Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$
$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $sin x$ i $cos y$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $cos y$ na $sin (90°-y)$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$
$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$
$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$
$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$

Oraz:

$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$
$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Trójkąt równoramienny o podstawie ...

Rysunek pomocniczy: {premium}

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

Odp. Promień wspólnej podstawy otrzymanych w ten sposób stożków wynosi 4 cm.

W trapezie równoramiennym ...

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

Funkcję f określa wzór...

a) Wykres funkcji g powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w lewo, zatem:

 

więc:{premium}

 


b) Naszkicujmy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych:


c) Miejsce zerowe funkcji f to x=0, natomiast miejsce zerowe funkcji g to x=-2, zatem miejsce zerowe funkcji g jest o 2 mniejsze od miejsca zerowego funkcji f. (Różnica miejsc zerowych tych funkcji jest równa pierwszej współrzędnej wektora przesunięcia).

Ciąg (a_n) jest określony ...

Wzór ogólny ciągu (an) ma postać: 

 


Wyznaczamy pierwszy, trzeci i siódmy wyraz tego ciągu. 

 
{premium}

 

 


Obliczamy ile wynosi wartość podanego wyrażenia. 

 


Poprawna odpowiedź: D. 3 

Oceń prawdziwość podanych zdań ...

Rozwiązujemy układ równań:

 

 

 

 

 {premium}

Rozwiązujemy równanie kwadratowe

  

 - równanie ma jedno rozwiązanie.

 

Wyznaczamy  dla :

.

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb 

 

 

A. prawda

B. fałsz

C. prawda

Funkcja kwadratowa jest określona ...

Treść:

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=-2(x+3)(x-5). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem

A. x1+x2=-8

B. x1+x2=-2

C. x1+x2=2

D. x1+x2=8


Rozwiązanie:

Z postaci iloczynowej funkcji f możemy odczytać miejsca zerowe.

 

Zatem:

 

 

Odp. C

 

Wyznacz punkty przecięcia paraboli...

a) Wykres funkcji przecina oś Y dla argumentu x=0. Obliczamy wartość funkcji f(x)=3x2-12x dla tego argumentu:{premium}

 

Parabola przecina oś Y w punkcie (0, 0).

Obliczamy miejsca zerowe funkcji f:

 

 

 

 

 

 

Parabola przecina oś X w punktach (0, 0) oraz (4, 0).


b) Wykres funkcji przecina oś Y dla argumentu x=0. Obliczamy wartość funkcji f(x)=3x2-12 dla tego argumentu:

 

Parabola przecina oś Y w punkcie (0, -12).

Obliczamy miejsca zerowe funkcji f:

 

 

 

 

 

 

 

Parabola przecina oś X w punktach (-2, 0) oraz (2, 0).


c) Wykres funkcji przecina oś Y dla argumentu x=0. Obliczamy wartość funkcji f(x)=3x2+12 dla tego argumentu:

 

Parabola przecina oś Y w punkcie (0, 12).

Obliczamy miejsca zerowe funkcji f:

 

 

 

 

Powyższe równanie jest sprzeczne, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Wynika stąd, że parabola nie przecina osi X.


d) Wykres funkcji przecina oś Y dla argumentu x=0. Obliczamy wartość funkcji f(x)=900x2+4x dla tego argumentu:

 

Parabola przecina oś Y w punkcie (0, 0).

Obliczamy miejsca zerowe funkcji f:

 

 

 

 

 

 

Parabola przecina oś X w punktach (0, 0) oraz  


e) Wykres funkcji przecina oś Y dla argumentu x=0. Obliczamy wartość funkcji f(x)=900x2+4 dla tego argumentu:

 

Parabola przecina oś Y w punkcie (0, 4).

Obliczamy miejsca zerowe funkcji f:

 

 

 

 

Powyższe równanie jest sprzeczne, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Wynika stąd, że parabola nie przecina osi X.


f) Wykres funkcji przecina oś Y dla argumentu x=0. Obliczamy wartość funkcji f(x)=900x2-4 dla tego argumentu:

 

Parabola przecina oś Y w punkcie (0, -4).

Obliczamy miejsca zerowe funkcji f:

 

 

 

 

 

 

 

Parabola przecina oś X w punktach   oraz  

Trzy liczby, których suma jest równa...

(a, b, c) - ciąg geometryczny

(3a, 2b, c) - ciąg arytmetyczny


Mamy dane:

 


Z zależności między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego:

 {premium}


Z zależności między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego:

 

 

 


Tworzymy układ równań.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

 

 

 

 


Dla b=9:

 

 


Dla b=13:

 

 


Odp. Szukane liczby to 13, 13, 13 lub 3, 9, 27.

Rozwiązanie równania...

Rozwiążmy podane równanie: {premium}

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

 

Odp.: B

Oblicz długości odcinków na jakie...

Stosujemy twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego dla trójkąta ABC{premium}