Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $(a_n)$.
$N$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$S_0 = a_0$
$S_1 = a_0 + a_1$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $sum_1^{∞} a_i$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $S$ i jest ona równa $lim↙{n → ∞} S_n$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $q$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$a_n = ({1}/{2})^n$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$
$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$
$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$
$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$S_0 = 1$
$S_1 = 1 + {1}/{2}$
$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$
$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$
$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $q$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $S = a{1-q^n}/{1-q}$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $|q|$ < $1$, to oczywiście $lim↙{n → ∞} q^n = 0$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $q$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $q^n$ i otrzymujemy:

$S = {1}/{1-q}$

Nasz przykładowy ciąg $a_n$ ma więc sumę równą:
$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt ABC, gdzie A(1,1), B(5,1), C(1,6)

a)

b)

c)

Rozwiąż równania

Założenia:

 

Oznaczamy:

 

 

Wstawiamy t do równania:

 

 

 

 

Założenia: 

 

Oznaczamy: 

 

Wstawiamy do równania:  

 

 

 

 

Założenia:

 

 

Oznaczamy:

 

Wstawiamy do równania:

 

 

Rozwiąż nierówność

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdź, czy istnieje kąt...

a)

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Istnieje taki kąt.


b)

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Nie istnieje taki kąt.


c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Nie istnieje taki kąt.


d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Istnieje taki kąt.

Ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie ...

Wiemy, że  jest ciągiem geometrycznym, zatem


Dany jest ciąg  o wzorze ogólnym

Wyznaczamy  

 

Sprawdzamy, czy {premium}ciąg  jest geometryczny

 

 

Ciąg  jest ciągiem geometrycznym.

 

W pudle znajdują się piłki niebieski i piłki ...

x+5 - ilość piłek niebieskich (x jest liczbą naturalną dodatnią)

x - ilość piłek czerwonych

2x+5 - ilość wszystkich piłek {premium}

 

Prawdopodobieństwo wylosowania jednej piłki czerwonej jest równe  , zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Ilość piłek niebieskich w tym pudełku:

 

 

Odp. W pudełku jest 7 piłek niebieskich.

Ile pieniędzy należy przeznaczyć ...

 

 

 

 

  

 

 

 

     

  

 

 

 

 

 

 

   

 

  

 

      

 

 

 

 

 

 

 

   

 

  

 

      

 

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego...

Wiemy, że:

  

 

 

  

zatem{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

Oblicz pole trójkąta, którego boki zawierają...

Jeżeli boki trójkąta zawierają się w osiach układu współrzędnych to trójkąt ten jest prostokątny. Wyznaczmy punkty przecięcia prostej z osiami.

 

Punkt przecięcia z osią OX:

 

 

 

 

Współrzędne:

 

 

Punkt przecięcia z osią OY:

 

 

 

Współrzędne:

 

 

Zauważmy, że obie przyprostokątne mają długość 2. Pole trójkąta to:

 

Funkcja f: [-3;3] ...