Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $V = P_p×H$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz ciąg geometryczny, w którym...

 

 

Rozwiążmy drugie równanie:

 

 

 

 

 

Wracając do pierwszego równania:

 

 

 

 

 

Wstawiając za  otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:

 

 

Rysujemy wykres funkcji o określonej dziedzinie:{premium}

 

 

Odczytujemy zbiór wartości:

  

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do pierwszej części wykresu:

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do drugiej części wykresu:

 

Odczytujemy zbiór wartości:

 

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do pierwszej części wykresu:

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do drugiej części wykresu:

 

 

 

Odczytujemy zbiór wartości:

 

Uzupełnij...

 

 

 

 

            

Podaj warunki, dla których wyrażenie wymierne....

Wyrażenie to ma sens, gdy a≠0 i b≠0.

 

Wyrażenie to ma sens, gdy p≠0 i r≠0. 

 

Wyrażenie to ma sens, gdy a≠0 i b≠0.

 

Wyrażenie to ma sens, gdy x≠0 i x≠- 1/3.

` `

Wyrażenie to ma sens, gdy a≠-4 i a≠0.

Zapisz zaznaczony zbiór w postaci sumy przedziałów

Punkt A(3,-5) jest wierzchołkiem rombu ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Przekątne rombu przecinają się w połowie.

 

 

 

 

 

     

 

(Zamiast korzystać z własności wektorów można zapisać nieznane współrzędne punktu C następująco:

 

(punkt C leży na prostej y=-3x+4)

następnie:

 

 

Z powyższej zależności wyznaczymy c, czyli współrzędne wierzchołka C bez użycia wektorów.)

 

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, zatem: 

  

 

  

  

  

Rozwiązaniem poniższego układu są współrzędne jednego z wierzchołków rombu.

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy nieznane równania prostych zawierających boki rombu.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których...

 

Mamy:

 współczynnik kierunkowy

 wyraz wolny

By funkcja była rosnąca, musi zachodzić:    

  

 

 

By wykres funkcji przecinał oś  poniżej punktu  musi zachodzić:

 

 

 

Bierzemy część wspólną rozwiązań nierówności:

 

 

Odp.  

Ile początkowych wyrazów ...

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

Pierwiastkiem równania...

-2 jest pierwiastkiem tego równania, więc

Wyznacz wartości parametru b...

 

Zakładamy, że  ponieważ liczba pod pierwiastkiem musi być większa lub równa 0.  

 

a) nie ma rozwiązań, gdy   

 

 

Uwzględniając założenie: 

 

 

b) ma dwa rozwiązania, gdy  

 

 

 

c) ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy