Suma i różnica funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

a) Rysunek pomocniczy:

{premium}

Proste AB i AC przecinają oś Y w punkcie (0, 0), więc mają równania:

Podstawiamy współrzędne punktu B do wzoru prostej AB i wyznaczamy a₁.

Podstawiamy współrzędne punktu C do wzoru prostej AC i wyznaczamy a₂.

Dla wyznaczonych wartości a₁ i a₂ wzory prostych przyjmują postać:

Mamy:

Współczynniki kierunkowe prostych AB i AC spełniają warunek a₁٠a₂=-1, więc proste AB i AC są prostopadłe. Stąd trójkąt ABC jest prostokątny.

Niech:

Podstawiamy współrzędne punktów B i C do równania prostej BC i wyznaczamy współczynniki a oraz b.

Podstawiamy b=6a+8 do pierwszego równania w układzie.

Podstawiamy a=-1/7 do drugiego równania w układzie.

Dla wyznaczonych wartości a i b równanie prostej BC przyjmuje postać:

Podsumowując:

Trójkąt ABC jest prostokątny.

b) Rysunek pomocniczy:

Oznaczmy:

Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych:

Dla wyznaczonych wartości a₁, a₂ i a₃ wzory prostych przyjmują postać:

Mamy:

Współczynniki kierunkowe prostych AC i BC spełniają warunek a₂٠a₃=-1, więc proste AC i BC są prostopadłe. Stąd trójkąt ABC jest prostokątny.

Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej AB i wyznaczamy b₁:

Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej AC i wyznaczamy b₂:

Podstawiamy współrzędne punktu B do równania prostej BC i wyznaczamy b₃:

Dla wyznaczonych wartości b₁, b₂ i b₃ wzory prostych przyjmują postać:

Trójkąt ABC jest prostokątny.

{premium}   

Istnieje taka funkcja, {premium} ponieważ wszystkie funkcje liniowe przechodzące jednocześnie przez podane ćwiartki są malejące.

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}

{premium}   

Z twierdzenia o kątach środkowych i wpisanych:

{premium}  

Funkcja logarytmiczna jest postaci:

`y=log_a x` 

Z treści zadania wiemy, że punkt A należy do wykresu tej funkcji.

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy: {premium}

Wzór tej funkcji:

Wykres tej funkcji:

Własności tej funkcji:

1. Dziedziną funkcji f jest zbiór (0, +∞).

2. Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.

3. Funkcja ma miejsce zerowe x=1.

4. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla (0,1), a wartości ujemne dla (1,+∞).

5. Wykres funkcji f nie ma z osią OY punktu wspólnego.

6. Funkcja f jest różnowartościowa.

7. Funkcja f jest funkcją malejącą.

a) Kąty wierzchołkowe mają równe miary, zatem:{premium}

Kąt półpełny ma miarę 180^o, czyli:

b) Kąty wierzchołkowe mają równe miary:

Kąt półpełny ma miarę 180^o, czyli:

c) Kąt półpełny ma miarę 180^o, czyli:

{premium}  

Wyróżnik trójmianu:

Trójmian nie ma miejsc zerowych.

a)

Korzystając z tw. o siecznych:

b)

Korzystając z tw. o siecznych:

{premium}  

c)

Korzystając z tw. o siecznej i stycznej:

d)

Korzystając z tw. o siecznej i stycznej:

e)

Korzystając z tw. o stycznych:

f)

Korzystając z tw. o stycznej i siecznej: