Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Suma i różnica kątów - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica kątów

W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$
$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$
$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$
$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $x=y$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$sin 2x = 2 sin x cos x$ $cos 2x = cos x^2 - sin x^2$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$
$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$ $ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$ $ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$

$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy 25.

 

a) Środek okręgu opisanego na trapezie...

a)

 

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy wyliczyć  

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  

 

 

 

 

 

 


b)

 

Zauważmy, że  jes średnicą więc,  

Trójkąt  jest trójkątem charakterystycznym o kątach  

  

 

 

 

 

Promienie sześciu rozłącznych kół tworzą ciąg geometryczny...

Oznaczmy promień pierwszego koła przez r. Skoro promienie rozłącznych kół tworzą ciąg geometryczny o ilorazie to znaczy, że promień drugiego koła wynosi:

 

Zatem promień trzeciego koła wynosi:

 

A więc promień każdego kolejnego koła będzie dwukrotnie większy, zatem utwórzmy ciąg arytmetyczny (an) taki, że:{premium}

 

 

To znaczy, że 6 wyraz ciągu będzie promieniem największego koła:

 

Promień największego koła wynosi 32 cm, zatem:

 

 

 

Pole najmniejszego koła wynosi:

 

 

 

 

 

 

Łatwo zauważyć, że pola tworzą również ciąg geometryczny (bn) taki, że:

 

a iloraz wynosi:

 

Zatem suma 6 pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa łącznej powierzchni, którą zajmują koła:

 

 

Odpowiedź: Koła zajmują w sumie    

Rozwiąż nierówność.

  

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Założenie:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność ...

 

 

      {premium}

 

Przypadek, gdy  

 

 

sprzeczność

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

Suma całkowitych rozwiązań mniejszych od 15:

 

 

Prosta ...

Postać kierunkowa tej prostej to:

 

 

 

 

Współczynnik kierunkowy tej prostej to  .

Wobec tego prosta równoległa do tej prostej jest postaci  

 

Odp. B

Czy można tak dobrać...

a)

 

 

Nie można dobrać a, tak aby funkcja była ciągła.


b)

 

Wystarczy wybrać  

Wtedy:

 

Określ liczbę ekstremów ...

a)

 

I Przypadek, gdy  

     {premium}

Jest to funkcja liniowa, więc brak ekstremum

 

II przypadek, gdy  

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

 

Jedno ekstremum


b)

 

I Przypadek, gdy  

 

 

 

Brak ekstremum

 

II przypadek, gdy  

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

 

 

Dwa ekstrema


c)

 

I Przypadek, gdy  

 

 

 Sprawdźmy kiedy  

 

 

Jedno ekstremum

 

II przypadek, gdy  

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

 

 

Dwa ekstrema

Na rysunku jest przedstawiony wykres...

 litrów

 litrów

 po sześciu minutach

 Niech:

liczba litrów wody w pojemniku

czas wyciekania wody w minutach,   

Wówczas:

  

Funkcje liniowe f(x)= ...

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

    

Skoro g jest funkcją malejącą to a<0.