Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $$(a_n)$$.
$$N$$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $$a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$$S_0 = a_0$$
$$S_1 = a_0 + a_1$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $$sum_1^{∞} a_i$$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $$S$$ i jest ona równa $$lim↙{n → ∞} S_n$$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $$(a_n)$$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $$q$$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$$a_n = ({1}/{2})^n$$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$$
$$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$$
$$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$$
$$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$$S_0 = 1$$
$$S_1 = 1 + {1}/{2}$$
$$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$$
$$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$$
$$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $$q$$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $$S = a{1-q^n}/{1-q}$$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $$|q|$$ < $$1$$, to oczywiście $$lim↙{n → ∞} q^n = 0$$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $$q$$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $$q^n$$ i otrzymujemy:

$$S = {1}/{1-q}$$

Nasz przykładowy ciąg $$a_n$$ ma więc sumę równą:
$$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia...

Z urny, w której jest 8 kul białych

Obliczymy najpierw, ile elementów ma zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Mamy 10 kul (8 białych i 2 czarne), losujemy z nich jednocześnie 9 kule:

 

 

 

Jeśli w urnie ma zostać biała kula, to musimy wylosować 7 z 8 białych kul oraz 2 z 2 czarnych kul. 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność...

 

Podstawienie:

 

 

Rozwiążmy wpierw równanie:

 

 

Wróćmy do nierówności:

 

Rysunek:

Skoro t=4x, to :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiążmy równanie:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

Ostatecznie:

  

Rysunek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc jedyna możliwość to:

 

 

Na diagramie kołowym przedstawiono...

Ilość 1:  

Ilość 2:  

Ilość 3:  

Ilość 4:  

Ilość 5:  

Ilość 6: 

 

Średnia arytmetyczna:

 

 

Odchylenie standardowe:

 

 

 

 

Prosta o równaniu y=x+3 przecina ...

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

   

    

 

 

 

 

 

  

 

      

 

 

 

 

 

W kulę wpisano prostopadłościan...

Zauważmy, że połowa przekątnej tego prostopadłościanu to promień kuli.

Wyznaczmy przekątną tego prostopadłościanu.

 

 

 

 

 

Przekątna podstawy wynosi 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność ...

 

 

Sprawdzamy. dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 lub .

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.{premium}


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

 .


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

(mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

lub 

  

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

(mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.

W n ponumerowanych

W n ponumerowanych szufladach umieszczamy losowo n ponumerowanych kul. Pierwszą kulę możemy włożyć do jednej z n szuflad - n możliwości. Podobnie drugą, trzecią i każdą kolejną kulę. 

 

 

 

 

 

Jeśli dokładnie jedna szuflada ma być pusta, to w jednej szufladzie muszą znajdować się 2 kule, w n-2 szufladach musi znajdować się po 1 kuli, w jednej szufladzie nie ma żadnej kuli. 

Wybieramy 2 z n kul. 

Następnie wybieramy jedną z n szuflad, do której włożymy te 2 kule - n możliwości. 

Zostało nam n-2 kul do dyspozycji oraz n-1 szuflad do dyspozycji. Od tego momentu do każdej szuflady wkładamy po jednej kuli, dzięki czemu dokładnie jedna szuflada zostanie pusta. 

Pierwszą kulę wkładamy do jednej z n-1 szuflad - n-1 możliwości. 

Drugą kulę wkładamy do jednej z n-2 pozostałych szuflad - n-2 możliwości. 

I tak dalej.

(n-3)-cią kulę wkładamy do jednej z 3 pozostałych szuflad - 3 możliwości. 

Ostatnią, (n-2)-gą kulę wkładamy do jednej z 2 pozostałych szuflad - 2 możliwości. 

Jedna szuflada zostaje pusta. 

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

  

Zapisz wzory trzech różnych funkcji logarytmicznych...

  

Funkcja rosnąca

 

 

Funkcja rosnąca

 

 

Funkcja malejąca

Wyróżnik funkcji kwadratowej jest równy 0 ...

 

Wyrażenie  nazywamy {premium}wyróżnikiem funkcji kwadratowej.

 

  

 

 

 

         
           

Thumb str 2024 20  207