Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równoległość i prostopadłość

W geometrii analitycznej często zachodzi potrzeba zbadania, czy dane dwie proste są równoległe albo prostopadłe. Sposobem na sprawdzenie tego jest przyjrzenie się ich równaniom w postaci $$y = ax+b$$.

Aby dwie proste były równoległe, muszą być nachylone pod tym samym kątem do osi $$x$$ (powstaną wtedy kąty odpowiadające, co właśnie warunkuje równoległość prostych).

1 równoległe

Tym, co określa kąt nachylenia, jest współczynnik $$a$$, więc aby dwie proste, określone równaniami $$y_1 = a_1x + b_1$$ i $$y_2 = a_2x + b_2$$ były równoległe, musi zachodzić $$a_1 = a_2$$. Współczynnik $$b$$ nie ma na to oczywiście żadnego wpływu, bo jedyne, co warunkuje, to odległość między nimi.

Badanie prostopadłości prostych jest równie łatwe. Ponownie: współczynnik $$b$$ nie ma tutaj żadnego znaczenia, liczy się jedynie kąt nachylenia do prostej X.

2 prostopadłe

Jeśli spojrzymy na rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi kątami przekonamy się, że

$$a_1 = an α = {m}/{n} = {1}/{ {n}/{m} } = {1}/{ an α}$$ = ctg α$$

Ale przecież $$α = 180° - β$$, więc $$- ctg α = ctg β = a_2$$

Z jedynki trygonometrycznej: $$ an α × (-ctg α) = -1$$. Warunkiem prostopadłości jest więc $$a_1 × a_2 = -1$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ustal dla jakich wartości...

a) Oś OY to oś symetrii cos x. Wystarczy więc zauważyć, dla jakich wartości parametru a w przedziale [0, 2π], cos x = a ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeżeli a=-1, to:

`cos x = -1`

`x = pi` 

a więc na przedziale [-2π, 0] mamy:

`x = -pi`

 

b) Na przedziale [0, 2π], cos x = a ma dwa rozwiązania dla a =1.

`cos (2pi) = 1 = cos (-2pi)

A więc dla a=1 funkcja ma trzy rozwiązania na przedziale [-2π,2π]     

Prosta l2 jest obrazem prostej l1 ...

`a)` 

`l_1:y=2x-1` 

`P=(0;1)` 

`k=3` 

`A-"dowolny punkt leżący na prostej"\ l_1` 

`A=(x;y)=(x;2x-1)` 

`A'-"punkt A przekształcony przez rozważaną jednokładność"` 

`A'=(a,b)` 

 

`3vec(AP)=vec(A'P)` 

`3[-x;1-2x+1]=[-a;1-b]` 

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`-3x=-a\ implies\ a=3x` 

`3(-2x+2)=1-b\ implies\ b=6x-5`  

`A'=(3x;2*3x-5)` 

Podstawmy zamiast 3x tylko x.

`(x;2x-5)` 

Powyższy punkt należy do prostej:

`l_2:ul(y=2x-5` 

 

`b)` 

`l_1:x+2y-4=0` 

`l_1:y=-x/2+2`   

`P=(2;-1)` 

`k=-2`  

`A-"dowolny punkt leżący na prostej"\ l_1` 

`A=(x;y)=(x;-x/2+2)`  

`A'-"punkt A przekształcony przez rozważaną jednokładność"` 

`A'=(a,b)` 

 

`-2vec(AP)=vec(A'P)`   

`-2[2-x;-1+x/2-2]=[2-a;-1-b]` 

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`-4+2x=2-a\ implies\ a=-2x+6`   

`2(-x/2+3)=-1-b\ implies\ b=x-7`        

`A'=(-2x+6;x-7)`   

`A'=(-2x+6;-(-2x+6)/2-4)`   

Podstawmy zamiast -2x+6 tylko x.

`A'=(x;-x/2-4)`   

Powyższy punkt należy do prostej:

`l_2:ul(y=-x/2-4` 

Trzy liczby x, y, z których suma wynosi 24 ...

`(x,\ y,\ z)-"ciąg arytmetyczny"` 

`(x+1,\ y-2,\ z-2)- "ciąg geometryczny"` 

 

Korzystamy z następujących zależności:

I. Dla ciagu arytmetycznego:

`a_n=(a_(n-1)+a_(n+1))/2` 

II. Dla ciagu geometrycznego:

`a_n^2= a_(n-1)*a_(n+1) ` 

 

`{(y=(x+z)/2),((y-2)^2=(x+1)(z-2)),(x+y+z=24):}` 

`{(2y= x+z ),((y-2)^2=(x+1)(z-2)),(x+y+z=24):}` 

`{(2y= x+z ),((y-2)^2=(x+1)(z-2)),(3y=24):}` 

`{(2y= x+z ),((y-2)^2=(x+1)(z-2)),(y=8):}` 

`{(x=16-z ),((8-2)^2=(x+1)(z-2)),(y=8):}`  

`36=(16-z+1)(z-2)` 

`36=17z-34-z^2+2z` 

`z^2-19z+70=0` 

`Delta=361-280=81` 

`sqrtDelta=9` 

`z_1=(19-9)/2=5` 

`z_2=(19+9)/2=14`    

`x_1=16-z_1=11` 

`x_2= 16-z_2=2` 

 

`{(x=11),(y=8),(z=5):}\ \ \"lub"\ \ \{(x=2),(y=8),(z=14):}` 

Talię 52 kart potasowano

W talii mamy 4 asy w różnych kolorach.

Pierwszego asa możemy dać jednemu z 4 graczy - 4 możliwości. 

Drugiego asa możemy dać jednemu z 3 pozostałych graczy - 3 możliwości. 

Trzeciego asa możemy dać jednemu z 2 pozostałych graczy - 2 możliwości. 

Czwartego asa musimy dać ostatniemu graczowi - 1 możliwość. 

Po rozdarniu 4 asów, zostaje nam 48 kart (52-4=48). 

Każdy z graczy ma w tym momencie 1 asa, więc każdemu musimy dołożyć jeszcze 12 kart. 

Wybieramy 12 z 48 kart dla pierwszego gracza. 

Wybieramy 12 z 36 pozostałych kart dla drugiego gracza. 

Wybieramy 12 z 24 pozostałych kart dla trzeciego gracza. 

Pozostałe 12 kart dajemy czwartemu graczowi (tu już nie mamy możliwości wyboru). 

 

Liczba sposobów takiego rozdania kart jest więc równa:

`4*3*2*1*((48),(12))*((36),(12))*((24),(12))=4!*((48),(12))*((36),(12))*((24),(12))` 

 

Podczas wyprawy rowerzysta kolejno

`ul(ul("pierwszy etap"))`

Wiemy, że rowerzysta przez godzinę jechał z prędkością 20 km/h - ta prędkość oznacza, że w ciągu 1 godziny rowerzysta pokonał 20 km. 

`"przebyta droga:"\ \ \ 20\ km`

`"czas:"\ \ \ 1 \ h`

 

 

 

`ul(ul("drugi etap"))`

Wiemy, że rowerzysta wziął udział w 15 minutowym sprincie z prędkością 48 km/h. 

`"czas:"\ \ \ 15\ mi n=15/60\ h=1/4\ h`

Prędkość 48 km/h oznacza, że w ciągu 1 godziny rowerzysta pokonał 48 km. Obliczamy, jaką odległość pokonał przez 15 minut: 

`"przebyta droga:"\ \ \ 1/4*48\ km=12\ km`

 

 

`ul(ul("trzeci etap"))`

Wiemy, że rowerzysta odpoczywał przez pół godziny. 

`"czas:"\ \ \ 1/2\ h`

`"przebyta droga:"\ \ \ 0\ km`

 

 

 

`ul(ul("czwarty etap"))`

Wiemy, że rowerzysta przebył 12 km z prędkością 16 km/h. 

`"przebyta droga:"\ \ \ 12\ km`

Na pokonanie 16 km potrzebowałby 1 godziny, obliczamy, ile potrzebował na pokonanie 12 km. 

`"czas:"\ \ \ 12:16=12/16=3/4\ h`

 

 

 

Rysujemy wykres przedstawiający zależność przebytej drogi od czasu:

 

Rowerzysta przejechał łącznie 44 km. 

W tabeli podano miesięczne...

Liczba wszystkich osób: `12+6+2+2+3=25` 

Mediana to 13-sty wynik, po uporządkowaniu w kolejności rosnącej. W tym zadaniu jest to 2500.

Powyżej mediany zarabia `2+2+3=7` osób.

 

`P(A)=7/25=0,28` 

Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie...

Środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia się symetralnych. Wyznaczmy równania prostych AB i AC:

`AB: \ {(f(2)=3),(f(0)=-3):}` 

`{(2a+b=3),(b=-3):}` 

`{(2a-3=3),(b=-3):}` 

`{(a=3),(b=-3):}` 

Zatem

`y = 3x-3` 

 

 

`AC: \ {(g(2)=3),(g(5)=-2):}` 

`{(2a+b=3),(5a+b=-2):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-3a = 5` 

`a = -5/3` 

Stąd

`2*(-5/3)+b=3` 

`-10/3 + b = 3` 

`b = 6 1/3` 

A więc:

`y = -5/3x + 19/3` 

 

Wyznaczmy środki boków AB i AC:

`S_(AB) = ((2+0)/2 , (3+(-3))/2) = (1, 0)` 

`S_(AC) = ((2+5)/2 , (3+(-2))/2) = (7/2 , 1/2)` 

 

Symetralna odcinka AB to prosta prostopadła do prostej AB przechodząca przez środek odcinka AB:

`y = -1/3x+p` 

Wstawmy współrzędne środka odcinka AB:

`0 = -1/3 + p` 

`p = 1/3` 

Równanie prostej to:

`y = -1/3x + 1/3` 

 

Symetralna odcinka AC to prosta prostopadła do prostej AC przechodząca przez środek odcinka AC:

`y = 3/5x+q` 

Wstawmy współrzędne środka odcinka AC:

`1/2=3/5*7/2+q` 

`1/2 = 21/10 + q` 

`q = 5/10-21/10` 

`q = -16/10` 

`q = -8/5` 

A więc:

`y = 3/5x - 8/5` 

 

Punkt przecięcia symetralnych to środek okręgu opisanego na tym trójkącie:

`{(y=-1/3x+1/3),(y=3/5x-8/5):}` 

`-1/3x+1/3 = 3/5x - 8/5 \ \ \ |*15` 

`-5x + 5 = 9x - 24` 

`-14x = -29` 

`x = 29/14` 

Zatem

`y = 3/5*29/14 - 8/5 = 87/70 - 8/5 = 87/70 - 112/70 = -25/70 = -5/14` 

A więc:

`S = (29/14 , -5/14)` 

Na rysunku...

Widzimy, że do wykresu funkcji należy punkt (2,2), a więc:

`y=a/x` 

`2=a/2 \ \ \ |*2` 

`a=4` 

 

`f(x) = 4/x` 

 

a) Wykres funkcji g(x) to wykres funkcji f(x) przesunięty o dwie jednostki w dół:

 

 

`b) \ g(x) = f(x) -2 = 4/x - 2` 

`Z_w = R \ \\ \ {-2}` 

 

 

`c) \ g(x) leq 0 \ \ \ "dla" \ x in (-infty, 0) \cup [2, infty)` 

 

 

d) Graficznie: 

`x in (0, infty)` 

 

Algebraicznie:

 

Założenie:

`x ne 0` 

 

`4/x -2 geq -2 \ \ \ | +4` 

`4/x geq 0` 

 `4x geq 0 \ \ \ |:4` 

`x geq 0` 

`x in (0, infty)`  

Podaj współrzędne punktu P' ...

`P=(-2;2sqrt3)` 

`(-2)^2+(2sqrt3)^2=4+12=16`  

`sqrt16=4` 

 

Wyznaczmy kąt, którego ramię końcowe zawiera punkt P.

`tgalpha=(2sqrt3)/-2=-sqrt3\ implies\ 120^@` 

 

`a)`  

`alpha'=120^@+30^@=150^@` 

Wyznaczmy punkt P' leżący na ramieniu końcowym kąta `alpha'.` 

`P'=(x;y)`  

`sin150^@=cos60^@=1/2=y/sqrt(x^2+y^2)=y/4` 

`y=1/2*4=2` 

`cos150^@=-sin60^@=-sqrt3/2=x/sqrt(x^2+y^2)` 

`x=-2sqrt3` 

`ul(P'=( -2sqrt3;2)` 

 

`b)` 

`alpha'=120^@-150^@=-30^ @`   

Wyznaczmy punkt P' leżący na ramieniu końcowym kąta `alpha'.` 

`P'=(x;y)`  

`sin(-30^@)=-sin30^@=-1/2=y/sqrt(x^2+y^2)=y/4`  

`y=-1/2*4=-2` 

`cos(-30^@)=cos30^@= sqrt3/2=x/sqrt(x^2+y^2)` 

`x= 2sqrt3` 

`ul(P'=( 2sqrt3;-2)`  

 

`c)`  

`alpha'=120^@+780^@=2*360^@+180^@` 

Wyznaczmy punkt P' leżący na ramieniu końcowym kąta `alpha'.` 

`P'=(x;y)`  

`sin180^@=0=y/sqrt(x^2+y^2)` 

`y=0`  

`cos180^@=-1=x/sqrt(x^2+y^2)`  

`x=-4` 

`ul(P'=( -4;0)`  

 

`d)`  

`alpha'=120^@-165^@=-45 ^@`  

Wyznaczmy punkt P' leżący na ramieniu końcowym kąta `alpha'.` 

`P'=(x;y)`  

`sin(-45^@)=-sin30^@=-sqrt2/2=y/sqrt(x^2+y^2)=y/4` 

`y=-2sqrt2`  

`cos(-45^@)= cos45^@=sqrt2/2=x/sqrt(x^2+y^2)` 

`x=2sqrt2`  

`ul(P'=( 2sqrt2;-2sqrt2)`  

Ile jest wszystkich liczb

Jeśli w zapisie nie występuje cyfra 0, to do dyspozycji mamy dziewięć cyfr (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). 

 

 

`a)` 

Pierwszą cyfrą liczby pięciocyfrowej jest 2. Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy umieścić jedną z dziewięciu cyfr. Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

`9*9*9*9=9^4=6561` 

 

 

`b)`  

Ostatnią cyfrą liczby pięciocyfrowej jest 27. Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy umieścić jedną z dziewięciu cyfr. Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

`9*9*9*9=9^4=6561`