Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $$(a_n)$$.
$$N$$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $$a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$$S_0 = a_0$$
$$S_1 = a_0 + a_1$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $$sum_1^{∞} a_i$$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $$S$$ i jest ona równa $$lim↙{n → ∞} S_n$$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $$(a_n)$$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $$q$$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$$a_n = ({1}/{2})^n$$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$$
$$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$$
$$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$$
$$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$$S_0 = 1$$
$$S_1 = 1 + {1}/{2}$$
$$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$$
$$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$$
$$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $$q$$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $$S = a{1-q^n}/{1-q}$$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $$|q|$$ < $$1$$, to oczywiście $$lim↙{n → ∞} q^n = 0$$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $$q$$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $$q^n$$ i otrzymujemy:

$$S = {1}/{1-q}$$

Nasz przykładowy ciąg $$a_n$$ ma więc sumę równą:
$$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedział ...

Sprawdźmy A.

 

 

 

 

 

 

Odp. A

Rozwiąż równanie

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz obwód oraz pole....

 

W 1980 roku łączna emisja zanieczyszczeń

 

 

 

Jednak pytanie do zadania dotyczy roku 1992, a nie 1980:

 

 

Ustal dla jakich wartości a...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz współrzędne

Będziemy korzystać ze wzoru podanego w ramce na stronie 174.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pewną kwotę wpłacono do banku...

Skoro podatek od odsetek wynosi 20% i wynosił 14 zł to odsetek było 70 zł. Oznaczmy wpłaconą kwotę na lokatę przez x, wtedy 3,5% tej kwoty jest równe odsetkom:

 

 

 

Odpowiedź: Na lokatę wpłacono 2000 zł.

Dane są funkcje...

Wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności  

  

 

 

Aby powyższy zbiór zawierał się w zbiorze musi zachodzić:

   

 

  

  

 

 

Na podstawie poprzedniego podpunktu łatwo ustalić, że zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór:

 

 Aby powyższy zbiór zawierał się w zbiorze musi zachodzić:

 

 

 

  

  

Zaokrągleniem liczby a do części

Zauważmy, że wartość podanej różnicy będzie największa, jeśli odejmowana liczba (czyli a²) będzie najmniejsza. Najmniejsza liczba a, która po zaokrągleniu do części całkowitych daje 2, to 1,5.

 

 

Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...

Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.

 

    

 

 

 

 

   

 

 

 

Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.