Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$$
$$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$$
$$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$$
$$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $$x=y$$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$$sin 2x = 2 sin x cos x$$ $$cos 2x = cos x^2 - sin x^2$$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$$
$$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$$ $$ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$$ $$ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$$

$$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji...

Wykres:

 

 

Punkt A

Punkt B

 

 

 

 

Punkt C

  

Punkt D

Samochód dostawczy wyjechał z miasta ...

 

 

 średnia prędkość na trasie z miasta B do A

 szukana średnia prędkość na trasie z miasta A do B

  

 

 

 

  

 

Wiemy, że: 

        

  

 

  

 

   

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Średnia prędkość samochodu na trasie z miasta A do miasta B wynosi 64 km/h.    

Wyznacz wartości parametru m...

a)

 

 

 

 

 

 

Odp.  


b) 

 

Założenie:  

 

 

 

 

 

 

 

Odp.  

 

 

 

 

Oblicz granicę.

a)  

b)  

c)  

d)  

e)  

f)  

Naszkicuj prostą opisaną parametrycznie

 

Wiemy, że układ opisuje prostą. Wyznaczmy więc współrzędne dwóch punktów, przez które ra prosta będzie przechodzić. 

Dla t=0 mamy:

  

 

Dla t=1 mamy:

 

 

Przez podane punkty prowadzimy prostą:

 

 

 

Dla t=0 mamy:

 

 

Dla t=1 mamy:

 

 

Podaj dziedzinę

Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez 0, więc musimy zadbać o to, aby wyrażenia w mianownikach nie przyjmowały wartości 0. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

   

 

 

Oblicz promień okręgu opisanego...

a)

 

 

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 

 

Zapisz liczbę w postaci dziesiętnej

{premium}

Narysuj wykres funkcji f(x)= ...

Jeśli przesuniemy wykres funkcji  o wektor   to otrzymamy funkcję:

.

 

Rysujemy wykres funkcji  i przesuwamy go o{premium}  jednostki w lewo wzdłuż osi

i o  jednostkę w górę wzdłuż osi .

Zbiorem wartości funkcji  jest przedział .

Z jednego okna latarni morskiej widać kuter...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Odległość kutra od latarni to ok. 222 m.