Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Jak już wspomnieliśmy, każdy wielomian można rozłożyć na "czynniki pierwsze": wielomiany pierwszego lub drugiego stopnia. W tym temacie nauczymy się to robić.

1) Pierwszą metodą, jaką można zastosować, jest zauważenie jakiegoś wzoru skróconego mnożenia (przypominam, że poznaliśmy już wzory na różnicę drugich potęg: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$, sumę i różnicę trzecich potęg: odpowiednio $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ oraz $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, a także rozwinięcia drugich i trzecich potęg sum: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$, $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b +3ab^2 - b^3$.

Przykład takiego rozwiązania: rozłożyć na czynniki wielomian $27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$. Zauważamy, że jest to tak naprawdę różnica $(3x-2)^3$. Jak na to wpaść? Cóż, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba po prostu zrobić sporo zadań, żeby się w tym wyćwiczyć. Istnieją jednak przesłanki, że odnajdziemy tutaj taki wzór. Po pierwsze: pierwszy i ostatni składnik są sześcianami pewnych liczb. Po drugie: drugi i trzeci dzielą się przez trzy. Minusy także są ułożone odpowiednio.

Inny - łatwiejszy tym razem przykład - to $100x^2-20x+4$. Rozwiązaniem jest oczywiście $(10x-2)^2$. Dlaczego? Tutaj przesłanki są już jaśniejsze: pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a dodatkowo środkowy dzieli się przez 2.


2) Drugim sposobem na rozkładanie wielomianu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Kluczowym w tej metodzie jest odpowiednie pogrupowanie wyrażeń (czasami nawet rozbicie niektórych), tak, aby w ogóle dostrzec ten wspólny czynnik.

Przykład: rozłożyć na czynniki wielomian $x^3-2x^2 + 5x -10$. Widzimy, że możemy to zapisać jako $x^2(x-2) + 5(x-2)$. Teraz oczywistym jest już wyłączenie wspólnego czynnika $(x-2)$ przed nawias: w efekcie otrzymujemy $(x-2)(x^2+5)$, co jest już nierozkładalne (ponieważ wielomianu liniowego nie da się już rozłożyć, a wielomian kwadratowy, aby móc go rozłożyć, musi mieć pierwiastek: ten go nie mia).

Dużo trudniejsze jest jednak na przykład rozbicie wielomianu $x^3-x^2-x-15$. Aby to zrobić, trzeba zauważyć, że $x^2$ możemy rozbić na $-3x^2 +2x^2$ a $-x$ na $-6x + 5x$. Wtedy otrzymujemy $x^3-3x^2 + 2x^2-6x + 5x -15$, widzimy, że z każdych dwóch następujących po sobie wyrazów możemy wyłączyć $(x-3)$, i w efekcie otrzymujemy $(x-3)x^2 + (x-3)2x + (x-3)5 = (x-3)(x^2+2x+5)$, co jest już nierozkładalne. Jak można było na to wpaść? Nie ma jednej odpowiedzi. Trzeba po prostu sporo trenować. Na pocieszenie dodam jednak, że przykład takiej trudności raczej nie pojawiłby się na maturze - chociaż, kto wie, zawsze lepiej umieć więcej niż mniej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj przybliżenia liczb 5^(sqrt3) i 5^(sqrt5)

 

{premium}

   

 

Suma długości przeciwprostokątnej i jednej z przyprostokątnych...

Oznaczmy nieznane długości przyprostokątnej i przeciwprostokątnej przez c odpowiednio. Wtedy:

 

  

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

 

Trójkąt A'B'C' jest symetryczny do trójkąta...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

Pole części wspólnej to pole równoległoboku.

 

 

 

Skorzystaj z własności funkcji...

a) Przekształćmy nierówność:

{premium} 

 

Podstawa potęgi jest większa od 1 zatem możemy porównać wykładniki bez zmiany zwrotu nierówności. Korzystamy z faktu, że funkcja jest rosnąca.

 

b) Przekształćmy nierówność:

 

 

Podstawa potęgi jest mniejsza od 1 zatem możemy porównać wykładniki zmieniając zwrot nierówności. Korzystamy z faktu, że funkcja jest malejąca.

 

Usuń niewymierność z mianownika...

   {premium}


 


 


 

 

Zimą kurtki puchowe w sklepach Alex i Bolex...

a) Wprowadźmy oznaczenie:

x - cena kurtki zimą w sklepach Alex i Bolex

 

Obliczmy, ile kosztowała kurtka po pierwszej obniżce w sklepie Alex:  {premium}

 

 

Obliczmy, ile kosztowała kurtka po drugiej obniżce w sklepie Alex:

 

 

Obliczmy, ile kosztowała kurtka po obniżce w sklepie Bolex:

 

łatwo możemy zauważyć, że:

 

c. n. u.


b) Obliczmy, o ile procent obniżka cen w sklepie Bolex była większa od obniżki cen w sklepie Alex:

 

 

zatem:

 

Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego...

a) Rozwiążmy układ równań:

  

 

Rozwiążmy osobno drugie równanie:

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeżeli suma jest skończona to:

 

A więc jedynym rozwiązaniem jest q1 a więc:

 

 

 

 

 

Przekształćmy drugie równanie:

 

 

Stosunek wyrazów:

 

 

A więc:

 

 

 

Dziesiąty wyraz jest równy 3/16 oraz wiemy, że:

  

 

Zatem:

 

 

 

Czyli:

 

 

 

 

 

Suma wszystkich wyrazów:

 

Ze zbioru cyfr {1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy kolejno ...

a) Losowanie odbywa się ze zwracaniem.

    {premium}

 


b) Losowanie odbywa się bez zwracania.

 

 

 

Udowodnij, że jeśli wektory ...

   

  

{premium}

 

 

 

  

Rozpatrzmy pewne działanie zwane iloczynem skalarnym.

 

 

Jeżeli wektory są prostopadłe to kąt alfa jest prosty.

Cosinus kąta prostego jest równy zero, czyli iloczyn skalarny wektorów prostopadłych jest równy zero.

 

 

 

 

Rozpisując długość wektorów:

 

 

Chcemy pokazać, że:

 

 

 

Powyższą równość otrzymaliśmy z informacji, że wektory są prostopadłe, zatem pokazaliśmy, że:

  

Wyznacz równanie ogólne prostej ...

Najpierw wyznaczmy równanie kierunkowe tej prostej. {premium}