Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$$x = y + 1$$
$$y^2 = 2z + 3$$
$$z = 3x + y$$

Z pierwszego równania wyznaczamy $$y$$:
$$y = x - 1$$

Podstawiamy do drugiego:
$$(x-1)^2 = 2z + 3$$

Wyznaczamy $$z$$
$$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
$${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$$
$$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$$
$$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$$
$$x^2 - 10x = 0$$

Pierwsze rozwiązanie: $$x_1 = 0$$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $$x$$ otrzymujemy $$x_2 = 10$$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$$y_1 = 0 - 1 = -1$$
$$y_2 = 10 - 1 = 9$$

I ostatecznie wyliczyć z:
$$z_1 = 3x_1 + y_1$$
$$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$$
$$z_2 = 3x_2 + y_2$$
$$z_2 = 3×10 + 9 = 39$$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $$(0,-1,-1)$$ oraz $$(10, 9, 39)$$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $$z$$ nie podstawić do jednego równania $$x_1$$ i $$y_2$$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$$y^2 = 5x + 2$$
$$3z = 2y - x$$
$$z = -2x + y$$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $$z$$ z równania trzeciego:

$$3(-2x + y) = 2y -x$$
$$6x - x = 3y - 2y$$
$$5x = y$$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $$y$$-a do równania pierwszego obliczając $$x$$:
$$(5x)^2 = 5x + 2$$
$$25x^2 - 5x - 2= 0$$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$$(5x - 2)(5x + 1) = 0$$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $$5x - 2 = 0$$
$$5x = 2$$
$$x = {2}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = 2$$ oraz $$z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$$

b) $$5x + 1 = 0$$
$$5x = -1$$
$$x = -{1}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = -1$$ oraz $$z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na diagramie przedstawiono

`overlinex=(4*1+2*2+1*3+3*4+3*5+3*6)/(4+2+1+3+3+3)=(4+4+3+12+15+18)/16=56/16=7/2=3,5` 

`sigma^2=(4*(1-3,5)^2+2*(2-3,5)^2+1*(3-3,5)^2+3*(4-3,5)^2+3*(5-3,5)^2+3*(6-3,5)^2)/16=` 

`\ \ \ \ =(4*(-2,5)^2+2*(-1,5)^2+1*(-0,5)^2+3*0,5^2+3*1,5^2+3*2,5^2)/16=` 

`\ \ \ \ =(4*6,25+2*2,25+1*0,25+3*0,25+3*2,25+3*6,25)/16=` 

`\ \ \ \ =(25+4,5+0,25+0,75+6,75+18,75)/16=56/16=7/2=3,5` 

`sigma=sqrt(3,5)~~1,87` 

`d=(4*|1-3,5|+2*|2-3,5|+1*|3-3,5|+3*|4-3,5|+3*|5-3,5|+3*|6-3,5|)/16=` 

`\ \ \ =(4*|-2,5|+2*|-1,5|+1*|-0,5|+3*|0,5|+3*|1,5|+6*|2,5|)/16=`  

`\ \ \ =(4*2,5+2*1,5+1*0,5+3*0,5+3*1,5+6*2,5)/16=` 

`\ \ \ =(10+3+0,5+1,5+4,5+15)/16=(34,5)/16=345/160=69/32=2 5/32`      

Rozwiąż równanie.

a) `x^4-5x^2+4=0` 

Wstawmy `t=x^2` 

`t^2-5t+4=0` 

`Delta=(-5)^2-4*1*4=25-16=9` 

`sqrt(Delta)=3` 

`t_1=(-(-5)-3)/(2*1)=(5-3)/2=2/2=1` 

`t_2=(-(-5)+3)/(2*1)=(5+3)/2=8/2=4` 

 

`x^2=1 \ \ \ "lub" \ \ \ x^2=4` 

`x=1 \ \ "lub" \ \ x=-1 \ \ "lub" \ \ x=2 \ \ "lub" \ \ x=-2`  


b) `x^4-6x^2+5=0` 

Wstawmy `t=x^2` 

`t^2-6t+5=0` 

`Delta=(-6)^2-4*1*5=36-20=16` 

`sqrt(Delta)=4` 

`t_1=(-(-6)-4)/(2*1)=(6-4)/2=2/2=1` 

`t_2=(-(-6)+4)/(2*1)=(6+4)/2=10/2=5` 

 

`x^2=1 \ \ \ "lub" \ \ \ x^2=5` 

`x=1 \ \ "lub" \ \ x=-1 \ \ "lub" \ \ x=sqrt5 \ \ "lub" \ \ x=-sqrt5`  


c) `3x^4-28x^2+9=0` 

Wstawmy `t=x^2` 

`3t^2-28t+9=0` 

`Delta=(-28)^2-4*3*9=784-108=676` 

`sqrt(Delta)=26` 

`t_1=(-(-28)-26)/(2*3)=(28-26)/6=2/6=1/3` 

`t_2=(-(-28)+26)/(2*3)=(28+26)/6=54/6=9` 

 

`x^2=1/3 \ \ \ "lub" \ \ \ x^2=9` 

`x=sqrt(1/3) \ \ "lub" \ \ x=-sqrt(1/3) \ \ "lub" \ \ x=3 \ \ "lub" \ \ x=-3`  

`x=1/sqrt3 \ \ "lub" \ \ x=-1/sqrt3 \ \ "lub" \ \ x=3 \ \ "lub" \ \ x=-3`  

`x=sqrt3/3 \ \ "lub" \ \ x=-sqrt3/3 \ \ "lub" \ \ x=3 \ \ "lub" \ \ x=-3`  


d) `x^4-x^2-12=0` 

Wstawmy `t=x^2` 

`t^2-t-12=0` 

`Delta=(-1)^2-4*1*(-12)=1+48=49` 

`sqrt(Delta)=7` 

`t_1=(-(-1)-7)/(2*1)=(1-7)/2=(-6)/2=-3`  

`t_2=(-(-1)+7)/(2*1)=(1+7)/2=8/2=4` 

 

`x^2=-3 \ \ \ "lub" \ \ \ x^2=4` 

`x=2 \ \ "lub" \ \ x=-2`  


e) `4x^4+5x^2-6=0` 

Wstawmy `t=x^2` 

`4t^2+5t-6=0` 

`Delta=5^2-4*4*(-6)=25+96=121` 

`sqrt(Delta)=11` 

`t_1=(-5-11)/(2*4)=(-16)/8=-2` 

`t_2=(-5+11)/(2*4)=6/8=3/4` 

 

`x^2=-2 \ \ \ "lub" \ \ \ x^2=3/4` 

`x=sqrt(3/4) \ \ "lub" \ \ x=-sqrt(3/4)`  

`x=sqrt3/2 \ \ "lub" \ \ x=-sqrt3/2`  


f) `3x^4+13x^2+4=0` 

Wstawmy `t=x^2` 

`3t^2+13t+4=0` 

`Delta=13^2-4*3*4=169-48=121` 

`sqrt(Delta)=11` 

`t_1=(-13-11)/(2*3)=(-24)/6=-4` 

`t_2=(-13+11)/(2*3)=(-2)/6=-1/3` 

 

`x^2=-4 \ \ \ "lub" \ \ \ x^2=-1/3` 

`"brak rozwiązań"`  


g) `x^6-9x^3+8=0` 

Wstawmy `t=x^3` 

`t^2-9t+8=0` 

`Delta=(-9)^2-4*1*8=81-32=49` 

`sqrt(Delta)=7` 

`t_1=(-(-9)-7)/(2*1)=(9-7)/2=2/2=1` 

`t_2=(-(-9)+7)/(2*1)=(9+7)/2=16/2=8` 

 

`x^3=1 \ \ \ "lub" \ \ \ x^3=8` 

`x=1 \ \ "lub" \ \ x=2`  


h) `x^6+6sqrt2x^3-32=0` 

Wstawmy `t=x^3` 

`t^2+6sqrt2t-32=0` 

`Delta=(6sqrt2)^2-4*1*(-32)=72+128=200` 

`sqrt(Delta)=sqrt(200)=10sqrt2` 

`t_1=(-6sqrt2-10sqrt2)/(2*1)=(-16sqrt2)/2=-8sqrt2` 

`t_2=(-6sqrt2+10sqrt2)/(2*1)=(4sqrt2)/2=2sqrt2` 

 

`x^3=-8sqrt2 \ \ \ "lub" \ \ \ x^3=2sqrt2`

`x^3=-sqrt128 \ \ "lub" \ \ x^3=sqrt8`  

`x=-root(6)(128) \ \ "lub" \ \ x=root(6)(8)` 

`x=-2root(6)(2) \ \ "lub" \ \ x=sqrt2` 

 

`root(6)(8)=8^(1/6)=(2^3)^(1/6)=2^(1/2)=sqrt2` 


i) `5x^8-19x^4-4=0` 

Wstawmy `t=x^4` 

`5t^2-19t-4=0` 

`Delta=(-19)^2-4*5*(-4)=361+80=441` 

`sqrt(Delta)=21` 

`t_1=(-(-19)-21)/(2*5)=(19-21)/10=(-2)/10=-1/5` 

`t_2=(-(-19)+21)/(2*5)=(19+21)/10=40/10=4` 

 

`x^4=-1/5 \ \ \ "lub" \ \ \ x^4=`

`x^2=2` 

`x=sqrt2 \ \ "lub" \ \ x=-sqrt2`  

Rozwiąż równanie.

`a) \ 27*9^(x^2) = (1/3)^(3x-2)` 

`3^3 * (3^2)^(x^2) = ((3)^(-1))^(3x-2)` 

`3^3 * 3^(2x^2) = 3^(-3x+2)` 

`3^(2x^2+3) = 3^(-3x+2)` 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

`2x^2+3 = -3x + 2`  

`2x^2+3x+1 =0` 

`2x^2 + 2x+x+1=0` 

`2x(x+1)+(x+1)=0` 

`(x+1)(2x+1) =0` 

`x_1 = -1 \ \ vv \ \ x_2 = -1/2` 

Rozwiązaniami równania są liczby:

`-1 \ , \ -1/2` 

 

`b) \ -2^(2x+1) + 5*2^x = 2` 

`-2^(2x)*2 + 5*2^x = 2` 

`-2*(2^x)^2 + 5*2^x = 2` 

Podstawienie pomocnicze:

`2^x=t, \ \ \ t in (0, oo)` 

 

`-2t^2 +5t = 2` 

`-2t^2 + 5t - 2 =0` 

`-2t^2 + 4t + t - 2 =0` 

`-2t(t-2)+(t-2)=0` 

`(t-2)(-2t+1)=0` 

`-2(t-2)(t-1/2)=0` 

`t_1 = 2 \ \ vv \ \ t_2 = 1/2` 

`2^x = 2 \ \ vv \ \ 2^x = 1/2` 

`2^x = 2^1 \ \ vv \ \ 2^x = 2^(-1)` 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

`x = 1 \ \ vv \ \ x = -1` 

Rozwiązaniami równania są liczby:

`-1 \ , \ 1`   

Oblicz granicę.

`a) \ lim_(n -> oo) (n - sqrtn) = lim_( n -> oo) sqrtn((sqrtn) -1) = oo * (oo -1) = oo` 

 

`b) \ lim_(n -> oo) (sqrt(n^2 +1) -n)*(sqrt(n^2+1)+n)/(sqrt(n^2+1) +n) = lim_(n -> oo) (n^2+1-n^2)/(sqrt(n^2+1)+n)= lim_(n -> oo) 1/(sqrt(n^2+1) + n) = 1/(oo + oo) = 1/(oo) = 0`

 

`c) \ lim_(n-> oo) (sqrt(n+1) -sqrtn) * (sqrt(n+1) + sqrtn)/(sqrt(n+1) + sqrtn) = lim_(n -> oo) (n+1-n)/(sqrt(n+1) + sqrtn) = lim_(n -> oo) 1/(sqrt(n+1) +sqrtn) = 1/(oo + oo) = 1/(oo) = 0`  

Pomyśl sobie jakąś liczbę dodatnią ...

`x- "pomyślana dodatnia liczba",\ x>0`  

 

`((x^2+3x)/x *100 -300)x=((x+3)*100-300)x=100x*x=100x^2` 

{premium}

`100x^2=4900` 

`x^2=49` 

`x=7 \ \ \vee \ \ \x=-7< 0` 

`"Pomyślana liczba to 7."`     

Ciąg (x, 6, 9 ) jest ciągiem ...

`(x, \ 6,\ 9)\ iff\ 6^2=9*x` 

`36=9x` 

`x=4` 

 

`"Odpowiedź C."` 

Prostokąt o wymiarach...

`(2x+1)(y-1)=100` 

Założenie: `2x+1>0, y-1>0 \ \ \ "czyli" \ \ \ x> -1/2, y>1` 

`2xy-2x+1y-1=100` 

`2xy+1y=100+1+2x` 

`y(2x+1)=101+2x` 

`y=(101+2x)/(2x+1)` 

 

`(101+2x)/(2x+1)=(2x+1+100)/(2x+1)=(2x+1)/(2x+1)+100/(2x+1)=1+100/(2x+1)` 

Wykres funkcji...

a) Odbijamy symetrycznie wykres względem osi X, czyli:

`g(x) = -f(x) = -(1/2)^x` 

Wykres:

 

Dziedzina:

`D = R` 

Zbiór wartości:

`Z_w = (-oo, 0)` 

Punkt przecięcia się z osią Y:

`(0,-1)` 

Monotoniczność:

`f(x) nearr \ "dla" \ x in D` 

 

Funkcja jest różnowartościowa.

 

b) Odbijamy symetrycznie względem osi Y, czyli:

`g(x) = f(-x) = (1/2)^(-x) = 2^x` 

Wykres:

Dziedzina:

`D = R` 

Zbiór wartości:

`Z_w = (0,oo)` 

Punkt przecięcia się z osią Y:

`(0,1)` 

Monotoniczność:

`f(x) nearr \ "dla" \ x in D` 

 

Funkcja jest różnowartościowa.

Dany jest zbiór {x, y, z} ...

1-elementowe kombinacje:

`{x}, {y}, {z}` 

{premium}

2-elementowe kombinacje:

`{x, y}, {x, z}, {y, z}` 

3-elementowe kombinacje:

`{x, y, z}` 

Wyznacz wielomiany f(x)=u(x)*w(x)

`a)`

`f(x)=(x^2-5x)(x^3+x^2+2)=x^5+x^4+2x^2-5x^4-5x^3-10x=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^5-4x^4-5x^3+2x^2-10x`

 

`g(x)=2(x^3+x^2+2)-(x^2-5x)^2=2x^3+2x^2+4-(x^2-5x)(x^2-5x)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =2x^3+2x^2+4-(x^4-5x^3-5x^3+25x^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =2x^3+2x^2+4-x^4+10x^3-25x^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-x^4+12x^3-23x^2+4`

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`b)`

`f(x)=(2x^3-x^2+2)(-5x^4+x^2-3)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-10x^7+2x^5-6x^3+5x^6-x^4+3x^2-10x^4+2x^2-6=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-10x^7+5x^6+2x^5-11x^4-6x^3+5x^2-6`

 

`g(x)=2(-5x^4+x^2-3)-(2x^3-x^2+2)^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-10x^4+2x^2-6-(2x^3-x^2+2)(2x^3-x^2+2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-10x^4+2x^2-6-(4x^6-2x^5+4x^3-2x^5+x^4-2x^2+4x^3-2x^2+4)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-10x^4+2x^2-6-(4x^6-4x^5+x^4+8x^3-4x^2+4)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-4x^6+4x^5-11x^4-8x^3+6x^2-10`

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

`c)`

`f(x)=(-2x^3+2x^2-x+1)(4x^2-x+2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-8x^5+2x^4-4x^3+8x^4-2x^3+4x^2-4x^3+x^2-2x+4x^2-x+2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-8x^5+10x^4-10x^3+9x^2-3x+2`

 

`g(x)=2(4x^2-x+2)-(-2x^3+2x^2-x+1)^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =8x^2-2x+4-(-2x^3+2x^2-x+1)(-2x^3+2x^2-x+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =8x^2-2x+4-(4x^6-4x^5+2x^4-2x^3-4x^5+4x^4-2x^3+2x^2+2x^4-2x^3+x^2-x-2x^3+2x^2-x+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =8x^2-2x+4-(4x^6-8x^5+8x^4-8x^3+5x^2-2x+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-4x^6+8x^5-8x^4+8x^3+3x^2+3`