Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Jak już wspomnieliśmy, każdy wielomian można rozłożyć na "czynniki pierwsze": wielomiany pierwszego lub drugiego stopnia. W tym temacie nauczymy się to robić.

1) Pierwszą metodą, jaką można zastosować, jest zauważenie jakiegoś wzoru skróconego mnożenia (przypominam, że poznaliśmy już wzory na różnicę drugich potęg: $$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$$, sumę i różnicę trzecich potęg: odpowiednio $$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$ oraz $$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$, a także rozwinięcia drugich i trzecich potęg sum: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$, $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$, $$(a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$$, $$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b +3ab^2 - b^3$$.

Przykład takiego rozwiązania: rozłożyć na czynniki wielomian $$27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$$. Zauważamy, że jest to tak naprawdę różnica $$(3x-2)^3$$. Jak na to wpaść? Cóż, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba po prostu zrobić sporo zadań, żeby się w tym wyćwiczyć. Istnieją jednak przesłanki, że odnajdziemy tutaj taki wzór. Po pierwsze: pierwszy i ostatni składnik są sześcianami pewnych liczb. Po drugie: drugi i trzeci dzielą się przez trzy. Minusy także są ułożone odpowiednio.

Inny - łatwiejszy tym razem przykład - to $$100x^2-20x+4$$. Rozwiązaniem jest oczywiście $$(10x-2)^2$$. Dlaczego? Tutaj przesłanki są już jaśniejsze: pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a dodatkowo środkowy dzieli się przez 2.


2) Drugim sposobem na rozkładanie wielomianu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Kluczowym w tej metodzie jest odpowiednie pogrupowanie wyrażeń (czasami nawet rozbicie niektórych), tak, aby w ogóle dostrzec ten wspólny czynnik.

Przykład: rozłożyć na czynniki wielomian $$x^3-2x^2 + 5x -10$$. Widzimy, że możemy to zapisać jako $$x^2(x-2) + 5(x-2)$$. Teraz oczywistym jest już wyłączenie wspólnego czynnika $$(x-2)$$ przed nawias: w efekcie otrzymujemy $$(x-2)(x^2+5)$$, co jest już nierozkładalne (ponieważ wielomianu liniowego nie da się już rozłożyć, a wielomian kwadratowy, aby móc go rozłożyć, musi mieć pierwiastek: ten go nie mia).

Dużo trudniejsze jest jednak na przykład rozbicie wielomianu $$x^3-x^2-x-15$$. Aby to zrobić, trzeba zauważyć, że $$x^2$$ możemy rozbić na $$-3x^2 +2x^2$$ a $$-x$$ na $$-6x + 5x$$. Wtedy otrzymujemy $$x^3-3x^2 + 2x^2-6x + 5x -15$$, widzimy, że z każdych dwóch następujących po sobie wyrazów możemy wyłączyć $$(x-3)$$, i w efekcie otrzymujemy $$(x-3)x^2 + (x-3)2x + (x-3)5 = (x-3)(x^2+2x+5)$$, co jest już nierozkładalne. Jak można było na to wpaść? Nie ma jednej odpowiedzi. Trzeba po prostu sporo trenować. Na pocieszenie dodam jednak, że przykład takiej trudności raczej nie pojawiłby się na maturze - chociaż, kto wie, zawsze lepiej umieć więcej niż mniej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ciąg jest określony wzorem...

`a_n=5(n-4)(n-8)` 

 

`a_4=5(4-4)(4-8)` 

`a_4=0` 

 

`a_2=5(2-4)(2-8)` 

`a_2=5*(-2)*(-6)` 

`a_2=60` 

 

`a_1=5(1-4)(1-8)` 

`a_1=5*(-3)*(-7)` 

`a_1=105` 

 

`a_6=5*(6-4)(6-8)` 

`a_6=5*2*(-2)` 

`a_6=-20` 

 

Odp. D

Odpowiednie przekątne rombu ...

`P_r-"pole rombu"` 

`P_d-"pole deltoidu"` 

`e,f-"przekątne rombu i deltoidu"`  

 

`f>=e` 

`P_r=(ef)/2` 

`P_d=1/2e*x+1/2e*(f-x)=(ef)/2` 

`P_r=P_d` 

 

`"Odpowiedź B."` 

Jedna z podstaw trapezu jest średnicą ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczaenia, jak na rysunku.

Wiemy, że:

`|CE|=2` 

oraz

`|/_BAC|=30^@` 

Trójkąt AEC jest trójkątem prostokątnym (odcinek CE jest wysokością trapezu ABCD, więc jest poprowadzony na podstawę AB pod kątem postym).

Miara drugiego kąta ostrego ACE wynosi:

`|/_ACE|=180^@-90^@-30^@=60^@` 

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90o, 60o i 30o otrzymujemy:

`|AE|=|CE|sqrt3` 

`|AE|=2sqrt3` 

 

Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, gdyż przeciwprostokątna tego trójkąta jest średnicą okręgu (pokrywa się z podstawą trapezu).

Wyznaczamy miarę kąta ECB:

`|/_ECB|=90^@-|/_ACE|=90^@-60^@=30^@` 

Trójkąt ABC także jest trójketem prostokątnym o miarach kątów wynoszących  90o, 60o i 30o.

Ponownie korzystając z zależności boków w takim trójkącie otrzymujemy:

`|CE|=|EB|sqrt3` 

`2=|EB|sqrt3\ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`|EB|=2/sqrt3\ stackrel("usuwamy niewymierność")=\ 2/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(2sqrt3)/3` 

 

 

Wyznaczamy długość boku AB:

`|AB|=|AE|+|EB|=2sqrt3+(2sqrt3)/3=2 2/3sqrt3=8/3sqrt3` 

Odcinek AB jest średnicą okregu opisanego na trapezie ABCD.

Połowa średnicy jest promieniem okręgu, stąd:

`|OA|=|OB|=1/strike2^1*strike8^4/3sqrt3=ul(ul(4/3sqrt3))` 

Naszkicuj wykres funkcji. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji.

a) Naszkicujmy wykres funkcji:

`y = 3^x` 

 

Przesuńmy wykres funkcji o 1 jednostkę w dół, powstanie nam wtedy wykres funkcji:

`y = 3^x` 

 

Wszystko poniżej osi x odbijmy symetrycznie względem tej osi, powstanie nam wtedy wykres funkcji:

`y = |3^x-1|` 

Funkcja malejąca:

`f(x) searr \ "Dla" \ x in (-oo, 0]` 

Funkcja rosnąca:

`f(x) nearr \ "Dla" \ x in [0, oo)` 

 

b) Naszkicujmy wykres funkcji

`y = 2^x`  

Przesuńmy wykres funkcji o 2 jednostki w dół, powstanie nam wtedy wykres funkcji:

`y =2^x - 2` 

Wszystko poniżej osi x odbijmy symetrycznie względem tej osi, powstanie nam wtedy wykres funkcji:

`y = |2^x -2|` 

Funkcja malejąca:

`f(x) searr \ "Dla" \ x in (-oo, 1]` 

Funkcja rosnąca:

`f(x) nearr \ "Dla" \ x in [1, oo)` 

 

c) Naszkicujmy wykres funkcji:

`y = (1/2)^x` 

Przesuńmy wykres funkcji o 1 jednostkę w dół, powstanie nam wtedy wykres funkcji:

`y = (1/2)^x - 1` 

Wszystko poniżej osi x odbijmy symetrycznie względem tej osi, powstanie nam wtedy wykres funkcji:

`y = |(1/2)^x - 1|` 

Odbijmy wykres symetrycznie względem osi x, powstanie nam wtedy wykres funkcji:

`y = -|(1/2)^x -1|` 

Funkcja rosnąca:

`f(x) nearr \ "Dla" \ x in (-oo, 0]` 

Funkcja malejąca:

`f(x) searr \ "Dla" \ x in [0, oo)` 

Rozwiąż graficznie i algebraicznie ...

`a)` 

`6/(x-2)>=1` 

`D=RR\\{2}` 

 

`6/(x-2)-1>=0`   

`(6-x+2)/(x-2)>=0` 

`(-x+8)(x-2)>=0` 

`x_1=8` 

`x_2=2` 

`ul(x in(2;8]` 

Do zbioru rozwiązań nierówności należy sześć liczb naturalnych.

 

`b)` 

`3/(x-4)<=-1` 

`D=RR\\{4}` 

 

`3/(x-4)+(x-4)/(x-4)<=0` 

`(x-1)/(x-4)<=0` 

`(x-1)(x-4)<=0` 

`x_1=1` 

`x_2=4` 

`ul(x in [1;4)`                

Do zbioru rozwiązań nierówności należą 3 liczby naturalne.

 

`c)` 

`8/(x-3)<=-1` 

`D=RR\\{3}` 

 

`8/(x-3)+(x-3)/(x-3)<=0` 

`(8+x-3)/(x-3)<=0` 

`(x+5)/(x-3)<=0` 

`(x+5)(x-3)<=0` 

`x_1=-5` 

`x_2=3` 

`ul (x in [-5;3)`            

Do zbioru rozwiązań nierówności należą 3 liczby naturalne.

 

`d)` 

`(9-x)/x>=2` 

`D=RR\\{0}` 

 

`(9-x-2x)/x>=0` 

`(-3x+9)x>=0` 

`x_1=3` 

`x_2=0` 

`ul( x in (0;3]`        

Do zbioru rozwiązań nierówności należą 3 liczby naturalne.

 

`e)` 

`(2x)/(x+4)>1` 

`D=RR\\{-4}` 

 

`(2x)/(x+4)-(x+4)/(x+4)>0`  

`(x-4)(x+4)>0` 

`x_1=4` 

`x_2=-4` 

`ul(x in (-oo;-4)cup(4;+oo)`           

Do zbioru rozwiązań nierówności należy nieskończenie wiele liczb naturalnych.

 

`f)` 

`(x+3)/(x-4)<=0` 

`D=RR\\{4}` 

 

`(x+3)(x-4)<=0` 

`x_1=-3` 

`x_2=4` 

`ul(x in [-3;4)` 

Do zbioru rozwiązań nierówności należą cztery liczby naturalne.       

Podaj dziedzinę funkcji f

Nie wolno dzielić przez 0, więc musimy zadbać o to, aby w mianowniku na pewno nie było 0. 

 

`a)`

`x-1ne0\ \ \ |+1`

`xne1`

 

`D=RR\\{1}`

 

 

`b)`

`x+2ne0\ \ \ |-2`

`xne-2`

 

`D=RR\\{-2}`

 

 

`c)`

`3x-1ne0\ \ \ \ |+1`

`3xne1\ \ \ \ |:3`

`xne1/3`

 

`D=RR\\{1/3}`

 

 

`d)`

`2x+5ne0\ \ \ \|-5`

`2xne-5\ \ \ \ |:2`

`xne-5/2`

 

`D=RR\\{-5/2}`

 

 

Przekątne prostokąta przecinają...

a)

Zauważmy, że `|OC|=|OB|=r` , więc trójkąt `OBC` jest równoboczny

`r=|OC|=6` 

`P_o=pir^2=36pi ["cm"^2]` 


b)

Zauważmy, że `|OC|=|OB|=r` , więc trójkąt `OBC` jest równoboczny

Skoro `|/_ACB|=60^o` to trójkąt `ABC` jest trójkątem charakterystycznym o kątach `30^o, 60^o, 90^o` 

`|BC|=a, \ \ |AC|=2a, \ \ |AB|=asqrt3` 

`asqrt3=6` 

`a=6/sqrt3=(6sqrt3)/3=2sqrt3` 

`|AC|=2a=2*2sqrt3=4sqrt3` 

`r=1/2a=1/2*4sqrt3=2sqrt3` 

 

`P_o=pir^2=(2sqrt3)^2pi=12pi ["cm"^2]` 

Suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 8 ...

`x,y,z in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}` 

`x ne 0` 

 

`(100x+10y+z)- "pewna liczba trzycyfrowa"` 

 

`x+y+z=8` 

`x^2+y^2+z^2=30` 

`100z+10y+x=100x+10y+z+396 \ implies \ 99z-99x=396` 

 

`99z- 99x=396 \ implies \ z-x=4` 

 

`z-x=4` 

`x+y+z=8` 

`x^2+y^2+z^2=30` 

 

`z=4+x` 

`y=8-z-x=8-(4+x)-x=4-2x` 

 

`x^2+y^2+z^2-30=0` 

`x^2+(4-2x)^2+(4+x)^2-30=0` 

`x^2+16-16x+4x^2+16+8x+x^2-30=0` 

`6x^2-8x+2=0` 

`3x^2-4x+1=0` 

 

`Delta=16-12=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

 

`x_1=(4-2)/6=1/3` 

`"Otrzymany x nie jest cyfrą. Tego rozwiązania nie bierzemy pod uwagę."` 

 

`x_2=(4+2)/6=1`   

`y=4-2x=4-2=2` 

`z=4+x=5` 

 

`100x+10y+z=125` 

 

`"Szukana liczba to 125."`   

 

 

Dane są dwa graniastosłupy

`ul(ul("graniastosłup prawidłowy trójkątny"))` 

Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa, korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:

`P_p=(4^2sqrt3)/4=(16sqrt3)/4=4sqrt3\ [cm^2]` 

 

Na pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa składa się pole trzech prostokątów o wymiarach 4 cm x 10 cm:

`P_b=3*4*10=120\ [cm^2]` 

 

Na pole powierzchni całkowitej składa się pole dwóch jednakowych podstaw oraz pole powierzchni bocznej:

`P_c=2*4sqrt3+120=8sqrt3+120\ [cm^2]` 

 

 

`ul(ul("graniastosłup prawidłowy sześciokątny"))` 

Podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. Każdy sześciokąt foremny o boku a można podzielić na 6 jednakowych trójkątów równobocznych o boku a:

 

 

Możemy więc obliczyć pole podstawy graniastosłupa, jako pole 6 trójkątów równobocznych o boku 2 cm:

`P_p=6*(2^2sqrt3)/4=6*(4sqrt3)/4=6sqrt3\ [cm^2]` 

 

Pole powierzchni bocznej to pole 6 prostokątów o wymiarach 2 cm x 15 cm:

`P_b=6*2*15=180\ [cm^2]` 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=2*6sqrt3+180=12sqrt3+180\ [cm^2]` 

 

Jeśli pole powierzchni całkowitej jednego z tych graniastosłupów ma być o 50% większe od pola powierzchni całkowitej drugiego graniastosłupa, to pole powierzchni jednego z tych graniastosłupów ma stanowić 150% pola powierzchni drugiego graniastosłupa. Sprawdźmy więc:

`150%*(8sqrt3+120)#=^?12sqrt3+180` 

`1,5*(8sqrt3+120)#=^?12sqrt3+180` 

`12sqrt3+180#=^?12sqrt3+180` 

Równość jest prawdziwa. 

 

 

Można było także obliczyć, o ile procent pole powierzchni całkowitej graniastosłupa sześciokątnego jest większe od pola powierzchni całkowitej graniastosłupa trójkątnego. Musimy więc obliczyć, jakim procentem pola powierzchni graniastosłupa trójkątnego jest różnica pól:

`(12sqrt3+180-(8sqrt3+120))/(8sqrt3+120)=(12sqrt3+180-8sqrt3-120)/(8sqrt3+120)=(4sqrt3+60)/(8sqrt3+120)=(4sqrt3+60)/(2*(4sqrt3+60))=1/2=50/100=50%` 

Okrąg o promieniu...

Oznaczmy drugi koniec cięciwy przez X, punkt ma współrzędne:

`X = (x_0 , 0)` 

 

Długość cięciwy wynosi 4:

`|AX| = sqrt((x-x_A)^2+(0-y_A)^2)` 

`4 = sqrt((x-5)^2)` 

`4 = |x-5|` 

`x-5 = 4 \ \ vv \ \ x-5 = -4` 

`x = 9 \ \ vv \ \ x = 1` 

 

A więc:

`X = (9, 0) \ \ vv \ \ X=(1,0)` 

 

Środek okręgu będzie się zawierał w prostej prostopadłej do osi OX, przechodzącej przez punkt X.

`S_("AX") = ((9+5)/2 ,0) = (7 , 0) \ \ \ vv \ \ \ S_("AX") = ((1+5)/2 ,0) = (3 , 0)` 

Zatem prosta zawierająca środek okręgu jest dana równaniem:

`x_1 = 7  \ \ \ vv \ \ \ x_2 = 3` 

 

A więc środek okręgu ma współrzędne:

`S = (7, y) \ \ \ vv \ \ \ S = (3, y)` 

 

Promień ma wynosić `2sqrt2` 

`|AS| = 2sqrt2 \ \ \ vv \ \ \ |AS| = 2sqrt2` 

`|AS|^2 = 8 \ \ \ vv \ \ \ |AS|^2 = 8` 

`(7-5)^2 +y^2 = 8 \ \ \ vv \ \ \ (3-5)^2+y^2 = 8` 

`4 + y^2 = 8 \ \ \ vv \ \ \ 4 + y^2 = 8` 

`y^2 = 4` 

`y = 2 \ \ vv \ \ y = -2` 

 

a więc możliwymi współrzędnymi środka okręgu są:

`(7 , 2) \ \ "lub" \ \ (7 , -2 ) \ \ "lub" \ \ (3 , 2) \ \ "lub" \ \ (3 , -2)`