Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Jak już wspomnieliśmy, każdy wielomian można rozłożyć na "czynniki pierwsze": wielomiany pierwszego lub drugiego stopnia. W tym temacie nauczymy się to robić.

1) Pierwszą metodą, jaką można zastosować, jest zauważenie jakiegoś wzoru skróconego mnożenia (przypominam, że poznaliśmy już wzory na różnicę drugich potęg: $$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$$, sumę i różnicę trzecich potęg: odpowiednio $$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$ oraz $$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$, a także rozwinięcia drugich i trzecich potęg sum: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$, $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$, $$(a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$$, $$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b +3ab^2 - b^3$$.

Przykład takiego rozwiązania: rozłożyć na czynniki wielomian $$27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$$. Zauważamy, że jest to tak naprawdę różnica $$(3x-2)^3$$. Jak na to wpaść? Cóż, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba po prostu zrobić sporo zadań, żeby się w tym wyćwiczyć. Istnieją jednak przesłanki, że odnajdziemy tutaj taki wzór. Po pierwsze: pierwszy i ostatni składnik są sześcianami pewnych liczb. Po drugie: drugi i trzeci dzielą się przez trzy. Minusy także są ułożone odpowiednio.

Inny - łatwiejszy tym razem przykład - to $$100x^2-20x+4$$. Rozwiązaniem jest oczywiście $$(10x-2)^2$$. Dlaczego? Tutaj przesłanki są już jaśniejsze: pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a dodatkowo środkowy dzieli się przez 2.


2) Drugim sposobem na rozkładanie wielomianu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Kluczowym w tej metodzie jest odpowiednie pogrupowanie wyrażeń (czasami nawet rozbicie niektórych), tak, aby w ogóle dostrzec ten wspólny czynnik.

Przykład: rozłożyć na czynniki wielomian $$x^3-2x^2 + 5x -10$$. Widzimy, że możemy to zapisać jako $$x^2(x-2) + 5(x-2)$$. Teraz oczywistym jest już wyłączenie wspólnego czynnika $$(x-2)$$ przed nawias: w efekcie otrzymujemy $$(x-2)(x^2+5)$$, co jest już nierozkładalne (ponieważ wielomianu liniowego nie da się już rozłożyć, a wielomian kwadratowy, aby móc go rozłożyć, musi mieć pierwiastek: ten go nie mia).

Dużo trudniejsze jest jednak na przykład rozbicie wielomianu $$x^3-x^2-x-15$$. Aby to zrobić, trzeba zauważyć, że $$x^2$$ możemy rozbić na $$-3x^2 +2x^2$$ a $$-x$$ na $$-6x + 5x$$. Wtedy otrzymujemy $$x^3-3x^2 + 2x^2-6x + 5x -15$$, widzimy, że z każdych dwóch następujących po sobie wyrazów możemy wyłączyć $$(x-3)$$, i w efekcie otrzymujemy $$(x-3)x^2 + (x-3)2x + (x-3)5 = (x-3)(x^2+2x+5)$$, co jest już nierozkładalne. Jak można było na to wpaść? Nie ma jednej odpowiedzi. Trzeba po prostu sporo trenować. Na pocieszenie dodam jednak, że przykład takiej trudności raczej nie pojawiłby się na maturze - chociaż, kto wie, zawsze lepiej umieć więcej niż mniej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Fundusz emerytalny przewiduje coroczny zysk...

W ciągu pierwszego roku wpłacamy 12 razy po 120 zł zatem po roku na funduszu będzie:

 

Zysk roczny ma wynosić 4%, zatem po roku wraz z dopisaniem odsetek będziemy mieć:

 

 

W kolejnym roku przez 12 miesięcy wpłacamy po 120 zł, zatem:

 {premium}

Dopisujemy odsetki do tej kwoty, czyli po drugim roku będziemy mieć:

 

 

Zauważmy, że:

 

Możemy zatem zauważyć, że po 38 latach będziemy mieć:

 

Jest to suma ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie równym:

 

Obliczmy zatem sumę 38 początkowych wyrazów takiego ciągu geometrycznego:

 

 

Pomijając dopisane miesięcznie odsetki, obliczmy przez ile lat możemy wypłacać z takiego funduszu 1000 zł miesięcznie:

 

Możemy wypłacać przez ponad 128 miesięcy. Policzmy ile to lat:

 

Odpowiedź: Z funduszu będziemy mogli wypłacać 1000 zł przez ponad 10 lat.

Wskaż kąt o największej mierze w trójkącie...

W dowolnym trójkącie naprzeciwko najdłuższego boku znajduje się kąt o największej mierze.

 

 

 

 

 

Naprzeciwko boków AC i BC znajdują się wierzchołki B i A odpowiednio. Zatem największe kąty są przy wierzchołkach A i B.

 

 

 

 

 

Naprzeciwko boku AC znajduje się wierzchołek B. Zatem największy kąt jest przy wierzchołku B.

Oblicz miary kątów trójkąta o bokach...

 

 

 

 

 

Z tablic wartości trygonometrycznych:

 

 

A więc:

 

 

  

 

 

 

Z tablic wartości trygonometrycznych:

 

 

A więc:

 

 

Miara ostatniego kąta to:

 

 

 

 

 

 

Z tablic wartości trygonometrycznych:

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

Z tablic wartości trygonometrycznych:

 

 

a więc:

 

 

Miara ostatniego kąta to:

 

Wykaż, że funkcja f...

a)

 

 

 

 

b)

 

 

 

Podaj przykład dwóch wielomianów ...

   

{premium}

 

 

 

    

 

Dany jest wykres funkcji

W podpunkcie a musimy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

W podpunkcie{premium} b - o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

W podpunkcie c - o 3 jednostki w dół wzdłuż osi OY.

 

Ustal znak wyrażenia ...

  

  

  

 

Zauważmy, że:

 

Cosinus w IV ćwiartce jest dodatni, zatem  

 

 

Sinus w IV ćwiartce jest ujemny:  

 

          

Cotangens w II ćwiartce jest ujemny, zatem  

 

Podsumowując, iloczyn  jest dodatni.   

 

  

  

  

 

Zauważmy, że:

  

Cosinus w I ćwiartce jest dodatni, zatem  

 

 

Sinus w III ćwiartce jest ujemny:  

 

          

Cotangens w I ćwiartce jest dodatni, zatem  

 

Podsumowując, iloczyn  jest ujemny.   

Sporządź odpowiednią tabelę ...

Tabela:

x

-4

-2

-1

-1/2

1/2

1

2

4

y

-1/2

-1

-2

-4

4

2

1

1/2

Wykres:{premium}

 

Tabela:

x

-6

-3

-1

-1/3

1/3

1

3

6

y

-1/2

-1

-3

-9

9

3

1

1/2

Wykres:

Tabela:

x

-8

-4

-2

-1

1

2

4

8

y

-1

-2

-4

-8

8

4

2

1

Wykres:

Oblicz granice:

 

   

Dany jest trapez...

a) rysunek:

Wiemy, że miary kątów przy ramieniu AD muszą dać w sumie 180°:

Czyli

oraz w zadaniu mamy napisane, że:

a więc również:

 

Na podstawie cechy kąt-kąt-kąt stwierdzamy, że trójkąty ABD i BCD są podobne.

 

b) z podobieństwa trójkątów obliczmy stosunki odpowiednich boków w trójkatach leżących na przeciwko odpowiednich kątów:

 

  

Obliczmy skalę podobieństwa:

 

Obliczmy długość boku AB:

 

Obwód trapezu: