Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$$x = y + 1$$
$$y^2 = 2z + 3$$
$$z = 3x + y$$

Z pierwszego równania wyznaczamy $$y$$:
$$y = x - 1$$

Podstawiamy do drugiego:
$$(x-1)^2 = 2z + 3$$

Wyznaczamy $$z$$
$$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
$${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$$
$$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$$
$$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$$
$$x^2 - 10x = 0$$

Pierwsze rozwiązanie: $$x_1 = 0$$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $$x$$ otrzymujemy $$x_2 = 10$$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$$y_1 = 0 - 1 = -1$$
$$y_2 = 10 - 1 = 9$$

I ostatecznie wyliczyć z:
$$z_1 = 3x_1 + y_1$$
$$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$$
$$z_2 = 3x_2 + y_2$$
$$z_2 = 3×10 + 9 = 39$$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $$(0,-1,-1)$$ oraz $$(10, 9, 39)$$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $$z$$ nie podstawić do jednego równania $$x_1$$ i $$y_2$$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$$y^2 = 5x + 2$$
$$3z = 2y - x$$
$$z = -2x + y$$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $$z$$ z równania trzeciego:

$$3(-2x + y) = 2y -x$$
$$6x - x = 3y - 2y$$
$$5x = y$$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $$y$$-a do równania pierwszego obliczając $$x$$:
$$(5x)^2 = 5x + 2$$
$$25x^2 - 5x - 2= 0$$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$$(5x - 2)(5x + 1) = 0$$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $$5x - 2 = 0$$
$$5x = 2$$
$$x = {2}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = 2$$ oraz $$z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$$

b) $$5x + 1 = 0$$
$$5x = -1$$
$$x = -{1}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = -1$$ oraz $$z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla jakich wartości parametru m równanie...

 

Równanie ma mieć dwa różne rozwiązania, więc nie może być liniowe. Będzie tak, gdy:

 

 

Obliczamy wyróżnik  

 

 

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy  

{premium}

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

 

Oznacza to, że  dla każdego  

Stąd równanie    

 

 

Równanie ma mieć dwa różne rozwiązania, więc nie może być liniowe. Będzie tak, gdy:

 

 

Obliczamy wyróżnik  

 

 

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy  

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

 

Pamiętamy, że  zatem równanie  ma dwa różne rozwiązania

wtedy i tylko wtedy, gdy  

 

Na rysunku jest przedstawiony wykres...

 litrów

 litrów

 po sześciu minutach

 Niech:

liczba litrów wody w pojemniku

czas wyciekania wody w minutach,   

Wówczas:

  

W urnie jest n kul, w tym 4 czarne ...

Ilość wszystkich kul: n

Ilość białych kul: n-4

Ilość czarnych kul: 4 {premium}

 

Prawdopodobieństwo wylosowania kul różnego koloru (biała i czarna lub czarna i biała):

 

 

Wiemy, że prawdopodobieństwo jest równe  zatem otrzymujemy równanie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ilość wszystkich kul: 7 lub 8

Ilość czarnych kul: 4

Ilość białych kul: 3 lub 4

 

Odp. Białych kul jest 3 lub 4 w tej urnie.

Dla jakich wartości parametru a

Liczba 5 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 5 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Musimy jeszcze sprawdzić, czy dla a=6 liczba 5 jest rzeczywiście tylko jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Liczba 5 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

 

Liczba 3 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 3 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Otrzymaliśmy dwie wartości a. Musimy sprawdzić, czy dla tych wartości liczba 3 jest rzeczywiście jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u:

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W obu przypadkach liczba 3 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

Jeśli liczba -½ ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+½)² oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia drugiego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+½)²  jest stopnia 2, a 4-2=2). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -½ jest rzeczywiście tylko dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Dla czynnika kwadratowego otrzymaliśmy inne niż -½ pierwiastki, więc możemy zapisać rozwiązanie:

 

 

 

 

Jeśli liczba -1 ma być trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+1)³ oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia pierwszego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+1)³  jest stopnia 3, a 4-3=1). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania (korzystając przy tym ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy) i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -1 jest rzeczywiście tylko trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Czwarty pierwistek wielomianu w to 2, więc liczba -1 jest trzykrotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Możemy więc zapisać odpowiedź:

 

 

 

Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej...

Zauważmy, że  to przekątna kwadratu o boku długości  , więc:

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że przekątna jest o 1 cm dłuższa od krawędzi sześcianu, więc:

 

 

 

 

Usuwając  niewymierność z mianownika otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji:

 

Rozważmy najpierw wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną - będziemy chcieli ustalić jego znak.

 

 

Zatem, z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

 

Wykres funkcji  jest sumą wykresów funkcji:

 gdzie  oraz  gdzie   

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor  

Obliczamy wartości funkcji  na końcach przedziałów, na których jest określona:

 

Szkicujemy wykresy funkcji  i  na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji  

{premium}

 

 

Rozważmy najpierw wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną - będziemy chcieli ustalić jego znak.

 

 

Zatem, z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

 

Wykres funkcji  jest sumą wykresów funkcji:

 gdzie  oraz  gdzie   

Przekształcamy wzór funkcji  do postaci kanonicznej:

 

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor

Obliczamy wartości funkcji  i  na końcach przedziałów, na których są określone:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji  i  na wyznaczonych przedziałach.

 

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji  

 

 

Rozważmy najpierw wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną - będziemy chcieli ustalić jego znak.

 

 

Zatem, z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

 

Wykres funkcji  jest sumą wykresów funkcji:

 gdzie  oraz  gdzie   

Sprowadzamy wzór funkcji  do postaci kanonicznej:

 

Sprowadzamy wzór funkcji  do postaci kanonicznej:

 

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor  

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor 

Obliczamy wartości funkcji  i  na końcach przedziałów, na których są określone:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji  i  na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji  

 

 

Rozważmy najpierw wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną - będziemy chcieli ustalić jego znak.

 

 

Zatem, z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

 

Wykres funkcji  jest sumą wykresów funkcji:

 gdzie  oraz  gdzie   

Przekształcamy wzór funkcji  do postaci kanonicznej:

 

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor

Obliczamy wartości funkcji  na końcach przedziałów, na których jest określona:

 

Szkicujemy wykresy funkcji  i  na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji  

Podaj wzór i naszkicuj

 

Najpierw naszkicujemy wykres funkcji f:

 

Wykres funkcji g otrzymamy, odbijając wykres funkcji f symetrycznie względem osi OX:{premium} 

 

Odczytujemy zbiór wartości funkcji g:

 

 

Odczytujemy przedziały monotoniczności funkcji g:

 

 

   

 

 

 

 

Najpierw naszkicujemy wykres funkcji f:

 

 

Wykres funkcji g otrzymamy, odbijając wykres funkcji f symetrycznie względem osi OX. 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równania

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

W siedmiokącie wypukłym ...