Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

"Wartość bezwzględna" to funkcja określona na całym przedziale liczb rzeczywistych oznaczana symbolem $$|x|$$ albo skrótem $$abs(x)$$ (z ang. absolute).

Definiuje się ją jako:



Inaczej mówiąc, przekształca każdą liczbę, którą dostanie na liczbę nieujemną.
Kilka przykładów, które mogą pomóc to zrozumieć (każdy z nich bezpośrednio wynika ze wzoru):

• $$|-2| = 2$$
• $$|-1/3| = 1/3$$
• $$|4| = 4$$
• $$|0| = 0$$
• $$|5-9| = |-4| = 4$$

Ćwiczenie 1. Oblicz:

a) $$|-5|$$

b) $$|1/2|$$

c) $$|a^2|$$

Ćwiczenie 2. Narysuj wykres funkcji wartości bezwzględnej.

Można zauważyć, że $$|-x| = |x|$$, czyli wewnątrz wartości bezwzględnej możemy swobodnie zmienić znak całego wyrażenia na przeciwny.
Jeśli na przykład mamy $$|5-9|$$, to jest to to samo, co $$|-(5-9)|$$, czyli $$|9-5|$$.

Wartość bezwzględna może także występować w równaniach i nierównościach.
Rozwiązujemy je tak samo jak w przypadku innych takich zadań, jednak gdy chcemy "opuścić" wartość bezwzględną, musimy rozważyć dwa przypadki:
 

1. wartość pod nią jest dodatnia
2. wartość pod nią jest ujemna

Później po prostu rozwiązujemy zadanie dwutorowo dochodząc do dwóch wyników.

Na początek spójrzmy na równanie $$|x| = 10$$. Aby je rozwiązać, musimy rozważyć dwa przypadki: $$x$$ może być albo dodatni, albo ujemny (oczywiście nie może być zerem).

Jeśli $$x$$ > $$0$$ to funkcja wartości bezwzględnej nie zmienia jego znaku i otrzymujemy $$x = 10$$.
Jeśli x jest ujemny, to wartość bezwzględna zmienia znak (czyli "wstawia minus"") i dostajemy $$–x = 10$$ czyli $$x=-10$$;

Bardziej rozbudowany przykład: mamy równanie $$|2x - 4| = 9$$.

Aby je rozwiązać, znowu trzeba zastanowić się co tak naprawdę kryje się pod wartością bezwzględną - jeśli jest to liczba ujemna, to zmieniamy jej znak.

Przypadek 1:
$$2x - 4$$ > $$0$$
$$2x - 4 = 9$$
$$2x = 13$$
$$x = 6,5$$

Przypadek 2:
$$2x – 4$$ < $$0$$
$$|2x – 4| = -(2x - 4) = 4 - 2$$
$$4 – 2x = 9$$
$$2x = -5$$


Ćwiczenie 3.
Rozwiąż równania:

a) $$|x + 5| = 7$$

b) $$|4x - 8| = 16$$

c) $$|x^2 - 3x + 2| = 6$$

Inna ciekawa interpretacja wartości bezwzględnej jest taka, że określa ona odległość dwóch liczb na osi liczbowej.


Weźmy na przykład $$|x - 4|$$ jest to po prostu różnica między tymi dwoma liczbami objęta „gwarancją dodatności”. Wiadomo, że odległość między dwoma miejscami nie może być liczbą ujemną, więc wartość bezwzględna pozwala nam nie przejmować się, czy odejmujemy od większej liczby mniejszą, czy na odwrót – ona zawsze da nam liczbę dodatnią.


Warto także zanotować, że $$|x| = |x - 0|$$ - czyli jest to po prostu odległość od $$0$$ do $$x$$ (nawet jeśli liczba jest ujemna, odległość od zera jest na pewno dodatnia).


Czas teraz na najbardziej zaawansowany aspekt tego działu, czyli rozwiązywanie nierówności zawierających wartość bezwzględną.

Ogólnie rzecz biorąc rozwiązywanie nierówności nie różni się zbytnio od rozwiązywania równań: główna różnica pojawia się w momencie opuszczania wartości bezwzględnej. O ile w przypadku równań nie było możliwości zmiany znaku, to w tutaj jak najbardziej się to zdarza.

W momencie, kiedy pozbywamy się wartości bezwzględnej i przechodzimy do rozważania dwóch przypadków, w każdym z nich pojawia się nierówność w inną stronę, tzn. jeśli wyjściowo mieliśmy np $$|x| >3$$, to po zamianie mamy:
1) zamieniamy $$|x|$$ na $$x$$: $$x$$ > $$4$$
2) zamieniamy $$|x|$$ na $$-x$$: $$-x$$ > $$4$$, czyli $$x$$ < $$-4$$ (przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną odwracamy jej znak)

Przykład 1.
$$|3x - 2|$$ > $$x$$

1) $$3x - 2$$ > $$0$$, czyli
$$3x - 2$$ > $$x$$
$$2x$$ > $$2$$
$$x$$ > $$1$$

2) $$3x - 2$$ < $$0$$, czyli
$$-(3x - 2)$$ > $$x$$
$$-3x + 2$$ > $$x$$
$$-4x$$ > $$-2$$
$$x$$ < $$1/2$$


Można także, zamiast męczyć się z równaniami, po prostu postarać się to "zrozumieć", korzystając z pojęcia odległości.

Zacznjmy od prostego przykładu: $$|x - 4|$$ < $$5$$. Jak możemy zinterpretować ten napis korzystając z nabytej wiedzy?

Oznacza on tyle, że odległość między $$x$$ a $$4$$ jest mniejsze od 5, czyli że $$x$$ jest oddalony od $$4$$ o nie więcej niż $$5$$. Łatwo stwierdzić, że w takim razie $$x$$ < $$9$$ i $$x$$ > $$1$$.




Przykład 2.
$$|100 - x|$$ > $$30$$.
Interpretując: mamy znaleźć takie wszystkie $$x$$, żeby odległość między każdym z nich a liczbą $$100$$ była większa od trzydziestu. Znowu łatwo dostrzec, że w takim razie $$x$$ < $$70$$ i $$x$$ > $$130$$.