Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Współrzędne wektora

Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $(0,0)$.

Jeśli początek leży w punkcie $A = (x_p,y_p)$, a koniec to punkt $B = (x_k, y_k)$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę

Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze ${v}↖{→} = [v_a, v_b]$, a ${u}↖{→} = [u_a, u_b]$, współrzędne wektora będącego ich sumą: ${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $ są równe ${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę ${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $ możemy ją zapisać jako ${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $. Wektor $(-{u}↖{→})$ to po prostu wektor ${u}↖{→}$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora ${v}↖{→}$ przez liczbę $a$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $a$ razy wektora ${v}↖{→}$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $a$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów

Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych ${v_x}↖{→} = [a, 0]$ i ${v_y}↖{→} = [0, b]$ jeśli wektor ${v}↖{→} = [a, b]$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu

Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $y = f(x)$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor ${v}↖{→} = [a,b]$. Aby to zrobić, rozłóżmy ${v}↖{→}$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład ${v_y}↖{→} = [0, b]$, to nowa funkcja $f_2(x)$ będzie równa $f_2(x) = f(x) + b$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor ${v_x}↖{→} = [a, 0]$ gdzie $a$ > $0$. Każdemu $x$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $x$-a leżącego o $a$ bliżej, np. punkt $x=3$ dostał wartość punktu $x=3-a$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $f_2(x) = f(x-a)$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $y = f(x)$ przesunięta o wektor ${v}↖{→} = [a,b]$ będzie miała postać $y = f(x-a)+b$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie x^3-5x^2-9x+45=0.

Treść:

Rozwiąż równanie x3-5x2-9x+45=0.


Rozwiązanie:

 

 {premium}

 

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

`(x-5)(x^2-9)=0` 

Zapisujemy różnicę x2-9 jako iloczyn, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

 

Iloczyn trzech liczb jest równy zero, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest zerem. Stąd:

 

 


Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby: -3, 3, 5.

Hubert przejechał rowerem trasę...

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D

Wyznacz równanie prostej, która przechodzi ...

Wyznaczmy najpierw równanie prostej k przechodzącej przez punkty B i C. 

`\ \ \ {(1=a*(-1)+b),(-1=a*3+b):}` 
{premium}

`\ \ \ {(1=-a+b \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(-1)),(-1=3a+b):}`    

`+ \ {(-1=a-b),(-1=3a+b):}` 

`\ \ \ ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`\ \ \ \ -2=4a \  \ \ \ \ \ \ \ |:4`

`\ \ \ \ -2/4=a`

`\ \ \ \ -1/2=a`   


  

  

`{(a=-1/2),(b=1/2):}`  

`k: \ y=-1/2x+1/2`  


Prosta l przechodząca przez punkt A może być: 

  • równoległa do prostej k (I przypadek); 

  • przechodzić przez środek odcinka BC (II przypadek). 


I przypadek

`l \ "||" \ k \ \ \ \ \ \ "więc" \ \ \ \ \ \ a_l=a_k=-1/2` 

Punkt A należy do prostej l, czyli: 

`4=-1/2*2+b`

`4=-1+b \ \ \ \ \ \ \ |+1`

`5=b`   

Prosta l ma wtedy postać: 

`l: \ y=-1/2x+5` 


II przypadek

Wyznaczamy współrzędne punktu S, który jest środkiem odcinka BC. 

`S=((-1+3)/2 ; (1+(-1))/2)` 

`S=(2/2 ; 0/2)` 

`S=(1 ; 0)`  

Wyznaczamy równanie prostej l przechodzącej przez punkty A i S. 

`\ \ \ {(4=a*2+b),(0=a*1+b):}`  

`\ \ \ {(4=2a+b),(0=a+b \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(-1)):}`  

`+ \ {(4=2a+b),(0=-a-b):}` 

`\ \ \ ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`\ \ \ \ \ \ 4=a`  


`{(a=4),(0=4+b \ \ \ \ \ \ \ \ |-4):}`

`{(a=4),(b=-4):}`  

`l: \ y=4x-4` 


Odpowiedź: Prosta ta może mieć równanie y = - 1/x+5 lub y=4x-4

Na rysunku poniżej przedstawiony jest czworokąt ...

 

 

  

 

{premium}

 

 

 

    

 

 

 

 

 

       

Rozważmy trójkąty, których podstawa ma długość...

 wysokość trójkąta w cm,  {premium}   

Obliczamy pole trójkąta o podstawie  

 

Sprawdzamy, czy pole trójkąta jest wprost proporcjonalne do wysokości:

 

Pole trójkąta jest wprost proporcjonalne do wysokości. Współczynnik proporcjonalności jest równy  

Wzór szukanej funkcji:

  

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu:

 

 

Szkicujemy wykres funkcji:

 

Ile jest wszystkich liczb

Jeśli w zapisie nie występuje cyfra 0, to do dyspozycji mamy dziewięć cyfr (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). 

 

 

{premium}  

Pierwszą cyfrą liczby pięciocyfrowej jest 2. Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy umieścić jedną z dziewięciu cyfr. Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

 

 

 

  

Ostatnią cyfrą liczby pięciocyfrowej jest 27. Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy umieścić jedną z dziewięciu cyfr. Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

 

Wyznacz wszystkie naturalne wartości a

 

Jeśli liczba -2 ma być rozwiązaniem równania, to możemy ją wstawić w miejsce x: 

{premium}

 

 

 

Wykonaj działania.

{premium}  

b) W liczniku będizemy mieli wzór na różnicę sześcianów.

 

 

 

Liczba 9^9*81^2 jest równa

Treść:

Liczba 99٠812 jest równa

A. 814

B. 81

C. 913

D. 936


Rozwiązanie:

81=92, więc, korzystając z własności działań na potęgach, otrzymujemy:

 


Prawidłowa odpowiedź to C.

Jedna przekątna pewnego czworokąta ...

  

 

 

 

 

{premium}