Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Jak już wspomnieliśmy, każdy wielomian można rozłożyć na "czynniki pierwsze": wielomiany pierwszego lub drugiego stopnia. W tym temacie nauczymy się to robić.

1) Pierwszą metodą, jaką można zastosować, jest zauważenie jakiegoś wzoru skróconego mnożenia (przypominam, że poznaliśmy już wzory na różnicę drugich potęg: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$, sumę i różnicę trzecich potęg: odpowiednio $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ oraz $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, a także rozwinięcia drugich i trzecich potęg sum: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$, $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b +3ab^2 - b^3$.

Przykład takiego rozwiązania: rozłożyć na czynniki wielomian $27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$. Zauważamy, że jest to tak naprawdę różnica $(3x-2)^3$. Jak na to wpaść? Cóż, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba po prostu zrobić sporo zadań, żeby się w tym wyćwiczyć. Istnieją jednak przesłanki, że odnajdziemy tutaj taki wzór. Po pierwsze: pierwszy i ostatni składnik są sześcianami pewnych liczb. Po drugie: drugi i trzeci dzielą się przez trzy. Minusy także są ułożone odpowiednio.

Inny - łatwiejszy tym razem przykład - to $100x^2-20x+4$. Rozwiązaniem jest oczywiście $(10x-2)^2$. Dlaczego? Tutaj przesłanki są już jaśniejsze: pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a dodatkowo środkowy dzieli się przez 2.


2) Drugim sposobem na rozkładanie wielomianu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Kluczowym w tej metodzie jest odpowiednie pogrupowanie wyrażeń (czasami nawet rozbicie niektórych), tak, aby w ogóle dostrzec ten wspólny czynnik.

Przykład: rozłożyć na czynniki wielomian $x^3-2x^2 + 5x -10$. Widzimy, że możemy to zapisać jako $x^2(x-2) + 5(x-2)$. Teraz oczywistym jest już wyłączenie wspólnego czynnika $(x-2)$ przed nawias: w efekcie otrzymujemy $(x-2)(x^2+5)$, co jest już nierozkładalne (ponieważ wielomianu liniowego nie da się już rozłożyć, a wielomian kwadratowy, aby móc go rozłożyć, musi mieć pierwiastek: ten go nie mia).

Dużo trudniejsze jest jednak na przykład rozbicie wielomianu $x^3-x^2-x-15$. Aby to zrobić, trzeba zauważyć, że $x^2$ możemy rozbić na $-3x^2 +2x^2$ a $-x$ na $-6x + 5x$. Wtedy otrzymujemy $x^3-3x^2 + 2x^2-6x + 5x -15$, widzimy, że z każdych dwóch następujących po sobie wyrazów możemy wyłączyć $(x-3)$, i w efekcie otrzymujemy $(x-3)x^2 + (x-3)2x + (x-3)5 = (x-3)(x^2+2x+5)$, co jest już nierozkładalne. Jak można było na to wpaść? Nie ma jednej odpowiedzi. Trzeba po prostu sporo trenować. Na pocieszenie dodam jednak, że przykład takiej trudności raczej nie pojawiłby się na maturze - chociaż, kto wie, zawsze lepiej umieć więcej niż mniej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W jakim trójkącie...

a) Wysokość i środkowa zawierają się w dwusiecznej zatem{premium} wysokość dzieli podstawę na połowy a kąt przy wierzchołku, z którego wychodzi wysokość jest podzielony na dwa kąty o takiej samej mierze:

Jest to trójkąt równoramienny.

b) Niech wysokością będzie odcinek CE, odcinek CF będzie zawierał się w dwusiecznej a odcinek CD będzie środkową. Wtedy:

Trójkąt ABC jest różnoboczny.

Dla jakich wartości parametru a...

Wykresem pochodnej funkcji f jest parabola z ramionami skierowanymi ku dołowi. Żeby nie było ekstremum to funkcja opisująca pochodną funkcji f nie może mieć dwóch miejsc zerowych gdyż dojdzie do zmiany znaku pochodnej w każdym, zatem:

 

 

 

{premium}  

 

  

 

 

Wykresem pochodnej funkcji f jest parabola z ramionami skierowanymi ku górze. Żeby nie było ekstremum to funkcja opisująca pochodną funkcji f nie może mieć dwóch miejsc zerowych gdyż dojdzie do zmiany znaku pochodnej w każdym, zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 

Prostokątna działka na planie ...

 

  

 

{premium}

 

  

  

    

Podaj przybliżenia liczb 5^(sqrt3) i 5^(sqrt5)

 

{premium}

   

 

Napisz równanie prostej, której wykres jest podany na poniższych rysunkach

Nie jest to wykres funkcji, ponieważ dla argumentu x=-3 jest przyjmowane nieskończenie wiele wartości.

 

{premium}

Jest to wykres funkcji, dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość, ta wartość to 2. 

 

 

Podstawiamy w miejsce x i y współrzędne punktów, które należą do wykresu funkcji, np. (-2, 0) i (0, 3):

Jest to wykres funkcji - dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość. 

W rozwinięciu wyrażenia...

Skorzystamy ze wzoru na sześcian sumy:{premium}

 

Współczynnik przy xy2:

 

wynosi

 

Odpowiedź C

Zapisz liczbę w postaci potęgi o podstawie 5

{premium}

Wyznacz pierwiastki wielomianu przedstawionego w postaci iloczynu.

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  {premium}


 

 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  


 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  


 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  

Które z podanych liczb są ...

 

 

Liczba  jest liczbą naturalną, ma  cyfry. {premium}


 

 

Liczba  nie jest liczbą naturalną, ma  cyfr po przecinku.


 

 

 

 

 

Liczba  jest liczbą naturalną, ma  cyfr.


 

 

 

 

Liczba  nie jest liczbą naturalną, ma  cyfr przed przecinkiem i  cyfr po przecinku.


 

 

 

 

Liczba  jest liczbą naturalną, ma  cyfr.


 

 

 

Liczba  nie jest liczbą naturalną, ma  cyfr przed przecinkiem i  cyfr po przecinku.

Dla jakich wartości parametru m każde z dwóch...

 

Sprawdźmy najpierw, dla jakich wartości parametru  równanie ma dwa różne rozwiązania.

Będzie tak, gdy:  

Obliczamy:

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

{premium}

 

Chcemy, aby każde z rozwiązań było mniejsze od  czyli:

 

Co jest równoważne:

 

Z wzorów Viete'a mamy:

  

 

 

 

 

 

Po dołączeniu warunku na  otrzymujemy:

 

 

Odp.