Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $$(a_n)$$.
$$N$$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $$a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$$S_0 = a_0$$
$$S_1 = a_0 + a_1$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$$
$$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $$sum_1^{∞} a_i$$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $$S$$ i jest ona równa $$lim↙{n → ∞} S_n$$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $$(a_n)$$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $$q$$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$$a_n = ({1}/{2})^n$$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$$
$$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$$
$$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$$
$$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$$S_0 = 1$$
$$S_1 = 1 + {1}/{2}$$
$$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$$
$$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$$
$$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $$q$$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $$S = a{1-q^n}/{1-q}$$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $$|q|$$ < $$1$$, to oczywiście $$lim↙{n → ∞} q^n = 0$$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $$q$$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $$q^n$$ i otrzymujemy:

$$S = {1}/{1-q}$$

Nasz przykładowy ciąg $$a_n$$ ma więc sumę równą:
$$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozszerz ułamek

`a)\ 1/7=(1*15)/(7*15)=15/105`

`b)\ 5/6=(5*12)/(6*12)=60/72`

`c)\ 3/16=(3*6)/(16*6)=18/96`

`d)\ 11/15=(11*11)/(15*11)=121/165`

W dowolnym trójkącie o bokach długości...

`r=(ab)/(a+b+c) \ \ \ |*(a+b+c)` 

`r*(a+b+c)=ab` 

`ra+rb+rc=ab \ \ \ |-ra` 

`rb+rc=ab-ra` 

`rb+rc=a(b-r) \ \ \ |:(b-r)` 

`(rb+rc)/(b-r)=a` 

 

Wykaż, że...

Jeżeli okrąg jest styczny do prostej to odległość środka okręgu od prostej musi być równa długości promienia tego okręgu.

 

a) Policzmy odległość środka okręgu od prostej.

Współrzędne punktu:

`x_0 = 1, \ \ y_0 = 2`

Równanie ogólne prostej:

`-x+y+3=0`

Współczynniki:

`A=-1, \ \ B=1, \ \ C=3`  

Podstawmy do wzoru:

`d= (|Ax_0 + By_0 + C|)/(sqrt(A^2 + B^2)) = (|-1*1 + 1 * 2 + 3|)/(sqrt((-1)^2 + 1^2))= 4/sqrt2 = (4sqrt2)/2 = 2sqrt2 =r`

A więc rzeczywiście prosta jest styczna do okręgu.

 

 

b) analogicznie do poprzedniego podpunktu:

Współrzędne punktu:

`x_0 = 5, \ \ y_0 = 1`

Równanie ogólne prostej:

`2x+y-1=0`

Współczynniki:

`A=2, \ \ B=1, \ \ C=-1`

Podstawmy do wzoru:

`d=(|Ax_0 + By_0 + C|)/(sqrt((A)^2 +(B)^2)) = (|2*5+1*1 -1|)/(sqrt(4+1)) = 10/sqrt5 = (10sqrt5)/5 = 2sqrt5=r`

Wykazaliśmy, że prosta jest styczna do okregu.

Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności...

W zadaniu będziemy korzystać z metody rozwiązywania układów równań za pomocą wyznaczników.

Przypomnijmy twierdzenie, które będzie nam potrzebne:

Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

`{(a_1x+b_1y=c_1),(a_2x+b_2y=c_2):}` 

`(1)` ma tylko jedno rozwiązanie, jeśli `W!=0`  

`{(x=W_x/W),(y=W_y/W):}` 

`(2)` ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli `W=W_x=W_y=0` 

`(3)` nie ma rozwiązań, jeśli `W=0^^(W_x!=0\ vv\ W_y!=0),` 

gdzie `W=|[a_1\ \ b_1],[a_2\ \ b_2]|,\ W_x=|[c_1\ \ b_1],[c_2\ \ b_2]|,\ W_y=|[a_1\ \ c_1],[a_2\ \ c_2]|`        

 

`"a)"\ {(mx+y=3),(2mx-my=6):}`  

Obliczamy wyznaczniki:

`W=|[m\ \ \ \ \ \ 1],[2m\ -m]|=-m^2-2m` 

`W_x=|[3\ \ \ \ \ \ 1],[6\ -m]|=-3m-6`     

`W_y=|[m\ \ \ \ \ 3],[2m\ \ \ 6]|=6m-6m=0` 

Sprawdzamy, dla jakich `m` wyznaczniki `W` i `W_x` są równe `0:`          

`W=0<=>-m^2-2m=0` 

`-m^2-2m=0`   

`-m(m+2)=0` 

`m=0\ vv\ m=-2` 

`W_x=0<=>-3m-6=0`  

`-3m-6=0\ "/":(-3)` 

`m+2=0` 

`m=-2` 

Zatem:

`1)` Jeśli `m in bbR-{-2,\ 0}` to układ równań jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie. Wyznaczmy je:

`{(x=(-3m-6)/(-m^2-2m)=(3(m-2))/(m(m-2))=3/m),(y=0):}` 

`2)` Jeśli `m =-2,` to układ równań jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań.

`3)` Jeśli `m=0,` to układ równań jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

 

`"b)"\ {(2x-3y=6),(x-my=1):}`          

Obliczamy wyznaczniki:

`W=|[2\ -3],[1\ -m]|=-2m+3` 

`W_x=|[6\ -3],[1\ -m]|=-6m+3`   

`W_y=|[2\ \ \ 6],[1\ \ \ 1]|=2-6=-4` 

Sprawdzamy, dla jakich `m` wyznaczniki `W` i `W_x` są równe `0:`  

`W=0<=>-2m+3=0` 

`-2m+3=0` 

`2m=3\ "/":2` 

`m=3/2` 

`W_x=0<=>-6m+3=0`

`-6m+3=0` 

`6m=3\ "/":6` 

`m=1/2` 

Zatem:

`1)` Jeśli `m in bbR-{3/2}` to układ równań jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie. Wyznaczmy je:

`{(x=(6m-3)/(2m-3)),(y=4/(2m-3)):}` 

`2)` Jeśli `m=3/2,` to układ równań jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

 

`"c)"\ {(x-my=1),(mx-y=1):}` 

Obliczamy wyznaczniki:

`W=|[1\ -m],[m\ -1]|=-1+m^2` 

`W_x=|[1\ -m],[1\ -1]|=-1+m`    

`W_y=|[1\ \ \ \ \ 1],[m\ \ \ \ 1]|=1-m`    

Sprawdzamy, dla jakich `m` wyznaczniki `W,\ W_x` i `W_y` są równe `0:`  

`W=0<=>m^2-1=0` 

`m^2-1=0` 

`m^2=1` 

`m=1\ vv\ m=-1` 

`W_x=0<=>m-1=0` 

`m=1` 

`W_y=0<=>1-m=0` 

`m=1` 

Zatem:

`1)` Jeśli `m in bbR-{-1,\ 1}` to układ równań jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie. Wyznaczmy je:

`{(x=(m-1)/(m^2-1)=1/(m+1)),(y=-(m-1)/(m^2-1)=-1/(m+1)):}` 

`2)` Jeśli `m =1,` to układ równań jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań.

`3)` Jeśli `m=-1,` to układ równań jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

 

`"d)"\ {(mx+(2m-1)y=3m),(x+my=m):}` 

Obliczamy wyznaczniki:

`W=|[m\ \ \ 2m-1],[1\ \ \ \ \ \ \ \ \ m ]|=m^2-2m+1=(m-1)^2`     

`W_x=|[3m\ \ \ 2m-1],[m\ \ \ \ \ \  \ \ \ m]|=3m^2-2m^2+m=m^2+m` 

`W_y=|[m\ \ \ 3m],[1\ \ \ m]|=m^2-3m`       

 Sprawdzamy, dla jakich `m` wyznaczniki `W,\ W_x` i `W_y` są równe `0:`  

`W=0<=>(m-1)^2=0` 

`m-1=0` 

`m=1` 

`W_x=0<=>m^2+m=0` 

`m(m+1)=0` 

`m=0\ vv\ m=-1` 

`W_y=0<=>m^2-3m=0` 

`m(m-3)=0` 

`m=0\ vv\ m=3` 

Zatem:

`1)` Jeśli `m in bbR-{1}` to układ równań jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie. Wyznaczmy je:

`{(x=(m^2+m)/((m-1)^2)),(y=(m^2-3m)/((m-1)^2)):}` 

`2)` Jeśli `m=1,` to układ równań jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

 

`"e)"\ {(2x+3y=3),(4x+my=2m):}` 

Obliczamy wyznaczniki:

`W=|[2\ \ \ 3],[4\ \ m]|=2m-12` 

`W_x=|[3\ \ \ \ 3],[2m\ m]|=3m-6m=-3m`     

`W_y=|[2\ \ \ \ 3],[4\ \ 2m]|=4m-12`   

 Sprawdzamy, dla jakich `m` wyznaczniki `W,\ W_x` i `W_y` są równe `0:`  

`W=0<=>2m-12=0` 

`2(m-6)=0` 

`m-6=0` 

`m=6` 

`W_x=0<=>-3m=0` 

`m=0` 

`W_y=0<=>4m-12=0` 

`4(m-3)=0` 

`m-3=0` 

`m=3` 

Zatem:

`1)` Jeśli `m in bbR-{6}` to układ równań jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie. Wyznaczmy je:

`{(x=(-3m)/(2m-12)),(y=(2m-6)/(m-6)):}` 

`2)` Jeśli `m=6,` to układ równań jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

 

`"f)"\ {(x-my=m),(mx-y=2):}` 

Obliczamy wyznaczniki:

`W=|[1\ -m],[m\ -1]|=-1+m^2` 

`W_x=|[m\ -m],[2\ -1]|=-m+2m=m`    

`W_y=|[1\ \ \ \ \ m],[m\ \ \ \ 2]|=2-m^2`    

Sprawdzamy, dla jakich `m` wyznaczniki `W,\ W_x` i `W_y` są równe `0:`  

`W=0<=>m^2-1=0` 

`m^2-1=0` 

`m^2=1` 

`m=1\ vv\ m=-1` 

`W_x=0<=>m=0` 

`W_y=0<=>2-m^2=0` 

`m^2=2` 

`m=sqrt2\ vv\ m=-sqrt2` 

Zatem:

`1)` Jeśli `m in bbR-{-1,\ 1}` to układ równań jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie. Wyznaczmy je:

`{(x=(m)/(m^2-1)),(y=-(m^2-2)/(m^2-1)):}` 

`2)` Jeśli `m in {-1,\ 1},` to układ równań jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

 

Dany jest prostokąt o bokach x i y

Długość przekątnej prostokąta (oznaczmy ją d) można obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

 

`a)\ 2^2+4^2=d^2`

`\ \ \ 4+16=d^2`

`\ \ \ d^2=20`

`\ \ \ d=sqrt20notinW`

 

`b)\ 3^2+4^2=d^2`

`\ \ \ 9+16=d^2`

`\ \ \ d^2=25`

`\ \ \ d=sqrt25=5inW`

 

`c)\ 6^2+8^2=d^2`

`\ \ \ 36+64=d^2`

`\ \ \ 100=d^2`

`\ \ \ d=sqrt100=10inW`

 

`d)\ 8^2+10^2=d^2`

`\ \ \ 64+100=d^2`

`\ \ \ 164=d^2`

`\ \ \ d=sqrt164notinW`

 

`e)\ 5^2+12^2=d^2`

`\ \ \ 25+144=d^2`

`\ \ \ 169=d^2`

`\ \ \ d=sqrt169=13inW`

 

`f)\ 7^2+24^2=d^2`

`\ \ \ 49+576=d^2`

`\ \ \ 625=d^2`

` \ \ d=sqrt625=25inW`

 

 

Dany jest okrąg o środku...

Oznaczmy, że `|/_PBC|=alpha` 

Zauważmy, że `|/_AOC|=2alpha` , ponieważ jest to kąt środkowy oparty na takim samym łuku jak kąt wpisany `PBC` 

W trójkącie równoramiennym `ACO` kąty przy podstawie, czyli `CAO` i `OCA` są równej miary. Oznaczmy `|/_CAO|=|/_OCA|=beta` .

Zauważmy, że suma miar kątów w trójkącie wynosi `180^o` więc:

`2alpha+beta+beta=180^o` 

`2alpha+2beta=180^o \ \ \ |:2` 

`alpha+beta=90^o` 

Wiemy, że `|/_OCP|=90^o` ponieważ jest to punkt styczności.

`|/_OCP|=|/_OCA|+|/_ACP|` 

`90^o=beta+|/_ACP|` 

`alpha+beta=beta+|/_ACP| \ \ \ |-beta` 

`alpha=|/_ACP|` 


Zauważmy, że 

`|/_ACP|=|/_PBC|` co zostało wykazane wyżej.

`|/_CPA|=|/_CPB|` , ponieważ kąty te się pokrywają.

Jeśli dwa kąty są takiej samej miary, to trzeci kąt również musi być takiej samej miary, ponieważ suma miar kątów w trójkącie wynosi `180^o` .

Na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty `PCA` i `PBC` są podobne.


 

Korzystając z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

`|PC|/|PB|=|PA|/|PC|` 

Przekształcając otrzymujemy:

`|PC|*|PC|=|PA|*|PB|` 

 

 

 

Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego...

Niech `c` oznacza długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

 

`a^2=1/2a*h \ \ \ |:a` 

`a=1/2h \ \ \ |*2` 

`2a=h` 

 

`H^2+y^2=h^2` 

`H^2+(1/2a)^2=(2a)^2` 

`H^2+1/4a^2=4a^2 \ \ \ |-1/4a^2` 

`H^2=3 3/4a^2` 

`H^2=15/4a^2` 

`H=sqrt15/2a` 

 

`x=(asqrt2)/2` ponieważ jest to połowa przekątnej kwadratu o boku długości `a` 

 

`H^2+x^2=c^2` 

`15/4a^2+(2a^2)/4=c^2` 

`17/4a^2=c^2` 

`sqrt17/2a=c` 

 

`sinalpha=H/c=(sqrt15/2a)/(sqrt17/2a)=sqrt15/sqrt17=(sqrt15*sqrt17)/17=(sqrt255)/17` 

 

Podaj, ile punktów wspólnych ...

`a)` 

`k:y=3` 

`k:0=-y+3` 

`O=(3;-1)=(x_0;y_0)`   

`d-"odległość prostej k od punkt O"` 

`d=|Ax_0+By_0+C|/sqrt(A^2+B^2)`  
`d=|-1*(-1)+3|/sqrt((-1)^2)=4`  

`"Dla"\ r<4\ "prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem."`   

`"Dla"\ r=4\ "prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem."`    

`"Dla"\ r>4\ "prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem."`    

 

`b)` 

`k:x=-1` 

`k:x+1=0` 

`O=(-3/2;4)` 

`d=|1*(-3/2)+1|/sqrt((1)^2)=(1/2)/1=1/2`     

`"Dla"\ r<1/2\ "prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem."`   

`"Dla"\ r=1/2\ "prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem."`     

`"Dla"\ r>1/2\ "prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem."`     

 

`c)` 

`k:x=sqrt2` 

`k:x-sqrt2=0` 

`O=(-1;1)` 

`d=|1*(-1)-sqrt2|/sqrt((1)^2)=1+sqrt2`         

`"Dla"\ r<1+sqrt2\ "prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem."`    

`"Dla"\ r=1+sqrt2\ "prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem."`      

`"Dla"\ r>1+sqrt2\ "prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem."`      

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej

Wartość najmniejsza jest osiągana w wierzchołku, więc W=(2, -3)

 

`W=(2,\ -3)\ \ \ =>\ \ \ f(x)=a(x-2)^2-3`

`A=(4,\ -1)\ \ \ =>\ \ \ f(4)=-1\ \ \ =>\ \ \ a*(4-2)^2-3=-1\ \ |+3\ \ \ =>\ \ \ 4a=2\ \ \ =>\ \ \ a=2/4=1/2`

 

`ul(ul(f(x)=1/2(x-2)^2-3))`

 

Wyznacz kąt α ...

`ul(k inCC` 

 

`a)` 

`tgalpha=1` 

`alpha=pi/4+kpi` 

`alpha in [0^o;360^o]` 

`alpha_1=pi/4` 

`alpha_2=5/4pi` 

`cos(pi/4)=sqrt2/2>0` 

`cos(5/4pi)=cos(pi+pi/4)=-cos(pi/4)=-sqrt2/2<0` 

`ul(alpha=5/4pi=225^o` 

 

`b)` 

`ctgalpha=-1` 

`ctg(-alpha)=1` 

`-alpha=pi/4+kpi` ` <br> `

`alpha=-pi/4+kpi` 

`alphain[0^o;360^o]` 

`alpha_1=3/4pi`  

`alpha_2=7/4pi` 

`cos(alpha_1)=cos(3/4pi)=cos(pi-pi/4)=-cos(pi/4)=-sqrt2/2<0` 

`cos(alpha_2)=cos(7/4pi)=cos(2pi-pi/4)=cos(pi/4)=sqrt2/2>0` 

`ul(alpha=7/4pi=315^o` 

 

`c)` 

`sinalpha=sqrt2/2` 

`alpha=pi/4+2kpi\ \ \vee\ \ \alpha=pi-pi/4+2kpi` 

`alpha in [0^o;360^o]` 

`alpha_1=pi/4` 

`alpha_2=3/4pi` 

`cosalpha_1=sqrt2/2>0` 

`cosalpha_2=cos(3/4pi)=cos(pi-pi/4)=-cos(pi/4)=-sqrt2/2<0` 

`ul(alpha=3/4pi=135^o` 

 

`d)` 

`cosalpha=sqrt2/2` 

`alpha=pi/4+2kpi\ \ \vee\ \ \alpha=2pi-pi/4+2kpi=-pi/4+2kpi` 

`alpha in [0^o;360^o]` 

`alpha_1=pi/4` 

`alpha_2=7/4pi` 

`sinalpha_1=sqrt2/2>0` 

`sinalpha_2=sin(7/4pi)=sin(2pi-pi/4)=-sin(pi/4)=-sqrt2/2<0` 

`ul(alpha=7/4pi=315^o` 

 

`e)` 

`sinalpha=1/2`  

`alpha=pi/6+2kpi\ \ \vee\ \ \alpha=pi-pi/6+2kpi=5/6pi+2kpi` 

`alpha in [0^o;360^o]` 

`alpha_1=pi/6` 

`alpha_2=5/6pi` 

`tgalpha_1=tg(pi/6)=sqrt3/3>0` 

`tgalpha_2=tg(5/6pi)=tg(-pi+5/6pi)=tg(-pi/6)=-tg(pi/6)=-sqrt3/3<0` 

`ul(alpha=5/6pi=150^o`  

 

`f)` 

`sinalpha=-sqrt3/2` 

`sin(pi+alpha)=sqrt3/2` 

`pi+alpha=pi/3+2kpi\ \ \vee\ \ \pi+alpha=pi-pi/3+2kpi` 

`alpha=-2/3pi+2kpi\ \ \vee\ \ \alpha=-pi/3+2kpi` 

`alpha in [0^o;360^o]` 

`alpha_1=4/3pi` 

`alpha_2=5/3pi` 

`ctgalpha_1=ctg(4/3pi)=ctg(-pi+4/3pi)=ctg(pi/3)=sqrt3/3>0` 

`ctgalpha_2=ctg(5/3pi)=ctg(-2pi+5/3pi)=ctg(-pi/3)=-ctg(pi/3)=-sqrt3/3<0` 

`ul(alpha=4/3pi=240^o`