Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równoległość i prostopadłość

W geometrii analitycznej często zachodzi potrzeba zbadania, czy dane dwie proste są równoległe albo prostopadłe. Sposobem na sprawdzenie tego jest przyjrzenie się ich równaniom w postaci $$y = ax+b$$.

Aby dwie proste były równoległe, muszą być nachylone pod tym samym kątem do osi $$x$$ (powstaną wtedy kąty odpowiadające, co właśnie warunkuje równoległość prostych).

1 równoległe

Tym, co określa kąt nachylenia, jest współczynnik $$a$$, więc aby dwie proste, określone równaniami $$y_1 = a_1x + b_1$$ i $$y_2 = a_2x + b_2$$ były równoległe, musi zachodzić $$a_1 = a_2$$. Współczynnik $$b$$ nie ma na to oczywiście żadnego wpływu, bo jedyne, co warunkuje, to odległość między nimi.

Badanie prostopadłości prostych jest równie łatwe. Ponownie: współczynnik $$b$$ nie ma tutaj żadnego znaczenia, liczy się jedynie kąt nachylenia do prostej X.

2 prostopadłe

Jeśli spojrzymy na rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi kątami przekonamy się, że

$$a_1 = an α = {m}/{n} = {1}/{ {n}/{m} } = {1}/{ an α}$$ = ctg α$$

Ale przecież $$α = 180° - β$$, więc $$- ctg α = ctg β = a_2$$

Z jedynki trygonometrycznej: $$ an α × (-ctg α) = -1$$. Warunkiem prostopadłości jest więc $$a_1 × a_2 = -1$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich x ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Uzasadnij, że równanie ma w podanym...

a)

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Ekstrema tej funkcji to rownanie matematyczne 

Funkcja rownanie matematyczne 

jest rosnąca w przedziale rownanie matematyczne 

jest malejąca w przedziale rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Wobec powyższego funkcja rownanie matematyczne przecina oś OX w przedziale rownanie matematyczne 


b)

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Ekstrema tej funkcji to rownanie matematyczne 

Funkcja rownanie matematyczne 

jest rosnąca w przedziale rownanie matematyczne 

jest malejąca w przedziale rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Wobec powyższego funkcja rownanie matematyczne przecina oś OX w przedziale rownanie matematyczne 

Wyznacz miary kątów α i ß przedstawionych

Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli

rownanie matematyczne

Jeśli funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów mniejszych od -6, to dla argumentów większych lub równych -6 przyjmuje wartości większe lub równe zero. W szczególności, dla argumentu -6 musi przyjmować wartość 0, czyli do wykresu należy punkt (-6, 0)

Funkcja liniowa ma wzór y=ax+b. 

Wiemy, że do wykresu należy punkt (0, 4), więc współczynnik b musi być równy 4 (patrz twierdzenie strona 101). 

Zatem funkcja jest postaci: 

rownanie matematyczne

Wiemy, że do wykresu należy punkt (-6, 0), czyli:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

Dla argumentu -4 funkcja musi przyjmować wartość 0 (w miejscu zerowym funkcja liniowa zmienia znak z dodatniego na ujemny lub z ujemnego na dodatni). 

Współczynnik b jest równy -2, więc funkcja ma wzór: 

rownanie matematyczne

Podstawiając współrzędne punktu (-4, 0):

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

 Dla argumentu 3 funkcja musi przyjmować wartość 0, funkcja musi być malejąca (dla argumentów większych od 3 ma wartości ujemne, więc dla argumentów mniejszych od 3 ma wartości dodatnie) Jeśli trójkąt ograniczony przez osie oraz wykres funkcji ma być równoramienny, to punkt przecięcia z osią OY musi mieć współrzędne (0, 3) lub (0, -3)  - wtedy przyprostokątne tego trójkąta będą miały długość 3. Jednak wiemy, że funkcja ma być malejąca, czyli punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0, 3). 

 

 

 

Jeśli punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0, 3), to współczynnik b jest równy 3, czyli funkcja ma wzór:

rownanie matematyczne

 

Podstawiając współrzędne punktu (3, 0) obliczymy wartość współczynnika a:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

Rozwiąż równanie.

rownanie matematyczne 

Wyrażenie ma sens liczbowy gdy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Rozwiążmy równanie:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Rozwiązaniami równania są liczby:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Wyrażenie ma sens liczbowy gdy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

Rozwiążmy równanie:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Drugi trójmian jest stale większy od zera.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Rozwiązaniami równania są liczby:

rownanie matematyczne 

Na płaszczyźnie zaznaczono n punktów ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

{premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne      

Kapitał 4000 zł złożono w banku ...

rownanie matematyczne 

Obliczamy wielkość kapitału po 4 latach przy oprocentowaniu rocznym 2,5%.

Kapitał poczatkowy to 4000 zł.

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne   

Obliczamy wielkość kapitału po 6 latach przy oprocentowaniu rocznym 3%.

Kapitał poczatkowy to 4000 zł.

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne     

Obliczamy wielkość kapitału po 10 latach przy oprocentowaniu rocznym 4,5%.

Kapitał poczatkowy to 4000 zł.

rownanie matematyczne 

Wyznacz wzór funkcji, której wykresem jest

rownanie matematyczne

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe a. Szukana prosta ma więc wzór y=3x+b. Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do wzoru współrzędne punktu P. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

 

 

 

rownanie matematyczne

Szukana prosta ma wzór y=-2x+b. Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do wzoru współrzędne punktu P. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

 

 

 

rownanie matematyczne

Szukana prosta ma wzór y=3/4x+b. Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do wzoru współrzędne punktu P. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

Szukana prosta ma wzór y=-0,8x+b. Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do wzoru współzędne punktu P. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

W pewnej klasie jest

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

Rzucamy cztery razy symetryczną

W każdym z czterech rzutów możemy otrzymać jedną z sześciu liczb. 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Rozłóżmy liczbę 120 na czynniki pierwsze:

rownanie matematyczne 

 

Mamy do dyspozycji cztery liczby wybrane spośród 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zapiszmy liczbę 120 w taki sposób, aby była iloczynem czterech takich liczb. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

W pierwszym i drugim przypadku użyto czterech różnych liczb - możemy je dowolnie permutować. W trzecim przypadku użyto czterech liczb, z których dwie się powtarzają (cyfra 2) - możemy je dowolnie permutować, ale ilość permutacji zbioru 4-elementowego musimy podzielić przez 2! - zamiana ze sobą dwójek nic nie zmienia. 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Iloczyn oczek będzie podzielny przez 3, jeśli co najmniej jedna liczba będzie dzielić się przez 3. Zdarzeniu B sprzyja wiele zdarzeń elementarnych, dlatego rozpatrzymy zdarzenie przeciwne. 

rownanie matematyczne 

 

Jeśli iloczyn oczek nie dzieli się przez 3, to każda z czterech liczb nie może dzielić się przez 3. Na każdym z czterech miejsc możemy więc postawić jedną z czterech liczb - 1, 2, 4 lub 5. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Możemy obliczyć na 2 sposoby. Pierwszy sposób jest analogiczny, jak poprzednio - permutujemy zbiór 4-elementowy, ale ilość permutacji musimy podzielić przez 2! (zamiana jedynek nic nie zmienia) oraz przez 2! (zamiana szóstek nic nie zmienia).

rownanie matematyczne 

 

Możemy także wybrać 2 z 4 miejsc dla jedynki, pozostałe miejsca uzupełniamy szóstkami. 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Mamy dwie możliwości - obie liczby występują dwa razy lub pierwsza liczba wystepuje raz, a druga trzy razy lub pierwsza liczba występuje trzy razy a druga raz. 

Wybieramy 2 z 6 liczb. Wybieramy 2 z 4 miejsc dla pierwszej liczby. Pozostałe miejsca uzupełniamy drugą liczbą.

rownanie matematyczne  

Wybieramy 2 z 6 liczb. Wybieramy 1 z 4 miejsc dla pierwszej liczby. Pozostałe miejsca uzupełniamy drugą liczbą. 

rownanie matematyczne  

Wybieramy 2 z 6 liczb. Wybieramy 3 z 4 miejsc dla pierwszej liczby. Pozostałe miejsca uzupełniamy drugą liczbą. 

` ` rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne