Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$sin α = {y}/{R} $
$cos α = {x}/{R} $
$ an α = {y}/{x} $
$ctg α = {x}/{y} $

gdzie $ R = √{x^2 + y^2}$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $ sin ({∏}/{2} - α)$ oraz
2) $ cos ({3}/{2}×∏ + α)$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $sin ({∏}/{2} + α) $, jest tutaj równy ${y}/{R}$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $cos α $ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $-y$, a na osi y - odcinek $x$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$ to po prostu $ -sin α$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$f(K (+/-)α) = g(α)$

gdzie $K$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy ${∏}/{2}$ lub ${3∏}/{2}$, czyli te, w których kąt $∏$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $sin ({3∏}/{2} - α)$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta ${3∏}/{2}$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $pi$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj wykres funkcji...

W przedziale (-∞, 2) rysujemy wykres funkcji y=1/2x+3, a w przedziale <2,+∞) - wykres funkcji y=-2x+5.{premium}


Z rysunku odczytujemy, że równanie f(x)=m ma dwa rozwiązania dla m ∈ (-∞, 1>.

Narysuj dowolny czworokąt i konstruując...

Przykładowe rozwiązanie:   {premium}



Symetralne boków tego czworokąta nie przecinają się w jednym punkcie, zatem na tym czworokącie nie można opisać okręgu.

Wyznacz największą liczbę z przedziału...

 

 

 

 

 

 

Podstawienie pomocnicze:

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

Po uzgodnieniu z dziedziną:

 

 

 

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

 

 

 

 

 

Ze wzoru na sumę cosinusów:

 

 

 

 

 

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

 

 

 

Podstawienie pomocnicze:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny zostaje nam:

 

 

  

Największą liczbą należącą do podanego przedziału i spełniającą równanie jest:

 

Przekątna prostokąta ...

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

  

 

 

 

  

    

 

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

Oblicz, jaki ułamek wszystkich kwadratów...
Numer prostokąta 1 2 3 4 5 n
Liczba niebieskich kwadratów 6 10 14 18 22 4n+2{premium}
Liczba wszystkich kwadratów 12 30 56 90 132 4n2+6n+2
Stosunek liczby niebieskich kwadratów do liczby wszystkich kwadratów 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/n+1


 

 

 

 

 


 

 

 


Obliczmy dla jakich n liczba niebieskich kwadratów stanowi mniej niż 1% (czyli 0,01) wszystkich kwadratów:

 

 

 

 

 


Odp.: Liczba niebieskich kwadratów stanowi mniej niż 1% dla liczb n większych niż 99. 

Na trójkącie prostokątnym ABC o przyprostokątnych długości...

Średnicą koła jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Obliczmy długość przeciwprostokątnej:

 

 

{premium}  

 

 

Zatem promień jest równy:

 

 

a) Pole trójkąta ABC:

  

 

Pole koła:

 

 

Stosunek pola koła do pola trójkąta ABC:

 

 

b) Obwód trójkąta ABC:

 

 

Obwód koła:

 

 

Stosunek obwodu koła do obwodu trójkąta ABC:

 

  

Napisz równanie okręgu stycznego do osi y ...

Szukamy punktu przecięcia prostych  i

 

 

 

Do równania okręgu w miejsce niewiadomej  podstawiamy{premium}  

 

 

 

 

 .

Wyznaczamy  

.

Środek okręgu ma współrzędne

.

Okrąg ma być styczny do osi , więc promień jest równy .

Równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu :

.

Równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu :

.

Wyznacz wyraz ogólny ciągu geometrycznego...

Wyraz ogólny ciągu geometrycznego  wyraża się wzorem:

 

 

{premium}  Mamy  

Obliczamy       

 

 

 Mamy  

Obliczamy       

 

 

 Mamy  

Obliczamy       

 

Codziennie rano Karol przebiega dystans 15 km...

Wzór na prędkość:

 

 

 

Droga do lasu:

 

 

Droga z lasu:

 

 

Drogę powrotną pokonuje z prędkością o 1,5 km/h mniejszą:

 

 

Jogging trwa 2,25 godziny:

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Zredukujmy pierwsze równanie:

  

 

 

 

 

Stąd:

 

 

Rozwiążmy drugie równanie:

 

 

 

 

 

 

Bierzemy pod uwagę tylko dodatnie t:

  

 

 

 

 

Kulę o środku O przecięto płaszczyzną...

Pole powierzchni kuli:

 

Objętość:

 

 

Rysunek poglądowy:    {premium}

Kąty oznaczone literami alfa są równe gdyż są to kąty naprzemianległe.


 

 

 

 

 

Pole powierzchni:

 

Objętość:

 


 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

Pole powierzchni:

 

Objętość:

 


 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole powierzchni:

 

Objętość: