Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $$(a_n)$$.
$$N$$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $$a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$$S_0 = a_0$$
$$S_1 = a_0 + a_1$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $$sum_1^{∞} a_i$$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $$S$$ i jest ona równa $$lim↙{n → ∞} S_n$$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $$(a_n)$$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $$q$$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$$a_n = ({1}/{2})^n$$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$$
$$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$$
$$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$$
$$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$$S_0 = 1$$
$$S_1 = 1 + {1}/{2}$$
$$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$$
$$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$$
$$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $$q$$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $$S = a{1-q^n}/{1-q}$$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $$|q|$$ < $$1$$, to oczywiście $$lim↙{n → ∞} q^n = 0$$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $$q$$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $$q^n$$ i otrzymujemy:

$$S = {1}/{1-q}$$

Nasz przykładowy ciąg $$a_n$$ ma więc sumę równą:
$$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzasadnij, że ...

`a)` 

`"Czy"\ \ sinalpha^2+cosalpha^2=1?` 

 

`alpha-"kąt ostry"` 

`L=sin^2alpha+cos^2alpha` 

`cos alpha=a/c` 

`sin alpha=b/c` 

`L=(b/c)^2+(a/c)^2=(a^2+b^2)/c^2` 

`"Z tw. Pitagorasa wiemy, że:"` 

`c^2=a^2+b^2` 

 

`L=(a^2+b^2)/c^2=c^2/c^2=1` 

 

`"Pokazaliśmy, że"\ sin^2alpha+cos^2alpha=1.` 

 

`b)` 

`"Czy"\ \tg\ alpha=sin alpha / cos alpha?` 

 

`L=tg\ alpha=b/a` 

`P=sin alpha / cos alpha=(b/c)/(a/c)=b/c*c/a=b/a` 

`L=P`          

Wykonaj działania:

`a)` 

`(3x^2-4x)(3x^2+4x)=(3x^2)^2-(4x)^2=9x^4-16x^2` 

{premium}

 

`b)` 

`(5x^3-6x)^2=25x^6-60x^4+36x^2` 

 

`c)` 

`(3x^7+2x)^2=9x^14+12x^8+4x^2` 

 

`d)` 

`(9x^7-x^3)(9x^7+x^3)=(9x^7)^2-(x^3)^2=81x^14-x^6` 

Podstawą graniastosłupa

Wiemy, że podstawą graniastosłupa jest romb o kącie ostrym 30° i boku 12 cm. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 90°, 60° 30° możemy obliczyć, jaką długość ma wysokość rombu (h). Przypomnijmy tę zależność:

U nas:

`2a=12\ \ \ |:2` 

`h=a=6` 

 

Wysokość ma więc długość 6 cm.

Romb jest w szczególności równoległobokiem (bo ma 2 pary boków równoległych), więc jego pole możemy obliczyć tak, jak pole równoległoboku - mnożąc długość podstawy razy długość wysokości. Obliczmy więc pole podstawy graniastosłupa, czyli pole rombu o podstawie 12 cm i wysokości 6 cm.

`P_p=12*6=72\ [cm^2]` 

 

Wysokość graniastosłupa ma 8 cm. Na pole powierzchni bocznej składają się pola 4 prostokątów o wymiarach 8 cm x 12 cm.

`P_b=4*8*12=384\ [cm^2]` 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej (należy pamiętać, że składa się na nie pole dwóch jednakowych podstaw oraz pole powierzchni bocznej graniastosłupa).

`P_c=2*72+384=144+384=528\ [cm^2]` 

 

 

`ul("uwaga")` 

Długość wysokości (h) można było obliczyć także w inny sposób - korzystając z funkcji trygonometrycznych. Na przykład:

`h/12=sin30^o` 

`h/12=1/2` 

`2h=1*12` 

`2h=12\ \ \ |:2` 

`h=6` 

 

 

Sprawdź, czy dowolne ...

`a)` 

`alpha in(90^@;180^@)` 

`beta in (180^@;270^@)` 

Załóżmy dla tego i dalszych podpunktów, że:

`P_1 =(x_1;x_2)-`  pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta alfa

`P_2=(x_2;y_2)-`  pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta beta

  

`sinalphastackrel{?}>tgbeta`     

`sinalpha=y_1/sqrt(x_1^2+y_1^2)`    

`tgbeta=y_2/x_2` 

Weźmy przykładowe wartości spełniające założenia zadania:

`tgbeta=-3/-1=3>1` 

`max{sinalpha: alpha-"dowolny kąt"}<=1`  

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

 

`b)` 

`sinalpha+cosbeta<0`  

`sinalpha<-cosbeta`  

`y_1/sqrt(x_1^2+y_1^2)<-x_2/sqrt(x_2^2+y_2^2)`  

`x_1,x_2,y_2<0`  

`y_1>0`   

Zauważmy, że dla następujących wartości nierówność nie jest zachowana.

`(x_1;y_1)=(-1;2)`   

`(x_2;y_2)=(-1;-2)`  

`y_1/sqrt(1^2+4^2)<-x_2/sqrt(1^2+4^2)`   

`y_1<-x_2` 

`2<1`    

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

 

`c)` 

`tgalpha+ctgbeta/2<0` 

`tgalpha<-ctgbeta/2` 

Oznaczmy:

`gamma=beta/2` 

`gamma in (90^@;135^@)`    

`P_3=(x_3;y_3)-`  pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta gamma

 

`tgalpha<-ctggamma`   

`y_1/x_1<-x_3/y_3` 

`x_1,x_3 <0` 

`y_1,y_3>0` 

 

 

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest zawsze ujemna a prawa zawsze dodatnia.

Nierówność jest prawdziwa.

 

`d)`    

`tgbeta  < tgalpha` 

`y_2/x_2 < y_1/x_1`   

`x_1,y_2,x_2<0` 

`y_1>0` 

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest zawsze dodatnia a prawa zawsze ujemna.

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

Dodatni pierwiastek równania...

`3sqrt5(x^2+1)=sqrt5(2x+3) \ \ \ |:sqrt5` 

`3(x^2+1)=2x+3` 

`3x^2+3=2x+3` 

`3x^2+3-2x-3=0` 

`3x^2-2x=0` 

`x(3x-2)=0` 

`x=0 \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ 3x-2=0` 

`x=0 \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ x=2/3` 

 

Odp. A

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy...

a)

`f(x)=4/x` 

`g(x)=4/(x-6)` 

`A=(2, 2)` 

`B=(8, 2)` 

 

`|AB|=sqrt((8-2)^2+(2-2)^2)=sqrt(6^2)=6` 


b)

`f(x)=-3/(x-1)` 

`g(x)=-3/(x-1+4)` 

`g(x)=-3/(x+3)` 

`A=(-1/2, 2)` 

`B=(-4 1/2, 2)` 

 

`|AB|=sqrt((-4 1/2-(-1/2))^2+(2-2)^2)=sqrt((-4)^2)=4` 


c)

`f(x)=6/x` 

`g(x)=6/x+1` 

`A=(3, 2)` 

`B=(6, 2)` 

 

`|AB|=sqrt((6-3)^2+(2-2)^2)=sqrt(3^2)=3` 


d)

`f(x)=-12/(x+2)` 

`g(x)=-12/(x+2)-4` 

`A=(-4, 2)` 

`B=(-8, 2)` 

 

`|AB|=sqrt((-8-(-4))^2+(2-2)^2)=sqrt((-4)^2)=4` 

Dany jest wielomian W(x)=...

`W(x)=(x+1)(x^2+(p+3)x+9)` 

`st.W(x)=3,` więc wielomian `W(x)` może mieć co najwyżej trzy pierwiastki.

Jednym z pierwiastków wielomianu `W(x)` jest `-1,` bo `W(-1)=0.` 

Liczba pozostałych pierwiastków wielomianu `W(x)` zależy od parametru `p.` 

Niech:

`Q(x)=x^2+(p+3)x+9` 

{premium}

Wielomian `Q(x)` jest trójmianem kwadratowym, więc liczba jego pierwiastków zależy od wyróżnika `Delta.` 

Obliczamy:

`Delta=(p+3)^2-36=(p+3-6)(p+3+6)=(p-3)(p+9)` 

Mamy:

`1)\ Delta< 0\ <=>\ p in (-9,\ 3)` 

Wówczas wielomian `Q(x)` nie ma pierwiastków.

 

`2)\ Delta= 0\ <=>\ p in {-9,\ 3}` 

Wówczas wielomian `Q(x)` ma jeden pierwiastek dwukrotny.

Dla `p=-9` wielomian `Q(x)` ma postać:

`Q(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2` 

Pierwiastkiem dwukrotnym jest liczba `3.` 

Dla `p=3` wielomian `Q(x)` ma postać:

`Q(x)=x^2+6x+9=(x+3)^2` 

Pierwiastkiem dwukrotnym jest liczba `-3.` 

 

`3)\ Delta> 0\ <=>\ p in (-oo,-9) uu (3,+oo)` 

Wówczas wielomian `Q(x)` ma dwa pierwiastki jednokrotne.

Sprawdźmy, czy istnieje wśród nich pierwiastek równy `-1.` 

`Q(-1)=1-p-3+9=-p+7` 

`Q(-1)=0\ <=>\ -p+7=0\ <=>\ p=7` 

Zatem dla `p=7` jednym z pierwiastków wielomianu `Q(x)` jest `-1.` 

 

Podsumowując:

`1)` Dla `p in (-9,\ 3)` wielomian `W(x)` ma jeden pierwiastek jednokrotny.

`2)` Dla `p in {-9,\ 3,\ 7}` wielomian `W(x)` ma jeden pierwiastek jednokrotny i jeden pierwiastek dwukrotny.

`3)` Dla `p in (-oo,-9) uu (3,\ 7) uu (7,+oo)` wielomian `W(x)` ma trzy pierwiastki jednokrotne.

Wyznacz promień podstawy i wysokość stożka, jeśli...

a)

`P_p=30pi` 

`pir^2=30pi \ \ \ |:pi` 

`r^2=30` 

`r=sqrt30` 

 

`P_b=40pi` 

`pirl=40pi \ \ \ |:pi` 

`sqrt30*l=40 \ \ \ |:sqrt30` 

`l=40/sqrt30` 

`l=(40sqrt30)/30` 

`l=(4sqrt30)/3` 

 

`r^2+h^2=l^2` 

`sqrt30^2+h^2=((4sqrt30)/3)^2` 

`30+h^2=(16*30)/9 \ \ \ |-30` 

`h^2=480/9-270/9` 

`h^2=210/9` 

`h=sqrt210/3` 


b)

`P_p=25pi` 

`pir^2=25pi \ \ \ |:pi` 

`r^2=25` 

`r=5` 

 

`30%P_c=P_p` 

`0,3(pir^2+pirl)=pir^2` 

`0,3(25pi+pirl)=25pi` 

`7,5pi+0,3pirl=25pi \ \ \ |-7,5pi` 

`0,3pi*5*l=17,5pi \ \ \ |:1,5pi` 

`l=175/15` 

`l=35/3` 

 

`r^2+h^2=l^2` 

`5^2+h^2=(35/3)^2` 

`25+h^2=1225/9 \ \ \ |-25` 

`h^2=1225/9-225/9` 

`h^2=1000/9` 

`h=sqrt1000/3` 

`h=(10sqrt10)/3` 


c)

`Obw.=2r+2l` 

`2r+2l=12 \ \ \ |:2` 

`r+l=6 \ \ \ |-r` 

`l=6-r` 

 

`P_b=2*P_p` 

`pirl=2*pir^2 \ \ \ |:pir` 

`l=2r` 

`6-r=2r \ \ \ |+r` 

`6=3r \ \ \ |:3` 

`r=2` 

 

`l=6-2` 

`l=4` 

 

`r^2+h^2=l^2` 

`2^2+h^2=4^2` 

`4+h^2=16 \ \ \ |-4` 

`h^2=12` 

`h=sqrt12` 

`h=2sqrt3` 

W urnie znajdują się

W każdym z trzech rzutów możemy uzyskać trzy wyniki - 1, 2 lub 3. 

Liczba gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta. W tym przypadku mamy do dyspozycji wyłącznie cyfry 1, 2, 3, więc liczba będzie parzysta, gdy jej ostatnią cyfrą będzie 2. Mamy 9 możliwości (podkreślono na drzewku):

Te liczby parzyste to: 112, 122, 132, 212, 222, 232, 312, 322, 332.

 

 

Liczba dzieli się przez 6, jeśli dzieli się przez 3 (suma jej cyfr dzieli się przez 3) oraz dzieli się przez 2 (jej ostatnia cyfra jest parzysta). 

Musimy sprawdzić, które z dziewięciu liczb parzystych dzielą się przez 3. 

Wypiszmy sumy cyfr tych liczb, sumy podzielne przez 3 zostaną podkreślone:

`1+1+2=4` 

`1+2+2=5` 

`1+3+2=ul6`  

`2+1+2=5` 

`2+2+2=ul6` 

`2+3+2=7` 

`3+1+2=ul6` 

`3+2+2=7` 

`3+3+2=8`    

 

Możemy otrzymać 3 liczby podzielne przez 3 (są to liczby 132, 222, 312). 

Oblicz w pamięci miejsca zerowe...

{premium}Niech  `x_1,\ x_2` będą miejscami zerowymi funkcji `f.` 

Korzystając ze wzorów Viete'a obliczamy w pamięci sumę i iloczyn pierwiastków,

a następnie zgadujemy liczby spełniające oba warunki.

`"a)"\ x_1=-2,\ x_2=-3` 

`"b)"\ x_1=4,\ x_2=-2` 

`"c)"\ x_1=1,\ x_2=7` 

`"d)"\ x_1=2,\ x_2=10` 

`"e)"\ x_1=1,\ x_2=-5` 

`"f)"\ x_1=3,\ x_2=-9`