Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$
$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$
$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$
$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $x=y$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$sin 2x = 2 sin x cos x$ $cos 2x = cos x^2 - sin x^2$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$
$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$ $ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$ $ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$

$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W prywatnej specjalistycznej przychodni lekarskiej pracuje o 4 lekarzy ...

x - ilość pozostałych pracowników

x+4 - ilość lekarzy

2x+4 - ilość wszystkich pracowników

3850zł - średnia pensja lekarza

3850zł-1900zł=1950zł - średnia pensja pozostałego pracownika {premium}

 

Średnia płaca wszystkich pracowników jest równa 3090 zł, zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Ilość lekarzy:

 

 

Odp. W tej przychodni pracuje 12 lekarzy. 

Wyznacz równania ogólne prostej ...

a)

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


e)

 

 

 

 

 

 

 

 

 


f)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawa walca ma obwód równy ...

Z treści zadania wiemy, że:

 

    {premium}

 

Rysunek pomocniczy:


 

Korzystając z funkcji trygonometrycznych:

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego walca.

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego walca.

 

 

 

 


 

Korzystając z funkcji trygonometrycznych:

 

 

 

 

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego walca.

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego walca.

 

 

 

 


 

Korzystając z funkcji trygonometrycznych:

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego walca.

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego walca.

 

 

 

 

Czy istnieje funkcja liniowa

Taka funkcja nie istnieje, ponieważ wszystkie funkcje liniowe, które przyjmują wartości ujemne tylko wtedy, gdy x>-1, są malejące, co pokazuje rysunek:

{premium}

Dane są zbiory

Obliczmy średnią arytmetyczną liczb ze zbioru X:

 {premium}

 

Obliczmy wariancję liczb z zestawu X:

 

 

 

Obliczamy odchylenie standardowe liczb z zestawu X:

 


Obliczmy średnią arytmetyczną liczb z zestawu Y:

 

 

Obliczmy wariancję liczb z zestawu Y:

 

 

 

Obliczamy odchylenie standardowe liczb z zestawu Y:

 

 

Obliczmy, ile razy odchylenie standardowe liczb ze zbioru Y jest większe od odchylenia standardowego liczb ze zbioru X:

 

 

 

Zauważmy, że każda liczba z zestawu Y była liczbą z zestawu X pomnożoną razy 10. Zachodzi więc równość:

 

 

Przy czym mnożenie zbioru X razy 10 rozumiemy jako mnożenie każdego jego elementu razy 10. 

 

Zachodzą następujące zależności:

 

 

 

Ogólnie, jeśli każda liczba z pewnego zbioru A powstaje przez pomnożenie przez pewną stałą k liczby ze zbioru B, czyli:

   

 

to prawdziwe są równości:

 

 

 

Na rysunku obok przedstawione są wykresy funkcji kwadratowych

Jeśli współczynnik przy x² jest dodatni, to ramiona paraboli są skierowane w górę, jeśli jest ujemny, to ramiona paraboli są skierowane w dół. 

Dodatkowo, jeśli ten współczynnik jest liczbą z przedziału (-1, 1) różną od zera, to parabola jest rozciągnięta w poziomie, jeśli jest liczbą większą na moduł od 1 (czyli mniejszą od -1 lub większsą od 1) to parabola jest zwężona w poziomie. 

Na tej podstawie:

{premium}

Podaj wyrazy ...

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

   

Sprawdź, czy okrąg o średnicy AB jest symetryczny

a)

Obliczamy współrzędne środka okręgu o średnicy AB

{premium}

Obliczamy współrzędne środka okręgu o średnicy CD

Zauważamy, że współrzędne iksowe środków okręgów to wartości przeciwne, zatem okręgi te są symetryczne względem osi OY.

b)

Zauważamy, że współrzędne igrekowe środków okręgów to wartości przeciwne, zatem okręgi te są symetryczne względem osi OX.

Podaj wzór funkcji, której wykres uzyskano ...

Przypomnijmy:

Przesuwając funkcję f(x) o wektor [a, b] otrzymujemy funkcję g(x)=f(x-a)+b. {premium}

 

 

 

 

 

W ciągu arytmetycznym piąty wyraz równa się ...

 

 

  

    

{premium}