Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$$sin 2x = {1}/{2}$$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $$sin a = {1}/{2}$$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $$a = {∏}/{6} + k×2 ∏$$, $$a = {5∏}/{6}+k×2∏$$ (przypomnienie: ponieważ $$2∏$$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $$2 ∏$$).

Skoro w argumencie mamy $$a = 2x$$, to podstawiając do naszych rozwiązań $$2x$$ otrzymujemy:

$$2x = {∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {∏}/{12} + k×∏$$

oraz

$$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {5∏}/{12} + k×∏$$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $$2x$$ występowałoby $$5x$$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $$sin x + cos x = 1$$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$$

3) Skracamy:
$$sin x cos x = 0$$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $$sin x = 0$$
    i wtedy $$x = k×∏$$.
     
  • b) $$cosx = 0$$
    i wtedy $$x = {∏}/{2} + k×∏$$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $$sin$$ i $$cos$$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$$cos^4x - sin^4x = cos2x$$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $$sin x$$ i $$cos x$$.
$$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$$

3) Oczywiście $$sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$$ i $$cos {∏}/{3} = {1}/{2}$$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $$sin (3x)$$ na $$sin (2x+x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $$sin(α + β)$$ otrzymujemy równanie
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $$sin (2x)$$ i $$cos (2x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $$3x$$ na $$2x + x$$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj dzielenie ułamków algebraicznych. Podaj dziedziny wyrażeń.

`"a)"` Wyznaczamy dziedzinę:

`(5x+10!=0^^4x+8!=0^^18x!=0)<=>(5(x+2)!=0^^4(x+2)!=0^^x!=0)<=>(x+2!=0^^x!=0)<=>` 

`<=>(x!=-2^^x!=0)` 

`D=bbR-{-2,\ 0}` 

Wykonujemy dzielenie ułamków:

`(9x+9x^2)/(5x+10):(18x)/(4x+8)=(9x+9x^2)/(5x+10)*(4x+8)/(18x)=[strike(9x)*(1+x)*4*strike((x+2))]/[5*strike((x+2))*strike(18)^2strikex]=(4(x+1))/10=(2(x+1))/5=(2x+2)/5`      

 

`"b)"` Wyznaczamy dziedzinę:

`(2x^3+x^2!=0^^2x+1!=0^^x-3!=0)<=>(x^2(2x+1)!=0^^2x+1!=0^^x-3!=0)<=>` 

`<=>(x^2!=0^^x!=-1/2^^x!=3)<=>(x!=0^^x!=-1/2^^x!=3)` 

`D=bbR-{-1/2,\ 0,\ 3}` 

Wykonujemy dzielenie ułamków:

`(8x-24)/(2x^3+x^2):(x-3)/(2x+1)=(8x-24)/(2x^3+x^2)*(2x+1)/(x-3)=[8*strike((x-3))*strike((2x+1))]/[x^2*strike((2x+1))*strike((x-3))]=8/x^2` 

 

`"c)"` Wyznaczamy dziedzinę:

`(x^2-81!=0^^x^2+1!=0^^x+9!=0)<=>((x-9)(x+9)!=0^^x^2!=-1^^x!=-9)<=>(x-9!=0^^x!=-9)<=>`  

`<=>(x!=9^^x!=-9)` 

`D=bbR-{-9,\ 9}` 

Wykonujemy dzielenie ułamków:

`(x^3+2x^2+x+2)/(x^2-81):((x^2+1)/(x+9))=(x^3+2x^2+x+2)/((x-9)*strike((x+9)))*strike((x+9))/(x^2+1)=(x^3+2x^2+x+2)/[(x-9)(x^2+1)]=(x^2(x+2)+x+2)/[(x-9)(x^2+1)]=` 

`=((x+2)*strike((x^2+1)))/[(x-9)*strike((x^2+1))]=(x+2)/(x-9)` 

Wykaż, że trzy dane liczby w podanej kolejności ...

`a)` 

`sqrt5-2,\ 1/2,\ (sqrt5+2)/4- "czy jest to ciąg geometryczny"` 

`"Powyższy ciąg jest geometryczny"\ iff\ (1/2)^2=(sqrt5-2)*(sqrt5+2)/4` 

`1/4=(sqrt5-2)*(sqrt5+2)/4`  

`1=(sqrt5)^2+2^2=1` 

`0=0` 

Rozważany ciąg jest geometryczny. 

 

`b)` 

`(2+sqrt3)/(2-sqrt3),\ (2+sqrt3)/2,\ 1/4- "czy jest to ciąg geometryczny"`  

 

`((2+sqrt3)/2)^2=1/4*(2+sqrt3)/(2-sqrt3)\ \ \|:(2+sqrt3)` 

`(2+sqrt3)/4=1/(4(2-sqrt3))` 

`(2+sqrt3)(2-sqrt3)=1` 

`4-3=1` 

`0=0`     

Rozważany ciąg jest geometryczny. 

Na planie w skali...

Pole kwadratu wynosi 81 cm2:

`P = 81`

`a^2 = 81`  

`a=9` 

 

A więc obwód wynosi:

`O = 4*9 = 36 \ ["cm"]` 

 

1 centymetr na mapie to 450 centymetrów w rzeczywistości zatem skoro na mapie potrzebujemy 36 cm żeby ogrodzić działkę to w rzeczywistości potrzebujemy:

`36*450 = 16 \ 200 \ ["cm"]` 

 

Odpowiedź: Potrzebujemy 16 200 cm siatki do ogrodzenia działki.

Czy ciąg ...

`a)` 

 `"Ten ciąg jest monotoniczny, dokładniej malejący."`  

 

`b)` 

`"Ten ciąg nie jest monotoniczny. Jego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne."` 

`c)` 

`"Ten ciąg jest rosnący, bo q jest większe (minimalnie) od 1."` 

 

`d)` 

`0,(9)=1`

`"Ten ciąg jest stały, bo q jest równe 1."` 

 

`e)` 

`"Ten ciąg nie jest monotoniczny bo q jest mniejsze od zera."`

Przeczytaj podany w ramce przykład

Obliczamy, jaką odległość pokonał samochód podczas dwóch ostatnich godzin jazdy.

`390-300=90\ km`

 

Obliczamy prędkość, dzieląc drogę przez czas:

`v=(90\ km)/(2\ h)=ul(ul(45\ (km)/h))`

Podaj przedziały monotoniczności...

f maleje w `<< -1,3>>` 

f rośnie w `(-oo,-1>>, << 3, +oo)`  

Rozwiąż równanie

`a)` 

`x^3+3x^2-9x-27=0` 

`x^2(x+3)-9(x+3)=0` 

`(x+3)(x^2-9)=0` 

`(x+3)(x^2-3^2)=0` 

`(x+3)(x-3)(x+3)=0` 

`(x+3)^2(x-3)=0` 

`x+3=0\ \ \ |-3\ \ \ "lub"\ \ \ x-3=0\ \ \ |+3` 

`x=-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=3` 

 

 

 

`b)` 

`x^3-5x^2-2x+10=0` 

`x^2(x-5)-2(x-5)=0` 

`(x-5)(x^2-2)=0` 

`(x-5)(x^2-sqrt2^2)=0` 

`(x-5)(x-sqrt2)(x+sqrt2)=0` 

`x-5=0\ \ \ |+5\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x-sqrt2=0\ \ \ \|+sqrt2\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x+sqrt2=0\ \ \ |-sqrt2` 

`x=5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=sqrt2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=-sqrt2` 

 

 

 

`c)` 

`2x^3+8x=5x^2+20\ \ \ \ |-5x^2-20` 

`2x^3+8x-5x^2-20=0` 

`2x(x^2+4)-5(x^2+4)=0` 

`(x^2+4)(2x-5)=0` 

`x^2+4=0\ \ \ |-4\ \ \ "lub"\ \ \ 2x-5=0\ \ \ |+5` 

`x^2=-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ 2x=5` 

Kwadrat dowolnej liczby jest zawsze nieujemny, nie może więc być równy -4. Stąd równanie ma tylko jedno rozwiązanie. 

`2x=5\ \ \ |:2`    

`x=5/2` 

 

 

 

`d)` 

`6x^3+2x^2=3x+1\ \ \ \ |-3x-1` 

`6x^3+2x^2-3x-1=0` 

`2x^2(3x+1)-(3x+1)=0` 

`(3x+1)(2x^2-1)=0` 

`(3x+1)((sqrt2x)^2-1^2)=0` 

`(3x+1)(sqrt2x-1)(sqrt2x+1)=0` 

`3x+1=0\ \ \ |-1\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ sqrt2x-1=0\ \ \ |+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ sqrt2x+1=0\ \ \ |-1`  

`3x=-1\ \ \ |:3\ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ sqrt2x=1\ \ \ |:sqrt2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ sqrt2x=-1\ \ \ |:sqrt2`  

`x=-1/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-1/sqrt2=(sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)=sqrt2/2\ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-sqrt2/2`       

 

 

`e)` 

`x^5+x^2=8x^3+8\ \ \ \ |-8x^3-8` 

`x^5+x^2-8x^3-8=0` 

`x^2(x^3+1)-8(x^3+1)=0` 

`(x^3+1)(x^2-8)=0` 

`(x+1)(x^2-x+1)(x^2-sqrt8^2)=0` 

`(x+1)(x^2-x+1)(x^2-(sqrt4*sqrt2)^2)=0`  

`(x+1)(x^2-x+1)(x^2-(2sqrt2)^2)=0` 

`(x+1)#(#underbrace((x^2-x+1))_(Delta=(-1)^2-4*1*1=))_(=1-4<0)(x-2sqrt2)(x+2sqrt2)=0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje rozwiązania. 

`x+1=0\ \ \ |-1\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x-2sqrt2=0\ \ \ |+2sqrt2\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x+2sqrt2=0\ \ \ |-2sqrt2` 

`x=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=2sqrt2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-2sqrt2` 

 

 

 

 

`f)` 

`2x^4+x^3=1/4x+1/8\ \ \ \ |-1/4x-1/8` 

`2x^4+x^3-1/4x-1/8=0` 

`x^3(2x+1)-8(2x+1)=0` 

`(2x+1)(x^3-8)=0` 

`(2x+1)(x^3-2^3)=0` 

`(2x+1)(x-3)#(#underbrace((x^2+2x+4))_(Delta=2^2-4*1*4=))_(=4-16<0)=0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje rozwiązania. 

`2x+1=0\ \ \ |-1\ \ \ "lub"\ \ \ x-3=0\ \ \ |+3` 

`2x=-1\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=3` 

`x=-1/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=3`  

 

 

Rozłóż na czynniki pierwsze

Dla jakich x ...

`sin2x>=1/2` 

`x in [0;2pi]` 

`t=2x` 

`sint>=1/2` 

`"Rozważmy równanie:"` 

`sint=1/2` 

`t=pi/6+2kpi\ \ \vee\ \ \t=pi-pi/6+2kpi` 

`x=pi/12+kpi\ \ \ \vee\ \ \x=5/12pi+kpi` 

`"Odczytajmy z wykres:"` 

`x in [pi/12+kpi;5/12pi+kpi]`  

Przeczytaj podany w ramce przykład a następnie oblicz

`a)\ 48*52=(50-2)*(50+2)=50^2-2^2=2500-4=2496`

`b)\ 67*73=(70-3)*(70+3)=70^2-3^2=4900-9=4991`

`c)\ 95*105=(100-5)*(100+5)=100^2-5^2=10\ 000-25=9975`

`d)\ 1003*997=(1000+3)*(1000-3)=1000^2-3^2=1\ 000\ 000-9=999\ 991`