Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$$sin 2x = {1}/{2}$$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $$sin a = {1}/{2}$$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $$a = {∏}/{6} + k×2 ∏$$, $$a = {5∏}/{6}+k×2∏$$ (przypomnienie: ponieważ $$2∏$$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $$2 ∏$$).

Skoro w argumencie mamy $$a = 2x$$, to podstawiając do naszych rozwiązań $$2x$$ otrzymujemy:

$$2x = {∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {∏}/{12} + k×∏$$

oraz

$$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$$
$$x = {5∏}/{12} + k×∏$$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $$2x$$ występowałoby $$5x$$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $$sin x + cos x = 1$$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$$

3) Skracamy:
$$sin x cos x = 0$$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $$sin x = 0$$
    i wtedy $$x = k×∏$$.
     
  • b) $$cosx = 0$$
    i wtedy $$x = {∏}/{2} + k×∏$$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $$sin$$ i $$cos$$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$$cos^4x - sin^4x = cos2x$$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $$sin x$$ i $$cos x$$.
$$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$$

3) Oczywiście $$sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$$ i $$cos {∏}/{3} = {1}/{2}$$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $$sin (3x)$$ na $$sin (2x+x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $$sin(α + β)$$ otrzymujemy równanie
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $$sin (2x)$$ i $$cos (2x)$$
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $$3x$$ na $$2x + x$$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Równanie y=4x^2-bx+1 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podaj przykład sześcioelementowego nierosnącego...

  

 

 

 

 

Oblicz współczynniki a i b wielomianu w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż trójkąt prostokątny ABC...

a) Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

b) Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

Przekątne trapezu równoramiennego przecinają się ...

 

Zauważmy, że trójkąty ASB i DCS są prostokątne i równoramienne.

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że trójkąty DES i DSA są podobne. Oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku D.

Skoro mają dwa kąty tej samej miary, to trzeci również muszą mieć tej samej miary. Trójkąty są podobne z cechy KKK.

Z podobieństwa wspomnianych trójkątów:

 

  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DES otrzymujemy, że:

 

  

 

 

       

Rozwiąż nierówności

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny: 

 

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie x-4 przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego:

 

Biorąc pod uwagę dodatkowo założenia zapisujemy: 

 

Przy tych założeniach wiemy już, że obie strony nierówności są dodatnie (po lewej stronie wyrażenie może także przyjąć wartość równą 0), dlatego spokojnie możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu - znak nierówności nie zmieni się

 

Wyliczamy miejsca zerowe paraboli, aby móc narysować wykres pomocniczy: 

 

 

 

 

 

 

Po obu stronach nierówności mamy coś nieujemnego, więc możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu:

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie 3-2x przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego: 

 

Bierzemy pod uwagę jeszcze założenia: 

 

Nierówność jest więc sprzeczna

Wyznacz wszystkie rozwiązania nierówności ...

 

 

 

Obliczamy  i miejsca zerowe funkcji

 

 

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od zera {premium}

,

dlatego ramiona paraboli skierowane są do dołu.

 

Thumb str 2056 20  206.

 

Odczytujemy z wykresu dla jakich  nierówność  jest spełniona

.

 

 

 

 

Liczby całkowite należące do tego przedziału: 

Grupa uczniów - 4 dziewcząt i 8 chłopców ...

a) Są dwie możliwości, albo dziewczyny siedzą z lewej strony a chłopcy z prawej, albo chłopcy siedzą z lewej strony, a dziewczyny z prawej strony.

Obliczmy ile jest możliwości zajęcia miejsc przez dziewczyny (4 miejsca) i przez chłopców (8 miejsc).

Pierwsza dziewczyna ma 4 możliwości wyboru miejsca.

{premium}

Druga dziewczyna ma 3 możliwości wyboru miejsca.

Trzecia dziewczyna ma 2 możliwości wyboru miejsca. 

Czwarta dziewczyna ma 1 możliwość wyboru miejsca.

Podobnie dla chłopców, pierwszy chłopiec ma 8 możliwości wyboru miejsca, itd.

Zgodnie z regułą mnożenia:

 


b) Sprawdźmy ile jest możliwości, jeśli dziewczęta siedzą razem (nie rozróżniając dziewcząt) :

Dziewczęta są rozróżnialne, więc jest 9! możliwości.

Pierwsza dziewczyna ma 4 możliwości wyboru miejsca.

{premium}

Druga dziewczyna ma 3 możliwości wyboru miejsca.

Trzecia dziewczyna ma 2 możliwości wyboru miejsca. 

Czwarta dziewczyna ma 1 możliwość wyboru miejsca.

 

Wobec tego wszystkich możliwości jest:  


c) Sprawdźmy ile jest możliwości, jeśli chłopcy siedzą razem (nie rozróżniając chłopców) :

Chłopcy są rozróżnialni, więc jest 5! możliwości.

Pierwszy chłopiec ma 8 możliwości wyboru miejsca.

Drugi chłopiec ma 7 możliwości wyboru miejsca.

Trzeci chłopiec ma 6 możliwości wyboru miejsca, itd. 

 

Wobec tego wszystkich możliwości jest:  

Oblicz P(AuB)

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

 

 

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

 

Prostokątny trawnik ma powierzchnię 216 m² ...

 

  

  

   

  

  

  

  

 

 

 

 

`x=12,\ \ \ x+6=18 

 

ODP: Trawnik ma wymairy 18 m x 12 m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 `x^2+15x-216=0` 

 `225+864=` `1089` 

 

 

 

 

 

ODP: Trawnik ma wymiary 9 m x 24 m.