Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$$x = y + 1$$
$$y^2 = 2z + 3$$
$$z = 3x + y$$

Z pierwszego równania wyznaczamy $$y$$:
$$y = x - 1$$

Podstawiamy do drugiego:
$$(x-1)^2 = 2z + 3$$

Wyznaczamy $$z$$
$$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
$${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$$
$$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$$
$$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$$
$$x^2 - 10x = 0$$

Pierwsze rozwiązanie: $$x_1 = 0$$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $$x$$ otrzymujemy $$x_2 = 10$$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$$y_1 = 0 - 1 = -1$$
$$y_2 = 10 - 1 = 9$$

I ostatecznie wyliczyć z:
$$z_1 = 3x_1 + y_1$$
$$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$$
$$z_2 = 3x_2 + y_2$$
$$z_2 = 3×10 + 9 = 39$$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $$(0,-1,-1)$$ oraz $$(10, 9, 39)$$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $$z$$ nie podstawić do jednego równania $$x_1$$ i $$y_2$$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$$y^2 = 5x + 2$$
$$3z = 2y - x$$
$$z = -2x + y$$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $$z$$ z równania trzeciego:

$$3(-2x + y) = 2y -x$$
$$6x - x = 3y - 2y$$
$$5x = y$$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $$y$$-a do równania pierwszego obliczając $$x$$:
$$(5x)^2 = 5x + 2$$
$$25x^2 - 5x - 2= 0$$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$$(5x - 2)(5x + 1) = 0$$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $$5x - 2 = 0$$
$$5x = 2$$
$$x = {2}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = 2$$ oraz $$z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$$

b) $$5x + 1 = 0$$
$$5x = -1$$
$$x = -{1}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = -1$$ oraz $$z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku obok przedstawiono wykresy ...

Na wykresie przedstawiono funkcje wykładnicze postaci:

 

 

Dla 0<a<1 funkcja jest malejąca, stąd:

     {premium}

Dla a=1 funkcja jest stała, stąd:

 

Dla a>1 funkcja jest rosnąca. Im większa wartość a tym bliżej osi y znajduje się wykres, stąd:

 

 

W okrąg został wpisany trójkąt ...

 

 

 

Zauważmy, że przeciwprostokątna trójkąta ABC jest średnicą okręgu.{premium}

 

 

 

Wyzanczmy równanie prostej k zawierającej odcinek CS.

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB ma równanie:

 

 

 

 

Punkt wspólne powyższej prostej i okręgu to punkty A i B.       

Wstawmy równanie prsotej l do równania okręgu:

 

 

  

 

Współrzędne pozostałych wierzchołków to:

     

Podstawą graniastosłupa prostego jest...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Korzystając z tw. cosinusów otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz współrzędne

Będziemy korzystać ze wzoru podanego w ramce na stronie 174.

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mateusz uczył się słówek z języka obcego. Zaczął od 40 i ...

Pierwszego dnia Mateusz uczył się  słówek, więc

.

Każdego następnego dnia zmniejszał liczbę słówek o  , zatem{premium}

.

Wszystkich słówek, które miał opanować było , chcemy wiedzieć, czy w ten sposób udało mu się to i jeśli tak, to po ilu dniach.

Suma  początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego  wyraża się wzorem

.

Możemy zapisać

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe z niewiadomą  

 

 

 

 

Mateusz opanował  słówek po  dniach.

Wskaż parę prostych równoległych...

Jeżeli dwie proste dane są w postaci ogólnej:

 

 

oraz są równoległe to:

 

 

Zauważmy, że w podpunkcie C mamy:

 

 

 

 

 

Proste mają takie same współczynniki przy zmiennych a więc są równoległe.

Odpowiedź C

Dla jakiej wartości współczynnika a punkt Q

Podstawiamy pierwszą współrzędną punktu w miejsce x, drugą współrzędną punktu w miejsce y. 

{premium}

 

Dany jest wyróżnik funkcji kwadratowej oraz współrzędne wierzchołka W

Przydatne będą wzory: 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W trapezie ABCD przekątna ...

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

Zbadaj monotoniczność ciągu...

 

 

 

Zbadajmy różnicę:

 

 

A więc ciąg jest niemalejący.

 

 

 

 

Zbadajmy różnicę:

 

ze wzoru na różnice sinusów:

 

 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

 

A więc

 

 

 

A więc:

 

Ciąg niemalejący.

 

 

 

 

Zbadajmy iloraz:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

Ciąg niemalejący.