Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$$
$$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $$sin x$$ i $$cos y$$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $$cos y$$ na $$sin (90°-y)$$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$$
$$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$$
$$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$$
$$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$$

Oraz:

$$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$$
$$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

      {premium}


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  

Odcinek x stanowi dwie trzecie wysokości podstawy, czyli dwie trzecie wysokości trójkąta równobocznego o boku 3:

Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego obliczmy, jaką długość ma odcinek x: {premium}

 

 

Wiemy, że:

 

 

Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole podstawy tego ostrosłupa to pole trójkąta równobocznego o boku 3 cm:

 

 

Na pole powierzchni bocznej składają się pola trzech trójkątów równoramiennych o podstawie 3 oraz ramieniu a. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, jaką długość ma wysokość ściany bocznej. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej: 

   

W tabeli podano skalę podatkową

Wykonujemy mnożenie:

Redukujemy wyrazy podobne, otrzymując szukany wzór:

 

 

Osoba zarabiająca 50 000 zł rocznie mieści się w pierwszym przedziale. Obliczamy, ile zapłaciłaby podatku:

 

Osoba zarabiająca 100 000 zł rocznie mieści się w drugim przedziale. Obliczmy, ile zapłaciłaby podatku:

 

Gdyby obowiązywał podatek liniowy, to osoba zarabiająca 50 000 zł zapłaciłaby:

 

Gdyby obowiązywał podatek liniowy, to osoba zarabiająca 100 000 zł zapłaciłaby:

 

Osoba zarabiająca 50 000 zł zapłaciłaby więc o następująca kwotę więcej przy podatku liniowym:

 

 

Osoba zarabiająca 100 000 zł zapłaciłaby więc o następująca kwotę więcej przy podatku liniowym:

Podstawą ostrosłupa prostego

Obliczmy, jaką długopść ma przekątna podstawy, czyli przekątna prostokąta o bokach 6 cm i 8 cm. 

Wystarczy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. 

 

 

 

 

 

Połowa przekątnej podstawy ma więc długość 5 cm. 

 

 

Ostrosłup ma dwie ściany boczne będące trójkątami równobocznymi o boku 6 cm.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zamalowanego na pomarańczowo możemy zapisać:

 

 

 

 

 

 

 

Ostrosłup ma dwie ściany boczne będące trójkątami równobocznymi o boku 8 cm.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć, jaką długość ma wysokość H:

 

 

 

 

 

Podaj przykład wielomianu ...

Przykładem takiego wielomianu może być:

{premium}

 

Dane są punkty...

a) Wyznaczmy równanie prostej CD:

 

 

 

 

 

stąd:

 

 

A więc:

 

 

Prosta prostopadła do tej prostej jest dana równaniem:

 

 

  • Współrzędne punktu A'

Wstawmy współrzędne punktu A

 

 

 

A więc równanie tej prostej to:

 

 

Punkt przecięcia prostych:

 

 

 

  

stąd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

  • Współrzędne punktu B'

Prosta prostopadła do prostej CD:

 

Współrzędne punktu B:

 

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia się tej prostej z prostą CD:

 

 

 

 

stąd

 

 

 

 

  

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

b) Równanie prostej AD:

  

 

 

 

 

stąd:

 

 

 

 

 

Prosta prostopadła do prostej AD to:

 

 

  • Współrzędne punktu B':

 

wstawmy współrzędne punktu B

 

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia się prostej y = -3x + 11 i prostej AD:

 

  

 

 

 

 

 

stąd:

 

 

 

 

 

 

Zatem:

  

 

 

 

 

 

 

 

  • Współrzędne punktu C':

 

wstawmy współrzędne punktu C

 

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia się prostej y = -3x -5 i prostej AD:

 

  

 

  

 

stąd:

 

 

 

 

 

Zatem:

  

 

 

 

 

 

 

Samochód dostawczy wyjechał z miasta ...

 

 

 średnia prędkość na trasie z miasta B do A

 szukana średnia prędkość na trasie z miasta A do B

  

 

 

 

  

 

Wiemy, że: 

        

  

 

  

 

   

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Średnia prędkość samochodu na trasie z miasta A do miasta B wynosi 64 km/h.    

Suma 6-12+24-48+...

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. B

Długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg...

Krawędzie będą postaci:

 

 

Objętość prostopadłościanu:

 

 

 

 

 

 

Suma długości wszystkich krawędzi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pierwszy przypadek gdy najkrótszym bokiem jest:

 

Wtedy ciąg jest rosnący a więc q=3

 

 

Drugi przypadek gdy najkrótszym bokiem jest:

 

Wtedy ciąg jest malejący a więc q=1/3

  

 

 

 

Wiemy, że:

  

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole powierzchni bocznej:

I przypadek:

 

 

 

 

  

Przekątna prostopadłościanu:

 

 

 

II przypadek:

 

 

 

 

 

 

Przypadek taki sam jak w I

 

III przypadek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Usuwając niewymierność:

   

 

 

Rozwiąż równanie