Prostokąty EPGD oraz PHBF są podobne, ponieważ mają jednakowe kąty między przekątną a bokami (zaznaczone takim samym kolorem na rysunku).
Skala podobieństwa prostokąta EPGD do prostokąta PHBF:
`k=|DP|/|PB|=(3x)/(4x)=3/4`
Mając skalę podobieństwa możemy oznaczyć długości odpowiednich boków:
`|EP|=|GD|=|AH|=3a`
`|PF|=|HB|=|GC|=4a`
`|ED|=|PG|=|FC|=3b`
`|PH|=|AE|=|FB|=4b`
Teraz zauważmy, jak można obliczyć pole czworokąta PFCG:
`{(P_(PFCG)=|PG|*|PF|), (P_(PFCG)=48\ cm^2):}`
`|PG|*|PF|=48\ cm^2`
`3b*4a=48\ cm^2`
`12ab=48\ cm^2\ \ \ |:12`
`ab=4\ cm^2`
Teraz obliczamy pole prostokąta ABCD:
`P_(ABCD)=|AB|*|BC|=(|AH|+|HB|)*(|BF|+|FC|)=`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =` `(3a+4a)*(4b+3b)=7a*7b=49*ab=49*4\ cm^2=196\ cm^2`
`1^o = 60 '`
`1^o = 3600 ''`
`a)`
`1/100*360^o=3,6 ^o`
`3,6^o = 3,6*60 ' =216 '`
`3,6^o = 3,6*3600 ''=12960 ''`
`b)`
`1/100*4^o=0,04 ^o`
`0,04^o = 0,04*60 ' =2,4 '`
`0,04^o = 0,04*3600 ''=144 ''`
`c)`
`1/100*15^o=0,15 ^o`
`0,15^o = 0,15*60 ' =9 '`
`0,15^o = 0,15*3600 ''=540 ''`
`d)`
`1/100*12^o=0,12 ^o`
`0,12^o = 0,12*60 ' =7,2 '`
`0,12^o = 0,12*3600 ''=432 ''`
`e)`
`1/100*42^o=0,42 ^o`
`0,42^o = 0,42*60 ' =25,2 '`
`0,42^o = 0,42*3600 ''=1512 ''`
`a) \ sin x + sin(x+pi/2) = sqrt2`
Ze wzoru na sumę sinusów:
`2 sin ((x + x+ pi/2)/2) cos ((x - x - pi/2)/2) = sqrt2`
`2 sin ((2x+pi/2)/2) cos (-pi/4) = sqrt2`
Z parzystości funkcji cosinus:
`2 sin (x + pi/4) cos (pi/4) = sqrt2`
`2 sin (x + pi/4) *sqrt2/2 = sqrt2`
`sqrt2 sin(x+pi/4) = sqrt2`
`sin(x + pi/4) = 1`
`x + pi/4 = pi/2 + 2kpi`
`x_0 = pi/4 + 2kpi , \ \ \ k in C`
`b) \ sin(2x+5/6pi) + cos2x = 3/2`
Zauważmy, że
`sin(2x+5/6pi) = sin(2x + 1/3pi +pi/2) = sin([2x+1/3pi] + pi/2) = cos(2x+1/3pi)`
a więc:
`cos(2x+pi/3) + cos 2x = 3/2`
ze wzoru na sumę cosinusów:
`2 cos((2x+pi/3+2x)/2) cos((2x+pi/3 -2x)/2) = 3/2 \ \ \ |:2`
`cos((4x+pi/3)/2) cos(pi/6) = 3/4`
`cos((4x+pi/3)/2) * sqrt3/2 = 3/4`
`cos((4x+pi/3)/2) = 6/(4sqrt3)`
Pomocniczo usuńmy niewymierność:
`6/(4sqrt3) * sqrt3/sqrt3 = (6sqrt3)/(4*3) = (6sqrt3)/12 = sqrt3/2`
`cos((4x+pi/3)/2) = sqrt3/2`
`(4x+pi/3)/2 = -pi/6 + 2kpi \ \ vv \ \ (4x+pi/3)/2 = pi/6 + 2kpi`
`4x + pi/3 = -pi/3 + 4kpi \ \ vv \ \ 4x + pi/3 = pi/3 + 4kpi`
`4x = -(2pi)/3 + 4kpi \ \ vv \ \ 4x = 4kpi`
`x = -pi/6 + kpi \ \ vv \ \ x = kpi \ \ \ \ k in C`
Rysunek poglądowy:
Jeżeli prostokąty są podobne to:
`(|AB|)/(|BC|) = (|BC|)/(|BE|)`
`15/9 = 9/(|BE|)`
`15|BE| = 81`
`|BE| = 81/15`
Pole i obwód prostokąta ABCD:
`P_(ABCD) = 15*9 = 135 \ ["cm"^2]`
`O_(ABCD) = 2*15 + 2*9 = 30 + 18 = 48 \ ["cm"]`
Pole i obwód prostokąta EBCF:
`P_(EBCF) = |BE|*|BC| = 81/15 * 9 = 81/5 * 3 = 243/5 = 48 3/5 \ ["cm"^2]`
`O_(EBCF) = 2*|BC|+2*|BE| = 2 * 9 + 2 * 81/15 = 18 + 162/15 = 18 + 10 12/15 = 18 + 10 4/5 = 28 4/5 \ ["cm"]`
Pole i obwód prostokąta AEFD:
`P_(AEFD) = P_(ABCD) - P_(EBCF) = 135 - 48 3/5 = 134 2/5 - 48 = 86 2/5 \ ["cm"^2]`
Obliczmy długość odcinka AE:
`|AE| = |AB| - |BE| = 15 - 81/15 = 15 - 5 6/15 = 15 - 5 2/5 = 10 - 2/5 = 9 3/5 `
`O_(AEDF) = 2*|AE| + 2*|AD| = 2 * 9,6 + 2 * 9 = 19,2 + 18 = 37,2 = 37 1/5 \ ["cm"]`
Niech n oznacza liczbę ankietowanych kobiet.
`a) \ stackrel(-)(x)=(0,2n*25 + 0,25n*50 + 0,4n * 75 + 0,15n*100)/n = (5n + 12,5n + 30n + 15n)/n = (62,5n)/n = 62,5 \ ["zł"]`
`sigma^2 = (0,2n*(25-62,5)^2 + 0,25n*(50-62,5)^2 + 0,4n*(75-62,5)^2 + 0,15n * (100-62,5)^2)/n =`
`=0,2*1406,25 + 0,25*156,25 + 0,4*156,25 + 0,15*1406,25=281,25 +39,0625 + 62,5 + 210,9375 = 593,75`
`sigma = sqrt(593,75) approx 24,37 \ ["zł"]`
b) Bez straty ogólności możemy przyjąć, że wydatki o 10 zł zwiększyła część kobiet, które wydawały 25zł miesięcznie.
`stackrel(-)(y)=(0,1n*25 + 0,1n*35 + 0,25n*50 + 0,4n*75 + 0,15n*100)/n = (2,5n + 3,5n +12,5n + 30n + 15n)/n = (63,5n)/n = 63,5 \ ["zł"]`
`stackrel(-)(y) - stackrel(-)(x)=63,5 - 62,5 = 1 \ ["zł"]`
Średnia wzrośnie o 1 zł.
`a)`
`f(x)=x^2+bx+c`
`W=(1;3)=(p;q)`
`p=-b/(2a)`
`2=-b\ implies\ b=-2`
`q=f(p)=f(1)=1-2+c`
`4=c`
`f(x)=x^2-x+4`
`ZW=[q;+oo)=[3;+oo)`
`b)`
`f(x)=x^2+bx+c`
`W=(-1;2)`
`p=-b/(2a)`
`-1=-b/2`
`b=2`
`q=f(p)=1-2+c`
`c=q+1=3`
`f(x)=x^2+2x+3`
`ZW=[2;+oo)`
`c)`
`f(x)=x^2+bx+c`
`W=(-2;-4)`
`p=-b/(2a)`
`-2=-b/2`
`b=4`
`q=f(p)=4-8+c=-4`
`c=0`
`f(x)=x^2+4x`
`ZW=[4;+oo)`
`d)`
`f(x)=x^2+bx+c`
`W=(1;5)`
`p=-b/(2a)`
`1=-b/2`
`b=-2`
`q=f(p)=1-2+c`
`c=6`
`f(x)=x^2-2x+6`
`ZW=[5;+oo)`
a)
`P=a*b=49^(1/3)*49^(1/6)=49^(1/3+1/6)=49^(2/6+1/6)=49^(3/6)=49^(1/2)=(7^2)^(1/2)=7^1=7`
b)
`P=a*b=121^(-3/8)*121^(7/8)=121^(-3/8+7/8)=121^(4/8)=121^(1/2)=(11^2)^(1/2)=11^1=11`
c)
`P=a*b=6^(3/5)*2^(2/5)*3^(7/5)=(2*3)^(3/5)*2^(2/5)*3^(7/5)=2^(3/5)*3^(3/5)*2^(2/5)*3^(7/5)=2^(3/5+2/5)*3^(3/5+7/5)=2^(5/5)*3^(10/5)=2^1*3^2=2*9=18`
d)
`P=a*b=8^(5/9)*81^(5/12)*8^(-2/9)*81^(-1/6)=8^(5/9+(-2/9))*81^(5/12+(-1/6))=8^(3/9)*81^(5/12-2/12)=8^(1/3)*81^(1/4)=(2^3)^(1/3)*(3^4)^(1/4)=2^1*3^1=2*3=6`
`a)`
`cos alpha=sin (90^@-alpha)=ul(sqrt3/2`
`cos^2alpha+sin^2alpha=1`
`sinalpha=sqrt(1-(sqrt3/2)^2)=sqrt(1/4)=ul(1/2`
`tg alpha=sin alpha / cos alpha=(1/2)/(sqrt3)/2=1/sqrt3=ul(sqrt3/3`
`b)`
`cos alpha=sin (90^@-alpha)=5/13`
`sin^2alpha+cos^2alpha=1`
`sinalpha=sqrt(1-(5/13)^2)=sqrt(144/169)=12/13`
`tg alpha=sin alpha/ cos alpha=(12/13)/(5/13)=12/5`
`c)`
`sin alpha=cos (90^2-alpha)=1/4`
`cos^2alpha+sin^2alpha=1`
`cos alpha=sqrt(1-(1/4)^2)=sqrt(15/16)=sqrt15/4`
`tg alpha=sin alpha/cos alpha=(1/4)/(sqrt15/4)=1/sqrt15=sqrt15/15`
`d)`
`sin alpha=cos(90^@-alpha)=sqrt3/3`
`cos^2alpha+sin ^2 alpha=1`
`cos alpha=sqrt(1-(sqrt3/3)^2)=sqrt(6/9)=sqrt6/3`
`tg alpha= sin alpha/cos alpha=(sqrt3/3)/(sqrt6/3)=sqrt3/sqrt6=sqrt18/6=(3sqrt2)/6=sqrt2/2`
`e)`
`tg\ (90^@-alpha)=2/5`
`1/(tg \ alpha)=2/5`
`tg\ alpha=5/2`
`a=2`
`b=5`
`c=sqrt(4+25)=sqrt29`
`sin alpha=5/sqrt29=(5sqrt29)/29`
`cos alpha=2/sqrt29=(2sqrt29)/29`
`f)`
`1/(tg \ alpha)=tg\ (90^@-alpha)=2`
`tg\ alpha=1/2`
`b=1`
`a=2`
`c=sqrt(4+1)=sqrt5`
`sin alpha=1/sqrt5= sqrt5 /5`
`cos alpha=2/sqrt5=(2sqrt5)/5`
`a+b=10`
`a=10-b`
`P=1/2*a*b=1/2*(10-b)*b=1/2b*(10-b)=5b-1/2b^2`
`f(b)=-1/2b^2+5b`
`p=(-5)/(2*(-1/2))=(-5)/(-1)=5`
`b=5`
`a=10-5`
`a=5`
`5^2+5^2=c^2`
`25+25=c^2`
`50=c^2`
`sqrt50=c`
`5sqrt2=c`
Odp. Trójkąt ten powinien mieć boki długości `5, 5, 5sqrt2` .
`a)`
Środek okręgu wpisanego w kwadrat to punkt przecięcia się przekątnych kwadratu.
Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, zatem wystarczy wyznaczyć współrzędne środka
jednej z przekatnych.
`A=(-3;0)`
`B=(1;-2)`
`C=(3;2)`
`D=(-1;4)`
`S_(AC)-"środek odcinka AC"`
Środek odcinka AC jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w kwadrat.
`S_(AC)=((-3+3)/2;(0+2)/2)=(0;1)`
Promień okręgu wpisanego jest równy połowie długości boku kwadratu.
`r=1/2*|AB|=1/2sqrt((1+3)^2+(-2)^2)=1/2*2sqrt5=sqrt5`
Równanie okręgu ma postać:
`ul(x^2+(y-1)^2=5`
`b)`
Środek okręgu opisanego na kwadracie jest również środkiem okręgu wpisanego w kwadrat.
`S=(0;1)`
Promień okręgu opisanego jest równy połowie długości przekątnej kwadratu.
`r=1/2*|AC|=1/2*sqrt((3+3)^2+2^2)=1/2sqrt40=sqrt10`
Równanie okręgu ma postać:
`ul(x^2+(y-1)^2=10`