Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $$V = P_p×H$$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Wyznacz m wiedząc, że wykres funkcji liniowej

Jeśli dwa wykresy funkcji liniowych są prostopadłe, to iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych wynosi -1.

 

`a)`

`3*m=-1\ \ \ |:3`

`m=-1/3`

 

 

`b)`

`(-0,25m+3)*4=-1`

`-m+12=-1\ \ \ |-12`

`-m=-13\ \ \ |*(-1)`

`m=13`

 

 

`c)`

`(4-2m)*(-2/3)=-1\ \ \ |*(-3/2)`

`4-2m=3/2\ \ \ |-4`

`-2m=1 1/2-4`

`-2m=-2 1/2 \ \ \ |:(-2)`

`m=-5/2:(-2)=-5/2*(-1/2)=5/4`

 

 

`d)`

`-1*(2m-sqrt5)=-1\ \ \ |*(-1)`

`2m-sqrt5=1\ \ \ |+sqrt5`

`2m=1+sqrt5 \ \ \ |:2`

`m=(1+sqrt5)/2`

 

 

`e)`

`m(1+sqrt2)*(1-sqrt2)=-1`

`m(1^2-sqrt2^2)=-1`

`m*(1-2)=-1`

`m*(-1)=-1\ \ \ |:(-1)`

`m=1`

 

 

 `f)` 

`-(m^2+4m+4)*1=-1`

`-(m+2)^2=-1\ \ \ |+1`

`1-(m+2)^2=0`

`1^2-(m+2)^2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a^2-b^2=(a-b)(a+b))`

`(1-(m+2))*(1+(m+2))=0`

`(1-m-2)*(1+m+2)=0`

`(-1-m)*(m+3)=0`

`-1-m=0\ \ \ vee\ \ \ m+3=0`

`m=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ m=-3`

   

Dla jakich wartości parametrów m i n wyrażenia S i T

`a)` 

`S=(x+4)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+4(x^2-x+1)=` 

`\ \ \ =x^3-x^2+x+4x^2-4x+4=` `x^3+3x^2-3x+4` 

 

`m=3` 

`n=-3` 

 

 

 

`b)` 

`S=(2x^2-1)(x^2-3x+2)=2x^2(x^2-3x+2)-1(x^2-3x+2)=` 

`\ \ \ =2x^4-6x^3+4x^2-x^2+3x-2=` `2x^4-6x^3+3x^2+3x-2` 

 

`3m=-6\ \ \ =>\ \ \ m=-6:3=-2` 

`6n=3\ \ \ =>\ \ \ n=3/6=1/2` 

Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

`a)\ (x^2+1)(x+1)(x-1)=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2)^2-1^2=x^4-1`

`b)\ (sqrt2-x)(sqrt2+x)(x^2+2)=(sqrt2^2-x^2)(2+x^2)=(2-x^2)(2+x^2)=2^2-(x^2)^2=4-x^4`

`c)\ (2x+1)(4x^2+1)(1-2x)=(1+2x)(1-2x)(1+4x^2)=(1-4x^2)(1+4x^2)=1-16x^4`

`d)\ (x^2-2x+1)(x+1)^2=(x-1)^2(x+1)^2=((x-1)(x+1))^2=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1`

 

Oblicz wartość wyrażenia dla podanego x

W każdym przykładzie najpierw upraszczamy wyrażenie, a dopiero potem obliczamy wartość liczbową. 

 

 

 

`a)\ (x+5)^2-(x-1)^2-12(x+2)=` 

`\ \ \ =x^2+10x+25-(x^2-2x+1)-12x-24=` 

`\ \ \ =x^2+10x+25-x^2+2x-1-12x-24=0` 

Oznacza to, że dla dowolnego x (także dla tego podanego w zadaniu) jest przyjmowana wartość 0.

 

 

`b)\ (x-3)^2+(2x+1)^2+5(x+1)(1-x)=` 

`\ \ \ =x^2-6x+9+4x^2+4x+1+5(1+x)(1-x)=` 

`\ \ \ =5x^2-2x+10+5(1-x^2)=` 

`\ \ \ =5x^2-2x+10+5-5x^2=` 

`\ \ \ =-2x+15=-2*(15-sqrt2)/2+15=` 

`\ \ \ =-(15-sqrt2)+15=-15+sqrt2+15=sqrt2` 

 

 

`c)\ (x-3)(x+3)(2x^2+18)=(x^2-9)(2x^2+18)=` 

`\ \ \ =(x^2-9)(x^2+9)*2=(x^4-81)*2=2x^4-81=` 

`\ \ \ =2*sqrt11^4-81=` `2*11^2-81=` 

`\ \ \ =2*121-81=242-81=161`     

 

Kuba zapomniał dwie ostatnie cyfry

Kuba wie, że dwie ostatnie cyfry to cyfry nieparzyste. Cyfry nieparzyste to: 1, 3, 5, 7, 9. Na każdym z dwóch miejsc Kuba może więc wstawić jedną z pięciu cyfr nieparzystych. Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

`5*5=5^2=25` 

Podaj kąt nachylenia wykresu funkcji liniowej

`a)\ tgalpha=1\ \ \ =>\ \ \ alpha=45^o`

`b)\ tgalpha=-sqrt3=-tg60^o\ \ #=^(II\ "ćwiartka")\ \ tg(180^o-60^o)=tg120^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=120^o`

`c)\ tgalpha=-sqrt3/3=-tg30^o\ \ #=^("II ćwiartka")\ \ tg(180^o-30^o)=tg150^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=150^o`

Oblicz sumę odwrotności pierwiastków równania

`a)` 

`x-4=0\ \ \ vee\ \ \ x-2=0` 

`x=4\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=2` 

`1/4+1/2=1/4+2/4=3/4`  - suma odwrotności pierwiastków równania

 

 

 

`b)` 

`x+1=0\ \ \ vee\ \ \ x-3=0` 

`x=-1\ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=3` 

`-1/1+1/3=-1+1/3=-2/3` 

 

 

 

`c)` 

`2x-1=0\ \ \ vee\ \ \ 3x-1=0` 

`2x=1\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ 3x=1` 

`x=1/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=1/3` 

`1/(1/2)+1/(1/3)=2+3=5` 

 

 

 

`d)` 

`4x-1=0\ \ \ vee\ \ \ 2x+1=0` 

`4x=1\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ 2x=-1` 

`x=1/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=-1/2` 

`1/(1/4)+1/(-1/2)=4+(-2)=2` 

 

 

 

`e)` 

`2x-3=0\ \ \ vee\ \ \ 4x-3=0`  

`2x=3\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ 4x=3` 

`x=3/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=3/4` 

`1/(3/2)+1/(3/4)=2/3+4/3=6/3=2` 

 

 

`f)` 

`4x+5=0\ \ \ vee\ \ \ 3x+5=0` 

`4x=-5\ \ \ \ \ \ vee\ \ \ 3x=-5` 

`x=-5/4\ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=-5/3` 

`1/(-5/4)+1/(-5/3)=-4/5-3/5=-7/5=- 1 2/5`     

       

 

 

Ile rozwiązań równania należy do podanego przedziału?

`a)`

`x^3-16x=0`

`x(x^2-16)=0`

`x(x-4)(x+4)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x=4 \ \ \ vee\ \ \ x=-4`

Do podanego przedziału należą wszystkie trzy rozwiązania

 

 

 

`b)`

`x^3-25x=0`

`x(x^2-25)=0`

`x(x-5)(x+5)=0`

`ul(x=0)\ \ \ vee\ \ \ x=5\ \ \ vee\ \ \ ul(x=-5)`

Do podanego przedziału należą 2 rozwiązania

 

 

 

 

`c)`

`x^3-3x=0`

`x(x^2-3)=0`

`x(x-sqrt3)(x+sqrt3)=0`

`ul(x=0)\ \ \ vee \ \ \ x=sqrt3~~1,73>3/2\ \ \ vee\ \ \ x=-sqrt3~~-1,73<-3/2`

Do podanego przedziału należy jedno rozwiązanie

 

 

 

 

`d)`

`4x-x^3=0`

`x(4-x^2)=0`

`x(2-x)(2+x)=0`

`ul(x=0)\ \ \ vee\ \ \ ul(x=2)\ \ \ vee\ \ \ x=-2`

Do podanego przedziału należą 2 rozwiązania

 

 

 

`e)`

`4x+x^3=0`

`x(#(4+x^2)^(>0))=0`

`x=0`

Do podanego przedziału należy jedyne rozwiązanie

 

 

 

 

`f)`

`x^3-6x=30x\ \ \ |-30x`

`x^3-36x=0`

`x(x^2-36)=0`

`x(x-6)(x+6)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x=6\ \ \ vee\ \ \ x=-6`

Do podanego przedziału należą wszystkie trzy rozwiązania 

 

Oblicz

`a)\ (-2)^5=-32`

`\ \ \ (-2)^(-5)=1/(-2)^5=-1/32`

`\ \ \ 2^-5=1/2^5=1/32`

 

`b)\ (1/3)^-2=3^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-2=(-3)^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-3=(-3)^-3=-27`

 

`c)\ (sqrt3)^4=3^2=9`

`\ \ \ (sqrt3)^-2=1/(sqrt3)^2=1/3`

`\ \ \ (sqrt3)^-6=1/(sqrt3)^6=1/3^3=1/27`

 

`d)\ (sqrt2)^6=2^3=8`

`\ \ \ (sqrt2)^7=(sqrt2)^6*sqrt2=2^3*sqrt2=8sqrt2`

`\ \ \ (sqrt2)^-8=1/(sqrt2)^8=1/2^4=1/16`

Czy dla m=2 liczba a jest pierwiastkiem danego równania

Wystarczy podstawić m=2 oraz podstawić a w miejsce x i sprawdzić, czy otrzymamy równość prawdziwą

 

`a)`

`-3*(-1)^3+2*(-1)^2+2*(-1)-3=`

`=-3*(-1)+2*1-2-3=`

`=3+2-2-3=0`

Liczba a=-1 jest pierwiastkiem równania. 

 

 

`b)`

`2^3+(2*2-1)*2^2-3*2+7=`

`=8+3*4-6+7=`

`=8+12+1=21ne0`

Liczba a=2 nie jest pierwiastkiem równania

 

 

`c)`

`-3^3+2*3^2-2*3+5=`

`=-27+2*9-6+5=`

`=-27+18-1=-10ne0`

Liczba a=3 nie jest pierwiastkiem równania

 

 

`d)`

`(-2)^3+3*(-2)^2+(2^2-2*2)*(-2)-4=`

`=-8+3*4+0*(-2)-4=`

`=-8+12-4=0`

Liczba a=-2 jest pierwiastkiem równania