Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Stereometria - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Stereometria

Stereometria jest ważnym i dość trudnym (wymaga jeszcze więcej wyobraźni niż geometria) działem matematyki. Na kursie podstawowym były przedstawione podstawowe wzory opisujące pole powierzchni i objętość niektórych figur przestrzennych, więc tutaj tylko przypomnę, że jeśli mamy do czynienia z graniastosłupem lub walcem, to jego objętość jest równa $V = P_p×H$, natomiast w przypadku ostrosłupa lub stożka musimy wynik mnożenia podzielić przez 3.

Zajmiemy się teraz czymś bardziej zaawansowanym - określaniem kształtu przekroju sfery, graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną.

Każdy przekrój sfery płaszczyzną jest okręgiem. Można się o tym przekonać obliczając po prostu odległość między jakimś punktem przecięcia i środkiem sfery.

Im mniejsza jest odległość między środkiem sfery a płaszczyzną, tym większy okrąg otrzymujemy, co jest raczej zrozumiałe. Jeśli zaś nasza płaszczyzna zawiera środek (czyli odległość jest równa zeru) mamy do czynienia z okręgiem wielkim, którego promień jest równy promieniowi sfery.

2b

3b

1b

W przypadku graniasto- i ostrosłupów sprawa się komplikuje. W wyniku przecięcia możemy otrzymać praktycznie dowolny wielokąt.

Jeśli przecinamy taką bryłę płaszczyzną równoległą do podstawy, kształt przekroju jest taki sam, jak kształt podstawy.

Jeśli przecinamy to jakąś inną płaszczyzną, możemy uzyskać nieskończenie wiele różnych kształtów: niektóre będą trójkątami, inne czworokątami lub wielokątami.

Aby rozpoznać kształt najprościej po prostu naryswować rysunek w przestrzeni i zaznaczyć przerywaną kreską linie przecięcia. Jeśli wydaje nam się, że kształt może być np. kwadratem, wykonujemy odpowiednie rachunki jak na przykład obliczenie wszystkich boków, aby się o tym przekonać.

1


2

3a

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj działania. Odpowiedź podaj...

 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

 

Korzystając z powyższych obliczeń możemy zapisać, że:{premium}

 

Wykonujemy działania:

 


 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

 

Wykonujemy działania:

 


Oznaczmy:

 

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników liczby 45 jest pierwiastkiem wielomianu w:

 

 

 

Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x+5.

Wykonujemy dzielenie w:(x+5), stosując schemat Hornera.

  1 2 -6 45
-5   -5 15 -45
  1 -3 9 0

Otrzymujemy:

 

Stąd:

 

 


Wracamy do wykonywanych działań.

 



 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

 

Wykonujemy działania:

 


 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

Wykonujemy działania:

 


 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

Wykonujemy działania:

 

Oblicz długość przeciwprostokątnej ...

Oznaczmy:

a, b - długości przyprostokątnych tego trójkąta 

c - długość przeciwprostokątnej tego trójkąta

 

Z treści zadania wiemy, że:

 

     {premium}

 

oraz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wielomian W(x) przy dzieleniu przez...

Z twierdzenia o rozkładzie wielomianu wiemy, że istnieją wielomiany  i  dla których

 

gdzie  lub   

 

U nas  Wtedy:

 lub  

 

Wynika stąd, że wielomian  możemy zapisać w postaci:

 gdzie  

Wówczas:

 

{premium}

 

Wiemy, że reszty z dzielenia wielomianu  przez dwumiany  oraz   są odpowiednio równe  oraz  

więc na podstawie twierdzenia o reszcie otrzymujemy:

 

 

Obliczamy:

 

 

Podstawiamy do układu:

 

Odejmujemy równania stronami:

 

 

 

 

Podstawiamy wyznaczone  do wzoru  

 

Odp.  

Wyznacz wiersze trójkąta Pascala dla...

Na bokach trójkąta Pascala znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią.

Zatem 9-ty i 10-ty wiersz wyglądają następująco:{premium}


Otrzymujemy:

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji f.

 

  • Dziedzina:

 

 

  • Punkty przecięcia z osiami:

 

Wykres przechodzi przez punkt (0,0)

 

 

 

  

 

Miejscem zerowym funkcji jest liczba:

 

 

  • Obliczamy granice funkcji f:

 

 

 

Asymptota pozioma jest dana równaniem:

 

 

  • Pochodna funkcji f:

 

 

 

Ekstrema i monotoniczność:

 

Na lewo od punktu 0 pochodna ma znak ujemny, na prawo znak dodatni a więc jest to minimum.

 

 

       
       
  malejąca  minimum rosnąca
{premium}

 

 

 

 

 

 

  • Dziedzina:

 

 

  • Punkty przecięcia z osiami:

 

Wykres przechodzi przez punkt (0,9/4)

 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

 

 

  • Obliczamy granice funkcji f:

 

 

 

Asymptota pozioma jest dana równaniem:

 

 

  • Pochodna funkcji f:

 

 

 

Ekstrema i monotoniczność:

 

Na lewo od punktu 1 pochodna ma znak dodatni, na prawo znak ujemny a więc jest to maksimum.

       
       
  rosnąca maksimum malejąca

 

 

 

 

 

  • Dziedzina:

 

 

  • Punkty przecięcia z osiami:

 

Wykres przechodzi przez punkt (0,0)

 

 

 

 

 

Miejscami zerowymi funkcji są liczby:

 

 

  • Obliczamy granice funkcji f:

 

 

Nie ma asymptoty poziomej.

 

  • Pochodna funkcji f:

 

 

 

Ekstrema i monotoniczność:

 

Na lewo od punktu 2/3 pochodna ma znak ujemny, na prawo znak dodatni a więc jest to minimum.

 

 

         
  brak       
  0 malejąca minimum rosnąca

 

 

 

Oblicz średnią arytmetyczną...

Jeśli równanie kwadratowe ax2+bx+c=0 ma pierwiastki x1, x2, to:

  •  
  •  

 

 

 

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x1, x2.{premium}

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

 

 

Obliczamy średnią arytmetyczną pierwiastków równania:

 

Obliczamy średnią geometryczną pierwiastków równania:

 


 

 

 

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x1, x2.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

 

 

Obliczamy średnią arytmetyczną pierwiastków równania:

 

Obliczamy średnią geometryczną pierwiastków równania:

 


 

 

 

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x1, x2.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

 

 

Obliczamy średnią arytmetyczną pierwiastków równania:

 

Obliczamy średnią geometryczną pierwiastków równania:

 


 

 

 

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x1, x2.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

 

 

Obliczamy średnią arytmetyczną pierwiastków równania:

 

Obliczamy średnią geometryczną pierwiastków równania:

 

Funkcja f jest określona...

Wiemy, że:

 

zatem łatwo możemy zauważyć, że: {premium}

 

 

Odp.: A

Przesuwając wykres funkcji f, można...

 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 1 jednostkę w prawo i{premium} 7 jednostek w górę.


 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 5 jednostek w lewo i 4 jednostki w dół.


 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo i 5 jednostek w górę.


 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 1 jednostkę w lewo i 8 jednostek w dół.

Proste k, l, m leżące w tej samej płaszczyźnie

Jako przykład można podać proste zawierające boki sześcianu. 

{premium}

 

Niech prosta k będzie prostą zawierającą bok AD. 

Prosta l niech będzie prostą zawierającą bok DH. 

Proste l i k są prostopadłe (bo boki AD i DH są prostopadłe). 

Niech prosta n będzie prostą zawierającą bok DC. 

Proste l i n są prostopadłe (bo boki DH i DC są prostopadłe). 

Proste k i n nie są równoległe - są prostopadłe (bo boki AD i DC są prostopadłe). 

Funkcja kwadratowa f(x)=9x^2-12x+4 ...

 

 

 

 

 

 

{premium}