Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić $${∏}/{2}$$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
$${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakiej wartości parametru a...

Żeby liczba p była miejscem zerowym funkcji f to musi zachodzić warunek:

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Rozwiąż równanie.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że:

rownanie matematyczne

a więc:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  

 zatem:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne    

Zauważmy, że:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zatem można zapisać rozwiązania prościej gdyż powtarzają się co rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

A więc możemy zapisać rozwiązanie prościej:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Wiemy, że:

rownanie matematyczne 

zatem:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

 

Przekątna graniastosłupa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat. Taki graniastosłup to po prostu prostopadłościan o podstawie w kształcie kwadratu. 

Długość krawędzi podstawy oznaczyliśmy jako x. Długość przekątnej ściany bocznej oznaczyliśmy jako a. 

Krawędź podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna prostopadłościanu tworzą trójkąt prostokątny. 

 

 

rownanie matematyczne 

Wiemy, że:

rownanie matematyczne 

Z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym (stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej) możemy zapisać:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

   

Do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebna jest długość krawędzi bocznej. Oznaczmy ją jako h.

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu (patrz ćwicenie 2 strona 85) możemy zapisać:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

Wiemy, że:

rownanie matematyczne 

Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym (stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do drugiej przyprostokątnej) możemy zapisać:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebna jest długość krawędzi bocznej. Oznaczmy ją jako h.

 

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu (patrz ćwicenie 2 strona 85) możemy zapisać:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

rownanie matematyczne 

Rzucamy trzykrotnie kostką

Przy trzykrotnym rzucie kostką możemy uzyskać 216 wyników (po 6 wyników w każdym z trzech rzutów, więc zgodnie z regułą mnożenia 6∙6∙6 wyników). 

rownanie matematyczne 

 

 


rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zdarzeniu A sprzyja dużo zdarzeń elementarnych, dlatego opiszemy zdarzenie przeciwne i dzięki niemu obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia A. 

rownanie matematyczne 

Zdarzeniu A' sprzyja tylko jedno zdarzenie elementarne:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zdarzeniu A sprzyja dużo zdarzeń elementarnych, dlatego opiszemy zdarzenie przeciwne i dzięki niemu obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia A. 

rownanie matematyczne 

Zdarzeniu A' sprzyja 6 zdarzeń elementarnych:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

rownanie matematyczne 

 

Rozłóż sumę algebraiczną...

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Długości trzech kolejnych boków ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

W czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne      

 rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   rownanie matematyczne

Naszkicuj wykres funkcji f i odczytaj ...

Przypomnijmy, że wierzchołek paraboli danej wzorem rownanie matematyczne ma współrzędne rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne  Ze wzoru funkcji rownanie matematyczne możemy odczytać współrzędne wierzchołka: rownanie matematyczne.

rownanie matematyczne, co oznacza, że ramiona paraboli skierowane są do góry.

 

Aby naszkicować wykres funkcji rownanie matematyczne możemy narysować wykres funkcji

 rownanie matematyczne i przesunąć go o wektor rownanie matematyczne 

lub

wstawić do tabelki kilka argumentów i obliczyć dla nich wartość.

 

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 
rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Miejsca zerowe funkcji: rownanie matematycznerownanie matematyczne.


rownanie matematyczne  {premium}Ze wzoru funkcji rownanie matematyczne możemy odczytać współrzędne wierzchołka: rownanie matematyczne.

rownanie matematyczne, co oznacza, że ramiona paraboli skierowane są do góry. 

 

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 
rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Miejsca zerowe funkcji: rownanie matematyczne,  rownanie matematyczne.


rownanie matematyczne  Ze wzoru funkcji rownanie matematyczne możemy odczytać współrzędne wierzchołka: rownanie matematyczne.

rownanie matematyczne, co oznacza, że ramiona paraboli skierowane są do dołu. 

 

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 
rownanie matematyczne 
rownanie matematyczne 
rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Miejsca zerowe funkcji: rownanie matematycznerownanie matematyczne.


rownanie matematyczne  Ze wzoru funkcji rownanie matematyczne możemy odczytać współrzędne wierzchołka: rownanie matematyczne.

rownanie matematyczne, co oznacza, że ramiona paraboli skierowane są do góry. 

 

rownanie matematyczne    rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 
rownanie matematyczne   rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Miejsca zerowe funkcji: rownanie matematyczne, rownanie matematyczne.

Pole trapezu wynosi 169 ...

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

{premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   


Podstawiamy obliczone rownanie matematyczne do wzoru na pole i wyznaczamy z niego rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

Kapitał w wysokości 5000 zł został złożony w banku

rownanie matematyczne `5000+2/strike100^1*strike5000^50=` 

rownanie matematyczne 

{premium}

rownanie matematyczne `5000+0,035*5000=` 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

Oblicz, ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych

rownanie matematyczne 

Możemy użyć cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 - 8 cyfr. 

Na każdym z pięciu miejsc możemy postawić jedną z ośmiu cyfr. 

Zgodnie z regułą mnożenia ilość takich liczb pięciocyfrowych jest równa:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Możemy użyć cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 7 cyfr. 

Na pierwszym miejscu musimy postawić cyfrę różną od 0 (6 możliwości) - gdybyśmy postawili 0, to otrzymana cyfra nie byłaby pięciocyfrowa. 

Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy postawić jedną z siedmiu cyfr. 

Zgodnie z regułą mnożenia ilość takich liczb pięciocyfrowych jest równa:

rownanie matematyczne  

 

 

rownanie matematyczne 

Możemy użyć cyfr 0, 2, 4, 6, 8 - 5 cyfr. 

Na pierwszym miejscu musimy postawić cyfrę różną od 0 (4 możliwości) - gdybyśmy postawili 0, to otrzymana cyfra nie byłaby pięciocyfrowa. 

Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy postawić jedną z pięciu cyfr. 

Zgodnie z regułą mnożenia ilość takich liczb pięciocyfrowych jest równa:

rownanie matematyczne