Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$
$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$
$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$
$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $x=y$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$sin 2x = 2 sin x cos x$ $cos 2x = cos x^2 - sin x^2$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$
$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$ $ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$ $ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$

$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zbiorem wartości funkcji...

Przesuwając wykres funkcji tangens o  jednostki w lewo otrzymujemy  .

Asymptota początkowo zawierająca się  w prostej  {premium}  będzie zawierać się w prostej  . Funkcja na przedziale  będzie maleć a więc  . Maksymalna wartość będzie w punkcie o pierwszej współrzędnej równej  .

 

 

Odpowiedź D   

Przekątna sześcianu ma długość ...

Rysunek pomocniczy:

   {premium}

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego sześcianu.

 

 

 

 

 

Odp. A

 

Miejscem...

Obliczymy miejsce zerowe funkcji 

W tym celu rozwiążemy równanie{premium}

 

miejscem zerowym funkcji f jest liczba

      

 

Odp. B.

Uzasadnij, że...

Bok AC jest{premium} wspólny.

 

oraz:

  

 

oraz miary kątów zawarte pomiędzy bokami AD i AC oraz AB i AC są równe czyli trójkąty są przystające na podstawie cechy bok-kąt-bok

Obwód wycinka koła wynosi 6 cm, a pole...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Pole wycinka jest równe 2 cm2. Stąd:

 

 

 


Obwód wycinka wynosi 6 cm. Możemy go obliczyć jako sumę długości łuku AB i dwóch promieni okręgu:

 

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

 

 

 


Obliczamy długość łuku dla r=1 (jako różnicę obwodu wycinka i dwóch promieni):

 

Obliczamy długość łuku dla r=2 (jako różnicę obwodu wycinka i dwóch promieni):

 


Odp. Promień koła jest równy 1 cm i wtedy długość łuku wycinka wynosi 4 cm lub promień jest równy 2 cm, a wówczas długość łuku to 2 cm.

Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca...

Wzór tej funkcji kwadratowej jest postaci:

 

zatem:  {premium}

 

 

więc:

 

 

 

Odp.: D

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej ...

Wiemy, że wykres funkcji jest symetryczny względem prostej   czyli względem prostej   zatem: {premium}

 

Wiemy, że jednym z miejsc zerowych jest   zatem wyznaczmy drugiej z miejsc zerowych.

 

 

 

 

 

Wiemy, że najmniejsza wartość funkcji w przedziale   wynosi   zatem:

 

Przypadek I.

Ramiona paraboli są skierowane w dół i do wykresu funkcji należy punkt (1, -2).

Wtedy otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Zatem mamy:

 

 

 

 

Przypadek II.

Ramiona paraboli są skierowane w górę i do wykresu funkcji należy punkt (3, -2).

Wtedy otrzymujemy:

 

 

 

 

Zatem mamy:

 

 

 

 

Uwaga!!!

W odpowiedzi w podręczniku nie uwzględniono przypadku, gdy ramiona paraboli są skierowane w górę.

Przeczytaj ciekawostkę.

a) Mamy dane:

 

 

Oznaczmy:

p - szukany procent

Wówczas:

 

Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczamy p:{premium}

 

 

 

 

 


b) Giotto do Bondone żył około 700 lat temu.

Mamy dane:

 

 

Obliczamy, ile lat ma płótno:

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy, że płótno pochodzi sprzed około 423 lat, a Giotto do Bondone żył około 700 lat temu. Wynika stąd, że autorem obrazu nie mógł być Giotto.


c) Mamy dane:

 

 

 

Oznaczmy:

p - szukany procent

Wówczas:

 

Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczamy p:

 

 

 

 

 


d) Mamy dane:

 

 

Obliczamy, sprzed ilu lat pochodzą znaleziska:

 

 

 

 

 

 

Znaleziska te pochodzą sprzed około 12 117 lat.

Podstawa AB trójkąta równoramiennego...

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku {premium}

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACD dostajemy 

 

więc

 


Obliczmy pole tego trójkąta:

 


a)

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

gdzie p to połowa obwody trójkąta, r promień okręgu wpisanego w trójkąt. 

Obliczmy promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABC:

więc


b)

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

gdzie a, b, c  to długości boków trójkąta, R promień okręgu opisanego na trójkącie. 

Obliczmy promień R okręgu opisanego na trójkącie ABC:

 

   

Na rysunku przedstawiono....

Jeśli  jedno rozwiązanie

Jeśli  jedno rozwiązanie

Jeśli  dwa rozwiązania{premium}

Jeśli  brak rozwiązań

Jeśli  jedno rozwiązanie, ponieważ  

Jeśli  dwa rozwiązania, ponieważ