Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić $${∏}/{2}$$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
$${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są wielomiany

`a)`

Wielomian stopnia trzeciego to taki, w którym najwyższa potęga x to 3. 

Ten wielomian to to v(x)

 

`v(x)=x^3-6x^2+4`

`a_3=1`

`a_2=-6`

`a_1=0`

`a_0=4`

 

 

`b)`

Wielomian stopnia piątego to taki, w którym najwyższa potęga x to 5. 

Ten wielomian to w(x). 

`w(x)=-1/6x^5+1/4x^4-1/3x^3+1/2x-1`

`a_5=-1/6`

`a_4=1/4`

`a_3=-1/3`

`a_2=0`

`a_1=1/2`

`a_0=-1`

 

`a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=-1/6+1/4-1/3+0+1/2-1=`

`=-2/12+3/12-4/12+6/12-12/12=-9/12=-3/4`

Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników

`a)`

`{(-3x+2y=-7\ \ \ |*(-1)), (5x+2y=1):}`

`{(3x-2y=7), (5x+2y=1):}\ \ \ |+`

`{(8x=8\ \ |:8), (5x+2y=1):}`

`{(x=1), (5*1+2y=1\ \ |-5):}`

`{(x=1), (2y=-4\ \ |:2):}`

`{(x=1), (y=-2):}`

 

 

`b)`

`{((7x-3y)/5=(5x-y)/3-(x+y)/2\ \ \ |*30), (3(x-1)=5(y+1)):}`

`{(6(7x-3y)=10(5x-y)-15(x+y)), (3x-3=5y+5\ \ |-5y+3):}`

`{(42x-18y=50x-10y-15x-15y), (3x-5y=8):}`

`{(42x-18y=35x-25y\ \ \ |-35x+25y), (3x-5y=8):}`

`{(7x+7y=0\ \ |:7), (3x-5y=8):}`

`{(x+y=0\ \ \ |*(-3)), (3x-5y=8):}`

`{(-3x-3y=0), (3x-5y=8):}\ \ \ |+`

`{(-8y=8\ \ |:(-8)), (-3x-3y=0):}`

`{(y=-1), (-3x-3*(-1)=0):}`

`{(y=-1), (-3x+3=0\ \ \ |+3x):}`

`{(y=-1), (3x=3\ \ |:3):}`

`{(y=-1), (x=1):}`

 

 

 

 

`c)`

`{(2x-3y-1=(x-5y)/2-1/2\ \ \ |*2), (1 3/4y-1/4x=(3y)/2+1/4\ \ \ |*4):}`

`{(4x-6y-2=x-5y-1\ \ \ |-x+5y+2), (7y-x=6y+1\ \ |-6y):}`

`{(3x-y=1), (y-x=1):}`

`{(3x-y=1), (-x+y=1):}\ \ \ |+`

`{(2x=2\ \ |:2), (-x+y=1\ \ |+x):}`

`{(x=1), (y=1+x=1+1=2):}`

 

 

 

`d)`

`{((x-4)(x+4)=(x+2)^2-y), ((2x-y)/2-(x-y)/3=1\ \ \ |*6):}`

`{(x^2-16=x^2+4x+4-y\ \ |-x^2), (3(2x-y)-2(x-y)=6):}`

`{(-16=4x+4-y\ \ |-4), (6x-3y-2x+2y=6):}`

`{(-20=4x-y), (4x-y=6):}`

`{(4x-y=-20\ \ |*(-1)), (4x-y=6):}`

`{(-4x+y=20), (4x-y=6):}\ \ \ |+`

`{(0=26), (4x-y=6):}`

Układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązań.    

     

` `

 

 

Rozłóż wielomian w na czynniki

`a)`

`w(x)=(20x^3-28x^2+8x)(x^4+6x^3+2x^2+12x)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(4x(5x^2-7x+2))*(x^4+2x^2+6x^3+12x)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(4x(5x^2-7x+2))*(x^2(x^2+2)+6x(x^2+2))=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(4x(5x^2-7x+2))*(#((x^2+2))^(Delta=0-8<0)(x^2+6x))=`

`\ \ \ \ \ \ \ =4x#(ul(ul((5x^2-7x+2))))^((**))(x^2+2)(x+6)x=...`

  

 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-7)^2-4*5*2=49-40=9`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(7-3)/(2*5)=4/10=2/5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=(7+3)/(2*5)=10/10=1`

 

 

`\ \ ...=4x*5(x-2/5)(x-1)(x^2+2)(x+6)x=`

`\ \ \ \ \ \ =20x^2(x-2/5)(x-1)(x+6)(x^2+2)`

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

 

 

`b)`

`w(x)=#((-1/4x^4-2x^3-4x^2))^a#((x^3-7x^2-4x+28))^b=...`

 

 

`\ \ \ \ \ \ \ a=-1/4x^4-2x^3-4x^2=-1/4x^2(x^2+8x+16)=-1/4x^2(x+4)^2`

`\ \ \ \ \ \ \ b=x^3-7x^2-4x+28=x^2(x-7)-4(x-7)=(x-7)(x^2-4)=(x-7)(x-2)(x+2)`

 

 

`...=-1/4x^2(x+4)^2(x-7)(x-2)(x+2)`

 `overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

 

 

`c)`

`w(x)=#((7x^4+14x^3-21x^2))^a#((x^5-4x^3-x^2+4))^b=...`

 

 

`\ \ \ \ \ \ \ a=7x^4+14x^3-21x^2=7x^2(x^2+2x-3)=7x^2(x+3)(x-1)`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=2^2-4*1*(-3)=4+12=16`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=4`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(-2-4)/2=-6/2=-3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=(-2+4)/2=2/2=1`

 

`\ \ \ \ \ \ \ b=x^5-4x^3-x^2+4=x^3(x^2-4)-1(x^2-4)=(x^2-4)(x^3-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =(x-2)(x+2)(x-1)#((x^2+x+1))^(Delta=1-4<0)`

 

 

`...=7x^2(x+3)(x-1)(x-2)(x+2)(x-1)(x^2+x+1)=`

`\ \ \ \ \ =7x^2(x-2)(x-1)^2(x+2)(x+3)(x^2+x+1)`

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

 

 

`d)`

`w(x)=#((3x^4-2x^3+1/3x^2))^a#((x^6-1))^b=...`

 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ a=3x^4-2x^3+1/3x^2=1/3x^2(9x^2-6x+1)=1/3x^2(3x-1)^2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ b=x^6-1=(x^2)^3-1^3=(x^2-1)(x^4+x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(x-1)(x+1)(ul(ul(x^4+2x^2+1))-x^2)=(x-1)(x+1)((x^2+1)^2-x^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(x-1)(x+1)#((x^2+1-x))^(Delta=1-4<0)#((x^2+1+x))^(Delta=1-4<0)`

 

 

`...=1/3x^2(3x-1)^2(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)`

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Oblicz

`a)\ (-2)^5=-32`

`\ \ \ (-2)^(-5)=1/(-2)^5=-1/32`

`\ \ \ 2^-5=1/2^5=1/32`

 

`b)\ (1/3)^-2=3^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-2=(-3)^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-3=(-3)^-3=-27`

 

`c)\ (sqrt3)^4=3^2=9`

`\ \ \ (sqrt3)^-2=1/(sqrt3)^2=1/3`

`\ \ \ (sqrt3)^-6=1/(sqrt3)^6=1/3^3=1/27`

 

`d)\ (sqrt2)^6=2^3=8`

`\ \ \ (sqrt2)^7=(sqrt2)^6*sqrt2=2^3*sqrt2=8sqrt2`

`\ \ \ (sqrt2)^-8=1/(sqrt2)^8=1/2^4=1/16`

Podaj odpowiednie założenia i wykonaj działanie

`a)`

`{(xne0), (2xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ => \ \ \ D=RR\\{0}`

 

`6/x+5/(2x)=12/(2x)+5/(2x)=17/(2x)`

 

 

 

`b)`

`{(3xne0), (4xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`4/(3x)-3/(4x)=16/(12x)-9/(12x)=7/(12x)`

 

 

`c)`

`{(x-2ne0), (2x-4ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne2), (xne2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{2}`

 

`3/(x-2)+x/(2x-4)=6/(2x-4)+x/(2x-4)=(6+x)/(2x-4)`

 

 

 

`d)`

`{(3x+3ne0), (x+1ne0):} \ \ \ =>\ \ \ {(xne-1), (xne -1):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-1}`

 

`x/(3x+3)-1/(x+1)=x/(3x+3)-3/(3x+3)=(x-3)/(3x+3)`

 

 

`e)`

`{(x-3ne0), (4x-12ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne3), (xne3):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{3}`

 

`(x+1)/(x-3)+(2x-5)/(4x-12)=(4x+4)/(4x-12)+(2x-5)/(4x-12)=(4x+4+2x-5)/(4x-12)=(6x-1)/(4x-12)`

 

 

`f)`

`{(3x+6ne0), (x+2ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne-2), (xne-2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-2}`

 

`(2x-1)/(3x+6)-(x-1)/(x+2)=(2x-1)/(3x+6)-(3x-3)/(3x+6)=((2x-1)-(3x-3))/(3x+6)=(2x-1-3x+3)/(3x+6)=(-x+2)/(3x+6)`

Podaj odpowiednie założenia i wykonaj dzielenie

`a)`

`{(4xne0), (2x^2ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`3/(4x):1/(2x^2)=3/(4strikex)*2x^strike2=(6x)/4=(3x)/2`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (3x)/2=(3*(-1/2)):2=-3/2*1/2=-3/4`

 

 

 

`b)`

`{(5x^2ne0), (10xne0):} \ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`6/(5x^2):3/(10x)=strike6^2/(5x^2)*(10x)/strike3^1=(20x)/(5x^2)=4/x`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ 4/x=4/(-1/2)=4:(-1/2)=4*(-2)=-8`

 

 

 

 

`c)`

`{(x^2ne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`(4x+2)/(x^2):2/x=(strike2*(2x+1))/(x^2)*x/strike2^1=((2x+1)*x)/x^2=(2x+1)/x`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (2x+1)/(x)=(2*(-1/2)+1)/(-1/2)=0`

 

 

 

`d)`

`{(xne0), (x^2ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`(6x-9)/x:3/x^2=(strike3*(2x-3))/x*x^2/strike3^1=((2x-3)*x^2)/x=(2x-3)x`

 

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (2x-3)*x=(2*(-1/2)-3)*(-1/2)=(-1-3)*(-1/2)=(-4)*(-1/2)=2`

 

 

 

`e)`

`{(x-4ne0), (2x-8ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne4), (xne4):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{4}`

 

`x/(x-4):3/(2x-8)=x/strike(x-4)*(2*strike((x-4)))/3=(2x)/3`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (2x)/3=(2*(-1/2))/3=-1/3`

 

 

 

`f)`

`{(3x-1ne0), (2-6xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne1/3), (xne2/6):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{1/3}`

 

`(20x)/(3x-1):5/(2-6x)=(strike20^4x)/strike(3x-1)*(-2*strike((3x-1)))/strike5^1=-8x`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ -8x=-8*(-1/2)=4`

          

Podaj odpowiednie założenia i wykonaj działanie

`a)`

`x-2ne0\ \ \ =>\ \ \ x ne2\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{2}`

 

`x/(x-2)+(2-2x)/(x-2)=(x+2-2x)/(x-2)=(-x+2)/(x-2)=((-1)*(x-2))/(x-2)=-1`

 

 

 

`b)`

`{(2x-1ne0), (1-2xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne1/2), (xne1/2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{1/2}`

  

`(x+3)/(2x-1)+(3x+1)/(1-2x)=(x+3)/(2x-1)+(3x+1)/((-1)*(2x-1))=(x+3)/(2x-1)+(-3x-1)/(2x-1)=(x+3-3x-1)/(2x-1)=(-2x+2)/(2x-1)`

 

 

`c)`

`{(x+4ne0), (2x+8ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne-4),(xne-4):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-4}`

 

`(-x)/(x+4)-(3-x)/(2x+8)=(-2x)/(2x+8)-(3-x)/(2x+8)=(-2x-(3-x))/(2x+8)=(-2x-3+x)/(2x+8)=(-x-3)/(2x+8)`

 

 

 

`d)`

`{(2-3xne0), (6x-4ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne2/3), (xne4/6):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{2/3}`

 

`2/(2-3x)-(1+x)/(6x-4)=(-4)/(6x-4)-(1+x)/(6x-4)=(-4-(1+x))/(6x-4)=(-4-1-x)/(6x-4)=(-x-5)/(6x-4)`

 

 

`e)`

`{(2x+4ne0), (3x+6ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne-2), (xne-2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-2}`

 

`(x-1)/(2x+4)+(x+7)/(3x+6)=(3x-3)/(6x+12)+(2x+14)/(6x+12)=(3x-3+2x+14)/(6x+12)=(5x+11)/(6x+12)`

 

 

`f)`

`{(10x-15ne0), (2x-3ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne 15/10), (xne3/2):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{3/2}`

 

`(2x)/(10x-15)-(x-2)/(2x-3)=(2x)/(10x-15)-(5x-10)/(10x-15)=(2x-(5x-10))/(10x-15)=(2x-5x+10)/(10x-15)=(-3x+10)/(10x-15)`

 

Klub zrzeszający dwunastu hodowców gołębi

Wiemy, że średnia ilość gołębi to 50. Liczba członków klubu wynosi 12. Oznacza to, że po dodaniu ilości gołębi pierwszego, drugiego, ..., dwunastego członka i podzieleniu otrzymanej sumy przez 12 otrzymano 50. 

`(x_1+x_2+...+x_12)/12=50` 

 

Jeśli więc pomnożymy 50 razy 12 to otrzymamy sumę liczby wszystkich gołębi tych hodowców (na początku):

`x_1+x_2+...+x_12=50*12` 

`x_1+x_2+...+x_12=600` 

 

Wiemy, że na początku było 600 gołębi.

Jeden z hodowców sprzedał połowę swoich gołębi i zostało mu 36 gołębi. Jeśli sprzedał połowę, to musiał sprzedać tyle samo, ile mu zostało, a więc 36. Liczba wszystkich gołębi zmniejszyła się więc o 36. Liczba hodowców nie zmieniła się (nadal jest równa 12). Możemy obliczyć, ile gołębi przypada teraz średnio na jednego hodowcę:

`(600-36)/12=600/12-36/12=50-3=47`   

Oblicz długość przekątnych AC ...

`a)` 

`"Korzystając ze związków w trójkącie o kątach"\ 30^@,60^@,90^@\ "otrzymujemy:"` 

`"ul(|AC|=2|DC|=4`  

`"Oznaczmy punkt przecięcia przekatnych przez O."` 

`"Kąty wierzchołkowe są sobie równe czyli trójkąty DCO oraz BCO są prostokątne."` 

`"Co więcej trójkąt DCO ma jeden z kątów równy"\ 30^@\ "(kąt przy wierzchołku D").` 

`"Z własności trójkąta prosotokątnego o kątach"\ 30^@, 60^@, 90^@\ "otrzymujemy:"`   

`|CO|=1/2|DC|=1`        

`|DO|=sqrt(3)` 

 

`"Z tw. Pitagorasa:"` 

`|BO|^2=sqrt(2)^2-1^2=1` 

`|BO|=1` 

`ul(|DB|=sqrt(3)+1`  

 

`b)` 

`"Z tw. Pitagorasa:"` 

`|AC|^2=8^2+(10+6)^2=64+256=320` 

`ul(|AC|=8sqrt(5)`  

 

`x^2=8^2+6^2=100` 

`x=10` 

`"Oznaczmy przez O punkt przecięcia przekątnych."` 

`|BO|^2=10^2-(1/2*8sqrt(5))^2=100-80=20` 

`|BO|=2sqrt(5)` 

 

`"Zauważmy, że trójkąt DOC jest równoramienny."` 

`|DO|=1/2|AC|=4sqrt(5)` 

`|DB|=4sqrt(5)+2sqrt(5)=ul(6sqrt(5)` 

 

`c)` 

`"Oznaczmy przez O punkt przecięcia przekątnych."` 

`"Zauważmy, że trójkąt COB jest równoboczny. Wynika to z faktu, że na dowolnym trójkącie prostokątnym możemy opisać okrąg."` 

`|OB|=12` 

`|DB|=ul24`  

 

`|CO|=12` 

`"Z własności trójkątów prostokatnych o boku"\ 30^@:` 

`|AO|=2*12=24` 

 

`|AC|=12+24=ul36` 

 

`d)` 

`"Oznaczmy przez O punkt przecięcia przekątnych czworokąta, a przez X"` 

`"punkt przecięcia wysokości poprowadzonej z B i przekątnej AC."`     

`"Z własności trójkąta prostokatnego, równoramiennego otrzymujemy:"` 

`|OB|=4sqrt(2)` 

`|OX|=4` 

`|XC|^2=5^2-4^2=9` 

`|XC|=3` 

 

`"Zauważmy, że trójkat DAO jest prostokątny i równoramienny."` 

`|AD|=y` 

`(8,5)^2=y^2+(y+4sqrt(2))^2` 

`289/4=y^2+y^2+8ysqrt(2)+32` 

`8y^2+32ysqrt(2)+128-289=0` 

`8y^2+32ysqrt(2)-161=0` 

`Delta=7200` 

`sqrt(Delta)=60sqrt(2)` 

 

`y_1=(-32sqrt(2) -60sqrt(2))/16 <0` 

`y_2=(-32sqrt(2)+60sqrt(2))/16=7/4* sqrt(2)` 

`ul(|BD|=7/4*sqrt(2)+4sqrt(2)=(23sqrt(2))/4` 

 

`|AO|=ysqrt(2)=7/4*sqrt(2)*sqrt(2)=7/2` 

`ul(|AC|=7/2+7=10 1/2`        

 

 

  

 

Oblicz

`a)\ (1+sqrt2)^2+(1-sqrt2)^2=(1+2sqrt2+2)+(1-2sqrt2+2)=`

`\ \ \ =(3+2sqrt2)+(3-2sqrt2)=3+2sqrt2+3-2sqrt2=6`

 

 

`b)\ (sqrt3-1)^2-(2-sqrt3)^2=(3-2sqrt3+1)-(4-4sqrt3+3)=`

`\ \ \ =(4-2sqrt3)-(7-4sqrt3)=4-2sqrt3-7+4sqrt3=2sqrt3-3`

 

`c)\ (2sqrt3-3/2)^2-(2sqrt3+3/2)^2=[(2sqrt3-3/2)-(2sqrt3+3/2)]*[(2sqrt3-3/2)+(2sqrt3+3/2)]=`

`\ \ \ =[2sqrt3-3/2-2sqrt3-3/2]*[2sqrt3-3/2+2sqrt3+3/2]=-6/2*4sqrt3=-3*4sqrt3=-12sqrt3`

 

`d)\ (4-sqrt5)(4+sqrt5)-(sqrt5-2)(2+sqrt5)=4^2-sqrt5^2-(sqrt5-2)(sqrt5+2)=`

`\ \ \ =16-5-(sqrt5^2-2^2)=11-(5-4)=11-1=10`

 

`e)\ (sqrt6-sqrt5)(sqrt6+sqrt5)+(sqrt6-sqrt5)^2=(sqrt6^2-sqrt5^2)+(6-2sqrt6*sqrt5+5)=`

`\ \ \ =(6-5)+(11-2sqrt30)=1+11-2sqrt30=12-2sqrt30`

 

`f)\ (2sqrt5-sqrt10)^2-(2sqrt5+1)(1-2sqrt5)=(4*5-4sqrt5*sqrt10+10)-(1+2sqrt5)(1-2sqrt5)=`

`\ \ \ =20-4sqrt50+10-(1^2-(2sqrt5)^2)=30-4sqrt50-(1-4*5)=`

`\ \ \ =30-4*sqrt25*sqrt2-1+20=30-4*5*sqrt2+19=49-20sqrt2`