}↖{→} = [a, 0]$ gdzie $a$ > $0$. Każdemu $x$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $x$-a leżącego o $a$ bliżej, np. punkt $x=3$ dostał wartość punktu $x=3-a$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $f_2(x) = f(x-a)$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $y = f(x)$ przesunięta o wektor ${v}↖{→} = [a,b]$ będzie miała postać $y = f(x-a)+b$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Obok zamieszczono wykres funkcji f...

a) Wykres funkcji o podanym wzorze powstaje po przesunięciu wykresu funkcji f o wektor [1, 0]:

   {premium}


b) Wykres funkcji o podanym wzorze powstaje po przesunięciu wykresu funkcji f o wektor [0, 2]:


c) Wykres funkcji o podanym wzorze powstaje po przesunięciu wykresu funkcji f o wektor [-1, -1]:


d) Wykres funkcji o podanym wzorze powstaje po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji f względem osi x:


e) Wykres funkcji o podanym wzorze powstaje po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji f względem osi y:


f) Wykres funkcji o podanym wzorze powstaje po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji f względem punktu [0, 0]:


g) Wykres funkcji o podanym wzorze powstaje po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji f względem osi x części wykresu funkcji f znajdującej się pod osią x. 

Kolejne miesięczne rachunki za telefon ...

Wyznaczmy średnią arytmetyczną tego zestawu danych.

    {premium}

 

 

 

Wyznaczmy odchylenie standardowe tych danych.

 

 

 

 

 

 

Uzupełnij tabelę przybliżonych wartości ...

  

{premium}  

 

 

 

 

 

    

Na bokach trójkąta prostokątnego...

Trójkąt AEF jest trójkątem równobocznym, więc:



Wiemy, ile jest równe pole trójkąta AEF, więc możemy wyznaczyć długość boku tego trójkąta.

{premium}  

 

 

 


Czyli:

 


Z własności trójkątów o kątach 30o, 60o, 90o otrzymujemy:



Obliczamy pole trójkąta ABC.

 

Oblicz sin(150°-α), cos(150°-α), tg(150°-α), jeśli...

 

 

 

 

 


W rozwiązaniu będziemy korzystać z tabelki wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°:

       
       
       
       
       

Wiemy, że:

 

Z tabeli możemy odczytać, że:{premium}

 


Obliczamy wartości danych wyrażeń dla α=30⁰:

 

 

 

 

Miary kątów wewnętrznych...

Jest dany ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie i różnicy wynoszących:

 

n-ty wyraz jest dany wzorem:

 

{premium}

Pamiętajmy, że wielokąt ma być wypukły, zatem miara dowolnego kąta musi być mniejsza od 180o:

 

 

 

 

 

Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:

 

 

Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego wyraża się wzorem:

 

 

Zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Uwzględniając założenie otrzymujemy, że rozwiązaniem jest liczba  

Dana jest funkcja f określona wzorem ...

Sprawdźmy I.

Jest to funkcja wymierna oraz a=-2, zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach: {premium}

 

Zdanie jest fałszywe.

 

Sprawdźmy II.

 

 

 

 

Zdanie jest prawdziwe.

 

Sprawdźmy III.

 

 

 

 

Jest to funkcja wymierna oraz a=2, zatem funkcja jest malejąca w przedziałach:

 

Zdanie jest prawdziwe.

 

Sprawdźmy IV.

 

 

 

 

Zdanie jest prawdziwe.

Oblicz sumę wszystkich współczynników ...

 

Suma wszystkich współczynników wynosi:

 


   {premium}

Suma wszystkich współczynników wynosi:

 


 

Zauważmy, że:

 

 

Zwróćmy uwagę, że suma wszystkich współczynników wielomianu to wartość tego wielomianu dla jedynki (ponieważ jedynka podniesiona do każdej potęgi nadal pozostaje jedynką):

 

{premium}   

   

       

 

Zatem mamy:

 

Zatem suma wszystkich współczynników wynosi 2.


 

 

Zatem mamy:

 

Zatem suma wszystkich współczynników wynosi -1.

 

 

Wykaż, że jeśli a>0 i b>0 ...

Z treści zadania wiemy, że:

 

    {premium}

 

 

 

Zatem otrzymujemy: 

 

 

 

 

 

Co należało pokazać.

 

 

Ze zbioru...

Zauważmy, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest{premium}

 

Oznaczmy przez A zdarzenie, polegające na tym że wylosowana liczba jest mniejsza od 40 i podzielna przez 3. 

Wypiszmy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A

łącznie mamy więc 10 zdarzeń sprzyjających

 

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe