Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $$V = P_p×H$$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są: ...

`sinalpha=2/3` 

`sin^2 alpha+cos^2 alpha=1` 

`(2/3)^2+cos^2 alpha=1` 

`4/9+cos^2alpha=1 \ \ \ |-4/9` 

`cos^2alpha=5/9` 

`alpha in (pi/2, pi ) \ \ \ "więc" \ \ \ cosalpha < 0` 

`cosalpha=-sqrt5/3` 

 

`cosbeta=-2/7` 

`sin^2beta+cos^2beta=1` 

`sin^2beta+(-2/7)^2=1` 

`sin^2beta+4/49=1 \ \ \ |-4/49` 

`sin^2beta=45/49` 

`beta in (pi, 3/2pi) \ \ \ "więc" \ \ \ sinbeta < 0` 

`sinbeta=-sqrt45/7=-(3sqrt5)/7` 

 

a)

`"sin"(alpha+beta)="sin"alpha"cos"beta+"cos"alpha"sin"beta=2/3*(-2/7)+(-sqrt5/3)*(-(3sqrt5)/7)=-4/21+15/21=11/21` 

b)

`"cos"(alpha+beta)="cos"alpha"cos"beta-"sin"alpha"sin"beta=(-sqrt5/3)*(-2/7)-2/3*(-(3sqrt5)/7)=(2sqrt5)/21+(6sqrt5)/21=(8sqrt5)/21` 

c)

`"sin"(alpha-beta)="sin"alpha"cos"beta-"cos"alpha"sin"beta=2/3*(-2/7)-(-sqrt5/3)*(-(3sqrt5)/7)=-4/21-15/21=-19/21` 

d)

`"cos"(alpha-beta)="cos"alpha"cos"beta+"sin"alpha"sin"beta=(-sqrt5/3)*(-2/7)+2/3*(-(3sqrt5)/7)=(2sqrt5)/21-(6sqrt5)/21=(-4sqrt5)/21` 

Wyznacz współczynniki a i b we wzorze funkcji liniowej

Wystarczy podstawić pierwszą współrzędną w miejsce x, a drugą współrzędną w miejsce y. 

 

`a)`

`{(2=a*0+b), (7=a*1+b):}`

`{(b=2), (7=a+2):}`

`{(b=2), (a=7-2=5):}`

 

 

`b)`

`{(-3=a*0+b), (-3=a*1+b):}`

`{(b=-3), (-3=a-3):}`

`{(b=-3), (a=-3+3=0):}`

 

 

 

`c)`

`{(-2=a*0+b), (4=a*1+b):}`

`{(b=-2), (4=a-2):}`

`{(b=-2), (a=4+2=6):}`

 

 

`d)`

`{(1=a*0+b), (-1=a*1+b):}`

`{(b=1), (-1=a+1):}`

`{(b=1), (a=-1-1=-2):}`

 

 

`e)`

`{(0=a*0+b), (0=a*1+b):}`

`{(b=0), (0=a+0):}`

`{(b=0), (a=0):}`

 

 

`f)`

`{(sqrt2=a*0+b), (2sqrt2=a*1+b):}`

`{(b=sqrt2), (2sqrt2=a+sqrt2):}`

`{(b=sqrt2), (a=2sqrt2-sqrt2=sqrt2):}`

Punkt P jest środkiem krawędzi sześcianu...

Zauważmy, że długość odcinka AP jest taka sama jak długość odcinka PC.

Obliczmy długość tego odcinka korzystając z tw. Pitagorasa

`a^2+(1/2a)^2=b^2` 

`a^2+1/4a^2=b^2` 

`5/4a^2=b^2` 

`sqrt5/2a=b` 

{premium}

Obliczmy wysokość trójkąta, który jest zaznaczonym przekrojem.

`h^2+((asqrt2)/2)^2=b^2` 

`h^2+(2a^2)/4=5/4a^2` 

`h^2=3/4a^2` 

`h=sqrt3/2a` 

 

Obliczmy odległość punktu S od punktu E.

Zauważmy, że w trójkącie BPE:

`cosalpha=((asqrt2)/2)/(sqrt3/2a)=(sqrt2/2)/(sqrt3/2)=sqrt2/2*2/sqrt3=sqrt2/sqrt3=sqrt6/3` 

W trójkącie BSE:

`cosalpha=(SE)/((asqrt2)/2)` 

`sqrt6/3=(SE)/((asqrt2)/2)` 

`sqrt6/3*(asqrt2)/2=SE` 

`(asqrt12)/6=SE` 

`(a*2sqrt3)/6=SE` 

`(asqrt3)/3=SE` 

`((asqrt2)/2)^2+SE^2=AS^2` 

`(2a^2)/4+(sqrt3/3a)^2=AS^2` 

`1/2a^2+3/9a^2=AS^2` 

`3/6a^2+2/6a^2=AS^2` 

`5/6a^2=AS^2` 

`sqrt5/sqrt6a=AS` 

`sqrt30/6a=AS` 

 

Rozwiąż nierówność

`a)`

Najpierw uprościmy wyrażenia znajdujące się po lewej stronie nierówności. 

`sqrt((4-2sqrt2)^2)=|4-2sqrt2|\ \ #=^(^(4-2sqrt2~~4-2*1,41>0))\ \ 4-2sqrt2`

`sqrt((4-3sqrt2)^2)=|4-3sqrt2|\ \ #=^(^(4-3sqrt2~~4-3*1,41<0))\ \ -(4-3sqrt2)=-4+3sqrt2`

`sqrt((4-2sqrt2)^2)+sqrt((4-3sqrt2)^2)=4-2sqrt2-4+3sqrt2=sqrt2`

 

Przechodzimy do rozwiązania nierówności:

`|x|<=sqrt((4-2sqrt2)^2)+sqrt((4-3sqrt2)^2)`

`|x|<=sqrt2`

Odległość liczby x od zera na osi liczbowej jest nie większa od pierwiastka z dwóch.

`x in <<-sqrt2;\ sqrt2>>`

 

 

 

 

`b)`

Najpierw uprościmy wyrażenia znajdujące się po lewej stronie nierówności. 

`sqrt((3-2sqrt3)^2)=|3-2sqrt3|\ \ #=^(^(3-2sqrt3~~3-2*1,73<0))\ \ -(3-2sqrt3)=-3+2sqrt3`

`sqrt((2sqrt3-2)^2)=|2sqrt3-2|\ \ #=^(^(2sqrt3-2~~2*1,73-2>0))\ \ 2sqrt3-2`

`sqrt((3-2sqrt3)^2)-sqrt((2sqrt3-2)^2)=-3+2sqrt3-(2sqrt3-2)=-3+2sqrt3-2sqrt3+2=-1`

 

Przechodzimy do rozwiązania nierówności:

`|x+1|>=sqrt((3-2sqrt3)^2)-sqrt((2sqrt3-2)^2)`

`|x+1|>=-1`

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Powyższa nierówność będzie więc prawdziwa zawsze.  

`x in RR`

Uporządkuj liczby

`a=(1-0,125*1/2)/(7/8-8/7)=(1-1/8*1/2)/(49/56-64/56)=(1-1/16)/(-15/56)=(15/16)/(-15/56)=15/16:(-15/56)=strike15^1/16*(-56/strike15^1)=-56/16=-7/2=-3 1/2`

 

`b=2 3/5*4 6/11*3 5/13*(-1/4)=strike13^1/strike5^1*strike50^10/11*44/strike13^1*(-1/4)=10/strike11^1*strike44^4*(-1/4)=strike40^10*(-1/strike4^1)=-10`

 

`c=24/11*1,5*2,75*(-1 1/3)=24/11*1 1/2*2 3/4*(-4/3)=strike24^6/strike11^1*3/2*strike11^1/strike4^1*(-4/3)=strike6^3*3/strike2^1*(-4/3)=strike9^3*(-4/strike3^1)=-12`

 

Porządkujemy liczby w kolejności rosnącej:

`c<b<a`

               

Turysta przebył 600 km ...

`x-"liczba kilometrów jaką turysta pokonywał jednego dnia"` 

`t-"liczba dni podróży turysty"` 

`x,t>0` 

 

`{(xt=600),((x+10)(t-5)=600):}` 

`x=600/t` 

`(600/t+10)(t-5)=600` 

`600+10t-3000/t-50=600` 

`10t^2-50t-3000=0` 

`t^2-5t-300=0` 

`Delta=25+1200=1225` 

`sqrtDelta=35` 

`t_1=(5-35)/2=-15notinD`  

`t_2=(5+35)/2=20` 

Turysta był 20 dni w drodze.

W ciągu określonym wzorem ogólnym...

`a_n=3n^2-99` 

`3n^2-99 < 0` 

`3n^2< 99 \ \ \ |:3` 

`n^2< 33` 

`n in {1, 2, 3, 4, 5}` 

 

Odp. D

Na rysunku obok kąt ostry ...

`h-"wysokość trapezu"` 

`P_1=|AB|*h` 

`P_2=|CD|*h`     

 

`P_1=P_2` 

 

`"Odpowiedż C."` 

Sinus jednego z kątów ostrych...

`sin alpha = a/c` 

`a/c = 1/4` 

`4a = c` 

Oznaczmy długość drugiej przyprostokątnej przez b, wtedy z twierdzenia Pitagorasa:

`a^2 + b^2 = c^2` 

`a^2 + b^2 = (4a)^2` 

`a^2 + b^2 = 16a^2` 

`b^2 = 15a^2` 

`b = sqrt15a` 

 

`"Dla" \ a = 1` 

`b = sqrt15` 

Odpowiedź D

Przeczytaj informacje w ramce.

`"a)"\ x^3-6x^2+18x-18=0`

Zgodnie z informacją w ramce:

`a_2=-6`

`x=y-(a_2)/3=y-((-6)/3)=y+2`

Wykonujemy podstawienie. W miejsce x wstawiamy y+2.

`(y+2)^3-6(y+2)^2+18(y+2)-18=0`

`y^3+6y^2+12y+8-6(y^2+4y+4)+18y+36-18=0`

`y^3+strike(6y^2)+12y+8-strike(6y^2)-24y-24+18y+18=0`

`y^3+6y+2=0`

`y^3+6y=-2`

Szukamy pierwiastka równania korzystajac ze wzoru Cardano dla:

`a=6`

`b=-2`

Podstawiamy a i b do wzoru:

`y=root(3)(b/2+sqrt((b/2)^2+(a/3)^3))-root(3)(-\ b/2+sqrt((b/2)^2+(a/3)^3))`

`y=root(3)(((-2)/2)+sqrt(((-2)/2)^2+(6/3)^3))-root(3)(-((-2)/2)+sqrt(((-2)/2)^2+(6/3)^3))`

`y=root(3)(-1+sqrt(9))-root(3)(1+sqrt(9))`

`y=root(3)(-1+3)-root(3)(1+3)`

`y=root(3)(2)-root(3)(4)`

Wykonywaliśmy podstawienie, dlatego obliczony y wstawiamy do wzoru: x=y+2.

Stąd:

`x=y+2=root(3)2-root(3)4+2`

Odp: Pierwiastkiem wyjsciowego równania jest otrzymany ³√ 2-³√ 4+2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Równanie 1:

`x^3+3x^2+9x+9=0`

Równanie 2:

`x^3-3x^2+9x-5=0`

Chcemy uzasadnić, że istnieje taki pierwiastek x1 równania 1 oraz taki pierwiastek x2 równania 2, że x2-x1=2.

Oba równania musimy doprowadzić do postaci: x3+ax=b.

W tym celu będziemy wykonywać podstawienie x=y-a2/3.

Popatrzmy na równanie 1:

`a_2=3`

Stąd w miejsce x będziemy podstawiać:

`x=y-3/3=y-1`

`(y-1)^3+3(y-1)^2+9(y-1)+9=0`

`y^3-strike(3y^2)+3y-1+strike(3y^2)-6y+3+9y-strike(9)+strike(9)=0`

`y^3+6y+2=0`

`y^3+6y=-2`

 `ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Popatrzmy na równanie 2:

`a_2=-3`

Stąd w miejsce x będziemy podstawiać:

`x=y-(-3)/3=y+1`

`(y+1)^3-3(y+1)^2+9(y+1)-5=0`

`y^3+strike(3y^2)+3y+1-strike(3y^2)-6y-3+9y+4=0`

`y^3+6y+2=0`

`y^3+6y=-2`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Oba równania doprowadziliśmy do takiej samej postaci.

Znajdźmy rozwiązanie równania y3+6y=-2 korzystając ze wzoru Cardano.

`a=6`

`b=-2`

`y=root(3)(b/2+sqrt((b/2)^2+(a/3)^3))-root(3)(-\ b/2+sqrt((b/2)^2+(a/3)^3))`

`y=root(3)((-2)/2+sqrt(((-2)/2)^2+(6/3)^3))-root(3)(-(-2)/2+sqrt(((-2)/2)^2+(6/3)^3))`

`y=root(3)(-1+sqrt(1+8))-root(3)(1+sqrt(1+8))`

`y=root(3)(-1+3)-root(3)(1+3)`

`y=root(3)(2)-root(3)(4)`

Pamiętamy, że wykonywaliśmy podstawienia. 

Dla pierwszego równania: x=y-1. Stąd:

`x_1=root(3)2-root(3)4-1`

Dla drugiego równania: x=y+1. Stąd:

`x_2=root(3)2-root(3)4+1`

Obliczmy różnicę: x2-x1 

`x_2-x_1=(root(3)2-root(3)4+1)-(root(3)2-root(3)4-1)=root(3)2-root(3)4+1-root(3)2+root(3)4+1=2`

Uzasadniliśmy, że istanieją takie pierwiastki równania 1 oraz równania 2, że różnica x2-x1=2.