Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$x = y + 1$
$y^2 = 2z + 3$
$z = 3x + y$

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$:
$y = x - 1$

Podstawiamy do drugiego:
$(x-1)^2 = 2z + 3$

Wyznaczamy $z$
$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$
$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$
$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$
$x^2 - 10x = 0$

Pierwsze rozwiązanie: $x_1 = 0$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $x$ otrzymujemy $x_2 = 10$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$y_1 = 0 - 1 = -1$
$y_2 = 10 - 1 = 9$

I ostatecznie wyliczyć z:
$z_1 = 3x_1 + y_1$
$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$
$z_2 = 3x_2 + y_2$
$z_2 = 3×10 + 9 = 39$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $(0,-1,-1)$ oraz $(10, 9, 39)$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $z$ nie podstawić do jednego równania $x_1$ i $y_2$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$y^2 = 5x + 2$
$3z = 2y - x$
$z = -2x + y$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $z$ z równania trzeciego:

$3(-2x + y) = 2y -x$
$6x - x = 3y - 2y$
$5x = y$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $y$-a do równania pierwszego obliczając $x$:
$(5x)^2 = 5x + 2$
$25x^2 - 5x - 2= 0$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$(5x - 2)(5x + 1) = 0$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $5x - 2 = 0$
$5x = 2$
$x = {2}/{5}$

Wtedy $y = 5x = 2$ oraz $z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$

b) $5x + 1 = 0$
$5x = -1$
$x = -{1}/{5}$

Wtedy $y = 5x = -1$ oraz $z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczba a jest pierwiastkiem

 

Jeśli liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x-2. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

{premium}   

 

 

 

 

Jeśli liczba 6 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x-6. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc wielomian nie ma innych pierwiastków.

 

 

 

 

Oczywiście możemy wykonać dzielenie pisemne, jak w poprzednich podpunktach, ale zauważmy, że wielomian w można łatwo przedstawić w postaci iloczynowej (przydatny będzie wzór skróconego mnóżenia na różnicę sześcianów). 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeśli liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x+5. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

 

  

Na diagramie kołowym przedstawiono ...

Suma miar kątów środkowych na tym diagramie wynosi 360o. Zatem: {premium}

  


Zdarzenie A polega na wylosowaniu buku. 

Obliczamy ile wynosi miara kąta środkowego odpowiadającego tej odpowiedzi. 

 

Zatem: 

 


Obliczamy ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia A. 

 

Przyjmijmy, że ciąg ...

Na pewno rosnące są ciągi:

 

 {premium}

 


Ciąg (cn) będzie malejący (bo ciąg (an) jest rosnący).

Na przykład:

 

 


Ciąg (dn) nie musi być rosnący.

Na przykład:

 

 

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu:

 

 

 

Ciąg (dn) nie jest ani rosnący, ani malejący.

Wykaż, że jeśli...

 

 

 

 {premium}

 

A więc:

 

Za 16 biletów do cyrku zapłacono 303 zł

{premium}

 

 

Oblicz f(-2), f(0)...

        {premium}

 

 



 

 

 


 

 

 

Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

    

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

   

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

       

  

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

        

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

Ze zbioru {1, 2, 3, ..., 11}

Mamy 11 liczb - 6 liczb nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9, 11) oraz 5 liczb parzystych (2, 4, 6, 8, 10). 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 11 liczb:

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 6 liczb nieparzystych:

{premium}  

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać parę złożoną z liczby parzystej i nieparzystej:

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 5 liczb parzystych:

 

 

Obliczamy prawdopodobieństwa, które zapiszemy na gałęziach drzewka:

 

 

  

 

Rysujemy drzewko i zapisujemy na gałęziach odpowiednie prawdopodobieństwa.

  

 

 

 



 

 

  

Określ monotoniczność funkcji

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz przybliżone rozwiązanie ...

 

 

 

 

 

 

{premium}