Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$$sin 2x = {1}/{2}$$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $$sin a = {1}/{2}$$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $$a = {∏}/{6} + k×2 ∏$$, $$a = {5∏}/{6}+k×2∏$$ (przypomnienie: ponieważ $$2∏$$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $$2 ∏$$).

Skoro w argumencie mamy $$a = 2x$$, to podstawiając do naszych rozwiązań $$2x$$ otrzymujemy:

$$2x = {∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {∏}/{12} + k×∏$$

oraz

$$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {5∏}/{12} + k×∏$$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $$2x$$ występowałoby $$5x$$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $$sin x + cos x = 1$$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$$

3) Skracamy:
$$sin x cos x = 0$$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $$sin x = 0$$
    i wtedy $$x = k×∏$$.
     
  • b) $$cosx = 0$$
    i wtedy $$x = {∏}/{2} + k×∏$$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $$sin$$ i $$cos$$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$$cos^4x - sin^4x = cos2x$$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $$sin x$$ i $$cos x$$.
$$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$$

3) Oczywiście $$sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$$ i $$cos {∏}/{3} = {1}/{2}$$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $$sin (3x)$$ na $$sin (2x+x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $$sin(α + β)$$ otrzymujemy równanie
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $$sin (2x)$$ i $$cos (2x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $$3x$$ na $$2x + x$$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie przedstawionym na rysunku obok ...

`a)` 

`P_Delta=1/2ab sin alpha` 

Powyższy wzó na pole trójkąta możemy również zapisać w przypadku gdy alfa jest kątem rozwartym.

Mamy wówczas:

`h/b=sin(180^o-alpha)\ implies\ h=bsin(180^o-alpha)` 

Wiemy, że zachodzi następująca tożsamość:

`sin(180^o-alpha)=sinalpha` 

`P=1/2ah=1/2ab sin(180^o-alpha)=1/2ab sinalpha`    

 

`b)`

`P=1/2*5*7*sin120^o`

Korzystamy z wzorów redukcyjnych

`sin120^o=sin(180^o-60^o)=sin60^o`

`P=1/2*5*7*sin60^o`

`P=1/2*35*sqrt3/2`

`P=ul(35/4sqrt3)`

 

 

`c) `

Obliczamy miarę kąta zawartego pomiędzy ramionami tego trójkąta:

`alpha+22^o30'+22^o30'=180^o`

`alpha+45^o=180^o`

`alpha=180^o-45^o`

`alpha=135^o`

Korzystamy z wzorów redukcyjnych:

`sin135^o=sin(180^o-45^o)=sin45^o`

 

`P=1/2*8*8*sin45^o`

`P=1/2*64*sqrt2/2`

`P=ul(16sqrt2)`

Wyznacz zbiory A, B

`A={1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11}`

`B={2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 14}`

`AnnB={3,\ 5,\ 7}`

 

Wyznacz wartości parametru m, ...

a) `y=-x^2-2mx+m-1` 

`Delta=(-2m)^2-4*(-1)*(m-1)=4m^2+4m-4` 

`q=1` 

`(-Delta)/(4a)=1` 

`(-(4m^2+4m-4))/(4*(-1))=1` 

`(-4(m^2+m-1))/(-4)=1` 

`m^2+m-1=1 \ \ \ |-1` 

`m^2+m-2=0` 

`Delta_m=1^2-4*1*(-2)=1+8=9` 

`sqrt(Delta_m)=3` 

`m_1=(-1-3)/2=(-4)/2=-2` 

`m_2=(-1+3)/2=2/2=1` 

 

Odpowiedź: `m in {-2, 1}` 


b) `y=(m-1)x^2+(m-1)x+m+1` 

Założenie: `m-1!=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ m!=1` 

`Delta=(m-1)^2-4*(m-1)*(m+1)=m^2-2m+1-4(m^2-1)=m^2-2m+1-4m^2+4=-3m^2-2m+5` 

`q=1` 

`(-Delta)/(4a)=1` 

`(-(-3m^2-2m+5))/(4(m-1))=1 \ \ \ |*4(m-1)` 

`(3m^2+2m-5)=4(m-1)` 

`3m^2+2m-5-4m+4=0` 

`3m^2-2m-1=0` 

`Delta_m=(-2)^2-4*3*(-1)=4+12=16` 

`sqrt(Delta_m)=4` 

`m_1=(2-4)/(2*3)=(-2)/6=-1/3` 

`m_2=(2+4)/(2*3)=6/6=1 \ \ "sprzeczność"` 

 

Odpowiedź: `m=-1/3` 

 

Wykonaj dzielenie wielomianów.

`a) \ (x^3+5x^2+6x):(x+3)` 

zatem:

`x^3+5x^2+6x=(x+3)(x^2+2x)` 

 

`b) \ (x^3-5x+2):(x-1)` 

zatem:

`x^3 -5x + 2 = (x-1)(x^2+x-4)-2` 

Oblicz pole trójkąta ograniczonego prostą...

a) Wykres funkcji jest narysowany kolorem niebieskim.

Podstawa trójkąta i jego wysokość mają długość 2. Zatem pole tego trójkąta to:

`P= 1/2* 2 * 2 = 2` 

 

b) Wykres funkcji jest narysowany kolorem niebieskim.

Obliczmy długość podstawy:

`sqrt((1-(-2))^2+(-1-2)^2) = sqrt(3^2 +(-3)^2) = sqrt(9+9) = sqrt(9*2) = 3sqrt2` 

 

Obliczmy współrzędne środka podstawy trójkąta:

`S = ((-2+1)/2, (2+(-1))/2) = (-0,5 \ , \ 0,5)`  

 

Obliczmy długość wysokości trójkąta:

`sqrt((4-(-0,5))^2 +(5- 0,5)^2) = sqrt((4,5)^2 + (4,5)^2) = sqrt((9/2)^2 + (9/2)^2) = sqrt(81/4 + 81/4) = sqrt(81/4 * 2) = 9/2sqrt2` 

 

Pole trójkąta:

`P = 1/2 * 3sqrt2 * 9/2sqrt2 = 1/2*sqrt2*sqrt2 *3*9/2 = 1/2*2*27/2 = 27/2` 

Student przygotowywał się do egzaminu...

`a_1=20` 

`r=20` 

 

`a_26=?` 

`a_26=a_1+25r` 

`a_26=20+25*20` 

`a_26=20+500` 

`a_26=520` 

 

`520 \ "min"=8 \ "h" \ 40 \ "min"` 

 

Odp. W ostatnim dniu nauki student poświęcił 8 h 40 min na naukę.

Oblicz pole trójkąta...

Wyznaczmy równanie prostej AB:

`f(x) = ax+b` 

`{(f(-1)=0),(f(0)=5):}` 

`{(-a+b=0),(b=5):}` 

`{(-a+5=0),(b=5):}` 

`{(a=5),(b=5):}` 

a więc:

`y = 5x+5` 

Zapiszmy prostą w postaci ogólnej:

`-5x+y-5=0` 

 

Obliczmy odległość punktu C od prostej AB:

`d = (|Ax^'+By^'+C|)/sqrt(A^2+B^2) = (|-5*4+1*(-3)-5|)/sqrt((-5)^2+1^2) = (|-20-3-5|)/sqrt26 = 28/sqrt26` 

 

Obliczmy długość odcinka AB:

`|AB| = sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2) = sqrt((0-(-1))^2+(5-0)^2) = sqrt(1^2+5^2) = sqrt(1+25) = sqrt26`

 

Pole trójkąta:

`P = 1/2ah = 1/2*|AB|*d = 1/2*sqrt26*28/sqrt26 = 1/2*28 = 14` 

Określ monotoniczność funkcji

Skorzystamy z twierdzenia podanego na poprzedniej stronie w podręczniku. 

 

`"wzór funkcji"\ f` 

`"funkcja malejąca"` 

`(a<0)` 

`"funkcja rosnąca"` 

`(a>0)` 

`"funkcja stała"`  

`(a=0)` 

`a)\ f(x)=(5-m)x` 

`5-m<0\ \ \ |-5` 

`-m< -5\ \ \|*(-1)` 

`m>5` 

`m in (5;\ +infty)` 

`m in (-infty;\ 5)`   `m=5` 
`b)\ f(x) =(1+5m)x` 

`1+5m<0\ \ \ |-1` 

`5m< -1\ \ \ |:5` 

`m< -1/5` 

`m in (-infty;\ -1/5)` 

`m> -1/5` 

`m in (-1/5;\ +infty)` 

`m=-1/5` 
`c)\ f(x)=(|m|-1)x` 

`|m|-1<0\ \ \ |+1` 

`|m|<1` 

`-1<m<1` 

`m in (-1;\ 1)` 

`m in (-infty;\ -1)uu(1;\ +infty)`  `m in {-1;\ 1}` 

 

Podstawą graniastosłupa prostego...

Rysunek poglądowy podstawy:

Pole równoległoboku możemy obliczyć ze wzoru:

`P = ab sin alpha = ab * sin 45^o = (sqrt2ab)/2` 

 

  • I przypadek:

Jeżeli kwadratami są ściany o boku a, wtedy pozostałe dwie ściany są prostokątami o bokach a,b:

`P_b = 2P_("kw") + 2P_("pr") = 2 * a^2 + 2*ab = 2a^2 + 2ab` 

Pole całkowite:

`P_c = 2P + P_b = sqrt2ab + 2a^2+2ab` 

 

  • II przypadek:

Jeżeli kwadratami są ściany o boku b, wtedy pozostałe dwie ściany są prostokątami o bokach a,b:

`P_b = 2P_("kw") + 2P_("pr") = 2 b^2 + 2ab` 

Pole całkowite:

`P_c = 2P + P_b = sqrt2ab +2b^2 + 2ab` 

Ćwiczenie 3

`a)` 

`alpha=24^@` 

 

`b)` 

`alpha=25^@` 

 

`c)` 

`alpha~~30^@` 

 

`d)` 

`alpha~~23^@`