Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$$sin α = {y}/{R} $$
$$cos α = {x}/{R} $$
$$ an α = {y}/{x} $$
$$ctg α = {x}/{y} $$

gdzie $$ R = √{x^2 + y^2}$$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $$ sin ({∏}/{2} - α)$$ oraz
2) $$ cos ({3}/{2}×∏ + α)$$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $$sin ({∏}/{2} + α) $$, jest tutaj równy $${y}/{R}$$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $$cos α $$ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $$-y$$, a na osi y - odcinek $$x$$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $$ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$$ to po prostu $$ -sin α$$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$$f(K (+/-)α) = g(α)$$

gdzie $$K$$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy $${∏}/{2}$$ lub $${3∏}/{2}$$, czyli te, w których kąt $$∏$$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $$sin ({3∏}/{2} - α)$$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta $${3∏}/{2}$$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $$pi$$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $$sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż graficznie ...

`a)` 

`-3<=|x|/(x-4)<=3` 

`||x|/(x-4)|<=3` 

Oznaczmy:

`g(x)=||x|/(x-4)|`   

Narysujmy najpierw wykres funkcji f, a następnie będziemy go przekształcać aż otrzymamy

wykres funkcji g.

`f(x)={(x/(x-4),\ x>0),(-x/(x-4),\ x <=0):}`   

`f(x)={(1+4/(x-4),\ x>0),(-1 -4/(x-4),\ x <=0):}`     

`g(x)=|f(x)|`  

Odczytajmy dla jakich x spełniona jest nierówność `f(x)<=3.`   

`ul(x in (-oo;3]cup[6;+oo)`    

 

`b)` 

`-3<=(2|x|+1)/x<=3`  

`|(2|x|+1)/x|<=3`  

Oznaczmy:

`g(x)=|(2|x|+1)/x|`   

Narysujmy najpierw wykres funkcji f, a następnie będziemy go przekształcać aż otrzymamy

wykres funkcji g.

`f(x)={((2x+1)/x,\ x>0),((-2x+1)/x,\ x <=0):}`   

`f(x)={(2+1/x,\ x>0),(-2+1/x,\ x <=0):}` 

`g(x)=|f(x)|`        

   

Odczytajmy dla jakich x spełniona jest nierówność `f(x)<=3.`  

`ul(x in (-oo;-1]cup[1;+oo)`    

 

`c)` 

`-3<=(3x-6)/|x|<=3`  

`|(3x-6)/|x||<=3`   

Oznaczmy:

`g(x)=|(3x-6)/|x||`    

Narysujmy najpierw wykres funkcji f, a następnie będziemy go przekształcać aż otrzymamy

wykres funkcji g.

`f(x)={((3x-6)/x,\ x>0),((3x-6)/-x,\ x <=0):}` 

`f(x)={(3-6/x,\ x>0),( -3+6/x ,\ x <=0):}`    

`g(x)=|f(x)|`  

Odczytajmy dla jakich x spełniona jest nierówność `f(x)<=3.`  
  

`ul(x in [1;+oo)`   

Dany jest trójkąt

`b)` 

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

`(x+2)^2+8^2=(x+6)^2`  

`x^2+2*x*2+2^2+64=x^2+2*x*6+6^2`   

`x^2+4x+4+64=x^2+12x+36\ \ \ |-x^2` 

`4x+68=12x+36\ \ \ |-12x` 

`-8x+68=36\ \ \ \ |-68` 

`-8x=-32\ \ \ \ \ |:(-8)` 

`x=4` 

 

 

`c)` 

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

`7^2+(2x+6)^2=(2x+7)^2` 

`49+(2x)^2+2*2x*6+6^2=(2x)^2+2*2x*7+7^2` 

`49+4x^2+24x+36=4x^2+28x+49\ \ \ \ |-4x^2` 

`24x+85=28x+49\ \ \ |-28x` 

`-4x+85=49\ \ \ |-85` 

`-4x=-36\ \ \ |:(-4)` 

`x=9` 

 

Narysuj obraz trójkąta ABC(rysunek obok) w obrocie

a)

 

b)

c)

 

Niech A będzie zbiorem liczb rzeczywistych...

`A=(3, +oo)` 

`B=(-oo,5>>` 

 

Część wspólna tych zbiorów:

`A nn B=(3, 5>>` 

 

Odp. A

Dany jest sześcian ...

`a)` 

`"Rozważmy trójkąt:"` 

 

`x-"przekątna kwadratu ABCD o boku a"`   

`x=asqrt(2)` 

 

`"Z twierdzenia Pitagorasa:"` 

`y^2=a^2+x^2=a^2+2a^2=3a^2` 

`y=asqrt(3)` 

 

`sin beta=x/y=(asqrt(2))/(asqrt(3))=sqrt(2)/sqrt(3)=sqrt(6)/3` 

`cos beta=a/y=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3`   

`tg beta=x/a=sqrt(2)` 

 

`sin delta=a/y=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3` 

`cos delta=x/y=sqrt(6)/3` 

`tg delta=a/x=a/(sqrt(2)a)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2` 

 

`b)` 

`"Z poprzedniego podpunktu wiemy że:"` 

`|DB|=asqrt(2)` 

`|DO|=(asqrt(2))/2` 

`"Z pitagorasa":` 

`|D'O|^2=a^2+((asqrt(2))/2)^2=a^2+1/4*2*a^2=3/2a^2` 

`|D'O|=(asqrt(3))/sqrt(2)` 

`sin beta=a/((asqrt(3))/sqrt(2))=sqrt(2)/sqrt(3)=sqrt(6)/3` 

`cos beta=((asqrt(2))/2)/((asqrt(3))/sqrt(2))=sqrt(3)/3`  

`tg beta=a/((asqrt(2))/2)=2/sqrt(2)=sqrt(2)` 

 

`sin delta=((asqrt(2))/2)/((asqrt(3))/(sqrt(2)))=sqrt(3)/3` 

`cos delta=a/((asqrt(3))/sqrt(2))=sqrt(6)/3` 

`tg delta=((asqrt(2))/2)/a=sqrt(2)/2`                   

Naszkicuj wykres funkcji okresowej ...

`a)` 

`g(x)=|x|` 

`x in [-1;1)` 

`"Wykres g(x):"`  

`"Skoro funkcja f ma okres T=2 to w przedziałach postaci [-1;1)+2n, gdzie n jest całkowite"`  

`"jej wykres będzie identyczny jak wykres funkcji g(x) na przedziale [-1;1)."` 

`("Przykładowy przedział postaci [-1;1)+n dla n=1: [-1;1)+2=[1;3).")` 

`"Wykres funkcji f(x):"`    

`b)` 

`g(x)=x` 

`"Skoro funkcja f ma okres T=2 to w przedziałach postaci [-1;1)+2n, gdzie n jest całkowite"`

`"jej wykres będzie identyczny jak wykres funkcji g(x) na przedziale [-1;1)."`   

`"(Wykres funkcji f jest koloru czerwonego.")` 

 

`c)` 

`g(x)=1-x^2` 

`"Podobnie jak w poprzednich przykładach wykres funckji f, na przedziałach postaci [-1;1)+2n jest"` 

`"identyczny jak wykres g na przedziale [-1;1)."` 

 

`d)` 

`g(x)=3/2x^3` 

`"Analogicznie do poprzednich przykładów:"` 

` "(Wykres f(x) jest zaznaczony kolorem czerwonym.")`

Ile możemy utworzyć kodów

`a)`

Mamy do dyspozycji 4 litery oraz 5 cyfr. 

Na początku kodu mają znajdować się cztery litery - na każdym z czterech miejsc możemy umieścić jedną z czterech liter. 

Potem mają znajdować się trzy cyfry - na każdym z trzech miejsc możemy umieścić jedną z pięciu cyfr.

Mamy więc następującą liczbę możliwości:

`#underbrace(4*4*4*4)_("litery")*#underbrace(5*5*5)_("cyfry")=32\ 000 ` 

 

 

`b)` 

Mamy do dyspozycji 7 liter oraz 6 cyfr. 

Na początku kodu mają znajdować się cztery litery - na każdym z czterech miejsc możemy umieścić jedną z siedmiu liter. 

Potem mają znajdować się trzy cyfry - na każdym z trzech miejsc możemy umieścić jedną z sześciu cyfr.

Mamy więc następującą liczbę możliwości:

`#underbrace(7*7*7*7)_("litery")*#underbrace(6*6*6)_("cyfry")=518 \ 616` 

 

 

`c)` 

Mamy do dyspozycji 26 liter oraz 10 cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). 

Na początku kodu mają znajdować się cztery litery - na każdym z czterech miejsc możemy umieścić jedną z dwudziestu sześciu liter. 

Potem mają znajdować się trzy cyfry - na każdym z trzech miejsc możemy umieścić jedną z dziesięciu cyfr.

Mamy więc następującą liczbę możliwości:

`#underbrace(26*26*26*26)_("litery")*#underbrace(10*10*10)_("cyfry")=456\ 976\ 000` 

 

Dany jest okrąg o środku O i promieniu R

a)

Obliczamy sumę długości promieni tych okręgów oraz wartość bewzględną z różnicy długości promieni. Sprawdzamy, jak mają się te wartości do odległości między środkami tych okręgów. W oparciu o twierdzenia opisane na stronie 187 określamy jakie jest wzajemne położenie dwóch okręgów. 

`|R-r|=|5-6|=|-1|=1`

`R+r=5+6=11`

`|OS|=1`

`|OS|=|R-r|`

Okręgi są styczne wewnętrznie.

b)

`|R-r|=|1-0,4|=0,6`

`R+r=1+0,4=1,4`

`|OS|=sqrt2`

`sqrt2>1,4`

`|OS|>R+r`

Okręgi  są rozłączne zewnętrznie. 

Układ nierówności...

`"a)"`  

 

`"b)"` Punkt `A` leży na przecięciu prostych `y=-6,\ x=-4,` stąd `A=(-4,-6).` 

Obliczamy współrzędne punktu `B:` 

`-6=-x-1`    

`x=5` 

`B=(5,-6)` 

Obliczamy współrzędne punktu `C:` 

`y=4-1` 

`y=3` 

`C=(-4,\ 3)` 

 

`"c)"` Odczytujemy z rysunku długości odcinków `AB,\  AC:` 

`|AB|=9`         

`|AC|=9` 

Obliczamy pole trójkąta:

`P_Delta=1/2|AB|*|AC|` 

`P_Delta=1/2*9*9=81/2=40,5` 

 

`"d)"` Niech szukana prosta ma równanie `y=ax+b.` 

Jest ona prostopadła do prostej `y=-x-1,` stąd `a=1.` 

Szukana prosta przechodzi przez punkt `A,` stąd:

`y=x+b`       

`-6=-4+b` 

`b=-2` 

Czyli:

`y=x-2`   

Naszkicuj wykres funkcji...

Naszkicujmy wykres funkcji `y = 4/x` 

oraz proste dane równaniami:

`x = -8 \ \ "i" \ \ x = 0` 

Widzimy, że funkcja jest malejąca dla

`x in (-oo, 0)` 

 

Wyznaczmy wartość dla argumentu -8:

`f(-8) = 4/(-8) = -1/2` 

A więc liczba

`-1/2` 

ogranicza z góry wartości dla wszystkich argumentów z przedziału `(-8, 0)`  

 

Zatem:

`f(x) < -1/2 \ \ \ "Dla" \ x in (-8, 0)`   

`4/x < -1/2 \ \ \ "Dla" \ x in (-8, 0)` 

A więc:

`m = -1/2`