Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić $${∏}/{2}$$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
$${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy podane w tabelkach wielkości x i y są wprost proporcjonalne?

Wielkości y i x są wprost propocjonalne, jeśli zachodzi równość:

`y=kx` 

Współczynnik k nazywamy współczynnikiem proporcjonalności. 

 

Musimy więc, sprawdzić, czy iloraz y przez x jest stały. 

 

 

`a)` 

Obliczamy kolejne ilorazy:

`(-3)/(-9)=1/3` 

`(-2)/(-6)=1/3` 

`(-1)/(-3)=1/3` 

`1/3` 

Wielkości x i y są wprost proporcjonalne, współczynnik proporcjonalności jest równy jedna trzecia. 

`k=1/3` 

 

 

`b)` 

`1/(0,2)=10/2=5` 

`10/2=5` 

`(0,5)/(0,1)=5/1=5` 

`30/4=15/2=7 1/2` 

Wielkości x i y nie są wprost proporcjonalne, ponieważ ostatni otrzymany iloraz różni się od pozostałych. 

 

 

`c)` 

`(2sqrt3)/1=2sqrt3` 

`6/sqrt3=(6*sqrt3)/(sqrt3*sqrt3)=(6sqrt3)/3=2sqrt3` 

`(-8sqrt3)/(-4)=2sqrt3` 

`(6sqrt2)/sqrt6=(6sqrt2)/(sqrt3*sqrt2)=6/sqrt3=2sqrt3` 

Wielkości x i y są wprost proporcjonalne, współczynnik proporcjonalności jest równy dwa pierwiastki z trzech. 

`k=2sqrt3` 

 

 

`d)` 

`4/(-6)=-2/3` 

`(-2/9)/(\ \ 1/3\ \ )=-2/9:1/3=-2/9*3/1=-2/3`  

`(-0,4)/(0,6)=-4/6=-2/3` 

`(1 2/3)/(-2,5)=(5/3)/(-2 1/2)=(5/3)/(-5/2)=5/3:(-5/2)=5/3*(-2/5)=-2/3` 

Wielkości x i y są wprost proporcjonalne, współczynnik proporcjonalności jest równy minus dwie trzecie. 

`k=-2/3` 

 

Ile liczb niewymiernych

`1+root(3)9` 

`1-sqrt9=1-3=-2` 

`2-root(3)(64)=2-4=-2` 

`2+root(3)(64)=2+4=6` 

 

Tylko pierwsza liczba jest niewymierna, więc należy zaznaczyć odpowiedź A. 

Dla jakich wartości parametrów a i b

`a)`

Liczba 3 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Podzielmy więc wielomian w przez dwumian (x-3). 

Jeśli liczba 3 ma być pierwiastkiem wielomianu w, to reszta z dzielenie wielomianu w przez dwumian (x-3) musi być równa 0:

`b+3(a-6)=0`

`b+3a-18=0\ \ \ |-3a+18`

`ul(ul(b=-3a+18))`

 

Liczba 3 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, więc wykonujemy jeszcze jedno dzielenie:

Tak jak poprzednio, reszta musi być równa 0:

`a-6=3=0`

`a-3=0\ \ \ |+3`

`ul(ul(a=3))`

Podstawiamy obliczoną wartość a do wzoru na b:

`b=-3*3+18=-9+18=9`

 

 

Ostatecznie możemy zapisać odpowiedź:

`{(a=3), (b=9):}`

 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

 

`b)`

Wykonujemy dwa dzielenia przez dwumian x-2. 

Obie otrzymane reszty muszą być równe 0, mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(b+4a=0), (2a+2(a-4)=0):}`

`{(b=-4a), (2a+2a-8=0):}`

`{(b=-4a), (4a=8\ \ \ |:4):}`

`{(b=-4a), (a=2):}`

`{(b=-4*2=-8), (a=2):}`

 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`c)`

Wielomian w jest wielomianem stopnia 4. Pierwiastek 1 ma być pierwiastkiem stopnia trzeciego, więc wielomian musi mieć jeszcze jeden pierwiastek (oznaczmy go d), ponieważ liczba pierwiastków wielomianu jest nie większa od stopnia wielomianu. Współvczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1.

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)^3(x-d)`

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy możemy zapisać:

`w(x)=(x^3-3x^2+3x-1)(x-d)`

Wykonajmy mnożenie i uporządkujmy wielomian w:

`w(x)=x^4-dx^3-3x^3+3dx^2+3x^2-3dx-x+d=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^4+(-d-3)x^3+(3d+3)x^2+(-3d-1)x+d`

 

Z drugiej strony wiemy jednak, że wielomian w dany jest wzorem:

`w(x)=x^4+ax^3+bx^2+2x-1`

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

`x^4:\ \ \ 1=1`

`x^3:\ \ \ -d-3=a`

`x^2:\ \ \ 3d+3=b`

`x^1:\ \ \ -3d-1=2\ \ \ =>\ \ \ -3d=3\ \ \ =>\ \ \ d=-1`

`x^0:\ \ \ d=-1`

 

Wyliczamy wartości współczynników a i b:

`a=-d-3=1-3=-2`

`b=3d+3=3*(-1)+3=-3+3=0`

 

 

`ul(ul("uwaga"))`

Podpunkt c) można rozwiązać także, wykonując trzy dzielenia pisemne przez dwumian (x-1). 

Podaj równania prostych, które są osiami ...

`l-"oś symetri wykresu funkcji"\ cosx.`  

`l:x=kpi` 

`k in CC` 

 

`s-"środki symetrii wykresu"` 

`s=cos(kpi)` 

`k in CC` 

`"Dla k parzystych"\ s=1` 

`"Dla k nieparzystych"\ s=-1`   

Sporządź tabelę

`a)` 

`x`  `-2`  `-1`  `-1/2`  `0`  `1/2`  `1`  `2` 
`f(x)=2x^2`  `2*(-2)^2=`  `=2*4=8`  `2*(-1)^2=`  `=2*1=2`  `2*(-1/2)^2=`  `=2*1/4=1/2`  `2*0^2=`  `=2*0=0`  `2*(1/2)^2=`  `=2*1/4=1/2`  `2*1^2=`  `=2*1=2`  `2*2^2=`  `=2*4=8` 

 

 

    `b)`   
`x`  `-6`  `-4`  `-2`  `0`  `2`  `4`  `6` 
`f(x)=1/4x^2`  `1/4*(-6)^2=`  `=1/4*36=9`  `1/4*(-4)^2=`  `=1/4*16=4`  `1/4*(-2)^2=`  `=1/4*4=1`  `1/4*0^2=`  `=1/4*0=0`  `1/4*2^2=`  `=1/4*4=1` `1/4*4^2=`  `=1/4*16=4`  `1/4*6^2=`  `=1/4*36=9` 

 

 

 

 

`c)` 

 
`x`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2` 
`f(x)`  `3/2*(-2)^2=`  `=3/strike2^1*strike4^2=6`  `3/2*(-1)^2=`  `=3/2*1=3/2=1 1/2`  `3/2*0^2=`  `=3/2*0=0`  `3/2*1^2=`  `=3/2*1=1 1/2`  `3/2*2^2=`  `=3/strike2^1*strike4^2=6` 

 

 

   
Podaj przykład ciągów malejących...

`a) \ a_n = -n` 

`b_n = -2n` 

 

`c_n = -n -(-2n) = -n+2n = n` 

 

`b) \ a_n = -n` 

`b_n = -2n` 

 

`c_n = -n*(-2n) = 2n^2`  

 

`c) \ a_n = 1/n` 

`b_n = 1/n^2` 

 

`c_n = (1/n)/(1/n^2) = n^2/n = n` 

Każda...

Zbiór wartości funkcji f1 to [-3;3], dlatego a=3 gdyż zbiór wartości cos x wynosi [-1;1].

Funkcja f1 ma okres wynoszący π , a więc b=2.

`f_1 = 3cos2x` 

 

Zbiór wartości funkcji f2 to [-1/2;1/2], dlatego a=1/2 gdyż zbiór wartości cos x wynosi [-1;1].

Funkcja f2 ma okres wynoszący π , a więc b=2.

`f_2 = 1/2cos2x` 

 

Zbiór wartości funkcji f3 to [-3/2;3/2], współczynnik a musi być ujemny gdyż wykres przecina oś OY w punkcie (0,-3/2). Współczynnik a=-3/2 gdyż zbiór wartości cos x wynosi [-1;1].

`f_3(pi/3) = 1.5` 

Okres funkcji wynosi /3 wiemy, że:

`y=cos ax \ \ \ "to okres wynosi" \ T=(2pi)/a` 

a więc

`T=(2pi)/3 => y=cos3x` 

 

`f_3 = -3/2 cos3x` 

Oblicz miary kątów równoległoboku ...

`"W równoległoboku suma miar kolejnych dwóch kątow jest równa"\ 180^@.` 

`"Kąty naprzeciwległe w równoległboku mają tę samą miarę."` 

 

`alpha+38^@=beta` 

`alpha=gamma` 

 

`alpha+38^@+alpha=180^@` 

`alpha=142^@ /2=71^@` 

`beta=71^@+38^@=109^@`  

`delta=71^@`      

a) Środek okręgu opisanego na trapezie...

a)

 

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy wyliczyć `r` 

`3^2+4^2=r^2` 

`9+16=r^2` 

`25=r^2` 

`r=5` 

 

`P=((a+b)*h)/2=((5+5+4+4)*3)/2=(18*3)/2=9*3=27` 

 

Zauważmy, że `x=5-4=1` 

`1^2+3^2=c^2` 

`1+9=c^2` 

`10=c^2` 

`c=sqrt10` 

 

`"Obw"=8+10+2sqrt10=18+2sqrt10` 


b)

 

Zauważmy, że `DB` jes średnicą więc, `/_DCB=90^o` 

Trójkąt `BCD` jest trójkątem charakterystycznym o kątach `30^o, 60^o, 90^o` 

`|DB|=2a=6`  

`|DC|=a=3` 

`|BC|=asqrt3=3sqrt3` 

 

`P_(ABCD)=2*P_(BCD)=2*1/2*|CD|*|BC|*sin90^o=3*3sqrt3*1=9sqrt3` 

Jaką kwotą ...

`a)` 

`2000*(1+0,05)^2=2205` 

 

`b)` 

`2000*(1,05)^5=2552,56` 

 

`c)` 

`2000*(1,03)^10=2687,83`