Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$
$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $sin x$ i $cos y$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $cos y$ na $sin (90°-y)$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$
$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$
$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$
$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$

Oraz:

$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$
$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz współrzędne takiego punktu C, dla którego trójkąt ABC jest...

Długość odcinka AB:

 

Zauważmy, że odcinek AB jest średnicą okręgu gdyż:

 

 

Wiemy, że kąt oparty na średnicy jest kątem prostym. Skoro odcinek AB jest średnicą okręgu to dowolny punkt C leżący na okręgu (różny od punktów A i B) utworzy z tymi punktami trójkąt prostokątny.

Podaj warunki, dla których wyrażenie...

a) Jeżeli mianownik będzie różny od 0 to wyrażenie ma sens liczbowy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Jeżeli mianownik będzie różny od 0 to wyrażenie ma sens liczbowy.

 

 

 

 

 

 

 

 

c) Jeżeli mianownik będzie różny od 0 to wyrażenie ma sens liczbowy.

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

d) Jeżeli mianownik będzie różny od 0 to wyrażenie ma sens liczbowy.

 

 

 

 

 

 

 

e) Jeżeli mianownik będzie różny od 0 to wyrażenie ma sens liczbowy.

 

  

 

 

 

  

 

 

 

f) Jeżeli mianownik będzie różny od 0 to wyrażenie ma sens liczbowy.

 

 

 

 

 

 

 

 

g) Jeżeli mianownik będzie różny od 0 to wyrażenie ma sens liczbowy.

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

h) Jeżeli mianownik będzie różny od 0 to wyrażenie ma sens liczbowy.

 

 

 

 

 

 

 

Podaj stopień wielomianu.

Przypomnijmy potrzebne definicje:

Jeżeli jednomian zmiennych xy jest postaci axnym i a≠0 jest ustaloną liczbą rzeczywistą, zaś wykładniki n oraz m są ustalonymi liczbami naturalnymi, to stopniem jednomianu jest liczba n+m.

Stopniem wielomianu (sumy algebraicznej) nazywamy największy ze stopni jednomianów wchodzących w jego skład po redukcji wyrazów podobnych.{premium}


a) 9

b) 5, bo stopień każdego jednomianu jest równy 5

Suma drugiego i czwartego wyrazu ciągu...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Sprawdźmy który wyraz jest równy 40:

 

 

 

 

Szesnasty wyraz ciągu jest równy 40.

Ile jest piętnastocyfrowych liczb naturalnych ...

Suma cyfr równa 3 oraz występuje cyfra 3:

Takich możliwości jest 1, ponieważ na pierwszym miejscu umieszczamy 3, a na pozostałych miejscach umieszczamy zero.  {premium}

 

Suma cyfr równa 3 oraz występuje raz cyfra 2 i raz cyfra 1:

Takich możliwości jest (pamiętamy że na pierwszym miejscu nie może być 0, czyli musi być 1 lub 2):

 

 

Suma cyfr równa 3 oraz występuje trzy razy cyfra 1:

Takich możliwości jest (pamiętamy że na pierwszym miejscu nie może być 0, czyli musi być 1):

 

 

Ilość wszystkich możliwości:

 

Na ile sposobów można ustawić...

Reguła mnożenia:

Jeżeli doświadczenie można{premium} wykonać w m kolejnych etapach, takich, że w pierwszym etapie jest k1 wyników, w drugim - k2, w trzecim - k3, ..., a w m-tym - km, to moc zbioru wyników doświadczenia jest wyrażona iloczynem k1٠k2٠k3٠...٠km.


Na pierwszym miejscu musi stać pies, więc wybieramy go z trzech możliwości, drugie miejsce wybieramy z czterech możliwości, trzecie - z trzech, czwarte - z dwóch i na piątym miejscu mamy już tylko jedną możliwość. Zatem, zgodnie z regułą mnożenia, zwierzęta można ustawić na 3٠4٠3٠2٠1=72 sposoby.

Jaką kwotą będziemy dysponowali ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

Zapisz symbolicznie trzy kolejne wyrazy ciągu...

Trzy kolejne wyrazy ciągu{premium} występujące bezpośrednio po wyrazie a2n to a2n+1, a2n+2, a2n+3.

Podaj przykład ...

  

   

  

Oblicz a1 i q...