Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$sin 2x = {1}/{2}$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $sin a = {1}/{2}$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $a = {∏}/{6} + k×2 ∏$, $a = {5∏}/{6}+k×2∏$ (przypomnienie: ponieważ $2∏$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $2 ∏$).

Skoro w argumencie mamy $a = 2x$, to podstawiając do naszych rozwiązań $2x$ otrzymujemy:

$2x = {∏}/{6} + k×2∏$
$x = {∏}/{12} + k×∏$

oraz

$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$
$x = {5∏}/{12} + k×∏$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $2x$ występowałoby $5x$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $sin x + cos x = 1$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$

3) Skracamy:
$sin x cos x = 0$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $sin x = 0$
    i wtedy $x = k×∏$.
     
  • b) $cosx = 0$
    i wtedy $x = {∏}/{2} + k×∏$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $sin$ i $cos$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$cos^4x - sin^4x = cos2x$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $sin x$ i $cos x$.
$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$

3) Oczywiście $sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$ i $cos {∏}/{3} = {1}/{2}$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $sin (3x)$ na $sin (2x+x)$
$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $sin(α + β)$ otrzymujemy równanie
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $sin (2x)$ i $cos (2x)$
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $3x$ na $2x + x$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj dzielenie ułamków algebraicznych. Podaj dziedziny wyrażeń.

 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

{premium}  

Wykonujemy dzielenie ułamków:

      

 

 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Wykonujemy dzielenie ułamków:

 

 

 Wyznaczamy dziedzinę:

  

 

 

Wykonujemy dzielenie ułamków:

 

 

Ćwiczenie 8 Oblicz ...

  {premium}  

  

  

a) Z prostokątnego arkusza tekstury ...

a) Rysunek pomocniczy:

   {premium}

Otrzymane pudełko ma wymiary: x, 30-2x, 20-2x.

Obliczmy pojemność tego pudełka.

 

 


b) Otrzymane pudełko ma wymiary: x, 40-2x, 40-2x.

Obliczmy pojemność tego pudełka.

 

 

Oblicz miary pozostałych kątów...

a)

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Średnia waga ośmiu wioślarzy pewnej ...

Obliczamy, ile łącznie ważą wioślarze.{premium}

 


Obliczamy średnią wagę wszystkich zawodników tej osady.

 

Wskaż w pokoju ...

a) Płaszczyzny równoległe: sufit i podłoga w pokoju.   {premium}

b) Płaszczyzny przecinające się: sufit i ściana, na której znajduje się okno.

c) Dwie proste skośne: prosta zawarta w suficie i prosta zawarta podłodze.

d) Prosta i płaszczyzna do niej równoległa: prosta zawarta w suficie i płaszczyzna podłogi. 

Oblicz, w zaokrągleniu do 1 minuty...

 

 

 

{premium}  

 

Z definicji logarytmu:

  

 

Nasz logarytm w przybliżeniu jest równy:

 

 

 

Zamieńmy ułamek na taki o mianowniku 60:

  

 

 

 

A więc:

 

A więc czas połowicznego rozkładu leku wynosi 26godzin 19minut.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa ...

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że: {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy wysokość tego ostrosłupa.

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego ostrosłupa.

 

 

 

Jeśli 1/9, b, c, 9...

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

Przypadek I.

 

 

 

 

 

 

 

 

Przypadek II.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D

Oblicz granicę.

    {premium}