Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $V = P_p×H$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na hiperboli o równaniu ...

Punkt C należy do hiperboli  , zatem jest postaci:

 

Dodatkowo z treści zadania wiemy, że x<0. {premium}

 

 

 

 

Obliczmy pole trójkąta o tych współrzędnych.

Przypomnijmy wzór na pole trójkąta:

 

 

 

 

 

Dodatkowo wiemy, że x<0, zatem:

 

 

Aby wyznaczyć wartość x, dla której pole trójkąta jest najmniejsze rozpatrzmy funkcję:

 

Należy wyznaczyć minimum tej funkcji (wtedy trójkąt ABC będzie najmniejszy). Wyznaczmy pochodną funkcji f, a następnie ekstrema tej funkcji.

 

 

Sprawdźmy kiedy f'(x)=0.

 

 

 

 

Wiemy, że x<0 zatem otrzymujemy:

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne punktu C.

 

 

 

 

 

 

 

Numery obowiązujących dowodów osobistych składają się z trzech (wielkich) ...

_ _ _ _ _ _ _ _ _

Pierwszą literę możemy wybrać na 26 możliwości.

Drugą literę możemy wybrać na 26 możliwości.

Trzecią literę możemy wybrać na 26 możliwości.   {premium}

Pierwszą cyfrę możemy wybrać na 1 sposób (tzw. cyfra kontrolna).

Drugą cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Trzecią cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Czwartą cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Piątą cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Szóstą cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

 

Ilość możliwości:

 

 

Zauważmy, że uwzględniliśmy sytuacje, gdzie na miejscu cyfr występują same zera. Należy odjąć te sytuacje.

Ilość takich sytuacji:

 

 

Łączna ilość wszystkich możliwości:

 

 

W okręgu o promieniu 3 cm cięciwa AB wyznacza długości...

Korzystając ze wzoru na długość łuku:  otrzymujemy:

{premium}  

 

 

 

 

 

Trójkąt AOB jest równoramienny, wobec tego:

  

 

Kąt zawarty między styczną a cięciwą AB :

 

Najmniejszą...

Dana jest nierówność

 

rozpisując otrzymujemy{premium}

zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej  

skąd dostajemy, że nierówność jest spełniona dla

 

więc najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, która spełnia tą nierówność jest liczba

 

 

Odp. B. 

Wyznacz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji

 

 

 

 

  

{premium}   

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

           

W liceum odbywają się zajęcia SKS ...

A - ilość osób uczęszczających na siatkówkę

B - ilość osób uczęszczających na koszykówkę

 

Z treści zadania wiemy, że: {premium}

Ilość osób uczęszczających na obydwa zajęcia: 5

Ilość osób uczęszczających tylko na siatkówkę: 15-5=10

Ilość osób uczęszczających tylko na koszykówkę: 12-5=7

Łączna ilość chłopców: 5+10+7=22

W urnie jest 48 kul białych...

Ilość białych kul:  

Ilość czarnych kul:  

{premium}  - ilość dołożonych kul 

 

Ilość wszystkich kul:  

 

Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli:  

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D

Funkcja f(x)= ...

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

Odp. B

Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Postać iloczynowa: 

 


a)  

 

{premium}  


b)  

 

 


c)  

 

 

 


d)  

 

 

 

Ciąg nieskończony ...

 

{premium}  

 

 

Dla n naturlanego otrzymane wyrażenie jest zawsze ujemne.

Ciąg jest malejący.