Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$$
$$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $$sin x$$ i $$cos y$$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $$cos y$$ na $$sin (90°-y)$$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$$
$$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$$
$$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$$
$$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$$

Oraz:

$$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$$
$$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Udowodnij tożsamość trygonometryczną.

`a) \ L=tg^2x+1)cos^2x=((sin^2x)/(cos^2x)+1)cos^2x=sin^2x+cos^2x=1=P` 

 

 

`b) \ P=1-2sin^2x)/(sinxcosx)=(sin^2x+cos^2x-2sin^2x)/(sinxcosx)=(cos^2x-sin^2x)/(sinxcosx)=(cos^2x)/(sinxcosx)-(sin^2x)/(sinxcosx)=cosx/sinx-sinx/cosx=ctg \ x - tg \ x =L` 

 

 

`c) \ L=(1-tg^2x)/(1+tg^2x)=(tg \ x \ ctg \ x - tg^2x)/(tg \ x \ ctg \ x + tg^2x)=(tg \ x (ctg \ x - tg \ x))/(tg \ x (ctg\x+tg \ x))=(ctg \ x - tg \ x)/(ctg \ x+tg \ x)= (ctg \ x + tg \ x - 2tg\ x)/(ctg \ x + tg \ x) = 1 - 2*(tg \ x)/(ctg \ x + tg \ x)=` 

`=1 - 2 * (sinx/cosx)/(cosx/sinx + sinx/cosx) = 1 - 2 * (sinx/cosx)/((cos^2x)/(sinxcosx) + (sin^2x)/(sinxcosx)) = 1 - 2 sinx/cosx * (sinxcosx) = 1 - 2sin^2x` 

`=1-2(1-cos^2x)=1-2+2cos^2x=2cos^2x-1=P` 

 

 

`d) \ L=(1+tg^2x)/(1+ctg^2x)= (ctg \ x \ tg \ x + tg^2 x)/(ctg \ x \ tg \ x + ctg^2x) = (tg \ x(ctg \x+tg\x))/(ctg \ x(tg \ x + ctg \ x)) = (tg \ x)/(ctg \ x)=P` 

 

 

`e) \ L=(tg \ x)/(tg \ x + ctg \ x)= (sinx/cosx)/(sinx/cosx +cosx/sinx) = (sinx/cosx)/((sin^2x)/(sinxcosx) +(cos^2x)/(sinxcosx)) = (sinx)/(cosx) *(sinxcosx) = sin^2x=P` 

 

 

`f) \ L= (1+2sinxcosx)/(cos^2x)= (sin^2x+2sinxcos+cos^2x)/(cos^2x)= ((sinx+cosx)^2)/(cos^2x) = ((sinx)/(cosx) + (cosx)/(cosx))^2 = (tg \ x + 1)^2=P` 

Rozłóż na czynniki wielomian...

`W(x)=3x^4+12=3(x^4+4)=3*Q(x),` gdzie `Q(x)=x^4+4` 

Zajmiemy się teraz rozłożeniem na czynniki wielomianu `Q(x):` 

`Q(x)=x^4+4=x^4+4x^2-4x^2+4=(x^4+4x^2+4)-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`     

`=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)` 

Czyli `W(x)` ma postać:

`W(x)=3(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)`  

Wykres funkcji liniowej jest nachylony

`tgalpha=-sqrt3\ \ \ =>\ \ \ -tgalpha=sqrt3\ \ \ =>\ \ \ tg(180^o-alpha)=sqrt3\ \ \ =>\ \ \ 180^o-alpha=60^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=180^o-60^o=120^o`

 

`odp.\ C`

Jeśli funkcja liniowa f jest rosnąca ...

`f(x)=ax+b`  

`f-"funkcja rosnąca"\ implies \ a>0`  

 

`g(x)=-3/2x+4`  

`g(x)=0=f(x)` 

`-3/2x+4=0=ax+b` 

`x=8/3-"miejsce zerowe funkcji f i g"`    

`f(x)>=0` 

`a>0\ implies \ x in [8/3;+oo)` 

`"Odpowiedź D."` 

Oblicz a , korzystając z definicji...

`a) \ log_(a+3) 16 = 2` 

Wyliczmy dla jakich a wyrażenie ma sens:

`a+3 > 0 \ ^^ \ a+3 ne 1` 

`a > -3 \ ^^ \ a ne -2` 

`a in (-3, oo) \ \\ \ {-2}` 

 

Z definicji logarytmu:

`(a+3)^2 = 16` 

`a^2 + 6a + 9 = 16` 

`a^2 + 6a -7 =0` 

`a^2 - a + 7a - 7 =0` 

`a(a-1)+7(a-1)=0` 

`(a-1)(a+7)=0` 

`a=1 \ \ vv \ \ a = -7` 

Wybierzmy te rozwiązania, które wpadają w dziedzinę wyrażenia:

`a = 1` 

 

 

`b) \ log_(1-a) 36 = 2` 

Wyliczmy dla jakich a wyrażenie ma sens:

`1-a > 0 \ ^^ \ 1-a ne 1` 

`1 > a \ ^^ \ -a ne 0` 

`a in (-oo, 1) \ \\ \ {0}` 

 

Z definicji logarytmu:

`(1-a)^2 = 26` 

`1 - 2a + a^2 = 36` 

`a^2 - 2a -35=0` 

`a^2 - 7a + 5a - 35 =0` 

`a(a-7) + 5(a-7)=0` 

`(a-7)(a+5)=0` 

`a = 7 \ \ vv \ \ a = -5` 

Wybierzmy te rozwiązania, które wpadają w dziedzinę wyrażenia:

`a=-5` 

 

 

`c) \ log_(|a-4|) 6 = 1` 

Wyliczmy dla jakich a wyrażenie ma sens:

`|a-4| > 0 \ \ ^^ \ \ |a-4| ne 1` 

`a ne 4 \ \ ^^ \ \ a-4 ne 1 \ \ ^^ \ \ a-4 ne -1` 

`a ne 4 \ \ ^^ \ \ a ne 5 \ \ ^^ \ \ a ne 3` 

`a in RR \ \\ \ {3,4,5}` 

 

Z definicji logarytmu:

`(|a-4|)^1 = 6` 

`|a-4| = 6` 

`a-4 = 6 \ \ vv \ \ a-4 = -6` 

`a = 10 \ \ vv \ \ a = -2` 

Wybierzmy te rozwiązania, które wpadają w dziedzinę wyrażenia:

`a=-2 \ \ vv \ \ a=10` 

 

 

`d) \ log_(|a+7|) 0,125 = -3` 

Wyliczmy dla jakich a wyrażenie ma sens:

`|a+7| > 0 \ \ ^^ \ \ |a+7| ne 1` 

`a+7 ne 0 \ \ ^^ \ \ a+7 ne 1 \ \ ^^ \ \ a+7 ne -1` 

`a ne -7 \ \ ^^ \ \ a ne -6 \ \ ^^ \ \ a ne -8` 

`a in RR \ \\ \ {-8,-7,-6}` 

 

Z definicji logarytmu:

`(|a+7|)^(-3) = 1/8` 

`1/((|a+7|)^3) = 1/8 ` 

`(|a+7|)^3 = 8` 

`|a+7| = 2` 

`a+7 = 2 \ \ vv \ \ a+7 = -2` 

`a=-5 \ \ vv \ \ a= -9` 

Wybierzmy te rozwiązania, które wpadają w dziedzinę wyrażenia:

`a=-9 \ \ vv \ \ a=-5` 

W okrąg został wpisany trójkąt ...

`x^2+y^2=20` 

`r=sqrt20` 

`S=(0;0)` 

Zauważmy, że przeciwprostokątna trójkąta ABC jest średnicą okręgu.

`C=(2;4)` 

`A=(x_a;y_a)` 

`B=(x_b;y_b)` 

Wyzanczmy równanie prostej k zawierającej odcinek CS.

`k:y=ax+b` 

`0=0*a+b\ implies b=0` 

`4=2a+0` 

`a=2` 

`k:y=2x` 

Prosta zawierająca odcinek AB ma równanie:

`l:y=cx+d` 

`0=0*c+d` 

`d=0` 

`y=-1/2x` 

Punkt wspólne powyższej prostej i okręgu to punkty A i B.       

Wstawmy równanie prsotej l do równania okręgu:

`x^2+y^2=20=x^2+(-1/2x)^2=5/4x^2` 

`x^2=80/5=16` 

`x_1=4\ \ \vv\ \ x_2=-4`  

`y_1=-1/2x_1=-2\ \ \vv\ \ \ \y_2=-1/2x_2=2` 

Współrzedne pozostałych wierzchołków to:

`{(x=4),(y=-2):}\ \ \wedge\ \ \{(x=-4),(x=2):}`     

Oblicz pierwszy wyraz i różnicę r...

`a) \ {(a_1 + a_4 = 11),(a_7 - a_3 = 20):}` 

`{(a_1 + a_1 + 3r = 11),(a_1 + 6r - (a_1 +2r) = 20):}` 

`{(2a_1 + 3r = 11),(a_1 + 6r - a_1 - 2r = 20):}` 

`{(2a_1 + 3r = 11),(4r = 20):}` 

`{(2a_1 + 3r = 11),(r = 5):}` 

`{(2a_1 + 15 =11),(r=5):}` 

`{(2a_1=-4),(r=5):}` 

`{(a_1 = -2),(r=5):}` 

 

`b) \ {(a_3 + a_5 = 4),(a_2 * a_4 = 6):}` 

`{(a_4 - r + a_4 + r = 4),(a_2 * a_4 = 6):}`

`{(2a_4 = 4),(a_2 * a_4 = 6):}` 

`{(a_4 = 2),(a_2*2=6):}` 

`{(a_4 = 2),(a_2 = 3):}` 

`{(a_2 + 2r = 2),(a_2 = 3):}` 

`{(3+2r =2),(a_2=3):}` 

`{(2r = -1),(a_1+r = 3):}` 

`{(r = -1/2),(a_1 -1/2 = 3):}` 

`{(r = -1/2),(a_1 = 3 1/2):}` 

 

`c) \ {(a_1 + a_2 + a_3 = 3),(a_3 = 5/a_4 + 2):}` 

`{(a_2 - r + a_2 + a_2 + r = 3),(a_3 = 5/(a_4) + 2):}` 

`{(3a_2 = 3),(a_3 = 5/a_4 + 2):}` 

`{(a_2 = 1),(a_2 + r = 5/(a_2 + 2r) + 2):}` 

`{(a_2 = 1),(1+r = 5/(2r+1) +2):}` 

`{(a_1 + r = 1),(r = 5/(2r+1) +1):}` 

Rozwiążmy pomocnicze drugie równanie osobno by nie przepisywać układu równań za każdym razem:

`r = 5/(2r+1) + 1 \ \ \ |*(2r+1)` 

`r(2r+1) = 5 + 1*(2r+1)` 

`2r^2 + r = 5 + 2r + 1` 

`2r^2 - r - 6 =0` 

`2r^2 -4r +3r -6 =0` 

`2r(r-2) +3(r-2) =0` 

`(r-2)(2r+3)=0` 

`r_1 = 2 \ \ vv \ \ r_2 = -3/2` 

zatem:

 

`{(a_1+r_1 = 1),(r_1 = 2):} \ \ \ vv \ \ \ {(a_1 + r_2=1),(r_2 = -3/2):}` 

`{(a_1+2 = 1),(r_1 = 2):} \ \ \ vv \ \ {(a_1 - 3/2 = 1),(r_2 = -3/2):}` 

`{(a_1 = -1),(r_1 = 2):} \ \ \ vv \ \ \ {(a_1 = 5/2),(r_2 = -3/2):}` 

Wyznacz równania stycznych...

`f(x)=1/3x^3-x^2` 

`f'(x)=1/3*3x^2-2x` 

`f'(x)=x^2-2x` 

 

`y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)` 

`y-(1/3x_0^3-x_0^2)=(x_0^2-2x_0)(x-x_0)` 

`y-1/3x_0^3+x_0^2=x_0^2x-x_0^3-2x_0x+2x_0^2 \ \ \ |-x_0^2+1/3x_0^3` 

`y=-2/3x_0^3+x_0^2-2x_0x+x_0^2x` 

`y=-2/3x_0^3+x_0^2+x(-2x_0+x_0^2)` 


a)

Proste prostopadłe do prostej `y=-1/3x+11` mają postać `y=3x+b` , więc `-2x_0+x_0^2=3` 

`-2x_0+x_0^2=3` 

`x_0=t` 

`-2t+t^2-3=0` 

`t^2-2t-3=0` 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16` 

`t_1=(2-4)/2=-1` 

`t_2=(2+4)/2=3` 

`x_0=-1 \ \ \ vv \ \ \ x_0=3` 

 

Dla `x_0=-1` 

`y=-2/3*(-1)^3+(-1)^2+x(-2*(-1)+(-1)^2)` 

`y=-2/3*(-1)+1+x(2+1)` 

`y=2/3+1+3x` 

`y=3x+1 2/3`  

 

Dla `x_0=3` 

`y=-2/3*3^3+3^2+x(-2*3+3^2)` 

`y=-2/3*9+x(-6+9)` 

`y=3x-6` 


b)

Proste równoległe do prostej `y=-2` mają postać `y=0*a+b` 

Wobec tego `-2x_0+x_0^2=0` 

`-2x_0+x_0^2=0` 

`x_0(-2+x_0)=0` 

`x_0=0 \ \ \ vv \ \ \ x_0=2` 

 

Dla `x_0=0` 

`y=-2/3*0^3+)^2+x(-2*0+0^2)`

`y=0` 

 

Dla `x_0=2` 

`y=-2/3*2^3+2^2+x(-2*2+2^2)` 

`y=-2/3*8+4+x(-4+4)` 

`y=-16/3+4` 

`y=-16/3+12/3` 

`y=-4/3` 

Dan proste m i n są równoległe. Oblicz miary.....

`a) \ alpha=180^o-40^0-110^o=30^o`

 

`b) \ alpha=180^o-130^o=50^o`

`beta=130^o`

`gamma=180^o-130^o-20^o=30^o`

Wyznacz współczynniki a i b wielomianu...

Obliczamy `W(1):` 

`W(1)=1+a+b+4=a+b+5`  

Obliczamy `W(-2):` 

`W(-2)=(-2)^3+a*(-2)^2+b*(-2)+4=-8+4a-2b+4=4a-2b-4` 

Wiedząc, że `W(1)=3` i `W(-2)=-30,`możemy zapisać układ równań:

`{(a+b+5=3),(4a-2b-4=-30):}` 

`{(a+b=-2),(4a-2b=-26\ "/":2):}` 

`{(a+b=-2),(2a-b=-13):}` 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

`3a=-15\ "/":3` 

`a=-5` 

Obliczamy `b:` 

`a+b=-2` 

`-5+b=-2` 

`b=3` 

Otrzymaliśmy:

`{(a=-5),(b=3):}` 

Odp. `a=-5,\ b=3.`