Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$sin 2x = {1}/{2}$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $sin a = {1}/{2}$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $a = {∏}/{6} + k×2 ∏$, $a = {5∏}/{6}+k×2∏$ (przypomnienie: ponieważ $2∏$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $2 ∏$).

Skoro w argumencie mamy $a = 2x$, to podstawiając do naszych rozwiązań $2x$ otrzymujemy:

$2x = {∏}/{6} + k×2∏$
$x = {∏}/{12} + k×∏$

oraz

$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$
$x = {5∏}/{12} + k×∏$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $2x$ występowałoby $5x$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $sin x + cos x = 1$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$

3) Skracamy:
$sin x cos x = 0$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $sin x = 0$
    i wtedy $x = k×∏$.
     
  • b) $cosx = 0$
    i wtedy $x = {∏}/{2} + k×∏$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $sin$ i $cos$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$cos^4x - sin^4x = cos2x$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $sin x$ i $cos x$.
$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$

3) Oczywiście $sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$ i $cos {∏}/{3} = {1}/{2}$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $sin (3x)$ na $sin (2x+x)$
$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $sin(α + β)$ otrzymujemy równanie
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $sin (2x)$ i $cos (2x)$
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $3x$ na $2x + x$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wierzchołkiem paraboli o równaniu...

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:{premium}

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(-2, -4).


Prawidłowa odpowiedź to A.

Udowodnij powyższe twierdzenie.

 

 

Wiemy, że p/q jest pierwiastkiem wielomianu, a więc:

  

 

 

{premium}  

 

Liczba w nawiasie jest pewną liczbą całkowitą bo wielomian ma współczynniki całkowite, zatem możemy zapisać:

 

Lewa strona równania jest podzielna przez p, zatem prawa strona równania również jest podzielna przez p. Pamiętamy, że liczby p i q są względnie pierwsze czyli:

 

A więc ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest 1, stąd

 

Czyli liczba qn nie dzieli się przez p, a skoro

 

dzieli się przez p to znaczy, że:

 

 

Wróćmy do naszego równania:

 

 

 

 

Po prawej stronie mamy pewną liczbę całkowitą, zatem możemy zapisać jako c'

 

Prawa strona równania jest podzielna przez q, zatem lewa strona równania również jest podzielna przez q. Wiemy, że p i q są względnie pierwsze a więc ich wspólnym dzielnikiem jest liczba 1. Stąd wynika , że:

 

A więc pn nie jest podzielne przez q, zatem jedynie an musi być podzielne przez q, stąd:

 

 

Otrzymaliśmy, że:

 

Co kończy dowód.

Dla jakich wartości parametru m równanie...

Wyznaczamy dziedzinę równania:

 

 

 

 

 

 


Rozwiązujemy równanie:{premium}

 

 

Porównujemy liczby logarytmowane.

 

 

 

Otrzymaliśmy typowe równanie kwadratowe, liczba rozwiązań takiego równania zależy od znaku wyróżnika trójmianu:

 


Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, gdy wyróżnik jest dodatni, czyli:

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem, po uwzględnieniu dziedziny równania (m>0), otrzymujemy:

 


Wyznaczona dziedzina sugeruje, że pierwiastki mają być większe od 4

Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Wówczas oba pierwiastki są większe od 4, gdy f(4)>0 oraz odcięta wierzchołka xw jest większa od 4, gdzie f(x)=x2-mx+4m-1.


Zatem:

 

 

 

Nierówność jest zawsze spełniona, więc m należy do dziedziny równania.

 


 

 

 

 


Łącząc warunki (1)(2) i (3) otrzymujemy:

 

 


Wyznacz zbiór wartości funkcji...

Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:{premium}

 

Zatem:

 

Ze wzoru na sumę sinusów:

 

Wiemy, że:

 

zatem

 

 

 

ZW_f = [2-sqrt3, 2+sqrt3]

Kartka papieru kserograficznego formaty A4...

Wymiary kartki A4: a, b (a>b i b>0)

Wymiary kartki złożonej: b, a/2

  {premium}  

Rozważ ostrosłup jak w przykładzie...

a) Z przykładu 4.{premium} wiemy, że objętość ostrosłupa jest równa

 

Objętość sześcianu o krawędzi a jest równa a3. W takim razie, by otrzymać objętość sześcianu, należy zsumować 24 takie ostrosłupy, ponieważ

  


b) Po sklejeniu siatki otrzymamy następujący ostrosłup:

Wysokość ostrosłupa jest równa a.

Wielomian W(x)=x^3+(m+1)x^2+(m-3)x-3...

Dany jest wielomian:

 

Łatwo możemy zauważyć, że:

 

ponieważ:{premium}

 

Zauważmy, że wielomian  ma wszystkie współczynniki całkowite, zatem całkowitych pierwiastków tego wielomianu będziemy szukać w zbiorze dzielników wyrazu wolnego tego wielomianu czyli:

 

więc:

 

 

 

 

zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że dla  wielomian  ma trzy pierwiastki całkowite: 

 

Odp.: Wartość m wynosi 2.  

Określ dziedzinę funkcji ...

 

 

Zał:

 

 

 

 

       
       

Wykres:   {premium}

Odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne.

 


 

 

Zał:

 

 

 

 

       
       

Wykres:

Odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne.

 


 

 

Zał:

 

 

 

 

       
       

Wykres:

Odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne.

 

 

Uzasadnienie:

 

 

 

 

 

 

 


 

 

Zał:

 

 

 

 

       
       

Wykres:

Odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne.

 


 

 

Zał:

 

 

 

 

       
       

Wykres:

Odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne.

 


 

 

Zał:

 

 

 

       
       

Wykres:

Odczytujemy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne.

 

 

Uzasadnienie:

 

 

 

 

 

 

Zapisz ułamki w postaci...

Przypomnijmy, że jeżeli:

 

to

 

 

 

Jest to suma nieskończonego ciągu geometrycznego takiego, że:

 

Ze wzoru:

 

{premium}

 

Od drugiego składnika sumy jest to suma nieskończonego ciągu geometrycznego takiego, że:

 

Ze wzoru:

 

zatem

 

 

 

Jest to suma nieskończonego ciągu geometrycznego takiego, że:

 

Ze wzoru:

 

 

 

W nawiasie mamy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego takiego, że:

 

Ze wzoru:

 

zatem

 

 

 

Jest to suma nieskończonego ciągu geometrycznego takiego, że:

 

Ze wzoru:

 

 

  

W nawiasie, poczynając od drugiego składnika sumy, mamy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego takiego, że:

 

Ze wzoru:

 

zatem

 

 

 

Poczynając od drugiego składnika sumy, mamy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego takiego, że:

 

Ze wzoru:

 

zatem

 

 

 

Poczynając od drugiego składnika sumy, mamy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego takiego, że:

 

Ze wzoru:

 

zatem

 

Liczba (root(3)36)/sqrt6...

Zapiszmy podaną liczbę w prostszej postaci:  {premium}

 

 

Odp.: C