Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$$x = y + 1$$
$$y^2 = 2z + 3$$
$$z = 3x + y$$

Z pierwszego równania wyznaczamy $$y$$:
$$y = x - 1$$

Podstawiamy do drugiego:
$$(x-1)^2 = 2z + 3$$

Wyznaczamy $$z$$
$$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
$${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$$
$$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$$
$$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$$
$$x^2 - 10x = 0$$

Pierwsze rozwiązanie: $$x_1 = 0$$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $$x$$ otrzymujemy $$x_2 = 10$$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$$y_1 = 0 - 1 = -1$$
$$y_2 = 10 - 1 = 9$$

I ostatecznie wyliczyć z:
$$z_1 = 3x_1 + y_1$$
$$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$$
$$z_2 = 3x_2 + y_2$$
$$z_2 = 3×10 + 9 = 39$$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $$(0,-1,-1)$$ oraz $$(10, 9, 39)$$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $$z$$ nie podstawić do jednego równania $$x_1$$ i $$y_2$$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$$y^2 = 5x + 2$$
$$3z = 2y - x$$
$$z = -2x + y$$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $$z$$ z równania trzeciego:

$$3(-2x + y) = 2y -x$$
$$6x - x = 3y - 2y$$
$$5x = y$$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $$y$$-a do równania pierwszego obliczając $$x$$:
$$(5x)^2 = 5x + 2$$
$$25x^2 - 5x - 2= 0$$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$$(5x - 2)(5x + 1) = 0$$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $$5x - 2 = 0$$
$$5x = 2$$
$$x = {2}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = 2$$ oraz $$z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$$

b) $$5x + 1 = 0$$
$$5x = -1$$
$$x = -{1}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = -1$$ oraz $$z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Obwód prostokąta jest równy...

Oznaczmy długości boków przez x, y. Wtedy:

`2x+2y = 24` 

`x+y = 12` 

`y=12 - x` 

 

Obróćmy prostokąt wokół boku x. Powstanie wtedy walec, które w podstawie ma koło o promieniu y i wysokości x.

 

Powierzchnia boczna walca to prostokąt o bokach długości x i boku długości równej obwodowi koła w podstawie. Obliczmy obwód koła:

`"Obw" = 2pir = 2piy = 2pi*(12-x) = 24pi - 2pix` 

 

Funkcja opisująca powierzchnię boczną walca:

`f(x) = x*(24pi - 2pix) = 24pix - 2pix^2` 

Największe pole będzie w wierzchołku, zatem:

`p = (-b)/(2a) = (-24pi)/(2*(-2pi)) = (-24pi)/(-4pi) = 6` 

 

A więc 

`{(x=6),(y=6):}` 

Odpowiedź: Prostokąt musi być kwadratem o boku długości 6.

Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego...

Środkowa opuszczona na przeciwprostokątną jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, zatem przeciwprostokątna ma długość 8. Obliczmy z twierdzenia Pitagorasa długość drugiej przyprostokątnej:

`a^2 + (2sqrt3)^2 = 8^2` 

`a^2 + 12 = 64` 

`a^2 = 52` 

`a = sqrt52 = sqrt4*sqrt13 = 2sqrt13` 

 

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych:

`P = 1/2 * 2sqrt3 * 2sqrt13 = 2sqrt39` 

Odpowiedź A

Obwód trójkąta jest równy 16 cm...

Korzystamy ze wzoru:

`P=p*r=(Obw)/2*r`

Stąd

`r=(2P)/(Obw)`

`r=(2*4sqrt5)/16\ cm=sqrt5/2\ cm`

Dany jest trójkąt równoramienny...

a)

Bryła powstała przez obrót trójkąta wokół wysokości to stożek.

`V=1/3*P_p*h` 

`V=1/3*pir^2*h` 

`V=1/3*pi*(1/2a)^2*h` 

`V=1/3*pi*1/4a^2*h` 

`V=1/12pia^2h` 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa w tym trójkącie otrzymujemy:

`(1/2a)^2+h^2=6^2` 

`1/4a^2+h^2=36` 

`1/4a^2=36-h^2` 

`a^2=108-4h^2` 

 

`V(h)=1/12pi(108-4h^2)*h` 

`V(h)=9pih-4/12pih^3` 

`V'(h)=9pi-4/12pi*3h^2` 

`V'(h)=9pi-pih^2` 

`9pi-pih^2=0` 

`9pi=pih^2 \ \ \ |:pi` 

`9=h^2` 

`h=3` 


b)

Bryła powstała przez obrót trójkąta wokół podstawy to bryła składająca się z dwóch stożków.

`V=2*1/3*P_p*h` 

`V=2/3*pir^2*h` 

`V=2/3pi(1/2a)^2*h` 

`V=2/3pi*1/4a^2h` 

`V=1/6pia^2h` 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa w tym trójkącie otrzymujemy:

`(1/2a)^2+h^2=6^2` 

`1/4a^2+h^2=36` 

`1/4a^2=36-h^2` 

`a^2=108-4h^2` 

 

`V(h)=1/6pi(108-4h^2)*h` 

`V(h)=18pih-4/6pih^3` 

`V'(h)=18pi-4/6pi*3h^2` 

`V'(h)=18pi-2pih^2` 

`18pi-2pih^2=0` 

`18pi=2pih^2 \ \ \ |:2pi` 

`9=h^2` 

`h=3` 

 

 

Wykonaj działania, odpowiedź podaj ...

`a)` 

`(x+6)/(x^2+x-2)+(3x+8)/(2x+4)+(x+1)/(1-x)=(**)` 

`x^2+x-2=0` 

`Delta=1+8=9` 

`sqrtDelta=3` 

`x_1=(-1-3)/2=-2` 

`x_2=(-1+3)/2=1` 

`x^2+x-2=(x+2)(x-1)` 

 

`(**)=(2(x+6))/(2(x+2)(x-1))+((3x+8)(x-1))/(2(x+2)(x-1))+(2(-x-1)(x+2))/(2(x+2)(x-1))=`  

`(2x+12+3x^2-3x+8x-8-2x^2-4x-2x-4)/((x+2)(x-1))=( x^2+ x )/((x+2)(x-1))`   

`x+2ne0\ implies\  x ne-2` 

`x-1ne0\ implies\ x ne1` 

`D=RR\\{-2;1}` 

 

`b)` 

`(2x+13)/(x^2-4)+(x+4)/(x+2)-(x+2)/(x-2)=`       

`=(2x+13)/((x-2)(x+2))+((x+4)(x-2))/((x-2)(x+2))-((x+2)(x+2))/((x+2)(x-2))=` 

`=(2x+13+x^2-2x+4x-8-x^2-4x-4)/(x^2-4)=1/(x^2-4)` 

`x-2ne0\ implies\ x ne 2` 

`x+2ne0\ implies\ x ne -2` 

`D=RR\\{-2;2}` 

 

`c)` 

`(x+1)/(x-3)-6/(x^2+6x+9)-(x^2+9)/(x^2-9)=` 

`((x+1)(x+3)^2)/((x-3)(x+3)^2)-(6(x-3))/((x-3)(x+3)^2)-((x^2+9)(x+3))/((x+3)(x^2-9))=` 

`=((x+1)(x^2+6x+9)-6x+18-(x^3+3x^2+9x+27))/((x+3)^2(x-3))=` 

`=(x^3+6x^2+9x+x^2+6x+9-6x+18-x^3-3x^2-9x-27)/((x+3)^2(x-3))=` 

`=(4x^2)/((x+3)^2(x-3))` 

`(x+3)^2(x-3)ne0\ implies\ xne-3\ \ \wedge\ \ \x ne 3` 

`D=RR\\{-3;3}` 

 

`d)` 

`(6-9x)/(x^3+8)+(2x+3)/(x^2-2x+4)-1/(x+2)=`  

`=(6-9x)/((x+2)(x^2-2x+4))+((2x+3)(x+2))/((2x+3)(x^2-2x+4))-(x^2-2x+4)/((x+2)(x^2-2x+4))=` 

`=(6-9x+2x^2+4x+3x+6-x^2+2x-4)/((x+2)(x^2-2x+4))=(x^2+8)/(x^3+8)` 

`x^3+8ne0\ implies\ x^3ne-8\ implies\ x ne-2` 

`D=RR\\{-2}`        

 

Na bokach: AB, BC, CD i DA...

Rysunek poglądowy:

Oznaczając miary kątów przez `alpha , beta` otrzymujemy:

`alpha + beta = 90^o` 

 

Widzimy, że kąty alfa, beta i kąt czworokąta PQRS tworzą kąt półpełny zatem:

`alpha + beta + /_QPS = 180^o` 

`90^o + /_QPS = 180^o` 

`/_QPS = 90^o` 

Analogicznie można pokazać, że pozostałe kąty również są proste. Skoro |AP|=|BQ|=|CR|=|DS| to trójkąty są przystające, zatem boki czworokąta są równe czyli jest kwadratem.

 

Niech:

`|AP|=x` 

`|PB|=4x` 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|BQ|^2 +|PB|^2 = |PQ|^2` 

`x^2+16x^2=|PQ|^2` 

`|PQ|^2 = 17x^2` 

`|PQ| = sqrt17x`

 

Wiemy, że:

`5x=a` 

`x = a/5` 

 

czyli

`|PQ| = sqrt17*a/5 = (sqrt17/5)a`  

 

Pole kwadratu ABCD:

`P = (|PQ|)^2 = (sqrt17/5a)^2 = 17/25a^2`  

Oblicz granicę.

a)

`lim_(x->16)(x-16)/(sqrtx-4)=lim_(x->16)(x-16)/(sqrtx-4)*(sqrtx+4)/(sqrtx+4)=lim_(x->16)((x-16)(sqrtx+4))/(sqrtx^2-4^2)=` 

`=lim_(x->16)((x-16)(sqrtx+4))/(x-16)=lim_(x->16)(sqrtx+4)=sqrt16+4=4+4=8` 


b)

`lim_(x->3)(sqrtx-sqrt3)/(x-3)=lim_(x->3)(sqrtx-sqrt3)/(x-3)*(sqrtx+sqrt3)/(sqrtx+sqrt3)=lim_(x->3)(sqrtx^2-sqrt3^2)/((x-3)*(sqrtx+sqrt3))=` 

`=lim_(x->3)(x-3)/((x-3)*(sqrtx+sqrt3))==lim_(x->3)1/(sqrtx+sqrt3)=1/(sqrt3+sqrt3)=1/(2sqrt3)=sqrt3/6` 


c)

`lim_(x->2)(sqrt(x+2)-2)/(x-2)=lim_(x->2)(sqrt(x+2)-2)/(x-2)*(sqrt(x+2)+2)/(sqrt(x+2)+2)=lim_(x->2)(sqrt(x+2)^2-2^2)/((x-2)(sqrt(x+2)+2))=` 

`=lim_(x->2)(x+2-4)/((x-2)(sqrt(x+2)+2))=lim_(x->2)(x-2)/((x-2)(sqrt(x+2)+2))=` 

`=lim_(x->2)1/(sqrt(x+2)+2)=1/(sqrt(2+2)+2)=1/(2+2)=1/4` 


d)

`lim_(x->-1)(sqrt(2+x)-1)/(x+1)=lim_(x->-1)(sqrt(2+x)-1)/(x+1)*(sqrt(2+x)+1)/(sqrt(2+x)+1)=` 

`=lim_(x->-1)(sqrt(2+x)^2-1^2)/((x+1)(sqrt(2+x)+1))=lim_(x->-1)(2+x-1)/((x+1)(sqrt(2+x)+1)=` 

`=lim_(x->-1)(x+1)/((x+1)(sqrt(2+x)+1))=lim_(x->-1)1/((sqrt(2+x)+1))=1/(sqrt1+1)=1/2` 


e)

`lim_(x->1/2)(sqrt(4x-1)-1)/(2x-1)=lim_(x->1/2)(sqrt(4x-1)-1)/(2x-1)*(sqrt(4x-1)+1)/(sqrt(4x-1)+1)=` 

`=lim_(x->1/2)(sqrt(4x-1)^2-1^2)/((2x-1)(sqrt(4x-1)+1))=lim_(x->1/2)(4x-1-1)/((2x-1)(sqrt(4x-1)+1))=` 

`=lim_(x->1/2)(4x-2)/((2x-1)(sqrt(4x-1)+1))=lim_(x->1/2)(2(2x-1))/((2x-1)(sqrt(4x-1)+1))=lim_(x->1/2)2/(sqrt(4x-1)+1)=` 

`=2/(sqrt(4*1/2-1)+1)=2/(1+1)=2/2=1` 

 


f)

`lim_(x->-1/3)(sqrt(5+3x)-2)/(6x+2)=lim_(x->-1/3)(sqrt(5+3x)-2)/(6x+2)*(sqrt(5+3x)+2)/(sqrt(5+3x)+2)=` 

`=lim_(x->-1/3)(sqrt(5+3x)^2-2^2)/((6x+2)(sqrt(5+3x)+2))=lim_(x->-1/3)(5+3x-4)/((6x+2)(sqrt(5+3x)+2))=` 

`=lim_(x->-1/3)(3x+1)/(2(3x+1)(sqrt(5+3x)+2))=lim_(x->-1/3)1/(2(sqrt(5+3x)+2))=1/(2(sqrt(5-1)+2))=` 

`=1/(2(2+2))=1/(2*4)=1/8` 

Zapisz liczbę w postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2

`a)\ 26=3*8+2`

`b)\ 76=3*25+1`

`c)\ 108=3*36`

`d)\ 127=3*42+1`

`e)\ 713=3*237+2`

Oblicz potęgę punktu P...

a)

`|PA|=3` 

`|PB|=3` 

`-1*|PA|*|PB|=-1*3*3=-9` 


b)

`|PS|=2` 

`|PB|=3+2=5` 

`|PA|=3-2=1` 

`-1*|PA|*|PB|=-1*5*1=-5` 


c)

`|PS|=5` 

`|PA|=2` 

`|PB|=2+3+3=8` 

`|PA|*|PB|=2*8=16` 


d)

`|PA|=|PS|-|SA|=|PS|-r=|PS|-3` 

`|PB|=|PA|+|AS|+|SB|=|PA|+3+3=|PA|+6` 

 

`|PS|=sqrt((3-0)^2+(3-0)^2)=sqrt(9+9)=sqrt18=3sqrt2` 

 

`|PA|=3sqrt2-3` 

`|PB|=3sqrt2-3+6=3sqrt2+3` 

 

`|PA|*|PB|=(3sqrt2-3)*(3sqrt2+3)=(3sqrt2)^2-3^2=9*2-9=18-9=9` 


e)

`|PS|=sqrt((3-0)^2+(3-10)^2)=sqrt(3^2+(-7)^2)=sqrt(9+49)=sqrt58` 

`|PA|=|PS|-|AS|=sqrt58-3` 

`|PB|=|PA|+|AS|+|SB|=sqrt58-3+3+3=sqrt58+3` 

 

`|PA|*|PB|=(sqrt58-3)*(sqrt58+3)=sqrt58^2-3^2=58-9=49` 


f)

`|PS|=sqrt((3-0)^2+(3-(-10)^2))=sqrt(3^2+13^2)=sqrt(9+169)=sqrt178` 

`|PA|=|PS|-|AS|=sqrt178-3` 

`|PB|=|PS|+|SB|=sqrt178+3` 

 

`|PA|*|PB|=(sqrt178-3)*(sqrt178+3)=sqrt178^2-3^2=178-9=169` 

Uzasadnij, że liczba log₂√6 + ...

Sprawdzamy, czy liczba określona następująco:

`log_(2)sqrt6+log_(2)sqrt8-log_(2)sqrt3` 

jest liczbą wymierną.

 

Korzystamy z tw. o logarytmie iloczynu oraz tw. o logarytmie ilorazu:

`log_(2)sqrt6+log_(2)sqrt8-log_(2)sqrt3=log_(2)(sqrt6*sqrt8)-log_(2)sqrt3=log_(2)sqrt48-log_(2)sqrt3=` 

`=log_(2)sqrt48/sqrt3=log_(2)sqrt(48/3)=log_(2)sqrt16=log_(2)4=2` 

Liczbę 2 możemy zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie p,q C oraz q 0, więc jest to liczba wymierna.

`2=2/1` 

 

Odp: Liczba określona za pomocą podanego w treści zadania wyrażenia jest równa 2, czyli jest liczbą wymierną.