Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$x = y + 1$
$y^2 = 2z + 3$
$z = 3x + y$

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$:
$y = x - 1$

Podstawiamy do drugiego:
$(x-1)^2 = 2z + 3$

Wyznaczamy $z$
$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$
$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$
$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$
$x^2 - 10x = 0$

Pierwsze rozwiązanie: $x_1 = 0$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $x$ otrzymujemy $x_2 = 10$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$y_1 = 0 - 1 = -1$
$y_2 = 10 - 1 = 9$

I ostatecznie wyliczyć z:
$z_1 = 3x_1 + y_1$
$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$
$z_2 = 3x_2 + y_2$
$z_2 = 3×10 + 9 = 39$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $(0,-1,-1)$ oraz $(10, 9, 39)$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $z$ nie podstawić do jednego równania $x_1$ i $y_2$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$y^2 = 5x + 2$
$3z = 2y - x$
$z = -2x + y$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $z$ z równania trzeciego:

$3(-2x + y) = 2y -x$
$6x - x = 3y - 2y$
$5x = y$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $y$-a do równania pierwszego obliczając $x$:
$(5x)^2 = 5x + 2$
$25x^2 - 5x - 2= 0$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$(5x - 2)(5x + 1) = 0$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $5x - 2 = 0$
$5x = 2$
$x = {2}/{5}$

Wtedy $y = 5x = 2$ oraz $z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$

b) $5x + 1 = 0$
$5x = -1$
$x = -{1}/{5}$

Wtedy $y = 5x = -1$ oraz $z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich wartości parametru ...

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozłóż wielomian na czynniki.

 

Trójmian 3x2+x+2 jest nierozkładalny, ponieważ:

 {premium}


 

Trójmian x2-x+1 jest nierozkładalny, ponieważ:

 


 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu x2+x-2:

 

 

Zatem:

 

I stąd:

 


 

Trójmian 2x2+x+3 jest nierozkładalny, ponieważ:

 


 

Trójmian x2+2x+2 jest nierozkładalny, ponieważ:

 


 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu x2-√5x+1:

 

 

Zatem:

 

I stąd:

 

Czworościan foremny przecięto wszystkimi płaszczyznami...

Czworościan foremny ma sześć krawędzi, więc istnieje sześć płaszczyzn symetrii.

Zatem ilość otrzymanych przekrojów również wynosi 6.

Thumb str. 149   20

 

 

 

 

 

 

Obliczmy H, korzystając z tw. Pitagorasa.

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uwaga !!!

W odpowiedzi w podręczniku prawdopodobnie jest błąd.

Wynik 9 otrzymamy, jeśli istniałyby cztery osie symetrii, co jest błędne.

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz współczynnik b tak, aby podany przedział ...

 

 

 

 

  

 {premium}

 

   

 

 

 

  

 

 

    

 

 

     

  

 

   

 

 

 

  

 

 

    

Pole powierzchni całkowitej sześcianu ...

Na pole powierzchni sześcianu składa się 6 pól jednakowych kwadratów. 

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu jako a. 

    {premium}

 

 

 

 

Wiemy już, że krawędź sześcianu ma długość 0,5 dm. Obliczmy objętość tego sześcianu:

 

Pewien graniastosłup ma ...

Skoro graniastosłup ma 2010 krawędzi to obliczmy ilość krawędzi podstawy tego graniastosłupa. {premium}

 

Skoro podstawą tego graniastosłupa jest 670-kąt, to graniastosłup ten ma   wierzchołków.

 

Odp. A

 

Sprawdź, czy punkty...

Sprawdźmy czy punkt A należy do prostej l:

 

więc:{premium}

 

zatem punkt A nie należy do prostej l


Sprawdźmy czy punkt B należy do prostej l:

 

więc:

 

zatem punkt B należy do prostej l


Sprawdźmy czy punkt C należy do prostej l:

 

więc:

 

zatem punkt C należy do prostej l

Granicą ciągu a_n=3-1/(10^n)...

1.

Obliczmy wartość podanego wyrażenia dla n=1:

 

Obliczmy wartość podanego wyrażenia dla n=2:  {premium}

 

Obliczmy wartość podanego wyrażenia dla n=3:

 

Obliczmy wartość podanego wyrażenia dla n=4:

 

Obliczmy wartość podanego wyrażenia dla n=5:

 

 

2. 

Na podstawie rozwiązanie podpunktu 1. wiemy, że dla k=3,

wszystkie wyrazy tego ciągu następujące po nim różnią się od granicy tego ciągu o mnie niż 1/5000

Sprawdź, jakie jest...

a) Łatwo zauważyć, że współczynnik kierunkowe nie są równe{premium} ani ich iloczyn nie równa się -1.

Zatem proste przecinają się.


b) Współczynniki kierunkowe prostych są różne zatem proste nie są równoległe,

iloczyn współczynników kierunkowych wynosi:

  

Proste są prostopadłe.


c) Współczynniki kierunkowe prostych są różne zatem proste nie są równoległe,

iloczyn współczynników kierunkowych wynosi:

 

Proste są prostopadłe.


d) Współczynniki kierunkowe prostych są różne zatem proste nie są równoległe,

iloczyn współczynników kierunkowych wynosi:

 

Proste przecinają się.

a) Bok sześciokąta foremnego ma długość...

a)

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

Powyższe wyniki nie są zależne od ilości boków wielokąta foremnego, a od długości boku.