Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozkładanie wielomianu na czynniki - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Jak już wspomnieliśmy, każdy wielomian można rozłożyć na "czynniki pierwsze": wielomiany pierwszego lub drugiego stopnia. W tym temacie nauczymy się to robić.

1) Pierwszą metodą, jaką można zastosować, jest zauważenie jakiegoś wzoru skróconego mnożenia (przypominam, że poznaliśmy już wzory na różnicę drugich potęg: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$, sumę i różnicę trzecich potęg: odpowiednio $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ oraz $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, a także rozwinięcia drugich i trzecich potęg sum: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$, $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b +3ab^2 - b^3$.

Przykład takiego rozwiązania: rozłożyć na czynniki wielomian $27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$. Zauważamy, że jest to tak naprawdę różnica $(3x-2)^3$. Jak na to wpaść? Cóż, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba po prostu zrobić sporo zadań, żeby się w tym wyćwiczyć. Istnieją jednak przesłanki, że odnajdziemy tutaj taki wzór. Po pierwsze: pierwszy i ostatni składnik są sześcianami pewnych liczb. Po drugie: drugi i trzeci dzielą się przez trzy. Minusy także są ułożone odpowiednio.

Inny - łatwiejszy tym razem przykład - to $100x^2-20x+4$. Rozwiązaniem jest oczywiście $(10x-2)^2$. Dlaczego? Tutaj przesłanki są już jaśniejsze: pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a dodatkowo środkowy dzieli się przez 2.


2) Drugim sposobem na rozkładanie wielomianu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Kluczowym w tej metodzie jest odpowiednie pogrupowanie wyrażeń (czasami nawet rozbicie niektórych), tak, aby w ogóle dostrzec ten wspólny czynnik.

Przykład: rozłożyć na czynniki wielomian $x^3-2x^2 + 5x -10$. Widzimy, że możemy to zapisać jako $x^2(x-2) + 5(x-2)$. Teraz oczywistym jest już wyłączenie wspólnego czynnika $(x-2)$ przed nawias: w efekcie otrzymujemy $(x-2)(x^2+5)$, co jest już nierozkładalne (ponieważ wielomianu liniowego nie da się już rozłożyć, a wielomian kwadratowy, aby móc go rozłożyć, musi mieć pierwiastek: ten go nie mia).

Dużo trudniejsze jest jednak na przykład rozbicie wielomianu $x^3-x^2-x-15$. Aby to zrobić, trzeba zauważyć, że $x^2$ możemy rozbić na $-3x^2 +2x^2$ a $-x$ na $-6x + 5x$. Wtedy otrzymujemy $x^3-3x^2 + 2x^2-6x + 5x -15$, widzimy, że z każdych dwóch następujących po sobie wyrazów możemy wyłączyć $(x-3)$, i w efekcie otrzymujemy $(x-3)x^2 + (x-3)2x + (x-3)5 = (x-3)(x^2+2x+5)$, co jest już nierozkładalne. Jak można było na to wpaść? Nie ma jednej odpowiedzi. Trzeba po prostu sporo trenować. Na pocieszenie dodam jednak, że przykład takiej trudności raczej nie pojawiłby się na maturze - chociaż, kto wie, zawsze lepiej umieć więcej niż mniej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na ile...

Dwóch graczy spośród 10 zawodników można wybrać, na {premium}

 

sposobów.  

 

Odp. C. 

Wskaż największą liczbę spełniającą...

 

Na przedziale [0, π] rozwiązaniem jest:

A więc największą liczbą spełniającą równanie w przedziale [-2π, 3π] jest:

{premium}  

 

 

Na przedziale [-π, 0] rozwiązaniem jest:

A więc największą liczbą spełniającą równanie w przedziale [-4π, -2π] jest:

 

 

Na przedziale [/2, π/2] rozwiązaniem jest:

 

A więc największą liczbą spełniającą równanie w przedziale [10, 15] jest:

 

Sprawdźmy czy na pewno rozwiązanie wpada w przedział:

 

Zgadza się.

Samochód dostawczy wyjechał z miasta...

Oznaczmy:

s - odległość między miastami A i B (w km); zał.: s>0

v - {premium}średnia prędkość podczas jazdy z miasta A do miasta B (w km/h); zał.: v>0

v+16 - średnia prędkość podczas jazdy z miasta B do miasta A (w km/h)

t1 -czas jazdy z miasta A do miasta B (w h); zał.: t1>0

t2 -czas jazdy z miasta B do miasta A (w h); zał.: t2>0


Mamy dane:

 

 

(czasu postoju nie wliczamy do czasu podróży)

Zatem:

 


Korzystając ze wzoru na drogę dla każdego z etapów podróży otrzymujemy:

 

 

 

 

Podstawiamy vt1=80 do drugiego równania w układzie.

 

 

 

Podstawiamy  do pierwszego równania w układzie.

 

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

 

 

 

 

 

Rozwiązanie ujemne odrzucamy jako sprzeczne z założeniem i otrzymujemy:

 

Uzyskaliśmy szukany wynik, więc nie potrzebujemy rozwiązywać układu równań do końca.


Odp. Samochód jechał z miasta A do miasta B ze średnią prędkością 64 km/h.

Z talii 52 kart losujemy ...

Moc przestrzeni zdarzeń elementarnych jest równa liczbie wszystkich wyborów 13 kart z talii 52 kart.

 {premium}


A - "wylosowano co najmniej 1 króla"

A' - "nie wylosowano żadnego króla"

W talii mamy 4 króli i 48 pozostałych kart W takim razie losujemy 13 kart ze zbioru 48 kart. Stąd:

 

 


Zatem:

 

W trójkącie równoramiennym wysokość...

Wprowadźmy oznaczenia:

 -długość ramienia tego trójkąta

 -długość podstawy tego trójkąta

 

Obliczmy długości boków tego trójkąta:  {premium}

 

 

Odp.: Długości boków tego trójkąta to: 5, 5 i 8. 

Równanie...

Zauważmy, że {premium} mianownik musi być różny od 0 a licznik jest stale większy od 0. Zatem całe wyrażenie jest różne od 0 a więc równanie jest sprzeczne.

 

Odpowiedź A

Dany jest ciąg o wzorze ogólnym ...

 

Zał: 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem mamy:

 

 

 

 

Zatem nierówność jest spełniona dla n naturalnych większych od 21.

 

Wielomian W(x)=x^5-32 ...

 

                {premium}

Korzystamy z twierdzenia:

Dla dowolnych wyrażeń   i   oraz   i   prawdziwy jest wzór:

 

 

Zatem możemy zapisać:

 

Zatem wielomian jest podzielny przez dwumian  

 

Odp. B

Dla jakich wartości...

a) Skorzystamy z metody wyznacznikowej:{premium}

  

Jeżeli układ jest oznaczony to:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Narysujmy wykres funkcji:

 

podglad pliku

By otrzymać wykres funkcji h, przesuwamy wykres funkcji g o wektor [4, 2].

 

podglad pliku

By otrzymać wykres funkcji f, odbijamy symetrycznie wszystko poniżej osi względem tej osi.

podglad pliku

Uwaga: Asymptota pozioma pokazuje nam do jakiej wartości zmierza wykres funkcji w  to, że przecina wykres funkcji nie oznacza, że leży poza rozwiązaniem.

Jaką objętość ma czworościan ...

Czworościanem foremnym nazywamy czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}



Wyznaczamy długość wysokości podstawy ostrosłupa. Korzystamy ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego.

 

Odcinek oznaczony literą x stanowi jedną trzecią długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 3, ponieważ punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym dzieli odcinki będące wysokościami w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, więc:

 

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ESD i wyznaczamy długość wysokości ostrosłupa.

 

 

 

 

 


Obliczamy pole podstawy czworościanu. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

 

 


Obliczamy objętość czworościanu.