Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wartość bezwzględna

Ostatni temat w dziale równań i nierówności poświęcony jest wartości bezwzględnej - funkcji, którą poznaliśmy na samym początku, omawiając liczby rzeczywiste (wartość bezwzględna) .

Aby zabrać się do rozwiązywania takiego równania musimy przypomnieć sobie, czym właściwie była wartość bezwzględna. Dla przypomnienia: dostając liczbę dodatnią nic z nią nie robiła, dostając ujemną - zamieniała ją na dodatnią (czyli tak naprawdę "dostawiała" minusa przed nią). Na przykład:

$|3| = 4$
$|-4| = -(-4) = 4$

Równania z wartością bezwzględną mogą przybierać dwie postacie:
a) wartości bezwzględne występują obok siebie, np:
$|x+3| + |x-2| = 6$

b) wartość bezwzględna jest "zagnieżdżona" wewnątrz wartości bezwzględnej, np:
$||x+1| - 2| = 3$

Oczywiście te dwa typy mogą się łączyć w różnych konfiguracjach, warto jednak na początku omówić je na tych właśnie niezbyt zaawansowanych przykładach.

Zacznijmy od typu a), czyli równania $|x+3| + |x-2| = 6$.

Chcąc opuścić wartość bezwzględną musimy wiedzieć, jakiego znaku jest wyrażenie pod nią. Jako że musimy opuścić obie wartości bezwzględne naraz, musimy rozwiązywanie takiego równania rozbić na kilka przypadków.

Najpierw należy się zastanowić, dla jakich $x$-ów pierwsza i druga wartość bezwzględna będą dodatnie.

Pierwsza będzie dodatnia dla $x$ > $-3$, druga - dla $x$ > $2$. Obie będą więc dodatnie tylko wtedy, gdy $x$ > $2$.

Teraz zastanówmy się nad pozostałymi przypadkami. Jeśli $2$ >= $x$ > $-3$ - pierwsza będzie dodatnia, a druga ujemna. Jeżeli natomiast $-3$ >= $x$ - obie będą ujemne.

Opuśćmy zatem wartości bezwzględne dla przypadku 1 - obu dodatnich (jeśli liczba jest dodatnia, wartość bezwzględna nie zmienia jej znaku).

$x+3 + x - 2 = 6$
$2x = 5$
$x = {5}/{2}$

Uzyskaliśmy wynik, ale koniecznie trzeba sprawdzić, czy mieści się w naszym pierwszym przedziale. Nie wolno o tym zapominać - to bardzo częsty błąd w tego typu zadanich.

${5}/{2}$ > $2$

Okazuje się, że wynik mieści się w przedziale - uzyskaliśmy jedno rozwiązanie.

Czas na rozważenie kolejnych dwóch przypadków. Jeśli $2$ >= $x$ > $-3$, należy zmienić znak tylko drugiej wartości bezwzględnej, ponieważ kryła się pod nią liczba ujemna:

$x+3 - x + 2 = 6$
$5 = 6$

Jest to oczywista sprzeczność.

Trzeci przypadek $-3$ >= $x$ oznacza zmianę znaku obu wyrażeń pod wartością bezwzględną:

$-x-3-x+2 = 6$
$-2x = 7$
$x = -{7}/{2}$

Pozostaje jedynie sprawdzić:
$-{7}/{2}$ <= $-3$

Jest to prawda - uzyskaliśmy drugie rozwiązanie.

Metoda ta działa także w przypadku większej ilości wartości bezwzględnych - rozpatrujemy wtedy po prostu większą liczbę przedziałów.

Możemy przejść zatem do drugiej części: wartości bezwzględnej zagnieżdżonej wewnątrz innej:

$||x+1| - 3| = 3$

Metoda rozwiązywania takiego typu równań opiera się opuszczaniu wartości bezwzględnej od tej będącej w samym środku do tej na wierzchu. W tym przypadku oznacza to, że najpierw opuścimy $|x+1|$.

Rozbijamy to na dwa przypadki:
1) $x$ > $-1$ i wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$|x+1 - 2| =3$
$|x-2| =3$

Znowu musimy rozbić to na dwa przypadki, pamiętając jednak, że w tym momencie rozpatrujemy jedynie $x$-y większe od $-1$.

1.1) $x$ > $2$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$x-2 = 3$
$x = 5$

Uzyskaliśmy rozwiązanie i mieści się ono w naszych przedziałach $>-1$ i $>2$.

1.2) $x$ <= $2$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$-x-2 = 3$
$x = -1$

Uzyskaliśmy rozwiązanie, ale nie mieści się ono w naszych przedziałach - nie jest $>-1$. Odrzucamy je.

2) $x <= -1$ i wartość bezwzględna zmienia znak
$|-x-1-3| = 3$
$|-x-4| = 3$

Ponownie rozbijamy na dwa przypadki:
2.1) $x$ < $-4$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$-x-4 =3$
$x = -7$

Rozwiązanie spełnia oba kryteria.
2.2) $x$ > $-4$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$x + 4 = 3$
$x = -1$

To rozwiązanie także spełnia oba kryteria.

To, co zrobiliśmy w rozwiązaniu, można czytelnie pokazać na schemacie:

1


Warto jeszcze wspomnieć, że nie ma znaczenia to, w którym przypadku umieścimy przypadek, gdy wartość bezwzględna jest równa zero - zależy to jedynie od naszego wyboru. Dobrze jest jednak mieć stały nawyk korzystania ze znaku "większy-równy" albo "mniejszy-równy" - będziemy wtedy mieli gwarancję, że nie zapomnimy uwzględnić tego w rozwiązaniu.

Rozwiązywanie bardziej złożonych równań z wartością bezwzględną to po prostu stosowanie tych dwóch metod - trzeba jedynie pamiętać, aby:

1) opusczać wszystkie wartości bezwzględne stojące "na tym samym poziomie" jednocześnie
2) przed opuszczeniem wartości zewnętrznej zająć się wartością wewnątrz

Spis treści

Rozwiązane zadania
Opisz za pomocą układu nierówności...

 Odczytujemy z rysunku równania prostych  i    

 

 

Niech prosta  ma równanie  Wstawiamy współrzędne punktów  i  i wyznaczamy współczynniki  

 

Odejmujemy równania stronami.       

    

    

    

    

    

Stąd:

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

  

 

 Odczytujemy z rysunku równania prostych  i   

 

 

Wyznaczamy równanie prostej  Jest ona prostopadła do powyższych prostych, więc:

 

Po wstawieniu współrzędnych punktu  {premium}  mamy:

 

    

 

Stąd: 

 

Analogicznie wyznaczamy równanie prostej  

 

Po wstawieniu współrzędnych punktu  mamy:

 

 

 

Stąd:

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

 

 Odczytujemy z rysunku równania prostych  i    

 

 

Proste  i  są równoległe. Mają więc ten sam współczynnik kierunkowy. Odczytujemy z rysunku, że jest równy  

Stąd:   

 

 

Wstawiamy kolejne współrzędne punktów  i  i wyznaczamy współczynniki  i  

   

 

 

 

 

Stąd:

 

 

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

 

 Odczytujemy z rysunku równania prostych  oraz  

   

 

Prosta  jest prostopadła do powyższych prostych, stąd  

Wstawiamy do równania prostej współrzędne punktu  i wyznaczamy  

      

 

 

 

Stąd: 

 

Wyznaczamy równanie prostej  Wstawiamy do równania współrzędne punktów  i  

i wyznaczamy  

 

Odejmujemy równania stronami.     

   

   

   

   

   

   

   

   

Stąd:

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

 

 Niech  Wstawiamy współrzędne punktów  i  i wyznaczamy  

 

Odejmujemy równania stronami.      

 

Stąd:

 

Niech teraz  Wstawiamy współrzędne punktów  i  i wyznaczamy  

 

Odejmujemy równania stronami:

 

 

 

 

 

Stąd:

 

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

 

 Niech  Odczytujemy z rysunku współczynnik kierunkowy prostej:

 

Wstawiamy współrzędne punktu  i wyznaczamy wyraz wolny.

   

 

 

 

Stąd:

 

 

Niech teraz  Odczytujemy z rysunku współczynnik kierunkowy prostej:

 

Wstawiamy współrzędne punktu  i wyznaczamy wyraz wolny.

 

 

 

 

Stąd:

 

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

Ktoś zaczął palić papierosy ...

 ]

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Zauważmy, że następujący ciąg jest ciągiem geometrycznym:

 

 

 

 

 

 

              

Prostokąt EFGH jest podobny do prostokąta ...

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

      {premium}

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

Wyznaczmy długość boku EF.

 

 

 

Wyznaczmy długość boku FG.

 

 

 

Wyznacz pochodną funkcji f.

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hubert ma w szufladzie 20 skarpetek...

 

a) A - wyjmiemy dwie skarpetki w tym samym kolorze (czyli wyjmiemy{premium} dwie beżowe skarpetki lub wyjmiemy dwie granatowe skarpetki lub wyjmiemy dwie białe skarpetki)

 


b) B - wyjmiemy jedną skarpetkę beżową i jedną skarpetkę białą

 

Z dwóch symetrycznych monet jedna jest prawidłowa

 

{premium}  

 

 

 

 

Wybieramy losowo jedną z dwóch monet: 

 

 

 

Jeśli dwukrotnie rzucamy monetą z dwoma orłami, to na pewno wyrzucimy orły - wyrzucenie dwóch orłów w dwukrotnym rzucie niesymetryczną monetą jest zdarzeniem pewnym. 

 

 

Jeśli dwukrotnie rzucamy monetą symetryczną, to w każdym rzucie możemy wyrzucić orła z prawdopodobieństwem jedna druga (bo w rzucie monetą symetryczną wyrzucienie orła i reszki są jednakowo prawdopodobne). Możemy więc obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów w dwukrotnym rzucie symetryczną monetą:

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

Oblicz.

   

{premium}  

 

 

   

  

 

Samochód rozpoczął hamowanie. W ciągu pierwszej sekundy...

Samochód w ciągu pierwszej sekundy przejechał 20 km. W ciągu kolejnej przebył tylko 3/4 odległości przebytej w pierwszej sekundzie, czyli:

 

W ciągu kolejnej sekundy przebył znowu 3/4 odległości przebytej w drugiej sekundzie hamowania, czyli:

 {premium}

Odległości, które przejeżdżał samochód w kolejnych sekundach tworzą nam ciąg geometryczny taki, że:

 

 

 

 

Iloraz ciągu to:

 

 

Żeby obliczyć odległość, którą przejechał samochód w pierwszych 10 sekundach, musimy obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów powyższego ciągu geometrycznego. Zatem:

 

Przypomnijmy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

 

 

Podstawmy znane nam wartości:

 

Przekształćmy wyrażenie w nawiasie:

  

 

W przybliżeniu:

 

 

Odpowiedź: Samochód w ciągu pierwszych 10 sekund hamowania przejechał około 75,5 metra.

W tabeli podano, ile medali...

a) Obliczamy średnią liczbę medali zdobytych przez Polaków:{premium} (sumę zdobytych medali dzielimy przez ilość igrzysk - w tabeli mamy dane z 20 igrzysk)

`barx=(2+5+7+6+1+4+9+21+23+18+21+26+32+16+19+17+14+10+10+10)/20=271/20=13,55~~14` 


b) Porządkujemy niemalejąco ilość zdobytych medali: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 21, 23, 26, 32.

Mamy parzystą liczbę wyników, więc mediana jest średnią arytmetycznych dwóch środkowych wartości (10-tej i 11-tej):

`"Me"=(10+14)/2=24/2=12` 

Modą (dominantą) danych liczb jest D=10.


c) Obliczamy wariancję liczby zdobytych medali:

`sigma^2~~((1-14)^2+(2-14)^2+(4-14)^2+(5-14)^2+(6-14)^2+(7-14)^2+(9-14)^2+(10-14)^2+(10-14)^2+(10-14)^2+(14-14)^2+(16-14)^2+(17-14)^2+(18-14)^2+(19-14)^2+(21-14)^2+(21-14)^2+(23-14)^2+(26-14)^2+(32-14)^2)/20=(169+144+100+81+64+49+25+16+16+16+0+4+9+16+25+49+49+81+144+324)/20=1381/20=69,05` 


Obliczamy odchylenie standardowe zdobytych medali:

`sigma=sqrt(sigma^2)~~sqrt(69,05)~~8,31` 

W trójkącie o wierzchołkach...

Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

{premium}  

 

 

 

czyli

 

 

 

a więc:

 

 

Prosta zawierająca wysokość opuszczoną na podstawę AB(lub jej przedłużenie) musi być prostopadła do prostej AB. Prostą prostopadłą do prostej AB jest prosta:

 

bo iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1

Odpowiedź C