Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $$(a_n)$$.
$$N$$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $$a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$$S_0 = a_0$$
$$S_1 = a_0 + a_1$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $$sum_1^{∞} a_i$$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $$S$$ i jest ona równa $$lim↙{n → ∞} S_n$$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $$(a_n)$$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $$q$$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$$a_n = ({1}/{2})^n$$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$$
$$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$$
$$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$$
$$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$$S_0 = 1$$
$$S_1 = 1 + {1}/{2}$$
$$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$$
$$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$$
$$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $$q$$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $$S = a{1-q^n}/{1-q}$$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $$|q|$$ < $$1$$, to oczywiście $$lim↙{n → ∞} q^n = 0$$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $$q$$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $$q^n$$ i otrzymujemy:

$$S = {1}/{1-q}$$

Nasz przykładowy ciąg $$a_n$$ ma więc sumę równą:
$$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Do wykresu funkcji f(x)=...

 

 

Zbiór wartości to przedział  

Wobec tego  

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt, który należy do funkcji to  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wartości większe od 2 funkcja przyjmuje dla  

Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej

 

Mamy dwie możliwości - wspólczynnik a może być dodatni lub ujemny.

 

     
 
      
      
    

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

Miejscami zerowymi funkcji ...

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

a) Dwa wierzchołki prostokąta...

a)

Niech   oznacza jeden z wierzchołków leżący na osi OX

Wyznaczmy długość boków tego prostokąta.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wobec powyższego otrzymaliśmy kwadrat o boku długości 2.


Niech   oznacza jeden z wierzchołków leżący na osi OX

Wyznaczmy długość boków tego prostokąta.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykaż, że ciąg jest malejący.

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Sprawdź, czy punkty A, B i C są ...

Aby sprawdzić, czy punkty są wierzchołkami trójkąta musimy sprawdzić, czy zachodzi nierówność trójkąta (suma długości dowolnych dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku). 

Jednak jeżeli wiemy, który bok jest najdłuższy, to wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych boków jest większa od długości najdłuższego boku (nie trzeba sprawdzać wszystkich trzech nierówności). 

 

 

 

Punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta. 

 

 

Punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta. 

 

 

Nie jesteśmy pewni, który bok jest najdłuższy, więc sprawdzamy trzy warunki:

 

Punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta.

 

 

Usuwamy niewymierność z mianownika długości odcinka AC:

Widzimy, że najdłuższym bokiem jest bok AC. Sprawdzamy więc jedną nierówność:

Punkty A, B, C nie są wierzchołkami trójkąta.

Właściciel klubu chce zaprosić na koncert

 

{premium}

W trójkącie prostokątnym równoramiennym najkrótsza wysokość...

a - przyprostokątna

Przeczytaj informacje

 

 

 

 

 

 

 

Ustal, który spośród punktów...

Będziemy podstawiać kolejno współrzędne punktów A, B i C by sprawdzić czy spełniają nierówność.

 

a) Punkt A:

   

 

 

 

Należy.

 

Punkt B:

 

 

 

Nie należy.

 

Punkt C:

   

 

Nie należy.

 

b) Punkt A:

  

 

 

Nie należy.

 

Punkt B:

 

 

 

Nie należy.

 

Punkt C:

 

 

Należy.

 

c) Punkt A:

 

 

 

Nie należy.

 

Punkt B:

 

 

 

Należy.

 

d) Punkt A:

 

 

 

Nie należy.

 

Punkt B:

 

 

 

Nie należy.

 

Punkt C:

 

 

 

Należy.