Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Twierdzenie sinusów i cosinusów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Poznaliśmy już część związków trygonometrycznych, ale były one używane jedynie "na sucho" - bez odniesienia do konkretnych sytuacji geometrycznych.

Teraz czas na dwa twierdzenia, które pozwolą nam na skorzystanie z trygonometrii w obliczaniu pewnych długości i kątów w trójącie.
 

Twierdzenie cosinusów

W gimnazjum było wrowadzone twierdzenie Pitagorasa, które umożliwiało obliczenie trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, jeśli znaliśmy dwa pozostałe. Twierdzenie cosinusów jest jego rozwinięciem - nie ogarnicza się tylko do trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa wyglądało w ten sposób:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

Wzór twierdzenia cosinusów wygląda natomiast tak:

$$a^2 + b^2 - 2ab cos(∠(a,b)) = c^2$$

Jak widać twierdzenie Pitagorasa wynika wprost z twierdzenia cosinusów - wystarczy za kąt podstawić $${∏}/{2}$$, żeby ostatni składnik się zredukował.
 

Twierdznie sinusów

Twierdzenie sinusów przydaje się natomiast w sytuacjach, gdy mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie. Mówi ono, że:
$${a}/{sin α} = {b}/{sin β} = {c}/{sin γ} = 2R$$

1

Inaczej mówiąc, długość boku trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego (im większy kąt, tym mniejszy sinus, czyli tym większy bok). Oprócz tego dostajemy informację, że średnica okręgu opisanego na trójkącie może być obliczona przez podzielenie długości boku przez odpowiadający mu sinus kąta.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj wzór proporcjonalności

`b)` 

`a=1/2*8=4,\ \ \ "czyli"\ \ \ y=4/x` 

 

`c)` 

`a=3/2*3/2=9/4,\ \ \ "czyli"\ \ \ y=(9/4)/x,\ \ \ "więc"\ \ \ y=9/(4x)` 

 

`d)` 

`a=(2-sqrt3)(2+sqrt3)=2^2-sqrt3^2=4-3=1,\ \ \ "czyli"\ \ \ y=1/x` 

 

Zapisz w prostszej postaci

`a)` 

`(n!)/((n-2)!)=(strike((n-2)!)*(n-1)*n)/(strike((n-2)!))=(n-1)*n=n^2-n` 

 

 

`b)` 

`(n!)/(n(n-1))=(strike(n(n-1))*(n-2)!)/(strike(n(n-1)))=(n-2)!` 

 

 

`c)` 

`((n+1)!)/((n-1)!)=(strike((n-1)!)n(n+1))/(strike((n-1)!))=n(n+1)=n^2+n` 

 

`d)` 

`((n-2)!)/((n-3)!)=(strike((n-3)!)*(n-2))/(strike((n-3)!))=n-2` 

 

 

`e)` 

`((n-1)!(n+1)!)/((n!)^2)=((n-1)!*strike(n!)*(n+1))/(strike(n!)*n!)=(strike((n-1)!)*(n+1))/(strike((n-1)!)*n)=(n+1)/n` 

 

 

`f)` 

`((n-1)!+(n+1)!)/(n^2n!-(n-1)!)=((n-1)!+(n-1)!*n*(n+1))/(n^2*(n-1)!*n-(n-1)!)=(strike((n-1)!)*(1+n(n+1)))/(strike((n-1)!)*(n^2*n-1))=(1+n^2+n)/(n^3-1)=(n^2+n+1)/(n^3-1^3)=(strike(n^2+n+1))/((n-1)strike((n^2+n+1)))=1/(n-1)`                  

Wyznacz współrzędne punktu...

`{(3x+7y-15=0),(3x-2y-15=0):}` 

`{(3x-15=-7y),(3x-15=2y):}` 

Stąd:

`-7y = 2y` 

`-9y = 0` 

`y=0` 

a więc:

`3x+7*0-15=0` 

`3x-15=0` 

`3x = 15` 

`x = 5` 

Punkt przecięcia to:

`(5, 0)` 

Dane są punkty A(-1, -2) ...

 

a)

Obliczmy długość odcinka AB

`|AB|=sqrt((5-(-1))^2+(-2-(-2))^2)=sqrt(6^2+0^2)=sqrt36=6` 

Obliczmy wysokość trójkąta ABO korzystając z tw. Pitagorasa

`3^2+h^2=5^2` 

`9+h^2=25` 

`h^2=16` 

`h=4`  

 

`|CD|=h+5=4+5=9 \ \ \ "lub" \ \ \ |CD|=r-h=5-4=1` 

 

Niech punkt C ma współrzędne `C=(x, y)` 

`|AC|=sqrt((x-(-1)^2+(y-(-2))^2))=sqrt((x+1)^2+(y+2)^2)` 

`|BC|=sqrt((x-5)^2+(y-(-2))^2)=sqrt((x-5)^2+(y+2)^2)` 

 

`sqrt((x+1)^2+(y+2)^2)=sqrt((x-5)^2+(y+2)^2)` 

`x^2+2x+1+y^2+4y+4=x^2-10x+25+y^2+4y+4 \ \ \ |-x^2-y^2-4y-4` 

`2x+1=-10x+25 \ \ \ |+10x` 

`12x+1=25 \ \ \ |-1` 

`12x=24 \ \ \ |:12` 

`x=2` 

 

Przypadek I.

`|CD|=9` 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta `ADC` otrzymujemy:

`3^2+9^2=|AC|^2` 

`9+81=|AC|^2` 

`90=|AC|^2` 

`|AC|=sqrt90=3sqrt10` 

 

`sqrt((x-5)^2+(y+2)^2)=sqrt90` 

`(x-5)^2+(y+2)^2=90` 

`(2-5)^2+(y+2)^2=90` 

`(-3)^2+(y+2)^2=90` 

`9+y^2+4y+4=90 \ \ \ |-90` 

`y^2+4y-77=0` 

`Delta=4^2-4*1*(-77)=16+308=324` 

`sqrt(Delta)=18` 

`y_1=(-4-18)/2=-11` 

`y_2=(-4+18)/2=7` 

 

Przypadek II.

`|CD|=1` 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta `ADC` otrzymujemy:

`3^2+1^2=|AC|^2` 

`9+1=|AC|^2` 

`10=|AC|^2` 

`|AC|=sqrt10` 

 

`sqrt((x-5)^2+(y+2)^2)=sqrt10` 

`(x-5)^2+(y+2)^2=10` 

`(2-5)^2+(y+2)^2=10` 

`(-3)^2+(y+2)^2=10` 

`9+y^2+4y+4=10 \ \ \ |-10` 

`y^2+4y+3=0` 

`Delta=4^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`y_1=(-4-2)/2=-3` 

`y_2=(-4+2)/2=-1` 

 

Odp. `C=(2, -11) \ \ \ "lub" \ \ \ C=(2, 7) \ \ \ "lub" \ \ \ C=(2, -3) \ \ \ "lub" \ \ \ C=(2, -1)` 


b)

`r=P/p, \ \ \ p=(a+b+c)/2` 

Przypadek I.

`p=(6+sqrt90+sqrt90)/2=(6+2sqrt90)/2=3+sqrt90=3+3sqrt10` 

`P=1/2*6*9=27` 

`r=27/(3+3sqrt10)=9/(1+sqrt10)~~9/4,16~~2,16 < 2,25` 

 

Przypadek II.

`p=(6+sqrt10+sqrt10)/2=(6+2sqrt10)/2=3+sqrt10` 

`P=1/2*6*1=3` 

`r=3/(3+sqrt10)~~3/6,16~~0,49 < 2,25` 

 

 

 

Wyznacz wyraz x, y ciągu geometrycznego.

a)

`5^2=15*x` 

`25=15*x \ \ \ |:15` 

`25/15=x` 

`5/3=x` 

 

`(5/3)^2=5*y` 

`25/9=5y \ \ \ |:5` 

`25/9*1/5=y` 

`5/9=y` 


b)

`18^2=y*54` 

`324=54y \ \ \ |:54` 

`6=y` 

 

`6^2=x*18` 

`36=18x \ \ \ |:18` 

`2=x` 


c)

`10^2=4*x` 

`100=4x \ \ \ |:4` 

`25=x` 

 

`25^2=10*y` 

`625=10y \ \ \ |:10` 

`62,5=y` 

Ciąg jest opisany wzorem...

a)

`a_n=n^3` 

`n^3>100` 

`n^3>100> 4^3` 

`n in {5, 6, 7, "..."}` 

Odp. Wszystkie jego wyrazy począwszy od piątego wyrazu.

 

b)

`a_n=n^3` 

`n^3>1000` 

`n^3>10^3` 

`n in {11, 12, 13, "..."}` 

Odp. Wszystkie jego wyrazy począwszy od jedenastego wyrazu.

 

c) 

`a_n=n^3` 

`n^3>106` 

`n^3>106>4^3` 

`n in {5, 6, 7, "..."}` 

Odp. Wszystkie jego wyrazy począwszy od piątego wyrazu.

Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy...

`a_2=0` 

`a_1+r=0` 

`a_1=-r` 

 

`S_11=(2a_1+(11-1)*r)/2*11` 

`220=(2*(-r)+10r)/2*11` 

`220=(8r)/2*11` 

`220=4r*11` 

`220=44r \ \ \ |:44` 

`5=r` 

 

`a_n=a_1+(n-1)*r` 

`25=-5+(n-1)*5` 

`25=-5+5n-5` 

`25=5n-10 \ \ \ |+10` 

`35=5n \ \ \ |:5` 

`7=n` 

 

Odp. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy 25.

`` 

Określ stopień wielomianu

`a)\ (x^4)^3*x^7=x^(4*3)*x^7=x^12*x^7=x^(12+7)=x^19` 

     Stopień tego jednomianu to 19

 

`b)\ 2(x^3)^5*(x^2)^6=` `2x^(3*5)*x^(2*6)=` `2x^15*x^12=` `2x^(15+12)=2x^27` 

     Stopień tego jednomianu to 27

W pierwszej z dwóch urn

Liczba kul nie ulegnie zmianie, jeśli wylosowano kule jednakowych kolorów, czyli w dwóch przypadkach:

  • z pierwszej urny wylosowano kulę białą, a następnie wylosowano kulę białą z drugiej urny 
  • z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, a następnie wylosowano kulę czarną z drugiej urny

Wprowadźmy oznaczenia:

`I_b\ \ -\ \ "z pierwszej urny wylosowano kulę białą"` 

`I_c\ \ -\ \ "z pierwszej urny wylosowano kulę czarną"` 

`II_b\ \ -\ \ "z drugiej urny wylosowano kulę białą"` 

`II_c\ \ -\ \ "z drugiej urny wylosowano kulę czarną"` 

 

Szukane prawdopodobieństwo:

`P(I_bnnII_b)+P(I_cnnII_c)=?` 

 

 

Przeanalizujmy pierwsze prawdopodobieństwo. Jeśli w pierwszej i drugiej urnie wylosowano białe kule to tak, jak gdyby z pierwszej wylosowano białą i z drugiej białą, ale pod warunkiem, że z pierwszej wylosowano białą. 

Rzeczywiście, taka interpretacja jest zgodna z definicją prawdopodobieństwa warunkowego, mamy bowiem:

`P(II_b|I_b)=(P(II_bnnI_b))/(P(I_b))=(P(I_bnnII_b))/(P(I_b))` 

Po pomnożeniu razy mianownik otrzymujemy:

`P(II_b|I_b)*P(I_b)=P(I_bnnII_b)` 

 

 

Analogicznie rozpiszemy drugi składnik szukanej sumy:

`P(II_c|I_c)=(P(II_cnnI_c))/(P(I_c))=(P(I_cnnII_c))/(P(I_c))` 

`P(II_c|I_c)*P(I_c)=P(I_cnnII_c)` 

 

 

Szukaną sumę możemy więc zapisać jako:

`P(I_bnnII_b)+P(I_cnnII_c)=P(II_b|I_b)*P(I_b)+P(II_c|I_c)*P(I_c)=**` 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny. W pierwszej urnie znajduje się 7 kul - 3 białe i 4 czarne. 

`P(I_b)=3/7` 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z pierwszej urny. W pierwszej urnie znajduje się 7 kul - 3 białe i 4 czarne. 

`P(I_c)=4/7` 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny, jeśli wiemy, że z pierwszej urny wylosowano kulę białą. 

Jeśli z pierwszej urny wylosowano kulę białą, to w pierwszej urnie mamy wtedy 6 kul - 2 białe i 4 czarne (bo wylosowaną kulę przekładamy do drugiej urny), a w drugiej urnie mamy 6 kul - 3 białe i 3 czarne (bo białą kulę wylosowaną z pierwszej urny wkładamy do drugiej urny).

`P(II_b|I_b)=3/6=1/2` 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z drugiej urny, jeśli wiemy, że z pierwszej urny wylosowano kulę czarną. 

Jeśli z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, to w pierwszej urnie mamy wtedy 6 kul - 3 białe i 3 czarne (bo wylosowaną kulę przekładamy do drugiej urny), a w drugiej urnie mamy 6 kul - 2 białe i 4 czarne (bo czarną kulę wylosowaną z pierwszej urny wkładamy do drugiej urny).

`P(II_c|I_c)=4/6=2/3` 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

`**=1/2*3/7+2/3*4/7=3/14+8/21=9/42+16/42=25/42`  

Boki równoległoboku mają długości...

Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

`a=2+2sqrt3` 

`b=4` 

`alpha=150^@` 

Obliczamy `d,` korzystając z twierdzenia cosinusów dla `DeltaACD:` 

`d^2=a^2+b^2-2a b cosalpha`   

`d^2=(2+2sqrt3)^2+4^2-2(2+2sqrt3)*4*cos150^@` 

`d^2=4+8sqrt3+12+16-16(1+sqrt3)*cos(180^@-30^@)` 

`d^2=32+8sqrt3-16(1+sqrt3)*(-cos30^@)` 

`d^2=32+8sqrt3+16(1+sqrt3)*sqrt3/2` 

`d^2=32+8sqrt3+8sqrt3+8*3` 

`d^2=56+16sqrt2` 

Widzimy, że jedyną prawdopodobną odpowiedzą jest `"A."`    

Sprawdźmy, czy po podniesieniu do kwadratu podanego wyniku, otrzymamy wartość `d^2.` 

`(2+sqrt2)^2=4+4sqrt2+2=6+4sqrt2!=d^2`  

W takim razie w zadaniu chodzi o drugą przekątną.

Obliczamy miarę kąta `beta:` 

`beta=180^@-alpha` 

`beta=180^@-150^@=30^@` 

Obliczamy `p,` korzystając z twierdzenia cosinusów dla `DeltaABD:`     

`p^2=a^2+b^2-2a b cosbeta`   

`p^2=(2+2sqrt3)^2+4^2-2(2+2sqrt3)*4*cos30^@` 

`p^2=4+8sqrt3+12+16-16(1+sqrt3)*sqrt3/2` 

`p^2=32+8sqrt3-16(1+sqrt3)*sqrt3/2` 

`p^2=32+8sqrt3-8sqrt3-8*3` 

`p^2=32-24` 

`p^2=8` 

`p=2sqrt2` 

Prawidłowa odpowiedź to `"C."`