Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wartość bezwzględna

"Wartość bezwzględna" to funkcja określona na całym przedziale liczb rzeczywistych oznaczana symbolem $$|x|$$ albo skrótem $$abs(x)$$ (z ang. absolute).

Definiuje się ją jako:

2

Inaczej mówiąc, przekształca każdą liczbę, którą dostanie na liczbę nieujemną.
Kilka przykładów, które mogą pomóc to zrozumieć (każdy z nich bezpośrednio wynika ze wzoru):
  • $$|-2| = 2$$
  • $$|-1/3| = 1/3$$
  • $$|4| = 4$$
  • $$|0| = 0$$
  • $$|5-9| = |-4| = 4$$

Ćwiczenie 1. Oblicz:

a) $$|-5|$$

ponieważ $$-5$$ < $$0$$, to wartość bezwzględna zmienia znak: $$|-5| = -(-5) = 5%

b) $$|1/2|$$

$${1}/{2}$$ jest oczywiście większe od zera, więc opuszczamy wartość bezwzględną nie zmieniając znaku:
$$|{1}/{2}| = {1}/{2}$$

c) $$|a^2|$$

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze większy od zera, więc wartość bezwzględna nie zmienia znaku:
$$|a^2| = a^2$$



Ćwiczenie 2. Narysuj wykres funkcji wartości bezwzględnej.

funkcja
$$f(x)=|x|$$



Można zauważyć, że $$|-x| = |x|$$, czyli wewnątrz wartości bezwzględnej możemy swobodnie zmienić znak całego wyrażenia na przeciwny.
Jeśli na przykład mamy $$|5-9|$$, to jest to to samo, co $$|-(5-9)|$$, czyli $$|9-5|$$.

Wartość bezwzględna może także występować w równaniach i nierównościach.
Rozwiązujemy je tak samo jak w przypadku innych takich zadań, jednak gdy chcemy "opuścić" wartość bezwzględną, musimy rozważyć dwa przypadki:
 
  1. wartość pod nią jest dodatnia
  2. wartość pod nią jest ujemna

Później po prostu rozwiązujemy zadanie dwutorowo dochodząc do dwóch wyników.

Na początek spójrzmy na równanie $$|x| = 10$$. Aby je rozwiązać, musimy rozważyć dwa przypadki: $$x$$ może być albo dodatni, albo ujemny (oczywiście nie może być zerem).

Jeśli $$x$$ > $$0$$ to funkcja wartości bezwzględnej nie zmienia jego znaku i otrzymujemy $$x = 10$$.
Jeśli x jest ujemny, to wartość bezwzględna zmienia znak (czyli "wstawia minus"") i dostajemy $$–x = 10$$ czyli $$x=-10$$;

Bardziej rozbudowany przykład: mamy równanie $$|2x - 4| = 9$$.

Aby je rozwiązać, znowu trzeba zastanowić się co tak naprawdę kryje się pod wartością bezwzględną - jeśli jest to liczba ujemna, to zmieniamy jej znak.

Przypadek 1:
$$2x - 4$$ > $$0$$
$$2x - 4 = 9$$
$$2x = 13$$
$$x = 6,5$$

Przypadek 2:
$$2x – 4$$ < $$0$$
$$|2x – 4| = -(2x - 4) = 4 - 2$$
$$4 – 2x = 9$$
$$2x = -5$$


Ćwiczenie 3.
Rozwiąż równania:

a) $$|x + 5| = 7$$

Rozbijamy to na dwa przypadki:
I. $$x + 5$$ > $$0$$ wynika z tego, że $$x$$ > $$-5$$.

Wartość bezwzględna nie zmienia znaku:
$$x + 5 = 7$$
$$x = 2$$
Otrzymaliśmy rozwiązanie, które spełnia warunek $$x > -5$$.


II. $$x + 5$$ <= $$0$$
wynika z tego, że $$x$$ <= $$-5$$.
Wartość bezwzględna zmienia znak:
$$-x - 5 = 7$$
$$x = -12$$

Otrzymaliśmy rozwiązanie, które spełnia warunek $$x$$ <= $$-5$$.

b) $$|4x - 8| = 16$$

W tym przykładzie postępujemy analogicznie jak w poprzednim.
I. $$4x - 8$$ > $$0$$, czyli $$x$$ > $$2$$
Nie zmieniamy znaku:
$$4x - 8 = 16$$
$$4x = 24$$
$$x = 6$$ - rozwiązanie spełnia warunek.


II. $$4x - 8$$ =< $$0$$, czyli $$x$$ =< $$2$$
Zmieniamy znak:
$$-4x + 8 = 16$$
$$4x = -8$$
$$x = -2$$ - rozwiązanie spełnia warunek.

c) $$|x^2 - 3x + 2| = 6$$

Ponownie rozbijamy na dwa przypadki: I. $$x^2 -3x + 2$$ > $$0$$, czyli $$(x-1)(x-2)$$ > $$0$$. Oba czynniki muszą być tego samego znaku, więc $$x ∈ (-∞, 1) ∪ (2, ∞)$$.

Rozwiązując dalej otrzymujemy:
$$x^2 - 3x + 2 = 2$$
$$x^2 - 3x = 0$$
$$x(x-3) = 0$$

Rozwiązaniami są liczby $$x = 0$$ i $$x = 3$$. Mieszczą się one w naszych przedziałach.

II. $$x^2 -3x + 2$$ <= $$0$$, czyli $$(x-1)(x-2)$$ <= $$0$$.
Oba czynniki muszą być różnego znaku, więc $$x ∈ < 1, 2 >$$

Rozwiązując dalej otrzymujemy:
$$-x^2 + 3x - 2 = 2$$
$$-x^2 + 3x - 4 = 0$$
Równanie to nie ma rozwiązań.

Jedynymi rozwiązaniami są więc liczby z przypadku I.



Inna ciekawa interpretacja wartości bezwzględnej jest taka, że określa ona odległość dwóch liczb na osi liczbowej.
1

Weźmy na przykład $$|x - 4|$$ jest to po prostu różnica między tymi dwoma liczbami objęta „gwarancją dodatności”. Wiadomo, że odległość między dwoma miejscami nie może być liczbą ujemną, więc wartość bezwzględna pozwala nam nie przejmować się, czy odejmujemy od większej liczby mniejszą, czy na odwrót – ona zawsze da nam liczbę dodatnią.


Warto także zanotować, że $$|x| = |x - 0|$$ - czyli jest to po prostu odległość od $$0$$ do $$x$$ (nawet jeśli liczba jest ujemna, odległość od zera jest na pewno dodatnia).


Czas teraz na najbardziej zaawansowany aspekt tego działu, czyli rozwiązywanie nierówności zawierających wartość bezwzględną.

Ogólnie rzecz biorąc rozwiązywanie nierówności nie różni się zbytnio od rozwiązywania równań: główna różnica pojawia się w momencie opuszczania wartości bezwzględnej. O ile w przypadku równań nie było możliwości zmiany znaku, to w tutaj jak najbardziej się to zdarza.

W momencie, kiedy pozbywamy się wartości bezwzględnej i przechodzimy do rozważania dwóch przypadków, w każdym z nich pojawia się nierówność w inną stronę, tzn. jeśli wyjściowo mieliśmy np $$|x| >3$$, to po zamianie mamy:
1) zamieniamy $$|x|$$ na $$x$$: $$x$$ > $$4$$
2) zamieniamy $$|x|$$ na $$-x$$: $$-x$$ > $$4$$, czyli $$x$$ < $$-4$$ (przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną odwracamy jej znak)

Przykład 1.
$$|3x - 2|$$ > $$x$$

1) $$3x - 2$$ > $$0$$, czyli
$$3x - 2$$ > $$x$$
$$2x$$ > $$2$$
$$x$$ > $$1$$

2) $$3x - 2$$ < $$0$$, czyli
$$-(3x - 2)$$ > $$x$$
$$-3x + 2$$ > $$x$$
$$-4x$$ > $$-2$$
$$x$$ < $$1/2$$


Można także, zamiast męczyć się z równaniami, po prostu postarać się to "zrozumieć", korzystając z pojęcia odległości.

Zacznjmy od prostego przykładu: $$|x - 4|$$ < $$5$$. Jak możemy zinterpretować ten napis korzystając z nabytej wiedzy?

Oznacza on tyle, że odległość między $$x$$ a $$4$$ jest mniejsze od 5, czyli że $$x$$ jest oddalony od $$4$$ o nie więcej niż $$5$$. Łatwo stwierdzić, że w takim razie $$x$$ < $$9$$ i $$x$$ > $$1$$.

rys2


Przykład 2.
$$|100 - x|$$ > $$30$$.
Interpretując: mamy znaleźć takie wszystkie $$x$$, żeby odległość między każdym z nich a liczbą $$100$$ była większa od trzydziestu. Znowu łatwo dostrzec, że w takim razie $$x$$ < $$70$$ i $$x$$ > $$130$$.


rys3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich wartości...

`a) \ a_1 = 1, \ q=3x`

Zbieżny dla:

`|3x|<1`

`-1<3x<1 \ \ \ |:3`

`-1/3<x<1/3`

Rozbieżny dla:

`|3x| >= 1`

`3x >=1 \ \ vv \ \ 3x <= -1`

`x >=1/3 \ \ vv \ \ x <=-1/3`

 

 

`b) \ a_1 = 1, \ q = -1/2x`

Zbieżny dla:

`|-1/2x| < 1`

`|1/2x| < 1`

`-1 < 1/2x < 1 \ \ \ |*2`

`-2 < x < 2`

Rozbiezny dla:

`|-1/2x| >= 1`

`|1/2x| >= 1`

`1/2x >= 1 \ \ vv \ \ 1/2x <= -1`

`x >= 2 \ \ vv \ \ x <= -2`            

Dana jest funkcja kwadratowa ...

`a)` 

`f(x)=x^2-2x+3` 

`a_n=f(n+1)-f(n)=(n+1)^2-2(n+1)+3-n^2+2n-3=n^2+2n+1-2n-2+3-n^2+2n-3=2n-1`

`r=a_(n+1)-a_n=2n+2-1-2n+1=2`  

`"Różnica ciągu jest stałą dla dowolnego n naturalnego. Ciąg jest arytmetyczny."` 

 

`b)` 

`f(x)=ax^2+bx+c` 

`a_n=f(n+1)-f(n)` 

`r=a_(n+1)-a_n=f(n+2)-f(n+1)-f(n+1)+f(n)=f(n+2)-2f(n+1)+f(n)=` 

`=a(n+2)^2+b(n+2)+c-2[a(n+1)^2+b(n+1)+c]+an^2+bn+c=` 

`an^2+4an+4a+bn+2b+c-2[an^2+2an+a+bn+b+c]+an^2+bn+c=` 

`=2a` 

`a in mathbbR implies 2a\ "jest stałe"`   

`"Ciąg jest arytmetyczny, ponieważ różnica jest stała."`   

Prostokątny trawnik ma powierzchnię 216 m² ...

`a)` 

`x,\ x+6\ \ \ -\ \ \ wymiary\ trawnika`  

`x>0\ \ \ i\ \ \ x+6>0`  

`x>0\ \ \ \ \ i \ \ \ x> -6\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (0,\ +infty)))`   

`x*(x+6)=216`  

`x^2+6x=216\ \ \ |-216`  

`x^2+6x-216=0`  

  

`Delta=6^2-4*1*(-216)=36+864=900` 

`sqrtDelta=sqrt900=30` 

`x_1=(-6-30)/2notin(0,\ +infty)` 

`x_2=(-6+30)/2=12in(0,\ +infty)` 

`x=12,\ \ \ x+6=18 

 

ODP: Trawnik ma wymairy 18 m x 12 m.

 

`b)` 

`x,\ x+15\ \ -\ \ wymiary \ trawnika` 

`x>0\ \ \ i\ \ \ x+15>0` 

`x>0\ \ \ i\ \ \ x> -15\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (0,\ +infty)))` 

 

`x*(x+15)=216` 

`x^2+15x=216\ \ \ |-216` 

 `x^2+15x-216=0` 

`Delta=15^2-4*1*(-216)=` `225+864=` `1089` 

`sqrtDelta=sqrt1089=33` 

`x_1=(-15-33)/2notin(0,\ +infty)` 

`x_2=(-15+33)/2=18/2=9in(0,\ +infty)` 

`x=9,\ \ \ x+15=9+15=24` 

 

ODP: Trawnik ma wymiary 9 m x 24 m. 

Równoległobok...

a)

Odcinki AB i CD są równoległe, a więc:

`/_ABF = /_BCE`

Gdyż są to kąty odpowiadające.

Kolejne kąty równe to:

`/_BEC = /_ AFB = 90^o`

A więc ostatnie kąty również są równe:

Tak więc na podstawie cechy Kąt-Kąt-Kąt trójkąty BCE i ABF są podobne.

 

b)

`|BC|=4`

`|EB|=3`

Z twierdzenia pitagorasa:``

`|EB|^2 + |CE|^2 = |BC|^2`

` ` `3^2 + |CE|^2 = 4^2`

`|CE|^2 = 16-9`

`|CE| = sqrt7`

 

Pole trójkąta BCE:

`P=1/2 ah = 1/2 * |CE| * |EB| = 1/2 * sqrt7 * 3 = 3/2 sqrt7`

Obwód trójkąta BCE:

`Obw = |EB|+|CE|+|BC| = 3+sqrt7 + 4 = 7 + sqrt7`

 

Obliczmy skalę podobieństwa trójkątów BCE i ABF:

`|AB|=12`

 

`|BC|=4 `

`|AB|/|BC| = 12/4 = 3 = k`

 

 

 

Pole trójkąta ABF:

`P*k^2 = 3/2 sqrt7 * 3^2 = 3/2 sqrt7 * 9 = 27/2 sqrt7`

Obwód trójkąta ABF:

`Obw * k = (7 + sqrt7) *k = (7 + sqrt7) *3 = 21 + 3 sqrt7`

Oblicz.

`"a)"\ log_(6)8+log_(6)27=log_(6)(8*27)=log_(6)216=3` 

`"b)"\ log4+log25=log(4*25)=log100=2` 

`"c)"\ log_(3)18+log_(3)4,5=log_(3)(18*4,5)=log_(3)81=4` 

`"d)" log_(1/2)48+log_(1/2)1/3=log_(1/2)(48*1/3)=log_(1/2)16=4` 

`"e)"\ log_(3/2)27+log_(3/2)1/8=log_(3/2)(27*1/8)=log_(3/2)27/8=3`  

`"f)"\ log_(1/7)8+log_(1/7)0,125=log_(1/7)(8*0,125)=log_(1/7)1=0` 

Określ dziedzinę i naszkicuj...

a)

`f(x)=1/x` 

`D_f=R\\{0}` 

`lim_(x->0^+)f(x)=+oo` 

`lim_(x->0^-)f(x)=-oo` 

Granica nie istnieje.


b)

`f(x)=1/x^2` 

`D_f=R\\{0}` 

`lim_(x->0^+)f(x)=+oo` 

`lim_(x->0^-)f(x)=+oo` 

Granica istnieje.


c)

`f(x)=tgx` 

`D_f=R\\{pi/2+kpi}, k in C` 

`lim_(x->0^+)f(x)=0` 

`lim_(x->0^-)f(x)=0` 

Nie jest to granica niewłaściwa.

Podaj dziedzinę wyrażenia ...

`a)` 

`(x^2-7x+1)/(x^3+7x^2)` 

`D:` 

`x^3+7x^2ne0` 

`x^2(x+7)ne0` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \x+7ne0` 

`D=RR\\{-7;0}` 

 

`b)` 

`(8x^6-9x^5)/(x^3+x^2-2x)` 

`D:` 

`x^3+x^2-2xne0` 

`x(x^2+x-2)ne0` 

`x(x+2)(x-1)ne0` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \ x+2ne0\ \ \wedge\ \ \x-1ne0` 

`D=RR\\{-2;0;1}`                 

 

`c)` 

`(12x^4)/(x^4-4x^2+4)` 

`D:` 

`x^4-4x^2+4ne0` 

`(x^2-2)^2ne0` 

`x^2ne2` 

`xnesqrt2\ \ \wedge\ \ \xne -sqrt2` 

`D=RR\\{-sqrt2;sqrt2}` 

 

`d)` 

`(3x^2-5)/(3x^3-2x^2+x)`  

`D:`            

`3x^3-2x^2+xne0` 

`x(3x^2-2x+1)ne0` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \3x^2-2x+1ne0`    

 

`f(x)=3x^2-2x+1ne0`  

Zauważmy, że:

`W=(-b/(2a);f(-b/(2a)))`  

`-b/(2a)=1/3` `` 

`f(1/3)=1/3-2/3+1=2/3`    

`W=(1/3;2/3)` 

`a=3 >0` 

Wierzchołek paraboli będącej wykresem f leży nad osią OX. Funkcja f ma dodatni współczynnik

przy najwyższej potędze, zatem  funkcja f nie ma miejsc zerowych.

`f(x)ne0\ "dla każdego x"` 

Podsumowując - dziedzina rozważanego wyrażenia to:

`D=RR\\{0}`   

Pola powierzchni prostokątnych kartek ...

`a_n-"ciąg arytemtyczny"` 

`S_n-"suma powierzchni wszystkich kartek"`  

 

`a_1=12` 

`a_7=39`    

`S_n=21 ^2=441 ` 

 

`a_7=a_1+6r` 

`6r=a_7-a_1` 

`6r=39-12=27` 

`r=27/6` 

`441=(a_1+a_n)/2*n=(12+12+(n-1)r)/2*n`     

`441=(24+27/6(n-1))/2*n`  

`882=24n+27/6n^2-27/6n` 

`5292=144n+27n^2-27n` 

`27n^2+117n-5292=0` 

`Delta=13689+571536=585225`

`sqrtDelta=765` 

`n_1=(-117-765)/54=-16 1/3 notinNN_+` 

`n_2=(-117+765)/54=12` 

`n=12` 

Szukana liczba kartek to 12. 

 

 

 

 

 

Szósty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy 17, a ...

Szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego jest 

`a_6=17`,

a dziesiątym

`a_(10)=29`.

 

Pomiędzy szóstym a dziesiątym wyrazem ciągu znajdują się trzy wyrazy:

`a_7`, `a_8`, `a_9`.

Możemy zapisać je w następującej postaci{premium}

`a_6`  `a_7`  `a_8`  `a_9`  `a_(10)` 
`17`  `17+r`  `17+2r`  `17+3r`  `29` 

Wyraz `a_(10)` możemy zapisać również jako `17+4r`, zatem

`a_(10)=29` 

`17+4r=29 \ \ \ \ \ \ \ \ \|-17` 

`4r=12 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`r=3`.

Różnica `r` tego ciągu jest równa `3`.

 

Przypomnijmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego `(a_n)` 

`a_n=a_1+(n-1)*r`.

 

Wiemy, że `a_6=17` oraz `r=3`, więc możemy wyznaczyć wyraz `a_1` 

`a_6=a_1+(6-1)*3`

`17=a_1+5*3`

`17=a_1+15 \ \ \ \ \ \ \ \ \|-15`

`2=a_1` 

`a_1=2`.

 

Wyznaczamy drugi wyraz tego ciągu

`a_2=a_1+r`

`a_2=2+3`

`a_2=5`.

 

Odpowiedź: C

Oblicz log...

 

`log_b a=7` 

 

`log_(ab)a^3b^4=log_b(a^3b^4)/(log_b (ab))=(log_b a^3+log_b b^4)/(log_b a+log_b b)=(3log_b a+4log_b b)/(log_b a+log_b b)=(3*7+4)/(7+1)=(21+4)/8=25/8` 

`25/8=3,125` 

 

Odp. 312