Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić $${∏}/{2}$$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
$${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Skorzystaj z tego, że ...

W zadaniu korzystamy z twierdzenia:

Jeżeli a,x >0 oraz a1, to dla dowolnego α ∈ R :

`log_(a)x^alpha=alpha*log_(a)x`  

oraz 

Jeżeli a,x i y >0 oraz a1, to:

`log_(a)(x*y)=log_(a)x+log_(a)y`

`log_(a)x/y=log_(a)x-log_(a)y`

 

Przyjmujemy, że:

`log_(3)2~~0,63` 

 

`"a)"\ log_(3)4=log_(3)2^2=2log_(3)2~~2*0,63=1,26` 

`"b)"\ log_(3)12=log_(3)(3*4)=log_(3)3+log_(3)4=1+log_(3)2^2=1+2log_(3)2~~` 

`\ \ \ ~~1+2*0,63=1+1,26=2,26`

`"c)"\ log_(3)96=log_(3)(3*32)=log_(3)3+log_(3)32=1+log_(3)2^5=1+5log_(3)2~~` 

`\ \ \ ~~1+5*0,63=1+3,15=4,15`  

`"d)"\ log_(3)72=log_(3)(9*8)=log_(3)9+log_(3)8=2+log_(3)2^3=2+3log_(3)2~~` 

`\ \ \ ~~2+3*0,63=2+1,89=3,89` 

Sprawdź, nie wykonując dzielenia

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian (x-a) jest równa w(a). 

Jeśli więc w(a)=0, to wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian (x-a). 

 

`a)`

`w(1)=1^4-1^3+3*1^3-5*1+2=1-1+3-5+2=0`

Wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian q(x).

 

 

`b)`

`w(-1)=3*(-1)^4+(-1)^3-4*(-1)^2-7*(-1)-5=3-1-4+7-5=0`

Wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian q(x).

 

 

`c)`

`w(2)=2*2^3-2^2-7*2+3=16-4-14+3=1`

Wielomian w(x) nie jest podzielny przez dwumian q(x).

 

 

`d)`

`w(-5)=-(-5)^3-4*(-5)^2+4*(-5)-5=-(-125)-4*25-20-5=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \=125-100-20-5=0`

Wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian q(x).

 

`e)`

Zauważmy, że:

`q(x)=2x-1=2(x-1/2)`

Jeśli wielomian będzie podzielny przez pewien dwumian (x-a), to będzie także podzielny przez każdą niezerową wielokrotność tego dwumianu - w wyniku dzielenia zmienią się tylko odpowiednio współczynniki przy każdej potędze.

Musimy więc sprawdzić, czy:

`w(1/2)=0`

`w(1/2)=2*(1/2)^3+3*(1/2)^2+2*1/2-2=2*1/8+3*1/4+1-2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/4+3/4+1-2=1+1-2=0`

Wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian q(x).  

Naszkicuj wykres funkcji f ...

`a)` 

`f(x)=|3-6/sqrt(x^2+4x+4)|=|3-6/sqrt(x+2)^2|=|3-6/|x+2||` 

`D=[-1;4]`     

Najłatwiej narysować na początku funkcję g, a następnie odpowiednio przekształcać wykres. 

`g(x)=(-6)/(x+2)+3` 

`h(x)=-6/|x+2|+3`   

`f(x)=|h(x)|`   

Weźmy pod uwagę dziedzinę [-1;4]:

`f_(min)=0` 

`f_(max)=3` 

 

`b)` 

`f(x)=4-|6/x+2|` 

`D=[-6;-2]cup[2;6]`         

Najłatwiej narysować na początku funkcję g, a następnie odpowiednio przekształcać wykres. 

`g(x)=6/x+2` 

`h(x)=|g(x)|` 

`f(x)=4-h(x)`    

`f_(min)=-1` 

`f_(max)=4`   

Dany jest prostokąt o bokach a, b

Pole prostokąta obliczamy, mnożąc długości jego boków:

`P=a*b` 

 

Aby obliczyć długość boku, wystarczy więcpodzielić pole przezdługość danego boku:

`a=P:b\ \ \ \ "i"\ \ \ b=P:a` 

 

Musimy oczywiście założyć, że wartości P, a, b są dodatnie. Zauważmy, że jeśli 2 z liczb P, a, b będą dodatnie, to trzecia także będzie dodatnia. Wystarczy więc wypisać założenia dla wyrażeń podanych w tabelce.

 

`ul(ul("pierwszy wiersz"))` 

`"bok"\ a:\ \ \ (x+1)/(x^2+1)` 

`"bok"\ b:\ \ \ 1/(x+1)` 

`"założenia:"` 

Zauważmy, że wyrazenie w mianowniku pierwszego wyrażenia jest zawsze dodatnie, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc jeśli dodamy do niego 1, to wartość wyrażenia x2+1 jest równa co najmniej 1.

Długość boku ma być liczbą dodatnią:

`(x+1)/(x^2+1)>0` 

Wiemy, że mianownik jest dodatni, możemy więc pomnożyć przez niego nierówność bez zmiany znaku:

`(x+1)/(x^2+1)>0\ \ \ \ |*(x^2+1)>0` 

`x+1>0\ \ \ |-1` 

`x> - 1` 

 

Teraz wypiszmy założenia dla drugiego boku.

`1/(x+1)>0\ \ \ |*(x+1)^2>0` 

`x+1>0\ \ \ |-1` 

`x> -1` 

 

W obu przypadkach otrzymaliśmy taki sam warunek, możemy więc zapisać założenia (dziedzinę):

`D=(-1;\ +infty)` 

 

`"pole"\ P:\ \ \ (strike(x+1))/(x^2+1)*1/(strike(x+1))=1/(x^2+1)` 

 

 

 

`ul(ul("drugi wiersz"))`  

`"bok"\ b: \ \ \ (x+2)/2` 

`"pole"\ P:\ \ \ (3x+6)/(x^2+4)`  

`"założenia:"` 

Mianownik drugiego ułamka jest dodatni (równy co najmniej 4), więc możemy przy wypisywaniu założeń pomnożyć drugą nierówność razy ten mianownik. 

Wypiszmy założenia:

`{((x+2)/2>0\ \ \ |*2), (((3x+6)/(x^2+4))>0\ \ \ \ |*(x^2+4)>0):}`  

`{(x+2>0\ \ \ |-2), (3x+6>0\ \ \ |-6):}` 

`{(x> -2), (3x> -6\ \ \ |:3):}` 

`{(x> -2), (x> -2):}` 

`D=(-2;\ +infty)` 

 

`"bok"\ a:\ \ \ (3x+6)/(x^2+4):(x+2)/2=(3strike((x+2)))/(x^2+4)*2/strike(x+2)=6/(x^2+4)` 

 

 

`ul(ul("trzeci wiersz"))` 

`"bok"\ a:\ \ \ 4/(x-3)` 

`"pole"\ P:\ \ \ (4x^2+8)/(x^2-9)` 

`"założenia:"` 

Licznik pierwszego ułamka jest dodatni więc musimy zadbać o to, aby mianownik był dodatni.

Licznik drugiego ułamka jest zawsze dodatni (równy co najmniej 8). Musimy więc zadbać o to, aby jego mianownik był dodatni.

`{(4/(x-3)>0), ((4x^2+8)/(x^2-9)>0):}` 

`{(x-3>0\ \ \ |+3), (x^2-9>0\ \ \ |+9):}` 

`{(x>3), (x^2>9):}` 

`{(x>3), (x<-3\ \ \ "lub"\ \ \ x>3):}` 

`D=(3;\ +infty)` 

 

`"bok"\ b:\ \ \ (4x^2+8)/(x^2-9):4/(x-3)=(strike4^2(x^2+2))/(strike((x-3))(x+3))*(strike(x-3))/strike4^1=(2(x^2+2))/(x+3)`  

Uzasadnij powyższe twierdzenie

Wystarczy z równania wyznaczyć x (wiemy, że współczynnik a jest niezerowy, więc możemy przez niego dzielić). 

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.

`0=ax+b\ \ \ \ \ \ |-b`

`-b=ax\ \ \ \ \ \ |:ane0`

`-b/a=x`

`x=-b/a`

Dane są funkcje f(x)= ...

`a)` 

`f(x)=-2x^2-8x-4=-2(x^2+4x+4-2)=-2(x+2)^2+4`  

`g(x)=f(-x)` 

`g(x)=-2(-x+2)^2+4=-2(x-2)^2+4` 

 

`b)` 

`f(x)>=g(x)` 

`x in (-oo;0]` 

Oblicz...

`sin alpha = sin(pi/2 -  beta) = cos beta = sqrt2/3` 

 

`cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha` 

`cos^2 alpha = 1 - 2/9 = 7/9` 

`|cos alpha| = sqrt7/3` 

`cos alpha = sqrt7/3 \ \ vv \ \ cos alpha = -sqrt7/3` 

 

`"Dla" \ cos alpha = sqrt7/3` 

`tg alpha = (sin alpha)/(cos alpha) = (sqrt2/3)/(sqrt7/3) = sqrt2/sqrt7 * sqrt7/sqrt7 = sqrt14/7` 

`tg \ alpha = tg (pi/2 - beta) = ctg \ beta = 1/(tg \ beta)` 

`1/(tg \ beta) = sqrt14/7` 

`tg \ beta = 7/sqrt14 * sqrt14/sqrt14 = (7sqrt14)/14 = sqrt14/2` 

 

`"Dla" \ cos alpha = - sqrt7/3` 

`tg \ alpha = sin alpha / cos alpha = (sqrt2/3)/(-sqrt7/3) = - sqrt2/sqrt7 * sqrt7/sqrt7 = -sqrt14/7` 

`tg \ alpha = tg (pi/2 - beta) = ctg \ beta = 1/(tg \ beta)` 

`1/(tg beta ) = - sqrt14/7` 

`tg \ beta = - sqrt14/2` 

Tor lotu piłki wyrzuconej z wysokości 2 m ilustruje rysunek.

`S(t)=at^2+bt+c`

S - wysokość, na jakiej znajduje się piłka (w metrach)

t - czas lotu (w sekundach) 

 

 

Wiemy, w jakim czasie piłka osiągnęła maksymalną wysokość oraz ile wynosiła ta wysokość: 

`4,9=-b/(2a)`

`26,01=-Delta/(4a)=-(b^2-4ac)/(4a)`

 

Wiemy także, że piłkę wyrzucono z wysokości 2 m , czyli że dla t=0 funkcja S osiąga wartość 2: 

`2=a*0^2+b*0+c`

`2=c`

 

Mając wyliczone c wstawiamy je do poprzedniego równania, otrzymując układ równań: 

`{(4.9=-b/(2a)\ \ \ |*(-2a)), (26.01=-(b^2-4a*2)/(4a)\ \ \ |*4a):}`

`{(-9.8a=b), (104.04a=-(b^2-8a)):}`

Wstawiamy b z pierwszego równania do drugiego równania:

`104,04a=-((-9,8a)^2-8a)`

`104,04a=-(96,04a^2-8a)`

`104,04a=-96,04a^2+8a\ \ \ |+96,04a^2-8a`

`96,04a^2+96,04a=0\ \ \ |:96,04`

`a^2+a=0`

`a(a+1)=0`

`a=0\ \ \ vee\ \ \ a+1=0`

`a=0\ \ \ vee\ \ \ a=-1`

Pierwsza odpowiedź odpada, bo wiemy, że krzywa jest parabolą, czyli a nie może być równe 0.

`-9,8*a=b`

`b=-9,8*(-1)=9,8`

 

`S(t)=-t^2+9,8t+2`

   

    

 

 

Oblicz promień okręgu opisanego na równoramiennym

Oznaczmy sobie przyprostokątne tego trójkąta jako a, a przeciwprostokątną trójkąta jako x. Uzależnijmy długość przeciwprostokątnej od długości przyprostokątnej

`a^2+a^2=x^2`

`2a^2=x^2`

`x=sqrt2a`

 

a)

`O=4+2sqrt2`

`a+a+sqrt2a=4+2sqrt2`

`2a+sqrt2a=4+2sqrt2`

`a(2+sqrt2)=4+2sqrt2`

`a=(4+2sqrt2)/(2+sqrt2)*(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(8-4sqrt2+4sqrt2-4)/(2^2-(sqrt2)^2)=4/(4-2)=4/2=2`

`asqrt2=2sqrt2`

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę przeciwprostokątnej tego trójkąta:

`r=2sqrt2:2=ul(ul(sqrt2))`

 

b)

`O=4`

`O=a+a+asqrt2`

`a+a+asqrt2=4`

`2a+asqrt2=4`

`a(2+sqrt2)=4`

`a=4/(2+sqrt2) *(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(8-4sqrt2)/(2^2-(sqrt2)^2)=(8-4sqrt2)/(4-2)=(8-4sqrt2)/2=4-2sqrt2`

`asqrt2=(4-2sqrt2)*sqrt2=4sqrt2-4`

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę przeciwprostokątnej tego trójkąta:

`r=(4sqrt2-4):2=ul(ul(2sqrt2-2))`

 

c)

`O=1`

`O=a+a+asqrt2`

`a+a+asqrt2=1`

`2a+asqrt2=1`

`a(2+sqrt2)=1`

`a=1/(2+sqrt2) *(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(2-sqrt2)/(2^2-(sqrt2)^2)=(2-sqrt2)/(4-2)=(2-sqrt2)/2`

`asqrt2=(2-sqrt2)/2*sqrt2=(2sqrt2-2)/2=sqrt2-1`

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę przeciwprostokątnej tego trójkąta:

`r=(sqrt2-1):2=ul(ul((sqrt2-1)/2)`

 

 

 

 

Oblicz.

`a) \ ctg(25/6 pi) = ctg(24/6pi + 1/6pi) = ctg(1/6pi) = sqrt3` 

 

`b) \ ctg(35/2 pi) = ctg(34/2 + 1/2 pi ) = ctg(1/2pi) = 0` 

 

`c) \ ctg (31/4pi) = ctg(28/4 pi + 3/4pi) = ctg(3/4pi) =-1` 

 

`d) \ ctg(26/3pi) = ctg(24/3 pi + 2/3pi) = ctg(2/3pi) = ctg (pi- 1/3pi) = -ctg(1/3pi) = -sqrt3/3`