Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$$x = y + 1$$
$$y^2 = 2z + 3$$
$$z = 3x + y$$

Z pierwszego równania wyznaczamy $$y$$:
$$y = x - 1$$

Podstawiamy do drugiego:
$$(x-1)^2 = 2z + 3$$

Wyznaczamy $$z$$
$$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
$${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$$
$$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$$
$$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$$
$$x^2 - 10x = 0$$

Pierwsze rozwiązanie: $$x_1 = 0$$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $$x$$ otrzymujemy $$x_2 = 10$$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$$y_1 = 0 - 1 = -1$$
$$y_2 = 10 - 1 = 9$$

I ostatecznie wyliczyć z:
$$z_1 = 3x_1 + y_1$$
$$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$$
$$z_2 = 3x_2 + y_2$$
$$z_2 = 3×10 + 9 = 39$$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $$(0,-1,-1)$$ oraz $$(10, 9, 39)$$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $$z$$ nie podstawić do jednego równania $$x_1$$ i $$y_2$$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$$y^2 = 5x + 2$$
$$3z = 2y - x$$
$$z = -2x + y$$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $$z$$ z równania trzeciego:

$$3(-2x + y) = 2y -x$$
$$6x - x = 3y - 2y$$
$$5x = y$$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $$y$$-a do równania pierwszego obliczając $$x$$:
$$(5x)^2 = 5x + 2$$
$$25x^2 - 5x - 2= 0$$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$$(5x - 2)(5x + 1) = 0$$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $$5x - 2 = 0$$
$$5x = 2$$
$$x = {2}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = 2$$ oraz $$z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$$

b) $$5x + 1 = 0$$
$$5x = -1$$
$$x = -{1}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = -1$$ oraz $$z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Równanie y=4x^2-bx+1 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podaj przykład sześcioelementowego nierosnącego...

  

 

 

 

 

Oblicz współczynniki a i b wielomianu w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż trójkąt prostokątny ABC...

a) Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

b) Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

Przekątne trapezu równoramiennego przecinają się ...

 

Zauważmy, że trójkąty ASB i DCS są prostokątne i równoramienne.

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że trójkąty DES i DSA są podobne. Oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku D.

Skoro mają dwa kąty tej samej miary, to trzeci również muszą mieć tej samej miary. Trójkąty są podobne z cechy KKK.

Z podobieństwa wspomnianych trójkątów:

 

  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DES otrzymujemy, że:

 

  

 

 

       

Rozwiąż nierówności

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny: 

 

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie x-4 przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego:

 

Biorąc pod uwagę dodatkowo założenia zapisujemy: 

 

Przy tych założeniach wiemy już, że obie strony nierówności są dodatnie (po lewej stronie wyrażenie może także przyjąć wartość równą 0), dlatego spokojnie możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu - znak nierówności nie zmieni się

 

Wyliczamy miejsca zerowe paraboli, aby móc narysować wykres pomocniczy: 

 

 

 

 

 

 

Po obu stronach nierówności mamy coś nieujemnego, więc możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu:

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie 3-2x przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego: 

 

Bierzemy pod uwagę jeszcze założenia: 

 

Nierówność jest więc sprzeczna

Wyznacz wszystkie rozwiązania nierówności ...

 

 

 

Obliczamy  i miejsca zerowe funkcji

 

 

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od zera {premium}

,

dlatego ramiona paraboli skierowane są do dołu.

 

Thumb str 2056 20  206.

 

Odczytujemy z wykresu dla jakich  nierówność  jest spełniona

.

 

 

 

 

Liczby całkowite należące do tego przedziału: 

Grupa uczniów - 4 dziewcząt i 8 chłopców ...

a) Są dwie możliwości, albo dziewczyny siedzą z lewej strony a chłopcy z prawej, albo chłopcy siedzą z lewej strony, a dziewczyny z prawej strony.

Obliczmy ile jest możliwości zajęcia miejsc przez dziewczyny (4 miejsca) i przez chłopców (8 miejsc).

Pierwsza dziewczyna ma 4 możliwości wyboru miejsca.

{premium}

Druga dziewczyna ma 3 możliwości wyboru miejsca.

Trzecia dziewczyna ma 2 możliwości wyboru miejsca. 

Czwarta dziewczyna ma 1 możliwość wyboru miejsca.

Podobnie dla chłopców, pierwszy chłopiec ma 8 możliwości wyboru miejsca, itd.

Zgodnie z regułą mnożenia:

 


b) Sprawdźmy ile jest możliwości, jeśli dziewczęta siedzą razem (nie rozróżniając dziewcząt) :

Dziewczęta są rozróżnialne, więc jest 9! możliwości.

Pierwsza dziewczyna ma 4 możliwości wyboru miejsca.

{premium}

Druga dziewczyna ma 3 możliwości wyboru miejsca.

Trzecia dziewczyna ma 2 możliwości wyboru miejsca. 

Czwarta dziewczyna ma 1 możliwość wyboru miejsca.

 

Wobec tego wszystkich możliwości jest:  


c) Sprawdźmy ile jest możliwości, jeśli chłopcy siedzą razem (nie rozróżniając chłopców) :

Chłopcy są rozróżnialni, więc jest 5! możliwości.

Pierwszy chłopiec ma 8 możliwości wyboru miejsca.

Drugi chłopiec ma 7 możliwości wyboru miejsca.

Trzeci chłopiec ma 6 możliwości wyboru miejsca, itd. 

 

Wobec tego wszystkich możliwości jest:  

Oblicz P(AuB)

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

 

 

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

 

Prostokątny trawnik ma powierzchnię 216 m² ...

 

  

  

   

  

  

  

  

 

 

 

 

`x=12,\ \ \ x+6=18 

 

ODP: Trawnik ma wymairy 18 m x 12 m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 `x^2+15x-216=0` 

 `225+864=` `1089` 

 

 

 

 

 

ODP: Trawnik ma wymiary 9 m x 24 m.