Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$$sin α = {y}/{R} $$
$$cos α = {x}/{R} $$
$$ an α = {y}/{x} $$
$$ctg α = {x}/{y} $$

gdzie $$ R = √{x^2 + y^2}$$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $$ sin ({∏}/{2} - α)$$ oraz
2) $$ cos ({3}/{2}×∏ + α)$$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $$sin ({∏}/{2} + α) $$, jest tutaj równy $${y}/{R}$$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $$cos α $$ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $$-y$$, a na osi y - odcinek $$x$$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $$ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$$ to po prostu $$ -sin α$$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$$f(K (+/-)α) = g(α)$$

gdzie $$K$$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy $${∏}/{2}$$ lub $${3∏}/{2}$$, czyli te, w których kąt $$∏$$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $$sin ({3∏}/{2} - α)$$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta $${3∏}/{2}$$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $$pi$$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $$sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji f...

a)

 

 

 

 

Obliczmy dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 1.

 

 

 

 

 

 

 

Funkcja przyjmuje wartości większe od 1 dla  


b)

 

 

 

 

Obliczmy dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 1.

 

 

 

 

 

 

Funkcja przyjmuje wartości większe od 1 dla  

Punkty A(0, 1) i C(0, 3) są wierzchołkami trójkąta...

 

 

 

 

 

Punkt B leży na prostej  

Wobec tego ma współrzędne  

 

 

 

 

 

 

W trapezie ABCD przekątna ...

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

Spośród liczb naturalnych

Losujemy jedną z 25 liczb, więc mamy 25 możliwości:

 

 

 

 

W zbiorze tych 25 liczb znajduje się 9 liczb pierwszych (są to liczby 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23).

 

 

 

 

 

Przypomnijmy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

 

 

W zbiorze tych 25 liczb znajduje się 5 liczb pierwszych dwucyfrowych (11, 13, 17, 19, 23). 

 

 

W zbiorze tych 25 liczb znajduje się 16 liczb dwucyfrowych:

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

 

   

Funkcja wielomianowa...

Jeżeli argumentami są liczby -2, 1 i 4 to jego postać iloczynowa wygląda następująco:

Dla argumentu -1 przyjmuje wartość -10:{premium}

 

 

 

 

 

 

Przekształćmy postać iloczynową na ogólną:

 

 

 

Rozwiążmy nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podglad pliku

 

Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ ...

 

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy drugie równanie:

 

 

 

 

 

 

Punkty przecięcia wykresów to P1=(1,3) oraz P2=(-3,-1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

 

 

 

 

 

  

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

  

 

 

  

  

 

  

Punkty przecięcia wykresów to P1=(3,-4) oraz P2=(-2,1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

  

 

 

  

 

   

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

   

   

 

   

  

   

 

     

Punkty przecięcia wykresów to P1=(-2,1) oraz P2=(-4,-3).

 

Rozwiązanie graficzne:

Po dwóch godzinach od rozpoczęcia ...

Wzór wyrażający liczbę bakterii w zależności od czasu t mierzonego w godzinach:

gdzie y0 - początkowa liczba bakterii

a - pewna stała

 

Wiemy, że po 2 godzinach było 1200 bakterii.

  

Po 6 godzinach ich ilość wzrosła do 10 800.

 

Poczatkową ilość bakterii oraz stałą a wyznaczymy rozwiązując układ równań:

 

 

(zakładamy, że a>0)

 

  

  

 

 

 

 

Wzór określający liczebność bakterii (przy początkowej ilości 400) w zależności od czasu t mierzonego w godzinach:

Na początku doświadczenia było 400 bakterii.

Obliczamy, jaka będzie liczebność bakterii po 10 godzinach:

 

Po 10 godzinach liczebność kolonii bakterii wyniesie 97 200.

Rozłóż wyrażenie algebraiczne na czynniki...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Udowodnij tożsamości trygonometryczne ...

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

    

Rzucamy trzy razy

 

{premium}