Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równoległość i prostopadłość

W geometrii analitycznej często zachodzi potrzeba zbadania, czy dane dwie proste są równoległe albo prostopadłe. Sposobem na sprawdzenie tego jest przyjrzenie się ich równaniom w postaci $y = ax+b$.

Aby dwie proste były równoległe, muszą być nachylone pod tym samym kątem do osi $x$ (powstaną wtedy kąty odpowiadające, co właśnie warunkuje równoległość prostych).

1 równoległe

Tym, co określa kąt nachylenia, jest współczynnik $a$, więc aby dwie proste, określone równaniami $y_1 = a_1x + b_1$ i $y_2 = a_2x + b_2$ były równoległe, musi zachodzić $a_1 = a_2$. Współczynnik $b$ nie ma na to oczywiście żadnego wpływu, bo jedyne, co warunkuje, to odległość między nimi.

Badanie prostopadłości prostych jest równie łatwe. Ponownie: współczynnik $b$ nie ma tutaj żadnego znaczenia, liczy się jedynie kąt nachylenia do prostej X.

2 prostopadłe

Jeśli spojrzymy na rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi kątami przekonamy się, że

$a_1 = an α = {m}/{n} = {1}/{ {n}/{m} } = {1}/{ an α}$ = ctg α$

Ale przecież $α = 180° - β$, więc $- ctg α = ctg β = a_2$

Z jedynki trygonometrycznej: $ an α × (-ctg α) = -1$. Warunkiem prostopadłości jest więc $a_1 × a_2 = -1$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz pole wycinka koła o promieniu...

a)

 

{premium}  

 


b)

 

 

 


c)

 

 

 

W trójkąt o bokach długości 4 cm, 5 cm ...

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że boki trójkąta ABC są równe: 4 cm, 5 cm i 6 cm. {premium}

Przyjmijmy:

 

 

 

 

Oznaczmy:

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

Wiemy, że:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

Dany jest ciąg geometryczny o początkowych ...

Dany jest ciąg geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 4. 

 

Iloraz tego ciągu wynosi: {premium}

 

Będzie to ciąg malejący, gdyż q < 1. 

Wzór ogólny tego ciągu ma postać: 

 


Obliczamy, które wyrazy przyjmują wartość mniejszą od  . 

 

 

 

 

 

 

 

  

Pamiętajmy, że z dwóch ułamków o takich samych licznikach ten jest większy, który ma mniejszy mianownik. 

Wynika z tego, że liczba 2n musi być większa od 29, czyli: 

 

Są to więc wyrazy o numerach: 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...


Jest to ciąg malejący, więc największy jest wyraz o numerze 10. 


Poprawna odpowiedź: D. 10

Rozwiąż równania:

a) Założenia:

 

 

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 


b) Założenia:{premium}

 

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 


c) Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 


d) Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 


e) Założenia:

  

 

 

 

 

 

 

 


f) Zauważmy, że wyrażenie w mianowniku jest stale większe od 0.

 

  

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 


g) Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

 


h) Wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, czyli 

 

iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest liczbą nieujemną

 

suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia, czyli 

    

Zatem wyrażenie w mianowniku jest stale większe od 0.

 

  

 

 

 

Sprzeczność, wartość bezwzględna musi być nieujemna.

Który z podanych ciągów nie jest ciągiem arytmetycznym?

Sprawdzamy, czy różnica kolejnych wyrazów danych ciągów jest taka sama.

  • dla ciągu z odpowiedzi A:{premium}

 

 

 

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym.


  • dla ciągu z odpowiedzi B:

 

 

 

Ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

Prawidłowa odpowiedź to B. Dla formalności sprawdzimy, że pozostałe dwa ciągi są arytmetyczne.


  • dla ciągu z odpowiedzi C:

 

 

 

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym.


  • dla ciągu z odpowiedzi D:

 

 

 

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Dane są funkcje y=f(x) i y=g(x)...

 

Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej:

 

Współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji to:

 

Sporządźmy tabelę, aby naszkicować wykres tej funkcji:{premium}

x 1 2 3 4 5
y 4 1 0 1 4

 

Sporządźmy tabelę aby naszkicować wykres prostej g:

x 1 4
y 4 -2

  

Z wykresu możemy odczytać, że rozwiązaniem równania:

 

są pary punktów:

 

Sprawdźmy metodą rachunkową otrzymane wyniki:

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji f:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji g:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji f:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji g:

 


 

Współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f to:

 

Sporządźmy tabelę, aby naszkicować wykres tej funkcji:

x -2 -1 0 1 2
y 14 5 2 5 14

 

Sporządźmy tabelę aby naszkicować wykres prostej g:

x -2 2
y 5 5

  

Z wykresu możemy odczytać, że rozwiązaniem równania:

 

są pary punktów:

 

Sprawdźmy metodą rachunkową otrzymane wyniki:

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji f:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji f:

 

do wykresu funkcji g należą wszystkie punkty postaci  


 

Obliczmy współrzędne wierzchołka funkcji f :

 

 

Współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji to:

 

Sporządźmy tabelę, aby naszkicować wykres tej funkcji:

x -1 0 1 2 3
y 11 5 3 5 11

 

Sporządźmy tabelę aby naszkicować wykres prostej g:

x -1 3
y -1 7

  

Z wykresu możemy odczytać, że rozwiązaniem równania:

 

są pary punktów:

 

Sprawdźmy metodą rachunkową otrzymane wyniki:

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji f:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji g:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji f:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji g:

 


 

Obliczmy współrzędne wierzchołka funkcji f :

 

 

Współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji to:

 

Sporządźmy tabelę, aby naszkicować wykres tej funkcji:

x -6 -4 -2 0 2
y 4 -2 -4 -2 4

 

Sporządźmy tabelę aby naszkicować wykres prostej g:

x -4 0
y 2 -2

  

Z wykresu możemy odczytać, że rozwiązaniem równania:

 

są pary punktów:

 

Sprawdźmy metodą rachunkową otrzymane wyniki:

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji f:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji g:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji f:

 

-sprawdźmy czy punkt  należy do funkcji g:

 

 

Pacjent przyjął dawkę 50 mg pewnego...

a) W chwili czasu t=0 pacjent przyjął dawkę 50 mg leku, więc:

 

 

 

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:{premium}

 

W ciągu 6 godzin z krwiobiegu jest usuwane 60% tego leku. Obliczamy, ile mg leku zostanie w krwiobiegu po 6 godzinach:

 

Po t=6 godzinach w krwiobiegu pozostanie 20 mg leku. Stąd:

 

 

 

Otrzymujemy:

 

 


b) Obliczamy, ile leku zostanie w krwiobiegu po upływie t=1 godziny:

 

Obliczamy, ile leku zostanie w krwiobiegu po upływie t=24 godzin:

 

Odp. Po upływie godziny w krwiobiegu pozostaną około 43 mg leku, po upływie doby - około 1,3 mg leku.


c) Obliczamy, po ilu godzinach w krwiobiegu pozostanie 10 mg leku:

 

 

 

 

 

 

W krwiobiegu pozostanie 10 mg leku po około 10,7 h od przyjęcia pierwszej dawki, więc, aby zawartość pierwszej dawki nie spadła poniżej 10 mg, pacjent musi przyjąć drugą dawkę leku po 10 godzinach.

Pudełko w kształcie graniastosłupa prawidłowego...

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości x i wysokości y jest dana wzorem:

 

 

 

 

 

 

 

 

Koszt dolnej podstawy to:

 

Koszt ścian bocznych:

{premium}  

Koszt górnej podstawy:

 

Zatem funkcja opisująca koszt budowy graniastosłupa to:

 

 

Podstawmy y

 

 

Obliczmy pochodną:

 

 

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wymiary

 

 

Koszt dolnej podstawy to:

 

Koszt ścian bocznych:

 

Koszt górnej podstawy:

 

 

Koszt:

Dane są funkcje y=f(x) i y=g(x) ...

    ,     

I.   Obliczamy wielkości przydatne przy rysowaniu paraboli

miejsca zerowe:

 ,   

współrzędne wierzchołka:

 

 

 

współrzędne punktu przecięcia z osią 

  

 

Obliczamy wartość dla dwóch, dowolnie wybranych, punktów, aby narysować wykres funkcji liniowej

 

 

 

 

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności  

(sprawdzamy dla jakich   wykres funkcji  leży nad wykresem funkcji )

 dla  . 

 

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności  

(sprawdzamy dla jakich   wykres funkcji  leży pod wykresem funkcji )

 dla  .

 

Na koniec sprawdzamy, w których punktach funkcje  i  się przecinają

 dla  .

 

II. Teraz rozwiążemy nierówność  sposobem rachunkowym

 

 

Obliczamy  i miejsca zerowe funkcji

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od zera 

dlatego ramiona paraboli skierowane są do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu dla jakich  nierówność  jest spełniona

 . {premium} 


    ,     

I. Obliczamy wartość dla dwóch, dowolnie wybranych, punktów, aby narysować wykres funkcji liniowej

 

 

   Obliczamy wielkości przydatne przy rysowaniu paraboli

miejsca zerowe:

 

Zauważmy wzór skróconego mnożenia  

 

 

  

 ,

współrzędne wierzchołka:

 

 

 

współrzędne punktu przecięcia z osią 

  

 

 

 

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności  

(sprawdzamy dla jakich   wykres funkcji  leży nad wykresem funkcji )

 dla  . 

 

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności  

(sprawdzamy dla jakich   wykres funkcji  leży pod wykresem funkcji )

 dla  .

 

Na koniec sprawdzamy, w których punktach funkcje  i  się przecinają

 dla  .

 

II. Teraz rozwiążemy nierówność  sposobem rachunkowym

Obliczamy  i miejsca zerowe funkcji

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od zera 

dlatego ramiona paraboli skierowane są do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu dla jakich  nierówność  jest spełniona

 .

Oblicz obwód i pole trójkąta prostokątnego...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Mamy dane:

 


Ze wzoru na przekątną kwadratu dla kwadratu CDOF:

 

Wówczas:

 


Trójkąt prostokątny równoramienny jest połówką kwadratu, więc:

 

 

 

 


Ze wzoru na przekątną kwadratu:

 

 

 


Obliczamy pole i obwód trójkąta ABC: