Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$a^2 + b^2 = c^2$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić ${∏}/{2}$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na podstawie wykresów odpowiednich...

 

Aby narysować wykres funkcji f musimy wykonać następujące przekształcenia:

 

{premium}

Aby narysować wykres funkcji g musimy wykonać następujące przekształcenia:

 

Rysując wykresy funkcji f i g we wspólnym układzie współrzędnych otrzymamy:

Na podstawie wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań równania:

 


 

Aby narysować wykres funkcji f musimy wykonać następujące przekształcenia:

 

Aby narysować wykres funkcji g musimy wykonać następujące przekształcenia:

 

Rysując wykresy funkcji f i g we wspólnym układzie współrzędnych otrzymamy:

Na podstawie wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań równania:

 


 

Aby narysować wykres funkcji f musimy wykonać następujące przekształcenia:

 

Aby narysować wykres funkcji g musimy wykonać następujące przekształcenia:

 

Rysując wykresy funkcji f i g we wspólnym układzie współrzędnych otrzymamy:

Na podstawie wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań równania:

 


 

Aby narysować wykres funkcji f musimy wykonać następujące przekształcenia:

 

Aby narysować wykres funkcji g musimy wykonać następujące przekształcenia:

 

Rysując wykresy funkcji f i g we wspólnym układzie współrzędnych otrzymamy:

Na podstawie wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań równania:

 

Zapisz odległość na osi liczbowej...

a) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

  {premium}


b) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 


c) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 


d) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 


e) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 


f) Obliczmy odległość między podanymi liczbami:

 

W stożku o wysokości...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Mamy dane:

 

 


Z tw. Pitagorasa dla trójkąta SBC:

 

 

 

 

 


Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

  


 

Wskaż...

 

 

{premium}

 

 

        

 

 

 

 

  

Punkty należą do wykresu wielomianu w

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

Funkcja liniowa f jest opisana wzorem

{premium}

 

 

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch dowolnych punktów należących do wykresu funkcji, aby łatwo było poprowadzić prostą: 

 

Kierowca samochodu obliczył, że zdąży ...

Korzystając ze wzoru , gdzie

 - droga

 - prędkość -  

 - czas -  

obliczymy jaką drogę musi przebyć kierowca.

 

Korzystając z tego samego wzoru, obliczymy ile drogi przejechał kierowca jadąc przez  minut ze średnią prędkością  

 

Zatem do pokonania całej trasy kierowcy zostało {premium}

Aby zdążyć na konferencję, trasę tę musi pokonać w ciągu

 

Przekształcając wzór na drogę 

otrzymamy wzór na prędkość

 

 

Możemy już obliczyć z jaką średnią prędkością kierowca musi pokonać resztę trasy

 

 

Aby przyjechać na czas, kierowca resztę trasy musi pokonać z prędkością .

Uzasadnij, że równanie....

Dane jest równanie:

 

Uzasadnimy, że powyższe równanie nie ma rozwiązania. 

Zauważmy, że zbiorem wartości każdej funkcji wykładniczej:

 

jest zbiór {premium}

więc dla każdego argumentu x zachodzi

 

Suma liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, czyli dla każdej liczby rzeczywistej x spełniona jest nierówność

skąd dostajemy, że równanie

nie ma rozwiązania (jest sprzeczne). 

 

c.n.d. 

Wykres funkcji f przekształcono przez symetrię...

a) Przesuwając wykres funkcji f o wektor [-4, 0], przekształcając go przez symetrię względem osi Y, a następnie{premium} przesuwając otrzymany wykres o wektor [4, 0] otrzymamy wykres tej samej funkcji, jaką otrzymalibyśmy w wyniku przekształcenia wykresu funkcji przez symetrię względem prostej x=4.

Niech:

f1 - funkcja, której wykres otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o wektor [-4, 0],

f2 - funkcja, której wykres otrzymamy, przekształcając wykres funkcji f1 przez symetrię względem osi Y

Wówczas:

 

 

 

 


b) Przesuwając wykres funkcji f o wektor [-6, 0], przekształcając go przez symetrię względem osi Y, a następnie przesuwając otrzymany wykres o wektor [6, 0] otrzymamy wykres tej samej funkcji, jaką otrzymalibyśmy w wyniku przekształcenia wykresu funkcji przez symetrię względem prostej x=6.

Niech:

f1 - funkcja, której wykres otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o wektor [-6, 0],

f2 - funkcja, której wykres otrzymamy, przekształcając wykres funkcji f1 przez symetrię względem osi Y

Wówczas:

 

 

 

 


c) Przesuwając wykres funkcji f o wektor [0, -7], przekształcając go przez symetrię względem osi X, a następnie przesuwając otrzymany wykres o wektor [0, 7] otrzymamy wykres tej samej funkcji, jaką otrzymalibyśmy w wyniku przekształcenia wykresu funkcji przez symetrię względem prostej y=7.

Niech:

f1 - funkcja, której wykres otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o wektor [0, -7],

f2 - funkcja, której wykres otrzymamy, przekształcając wykres funkcji f1 przez symetrię względem osi X

Wówczas:

 

 

 

 


d) Jeżeli do wykresu funkcji f należy punkt (x, y), to do wykresu funkcji g symetrycznej do wykresu funkcji f względem prostej y=x należy punkt (y, x).

Do wykresu funkcji f należy punkt (x, y), więc:

 

 

Z definicji logarytmu:

  

Do wykresu funkcji g należy punkt (y, x), więc:

 

Mamy więc:

 

Zatem wzór funkcji symetrycznej do wykresu funkcji f względem prostej y=x to:

  

Znajdź środek symetrii, w której ...

a)

Wiemy, że:

 

 


Szukamy współrzędnych punktu S=(xS, yS):{premium}

 

 

 

 

 

oraz

 

 

 

 

 

Zatem:

 


b)

Wiemy, że:

 

 


Szukamy współrzędnych punktu S=(xS, yS):

 

 

 

 

oraz

 

 

 

 

 

Zatem: