Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Jak już wspomnieliśmy, każdy wielomian można rozłożyć na "czynniki pierwsze": wielomiany pierwszego lub drugiego stopnia. W tym temacie nauczymy się to robić.

1) Pierwszą metodą, jaką można zastosować, jest zauważenie jakiegoś wzoru skróconego mnożenia (przypominam, że poznaliśmy już wzory na różnicę drugich potęg: $$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$$, sumę i różnicę trzecich potęg: odpowiednio $$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$ oraz $$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$, a także rozwinięcia drugich i trzecich potęg sum: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$, $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$, $$(a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$$, $$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b +3ab^2 - b^3$$.

Przykład takiego rozwiązania: rozłożyć na czynniki wielomian $$27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$$. Zauważamy, że jest to tak naprawdę różnica $$(3x-2)^3$$. Jak na to wpaść? Cóż, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba po prostu zrobić sporo zadań, żeby się w tym wyćwiczyć. Istnieją jednak przesłanki, że odnajdziemy tutaj taki wzór. Po pierwsze: pierwszy i ostatni składnik są sześcianami pewnych liczb. Po drugie: drugi i trzeci dzielą się przez trzy. Minusy także są ułożone odpowiednio.

Inny - łatwiejszy tym razem przykład - to $$100x^2-20x+4$$. Rozwiązaniem jest oczywiście $$(10x-2)^2$$. Dlaczego? Tutaj przesłanki są już jaśniejsze: pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a dodatkowo środkowy dzieli się przez 2.


2) Drugim sposobem na rozkładanie wielomianu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Kluczowym w tej metodzie jest odpowiednie pogrupowanie wyrażeń (czasami nawet rozbicie niektórych), tak, aby w ogóle dostrzec ten wspólny czynnik.

Przykład: rozłożyć na czynniki wielomian $$x^3-2x^2 + 5x -10$$. Widzimy, że możemy to zapisać jako $$x^2(x-2) + 5(x-2)$$. Teraz oczywistym jest już wyłączenie wspólnego czynnika $$(x-2)$$ przed nawias: w efekcie otrzymujemy $$(x-2)(x^2+5)$$, co jest już nierozkładalne (ponieważ wielomianu liniowego nie da się już rozłożyć, a wielomian kwadratowy, aby móc go rozłożyć, musi mieć pierwiastek: ten go nie mia).

Dużo trudniejsze jest jednak na przykład rozbicie wielomianu $$x^3-x^2-x-15$$. Aby to zrobić, trzeba zauważyć, że $$x^2$$ możemy rozbić na $$-3x^2 +2x^2$$ a $$-x$$ na $$-6x + 5x$$. Wtedy otrzymujemy $$x^3-3x^2 + 2x^2-6x + 5x -15$$, widzimy, że z każdych dwóch następujących po sobie wyrazów możemy wyłączyć $$(x-3)$$, i w efekcie otrzymujemy $$(x-3)x^2 + (x-3)2x + (x-3)5 = (x-3)(x^2+2x+5)$$, co jest już nierozkładalne. Jak można było na to wpaść? Nie ma jednej odpowiedzi. Trzeba po prostu sporo trenować. Na pocieszenie dodam jednak, że przykład takiej trudności raczej nie pojawiłby się na maturze - chociaż, kto wie, zawsze lepiej umieć więcej niż mniej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Uzasadnij, że jeśli czworokąt...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne - promień okręgu opisanego na tym czworokącie

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 


b)

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Jeśli na okręgu można opisać czworokąt to spełniony jest warunek

rownanie matematyczne 

Wobec tego rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

 

 

 

 

 

 

W ciągu opisanym wzorem...

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Odp. C

 

 

Wyznacz równanie stycznej...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Podstawmy pod równanie stycznej:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Podstawmy pod równanie stycznej:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Przekątna graniastosłupa prawidłowego...

Powstaje nam trójkąt:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Znając przekątną kwadratu łatwo obliczyć długość krawędzi:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Z twierdzenia Pitagorasa dla naszego trójkąta możemy obliczyć wysokość graniastosłupa:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Objętość graniastosłupa:

rownanie matematyczne 

Rozwiąż równanie

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

{premium}

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

brak rozwiązań

Naszkicuj wykres funkcji ...

Szkicujemy wykres funkcji:

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

Zbiór wartości funkcji f(x) dla dziedziny D:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Zbiór wartości funkcji f(x) dla dziedziny D:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Zbiór wartości funkcji f(x) dla dziedziny D:

rownanie matematyczne

Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja f jest ciągła?

rownanie matematyczne Aby funkcja była ciągła, musi zachodzić rownanie matematyczne  oraz rownanie matematyczne 

Obliczamy:

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne      

rownanie matematyczne 

Muszą zachodzić równości:

rownanie matematyczne 

Dodajemy równania stronami.

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Odp. Funkcja rownanie matematyczne jest ciągła dla rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne Aby funkcja była ciągła, musi zachodzić rownanie matematyczne  

Obliczamy:

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Z równości rownanie matematyczne dostajemy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

Z równości rownanie matematyczne dostajemy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne     

Odp. Funkcja rownanie matematyczne jest ciągła dla rownanie matematyczne 

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego...

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Objętość ostrosłupa:

rownanie matematyczne 

Odpowiedź A

Długość jednego z boków prostokąta jest równa...

a) I przypadek: Bok długości 8 cm jest bokiem krótszym, wtedy bok dłuższy oznaczmy przez x:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Drugi bok ma długość 16 cm.

 

II przypadek: Bok długości 8 cm jest bokiem dłuższym, wtedy bok krótszy oznaczmy przez y:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Drugi bok ma długość 4 cm.

 

b) Obliczmy obwód prostokąta, którego znamy oba boki:

rownanie matematyczne 

 

Obliczmy skalę podobieństwa:

rownanie matematyczne 

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przekątnej mniejszego prostokąta:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

A więc przekątna większego prostokąta ma długość:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

c) Oznaczmy boki prostokąta P1 przez x, 2x. Wtedy boki prostokąta P2 możemy oznaczyć przez y, 2y. Możemy to zrobić bo skoro prostokąty P1 i P2 są podobne to jeden z boków prostokąta P2 również musi być dwa razy większy od drugiego.

 

Z twierdzenia Pitagorasa dla prostokąta P2 wyliczmy długość jego boków:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Pole prostokąta P2:

rownanie matematyczne 

Wyznacz kąty rombu, jeśli wysokość poprowadzona...

a) Rysunek poglądowy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Zatem:

rownanie matematyczne  

 

b) Rysunek poglądowy:

  • I przypadek:

rownanie matematyczne 

Z tablic wartości trygonometrycznych odczytujemy, że:

rownanie matematyczne 

Zatem:

rownanie matematyczne 

A więc:

rownanie matematyczne 

 

  • II przypadek:

rownanie matematyczne 

Z tablic odczytujemy, że:

rownanie matematyczne 

Zatem:

rownanie matematyczne 

czyli

rownanie matematyczne