Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$sin 2x = {1}/{2}$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $sin a = {1}/{2}$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $a = {∏}/{6} + k×2 ∏$, $a = {5∏}/{6}+k×2∏$ (przypomnienie: ponieważ $2∏$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $2 ∏$).

Skoro w argumencie mamy $a = 2x$, to podstawiając do naszych rozwiązań $2x$ otrzymujemy:

$2x = {∏}/{6} + k×2∏$
$x = {∏}/{12} + k×∏$

oraz

$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$
$x = {5∏}/{12} + k×∏$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $2x$ występowałoby $5x$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $sin x + cos x = 1$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$

3) Skracamy:
$sin x cos x = 0$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $sin x = 0$
    i wtedy $x = k×∏$.
     
  • b) $cosx = 0$
    i wtedy $x = {∏}/{2} + k×∏$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $sin$ i $cos$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$cos^4x - sin^4x = cos2x$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $sin x$ i $cos x$.
$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$

3) Oczywiście $sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$ i $cos {∏}/{3} = {1}/{2}$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $sin (3x)$ na $sin (2x+x)$
$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $sin(α + β)$ otrzymujemy równanie
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $sin (2x)$ i $cos (2x)$
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $3x$ na $2x + x$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ równań.

 

 

Tylko jedna interpretacja geometryczna pasuje do naszych odpowiedzi:

 

 

 

 

Widać, że drugie równanie po prawej stronie będzie miało liczbę ujemna a żadna liczba podniesiona do kwadratu nie będzie ujemna. Nie ma rozwiązań.

Przekształćmy równania okręgów by móc odczytać współrzędne środków i długości promieni:

 

 

 

Układ sprzeczny, brak rozwiązań.
Przekształćmy równania okręgów by móc odczytać współrzędne środka i długości promieni, pierwsze równanie przekształciliśmy w poprzednim podpunkcie:

 

Wyznacz x, jeśli:

 

Okres funkcji tangens wynosi π, znajdźmy rozwiązanie w przedziale [-π, 0] a następnie dzięki okresowości funkcji łatwo wyznaczymy rozwiązanie w przedziale [10π, 11π]

 

 

A więc:

 

 

 

 

Okres funkcji cotangens wynosi π, znajdźmy rozwiązanie w przedziale [ 0,π] a następnie dzięki okresowości funkcji łatwo wyznaczymy rozwiązanie w przedziale [-6π, -5π]

 

 

A więc:

 

 

 

Okres funkcji cotangens wynosi π, znajdźmy rozwiązanie w przedziale [0,π] a następnie dzięki okresowości funkcji łatwo wyznaczymy rozwiązanie w przedziale [6π, 7π]

 

A więc:

 

 

 

Okres funkcji tangens wynosi π, znajdźmy rozwiązanie w przedziale [0, π] a następnie dzięki okresowości funkcji łatwo wyznaczymy rozwiązanie w przedziale [-9,-6]

 

A więc:

  

Odczytaj pierwiastki równania ...

    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub .     {premium}


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub .


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub 


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub .


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub  .


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub .

Zapisz nierówności, które są spełnione przez liczby

{premium}

 

 

Sprawdź, czy proste k i l...

a) Musi zachodzić równość pomiędzy stosunkami długości odpowiednich boków:

 

 

 

Proste nie są równoległe

 

  

 

 

 

Proste nie są równoległe

 

 

 

  

 

 

Proste są równoległe

Ćwiczenie 8 Wypisz ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bierzemy udział w następującej grze

 

Rzucając kostką możemy uzyskać 6 wyników (1, 2, 3, 4, 5, 6). 

Jeśli wypadnie 2, 4 lub 6, to wygrywamy 10 zł (3 możliwości z 6). 

Jeśli wypadnie 5, to wygrywamy 120 zł (1 możliwość z 6). 

Jeśli wypadnie 1 lub 3, to przegrywamy 90 zł (2 możliwości z 6). 

 

       
        

 

Obliczamy wartość oczekiwaną tej gry:

 

 

 

 

Gra jest sprawiedliwa, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0. 

 

 

 

 

 

Wysokość przegranej powinna wynosić 75 zł. 

Wyznacz cztery początkowe wyrazy ...

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prosta m jest styczna...

Rysunek poglądowy:{premium}

Z twierdzenia o kącie pomiędzy styczną a cięciwą wiemy, że:

 

 

Wiemy również, że:

 

zatem

 

 

 

Oblicz 4^-2