Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $$(a_n)$$.
$$N$$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $$a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$$S_0 = a_0$$
$$S_1 = a_0 + a_1$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $$sum_1^{∞} a_i$$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $$S$$ i jest ona równa $$lim↙{n → ∞} S_n$$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $$(a_n)$$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $$q$$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$$a_n = ({1}/{2})^n$$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$$
$$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$$
$$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$$
$$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$$S_0 = 1$$
$$S_1 = 1 + {1}/{2}$$
$$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$$
$$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$$
$$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $$q$$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $$S = a{1-q^n}/{1-q}$$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $$|q|$$ < $$1$$, to oczywiście $$lim↙{n → ∞} q^n = 0$$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $$q$$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $$q^n$$ i otrzymujemy:

$$S = {1}/{1-q}$$

Nasz przykładowy ciąg $$a_n$$ ma więc sumę równą:
$$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyłącz wskazany czynnik przed nawias

`a)\ w(x)=(3x-1)(x+1)-(1-3x)x^2+x(3x-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(3x-1)(x+1)+(3x-1)x^2+x(3x-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(3x-1)(x+1+x^2+x)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(3x-1)(x^2+2x+1)\ \ #=^((a^2+2ab+b^2=(a+b)^2))\ \ (3x-1)(x+1)^2`

 

 

 

 

`b)\ w(x)=(-5+2x)(x+4)-(5-2x)^2-3(5-2x)x^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(2x-5)(x+4)-(-(2x-5))^2+3(2x-5)x^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(2x-5)(x+4)-(2x-5)^2+3x^2(2x-5)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(2x-5)(x+4-(2x-5)+3x^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(2x-5)#((3x^2-x+9))^(Delta=1-4*3*9<0)`

 

 

 

 

`c)\ w(x)=(4x-1)(x-5)-(x^2+5)(1-4x)-(12x^2-3x)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(4x-1)(x-5)+(4x-1)(x^2+5)-3x(4x-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(4x-1)(x-5+x^2+5-3x)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(4x-1)(x^2-2x)=x(4x-1)(x-2)`

 

 

 

 

`d)\ w(x)=(6-4x)(3x-1)+(3-2x)^3+2(3x-4)(3-2x)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2(3-2x)(3x-1)+(3-2x)*(3-2x)^2+(3-2x)(6x-8)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(3-2x)(6x-2)+(3-2x)(9-12x+4x^2)+(3-2x)(6x-8)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(3-2x)(6x-2+9-12x+4x^2+6x-8)=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(3-2x)(4x^2-1)=(3-2x)(2x-1)(2x+1)`

Oblicz...

a) rysunek poglądowy:

Zastosujmy twierdzenie pitagorasa dla trójkąta BCF:

`8^2 + 4^2 = c^2`

`64 + 16 = c^2`

`c^2 = 80 `

`c = sqrt80`

`c = sqrt(16*5)`

`c = 4 sqrt5`

 

Obwód trapezu wynosi:

`16 + 4 sqrt 5 + 24 + 4 sqrt5 = (40 + 8 sqrt5) \ [cm]`

 

 

b) rysunek poglądowy:

Przekątne w rombie połowią się i przecinają pod kątem prostym.

Zastosujmy twierdzenie pitagorasa dla trójkąta CGD:

`12^2 + 5^2 = |CD|^2`

`144 + 25 = |CD|^2`

`|CD|^2 = 169`

`|CD|=13 \ [cm]`

 

Obwód rombu to czterokrotność długości jego boku:

`4*|CD|=4*13 = 52 \ [cm]`  

Rury w kształcie walca o średnicy zewnętrznej...

`3,5 \ "m" = 350 \ "cm"` 

Policzmy ile to rur:

`350/14 = 25` 

Zatem dolna warstwa ma się składać z 25 rur. Każda kolejna warstwa będzie miała o jedną rurę mniej, zatem można to zapisać ciągiem:

`a_1 = 25` 

`r = -1` 

`a_n = a_1 + (n-1)r = 25 -(n-1)= 25 -n + 1 = 26 - n` 

Obliczmy sumę tego ciągu:

`S_25 = (a_1 + a_25)/2*25 = (25 + 1)/2*25 = 13*25 = 325` 

A więc jeden stos będzie się składać z 325 rur. Zatem z 1000 rur utworzymy 3 pełne stosy.

Odpowiedź C 

Za pomocą poznanych wzorów...

a)

`"sin"alpha="sin"(alpha/2+alpha/2)="sin"alpha/2"cos"alpha/2+"cos"alpha/2"sin"alpha/2=2"sin"alpha/2"cos"alpha/2` 

 

b)

`"cos"alpha="cos"(alpha/2+alpha/2)="cos"alpha/2"cos"alpha/2-"sin"alpha/2"sin"alpha/2="cos"^2alpha/2-"sin"^2alpha/2` 

Jaka jest największa liczba trzycyfrowa podzielna przez

`a)`

Liczba dzieli się przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. Największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 5 jest więc 995. 

 

 

`b)`

Liczba dzieli się przez 6, jeśli dzieli się przez 2 i przez 3. Jej ostatnią cyfrą musi być więc jedna z cyfr 0, 2, 4, 6, 8, a suma cyfr musi być podzielna przez 6. Największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 6 jest więc 996. 

 

`c)`

Sprawdźmy, czy największa liczba trzycyfrowa (999) dzieli się przez 7:

`999:7=142\ r.\ 5`

Otrzymaliśmy resztę 5, co oznacza, że największą liczba trzycyfrową podzielną przez 7 jest 999-5=994. 

 

 

`d)`

Liczba dzieli się przez 15, jeśli dzieli się jednocześnie przez 3 i przez 5. Suma cyfr tej liczby musi być więc podzielna przez 3, a ostatnią cyfrą tej liczby musi być 0 lub 5. Wiemy, że największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 5 jest 995, jednak ta liczba nie dzieli się przez 3, bo suma cyfr 9+9+5=23 nie dzieli się przez 3. Kolejna największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 5 to 990. Ta liczba dzieli się także przez 3, ponieważ suma jej cyfr jest równa 9+9+0=18. Największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 15 jest więc 990. 

Naszkicuj wykres funkcji...

Widzimy, że oś OY jest osią symetrii funkcji cos x, a więc:

`a) \ cos x = sqrt2/2` 

`x = pi/4 \ \ vv \ \ x = -pi/4` 

 

`b) \ cos x = - sqrt2/2` 

Skoro:

`cos x = sqrt2/2 \ \ \ "dla" \ x = pi/4 \ \ vv \ \ x = -pi/4` 

oraz wiemy, że:

`pi/2 - pi/4 = (2pi)/4 - pi/4 = pi/4` 

to

 

`cos x = -sqrt2/2` 

`x = pi/2 + pi/4 \ \ vv \ \ x = -pi/2 - pi/4` 

`x = 3/4 pi \ \ vv \ \ x = -3/4pi` 

Gdyż punkt w którym funkcja przyjmuje wartość:

`-sqrt2/2` 

Jest odległa o tyle samo od punktu w którym funkcja przyjmuje wartość 0 co punkt w którym funkcja przyjmuje wartość:

`sqrt2/2` 

Można to zobrazować na rysunku:

Niebieska prosta to prosta:

`y=sqrt2/2` 

Zielona prosta to prosta:

`y=-sqrt2/2` 

 

`c) \ cos x = sqrt3/2` 

Analogicznie jak w podpunkcie a), skoro:

`cos x = sqrt3/2 , \ \ "dla" \ x = pi/6` 

to

`cos x = sqrt3/2 , \ \ "dla" \ x = -pi/6` 

 

`d) \ cos x = -1/2`   

Skoro

`cos x= 1/2 \ \ \ "dla" \ x = pi/3 \ \ vv \ \ x = -pi/3` 

oraz wiemy, że:

`pi/2 - pi/3 = (3pi)/6 - (2pi)/6 = pi/6` 

to

`cos x= -1/2 \ \ \ "dla" \ x = pi/2 +pi/6 \ \ vv \ \ x = -pi/2 - pi/6` 

`cos x = -1/2 \ \ \ "dla" \ x = (4pi)/6 \ \ vv \ \ x = (-4pi)/6` 

`cos x = -1/2 \ \ \ "dla" \ x = (2pi)/3 \ \ vv \ \ x = (-2pi)/3` 

Gdyż punkty w których funkcja cosinus przyjmuje wartości 1/2 i -1/2 są równo odległe  od punktu w którym funkcja przyjmuje wartość 0.

Wykres:

Niebieska prosta to prosta:

`y=1/2` 

Zielona prosta to prosta:

`y=-1/2` 

Który z podanych zbiorów

`A.\ {x in RR:\ x^2-2=0}={x in RR:\ x^2=2}={-sqrt2,\ sqrt2}` 

`B.\ {x in RR:\ 1/x^2=2}={x in RR:\ 1=2x^2}={x in RR:\ x^2=1/2}={-sqrt(1/2),\ sqrt(1/2)}={-sqrt2/2,\ sqrt2/2}` 

`C.\ {x in NN:\ x^3-216=0}={x in NN:\ x^3=216}={6}` 

`D.\ {x in NN:\ x^2-216=0}={x in NN:\ x^2=216}=emptyset`    

Nie ma liczby naturalnej, której kwadrat wynosi 216, stąd należy zaznaczyć odpowiedź D. 

Sporządź wykres funkcji f(x)=...

`f(x)=|x^2-4|x|+3|` 

`f(x)={(|x^2-4x+3| \ \ \ "gdy" \ \ x>=0),(|x^2+4x+3| \ \ \ "gdy" \ \ x< 0):}` 

 

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`x_1=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(4+2)/2=6/2=3` 

`x^2-4x+3 <=> (x-1)(x-3)` 

 

`x^2+4x+3=0` 

`Delta=4^2-4*1*3=16-12=4` 

`x_1=(-4-2)/2=(-6)/2=-3` 

`x_2=(-4+2)/2=(-2)/2=-1` 

`x^2+4x+3 <=> (x+1)(x+3)` 

 

Aby narysować funkcję `f(x)` wystarczy wszystkie punkty poniżej osi OX odbić względem osi OX.

 

Funkcja `f(x)` wygląda następująco :

 

Ekstrema: 

`f(-3)=0` 

`f(-2)=1` 

`f(-1)=0` 

`f(0)=3` 

`f(1)=0` 

`f(2)=1` 

`f(3)=0` 

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego...

Oznaczmy współrzędne środka okręgu przez:

`S = (x' , y')` 

 

Wtedy:

`|SA|=|SB|=|SC|` 

zatem

`|SA|^2 = |SB|^2 =|SC|^2 = r^2`   

 

`{((1-x')^2 + (0-y')^2=r^2),((3-x')^2+(-2-y')^2=r^2),((3-x')^2+(4-y')^2=r^2):}` 

`{((1-x')^2 +(y')^2 = r^2),((3-x')^2 + (2+y')^2 = r^2),((3-x')^2 + (4-y')^2=r^2):}` 

Przyrównajmy drugie i trzecie równanie do siebie:

`(3-x')^2 + (2+y')^2 = (3-x')^2 + (4-y')^2 \ \ \ |-(3-x')^2` 

`4 + 4y'+(y')^2 = 16 - 8y' + (y')^2` 

`12y' = 12` 

`y^' = 1` 

Zatem:

`{(y^'=1),((1-x')^2 + 1 = r^2),((3-x')^2 + 9 = r^2):}`  

Przyrównajmy drugie i trzecie równanie do siebie:

`(1-x')^2 + 1 = (3-x')^2 + 9` 

`1 - 2x' + (x')^2 + 1 = 9 - 6x' + (x')^2 + 9` 

`2 - 2x' = 18 - 6x'` 

`4x' = 16` 

`x' = 4` 

 

Stąd:

`{(x'=4),(y'=1),(r = sqrt10):}` 

 

Równanie okregu:

`(x-4)^2 +(y-1)^2 = 10` 

 

b) W tym podpunkcie zastosujemy własność okręgu by wyznaczyć środek okręgu. Weźmiemy dwie dowolne cięciwy, wyznaczymy ich środki a następnie wyznaczymy proste prostopadłe do tych cięciw, przechodzące przez ich środki. Punkt przecięcia się tych prostych będzie środkiem okręgu.

 

Równanie prostej zawierającej cięciwę AB:

`{(f(0)=6),(f(-4)=4):}`  

`{(b=6),(-4a+b=4):}` 

`{(b=6),(-4a+6=4):}` 

`{(b=6),(-4a = -2):}` 

`{(b=6),(a = 1/2):}` 

`f(x) = 1/2x + 6` 

 

Środek cięciwy AB:

`S_(AB) = ((x_A+x_B)/2 , (y_A+y_B)/2) = ((0-4)/2 , (6+4)/2) = (-2 , 5)` 

 

Równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez środek cięciwy AB:

`y = -2x + c` 

Podstawmy współrzędne środka:

`5 = -2*(-2) + c` 

`5 = 4 + c` 

`c = 1` 

 

`y = -2x+1` 

 

Równanie prostej zawierającej cięciwę AC:

`{(g(0)=6),(g(5)=7):}` 

`{(b=6),(5a+b=7):}` 

`{(b=6),(5a+6=7):}` 

`{(b=6),(5a=1):}` 

`{(b=6),(a=1/5):}` 

 

`g(x) = 1/5x+6` 

 

Środek cięciwy AC:

`S_(AC) = ((x_A+x_C)/2 , (y_A+y_C)/2) = ((0+5)/2 , (6+7)/2) = (5/2 , 13/2)` 

 

Równanie prostej prostopadłej do prostej AC, przechodzącej przez środek cięciwy AC:

`y = -5x + d` 

Podstawmy współrzędne środka cięciwy AC:

`13/2 = -5*5/2 + d` 

`13/2 = -25/2 + d` 

`38/2 = d` 

`d = 19` 

 

`y = -5x + 19` 

 

Wyznaczmy środek okręgu:

`{(y=-2x+1),(y=-5x+19):}` 

`-2x+1 = -5x+19` 

`3x = 18` 

`x = 6` 

stąd

`y = -2*6 + 1` 

`y = -12 + 1` 

`y = -11` 

 

Środek okręgu ma współrzędne:

`(6, -11)` 

Obliczmy długość promienia:

`|SA| = sqrt((x_A-x_S)^2+(y_A-y_S)^2) = sqrt((0-6)^2+(6-(-11))^2) = sqrt((-6)^2+17^2) = sqrt325` 

 

Równanie okręgu:

`(x-6)^2 + (y+11)^2 = 325` 

Przeczytaj informację w ramce.

`a)` 

`cos(3/2pi+x)=sinx` 

`"Zauważmy, że wykres funkcji"\ cos(3/2pi+x)\ "pokrywa się z wykresem funkcji"\ sinx."` 

 

`b)` 

`cos(pi-x)=-cosx` 

`"Zauważmy, że wykres funkcji"\ cos(pi-x)\ "pokrywa się z wykresem funkcji"\ -cosx."`  

 

`c)` 

`tg(pi/2+x)=-ctgx` 

`"Zauważmy, że wykres funkcji"\ ctg(pi/2+x)\ "pokrywa się z wykresem funkcji"\ ctgx."`