Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$x = y + 1$
$y^2 = 2z + 3$
$z = 3x + y$

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$:
$y = x - 1$

Podstawiamy do drugiego:
$(x-1)^2 = 2z + 3$

Wyznaczamy $z$
$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$
$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$
$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$
$x^2 - 10x = 0$

Pierwsze rozwiązanie: $x_1 = 0$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $x$ otrzymujemy $x_2 = 10$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$y_1 = 0 - 1 = -1$
$y_2 = 10 - 1 = 9$

I ostatecznie wyliczyć z:
$z_1 = 3x_1 + y_1$
$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$
$z_2 = 3x_2 + y_2$
$z_2 = 3×10 + 9 = 39$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $(0,-1,-1)$ oraz $(10, 9, 39)$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $z$ nie podstawić do jednego równania $x_1$ i $y_2$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$y^2 = 5x + 2$
$3z = 2y - x$
$z = -2x + y$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $z$ z równania trzeciego:

$3(-2x + y) = 2y -x$
$6x - x = 3y - 2y$
$5x = y$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $y$-a do równania pierwszego obliczając $x$:
$(5x)^2 = 5x + 2$
$25x^2 - 5x - 2= 0$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$(5x - 2)(5x + 1) = 0$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $5x - 2 = 0$
$5x = 2$
$x = {2}/{5}$

Wtedy $y = 5x = 2$ oraz $z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$

b) $5x + 1 = 0$
$5x = -1$
$x = -{1}/{5}$

Wtedy $y = 5x = -1$ oraz $z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie ABC poprowadzono docinek DE...

Trójkąty ABC oraz DEC są trójkątami podobnymi, ponieważ mają kąty o takich samych miarach.

Trójkaty są podobne, więc odpowiadające sobie boki są proporcjonalne i stosunek między nimi jest stały.

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Mamy więc:

 

 

 

 

Wskaż liczbę równą...

 {premium}  

 

Odp.: D  

Na podstawie podanych informacji ...

Mamy tutaj do czynienia z przybliżeniem z nadmiarem. Błąd bezwzględny tego przybliżenia obliczymy odejmując dokładną wartość od przybliżenia. Mamy więc:{premium}

 

 

 

 


Mamy tutaj do czynienia z przybliżeniem z nadmiarem. Błąd bezwzględny tego przybliżenia obliczymy odejmując dokładną wartość od przybliżenia. Mamy więc:

 

 

 

 


Mamy tutaj do czynienia z przybliżeniem z niedomiarem. Błąd bezwzględny tego przybliżenia obliczymy odejmując przybliżenie od dokładnej wartości. Mamy więc:

 

 

 


Mamy tutaj do czynienia z przybliżeniem z niedomiarem. Błąd bezwzględny tego przybliżenia obliczymy odejmując przybliżenie od dokładnej wartości. Mamy więc:

 

 

 

Rozwiązaniem...

Dane jest równanie

równanie jest określone, gdy{premium}

dziedziną równania jest więc

przekształcając równanie dostaniemy

 

Rozwiązując pierwsze równanie otrzymujemy

 

równanie ma więc dwa rozwiązania

 

Rozwiązując drugie równanie otrzymujemy

 

Podsumowując równanie ma trzy rozwiązania 

 

więc spośród podanych liczb rozwiązaniem równania nie jest liczba 1. 

 

Odp. C. 

Punkty A i B leżą na okręgu o średnicy ...

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że trójkąt ABO jest równoboczny, zatem:   {premium}

 

Z sumy miar kątów w czworokącie APBO mamy:

 

 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Osią symetrii wykresu funkcji ...

Prosta x=2 jest osią symetrii wykresu funkcji f, więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 2.

Jednym z miejsc zerowych jest liczba -1.

Miejsca zerowe są równoodległe od osi symetrii paraboli, zatem drugim z miejsc zerowych jest liczba 5.

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci iloczynowej:

 

Do wykresu funkcji f należy punkt (1, -4).

Jeśli punkt o danych współrzędnych należy do wykresu funkcji y=f(x), to po wstawieniu jego współrzędnych odpowiednio w miejsca x i y do wzoru funkcji otrzymamy równość. 

Podstawiamy współrzędne punktu (1, -4) do wzoru funkcji i wyznaczamy a.  

 

 

 

 

Stąd otrzymujemy, że:

 


Rozwiązujemy daną nierówność

 

 

 

 

 

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy jego pierwiastki.

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze trójmianu kwadratowego jest liczbą dodatnią, więc ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=x2-6x-7 skierowane są do góry. Wobec tego:

 

Trzy osoby przepisały wykład...

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

Odp. B

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez podany...

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

Oblicz miary kątów wielokątów,...

Trójkąt ABC jest oparty na średnicy zatem:

 


Trójkąt o wierzchołkach w punktach B i C i w środku okręgu (S) jest równoramienny, zatem:  {premium}

 


Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180o, zatem:

 

Odp.: Miary kątów w tym trójkącie to 90o, 65o i 25o


Trójkąty DGF i DEF są oparte na średnicy, zatem trójkąty te są prostokątne:

 

 

Obliczmy miarę kąta EFD:

 

Kąty EFD i DGE to kąty wpisane oparte na tym samym łuku zatem mają one równe miary:

 


Obliczmy miarę kąta GDF:

 


Obliczmy miarę kąta GDE:

 


Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360o, zatem:

 

Odp.: Miary kątów w tym czworokącie to: 90o, 90o, 65o i 115o


Trójkąt JHI jest oparty na średnicy zatem:

 

Kąty HJI i kąt o mierze 70o to kąty wpisane oparte na tym samym łuku zatem:

 


Obliczmy miarę kąta JIH:

 


Odp.: Miary kątów w tym trójkącie to: 90o, 70o i 20o


Kąt MLN to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany MKN, zatem:

 

trójkąt NML jest równoramienny i kąt między jego ramionami wynosi 60o, więc jest on równoboczny, zatem:

 

 

Trójkąt  KLN jest równoramienny, zatem:

 

 


Obliczmy miarę kąta KNM:

 


Obliczmy miarę kąta KLM:

 


Odp.: Miary kątów w tym czworokącie to: 45o, 150o, 65o i 105o

Zapisz w jak najprostszej postaci wartość...

a) Przekształcamy wrażenie do prostszej postaci:

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla danego a (korzystamy z uproszczonej postaci):

 


b) Przekształcamy wrażenie do prostszej postaci:

 

Przekształcamy daną wartość a do prostszej postaci:

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla danego a (korzystamy z uproszczonej postaci):