Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$$
$$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$$
$$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$$
$$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $$x=y$$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$$sin 2x = 2 sin x cos x$$ $$cos 2x = cos x^2 - sin x^2$$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$$
$$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$$ $$ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$$ $$ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$$

$$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji...

a) `f(x)=sinx+2` 

Funkcję tę otrzymamy przesuwając funkcję `g(x)=sinx` o wektor `vecv=[0, 2]` 

`ZW=< 1, 3>` 


b) `f(x)=cos(x+pi/4)-1` 

Funkcję tę otrzymamy przesuwając funkcję `g(x)=cosx` o wektor `vecv=[-pi/4, -1]`  

`ZW=< -2, 0>` 


c) `f(x)=tg(x-pi/2)-1` 

Funkcję tę otrzymamy przesuwając funkcję `g(x)=tgx` o wektor `vecv=[pi/2, -1]` 

`ZW="R"` 

Rozwiąż nierówność...

`a) \ sin 4x < -1/2` 

Podstawienie:

`t=4x` 

`sin t < -1/2` 

Rozwiążmy wpierw równanie:

`sin t = -1/2` 

`t_1 = -5/6pi +2kpi, \ \ k in C \ \ vv \ \ t_2 = -1/6pi + 2kpi, \ \ k in C` 

Wróćmy do nierówności:

`sin t < -1/2` 

Rysunek:

`t = [(-5pi)/6 +2kpi; (-pi)/6+2kpi], \ \ \ k in C`

Skoro t=4x, to :

`4x=[(-5pi)/6 + 2kpi; (-pi)/6 + 2kpi], \ \ \ k in C` 

`x = [(-5pi)/24 + (kpi)/2; (-pi)/24 + (kpi)/2], \ \ \ k in C` 

 

 

 

`b) \ 4 sin^2x leq 3 \ \ \ |:4` 

`sin^2x leq 3/4` 

`|sin x| leq sqrt3/2` 

`-sqrt3/2 leq sin x leq sqrt3/2` 

Rozwiążmy równanie:

`sin x = sqrt3/2 \ \ vv \ \ sin x = -sqrt3/2` 

`x_1 = pi/3 + 2kpi, \ \ k in C \ \ vv \ \ x_2 = (2pi)/3 + 2kpi, \ \ k in C \ \ vv \ \ x_3 = (-2pi)/3 + 2kpi, \ \ k in C \ \ vv \ \ x_4 = (-pi)/3 + 2kpi , \ \ k in C` 

Zauważmy, że:

`x_1 - x_3 = pi/3 + 2kpi + (2pi)/3 - 2kpi = pi` 

`x_2 - x_4 = (2pi)/3 + 2kpi +  pi/3 -2kpi = pi` 

Ostatecznie:

`x = pi/3 + kpi, \ \ k in C \ \ vv \ \ x=-pi/3 + kpi, \ \ k in C`  

Rysunek:

`-sqrt3/2 leq sin x leq sqrt3/2` 

`[-pi/3 +kpi; pi/3 + kpi] , \ \ k in C` 

 

 

 

 

`c) \ sin^4x -cos^4x geq 1` 

`(sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x) geq sin^2x + cos^2x` 

`sin^2x - cos^2x geq sin^2x + cos^2x` 

`-2cos^2x geq 0 \ \ \ |:(-2)` 

`cos^2x leq 0` 

A więc jedyna możliwość to:

`cos x = 0` 

`x = pi/2 + kpi, \ \ k in C` 

Wyznacz wartość najmniejszą m i wartość...

`"a)"\ f(x)=x^3-3x^2-9x+2` 

Wyznaczamy pochodną funkcji `f:` 

`f'(x)=(x^3-3x^2-9x+2)^'=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x^2+x-3x-3)=`   

`=3[x(x+1)-3(x+1)=3(x-3)(x+1)` 

W punkcie `x=-1` funkcja osiąga maksimum lokalne, a w punkcie `x=3` osiąga minimum lokalne.

`M=f_(max)=f(-1)=-1-3+9+2=7`  

Zauważmy, że `3 notin<< -1,\ 2>>,` więc funkcja `f` osiągnie najmniejszą wartość ma prawym końcu przedziału:

`m=f(2)=8-3*4-9*2+2=8-12-18+2=10-30=-20` 

Odp. `M=7,\ m=-20.`    

 

`"b)"\ f(x)=4x^5-5x^4-20` 

Wyznaczamy pochodną funkcji `f:` 

`f'(x)=(4x^5-5x^4-20)^'=20x^4-20x^3=20x^3(x-1)`   

W punkcie `x=0` funkcja osiąga maksimum lokalne, a w punkcie `x=1` osiąga minimum lokalne.

`f_(max)=f(0)=-20`  

`f_(min)=f(1)=4-5-20=-21` 

Obliczamy wartość funkcji na prawym końcu przedziału:

`f(2)=4*32-5*16-20=128-80-20=28` 

`f(2)>f(0),`  więc `M=f(2),\ m=f(1)` 

Odp. `M=28,\ m=-21.`  

 

`"c)"\ f(x)=(x^2-3x)/(x^2+3)` 

Wyznaczamy pochodną funkcji `f:` 

`f'(x)=((x^2-3x)/(x^2+3))^'=((2x-3)(x^2+3)-2x(x^2-3x))/(x^2+3)^2=`

`=(2x^3+6x-3x^2-9-2x^3+6x^2)/(x^2+3)^2=(3x^2+6x-9)/(x^2+3)^2` 

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

`(3x^2+6x-9)/(x^2+3)^2=0\ "/"*(x^2+3)^2!=0` 

`3x^2+6x-9=0\ "/":3` 

`x^2+2x-3=0` 

`x^2-x+3x-3=0` 

`x(x-1)+3(x-1)=0` 

`(x+3)(x-1)=0` 

`x=-3\ vv\ x=1` 

 

W punkcie `x=-3` funkcja osiąga maksimum lokalne, a w punkcie `x=1` osiąga minimum lokalne.

Zauważmy, że `-3 notin<< 0,\ 3>>.` Obliczamy minimum:

`f_(min)=f(1)=(1-3)/(1+3)=-2/4=-1/2` 

Obliczamy wartość funkcji na końcach przedziału:

`f(0)=0` 

`f(3)=0` 

Zatem:

`m=f(1)` 

`M=f(0)=f(3)` 

Odp. `M=0,\ m=-1/2.`

 

`"d)"\ f(x)=(x^2+2x+2)/(x^2+2x-3)` 

Określamy dziedzinę funkcji `f:` 

`x^2+2x-3!=0` 

`x^2-x+3x-3!=0` 

`x(x-1)+3(x-1)!=0` 

`(x+3)(x-1)!=0` 

`x!=-3\ ^^\ x!=1` 

`D_f=bbR-{-3,\ 1}` 

Punkty wyrzucone z dziedziny funkcji znajdują się poza przedziałem, na którym szukamy

wartości największych i najmniejszych, więc nie będą nam przeszkadzać.

Wyznaczamy pochodną funkcji `f:` 

`f'(x)=((x^2+2x+2)/(x^2+2x-3))^'=((2x+2)(x^2+2x-3)-(2x+2)(x^2+2x+2))/(x^2+2x-3)^2=`

`=((2x+2)(x^2+2x-3-x^2-2x-2))/(x^2+2x-3)^2=-(10(x+1))/(x^2+2x-3)^2`   

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

`-(10(x+1))/(x^2+2x-3)^2=0\ "/"*(x^2+2x-3)^2!=0` 

`-10(x+1)=0` 

`x=-1` 

Zatem w punkcie `x=-1` funkcja osiąga maksimum lokalne.

`f_(max)=f(-1)=(1-2+2)/(1-2-3)=-1/4` 

Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału:

`f(-2)=(4-4+2)/(4-4-3)=-2/3`   

`f(0)=-2/3` 

Zatem:

`m=f(-2)=f(0)` 

`M=f(-1)` 

Odp. `M=-1/4,\ m=-2/3.` 

 

Wyznacz wzór funkcji liniowej

Zauważmy, że wykres funkcji liniowej (o niezerowym współczynniku b) z osiami układu współrzędnych ogranicza zawsze trójkąt prostokątny: 

 

Gdyby współczynnik b był równy zero, to wykres przechodziłby przez początek układu współrzędnych i nie powstałby wtedy żaden trójkąt. 

Wiemy, że wykres przecina oś OX w punkcie (3/2; 0), więc pozioma przyprostokątna ma długość 3/2. Oznaczmy długość pionowej przyprostokątnej jako z. Pole trójkąta jest równe 6, więc możemy zapisać równanie: 

`1/2*3/2*z=6`

`3/4z=6\ \ \ |:3`

`1/4z=2\ \ \ |*4`

`z=8`

 

Pionowa przyprostokątna ma więc długość 8, więc punkt przecięcia funkcji z osią OY może być położony 8 jednostek w górę lub w dół od początku układu współrzędnych, czyli jego współrzędne to (0; 8) lub (0; -8). Równanie prostej jest więc postaci: 

`y=ax+8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=ax-8`

Teraz wystarczy podstawić współrzędne punktu (3/2; 0) i wyliczyć współczynnik a. 

`0=a*3/2+8\ \ \ |-8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \"lub" \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=a*3/2-8\ \ \ |+8`

`3/2a=-8\ \ \ |*2/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3/2a=8\ \ \ |*2/3`

`a=-16/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=16/3`

`ul(ul(y=-16/3x+8))\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ul(ul(y=16/3x-8))`

 

 

Oblicz wartość wyrażenia.

`a) \ (3^sqrt3)^sqrt12 = 3^(sqrt3*sqrt12) = 3^(sqrt3*sqrt3*sqrt4) = 3^(3*2) = 3^6 = 729` 

 

`b) \ (2^sqrt2)^(-1/sqrt8) = 2^(-sqrt2/sqrt8) = 2^(-sqrt2/(2sqrt2)) = 2^(-1/2) = 1/sqrt2 = sqrt2/2` 

 

`c) \ (4^(sqrt3/2))^(sqrt3/2) = 4^(sqrt3/2*sqrt3/2) = (2^2)^(3/4) = 2^(2*3/4) =2^(3/2) = sqrt8 = 2sqrt2` 

 

`d) \ (5^(root(3)(4)))^(root(3)(16))= 5^(root(3)(4)*root(3)(16)) = 5^(root(3)(64)) = 5^4 = 625` 

Klub zrzeszający dwunastu hodowców gołębi

Wiemy, że średnia ilość gołębi to 50. Liczba członków klubu wynosi 12. Oznacza to, że po dodaniu ilości gołębi pierwszego, drugiego, ..., dwunastego członka i podzieleniu otrzymanej sumy przez 12 otrzymano 50. 

`(x_1+x_2+...+x_12)/12=50` 

 

Jeśli więc pomnożymy 50 razy 12 to otrzymamy sumę liczby wszystkich gołębi tych hodowców (na początku):

`x_1+x_2+...+x_12=50*12` 

`x_1+x_2+...+x_12=600` 

 

Wiemy, że na początku było 600 gołębi.

Jeden z hodowców sprzedał połowę swoich gołębi i zostało mu 36 gołębi. Jeśli sprzedał połowę, to musiał sprzedać tyle samo, ile mu zostało, a więc 36. Liczba wszystkich gołębi zmniejszyła się więc o 36. Liczba hodowców nie zmieniła się (nadal jest równa 12). Możemy obliczyć, ile gołębi przypada teraz średnio na jednego hodowcę:

`(600-36)/12=600/12-36/12=50-3=47`   

Do wykresu funkcji f(x)=log...

`f(x)=log_a x` 

`-sqrt3/3=log_a 2^sqrt3` 

Korzystając z definicji logarytmu:

`a^(-sqrt3/3)=2^sqrt3` 

`(a^(-1/3))^sqrt3=2^sqrt3` 

`a^(-1/3)=2` 

`(1/a)^(1/3)=2` 

Podnosząc obustronnie do potęgi trzeciej otrzymujemy:

`((1/a)^(1/3))^3=2^3` 

`(1/a)^1=8` 

`1/a=8 \ \ \ |*a` 

`1=8a \ \ \ |:8` 

`1/8=a` 

`0,125=a` 

 

Odp. 125

 

 

Budynek rzuca ...

`x-"wysokość budynku"` 

 

`tgalpha=tg 55^@=x/19`  

`x=19*tg55^@~~19*1,4281=27,1339` 

 

`"Wysokość budnku wynosi 27,1339 m."`   

 

 

Określ dziedzinę funkcji f i naszkicuj ...

`"a)"\ f(x)=(-x+1)/x`

Określamy dziedzinę funkcji:

`x\in RR\\{0}`

Aby naszkicowac wykres przekształcimy wzór funkcji (do postaci: a/x-p+q):

`(-x+1)/x=-1+1/x=1/x-1`

Rysujemy wykres funkcji 1/x, a następnie przesuwamy ten wykres o wektor [0,-1] (o 1 jednostkę w dół).

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ f(x)=(x+3)/(x+2)`

Określamy dziedzinę funkcji:

`x\in RR\\{-2}`

Aby naszkicowac wykres przekształcimy wzór funkcji (do postaci: a/x-p+q):

`(x+3)/(x+2)=((x+2)+1)/(x+2)=1+1/(x+2)=1/(x+2)+1`

(tak rozkładamy licznik ułamka, aby pojawiło się w nim wyrażenie z mianownika)    

Rysujemy wykres funkcji 1/x, a następnie przesuwamy ten wykres o wektor [-2,1] (o 2 jednostki w lewo i 1 jednostkę w górę).

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ f(x)=(x+1)/(x-1)`

Określamy dziedzinę funkcji:

`x\in RR\\{1}`

Aby naszkicowac wykres przekształcimy wzór funkcji (do postaci: a/x-p+q):

`(x+1)/(x-1)=((x-1)+2)/(x-1)=1+2/(x-1)=2/(x-1)+1`

(tak rozkładamy licznik ułamka, aby pojawiło się w nim wyrażenie z mianownika)    

Rysujemy wykres funkcji 2/x, a następnie przesuwamy ten wykres o wektor [1,1] (o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w górę).

Dla każdej z poniższych funkcji liniowych podaj współczynnik

`a)\ a=1,\ \ b=7`

`b)\ a=-1,\ \ b=1`

`c)\ a=sqrt2,\ \ b=0`

`d)\ a=0,\ \ b=-4`

`e)\ a=3/2,\ \ b=-4/2=-2`

`f)\ a=-5/4,\ \ b=8/4=2`