Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wartość bezwzględna

Ostatni temat w dziale równań i nierówności poświęcony jest wartości bezwzględnej - funkcji, którą poznaliśmy na samym początku, omawiając liczby rzeczywiste (wartość bezwzględna) .

Aby zabrać się do rozwiązywania takiego równania musimy przypomnieć sobie, czym właściwie była wartość bezwzględna. Dla przypomnienia: dostając liczbę dodatnią nic z nią nie robiła, dostając ujemną - zamieniała ją na dodatnią (czyli tak naprawdę "dostawiała" minusa przed nią). Na przykład:

$$|3| = 4$$
$$|-4| = -(-4) = 4$$

Równania z wartością bezwzględną mogą przybierać dwie postacie:
a) wartości bezwzględne występują obok siebie, np:
$$|x+3| + |x-2| = 6$$

b) wartość bezwzględna jest "zagnieżdżona" wewnątrz wartości bezwzględnej, np:
$$||x+1| - 2| = 3$$

Oczywiście te dwa typy mogą się łączyć w różnych konfiguracjach, warto jednak na początku omówić je na tych właśnie niezbyt zaawansowanych przykładach.

Zacznijmy od typu a), czyli równania $$|x+3| + |x-2| = 6$$.

Chcąc opuścić wartość bezwzględną musimy wiedzieć, jakiego znaku jest wyrażenie pod nią. Jako że musimy opuścić obie wartości bezwzględne naraz, musimy rozwiązywanie takiego równania rozbić na kilka przypadków.

Najpierw należy się zastanowić, dla jakich $$x$$-ów pierwsza i druga wartość bezwzględna będą dodatnie.

Pierwsza będzie dodatnia dla $$x$$ > $$-3$$, druga - dla $$x$$ > $$2$$. Obie będą więc dodatnie tylko wtedy, gdy $$x$$ > $$2$$.

Teraz zastanówmy się nad pozostałymi przypadkami. Jeśli $$2$$ >= $$x$$ > $$-3$$ - pierwsza będzie dodatnia, a druga ujemna. Jeżeli natomiast $$-3$$ >= $$x$$ - obie będą ujemne.

Opuśćmy zatem wartości bezwzględne dla przypadku 1 - obu dodatnich (jeśli liczba jest dodatnia, wartość bezwzględna nie zmienia jej znaku).

$$x+3 + x - 2 = 6$$
$$2x = 5$$
$$x = {5}/{2}$$

Uzyskaliśmy wynik, ale koniecznie trzeba sprawdzić, czy mieści się w naszym pierwszym przedziale. Nie wolno o tym zapominać - to bardzo częsty błąd w tego typu zadanich.

$${5}/{2}$$ > $$2$$

Okazuje się, że wynik mieści się w przedziale - uzyskaliśmy jedno rozwiązanie.

Czas na rozważenie kolejnych dwóch przypadków. Jeśli $$2$$ >= $$x$$ > $$-3$$, należy zmienić znak tylko drugiej wartości bezwzględnej, ponieważ kryła się pod nią liczba ujemna:

$$x+3 - x + 2 = 6$$
$$5 = 6$$

Jest to oczywista sprzeczność.

Trzeci przypadek $$-3$$ >= $$x$$ oznacza zmianę znaku obu wyrażeń pod wartością bezwzględną:

$$-x-3-x+2 = 6$$
$$-2x = 7$$
$$x = -{7}/{2}$$

Pozostaje jedynie sprawdzić:
$$-{7}/{2}$$ <= $$-3$$

Jest to prawda - uzyskaliśmy drugie rozwiązanie.

Metoda ta działa także w przypadku większej ilości wartości bezwzględnych - rozpatrujemy wtedy po prostu większą liczbę przedziałów.

Możemy przejść zatem do drugiej części: wartości bezwzględnej zagnieżdżonej wewnątrz innej:

$$||x+1| - 3| = 3$$

Metoda rozwiązywania takiego typu równań opiera się opuszczaniu wartości bezwzględnej od tej będącej w samym środku do tej na wierzchu. W tym przypadku oznacza to, że najpierw opuścimy $$|x+1|$$.

Rozbijamy to na dwa przypadki:
1) $$x$$ > $$-1$$ i wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$$|x+1 - 2| =3$$
$$|x-2| =3$$

Znowu musimy rozbić to na dwa przypadki, pamiętając jednak, że w tym momencie rozpatrujemy jedynie $$x$$-y większe od $$-1$$.

1.1) $$x$$ > $$2$$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$$x-2 = 3$$
$$x = 5$$

Uzyskaliśmy rozwiązanie i mieści się ono w naszych przedziałach $$>-1$$ i $$>2$$.

1.2) $$x$$ <= $$2$$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$$-x-2 = 3$$
$$x = -1$$

Uzyskaliśmy rozwiązanie, ale nie mieści się ono w naszych przedziałach - nie jest $$>-1$$. Odrzucamy je.

2) $$x <= -1$$ i wartość bezwzględna zmienia znak
$$|-x-1-3| = 3$$
$$|-x-4| = 3$$

Ponownie rozbijamy na dwa przypadki:
2.1) $$x$$ < $$-4$$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$$-x-4 =3$$
$$x = -7$$

Rozwiązanie spełnia oba kryteria.
2.2) $$x$$ > $$-4$$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$$x + 4 = 3$$
$$x = -1$$

To rozwiązanie także spełnia oba kryteria.

To, co zrobiliśmy w rozwiązaniu, można czytelnie pokazać na schemacie:

1


Warto jeszcze wspomnieć, że nie ma znaczenia to, w którym przypadku umieścimy przypadek, gdy wartość bezwzględna jest równa zero - zależy to jedynie od naszego wyboru. Dobrze jest jednak mieć stały nawyk korzystania ze znaku "większy-równy" albo "mniejszy-równy" - będziemy wtedy mieli gwarancję, że nie zapomnimy uwzględnić tego w rozwiązaniu.

Rozwiązywanie bardziej złożonych równań z wartością bezwzględną to po prostu stosowanie tych dwóch metod - trzeba jedynie pamiętać, aby:

1) opusczać wszystkie wartości bezwzględne stojące "na tym samym poziomie" jednocześnie
2) przed opuszczeniem wartości zewnętrznej zająć się wartością wewnątrz

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy zdarzenia A, B mogą się wykluczać?

`a)\ P(A)+P(B)=4/5+1/4=16/20+5/20=21/20>1` 

Z otrzymanej sprzeczności wynika, że zdarzenia A i B nie mogą się wykluczać. 

 

`b)\ P(A)+P(B)=2/3+1/5=10/15+3/15=13/15<1` 

Prawdopodobieństwo przyjmuje wartości dodatnie nie większe niż 1, więc nie otrzymaliśmy sprzeczności. Zdarzenia A i B mogą się więc wykluczać. 

Wskaż warunek, który spełniają wszystkie ...

`-x^2+x+6<0` 

 

`Delta=1^2-4*(-1)*6=1+24=25`

`x_1=(-1-sqrt(25))/(2*(-1))=(-1-5)/(-2)=(-6)/(-2)=6/2=3`  

`x_2=(-1+sqrt(25))/(2*(-1))=(-1+5)/(-2)=4/(-2)=-4/2=-2`  

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od `0` 

`-1<0` 

dlatego ramiona paraboli są skierowane do dołu.

 

 

Odczytujemy {premium}z wykresu  dla jakich `x` nierówność `-x^2+x+6<0`  jest spełniona

`x in (-oo, \ -2) uu (3, \ oo)`. 

 

Odpowiedź: D

Wykonaj działania...

`a)\ (6a^3)/(-a^2) * (a^5)/(18a) : 8/(6a^6)=(-strike(6a)^1)* (a^5)/(strike(18a)_3) * (6a^6)/8=-(6a^(11))/24=-(a^(11))/4` 

`b)\ (36a^3b^5)/(-a) : (strike(12a^2b)^(6a))/(strike(10ab^2)_(5b)) * (-a^4)/(15b^4)=(-strike(36a^2b^5)^(6ab^5))*(5b)/(strike(6a)_1)*(-a^4)/(15b^4)=(30a^5b^6)/(15b^4)=2a^5b^2`

`c)\ (2(x-3))/(x^2+4x+4) * (x^2-4)/(x^2) : (x^3-3x^2)/(2x+4)= 2strike((x-3))^1/(strike((x+2)^2)_1) * ((x-2)strike((x+2))^1)/(x^2) * (2strike((x+2))^1)/(x^2strike((x-3))_1)=(4x-8)/(x^4)`

Wyznacz wszystkie wartości parametru m...

Wyznaczamy dziedzinę:

`x+3!=0<=>x!=-3` 

`D=bbR-{-3}` 

Przekształcamy podane równanie do równania kwadratowego:

`(x^2-(2m+1)x+m^2+2m)/(x+3)=0\ "/"*(x+3)!=0` 

`x^2-(2m+1)x+m^2+2m=0`  

Równanie wymierne

`(x^2-(2m+1)x+m^2+2m)/(x+3)=0`        

ma dwa różne rozwiązania jednakowych znaków wtedy i tylko wtedy, gdy równanie kwadratowe

`x^2-(2m+1)x+m^2+2m`

ma dwa różne rozwiązania jednakowych znaków różne od `-3.` 

Jeśli oznaczymy lewą stronę równania kwadratowego jako `f(x),` czyli:

`f(x)=x^2-(2m+1)x+m^2+2m,` 

to otrzymamy układ następujących warunków:

`{(Delta>0),(f(-3)!=0),(x_1*x_2>0):}` 

Obliczamy:

`Delta=(2m+1)^2-4(m^2+2m)=4m^2+4m+1-4m^2-8m=1-4m` 

`f(-3)=9+3(2m+1)+m^2+2m=9+6m+3+m^2+2m=m^2+8m+12` 

`x_1*x_2=m^2+2m` 

Mamy:

`{(Delta>0),(f(-3)!=0),(x_1*x_2>0):}<=>{(1-4m>0),(m^2+8m+12!=0),(m^2+2m>0):}<=>{(1>4m\ "/":4),(m^2+8m+12!=0),(m(m+2)>0):}<=>{(1/4>m),(m^2+8m+12!=0),(m(m+2)>0):}` 

Szukamy miejsc zerowych drugiego równania w układzie:

`m^2+8m+12=0` 

`m^2+2m+6m+12=0` 

`m(m+2)+6(m+2)=0` 

`(m+2)(m+6)=0` 

`m=-2\vv\ m=-6` 

Szukamy rozwiązań nierówności `m(m+2)>0` 

`m(m+2)>0` 

`(m>0^^m+2>0)\ vv\ (m< 0^^m+2< 0)`       

`(m>0^^m> -2)\ vv\ (m< 0^^m< -2)`

`m>0\ vv\ m< -2` 

`m in(-oo,-2)uu(0,+oo)` 

Mamy więc:

`{(1/4>m),(m^2+8m+12!=0),(m(m+2)>0):}<=>{(m< 1/4),(m!=-2\ ^^\ m!=-6),(m in(-oo,-2)uu(0,+oo)):}<=>m in (-oo,-6)uu(-6,-2)uu(0,\ 1/4)` 

Odp. Równanie ma dwa różne pierwiastki jednakowych znaków dla `m in (-oo,-6)uu(-6,-2)uu(0,\ 1/4).`  

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych ...

`a)` 

`alpha=135^@` 

`180^@-alpha=45^@` 

`sin (180^@-alpha)=sin alpha=sin 45^@` 

`"Ramię końcowe kąta"\ alpha"\ leży na prostej y=x, gdzie"\ x>0".\ Wybierzmy punkt P(1,1)".` 

`r=sqrt(1^2+1^2)=sqrt2` 

`sin alpha=1/sqrt2=ul(sqrt2/2=sin(180^@-alpha)`   

`cos ^2 alpha+sin ^2 alpha=1` 

`cos^2alpha=1-2/4=1/2` 

`"Dla kata ostrego wszystkie funkcje trygonometryczne przyjmują wartości nieujemne."` 

`cosalpha=1/sqrt2=ul(sqrt2/2=-cos (180^@-alpha)`   

`cos 135^@=-sqrt2/2`

`tg alpha=sin alpha/cos alpha=(sqrt2/2)/(sqrt2/2)=ul(1=-tg\ (180^@-alpha)`     

`tg 135^@=-1`  

 

`b)` 

`alpha=150^o` 

`180^o-alpha=30^o` 

`sin alpha=sin (180^o-alpha)` 

`sin alpha=1/2

`sin(180^o-alpha)=sin150^o=1/2`    

`cos alpha=cos30^o=sqrt3/2=-cos (180^o-alpha)`  

`cos150^o=-sqrt3/2`

``tg\ alpha=(1/2)/(sqrt3/2)=1/sqrt3=tg\ (180^o-alpha)`      

`tg\ 150^o=tg\ (180^o-alpha)=-1/sqrt3`   

   

Przekrój osiowy stożka

`a)` 

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, którego podstawa jest średnicą podstawy stożka a ramiona są tworzącymi stożka. 

Jeśli trójkąt jest równoboczny, to średnica podstawy stożka i jego tworząca mają jednakową długość. Oznaczmy tę długość jako a. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać:

`(a^2sqrt3)/4=16sqrt3\ \ \ |*4` 

`a^2sqrt3=64sqrt3\ \ \ |:sqrt3` 

`a^2=64` 

`a=8\ [cm]` 

 

Wiemy zatem, że tworząca stożka i średnica podstawy stożka mają 8 cm. Promień podstawy stożka ma więc 4 cm (jest 2 razy krótszy od średnicy). 

`l=8\ [cm]` 

`r=4\ [cm]` 

 

Obliczamy, ile wynosi objętość stożka:

`V=1/3*pi*4^2*8=1/3*pi*16*8=128/3pi\ [cm^2]` 

 

`b)`  

Oznaczmy długość promienia stożka jako r. Wiemy, ile wynosi pole podstawy stożka, więc możemy zapisać:

`pir^2=27pi\ \ \ |:pi` 

`r^2=27` 

`r=sqrt27=sqrt9*sqrt3=3sqrt3\ [cm]` 

 

Wiemy, ile wynosi objętość stożka. Oznaczmy wysokość stożka jako h. Możemy zapisać równanie:

`1/3*pi*(3sqrt3)^2*h=27pi`  

`1/3*pi*3^2*sqrt3^2*h=27pi` 

`1/strike3^1*pi*9*strike3^1*h=27pi` 

`9pih=27pi\ \ \ |:9pi` 

`h=3\ [cm]` 

 

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wiemy, że tangens kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej. 

`"tg"alpha=3/(3sqrt3)=1/(sqrt3)=sqrt3/(sqrt3*sqrt3)=(sqrt3)/3,\ \ \ "stąd"\ \ \ alpha=30^o`  

 

Wykres funkcji...

`A. \ P=(pi/4, -3)` 

`f(pi/4) = -3` 

`sin(pi/4+3/4pi)-4=-3` 

`sin pi = 1` 

`0=1` 

Sprzeczność, a więc wykres funkcji nie przechodzi przez punkt P.

 

`B. \ Q=((7pi)/12, -3 1/2)` 

`f((7pi)/12)=-7/2` 

`sin((7pi)/12 + 3/4pi) -4=-7/2` 

`sin((7pi)/12 + 9/12 pi) = 1/2` 

`sin(16/12 pi) = 1/2` 

`sin(pi + 1/3pi) = 1/2` 

`-sin(1/3pi) = 1/2` 

`-sqrt3/2 = 1/2` 

Sprzeczność, a więc wykres funkcji nie przechodzi przez punkt Q.

 

`C. \ R=((3pi)/4, -4)` 

`f((3pi)/4) = -4` 

`sin((3pi)/4 + 3/4pi) - 4 = -4` 

`sin((6pi)/4 ) = 0` 

`sin(pi + 1/2 pi) = 0` 

`-sin ( 1/2pi) = 0` 

`-1=0` 

Sprzeczność, a więc wykres funkcji nie przechodzi przez punkt R.

 

`D. S=((5pi)/12, -4 1/2)` 

`f((5pi)/12)-4 =-4 1/2` 

`sin ((5pi)/12 + 3/4pi) = -1/2` 

`sin ( 14/12 pi) = -1/2` 

`sin(pi + 1/6pi) = -1/2` 

`-sin(1/6pi) = -1/2` 

`-1/2 = -1/2` 

Wykres funkcji przechodzi przez punkt S.

Odpowiedź D

Wykaż, że równość...

`L = (x^2+y^2)(z^2+p^2) = x^2z^2 + x^2p^2 + y^2 z^2 + y^2 p^2  = x^2z^2 + p^2y^2 +x^2p^2 + y^2 z^2` 

`=x^2z^2 + p^2y^2 + x^2p^2 + y^2 z^2 +2xzpy - 2xzpy = x^2z^2+2*xz*py+p^2y^2 + x^2p^2 -2xp*yz + y^2z^2` 

`=(xz+py)^2 + (xp+yz)^2 = P` 

Dany jest wielomian

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Makysmalna liczba pierwiastków całkowitych wielomianu jest więc taka sama, jak liczba dzielników wyrazu wolnego wielomianu. 

Wyraz wolny wielomianu w jest równy 42. Wypiszmy dzielniki całkowite liczby 42:

`-42, \ -21,\ -14,\ -7,\ -6,\ -3,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 14,\ 21,\ 42`

Tych dzielników jest 16, więc prawidłowa jest odpowiedź C. 

Rozłóż sumę algebraiczną na czynniki...

`a) \ x^2-7y^2 = x^2 - (sqrt7y)^2 = (x-sqrt7y)(x+sqrt7y)` 

 

`b) \ 4x^2- 9/16y^2 = (2x)^2 -(3/4y)^2 = (2x-3/4y)(2x+3/4y)` 

 

`c) \ 25/81a^2-169/225b^2 = (5/9a)^2 - (13/15 b)^2 = (5/9a - 13/15b)(5/9a+13/15b)` 

 

`d) \ 18p^2 - 24q^2 = (sqrt18p)^2 - (sqrt24q)^2 = (3sqrt2p)^2-(2sqrt6q)^2 = (3sqrt2p-2sqrt6q)(3sqrt2p+2sqrt6q)` 

 

`e) \ x^2+6x+9 = x^2+2*x*3+3^2 = (x+3)^2` 

 

`f) \ x^4y^4 - 8(xy)^2 + 16 = ((xy)^2)^2 - 2*(xy)^2*4 + 4^2 = ((xy)^2-4)^2 = ((xy-2)(xy+2))^2 = (xy-2)^2(xy+2)^2`