Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$
$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $sin x$ i $cos y$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $cos y$ na $sin (90°-y)$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$
$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$
$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$
$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$

Oraz:

$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$
$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz równania prostych, w których zawarte...

a) Rysunek pomocniczy:

{premium}


Proste AB i AC przecinają oś Y w punkcie (0, 0), więc mają równania:

 

 


Podstawiamy współrzędne punktu B do wzoru prostej AB i wyznaczamy a1.

 

 

Podstawiamy współrzędne punktu C do wzoru prostej AC i wyznaczamy a2.

 

 


Dla wyznaczonych wartości a1 i a2 wzory prostych przyjmują postać:

 

 

Mamy:

 

Współczynniki kierunkowe prostych AB i AC spełniają warunek a1٠a2=-1, więc proste AB i AC są prostopadłe. Stąd trójkąt ABC jest prostokątny.


Niech:

 

Podstawiamy współrzędne punktów B i C do równania prostej BC i wyznaczamy współczynniki a oraz b.

 

 

 

Podstawiamy b=6a+8 do pierwszego równania w układzie.

 

 

 

Podstawiamy a=-1/7 do drugiego równania w układzie.

 

 

 

Dla wyznaczonych wartości a i b równanie prostej BC przyjmuje postać:

 


Podsumowując:

 

 

 

Trójkąt ABC jest prostokątny.



b) Rysunek pomocniczy:


Oznaczmy:

 

 

 


Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych:

 

 

 


Dla wyznaczonych wartości a1, a2 i a3 wzory prostych przyjmują postać:

 

 

 

Mamy:

 

Współczynniki kierunkowe prostych AC i BC spełniają warunek a2٠a3=-1, więc proste AC i BC są prostopadłe. Stąd trójkąt ABC jest prostokątny.


Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej AB i wyznaczamy b1:

 

 

 


Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej AC i wyznaczamy b2:

 

 

 


Podstawiamy współrzędne punktu B do równania prostej BC i wyznaczamy b3:

 

 

 


Dla wyznaczonych wartości b1, b2 i b3 wzory prostych przyjmują postać:

 

 

 

Trójkąt ABC jest prostokątny.

Trapez na rysunku obok jest ...

 

 

{premium}   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

    

Czy istnieje funkcja liniowa malejąca...

Istnieje taka funkcja, {premium} ponieważ wszystkie funkcje liniowe przechodzące jednocześnie przez podane ćwiartki są malejące.

Narysuj dwa nierównoległe wektory ...

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}

Oblicz.

{premium}   

    

 

    

Na rysunku obok przedstawiono...

Z twierdzenia o kątach środkowych i wpisanych:

 

{premium}  

 

 

 

  

Napisz wzór funkcji logarytmicznej ...

Funkcja logarytmiczna jest postaci:

`y=log_a x` 

Z treści zadania wiemy, że punkt A należy do wykresu tej funkcji.

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy: {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Wzór tej funkcji:

 

     
     

 

Wykres tej funkcji:

 

Własności tej funkcji:

1. Dziedziną funkcji f jest zbiór (0, +∞).

2. Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.

3. Funkcja ma miejsce zerowe x=1.

4. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla (0,1), a wartości ujemne dla (1,+∞).

5. Wykres funkcji f nie ma z osią OY punktu wspólnego.

6. Funkcja f jest różnowartościowa.

7. Funkcja f jest funkcją malejącą.

Oblicz miarę kąta...

a) Kąty wierzchołkowe mają równe miary, zatem:{premium}

Kąt półpełny ma miarę 180o, czyli:

 

 

 

 

b) Kąty wierzchołkowe mają równe miary:

Kąt półpełny ma miarę 180o, czyli:

 

 

 

 

c) Kąt półpełny ma miarę 180o, czyli:

 

 

 

Rozłóż sumę algebraiczną...

{premium}  

 

 

 

Wyróżnik trójmianu:

 

Trójmian nie ma miejsc zerowych.

 

 

 

Oblicz x.

a)

Korzystając z tw. o siecznych:

 

 

 

 

 

 


b)

Korzystając z tw. o siecznych:

 

 

{premium}  

 

 

 


c)

Korzystając z tw. o siecznej i stycznej:

 

 

 

 


d)

Korzystając z tw. o siecznej i stycznej:

 

 

 

 

 

 

 


e)

Korzystając z tw. o stycznych:

 

 

 

 

 


f)

Korzystając z tw. o stycznej i siecznej: