Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$x = y + 1$
$y^2 = 2z + 3$
$z = 3x + y$

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$:
$y = x - 1$

Podstawiamy do drugiego:
$(x-1)^2 = 2z + 3$

Wyznaczamy $z$
$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$
$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$
$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$
$x^2 - 10x = 0$

Pierwsze rozwiązanie: $x_1 = 0$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $x$ otrzymujemy $x_2 = 10$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$y_1 = 0 - 1 = -1$
$y_2 = 10 - 1 = 9$

I ostatecznie wyliczyć z:
$z_1 = 3x_1 + y_1$
$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$
$z_2 = 3x_2 + y_2$
$z_2 = 3×10 + 9 = 39$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $(0,-1,-1)$ oraz $(10, 9, 39)$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $z$ nie podstawić do jednego równania $x_1$ i $y_2$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$y^2 = 5x + 2$
$3z = 2y - x$
$z = -2x + y$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $z$ z równania trzeciego:

$3(-2x + y) = 2y -x$
$6x - x = 3y - 2y$
$5x = y$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $y$-a do równania pierwszego obliczając $x$:
$(5x)^2 = 5x + 2$
$25x^2 - 5x - 2= 0$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$(5x - 2)(5x + 1) = 0$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $5x - 2 = 0$
$5x = 2$
$x = {2}/{5}$

Wtedy $y = 5x = 2$ oraz $z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$

b) $5x + 1 = 0$
$5x = -1$
$x = -{1}/{5}$

Wtedy $y = 5x = -1$ oraz $z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt ABC, gdzie A(1,1), B(5,1), C(1,6)

a)

b)

c)

Rozwiąż równania

Założenia:

 

Oznaczamy:

 

 

Wstawiamy t do równania:

 

 

 

 

Założenia: 

 

Oznaczamy: 

 

Wstawiamy do równania:  

 

 

 

 

Założenia:

 

 

Oznaczamy:

 

Wstawiamy do równania:

 

 

Rozwiąż nierówność

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdź, czy istnieje kąt...

a)

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Istnieje taki kąt.


b)

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Nie istnieje taki kąt.


c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Nie istnieje taki kąt.


d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Istnieje taki kąt.

Ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie ...

Wiemy, że  jest ciągiem geometrycznym, zatem


Dany jest ciąg  o wzorze ogólnym

Wyznaczamy  

 

Sprawdzamy, czy {premium}ciąg  jest geometryczny

 

 

Ciąg  jest ciągiem geometrycznym.

 

W pudle znajdują się piłki niebieski i piłki ...

x+5 - ilość piłek niebieskich (x jest liczbą naturalną dodatnią)

x - ilość piłek czerwonych

2x+5 - ilość wszystkich piłek {premium}

 

Prawdopodobieństwo wylosowania jednej piłki czerwonej jest równe  , zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Ilość piłek niebieskich w tym pudełku:

 

 

Odp. W pudełku jest 7 piłek niebieskich.

Ile pieniędzy należy przeznaczyć ...

 

 

 

 

  

 

 

 

     

  

 

 

 

 

 

 

   

 

  

 

      

 

 

 

 

 

 

 

   

 

  

 

      

 

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego...

Wiemy, że:

  

 

 

  

zatem{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

Oblicz pole trójkąta, którego boki zawierają...

Jeżeli boki trójkąta zawierają się w osiach układu współrzędnych to trójkąt ten jest prostokątny. Wyznaczmy punkty przecięcia prostej z osiami.

 

Punkt przecięcia z osią OX:

 

 

 

 

Współrzędne:

 

 

Punkt przecięcia z osią OY:

 

 

 

Współrzędne:

 

 

Zauważmy, że obie przyprostokątne mają długość 2. Pole trójkąta to:

 

Funkcja f: [-3;3] ...