Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$a^2 + b^2 = c^2$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić ${∏}/{2}$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W jakim trójkącie...

a) Wysokość i środkowa zawierają się w dwusiecznej zatem{premium} wysokość dzieli podstawę na połowy a kąt przy wierzchołku, z którego wychodzi wysokość jest podzielony na dwa kąty o takiej samej mierze:

Jest to trójkąt równoramienny.

b) Niech wysokością będzie odcinek CE, odcinek CF będzie zawierał się w dwusiecznej a odcinek CD będzie środkową. Wtedy:

Trójkąt ABC jest różnoboczny.

Dla jakich wartości parametru a...

Wykresem pochodnej funkcji f jest parabola z ramionami skierowanymi ku dołowi. Żeby nie było ekstremum to funkcja opisująca pochodną funkcji f nie może mieć dwóch miejsc zerowych gdyż dojdzie do zmiany znaku pochodnej w każdym, zatem:

 

 

 

{premium}  

 

  

 

 

Wykresem pochodnej funkcji f jest parabola z ramionami skierowanymi ku górze. Żeby nie było ekstremum to funkcja opisująca pochodną funkcji f nie może mieć dwóch miejsc zerowych gdyż dojdzie do zmiany znaku pochodnej w każdym, zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 

Prostokątna działka na planie ...

 

  

 

{premium}

 

  

  

    

Podaj przybliżenia liczb 5^(sqrt3) i 5^(sqrt5)

 

{premium}

   

 

Napisz równanie prostej, której wykres jest podany na poniższych rysunkach

Nie jest to wykres funkcji, ponieważ dla argumentu x=-3 jest przyjmowane nieskończenie wiele wartości.

 

{premium}

Jest to wykres funkcji, dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość, ta wartość to 2. 

 

 

Podstawiamy w miejsce x i y współrzędne punktów, które należą do wykresu funkcji, np. (-2, 0) i (0, 3):

Jest to wykres funkcji - dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość. 

W rozwinięciu wyrażenia...

Skorzystamy ze wzoru na sześcian sumy:{premium}

 

Współczynnik przy xy2:

 

wynosi

 

Odpowiedź C

Zapisz liczbę w postaci potęgi o podstawie 5

{premium}

Wyznacz pierwiastki wielomianu przedstawionego w postaci iloczynu.

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  {premium}


 

 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  


 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  


 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  

Które z podanych liczb są ...

 

 

Liczba  jest liczbą naturalną, ma  cyfry. {premium}


 

 

Liczba  nie jest liczbą naturalną, ma  cyfr po przecinku.


 

 

 

 

 

Liczba  jest liczbą naturalną, ma  cyfr.


 

 

 

 

Liczba  nie jest liczbą naturalną, ma  cyfr przed przecinkiem i  cyfr po przecinku.


 

 

 

 

Liczba  jest liczbą naturalną, ma  cyfr.


 

 

 

Liczba  nie jest liczbą naturalną, ma  cyfr przed przecinkiem i  cyfr po przecinku.

Dla jakich wartości parametru m każde z dwóch...

 

Sprawdźmy najpierw, dla jakich wartości parametru  równanie ma dwa różne rozwiązania.

Będzie tak, gdy:  

Obliczamy:

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

{premium}

 

Chcemy, aby każde z rozwiązań było mniejsze od  czyli:

 

Co jest równoważne:

 

Z wzorów Viete'a mamy:

  

 

 

 

 

 

Po dołączeniu warunku na  otrzymujemy:

 

 

Odp.