Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wartość bezwzględna

Ostatni temat w dziale równań i nierówności poświęcony jest wartości bezwzględnej - funkcji, którą poznaliśmy na samym początku, omawiając liczby rzeczywiste (wartość bezwzględna) .

Aby zabrać się do rozwiązywania takiego równania musimy przypomnieć sobie, czym właściwie była wartość bezwzględna. Dla przypomnienia: dostając liczbę dodatnią nic z nią nie robiła, dostając ujemną - zamieniała ją na dodatnią (czyli tak naprawdę "dostawiała" minusa przed nią). Na przykład:

$|3| = 4$
$|-4| = -(-4) = 4$

Równania z wartością bezwzględną mogą przybierać dwie postacie:
a) wartości bezwzględne występują obok siebie, np:
$|x+3| + |x-2| = 6$

b) wartość bezwzględna jest "zagnieżdżona" wewnątrz wartości bezwzględnej, np:
$||x+1| - 2| = 3$

Oczywiście te dwa typy mogą się łączyć w różnych konfiguracjach, warto jednak na początku omówić je na tych właśnie niezbyt zaawansowanych przykładach.

Zacznijmy od typu a), czyli równania $|x+3| + |x-2| = 6$.

Chcąc opuścić wartość bezwzględną musimy wiedzieć, jakiego znaku jest wyrażenie pod nią. Jako że musimy opuścić obie wartości bezwzględne naraz, musimy rozwiązywanie takiego równania rozbić na kilka przypadków.

Najpierw należy się zastanowić, dla jakich $x$-ów pierwsza i druga wartość bezwzględna będą dodatnie.

Pierwsza będzie dodatnia dla $x$ > $-3$, druga - dla $x$ > $2$. Obie będą więc dodatnie tylko wtedy, gdy $x$ > $2$.

Teraz zastanówmy się nad pozostałymi przypadkami. Jeśli $2$ >= $x$ > $-3$ - pierwsza będzie dodatnia, a druga ujemna. Jeżeli natomiast $-3$ >= $x$ - obie będą ujemne.

Opuśćmy zatem wartości bezwzględne dla przypadku 1 - obu dodatnich (jeśli liczba jest dodatnia, wartość bezwzględna nie zmienia jej znaku).

$x+3 + x - 2 = 6$
$2x = 5$
$x = {5}/{2}$

Uzyskaliśmy wynik, ale koniecznie trzeba sprawdzić, czy mieści się w naszym pierwszym przedziale. Nie wolno o tym zapominać - to bardzo częsty błąd w tego typu zadanich.

${5}/{2}$ > $2$

Okazuje się, że wynik mieści się w przedziale - uzyskaliśmy jedno rozwiązanie.

Czas na rozważenie kolejnych dwóch przypadków. Jeśli $2$ >= $x$ > $-3$, należy zmienić znak tylko drugiej wartości bezwzględnej, ponieważ kryła się pod nią liczba ujemna:

$x+3 - x + 2 = 6$
$5 = 6$

Jest to oczywista sprzeczność.

Trzeci przypadek $-3$ >= $x$ oznacza zmianę znaku obu wyrażeń pod wartością bezwzględną:

$-x-3-x+2 = 6$
$-2x = 7$
$x = -{7}/{2}$

Pozostaje jedynie sprawdzić:
$-{7}/{2}$ <= $-3$

Jest to prawda - uzyskaliśmy drugie rozwiązanie.

Metoda ta działa także w przypadku większej ilości wartości bezwzględnych - rozpatrujemy wtedy po prostu większą liczbę przedziałów.

Możemy przejść zatem do drugiej części: wartości bezwzględnej zagnieżdżonej wewnątrz innej:

$||x+1| - 3| = 3$

Metoda rozwiązywania takiego typu równań opiera się opuszczaniu wartości bezwzględnej od tej będącej w samym środku do tej na wierzchu. W tym przypadku oznacza to, że najpierw opuścimy $|x+1|$.

Rozbijamy to na dwa przypadki:
1) $x$ > $-1$ i wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$|x+1 - 2| =3$
$|x-2| =3$

Znowu musimy rozbić to na dwa przypadki, pamiętając jednak, że w tym momencie rozpatrujemy jedynie $x$-y większe od $-1$.

1.1) $x$ > $2$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$x-2 = 3$
$x = 5$

Uzyskaliśmy rozwiązanie i mieści się ono w naszych przedziałach $>-1$ i $>2$.

1.2) $x$ <= $2$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$-x-2 = 3$
$x = -1$

Uzyskaliśmy rozwiązanie, ale nie mieści się ono w naszych przedziałach - nie jest $>-1$. Odrzucamy je.

2) $x <= -1$ i wartość bezwzględna zmienia znak
$|-x-1-3| = 3$
$|-x-4| = 3$

Ponownie rozbijamy na dwa przypadki:
2.1) $x$ < $-4$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$-x-4 =3$
$x = -7$

Rozwiązanie spełnia oba kryteria.
2.2) $x$ > $-4$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$x + 4 = 3$
$x = -1$

To rozwiązanie także spełnia oba kryteria.

To, co zrobiliśmy w rozwiązaniu, można czytelnie pokazać na schemacie:

1


Warto jeszcze wspomnieć, że nie ma znaczenia to, w którym przypadku umieścimy przypadek, gdy wartość bezwzględna jest równa zero - zależy to jedynie od naszego wyboru. Dobrze jest jednak mieć stały nawyk korzystania ze znaku "większy-równy" albo "mniejszy-równy" - będziemy wtedy mieli gwarancję, że nie zapomnimy uwzględnić tego w rozwiązaniu.

Rozwiązywanie bardziej złożonych równań z wartością bezwzględną to po prostu stosowanie tych dwóch metod - trzeba jedynie pamiętać, aby:

1) opusczać wszystkie wartości bezwzględne stojące "na tym samym poziomie" jednocześnie
2) przed opuszczeniem wartości zewnętrznej zająć się wartością wewnątrz

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstaw na rysunku taki przekrój...

a) {premium}


b) |AI|=|CI|


c) AC || IJ

Używając symbolu wartości ...

     {premium}

 

 

 

Napisz równania prostych zawierających...

 

Dwusieczna kąta to zbiór punktów równo odległych od ramion kąta, zatem:

 {premium}

 

 

 

zatem:

  lub  

    lub      

    lub      


 

Dwusieczna kąta to zbiór punktów równo odległych od ramion kąta, zatem:

 

 

 

 

 

zatem:

   lub  

    lub      

    lub      

    lub      

    lub      

Dla jakiej wartości a ...

Podstawiając współrzędne punktu  do równania funkcji , wyliczymy dla jakich wartości  

punkt  należy do wykresu tej funkcji.{premium}

Dla  punkt  należy do wykresu funkcji .

 

Odpowiedź: D    

Dla jakich wartości parametru m równanie...

 

 


Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy Δ>0:{premium}

 

 

 

 

 


Pierwiastki są tego samego znaku, gdy ich iloczyn jest dodatni. Korzystając ze wzorów Viete'a, otrzymujemy:

 

 

 

 

 


Pierwiastki są ujemne, gdy są tego samego znaku (warunek (2)) i gdy ich suma jest ujemna. Korzystając ze wzorów Viete'a, otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 


Znalezione m musi spełniać jednocześnie warunki (1), (2) i (3), więc bierzemy część wspólną znalezionych rozwiązań:

 

 

 

Zatem:

 


 

Wyznacz wartość k...

 

Zauważmy, że:

 

A więc:

{premium}

 

Zauważmy, że:

 

A więc:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

A więc:

 

 

Zatem:

 

 

 

 

W trapezie prostokątnym o polu 90 ...

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

            {premium}

oraz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem długość krótszej podstawy:

Długość dłuższej podstawy:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

Wyznacz najmniejszą i największą ...

 

 

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli.

    {premium}

 

 

 

Wyznaczmy wartości funkcji na końcach przedziału.

 

 

 

Wartość największa:   dla argumentu  

Wartość najmniejsza   dla argumentu  


 

 

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli.

 

Zauważmy, że  

 

Wyznaczmy wartości funkcji na końcach przedziału.

 

  

 

Wartość największa:   dla argumentu  

Wartość najmniejsza   dla argumentu  

Cztery grupy osób spytano, ile razy w miesiącu chodzą ...

Odchylenie standardowe jest tym większe, im {premium}bardziej dane różnią się od ich średniej arytmetycznej, więc najniższą wartość odchylenia standardowego ma zestawy danych w grupie czwartej.


Odpowiedź: D

Średnie miesięczne ...

Oznaczmy:

 

 

Z treści zadania wiadomo, że: 

 

 

Wiemy zatem, że suma wynagrodzeń 20 pracowników jest równa 64 000 zł. {premium}

 

 

Wiemy, że zatrudniono nowego pracownika. Oznaczmy jego miesięczne zarobki jako y. 

Wiemy, że średnie miesięczne wynagrodzenie w tej firmie jest o 2% wyższe niż poprzednio. 

  

Wiemy, ile wynosi suma miesięcznych wynagrodzeń 20 pracowników, więc możemy postawić:

 

 

 

 

 

Odp. Nowy pracownik zarabia 4544 zł miesięcznie.


 

Wiemy, że zatrudniono nowego pracownika. Oznaczmy jego miesięczne zarobki jako y. 

Wiemy, że średnie miesięczne wynagrodzenie w tej firmie jest o 1% niższe niż poprzednio. 

 

 

 

 

 

 

Odp. Nowy pracownik zarabia 2528 zł miesięcznie.