Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równoległość i prostopadłość

W geometrii analitycznej często zachodzi potrzeba zbadania, czy dane dwie proste są równoległe albo prostopadłe. Sposobem na sprawdzenie tego jest przyjrzenie się ich równaniom w postaci $$y = ax+b$$.

Aby dwie proste były równoległe, muszą być nachylone pod tym samym kątem do osi $$x$$ (powstaną wtedy kąty odpowiadające, co właśnie warunkuje równoległość prostych).

1 równoległe

Tym, co określa kąt nachylenia, jest współczynnik $$a$$, więc aby dwie proste, określone równaniami $$y_1 = a_1x + b_1$$ i $$y_2 = a_2x + b_2$$ były równoległe, musi zachodzić $$a_1 = a_2$$. Współczynnik $$b$$ nie ma na to oczywiście żadnego wpływu, bo jedyne, co warunkuje, to odległość między nimi.

Badanie prostopadłości prostych jest równie łatwe. Ponownie: współczynnik $$b$$ nie ma tutaj żadnego znaczenia, liczy się jedynie kąt nachylenia do prostej X.

2 prostopadłe

Jeśli spojrzymy na rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi kątami przekonamy się, że

$$a_1 = an α = {m}/{n} = {1}/{ {n}/{m} } = {1}/{ an α}$$ = ctg α$$

Ale przecież $$α = 180° - β$$, więc $$- ctg α = ctg β = a_2$$

Z jedynki trygonometrycznej: $$ an α × (-ctg α) = -1$$. Warunkiem prostopadłości jest więc $$a_1 × a_2 = -1$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku obok przedstawiono ...

`f(x)=(ax+b)/(cx+d)`  

Asymptoty:

`x=-1`  

`y=2` 

`f(x)=a/(x+1)+2`  

Zauważmy, ze:

`f(-5)=0` 

`a/(-5+1)+2=0`         

`a=8`   

`f(x)=8/(x+1)+2`      

 

`a)` 

`f(x)=3` 

`8/(x+1)+2=3`  

`D:` `` 

`x+1ne0\ implies\ xne-1`   

`D=RR\\{-1}`  

 

`8/(x+1)+2=3` 

`8/(x+1)=1` 

`x+1=8` 

`ul(x=7` 

 

`b)`       

`f(x)=2x-2`  

`8/(x+1)+2=2x-2` 

`D:`   

`x+1ne0\ implies\ xne-1`    

`D=RR\\{-1}` 

 

`8/(x+1)+2=2x-2` 

`8=(2x-4)(x+1)` 

`8=2x^2+2x-4x-4` 

`2x^2-2x-12=0`  

`x^2-x-6=0`      

`Delta=1+24=25` 

`sqrtDelta=5` 

 

`x_1=(1-5)/2=-2` 

`x_2=(1+5)/2=3`    

`ul( x in {-2;3}` 

 

`c)` 

`f(x)=2+4/(x-1)`    

`8/(x+1)+2=2+4/(x-1)`   

`D:`    

`x+1ne0\ implies\ xne-1`     

`x-1ne0\ implies\ xne1`  

`D=RR\\{-1;1}` 

  

`8/(x+1)+2=2+4/(x-1)` 

`8/(x+1)=4/(x-1)` 

`4(x+1)=8(x-1)` 

`4x+4=8x-8` 

`4x=12`  

`ul(x=3`          

 

Dziedziną funkcji f jest przedział [1;5], ...

`a)` 

`vec{u}=[0,4]` 

`D_g=[0+1,0+5]=[1,5]`  

`g(D_g)=[-2+4,6+4]=[2,10]` 

 

`b)` 

`vec{u}=[3,0]` 

`D_g=[3+1,3+5]=[4,8]` 

`g(D_g)=[0-2;6+0]=[-2;6]` 

 

`c)` 

`vec{u}=[2;5]` 

`D_g=[2+1;5+2]=[3,7]` 

`g(D_g)=[-2+5;6+5]=[3;11]` 

 

`d)` 

`vec{u}=[-1;-3]` 

`D_g=[1-1;5-1]=[0;4]` 

`g(D_g)=[-2-3;6-3]=[-5;3]`      

 

W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AC...

Rysunek poglądowy:

`(|CR|)/(|BR|) = 3/5` 

`|CR| = 3/5 |BR|` 

A więc:

`|BC| = |BR|+|CR| = |BR|+ 3/5|BR| = 8/5|BR|` 

 

`(|BR|)/(|BP|) = (|BC|)/(|AB|)` 

`(|BR|)/(|BP|) = (8/5|BR|)/16` 

`(|BR|)/(|BP|) = (|BR|)/10` 

`|BP| = 10` 

 

A więc:

`|AP| = |AB|-|BP| = 16 - 10 = 6` 

Przekątne trapezu podzieliły ...

`"Zauważmy, że trójkąty o polach"\ P_1,P_3\ "są podobne".` 

`a/x=b/(3x)` 

`b=3a` 

`P_1=(xa)/2` 

`P_3=(3xb)/2=(9ax)/2` 

`P_3=9P_1`

`"Odpowiedzi B,C,D są nieprawdziwe, czyli poprawną odpowiedzią jest odpowiedź A."` 

Dane są okrąg o środku O i promieniu R oraz..

Pamiętajmy, że r>0

a) jeden punkt wspólny:

`{(r+1=5 => r=4),(|r-1|=5 => r=-4\ l u b \ r=6):}\ \ \ => r in {4,\ 6}`

brak punktów wspólnych:

`{(5>r+1\ =>r<4),(5<|r-1|\ =>r in (-infty, -4) uu (6, infty) ):}\ =>r in (0, 4) uu (6, infty)`

dwa punkty wspólne:

`{(5<r+1\ =="">r>4),(5>|r-1|\ =>r in (-4, 6) ):}\ =>r in (4,6)`</r+1\>

 

a) jeden punkt wspólny:

`{(r+3=6 => r=3),(|r-3|=6 => r=-3\ l u b \ r=9):}\ \ \ => r in {3,\ 9}`

brak punktów wspólnych:

`{(6>r+3\ =>r<3),(6<|r-3|\ =>r in (-infty, -3) uu (9, infty) ):}\ =>r in (0,3) uu (9, infty)`

dwa punkty wspólne:

`{(6<r+3\ =="">r>3),(6>|r-3|\ =>r in (-3, 9) ):}\ =>r in (3,9)`</r+3\>

 

Zbadaj monotoniczność ciągu...

a)

`a_n=3n-1` 

`a_(n+1)=3(n+1)-2=3n+3-2=3n+1` 

 

Sprawdźmy czy ciąg jest rosnący.

`a_(n+1) > a_n` 

`3n+1 > 3n-1 \ \ \ |-3n` 

`1 > -1` 

Odp. Ciąg jest rosnący.


b)

`a_n=(5n+1)/3` 

`a_(n+1)=(5(n+1)+1)/3=(5n+5+1)/3=(5n+6)/3` 

 

Sprawdźmy czy ciąg jest rosnący.

`a_(n+1) > a_n` 

`(5n+6)/3 > (5n+1)/3 \ \ \ |*3` 

`5n+6 > 5n+1 \ \ \ |-5n` 

`6 > 1` 

Odp. Ciąg jest rosnący.


c)

`a_n=(5n+1)/(n+3)` 

`a_(n+1)=(5(n+1)+1)/(n+1+3)=(5n+5+1)/(n+4)=(5n+6)/(n+4)` 

 

Sprawdźmy czy ciąg jest rosnący.

`a_(n+1) > a_n` 

`(5n+6)/(n+4) > (5n+1)/(n+3)` 

`(5n+6)/(n+4) - (5n+1)/(n+3) > 0` 

`((5n+6)(n+3))/((n+4)(n+3)) - ((5n+1)(n+4))/((n+4)(n+3)) > 0` 

`((5n^2+15n+6n+18)-(5n^2+20n+1n+4))/((n+4)(n+3)) > 0` 

`(5n^2+21n+18-5n^2-21n-4)/((n+4)(n+3)) > 0` 

`14/((n+4)(n+3)) > 0 \ \ \ |*((n+4)(n+3))^2` 

`14(n+4)(n+3) >0` 

`n in (-oo,-4)uu(-3,+oo)` 

Powyższa nierówność jest spełniona przez każda liczbę naturalną dodatnią.

Odp. Ciąg jest rosnący.

Rozwiąż równanie. Podaj krotność ...

`"a)"\ x^3-3x^2-4x=0`

`#underbrace(x)_("I czynnik")*#underbrace((x^2-3x-4))_("II czynnik")=0`

I czynnik:

`x=0`

II czynnik:

`x^2-3x-4=0`

`Delta=9-16=25`

`sqrtDelta=5`

`x_1=(3-5)/2=-1`

`x_2=(3+5)/2=4`

II czynnik możemy zapisać w postaci iloczynowej:

`x^2-3x-4=(x+1)(x-4)`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x(x+1)(x-4)=0`

Pierwiastki tego równania to:

`x=0\ \ \ \ \ \ x=-1\ \ \ \ \ x=4`

`"krot".\ 1\ \ \ \ \ "krot."\ 1\ \ \ \ \ "krot."\ 1`

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -1,0 oraz 4. Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ x^5-6x^4+9x^3=0`

`#underbrace(x^3)_("I czynnik")*#underbrace((x^2-6x+9))_("II czynnik")=0`

I czynnik:

`x=0`

II czynnik:

`x^2-6x+9=0`

`Delta=36-36=0`

`x=6/2=3`

II czynnik możemy zapisać w postaci iloczynowej:

`x^2-6x+9=(x-3)^2`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x^3(x-3)^2=0`

Pierwiastki tego równania to:

`x=0\ \ \ \ \ \ x=3`

`"krot".\ 3\ \ \ \ \ "krot."\ 2`

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby 0 oraz 2.

0 jest pierwiastkiem trzykrotnym.

3 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ x^4-2x^2+1=0`

Wykonujemy podstawienie:

`x^2=t`

`t^2-2t+1=0`

`Delta=4-4=0`

`t=2/2=1`

Równanie możemy zapisać w postaci:

`(t-1)^2=0`

Pamiętamy jednak, że wykonywaliśmy podstawienie, stąd w miejsce t podstawiamy x2:

`(x^2-1)^2=0`

Wyrażenie w nawiasie możemy rozpisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

`((x-1)(x+1))^2=0`

`(x-1)^2(x+1)^2=0`

Pierwiastki tego równania to:

`x=1\ \ \ \ \ \ x=-1`

`"krot".\ 2\ \ \ \ \ "krot."\ 2`

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -1 oraz 1.

Oba pierwiastki są pierwiastkami dwukrotnymi.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ x^4-4x^2+4=0`

Wykonujemy podstawienie:

`x^2=t`

`t^2-4t+4=0`

`Delta=16-16=0`

`t=4/2=2`

Równanie możemy zapisać w postaci:

`(t-2)^2=0`

Pamiętamy jednak, że wykonywaliśmy podstawienie, stąd w miejsce t podstawiamy x2:

`(x^2-2)^2=0`

Wyrażenie w nawiasie możemy rozpisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

`((x-sqrt2)(x+sqrt2))^2=0`

`(x-sqrt2)^2(x+sqrt2)^2=0`

Pierwiastki tego równania to:

`x=sqrt2\ \ \ \ \ \ x=-sqrt2`

`"krot".\ 2\ \ \ \ \ "krot."\ 2`

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -√2 oraz √2.

Oba pierwiastki są pierwiastkami dwukrotnymi.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ x^4+4x^3+5x^2=0`

`#underbrace(x^2)_("I czynnik")*#underbrace((x^2+4x+5))_("II czynnik")=0`

I czynnik:

`x=0`

II czynnik:

`x^2+4x+5=0`

`Delta=16-20<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków.

Początkowe równanie zapisujemy w postaci:

`x^2(x^2+4x+5)=0`

Pierwiastki tego równania to:

`x=0`

`"krot".\ 2`

Odp: Rozwiązaniem równania jest liczba 0.

0 jest pierwiastkiem  dwukrotnym.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"f)"\ x^5+4x^4+4x^3=0`

`#underbrace(x^3)_("I czynnik")*#underbrace((x^2+4x+4))_("II czynnik")=0`

I czynnik:

`x=0`

II czynnik:

`x^2+4x+4=0`

`Delta=16-16=0`

`x=-4/2=-2`

II czynnik możemy zapisać w postaci iloczynowej:

`(x^2+4x+4)=(x+2)^2`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x^3(x+2)^3=0`

Pierwiastki tego równania to:

`x=0\ \ \ \ \ \ x=-2`

`"krot".\ 3\ \ \ \ \ "krot."\ 2`

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby 0 oraz -2.

0 jest pierwiastkiem trzykrotnym.

-2 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"g)"\ x^3+3x^2-4x=0`

`#underbrace(x)_("I czynnik")*#underbrace((x^2+3x-4))_("II czynnik")=0`

I czynnik:

`x=0`

II czynnik:

`x^2+3x-4=0`

`Delta=9+16=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5`

`x_1=(-3-5)/2=-4`

`x=(-3+5)/2=1`

II czynnik możemy zapisać w postaci iloczynowej:

`x^2+3x-4=(x+4)(x-1)`

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x(x+4)(x-1)=0`

Pierwiastki tego równania to:

`x=0\ \ \ \ \ \ x=-4\ \ \ \ \ \ \ \ x=1`

`"krot".\ 1\ \ \ \ \ "krot."\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ "krot."\ 1`

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -4, 0 oraz 1.

Każdy pierwiastke jest jednokrotny. 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"h)"\ 3x^4-2x^3+x^2=0`

`#underbrace(x^2)_("I czynnik")*#underbrace((3x^2-2x+1))_("II czynnik")=0`

I czynnik:

`x=0`

II czynnik:

`3x^2-2x+1=0`

`Delta=4-12<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków.

Początkowe równanie zapisujemy w postaci:

`x^2(3x^2-2x+1)=0`

Pierwiastki tego równania to:

`x=0`

`"krot".\ 2`

Odp: Rozwiązaniem równania jest liczba 0. Jest to pierwiastek dwukrotny.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"i)"\ x^7-16x^3=0`

`#underbrace(x^3)_("I czynnik")*#underbrace((x^4-16))_("II czynnik")=0`

I czynnik:

`x=0`

II czynnik:

`x^4-16=0`

Wykonujemy podstawienie:

`t=x^2`

Stąd:

`t^2-16=0`

`t^2=16`

`t=4\ \ \ vv\ \ \ \ t=-4`

Równanie możemy zapisać w postaci:

`(t^2-16)=(t-4)(t+4)`

Wykonywaliśmy podstawienie, więc w miejsce t wstawiamay x2.

`(x^2-4)(x^2+4)`

Pierwszy z czynników tego równania możemy rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia:

`(x-2)(x+2)(x^2+4)`

(równanie x2+4 nie ma pierwiastków)

 

Początkowe równanie możemy zapisać w postaci:

`x^3(x-2)(x+2)(x^2+4)=0`

Pierwiastki tego równania to:

`x=0\ \ \ \ \ \ \ x=2\ \ \ \ \ \ \ \ x=-2`

`"krot".\ 3\ \ \ \ \ "krot."\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ "krot."\ 1`

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -2, 0 oraz 2.

-2 oraz 2 to pierwiastki jednokrotne.

0 jest pierwiastkiem trzykrotnym.

W trójkącie ABC, o bokach...

Rysunek poglądowy:

Skoro prosta DE dzieli odcinek BC na odcinki BD i CD w stosunku 1:2, to znaczy, że tak samo dzieli odcinek AC na odcinki AE i CE w stosunku 1:2.

`2x+x = 18` 

`3x = 18` 

`x = 6` 

 

`2y+y = 20`

`3y = 20` 

`y = 20/3 = 6 2/3`  

 

Z twierdzenia Talesa:

`(|ED|)/(2x) = 24/(2x+x)` 

`(|ED|)/12 = 24/18` 

`|ED| = 4/3*12 = 4*4 = 16` 

 

Zatem obwód czworokąta to:

`"Obw" = |AB|+|BD|+|ED|+|AE| = 24 + x + 16 + y = 52 2/3 \ ["cm"]` 

Boki równoległoboku...

Rysunek:

`sin 30^o = h/6 \ \ \ |*6`  

`6 sin 30^o = h`

`h = 6 * 1/2`

`h = 3 \ [cm]`

Oblicz odległość punktu...

Mając punkt o współrzędnych:

`A = (x^',y^')` 

oraz prostą daną w postaci ogólnej:

`Ax+By+C=0`  

możemy policzyć odległość pomiędzy punktem A oraz naszą prostą za pomocą wzoru:

`d = (|Ax^' + By^' +C|)/(sqrt(A^2+B^2))` 

 

`a")" \ d = (|1*1+1*(-2)+(-5)|)/(sqrt(1^2+1^2)) = (|1-2-5|)/(sqrt(1+1)) = (|-6|)/sqrt2 = (6sqrt2)/2 = 3sqrt2` 

 

b) Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

`3x+4y=8 \ \ \ |-8` 

`3x+4y-8=0`  

 

`d= (|3*1+4*(-2)+(-8)|)/sqrt(3^2+4^2) = (|3-8-8|)/sqrt(9+16) = (|-13|)/sqrt25 = 13/5` 

 

c) Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

`x-3y=-3 \ \ \ |+3` 

`x-3y + 3 =0` 

 

`d = (|1*1-3*(-2)+3|)/sqrt(1+(-3)^2) = (|1+6+3|)/sqrt10 = 10/sqrt10 = (10sqrt10)/10 = sqrt10`