Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $V = P_p×H$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ równań i podaj jego ...

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

  

Którą z podanych nierówności...

Sprawdźmy A.

Założenie  

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

Narysujmy ten wielomian i odczytajmy rozwiązanie z rysunku.

 

 

Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy:

 

Jest to suma przedziałów jaką chcieliśmy uzyskać.

 

Odp. A

Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych ...

Zacznijmy od przykładu i poszukajmy jakiejś liczby naturalnej, która przy dzieleniu przez   daje resztę  ,

np.  .

 

Liczbę taką można przedstawić w postaci

 , 

gdzie   jest szukaną liczbą, a   jest dowolną liczbą naturalną (bo   jest liczbą naturalną).

 

Następną liczbą naturalną, która przy dzieleniu przez   daje resztę  , jest liczba o   większa od  , czyli {premium}

 .

 

Suma kwadratów tych liczb jest równa  

 .

Wyznaczamy  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  jest liczbą naturalną, więc

 .

Wyznaczamy  

 

oraz  

 .

 

Szukane liczby to:   i  .

Obwód czworokąta jest równy 52 cm

Rysunki są tylko pomocnicze - trójkąt równoboczny nie musi wyglądać na nim jak rówboboczny, ważne są długości boków, które oznaczamy literą x. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest ramieniem trójkąta równoramiennego. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest podstawą trójkąta równoramiennego. 

 

{premium}

`4x=46`

`x=46/4=23/2=11,5`

W pierwszym przypadku boki czworokąta mają długość 11,5 cm, 11,5 cm, 11,5 cm oraz 17,5 cm. 

 

 

`4x-12=52\ \ \ |+12`

`4x=64\ \ \ |:4`

W drugim przypadku boki czworokąta mają długość 16 cm, 16 cm, 10 cm, 10 cm. 

W trapezie ABCD, w którym...

Rysunek poglądowy:{premium}

Trójkąty DCE i ABE są podobne, wyznaczmy skale podobieństwa:

 

Skala podobieństwa pól jest kwadratem skali podobieństwa boków:

 

 

 

  

Pole trapezu:

 

Wyznacz współrzędne środka okręgu o średnicy PQ

a)

Współrzędne środka okręgu:

{premium}

Promień:

b)

Współrzędne środka okręgu:

Promień:

Oblicz podaną sumę:

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

 

 

 

{premium}  

   

 

Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

  

 

 

 

   

 

Zatem:

   

W jakich punktach przecinają się wykresy ...

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia tych wykresów.

 {premium}

 

 

 

 


Podstawiamy pomocniczą zmienną.

 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

 

 

 

 


Mamy więc:

 - równanie sprzeczne

 


Wyznaczamy drugą współrzędną puntu przecięcia.

 


Wykresy tych funkcji przecinają się w punkcie o współrzędnych .

 

Rozłóż sumę algebraiczną...

{premium}

 

 

 

 

 

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem ...

Przekrój osiowy stożka ma kształt trójkąta równobocznego o boku długości 6. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}

Średnica podstawy stożka ma długość 6. 

Promień podstawy ma długość: 

 

Pole podstawy wynosi: 

 


Wysokość trójkąta będącego przekrojem jest jednocześnie wysokością stożka. 

Wysokość stożka ma więc długość: 

 


Objętość stożka wynosi: 

 

  


Poprawna odpowiedź: D.