Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$$sin α = {y}/{R} $$
$$cos α = {x}/{R} $$
$$ an α = {y}/{x} $$
$$ctg α = {x}/{y} $$

gdzie $$ R = √{x^2 + y^2}$$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $$ sin ({∏}/{2} - α)$$ oraz
2) $$ cos ({3}/{2}×∏ + α)$$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $$sin ({∏}/{2} + α) $$, jest tutaj równy $${y}/{R}$$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $$cos α $$ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $$-y$$, a na osi y - odcinek $$x$$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $$ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$$ to po prostu $$ -sin α$$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$$f(K (+/-)α) = g(α)$$

gdzie $$K$$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy $${∏}/{2}$$ lub $${3∏}/{2}$$, czyli te, w których kąt $$∏$$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $$sin ({3∏}/{2} - α)$$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta $${3∏}/{2}$$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $$pi$$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $$sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W romb o boku długości 2 cm...

Korzystając z funkcji trygonometrycznych:

`(2r)/2=sin60^o` 

`r=sqrt3/2` 

 

`P=pir^2=pi(sqrt3/2)^2=3/4pi ["cm"^2]` 

Wyznacz miary kątów α i ß.

Z miejscowości A do oddalonej ...

`a)` 

`v=s/t` 

`s=t*v` 

`s_1-"odległość pierwszego rowerzysty od miejscowości A w zależności od czasu t"` 

`s_2-"odległość pierwszego rowerzysty od miejscowości A w zależności od czasu t"`  

`ul(s_1=16t`  

`ul(s_2= -16t+40`     

 

`b)` 

`x-"odległość między rowerzystami"` 

`|s_1-s_2|=|16t+16t-40|=|32t-40|` 

`t in [0;5/2]` 

 

`|32t-40|=8` 

`32t-40=8\ \ \vv\ \ \32t-40=-8` 

`32t=48\ \ \vv\ \ \32t=32` 

`t=3/2\ \ \vv\ \ \t=1` 

Odległość między rowerzystami będzie równa 8 km po 1h podróży oraz po 1,5h podróży.  

Oblicz wartość wyrażenia.

a) `"sin"(31pi)/6="sin"(24pi+7pi)/6="sin"(4pi+7/6pi)="sin"(7/6pi)="sin"(180*7/6)^o="sin"210^o="sin"(180^o +30^o)=-"sin"30^o=-1/2` 

 

`"cos"(15pi)/4="cos"(8pi+7pi)/4="cos"(2pi+7/4pi)="cos"(7/4pi)="cos"(180*7/4)^o="cos"315^o="cos"(270^o +45^o)="sin"45^o=sqrt2/2` 

 

`"tg"(5pi)/4="tg"(180*5/4)^o="tg"225^o="tg"(180^o +45^o)="tg"45^o=1` 

 

`2"sin"(31pi)/6+sqrt2"cos"(15pi)/4-"tg"(5pi)/4=2*(-1/2)+sqrt2*sqrt2/2-1=-1+2/2-1=-1+1-1=-1` 


b) `"sin"780^o="sin"(2*360^o +60^o)="sin"60^o=sqrt3/2` 

`"cos"1035^o="cos"(2*360+ 315^o)="cos"315^o="cos"(360^o - 45^o)="cos"45^o=sqrt2/2` 

`"tg"405^o="tg"(360^o + 45^o)="tg"45^o=1` 

`2"sin"780^o + "cos"1035^o + 3"tg"405^o=2*sqrt3/2+sqrt2/2+3*1=sqrt3+sqrt2/2+3` 

W podanej sumie algebraicznej wskaż wyrazy podobne

`a)\ 2p^3+ul(3p^2)+ul(ul(2p))+ul(1/2p^2)+ul(ul(p))`

`b)\ ul(-3x^3y^2)+ul(ul(2x^2y^3))+ul(3x^3y^2)+2xy^3-ul(ul(x^2y^3))`

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

`a)` 

`beta=180^o-90^o-30^o=60^o` 

`delta=180^o-beta=120^o` 

`alpha=180^o-45^o-120^o=15^o` 

`e=6` 

`cos30^o=sqrt3/2=e/d=6/d` 

`d=6*2/sqrt3=(12sqrt3)/3=4sqrt3` 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

`|EC|=d=4sqrt3` 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

`tg\ (x-y)=(tg\ x - tg\ y)/(1+tg\ x*tg\ y)` 

`tg\ 15^o=tg\ (60^o-45^o)=(sqrt3-1)/(1+sqrt3)=((sqrt3-1)(sqrt3-1))/(3-1)=(3-2sqrt3+1)/2=2-sqrt3` 

`tg\ 15^o=e/y=6/y` 

`6/y=2-sqrt3` 

`y=6/(2-sqrt3)=(6(2+sqrt3))/(4-3)=12+6sqrt3` 

`P_(ABD)=1/2*6*(12+6sqrt3)=ul(18(2+sqrt3)` 

 

`b)`          

`"Czy"\ sin15^o=(sqrt6-sqrt2)/4?` 

 

Z Pitagorasa:

`f^2=d^2-e^2=48-36=12` 

`f=2sqrt3`    

`sin 15^o=e/x=g/z`  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

`d=gsqrt2` 

`g=(dsqrt2)/2=(4sqrt6)/2=2sqrt6` 

Wiemy, że:

`z=y-f=12+6sqrt3-2sqrt3=12+4sqrt3`  

`sin15^o=g/z=(2sqrt6)/(12+4sqrt3)=sqrt6/(6+2sqrt3)=(sqrt6(6-2sqrt3))/(36-12)=(6sqrt6-2sqrt18)/24=ul((sqrt6-sqrt2)/4`      

`cos^2 15^o +sin^2 15^o=1` 

`cos15^o=sqrt(1-(6-2sqrt12+2)/16)=sqrt((8+4sqrt3)/2)=sqrt(2+sqrt3)/2` 

W wannie o pojemności 200 litrów

`t\ -\ "czas napełniania (w min)"`

`f(t)\ -\ "ilość wody (w l) w wannie po czasie t"`

 

Wiemy, że na początku w wannie było 20 litrów wody i że w ciągu każdej minuty nalewa się 15 litrów: 

`f(t)=20+15t`

 

Oczywiście t musi być nieujemne, dodatkowo liczba litrów w wannie nie może być większa niż 200 l (bo taką pojemność ma wanna): 

`f(t)<=200`

`20+15t<=200\ \ \ |-20`

`15t<=180\ \ \ |:15`

`t<=12`

 

 

Czyli ostatecznie: 

`ul(ul(f(t)=15t+20,\ \ \ \ \ \ t in<<0,\ 12>>))`

 

 

Do narysowania wykresu funkcji liniowej potrzebne są 2 punkty. Wiemy, że na początku w wannie było 20 l wody, czyli f(0)=20, mamy więc punkt (0, 20) i że po 12 minutach wanna będzie pełna, czyli f(12)=200, czyli mamy punkt (12, 200)

Pani Kozłowska wzięła w banku kredyt ...

`K_0=40000` 

`r=16%` 

`n=2` 

`m=4` 

`n*m=8` 

`40000/8=5000` 

`a)` 

`"Każda rata składa się z 1/8 części kredytu (5000) oraz z "1/8*16% \ "odsetek od niespłaconej części kredytu rocznie."` 

`"I Rata:"\ 5000+1/8*n*16%*40000=5000+1600=6600`  

`"VIII Rata:"\ 5000+1/8*n*16%*5000=5000+200=5200`   

 

`b)`  

`x=1/8n*16%(40000+35000+30000+25000+20000+15000+10000+5000)` 

`x=4/100*180000`  

`x=4*1800=7200`

Łączna wartość odsetek kredytu wynosi 7200 zł.

Liczby a i b są pierwiastkami równania...

`x^2 + Ax+2=0` 

 

`x^2+Bx+32=0` 

 

Ze wzorów Viete'a:

`a*b=c/a=2/1=2` 

`ab=2` 

 

`c*d = 32/1=32`  

`a*q^2*b*q^2=32` 

`ab*q^4=32` 

`2*q^4 = 32` 

`q^4 = 16` 

Skoro jest to ciąg rosnący q>0

`q = 2` 

 

Zatem ze wzorów Viete'a wiemy, że:

`a+b=-b/a = -A/1 = -A` 

`a+a*q = -A` 

`a+2a=-A` 

`3a=-A` 

`A = -3a` 

 

`c+d = -b/a = -B/1 = -B` 

`aq^2 + aq^3 = -B` 

`4a+8a=-B` 

`-B=12a` 

`B=-12a` 

 

A więc musimy wyznaczyć wartość a.

`ab = 2` 

`a = 2/b` 

 

`b^2 = ac` 

`b^2=2/b* c` 

`b^3 = 2c` 

 

 

`cd=32` 

`d = 32/c` 

 

`c^2=bd`  

Podnieśmy do trzeciej potęgi nasze równanie:

`c^6 = b^3 * d^3` 

`c^6 = 2c*(32/c)^3` 

`c^6 = 2c*2^15/c^3` 

`c^6 = 2^16/c^2` 

`c^8 = 2^16` 

`c = 2^2` 

`c=4` 

A więc:

`d = 8` 

`b= 2` 

`a = 1` 

 

Zatem:

`A=-3` 

`B=-12` 

Uzasadnij, ze dla każdej liczby rzeczywistej...

Wyrażenie:

`2^a + 2^(-a)` 

jest zawsze dodatnie a więc możemy przemnożyć nierówność przez nie.

`2/(2^a + 2^(-a)) leq 1 \ \ \ |*(2^a + 2^(-a))` 

`2 leq 2^a + 2^(-a)` 

`0 leq 2^a - 2*1 +2^(-a)` 

`0 leq ((sqrt2)^2)^a - 2*(sqrt2)^0 + ((sqrt2)^2)^(-a)` 

`0 leq ((sqrt2)^a)^2 - 2 *(sqrt2)^(a-a)  + ((sqrt2)^(-a))^2` 

`0 leq ((sqrt2)^a)^2 -2 * (sqrt2)^a * (sqrt2)^(-a) + ((sqrt2)^(-a))^2` 

`0 leq ((sqrt2)^a - (sqrt2)^(-a))^2` 

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny a więc równanie jest spełnione dla dowolnej liczby rzeczywistej a.