Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozwiązywanie równań i nierówności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie równań i nierówności

Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$sin 2x = {1}/{2}$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $sin a = {1}/{2}$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $a = {∏}/{6} + k×2 ∏$, $a = {5∏}/{6}+k×2∏$ (przypomnienie: ponieważ $2∏$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $2 ∏$).

Skoro w argumencie mamy $a = 2x$, to podstawiając do naszych rozwiązań $2x$ otrzymujemy:

$2x = {∏}/{6} + k×2∏$
$x = {∏}/{12} + k×∏$

oraz

$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$
$x = {5∏}/{12} + k×∏$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $2x$ występowałoby $5x$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $sin x + cos x = 1$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$

3) Skracamy:
$sin x cos x = 0$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $sin x = 0$
    i wtedy $x = k×∏$.
     
  • b) $cosx = 0$
    i wtedy $x = {∏}/{2} + k×∏$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $sin$ i $cos$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$cos^4x - sin^4x = cos2x$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $sin x$ i $cos x$.
$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$

3) Oczywiście $sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$ i $cos {∏}/{3} = {1}/{2}$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $sin (3x)$ na $sin (2x+x)$
$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $sin(α + β)$ otrzymujemy równanie
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $sin (2x)$ i $cos (2x)$
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $3x$ na $2x + x$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczba a jest pierwiastkiem

 

Jeśli liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x-2. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

{premium}   

 

 

 

 

Jeśli liczba 6 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x-6. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc wielomian nie ma innych pierwiastków.

 

 

 

 

Oczywiście możemy wykonać dzielenie pisemne, jak w poprzednich podpunktach, ale zauważmy, że wielomian w można łatwo przedstawić w postaci iloczynowej (przydatny będzie wzór skróconego mnóżenia na różnicę sześcianów). 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeśli liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x+5. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

 

  

Na diagramie kołowym przedstawiono ...

Suma miar kątów środkowych na tym diagramie wynosi 360o. Zatem: {premium}

  


Zdarzenie A polega na wylosowaniu buku. 

Obliczamy ile wynosi miara kąta środkowego odpowiadającego tej odpowiedzi. 

 

Zatem: 

 


Obliczamy ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia A. 

 

Przyjmijmy, że ciąg ...

Na pewno rosnące są ciągi:

 

 {premium}

 


Ciąg (cn) będzie malejący (bo ciąg (an) jest rosnący).

Na przykład:

 

 


Ciąg (dn) nie musi być rosnący.

Na przykład:

 

 

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu:

 

 

 

Ciąg (dn) nie jest ani rosnący, ani malejący.

Wykaż, że jeśli...

 

 

 

 {premium}

 

A więc:

 

Za 16 biletów do cyrku zapłacono 303 zł

{premium}

 

 

Oblicz f(-2), f(0)...

        {premium}

 

 



 

 

 


 

 

 

Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

    

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

   

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

       

  

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

        

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

Ze zbioru {1, 2, 3, ..., 11}

Mamy 11 liczb - 6 liczb nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9, 11) oraz 5 liczb parzystych (2, 4, 6, 8, 10). 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 11 liczb:

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 6 liczb nieparzystych:

{premium}  

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać parę złożoną z liczby parzystej i nieparzystej:

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 5 liczb parzystych:

 

 

Obliczamy prawdopodobieństwa, które zapiszemy na gałęziach drzewka:

 

 

  

 

Rysujemy drzewko i zapisujemy na gałęziach odpowiednie prawdopodobieństwa.

  

 

 

 



 

 

  

Określ monotoniczność funkcji

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz przybliżone rozwiązanie ...

 

 

 

 

 

 

{premium}