Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić $${∏}/{2}$$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
$${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Drut długości 8 m podzielono na dwie...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 część drutu, z której zbudowano kwadrat

 część drutu, z której zbudowano trójkąt

Długość boku kwadratu jest równa  

Obliczamy pole kwadratu:

 

Długość boku trójkąta jest równa  

Obliczamy pole trójkąta:

   

Chcemy, by suma tych pól była najmniejsza, czyli wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji:

{premium}

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy więc odciętą wierzchołka:

 

 

Obliczamy długość drugiej części drutu:

 

Odp. Długość odcinka, z której zbudowano kwadrat powinna wynosić  a długość odcinka

przeznaczonego na trójkąt - 

Dany jest prostokąt o bokach a, b

Pole prostokąta obliczamy, mnożąc długości jego boków:

 

 

Aby obliczyć długość boku, wystarczy więcpodzielić pole przezdługość danego boku:

 

 

Musimy oczywiście założyć, że wartości P, a, b są dodatnie. Zauważmy, że jeśli 2 z liczb P, a, b będą dodatnie, to trzecia także będzie dodatnia. Wystarczy więc wypisać założenia dla wyrażeń podanych w tabelce.

 

 

 

 

 

Zauważmy, że wyrazenie w mianowniku pierwszego wyrażenia jest zawsze dodatnie, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc jeśli dodamy do niego 1, to wartość wyrażenia x2+1 jest równa co najmniej 1.

Długość boku ma być liczbą dodatnią:

 

Wiemy, że mianownik jest dodatni, możemy więc pomnożyć przez niego nierówność bez zmiany znaku:

 

 

 

 

Teraz wypiszmy założenia dla drugiego boku.

 

 

 

 

W obu przypadkach otrzymaliśmy taki sam warunek, możemy więc zapisać założenia (dziedzinę):

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

Mianownik drugiego ułamka jest dodatni (równy co najmniej 4), więc możemy przy wypisywaniu założeń pomnożyć drugą nierówność razy ten mianownik. 

Wypiszmy założenia:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Licznik pierwszego ułamka jest dodatni więc musimy zadbać o to, aby mianownik był dodatni.

Licznik drugiego ułamka jest zawsze dodatni (równy co najmniej 8). Musimy więc zadbać o to, aby jego mianownik był dodatni.

 

 

 

 

 

 

  

Uzasadnij, że jeśli reszta z dzielenia...

 

a) Założenie:

Teza:

Zatem

 

Liczba 5 występuje w rozkładzie na czynniki a więc jest cała liczba jest podzielna przez 5.

 

b) Założenie:

  

Teza:

 

 

Zatem

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc któraś z liczb zawsze będzie podzielna przez 5.

Wykaż, że dla każdej wartości parametru t ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

Beata poprosiła koleżanki o pomoc ...

x - liczba poproszonych koleżanek

y - liczba zaproszeń przypadająca na jedną osobę (w przypadku gdy mamy x koleżanek)

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

           

 

Pamiętajmy, że dwie Panie nie przyszły, zatem 6-2=4.

Zaproszenia wypisywały 4 osoby.  

Przekrojem sześcianu o krawędzi a

Punkty I, J, K, L, M, N są środkami odpowiednich krawędzi sześcianu. 

Odcinki AI, IB, BJ, JC, CK, KG, GL, LH, HM, ME, EN, NA mają więc jednakową długość - równą długości połowy krawędzi sześcianu.   {premium}

 

 

 

Trójkąty NAI, IBJ, JCK, KGL, LHM, MEN są więc trójkątami prostokątnymi równoramiennymi o przyprostokątnych długości  .

Oznaczmy długości:

 

Skoro te wszystkie długości są równe, to jest to sześciokąt foremny.

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

 

 

 

 

 

Wiemy już, że bok sześciokąta foremnego ma długość  .

 

Pole sześciokąta foremnego o boku a można obliczyć, biorąc pola 6 trójkątów równobocznych o boku a:

 

 

Obliczmy więc pole naszego sześciokąta:

 

 

Wyrażenie (4x^2+1+2x)(4x^2+1-2x) jest równe

 

Oblicz

{premium}

Naszkicuj wykres funkcji ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

Sprawdź, czy ...