Wartość bezwzględna - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wartość bezwzględna

"Wartość bezwzględna" to funkcja określona na całym przedziale liczb rzeczywistych oznaczana symbolem $$|x|$$ albo skrótem $$abs(x)$$ (z ang. absolute).

Definiuje się ją jako:

2

Inaczej mówiąc, przekształca każdą liczbę, którą dostanie na liczbę nieujemną.
Kilka przykładów, które mogą pomóc to zrozumieć (każdy z nich bezpośrednio wynika ze wzoru):
  • $$|-2| = 2$$
  • $$|-1/3| = 1/3$$
  • $$|4| = 4$$
  • $$|0| = 0$$
  • $$|5-9| = |-4| = 4$$

Ćwiczenie 1. Oblicz:

a) $$|-5|$$

ponieważ $$-5$$ < $$0$$, to wartość bezwzględna zmienia znak: $$|-5| = -(-5) = 5%

b) $$|1/2|$$

$${1}/{2}$$ jest oczywiście większe od zera, więc opuszczamy wartość bezwzględną nie zmieniając znaku:
$$|{1}/{2}| = {1}/{2}$$

c) $$|a^2|$$

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze większy od zera, więc wartość bezwzględna nie zmienia znaku:
$$|a^2| = a^2$$



Ćwiczenie 2. Narysuj wykres funkcji wartości bezwzględnej.

funkcja
$$f(x)=|x|$$



Można zauważyć, że $$|-x| = |x|$$, czyli wewnątrz wartości bezwzględnej możemy swobodnie zmienić znak całego wyrażenia na przeciwny.
Jeśli na przykład mamy $$|5-9|$$, to jest to to samo, co $$|-(5-9)|$$, czyli $$|9-5|$$.

Wartość bezwzględna może także występować w równaniach i nierównościach.
Rozwiązujemy je tak samo jak w przypadku innych takich zadań, jednak gdy chcemy "opuścić" wartość bezwzględną, musimy rozważyć dwa przypadki:
 
  1. wartość pod nią jest dodatnia
  2. wartość pod nią jest ujemna

Później po prostu rozwiązujemy zadanie dwutorowo dochodząc do dwóch wyników.

Na początek spójrzmy na równanie $$|x| = 10$$. Aby je rozwiązać, musimy rozważyć dwa przypadki: $$x$$ może być albo dodatni, albo ujemny (oczywiście nie może być zerem).

Jeśli $$x$$ > $$0$$ to funkcja wartości bezwzględnej nie zmienia jego znaku i otrzymujemy $$x = 10$$.
Jeśli x jest ujemny, to wartość bezwzględna zmienia znak (czyli "wstawia minus"") i dostajemy $$–x = 10$$ czyli $$x=-10$$;

Bardziej rozbudowany przykład: mamy równanie $$|2x - 4| = 9$$.

Aby je rozwiązać, znowu trzeba zastanowić się co tak naprawdę kryje się pod wartością bezwzględną - jeśli jest to liczba ujemna, to zmieniamy jej znak.

Przypadek 1:
$$2x - 4$$ > $$0$$
$$2x - 4 = 9$$
$$2x = 13$$
$$x = 6,5$$

Przypadek 2:
$$2x – 4$$ < $$0$$
$$|2x – 4| = -(2x - 4) = 4 - 2$$
$$4 – 2x = 9$$
$$2x = -5$$


Ćwiczenie 3.
Rozwiąż równania:

a) $$|x + 5| = 7$$

Rozbijamy to na dwa przypadki:
I. $$x + 5$$ > $$0$$ wynika z tego, że $$x$$ > $$-5$$.

Wartość bezwzględna nie zmienia znaku:
$$x + 5 = 7$$
$$x = 2$$
Otrzymaliśmy rozwiązanie, które spełnia warunek $$x > -5$$.


II. $$x + 5$$ <= $$0$$
wynika z tego, że $$x$$ <= $$-5$$.
Wartość bezwzględna zmienia znak:
$$-x - 5 = 7$$
$$x = -12$$

Otrzymaliśmy rozwiązanie, które spełnia warunek $$x$$ <= $$-5$$.

b) $$|4x - 8| = 16$$

W tym przykładzie postępujemy analogicznie jak w poprzednim.
I. $$4x - 8$$ > $$0$$, czyli $$x$$ > $$2$$
Nie zmieniamy znaku:
$$4x - 8 = 16$$
$$4x = 24$$
$$x = 6$$ - rozwiązanie spełnia warunek.


II. $$4x - 8$$ =< $$0$$, czyli $$x$$ =< $$2$$
Zmieniamy znak:
$$-4x + 8 = 16$$
$$4x = -8$$
$$x = -2$$ - rozwiązanie spełnia warunek.

c) $$|x^2 - 3x + 2| = 6$$

Ponownie rozbijamy na dwa przypadki: I. $$x^2 -3x + 2$$ > $$0$$, czyli $$(x-1)(x-2)$$ > $$0$$. Oba czynniki muszą być tego samego znaku, więc $$x ∈ (-∞, 1) ∪ (2, ∞)$$.

Rozwiązując dalej otrzymujemy:
$$x^2 - 3x + 2 = 2$$
$$x^2 - 3x = 0$$
$$x(x-3) = 0$$

Rozwiązaniami są liczby $$x = 0$$ i $$x = 3$$. Mieszczą się one w naszych przedziałach.

II. $$x^2 -3x + 2$$ <= $$0$$, czyli $$(x-1)(x-2)$$ <= $$0$$.
Oba czynniki muszą być różnego znaku, więc $$x ∈ < 1, 2 >$$

Rozwiązując dalej otrzymujemy:
$$-x^2 + 3x - 2 = 2$$
$$-x^2 + 3x - 4 = 0$$
Równanie to nie ma rozwiązań.

Jedynymi rozwiązaniami są więc liczby z przypadku I.



Inna ciekawa interpretacja wartości bezwzględnej jest taka, że określa ona odległość dwóch liczb na osi liczbowej.
1

Weźmy na przykład $$|x - 4|$$ jest to po prostu różnica między tymi dwoma liczbami objęta „gwarancją dodatności”. Wiadomo, że odległość między dwoma miejscami nie może być liczbą ujemną, więc wartość bezwzględna pozwala nam nie przejmować się, czy odejmujemy od większej liczby mniejszą, czy na odwrót – ona zawsze da nam liczbę dodatnią.


Warto także zanotować, że $$|x| = |x - 0|$$ - czyli jest to po prostu odległość od $$0$$ do $$x$$ (nawet jeśli liczba jest ujemna, odległość od zera jest na pewno dodatnia).


Czas teraz na najbardziej zaawansowany aspekt tego działu, czyli rozwiązywanie nierówności zawierających wartość bezwzględną.

Ogólnie rzecz biorąc rozwiązywanie nierówności nie różni się zbytnio od rozwiązywania równań: główna różnica pojawia się w momencie opuszczania wartości bezwzględnej. O ile w przypadku równań nie było możliwości zmiany znaku, to w tutaj jak najbardziej się to zdarza.

W momencie, kiedy pozbywamy się wartości bezwzględnej i przechodzimy do rozważania dwóch przypadków, w każdym z nich pojawia się nierówność w inną stronę, tzn. jeśli wyjściowo mieliśmy np $$|x| >3$$, to po zamianie mamy:
1) zamieniamy $$|x|$$ na $$x$$: $$x$$ > $$4$$
2) zamieniamy $$|x|$$ na $$-x$$: $$-x$$ > $$4$$, czyli $$x$$ < $$-4$$ (przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną odwracamy jej znak)

Przykład 1.
$$|3x - 2|$$ > $$x$$

1) $$3x - 2$$ > $$0$$, czyli
$$3x - 2$$ > $$x$$
$$2x$$ > $$2$$
$$x$$ > $$1$$

2) $$3x - 2$$ < $$0$$, czyli
$$-(3x - 2)$$ > $$x$$
$$-3x + 2$$ > $$x$$
$$-4x$$ > $$-2$$
$$x$$ < $$1/2$$


Można także, zamiast męczyć się z równaniami, po prostu postarać się to "zrozumieć", korzystając z pojęcia odległości.

Zacznjmy od prostego przykładu: $$|x - 4|$$ < $$5$$. Jak możemy zinterpretować ten napis korzystając z nabytej wiedzy?

Oznacza on tyle, że odległość między $$x$$ a $$4$$ jest mniejsze od 5, czyli że $$x$$ jest oddalony od $$4$$ o nie więcej niż $$5$$. Łatwo stwierdzić, że w takim razie $$x$$ < $$9$$ i $$x$$ > $$1$$.

rys2


Przykład 2.
$$|100 - x|$$ > $$30$$.
Interpretując: mamy znaleźć takie wszystkie $$x$$, żeby odległość między każdym z nich a liczbą $$100$$ była większa od trzydziestu. Znowu łatwo dostrzec, że w takim razie $$x$$ < $$70$$ i $$x$$ > $$130$$.


rys3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Równanie y=4x^2-bx+1 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podaj przykład sześcioelementowego nierosnącego...

  

 

 

 

 

Oblicz współczynniki a i b wielomianu w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż trójkąt prostokątny ABC...

a) Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

b) Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

Przekątne trapezu równoramiennego przecinają się ...

 

Zauważmy, że trójkąty ASB i DCS są prostokątne i równoramienne.

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że trójkąty DES i DSA są podobne. Oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku D.

Skoro mają dwa kąty tej samej miary, to trzeci również muszą mieć tej samej miary. Trójkąty są podobne z cechy KKK.

Z podobieństwa wspomnianych trójkątów:

 

  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DES otrzymujemy, że:

 

  

 

 

       

Rozwiąż nierówności

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny: 

 

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie x-4 przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego:

 

Biorąc pod uwagę dodatkowo założenia zapisujemy: 

 

Przy tych założeniach wiemy już, że obie strony nierówności są dodatnie (po lewej stronie wyrażenie może także przyjąć wartość równą 0), dlatego spokojnie możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu - znak nierówności nie zmieni się

 

Wyliczamy miejsca zerowe paraboli, aby móc narysować wykres pomocniczy: 

 

 

 

 

 

 

Po obu stronach nierówności mamy coś nieujemnego, więc możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu:

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie 3-2x przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego: 

 

Bierzemy pod uwagę jeszcze założenia: 

 

Nierówność jest więc sprzeczna

Wyznacz wszystkie rozwiązania nierówności ...

 

 

 

Obliczamy  i miejsca zerowe funkcji

 

 

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od zera {premium}

,

dlatego ramiona paraboli skierowane są do dołu.

 

Thumb str 2056 20  206.

 

Odczytujemy z wykresu dla jakich  nierówność  jest spełniona

.

 

 

 

 

Liczby całkowite należące do tego przedziału: 

Grupa uczniów - 4 dziewcząt i 8 chłopców ...

a) Są dwie możliwości, albo dziewczyny siedzą z lewej strony a chłopcy z prawej, albo chłopcy siedzą z lewej strony, a dziewczyny z prawej strony.

Obliczmy ile jest możliwości zajęcia miejsc przez dziewczyny (4 miejsca) i przez chłopców (8 miejsc).

Pierwsza dziewczyna ma 4 możliwości wyboru miejsca.

{premium}

Druga dziewczyna ma 3 możliwości wyboru miejsca.

Trzecia dziewczyna ma 2 możliwości wyboru miejsca. 

Czwarta dziewczyna ma 1 możliwość wyboru miejsca.

Podobnie dla chłopców, pierwszy chłopiec ma 8 możliwości wyboru miejsca, itd.

Zgodnie z regułą mnożenia:

 


b) Sprawdźmy ile jest możliwości, jeśli dziewczęta siedzą razem (nie rozróżniając dziewcząt) :

Dziewczęta są rozróżnialne, więc jest 9! możliwości.

Pierwsza dziewczyna ma 4 możliwości wyboru miejsca.

{premium}

Druga dziewczyna ma 3 możliwości wyboru miejsca.

Trzecia dziewczyna ma 2 możliwości wyboru miejsca. 

Czwarta dziewczyna ma 1 możliwość wyboru miejsca.

 

Wobec tego wszystkich możliwości jest:  


c) Sprawdźmy ile jest możliwości, jeśli chłopcy siedzą razem (nie rozróżniając chłopców) :

Chłopcy są rozróżnialni, więc jest 5! możliwości.

Pierwszy chłopiec ma 8 możliwości wyboru miejsca.

Drugi chłopiec ma 7 możliwości wyboru miejsca.

Trzeci chłopiec ma 6 możliwości wyboru miejsca, itd. 

 

Wobec tego wszystkich możliwości jest:  

Oblicz P(AuB)

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

 

 

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

 

Prostokątny trawnik ma powierzchnię 216 m² ...

 

  

  

   

  

  

  

  

 

 

 

 

`x=12,\ \ \ x+6=18 

 

ODP: Trawnik ma wymairy 18 m x 12 m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 `x^2+15x-216=0` 

 `225+864=` `1089` 

 

 

 

 

 

ODP: Trawnik ma wymiary 9 m x 24 m.