Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$$sin 2x = {1}/{2}$$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $$sin a = {1}/{2}$$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $$a = {∏}/{6} + k×2 ∏$$, $$a = {5∏}/{6}+k×2∏$$ (przypomnienie: ponieważ $$2∏$$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $$2 ∏$$).

Skoro w argumencie mamy $$a = 2x$$, to podstawiając do naszych rozwiązań $$2x$$ otrzymujemy:

$$2x = {∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {∏}/{12} + k×∏$$

oraz

$$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {5∏}/{12} + k×∏$$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $$2x$$ występowałoby $$5x$$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $$sin x + cos x = 1$$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$$

3) Skracamy:
$$sin x cos x = 0$$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $$sin x = 0$$
    i wtedy $$x = k×∏$$.
     
  • b) $$cosx = 0$$
    i wtedy $$x = {∏}/{2} + k×∏$$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $$sin$$ i $$cos$$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$$cos^4x - sin^4x = cos2x$$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $$sin x$$ i $$cos x$$.
$$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$$

3) Oczywiście $$sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$$ i $$cos {∏}/{3} = {1}/{2}$$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $$sin (3x)$$ na $$sin (2x+x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $$sin(α + β)$$ otrzymujemy równanie
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $$sin (2x)$$ i $$cos (2x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $$3x$$ na $$2x + x$$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku obok przedstawiono wykresy ...

Na wykresie przedstawiono funkcje wykładnicze postaci:

 

 

Dla 0<a<1 funkcja jest malejąca, stąd:

     {premium}

Dla a=1 funkcja jest stała, stąd:

 

Dla a>1 funkcja jest rosnąca. Im większa wartość a tym bliżej osi y znajduje się wykres, stąd:

 

 

W okrąg został wpisany trójkąt ...

 

 

 

Zauważmy, że przeciwprostokątna trójkąta ABC jest średnicą okręgu.{premium}

 

 

 

Wyzanczmy równanie prostej k zawierającej odcinek CS.

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB ma równanie:

 

 

 

 

Punkt wspólne powyższej prostej i okręgu to punkty A i B.       

Wstawmy równanie prsotej l do równania okręgu:

 

 

  

 

Współrzędne pozostałych wierzchołków to:

     

Podstawą graniastosłupa prostego jest...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Korzystając z tw. cosinusów otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz współrzędne

Będziemy korzystać ze wzoru podanego w ramce na stronie 174.

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mateusz uczył się słówek z języka obcego. Zaczął od 40 i ...

Pierwszego dnia Mateusz uczył się  słówek, więc

.

Każdego następnego dnia zmniejszał liczbę słówek o  , zatem{premium}

.

Wszystkich słówek, które miał opanować było , chcemy wiedzieć, czy w ten sposób udało mu się to i jeśli tak, to po ilu dniach.

Suma  początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego  wyraża się wzorem

.

Możemy zapisać

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe z niewiadomą  

 

 

 

 

Mateusz opanował  słówek po  dniach.

Wskaż parę prostych równoległych...

Jeżeli dwie proste dane są w postaci ogólnej:

 

 

oraz są równoległe to:

 

 

Zauważmy, że w podpunkcie C mamy:

 

 

 

 

 

Proste mają takie same współczynniki przy zmiennych a więc są równoległe.

Odpowiedź C

Dla jakiej wartości współczynnika a punkt Q

Podstawiamy pierwszą współrzędną punktu w miejsce x, drugą współrzędną punktu w miejsce y. 

{premium}

 

Dany jest wyróżnik funkcji kwadratowej oraz współrzędne wierzchołka W

Przydatne będą wzory: 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W trapezie ABCD przekątna ...

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

Zbadaj monotoniczność ciągu...

 

 

 

Zbadajmy różnicę:

 

 

A więc ciąg jest niemalejący.

 

 

 

 

Zbadajmy różnicę:

 

ze wzoru na różnice sinusów:

 

 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

 

A więc

 

 

 

A więc:

 

Ciąg niemalejący.

 

 

 

 

Zbadajmy iloraz:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

Ciąg niemalejący.