Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $$V = P_p×H$$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykaż, że funkcja f...

a)

`f(1/2)=2*(1/2)^2+1=2*1/4+1=1/2+1=1 1/2` 

`lim_(x->1/2 \ ^+)f(x)=2*(1/2)^2+1=1 1/2` 

`lim_(x->1/2 \ ^(-))f(x)=2*(1/2)^2+1=1 1/2` 

 

b)

`f(1)=(1+1)/(1-2)=2/(-1)=-2` 

`lim_(x->1^+)(1+1)/(1-2)=2/(-1)=-2` 

`lim_(x->1^-)(1+1)/(1-2)=2/(-1)=-2` 

Które wyrazy ciągu określonego...

`-2 leq n^2 - 10n + 15` 

`0 leq n^2 -10 n + 17` 

`Delta = (-10)^2 -4*1*17 = 100 - 68 = 32` 

`sqrtDelta = sqrt32 = sqrt16*sqrt2 = 4sqrt2` 

`n_1 = (10-4sqrt2)/2 \ \ vv \ \ n_2 = (10+4sqrt2)/2` 

`n_1 = 5-2sqrt2 \ \ vv \ \ \ n_2 = 5+2sqrt2` 

`n in (-oo, 5-2sqrt2] \cup [5+2sqrt2 , oo)` 

Zauważmy, że:

`2sqrt2 < 3` 

`-2sqrt2 > -3` 

`5-2sqrt2 > 5-3` 

`5-2sqrt2 > 2` 

oraz

`2sqrt2 < 3` 

`5+2sqrt2<8` 

A więc wyrazy należące do tego zbioru rozwiązań to:

`a_1 \ , \ a_2 \ , \ a_8 \ , \ a_9 \ , ...` 

 

 

 

`n^2-10n+15 leq 4` 

`n^2 -10n + 11 leq 0` 

`Delta = (-10)^2 -4*1*11 = 100 - 44 = 56`

`sqrtDelta = sqrt56 = sqrt4*sqrt14 = 2sqrt14`  

`n_3 = (10-2sqrt14)/2 = 5-sqrt14` 

`n_4 = (10+2sqrt14)/2 = 5+sqrt14` 

`n in [5 - sqrt14 , 5 + sqrt14]` 

Zauważmy, że:

`sqrt14 < 4` 

`-sqrt14 > -4` 

`5-sqrt14 > 1` 

 

oraz

`sqrt14 < 4` 

`5+sqrt14 < 9` 

Wyrazy należące do tego zbioru rozwiązań to:

`a_2 \ , \ a_3 \ , ... , a_8` 

 

Zatem wyrazy należące do obu rozwiązań poszczególnych nierówności są rozwiązaniem początkowej nierówności, a więc:

`a_2 \ , \ a_8` 

Który z ciągów...

`a_2 = 2a_1 + 1 + 1 = 2*1 + 1 + 1 = 4` 

`a_3 = 2a_2 + 2 + 1 = 2*4 + 2 + 1 = 11` 

`a_4 = 2a_3 + 3 + 1 = 2*11 + 3 + 1 = 26` 

 

 

`b_2 = (b_1)^2 - 1 = 2^2 -1 = 3` 

`b_3 = (b_2)^2 -2 = 3^2 - 2 = 7` 

`b_4 = (b_3)^2 - 3 = 7^2 - 3 = 46` 

 

`a_4 < b_4` 

Oblicz wyrazy ...

`a)` 

`a_2=a_1-2^1=6-2=4` 

`a_3=4-2^2=0` 

`a_4=0-2^3=-8` 

`a_5=-8-2^4=-24` 

 

`"Wśród pierwszych 10 wyrazów ciągu są dwa wyrazy dodatnie."`  

 

`b)` 

`a_2=1+(-2)^1=-1` 

`a_3=-1+4=3` 

`a_4=3-8=-5` 

`a_5=-5+16=11` 

 

`"Wśród pierwszych 10 wyrazów ciągu jest 5 wyrazów dodatnich."` 

 

`c)` 

`a_2=0+0^2=0` 

`a_3=0+1^2=1` 

`a_4=1+2^2=5` 

`a_5=5+3^2=14` 

 

`"Wśród pierwszych 10 wyrazów ciągu jest 8 wyrazów dodatnich."` 

 

`d)` 

`a_2=0^2=0` 

`a_3=1/4` 

`a_4=(3/4)^2=9/16` 

`a_5=(17/16) ^2=289/256` 

 

`"Wśród pierwszych 10 wyrazów ciągu jest 8 wyrazów dodatnich." `  

 

` `

Średnia arytmetyczna

Z treści zadania wiemy, że:

`(a+b+c+d)/4=8` 

 

Jeśli pomnożymy równanie razy 4, to otrzymamy sumę liczb a, b, c, d:

`a+b+c+d=32` 

 

 

`A.\ "FAŁSZ"` 

Średnia arytmetyczna podanych liczb jest równa:

`(a+b+c+d+0)/5=(32+0)/5=32/5=6 2/5=6,4` 

 

 

`B.\ "PRAWDA"`  

Średnia arytmetyczna podanych liczb jest równa:

`(a+b+c+d+13)/5=(32+13)/5=45/5=9` 

 

 

`C.\ "FAŁSZ"`  

Średnia arytmetyczna podanych liczb jest równa:

`(a+a+b+b+c+c+d+d)/8=(2a+2b+2c+2d)/8=(a+b+c+d)/4=8` 

Dla jakich wartości parametru ...

`"Funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe gdy"\ Delta=0.` 

 

`a)` 

`f(x)=x^2+3x+c` 

`Delta=9-4c=0` 

`c=9/4` 

 

`b)` 

`f(x)=x^2-2sqrt5x-c` 

`Delta=20+4c=0` 

`c=-5` 

 

`c)` 

`f(x)=-x^2+x+c+1` 

`Delta=1+4(c+1)=1+4c+4=5+4c=0` 

`c=-5/4` 

 

`d)` 

`f(x)=x^2+cx+c` 

`Delta=c^2-4c=0` 

`c(c-4)=0` 

`c=0\ \ \vv\ \ \c=4` 

Narysuj okrąg o środku ...

`r=5` 

Równanie okręgu o promieniu r=5jest postaci:

`x^2+y^2=5^2=25`   

Do okręgu należy 12 punktów o obu wspólrzędnych całkowitych.

Turysta...

Rysunek:

 

`a) \ sin5^o = x/y`

`sin5^o \approx 0,0872`

 

`0,0872 = x/(0,5) \ \ \ |*0,5` 

`x= 0,0436 \ [km]` 

Zamieńmy na metry:

`0,0436 \ "km" = 0,0436 * 1000 \ "m" = 43,6 \ "m"`  

 

`b) \ sin 5^o = x/y`

 

`0,0872 = 130/y \ \ \ |*y`

`0,0872y = 130 \ \ \ |:0,0872`

`y = 1490,83 \ [m] = 1,4908 \ [km]`

 

Skoro w godzinę przejdzie 4,5 km to około 1,5 km pokona w koło 1/3h, czyli 20 min.

Udowodnij podaną równość, jeśli...

`L=1/(a_1 a_2) + 1/(a_2 a_3) + 1/(a_3 a_4) + . . . + 1/(a_(n-1) a_n)=` 

 

Przemnożymy każdy ułamek przez:

`r/r` 

Wtedy:

 

`=r/(r a_1 a_2) + r/(r a_2 a_3) + r/(r a_3 a_4) + . . . + r/(r a_(n-1) a_n)=` 

 

Wyciągnijmy 1/r z każdego składnika sumy przed nawias.

`=1/r [r/(a_1 a_2) + r/(a_2 a_3) + r/(a_3 a_4) + . . . + r/(a_(n-1) a_n)]=` 

 

Zauważmy, że:

`1/(a_i) - 1/(a_(i+1)) = (a_(i+1))/(a_i a_(i+1)) - (a_i)/(a_i a_(i+1)) = (a_(i+1) - a_i)/(a_i a_(i+1)) = r/(a_i a_(i+1))` 

czyli

 

`=1/r[1/a_1 - 1/a_2 + 1/a_2 - 1/a_3 + 1/a_3 - 1/a_4 + . . . + 1/a_(n-1) - 1/a_n]=1/r[1/a_1 - 1/a_n]=` 

`=1/r[(a_n-a_1)/(a_1 a_n)] ==1/r [(a_1 + (n-1)r - a_1)/(a_1 a_n)] = 1/r [((n-1)r)/(a_1 a_n)] = (n-1)/(a_1 a_n) = P` 

Wykonaj działania:

`a)` 

`(x^3-2x+1)(x^2+1)+(x^4+3x+2)(x^3-2x)=` `x^5+x^3-2x^3-2x+x^2+1+` 

`+x^7-2x^5+3x^4-6x^2+2x^3-4x=` `x^7-x^5+3x^4+x^3-5x^2-6x+1`  

 

`b)` 

`(2x^4-3x+5)(x^3+4x+1)+(x^3+2x)(x^4-4x^2)=` 

`=2x^7+8x^5+2x^4-3x^4-12x^2-3x+5x^3+20x+5+x^7-4x^5+2x^5-8x^3=` 

`=3x^7+6x^5-x^4-3x^3-12x^2+17x+5` 

 

`c)` 

`(3x^3-2x^2+5x+1)(x+2)+(x^3+4x^2-1)(x^2+5x)=` 

`=3x^4+6x^3-2x^3-4x^2+5x^2+10x+x+2+x^5+5x^4+4x^4+20x^3-x^2-5x=` 

`=x^5+12x^4+24x^3+6x+2` 

 

`d)` 

`(x^3-2x^2+4x+5)(x^2-1)-(x^3-4x^2+2x-3)(x^2+2x)=` 

`=x^5-x^3-2x^4+2x^2+4x^3-4x+5x^2-5-[x^5+2x^4-4x^4-8x^3+2x^3+4x^2-3x^2-6x]=` 

`=9x^3+6x^2+2x-5`