Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$a^2 + b^2 = c^2$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić ${∏}/{2}$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dorota wpłaciła na pięcioletnią lokatę...
  • Pierwsze dwa lata:

Kwartalne oprocentowanie wynosi:

 

2 lata to 8 kwartałów, zatem na lokacie będziemy mieć:

 {premium}

 

  • Kolejne trzy lata:

Półroczne oprocentowanie wynosi:

 

3 lata to 6 półroczy, zatem na lokacie będziemy mieć:

 

 

Odpowiedź: Dorota po 5 latach będzie miała około 4906,65 zł.

Zbiór punktów płaszczyzny jest opisany nierównością...

a) Sprawdzamy czy punkt A spełnia nierówność.

 {premium}

Punkt A nie należy do danego zbioru.

Sprawdzamy czy punkt B spełnia nierówność.

 

Punkt B należy do danego zbioru.

Sprawdzamy czy punkt C spełnia nierówność.

 

Punkt C należy do danego zbioru.


b) Przekształcamy wyrażenie po lewej stronie nierówności tak, by otrzymać równanie okręgu w postaci kanonicznej:

 

 

 

Zatem powyższa nierówność opisuje wnętrze koła o środku w punkcie (4,-3) i promieniu 2.

Włącz czynnik pod pierwiastek

{premium}

Czy z danych zamieszczonych na rysunku ...

a)

Obliczamy miarę trzeciego kąta:

 

Miary kątów w obu trójkątach są takie same, więc trójkąty te są podobne (cecha kkk).{premium}


b)

Kąty między bokami, których długości znamy są równe. Sprawdzamy, czy długości dwóch boków pierwszego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków drugiego trójkąta.

 

Trójkąty te nie są podobne.


c)

Sprawdzamy, czy długości boków pierwszego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków drugiego trójkąta.

 

Trójkąty te są podobne (cecha bbb).


d)

Kąty między bokami, których długości znamy są równe. Sprawdzamy, czy długości dwóch boków pierwszego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków drugiego trójkąta.

 

Trójkąty te są podobne (cecha bkb).


e)

Sprawdzamy, czy długości boków pierwszego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków drugiego trójkąta.

 

Trójkąty te nie są podobne.


f)

Obliczamy miarę trzeciego kąta:

 

Drugi trójkąt również jest trójkątem równoramiennym, ponieważ jego dwa boki mają taką samą długość).

Miary kątów w obu trójkątach są takie same, więc trójkąty te są podobne (cecha kkk).

Tworząca stożka ma długość 12 ...

Rysunek pomocniczy:

Z funkcji trygonometrycznych mamy:  {premium}

 

 

 

oraz

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego stożka.

 

 

 

 

 

Na rysunku przedstawiona jest graficzna...

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty (-4, -3) i (0, 5).

Prosta przechodząca przez punkt (0, 5) ma wzór y=ax+5. Punkt (-4, -3) spełnia to równanie, więc:{premium}

 

 

 

Zatem:

 


Wierzchołkiem narysowanej paraboli jest punkt (-1, 6), więc ma ona równianie y=a(x+1)2+6. Do wykresy paraboli należy między innymi punkt (0, 5), więc:

 

 

Czyli:

 

 


Prawidłowa odpowiedź to D.

Porównaj procentowe zyski...

JAN

 

 

 

 

 

{premium}  

 

Zysk:

 

 

MARIA

 

 

 

 

 

 

 

Zysk:

 

 

JAKUB

 

 

 

 

 

 

 

Zysk:

 

Dla jakich wartości parametru m ...

 

 

    {premium}

 

Podstawmy  

 

Rozważmy funkcję:

 

Aby narysować funkcję f(x) wystarczy narysować funkcję  

Następnie należy tą funkcję przesunąć o wektor [-3,1], a następnie: argumenty, których wartości są dodatnie pozostają bez zmian, a argumenty, których wartości są niedodatnie odbijamy symetrycznie względem osi OX.

oraz rozważmy funkcję:

  

Narysujmy wykres tych funkcji w jednym układzie współrzędnych (Zauważmy, że prosta g(x) jest stała, jest to prosta równoległa do osi OX, dla przykładu narysujmy prostą dla k=2, czyli g(x)=2):

Zauważmy, że dla k2 lub k1 otrzymujemy więcej rozwiązań ujemnych niż dodatnich, zatem:

 

 

 

 

 

 

W trójkącie ABC wierzchołki mają współrzędne...

Zauważmy, że punktu A i B leżą na prostej x = -2 gdyż ich pierwsze współrzędne są równe.

 

Prosta prostopadła do prostej  x = -2 , przechodząca przez punkt C jest dana równaniem:

{premium}  

 

a) Obrazem prostej w symetrii względem osi x jest prosta:

  

 

b) Prosta y = -3 jest prostopadła do osi y a więc ona i jej obraz w symetrii względem tej osi pokrywają się. Zatem 

 

 

c) Symetria względem osi układu współrzędnych to inaczej symetria względem osi x oraz osi y. Zatem:

  

Różnica między długością przekątnej...

 

{premium}