Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wartość bezwzględna

"Wartość bezwzględna" to funkcja określona na całym przedziale liczb rzeczywistych oznaczana symbolem $|x|$ albo skrótem $abs(x)$ (z ang. absolute).

Definiuje się ją jako:

2

Inaczej mówiąc, przekształca każdą liczbę, którą dostanie na liczbę nieujemną.
Kilka przykładów, które mogą pomóc to zrozumieć (każdy z nich bezpośrednio wynika ze wzoru):
  • $|-2| = 2$
  • $|-1/3| = 1/3$
  • $|4| = 4$
  • $|0| = 0$
  • $|5-9| = |-4| = 4$

Ćwiczenie 1. Oblicz:

a) $|-5|$

ponieważ $-5$ < $0$, to wartość bezwzględna zmienia znak: $|-5| = -(-5) = 5%

b) $|1/2|$

${1}/{2}$ jest oczywiście większe od zera, więc opuszczamy wartość bezwzględną nie zmieniając znaku:
$|{1}/{2}| = {1}/{2}$

c) $|a^2|$

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze większy od zera, więc wartość bezwzględna nie zmienia znaku:
$|a^2| = a^2$



Ćwiczenie 2. Narysuj wykres funkcji wartości bezwzględnej.

Można zauważyć, że $|-x| = |x|$, czyli wewnątrz wartości bezwzględnej możemy swobodnie zmienić znak całego wyrażenia na przeciwny.
Jeśli na przykład mamy $|5-9|$, to jest to to samo, co $|-(5-9)|$, czyli $|9-5|$.

Wartość bezwzględna może także występować w równaniach i nierównościach.
Rozwiązujemy je tak samo jak w przypadku innych takich zadań, jednak gdy chcemy "opuścić" wartość bezwzględną, musimy rozważyć dwa przypadki:
 
  1. wartość pod nią jest dodatnia
  2. wartość pod nią jest ujemna

Później po prostu rozwiązujemy zadanie dwutorowo dochodząc do dwóch wyników.

Na początek spójrzmy na równanie $|x| = 10$. Aby je rozwiązać, musimy rozważyć dwa przypadki: $x$ może być albo dodatni, albo ujemny (oczywiście nie może być zerem).

Jeśli $x$ > $0$ to funkcja wartości bezwzględnej nie zmienia jego znaku i otrzymujemy $x = 10$.
Jeśli x jest ujemny, to wartość bezwzględna zmienia znak (czyli "wstawia minus"") i dostajemy $–x = 10$ czyli $x=-10$;

Bardziej rozbudowany przykład: mamy równanie $|2x - 4| = 9$.

Aby je rozwiązać, znowu trzeba zastanowić się co tak naprawdę kryje się pod wartością bezwzględną - jeśli jest to liczba ujemna, to zmieniamy jej znak.

Przypadek 1:
$2x - 4$ > $0$
$2x - 4 = 9$
$2x = 13$
$x = 6,5$

Przypadek 2:
$2x – 4$ < $0$
$|2x – 4| = -(2x - 4) = 4 - 2$
$4 – 2x = 9$
$2x = -5$


Ćwiczenie 3.
Rozwiąż równania:

a) $|x + 5| = 7$

Rozbijamy to na dwa przypadki:
I. $x + 5$ > $0$ wynika z tego, że $x$ > $-5$.

Wartość bezwzględna nie zmienia znaku:
$x + 5 = 7$
$x = 2$
Otrzymaliśmy rozwiązanie, które spełnia warunek $x > -5$.


II. $x + 5$ <= $0$
wynika z tego, że $x$ <= $-5$.
Wartość bezwzględna zmienia znak:
$-x - 5 = 7$
$x = -12$

Otrzymaliśmy rozwiązanie, które spełnia warunek $x$ <= $-5$.

b) $|4x - 8| = 16$

W tym przykładzie postępujemy analogicznie jak w poprzednim.
I. $4x - 8$ > $0$, czyli $x$ > $2$
Nie zmieniamy znaku:
$4x - 8 = 16$
$4x = 24$
$x = 6$ - rozwiązanie spełnia warunek.


II. $4x - 8$ =< $0$, czyli $x$ =< $2$
Zmieniamy znak:
$-4x + 8 = 16$
$4x = -8$
$x = -2$ - rozwiązanie spełnia warunek.

c) $|x^2 - 3x + 2| = 6$

Ponownie rozbijamy na dwa przypadki: I. $x^2 -3x + 2$ > $0$, czyli $(x-1)(x-2)$ > $0$. Oba czynniki muszą być tego samego znaku, więc $x ∈ (-∞, 1) ∪ (2, ∞)$.

Rozwiązując dalej otrzymujemy:
$x^2 - 3x + 2 = 2$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x-3) = 0$

Rozwiązaniami są liczby $x = 0$ i $x = 3$. Mieszczą się one w naszych przedziałach.

II. $x^2 -3x + 2$ <= $0$, czyli $(x-1)(x-2)$ <= $0$.
Oba czynniki muszą być różnego znaku, więc $x ∈ < 1, 2 >$

Rozwiązując dalej otrzymujemy:
$-x^2 + 3x - 2 = 2$
$-x^2 + 3x - 4 = 0$
Równanie to nie ma rozwiązań.

Jedynymi rozwiązaniami są więc liczby z przypadku I.



Inna ciekawa interpretacja wartości bezwzględnej jest taka, że określa ona odległość dwóch liczb na osi liczbowej.
1

Weźmy na przykład $|x - 4|$ jest to po prostu różnica między tymi dwoma liczbami objęta „gwarancją dodatności”. Wiadomo, że odległość między dwoma miejscami nie może być liczbą ujemną, więc wartość bezwzględna pozwala nam nie przejmować się, czy odejmujemy od większej liczby mniejszą, czy na odwrót – ona zawsze da nam liczbę dodatnią.


Warto także zanotować, że $|x| = |x - 0|$ - czyli jest to po prostu odległość od $0$ do $x$ (nawet jeśli liczba jest ujemna, odległość od zera jest na pewno dodatnia).


Czas teraz na najbardziej zaawansowany aspekt tego działu, czyli rozwiązywanie nierówności zawierających wartość bezwzględną.

Ogólnie rzecz biorąc rozwiązywanie nierówności nie różni się zbytnio od rozwiązywania równań: główna różnica pojawia się w momencie opuszczania wartości bezwzględnej. O ile w przypadku równań nie było możliwości zmiany znaku, to w tutaj jak najbardziej się to zdarza.

W momencie, kiedy pozbywamy się wartości bezwzględnej i przechodzimy do rozważania dwóch przypadków, w każdym z nich pojawia się nierówność w inną stronę, tzn. jeśli wyjściowo mieliśmy np $|x| >3$, to po zamianie mamy:
1) zamieniamy $|x|$ na $x$: $x$ > $4$
2) zamieniamy $|x|$ na $-x$: $-x$ > $4$, czyli $x$ < $-4$ (przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną odwracamy jej znak)

Przykład 1.
$|3x - 2|$ > $x$

1) $3x - 2$ > $0$, czyli
$3x - 2$ > $x$
$2x$ > $2$
$x$ > $1$

2) $3x - 2$ < $0$, czyli
$-(3x - 2)$ > $x$
$-3x + 2$ > $x$
$-4x$ > $-2$
$x$ < $1/2$


Można także, zamiast męczyć się z równaniami, po prostu postarać się to "zrozumieć", korzystając z pojęcia odległości.

Zacznjmy od prostego przykładu: $|x - 4|$ < $5$. Jak możemy zinterpretować ten napis korzystając z nabytej wiedzy?

Oznacza on tyle, że odległość między $x$ a $4$ jest mniejsze od 5, czyli że $x$ jest oddalony od $4$ o nie więcej niż $5$. Łatwo stwierdzić, że w takim razie $x$ < $9$ i $x$ > $1$.

rys2


Przykład 2.
$|100 - x|$ > $30$.
Interpretując: mamy znaleźć takie wszystkie $x$, żeby odległość między każdym z nich a liczbą $100$ była większa od trzydziestu. Znowu łatwo dostrzec, że w takim razie $x$ < $70$ i $x$ > $130$.


rys3

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie prostokątnym...

Zilustrujmy trójkąt opisany w zadaniu:

  


a) Bok b jest 40 razy dłuższy od a, czyli

więc


b) Bok b jest 40 razy krótszy od a, czyli

więc


c) Bok b jest o 40% dłuższy od a, czyli

więc


d) Bok b jest o 40% krótszy od a, czyli

więc


e) Bok stanowi 40% długości a, czyli

więc


f) Bok c jest o 40% dłuższy od a, czyli

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy

czyli

więc

Tworząca stożka ma długość 20 cm ...

a) Rysunek pomocniczy:

   {premium}

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

Obliczmy pole boczne tego stożka.

 

 

 


b) Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Obliczmy pole boczne tego stożka.

 

 

 

Kąt...

Wiemy, że 

 

oraz

Wówczas{premium}

 

Odp. A. 

Prosta l dana jest w postaci...

a) Podstawiamy współrzędne{premium} punktu A do równania prostej i wyznaczamy t:

 

 

 

Punkt A(-10, 12) należy do prostej l dla t=4.


b) Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej i wyznaczamy t:

 

 

 

Punkt A(-11, -2) należy do prostej l dla t=-3.


c) Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej i wyznaczamy t:

 

 

 

 

Punkt  należy do prostej l dla  


Podstawiamy współrzędne punktu P(-1, 2) do równania prostej i wyznaczamy t:

 

 

 

Otrzymaliśmy różne wartości parametru t. Wynika stąd, że nie istnieje taka wartość parametru t, dla której punkt P(-1, 2) należałby do prostej l, czyli punkt P nie leży na prostej l.


Podstawiamy współrzędne punktu Q(8, 4) do równania prostej i wyznaczamy t:

 

 

 

Otrzymaliśmy różne wartości parametru t. Wynika stąd, że nie istnieje taka wartość parametru t, dla której punkt Q(8, 4) należałby do prostej l, czyli punkt Q nie leży na prostej l.

Dla jakiej wartości współczynnika...

Obliczamy, dla jakiej{premium} wartości c liczba 6 jest miejscem zerowym funkcji f:

 

 

 

 


Odp. Liczba 6 jest miejscem zerowym funkcji f dla c=-4.

Wyznacz wartość współczynników ...

 

Skoro   to do wykresu funkcji należy punkt   {premium}

 

Wiemy, że dla argumentu -2 funkcja przyjmuje największą wartość równą 5, zatem wierzchołek tej paraboli to (-2, 5).

Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

 

Podstawiając współrzędne punktu (0, 4) otrzymujemy:

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Zatem:

 

Dla jakich wartości parametru k suma kwadratów dwóch...

 

Równanie kwadratowe ma dwa rożne pierwiastki, gdy:

 

 

 {premium}

 

 

 

 

Suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków x1, x2 jest równa 17, gdy:

 

 

Korzystamy ze wzorów Viete'a na sumę i iloczyn pierwiastków.

 

 

 

 

 

 

 

Suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania jest równa 17, gdy są jednocześnie spełnione warunki (1), (2):

 

 


 

Równanie kwadratowe ma dwa rożne pierwiastki, gdy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków x1, x2 jest równa 17, gdy:

 

 

Korzystamy ze wzorów Viete'a na sumę i iloczyn pierwiastków.

 

 

 

 

 

Suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania jest równa 17, gdy są jednocześnie spełnione warunki (1), (2):

 

 

Rozwiąż układ równań...

 

   {premium}

 

 

 

zatem:

 

więc:

 

lub


 

   

 

 

 

zatem:

 

 

więc:

 

lub


 

  

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż...

Dane jest równanie

grupując wyrazy równania otrzymujemy{premium}

wyłączając wspólny czynnik przed nawias dostajemy

iloczyn dwóch liczb jest równy zero, gdy co najmniej jedna z liczb jest równa zero

    

Równanie ma więc trzy rozwiązania

 

Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły ...

Wiemy, że tangens kąta nachylenia prostej k do osi OX jest równy -2, zatem:

 

 

 

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej k, oznaczmy go a1. {premium}

 

 

 

Zatem szukana prosta jest postaci:

 

Wiemy, że wykres funkcji przecina prostą k na osi OY w punkcie o rzędnej 4, zatem do wykresu funkcji należy punkt (0, 4).

Podstawiając współrzędne tego punktu otrzymujemy:

 

 

 

Zatem szukana funkcja jest postaci: