Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$$
$$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $$sin x$$ i $$cos y$$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $$cos y$$ na $$sin (90°-y)$$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$$
$$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$$
$$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$$
$$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$$

Oraz:

$$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$$
$$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich całkowitych

`w(x)=x^4+3x^3+4x^2+3x+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^4+3x^3+3x^2+x^2+3x+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^4+x^2+3x^3+3x+3x^2+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^2(x^2+1)+3x(x^2+1)+3(x^2+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x^2+1)(x^2+3x+3)`

 

Liczba pierwsza to taka, ma wyłącznie dwa dzielniki - jedynkę i siebie. Jeśli więc wartość wielomianu w dla dowolnej liczby całkowitej ma być liczbą pierwszą, to jeden z czynników musi być równy 1. Mamy do rozpatrzenia dwa przypadki. 

 

`ul(ul("pierwszy przypadek"))`

Załóżmy, że pierwszy czynnik jest równy 1:

`x^2+1=1\ \ \ |-1`

`x^2=0`

`x=0`

 

Zobaczmy, jaką wartość przyjmuje drugi czynnik dla x=0:

`x^2+3x+3=0^2+3*0+3=0+0+3=3`

 

Dla x=0 wielomian przyjmuje więc wartość 3 (pierwszy czynnik jest równy 1, a drugi czynnik jest równy 3). Liczba 3 jest liczbą pierwszą, więc mamy pierwsze rozwiązanie. 

 

 

`ul(ul("drugi przypadek"))`

Załóżmy teraz, że drugi czynnik jest równy 1:

`x^2+3x+3=1\ \ \ |-1`

`x^2+3x+2=0`

`Delta=3^2-4*1*2=9-8=1`

`sqrt(Delta)=1`

`x=(-3-1)/2=(-4)/2=-2\ \ \ "lub"\ \ \ x=(-3+1)/2=(-2)/2=-1`

 

Zobaczmy, jaką wartość przyjmuje pierwszy czynnik dla x=-2:

`x^2+1=(-2)^2+1=4+1=5`

Dla x=-2 wielomian przyjmuje więc wartość 5 (pierwszy czynnik jest równy 5, a drugi czynnik jest równy 1). Liczba 5 jest liczbą pierwszą, więc mamy drugie rozwiązanie. 

 

 

Zobaczmy, jaką wartość przyjmuje pierwszy czynnik dla x=-1:

`x^2+1=(-1)^2+1=1+1=2`

Dla x=-1 wielomian przyjmuje więc wartość 2 (pierwszy czynnik jest równy 2, a drugi czynnik jest równy 1). Liczba 2 jest liczbą pierwszą, więc mamy drugie rozwiązanie. 

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(a in {-2;\ -1;\ 0}))`

 

W trójkącie prostokątnym o polu...

`P=1/2*2R*2sqrt3=8sqrt3`

`R=4\ cm`

`Obw=8 pi\ cm`

Rozwiąż równanie.

`ul(k inCC` 

 

`a)` 

`2cos^2x+4sin^2x=3` 

`2cos^2x+4(1-cos^2x)-3=0` 

`-2cos^2x+1=0` 

`cos^2x=1/2`  

`cosx=1/sqrt2=sqrt2/2\ \ \vee\ \ \cosx=-1/2=-sqrt2/2`  

`(x=-pi/4+2kpi ^^ x=pi/4+2kpi)\ \ \vee\ \ \(x=3/4pi+2kpi ^^ x=5/4pi+2kpi)`   

 

`b)` 

`4cos^2x-sin^2x=-1` 

`4cos^2x-(1-cos^2x)=-1` 

`5cos^2x=0`  

`cosx=0` 

`x=pi/2+kpi`      

 

`c)`

`2cos^2x+sin^2x=2cosx+1`

`2cos^2x+(1-cos^2x)-2cosx-1=0`

`cos^2x-2cosx=0`

`cosx(cosx-2)=0`

`cosx=0\ \ \vee\ \ \cosx=2\ "(sprzeczność)"`

`x=pi/2+kpi`

 

`d)`

`2+sin^2x=4-cos^2x+cosx`

`2+(1-cos^2x)-4+cos^2x-cosx=0`

`2+1-4-cosx=0`

`cosx=-1`

`x=pi+2kpi`

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)=-1/2x+1` 

 

`a)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=[-2;4]` 

`f-"liniowa, zatem monotoniczna"`  

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

`ul(D=[-6;6]`  

 

`f(x)>=0` 

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"` 

`ul(x in (-oo;2]\ \ \wedge\ \ \D=[-6;2]`  

 

`b)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=(-2;0)cup[1;4]` 

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=0` 

`x=2` 

 

`-1/2x+1=1` 

`x=0` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=[-6;0]cup(2;6)`   

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ wedge\ \ \D=[-6;0]`   

 

`c)`   

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW={-2}cup(2;4)`   

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=2`  

`x=-2`  

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=(-6;-2)cup{6}`    

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ \ wedge\ \ \D=(-6;-2)`    

Na rysunku obok przedstawiono ...

Dane są tyrzy funkcje:

`f(x)=log_(3/2)x` 

`g(x)=log_(2)x` 

`h(x)=logx` 

 

`"a)"\ (100,2)` 

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji f(x) - podstawiamy współrzędną y i sprawdzamy, czy otrzymamy współrzędną x.

`2=log_(3/2)x` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x= (3/2)^2=9/4!=100` 

Punkt (100,2) nie należy do wykresu funkcji f(x).

 

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji g(x):

`2=log_(2)x`  

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 2^2=4!=100` 

Punkt (100,2) nie należy do wykresu funkcji g(x).

 

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji h(x):

`2=logx`   

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 10^2=100` 

Punkt (100,2) należy do wykresu funkcji h(x).

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`"b)"\ (2 1/4,2)`  

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji f(x). Postępujemy analogicznie jak w powyższym przykładzie - podstawiamy współrzędną y i sprawdzamy, czy otrzymamy współrzędną x.

`2=log_(3/2)x` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x= (3/2)^2=9/4=2 1/4`   

Punkt (21/4,2) należy do wykresu funkcji f(x).

 

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji g(x):

`2=log_(2)x`  

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 2^2=4!=2 1/4` 

Punkt (21/4,2) nie należy do wykresu funkcji g(x).

 

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji h(x):

`2=logx`   

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 10^2=100!=2 1/4` 

Punkt (21/4,2) nie należy do wykresu funkcji h(x).

 

 

`"c)"\ (1024,10)`  

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji f(x). 

`10=log_(3/2)x` 

Z definicji logarytmu mamy:

`x= (3/2)^10=(59\ 049)/1024!=1024`     

Punkt (1024,10) nie należy do wykresu funkcji f(x).

 

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji g(x):

`10=log_(2)x`  

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 2^10=1024` 

Punkt (1024,10) należy do wykresu funkcji g(x).

 

Sprawdzamy, czy dany punkt należy do wykresu funkcji h(x):

`10=logx`   

Z definicji logarytmu mamy:

`x= 10^10!=1024`  

Punkt (1024,10) nie należy do wykresu funkcji h(x).

Podaj wzór wielomianu stopnia ...

Współczynnik a4=-1 bedzie współczynnikiem przy najwyższej potędze, ponieważ wielomian jest stopnia 4.

a) Z wykresu możemy odczytać, że pierwiastki wielomianu to -2, 0 oraz 2.

0 oraz 2 są pierwiastkami krotności nieparzystej, ponieważ zmieniają znak.

-2 jest pierwiastkiem krotności parzystej, ponieważ nie zmienia znaku.

Wielomian ma być stopnia 4, więc 0 oraz 2 będą pierwiastkami jednokrotnymi, a -2 będzie pierwiastkiem dwukrotnym.

`w(x)=-x(x-2)(x+2)^2`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) Z wykresu możemy odczytać, że pierwiastki wielomianu to -2, -1, 1 oraz 2.

Wszystkie pierwiastki są pierwiastkiami krotności nieparzystej, ponieważ zmieniają znak.

Wielomian ma być stopnia 4, więc wszystkie pierwiastki będą pierwiastkami jednokrotnymi.

`w(x)=-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

c) Z wykresu możemy odczytać, że pierwiastki wielomianu to -2 oraz 1.

Wszystkie pierwiastki są pierwiastkiami krotności parzystej, ponieważ  nie zmieniają znaku.

Wielomian ma być stopnia 4, więc wszystkie pierwiastki będą pierwiastkami dwukrotnymi.

`w(x)=-(x+2)^2(x-1)^2`

 

W trójkącie prostokątnym ABC...

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|AC|^2 + |AB|^2 = |BC|^2` 

`|AC|^2 + 16 = 64` 

`|AC|^2 = 48` 

`|AC| = 4sqrt3` 

 

Wiemy, że:

`|AP| = 1/3|AB|` 

`|AP| = 4/3` 

 

`|PB| = 4 - 4/3 = 2 2/3 = 8/3` 

 

Z twierdzenia Talesa:

`(|BC|)/(|AC|) = (|PR|)/(|AP|)` 

`8/4 = (|PR|)/(4/3)`

`|PR| = 8/4 * 3/4 = 2*3/4 = 3/2`  

 

Z twierdzenia Talesa:

`(|AR|)/(|AP|) = (|AC|)/(|AB|)` 

`(|AR|)/(4/3) = (4sqrt3)/4` 

`|AR| = 4/3 * sqrt3` 

`|AR|= (4sqrt3)/3` 

 

`|CR| = 4sqrt3 - (4sqrt3)/3 = (12sqrt3)/3 - (4sqrt3)/3 = (8sqrt3)/3` 

Liczby a, b, 1 tworzą ciąg ...

`(a,\ b,\ 1)-"ciąg arytmetyczny"` 

`(a,\ b,\ a+b+1)-"ciąg geometryczny"` 

 

`{(b=(a+1)/2),(b^2=a(a+b+1)):}` 

`{(2b-1= a ),(b^2=a(a+b+1)):}` 

`b^2=a(a+b+1)` 

`b^2=(2b-1)(2b-1+b+1)` 

`b^2=(2b-1)*3b`  

`b^2=6b^2-3b`           

`5b^2-3b=0` 

`b(5b-3)=0` 

`b_1=0\ \ \vv\ \ \b_2=3/5` 

`a_1=2b_1-1=-1` 

`a_2=2b_2-1=6/5-1=1/5` 

`a_1+b_1+1=0\ \ \vv\ \ \a_2+b_2+1=3/5+1/5+1=9/5` 

Szukane wyrazy ciągu geometrycznego to:

`{(a-1),(b=0),(a+b+1=0):}\ \ \"lub"\ \ \{(a=1/5),(b=3/5),(a+b+1=9/5):}`   

Rozwiąż równanie.

`"a)"\ 2/(5x+10)=(-3)/(x^2-4)`   

`"Założenia:"`    

`{(5x+10!=0),(x^2-4!=0):}`    

`{(x != -2),((x-2)(x+2)!=0):}` 

`{(x!=-2),(x!=2\ \ "i"\ \ x!=-2):}`    

`D=RR\\{-2,2}` 

 

`2/(5x+10)=(-3)/(x^2-4)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(5x+10)(x^2-4)` 

`2(x^2-4)=-3(5x+10)` 

`2x^2-8=-15x-30\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+15x+30` 

`2x^2+15x+22=0` 

`Delta=15^2-4*2*22=225-176=49` 

`sqrtDelta=sqrt49=7` 

`x_1=(-15-7)/4=-22/4=-5 2/4=-5 1/2 inD`  

`x_2=(-15+7)/4=(-8)/4=-2 !inD`  

Liczba -5 1/2 spełnia podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ (2x+5)/(x^2-1)=1/(x+1)`    

`"Założenia:"`    

`{(x+1!=0),(x^2-1!=0):}`    

`{(x != -1),((x-1)(x+1)!=0):}` 

`{(x!=-1),(x!=1\ \ "i"\ \ x!=-1):}`    

`D=RR\\{-1,1}` 

 

`(2x+5)/(x^2-1)=1/(x+1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(x^2-1)(x+1)` 

`(2x+5)(x+1)=1(x^2-1)` 

`2x^2+2x+5x+5=x^2-1` 

`2x^2+7x+5=x^2-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-x^2+1` 

`x^2+7x+6=0` 

`Delta=7^2-4*1*6=49-24=25` 

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(-7-5)/2=(-12)/2=-6 inD` 

`x_2=(-7+5)/2=(-2)/2=-1 !inD` 

Liczba -6 spełnia podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 1/(1-x)+x/(x-1)=1`    

`"Założenia:"`    

`{(1-x!=0),(x-1!=0):}`    

`{(x != 1),(x!=1):}` 

`D=RR\\{1}` 

 

`1/(1-x)+x/(x-1)=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(1-x)(x-1)`  

`1(x-1)+x(1-x)=(1-x)(x-1)` 

`x-1+x-x^2=x-1-x^2+x` 

`2x-1+x^2=2x-1-x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2x+1-x^2` 

`0=0` 

Równanie jest tożsamościowe, więc spełnia je każda liczba rzeczywista oprócz 1.

Każda liczba rzeczywista oprócz 1 spełnia podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ (2x)/(2x+3)-1=(2x)/(2x-3)` 

`"Założenia:"`    

`{(2x+3!=0),(2x-3!=0):}`    

`{(x != -3/2),(x!=3/2):}` 

`D=RR\\{-3/2,3/2}` 

 

`(2x)/(2x+3)-1=(2x)/(2x-3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(2x+3)(2x-3)`  

`2x(2x-3)-(2x+3)(2x-3)=2x(2x+3)` 

`4x^2-6x-(4x^2-9)=4x^2+6x` 

`4x^2-6x-4x^2+9=4x^2+6x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-4x^2-6x` 

`-4x^2-12x+9=0` 

`Delta=(-12)^2-4*(-4)*9=144+144=288` 

`sqrtDelta=sqrt288=sqrt(144*2)=12sqrt2`  

`x_1=(12-12sqrt2)/(-8)=(-3+3sqrt2)/2 inD` 

`x_2=(12+12sqrt2)/(-8)=(-3-3sqrt2)/2 inD`    

Rozwiązaniem równania są liczby x1 oraz x2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"e)"\ 6/x-1=2/(x-1)`   

`"Założenia:"`    

`{(x!=0),(x-1!=0):}` 

`{(x!=0),(x!=1):}`   

`D=RR\\{0,1}`  

 

`6/x-1=2/(x-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|*x(x-1)`  

`6(x-1)-x(x-1)=2x` 

`6x-6-x^2+x=2x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2x` 

`-x^2+5x-6=0` 

`Delta=5^2-4*(-1)*(-6)=25-24=1` 

`sqrtDelta=sqrt1=1` 

`x_1=(-5-1)/(-2)=(-6)/(-2)=3 in D`  

`x_2=(-5+1)/(-2)=(-4)/(-2)=2\ inD`      

Liczby 2 i 3  spełniają podane równanie.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"f)"\ (2x+1)/(x^2-9)-3/(x-3)=0` 

`"Założenia:"`    

`{(x^2-9!=0),(x-3!=0):}`   

`{((x-3)(x+3)!=0),(x!=3):}`    

`{(x!=3\ \ "i" \ \ x!=-3),(x!=3):}`  

`D=RR\\{-3,3}` 

 

`(2x+1)/(x^2-9)-3/(x-3)=0` 

`(2x+1)/((x-3)(x+3))-3/(x-3)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(x-3)(x+3)` 

`2x+1-3(x+3)=0` 

`2x+1-3x-9=0` 

`-x=8` 

`x=-8` 

Liczba -6 spełnia podane równanie.

Sprawdź, czy dwumian x+11...

Sprawdźmy czy istnieje taki wielomian h, że:

`(x^3+12x^2+12x+11)= (x+11)*h(x)` 

Wielomian h musi być stopnia 2, współczynnik przy najwyższej potędze musi równać się 1 wyraz wolny również jest równy 1.

`h(x) = x^2 + ax+1` 

 

`(x+11)(x^2+ax+1) = x^3 + ax^2 + x + 11x^2 + 11ax + 11 = x^3 +(a+11)x^2 +(11a+1)x+11` 

Jeżeli wielomiany są równe to współczynniki przy odpowiednich potęgach musza się sobie równać:

`{(a+11 = 12),(11a+1 = 12):}` 

`{(a=1),(11a=11):}` 

`{(a=1),(a=1):}` 

Stąd a = 1. A więc f wystąpił w rozkładzie na czynniki wielomianu g