Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$$sin 2x = {1}/{2}$$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $$sin a = {1}/{2}$$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $$a = {∏}/{6} + k×2 ∏$$, $$a = {5∏}/{6}+k×2∏$$ (przypomnienie: ponieważ $$2∏$$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $$2 ∏$$).

Skoro w argumencie mamy $$a = 2x$$, to podstawiając do naszych rozwiązań $$2x$$ otrzymujemy:

$$2x = {∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {∏}/{12} + k×∏$$

oraz

$$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {5∏}/{12} + k×∏$$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $$2x$$ występowałoby $$5x$$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $$sin x + cos x = 1$$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$$

3) Skracamy:
$$sin x cos x = 0$$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $$sin x = 0$$
    i wtedy $$x = k×∏$$.
     
  • b) $$cosx = 0$$
    i wtedy $$x = {∏}/{2} + k×∏$$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $$sin$$ i $$cos$$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$$cos^4x - sin^4x = cos2x$$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $$sin x$$ i $$cos x$$.
$$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$$

3) Oczywiście $$sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$$ i $$cos {∏}/{3} = {1}/{2}$$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $$sin (3x)$$ na $$sin (2x+x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $$sin(α + β)$$ otrzymujemy równanie
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $$sin (2x)$$ i $$cos (2x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $$3x$$ na $$2x + x$$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia...

Z urny, w której jest 8 kul białych

Obliczymy najpierw, ile elementów ma zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Mamy 10 kul (8 białych i 2 czarne), losujemy z nich jednocześnie 9 kule:

 

 

 

Jeśli w urnie ma zostać biała kula, to musimy wylosować 7 z 8 białych kul oraz 2 z 2 czarnych kul. 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność...

 

Podstawienie:

 

 

Rozwiążmy wpierw równanie:

 

 

Wróćmy do nierówności:

 

Rysunek:

Skoro t=4x, to :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiążmy równanie:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

Ostatecznie:

  

Rysunek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc jedyna możliwość to:

 

 

Na diagramie kołowym przedstawiono...

Ilość 1:  

Ilość 2:  

Ilość 3:  

Ilość 4:  

Ilość 5:  

Ilość 6: 

 

Średnia arytmetyczna:

 

 

Odchylenie standardowe:

 

 

 

 

Prosta o równaniu y=x+3 przecina ...

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

   

    

 

 

 

 

 

  

 

      

 

 

 

 

 

W kulę wpisano prostopadłościan...

Zauważmy, że połowa przekątnej tego prostopadłościanu to promień kuli.

Wyznaczmy przekątną tego prostopadłościanu.

 

 

 

 

 

Przekątna podstawy wynosi 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność ...

 

 

Sprawdzamy. dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 lub .

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.{premium}


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

 .


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

(mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

lub 

  

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

(mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.

W n ponumerowanych

W n ponumerowanych szufladach umieszczamy losowo n ponumerowanych kul. Pierwszą kulę możemy włożyć do jednej z n szuflad - n możliwości. Podobnie drugą, trzecią i każdą kolejną kulę. 

 

 

 

 

 

Jeśli dokładnie jedna szuflada ma być pusta, to w jednej szufladzie muszą znajdować się 2 kule, w n-2 szufladach musi znajdować się po 1 kuli, w jednej szufladzie nie ma żadnej kuli. 

Wybieramy 2 z n kul. 

Następnie wybieramy jedną z n szuflad, do której włożymy te 2 kule - n możliwości. 

Zostało nam n-2 kul do dyspozycji oraz n-1 szuflad do dyspozycji. Od tego momentu do każdej szuflady wkładamy po jednej kuli, dzięki czemu dokładnie jedna szuflada zostanie pusta. 

Pierwszą kulę wkładamy do jednej z n-1 szuflad - n-1 możliwości. 

Drugą kulę wkładamy do jednej z n-2 pozostałych szuflad - n-2 możliwości. 

I tak dalej.

(n-3)-cią kulę wkładamy do jednej z 3 pozostałych szuflad - 3 możliwości. 

Ostatnią, (n-2)-gą kulę wkładamy do jednej z 2 pozostałych szuflad - 2 możliwości. 

Jedna szuflada zostaje pusta. 

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

  

Zapisz wzory trzech różnych funkcji logarytmicznych...

  

Funkcja rosnąca

 

 

Funkcja rosnąca

 

 

Funkcja malejąca

Wyróżnik funkcji kwadratowej jest równy 0 ...

 

Wyrażenie  nazywamy {premium}wyróżnikiem funkcji kwadratowej.

 

  

 

 

 

         
           

Thumb str 2024 20  207