Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych

Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $(a_n)$.
$N$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$S_0 = a_0$
$S_1 = a_0 + a_1$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $sum_1^{∞} a_i$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $S$ i jest ona równa $lim↙{n → ∞} S_n$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $q$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$a_n = ({1}/{2})^n$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$
$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$
$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$
$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$S_0 = 1$
$S_1 = 1 + {1}/{2}$
$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$
$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$
$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $q$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $S = a{1-q^n}/{1-q}$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $|q|$ < $1$, to oczywiście $lim↙{n → ∞} q^n = 0$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $q$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $q^n$ i otrzymujemy:

$S = {1}/{1-q}$

Nasz przykładowy ciąg $a_n$ ma więc sumę równą:
$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest sześciokąt foremny...
       
       
       
       
       

 


Zauważmy, że:

 

 

 


Obliczenia dla pierwszego wiersza:

 

 

 


Obliczenia dla drugiego wiersza:

 

 

 


Obliczenia dla trzeciego wiersza:

 

 

 

 

 

 


Obliczenia dla czwartego wiersza:

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla jakich argumentów funkcja ...

Funkcja  przyjmuje wartości ujemne dla argumentów spełniających nierówność:

 

 

Znajdujemy pierwiastki wielomianu i ustalamy ich krotności.{premium}

 

Szkicujemy wykres zmiany znaku wartości funkcji (zaczynamy z prawej strony pod osią , bo współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny).



Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności:

 

Oblicz: ...

a)  

 

 

 

 {premium}


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 


b)

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 


 

 

 


 

 

 


c)

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


d)

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) przez wielomian P(x). Zapisz...

 


{premium}


Zatem:

 

 



 



Zatem:

 

 



 



Zatem:

 

 



 



Zatem:

 

 

Wyznacz współczynniki b i c ...

Jeśli równanie kwadratowe ax2+bx+c=0, (a≠0) ma dwa rozwiązania x1, x2, to: {premium}

 

 


Suma miejsc zerowych funkcji f jest równa 9, a ich iloczyn jest równy 14. Możemy więc zapisać:

 

Korzystając ze wzorów Viete'a, otrzymujemy:

 

 

Na płaszczyźnie dane są...

a) Trzy proste przecinające się w jednym punkcie:

{premium}

 

Możemy dorysować czwartą prostą przechodzącą przez punkt przecięcia:

Jeden punkt przecięcia

 

Możemy też poprowadzić prostą, równoległą do którejś z pozostałych prostych. Wtedy:

Dwa punkty przecięcia

 

Możemy też poprowadzić prostą, która przetnie każdą z naszych prostych:

Odpowiedź: Może istnieć jeden, dwa lub trzy punkty przecięcia.

 

b) Trzy proste równoległe

 

Możemy dorysować czwartą prostą, która jest do nich równoległa:

0 punktów przecięcia

 

Możemy również poprowadzić prostą, która nie jest równoległa:

Trzy punkty przecięcia

 

Odpowiedź: Mogą istnieć trzy punkty przecięcia lub żaden.

 

c) Proste z których dwie są równoległe:

 

Możemy dorysować prostą, równoległą do pozostałych dwóch:

Jeden punkt przecięcia

 

Możemy dorysować prostą, równoległą do prostej przecinającej dwie proste równoległe:

Dwa punkty przecięcia

 

Możemy również dorysować prostą, która nie jest równoległą z żadną prostą w taki sposób, że:

Trzy punkty przecięcia

 

Odpowiedź: Może istnieć jeden, dwa lub trzy punkty przecięcia.

Pole trójkąta jest równe 20...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

{premium}


Mamy dane:

 


Pole trójkąta ABC możemy obliczyć następująco:

 

lub następująco:

 


Powyższe wzory opisują pole tego samego trójkąta. Zatem:

 

 


Skorzystamy z jeszcze jednego wzoru na pole trójkąta (z sinusem) i wyznaczymy długość boku a:

 

 

 

 

 

 

 


Obliczamy długość boku b:

 


Odp. Boki przy kącie rozwartym mają długość 8 cm i 10 cm.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej ...

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oraz

 

 

 

 

Wzór funkcji w postaci ogólnej:

 

Przypadek I.

 

Wtedy mamy:

 

Wiemy, że do wykresu funkcji należy punkt (4, 3), zatem:

 

 

 

Zatem:

 

 

Wzór szukanej funkcji:

 

 

Przypadek II.

 

Wtedy mamy:

 

Wiemy, że do wykresu funkcji należy punkt (4, 3), zatem:

 

 

 

 

Sprzeczność, ponieważ a nie jest współczynnikiem całkowitym.

Trzy różne punkty wyznaczają na tym okręgu

Przekątna prostokąta ma długość 10 ...

Rysunek pomocniczy:

{premium}

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

Zatem boki tego prostokąta są równe 6 i 8 lub 8 i 6.