Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$a^2 + b^2 = c^2$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić ${∏}/{2}$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór

Długości boków powinny być wyrażone liczbą dodatnią. 

 

 

 

{premium}

 

Pani Anna ma torebki w trzech kolorach ...

a)

Ilość czerwonych torebek: 3

Ilość czerwonych par butów: 2

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru czerwonej torebki i czerwonej pary butów: 3٠2=6 {premium}

 

Ilość białych torebek: 4

Ilość białych par butów: 3

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru białej torebki i białej pary butów: 4٠3=12

 

Ilość czarnych torebek: 6

Ilość czarnych par butów: 5

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru czarnej torebki i czarnej pary butów: 6٠5=30

 

Ilość interesujących nas możliwości: 6+12+30=48

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 48 sposobów.


b)

Ilość białych lub czerwonych torebek: 3+4=7

Ilość wszystkich par butów: 2+3+5=10

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru białej lub czerwonej torebki i dowolnego koloru butów: 7٠10=70

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 70 sposobów.


c)

Ilość czarnych torebek: 6

Ilość wszystkich par butów: 10

Ilość możliwości wyboru czarnej torebki i dowolnego koloru butów: 6٠10=60

 

Ilość czerwonych lub białych torebek (czarne torebki uwzględniliśmy wyżej): 3+4=7

Ilość czarnych par butów: 5

Ilość możliwości wyboru czerwonej lub białej torebki i czarnych butów: 7٠5=35

 

Ilość interesujących nas możliwości: 60+35=95

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 95 sposobów.

 

Oblicz wartości pozostałych funkcji ...

 

  

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych można

 

 

 

{premium}

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

Największą liczbą całkowitą

  

  

Największa liczba całkowita mniejsza od powyższej to -2, więc prawidłowa jest odpowiedź C. 

   

W pewnej klasie jest

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Rozwiąż równanie.

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

      

 

 

Skorzystamy z faktu, że:

 

zatem

 

wracając do naszego równania:

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

W trójkącie prostokątnym ABC wysokość CD

 

Liczba ...

Upraszczamy wyrażenia: {premium}

 

 


Liczba  jest mniejsza od liczby . Sprawdzamy, ile razy.

 


Odpowiedź: B

Oblicz granicę ciągu określonego...

a) 

 

 

 

 

 

 


b) 

 

 

 

 

 

 


c)