Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $$(a_n)$$.
$$N$$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $$a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$$S_0 = a_0$$
$$S_1 = a_0 + a_1$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $$sum_1^{∞} a_i$$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $$S$$ i jest ona równa $$lim↙{n → ∞} S_n$$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $$(a_n)$$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $$q$$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$$a_n = ({1}/{2})^n$$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$$
$$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$$
$$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$$
$$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$$S_0 = 1$$
$$S_1 = 1 + {1}/{2}$$
$$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$$
$$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$$
$$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $$q$$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $$S = a{1-q^n}/{1-q}$$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $$|q|$$ < $$1$$, to oczywiście $$lim↙{n → ∞} q^n = 0$$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $$q$$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $$q^n$$ i otrzymujemy:

$$S = {1}/{1-q}$$

Nasz przykładowy ciąg $$a_n$$ ma więc sumę równą:
$$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykresy funkcji f i g przecinają się ...

`a)` 

`f(x)=x+1` 

`g(x)=x^2+1` 

`f(x)=g(x)` 

`x^2+1=x+1` 

`x(x-1)=0` 

`x_1=0` 

`x_2=1` 

`y_1=f(x_1)=1` 

`y_2=f(x_2)=2`   

 

`P_1=(0;1)` 

`P_2=(1;2)` 

`vec(P_1P_2)=[1-0;2-1]=[1;1]` 

 

`b)` 

`f(x)=-2x+3` 

`g(x)=x^2` 

`f(x)=g(x)` 

`-2x+3=x^2` 

`x^2+2x-3=0` 

`Delta=4+12=16` 

`sqrtDelta=4` 

`x_1=(-2-4)/2=-3` 

`x_2=(-2+4)/2=1` 

`y_1=g(x_1)=9` 

`y_2=g(x_2)=1` 

`P_1=(-3;9)` 

`P_2=(1;1)` 

`vec(P_1P_2)=[1+3;1-9]=[4;-8]` 

 

`c)` 

`f(x)=x+1` 

`g(x)=-2x^2+3` 

`f(x)=g(x)` 

`x+1=-2x^2+3` 

`2x^2+x-2=0` 

`Delta=1+16=17` 

`sqrtDelta=sqrt17` 

`x_1=(-1-sqrt17)/4` 

`x_2=(-1+sqrt17)/4` 

`y_1=f(x_1)=(-1-sqrt17)/4-4/4=(-5-sqrt17)/4` 

`y_2=f(x_2)=(-5+sqrt17)/4` 

`P_1=((-1-sqrt17)/4;(-5-sqrt17)/4)` 

`P_2=((-1+sqrt17)/4;(-5+sqrt17)/4)` 

`vec(P_1P_2)=[(-1+sqrt17)/4-(-1-sqrt17)/4;(-5+sqrt17)/4-(-5-sqrt17)/4]=` 

`=[sqrt17/2;sqrt17/2]`     

Zbadaj, który ciąg jest ciągiem arytmetycznym...

Korzystamy z zależności:

`a_k=(a_(k-1)+a_(k+1))/2` 

 

a)

`3=(2+6)/2` 

`3=8/2` 

`3!=4` 

Nie jest to ciąg arytmetyczny.


b)

`-1=(-3+1)/2` 

`-1=(-2)/2` 

`-1=-1` 

Jest to ciąg arytmetyczny.


c)

`a_n=3n+5` 

`a_(n+1)=3(n+1)+5=3n+3+5=3n+8` 

 

`a_(n+1)-a_n=3n+8-(3n+5)=3n+8-3n-5=3` 

`r=3` 

 

Jest to ciąg arytmetyczny. 

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia...

`a) \ 121-49x^2 = 11^2 -(7x)^2 = (11-7x)(11+7x)` 

 

`b) \ 4/9x^2 - 25/16y^2 = (2/3x)^2 -(5/4y)^2 =(2/3x-5/4y)(2/3x+5/4y)` 

 

`c) \ 16x^4-1 = (4x^2)^2-1^2 = (4x^2-1)(4x^2+1) = ((2x)^2-1^1)(4x^2+1)=(2x-1)(2x+1)(4x^2+1)` 

 

`d) \ 81x^4-1/16y^4 = (9x^2)^2 - (1/4y^2)^2 = (9x^2-1/4y^2)(9x^2+1/4y^2) =` 

`=((3x)^2-(1/2y)^2)(9x^2+1/4y^2)=(3x-1/2y)(3x+1/2y)(9x^2+1/4y^2)` 

 

`e) \ (3x+1)^2 - 4 = (3x+1)^2 - 2^2 = (3x+1-2)(3x+1+2) = (3x-1)(3x+3)=3(x+1)(3x-1)` 

 

`f) \ 9(1-x)^2 -(1+x)^2 = (3(1-x))^2 - (1+x)^2 = (3(1-x)-(1+x))(3(1-x)+1+x) =` 

`=(3-3x-1-x)(3-3x+1+x)=(2-4x)(4-2x)=2(1-2x)*2(2-x)=4(1-2x)(2-x)` 

 

`g) \ x^4 -8x^2+16 =(x^2)^2-2*x^2*4+4^2=(x^2-4)^2 = (x-2)^2(x+2)^2` 

 

`h) \ 81x^4 - 18x^2+1 = (9x^2)^2-2*9x^2*1+1 = (9x^2-1)^2 =(3x-1)^2(3x+1)^2` 

 

`i) \ 16x^4-72x^2+81 = (4x^2)^2 -2*4x*9+9^2 = (4x^2-9)^2 = (2x-3)^2(2x+3)^2` 

Przekształć różnicę kwadratów w iloczyn

`b)\ 1/4x^2-4y^2=(1/2x)^2-(2y)^2=(1/2x-2y)(1/2x+2y)`

`c)\ a^2-x^2y^2=a^2-(xy)^2=(a-xy)(a+xy)`

`d)\ 4/9a^2-b^2=(2/3a)^2-b^2=(2/3a-b)(2/3a+b)`

 

Uzasadnij, że jeśli trójmian ...

`y=x^2+bx+c` 

 

`"Zakładam, że powyższy trójmian ma pierwiastki"\ x_1, x_2.` 

`"Wzory Viete'a:"` 

`x_1+x_2=(-b)/a=-b`  

`x_1*x_2=c/a=c` 

 

`y=x^2+bx+c=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2`

Oblicz.

`"a)"\ log_(4)2+log_(4)8=log_(4)(2*8)=log_(4)16=2` 

`"b)"\ log2+log50=log(2*50)=log100=2` 

`"c)"\ log_(1/6)3+log_(1/6)2=log_(1/6)(3*2)=log_(1/6)6=-1` 

`"d)"\ log_(0,1)0,2+log_(0,1)0,5=log_(0,1)(0,2*0,5)=log_(0,1)0,1=1` 

`"e)"\ log_(15)3+log_(15)5=log_(15)(3*5)=log_(15)15=1` 

`"f)"\ log_(20)100+log_(20)4=log_(20)(100*4)=log_(20)400=2`  

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość x

Obliczmy z twierdzenia Pitagorasa wysokość tego trójkąta:

`h^2+6^2=10^2`

`h^2+36=100`

`h^2=100-36`

`h^2=64`

`h=8`

`r^2+4^2=(8-r)^2`

`strike(r^2)+16=64-16r+strike(r^2)`

`16=64-16r`

`16r=64-16`

`16r=48`

`r=ul(ul(3))`

 

b)

Obliczmy z twierdzenia Pitagorasa wysokość tego trójkąta:

`5^2+h^2=13^2`

`25+h^2=169`

`h^2=169-25`

`h^2=144`

`h=12`

`r^2+8^2=(12-r)^2`

`strike(r^2)+64=144-24r+strike(r^2)`

`64=144-24r`

`64-144=-24r`

`-80=-24r`

`r=(strike80)/(strike24)=10/3=ul(3 1/3)`

 

 

 

Rzucamy cztery razy symetryczną

W każdym z czterech rzutów możemy otrzymać jedną z sześciu liczb. 

`overline(overline(Omega))=6*6*6*6=6^4` 

 

`a)` 

`A\ \ -\ \ "iloczyn oczek będzie równy 120"` 

Rozłóżmy liczbę 120 na czynniki pierwsze:

`120=2*60=2*2*30=2*2*2*15=2*2*2*3*5` 

 

Mamy do dyspozycji cztery liczby wybrane spośród 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zapiszmy liczbę 120 w taki sposób, aby była iloczynem czterech takich liczb. 

`120=4*2*3*5` 

`120=1*4*5*6` 

`120=2*2*6*5` 

 

W pierwszym i drugim przypadku użyto czterech różnych liczb - możemy je dowolnie permutować. W trzecim przypadku użyto czterech liczb, z których dwie się powtarzają (cyfra 2) - możemy je dowolnie permutować, ale ilość permutacji zbioru 4-elementowego musimy podzielić przez 2! - zamiana ze sobą dwójek nic nie zmienia. 

`overline(overline(A))=4!+4!+(4!)/(2!)=1*2*3*4+1*2*3*4+(1*strike2*3*4)/(1*strike2)=24+24+12=60`  

`P(A)=60/6^4=10/6^3=10/216=5/108` 

 

 

`b)` 

`B\ \ -\ \ "iloczyn oczek będzie podzielny przez 3"` 

 

Iloczyn oczek będzie podzielny przez 3, jeśli co najmniej jedna liczba będzie dzielić się przez 3. Zdarzeniu B sprzyja wiele zdarzeń elementarnych, dlatego rozpatrzymy zdarzenie przeciwne. 

`B'\ \ -\ \ "iloczyn oczek nie dzieli się przez 3"` 

 

Jeśli iloczyn oczek nie dzieli się przez 3, to każda z czterech liczb nie może dzielić się przez 3. Na każdym z czterech miejsc możemy więc postawić jedną z czterech liczb - 1, 2, 4 lub 5. 

`overline(overline(B'))=4*4*4*4=4^4` 

`P(B')=4^4/6^4=(4/6)^4=(2/3)^4=16/81` 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

`P(B)=1-16/81=65/81` 

 

 

`c)` 

`C\ \ -\ \ "wypadną dwie jedynki i dwie szóstki"` 

 

Możemy obliczyć na 2 sposoby. Pierwszy sposób jest analogiczny, jak poprzednio - permutujemy zbiór 4-elementowy, ale ilość permutacji musimy podzielić przez 2! (zamiana jedynek nic nie zmienia) oraz przez 2! (zamiana szóstek nic nie zmienia).

`overline(overline(C))=(4!)/(2!*2!)=(1*2*3*strike4)/(1*strike2*1*strike2)=6` 

 

Możemy także wybrać 2 z 4 miejsc dla jedynki, pozostałe miejsca uzupełniamy szóstkami. 

`overline(overline(C))=((4),(2))=(4!)/(2!*2!)=(1*2*3*strike4)/(1*strike2*1*strike2)=6` 

 

`P(C)=6/6^4=1/6^3=1/216` 

 

 

`d)` 

`D\ \ -\ \ "wypadną dokładnie dwie różne liczby oczek"` 

Mamy dwie możliwości - obie liczby występują dwa razy lub pierwsza liczba wystepuje raz, a druga trzy razy lub pierwsza liczba występuje trzy razy a druga raz. 

Wybieramy 2 z 6 liczb. Wybieramy 2 z 4 miejsc dla pierwszej liczby. Pozostałe miejsca uzupełniamy drugą liczbą.

`((6),(2))*((4),(2))=(6!)/(2!*4!)*(4!)/(2!*2!)=(strike(4!)*5*strike6^3)/(1*strike2*strike(4!))*(1*2*3*strike4)/(1*strike2*1*strike2)=15*6=90`  

Wybieramy 2 z 6 liczb. Wybieramy 1 z 4 miejsc dla pierwszej liczby. Pozostałe miejsca uzupełniamy drugą liczbą. 

`((6),(2))*((4),(1))=(6!)/(2!*4!)*(4!)/(1!*3!)=(strike(4!)*5*strike6^3)/(1*strike2*strike(4!))*(strike(3!)*4)/(1*strike(3!))=15*4=60`  

Wybieramy 2 z 6 liczb. Wybieramy 3 z 4 miejsc dla pierwszej liczby. Pozostałe miejsca uzupełniamy drugą liczbą. 

` ` `((6),(2))*((4),(3))=(6!)/(2!*4!)*(4!)/(3!*1!)=(strike(4!)*5*strike6^3)/(1*strike2*strike(4!))*(strike(3!)*4)/(1*strike(3!))=15*4=60`

 

`overline(overline(D))=90+60+60=210` 

 

`P(D)=210/6^4=35/6^3=35/216` 

 

Podana liczba jest równa

`(5root(3)1250+2root(3)640-3root(3)5120):root(3)10=5root(3)(1250:10)+2root(3)(640:10)-3root(3)(5120:10)=` 

`=5root(3)125+2root(3)64-3root(3)512=5*5+2*4-3*8=25+8-24=9\ \ \ \ \ \ odp.\ A` 

 

 

Na wykresie funkcji sinus zaznaczono...

Podziałka na osi x wynosi:

`pi/6` 

A więc kolejny przedział to

`[(5pi)/6 + (6pi)/6, (7pi)/6 + (6pi)/6] = [(11pi)/6 , (13pi)/6]` 

Dodajmy okres sinusa:

`[(11pi)/6 + 2kpi \ , \ (13pi)/6 + 2kpi] , \ \ \ k in C`

`{(a = (11pi)/3),(b= (13pi)/6):}` 

 

`a) \ |sin x| > 1/2` 

`sin x > 1/2 \ \ vv \ \ sin x < -1/2` 

 

`x in [pi/6 + kpi , (5pi)/6 + kpi], \ \ \ k in C` 

 

`b) \ 2 |sinx|< sqrt3` 

`|sin x| < sqrt3/2` 

`-sqrt3/2 < sin x < sqrt3/2` 

`x in (-pi/3 + kpi, pi/3 + kpi) , \ \ \ k in C` 

 

`c) \ |sin x - 1| < 1` 

`-1 < sin x - 1 < 1` 

`x in [2kpi , pi + 2kpi] , \ \ \ k in C` 

 

`d) \ |2 sin(-x) + 1| > 0` 

`-2sin(x) + 1 > 0 \ \ vv \ \ - 2sinx + 1 < 0` 

 

`x in R \ \\ \ {pi/6 + 2kpi , (5pi)/6 + 2kpi} , \ \ \ k in C`