Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$
$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $sin x$ i $cos y$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $cos y$ na $sin (90°-y)$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$
$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$
$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$
$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$

Oraz:

$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$
$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania
W równaniu x + 3x + 9x...

Jeden z pierwiastków równania

 

 

to liczba 3, zatem:

 {premium}

 

Zauważmy, że lewa strona równania to suma ciągu geometrycznego. Pierwszy wyraz oraz iloraz tego ciągu to:

 

Suma elementów tego ciągu ma być równa 120. Skorzystajmy ze wzoru na sumę k początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

 

Znane nam wielkości to:

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rurociągu (zob. ...

Szukamy odbicia symetrycznego jednego z punktów  lub  względem prostej (rurociągu).

Łączymy {premium}punkt  z punktem  (lub punkt  z punktem ).

Punkt przecięcia odcinka  (lub ) z prostą, którą jest rurociąg, wyznacza szukany punkt.

Dane są wektory ...

  

 

 

{premium}

    

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

Dodajmy równania do siebie. 

 

 

 

 

 

  

 

Aby obliczyć b wstawmy wspołrzędne wierzchołka C, z którego opuszczona jest wysokość.

 

     

 

 

 

 

Dodajmy równania do siebie.  

 

 

 

 

  

Aby obliczyć b wstawmy wspołrzędne wierzchołka A, z którego opuszczona jest wysokość.

 

    

 

 

 

 

Dodajmy równania do siebie.  

 

 

 

   

 

Aby obliczyć b wstawmy wspołrzędne wierzchołka B, z którego opuszczona jest wysokość.

 

 

 

Do dwóch akwariów

Obliczmy, jaka jest objętość wody znajdującej się w akwarium A:

 

 

Obliczmy, jaka jest łączna objętość wody i kamienia - patrzymy na akwarium B:

{premium}  

 

Jeśli odejmiemy te dwie objętości, to otrzymamy objętość wrzuconego kamienia:

 

 

Obliczmy, jaka jest objętość wody znajdującej się w akwarium C:

 

 

Obliczmy, jaka będzie łączna objętość wody z akwarium C i kamienia:

 

 

Patrząc na rysunek D możemy ułożyć równanie:

 

 

 

Dla jakich wartości m ...

  Podstawiając współrzędne punktu  do równania funkcji  wyliczymy

dla jakich wartości  punkt  należy do {premium}wykresu funkcji  

 

 

 

Dla  punkt  należy do wykresu funkcji .


  Podstawiając współrzędne punktu  do równania funkcji  wyliczymy

dla jakich wartości  punkt  należy do wykresu funkcji   

 

 

 

 

 

 

Dla  punkt  należy do wykresu funkcji .


   Podstawiając współrzędne punktu  do równania funkcji  

wyliczymy dla jakich wartości  punkt  należy do wykresu funkcji   

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla  punkt  należy do wykresu funkcji .


  Podstawiając współrzędne punktu  do równania funkcji  

wyliczymy dla jakich wartości  punkt  należy do wykresu funkcji   

 

 

 

  

 

Dla   punkt  należy do wykresu funkcji .

Dane są zbiory...

{premium}  

Narysujmy wykres funkcji f(x)=x2.

Zbiór A To zbiór, którego wartości są mniejsze bądź równe od wartości funkcji f(x):

 

Zbiór B to zbiór, którego wartości są większe bądź równe od wartości funkcji f(x) :

 

Część wspólna obu zbiorów to:

Rozwiązaniem jest:

 

 

 

Czyli wszystkie punkty poniżej paraboli x^2 będą naszym zbiorem, parabola będzie przerywana gdyż mamy silną nierówność:

a) Ile wody należałoby dolać do...

a) Obliczmy, ile soli znajduje się w tym roztworze:

 

x- masa, wody, którą należy dolać, aby otrzymać 5% roztwór:  {premium}

 

 

 

 

 

 

 


b) Obliczmy, ile ważyła pierwsza solanka:

 

 

 

 

 


Obliczmy, ile waży ta solanka:

 


c) Obliczmy, ile soli znajduje się w 2% solance:

 
 

x- ilość soli, którą należy dodać do tej solanki, aby otrzymać 10% roztwor:


 

 

 

 

 

Oblicz sumy ...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

       

   

Podaj wartość bezwzględną liczby

{premium}

Zaokrąglij rozwiązanie równanie

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Zaokrąglenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

` `