Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$$
$$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$$
$$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$$
$$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $$x=y$$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$$sin 2x = 2 sin x cos x$$ $$cos 2x = cos x^2 - sin x^2$$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$$
$$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$$ $$ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$$ $$ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$$

$$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich wartości...

`a) \ a_1 = 1, \ q=3x`

Zbieżny dla:

`|3x|<1`

`-1<3x<1 \ \ \ |:3`

`-1/3<x<1/3`

Rozbieżny dla:

`|3x| >= 1`

`3x >=1 \ \ vv \ \ 3x <= -1`

`x >=1/3 \ \ vv \ \ x <=-1/3`

 

 

`b) \ a_1 = 1, \ q = -1/2x`

Zbieżny dla:

`|-1/2x| < 1`

`|1/2x| < 1`

`-1 < 1/2x < 1 \ \ \ |*2`

`-2 < x < 2`

Rozbiezny dla:

`|-1/2x| >= 1`

`|1/2x| >= 1`

`1/2x >= 1 \ \ vv \ \ 1/2x <= -1`

`x >= 2 \ \ vv \ \ x <= -2`            

Dana jest funkcja kwadratowa ...

`a)` 

`f(x)=x^2-2x+3` 

`a_n=f(n+1)-f(n)=(n+1)^2-2(n+1)+3-n^2+2n-3=n^2+2n+1-2n-2+3-n^2+2n-3=2n-1`

`r=a_(n+1)-a_n=2n+2-1-2n+1=2`  

`"Różnica ciągu jest stałą dla dowolnego n naturalnego. Ciąg jest arytmetyczny."` 

 

`b)` 

`f(x)=ax^2+bx+c` 

`a_n=f(n+1)-f(n)` 

`r=a_(n+1)-a_n=f(n+2)-f(n+1)-f(n+1)+f(n)=f(n+2)-2f(n+1)+f(n)=` 

`=a(n+2)^2+b(n+2)+c-2[a(n+1)^2+b(n+1)+c]+an^2+bn+c=` 

`an^2+4an+4a+bn+2b+c-2[an^2+2an+a+bn+b+c]+an^2+bn+c=` 

`=2a` 

`a in mathbbR implies 2a\ "jest stałe"`   

`"Ciąg jest arytmetyczny, ponieważ różnica jest stała."`   

Prostokątny trawnik ma powierzchnię 216 m² ...

`a)` 

`x,\ x+6\ \ \ -\ \ \ wymiary\ trawnika`  

`x>0\ \ \ i\ \ \ x+6>0`  

`x>0\ \ \ \ \ i \ \ \ x> -6\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (0,\ +infty)))`   

`x*(x+6)=216`  

`x^2+6x=216\ \ \ |-216`  

`x^2+6x-216=0`  

  

`Delta=6^2-4*1*(-216)=36+864=900` 

`sqrtDelta=sqrt900=30` 

`x_1=(-6-30)/2notin(0,\ +infty)` 

`x_2=(-6+30)/2=12in(0,\ +infty)` 

`x=12,\ \ \ x+6=18 

 

ODP: Trawnik ma wymairy 18 m x 12 m.

 

`b)` 

`x,\ x+15\ \ -\ \ wymiary \ trawnika` 

`x>0\ \ \ i\ \ \ x+15>0` 

`x>0\ \ \ i\ \ \ x> -15\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (0,\ +infty)))` 

 

`x*(x+15)=216` 

`x^2+15x=216\ \ \ |-216` 

 `x^2+15x-216=0` 

`Delta=15^2-4*1*(-216)=` `225+864=` `1089` 

`sqrtDelta=sqrt1089=33` 

`x_1=(-15-33)/2notin(0,\ +infty)` 

`x_2=(-15+33)/2=18/2=9in(0,\ +infty)` 

`x=9,\ \ \ x+15=9+15=24` 

 

ODP: Trawnik ma wymiary 9 m x 24 m. 

Równoległobok...

a)

Odcinki AB i CD są równoległe, a więc:

`/_ABF = /_BCE`

Gdyż są to kąty odpowiadające.

Kolejne kąty równe to:

`/_BEC = /_ AFB = 90^o`

A więc ostatnie kąty również są równe:

Tak więc na podstawie cechy Kąt-Kąt-Kąt trójkąty BCE i ABF są podobne.

 

b)

`|BC|=4`

`|EB|=3`

Z twierdzenia pitagorasa:``

`|EB|^2 + |CE|^2 = |BC|^2`

` ` `3^2 + |CE|^2 = 4^2`

`|CE|^2 = 16-9`

`|CE| = sqrt7`

 

Pole trójkąta BCE:

`P=1/2 ah = 1/2 * |CE| * |EB| = 1/2 * sqrt7 * 3 = 3/2 sqrt7`

Obwód trójkąta BCE:

`Obw = |EB|+|CE|+|BC| = 3+sqrt7 + 4 = 7 + sqrt7`

 

Obliczmy skalę podobieństwa trójkątów BCE i ABF:

`|AB|=12`

 

`|BC|=4 `

`|AB|/|BC| = 12/4 = 3 = k`

 

 

 

Pole trójkąta ABF:

`P*k^2 = 3/2 sqrt7 * 3^2 = 3/2 sqrt7 * 9 = 27/2 sqrt7`

Obwód trójkąta ABF:

`Obw * k = (7 + sqrt7) *k = (7 + sqrt7) *3 = 21 + 3 sqrt7`

Oblicz.

`"a)"\ log_(6)8+log_(6)27=log_(6)(8*27)=log_(6)216=3` 

`"b)"\ log4+log25=log(4*25)=log100=2` 

`"c)"\ log_(3)18+log_(3)4,5=log_(3)(18*4,5)=log_(3)81=4` 

`"d)" log_(1/2)48+log_(1/2)1/3=log_(1/2)(48*1/3)=log_(1/2)16=4` 

`"e)"\ log_(3/2)27+log_(3/2)1/8=log_(3/2)(27*1/8)=log_(3/2)27/8=3`  

`"f)"\ log_(1/7)8+log_(1/7)0,125=log_(1/7)(8*0,125)=log_(1/7)1=0` 

Określ dziedzinę i naszkicuj...

a)

`f(x)=1/x` 

`D_f=R\\{0}` 

`lim_(x->0^+)f(x)=+oo` 

`lim_(x->0^-)f(x)=-oo` 

Granica nie istnieje.


b)

`f(x)=1/x^2` 

`D_f=R\\{0}` 

`lim_(x->0^+)f(x)=+oo` 

`lim_(x->0^-)f(x)=+oo` 

Granica istnieje.


c)

`f(x)=tgx` 

`D_f=R\\{pi/2+kpi}, k in C` 

`lim_(x->0^+)f(x)=0` 

`lim_(x->0^-)f(x)=0` 

Nie jest to granica niewłaściwa.

Podaj dziedzinę wyrażenia ...

`a)` 

`(x^2-7x+1)/(x^3+7x^2)` 

`D:` 

`x^3+7x^2ne0` 

`x^2(x+7)ne0` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \x+7ne0` 

`D=RR\\{-7;0}` 

 

`b)` 

`(8x^6-9x^5)/(x^3+x^2-2x)` 

`D:` 

`x^3+x^2-2xne0` 

`x(x^2+x-2)ne0` 

`x(x+2)(x-1)ne0` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \ x+2ne0\ \ \wedge\ \ \x-1ne0` 

`D=RR\\{-2;0;1}`                 

 

`c)` 

`(12x^4)/(x^4-4x^2+4)` 

`D:` 

`x^4-4x^2+4ne0` 

`(x^2-2)^2ne0` 

`x^2ne2` 

`xnesqrt2\ \ \wedge\ \ \xne -sqrt2` 

`D=RR\\{-sqrt2;sqrt2}` 

 

`d)` 

`(3x^2-5)/(3x^3-2x^2+x)`  

`D:`            

`3x^3-2x^2+xne0` 

`x(3x^2-2x+1)ne0` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \3x^2-2x+1ne0`    

 

`f(x)=3x^2-2x+1ne0`  

Zauważmy, że:

`W=(-b/(2a);f(-b/(2a)))`  

`-b/(2a)=1/3` `` 

`f(1/3)=1/3-2/3+1=2/3`    

`W=(1/3;2/3)` 

`a=3 >0` 

Wierzchołek paraboli będącej wykresem f leży nad osią OX. Funkcja f ma dodatni współczynnik

przy najwyższej potędze, zatem  funkcja f nie ma miejsc zerowych.

`f(x)ne0\ "dla każdego x"` 

Podsumowując - dziedzina rozważanego wyrażenia to:

`D=RR\\{0}`   

Pola powierzchni prostokątnych kartek ...

`a_n-"ciąg arytemtyczny"` 

`S_n-"suma powierzchni wszystkich kartek"`  

 

`a_1=12` 

`a_7=39`    

`S_n=21 ^2=441 ` 

 

`a_7=a_1+6r` 

`6r=a_7-a_1` 

`6r=39-12=27` 

`r=27/6` 

`441=(a_1+a_n)/2*n=(12+12+(n-1)r)/2*n`     

`441=(24+27/6(n-1))/2*n`  

`882=24n+27/6n^2-27/6n` 

`5292=144n+27n^2-27n` 

`27n^2+117n-5292=0` 

`Delta=13689+571536=585225`

`sqrtDelta=765` 

`n_1=(-117-765)/54=-16 1/3 notinNN_+` 

`n_2=(-117+765)/54=12` 

`n=12` 

Szukana liczba kartek to 12. 

 

 

 

 

 

Szósty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy 17, a ...

Szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego jest 

`a_6=17`,

a dziesiątym

`a_(10)=29`.

 

Pomiędzy szóstym a dziesiątym wyrazem ciągu znajdują się trzy wyrazy:

`a_7`, `a_8`, `a_9`.

Możemy zapisać je w następującej postaci{premium}

`a_6`  `a_7`  `a_8`  `a_9`  `a_(10)` 
`17`  `17+r`  `17+2r`  `17+3r`  `29` 

Wyraz `a_(10)` możemy zapisać również jako `17+4r`, zatem

`a_(10)=29` 

`17+4r=29 \ \ \ \ \ \ \ \ \|-17` 

`4r=12 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`r=3`.

Różnica `r` tego ciągu jest równa `3`.

 

Przypomnijmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego `(a_n)` 

`a_n=a_1+(n-1)*r`.

 

Wiemy, że `a_6=17` oraz `r=3`, więc możemy wyznaczyć wyraz `a_1` 

`a_6=a_1+(6-1)*3`

`17=a_1+5*3`

`17=a_1+15 \ \ \ \ \ \ \ \ \|-15`

`2=a_1` 

`a_1=2`.

 

Wyznaczamy drugi wyraz tego ciągu

`a_2=a_1+r`

`a_2=2+3`

`a_2=5`.

 

Odpowiedź: C

Oblicz log...

 

`log_b a=7` 

 

`log_(ab)a^3b^4=log_b(a^3b^4)/(log_b (ab))=(log_b a^3+log_b b^4)/(log_b a+log_b b)=(3log_b a+4log_b b)/(log_b a+log_b b)=(3*7+4)/(7+1)=(21+4)/8=25/8` 

`25/8=3,125` 

 

Odp. 312