Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$$
$$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$$
$$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$$
$$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $$x=y$$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$$sin 2x = 2 sin x cos x$$ $$cos 2x = cos x^2 - sin x^2$$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$$
$$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$$ $$ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$$ $$ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$$

$$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych ...

`"a)"\ P(4,2)` 

Do ramiania końcowego kąta `alpha` należy punkt P. Stąd:

`x=4,\ \y=2` 

Wyznaczamy długość odcinka łączącego punkt P z początkiem układu współrzędnych:

`r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(16+4)=sqrt20=2sqrt5` 

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych wyznaczamy ich wartości:

`sinalpha=y/r=(strike2^1)/(strike2^1sqrt5)=1/sqrt5*sqrt5/sqrt5=(sqrt5)/5` 

`cosalpha=x/r=(strike4^2)/(strike2^1sqrt5)=2/sqrt5*sqrt5/sqrt5=(2sqrt5)/5` 

`"tg"alpha=y/x=strike2^1/strike4^2=1/2`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ Q(-1,3)`  

Do ramiania końcowego kąta `alpha` należy punkt Q Stąd:

`x=-1,\ \y=3` 

Wyznaczamy długość odcinka łączącego punkt Q z początkiem układu współrzędnych:

`r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt((-1)^2+3^2)=sqrt(1+9)=sqrt10`  

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych wyznaczamy ich wartości:

`sinalpha=y/r=3/sqrt10*sqrt10/sqrt10=(3sqrt10)/10`  

`cosalpha=x/r=-1/sqrt10*sqrt10/sqrt10=-sqrt10/10` 

`"tg"alpha=y/x=-3/1=-3`  

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ R(-3,2)` 

Do ramiania końcowego kąta `alpha` należy punkt R. Stąd:

`x=-3,\ \y=2`  

Wyznaczamy długość odcinka łączącego punkt P z początkiem układu współrzędnych:

`r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt((-3)^2+2^2)=sqrt(9+4)=sqrt13`  

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych wyznaczamy ich wartości:

`sinalpha=y/r=2/sqrt13*sqrt13/sqrt13=(2sqrt13)/13` 

`cosalpha=x/r=-3/sqrt13*sqrt13/sqrt13=-(3sqrt13)/13` 

`"tg"alpha=y/x=-2/3` 

 

Dany jest punkt A(-4,-3). Oblicz długość

a)

Oznaczmy sobie współrzędne punku B jako (x1,y1).

`(-4+x_1)/2=-1`     `/*2`

`-4+x_1=-2`

`x_1=-2+4`

`x_1=2`

 

`(-3+y_1)/2=-2`        `/*2`

`-3+y_1=-4`

`y_1=-4+3`

`y_1=-1`

 

`ul(ul(B(2, -1)))`

Obliczamy długość odcinka AB:

`|AB|=sqrt((2-(-4))^2+(-1-(-3))^2)=sqrt(36+4)=sqrt40=sqrt(4*10)=ul(ul(2sqrt10))`

b)

Odcięta-współrzędna iksowa. 

`B(2,y_1)`

Jeśli środek leży na osi OX, to jego współrzedna igrekowa jest równa 0.

`S(x,0)`

Znajdźmy drugą współrzędną punktu B, podstawiając odpowiednie dane i niewiadome do wzoru na współrzędne środka odcinka.

`(-3+y_1)/2=0`             `/*2`

`-3+y_1=0`

`y_1=3`

`B(2,3)`

`|AB|=sqrt((2-(-4))^2+(3-(-3))^2)=sqrt(36+36)=sqrt(2*36)=ul(ul(6sqrt2))`

Dane są liczby

Wiemy, że liczba y występuje w rozwinięciu dziesiętnym liczby a na 22. miejscu po przecinku:

`a=3,21(x7895)=3,21x7\ 895x\ 7895\ x789\ 5x78\ 9ul(ul(5))x7\ 895...` 

Czyli:

`y=5` 

 

Wtedy możemy zapisać liczbę b bez niewiadomej y. Wiemy, że liczba x występuje w rozwinięciu dziesiętnym liczby b na 28. miejscu po przecinku:

`b=2,3(y647)=2,3(5647)=2,3564\ 7564\ 7564\ 7564\ 7564\ 7564\ 756ul(ul(4))\ 7564...` 

Czyli:

`x=4` 

      

Podaj dziedzinę wyrażenia. Oblicz ...

`"a)" \ (2x^2-6x-10)/(x^2+3x)`

Sprawdźmy dla jakich x, wyrażenie w mianowniku się zeruje.

`x^2+3x=0`

`x(x+3)=0`

`x=0\ \ vv\ \ x+3=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-3`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{-3,0}`

Obliczmy wartość wyrażenia dla x=-1 oraz x=-2.

`"dla" \ \ x=-1\ \ \ ----->\ \ (2+6-10)/(1-3)=(-2)/(-2)=1`

`"dla" \ \ x=-2\ \ \ ----->\ \ (8+12-10)/(4-6)=(10)/(-2)=-5`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)" \ (x^3-3x+3)/(1/2x^2-1)`

Sprawdźmy dla jakich x, wyrażenie w mianowniku się zeruje.

`#underbrace(1/2x^2-1)_((sqrt2/2x-1)(sqrt2/2x+1))=0`

`sqrt2/2x-1=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ vv\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrt2/2x+1=0`

`\ \x=#underbrace(2/sqrt2=sqrt2)_("usuwamy niewymierność")\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=#underbrace(-2/sqrt2=-sqrt2)_("usuwamy niewymierność")`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{-sqrt2.sqrt2}`

Obliczmy wartość wyrażenia dla x=-1 oraz x=-2.

`"dla" \ \ x=-1\ \ \ ----->\ \ (-1+3+3)/(1/2-1)=(5)/(-1/2)=-10`

`"dla" \ \ x=-2\ \ \ ----->\ \ (-8+6+3)/(2-1)=(1)/(1)=1`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)" \ (4x^2+8x)/(1/4x^3-1/2)`

Sprawdźmy dla jakich x, wyrażenie w mianowniku się zeruje.

`1/4x^3-1/2=0`

1/4x^3=1/2`

`x^3=2`

`x=root(3)2`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{root(3)2}`

Obliczmy wartość wyrażenia dla x=-1 oraz x=-2.

`"dla" \ \ x=-1\ \ \ ----->\ \ (4-8)/(-1/4-1/2)=(-4)/(-3/4)=16/3=5 14/3`

`"dla" \ \ x=-2\ \ \ ----->\ \ (16-16)/(-2-1/2)=0`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)" \ (4x^3+4x^2+x)/(2x^2-7x-4)`

Sprawdźmy dla jakich x, wyrażenie w mianowniku się zeruje.

`2x^2-7x-4=0`

`Delta=49+32=81`

`sqrtDelta=sqrt81=9`

`x_1=(7-9)/4=-1/2`

`x_2=(7+9)/4=4`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{-1/2,4}`

Obliczmy wartość wyrażenia dla x=-1 oraz x=-2.

`"dla" \ \ x=-1\ \ \ ----->\ \ (-4+4-1)/(2+7-4)=(-1)/(5)=-1/5`

`"dla" \ \ x=-2\ \ \ ----->\ \ (-32+16-2)/(8+14-4)=(-18)/(18)=-1`

Oblicz pole powierzchni i objętość

`a)` 

Promień kuli jest 2 razy krótszy niż jej średnica. 

`r=6sqrt2:2=3sqrt2\ [cm]` 

 

Obliczamy pole i objętość kuli:

`P=4pi*(3sqrt2)^2=4pi*9*2=72pi\ [cm^2]` 

`V=4/3pi*(3sqrt2)^3=4/strike3^1*pi*strike27^9*2sqrt2=72sqrt2pi\ [cm^3]` 

 

 

`b)` 

Oznaczmy promień kuli jako r.

`pir^2=81pi\ \ \ |:pi` 

`r^2=81` 

`r=9\ [cm]` 

 

Obliczamy pole i objętość kuli:

`P=4pi*9^2=4pi*81=324pi\ [cm^2]` 

`V=4/3pi*9^3=4/strike3^1*pi*strike9^3*9*9=972pi\ [cm^3]` 

 

 

`c)` 

Oznaczmy promień kuli jako r.

`2pir=sqrt2pi\ \ \ |:2pi` 

`r=sqrt2/2\ [cm]` 

 

Obliczamy pole i objętość kuli:

`P=4pi*(sqrt2/2)^2=4pi*2/4=4pi*1/2=2pi\ [cm^2]` 

`V=4/3pi*(sqrt2/2)^3=4/3pi*(2sqrt2)/8=strike4^1/3pi*sqrt2/strike4^1=sqrt2/3pi\ [cm^3]`    

W trójkącie...

a) Rysunek:

`cos 54^o = |AC|/10 \ \ \ |*10`

`cos54^o *10 = |AC|`

`|AC| approx 0,5878 * 10`

`|AC| approx 5,878`

 

`cos 27^o = |AC|/|CD|`

`|CD| = |AC|/cos27^o`

`|CD| approx (5,878)/(0,8910)`

`|CD| approx 6,5971`

 

 

 

b) Rysunek:

 

`sin 54^o = (2a)/10`

`sin 54^o = a/5 \ \ \ |*5`

`a = sin 54^o * 5`

`a approx 0,8090 * 5`

`a approx 4,045`

 

`cos54^o = h/10 \ \ \ |*10`

`cos 54^o *10= h`

`h approx 0,5878 * 10 `

`h approx 5,878`

 

`tg beta = a/h` 

`tg beta approx (4,045)/(5,878) approx 0,6882`  

`beta approx 35^o`

 

`sin beta = a/|CD|`

`|CD| = a/sin beta`

`|CD| approx = (4,045)/(sin 35^o) approx (4,045)/(0,5736) approx 7,0520`

Wykonaj działania. Podaj dziedzinę każdego wyrażenia

`a)\ x+1ne0\ \ \ hArr\ \ \ xne-1` 

`\ \ \ D=RR-{-1}` 

 

`\ \ \ (6-x)/(x+1)+1=` `(6-x)/(x+1)+(x+1)/(x+1)=` `(6-x+x+1)/(x+1)=` `7/(x+1)` 

 

 

 

 

`b)\ x+2ne0\ \ \ hArr\ \ \ xne-2` 

`\ \ \ D=RR-{-2}` 

 

`\ \ \ 3/(x+2)+(2x-4)/(x+2)=` `(3+2x-4)/(x+2)=` `(2x-1)/(x+2)` 

 

 

 

 

`c)\ x^2+3ne0\ \ \ hArr\ \ \ x^2ne-3\ \ \ hArr\ \ \ x in RR`  (kwadrat nie może być liczbą ujemną)

`\ \ \ D=RR` 

 

` \ \ \ (4x+5)/(x^2+3)-(3+4x)/(x^2+3)=` `(4x+5-(3+4x))/(x^2+3)=` `(4x+5-3-4x)/(x^2+3)=` `2/(x^2+3)` 

 

 

 

 

`d)\ x^2+2x+1ne0 \ \ \ hArr\ \ \ (x+1)^2ne0\ \ \ hArr\ \ \ x+1ne0\ \ \ hArr\ \ \ xne-1` 

`\ \ \ D=RR-{-1}` 

 

`\ \ \ (6x+3)/(x^2+2x+1)-3=` `(6x+3)/(x^2+2x+1)-(3(x^2+2x+1))/(x^2+2x+1)=`  

`\ \ \ =(6x+3)/(x^2+2x+1)-(3x^2+6x+3)/(x^2+2x+1)=` `(6x+3-3x^2-6x-3)/(x^2+2x+1)=` `(3x^2)/(x^2+2x+1)` 

 

 

 

 

`e)\ x+x^2ne0\ \ \ wedge\ \ \ x+1ne0` 

`\ \ \ x(x+1)ne0\ \ \ wedge\ \ \ xne-1` 

`\ \ \ xne0\ \ \ wedge\ \ \ x+1ne0\ \ \ wedge\ \ \ xne-1` 

`\ \ \ xne0\ \ \ wedge\ \ \ xne-1` 

`\ \ \ D=RR-{-1;\ 0}` 

 

`\ \ \ -x^2/(x+x^2)-(2x-1)/(x+1)=` `-x^2/(x(x+1))-(2x-1)/(x+1)=` `-x/(x+1)-(2x-1)/(x+1)=` 

`\ \ \ =(-x-(2x-1))/(x+1)=` `(-x-2x+1)/(x+1)=` `(-3x+1)/(x+1)` 

 

 

 

`f)\ x^2-4ne0\ \ \ wedge\ \ \ (x+2)(x-2)ne0` 

`\ \ \ x^2ne4\ \ \ wedge\ \ \ x+2ne0\ \ \ wedge\ \ \ x-2ne0` 

`\ \ \ xne2\ \ \ wedge\ \ \ xne-2\ \ \ wedge\ \ \ xne-2\ \ \ wedge\ \ \ xne2` 

` \ \ \ D=RR-{-2;\ 2}` 

 

`\ \ \ -(x+3)/(x^2-4)-(5-x)/((x+2)(x-2))=` `(-(x+3))/(x^2-4)-(5-x)/(x^2-4)=` 

`\ \ \ =(-x-3-(5-x))/(x^2-4)=` `(-x-3-5+x)/(x^2-4)=` `-8/(x^2-4)` 

Uzasadnij, że okrąg, którego średnicą jest odcinek AB

Odczytujemy z rysunku współrzędne punktów A i B.

`A(-6,-2)`

`B(2,4)`

Obliczamy współrzędne środka okręgu (jest to środek odcinka, będącego średnicą tego okręgu-odcinka AB).

`S_(AB)((-6+2)/2 \ , \ (-2+4)/2)=S_(AB)(-2,1)`

Obliczamy promień okręgu odległość środka okręgu od punktu A lub punktu B.

`|AS|=sqrt((-2-(-6))^2+(1-(-2))^2)=sqrt(16+9)=5`

Obliczamy odległość środka okręgu od prostej l. Możemy to zrobić, obliczając odległość między środkiem okręgu a odpowiednio wybranym punktem należącym do prostej l. Ponieważ odległość punktu od prostej musi być mierzona w linii prostopadłej do linii prostej, znajdujemy na prostej l punkt współliniowy ze środkiem okręgu, zatem o współrzędnej igrekowej równej 1.Współrzędna iksowa wynika z równania prostej.

 

`P(3,1)`

`|PS|=sqrt((3-(-2))^2+(1-1)^2))=sqrt25=5`

`|PS|=r`

Odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia okręgu, zatem okrąg ten jest styczny do tej prostej.

Rozwiąż równanie

`a)`

`|2x-8|=4`

`|2(x-4)|=4`

`|2|*|x-4|=4`

`2|x-4|=4\ \ \ \ |:2`

`|x-4|=2`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 4 jest równa 2. 

`x=4+2=6\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=4-2=2`

 

 

 

`b)`

`|4x+2|=6`

`|4(x+2/4)|=6`

`|4|*|x+1/2|=6`

`4|x+1/2|=6\ \ \ \ |:4`

`|x+1/2|=3/2`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -1/2 jest równa 3/2

`x=-1/2+3/2=2/2=1\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=-1/2-3/2=-4/2=-2`

 

 

 

`c)`

`|1/2x-1|=3`

`|1/2(x-2)|=3`

`|1/2|*|x-2|=3`

`1/2|x-2|=3\ \ \ |*2`

`|x-2|=6`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 2 jest równa 6. 

`x=2+6=8\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=2-6=-4`

 

 

 

`d)`

`|2/3x+4|=2`

`|2/3(x+4*3/2)|=2`

`|2/3(x+6)|=2`

`|2/3|*|x+6|=2`

`2/3|x+6|=2\ \ \ \ |*3/2`

`|x+6|=3`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -6 jest równa 3. 

`x=-6+3=-3\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=-6-3=-9`

 

 

 

`e)`

`|10-x|=4`

`|(-1)*(x-10)|=4`

`|-1|*|x-10|=4`

`1*|x-10|=4`

`|x-10|=4`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 10 jest równa 4. 

`x=10+4=14\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=10-4=6`

 

 

`f)`

`|1-3x|=6`

`|-3(x-1/3)|=6`

`|-3|*|x-1/3|=6`

`3|x-1/3|=6\ \ \ \ |:3`

`|x-1/3|=2`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 1/3 jest równa 2. 

`x=1/3+2=2 1/3\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=1/3-2=-1 2/3`

 

Wykres funkcji f(x)=...

`f(x)=-5/x` 

 

`g(x)=-5/(x+3)=(-5)/(x+3)` 

 

Odp. C