Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Jak już wspomnieliśmy, każdy wielomian można rozłożyć na "czynniki pierwsze": wielomiany pierwszego lub drugiego stopnia. W tym temacie nauczymy się to robić.

1) Pierwszą metodą, jaką można zastosować, jest zauważenie jakiegoś wzoru skróconego mnożenia (przypominam, że poznaliśmy już wzory na różnicę drugich potęg: $$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$$, sumę i różnicę trzecich potęg: odpowiednio $$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$ oraz $$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$, a także rozwinięcia drugich i trzecich potęg sum: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$, $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$, $$(a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$$, $$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b +3ab^2 - b^3$$.

Przykład takiego rozwiązania: rozłożyć na czynniki wielomian $$27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$$. Zauważamy, że jest to tak naprawdę różnica $$(3x-2)^3$$. Jak na to wpaść? Cóż, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba po prostu zrobić sporo zadań, żeby się w tym wyćwiczyć. Istnieją jednak przesłanki, że odnajdziemy tutaj taki wzór. Po pierwsze: pierwszy i ostatni składnik są sześcianami pewnych liczb. Po drugie: drugi i trzeci dzielą się przez trzy. Minusy także są ułożone odpowiednio.

Inny - łatwiejszy tym razem przykład - to $$100x^2-20x+4$$. Rozwiązaniem jest oczywiście $$(10x-2)^2$$. Dlaczego? Tutaj przesłanki są już jaśniejsze: pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a dodatkowo środkowy dzieli się przez 2.


2) Drugim sposobem na rozkładanie wielomianu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Kluczowym w tej metodzie jest odpowiednie pogrupowanie wyrażeń (czasami nawet rozbicie niektórych), tak, aby w ogóle dostrzec ten wspólny czynnik.

Przykład: rozłożyć na czynniki wielomian $$x^3-2x^2 + 5x -10$$. Widzimy, że możemy to zapisać jako $$x^2(x-2) + 5(x-2)$$. Teraz oczywistym jest już wyłączenie wspólnego czynnika $$(x-2)$$ przed nawias: w efekcie otrzymujemy $$(x-2)(x^2+5)$$, co jest już nierozkładalne (ponieważ wielomianu liniowego nie da się już rozłożyć, a wielomian kwadratowy, aby móc go rozłożyć, musi mieć pierwiastek: ten go nie mia).

Dużo trudniejsze jest jednak na przykład rozbicie wielomianu $$x^3-x^2-x-15$$. Aby to zrobić, trzeba zauważyć, że $$x^2$$ możemy rozbić na $$-3x^2 +2x^2$$ a $$-x$$ na $$-6x + 5x$$. Wtedy otrzymujemy $$x^3-3x^2 + 2x^2-6x + 5x -15$$, widzimy, że z każdych dwóch następujących po sobie wyrazów możemy wyłączyć $$(x-3)$$, i w efekcie otrzymujemy $$(x-3)x^2 + (x-3)2x + (x-3)5 = (x-3)(x^2+2x+5)$$, co jest już nierozkładalne. Jak można było na to wpaść? Nie ma jednej odpowiedzi. Trzeba po prostu sporo trenować. Na pocieszenie dodam jednak, że przykład takiej trudności raczej nie pojawiłby się na maturze - chociaż, kto wie, zawsze lepiej umieć więcej niż mniej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kapitał...
 n            
Kapitał kn            

 

n=2

 

 

n=3

 

 

n=4

 

 

n=5

 

 

n=10

 

Na podstawie diagramu obok

 

 

 

Musimy wypisać elementy, które należą do jednego ze zbiorów A lub B, ale nie należą do zbioru A - są to te elementy zbioru B, które nie należą jednocześnie do A. 

 

 

 

Musimy wypisać elementy, które należą do zbioru A, ale jednocześnie nie należą do zbioru A i zbioru B.

 

 

 

Musimy wypisać wszystkie elementy, które nie należą jednocześnie do zbiorów A i B.

 

 

 

Musimy wypisać wszystkie zbiory, które nie należą do zbioru A i jednocześnie nie należą do zbioru B. 

 

 

 

Najpierw wypiszmy elementy, które należą do zbioru B, ale nie należą do zbioru A:

 

Teraz musimy wypisać elementy zbioru A różne od elementów wypisanych powyżej:

 

Kolorem...

`a) \ y=tg3/2x  \ \ \ " jej okres podstawowy" \ T = pi/(3/2) = (2pi)/3`  

 

 

 

 

 

  

Naszkicuj wykres funkcji f jeśli

Obliczamy współrzędne trzech punktów dla każdego przypadku, aby łatwo było narysować wykres:

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Dla wartości x z przedziału <0, 4) funkcja jest stale równa -3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz równanie stycznej...

a)

 

 

 

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 

 

 

 


d)

 

 

 

 

 

 

 

 


e)

 

 

 

 

 

 

 

 


f)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dane są okręgi o(A, 8) i o(A, 5)...

Naszkicuj w tym samym układzie ...

  

Tabelka f(x):

x

-1

0

1

2

f(x)=3x

1/3

1

3

9

 

Tabelka g(x):

x

-2

-1

0

1

g(x)=(⅓)x

9

3

1

1/3

 

Rozwiązaniem równania:

jest para:

 

  

Tabelka f(x):

x

-1

-1/2

0

1

f(x)=4x

1/4

1/2

1

4

 

Tabelka g(x):

x

-1

0

1

2

g(x)=(1/2)x

2

1

1/2

1/4

 

Rozwiązaniem równania:

 

jest para:

 

Oblicz cenę średniego i cenę małego

Obliczamy cenę początkową średniego zestawu rondli (oznaczmy tą cenę przez x)

 

 {premium}

 {premium}

  

 

Obliczamy cenę początkową małego zestawu rodnli (oznaczmy tę cenę przez y) 

 

 

 

 

  

Oblicz ...

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji...

Funkcja  powstaje poprzez przesunięcie wykresu  o 2 jednostki w dół.

Asymptoty poziome również są przesunięte o 2 jednostki w dół.

 

Odp.  

 

Odp. C