Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$$x = y + 1$$
$$y^2 = 2z + 3$$
$$z = 3x + y$$

Z pierwszego równania wyznaczamy $$y$$:
$$y = x - 1$$

Podstawiamy do drugiego:
$$(x-1)^2 = 2z + 3$$

Wyznaczamy $$z$$
$$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
$${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$$
$$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$$
$$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$$
$$x^2 - 10x = 0$$

Pierwsze rozwiązanie: $$x_1 = 0$$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $$x$$ otrzymujemy $$x_2 = 10$$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$$y_1 = 0 - 1 = -1$$
$$y_2 = 10 - 1 = 9$$

I ostatecznie wyliczyć z:
$$z_1 = 3x_1 + y_1$$
$$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$$
$$z_2 = 3x_2 + y_2$$
$$z_2 = 3×10 + 9 = 39$$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $$(0,-1,-1)$$ oraz $$(10, 9, 39)$$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $$z$$ nie podstawić do jednego równania $$x_1$$ i $$y_2$$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$$y^2 = 5x + 2$$
$$3z = 2y - x$$
$$z = -2x + y$$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $$z$$ z równania trzeciego:

$$3(-2x + y) = 2y -x$$
$$6x - x = 3y - 2y$$
$$5x = y$$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $$y$$-a do równania pierwszego obliczając $$x$$:
$$(5x)^2 = 5x + 2$$
$$25x^2 - 5x - 2= 0$$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$$(5x - 2)(5x + 1) = 0$$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $$5x - 2 = 0$$
$$5x = 2$$
$$x = {2}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = 2$$ oraz $$z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$$

b) $$5x + 1 = 0$$
$$5x = -1$$
$$x = -{1}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = -1$$ oraz $$z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku obok przedstawiono ...

`f(x)=sin4x` 

`T-"okres podstawowy"` 

`x_0-"miejsca zerowe funkcji f"` 

`T_{f}=[0;pi/2]` 

`x_0=kpi/4, \ k in CC`    

Na wykresie przedstawiono

`a)` 

Prędkość to iloraz drogi przez czas. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (2, 150), gdzie pierwsza współrzędna określa czas (wyrażony w godzinach), a druga - pokonaną odległość (wyrażoną w kilometrach). 

`v=(150\ km)/(2\ h)=75\ (km)/h` 

 

Prędkość 75 km/h oznacza, że w ciągu jednej godziny pokonuje się 75 km. Obliczamy, ile godzin potrzeba na pokonanie 300 km:

`300:75=300/75=100/25=4\ h`  

 

 

`b)` 

Prędkość to iloraz drogi przez czas. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (2,5, 200), gdzie pierwsza współrzędna określa czas (wyrażony w godzinach), a druga - pokonaną odległość (wyrażoną w kilometrach). 

`v=(200\ km)/(2,5\ h)=2000/25\ (km)/h=80\ (km)/h` 

 

 

Prędkość 80 km/h oznacza, że w ciągu jednej godziny pokonuje się 80 km. Obliczamy, ile godzin potrzeba na pokonanie 300 km:

`300:80=300/80=15/4=3 3/4=3 45/60\ h=3 \ h\ 45\ mi n` 

 

Oblicz wartość wyrażenia

`a)` 

`x^2+y^2=(sqrt(4sqrt2+sqrt7))^2+(sqrt(4sqrt2-sqrt7))^2=4sqrt2+sqrt7+4sqrt2-sqrt7=8sqrt2` 

 

`b)` 

`xy=sqrt(4sqrt2+sqrt7)*sqrt(4sqrt2-sqrt7)=sqrt((4sqrt2+sqrt7)*(4sqrt2-sqrt7))=sqrt((4sqrt2)^2-sqrt7^2)=sqrt(16*2-7)=sqrt(32-7)=sqrt25=5` 

 

Wykorzystując wyniki uzyskane w podpunktach a oraz b rozwiążemy podpunkty c oraz d.

 

`c)` 

`(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=x^2+y^2+2*xy=8sqrt2+2*5=8sqrt2+10` 

 

`d)` 

`(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=x^2+y^2-2*xy=8sqrt2-2*5=8sqrt2-10` 

   

 

Samochód osobowy jadący ...

Obliczenia prowadzimy w następujących jednostkach:

-prędkość - km/h

-czas - h (godziny)

-droga - km

  

`v_1=70`  

`t=2 12/60=2,2` 

`v_2=22` 

`s-"rozważana droga"` 

`x-"szukany czas przejazdu motorowerem drogi s"`   

 

`s=v_1*t`  

`v_1*t=v_2*x` 

`x=(v_1t)/v_2=(70*2,2)/22=7` 

Motorowerzysta pokona trasę s w czasie siedmiu godzin.  

 

`t_2=3,5` 

`y-"szukana prędkość"` 

`v_1*t=y*t_2` 

`y=(v_1t)/t_2=(70*2,2)/(7/2)=22/(1/2)=44` 

Aby pokonać trasę w czasie 3,5 godziny należy poruszać się z predkością 44 kilometrów na godzinę. 

Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego.

`a)` 

`(9x)/(5x-10)` 

`5x-10 ne 0` 

`x ne 2` 

`D=RR\\{2}` 

 

`b)` 

`(3x^2+5x+8)/7` 

`D=RR` 

 

`c)` 

`(4x-6)/5` 

`D=RR` 

 

`d)` 

`1/((x-1)(5-x))` 

`x-1 ne 0` 

`xne1` 

 

`5-xne0` 

`xne 5` 

 

`D=RR\\{1;5}` 

 

`e)` 

`(x^2+1)/(9x^2-81)` 

`9x^2-81ne0` 

`x^2ne9` 

`x ne 3 \ \ \^^\ \ \x ne -3` 

`D=RR\\{-3;3}` 

 

`f)` 

`(3x-5)/(x^2+2x+1)` 

`x^2+2x+1ne0` 

`(x+1)^2ne0` 

`x+1ne0` 

`xne-1` 

`D=RR\\{-1|` 

 

`g)` 

`3/(x^2(x^2-4))` 

`x^2(x^2-4)ne0` 

`x^2(x-2)(x+2)ne0` 

`x ne 0\ \ \^^\ \ \xne2\ \ \^^\ \ \xne-2` 

`D=RR\\{-2;0;2}` 

 

`h)` 

`(x+7)/(x^2+x+5)` 

`x^2+x+5ne0` 

`Delta=1-20<0` 

`D=RR`        

Które spośród liczb: -3, -2, -1, ...

`"a)"\ (16x^2+x+5)/(x^3-9x^2)`

Sprawdzamy dla jakich x mianownik się zeruje.

`x^3-9x^2=0`

`x^2(x-9)=0`

`x^2=0\ \ \ vv\ \ \ x-9=0`

 `x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=9` 

Dziedziną wyrażenia są:

`x \in RR\\{0,9}`

Odp: Spośród wymienionych w treści zadania liczb, do dziedziny nie należy liczba 0.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ (x^2+6x+9)/(x^4-4x^3+4x^2)`

Sprawdzamy dla jakich x mianownik się zeruje.

`x^4-4x^3+4x^2=0`

`x^2(x^2-4x+4)=0`

`x^2=0\ \ \ vv\ \ \ #overbrace(x^2-4x+4)^("wzór na kwadrat różnicy")=0`

 `x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x-2)^2=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=2`

Dziedziną wyrażenia są:

`x \in RR\\{0,2}`

Odp: Spośród wymienionych w treści zadania liczb, do dziedziny nie należą liczby 0 oraz 2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ (x^5-3x^4+x)/(x^2-x-6)`

Sprawdzamy dla jakich x mianownik się zeruje.

`x^2-x-6=0`

`Delta=1+24=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5`

`x_1=(1-5)/2=-2`

`x_2=(1+5)/2=3`

Liczby -2 oraz 3 wyrzucamy z dziedziny.

Dziedziną wyrażenia są:

`x \in RR\\{-2,3}`

Odp: Spośród wymienionych w treści zadania liczb, do dziedziny nie należą liczby -2 oraz 3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ (2x^4-16x^3+9)/(x^3-x^2-2x)`

Sprawdzamy dla jakich x mianownik się zeruje.

`x^3-x^2-2x=0`

`x(x^2-x-2)=0`

`x=0\ \ \ \ \ vv\ \ \ \ \ x^2-x-2=0`

 `\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=1+8=9`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(1-3)/2=-1`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=(1+3)/2=2`

Dziedziną wyrażenia są:

`x \in RR\\{-1,0,2}`

Odp: Spośród wymienionych w treści zadania liczb, do dziedziny nie należą liczby -1, 0 oraz 2.

Oblicz wartość wyrażenia.

`a) \ root(3)(-64) = root(3)(-1*64) = root(3)(-1)*root(3)(4^3) = -1*4 = -4` 

 

`b) \ root(3)(-0,008) = root(3)(-1*0,008) = root(3)(-1)*root(3)((0,2)^3) = -1*0,2 = -0,2` 

 

`c) \ root(3)(-125/64) = root(3)(-1*125/64) = root(3)(-1)*root(3)(5^3/4^3)= -1*5/4 = -5/4` 

 

`d) \ root(3)(-8) + root(3)(-27)= root(3)(-1*8) + root(3)(-1*27) = root(3)(-1)*root(3)(2^3)+root(3)(-1)*root(3)(3^3) = -1*2 +(-1)*3 = -2 -3 = -5` 

 

`e) \ root(5)(-32) - root(4)(81) = root(5)(-1*32) - root(4)(3^4) =  root(5)(-1)*root(5)(2^5) - root(4)(3^4) = -2-3 = -5` 

 

`f) \ root(3)(-216) + root(3)(0,001) = root(3)(-1*216) + root(3)((0,1)^3) = root(3)(-1)*root(3)(6^3)+ root(3)((0,1)^3) = -6+0,1 = -5,9` 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`f(x)=sqrtx` 

`g(x)=f(x-1)=sqrt(x-1)`   

`h(x)=f(x+2)=sqrt(x+2)` 

`a)` 

`D_g=[1;+infty)` 

`D_h=[-2;+infty)` 

 

`b)` 

`h(x)>=3` 

`sqrt(x+2)>=3\ \ |()^2`  

`x+2>=9` 

`ul(x>=7` 

Wyznacz ciąg arytmetyczny...

`{(a_2+a_4=8),(a_1/a_2 = 6):}` 

`{(a_1+r+a_1 + 3r=8),(a_1=6a_2):}` 

`{(2a_1 + 4r = 8),(a_1 = 6(a_1+r)):}` 

`[(2a_1+4r=8 \ \ \ |:2),(a_1 = 6a_1 + 6r):}` 

`{(a_1+2r=4 \ \ \ |*3),(-5a_1-6r=0):}` 

`{(3a_1 + 6r = 12),(-5a_1-6r=0):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(+) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-2a_1 = 12` 

`a_1 = -6` 

stąd:

`a_1+2r=4` 

`-6+2r = 4` 

`2r = 10` 

`r = 5` 

wzór ogólny:

`a_n = a_1 + (n-1)r` 

`a_n = -6+(n-1)*5 = -6 + 5n - 5 = 5n - 11` 

Zaznacz na osi liczbowej zbiór ...

`"a)"\ {(1-5x^2>=0),(x^2-x<=0):}`

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`1-5x^2>=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \|+5x^2`   

`5x^2<=1 \ \ \ |:5`

`x^2 <= 1/5`  

`x leq sqrt((1*5)/(5*5))` 

`x leq sqrt5/sqrt25`

 

`x leq sqrt5/5`  

Łatwo zauważyć, że nierówność ta jest spełniona dla:

` ul(ul(x in<<-sqrt5/5,sqrt5/5>>))`   

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`x^2-x<=0`   

Wyznaczamy rozwiązania równania:

`x^2-x=0`  

`x(x-1)=0` 

`x=0\ \ \ "lub"\ \ \ x=1` 

 

Szkicujemy parabolę:

Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to:

`ul(ul(x in<<0,1>>))`  

 

Zaznaczamy na osi liczbowej oba zbiory i wyznaczamy ich część wspólną.

 

Zbiór rozwiązań nierówności to:

`x in<<0,sqrt5/5>>`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"b)"\ {(x^2-4x+3>0),(-x^2+4x+5>=0):}`   

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`x^2-4x+3>0` 

Szukamy rozwiązań równania:

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrtDelta=sqrt4=2` 

`x_1=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(4+2)/2=6/2=3` 

Szkicujemy parabolę:

Zbiór rozwiązań nierówności pierwszej to:

`ul(ul(x in(-oo,1)cup(3,+oo)))` 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`-x^2+4x+5>=0` 

Szukamy rozwiązań równania:

`-x^2+4x+5=0` 

`Delta=4^2-4*(-1)*5=16+20=36` 

`sqrtDelta=sqrt36=6` 

`x_1=(-4-6)/(-2)=(-10)/-2=5` 

`x_2=(-4+6)/-2=2/-2=-1` 

 

Szkicujemy parabolę:

Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to:

`ul(ul(x in<<-1,5>>))`   

 

Zaznaczamy na osi liczbowej oba zbiory i wyznaczamy ich część wspólną.

Zbiór rozwiązań nierówności to:

`x in<<-1,1)cup(3,5>>`