Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$sin α = {y}/{R} $
$cos α = {x}/{R} $
$ an α = {y}/{x} $
$ctg α = {x}/{y} $

gdzie $ R = √{x^2 + y^2}$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $ sin ({∏}/{2} - α)$ oraz
2) $ cos ({3}/{2}×∏ + α)$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $sin ({∏}/{2} + α) $, jest tutaj równy ${y}/{R}$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $cos α $ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $-y$, a na osi y - odcinek $x$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$ to po prostu $ -sin α$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$f(K (+/-)α) = g(α)$

gdzie $K$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy ${∏}/{2}$ lub ${3∏}/{2}$, czyli te, w których kąt $∏$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $sin ({3∏}/{2} - α)$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta ${3∏}/{2}$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $pi$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Okrąg o środku ...

 - ponieważ są to kąty wierzchołkowe.

 

 - ponieważ są to kąty wierzchołkowe

 - ponieważ trójkąty  są równoramienne

Wobec tego  

 

Podobnie dla trójkątów  

 

 

Więc: 

 

 

Trójkąty   są równoramienne, czyli:

 

 

Trójkąty ABP i EFP są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.

Oblicz granicę.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

` `

Rozwiąż nierówność ...

 

 

      {premium}

 

Przypadek, gdy  

 

 

sprzeczność

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

Suma całkowitych rozwiązań mniejszych od 15:

 

 

Wskaż dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W...

Dzielnikami są:  

Sprawdzamy, który z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu  

 

 

 {premium}

 

Odp. Żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu  


Dzielnikami są:  

Sprawdzamy, który z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu  

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkiem wielomianu jest liczba  

Figura na rysunku składa się z czterech...

Pola trzech pierwszych prostokątów tworzą ciąg geometryczny zatem:

  

Pola trzech ostatnich prostokątów tworzą ciąg arytmetyczny zatem:

`2P_3 = P_2 + P_4` 

 

 

 

Stąd:

 

 

`4P_3^2 - 17 P_3 + 4 =0` 

 

 

 

 

 

 

Pole musi być dodatnie zatem:

 

 

Pole figury jest równe:

 

Odpowiedź C

Na rysunku obok przedstawiono

 

W przedziale <1; 2) funkcja jest malejąca. Zbiór wartości będzie więc postaci:{premium}

 

 

 

 

Patrząc na wykres wnioskujemy, że zbiór wartości będzie postaci:

  

Wyznacz wyrażenie W=2S-3T

 

 

  

 

{premium}

 

 

  

Liczby 1, 2, 3, 4, 5 ustawiamy w szereg...

Możliwe przypadki:{premium}

  • 3, 4, __,  __,  __
  • __, 3, 4, __, __
  • __, __, 3, 4, __
  • __, __, __, 3, 4

W każdym z tych (czterech) przypadków liczby 3 i 4 są na ustalonych miejscach, a na pozostałych miejscach ustawiamy liczby 1, 2 i 5 w sposób losowy. Zgodnie z regułą mnożenia możemy to zrobić na 3٠2٠1=6 sposobów. Ponadto, liczby 4 i 3 możemy zamienić miejscami, więc ilość otrzymanych wyników należy jeszcze pomnożyć przez 2. Wobec tego, ilość możliwych ustawień obliczamy następująco:

 

Wyznacz współczynniki wielomianu W(x) tak, aby...

 

 {premium}

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

Cztery ponumerowane kule umieszczono ...

Pierwszą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Drugą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Trzecią kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Czwartą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby. {premium}

Łączna ilość wszystkich możliwości:

 

 

a) A - każda kula trafi do innej szuflady

Pierwszą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Drugą kulę możemy umieścić w jednej z trzech szuflad, czyli możemy to zrobić na 3 sposoby.

Trzecią kulę możemy umieścić w jednej z dwóch szuflad, czyli możemy to zrobić na 2 sposoby.

Czwartą kulę możemy umieścić w pustej szufladzie, czyli możemy to zrobić na 1 sposób.

 

 

 

b) B - wszystkie kule trafią do jednej szuflady

Mamy 4 możliwości - kule trafią do pierwszej szuflady lub kule trafią do drugiej szuflady lub kule trafią do trzeciej szuflady lub kule trafią do czwartej szuflady