Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równoległość i prostopadłość

W geometrii analitycznej często zachodzi potrzeba zbadania, czy dane dwie proste są równoległe albo prostopadłe. Sposobem na sprawdzenie tego jest przyjrzenie się ich równaniom w postaci $$y = ax+b$$.

Aby dwie proste były równoległe, muszą być nachylone pod tym samym kątem do osi $$x$$ (powstaną wtedy kąty odpowiadające, co właśnie warunkuje równoległość prostych).

1 równoległe

Tym, co określa kąt nachylenia, jest współczynnik $$a$$, więc aby dwie proste, określone równaniami $$y_1 = a_1x + b_1$$ i $$y_2 = a_2x + b_2$$ były równoległe, musi zachodzić $$a_1 = a_2$$. Współczynnik $$b$$ nie ma na to oczywiście żadnego wpływu, bo jedyne, co warunkuje, to odległość między nimi.

Badanie prostopadłości prostych jest równie łatwe. Ponownie: współczynnik $$b$$ nie ma tutaj żadnego znaczenia, liczy się jedynie kąt nachylenia do prostej X.

2 prostopadłe

Jeśli spojrzymy na rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi kątami przekonamy się, że

$$a_1 = an α = {m}/{n} = {1}/{ {n}/{m} } = {1}/{ an α}$$ = ctg α$$

Ale przecież $$α = 180° - β$$, więc $$- ctg α = ctg β = a_2$$

Z jedynki trygonometrycznej: $$ an α × (-ctg α) = -1$$. Warunkiem prostopadłości jest więc $$a_1 × a_2 = -1$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozłóż na czynniki ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole rombu ABCD jest równe 32 ...

 

 

 

Odcinek AC leży na prstej y:

 

 

 

Dodajmy równania do siebie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Przekątne rombu przecinają się w połowie i są do siebie prostopadłe. Zatem punkty B i D leżą na prostej k prostopadłej do prostej y.

 

Punkt S należy do prostej k.

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

Odcinek AC leży na prstej y:

 

 

 

Dodajmy pierwsze równanie do drugiego ze zmienionym znakiem.

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

  

Przekątne rombu przecinają się w połowie i są do siebie prostopadłe. Zatem punkty B i D leżą na prostej k prostopadłej do prostej y.

  

Punkt S należy do prostej k.

 

   

 

    

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

   

Analogicznie możemy obliczyć współrzędne wierzchołka D.

  

 

 

 

 

 

  

  

   

 

     

Przekątna d prostokąta będącego

Wiemy, że sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. 

 

 

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, ile wynosi r. Należy pamiętać, że trójkąt ma boki h, d oraz 2r (dłuższa przyprostokątna składa się z dwóch promieni). 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

 

 

Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta...

Sumę miar kątów wewnętrznych kąta foremnego wyraża wzór    

Mamy więc:

 

  

 

Prawidłowa odpowiedź to  

Rożnica długości podstaw trapezu ...

 

 

 

 

 

 

 

 

W trójkącie prostokątnym ABC o bokach...

 

 

CF to przkątna kwadratu o wymiarach 2,5 cm x 6 cm

Wykonaj mnożenie

 

 

 

 

Na podstawie definicji pochodnej...

a)

 

 

 


b)

 

 

 


c)

 

 

 

 

Dane są funkcje...

Wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności  

  

 

 

Aby powyższy zbiór zawierał się w zbiorze musi zachodzić:

   

 

  

  

 

 

Na podstawie poprzedniego podpunktu łatwo ustalić, że zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór:

 

 Aby powyższy zbiór zawierał się w zbiorze musi zachodzić:

 

 

 

  

  

Dany jest ciąg o wzorze ogólnym ...