Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $(a_n)$.
$N$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$S_0 = a_0$
$S_1 = a_0 + a_1$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $sum_1^{∞} a_i$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $S$ i jest ona równa $lim↙{n → ∞} S_n$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $q$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$a_n = ({1}/{2})^n$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$
$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$
$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$
$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$S_0 = 1$
$S_1 = 1 + {1}/{2}$
$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$
$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$
$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $q$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $S = a{1-q^n}/{1-q}$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $|q|$ < $1$, to oczywiście $lim↙{n → ∞} q^n = 0$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $q$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $q^n$ i otrzymujemy:

$S = {1}/{1-q}$

Nasz przykładowy ciąg $a_n$ ma więc sumę równą:
$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem ...

 

 

 

 

 

  

  

    {premium}

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Prostokąt ABCD jest wpisany w okrąg...

Rysunek pomocniczy:


Mamy dane:

 


Wyznaczamy współrzędne punktów A i B (punkty przecięcia prostej AB i okręgu):{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

 

 

 

Współrzędne środka okręgu: S=(-2, -3).


Korzystając z działań na wektorach obliczamy współrzędne punktu C=(xC, yC)

 

 

 

Porównujemy odpowiednie współrzędne wektorów.

 

 

 


Analogicznie obliczamy współrzędne punktu D=(xD, yD)

 

 

 

Porównujemy odpowiednie współrzędne wektorów.

 

 

 


Obliczamy długości boków AB i BC:

 

 


Obliczamy pole prostokąta:

 


Odp. Pole prostokąta jest równe 40.

W prostokącie ABCD: |AB| = 15 cm, |BC| = 9 cm...

Rysunek poglądowy:

 

Jeżeli prostokąty są podobne to:

 

 

{premium}  

 

 

Pole i obwód prostokąta ABCD:

 

 

 

Pole i obwód prostokąta EBCF:

 

 

 

Pole i obwód prostokąta AEFD:

 

 

Obliczmy długość odcinka AE:

  

 

Wskaż rysunek...

Treść:

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek:    

 

Rozwiązanie:{premium}

Znajdziemy zbiór liczb spełniający poniższy warunek

 


1)

Rozwiążemy nierówność "1"

 {premium}

2)

Rozwiążemy nierówność "2"

Rozwiązaniem warunku (*) jest zatem zbiór liczb spełniających jednocześnie nierówność "1" i "2"

czyli

Odp. D.    

Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań...

Zacznijmy od wyznaczania zbioru rozwiązań nierówności x2-9 < 0.

 

 {premium}

 


a) Widzimy, że zbiorem rozwiązań nierówności x2-9 < 0 jest już przedział, który chcemy otrzymać. Należy więc dobrać tak wartość parametru m, żeby wyrażenie w drugim nawiasie (x- m) nie popsuło rozwiązania. Będzie tak, gdy wyrażenie w nawiasie nie będzie miało rozwiązań, czyli dla m > 0.


b) Oczekiwany zbiór nierówności otrzymalibyśmy po przemnożeniu wyrażenia (x2-9) przez liczbę ujemną. Oznacza to, że wyrażenie w drugim nawiasie (x- m) powinno być mniejsze od zera. Aby tak było, musielibyśmy ustalić konkretną wartość x, dla dowolnego x takie m nie istnieje.


c) Przedział, który chcemy otrzymać sugeruje, że pierwiastkami równania x- m=0 powinny być liczby 2 i -2. Będzie tak dla m=4.

Sprawdźmy to:

 

 

 

Wskaż wyrażenie, które....

   nie jest jednomianem

Wyrażenie ...

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy: {premium}

 

 

Odp. D

Pole rombu o boku długości...

Zauważmy, że pole rombu to pole dwóch trójkątów przystających.

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta  

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu...

a) Wierzchołek ma współrzędne (1,2). Jedno z miejsc zerowych to liczba 0, oba miejsca zerowe są równo odległe od wierzchołka. Drugie miejsce zerowe łatwo można bez obliczeń wyznaczyć patrząc na wykres ale dla ćwiczenia wyliczymy je:

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Zbiór wartości:

 

 

 

Funkcja rosnąca dla:

 

Funkcja malejąca dla:

 

 

 

Obliczmy współczynnik a posługując się postacią iloczynową.

{premium}  

 

 

 

 

 

Postać iloczynowa i postać kanoniczna:

 

 

b) Z wykresu możemy odczytać, że miejscami zerowymi są liczby -1,3. Pierwsza współrzędna wierzchołka to:

 

 

Postać iloczynowa:

 

 

Z wykresu możemy odczytać:

 

 

 

 

 

A więc postać iloczynowa jest równa:

 

wyznaczmy drugą współrzędną wierzchołka:

 

 

Postać iloczynowa jest równa postaci kanonicznej:

 

 

 

  

 

 

Zbiór wartości:

 

 

 

Funkcja malejąca:

 

Funkcja rosnąca:

 

 

 

c) Miejscami zerowymi są liczby -2 i 1 zatem pierwsza współrzędna wierzchołka to:

 

 

 

 

Z wykresu można odczytać, że:

 

zatem:

 

 

  

 

 

Postać iloczynowa:

 

Obliczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli:

 

 

Postać kanoniczna:

 

 

 

 

 

 

Zbiór wartości:

 

 

 

Funkcja malejąca:

 

Funkcja rosnąca:

Ile jest podzielnych przez 5 liczb trzycyfrowych ...

_ _ _

Przypadek I.

Cyfrą jedności jest 0. {premium}

Na pierwszym miejscu może być 1,2,3,4,5,6,7,8,9, czyli 9 możliwości wyboru cyfry.

Na drugim miejscu może być 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (oprócz cyfry, którą wybraliśmy na pierwsze miejsce), czyli 8 możliwości wyboru cyfry.

 

 

Przypadek II.

Cyfrą jedności jest 5.

Na pierwszym miejscu może być 1,2,3,4,6,7,8,9, czyli 8 możliwości wyboru cyfry.

Na drugim miejscu może być 0,1,2,3,4,6,7,8,9 (oprócz cyfry, którą wybraliśmy na pierwsze miejsce), czyli 8 możliwości wyboru cyfry.

 

 

Ilość wszystkich możliwości: