Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Jak już wspomnieliśmy, każdy wielomian można rozłożyć na "czynniki pierwsze": wielomiany pierwszego lub drugiego stopnia. W tym temacie nauczymy się to robić.

1) Pierwszą metodą, jaką można zastosować, jest zauważenie jakiegoś wzoru skróconego mnożenia (przypominam, że poznaliśmy już wzory na różnicę drugich potęg: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$, sumę i różnicę trzecich potęg: odpowiednio $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ oraz $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, a także rozwinięcia drugich i trzecich potęg sum: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$, $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b +3ab^2 - b^3$.

Przykład takiego rozwiązania: rozłożyć na czynniki wielomian $27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$. Zauważamy, że jest to tak naprawdę różnica $(3x-2)^3$. Jak na to wpaść? Cóż, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba po prostu zrobić sporo zadań, żeby się w tym wyćwiczyć. Istnieją jednak przesłanki, że odnajdziemy tutaj taki wzór. Po pierwsze: pierwszy i ostatni składnik są sześcianami pewnych liczb. Po drugie: drugi i trzeci dzielą się przez trzy. Minusy także są ułożone odpowiednio.

Inny - łatwiejszy tym razem przykład - to $100x^2-20x+4$. Rozwiązaniem jest oczywiście $(10x-2)^2$. Dlaczego? Tutaj przesłanki są już jaśniejsze: pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a dodatkowo środkowy dzieli się przez 2.


2) Drugim sposobem na rozkładanie wielomianu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Kluczowym w tej metodzie jest odpowiednie pogrupowanie wyrażeń (czasami nawet rozbicie niektórych), tak, aby w ogóle dostrzec ten wspólny czynnik.

Przykład: rozłożyć na czynniki wielomian $x^3-2x^2 + 5x -10$. Widzimy, że możemy to zapisać jako $x^2(x-2) + 5(x-2)$. Teraz oczywistym jest już wyłączenie wspólnego czynnika $(x-2)$ przed nawias: w efekcie otrzymujemy $(x-2)(x^2+5)$, co jest już nierozkładalne (ponieważ wielomianu liniowego nie da się już rozłożyć, a wielomian kwadratowy, aby móc go rozłożyć, musi mieć pierwiastek: ten go nie mia).

Dużo trudniejsze jest jednak na przykład rozbicie wielomianu $x^3-x^2-x-15$. Aby to zrobić, trzeba zauważyć, że $x^2$ możemy rozbić na $-3x^2 +2x^2$ a $-x$ na $-6x + 5x$. Wtedy otrzymujemy $x^3-3x^2 + 2x^2-6x + 5x -15$, widzimy, że z każdych dwóch następujących po sobie wyrazów możemy wyłączyć $(x-3)$, i w efekcie otrzymujemy $(x-3)x^2 + (x-3)2x + (x-3)5 = (x-3)(x^2+2x+5)$, co jest już nierozkładalne. Jak można było na to wpaść? Nie ma jednej odpowiedzi. Trzeba po prostu sporo trenować. Na pocieszenie dodam jednak, że przykład takiej trudności raczej nie pojawiłby się na maturze - chociaż, kto wie, zawsze lepiej umieć więcej niż mniej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór

Długości boków powinny być wyrażone liczbą dodatnią. 

 

 

 

{premium}

 

Pani Anna ma torebki w trzech kolorach ...

a)

Ilość czerwonych torebek: 3

Ilość czerwonych par butów: 2

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru czerwonej torebki i czerwonej pary butów: 3٠2=6 {premium}

 

Ilość białych torebek: 4

Ilość białych par butów: 3

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru białej torebki i białej pary butów: 4٠3=12

 

Ilość czarnych torebek: 6

Ilość czarnych par butów: 5

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru czarnej torebki i czarnej pary butów: 6٠5=30

 

Ilość interesujących nas możliwości: 6+12+30=48

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 48 sposobów.


b)

Ilość białych lub czerwonych torebek: 3+4=7

Ilość wszystkich par butów: 2+3+5=10

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru białej lub czerwonej torebki i dowolnego koloru butów: 7٠10=70

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 70 sposobów.


c)

Ilość czarnych torebek: 6

Ilość wszystkich par butów: 10

Ilość możliwości wyboru czarnej torebki i dowolnego koloru butów: 6٠10=60

 

Ilość czerwonych lub białych torebek (czarne torebki uwzględniliśmy wyżej): 3+4=7

Ilość czarnych par butów: 5

Ilość możliwości wyboru czerwonej lub białej torebki i czarnych butów: 7٠5=35

 

Ilość interesujących nas możliwości: 60+35=95

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 95 sposobów.

 

Oblicz wartości pozostałych funkcji ...

 

  

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych można

 

 

 

{premium}

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

Największą liczbą całkowitą

  

  

Największa liczba całkowita mniejsza od powyższej to -2, więc prawidłowa jest odpowiedź C. 

   

W pewnej klasie jest

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Rozwiąż równanie.

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

      

 

 

Skorzystamy z faktu, że:

 

zatem

 

wracając do naszego równania:

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

W trójkącie prostokątnym ABC wysokość CD

 

Liczba ...

Upraszczamy wyrażenia: {premium}

 

 


Liczba  jest mniejsza od liczby . Sprawdzamy, ile razy.

 


Odpowiedź: B

Oblicz granicę ciągu określonego...

a) 

 

 

 

 

 

 


b) 

 

 

 

 

 

 


c)