Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$
$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$
$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$
$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $x=y$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$sin 2x = 2 sin x cos x$ $cos 2x = cos x^2 - sin x^2$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$
$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$ $ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$ $ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$

$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz stosunek pól ...

 

 

 

 

   

  

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  

       

Z kawałka płótna w kształcie trójkąta prostokątnego

Zauważmy, że kąty CEF i CBA są odpowiadające, więc mają równe miary. Trójkąty ABC i FEC są podobne (cecha kkk)

{premium}

 

Oczywiście x i y muszą być liczbami dodatnimi, :

 

 

Zapiszmy pole serwety: 

 

 

Współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, osiągane jest maksimum (w wierzchołku)

 

 

    

Wierzchołkiem...

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej 

możemy więc odczytać współrzędne wierzchołka wykresu tej funkcji.{premium}

Jest nim punkt

  

 

Odp. D.

W tabeli podano informacje

Wyznacz takie wartości parametrów a i b,a by podane...

a) Wyznaczamy dziedzinę równania:

 

 

 

 {premium}


 


Porównując odpowiednie współczynniki w licznikach obu ułamków, otrzymujemy układ równań:

 

 

 


 



b) Wyznaczamy dziedzinę równania:

 

 

 

 


 


Porównując odpowiednie współczynniki w licznikach obu ułamków, otrzymujemy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Liczba 4 spełnia...

Skoro liczba 4 ma spełniać nierówność to{premium} wstawmy pod zmienną x wartość 4 i wyznaczmy a dla których nierówność będzie spełniona:

 

 

 

 

Odpowiedź A

Rozwiąż układ równań...

Rozwiążmy podany układ równań:

 

 {premium}

 

 

 

1) dla  

 

 

 

 

 

 

 

2) dla  

 

 

 

 

 

 

 

3) dla  

 

 

 

 

 

Odp.: Rozwiązaniem tego układu są pary (3/4, -3/2), (3/2, 0).

W tabeli zawarto wartości ...

Wykres wartości kapitału ulokowanego w zależności od czasu:   {premium}

 

Szukamy takiej funkcji wykładniczej, do której należą punkty:

 

 

Możemy zauważyć, że wzór szukanej funkcji wykładniczej jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu B mamy:

 

 

Zatem szukana funkcja jest postaci:

 

 

W trapezie kąty ostre przy dłuższej ...

 

{premium}   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

          

 

Oblicz ...

a)   {premium}


b)  

 


c)