Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $$V = P_p×H$$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeśli...

Z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 

Kąt alfa jest kątem ostrym a więc sinus jest dodatni.

 

 

 

 

 

Zatem:

 

Odpowiedź D

Rozwiąż układy równań

`{(4(2x-y+3)-3(x-2y+3)=48), (3(3x-4y+3)+4(4x-2y-9)=48):}`{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj...

Zbiór wartości funkcji f(x) to zbiór:

 

 

Funkcja g(x) to funkcja f(x) przesunięta o 3/2 jednostki w górę. Jej zbiór wartości to:

 

 

Funkcja h(x) to funkcja f(x) przesunięta o 1 jednostkę w dół. Jej zbiór wartości to:

 

 

Wykresy:

W trójwyrazowym ciągu arytmetycznym ...

Przypomnijmy, że w ciągu arytmetycznym  zachodzi zależność

 

dla wszystkich  i .

 

W szczególności warunek ten zachodzi pomiędzy {premium}trzema sąsiednimi wyrazami.

Wiemy, że drugi wyraz ciągu jest równy , zatem

 

.

Możemy obliczyć już sumę wszystkich wyrazów tego ciągu

.

Oblicz granicę ciągu określonego...

a) 

 

 

 

 

 

 


b) 

 

 

 

 

 

 


c) 

 

 

 

Ile punktów wspólnych wykresów funkcji ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

          

 

 

 

 

 

 

 

   

  

  

 

 

 

 

 

 

 

  

          

W chórze śpiewa 9 dziewcząt

 

 

 

Do wykonania utworu trzeba wybrać 6 z 9 dziewcząt oraz 2 z n chłopców. Liczba takich wyborów jest równa:

 

 

 

Wiemy, że liczba wszystkich takich wyborów jest 84 razy większa od liczby członków chóru:

 

 

 

 

 

 

  

         

 

Oczywiście liczba chłopców musi być wyrażona liczbą naturalną, dlatego n=6. 

Liczba wszystkich członków chóru jest więc równa 9+6=15, czyli prawidłowa jest odpowiedź B. 

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym...

a) Wyznaczmy pierwszy wyraz podanego ciągu stosując zależność:

 

Podstawmy podane wartości z treści zadania:{premium}

 

 

 

Ze wzoru na n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

 

a więc:

 

Stąd:

 

 

 

Pomocniczo przekształćmy wyrażenie po lewej stronie równania:  

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawy potęgi są takie same oraz funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Możemy więc porównać ze sobą wykładniki:

 

 

b) Obliczmy pierwszy wyraz tego ciągu:

  

 

 

 

 

 

Wiemy, że n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:

Zatem:

 

 

 

 

 

 

Analogicznie jak w podpunkcie a), możemy porównać ze sobą wykładniki:

 

 

 

c) Dowolny n-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy opisać wzorem:

 

 

 

 

 

Porównajmy wykładniki.

 

 

 

 

d) Zauważmy, że:

 

 

 

 

Dodatkowo zauważmy, że:

 

Stąd wynika:

 

Wiemy, że:

 

Tak więc:

 

Przeczytaj podany w ramce ...

 

 

 

 

    

Wykonaj działania ...