Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$$sin α = {y}/{R} $$
$$cos α = {x}/{R} $$
$$ an α = {y}/{x} $$
$$ctg α = {x}/{y} $$

gdzie $$ R = √{x^2 + y^2}$$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $$ sin ({∏}/{2} - α)$$ oraz
2) $$ cos ({3}/{2}×∏ + α)$$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $$sin ({∏}/{2} + α) $$, jest tutaj równy $${y}/{R}$$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $$cos α $$ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $$-y$$, a na osi y - odcinek $$x$$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $$ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$$ to po prostu $$ -sin α$$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$$f(K (+/-)α) = g(α)$$

gdzie $$K$$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości $${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy $${∏}/{2}$$ lub $${3∏}/{2}$$, czyli te, w których kąt $$∏$$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $$sin ({3∏}/{2} - α)$$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta $${3∏}/{2}$$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $$pi$$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $$sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz x wiedząc, że

`a)` 

`(2+2+3+3+3+x+8+8)/8=4,5` 

`(29+x)/8=4,5\ \ \ |*8` 

`29+x=36\ \ \ |-29` 

`x=7` 

 

 

`b)` 

`(0+1+1+1+2+2+x+x+13+15)/10=4,5` 

`(35+2x)/10=4,5\ \ \ |*10` 

`35+2x=45\ \ \ |-35` 

`2x=10\ \ \ |:2` 

`x=5` 

 

Wyrażenie 5a^2+12a+4 można...

`5a^2+12a+4=5a^2+10a+2a+4=5a(a+2)+2(a+2)=(5a+2)(a+2)`

W ciągu opisanym wzorem ogólnym...

`a_n = (-1)^(n-1) *2n` 

 

`a_1 = (-1)^(1-1)*2 = (-1)^0*2 = 2` 

`a_2 = (-1)^(2-1)*2*2 = (-1)^1*4 = -4` 

`a_3 = (-1)^(3-1)*2*3 = (-1)^2*6 = 6` 

 

Odpowiedź C

Oblicz pH roztworów o podanych stężeniach jonów wodorowych...

`a) \ pH = - log[H^+]=- log(10^(-8)) = 8log_(10) = 8` 

Odczyn zasadowy gdyż:

`pH>7` 

 

`b) \ pH = - log[H^+] = - log(6,1*10^(-3)) = - log_(6,1) - log(10^(-3)) approx -0,79 +3 = 2,21` 

Odczyn kwasowy gdyż:

`pH < 7` 

Oblicz długość łuku okręgu o promieniu ...

W zadaniu korzystamy ze w zoru na długość łuku:

`L=alpha/(360^@)*2pir` 

gdzie r - promień okręgu, `alpha` - kąt wyznaczający łuk na okręgu.

 

`"a)"\ alpha=270^@`   

`L=strike(270^@)^3/strike(360^@)^4*2pi*12=3/strike4^1*2pi*strike12^3=18pi\ ["cm"]`  

 

 

`"b)"\ alpha=330^@`   

`L=strike(330^@)^11/strike(360^@)^12*2pi*12=11/strike12^1*2pi*strike12^1=22pi\ ["cm"]`  

 

 

`"c)"\ alpha=21^@`    

`L=strike(21^@)^7/strike(360^@)^120*2pi*12=7/strike120^10*2pi*strike12^1=0,7*2pi=1,4pi\ ["cm"]` 

 

 

`"d)"\ alpha=7^@30'`    

`L=(7^@30')/360^@*2pi*12=strike(7,5^@)^1/strike(360^@)^48*2pi*12=1/strike48^4*2pi*strike12^1=1/strike4^2*strike2^1pi=1/2pi=0,5pi\ ["cm"]`  

Suma kwadratów trzech kolejnych...

`2n ,2n+2, 2n+4` - trzy kolejny liczby parzyste

 

`(2n)^2+(2n+2)^2+(2n+4)^2=1736` 

`4n^2+4n^2+8n+4+4n^2+16n+16=1736` 

`12n^2+24n+20-1736=0` 

`12n^2+24n-1716=0 \ \ \ |:12` 

`n^2+2n-143=0` 

`Delta=2^2-4*1*(-143)=4+572=576` 

`sqrt(Delta)=24` 

 

`n_1=(-2-24)/2=(-26)/2=-13 \ \ \ "sprzeczność, nie jest to liczba naturalna"` 

`n_2=(-2+24)/2=22/2=11` 

 

`2n+2n+2+2n+4=6n+6=6*11+6=66+6=72` 

 

Odp. A 

 

 

Oblicz...

`sin alpha = sin(pi/2 -  beta) = cos beta = sqrt2/3` 

 

`cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha` 

`cos^2 alpha = 1 - 2/9 = 7/9` 

`|cos alpha| = sqrt7/3` 

`cos alpha = sqrt7/3 \ \ vv \ \ cos alpha = -sqrt7/3` 

 

`"Dla" \ cos alpha = sqrt7/3` 

`tg alpha = (sin alpha)/(cos alpha) = (sqrt2/3)/(sqrt7/3) = sqrt2/sqrt7 * sqrt7/sqrt7 = sqrt14/7` 

`tg \ alpha = tg (pi/2 - beta) = ctg \ beta = 1/(tg \ beta)` 

`1/(tg \ beta) = sqrt14/7` 

`tg \ beta = 7/sqrt14 * sqrt14/sqrt14 = (7sqrt14)/14 = sqrt14/2` 

 

`"Dla" \ cos alpha = - sqrt7/3` 

`tg \ alpha = sin alpha / cos alpha = (sqrt2/3)/(-sqrt7/3) = - sqrt2/sqrt7 * sqrt7/sqrt7 = -sqrt14/7` 

`tg \ alpha = tg (pi/2 - beta) = ctg \ beta = 1/(tg \ beta)` 

`1/(tg beta ) = - sqrt14/7` 

`tg \ beta = - sqrt14/2` 

Określ stopnie wielomianów występujących...

a)

`f(x)=((x+3)(x-1))/(x(4x+2))=(x^2-1x+3x-3)/(4x^2+2x)=(x^2+2x-3)/(4x^2+2x)` 

 

`lim_(x->oo)(x^2+2x-3)/(4x^2+2x)=lim_(x->oo)(x^2(1+2/x-3/x^2))/(x^2(4+2/x))=lim_(x->oo)(1+2/x-3/x^2)/(4+2/x)=1/4` 

`lim_(x->-oo)(x^2+2x-3)/(4x^2+2x)=lim_(x->-oo)(x^2(1+2/x-3/x^2))/(x^2(4+2/x))=lim_(x->-oo)(1+2/x-3/x^2)/(4+2/x)=1/4` 


b)

`f(x)=((3x+1)(2-x))/((x^2-2)(x+3))=(6x-3x^2+2-x)/(x^3+3x^2-2x-6)=(-3x^2+5x+2)/(x^3+3x^2-2x-6)` 

 

`lim_(x->oo)(-3x^2+5x+2)/(x^3+3x^2-2x-6)=lim_(x->oo)(x^3(-3/x+5/x^2+2/x^3))/(x^3(1+3/x-2/x^2-6/x^3))=lim_(x->oo)(-3/x+5/x^2+2/x^3)/(1+3/x-2/x^2-6/x^3)=0/1=0` 

`lim_(x->-oo)(-3x^2+5x+2)/(x^3+3x^2-2x-6)=lim_(x->-oo)(x^3(-3/x+5/x^2+2/x^3))/(x^3(1+3/x-2/x^2-6/x^3))=lim_(x->-oo)(-3/x+5/x^2+2/x^3)/(1+3/x-2/x^2-6/x^3)=0/1=0` 


c)

`f(x)=((x^2+1)(x^2+2))/(x(x^2+3))=(x^4+2x^2+x^2+2)/(x^3+3x)=(x^4+3x^2+2)/(x^3+3x)`  

 

`lim_(x->oo)(x^4+3x^2+2)/(x^3+3x)=lim_(x->oo)(x^3(x+3/x+2/x^3))/(x^3(1+3/x^2))=lim_(x->oo)(x+3/x+2/x^3)/(1+3/x^2)=lim_(x->oo)x/1=+oo`

`lim_(x->-oo)(x^4+3x^2+2)/(x^3+3x)=lim_(x->-oo)(x^3(x+3/x+2/x^3))/(x^3(1+3/x^2))=lim_(x->-oo)(x+3/x+2/x^3)/(1+3/x^2)=lim_(x->-oo)x/1=-oo` 

Wyznacz punkty wspólne wielomianu w i podanej prostej

`a)`

`8x^4+2x+3=2x+5\ \ \ |-2x-5`

`8x^4-2=0\ \ \ |:2`

`4x^4-1=0`

`(2x^2)^2-1^2=0`

`(2x^2-1)#((2x^2+1))^(Delta=0-8<0)=0`

`(sqrt2x-1)(sqrt2x+1)(2x^2+1)=0`

`x=1/sqrt2=sqrt2/2\ \ \ vee\ \ \ x=-1/sqrt2=-sqrt2/2`

 

`x=sqrt2/2\ \ \ =>\ \ \ y=2*sqrt2/2+5=sqrt2+5\ \ \ =>\ \ \ A=(sqrt2/2,\ \ sqrt2+5)`

`x=-sqrt2/2\ \ \ =>\ \ \ y=2*(-sqrt2/2)+5=-sqrt2+5\ \ \ =>\ \ \ B=(-sqrt2/2,\ \ -sqrt2+5)`

 

 

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)`

 

 

 

 

`b)`

`x^5-6x^3+2=-5x+2\ \ \ |+5x-2`

`x^5-6x^3+5x=0`

`x(x^4-6x^2+5)=0`

`x=0\ \ \ \ vee\ \ \ \ x^4-6x^2+5=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2=t>=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t^2-6t+5=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-6)^2-4*1*5=36-20=16`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=4`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t_1=(6-4)/2=1\ \ \ =>\ \ \ x^2=1\ \ \ =>\ \ \ x=1\ \ \ \ vee\ \ \ \ x=-1`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t_2=(6+4)/2=5\ \ \ =>\ \ \ x^2=5\ \ \ =>\ \ \ x=sqrt5\ \ \ vee\ \ \ x=-sqrt5`

 

`x=0\ \ \ =>\ \ \ y=-5*0+2=2\ \ \ =>\ \ \ A=(0,\ 2)`

`x=1\ \ \ =>\ \ \ y=5*1+2=7\ \ \ =>\ \ \ B=(1,\ 7)`

`x=-1\ \ \ =>\ \ \ y=5*(-1)+7=2\ \ \ =>\ \ \ C=(-1,\ 2)`

`x=sqrt5\ \ \ =>\ \ \ y=5sqrt5+2\ \ \ =>\ \ \ D=(sqrt5,\ 5sqrt5+2)`

`x=-sqrt5\ \ \ =>\ \ \ y=-5sqrt5+2\ \ \ =>\ \ \ E=(-sqrt5,\ -5sqrt5+2)`

 

 

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)`

 

 

 

`c)`

`3x^3-12x^2+2x+0,5=3x-3,5\ \ \ |-3x+3,5`

`3x^3-12x^2-x+4=0`

`3x^2(x-4)-(x-4)=0`

`(x-4)(3x^2-1)=0`

`(x-4)(sqrt3x-1)(sqrt3x+1)=0`

`x=4\ \ \ \ vee\ \ \ \ x=1/sqrt3=sqrt3/3\ \ \ \ vee\ \ \ x=-1/sqrt3=-sqrt3/3`

 

`x=4\ \ \ =>\ \ \ y=3*4-3,5=12-3,5=8,5\ \ \ =>\ \ \ A=(4;\ \ 8,5)`

`x=sqrt3/3\ \ \ =>\ \ \ y=3*sqrt3/3-3,5=sqrt3-3,5\ \ \ =>\ \ \ B=(sqrt3/3;\ \ sqrt3-3,5)`

`x=-sqrt3/3\ \ \ =>\ \ \ y=3*(-sqrt3/3)-3,5=-sqrt3-3,5\ \ \ =>\ \ \ C=(-sqrt3/3;\ \ -sqrt3-3,5)`

 

 

`overline(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)`

 

 

 

`d)`

`x^4-4x^3+4x^2-2,5x+3=-1,5x+3\ \ \ |+1,5x-3`

`x^4-4x^3+4x^2-x=0`

`x^4-x-4x^3+4x^2=0`

`x(x^3-1)-4x^2(x-1)=0`

`x(x-1)(x^2+x+1)-4x^2(x-1)=0`

`(x-1)(x(x^2+x+1)-4x^2)=0`

`(x-1)(x^3-3x^2+x)=0`

`x(x-1)(x^2-3x+1)=0`

`x=0\ \ \ \ vee\ \ \ \ x=1\ \ \ \ vee\ \ \ \ x^2-3x+1=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-3)^2-4*1*1=9-4=5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=sqrt5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(3-sqrt5)/2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=(3+sqrt5)/2`

 

`x=0\ \ \ =>\ \ \ y=-1,5*0+3=3\ \ \ =>\ \ \ A=(0,\ 3)`

`x=1\ \ \ =>\ \ \ y=-1,5*1+3=1,5\ \ \ =>\ \ \ B=(1;\ \ 1,5)`

`x=(3-sqrt5)/2\ \ \ =>\ \ \ y=-1,5*(3-sqrt5)/2+3=-3/2*(3-sqrt5)/2+12/4=(-9+3sqrt5+12)/4=(3+3sqrt5)/4\ \ \ =>\ \ \ C=((3-sqrt5)/2,\ \ (3+3sqrt5)/4)`

`x=(3+sqrt5)/2\ \ \ =>\ \ \ y=-3/2*(3+sqrt5)/2+3=(-9-3sqrt5+12)/4=(3-3sqrt5)/4\ \ \ =>\ \ \ D=((3+sqrt5)/2,\ \ (3-3sqrt5)/4)`

 

  

 

Dla jakiej wartości x liczby ...

`a)` 

`a=x-9` 

`b=x-6` 

`c=2x-4` 

 

`a,b,c-"ciąg arytmetyczny"` 

`b=(a+c)/2` 

`x-6=(x-9+2x-4)/2` 

`2x-12=3x-13` 

`x=1` 

 

`a,b,c-"ciąg geometryczny"` 

`b^2=a*c` 

`(x-6)^2=(x-9)(2x-4)` 

`x^2-12x+36=2x^2-4x-18x+36` 

`x^2-10x=0` 

`x(x-10)=0` 

`x=0\ \ \vee\ \ \x=10` 

 

`"Ciąg jest arytmetyczny dla x=1, oraz geometryczny dla x=0 i x=10."` 

 

`b)` 

`a=-6x` 

`b=3x` 

`c=x^2` 

 

`a,b,c-"ciąg arytmetyczny"` 

`b=(a+c)/2` 

`3x=(x^2-6x)/2` 

`6x=x^2-6x` 

`x^2-12x=0`  

`x(x-12)=0` 

`x=0\ \ \vee\ \ \x=12`  

 

`a,b,c-"ciąg geometryczny"` 

`b^2=a*c` 

`9x^2=x^2*(-6x)` 

`9x^2=-6x^3` 

`6x^3+9x^2=0` 

`3x^2(2x^2+3)=0` 

`x=0\ \ \x=-3/2`