Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równoległość i prostopadłość

W geometrii analitycznej często zachodzi potrzeba zbadania, czy dane dwie proste są równoległe albo prostopadłe. Sposobem na sprawdzenie tego jest przyjrzenie się ich równaniom w postaci $$y = ax+b$$.

Aby dwie proste były równoległe, muszą być nachylone pod tym samym kątem do osi $$x$$ (powstaną wtedy kąty odpowiadające, co właśnie warunkuje równoległość prostych).

1 równoległe

Tym, co określa kąt nachylenia, jest współczynnik $$a$$, więc aby dwie proste, określone równaniami $$y_1 = a_1x + b_1$$ i $$y_2 = a_2x + b_2$$ były równoległe, musi zachodzić $$a_1 = a_2$$. Współczynnik $$b$$ nie ma na to oczywiście żadnego wpływu, bo jedyne, co warunkuje, to odległość między nimi.

Badanie prostopadłości prostych jest równie łatwe. Ponownie: współczynnik $$b$$ nie ma tutaj żadnego znaczenia, liczy się jedynie kąt nachylenia do prostej X.

2 prostopadłe

Jeśli spojrzymy na rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi kątami przekonamy się, że

$$a_1 = an α = {m}/{n} = {1}/{ {n}/{m} } = {1}/{ an α}$$ = ctg α$$

Ale przecież $$α = 180° - β$$, więc $$- ctg α = ctg β = a_2$$

Z jedynki trygonometrycznej: $$ an α × (-ctg α) = -1$$. Warunkiem prostopadłości jest więc $$a_1 × a_2 = -1$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Prosta k przecina dwie proste równoległe

Rozwiąż nierówności...

a) Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

Przekształćmy trójmian do postaci iloczynowej:

 

 

 

 

podglad pliku

Uwzględniając założenie otrzymujemy, że:

 

{premium}

b) Założenia:

 

 

 

 

 

Przekształćmy również trójmian z licznika tak aby był w postaci iloczynowej:

 

 

 

 

podglad pliku

 

 

c) Założenia:

 

 

 

x ne 3

 

Doprowadźmy pozostałe dwa wielomiany do postaci iloczynowych:

 

 

 

  

 

podglad pliku

  

 

d) Doprowadźmy wielomiany do postaci iloczynowej:

 

 

 

 

Założenia:

 

 

 

 

 

 

Na rysunku obok przedstawiono wykresy funkcji...

a) Wyznaczmy kiedy funkcja f jest dodatnia a g ujemna a następnie kiedy f jest ujemna a g dodatnia i weźmy sumę obu zbiorów.

 

      {premium}

 

 

 

 

I przypadek:

 

Cześć wspólna zbiorów:

 

 

II przypadek:

 

Cześć wspólna zbiorów:

 

 

Suma obu przypadków:

 


b) Wyznaczmy dla jakich argumentów wykres funkcji g jest powyżej lub ma punkty wspólne z funkcją f.

 

Oblicz długość odcinka AB...

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

 

 

 

 

Podstawmy a pod pierwsze równanie:

 

 

 

 

 

Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

  

 

 

Odległość punktu od prostej:

 

 

Pole trójkąta:

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

 

 

 

 

Podstawmy a pod drugie równanie równanie:

 

 

 

 

 

Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

  

  

  

 

Odległość punktu od prostej:

 

 

Pole trójkąta:

 

Rozwiąż nierówność

Obwód trapezu równoramiennego jest równy 38 cm ...

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

  

Dane są punkty A = (5, -11) oraz B = (-5, -11)...

Zauważmy, że pierwsze współrzędne punktów A i B są liczbami przeciwnymi. Zatem punkt A jest obrazem punktu B w symetrii względem osi y.

Odpowiedź C

Jeżeli do iloczynu dwóch liczb dodamy ...

Mniejsza liczba: 

Większa liczba: 

 

Tworzymy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

 

 

Rozwiązujemy układ metodą przeciwnych współczynników.

 

 

 

 

Następnie do równania {premium}  postawiamy 

 

Szukamy rozwiązań równania kwadratowego.   

 

 

 

Otrzymujemy dwie pary rozwiązań:

i

 

Dane są funkcje f(x)= ...

 

 

Założenia:

      {premium}

 

 

 

Thumb 2a 144

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Uzasadnij równość dla dowolnego kąta...

a)

 

 


b)

 

 


c)

 

 

 


d)

 

 

 

 

 

Wobec powyższego