Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$$sin 2x = {1}/{2}$$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $$sin a = {1}/{2}$$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $$a = {∏}/{6} + k×2 ∏$$, $$a = {5∏}/{6}+k×2∏$$ (przypomnienie: ponieważ $$2∏$$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $$2 ∏$$).

Skoro w argumencie mamy $$a = 2x$$, to podstawiając do naszych rozwiązań $$2x$$ otrzymujemy:

$$2x = {∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {∏}/{12} + k×∏$$

oraz

$$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {5∏}/{12} + k×∏$$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $$2x$$ występowałoby $$5x$$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $$sin x + cos x = 1$$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$$

3) Skracamy:
$$sin x cos x = 0$$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $$sin x = 0$$
    i wtedy $$x = k×∏$$.
     
  • b) $$cosx = 0$$
    i wtedy $$x = {∏}/{2} + k×∏$$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $$sin$$ i $$cos$$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$$cos^4x - sin^4x = cos2x$$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $$sin x$$ i $$cos x$$.
$$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$$

3) Oczywiście $$sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$$ i $$cos {∏}/{3} = {1}/{2}$$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $$sin (3x)$$ na $$sin (2x+x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $$sin(α + β)$$ otrzymujemy równanie
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $$sin (2x)$$ i $$cos (2x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $$3x$$ na $$2x + x$$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Trójkąt prostokątny wpisano w okrąg...

Skoro trójkąt prostokątny wpisano w okrąg to długość przeciwprostokątnej jest równa podwojonej długości promienia, czyli 10 cm.

 

a) Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez a, wtedy dłuższa ma długość 2a. Z twierdzenia Pitagorasa:

`a^2 + (2a)^2 = 10^2`   

`a^2 + 4a^2 = 100` 

`5a^2 = 100` 

`a^2 = 20` 

`a = sqrt20 = sqrt4*sqrt5 = 2sqrt5 \ ["cm"]` 

 

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych:

`P= 1/2*a*2a = a^2 = (2sqrt5)^2 = 4*5 = 20 \ ["cm"^2]` 

 

b) Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez a, wtedy dłuższa ma długość a+2. Z twierdzenia Pitagorasa:

`a^2 + (a+2)^2 = 10^2` 

`a^2 + a^2 + 4a + 4 = 100` 

`2a^2 + 4a -96 =0 \ \ \ |:2` 

`a^2 + 2a - 48 =0` 

`a^2 +8a - 6a -48=0` 

`a(a+8)-6(a+8)=0` 

`(a+8)(a-6) =0` 

a musi być dodatnie zatem:

`a = 6` 

 

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych:

`P = 1/2*a*(a+2) = 1/2*6 *8 = 3*8 = 24 \ ["cm"^2]` 

Dany jest walec o promieniu podstawy...

`V=pir^2*h` 

`P_b=2pirh` 

`P_c=2pir(r+h)` 

 

a)

`r=5` 

`h=7` 

 

`V=pi5^2*7=pi*25*7=175pi` 

`P_b=2pi*5*7=2pi*35=70pi` 

`P_c=2pi*5*(5+7)=10pi*12=120pi` 


b)

`r=4` 

`d=17` 

 

`(2r)^2+h^2=d^2` 

`8^2+h^2=17^2` 

`64+h^2=289` 

`h^2=225` 

`h=15` 

 

`V=pi4^2*15=pi*16*15=240pi` 

`P_b=2pi*4*15=2pi*60=120pi` 

`P_c=2pi*4*(4+15)=8pi*19=152pi` 


c)

`h=6` 

`alpha=30^o` 

`h/(2r)=tgalpha` 

`(6)/(2r)=tg30^o` 

`3/r=sqrt3/3` 

`3*3=r*sqrt3 \ \ \ |:sqrt3` 

`9/sqrt3=r` 

`(9sqrt3)/3=r` 

`3sqrt3=r` 

 

`V=pi(3sqrt3)^2*6=pi*27*6=162pi` 

`P_b=2pi*3sqrt3*6=36sqrt3pi` 

`P_c=2pi*3sqrt3(3sqrt3+6)=6sqrt3pi(3sqrt3+6)=54pi+36sqrt3pi` 


d)

`d=8` 

`alpha=60^o` 

`h/d=sinalpha` 

`h/8=sin60^o` 

`h/8=sqrt3/2` 

`2h=8sqrt3 \ \ \ |:2` 

`h=4sqrt3` 

 

`h^2+(2r)^2=d^2` 

`(4sqrt3)^2+4r^2=8^2` 

`48+4r^2=64 \ \ \ |-48` 

`4r^2=16 \ \ \ |:4` 

`r^2=4` 

`r=2` 

 

`V=pi2^2*4sqrt3=pi*4*4sqrt3=16sqrt3pi` 

`P_b=2pi*2*4sqrt3=16sqrt3pi` 

`P_c=2pi*2*(2+4sqrt3)=4pi(2+4sqrt3)=8pi+16sqrt3pi` 

Aby rozwiązać równanie kwadratowe ...

`a)` 

`(2x+3)^2-16=0` 

`(2x+3)^2-4^2=0` 

`(2x+3-4)(2x+3+4)=0` 

`2x-1=0 \ \ \vee \ \ \2x+7=0` 

`x=1/2\ \ \vee \ \ \x=-7/2` 

 

`x in {-7/2,1/2}` 

`b)` 

`(4x-1)^2-4=0` 

`(4x-1)^2-2^2=0` 

`(4x-1-2)(4x-1+2)=0` 

`4x-3=0\ \ \vee \ \ \4x+1=0` 

`x=3/4\ \ \vee\ \ \x=-1/4` 

 

`x in {-1/4,3/4}` 

 

`c)` 

`4(x+1)^2-25=0\ \|:4` 

`(x+1)^2-25/4=0` 

`(x+1)^2-(5/2)^2=0` 

`(x+1-5/2)(x+1+5/2)=0` 

`x+1-5/2=0\ \ \vee \ \ \x+1+5/2=0`  

`x=3/2\ \ \vee \ \ \ x=-7/2` 

 

`x in {-7/2,3/2}` 

 

`d)` 

`100- (x+1)^2=0` 

`10^2-(x+1)^2=0` 

`(10-x-1)(10+x+1)=0` 

`10-x-1=0\ \ \vee \ \ \ 10+x+1=0` 

`x=9\ \ \vee \ \ \x=-11` 

 

`x in {-11,9}` 

 

`e)` 

`25-(2x+3)^2=0` 

`5^2-(2x+3)^2=0` 

`(5-2x-3)(5+2x+3)=0` 

`-2x+2=0\ \ \vee \ \ \2x+8=0` 

`x=1\ \ \vee \ \ x=-4` 

 

`x in {-4,1}` 

 

`f)` 

`81-(3x+7)^2=0` 

`(9-3x-7)(9+3x+7)=0` 

`9-3x-7=0\ \ \vee\ \ \9+3x+7=0` 

`x=2/3\ \ \vee \ \ \x=-16/3`  

 

`x in {-16/3,2/3}`         

` `

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych

Zapiszmy funkcje w postaci kanonicznej, wyznaczamy w tym celu współrzędne wierzchołka: 

`f(x)=x^2-5x+6` 

`p_f=5/2` 

`q_f\ =f(5/2)=(5/2)^2-5*5/2+6=`  

`\ \ \ \ \ =25/4-25/2+6=` `25/4-50/4+6=` 

`\ \ \ \ \ =-25/4+6=` `-6 1/4+6=-1/4` 

`f(x)=(x-5/2)^2-1/4`     

`y=x^2\ \ \ #(->)^(vecv=[5/2,\ -1/4])\ \ \ y=(x-5/2)^2-1/4=f(x)` 

 

 

 

 

`g(x)=x^2+5x+6` 

`p_g=(-5)/2` 

`q_g\ =g(-5/2)=(-5/2)^2+5*(-5/2)+6=`  

`\ \ \ \ \ =25/4-25/2+6=-1/4` 

`g(x)=(x+5/2)^2-1/4`   

`y=x^2\ \ \ #(->)^(vecu=[-5/2,\ -1/4])\ \ \ y=(x+5/2)^2-1/4`   

 

 

`a)` 

Te wykresy są symetryczne względem osi OY. 

 

 

`b)` 

`f(x)>=g(x)\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 0>>` 

Aby stwierdzić, dla jakiego x wartość ...

`a)` 

`W(x)=10/(1/4x^2-x+6)` 

Rozważmy funkcje kwadratową f(x):

`f(x)=1/4x^2-x+6` 

Wartość wyrażenia W(x) jest największa dla x takiego, że 

wartość funkcji f(x) jest najmniejsza.

`Delta=1-4*1/4*6=-5<0` 

`a=1/4>0` 

Wykres paraboli znajduję się w całości nad osią X.

Funkcja f przyjmuje wartość minimalną q dla x=p, gdzie (p;q) jest wierzchołkiem paraboli

będącej wykresem funkcji f(x).

`p=-b/(2a)=1/(1/2)=2` 

`q=f(p)=1/4*2^2-2+6=5` 

`maxW(x)=W(2)=10/5=2` 

Wyrażenie W(x) osiąga wartość największa równą 2 dla x=2.  

 

`b)` 

`W(x)=4/(5x^2+2x+1)` 

Rozważmy funkcje kwadratową f(x):

`f(x)=5x^2+2x+1` 

Wartość wyrażenia W(x) jest największa dla x takiego, że 

wartość funkcji f(x) jest najmniejsza.

`Delta=4-20=-16<0`  

`a=1/4>0` 

Wykres paraboli znajduję się w całości nad osią X.

Funkcja f przyjmuje wartość minimalną q dla x=p, gdzie (p;q) jest wierzchołkiem paraboli

będącej wykresem funkcji f(x).

`p=-b/(2a)=-2/10=-1/5`  

`q=f(p)=5*1/25+2*(-1/5)+1=1/5-2/5+1=4/5`  

`maxW(x)=W(2)=4/(4/5)=5` 

Wyrażenie W(x) osiąga wartość największa równą 5 dla x=-0,2.  

Prostokątną działkę, przylegającą dłuższym bokiem...

 

`2x + y = 30` 

`y = 30 - 2x`  

`x in (0, 15)` 

 

`2y = x+z` 

`z = 2y - x = 2*(30-2x) -x = 60 - 4x - x = 60 - 5x` 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`{(z^2 = (60-5x)^2),(z^2=x^2+y^2):}` 

`{(z^2 = (5(12-x))^2 ),(z^2 = x^2 + (30-2x)^2):}` 

Stąd:

`25(12-x)^2 = x^2+(30-2x)^2` 

`25(144 - 24x + x^2) = x^2 + 900 - 120x + 4x^2` 

`3600 -600x + 25x^2= 5x^2 - 120x + 900` 

`20x^2 -480x + 2700 =0` 

`x^2 - 24x + 135=0` 

`Delta = (-24)^2 -4*1*135 = 576 - 540 = 36` 

`sqrtDelta = sqrt36 = 6` 

`x_1 = (-(-24) - 6)/2 \ \ vv \ \ x_2 = (-(-24)+6)/2` 

`x_1 = 9 \ \ vv \ \ x_2 = 15` 

Po uwzględnieniu dziedziny:

`x = 9` 

`y = 30 -2x = 30 - 2*9 = 30 - 18 = 12` 

Powierzchnia działki wynosi:

`P = xy = 9*12 = 108 \ ["m"^2]` 

Dany jest wykres funkcji

`a)` 

`"Do przedziału"\ (-2;\ 6)\ "należą 3 miejsca zerowe (0, 2, 4)."` 

`"Do przedziału"\ <<-6;\ 6>>\ "należy 7 miejsc zerowych (-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6)."` 

 

 

`b)` 

`"Do przedziału"\ (-2;\ 6)" należy 8 miejsc zerowych."` 

`"Do przedziału"\ <<-6;\ 6>> \ "należy 12 miejsc zerowych."` 

 

Prostą jednokładną do prostej...

Jeżeli proste są jednokładne to są równoległe, zatem prostą równoległą do prostej y = 3x +1 jest

`y = 3x+5` 

Odpowiedź D

Podaj miarę...

`b) \ 165^o = 120^o + 45^o = 2/3pi + 1/4 pi = 8/12 pi + 3/12 pi = 11/12pi` 

 

`c) \ 195^o = 180^o + 15^o = pi + 1/12pi = 13/12 pi` 

 

`d) \ 660^o = 3*180^o + 120^o + 20^o = 3* pi + 2/3 pi + 1/9 pi = 3pi + 6/9 pi + 1/9 pi = 3 7/9 pi` 

 

`e) \ 2*360^o + 20^o = 2*2pi + 1/9 pi = 4pi + 1/9 pi = 4 1/9 pi` 

 

`f) 1085^o = 3*360^o + 5^o = 3*2pi + 1/36 pi = 6 1/36 pi`

Rozwiąż równanie

`a)` 

`7/4-1/18x=5/9\ \ \ |*18` 

`7/strike4^2*strike18^9-x=5/strike9^1*strike18^2` 

`63/2-x=10` 

`31 1/2-x=10\ \ \ |-31 1/2` 

`-x=-21 1/2\ \ \ |*(-1)` 

`x=21 1/2` 

 

 

 

`b)` 

`1 3/4+1 5/6x=2 2/3` 

`7/4+11/6x=8/3\ \ \ \ |*12` 

`7/strike4^1*strike12^3+11/strike6^1x*strike12^2=8/strike3^1*strike12^4` 

`21+22x=32\ \ \ |-21` 

`22x=11\ \ \ |:22` 

`x=11/22=1/2` 

 

 

`c)` 

`(3/4-5/6)x=1/2-2/3` 

`(9/12-10/12)x=3/6-4/6` 

`-1/12x=-1/6\ \ \ |*(-12)` 

`x=2` 

 

 

`d)` 

`(7/5-3/2)(1/2-x)=-1/8` 

`(14/10-15/10)(1/2-x)=-1/8` 

`-1/10(1/2-x)=-1/8\ \ \ |*(-10)` 

`1/2-x=10/8` 

`1/2-x=5/4` 

`2/4-x=5/4\ \ \ |-2/4` 

`-x=3/4\ \ \ |*(-1)` 

`x=-3/4`