Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić $${∏}/{2}$$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
$${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych ...

W zadaniu korzystamy z następujących definicji funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych:

 

 

   

 

 

 

 

Rysunek:

 

 

 

 

 

 

 

  

Rysunek:

 

 

 

 

  

  

  

  

 

    

Rysunek:

 

 

  

 

   

   

   

   

 

    

Rysunek:

 

 

  

 

   

      

   

   

a) Uzasadnij, że jeśli czworokąt...

 

 - promień okręgu opisanego na tym czworokącie

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 

Jeśli na okręgu można opisać czworokąt to spełniony jest warunek

 

Wobec tego  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla jakich wartości parametru...

 

 

 

    {premium}

 

Założenie I:

 

 

 

Założenie II:

 

 

 

 

 

Zatem ostatecznie:

 


 

 

 

 

Założenie I:

 

 

 

 

Założenie II:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem ostatecznie:

 


 

 

 

 

Założenie I:

 

 

 

 

Założenie II:

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem ostatecznie:

 

Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A i B

W każdym przykładzie wyznaczymy współczynniki kierunkowe funkcji f i g, a potem sprawdzimy, czy te współczynniki są równe - jeśli tak, to funkcje f i g są równoległe. 

Funkcja liniowa ma wzór y=ax+b, wystarczy wstawić współrzędne punktów w miejsce x i y, aby wyliczyć współczynniki a i b. 

a, b z indeksem f oznaczają współczynniki funkcji f, natomiast a, b z indeksem g oznaczają współczynniki funkcji g

 

 

 

 

Wykresy są równoległe.  

 

 

 

 

 

 

 

Wykresy funkcji są równoległe.

  

 

 

 

 

 

 

Wykresy nie są równoległe.

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykresy funkcji są równoległe. 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Trzy liczby x, y, z których suma wynosi 24 ...

 

 

 

Korzystamy z następujących zależności:

I. Dla ciagu arytmetycznego:

 

II. Dla ciagu geometrycznego:

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

Dla jakich wartości parametru p...

 

 

Powyższe równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie niezależnie od wartości parametru  

Jest nim  

Oznacza to, że równanie  musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie różne od  

lub może mieć dwa rozwiązania, ale jedno z nich musi być równe  

Zatem powinny zachodzić warunki:

{premium}

 

 

Obliczamy wyróżnik  

 

 

 

Rozwiązujemy układ  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 

Rozwiązujemy układ  

 

 

 

 

Korzystając z poprzednich obliczeń otrzymujemy:

      

 

Mamy więc:

 

 

Zbierając rozwiązania uzyskane z  i otrzymujemy:

 

 

Odp. Równanie ma dwa różne rozwiązania dla  

Który z ciągów...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku przedstawiono wykres ...

a)

Wykres funkcji g(x)

podglad pliku {premium}

 

Wykres funkcji h(x) jest taki sam jak wykres funkcji g(x), ponieważ wszystkie wartości funkcji g(x) są dodatnie.

 

Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru m:

brak rozwiązań dla  

jedno rozwiązanie dla  

dwa rozwiązania dla  

nieskończenie wiele rozwiązań dla  


b)

Wykres funkcji g(x)

podglad pliku

Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru m:

dwa rozwiązania dla  

trzy rozwiązania dla  

cztery rozwiązania dla  

brak rozwiązań dla  

 

Wykres funkcji h(x)

podglad pliku

Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru m:

brak rozwiązań dla  

cztery rozwiązania dla  

osiem rozwiązań dla  

siedem rozwiązań dla  

sześć rozwiązań dla  

dwa rozwiązania dla  

Oblicz.

a)

 

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 


d)