Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$$
$$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$$
$$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$$
$$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $$x=y$$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$$sin 2x = 2 sin x cos x$$ $$cos 2x = cos x^2 - sin x^2$$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$$
$$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$$ $$ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$$ $$ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$$

$$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich wartości parametru m ...

`(2m-1)x^2-(m+2)x+2m-1=0` 

 

`Delta=(m+2)^2-4(2m-1)^2>0`  

`m^2+4m+4-4(4m^2-4m+1)>0` 

`m^2+4m+4-16m^2+16m-4>0` 

`-15m^2+20m>0` 

`15m(m-4/3)<0` 

`(**)\ m in (0;4/3)`  

 

`x_1*x_2>0` 

`x_1*x_2=c/a` 

`(2m-1)/(2m-1)>0` 

`1>0` 

 

`x_1+x_2=-b/a>0` 

`(m+2)/(2m-1)>0` 

`(m+2)(2m-1)>0` 

`m_1=-2` `` 

`m_2=1/2` 

`(** **)\ m in (-oo;-2)cup(1/2;+oo)` 

`(**) cap (** **)=(1/2;4/3)`         

`ul(m in (1/2;4/3)`  

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej...

Jeżeli f(0)=3 to wyraz wolny wynosi 3. Zatem:

`f(x)=ax+3`  

 

`a) \ g(x)=0` 

`(x-3)/3+(x+3)/4 =0 \ \ \ |*12` 

`4(x-3)+3(x+3)=0` 

`4x-12 + 3x+9=0` 

`7x-3=0` 

`x=3/7` 

 

Funkcje mają wspólne miejsca zerowe a więc:

`f(3/7)=0`  

`3/7a+3=0` 

`3/7a = -3 \ \ \ |*7/3` 

`a = -7` 

Współczynnik kierunkowy wynosi -7.

 

`b) \ g(x)=0` 

`1-(2x-1)/6 +(x-1)/2=0 \ \ \ |*6` 

`6-(2x-1)+3(x-1)=0` 

`6-2x+1+3x-3=0` 

`4+x=0` 

`x=-4` 

Funkcje mają wspólne miejsca zerowe a więc:

 

`f(-4)=0` 

`a*(-4)+3=0` 

`-4a+3=0` 

`4a=3` 

`a=3/4` 

Współczynnik kierunkowy wynosi 3/4.

Oblicz x.

`a)`

Oznaczmy wysokość dużego trójkąta przez y.

`6^2+y^2=(2sqrt13)^2`

`36+y^2=4*13`

`36+y^2=52\ \ \ |-36`

`y^2=16`

`y=sqrt16=4`

 

`y^2+x^2=sqrt41^2`

`4^2+x^2=41`

`16+x^2=41\ \ \ \ |-16`

`x^2=25`

`x=sqrt25=5`

 

`b)`

Oznaczmy odcinek na prawo od odcinka 3 przez y. 

`y^2+5^2=sqrt61^2`

`y^2+25=61\ \ \ \ |-25`

`y^2=36`

`y=sqrt36=6`

 

`(3+y)^2+5^2=x^2`

`(3+6)^2+25=x^2`

`81+25=x^2`

`x^2=106`

`x=sqrt106`

Dane są punkty

Wystarczy do równania prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów należących do tej prostej.

 

 

`b)`

`{(-1=a*(-4)+b), (2=a*5+b):}`

 

 

 

`c)`

`{(4=a*1+b), (2=a*5+b):}`

 

Rozwiąż nierówność

Podaj dziedzinę...

`a) \ (x^3 + 7x^2)/(x+7)` 

Założenie:

`x+7 ne 0 => x ne -7` 

`D_f = R \ \\ \ {-7}` 

 

Uproszczenie:

`(x^3+7x^2)/(x+7) = (x^2 (x+7))/((x+7)) = x^2` 

 

`b) \ (5x -15)/(x^2 -3x)` 

Założenie:

`x^2 -3x ne 0 => x(x-3) ne 0` 

`D_f = R \ \\ \ {0,3}` 

 

Uproszczenie:

`(5x-15)/(x^2-3x) = (5 (x-3))/(x(x-3)) = 5/x` 

 

`c) \ (x^2+10x+25)/(x^3 + 5x^2)` 

`x^3 + 5x^2 ne 0 => x^2 (x+5) ne 0` 

`D_f = R \ \\ \ {-5, 0}` 

 

Uproszczenie:

`(x^2 +10x +25)/(x^3 +5x^2) = ((x+5)^2)/(x^2 (x+5)) = ((x+5))/(x^2)` 

 

`d) \ (2x^2 -8x +8)/(x^3 -4x)` 

Założenie:

`x^3 -4x ne 0 => x(x^2 -4) ne 0 => x(x-2)(x+2) ne 0` 

`D_f = R \ \\ \ {-2,0,2}` 

 

Uproszczenie:

`(2x^2-8x+8)/(x^3 -4x) = (2(x^2 -4x+4))/(x(x^2-4)) = (2(x-2)^2)/(x(x-2)(x+2)) = (2(x-2))/(x(x+2))` 

 

`e) \ (3x^3+3x^2)/(x^4 + 2x^3 + x^2)` 

Założenie:

`x^4 +2x^3 + x^2 ne 0 => x^2(x^2 + 2x + 1) ne 0 => x^2(x+1)^2 ne 0` 

`D_f = R \ \\ \ {-1, 0}` 

 

Uproszczenie:

`(3x^3+3x^2)/(x^4 + 2x^3 + x^2) = (3x^2(x+1))/(x^2 (x+1)^2) = 3/(x+1)` 

 

`f) \ (x^3 +x)/(x^4 -1)` 

Założenie:

`x^4 -1 ne 0 => (x^2-1)(x^2 +1) ne 0 => (x-1)(x+1)(x^2 +1) ne 0` 

`D_f = R \ \\ \ {-1,1}` 

 

Uproszczenie:

`(x^3 +x)/(x^4 -1) = (x(x^2+1))/((x-1)(x+1)(x^2+1)) = x/((x-1)(x+1))` 

 

`g) \ (x^2 - 5x +6)/(x^2 -7x +10)` 

Założenie:

`x^2 -7x +10 ne 0 => x^2 -2x -5x +10 ne 0 => x(x-2) -5(x-2) ne 0 => (x-2)(x-5) ne 0` 

`D_f = R \ \\ \ {2,5}` 

 

Uproszczenie:

`(x^2 -5x +6)/(x^2 -7x +10) = (x^2 -2x -3x +6)/((x-2)(x-5)) = (x(x-2)-3(x-2))/((x-2)(x-5)) = ((x-2)(x-3))/((x-2)(x-5)) = (x-3)/(x-5)` 

 

`h) \ (4x^2 -1)/(2x^2 -7x +3)` 

Założenie:

`2x^2 -7x +3 ne 0` 

`Delta = (-7)^2 -4*2*3 = 49 - 24 = 25` 

`sqrtDelta = sqrt25=5` 

`x_1 = (-(-7) -5)/4= 1/2` 

`x_2 = (-(-7) +5)/4 = 12/4 = 3` 

`2(x-1/2)(x-3) ne 0` 

`D_f = R \ \\ \ {1/2, 3}` 

 

Uproszczenie:

`(4x^2 -1)/(2x^2-7x+3) = ((2x-1)(2x+1))/(2(x-1/2)(x-3)) = (2(x-1/2)(2x+1))/(2(x-1/2)(x-3)) = (2x+1)/(x-3)` 

Miejscami zerowymi...

`y=a(x+2)(x-1)` 


a) `x=3, y=10` 

`10=a(3+2)(3-1)` 

`10=a*5*2` 

`10=a*10 \ \ \ |:10` 

`a=1` 

 

`y=(x+2)(x-1)` 

`y=x^2-1x+2x-2` 

`y=x^2+x-2` 


b) `x=0, y=-6` 

`-6=a(0+2)(0-1)` 

`-6=a*2*(-1)` 

`-6=-2a \ \ \ |:(-2)` 

`a=3` 

 

`y=3(x+2)(x-1)` 

`y=3(x^2-1x+2x-2)` 

`y=3(x^2+x-2)` 

`y=3x^2+3x-6` 


c) `y=a(x+2)(x-1)` 

`y=a(x^2-1x+2x-2)` 

`y=a(x^2+1x-2)` 

`y=ax^2+ax-2a` 

`` 

`q=9` 

`(-Delta)/(4a)=9` 

`(-(a^2-4*a*(-2a)))/(4a)=9` 

`(-(a^2+8a^2))/(4a)=9 \ \ \ |*4a` 

`-9a^2=36a \ \ \ |:(-9a)` 

`a=-4` 

 

`y=-4x^2-4x+8` 

`` 

Rozwiąż równanie.

`a) \ 27*9^(x^2) = (1/3)^(3x-2)` 

`3^3 * (3^2)^(x^2) = ((3)^(-1))^(3x-2)` 

`3^3 * 3^(2x^2) = 3^(-3x+2)` 

`3^(2x^2+3) = 3^(-3x+2)` 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

`2x^2+3 = -3x + 2`  

`2x^2+3x+1 =0` 

`2x^2 + 2x+x+1=0` 

`2x(x+1)+(x+1)=0` 

`(x+1)(2x+1) =0` 

`x_1 = -1 \ \ vv \ \ x_2 = -1/2` 

Rozwiązaniami równania są liczby:

`-1 \ , \ -1/2` 

 

`b) \ -2^(2x+1) + 5*2^x = 2` 

`-2^(2x)*2 + 5*2^x = 2` 

`-2*(2^x)^2 + 5*2^x = 2` 

Podstawienie pomocnicze:

`2^x=t, \ \ \ t in (0, oo)` 

 

`-2t^2 +5t = 2` 

`-2t^2 + 5t - 2 =0` 

`-2t^2 + 4t + t - 2 =0` 

`-2t(t-2)+(t-2)=0` 

`(t-2)(-2t+1)=0` 

`-2(t-2)(t-1/2)=0` 

`t_1 = 2 \ \ vv \ \ t_2 = 1/2` 

`2^x = 2 \ \ vv \ \ 2^x = 1/2` 

`2^x = 2^1 \ \ vv \ \ 2^x = 2^(-1)` 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

`x = 1 \ \ vv \ \ x = -1` 

Rozwiązaniami równania są liczby:

`-1 \ , \ 1`   

W jakim stosunku wagowym należy zmieszać

`x\ -\ "masa syropu 20%"`

`y\ -\ "masa syropu 40%"`

 

`x/y=?`

 

Zapiszmy masę cukru w tych syropach: 

`20%*x+40%*y=25%*(x+y)`

`0,2x+0,4y=0,25x+0,25y\ \ \ |-0,2x-0,25y`

`0,15y=0,05x\ \ \ |*100`

`15y=5x\ \ \ |:y`

`15=(5x)/y\ \ \ |:5`

`x/y=3=3/1=3:1`

 

Dziadkowie w dniu narodzin ...

`x(1,05)^9=7757` 

`x=7757/(1,05)^9~~5000` 

`"Dziadkowie zdeponowali 5000 złotych."` 

 

`y=5000(1,05)^18~~12033,10` 

 

`"W osiemnaste urodziny wnuczek będzie dysponował kwotą 12033,10 złotych."`