Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $$V = P_p×H$$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres funkcji

`a)` 

`"wektor przesunięcia:"\ \ \ vecu=[0,\ 3]`  

`"wzór funkcji:"\ \ \ g(x)=2/x+3`  

`"zbiór wartości:"\ \ \ g(D_g)=RR\\{3}`  

`"asymptota pozioma:"\ \ \ y=3` 

 

 

 

`b)` 

`"wektor przesunięcia:"\ \ \ vecu=[0,\ -2]` 

`"wzór funkcji:"\ \ \ g(x)=2/x-2` 

`"zbiór wartości:"\ \ \ RR\\{-2}` 

`"asymptota pozioma:"\ \ \ y=-2` 

 

Określ dziedzinę funkcji ...

`a)` 

`f(x)=1/x + sqrt(x+2)` 

`D_f ` 

`x ne 0` 

`x+2 >=0\ implies \x>=-2` 

`D_{f}=[-2;0) cup (0;+infty)`  

 

`b)` 

`f(x)=1/(x-3) +sqrt(x)` 

`D_f` 

`x-3 ne 0 \ implies\ x ne 3` 

`x>=0` 

`D_{f}=[0;3) cup(3;+infty)`  

 

`c)` 

`f(x)=1/(xsqrt(x+3))` 

`D_f` 

`x+3> - 0\ implies \ x>=-3` 

`xsqrt(x+3)ne0` 

`x ne 0\ \ \wedge\ \ \sqrt(x+3) ne 0` 

`x ne0\ \ \ wedge\ \ \ xne -3` 

`D_{f}=(-3;+infty)\\{0}`   

`d)`

`f(x)=1/((x-2)sqrt(x-1)` 

`D_f` 

`x-1>=0\ implies \ x>=1` 

 

`(x-2)sqrt(x-1) ne0` 

`x-2 ne0 \ \ \wedge\ \ \sqrt(x-1) ne 0` 

`x ne 2 \ \ \wedge\ \ \x ne 1` 

 `D_{f}=(1;+infty)\\{2}`  

`e)` 

`f(x)=sqrt(x)/sqrt(4-x)` 

`D_f` 

`x>=0` 

 

`4-x>=0\ implies\ x<=4` 

 

`sqrt(4-x) ne 0` 

`4-x ne 0` 

`x ne 4` 

`D_{f}=[0;4)`   

`f)` 

`f(x)=sqrt(6-x)/sqrt(x+2)` 

`D_f` 

`6-x>=0\ implies \ x<=6` 

 

`x+2>=0\ implies \ x>=-2` 

 

`sqrt(x+2) ne 0` 

`x+2 ne 0` 

`x ne -2` 

`D_{f}=(-2;6]` 

Udowodnij, że jeśli...

Odcinek AB jest wspólny dla obu trójkątów EAB i DBA. Skoro:

`/_EAB = /_DBA` 

`|EA|=|DB|` 

To znaczy, że trójkąty EAB i DBA są przystające. Stąd wynika, że:

`/_AEB = /_ADB` 

kąty przy wierzchołku C są równe bo są wierzchołkowe a więc kąty:

`/_CAE=/_DBC` 

Wiemy, że:

`/_EAB = /_DBA` 

Zauważmy, że

`/_EAB=/_BAC + /_CAE` 

`/_DBA = /_DBC + /_CBA` 

 

Stąd:

`/_BAC + /_CAE = /_DBC + /_CBA` 

`/_BAC + /_CAE = /_CAE + /_CBA` 

`/_BAC = /_CBA` 

A więc trójkąt ABC jest równoramienny.

Uzasadnij, że środek okręgu wpisanego w wielokąt

Naszkicuj wykres funkcji ...

`a)` 

`f(x)=|x|-|x-2|+3` 

`x>0` 

`x-2>0\ implies \ x>2` 

 

`"I".\ x in (-oo;0)` 

`f(x)=-x+x-2+3=1` 

 

`"II".\ x in [0;2]`  

`f(x)=x+x-2+3=2x+1` 

 

`"III".\ x in (2;+oo)`   

`f(x)=x-x+2+3=5` 

`A=(-1;a)` 

`B=(b;3)` 

`a=1` 

`b=1` 

 

`b)` 

`f(x)=1/2(|x-5|-|x+3|)` 

`x-5>0\ implies\ x>5` 

`x+3>0\ implies\ x> -3` 

 

`"I".\ x in (-oo;-3)`  

`f(x)=-1/2x+5/2+1/2x+3/2=4` 

 

`"II".\ x in [-3;5]`   

`f(x)=-1/2x+5/2-x/2-3/2=-x+1` 

 

`"III".\ x in (5;+oo)`  

`f(x)=1/2x-5/2-x/2-3/2=-4` 

`A=(-1;a)` 

`B=(b;3)` 

`a=2` 

`b=-2`   

Pan Kowalczyk złożył do banku ...

`K_0=25000` 

`n=4` 

`r=10%` 

 

`a)` 

`"Kapitalizacja roczna."` 

`m=1`  

`K=K_0(1+r/m)^(mn)=25000(1+1/10)^4=36602,50 \ "zł"` 

`"Po uwzględnieniu podatku:"` 

`K=K_0(1+r/m(1-18/100))^(mn)=25000(1+1/10(82/100))^4=34264,87 \ "zł"` 

 

`b)` 

`"Kapitalizacja dwa razy w roku."` 

`m=4` 

`K=K_0(1+r/m)^(mn)=25000(1+1/20)^8=36936,37 \ "zł"` 

`"Po uwzględnieniu podatku:"` 

`K=K_0(1+r/m(1-18/100))^(mn)=25000(1+1/20(82/100))^8=34478,30 \ "zł"`   

 

`c)` 

`"Kapitalizacja dwa razy w roku."` 

`m=2`  

`K=K_0(1+r/m)^(mn)=25000(1+1/40)^16=37112,64 \ "zł"` 

`"Po uwzględnieniu podatku:"` 

`K=K_0(1+r/m(1-18/100))^(mn)=25000(1+1/40(82/100))^16=34589,81 \ "zł"`   

Oblicz odległość punktu P(5,1) od ...

`P=(x_0;y_0)`

Odległość punktu P od prostej l o równaniu Ax+By+c=0 wyraża się za pomocą wzoru:

`d=|Ax_0+By_0+C|/sqrt(A^2+B^2)` 

`y=x\ implies\ x-y=0` 

`A=1` 

`B=-1` 

`P=(5;1)` 

`d=|Ax_0+By_0+C|/sqrt(A^2+B^2)=|5-1+0|/(sqrt(1^2+(-1)^2))=4/sqrt2=2sqrt2`   

`ul(d=sqrt2` 

Rozwiąż nierówności

`a)\ 0,2x^2+x>0`

`\ \ \ x(0,2x+1)>0`

 

Szukamy miejsc zerowych trójmianu po lewej stronie: 

`x=0\ \ \ vee\ \ \ 0,2x+1=0\ \ \ |-1`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \0,2x=-1\ \ \ |:0,2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \x=-1:0,2=-10:2=-5`

 

`x in(-infty;\ -5)uu(0;\ +infty)`

 

 

 

`b)\ 4x^2<=8x\ \ \ |:4`

`\ \ \ x^2<=2x\ \ \ |-2x`

`\ \ \ x^2-2x<=0`

`\ \ \ x(x-2)<=0`

Szukamy miejsc zerowych trójmianu po lewej stronie: 

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x-2=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=2`

 

  

`x in<0;\ 2>`

 

 

 

`c)\ 21x^2+7<0\ \ \ |:7`

`\ \ \ 3x^2+1<0`

`\ \ \ x in emptyset`

Ta nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny (większy lub równy 0), jeśli pomnożymy go przez 3 nadal mamy liczbę nieujemną, jeśli dodamy 1, to otrzymamy co najmniej 1 (nigdy nie dostaniemy liczby ujemnej)

Można to zapisać w następujący sposób:

`x^2>=0\ \ \ |*3`

`3x^2>=0\ \ \ |+1`

`3x^2+1>=1`

 

 

 

`d)\ 4(x^2+3x-5)>=12x-28\ \ \ |:4`

`\ \ \ x^2+3x-5>=3x-7\ \ \ |-3x`

`\ \ \ x^2-5>=-7\ \ \ |+7`

`\ \ \ x^2+2>=0`

`\ \ \ x in RR`

 

Ta nierówność jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste, ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny, jeśli dodamy jeszcze 2, to otrzymamy liczbę równą co najmniej 2, a więc taką, która jest większa od 0. 

 

 

 

 

     

Wykaż, że proste zawierające wysokości trójkąta...

Dowód:

Trójkąt ABC są rozwartokątny. Punkt D jest punktem ptzrecięcia dwóch wysokości (które są poza trójkątem).

Trójkąt BCD jest ostrokątny, więc jaego wysokości przecinają się w jednym punkcie. Wysokość trójkąta ABC wychodząca z wierzchołka A pokrywa się z wysokością trójkąta BCD wychodzącą z wierzchołka D.

Więc wszystkie wysokości trójkąta ABC przecinają się w punkcie D.

`square`

Korzystając z podanej obok własności

Pod wartością bezwzględną odejmujemy i dodajemy c (wtedy wartość wyrażenia nie zmienia się , bo -c+c=0). Następnie korzystamy z własności podanej w ramce (miejsce skorzystania z tej własności oznaczono gwiazdką). 

`|a-b|=|a#underbrace(-c+c)_0-b|=|(a-c)+(c-b)|#(<=)^(^(**))|a-c|+|c-b|`

 

`(**):\ \ \ |p+q|<=|p|+|q|`