Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

`w(x)=x^4+3x^3+4x^2+3x+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^4+3x^3+3x^2+x^2+3x+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^4+x^2+3x^3+3x+3x^2+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^2(x^2+1)+3x(x^2+1)+3(x^2+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x^2+1)(x^2+3x+3)`

Liczba pierwsza to taka, ma wyłącznie dwa dzielniki - jedynkę i siebie. Jeśli więc wartość wielomianu w dla dowolnej liczby całkowitej ma być liczbą pierwszą, to jeden z czynników musi być równy 1. Mamy do rozpatrzenia dwa przypadki. 

`ul(ul("pierwszy przypadek"))`

Załóżmy, że pierwszy czynnik jest równy 1:

`x^2+1=1\ \ \ |-1`

`x^2=0`

`x=0`

Zobaczmy, jaką wartość przyjmuje drugi czynnik dla x=0:

`x^2+3x+3=0^2+3*0+3=0+0+3=3`

Dla x=0 wielomian przyjmuje więc wartość 3 (pierwszy czynnik jest równy 1, a drugi czynnik jest równy 3). Liczba 3 jest liczbą pierwszą, więc mamy pierwsze rozwiązanie. 

`ul(ul("drugi przypadek"))`

Załóżmy teraz, że drugi czynnik jest równy 1:

`x^2+3x+3=1\ \ \ |-1`

`x^2+3x+2=0`

`Delta=3^2-4*1*2=9-8=1`

`sqrt(Delta)=1`

`x=(-3-1)/2=(-4)/2=-2\ \ \ "lub"\ \ \ x=(-3+1)/2=(-2)/2=-1`

Zobaczmy, jaką wartość przyjmuje pierwszy czynnik dla x=-2:

`x^2+1=(-2)^2+1=4+1=5`

Dla x=-2 wielomian przyjmuje więc wartość 5 (pierwszy czynnik jest równy 5, a drugi czynnik jest równy 1). Liczba 5 jest liczbą pierwszą, więc mamy drugie rozwiązanie. 

Zobaczmy, jaką wartość przyjmuje pierwszy czynnik dla x=-1:

`x^2+1=(-1)^2+1=1+1=2`

Dla x=-1 wielomian przyjmuje więc wartość 2 (pierwszy czynnik jest równy 2, a drugi czynnik jest równy 1). Liczba 2 jest liczbą pierwszą, więc mamy drugie rozwiązanie. 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(a in {-2;\ -1;\ 0}))`

`P=1/2*2R*2sqrt3=8sqrt3`

`R=4\ cm`

`Obw=8 pi\ cm`

`ul(k inCC` 

`a)` 

`2cos^2x+4sin^2x=3` 

`2cos^2x+4(1-cos^2x)-3=0` 

`-2cos^2x+1=0` 

`cos^2x=1/2`  

`cosx=1/sqrt2=sqrt2/2\ \ \vee\ \ \cosx=-1/2=-sqrt2/2`  

`(x=-pi/4+2kpi ^^ x=pi/4+2kpi)\ \ \vee\ \ \(x=3/4pi+2kpi ^^ x=5/4pi+2kpi)`   

`b)` 

`4cos^2x-sin^2x=-1` 

`4cos^2x-(1-cos^2x)=-1` 

`5cos^2x=0`  

`cosx=0` 

`x=pi/2+kpi`      

`c)`

`2cos^2x+sin^2x=2cosx+1`

`2cos^2x+(1-cos^2x)-2cosx-1=0`

`cos^2x-2cosx=0`

`cosx(cosx-2)=0`

`cosx=0\ \ \vee\ \ \cosx=2\ "(sprzeczność)"`

`x=pi/2+kpi`

`d)`

`2+sin^2x=4-cos^2x+cosx`

`2+(1-cos^2x)-4+cos^2x-cosx=0`

`2+1-4-cosx=0`

`cosx=-1`

`x=pi+2kpi`

`f(x)=-1/2x+1` 

`a)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=[-2;4]` 

`f-"liniowa, zatem monotoniczna"`  

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

`ul(D=[-6;6]`  

`f(x)>=0` 

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"` 

`ul(x in (-oo;2]\ \ \wedge\ \ \D=[-6;2]`  

`b)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=(-2;0)cup[1;4]` 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

`-1/2x+1=0` 

`x=2` 

`-1/2x+1=1` 

`x=0` 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

`ul(D=[-6;0]cup(2;6)`   

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ wedge\ \ \D=[-6;0]`   

`c)`   

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW={-2}cup(2;4)`   

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

`-1/2x+1=2`  

`x=-2`  

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

`ul(D=(-6;-2)cup{6}`    

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ \ wedge\ \ \D=(-6;-2)`    

Dane są tyrzy funkcje:

`f(x)=log_(3/2)x` 

`g(x)=log_(2)x` 

`h(x)=logx` 

`"a)"\ (100,2)` 

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji f(x) - podstawiamy współrzędną y i sprawdzamy, czy otrzymamy współrzędną x.

`2=log_(3/2)x` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x= (3/2)^2=9/4!=100` 

Punkt (100,2) nie należy do wykresu funkcji f(x).

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji g(x):

`2=log_(2)x`  

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 2^2=4!=100` 

Punkt (100,2) nie należy do wykresu funkcji g(x).

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji h(x):

`2=logx`   

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 10^2=100` 

Punkt (100,2) należy do wykresu funkcji h(x).

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`"b)"\ (2 1/4,2)`  

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji f(x). Postępujemy analogicznie jak w powyższym przykładzie - podstawiamy współrzędną y i sprawdzamy, czy otrzymamy współrzędną x.

`2=log_(3/2)x` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x= (3/2)^2=9/4=2 1/4`   

Punkt (2¹/₄,2) należy do wykresu funkcji f(x).

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji g(x):

`2=log_(2)x`  

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 2^2=4!=2 1/4` 

Punkt (2¹/₄,2) nie należy do wykresu funkcji g(x).

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji h(x):

`2=logx`   

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 10^2=100!=2 1/4` 

Punkt (2¹/₄,2) nie należy do wykresu funkcji h(x).

`"c)"\ (1024,10)`  

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji f(x). 

`10=log_(3/2)x` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x= (3/2)^10=(59\ 049)/1024!=1024`     

Punkt (1024,10) nie należy do wykresu funkcji f(x).

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji g(x):

`10=log_(2)x`  

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 2^10=1024` 

Punkt (1024,10) należy do wykresu funkcji g(x).

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji h(x):

`10=logx`   

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 10^10!=1024`  

Punkt (1024,10) nie należy do wykresu funkcji h(x).

Współczynnik a₄=-1 bedzie współczynnikiem przy najwyższej potędze, ponieważ wielomian jest stopnia 4.

a) Z wykresu możemy odczytać, że pierwiastki wielomianu to -2, 0 oraz 2.

0 oraz 2 są pierwiastkami krotności nieparzystej, ponieważ zmieniają znak.

-2 jest pierwiastkiem krotności parzystej, ponieważ nie zmienia znaku.

Wielomian ma być stopnia 4, więc 0 oraz 2 będą pierwiastkami jednokrotnymi, a -2 będzie pierwiastkiem dwukrotnym.

`w(x)=-x(x-2)(x+2)^2`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) Z wykresu możemy odczytać, że pierwiastki wielomianu to -2, -1, 1 oraz 2.

Wszystkie pierwiastki są pierwiastkiami krotności nieparzystej, ponieważ zmieniają znak.

Wielomian ma być stopnia 4, więc wszystkie pierwiastki będą pierwiastkami jednokrotnymi.

`w(x)=-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

c) Z wykresu możemy odczytać, że pierwiastki wielomianu to -2 oraz 1.

Wszystkie pierwiastki są pierwiastkiami krotności parzystej, ponieważ  nie zmieniają znaku.

Wielomian ma być stopnia 4, więc wszystkie pierwiastki będą pierwiastkami dwukrotnymi.

`w(x)=-(x+2)^2(x-1)^2`

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|AC|^2 + |AB|^2 = |BC|^2` 

`|AC|^2 + 16 = 64` 

`|AC|^2 = 48` 

`|AC| = 4sqrt3` 

Wiemy, że:

`|AP| = 1/3|AB|` 

`|AP| = 4/3` 

`|PB| = 4 - 4/3 = 2 2/3 = 8/3` 

Z twierdzenia Talesa:

`(|BC|)/(|AC|) = (|PR|)/(|AP|)` 

`8/4 = (|PR|)/(4/3)`

`|PR| = 8/4 * 3/4 = 2*3/4 = 3/2`  

Z twierdzenia Talesa:

`(|AR|)/(|AP|) = (|AC|)/(|AB|)` 

`(|AR|)/(4/3) = (4sqrt3)/4` 

`|AR| = 4/3 * sqrt3` 

`|AR|= (4sqrt3)/3` 

`|CR| = 4sqrt3 - (4sqrt3)/3 = (12sqrt3)/3 - (4sqrt3)/3 = (8sqrt3)/3` 

`(a,\ b,\ 1)-"ciąg arytmetyczny"` 

`(a,\ b,\ a+b+1)-"ciąg geometryczny"` 

`{(b=(a+1)/2),(b^2=a(a+b+1)):}` 

`{(2b-1= a ),(b^2=a(a+b+1)):}` 

`b^2=a(a+b+1)` 

`b^2=(2b-1)(2b-1+b+1)` 

`b^2=(2b-1)*3b`  

`b^2=6b^2-3b`           

`5b^2-3b=0` 

`b(5b-3)=0` 

`b_1=0\ \ \vv\ \ \b_2=3/5` 

`a_1=2b_1-1=-1` 

`a_2=2b_2-1=6/5-1=1/5` 

`a_1+b_1+1=0\ \ \vv\ \ \a_2+b_2+1=3/5+1/5+1=9/5` 

Szukane wyrazy ciągu geometrycznego to:

`{(a-1),(b=0),(a+b+1=0):}\ \ \"lub"\ \ \{(a=1/5),(b=3/5),(a+b+1=9/5):}`   

`"a)"\ 2/(5x+10)=(-3)/(x^2-4)`   

`"Założenia:"`    

`{(5x+10!=0),(x^2-4!=0):}`    

`{(x != -2),((x-2)(x+2)!=0):}` 

`{(x!=-2),(x!=2\ \ "i"\ \ x!=-2):}`    

`D=RR\\{-2,2}` 

`2/(5x+10)=(-3)/(x^2-4)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(5x+10)(x^2-4)` 

`2(x^2-4)=-3(5x+10)` 

`2x^2-8=-15x-30\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+15x+30` 

`2x^2+15x+22=0` 

`Delta=15^2-4*2*22=225-176=49` 

`sqrtDelta=sqrt49=7` 

`x_1=(-15-7)/4=-22/4=-5 2/4=-5 1/2 inD`  

`x_2=(-15+7)/4=(-8)/4=-2 !inD`  

Liczba -5 ¹/₂ spełnia podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ (2x+5)/(x^2-1)=1/(x+1)`    

`"Założenia:"`    

`{(x+1!=0),(x^2-1!=0):}`    

`{(x != -1),((x-1)(x+1)!=0):}` 

`{(x!=-1),(x!=1\ \ "i"\ \ x!=-1):}`    

`D=RR\\{-1,1}` 

`(2x+5)/(x^2-1)=1/(x+1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(x^2-1)(x+1)` 

`(2x+5)(x+1)=1(x^2-1)` 

`2x^2+2x+5x+5=x^2-1` 

`2x^2+7x+5=x^2-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-x^2+1` 

`x^2+7x+6=0` 

`Delta=7^2-4*1*6=49-24=25` 

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(-7-5)/2=(-12)/2=-6 inD` 

`x_2=(-7+5)/2=(-2)/2=-1 !inD` 

Liczba -6 spełnia podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 1/(1-x)+x/(x-1)=1`    

`"Założenia:"`    

`{(1-x!=0),(x-1!=0):}`    

`{(x != 1),(x!=1):}` 

`D=RR\\{1}` 

`1/(1-x)+x/(x-1)=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(1-x)(x-1)`  

`1(x-1)+x(1-x)=(1-x)(x-1)` 

`x-1+x-x^2=x-1-x^2+x` 

`2x-1+x^2=2x-1-x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2x+1-x^2` 

`0=0` 

Równanie jest tożsamościowe, więc spełnia je każda liczba rzeczywista oprócz 1.

Każda liczba rzeczywista oprócz 1 spełnia podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ (2x)/(2x+3)-1=(2x)/(2x-3)` 

`"Założenia:"`    

`{(2x+3!=0),(2x-3!=0):}`    

`{(x != -3/2),(x!=3/2):}` 

`D=RR\\{-3/2,3/2}` 

`(2x)/(2x+3)-1=(2x)/(2x-3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(2x+3)(2x-3)`  

`2x(2x-3)-(2x+3)(2x-3)=2x(2x+3)` 

`4x^2-6x-(4x^2-9)=4x^2+6x` 

`4x^2-6x-4x^2+9=4x^2+6x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-4x^2-6x` 

`-4x^2-12x+9=0` 

`Delta=(-12)^2-4*(-4)*9=144+144=288` 

`sqrtDelta=sqrt288=sqrt(144*2)=12sqrt2`  

`x_1=(12-12sqrt2)/(-8)=(-3+3sqrt2)/2 inD` 

`x_2=(12+12sqrt2)/(-8)=(-3-3sqrt2)/2 inD`    

Rozwiązaniem równania są liczby x₁ oraz x₂.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"e)"\ 6/x-1=2/(x-1)`   

`"Założenia:"`    

`{(x!=0),(x-1!=0):}` 

`{(x!=0),(x!=1):}`   

`D=RR\\{0,1}`  

`6/x-1=2/(x-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|*x(x-1)`  

`6(x-1)-x(x-1)=2x` 

`6x-6-x^2+x=2x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2x` 

`-x^2+5x-6=0` 

`Delta=5^2-4*(-1)*(-6)=25-24=1` 

`sqrtDelta=sqrt1=1` 

`x_1=(-5-1)/(-2)=(-6)/(-2)=3 in D`  

`x_2=(-5+1)/(-2)=(-4)/(-2)=2\ inD`      

Liczby 2 i 3  spełniają podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"f)"\ (2x+1)/(x^2-9)-3/(x-3)=0` 

`"Założenia:"`    

`{(x^2-9!=0),(x-3!=0):}`   

`{((x-3)(x+3)!=0),(x!=3):}`    

`{(x!=3\ \ "i" \ \ x!=-3),(x!=3):}`  

`D=RR\\{-3,3}` 

`(2x+1)/(x^2-9)-3/(x-3)=0` 

`(2x+1)/((x-3)(x+3))-3/(x-3)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(x-3)(x+3)` 

`2x+1-3(x+3)=0` 

`2x+1-3x-9=0` 

`-x=8` 

`x=-8` 

Liczba -6 spełnia podane równanie.

Sprawdźmy czy istnieje taki wielomian h, że:

`(x^3+12x^2+12x+11)= (x+11)*h(x)` 

Wielomian h musi być stopnia 2, współczynnik przy najwyższej potędze musi równać się 1 wyraz wolny również jest równy 1.

`h(x) = x^2 + ax+1` 

`(x+11)(x^2+ax+1) = x^3 + ax^2 + x + 11x^2 + 11ax + 11 = x^3 +(a+11)x^2 +(11a+1)x+11` 

Jeżeli wielomiany są równe to współczynniki przy odpowiednich potęgach musza się sobie równać:

`{(a+11 = 12),(11a+1 = 12):}` 

`{(a=1),(11a=11):}` 

`{(a=1),(a=1):}` 

Stąd a = 1. A więc f wystąpił w rozkładzie na czynniki wielomianu g