Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$$
$$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$$

Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $$sin x$$ i $$cos y$$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $$cos y$$ na $$sin (90°-y)$$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$$
$$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$$
$$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$$
$$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$$

Oraz:

$$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$$
$$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$$

Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania

Sprawdź, czy punkty A, B i C są ...

Aby sprawdzić, czy punkty są wierzchołkami trójkąta musimy sprawdzić, czy zachodzi nierówność trójkąta (suma długości dowolnych dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku).

Jednak jeżeli wiemy, który bok jest najdłuższy, to wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych boków jest większa od długości najdłuższego boku (nie trzeba sprawdzać wszystkich trzech nierówności).

`"a)"\ |AB|=3,5\ \ \ \ |BC|=4\ \ \ \ \ |AC|=1,5`

Punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta.

`"b)"\ |AB|=3\ \ \ \ |BC|=3\ \ \ \ \ |AC|=1`

`3+1=4>3`

Punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta.

`"c)"\ |AB|=1+3sqrt2\ \ \ \ |BC|=2+sqrt2\ \ \ \ \ |AC|=2sqrt2`

Nie jestesmy pewnie, który bok jest najdłuższy, więc sprawdzamy trzy warunki:

`1+3sqrt2+2+sqrt2=3+4sqrt2>2sqrt2`

`1+3sqrt2+2sqrt2=1+5sqrt2>2+sqrt2`

`2+sqrt2+2sqrt2=2+3sqrt2>1+3sqrt2`

Punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta.

`"d)"\ |AB|=sqrt2+1\ \ \ \ |BC|=sqrt2+2\ \ \ \ \ |AC|=(sqrt2+1)/(sqrt2-1)`

Usuwamy niewymierność z mianownika długości odcinka AC:

`|AC|=(sqrt2+1)/(sqrt2-1)=((sqrt2+1)^2)/((sqrt2-1)(sqrt2+1))=(2+2sqrt2+1)/((sqrt2)^2-1^2)=3+2sqrt2`

Widzimy, że najdłuższym bokiem jest bok AC. Sprawdzamy więc jedną nierówność:

`sqrt2+1+sqrt2+2=2sqrt2+3`

Punkty A, B, C nie są wierzchołkami trójkąta.

Oś symetrii paraboli...

Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek, zatem:

`x_w = (-a)/2 = -1/2a`

Zatem oś symetrii jest dana równaniem:

`x = -1/2a`

A więc skoro prosta ma przechodzić przez punkt

`(3/2 , 4)`

to znaczy, że `x = 3/2`

`3/2 = -1/2a`

`3 = -a`

`a = -3`

Odpowiedź C

Uzasadnij, że objętość prostopadłościanu

`V=(x-2)*x*(x+4)=(x^2-2x)(x+4)=`

` \ \ \ =x^2(x+4)-2x(x+4)=`

`\ \ \ =x^3+4x^2-2x^2-8x=x^3+2x^2-8x`

`V(2sqrt2)=(2sqrt2)^3+2*(2sqrt2)^2-8*2sqrt2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =8*2sqrt2+2*4*2-16sqrt2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =16sqrt2+16-16sqrt2=16inW`

Prosta x=1 + ...

`x=1+sqrt2 `

`"W przypadku wykresu funkcji kwadratowej równanie osi symetrii jest następujące:"`

`x=x_w`

`x_w=1+sqrt2=(-b)/(2a)`

`"Zauważmy, że powyższą zależność spełnaia funcja"\ f(x)=(1-sqrt2)x^2+2x.`

`x_w=-b/2a=-2/(2-2sqrt2)=(-2(2+2sqrt2))/(4-8)=1+sqrt2`

`"Odpowiedź C."`

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`f:(-5;4]->RR`

`"f jest malejąca w przedziale"\ (-5;0]`

`"Odpowiedź C."`

Wypisz pary trójkątów przystających...

`a)\ Delta ACD equiv Delta BCD`

`b)\ Delta ADE equiv Delta BCF`

`Delta ADG equiv Delta BCG`

`c)\ Delta ACE equiv Delta BCD`

`Delta BCG equiv Delta ACH`

`Delta CDG equiv Delta CEH`

`Delta ADF equiv Delta BEF`

Na ile sposobów

`a)`

Kolejka złożona z dziewięciu osób będzie miała 9 miejsc. Ponumerujmy te osoby od 1 do 9.

Pierwsza osoba może stać na jednym z dziewięciu miejsc - 9 możliwości.

Druga osoba może stać na jednym z ośmiu miejsc - 8 możliwości.

Trzecia osoba może stać na jednym z siedmiu miejsc - 7 możliwości.

Czwarta osoba może stać na jednym z sześciu miejsc - 6 możliwości.

Piąta osoba może stać na jednym z pięciu miejsc - 5 możliwości.

Szósta osoba może stać na jednym z czterech miejsc - 4 możliwości.

Siódma osoba może stać na jednym z trzech miejsc - 3 możliwości.

Ósmaa osoba może stać na jednym z dwóch miejsc - 2 możliwości.

Dziewiąta osoba może stać na jednym miejscu - 1 możliwość.

Zgodnie z regułą mnożenia liczba tych możliwości jest równa:

`9*8*7*6*5*4*3*2*1=362\ 880`

Jest to permutacja zbioru 9-elementowego.

`b)`

Na pierwszym miejscu może stać jedna z czterech dziewcząt - 4 możliwości.

Na drugim miejscu może stać jedna z trzech pozostałych dziewcząt - 3 możliwości.

Na trzecim miejscu może stać jedna z dwóch pozostałych dziewcząt - 2 możliwości.

Na czwartym miejscu może stać jedna (ostatnia) dziewczyna - 1 możliwość.

Na piątym miejscu może stać jeden z pięciu chłopców - 5 możliwości.

Na szóstym miejscu może stać jeden z czterech pozostałych chłopców - 4 możliwości.

Na siódmym miejscu może stać jeden z trzech pozostałych chłopców - 3 możliwości.

Na ósmym miejscu może stać jeden z dwóch pozostałych chłopców - 2 możliwości.

Na dziewiątym miejscu może stać jeden (ostatni) chłopiec - 1 możliwość.

Zgodnie z regułą mnożenia liczba tych możliwości jest równa:

`4*3*2*1*5*4*3*2*1=2880`

Jest to iloczyn permutacji zbioru 4-elemenotwego i permutacji zbioru 5-elementowego.

`c)`

Rozumowanie przebiega tak, jak poprzednio.

`#underbrace(6*5*4*3*2*1)_("chłopcy")*#underbrace(3*2*1)_("dziewczęta")=4320`

Naszkicuj wykres zależności między czasem t w godzinach

`v=s/t\ \ \ =>\ \ \ v=270/t,\ \ \ v in <<30,\ 120>>`

Jeśli v jest niewiększe niż 120 i niemniejsze od 30, to zobaczmy, jakie wartości ekstremalne może przyjmować t:

`30=270/t\ \ \ =>\ \ \ t=270/30=9`

`120=270/t\ \ \ =>\ \ \ t =270/120=2,25`

`t in <<2,25;\ 9>>`

Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji:

`t=2 1/4\ \ \ =>\ \ \ v=120\ \ \ =>\ \ \ (2 1/4,\ 120)`

`t=3\ \ \ =>\ \ \ v=270/3=90\ \ \ =>\ \ \ (3,\ 90)`

`t=4\ \ \ =>\ \ \ \ v=270/4=67 1/2\ \ \ =>\ \ \ (4,\ 67 1/2)`

`t=5\ \ \ =>\ \ \ v=270/5=54\ \ \ =>\ \ \ (5,\ 54)`

`t=6\ \ \ =>\ \ \ v=270/6=45\ \ \ =>\ \ \ (6,\ 45)`

`t=8\ \ \ =>\ \ \ v=270/8=33 3/4\ \ \ =>\ \ \ (8,\ 33 3/4)`

`t=9\ \ \ =>\ \ \ v=30\ \ \ =>\ \ \ (9,\ 30)`

Trzy osoby przepisały wykład...

`4 \ "h" \ 10 \ "min"=4*60+10 \ "min"=250 \ "min"`

`3*250=5*x`

`750=5*x \ \ \ |:5`

`150=x`

`150 \ "min"=2*60+ 30 \ "min"=2 \ "h" \ 30 \ "min"`

Odp. B

Rozwiąż trójkąt prostokątny ABC...

a) Rysunek poglądowy:

`tg \ 56^o = b/6`

`b = tg \ 56^o * 6 approx 1,4826 * 6 approx 8,8956 approx 8,9`

`cos 56^o = 6/c`

`c = 6/(cos56^o) approx 6/(0,5592) approx 10,72 approx 10,7`

b) Rysunek poglądowy:

`sin 66^o = b/10`

`b = sin 66^o * 10 approx 0,9135 * 10 approx 9,1`

`cos 66^o = a/10`

`a = cos66^o* 10 approx 0,4067 * 10 = 4,067 approx 4,1`