`lim_(x->-2^(-))(-1/2x+2)=-1/2*(-2)+2=1+2=3`
`lim_(x->-2^(+))(x+a)=(-2+a)`
`-2+a=3 \ \ \ |+2`
`a=5`
Odp. B
`W(p,q)`
`W_1(4,2),\ f_1(x)=(x-4)^2+2`
`W_2(-1,-2),\ f_2(x)=(x+1)^2-2`
`W_3(-4,1),\ f_3(x)=(x+4)^2+1`
`a)\ f(0)=7`
`\ \ \ (3+m)*0-m+2=7`
`\ \ \ -m+2=7\ \ \ |-2`
`\ \ \ -m=5\ \ \ |*(-1)`
`\ \ \ m=-5`
`b)\ 3+m>0\ \ \ |-3`
`\ \ \ m> -3`
`\ \ \m in(-3,\ +infty)`
`c^2=6^2+8^2=100`
`c=10`
`r=(6+8-10)/2=2`
`"a)"` Przekształcamy wykres funkcji `G,` gdzie `x!=-5.`
`G(x)=(-3x-13)/(x+5)=(-3x-15+2)/(x+5)=[-3(x+5)+2]/(x+5)=[-3(x+5)]/(x+5)+2/(x+5)=-3+2/(x+5)=2/(x+5)-3`
Szukany wektor ma współrzędne `vecu=[-5,-3].`
Dla funkcji `F` mamy `a=2,` więc jest ona malejąca. Wobec tego funkcja `G` również będzie malejąca w swojej dziedzinie,
czyli w każdym z przedziałów `(-oo,-5)` oraz `(-5,+oo).`
`"b)"` Przekształcamy wykres funkcji `G,` gdzie `x!=2.`
`G(x)=(7x-17)/(x-2)=(7x-14-3)/(x-2)=[7(x-2)-3]/(x-2)=[7(x-2)]/(x-2)-3/(x-2)=-3/(x-2)+7`
Szukany wektor ma współrzędne `vecu=[2,\ 7].`
Dla funkcji `F` mamy `a=-3,` więc jest ona rosnąca. Wobec tego funkcja `G` również będzie rosnąca w swojej dziedzinie,
czyli w każdym z przedziałów `(-oo,\ 2)` oraz `(2,+oo).`
`"c)"` Przekształcamy wykres funkcji `G,` gdzie `x!=-5.`
`G(x)=(3x+17)/(3x+15)=(3x+15+2)/(3x+15)=(3x+15)/(3x+15)+2/(3x+15)=2/(3(x+5))+1`
Szukany wektor ma współrzędne `vecu=[-5,\ 1].`
Dla funkcji `F` mamy `a=2/3,` więc jest ona malejąca. Wobec tego funkcja `G` również będzie malejąca w swojej dziedzinie,
czyli w każdym z przedziałów `(-oo,-5)` oraz `(-5,+oo).`
`"d)"` Przekształcamy wykres funkcji `G,` gdzie `x!=3.`
`G(x)=(-8x+25)/(4x-12)=(-8x+24+1)/(4x-12)=[-2(4x-12)+1]/(4x-12)=[-2(4x-12)]/(4x-12)+1/(4x-12)=1/(4(x-3))-2`
Szukany wektor ma współrzędne `vecu=[3,-2].`
Dla funkcji `F` mamy `a=1,` więc jest ona malejąca. Wobec tego funkcja `G` również będzie malejąca w swojej dziedzinie,
czyli w każdym z przedziałów `(-oo,\ 3)` oraz `(3,+oo).`
`a)`
`1+5+9+...+x=190`
`"Zauważmy, że mamy do czynienia z ciągie marytmetycznym."`
`a_2-a_1=4=r`
`S_n=190`
`190=(2a_1+r(n-1))/2*n=(2+4n-4)/2*n`
`2n^2-n-190=0`
`Delta=1+1520=1521`
`sqrt(Delta)=39`
`n_1=1=(1-39)/4=-19/2 !inmathbbN`
`n_2=(1+39)/4=10`
`x=a_1+19r=1+9*4=ul37`
`b)`
`(1+x)+(2+3x)+(3+5x)+...+(50+99x)=275`
`"Opuśćmy nawiasy, poszeregujmy odpowiednio wyrazy i oznaczmy:"`
`bbL=#underbrace{1+2+...+50}_{S_(a_n)}+#underbrace{x+3x+5x+...+99x}_{S_(b_n)}`
`"Obliczmy sumę"\ a_n:`
`r=1`
`a_n=n`
`50=n`
`S_(a_n)=(2+n-1)/2*n=(n^2+n)/2=1275`
`"Obliczmy sumę ciągu"\ bn:`
`"Zauważ, że ciągi a i b mają tyle samo wyrazów."`
`n=50`
`S_(b_n)=(x+99x)/2*50=50x*50=2500x`
`"Wróćmy do naszego początkowego równania":`
` ` `275=S_(a_n)+S_(b_n)`
`275=1275+2500x`
`2500x=-1000`
`x=ul(-0,4)`
a) `a_n=2/n`
b) `b_n=4+(n-1)*3=4+3n-3=3n+1`
c) `c_n=-3+(n-1)*2=-3+2n-2=2n-5`
Będziemy korzystać z twierdzenia o odcinkach stycznych:
`|EC|=|EA|` (styczne poprowadzone z punktu E)
`|DB|=|DC|` (styczne poprowadzone z punktu D)
`|PA|+|PB|=|PE|+|EA|+|PD|+|DB|=`
`=|PE|+|EC|+|PD|+|DC|=O_(DeltaPDE)\ \ \ \ odp.\ A`
`"Zauwazmy, że w trójkącie prostokatnym dwie z trzech wysokości to nic innego jak przyprostokątne tego trójkąta."`
`"Dodatkowa wysokość jest prostopadła do przeciwprostokątnej. Oznaczmy ją przez h."`
`"Zauważmy, że wysokość h dzieli trójkąt na dwa mniejsze trojkąty prostokątne o kątach 30 i 60 stopni."`
`a-"długość krótszej przyprostokątnej ( jedna z tworzących kąt 60 stopni)"`
`b-"długość dłuższej przyprostokątnej (jedna z tworzących kąt 30 stopni)"`
`a)`
`c=8`
`a=1/2c=ul4`
`b=asqrt(3)=ul(4sqrt(3))`
`h=1/2*asqrt3=ul(2sqrt(3))`
`b)`
`c=4sqrt(2)`
`a=1/2c=ul(2sqrt(2))`
`b=asqrt(3)=2sqrt(2*3)=ul(2sqrt(6))`
`h=1/2*asqrt(3)=ulsqrt(6)`
`c)`
`c=2sqrt(6)`
`a=1/2c=ulsqrt(6)`
`b=asqrt(3)=sqrt(18)=ul(3sqrt(2))`
`h=1/2asqrt(3)=ul((3sqrt(2))/2)`
Obliczamy odległości między wierzchołkami trójkątów, które są jednocześnie długościami boków.
a)
`|AB|=sqrt((-1-(-4))^2+(-6-(-2)^2)=sqrt(3^2+(-4)^2)=sqrt(9+16)=sqrt25=5`
`|BC|=sqrt((-1-(-1))^2+(2-(-6))^2=sqrt(0+64)=sqrt64=8`
`|AC|=sqrt((-1-(-4))^2+(2-(-2)^2)=sqrt(3^2+4^2)=sqrt25=5`
`O_(ABC)=5+5+8=ul(ul(18))`
`|DE|=sqrt((7-3)^2+(0-(-3))^2)=sqrt(4^2+3^2)=sqrt(16+9)=sqrt25=5`
`|EF|=sqrt((4-7)^2+(4-0)^2)=sqrt((-3)^2+4^2)=sqrt(9+16)=sqrt25=5`
`|DF|=sqrt((4-3)^2+(4-(-3))^2)=sqrt(1^2+7^2)=sqrt(1+49)=sqrt50=sqrt(25*2)=5sqrt2`
`O_(DEF)=5+5+5sqrt2=10+5sqrt2=10+sqrt50`
`sqrt50~~sqrt49`
`O_(DEF)=10+7~~ul(ul(17))`
`ul(ul(O_(ABC)) > O_(DEF)`
b)
`|AB|=sqrt((8-(-5))^2+(-2-(-2)^2)=sqrt(13^2+0^2)=sqrt(169+0)=sqrt169=13`
`|BC|=sqrt((1-8)^2+(5-(-2))^2=sqrt(49+49)=sqrt(2*49)=7sqrt2`
`|AC|=sqrt((1-(-5))^2+(5-(-2)^2)=sqrt(6^2+7^2)=sqrt(36+49)=sqrt85`
`O_(ABC)=ul(ul(13+7sqrt2+sqrt85))`
`sqrt85~~sqrt81~~9`
`sqrt2~~1,41`
`O_(ABC)~~13+7*1,41+9~~13+9,87+9~~31,87`
`|DE|=sqrt((9-(-3))^2+(1-(-4))^2)=sqrt(12^2+5^2)=sqrt(144+25)=sqrt169=13`
`|EF|=sqrt((9-9)^2+(8-1)^2)=sqrt(0^2+7^2)=sqrt(0+49)=sqrt49=7`
`|DF|=sqrt((9-(-3))^2+(8-(-4))^2)=sqrt(12^2+12^2)=sqrt(144+144)=sqrt(2*144)=12sqrt2`
`O_(DEF)=13+7+12sqrt2=ul(ul(20+12sqrt2))~~20+12*1,41~~37`
`O_(ABC) < ul(ul(O_(DEF)))`