Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Suma i różnica funkcji

Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$$
$$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$$
$$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $$sin x$$ i $$cos y$$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $$cos y$$ na $$sin (90°-y)$$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$$
$$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$$
$$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$$
$$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$$

Oraz:

$$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$$
$$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na kole o promieniu 2 opisano trapez ...

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

 

     {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W czworokąt wypukły można wpisać okręg wtedy i tylko wtedy,

gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe, zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Łączymy odpowiednio środki ścian...

Policzmy długość krawędzi ośmiościanu, ośmiościan to dwa sklejone ze sobą podstawami ostrosłupy prawidłowe czworokątne. Rysunek ostrosłupa:

Przekątna kwadratu jest równa długości krawędzi sześcianu. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest połową długości krawędzi sześcianu.

 

 

Długość krawędzi policzymy z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

Ścianą ośmiościanu jest trójkąt równoboczny. Mamy 8 takich trójkątów a więc pole powierzchni to ośmiokrotne pole trójkąta równobocznego.

Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a:

 

Pole powierzchni całkowitej

 

 

Ośmiościan to dwa ostrosłupy czworokątne prawidłowe sklejone podstawami. Objętość ostrosłupa możemy obliczyć ze wzoru:

 

Wiemy, że przekątna kwadratu jest dana wzorem:

 

  

 

 

 

Obliczmy podwojoną objętość ostrosłupa żeby poznać objętość ośmiościanu.

 

Asymptotą poziomą wykresu ...

 

       

Asymptoty:

 

  

 

     

Zbiorem wartości funkcji...

Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji:

 

jest zbiór:

 

 

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji g o 2 jednostki w lewo to otrzymamy:

 

skoro przesuwamy równoległe do osi X to znaczy, że zbiór wartości będzie taki sam.

 

Odpowiedź D

Rozwiąż równania:

 

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

Rozwiązujemy równanie  dla  

 

Rozwiązujemy równanie  dla  

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

Podstawiamy  

 

 

Rozwiązujemy równanie  dla  

 

Rozwiązujemy równanie  dla  

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

Rozwiązujemy równanie  dla  

 

  

 

 

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

Rozwiązujemy równanie  dla  

 

 

 

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ...

Dane z treści zadania:

 

     {premium}

 

Łatwo zauważyć, że odcinki DB i DC mają taką samą długość (są to przekątne prostokąta o bokach długości 3 cm i 6 cm).

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy wysokość trójkąta BCD korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W trójkącie ABC dane są: |AB|=8...

Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

 

 

 

Z twierdzenia sinusów wynika, że:

  

 

Obliczamy miarę kąta  

 

 

 

 

Obliczamy długość boku   

 

 

  

Obliczamy długość boku   

 

 

Obliczamy obwód trójkąta: 

  

 

Obliczamy pole trójkąta:

 

       

Które wyrazy ciągu arytmetycznego...

Rozwiążmy nierówność:

Wyrazy należące do przedziału (100; 200] to:

 

 

 

 

Funkcja kwadratowa ...

 

 

 

 

 

 

 

     

 

Na diagramie kołowym przedstawiono, ile procent ...

Średni czas poświęcony na codzienną naukę w domu: {premium}

 

 

 

 

Odp. A