Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$sin α = {y}/{R} $
$cos α = {x}/{R} $
$ an α = {y}/{x} $
$ctg α = {x}/{y} $

gdzie $ R = √{x^2 + y^2}$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $ sin ({∏}/{2} - α)$ oraz
2) $ cos ({3}/{2}×∏ + α)$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $sin ({∏}/{2} + α) $, jest tutaj równy ${y}/{R}$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $cos α $ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $-y$, a na osi y - odcinek $x$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$ to po prostu $ -sin α$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$f(K (+/-)α) = g(α)$

gdzie $K$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy ${∏}/{2}$ lub ${3∏}/{2}$, czyli te, w których kąt $∏$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $sin ({3∏}/{2} - α)$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta ${3∏}/{2}$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $pi$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W pudełku...

W pudełku jest 40 kul z czego 35 kul jest białych. 

Czerwonych kul w tym pudełku jest{premium}

Prawdopodobieństwo p zdarzenia polegającego na tym, że wylosowano kulę czerwoną jest równe 

 

 

Odp. A.

Wykonaj mnożenie ...

 

   {premium}


 

 

 

Nierówność mx^2+4x+4<0 nie ma rozwiązań...

 

Nierówność może być liniowa lub kwadratowa (w zależności od współczynnika przy x2), więc rozważymy dwa przypadki:


 

Wówczas otrzymujemy nierówność liniową:{premium}

 

 

Powyższa nierówność nie jest sprzeczna, więc m=0 nie spełnia warunków zadania.


 

Wówczas otrzymujemy nierówność kwadratową:

 

Nierówność nie ma rozwiązań, gdy parabola leży powyżej lub na osi X, czyli, gdy współczynnik przy x2 jest dodatni oraz trójmian po lewej stronie nierówności ma co najwyżej jeden pierwiastek. Muszą więc jednocześnie zachodzić warunki:

 

Rozwiązujemy warunek (1):

 

Rozwiązujemy warunek (2):

 

 

 

 

 

 

Rozważana nierówność nie ma rozwiązań, gdy:

 

 


Prawidłowa odpowiedź to C.

Do wykresu funkcji wykładniczej ...

Obliczmy wartość  : {premium}

 

 

 

 

 

Odp.: C

 

Podaj dziedzinę wyrażenia.

 

Mianownik wyrażenia nie może być zerem, więc:

 {premium}

 

 

 

 


 

Mianownik wyrażenia nie może być zerem, więc:

 

 

 

 

 


 

Mianownik wyrażenia nie może być zerem, więc:

 

 

 

Wyróżnik trójmianu 3x2-2x+1 jest ujemny, więc wyrażenie 3x2-2x+1 nie przyjmuje wartości 0.

Zatem:

 

 

Przestawiając dowolne cyfry 1,2,3,4,5, tworzymy losowo ...

Ilość wszystkich możliwości utworzenia pięciocyfrowego kodu:

 {premium}

 

a) A - najpierw ustawiono liczby parzyste, a następnie cyfry będące liczbami nieparzystymi

_ _ _ _ _

Na pierwszym miejscu może być 2 lub 4, czyli mamy 2 możliwości wyboru.

Na drugim miejscu może być liczba parzysta, której nie wybraliśmy na pierwszym miejscu, czyli jest tylko 1 możliwość.

Na trzecim miejscu może być 1,3 lub 5, czyli mamy 3 możliwości wyboru.

Na czwartym miejscu może być 1,3 lub 5 (oprócz tej którą już wybraliśmy), czyli mamy 2 możliwości wyboru.

Na piątym miejscu może być liczba nieparzysta, której nie wybraliśmy, czyli jest tylko 1 możliwość.

 

 

 

b) B - cyfry 1,2,3 stoją w podanej kolejności obok siebie

123_ _

_ 123_

_ _123

Czyli mamy 3 możliwości.

Pozostałe liczby można ustawić na  możliwości.

 

 

 

 

 

Wykaż, że suma sześcianów dwóch różnych...

Zakładamy, że:

 

Przekształćmy nierówność: {premium}

 

 

 

 

 

Kwadrat liczby różnej od zera jest liczbą dodatnią.

c.n.w.

Dany jest okrąg o środku w punkcie O...

 Obliczamy miarę kąta  

 

Kąt przyległy do kąta o mierze  ma miarę  

Zatem, z sumy kątów trójkąta, mamy:

 

Trójkąt  jest równoramienny. Zatem, z sumy kątów trójkąta dla  mamy:{premium}

 

 

 

 


 Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to sumy miar przeciwległych kątów są równe i wynoszą po  

Stąd:

 

 


 Zauważmy, że możemy dorysować kąt wpisany, oparty na tym samym łukum co kąt dopisany

tak, jak pokazano na rysunku poniżej.

Thumb zad4.81cstr107

Wówczas kąt środkowy, oparty na tym samym łuku, ma miarę  

Mamy więc:

 

 

 

Podaj wzór funkcji g,...

Skorzystamy z następującego twierdzenia:

Wykres funkcji y = f(x - p) powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y = f(x) o wektor u=[p, 0].


 

 

Rysujemy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy go o wyznaczony wektor - w ten sposób otrzymamy wykres funkcji g:

{premium}


 

 

Rysujemy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy go o wyznaczony wektor - w ten sposób otrzymamy wykres funkcji g:


 

 

Rysujemy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy go o wyznaczony wektor - w ten sposób otrzymamy wykres funkcji g:


 

 

Rysujemy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy go o wyznaczony wektor - w ten sposób otrzymamy wykres funkcji g:


 

 

Rysujemy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy go o wyznaczony wektor - w ten sposób otrzymamy wykres funkcji g:


 

 

Rysujemy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy go o wyznaczony wektor - w ten sposób otrzymamy wykres funkcji g:

Korzystając z danych przedstawionych na rysunku...

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa i obliczmy długość przeciwprostokątnej:

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy wartość danego wyrażenia: