Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$$
$$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$$
$$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$$
$$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $$x=y$$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$$sin 2x = 2 sin x cos x$$ $$cos 2x = cos x^2 - sin x^2$$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$$
$$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$$ $$ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$$ $$ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$$

$$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Funkcja f ...

`f:RR->RR` 

`f(x+y)=f(x)*f(y)` 

Funkcja f nie ma miejsc zerowych.

f(0)=?

 

 

`f(x)=f(x+y)/f(y)` 

`x=0` 

`f(0)=f(y)/f(y)=1` 

`f(y)ne0\ "ponieważ funkcja f nie ma miejsc zerowych."`    

Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osia OY to (0;1).    

Samochód przejechał dwie trzecie ...

Dwie trzecie trasy samochód przejeżdża z prędkością v.

`v=s/t_1=(2/3*360)/t_1=240/t_1`  

Pozostały odcinek trasy czyli jedną trzecią długości całej trasy przejeżdżamy z prędkością o 30 km/h większą, czyli v+30.

`v+30=(360-240)/t_2=120/t_2`  

`t_1+t_2=5 1/3=16/3\ implies\ t_1=16/3-t_2`     

`t_1,t_2 inD= (0;16/3)`    

 

Zatem:

`240/t_1+30=120/t_2` 

`240/(16/3-t_2)+30=120/t_2` 

`240t_2+30t_2(16/3-t_2)=120(16/3-t_2)`    

`24t_2+16t_2-3t_2^2=64-12t_2` 

`3t_2^2-52t_2+64=0` 

`Delta=2704-768=1936` 

`sqrtDelta=44` 

 

`t_(2_1)=(52-44)/6=4/3`    

`t_(2_2)=(52+44)/6=16 notin D`    

`t_1=16/3-t_2=12/3=4` 

 

`"Odpowiedź A."`    

Ustal, ile dzielników ma podana liczba

`a)` 

Dzielniki 81 to: 1, 3, 9, 27, 81. Dzielników jest 5. 

 

W podpunkcie b) można by było próbować wypisać wszystkie dzielniki, ale liczba jest dość duża, dlatego wypisywanie dzielników może być trudne.

Wiemy, że każdą liczbę naturalną można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych (czasem te liczby występują w pewnych potęgach).

Zachodzi więc równość:

`n=p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*...*p_k^(a_k)` 

gdzie:

`p_1,\ p_2,\ ...,\ p_k\ \ -\ \ "liczby pierwsze"` 

`a_1,\ a_2,\ ...,\ a_k\ \ -\ \ "wykładniki przy odpowiednich liczbach pierwszych"` 

 

Zauważmy, że wszystkie dzielniki powstają przez branie pewnych liczb pierwszych z tego rozkładu lub branie ich iloczynu. Jeśli pewna liczba pwystępuje w rozkładzie podniesiona do potęgi an, to możemy ją "wziąć do dzielnika" 0 razy lub 1 raz lub 2 razy lub ...  lub an razy - mamy więc an+1 możliwości wyboru (przez "wzięcie do dzielnika" rozumiemy uwzględnienie tej liczby pierwszej p w odpowiedniej potędze w iloczynie tworzącym dany dzielnik). Zobaczmy to na prostym przykładzie:

`28=2*2*7=2^2*7` 

Dzielniki, jakie możemy uzyskać to:

`1\ (=1*1=2^0*7^0)`  

Dzielnik 1 to zawsze iloczyn wszystkich liczb pierwszych pojawiających się w rozkładzie podniesionych do potęgi 0 (dowolna niezerowa liczba podniesiona do potęgi 0 daje 0).

 

`2\ (=2^1)`  

Bierzemy dwójkę w pierwszej potędze.

 

`4\ (=2^2)` 

Bierzemy dwójkę w drugiej potędze (i więcej dwójek już nie możemy wziąć).

 

`7\ (=7^1)` 

Bierzemy jedną siódemkę (i więcej siódemek już nie możemy wziąć).

 

`14\ (=2^1*7^1)` 

Bierzemy dwójkę w pierwszej potędze i siódemkę w pierwszej potędze. 

 

`28\ (=2^2*7)` 

Bierzemy dwójkę w drugiej potędze i siódemkę w pierwszej potędze.

 

Zauważmy, że tych dzielników jest 6. Wynika to stąd, że mogliśmy wziąć do iloczynu dwójkę na trzy sposoby (w wykładniku 0, w wykładniku 1 lub w wykładniku 2) oraz mogliśmy wziąć siódemkę na dwa sposoby (w wykładniku 0 lub w wykładniku 1). Iloczyn 2 i 3 jest równy 6, więc liczba dzielników jest równa 6. 

Stąd liczba wszystkich dzielników liczby naturalnej n zdefiniowanej na początku jest równa:

`(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)` 

 

`b)` 

Zapiszmy liczbę 210 w żądanej postaci:

`210=3*70=3*2*35=3*2*5*7=2*3*5*7` 

 

Każda z czterech liczb pierwszych występuje w potędze 1, więc zgodnie z udowodnionym wzorem ilość dzielników tej liczby wynosi:

`(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)=2*2*2*2=16` 

 

 

`c)` 

`6000=2*3*1000=2*3*10^3=2*3*(2*5)^3=2*3*2^3*5^3=2^4*3*5^3` 

 

Ilość dzielników tej liczby:

`(4+1)*(1+1)*(3+1)=5*2*4=40` 

 

 

`d)` 

`9! =1*2*3*4*5*6*7*8*9=2*3*4*5*6*7*8*9=2*3*2^2*5*2*3*7*2^3*3^2=2^7*3^4*5*7` 

 

Ilość dzielników tej liczby:

`(7+1)*(4+1)*(1+1)*(1+1)=8*5*2*2=160` 

 

 

`ul("uwaga")` 

Zauważmy, że wzór ten można było zastosować już w podpunkcie a).

Wiemy, że:

`81=3^4` 

Oznacza to, że liczba dzielników musi być równa:

`4+1=5` 

    

` `  

a) Podaj współrzędne punktów A', B', C' symetrycznych do ...

a) Podajemy współrzędne punktów A', B' oraz C' symetrycznych do punktów A, B i C względem początku układu wpsółrzędnych:

`A'=(1,-3)` 

`B'=(2,\ 4)`  

`C'=(-4,-1)` 

Rysunek:

 

`"b) Punktem symetrycznym do punktu"\ P(x,y) \ "względem początku"`     

`\ \ \ \ "układu współrzędnych jest punkt"\ ul(ul(P'(-x,-y))).`      

W klasie Marty...

Niech p oznacza liczbę ocen dobrych.

 

`(5*0,1n + 4*p + 3*(n - 0,1n -p))/n= 3,6`  

`0,5n + 4p + 3*(0,9n -p) = 3,6n` 

`0,5 n + 4p + 2,7n - 3p = 3,6n` 

`3,2n + p = 3,6n` 

`0,4n = p` 

A więc 40% osób dostało ocenę dobrą.

50% dostało ocenę dostateczną.

 

A więc medianą będzie:

`(3+4)/2 = 3,5` 

 

Dominanta to:

`3` 

Oblicz prawdopodobieństwo

Wiemy, że prawdziwa jest równość:

`P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)` 

 

Przekształćmy ją tak, aby otrzymać wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B. 

`P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)\ \ \ \ |+P(AnnB)` 

`P(AuuB)+P(AnnB)=P(A)+P(B)\ \ \ \ \ |-P(AuuB)` 

`P(AnnB)=P(A)+P(B)-P(AuuB)` 

 

 

`a)\ P(AnnB)=2/3+1/4-5/6=8/12+3/12-10/12=1/12` 

`b)\ P(AnnB)=2/5+1/3-11/15=6/15+5/15-11/15=0` 

 

Dane są dwie funkcje liniowe

Usuńmy niewymierność ze współczynnika kierunkowego funkcji g: 

`3/(2sqrt3)=(3*sqrt3)/(2*sqrt3*sqrt3)=(3sqrt3)/(2*3)=sqrt3/2`

 

Funkcje mają takie same współczynniki kierunkowe, są więc równoległe. 

Ich współczynniki b także są takie same, więc są to te same funkcje - pokrywają się (odp. D)

Oblicz sumę wszystkich liczb:

a) Pierwszą dwucyfrową liczbą podzielną przez 6 jest 12. Ostatnią dwucyfrową liczbą podzielną przez 6 jest 96.

`a_1=12`

`r=6`

`a_n = a_1 + (n-1)r`

Policzmy ile jest takich liczb

`96 = 12 + (n-1)*6`

`84 = 6n-6`

`6n = 90`

`n = 15`

Jest 15 takich liczb.

`S_15 = (12 + 96)/2 * 15 = 54*15 = 810`

 

 

b) Pierwszą liczbą która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 jest 2. Ostatnią liczbą mniejszą od 100, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 jest 98.

`a_1 = 2`

`r=3`

Policzmy ile jest takich liczb

`98 = 2 + (n-1)*3`

`96 = 3n - 3`

`3n = 99`

`n = 33`

Są 33 takie liczby.

`S_33 = (2+98)/2 * 33 = 50 * 33 = 1650`

 

 

c) Pierwszą liczbą dwucyfrową, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5 jest 12. Ostatnią liczbą dwucyfrową, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5 jest 96.

`a_1 = 12`

`r=7`

Policzmy ile jest takich liczb

`96 = 12 + (n-1)*7`

`84 = 7n - 7`

`7n = 91`

`n= 13`

Jest 13 takich liczb.

`S_13 = (12 + 96)/2 * 13 = 54 * 13 = 702`

 

Pierwszą liczbą dwucyfrową, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 6 jest 13. Ostatnią liczbą dwucyfrową, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 6 jest 97.

`a_1 = 13`

`r=7`

Policzmy ile jest takich liczb

`97 = 13 + (n-1)*7`

`84 = 7n - 7`

`7n = 91`

`n = 13`

Jest 13 takich liczb.

`S_13 = (13+97)/2 * 13 = 55 * 13=715`

 

`S=702+715=1417` 

 

 

d) Pierwsza liczba należąca do przedziału [50;150] podzielna przez 3 lub przez 5 to liczba 60. Ostatnia liczba należąca do przedziału [50;150] podzielna przez 3 lub przez 5 to liczba 150.

`a_1 = 60`

`r = 15`

Policzmy ile jest takich liczb

`150 = 60+(n-1)*15`

`90 = 15n - 15`

`15n = 105`

`n = 7`

Jest 7 takich liczb

`S_7 = (60+150)/2 * 7 = 105 * 7 =735`        

 

 

 

 

Podaj liczbę rozwiązań równania ...

`4/(|x+2|-2)=mx` 

`D:` 

`|x+2|-2ne0` 

`|x+2|ne2` 

`x+2ne2\ \ \wedge\ \ \x+2ne-2` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \xne-4` 

`D=RR\\{-4;0}` 

 

Oznaczmy:

`f(x)=4/(|x+2|-2)` 

Zauważmy, że czerwona prosta ma trzy punkty wspólne z wykresem funkcji f tylko wtedy, gdy

przechodzi poniżej punktu (-2;2).

`y=mx` 

`-2=-2m` 

`m=1`    

 

Równanie ma 3 rozwiązania dla m>1.

Równanie ma 2 rozwiązania dla m=1.

Równanie nie ma rozwiązań dla m=0.

Równanie ma 1 rozwiązanie dla `m in (-oo;0)cup (0;1)`  .

O wielomianie W(x) ...

`W(x)=-x^4+2x^3+ax-6` 

`W(-2)=-44` 

 

`W(-2)=-16-16-2a-6=-44` 

`-38-2a=-44` 

`2a=6` 

`a=3` 

 

`"Odpowiedź B."`