Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$$sin α = {y}/{R} $$
$$cos α = {x}/{R} $$
$$ an α = {y}/{x} $$
$$ctg α = {x}/{y} $$

gdzie $$ R = √{x^2 + y^2}$$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $$ sin ({∏}/{2} - α)$$ oraz
2) $$ cos ({3}/{2}×∏ + α)$$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $$sin ({∏}/{2} + α) $$, jest tutaj równy $${y}/{R}$$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $$cos α $$ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $$-y$$, a na osi y - odcinek $$x$$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $$ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$$ to po prostu $$ -sin α$$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$$f(K (+/-)α) = g(α)$$

gdzie $$K$$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy $${∏}/{2}$$ lub $${3∏}/{2}$$, czyli te, w których kąt $$∏$$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $$sin ({3∏}/{2} - α)$$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta $${3∏}/{2}$$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $$pi$$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $$sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podstawmy rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

W przedziale rownanie matematyczne otrzymujemy następujące rozwiązania:

rownanie matematyczne 

 

Oblicz ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne {premium}


rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  


rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

Podaj miarę łukową kąta wewnętrznego:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

Zbiorem rozwiązań nierówności ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Uprość wyrażenie

Będziemy korzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Z podpunktu a) wiemy, że zachodzi równość:

rownanie matematyczne 

 

Jeśli obustronnie odejmiemy liczbę 1, to otrzymamy:

rownanie matematyczne 

 

Rozpiszmy dwa pierwsze nawiasy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Udało się zapisać tą liczbę jako iloczyn liczby 16 i pewnych innych liczb naturalnych, więc podana liczba jest podzielna przez 16.

 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Udało się zapisać tą liczbę jako iloczyn liczby 17 i pewnych innych liczb naturalnych, więc podana liczba jest podzielna przez 17.

Cięciwa łącząca punkty A i B leżące na okręgu o promieniu 5

Dorysowujemy sobie kąt wpisany ACB oparty na tym samym łuku co kąt środkowy AOB. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy ma miarę dwa razy od niego mniejszą. 

 

 

Dla trójkąta ABC Układamy zależność trygonometryczną:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne          `/*2`

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne     

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Dany jest równoległobok ABCD...

Punkt E jest środkiem boku BC, czyli:

rownanie matematyczne 

 

Kąty przy wierzchołku E w trójkątach CDE i BEF są równe gdyż są kątami wierzchołkowymi.

 

Zauważmy, że:

rownanie matematyczne 

bo są kątami naprzemianległymi a więc:

rownanie matematyczne 

 

A więc:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

a więc trójkąty BEF i CDE są przystające na mocy cechy kbk zatem ich pola są równe. A więc:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Koniec dowodu.

Na rysunku obok przedstawiono...

a) rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podstawmy współrzędne punktu A.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Podstawmy współrzędne punktu B. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 


b) ALGEBRAICZNIE

rownanie matematyczne 

I przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

sprzeczność

II przypadek: 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

GRAFICZNIE

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 


c) ALGEBRAICZNIE

rownanie matematyczne 

I przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

II przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

GRAFICZNIE

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Na rysunku obok

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Uzupełniamy tabelkę:

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 
rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

 

Rysujemy wykres funkcji g:

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne