Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Sprowadzanie do i ćwiartki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Sprowadzanie do i ćwiartki

Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$sin α = {y}/{R} $
$cos α = {x}/{R} $
$ an α = {y}/{x} $
$ctg α = {x}/{y} $

gdzie $ R = √{x^2 + y^2}$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $ sin ({∏}/{2} - α)$ oraz
2) $ cos ({3}/{2}×∏ + α)$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $sin ({∏}/{2} + α) $, jest tutaj równy ${y}/{R}$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $cos α $ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $-y$, a na osi y - odcinek $x$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$ to po prostu $ -sin α$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$f(K (+/-)α) = g(α)$

gdzie $K$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy ${∏}/{2}$ lub ${3∏}/{2}$, czyli te, w których kąt $∏$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $sin ({3∏}/{2} - α)$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta ${3∏}/{2}$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $pi$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

a więc:

  

 zatem:

 

 

  

    

Zauważmy, że:

 

 

Zatem można zapisać rozwiązania prościej gdyż powtarzają się co  

  

 

 

 

  

 

`D:` 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

  

 

Zauważmy, że:

 

 

A więc możemy zapisać rozwiązanie prościej:

 

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 

    

Marta ma pięć razy więcej ...

Patrząc z perspektywy Marty

x - liczba sióstr 

5x - liczba braci (bo jest ich 5 razy więcej) {premium}


Patrząc z perspektywy Tomka, brata Marty

x+1 - liczba sióstr  (ma tyle samo sióstr co Marta, ale trzeba doliczyć jeszcze Martę) 

2(x+1) - liczba braci  (bo ma 2 razy więcej braci) 


Liczba braci Marty jest o 1 większa od liczby braci Tomka. 

Marta wlicza Tomka do swoich braci, a Tomek nie wlicza siebie do swoich braci. 

Zatem:

  

     

 

Marta ma 1 siostrę i 5 braci. 


Liczba dzieci w tej rodzinie to: 

 


Poprawna odpowiedź: B. 7

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego...

Oznaczmy:

x - trzeci bok trójkąta, x>0

h - wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną, h>0


Rysunek pomocniczy:{premium}


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 


Ze wzoru na pole trójkąta:

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to A.

Wyznacz dziedzinę funkcji ...

 

Mianownik ułamka nie może równy ,

więc sprawdzamy dla jakich  równanie  ma rozwiązania

(pierwiastki tego równania nie będą należały do dziedziny).

 

 

lub 

  

Dziedziną funkcji  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb  oraz ,

co możemy zapisać  lub . {premium}


 

Mianownik ułamka nie może równy ,

więc sprawdzamy dla jakich  równanie  ma rozwiązania

(pierwiastki tego równania nie będą należały do dziedziny).

 

   

 

 


 

Mianownik ułamka nie może równy ,

więc sprawdzamy dla jakich  równanie  ma rozwiązania

(pierwiastki tego równania nie będą należały do dziedziny).

 

 

Równanie  

oznacza to, że dziedziną funkcji 


 

Mianownik ułamka nie może równy ,

więc sprawdzamy dla jakich  równanie  ma rozwiązania

(pierwiastki tego równania nie będą należały do dziedziny).

 

   

 

 

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

Jeśli kąt rozwarcia stożka jest równy 60°, to przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym (wynika to stąd, że przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, którego kąt między ramionami to właśnie kąt rozwarcia stożka, kąty przy podstawie mają więc miary (180°-60°):2=120°:2=60°). 

Tworząca stożka oraz średnica podstawy stożka mają więc jednakową długość:

 

Wysokość stożka to wysokość trójkąta równobocznego o boku l. 

 

 

 

  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

 

Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt...

Promień r okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a, b, c oraz polu P wyraża się wzorem:

 

 

 

Obwód trójkąta:

{premium}  

 

Pole trójkąta:

 

 

Zatem:

 

Krótsza przekątna rombu ma długość 12 cm ...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obwód figury przedstawionej...

Obwód wynosi:{premium}

 

Odpowiedź B

Wskaż wartość współczynnika m paraboli ...

Punkty przecięcia z osią    są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej.

Do wykresu paraboli o równaniu  należą {premium}punkty

    i    .

Do wzoru funkcji kwadratowej podstawimy współrzędne punktu (obojętne którego), aby wyznaczyć wartość współczynnika  

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: C

Oblicz pole i obwód rombu...

Obliczmy pole tego rombu:

 


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość boku tego rombu:     {premium}

 

 

 

 

 


Obliczmy długość obwodu tego rombu:

 


Odp.: Pole tego rombu wynosi 20, a obwód tego rombu wynosi 4√29.