Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $$V = P_p×H$$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech x będzie taka liczbą, że ...

Przyjmujemy, że:

`log_(2)x=0,4` 

 

`"a")"\ log_(2)2x^2=1,8`  

`"L"=log_(2)2x^2=log_(2)(2*x^2)=log_(2)2+log_(2)x^2=1+2log_(2)x=1+2*0,4=1+0,8=1,8`  

`"P"=1,8` 

`"L"="P"` 

 

`"b)"\ log_(2)16x^3=5,2` 

`"L"=log_(2)16x^3=log_(2)(16*x^3)=log_(2)16+log_(2)x^3=log_(2)2^4+3log_(2)x=4+3*0,4=4+1,2=5,2` 

`"P"=5,2` 

`"L"="P"` 

 

`"c)"\ log_(2)x^4/2=0,6` 

`"L"=log_(2)x^4/2=log_(2)x^4-log_(2)2=4log_(2)x-1=4*0,4-1=1,6-1=0,6` 

`"P"=0,6` 

`"L"="P"`    

Wskaż wyrażenia wymierne...

`A. -(a-b)/(a+b) = (-a+b)/(a+b) = (b-a)/(a+b)` 

Wyrażenia są równe

 

`B. \ -(b-a)/(a-b) = (a-b)/(a-b) = 1 ne (b-a)/(a+b)` 

Wyrażenia są różne

 

`C. \ -(-(b-a))/(a+b) = (b-a)/(a+b)` 

Wyrażenia są równe

 

`D \ -(a-b)*(b+a) = (b-a)/(a+b)` 

Wyrażenia są równe

Zapisz wyrażenie w postaci potęgi...

`a) \ sqrt(3^7) = (3^(1/2))^7 = 3^(1/2*7) = 3^(7/2)` 

 

`b) \ root(3)(2^2) * sqrt(2^4) = (2^(1/3))^2*(2^4)^(1/2) = 2^(1/3*2)*2^2 = 2^(2/3)*2^2 = 2^(2/3+2) = 2^(2 2/3) = 2^(8/3)` 

 

`c) \ sqrt(7^(1/2)) = (7^(1/2))^(1/2) = 7^(1/2*1/2) = 7^(1/4)` 

 

`d) \ root(5)(5^(3/4)) = (5^(3/4))^(1/5) = 5^(3/4*1/5) = 5^(3/20)` 

Przez punkty (-1, 2) i (7,4) przechodzi...

Podpunkt A:

`(-1+1)(2-2)=(-1-7)(2-4)` 

`0 = -8*(-2)` 

Sprzeczność, punkt (-1, 2) nie należy prostej.

 

Podpunkt B:

`-1-4*2 + 9 =0` 

`-1-8+9=0` 

`-9+9=0` 

`0=0` 

 

`7-4*4+9=0` 

`7-16+9=0` 

`-9+9=0` 

`0=0` 

Oba punkty należą do prostej.

Odpowiedź B

Dana jest funkcja okresowa ...

`f:RR->RR` 

`T=4` 

 

`"Dla"\ x in <<-2;2)\ "funkcja wyraża się wzorem:"\ f(x)=x^2.`     

 

`a)` 

`f(x)=1\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)` 

`x^2=1\ implies\ x =1\ \ \vv\ \ \x=-1` 

Biorąc pod uwagę całą dziedzinę funkcji g otrzymujemy:

`ul(x in {-1+4k;1+4k},\ "gdzie"\ k in CC`     

 

`b)` 

`f(x)=3\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)` 

`x^2=3` 

`x=sqrt3\ \ \vv\ \ \ x=-sqrt3`      

Biorąc pod uwagę całą dziedzinę funkcji g otrzymujemy:

`ul(x in {-sqrt3+4k;sqrt3+4k},\ "gdzie"\ k in CC` 

 

`c)` 

`f(x)<=1` 

`x^2<=1\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)` 

`x in <<-1;1>>` 

Biorąc pod uwagę całą dziedzinę funkcji g otrzymujemy:

`ul(x in <<-1+4k;1+4k>>,\ k in CC`  

 

`d)` 

`f(x)>2\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)`

`x^2>2` 

`x>sqrt2\ \ \vv\ \ \x<-sqrt2`  

`x in (-oo;-sqrt2>> cup << sqrt2; +oo)\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)` 

`x in <<-2;-sqrt2>>` `cup` `<< sqrt2;2)`    

Biorąc pod uwagę całą dziedzinę funkcji g otrzymujemy:

`x in <<-2+k;-sqrt2+k>>` `cup` `<< sqrt2+k;2+k),\ k in CC`  

Proste m i l przecinają się...

Oba kąty przyległe tworzą, wraz z kątem alfa, kąty półpełne.

`alpha = 35^o` 

`180- alpha = 180-35^o = 145^o` 

 

Suma kątów przyległych to:

`145^o + 145^o = 290^o` 

Odpowiedź A

Oblicz, wiedząc, że...

`a) \ sin x + cos x = sqrt5/5 \ \ \ | ()^2` 

`sin^2x + 2sinxcosx+cos^2x=5/25` 

`1 + 2 sin x cos x = 1/5` 

`2 sinxcosx = -4/5` 

`sinxcosx = -2/5` 

 

`b) \ sin^2x + cos^2x = 1 \ \ \ | ()^2` 

`sin^4 \ x + 2 sin^2xcos^2x + cos^4x = 1` 

`sin^4x + 2 (sinxcosx)^2 + cos^4x=1` 

`sin^4x + 2 *4/25 + cos^4x = 1` 

`sin^4x + cos^4x = 17/25` 

 

`c) \ sin^3x + cos^3x = (sinx + cosx)(sin^2x - sinxcosx+cos^2x) = sqrt5/5 * (1 - (-2/5)) = sqrt5/5 * 7/5 = (7sqrt5)/25` 

 

`d) \ (sin x - cosx)^2 = sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x = 1 - 2(-2/5) = 9/5` 

 

`(sin x - cosx)^2 = 9/5 \ \ \ | sqrt` 

`|sin x - cosx| = 3/sqrt5 * sqrt5/sqrt5 = (3sqrt5)/5` 

Ćwiczenie 3 Podaj ...

`a)` 

`r=a_2-a_1=2` 

`a_n=a_1+(n-1)r=2+2(n-1)=2n` 

`a_20=2*20=40` 

 

`b)` 

`r=a_2-a_1=1/2` 

`a_n=a_1+r(n-1)=4+1/2(n-1)` 

`a_20=4+1/2*19=4+19/2=13 1/2` 

 

`c)` 

`r=a_2-a_1=-1` 

`a_n=3-(n-1)=-n+4` 

`a_20=-16`     

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania...

`sqrt12x^2+sqrt8x-sqrt3=0` 

 

`1/(x_1^2+x_2^2)=?` 

`(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-b/a)^2-2*c/a=(((-sqrt8)/sqrt12)^2-2*(-sqrt3)/sqrt12)=8/12+(2sqrt3)/sqrt12=2/3+(2sqrt3)/(2sqrt3)=2/3+1=1 2/3=5/3` 

`1/(x_1^2+x_2^2)=1/(5/3)=1*3/5=3/5` 

 

Odp. D

 

Wykaż, że...

Założenia:

Mianowniki obu ułamków nie mogą być zerami. Ponadto tangens kąta `alpha` musi istnieć. Stąd:

`1-cos2alpha!=0\ \ \ \ ^^\ \ \ \ "tg"alpha!=0\ \ \  \ ^^\ \ \ \ alpha!=pi/2+kpi,\ k in bbC` 

`cos2alpha!=1\ \ \ \ ^^\ \ \ \ alpha!=0+kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \alpha!=pi/2+kpi,\ k in bbC`     

`2alpha!=0+2kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \ alpha!=kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \alpha!=pi/2+kpi,\ k in bbC` 

`alpha!=kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \ alpha!=kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \alpha!=pi/2+kpi,\ k in bbC` 

Stąd otrzymujemy:

`alpha!=(kpi)/2,\ k in bbC` 

Teza:  `(1+cos2alpha)/(1-cos2alpha)=1/("tg"^2alpha)` 

Dowód:

Rozpisujemy lewą stronę ze wzoru na cosinus podwojonego kąta oraz z jedynki trygonometrycznej, otrzymując:

`(1+cos2alpha)/(1-cos2alpha)=(sin^2alpha+cos^2alpha+cos^2alpha-sin^2alpha)/(sin^2alpha+cos^2alpha-cos^2alpha+sin^2alpha)=(2cos^2alpha)/(2sin^2alpha)=(cos^2alpha)/(sin^2alpha)=1/(sinalpha/cosalpha)^2=1/("tg"^2alpha)` 

Pokazaliśmy, że

`(1+cos2alpha)/(1-cos2alpha)=1/("tg"^2alpha),` 

co kończy dowód.