Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$$sin 2x = {1}/{2}$$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $$sin a = {1}/{2}$$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $$a = {∏}/{6} + k×2 ∏$$, $$a = {5∏}/{6}+k×2∏$$ (przypomnienie: ponieważ $$2∏$$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $$2 ∏$$).

Skoro w argumencie mamy $$a = 2x$$, to podstawiając do naszych rozwiązań $$2x$$ otrzymujemy:

$$2x = {∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {∏}/{12} + k×∏$$

oraz

$$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {5∏}/{12} + k×∏$$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $$2x$$ występowałoby $$5x$$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $$sin x + cos x = 1$$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$$

3) Skracamy:
$$sin x cos x = 0$$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $$sin x = 0$$
    i wtedy $$x = k×∏$$.
     
  • b) $$cosx = 0$$
    i wtedy $$x = {∏}/{2} + k×∏$$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $$sin$$ i $$cos$$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$$cos^4x - sin^4x = cos2x$$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $$sin x$$ i $$cos x$$.
$$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$$

3) Oczywiście $$sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$$ i $$cos {∏}/{3} = {1}/{2}$$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $$sin (3x)$$ na $$sin (2x+x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $$sin(α + β)$$ otrzymujemy równanie
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $$sin (2x)$$ i $$cos (2x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $$3x$$ na $$2x + x$$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych

Punkt przecięcia paraboli z osią Y ma współrzędne (0, y), gdzie y to wartość, jaką funkcja osiąga dla argumentu 0. 

Z kolei punkt przecięcia paraboli z osią X ma współrzędne (x, 0), wartość x obliczymy, jesli w miejsce y wstawimy 0 i rozwiążemy otrzymane równanie. 

 

 

`a)\ f(x)=3x^2-12x` 

`\ \ \ y=f(0)=3*0^2-12*0=0\ \ \ =>\ \ \ A=(0,\ 0)`  - miejsce przecięcia paraboli z osią Y

 

`\ \ \ 3x^2-12x=0\ \ \ |:3` 

`\ \ \ x^2-4x=0` 

`\ \ \ x(x-4)=0` 

`\ \ \ x=0\ \ \ l ub \ \ \ x-4=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=4` 

`\ \ \ B=(0,\ 0),\ \ \ C=(4,\ 0)`  - punkty przecięcia paraboli z osią X    

 

 

 

`b)\ f(x)=3x^2-12` 

`\ \ \ y=f(0)=3*0^2-12=0-12=-12\ \ \ =>\ \ \ A=(0,\ -12)`  - miejsce przecięcia paraboli z osią Y

 

`\ \ \ 3x^2-12=0\ \ |+12`  

`\ \ \ 3x^2=12\ \ \ |:3` 

`\ \ \ x^2=4` 

`\ \ \ x=2\ \ \ lu b\ \ \ x=-2` 

`\ \ \ B=(2,\ 0),\ \ \ C=(-2,\ 0)`  - punkty przecięcia parabolii z osią X

 

 

 

`c)\ f(x)=3x^2+12` 

`\ \ \ y=f(0)=3*0^2+12=0+12=12\ \ \ =>\ \ \ A=(0,\ 12)`  - punkt przecięcia paraboli z osią Y

 

`\ \ \ 3x^2+12=0\ \ \ |-12` 

`\ \ \ 3x^2=-12` 

     sprzeczność (po lewej stronie mamy trzykrtoność kwadratu, który jest nieujemny, a po prawej liczbę ujemną)     

     Brak punktów przecięcia paraboli z osia X. 

 

 

 

`d)\ f(x)=900x^2+4x` 

`\ \ \ y=f(0)=900*0^2+4*0=0\ \ \ =>\ \ \ A-(0,\ 0)`  - punkt przecięcia paraboli z osią Y

 

`\ \ \ 900x^2+4x=0` 

`\ \ \ x(900x+4)=0` 

`\ \ \ x=0\ \ \ \ l u b\ \ \ \ 900x+4=0\ \ \ |-4`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \900x=-4\ \ \ |:900`   

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-4/900=-1/225`    

`\ \ \ B=(0,\ 0),\ \ \ C=(-1/225,\ 0)`  - punkty przecięcia paraboli z osią X

 

 

 

`e)\ f(x)=900x^2+4` 

`\ \ \ y=f(0)=900*0^2+4=0+4=4\ \ \ =>\ \ \ A-(0,\ 4)`  - punkt przecięcia paraboli z osią Y` 

 

`\ \ \ 900x^2+4=0\ \ \ |-4` 

`\ \ \ 900x^2=-4` 

     sprzeczność (po lewej stronie liczba nieujemna, po prawej stronie liczba ujemna)

    Parabola nie przecina osi X.

 

 

 

`f)\ f(x)=900x^2-4` 

`\ \ \ y=f(0)=900*0^2-4=0-4=-4\ \ \ =>\ \ \ A=(0,\ -4)`  - miejsce przecięcia paraboli z osią Y 

 

`\ \ \ 900x^2-4=0\ \ \ \|+4`  

`\ \ \ 900x^2=4\ \ |:900` 

`\ \ \ x^2=4/900` 

`\ \ \ x=2/30=1/15\ \ \ l u b\ \ \ x=-2/30=-1/15` 

`\ \ \ B=(1/15\, 0),\ \ C=(-1/15,\ 0)`      - miejsca przecięcia paraboli z osią X

Dane są wielomiany...

`h(x) = (f(x))^2 *g(x) = (2x-1)^2 *(4x^2+4x+1) = (2x-1)^2 (2x+1)^2 = ((2x-1)(2x+1))^2 = (4x^2-1)^2 = 16x^4 - 8x^2+1` 

Odpowiedź B

O godzinie 13:00 statek "Batory" płynący z portu P

Narysujmy rysunki pomocnicze. Statek Batory oddala się od portu (w każdej godzinie o 20 km), a statek Moniuszko przybliża się do portu (w każdej godzinie o 40 km). Czas (w godzinach) został oznaczony przez t. 

Czas oraz odległości statków od portu muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

`{(t>0), (10+20t>0\ \ \ |-10), (60-40t>0\ \ \ |+40t):}\ \ \ =>\ \ \ {(t>0), (20t> -10\ \ \ |:20), (60>40t\ \ \ |:40):}\ \ \ =>\ \ \ {(t>0), (t> -1/2), (t<3/2):}\ \ \ =>\ \ \ t in (0,\ 3/2)` 

 

 

Odległość między statkami (na rysunku oznaczona D(t)) możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 

`(10+20t)^2+(60-40t)^2=(D(t))^2` 

`100+400t+400t^2+3600-4800t+1600t^2=(D(t))^2` 

`2000t^2-4400t+3700=(D(t))^2` 

`D(t)=sqrt(2000t^2-4400t+3700)`  

 

Odległość ma być najmniejsza, jest dana pierwiastkiem. Wartość pierwiastka będzie najmniejsza, jeśli wartość wyrażenia pod pierwiastkiem będzie najmniejsza. Wyrażenie podpierwiastkowe to funkcja kwadratowa zmiennej t, o dodatnim współczynniku a=2000, zatem ramiona paraboli są skierowane w dół, jest osiągana wartość najmniejsza (w wierzchołku). Policzmy zatem, po jakim czasie odległość między statkami będzie najmniejsza:

`t_(m i n)=t_w=-b/(2a)=4400/(2*2000)=4400/4000=11/10=1 1/10in(0, \ 3/2)` 

 

`t=1 1/10\ godz.=1 6/60\ godz=1\ godz \ 6\ mi n` 

Odległość między statkami będzie największa po upływie 1 godziny i 6 minut od godziny 13:00, czyli o godzinie 14:06.

 

Obliczamy, ile będzie wynosić ta odległość:

`D(11/10)=sqrt(2000*(11/10)^2-4400*11/10+3700)=` 

`=sqrt(2000*121/100-440*11+3700)=` `sqrt(2420-4840+3700)=` 

`=sqrt1280~~35,78\ km` 

 

 

Podaj przykład wielomianu...

Jeżeli liczby są pierwiastkami wielomianu to wartość funkcji dla nich wynosi 0. Zatem:

`a) \ w(x) =(x-3)(x-(-2))(x-5) = (x-3)(x+2)(x-5)` 

 

`b) \ w(x) = x(x-(-6))^2(x-7)^2 = x(x+6)^2(x-7)^2` 

W trójkącie równobocznym wysokości...

Ponieważ trójkąt ABC jest równoboczny, to oznaczając jego bok przez a:

`|CD|=|AE|=|BF|=(asqrt3)/2`

`|AD|=a/2`

`(|AD|)/(|CD|)=(a/2)/((asqrt3)/2)=1/sqrt3=sqrt3/3`

Punkty A = (0, 4) , B = (-6, 0)...

a) Prosta AB:

`{(A*0+B*4+C=0),(A*(-6)+B*0 + C=0):}` 

`{(4B=-C),(-6A= -C):}` 

Stąd:

`4B = -6A` 

`B = -3/2A` 

Przyjmijmy, że A = 2, wtedy

`B = -3/2*2 = -3` 

Podstawmy wyznaczoną wartość pod którekolwiek z równań:

`4*(-3) = -C` 

`-12 = -C` 

`C = 12` 

Równanie:

`2x-3y+12=0` 

 

Prosta BC:

`{(A*(-6)+B*0+C=0),(A*(-2)+B*(-6)+C=0):}` 

`{(-6A=-C),(-2A-6B=-C):}` 

 stąd

`-6A=-2A-6B`  

`-4A = -6B` 

`A = 3/2B` 

Przyjmijmy, że B = 2, wtedy

`A = 3/2* 2 = 3` 

zatem

`-6*3 = -C` 

`-18 = -C` 

`C = 18` 

Równanie prostej:

`3x+2y+18=0` 

 

Prosta CD:

`{(A*(-2)+B*(-6)+C=0),(A*4+B(-2)+C=0):}`  

`{(-2A-6B=-C),(4A-2B=-C):}` 

stąd

`-2A-6B = 4A - 2B` 

`-6A = 4B` 

`A = -2/3B` 

Przyjmijmy, że B = 3, wtedy

`A = -2/3*3 = -2` 

zatem

`-2*(-2)-6*3 = -C` 

`4-18=-C` 

`-14=-C` 

`C = 14` 

Równanie:

`-2x+3y+14=0` 

 

Prosta AD:

`{(A*0+B*4+C=0),(A*4+B*(-2)+C=0):}` 

`{(4B=-C),(4A-2B=-C):}` 

`4B = 4A-2B` 

`6B = 4A` 

`B = 2/3A` 

Przyjmijmy, że A = 3, wtedy

`B = 2/3*3 = 2` 

stąd

`4*2 = -C` 

`8 = -C` 

`C = -8` 

Równanie:

`3x+2y-8=0` 

 

b) Prosta AC:

`{(A*0+B*4+C=0),(A*(-2)+B*(-6)+C=0):}`  

`{(4B=-C),(-2A-6B=-C):}` 

stąd

`4B = -2A-6B` 

`10B = -2A` 

`-5B = A` 

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy

`A = -5*1 = -5` 

stąd

`4*1 = -C` 

`C = -4` 

Równanie:

`-5x+y-4=0` 

 

Prosta BD:

`{(A*(-6)+B*0+C=0),(A*4+B*(-2)+C=0):}` 

`{(-6A=-C),(4A-2B=-C):}` 

`-6A = 4A-2B` 

`-10A = -2B` 

`5A = B` 

Przyjmijmy, że A = 1, wtedy

`B = 5*1 = 5` 

stąd

`-6*1 = -C` 

`C = 6` 

Równanie:

`x+5y+6=0` 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

`y_1=2/x` 

`y_2=2/|x|` 

`y_3=2/|x-2|-1` 

`y_4=|2/|x-2|-1|` 

`y={(0, \ \ "dla" \ \ m in (-oo, 0)), (2, \ \ "dla" \ \ m=0 uu << 1,+oo)), (4, \ \ "dla" \ \ m in (0, 1)):}` 

Wykres tej funkcji wygląda następująco:

 

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej

Jeśli funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość, to jej ramiona są skierowane w górę, czyli współczynnik a jest dodatni. 

Najmniejszsa wartość osiągana jest w wierzchołku i wynosi ona 0.

Jeśli osią symetrii jest prosta x=-3, to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa -3.

 

`W=(-3,\ 0)\ \ \ =>\ \ \ f(x)=a(x+3)^2+0=a(x+3)^2,\ \ \ \ \ a>0`

 

 

Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o rzędnej (współrzędna y) równej 1 1/8, czyli: 

`f(0)=1 1/8`

`a*(0+3)^2=1 1/8`

`9a=9/8\ \ \ |:9`

`a=1/8`

 

 

`ul(ul(f(x)=1/8(x+3)^2))`

 

W równoległoboku, którego obwód jest równy 60 cm ...

`"Zauważmy, że trójkaty ABC i BDE są podobne. Kąt przy podstawie obu trójkątów jest równy:"` 

`/_BAC=/_BDE`   

`a/h=b/H` 

`a/b=h/H=2/3` 

`3a=2b` 

 

`2a+2b=60`

`2a=60-2b`   

`2a=60-3a` 

`5a=60` 

`ul(a=12`  

`2*12+2b=60` 

`ul(b=18`  

Wykres funkcji f(x)=...

`g(x)=(-2)/x` 

Przesuwając wykres `g(x)` o 2 jednostki w lewo otrzymujemy `f(x)=(-2)/(x+2)` 

 

`x+2!=0` 

`x!=-2` 

 

Odp. C