Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$$
$$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $$sin x$$ i $$cos y$$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $$cos y$$ na $$sin (90°-y)$$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$$
$$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$$
$$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$$
$$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$$

Oraz:

$$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$$
$$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Funkcja f(x)....

`lim_(x->-2^(-))(-1/2x+2)=-1/2*(-2)+2=1+2=3` 

`lim_(x->-2^(+))(x+a)=(-2+a)` 

 

`-2+a=3 \ \ \ |+2` 

`a=5` 

 

Odp. B

Funkcje, których wykresy przedstawiono ...

`W(p,q)` 

 

`W_1(4,2),\ f_1(x)=(x-4)^2+2` 

 

`W_2(-1,-2),\ f_2(x)=(x+1)^2-2` 

 

`W_3(-4,1),\ f_3(x)=(x+4)^2+1`    

Dana jest funkcja liniowa f(x)=(3+m)x-m+2

`a)\ f(0)=7`

`\ \ \ (3+m)*0-m+2=7`

`\ \ \ -m+2=7\ \ \ |-2`

`\ \ \ -m=5\ \ \ |*(-1)`

`\ \ \ m=-5`

 

`b)\ 3+m>0\ \ \ |-3`

`\ \ \ m> -3`

`\ \ \m in(-3,\ +infty)`

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych...

`c^2=6^2+8^2=100`

`c=10`

`r=(6+8-10)/2=2`

Wykres funkcji G powstał w wyniku...

`"a)"` Przekształcamy wykres funkcji `G,` gdzie `x!=-5.` 

`G(x)=(-3x-13)/(x+5)=(-3x-15+2)/(x+5)=[-3(x+5)+2]/(x+5)=[-3(x+5)]/(x+5)+2/(x+5)=-3+2/(x+5)=2/(x+5)-3` 

Szukany wektor ma współrzędne `vecu=[-5,-3].` 

Dla funkcji `F` mamy `a=2,` więc jest ona malejąca. Wobec tego funkcja `G` również będzie malejąca w swojej dziedzinie,

czyli w każdym z przedziałów `(-oo,-5)` oraz `(-5,+oo).` 

 

`"b)"` Przekształcamy wykres funkcji `G,` gdzie `x!=2.` 

`G(x)=(7x-17)/(x-2)=(7x-14-3)/(x-2)=[7(x-2)-3]/(x-2)=[7(x-2)]/(x-2)-3/(x-2)=-3/(x-2)+7`  

Szukany wektor ma współrzędne `vecu=[2,\ 7].` 

Dla funkcji `F` mamy `a=-3,` więc jest ona rosnąca. Wobec tego funkcja `G` również będzie rosnąca w swojej dziedzinie,

czyli w każdym z przedziałów `(-oo,\ 2)` oraz `(2,+oo).` 

 

`"c)"` Przekształcamy wykres funkcji `G,` gdzie `x!=-5.`

`G(x)=(3x+17)/(3x+15)=(3x+15+2)/(3x+15)=(3x+15)/(3x+15)+2/(3x+15)=2/(3(x+5))+1` 

Szukany wektor ma współrzędne `vecu=[-5,\ 1].` 

Dla funkcji `F` mamy `a=2/3,` więc jest ona malejąca. Wobec tego funkcja `G` również będzie malejąca w swojej dziedzinie,

czyli w każdym z przedziałów `(-oo,-5)` oraz `(-5,+oo).`

 

`"d)"` Przekształcamy wykres funkcji `G,` gdzie `x!=3.`

`G(x)=(-8x+25)/(4x-12)=(-8x+24+1)/(4x-12)=[-2(4x-12)+1]/(4x-12)=[-2(4x-12)]/(4x-12)+1/(4x-12)=1/(4(x-3))-2` 

Szukany wektor ma współrzędne `vecu=[3,-2].`  

Dla funkcji `F` mamy `a=1,` więc jest ona malejąca. Wobec tego funkcja `G` również będzie malejąca w swojej dziedzinie,

czyli w każdym z przedziałów `(-oo,\ 3)` oraz `(3,+oo).`         

Rozwiąż równanie ...

`a)` 

`1+5+9+...+x=190` 

`"Zauważmy, że mamy do czynienia z ciągie marytmetycznym."` 

`a_2-a_1=4=r` 

`S_n=190` 

`190=(2a_1+r(n-1))/2*n=(2+4n-4)/2*n` 

`2n^2-n-190=0` 

`Delta=1+1520=1521` 

`sqrt(Delta)=39` 

`n_1=1=(1-39)/4=-19/2 !inmathbbN`  

`n_2=(1+39)/4=10` 

`x=a_1+19r=1+9*4=ul37` 

 

`b)` 

`(1+x)+(2+3x)+(3+5x)+...+(50+99x)=275` 

`"Opuśćmy nawiasy, poszeregujmy odpowiednio wyrazy i oznaczmy:"`  

`bbL=#underbrace{1+2+...+50}_{S_(a_n)}+#underbrace{x+3x+5x+...+99x}_{S_(b_n)}`  

`"Obliczmy sumę"\ a_n:` 

`r=1` 

`a_n=n` 

`50=n` 

`S_(a_n)=(2+n-1)/2*n=(n^2+n)/2=1275`  

`"Obliczmy sumę ciągu"\ bn:` 

`"Zauważ, że ciągi a i b mają tyle samo wyrazów."` 

`n=50` 

`S_(b_n)=(x+99x)/2*50=50x*50=2500x`  

`"Wróćmy do naszego początkowego równania":`    

` ` `275=S_(a_n)+S_(b_n)` 

`275=1275+2500x` 

`2500x=-1000` 

`x=ul(-0,4)`  

Wyznacz wzór ogólny...

a) `a_n=2/n` 

b) `b_n=4+(n-1)*3=4+3n-3=3n+1` 

c) `c_n=-3+(n-1)*2=-3+2n-2=2n-5` 

 

Suma długości odcinków PA i PB zaznaczonych na rysunku jest równa

Będziemy korzystać z twierdzenia o odcinkach stycznych: 

`|EC|=|EA|`   (styczne poprowadzone z punktu E)

`|DB|=|DC|`   (styczne poprowadzone z punktu D)

 

 

`|PA|+|PB|=|PE|+|EA|+|PD|+|DB|=`     

`=|PE|+|EC|+|PD|+|DC|=O_(DeltaPDE)\ \ \ \ odp.\ A`  

W trójkącie ...

`"Zauwazmy, że w trójkącie prostokatnym dwie z trzech wysokości to nic innego jak przyprostokątne tego trójkąta."` 

`"Dodatkowa wysokość jest prostopadła do przeciwprostokątnej. Oznaczmy ją przez h."` 

`"Zauważmy, że wysokość h dzieli trójkąt na dwa mniejsze trojkąty prostokątne o kątach 30 i 60 stopni."` 

 

`a-"długość krótszej przyprostokątnej ( jedna z tworzących kąt 60 stopni)"`  

`b-"długość dłuższej przyprostokątnej (jedna z tworzących kąt 30 stopni)"`   

`a)` 

`c=8` 

`a=1/2c=ul4`  

`b=asqrt(3)=ul(4sqrt(3))`  

 

`h=1/2*asqrt3=ul(2sqrt(3))`  

 

`b)` 

`c=4sqrt(2)` 

`a=1/2c=ul(2sqrt(2))`  

`b=asqrt(3)=2sqrt(2*3)=ul(2sqrt(6))`  

 

`h=1/2*asqrt(3)=ulsqrt(6)`  

 

`c)` 

`c=2sqrt(6)` 

`a=1/2c=ulsqrt(6)`  

`b=asqrt(3)=sqrt(18)=ul(3sqrt(2))`    

 

`h=1/2asqrt(3)=ul((3sqrt(2))/2)`     

 

 

Który z trójkątów: ABC czy DEF, ma większy

Obliczamy odległości między wierzchołkami trójkątów, które są jednocześnie długościami boków.

a)

`|AB|=sqrt((-1-(-4))^2+(-6-(-2)^2)=sqrt(3^2+(-4)^2)=sqrt(9+16)=sqrt25=5`

`|BC|=sqrt((-1-(-1))^2+(2-(-6))^2=sqrt(0+64)=sqrt64=8`

`|AC|=sqrt((-1-(-4))^2+(2-(-2)^2)=sqrt(3^2+4^2)=sqrt25=5`

`O_(ABC)=5+5+8=ul(ul(18))`

 

`|DE|=sqrt((7-3)^2+(0-(-3))^2)=sqrt(4^2+3^2)=sqrt(16+9)=sqrt25=5`

`|EF|=sqrt((4-7)^2+(4-0)^2)=sqrt((-3)^2+4^2)=sqrt(9+16)=sqrt25=5`

`|DF|=sqrt((4-3)^2+(4-(-3))^2)=sqrt(1^2+7^2)=sqrt(1+49)=sqrt50=sqrt(25*2)=5sqrt2`

`O_(DEF)=5+5+5sqrt2=10+5sqrt2=10+sqrt50`

`sqrt50~~sqrt49`

`O_(DEF)=10+7~~ul(ul(17))`

`ul(ul(O_(ABC)) > O_(DEF)`

b)

`|AB|=sqrt((8-(-5))^2+(-2-(-2)^2)=sqrt(13^2+0^2)=sqrt(169+0)=sqrt169=13`

`|BC|=sqrt((1-8)^2+(5-(-2))^2=sqrt(49+49)=sqrt(2*49)=7sqrt2`

`|AC|=sqrt((1-(-5))^2+(5-(-2)^2)=sqrt(6^2+7^2)=sqrt(36+49)=sqrt85`

`O_(ABC)=ul(ul(13+7sqrt2+sqrt85))`

`sqrt85~~sqrt81~~9`

`sqrt2~~1,41`

`O_(ABC)~~13+7*1,41+9~~13+9,87+9~~31,87`

`|DE|=sqrt((9-(-3))^2+(1-(-4))^2)=sqrt(12^2+5^2)=sqrt(144+25)=sqrt169=13`

`|EF|=sqrt((9-9)^2+(8-1)^2)=sqrt(0^2+7^2)=sqrt(0+49)=sqrt49=7`

`|DF|=sqrt((9-(-3))^2+(8-(-4))^2)=sqrt(12^2+12^2)=sqrt(144+144)=sqrt(2*144)=12sqrt2`

`O_(DEF)=13+7+12sqrt2=ul(ul(20+12sqrt2))~~20+12*1,41~~37`

 

`O_(ABC) < ul(ul(O_(DEF)))`