Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wartość bezwzględna

"Wartość bezwzględna" to funkcja określona na całym przedziale liczb rzeczywistych oznaczana symbolem $$|x|$$ albo skrótem $$abs(x)$$ (z ang. absolute).

Definiuje się ją jako:

2

Inaczej mówiąc, przekształca każdą liczbę, którą dostanie na liczbę nieujemną.
Kilka przykładów, które mogą pomóc to zrozumieć (każdy z nich bezpośrednio wynika ze wzoru):
  • $$|-2| = 2$$
  • $$|-1/3| = 1/3$$
  • $$|4| = 4$$
  • $$|0| = 0$$
  • $$|5-9| = |-4| = 4$$

Ćwiczenie 1. Oblicz:

a) $$|-5|$$

ponieważ $$-5$$ < $$0$$, to wartość bezwzględna zmienia znak: $$|-5| = -(-5) = 5%

b) $$|1/2|$$

$${1}/{2}$$ jest oczywiście większe od zera, więc opuszczamy wartość bezwzględną nie zmieniając znaku:
$$|{1}/{2}| = {1}/{2}$$

c) $$|a^2|$$

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze większy od zera, więc wartość bezwzględna nie zmienia znaku:
$$|a^2| = a^2$$



Ćwiczenie 2. Narysuj wykres funkcji wartości bezwzględnej.

funkcja
$$f(x)=|x|$$



Można zauważyć, że $$|-x| = |x|$$, czyli wewnątrz wartości bezwzględnej możemy swobodnie zmienić znak całego wyrażenia na przeciwny.
Jeśli na przykład mamy $$|5-9|$$, to jest to to samo, co $$|-(5-9)|$$, czyli $$|9-5|$$.

Wartość bezwzględna może także występować w równaniach i nierównościach.
Rozwiązujemy je tak samo jak w przypadku innych takich zadań, jednak gdy chcemy "opuścić" wartość bezwzględną, musimy rozważyć dwa przypadki:
 
  1. wartość pod nią jest dodatnia
  2. wartość pod nią jest ujemna

Później po prostu rozwiązujemy zadanie dwutorowo dochodząc do dwóch wyników.

Na początek spójrzmy na równanie $$|x| = 10$$. Aby je rozwiązać, musimy rozważyć dwa przypadki: $$x$$ może być albo dodatni, albo ujemny (oczywiście nie może być zerem).

Jeśli $$x$$ > $$0$$ to funkcja wartości bezwzględnej nie zmienia jego znaku i otrzymujemy $$x = 10$$.
Jeśli x jest ujemny, to wartość bezwzględna zmienia znak (czyli "wstawia minus"") i dostajemy $$–x = 10$$ czyli $$x=-10$$;

Bardziej rozbudowany przykład: mamy równanie $$|2x - 4| = 9$$.

Aby je rozwiązać, znowu trzeba zastanowić się co tak naprawdę kryje się pod wartością bezwzględną - jeśli jest to liczba ujemna, to zmieniamy jej znak.

Przypadek 1:
$$2x - 4$$ > $$0$$
$$2x - 4 = 9$$
$$2x = 13$$
$$x = 6,5$$

Przypadek 2:
$$2x – 4$$ < $$0$$
$$|2x – 4| = -(2x - 4) = 4 - 2$$
$$4 – 2x = 9$$
$$2x = -5$$


Ćwiczenie 3.
Rozwiąż równania:

a) $$|x + 5| = 7$$

Rozbijamy to na dwa przypadki:
I. $$x + 5$$ > $$0$$ wynika z tego, że $$x$$ > $$-5$$.

Wartość bezwzględna nie zmienia znaku:
$$x + 5 = 7$$
$$x = 2$$
Otrzymaliśmy rozwiązanie, które spełnia warunek $$x > -5$$.


II. $$x + 5$$ <= $$0$$
wynika z tego, że $$x$$ <= $$-5$$.
Wartość bezwzględna zmienia znak:
$$-x - 5 = 7$$
$$x = -12$$

Otrzymaliśmy rozwiązanie, które spełnia warunek $$x$$ <= $$-5$$.

b) $$|4x - 8| = 16$$

W tym przykładzie postępujemy analogicznie jak w poprzednim.
I. $$4x - 8$$ > $$0$$, czyli $$x$$ > $$2$$
Nie zmieniamy znaku:
$$4x - 8 = 16$$
$$4x = 24$$
$$x = 6$$ - rozwiązanie spełnia warunek.


II. $$4x - 8$$ =< $$0$$, czyli $$x$$ =< $$2$$
Zmieniamy znak:
$$-4x + 8 = 16$$
$$4x = -8$$
$$x = -2$$ - rozwiązanie spełnia warunek.

c) $$|x^2 - 3x + 2| = 6$$

Ponownie rozbijamy na dwa przypadki: I. $$x^2 -3x + 2$$ > $$0$$, czyli $$(x-1)(x-2)$$ > $$0$$. Oba czynniki muszą być tego samego znaku, więc $$x ∈ (-∞, 1) ∪ (2, ∞)$$.

Rozwiązując dalej otrzymujemy:
$$x^2 - 3x + 2 = 2$$
$$x^2 - 3x = 0$$
$$x(x-3) = 0$$

Rozwiązaniami są liczby $$x = 0$$ i $$x = 3$$. Mieszczą się one w naszych przedziałach.

II. $$x^2 -3x + 2$$ <= $$0$$, czyli $$(x-1)(x-2)$$ <= $$0$$.
Oba czynniki muszą być różnego znaku, więc $$x ∈ < 1, 2 >$$

Rozwiązując dalej otrzymujemy:
$$-x^2 + 3x - 2 = 2$$
$$-x^2 + 3x - 4 = 0$$
Równanie to nie ma rozwiązań.

Jedynymi rozwiązaniami są więc liczby z przypadku I.



Inna ciekawa interpretacja wartości bezwzględnej jest taka, że określa ona odległość dwóch liczb na osi liczbowej.
1

Weźmy na przykład $$|x - 4|$$ jest to po prostu różnica między tymi dwoma liczbami objęta „gwarancją dodatności”. Wiadomo, że odległość między dwoma miejscami nie może być liczbą ujemną, więc wartość bezwzględna pozwala nam nie przejmować się, czy odejmujemy od większej liczby mniejszą, czy na odwrót – ona zawsze da nam liczbę dodatnią.


Warto także zanotować, że $$|x| = |x - 0|$$ - czyli jest to po prostu odległość od $$0$$ do $$x$$ (nawet jeśli liczba jest ujemna, odległość od zera jest na pewno dodatnia).


Czas teraz na najbardziej zaawansowany aspekt tego działu, czyli rozwiązywanie nierówności zawierających wartość bezwzględną.

Ogólnie rzecz biorąc rozwiązywanie nierówności nie różni się zbytnio od rozwiązywania równań: główna różnica pojawia się w momencie opuszczania wartości bezwzględnej. O ile w przypadku równań nie było możliwości zmiany znaku, to w tutaj jak najbardziej się to zdarza.

W momencie, kiedy pozbywamy się wartości bezwzględnej i przechodzimy do rozważania dwóch przypadków, w każdym z nich pojawia się nierówność w inną stronę, tzn. jeśli wyjściowo mieliśmy np $$|x| >3$$, to po zamianie mamy:
1) zamieniamy $$|x|$$ na $$x$$: $$x$$ > $$4$$
2) zamieniamy $$|x|$$ na $$-x$$: $$-x$$ > $$4$$, czyli $$x$$ < $$-4$$ (przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną odwracamy jej znak)

Przykład 1.
$$|3x - 2|$$ > $$x$$

1) $$3x - 2$$ > $$0$$, czyli
$$3x - 2$$ > $$x$$
$$2x$$ > $$2$$
$$x$$ > $$1$$

2) $$3x - 2$$ < $$0$$, czyli
$$-(3x - 2)$$ > $$x$$
$$-3x + 2$$ > $$x$$
$$-4x$$ > $$-2$$
$$x$$ < $$1/2$$


Można także, zamiast męczyć się z równaniami, po prostu postarać się to "zrozumieć", korzystając z pojęcia odległości.

Zacznjmy od prostego przykładu: $$|x - 4|$$ < $$5$$. Jak możemy zinterpretować ten napis korzystając z nabytej wiedzy?

Oznacza on tyle, że odległość między $$x$$ a $$4$$ jest mniejsze od 5, czyli że $$x$$ jest oddalony od $$4$$ o nie więcej niż $$5$$. Łatwo stwierdzić, że w takim razie $$x$$ < $$9$$ i $$x$$ > $$1$$.

rys2


Przykład 2.
$$|100 - x|$$ > $$30$$.
Interpretując: mamy znaleźć takie wszystkie $$x$$, żeby odległość między każdym z nich a liczbą $$100$$ była większa od trzydziestu. Znowu łatwo dostrzec, że w takim razie $$x$$ < $$70$$ i $$x$$ > $$130$$.


rys3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkt...

`a) \ |AB| = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = sqrt((6-2)^2 + (7-4)^2) = sqrt(4^2 + 3^2) = sqrt25 = 5`

 

b) Skoro 1 punkt wspólny mamy dla r=2 lub r=8 to znaczy, że Brak punktów wspólnych będziemy mieć jeżeli r będzie mniejszy od 2 lub większy od 8. 2 Punkty wspólne będziemy mieć jeżeli promień będzie większy od 2 i mniejszy od 8.

Oblicz

`a)\ root(3)(-8000)=-20`

`b)\ root(3)(-0,001)=-0,1`

`c)\ root(3)(-125/64)=-5/4=-1 1/4`

`d)\ root(3)(-3 3/8)=root(3)(-27/8)=-3/2=-1 1/2`

Oblicz...

`a) \ sin beta = 4/5` 

`cos^2 beta = 1 - sin^2 beta` 

`cos^2 beta = 9/25` 

`|cos beta| = 3/5`

`"Dla" \ \ \ beta in (0^o ; 90^o) \ \ cos beta >0` 

`cos beta = 3/5` 

 

`sin(30^o +beta) = sin30^o * cos beta + cos30^o * sin beta` 

`sin(30^o + beta) = 1/2 * 3/5 + sqrt3/2 * 4/5 = 3/10 + (4sqrt3)/10 = (3+4sqrt3)/10` 

 

`sin(60^o - beta) = sin60^o cos beta - cos 60^o sin beta` 

`sin(60^o - beta ) = sqrt3/2 *3/5 - 1/2 * 4/5 = (3sqrt3)/10 - 4/10 = (3sqrt3-4)/10` 

 

 

`b) \ sin beta = 3/5` 

`cos^2 beta = 1 - sin ^2 beta` 

`cos^2 beta = 16/25` 

`|cos beta | = 4/5` 

`"Dla" \ \ \ beta in (90^o ; 180^o) \ \ \ cos beta < 0` 

`cos beta = -4/5` 

 

`sin ( 30^o + beta ) = sin30^o cos beta + sin beta cos 30^o` 

`sin(30^o + beta) = 1/2 * (-4/5) + 3/5 * sqrt3/2 = -4/10 + (3sqrt3)/10 = (-4+3sqrt3)/10` 

 

`sin(60^o - beta) = sin60^o cos beta - sin beta cos 60^o` 

`sin(60^o - beta ) = sqrt3/2 * (-4/5) - 3/5 * 1/2 = (-4sqrt3)/10 - 3/10 = -(4sqrt3+3)/10` 

 

 

`c) \ sin beta = -7/25` 

`cos^2 beta = 1 - sin^2 beta` 

`cos^2 beta = 576/625` 

`| cos beta | = 24/25` 

`"Dla" \ \ \ beta in (180^o;270^o) \ \ cos beta < 0` 

`cos beta = -24/25` 

 

`sin(30^o + beta) = sin30^o cos beta + sin beta cos 30^o` 

`sin(30^o + beta ) = 1/2 * (-24/25) + (-7/25) * sqrt3/2 = -24/50 + (-7sqrt3)/50 = -(24+7sqrt3)/50` 

 

`sin(60^o - beta) = sin60^o cos beta - sin beta cos 60^o` 

`sin(60^o - beta) = sqrt3/2 * (-24/25) - (-7/25 * 1/2) = (-24sqrt3)/50 - (-7/50) = - (24sqrt3+7)/50` 

W klasie IIIc...

Niech n oznacza liczbę osób.

Wtedy dziewczyn jest k , natomiast chłopców jest n-k

 

Dziewczyny:

Przez d oznaczmy sumę ocen z matematyki zdobytych przez dziewczyny.

`d/k = 3` 

`d=3k` 

 

`sigma^2 = stackrel(-)(x^2) - (stackrel(-)(x))^2` 

`2^2 = stackrel(-)(x^2) - 3^2` 

`stackrel(-)(x^2) = 13` 

Przez d' oznaczmy sumę kwadratów ocen zdobytych przez dziewczyny.

`stackrel(-)(x^2) = (x_1^2 + x_2^2+...+x_k^2)/k = (d^')/k` 

`(d^')/k = 13` 

`d^' = 13k` 

 

Chłopcy:

Przez c oznaczmy sumę ocen z matematyki zdobytych przez chłopców.

`c/(n-k) = 4` 

`c = 4*(n-k)=4n-4k` 

 

`sigma^2 = stackrel(-)(y^2) - (stackrel(-)(y))^2` 

`1^2 = stackrel(-)(y^2) - 4^2` 

`stackrel(-)(y^2) = 17` 

Przez c' oznaczmy sumę kwadratów ocen zdobytych przez chłopaków.

`stackrel(-)(y^2) = (y_1^2+ y_2^2 + ... + y_(n-k)^2)/(n-k) = (c^')/(n-k)` 

`(c^')/(n-k)= 17` 

`c^' = 17(n-k)= 17n-17k` 

 

Cała klasa:

`sigma^2 = (d^' + c^')/n - ((d+c)/n)^2` 

`1,76 = (13k + 17n-17k)/n - ((3k+4n-4k)/n)^2` 

`1,76 = (17n - 4k)/n  - ((4n-k)/n)^2` 

`1,76 = 17 - (4k)/n - (16n^2 -8nk + k^2)/n^2` 

`1,76 = 17 -(4k)/n - 16 + (8k)/n - (k^2)/(n^2)` 

`1,76 = 1 + 4 k/n - (k/n)^2` 

Podstawienie:

`t = k/n`  

Założenie:

`0 leq t < 1` 

 

`1,76 = 1 + 4t - t^2` 

`t^2 - 4t +0,76=0` 

`Delta = 16-3,04=12,96` 

`sqrtDelta = 3,6` 

`t_1 = (4-3,6)/2 = 0,2` 

`t_2 = (4 + 3,6)/2 = (7,6)/2 = 3,8 >1` 

 

A więc:

`k/n = 0,2`

Czyli k stanowi 20% liczby wszystkich uczniów.

 

Średnia ocen dla całej klasy:

`(0,2n*3 + 0,8n * 4)/n = (0,6n + 3,2n)/n = (3,8n)/n = 3,8` 

Zbadaj, czy dwumian f może wystąpić...

a) Zbadajmy czy dwumian f(x)=x-1 może wystąpić w rozkładzie na czynniki wielomianu g, wtedy musi istnieć taki h, że:

`g(x) = f(x) * h(x)` 

Wielomian h musi być 2 stopnia a współczynnik przy najwyższej potędze musi być równy 1. Wyraz wolny wynosi 3.

`h(x) = x^2 + ax + 3` 

 

Wykonajmy mnożenie:

`f(x) *h(x) = (x-1)(x^2 + ax + 3) = x^3 + ax^2 + 3x - x^2 -ax -3 = x^3 + (a-1)x^2 +(3-a)x-3` 

Zatem:

`{(a-1 = -1),(3-a = 3):}` 

`{(a=0),(a=0):}` 

Stąd a =0, zatem wielomian f wystąpi w rozkładzie na czynniki wielomianu g.

 

b) Analogicznie, sprawdźmy czy istnieje taki wielomian k, że:

`g(x) = f(x) *k(x)` 

Wielomian k musi być stopnia 2, współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 2 a wyrazy wolny jest równy 1.

`k(x) = 2x^2 + bx + 1` 

Wykonajmy mnożenie:

`f(x) *k(x) = (x+3)(2x^2 + bx + 1) = 2x^3 + bx^2 + x + 6x^2 + 3bx + 3 = 2x^3 + (b+6)x^2 +(3b+1)x+3` 

Zatem:

`{(b+6 = 3),(3b+1=-8):}` 

`{(b=-3),(3b=-9):}` 

`{(b=-3),(b=-3):}` 

Stąd b = -3, zatem wielomian f wystąpi w rozkładzie na czynniki wielomianu g.

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych ...

Uzupełniona tabela:

Liczba punktów wspólnych

Promień okręgu

0

r (5/2;+)

2

r (0;3/2)

3

r = 5/2

4

r (3/2;2)

5

r = 2

6

r (2; 5/2)

 

Środek okręgu jest środkiem przeciwprostokątnej.

Korzystając z tw. Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta:

`c^2=3^2+4^2` 

`c^2=9+16=25` 

`c=sqrt25=5` 

Rysunek pomocniczy:

Środek okregu jest oddalony o 2,5 od wierzchołków trójkąta.

Środek okregu jest oddalony o 1,5 od dłuższej przyprostokątnej trójkąta.

Środek okregu jest oddalony o 2 od krótszej przyprostokątnej trójkąta.

 

0 punktów wspólnych - okrąg jest rozłączny zewnętrznie (2,5;+∞).

2 punkty wspólne - okrąg przecina tylko przeciwprostokątną

3 punkty wspólne - okrąg przecina przeciwprostokątną i jest styczny do dłuższej przyprostokątnej

4 punkty wspólne - okrąg przecina przeciwprostokątną i dłuższą przyprostokątna

5 punktów wspólnych - okrąg przecina przeciwprostokątną i jest styczny do krótszej przyprostokątnej

6 punktów wspólnych - okrag przecina przeciwprostokątną i obie przyprostokątne

Oblicz średnią arytmetyczną

Mamy 12 kolejnych potęg dwójki. 

Musimy obliczyć ich średnią:

`(2+2^2+...+2^12)/12=?` 

 

Skorzystamy ze wzoru na sumę n kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie q:

`S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)` 

 

Obliczmy więc sumę 12 kolejnych potęg dwójki:

`2+2^2+...+2^12=2*(1-2^12)/(1-2)=2*(1-2^12)/(-1)=2*(2^12-1)` 

 

Obliczamy szukaną średnią:

`(2+2^2+...+2^12)/12=(2*(2^12-1))/12=(2^12-1)/6=(4096-1)/6=4095/6=682,5` 

 

Odrzucamy 2 liczy - największą i najmniejszą. 

Obliczamy średną obciętą:

`(2^2+2^3+...+2^11)/10=(2^2*(1-2^10)/(1-2))/10=(4*(1-2^10)/(-1))/10=(4*(2^10-1))/10=(2*(2^10-1))/5=(2*(1024-1))/5=(2*1023)/5=2046/5=409,2`  

 

 

`ul("uwaga")` 

Zadanie można rozwiązać także bez korzystania ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego, co zaprezentujemy poniżej.

Obliczamy średnią podanych liczb:

`(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12)/12=` 

`=(2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+4096)/12=8190/12=682,5` 

 

Obliczamy średnią obciętą:

`(2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11)/10=` 

`=(4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048)/10=4092/10=409,2` 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`"a)"\ logx>2` 

Sprawdźmy dla jakiego x zachodzi:

`logx=2` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x=10^2=100` 

Funkcja logx jest rosnąca, więc logx > 2 dla:

`x>100` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`  

`"b)"\ logx>3` 

Sprawdźmy dla jakiego x zachodzi:

`logx=3` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x=10^3=1000` 

Funkcja logx jest rosnąca, więc logx > 3 dla:

`x>1000`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`   

`"c)"\ logx>6` 

Sprawdźmy dla jakiego x zachodzi:

`logx=6` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x=10^6` 

Funkcja logx jest rosnąca, więc logx > 6 dla:

`x>10^6`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`   

`"d)"\ logx>100` 

Sprawdźmy dla jakiego x zachodzi:

`logx=100` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x=10^100`  

Funkcja logx jest rosnąca, więc logx > 100 dla:

`x>10^100`  

Wyznacz cztery liczby, które...

`a_1=2` 

`a_6=6250` 

 

`a_6=a_1*q^5` 

`6250=2*q^5 \ \ \ |:2` 

`3125=q^5` 

`5^5=q^5` 

`q=5` 

 

`a_2=2*5=10` 

`a_3=10*5=50` 

`a_4=50*5=250` 

`a_5=250*5=1250` 

`a_6=1250*5=6250` 

Niech g(m) oznacza...

Żeby otrzymać wykres funkcji:

`f(x) = |sin|x|-1|`

Musimy wykres sinusa znajdujący się po lewej stronie osi OY zastąpić wykresem znajdującym się po prawej stronie od osi OY odbijając go symetrycznie względem osi OY. Następnie przesunąć cały wykres o 1 jednostkę w dół i wszystko poniżej osi OY obrócić symetrycznie względem niej.

Wykres:

`f(x) = m` 

0 rozwiązań dla:

`m in (-oo, 0) \cup (2,oo)` 

2 rozwiązania dla:

`m in {0, 2}` 

3 rozwiązania dla:

`m in {1}` 

4 rozwiązania dla:

`m in (0, 1) \cup (1, 2)` 

 

`g(m) = {(0 \ \ \ "Dla" \ m in (-oo, 0) \cup (2,oo)),(2 \ \ \ "Dla" \ m in {0,2}),(3 \ \ \ "Dla" \ m in {1}),(4 \ \ \ "Dla" \ m in (0,1) \cup (1,2)):}`