Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $$V = P_p×H$$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech x=a+b oraz y=a-b...

 

 

 

  

 

 

Uzasadnij, że nierówność

  

    

 

Zauważmy, że aby wykazać nierówność z tezy, możemy wykazać nierówność równoważną:

 

 

Rozpiszmy lewą stronę powyższej nierówności:

 

 

Zauważmy, że każdy z (n-1) czynników jest ułamkiem o liczniku 1 oraz o mianownikach będących kolejnymi liczbami naturalnymi od 2 do n. Z założenia wiadomo, że n jest liczbą naturalną większą od 2. Ułamek 1/3 jest mniejszy niż 1/2, podobnie ułamek 1/4 jest mniejszy od 1/2, tak samo wszystkie pozostałe ułamki są mniejsze od 1/2. Stąd możemy zapisać:

  

 

    

 

Żądana nierówność zachodzi, co kończy dowód. 

Rzucamy cztery razy kostką ...

a)

 {premium}

 

b)

Prawdopodobieństwo nie otrzymania szóstki:

 

Prawdopodobieństwo otrzymania jednej szóstki:

 

Prawdopodobieństwo otrzymania dwóch szóstek: 

 

 

Prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej dwóch szóstek:

 

 

Oblicz długość okręgu opisanego...

a)

 

 

 

 

 

 


b)

Obliczmy kąt przy wierzchołku C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu ...

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

    

Określ stopień wielomianu u+w w zależności od parametru a

{premium}

 

 

 

 

Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=x² o 1 jednostkę w górę (wiemy to dzięki wierzchołkowi).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=-1/2x²  o 2 jednostki w górę. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=3x² o 1 jednostkę w prawo i 3 jednostki w dół (wierzchołek ma współrzędne (1, -3))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=1/2x²  o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół. 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=-x²  o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w dół. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=-x²  o 3 jednostki w lewo. 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Dla jakich wartości parametru a rozwiązania...

Skorzystamy z następującego twierdzenia:

Jeżeli  są rozwiązaniami równania  to

 

 

 

Chcemy, by rozwiązania równania spełniały warunki:

 

 

Podstawiamy powyższe warunki do pierwszego równania w układzie z twierdzenia i wyznaczamy  

 

{premium}

 

 

 

Stąd:

 

 

 

Podstawiamy wyznaczone rozwiązania do drugiego równania w układzie z twierdzenia i wyznaczamy  

 

 

 

Odp.  

Oblicz.

 

 

 

 

  

 

Wśród uczniów pewnej szkoły przeprowadzono ...

Oznaczmy jako x ilość odpowiedzi "TAK" na pytanie A. 

Ilość odpowiedzi "TAK": {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Odp. 90% uczniów, którzy odpowiadali na pytanie A odpowiedziało, że lubi szkołę.