Układy równań - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Układy równań

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$$x = y + 1$$
$$y^2 = 2z + 3$$
$$z = 3x + y$$

Z pierwszego równania wyznaczamy $$y$$:
$$y = x - 1$$

Podstawiamy do drugiego:
$$(x-1)^2 = 2z + 3$$

Wyznaczamy $$z$$
$$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
$${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$$
$$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$$
$$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$$
$$x^2 - 10x = 0$$

Pierwsze rozwiązanie: $$x_1 = 0$$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $$x$$ otrzymujemy $$x_2 = 10$$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$$y_1 = 0 - 1 = -1$$
$$y_2 = 10 - 1 = 9$$

I ostatecznie wyliczyć z:
$$z_1 = 3x_1 + y_1$$
$$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$$
$$z_2 = 3x_2 + y_2$$
$$z_2 = 3×10 + 9 = 39$$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $$(0,-1,-1)$$ oraz $$(10, 9, 39)$$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $$z$$ nie podstawić do jednego równania $$x_1$$ i $$y_2$$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$$y^2 = 5x + 2$$
$$3z = 2y - x$$
$$z = -2x + y$$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $$z$$ z równania trzeciego:

$$3(-2x + y) = 2y -x$$
$$6x - x = 3y - 2y$$
$$5x = y$$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $$y$$-a do równania pierwszego obliczając $$x$$:
$$(5x)^2 = 5x + 2$$
$$25x^2 - 5x - 2= 0$$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$$(5x - 2)(5x + 1) = 0$$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $$5x - 2 = 0$$
$$5x = 2$$
$$x = {2}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = 2$$ oraz $$z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$$

b) $$5x + 1 = 0$$
$$5x = -1$$
$$x = -{1}/{5}$$

Wtedy $$y = 5x = -1$$ oraz $$z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij tak, aby otrzymać ...

`"a)"\ 10,\ ...,\ ...,\ 34` 

Zauważmy, że jeżeli do wyrazu 10 dodamy różnicę r, to otrzymamy wyraz kolejny.

Jeżeli do 10 dodamy 3r, to otrzymamy wyraz stojący trzy miejsca dalej, czyli 34.

`10+3r=34\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-10`  

`3r=24\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:3` 

`r=8` 

Różnica wynosi 8, stąd:

`10,\ 18,\ 26,\ 34` 

 

`"b)"\ 5,\ ...,\ ...,\ 32` 

Zauważmy, że jeżeli do wyrazu 5 dodamy różnicę r, to otrzymamy wyraz kolejny.

Jeżeli do 5 dodamy 3r, to otrzymamy wyraz stojący trzy miejsca dalej, czyli 32.

`5+3r=32\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-5`   

`3r=27\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:3` 

`r=9` 

Różnica wynosi 9, stąd:

`5,\ 14,\ 23,\ 32` 

 

`"c)"\ 10,\ ...,\ ...,\ ...,\ ...,\ ...,\ 34`  

Zauważmy, że jeżeli do wyrazu 10 dodamy różnicę r, to otrzymamy wyraz kolejny.

Jeżeli do 10 dodamy 6r, to otrzymamy wyraz stojący sześć miejsc dalej, czyli 34.

`10+6r=34\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-10`  

`6r=24\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:6`  

`r=4`  

Różnica wynosi 4, stąd:

`10,\ 14,\ 18,\ 22,\ 26,\ 30,\ 34` 

 

`"d)"\ 34,\ ...,\ ...,\ ...,\ 10`  

Zauważmy, że jeżeli do wyrazu 34 dodamy różnicę r, to otrzymamy wyraz kolejny.

Jeżeli do 34 dodamy 4r, to otrzymamy wyraz stojący cztery miejsca dalej, czyli 10.

`34+4r=10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-34`   

`4r=-24\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`r=-6` 

Różnica wynosi -6, stąd:

`34,\ 28,\ 22,\ 16,\ 10` 

Znajdź taką liczbę dwucyfrową, żeby suma jej cyfr wynosiła 11

Niech szukana liczba będzie postaci ab, gdzie a i b to cyfry (0, 1, ..., 8, 9), oczywiście a nie może być równe 0. 

Wartość liczby ab to 10a+b (np. 23=2∙10+3)

 

Liczba powstała po przestawieniu cyfr to ba, jej wartość to 10b+a.

 

Zapiszmy informacje podane w treści zadania: 

`{(a+b=11), (10b+a>33 1/3%(10a+b)):}`

 

Zamieńmy procent na ułamek:

`33 1/3%=(100/3)%=100/3*1/100=1/3`

 

`{(a+b=11\ \ |-b), (10b+a>1/3(10a+b)\ \ \ |*3):}`

`{(a=11-b), (30b+3a>10a+b\ \ \ |-3a-b):}`

`{(a=11-b), (29b>7a):}`

`{(a=11-b), (29b>7(11-b)):}`

`{(a=11-b), (29b>77-7b\ \ \ |+7b):}`

`{(a=11-b), (36b>77\ \ \ |:36):}`

`{(a=11-b), (b>2.13(8)):}`

 

b jest cyfrą, mamy więc następujące możliwości: 

`{(b=3), (a=11-3=8):}\ \ vee\ \ {(b=4), (a=7):}\ \ vee\ \ {(b=5), (a=6):}\ \ vee\ \ {(b=6), (a=5):}\ \ vee\ \ {(b=7), (a=4):}\ \ vee\ \ {(b=8), (a=3):}\ \ vee\ \ {(b=9), (a=2):}`

 

Wyznacz ekstrema funkcji f.

`a) \ f^' (x) = (-x^3 + 3x + 2)^' = (-x^3)^' + (3x)^' + (2)^' = -3x^2 + 3` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ -3x^2 + 3 = 0` 

`-3x^2 +3=0` 

`-3(x^2 -1) =0` 

`-3(x-1)(x+1)=0` 

`x_1 = -1 \ \ vv \ \ x_2 = 1` 

Wykresem funkcji jest parabola. Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc:

`f^'(x) < 0 \ \ "Dla" \ x in (-oo, -1) \cup (1, infty)` 

`f^'(x) > 0 \ \ "Dla" \ x in (-1, 1)` 

 

  `(-infty,-1)`  `-1`   `(-1;1)`  `1`  `(1;infty)` 
`-3(x+1)`   `+`  `0`  `-`  `-`  `-` 
`x-1`  `-`  `-`  `-`  `0`  `+` 
znak `-`  `0`  `+`  `0`  `-` 

A więc funkcja ma ekstremum w punktach -1, 1.

Minimum:

`f(-1) = -(-1)^3 + 3*(-1) + 2 = 1 -3 + 2 = 0` 

Maksimum:

`f(1) = -1^3 + 3*1 +2 = -1 + 3 + 2 = 4` 

 

`b) \ f^' (x) = (2x^3 -3x^2 -12x)^' = (2x^3)^' - (3x^2)^' - (12x)^' = 6x^2 -6x-12` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ 6x^2-6x - 12 =0` 

`6x^2 -6x - 12 =0` 

`6x^2 + 6x - 12x - 12 =0` 

`6x(x+1) -12(x+1)=0` 

`(x+1)(6x-12) =0` 

`6(x+1)(x-2)=0` 

`x_1 = -1 \ \ vv \ \ x_2 = 2` 

 

  `(-infty,-1)`  `-1`   `(-1;2)`  `2`  `(2;infty)` 
`x+1`   `-`  `0`  `+`  `+`  `+` 
`x-2`  `-`  `-`  `-`  `0`  `+` 
znak `+`  `0`  `-`  `0`  `+` 

A więc funkcja ma ekstremum w punktach -1 i 2.

Minimum:

`f(2) = 2*2^3 - 3*2^2 - 12*2 = 2*8 - 3*4 - 24 = 16 - 12 - 24 = 16 - 36 = -20` 

Maksimum:

`f(-1)= 2*(-1)^3 - 3*(-1)^2 - 12*(-1) = -2 -3 + 12 = 7` 

 

`c) \ f^' (x) = (3x^4 - 8x^3 + 4)^' = (3x^4)^' - (8x^3)^' + (4)^' = 12x^3 -24x^2 = 12x^2(x - 2)` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ 12x^2(x-2)=0` 

`12x^2(x-2) =0` 

`x^2 (x-2) =0` 

`x_1 = 0 \ \ vv \ \ x_2 = 2` 

 

  `(-infty,0)`  `0`   `(0;2)`  `2`  `(2;infty)` 
`x^2`   `+`  `0`  `+`  `+`  `+` 
`x-2`  `-`  `-`  `-`  `0`  `+` 
znak `-`  `0`  `-`  `0`  `+` 

Funkcja ma ekstremum w punkcie 2. W punkcie 0 nie ma ekstremum gdyż pochodna nie zmienia znaku.

Minimum:

`f(2) = 3*2^4 - 8*2^3 + 4 = 3*16 - 8*8 + 4 = 48 - 64 + 4 = -12` 

 

`d) \ f^'(x) = (-x^4 + 4x^3 - 2x^2 + 12x)^' = (-x^4)^' + (4x^3)^' - (2x^2)^' + (12x)^' = -4x^3 + 12x^2 - 4x + 12` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ -4x^3 + 12x^2 - 4x + 12 =0` 

`-4x^2 (x-3) -4(x-3)=0` 

`(x-3)(-4x^2-4)=0` 

`-4(x-3)(x^2+1)=0` 

`-4(x-3)=0`

`x_1 = 3` 

Pochodna jest funkcją liniową, na lewo od punktu 3 ma ujemną wartość, na prawo dodatnią a więc w punkcie 3 jest maksimum.

`f(3) = -3^4 + 4*3^3 - 2*3^2 + 12*3 = -81 + 4*27 - 2*9 + 36 = -81 + 108 - 18 + 36=45` 

 

`e) \ f^' (x) = (x + 1/x)^' = (x)^' + (1/x)^' = 1 - 1/x^2` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ 1 - 1/x^2 =0` 

`1 = 1/x^2` 

`x^2 = 1` 

`x^2 - 1 =0` 

`(x-1)(x+1) =0` 

  `(-infty,-1)`  `-1`   `(-1;0)`  `0`  `(0;1)`  `1`  `(1; infty)` 
`x+1`   `-`  `0`  `+`    `+`  `+`  `+` 
`x-1`  `-`  `-`  `-`    `-`  `0`  `+` 
znak `+`  `0`  `-`    `-`  `0`  `+` 

Pamiętajmy, że dziedzina pochodnej funkcji f może być co najwyżej równa dziedzinie funkcji f. Funkcja ma ekstrema w punktach -1 i 1.

Maksimum:

`f(-1) = -1 + 1/(-1) = -1 - 1 = -2` 

Minimum:

`f(1) = 1 + 1/1 = 2` 

 

`f) \ f^' (x) = ((x^2)/(x^2-4))^' = ((x^2)^' *(x^2-4) - x^2 *(x^2 -4)^')/((x^2-4)^2)=(2x*(x^2-4) -x^2(2x))/((x^2-4)^2)=(2x^3 - 8x - 2x^3)/((x^2-4)^2) = (-8x)/((x^2-4)^2)` 

`f^' (x) = 0 \ \ "gdy" \ (-8x)/((x^2-4)^2)=0` 

`(-8x)/(x^2-4)^2 =0`  

`-8x =0` 

 

W mianowniku mamy wyrażenie stale większe od zera, zatem widzimy, że na lewo od punktu x = 0 mamy znak dodatni a na prawo ujemny. Zatem w punkcie 0 mamy maksimum.

`f(0) = 0` 

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu w

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian (x-a) jest równa w(a). 

 

`a)`

`"reszta"=w(-2)=(-2)^4-5*(-2)^2+7=16-5*4+7=16-20+7=3`

 

 

`b)`

`"reszta"=w(3)=2*3^3+6*3^2+2*3-8=-2*27+6*9+6-8=`

`=-54+54+6-8=-2`

 

`c)`

`"reszta"=w(-1/2)=8*(-1/2)^4-10*(-1/2)^3+(-1/2)-3=8*1/16-3*1/4-1/2-3=`

`=1/2-3/4-1/2-3=-3 3/4`

 

`d)`

Zauważmy, że:

`q(x)=3x-1=3(x-1/3)`

Jeśli wielomian będzie podzielny przez pewien dwumian (x-a), to będzie także podzielny przez każdą niezerową wielokrotność tego dwumianu - w wyniku dzielenia zmienią się tylko odpowiednio współczynniki przy każdej potędze.

Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x-a) bedzie taka sam, jak reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez pewną niezerową wielokrotność dwumianu (x-a).

`"reszta"=w(1/3)=27*(1/3)^3-3*(1/3)^2+4=27*1/27-3*1/9+4=1-1/3+4=4 2/3`

 

`e)`

Zauważmy, że: 

`q(x)=2x+1=2(x+1/2)`

`"reszta"=w(-1/2)=-4*(-1/2)^4+5*(-1/2)^2+6*(-1/2)+5=`

`=-4*1/16+5*1/4-3+5=-1/4+5/4-3+5=4/4-3+5=1-3+5=3`

Uporządkuj rosnąco liczby

`a)` 

`3^12` 

`9^5=(3^2)^5=3^10` 

`27^3=(3^3)^3=3^9` 

`81^2=(3^4)^2=3^8` 

Jeśli dodatnią liczbę większą od 1 podnosimy do potęgi, to im wyższy wykładnik potęgi, tym większa wartość. 

`"odp.:"\ \ \ 81^2,\ \ 27^3,\ \ 9^5,\ \ 3^12` 

 

 

 

`b)` 

`4^2=(2^2)^2=2^4` 

`2^5` 

`(1/4)^-4=4^4=(2^2)^4=2^8`  

`(1/2)^-6=2^6` 

`"odp.:"\ \ \ 4^2,\ \ 2^5,\ \ (1/2)^-6,\ \ (1/4)^-4` 

 

 

`c)` 

`(0,2)^-12=(1/5)^-12=5^12` 

`25^5=(5^2)^5=5^10` 

`125^3=(5^3)^3=5^9` 

`625^2=(5^4)^2=5^8` 

`"odp.:"\ \ \ 625^2,\ \ 125^3,\ \ 25^5,\ \ (0,2)^-12`    

Dany jest wyraz ogólny ciągu nieskończonego

`a_8=-8^2+3*8=-8*8+24=` `-64+24=40` 

 

 

`a_101=-101^2+3*101=` `-101*101+3*101=` 

`\ \ \ \ \ \ =101*(-101+3)=` `101*(-98)=-9898` 

 

 

`a_(n+1)=` `-(n+1)^2+3*(n+1)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =` `-(n^2+2n+1)+3n+3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-n^2-2n-1+3n+3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-n^2+n+2`   

` ` ` ` 

` ` 

 

` ` 

` ` 

` `  

   

Dla jakich wartości parametru a ...

`a)` 

`x^2+ax+5>=0` 

`"Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, czyli zbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem"` 

`"rozwiązań nierówności, gdy"\ Delta<=0."`   

`"Gdy"\ Delta<=0\ "to:"`  

`"Parabola będąca wykresem równania kwadratowego znajduje się nad osią X lub ma z nią punkt wspólny."`  

`"Innymy słowy, nasza funkcja kwadratowa przyjmuję tylko wartości nieujemne."` 

`Delta=a^2-20` 

`a^2-20<=0` 

`a^2<=20` 

`a<=sqrt20=2sqrt5\ \ \vee\ \ \a>= -sqrt20=-2sqrt5`  

`ul (a in [-2sqrt5;2sqrt5]` 

 

`b)` 

`-x^2+(a+2)x-3<0` 

`"Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, czyli zbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem"` 

`"rozwiązań nierówności, gdy"\ Delta <0.`     

`"Parabola znajduje się pod osią X."`  

 

`Delta=(a+2)^2-12=a^2+4a-8` 

`a^2+4a-8<0` 

`Delta_a=16+32=48` 

`sqrtDelta_a=4sqrt3` 

 

`a_1=(-4-4sqrt3)/2=-2-2sqrt3` 

`a_2=(-4+4sqrt3)/2=-2+2sqrt3` 

`a_1,a_2\ "odpowiada"\ x_1,x_2\ "na poniższym rysunku."` 

  

 

`ul(a in (-2-2sqrt3;-2+2sqrt3)`   

 

`c)` 

`(a+1)x^2+2ax+a>0` 

`"Rozwarzmy współczynnik przy najwyższej potędze:"` 

`"I."\ a+1>0` 

`a+1>0` 

`a> -1` 

 

`"Zbiorem rozwiązań będzie zbiór liczb rzeczywistych, gdy"\ Delta<0.` 

`Delta=4a^2-4a(a+1)=4a^2-4a^2-4a=-4a` 

`-4a<0` 

`a>0` 

 

`a> -1\ \ \^^\ \ \a>0 \ implies \ ul( a>0` 

 

`"II."\ a+1<0` 

`a<-1` 

`"Ramiona paraboli na wykresie równania są zwrócone w dół. "` 

`"Tym samym, funkcja przyjmuje również wartosci ujemne."` 

`"W tym wypadku nie ma takiego a."` 

 

`"III."\ a+1=0` 

`a=-1` 

`(a+1)x^2+2ax+a=-2x-1` 

`-2x-1>0` 

`-2x>1` 

`x<1/2` 

`"W tym wypadku, zbiór rozwiązań nierówności nie jest zbiorem liczb rzeczywistych."` 

 

`"Podsumowując wszystkie przypadki, zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór rzeczywisty dla"\ a>0. ` 

 

`d)` 

`(a-2)x^2+2x+a-2<=0` 

`"Rozwarzmy współczynnik przy najwyższej potędze:"` 

`"I."\ a-2>0` 

`a>2` 

 

`"Ramiona paraboli będącej wykrese funkcji kwadratowej są zwrócone w górę. "` 

`"Tym samym funkcja przyjmuję wartości dodatnie."` 

`"W tym wypadku nie ma takiego a dla którego zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych."` 

    

`"II."\ a-2<0` 

`a<2` 

`"Zbiór liczb rzeczywistych będzie zbiorem rozwiązań nierówności gdy"\ Delta<=0.` 

`Delta=4-4(a-2)^2=4-4a^2+16a-16=-4a^2+16a-12` 

`-4a^2+16a-12<=0` 

`Delta_a=256-192=64` 

`sqrtDelta_a=8` 

 

`a_1=(-16+8)/-8=1` 

`a_2=(-16-8)/-8=3` 

`a_1,a_2\ "odpowiada"\ x_1,x_2\ "na poniższym rysunku."` 

`a in (-infty;1)cup(3;+infty)` 

 

`a<2\ \ \^^\ \ \a in (-infty;1)cup(3;+infty)\ implies \ ul((-infty;1)` 

 

`"III."\ a-2=0` 

`a=2` 

`(a-2)x^2+2x+a-2=2x<=0`  

`x<=0`   

`"W tym wypadku, zbiór rozwiązań nierówności nie jest całym zbiorem liczb rzeczywistych."` 

`"Podsumowując wszystkie przypadki, zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór rzeczywisty dla"\ a in (-infty;1).` 

 

Naszkicuj na rysunku przedstawiającym wykres ...

`a)` 

`b)` 

`c)` 

Podaj brakujące miary kątów.

`2^o=(pi*2)/180=1/90pi` 

`15^o=(pi*15)/180=1/12pi` 

`140^o=(pi*140)/180=14/18pi=7/9pi` 

`350^o=(pi*350)/180=35/18pi=7/6pi` 

 

`pi/9=((180*1/9pi)/pi)^o=180/9^o=20^o` 

`7/8pi=((180*7/8pi)/pi)^o=(180*7/8)^o=157,5^o` 

`21/3pi=7pi=((180*7pi)/pi)^o=1260^o` 

Klient złożył w banku 4000 zł

Obliczmy, jaką kwotą dysponował klient po roku (wpłacił 4000 zł na lokatę oprocentowaną 4% w skali roku):

`4000+4%*4000=4000+0,04*4000=4000+160=4160` 

 

Obliczmy, jaką kwotą dysponował klient po dwóch latach (wpłacamy 4160 zł na lokatę oprocentowaną 4% w skali roku):

`4160+4%*4160=4160+0,04*4160=4160+166,4=4326,4` 

 

Obliczmy, jaką kwotą dysponował klient po trzech latach (wpłacamy 4326,4 zł na lokatę oprocentowaną 4% w skali roku):

`4326,4+4326,4*4%=4326,4+4326,4*0,04=4326,4+173,056=4499,456~~4499,46` 

 

Po trzech latach klient zgromadził 4499,46 zł. 

 

Gdyby klient za każdym razem składał na lokacie kwotę 4000 zł, a odsetki wypłacał, to za każde z trzech lat uzyskałby 160 zł odsetek, więc po 3 latach dysponowałby kwotą:

`4000+3*160=4000+480=4480` 

 

Obliczamy, o ile mniejsze byłyby wtedy jego oszczędności:

`4499,46-4480=19,46`