Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wektory - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Współrzędne wektora

Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $$(0,0)$$.

Jeśli początek leży w punkcie $$A = (x_p,y_p)$$, a koniec to punkt $$B = (x_k, y_k)$$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

$${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$$
 

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektorów przez liczbę

Dodawanie wektorów można interpretować geometrycznie na równoważne sobie sposoby:

1) W końcu jednego wektora zaczepiamy drugi - ich suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku pierwszego do końca drugiego.

1 dodawanie

2) Jeśli oba wektory są zaczepione w tym samym punkcie, ich suma to przekątna równoległoboku utworzonego przez nie (rysunek).

2 dodawanie

Jeśli mamy natomiast dodać je analitycznie, wystarczy po prostu dodać ich odpowiednie współrzędne. Zakładając, ze $${v}↖{→} = [v_a, v_b]$$, a $${u}↖{→} = [u_a, u_b]$$, współrzędne wektora będącego ich sumą: $${t}↖{→} = {v}↖{→} + {u}↖{→} $$ są równe $${t}↖{→} = [u_a + v_a,u_b + v_b]$$.

Odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora o przeciwnym zwrocie:

mając różnicę $${t}↖{→} = {v}↖{→} - {u}↖{→} $$ możemy ją zapisać jako $${t}↖{→} = {v}↖{→} + (-{u}↖{→}) $$. Wektor $$(-{u}↖{→})$$ to po prostu wektor $${u}↖{→}$$ przeciwnie skierowany (przed obiema współrzędnymi dostawiamy minus).

Mnożenie wektora $${v}↖{→}$$ przez liczbę $$a$$ to w ujęciu geometrycznym dodanie do siebie $$a$$ razy wektora $${v}↖{→}$$, zaś w ujęciu analitycznym - pomnożenie przez liczbę $$a$$ obu jego współrzędnych.
3 mnożenie

Rozkładanie wektorów

Każdy wektor można rozłożyć na sumę kilku wektorów. Najczęściej, chociaż nie zawsze, opłaca się brać pod uwagę sumę wektorów równoległych do osi współrzędnych. W ujęciu geometrycznym są to boki prostokąta, którego przekątną jest wektor; w ujęciu analitycznym: wektory o współrzędnych $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ i $${v_y}↖{→} = [0, b]$$ jeśli wektor $${v}↖{→} = [a, b]$$.

4 rozkładanie
 

Wektory jako przesunięcie wykresu

Wektor jest często używany jako wielkość opisująca przesunięcie. Można mówić o przesunięciu dowolnego obiektu leżącego w przestrzeni: na przykład wykresu funkcji.

5 przesuniecie wykresu

Widać, że przesunięcie wykresu nie zależy od tego, w którym miejscu zaczepimy wektor. Jak opisać takie przesunięcie?

Załóżmy, że mamy funkcję $$y = f(x)$$ i chcemy jej wykres przesunąć o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$. Aby to zrobić, rozłóżmy $${v}↖{→}$$ na wektory składowe równoległe do osi i przesuńmy wykres przez każdy z nich oddzielnie (suma przesunięć będzie się równała przesunięciu przez wektor sumy).

Przesuwając wykres w pionie zmieniamy tak naprawdę jedynie wyraz wolny: jeśli na przykład $${v_y}↖{→} = [0, b]$$, to nowa funkcja $$f_2(x)$$ będzie równa $$f_2(x) = f(x) + b$$.

Zastanówmy się więc, co tak naprawdę robimy przesuwając wykres w poziomie - załóżmy, że w prawo, czyli o wektor $${v_x}↖{→} = [a, 0]$$ gdzie $$a$$ > $$0$$. Każdemu $$x$$-owi przyporządkowujemy wtedy wartość $$x$$-a leżącego o $$a$$ bliżej, np. punkt $$x=3$$ dostał wartość punktu $$x=3-a$$. Nowa funkcja będzie więc miała postać $$f_2(x) = f(x-a)$$.

Łącząc te dwie zmiany dowiadujemy się, że funkcja $$y = f(x)$$ przesunięta o wektor $${v}↖{→} = [a,b]$$ będzie miała postać $$y = f(x-a)+b$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

`"a)"\ 2x^3+x^2+x=1`

`2x^3+x^2+x-1=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -1 to:

`p={-1,\ 1}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 2 to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-1,-1/2,\ 1/2,\ 1}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+x2+x-1.

`w(-1)=2*(-1)^3+(-1)^2+(-1)-1=-2+1-1-1=-3!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=2*1^3+1^2+1-1=2+1+1-1=3!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3+(-1/2)^2+(-1/2)-1=-1/4+1/4-1/2-1=-3/2!=0`

-1/2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1/2)=2*(1/2)^3+(1/2)^2+1/2-1=1/4+1/4+1/2-1=0`

1/2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-1/2)

`(2x^3+x^2+x-1):(x-1/2)=2x^2+2x+2`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 2x2+2x+2

`2x^2+2x+2=0`

`Delta =2^2-4*2*2=4-16<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania jest liczba 1/2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ 3x^3-x=1-7x^2`

`3x^3+7x^2-x-1=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -1 to:

`p={-1,\ 1}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 3 to:

`q={-1,\ 1,-3,\ 3}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-1,-1/3,\ 1/3,\ 1}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+x2+x-1.

`w(-1)=3*(-1)^3+7*(-1)^2-(-1)-1=-3+7+1-1=4!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=3*1^3+7*1^2-1-1=3+7-1-1=8!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/3)=3*(-1/3)^3+7*(-1/3)^2-(-1/3)-1=-1/9+7/9+1/3-1=0`

-1/ jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+1/3)

`(3x^3+7x^2-x-1):(x+1/3)=3x^2+6x-3`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 3x2+6x-3

`3x^2+6x-3=0`

`Delta =6^2-4*3*(-3)=36+36=72`

`sqrtDelta=sqrt72=6sqrt2`

`x_1=(-6-6sqrt2)/6=-1-sqrt2`

`x_2=(-6+6sqrt2)/6=-1+sqrt2`

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby xoraz x2.

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby -1/3, xoraz x2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ -4x+4=3x^3+x^2`

`-3x^3-x^2-4x+4=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 4 to:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-4,\ 4}`

Dzielniki wyrazu an, czyli -3 to:

`q={-1,\ 1,-3,\ 3}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-4,-2,-4/3,-1,-2/3,-1/3,\ 1/3,\ 2/3,\ 1,\ 4/3,\ 2,\ 4}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=-3x3-x2-4x+4.

`w(-1)=-3*(-1)^2-(-1)^2-4*(-1)+4=3-1+4+4=10!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=-3*1^2-1^2-4*1+4=-3-1-4+4=-4!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(2/3)=-3*(2/3)^2-(2/3)^2-4*2/3+4=-8/9-4/9-8/3+4=0`

2/ jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-2/3)

`(-3x^3-x^2-4x+4):(x-2/3)=-3x^2-3x-6`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego -3x2-3x-6

`-3x^2-3x-6=0`

`Delta =(-3)^2-4*(-3)*(-6)<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania jest liczba 2/3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ 2x^4+5x^3=8x^2+5x`

`2x^4+5x^3-8x^2-5x=0`

Możemy wyłączyć x przed nawias.

`x(2x^3+5x^2-8x-5)=0`

Rozwiązaniem równania jest:

`x=0\ \ \ \vv\ \ \ \ 2x^3+5x^2-8x-5=0`

Szukamy rozwiązazań równania

`2x^3+5x^2-8x-5=0`

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -5 to:

`p={-1,\ 1,-5,\ 5}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 2 to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-5,-5/2,-1,-1/2,\ 1/2,\ 1,\ 5/2,\ 5}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+5x2-8x-5.

`w(-1)=2*(-1)^3+5*(-1)^2-8*(-1)-5=2-5-8-5=-16!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=2*1^3+5*1^2-8*1-5=2+5-8-5=-6!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3+5*(-1/2)^2-8*(-1/2)-5=-1/4+5/4+4-5=0`

-1/ jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+1/2)

`(2x^3+5x^2-8x-5):(x+1/2)=2x^2+4x-10`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 2x2+4x-10

`2x^2+4x-10=0`

`Delta =4^2-4*2*(-10)=16+80=96`

`sqrtDelta=sqrt96=4sqrt6`

`x_1=(-4-4sqrt6)/4=-1-sqrt6`

`x_2=(-4+4sqrt6)/4=-1+sqrt6`

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby xoraz x2.

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby 0, -1/2, xoraz x2.

 

Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej

`a)\ y=-2(x-3)^2+6=`

`\ \ \ \ \ \ =-2(x^2-6x+9)+6=`

`\ \ \ \ \ \ =-2x^2+12x-18+6=`

`\ \ \ \ \ \ =-2x^2+12x-12`

 

`b)\ y=-1/2(x+1/2)^2+1/2=`

`\ \ \ \ \ \ =-1/2(x^2+x+1/4)+1/2=`

`\ \ \ \ \ \ =-1/2x^2-1/2x-1/8+4/8=`

`\ \ \ \ \ \ =-1/2x^2-1/2x+3/8`

 

`c)\ y=3(x-5)^2+9=`

`\ \ \ \ \ \ =3(x^2-10x+25)+9=`

`\ \ \ \ \ \ =3x^2-30x+75+9=`

`\ \ \ \ \ \ =3x^2-30x+84`

Dane są punkty ...

`A=(-6;2)` 

`B=(3;8)`  

`C=(7;-6)` 

`P=(x;y)` 

`vec(AB)=vec(CP)` 

 

`vec(AB)=[3+6;8-2]=[9;6]` 

`vec(CP)=[x-7;y+6]` 

`[9;6]=[x-7;y+6]` 

`x-7=9\ implies\ x=16` 

`y+6=6\ implies\ y=0` 

`P=(16;0)` 

 

`"Odpowiedź D."`  

W prostokącie o polu 48cm² i obwodzie 28cm

Oznaczmy sobie boki tego prostokąta jak a i b. Wtedy:

`a*b=48cm^2`

`2*(a+b)=28cm^2`

Rozwiążmy układ równań:

`{(ab=48),(2(a+b)=28 \ \ \ :2):}`

`{(ab=48),(a+b=14):}`

`{(ab=48),(a=14-b):}`

`{((14-b)b=48),(a=14-b):}`

`{(14b-b^2-48=0),(a=14-b):}`

Pierwsze równanie jest kwadratowe. Liczymy deltę i miejsca zerowe:

`Delta=b^2-4ac`

`Delta=14^2-4*(-1)*(-48)=196-192=4`

`sqrtDelta=sqrt4=2`

`b_1=(-b-sqrtDelta)/(2a)=(-14-2)/(-2)=8`

`b_2=(-b+sqrtDelta)/(2a)=(-14+2)/(-2)=6`

`a_1=14-8=6`

`a_2=14-6=8`

Prostokąt ma wymiary 6 cm na 8 cm. 

Są to również długości przekątych rombu, powstałego  w skutek połączenia środków boków prostokąta

 

Obliczmy długość boku tego rombu

`3^2+4^2=x^2`

`x^2=9+16`

`x^2=25`      `/sqrt`

`x=sqrt25`

`x=5cm`

`O=4*5cm=20cm`

Możemy obliczyć wysokość tego rombu, obliczając najpierw pole z długości przekątnych i przyrównując tą wartość do wzoru pole równoległoboku `P=a*h`

`P=1/2*d_1*d_2`

`P=1/2*6cm*8cm=24cm^2`

`P=a*h`

`24cm^2=5cm*h`     `/:5cm`

`h=(24cm^2)/(5cm)`

`h=4 8/10 cm`

 

Obliczmy teraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego:

`sinalpha= (4 8/10)/5=(48/10)/5=48/50=96/100=0,96`

Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka potrzebnego do wyliczenia cosinusa kąta ostrego

`y^2+(4 8/10)^2=5^2`

`y^2+(48/10)^2=25`

`y^2+24/5=25`

`y^2+576/25=625/25`

`y^2=625/25-576/25`

`y^2=49/25`     `/sqrt`

`y=7/5 cm`

`cosalpha=(7/5)/(5)=7/25=28/100=0,28`

`tgalpha=(4 8/10)/(7/5)=48/(strike10)*(strike5)/7=48/2*1/7=24/7`

`ctgalpha=(7/5)/(4 8/10)=(7/5)/(48/10)=7/(strike5)*(strike10)*/48=7*2/48=7*1/24=7/24`

Hurtownia pościeli zamawia poduszki

Wiemy, że wielkości zamówień realizowanych przez kolejnych dostawców mają się do siebie jak 3:2:4. Oznaczmy więc prawdopodobieństwo zamówienia u pierwszego dostawcy jako 3x, u drugiego - jako 2x, a u trzeciego - jako 4x. 

Z treści zadania wiadomo, że hurtownia zamawia poduszki tylko u tych trzech dostawców, więc suma tych prawdopodobieństw musi być równa 1. 

`3x+2x+4x=1` 

`9x=1\ \ \ |:9` 

`x=1/9` 

`3x=3*1/9=1/3` 

`2x=2*1/9=2/9` 

`4x=4*1/9=4/9` 

 

Wprowadźmy więc oznaczenia zdarzeń:

`I\ \ -\ \ "poduszka została dostarczona przez hurtownię I"` 

`II\ \ -\ \ "poduszka została dostarczona przez hurtownię II"` 

`III\ \ -\ \ "poduszka została dostarczona przez hurtownię III"` 

 

`P(I)=1/3` 

`P(II)=2/9` 

`P(III)=4/9` 

 

`M\ \ -\ \ "wybrana poduszka jest rozmiaru M"` 

`L\ \ -\ \ "wybrana poduszka jest rozmiaru L"` 

 

Z treści zadania wiadomo, że:

`P(M|I)=50%=50/100=1/2` 

Pozostałe poduszki dostarczane przez pierwszego dostawce są więc rozmiaru L:

`P(L|I)=1-1/2=1/2`   

 

 

`P(M|II)=30%=30/100=3/10` 

Pozostałe poduszki dostarczane przez drugiego dostawce są więc rozmiaru L:

`P(L|II)=1-3/10=7/10` 

 

 

Szukamy prawdopodobieństwa dostarczenia poduszek w rozmiarze M przez dostawcę III. Wprowadźmy więc oznaczenia:

`P(L|III)=p` 

`P(M|III)=1-p` 

 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo, że losowo wybrana poduszka jest rozmiaru L:

`P(L)=P(L|I)*P(I)+P(L|II)*P(II)+P(L|III)*P(III)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1/2*1/3+7/strike10^5*strike2^1/9+p*4/9=1/6+7/45+4/9p`      

Z treści zadania wiadomo, że to prawdopodobieństwo wynosi jedna trzecia:

`1/6+7/45+4/9p=1/3\ \ \ \ \ |*9` 

`9/6+strike9^1*7/strike45^5+4p=3` 

`3/2+7/5+4p=3\ \ \ \ |*10` 

`3/strike2^1*strike10^5+7/strike5^1*strike10^2+40p=30` 

`15+14+40p=30` 

`29+40p=30\ \ \ |-29` 

`40p=1\ \ \ |:40` 

`p=1/40` 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo (należy pamiętać, że trzeba je wyrazić w procentach - tak brzmi polecenie)

`P(M|III)=1-1/40=39/40=39/40*100%=3900/40%=390/4%=195/2%=97,5%` 

 

 

Czy podane nierówności są równoważne?

`a)`

`x-13<56\ \ \ |+13`

`x<69`

 

 

 

`x+26>95\ \ \ |-26`

`x>69`

 

 

Nierówności nie są równoważne - rozwiązaniem pierwszej z nich jest zbiór liczb mniejszych od 69, a rozwiązaniem drugiej jest zbiór liczb większych od 69. 

 

 

 

`b)`

`x+1/4>=2/3\ \ \ |-1/4`

`x>=2/3-1/4`

`x>=8/12-3/12`

`x>=5/12`

 

 

`x+1/12>=1/2\ \ \ \ |-1/12`

`x>=1/2-1/12`

`x>=6/12-1/12`

`x>=5/12`

 

 

Te nierówności są równoważne. 

Zaznacz na osi liczbowej

`a)` 

`{(1 1/3x-1/6>1/2-x), ((x-1/2)^2+0,75x>=x^2):}` 

`{(4/3x-1/6>1/2-x\ \ \ \ \ |*6), (x^2-x+1/4+3/4x>=x^2\ \ \ |-x^2):}` 

`{(8x-1>3-6x\ \ \ |+6x), (-1/4x+1/4>=0\ \ \ |-1/4):}` 

`{(14x-1>3\ \ \ |+1), (-1/4x>=-1/4 \ \ \ |*(-4)):}` 

`{(14x>4\ \ \ |:14), (x<=1):}` 

`{(x>2/7), (x<=1):}` 

`x in (2/7;\ 1>>` 

 

   

` `

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

 

 

 

`b)` 

`{(1/4x-(1/8-1/2x)>=x-5/4), ((2-x)^2<=(x+1)^2):}` 

`{(1/4x-1/8+1/2x>=x-5/4\ \ \ \ |*8), (4-4x+x^2<=x^2+2x+1\ \ \ |-x^2):}` 

`{(2x-1+4x>=8x-10), (4-4x<=2x+1\ \ \ |-2x-4):}` 

`{(6x-1>=8x-10\ \ \ |-8x+1), (-6x<=-3\ \ \ |:(-6)):}` 

`{(-2x>=-9\ \ \ |:(-2)), (x>=3/6):}` 

`{(x<=9/2), (x>=1/2):}` 

`{(x<=4 1/2), (x>=1/2):}` 

` x in <<1/2;\ 4 1/2>>` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

`{((x-1/3)/2-(x-1/2)/3<1\ \ \ |*6), ((x-1/2)^2>=x^2-1/2):}` 

`{(3(x-1/3)-2(x-1/2)<6), (x^2-x+1/4>=x^2-1/2\ \ \ |-x^2):}` 

`{(3x-1-2x+1<6), (-x+1/4>=-1/2\ \ \ |-1/4):}` 

`{(x<6), (-x>=-3/4\ \ \ |*(-1)):}` 

`{(x<6), (x<=3/4):}` 

`x in (-infty;\ 3/4>>` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`d)` 

`{(2-x^2-(x-2)^2<=6-2(x+4)^2), ((4-x)^2-(6-x)^2>=11/4-(0,5-1/2x)/2):}` 

`{(2-x^2-(x^2-4x+4)<=6-2(x^2+8x+16)), (16-8x+x^2-(36-12x+x^2)>=11/4-(0,5-1/2x)/2):}` 

`{(2-x^2-x^2+4x-4<=6-2x^2-16x-32), (16-8x+x^2-36+12x-x^2>=11/4-(0,5-1/2x)/2):}` 

`{(-2x^2+4x-2<=-2x^2-16x-26\ \ \ |+2x^2), (4x-20>=11/4-(0,5-1/2x)/2\ \ \ |*4):}` 

`{(4x-2<=-16x-26\ \ \ \ |+16x), (16x-80>=11-2(0,5-1/2x)):}` 

`{(20x-2<=-26\ \ \ |+2), (16x-80>=11-1+x\ \ \ |-x):}` 

`{(20x<=-24\ \ \ |:20), (15x-80>=10\ \ \ |+80):}`  

`{(x<=-24/20), (15x>=90 \ \ \ |:15):}` 

`{(x<=-1 4/20), (x>=6):}` 

`{(x<=-1 1/5), (x>=6):}` 

`"brak rozwiązań układu nierówności"`   

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`e)` 

`{(-4(4-x)^2<8-(4-2x)^2), ((2x-1)^2/4-((sqrt2x-4)(sqrt2x+4))/2>0,25):}` 

`{(-4(16-8x+x^2)<8-(16-16x+4x^2)\ \ \ |:(-4)), ((4x^2-4x+1)/4-(2x^2-16)/2>0,25\ \ \ |*4):}`  

`{(16-8x+x^2> -2+4-4x+x^2\ \ \ |-x^2), (4x^2-4x+1-2(2x^2-16)>1):}` 

`{(16-8x> -4x+2\ \ \ |+4x), (4x^2-4x+1-4x^2+32>1):}` 

`{(16-4x>2\ \ \ |-16), (-4x+33>1\ \ \ |-33):}` 

`{(-4x> -14 \ \ \ |:(-4)), (-4x> -32\ \ \ |:(-4)):}` 

`{(x> 7/2), (x<8):}` 

`x in (-infty;\ 7/2)` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`f)` 

`{(x/(sqrt2+1)+4x(1-x)>sqrt2x-(1-2x)^2), ((1-x^4)/(x^2+1)-2x>=2x-(3-x)^2):}` 

`{(x/(sqrt2+1)+4x-4x^2>sqrt2x-(1-4x+4x^2)), ((1^2-(x^2)^2)/(x^2+1)-2x>=2x-(9-6x+x^2)):}` 

`{(x/(sqrt2+1)+4x-4x^2>sqrt2x-1+4x-4x^2\ \ \ \ |+4x^2), (((1-x^2)(1+x^2))/(1+x^2)-2x>=2x-9+6x-x^2):}` 

`{(x/(sqrt2+1)+4x>sqrt2x-1+4x\ \ \ |-4x), (1-x^2-2x>=8x-9-x^2\ \ \ |+x^2):}`  

`{(x/(sqrt2+1)>sqrt2x-1\ \ \ \ |*(sqrt2+1)>0), (1-2x>=8x-9\ \ \ |-8x):}`  

`{(x>2x+sqrt2x-sqrt2-1\ \ \ |-2x-sqrt2x), (1-10x>=-9\ \ \ |-1):}`  

`{(-x-sqrt2x> -sqrt2-1\ \ \ |*(-1)), (-10x>=-10\ \ \ |:(-10)):}` 

`{(x+sqrt2x<sqrt2+1), (x<=1):}` 

`{(x(1+sqrt2)<1+sqrt2\ \ \ \ |:(1+sqrt2)>0), (x<=1):}` 

`{(x<1), (x<=1):}` 

`x in (-infty; \ 1)` 

 

W okrąg został wpisany trójkąt ...

`x^2+y^2=20` 

`r=sqrt20` 

`S=(0;0)` 

Zauważmy, że przeciwprostokątna trójkąta ABC jest średnicą okręgu.

`C=(2;4)` 

`A=(x_a;y_a)` 

`B=(x_b;y_b)` 

Wyzanczmy równanie prostej k zawierającej odcinek CS.

`k:y=ax+b` 

`0=0*a+b\ implies b=0` 

`4=2a+0` 

`a=2` 

`k:y=2x` 

Prosta zawierająca odcinek AB ma równanie:

`l:y=cx+d` 

`0=0*c+d` 

`d=0` 

`y=-1/2x` 

Punkt wspólne powyższej prostej i okręgu to punkty A i B.       

Wstawmy równanie prsotej l do równania okręgu:

`x^2+y^2=20=x^2+(-1/2x)^2=5/4x^2` 

`x^2=80/5=16` 

`x_1=4\ \ \vv\ \ x_2=-4`  

`y_1=-1/2x_1=-2\ \ \vv\ \ \ \y_2=-1/2x_2=2` 

Współrzedne pozostałych wierzchołków to:

`{(x=4),(y=-2):}\ \ \wedge\ \ \{(x=-4),(x=2):}`     

Do przedziału <-3; 7)

Liczby całkowite należące do pierwszego przedziału to -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tych liczb jest 10, więc m=10. 

Liczby całkowite należące do drugiego przedziału to: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Tych liczb jest 11, więc n=11.

Suma m+n jest równa 10+11=21, więc prawidłowa jest odpowiedź C. 

Rozwiąż równanie.

a)

`cos^2x+2sin^2x=1,5` 

`cos^2x+sin^2x+sin^2x=3/2` 

`1+sin^2x=3/2` 

`sin^2x=1/2` 

`sinx=sqrt2/2 \ \ \ "lub" \ \ \ sinx=-sqrt2/2` 

`x=pi/4+2kpi \ \ \ "lub" \ \ \ x=3/4pi+2kpi \ \ \ "lub" \ \ \ x=-pi/4+2kpi \ \ \ "lub" \ \ \ x=-3/4pi+2kpi, \ \ k in "C"` 

Możemy zapisać krócej:

`x=-pi/4+(kpi)/2, \ \ k in "C"` 


b)

`sin2x=cosx` 

`2sinxcosx=cosx` 

`2sinxcosx-cosx=0` 

`cosx(2sinx-1)=0` 

`cosx=0 \ \ \ "lub" \ \ \ 2sinx-1=0` 

`cosx=0 \ \ \ "lub" \ \ \ sinx=1/2` 

`x=pi/2+kpi \ \ \ "lub" \ \ \ x=pi/6+2kpi \ \ \ "lub" \ \ \ x=5/6pi+2kpi, \ \ k in "C"` 


c)

`cos^2x-cosx+1=0` 

Wstawmy `t=cosx, \ \ \ t in < -1, 1>` 

`t^2-t+1=0` 

`Delta=(-1)^2-4*1*1=1-4=-3` 

brak miejsc zerowych, więc brak rozwiązań

`x in O/`