Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$$sin α = {y}/{R} $$
$$cos α = {x}/{R} $$
$$ an α = {y}/{x} $$
$$ctg α = {x}/{y} $$

gdzie $$ R = √{x^2 + y^2}$$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $$ sin ({∏}/{2} - α)$$ oraz
2) $$ cos ({3}/{2}×∏ + α)$$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $$sin ({∏}/{2} + α) $$, jest tutaj równy $${y}/{R}$$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $$cos α $$ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $$-y$$, a na osi y - odcinek $$x$$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $$ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$$ to po prostu $$ -sin α$$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$$f(K (+/-)α) = g(α)$$

gdzie $$K$$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy $${∏}/{2}$$ lub $${3∏}/{2}$$, czyli te, w których kąt $$∏$$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $$sin ({3∏}/{2} - α)$$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta $${3∏}/{2}$$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $$pi$$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $$sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj wykres funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

 

c) Wykres:

Na ile sposobów można wybrać...

a) Wybieramy 2 osoby spośród 7 osób.

 

{premium}

b) Wybieramy 3 osoby spośród 7 osób.

 

c) Wybieramy 4 osoby spośród 7 osób.

 

Okrąg o środku O

Zbiorem wartości funkcji...

Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji:

 

jest zbiór:

 

 

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji g o 2 jednostki w lewo to otrzymamy:

 

skoro przesuwamy równoległe do osi X to znaczy, że zbiór wartości będzie taki sam.

 

Odpowiedź D

Rozwiąż równanie.

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz współczynnik

 

Jeśli podana liczba ma być miejscem zerowym funkcji f, to musi zachodzić równość:

 

 {premium}

 

 

 

 

Funkcja f jest więc dana wzorem:

 

Wystarczy więc wykres funkcji g(x)=|3x| przesunąć o 1/2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX.   

 

 

 

 

Jeśli podana liczba ma być miejscem zerowym funkcji f, to musi zachodzić równość:

 

 

 

 

 

 

Funkcja f jest więc dana wzorem:

 

 

Wystarczy więc wykres funkcji g(x)=|1/2x| przesunąć o 4 jednostki w lewo wzdłuż osi OX.   

 

Wyznacz wartości parametru m tak, aby ...

 

  

 

 

 

{premium}

 

 

  

 

 

  

 

 

 

 

 

  

   

 

 

 

  

 

 

 

 

 

     

Podaj współczynnik kierunkowy

 

Wykres funkcji f(x)...

Naszkicujmy wykres funkcji:

 

 

Przesuńmy wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół, otrzymamy wtedy wykres funkcji g dany wzorem:

 

Zauważmy, że:

 

oraz

 

 

 

 

 

Krawędź boczna ostrosłupa

 

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

 

  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy, jaką długość ma odcinek a, czyli połowa przekątnej podstawy:

 

 

 

 

 

 

Przekątna podstawy ma więc długość 6. Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Kwadrat jest w szczególności rombem (bo ma 2 pary boków równoległych, a wszystkie boki są jednakowej długości), więc jego pole możemy obliczyć tak, jak pole rombu - biorąc połowę iloczynu długości przekątnych. 

 

 

Obliczamy objętość:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa oraz z zależności h=2a wyrazimy H za pomocą a:

 

 

 

 

 

 

Musimy obliczyć sinus kąta alfa:

  

 

 

Długość H mamy wyrażoną za pomocą a. Musimy więc wyrazić długość c za pomocą a - wtedy a się skróci i otrzymamy wartość sinusa. 

Znamy długość wysokości ściany bocznej (h) w zależności od a. Wykonajmy więc rysunek pomocniczy - narysujmy ścianę boczną. 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

  

 

 

Obliczamy szukaną wartość sinusa: