Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równoległość i prostopadłość

W geometrii analitycznej często zachodzi potrzeba zbadania, czy dane dwie proste są równoległe albo prostopadłe. Sposobem na sprawdzenie tego jest przyjrzenie się ich równaniom w postaci $$y = ax+b$$.

Aby dwie proste były równoległe, muszą być nachylone pod tym samym kątem do osi $$x$$ (powstaną wtedy kąty odpowiadające, co właśnie warunkuje równoległość prostych).

1 równoległe

Tym, co określa kąt nachylenia, jest współczynnik $$a$$, więc aby dwie proste, określone równaniami $$y_1 = a_1x + b_1$$ i $$y_2 = a_2x + b_2$$ były równoległe, musi zachodzić $$a_1 = a_2$$. Współczynnik $$b$$ nie ma na to oczywiście żadnego wpływu, bo jedyne, co warunkuje, to odległość między nimi.

Badanie prostopadłości prostych jest równie łatwe. Ponownie: współczynnik $$b$$ nie ma tutaj żadnego znaczenia, liczy się jedynie kąt nachylenia do prostej X.

2 prostopadłe

Jeśli spojrzymy na rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi kątami przekonamy się, że

$$a_1 = an α = {m}/{n} = {1}/{ {n}/{m} } = {1}/{ an α}$$ = ctg α$$

Ale przecież $$α = 180° - β$$, więc $$- ctg α = ctg β = a_2$$

Z jedynki trygonometrycznej: $$ an α × (-ctg α) = -1$$. Warunkiem prostopadłości jest więc $$a_1 × a_2 = -1$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz...

`a) \ a_2 = 3a_1 - 1 = 3-1 = 2` 

`a_3 = 3a_2 -2^2 = 3*2 - 4 = 2` 

`a_4 = 3a_3 - 3^2 = 3*2 - 9 = -3` 

`a_5 = 3a_4 - 4^2 = 3*(-3) -16 = -25` 

`a_6 = 3a_5 -5^2 = 3*(-25) - 25 = -100` 

 

`b) \ a_2 = 1*a_1 -1 = 1*2-1 = 1` 

`a_3 = 2*a_2 -1 = 2*1-1 = 1` 

`a_4 = 3*a_3 -1 = 3*1 - 1 = 2` 

`a_5 = 4 * a_4 - 1 = 4*2 -1 = 7` 

`a_6 = 5 * a_5 - 1 = 5*7 - 1 = 34` 

W czworokącie KLMN boki mają ...

Korzystając z nierówności trójkąta dla trójkąta KLN zapisujemy: 

`{(10+|NL|>4), (10+4>|NL|), (4+|NL|>10):}` 

`{(|NL|> -6), (|NL|<14), (|NL|>6):}\ \ \ =>\ \ \ |NL|in (6,\ 14)`

 

Teraz zapisujemy nierówności dla trójkąta NML:

`{(8+|NL|>6), (8+6>|NL|), (6+|NL|>8):}`

`{(|NL|> -2), (|NL|<14), (|NL|>2):}\ \ \ =>\ \ \ |NL|in(2,\ 14)`

 

`(|NL|in(6,\ 14)\ \ \ ^^\ \ \ |NL|in(2,\ 14))\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(|NL|in(6,\ 14)))` 

 

Odp: Długość przekątnej NL może być liczbą z przedziału (6;14).

 

Liczby x i y ...

`x>y`  

`1/x, 1/y in NN` 

Skoro  `1/x` i `1/y` są kolejnymi cyframi naturalnymi (i x>y) to:

`1/y=1/x+1`    `|*xy`  

`x=y+xy` 

`y=x/(x+1)`    

Podstawmy wyliczony y do poniższego równania.

 

`x+y=0,4+xy`     

`x+x/(x+1)=4/10+x^2/(x+1)` 

`10x(x+1)+10x=4(x+1)+10x^2` 

`10x^2+10x+10x-4x-4-10x^2=0` 

`16x=4`  

`x=1/4` 

`y=x/(x+1)=(1/4)/(1/4+4/4)=1/5` 

`y/x=(1/5)/(1/4)=4/5` 

`4/5*100%=80%` 

 

`"Odpowiedź D."`            

Dane są ciągi arytmetyczne (an) i (bn)...

Skoro ciągi (an) i (bn) są arytmetyczne to:

`a_(n+1) - a_n = r_1` 

`b_(n+1) - b_n = r_2` 

 

`a) \ c_n = 2a_n + 3b_n` 

`c_(n+1) = 2a_(n+1) + 3b_(n+1)` 

Różnica:

`c_(n+1) - c_n = 2a_(n+1) + 3b_(n+1) - 2a_n - 3b_n = 2(a_(n+1) - a_n) + 3(b_(n+1) - b_n) = 2r_1 + 3r_2` 

Ciąg jest arytmetyczny.

 

`b) \ c_n = (4a_n - sqrt2b_n)/3` 

`c_(n+1) = (4a_(n+1) - sqrt2b_(n+1))/3` 

Różnica:

`c_(n+1) - c_n = (a_(n+1) - sqrt2b_(n+1) - 4a_n + sqrt2b_n)/3 = (4(a_(n+1)-a_n) -sqrt2(b_(n+1) - b_n))/3 = (4r_1 - sqrt2r_2)/3` 

Ciąg jest arytmetyczny.

 

`c) \ c_n = a_(2n-1) + 3b_n + 5` 

`c_(n+1) = a_(2(n+1) -1) + 3b_(n+1) + 5 = a_(2n+2-1) + 3b_(n+1) + 5 = a_(2n+1) + 3b_(n+1) +5` 

Różnica:

`c_(n+1) - c_n = a_(2n+1) + 3b_(n+1) + 5 - a_(2n-1) - 3b_n - 5 = a_(2n) + r_1 -a_(2n-1) + 3(b_(n+1) - b_n) = r_1+(a_(2n) - a_(2n-1)) +3r_2` 

`=r_1 + r_1 + 3r_2 = 2r_1 + 3r_2` 

Suma sześcianów trzech kolejnych liczb...

Trzy kolejne liczby całkowite mają postać:

`c, c+1, c+2` 

Suma ich sześcianów to:

`c^3  + (c+1)^3 + (c+2)^3= c^3 + c^3 + 3c^2 + 3c + 1 + c^3 + 6c^2 + 12c + 8 = 3c^3 + 9c^2+15c + 9 = 3(c^3+3c^2 + 5c+3)`  

Ma się równać 99

`3(c^3+3c^2+5c+3) = 99` 

`c^3 + 3c^2 + 5c + 3= 33` 

`c^3 + 3c^2 + 5c - 30 =0` 

Wyznaczmy dodatnie dzielniki liczby 30

`D_30 = {1,2,3,5,6,10, 15, 30}` 

 

`f(c) = c^3 + 3c^2 + 5c - 30` 

`f(2) = 2^3 + 3*2^2 + 5*2 - 30 = 8 + 3*4 + 10 - 30 = 8 + 12 + 10 - 30 = 0` 

 

A więc dwumian c-2 występuje w rozkładzie wielomianu na czynniki. zatem:

`c^3 -2c^2 + 5c^2 - 10c + 15c - 30 =0` 

`c^2(c-2) + 5c(c-2) + 15(c-2)=0` 

`(c-2)(c^2 + 5c + 15)=0 \ \ \ |:(c^2 + 5c + 15) , \ \ c^2 + 5c + 15 > 0` 

`c-2 =0`

`c=2`  

 

Te liczby to:

`2, 3, 4` 

Wyznacz...

 

 

`a) \ {(a_1 + a_3 =0),(a_2 + a_4 = -8):}` 

`{(a_1 + a_1 + 2r =0),(a_1 + r + a_1 + 3r =-8):}` 

`{(2a_1 + 2r =0),(2a_1 + 2r + 2r =-8):}` 

`{(2a_1 + 2r =0),(0+2r=-8):}`

`{(2a_1 + 2r =0),(r=-4):}` 

`{(2a_1 -8 =0),(r=-4):}`  

`{(a_1 = 4),(r=-4):}` 

 

`a_2 = a_1 + r = 4 -4 = 0` 

 

 

`b) \ {(a_1 +a_4 = 12),(a_2 + a_4 + a_6 = 27):}` 

`{(a_1 + a_1 + 3r = 12),(a_1 + r + a_1 + 3r + a_1 + 5r = 27):}` 

`{(2a_1 + 3r = 12),(3a_1 + 9r = 27):}` 

`{(3r = 12 - 2a_1),(3a_1 + 3*3r = 27):}` 

`{(3r = 12 - 2a_1),(3a_1 + 3(12-2a_1) = 27):}` 

`{(3r = 12 - 2a_1),(3a_1 + 36 - 6 a_1 = 27):}` 

`{(3r = 12 - 2a_1),(-3a_1 = -9):}` 

`{(3r = 12 - 2a_1),(a_1 = 3):}` 

`{(3r = 6),(a_1=3):}` 

`{(r=2),(a_1=3):}` 

Nie istnieje wyraz tego ciągu równy 0 gdyż wszystkie wyrazy tego ciągu mają wartości nieparzyste.

 

 

`c) \ {(a_1*a_2=5),(a_1+a_3 = -4):}` 

`{(a_1*(a_1+r)=5),(a_1 + a_1 + 2r = -4):}` 

`{(a_1*(a_1+r)=5),(2a_1 + 2r = -4):}` 

`{(a_1 * (a_1 + r)=5),(2(a_1+r) =-4 \ \ \ |:2):}` 

`{(a_1 * (a_1 + r)=5),(a_1 + r = -2):}` 

`{(a_1 * (-2) = 5),(a_1 + r = -2):}` 

`{(a_1 = -5/2),(-5/2 + r = -2):}` 

`{(a_1 = -5/2),(r = 1/2):}` 

 

`a_n = a_1 + (n-1)r`

`a_n = -5/2 + (n-1)1/2` 

`-5/2 + (n-1) 1/2 = 0 \ \ \ |*2` 

 `-5 + (n-1) = 0` 

`n-1=5` 

`n=6` 

`a_6 = 0` 

Jaką długość może mieć ...

a)

Odcinek AB może mieć długość od 2 do 8. 

`2<=|AB|<=8`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

b)

          

Odcinek AB może mieć długość od 3 do 5. 

`3<=|AB|<=5`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) 

Odcinek AB może mieć długość od 0 do 6. 

`0<=|AB|<=6`

Wykres funkcji f przesuń o wektor u

Wykres funkcji f w każdym przykładzie poprowadzono przerywaną linią. Wykres nowej (przesuniętej) funkcji zaznaczono na pomarańczowo. 

Wzór otrzymanej funkcji g zapisano na każdym rysunku. 

 

`a)` 

`"Funkcja"\ g\ "rośnie w przedziale"\ <<-2;\ +infty).` 

`"Funkcja"\ g\ "maleje w przedziale"\ (-infty;\ -2>>.` 

 

 

 

`b)` 

`"Funkcja"\ g\ "rośnie w przedziale"\ (-infty;\ 1>>.` 

`"Funkcja"\ g\ "maleje w przedziale"\ <<1;\ +infty).` 

 

 

 

`c)` 

`"Funkcja"\ g\ "rośnie w przedziale"\ <<-2;\ +infty).` 

`"Funkcja"\ g\ "maleje w przedziale"\ (-infty;\ -2>>.` 

 

 

`d)` 

 

`"Funkcja"\ g\ "rośnie w przedziale"\ (-infty;\ -1>>.` 

`"Funkcja"\ g\ "maleje w przedziale"\ <<-1;\ +infty).` 

 

Dla jakich wartości parametru m...

a) `x^2-2mx+m+2=0` 

`Delta=(-2m)^2-4*1*(m+2)=4m^2-4m-8` 

`Delta=0` 

`4m^2-4m-8=0 \ \ \ |:4` 

`m^2-m-2=0` 

`Delta_m=(-1)^2-4*1*(-2)=1+8=9` 

`sqrt(Delta_m)=3` 

`m_1=(1-3)/2=(-2)/2=-1` 

`m_2=(1+3)/2=4/2=2` 

Odp. `m=-1`  


b) `(m+1)x^2+(m-1)x+2=0` 

`Delta=(m-1)^2-4*(m+1)*2=m^2-2m+1-8m-8=m^2-10m-7` 

`Delta=0` 

`m^2-10m-7=0` 

`Delta_m=(-10)^2-4*1*(-7)=100+28=128` 

`sqrt(Delta_m)=sqrt(128)=sqrt(64*2)=8sqrt2` 

`m_1=(10-8sqrt2)/2=5-4sqrt2` 

`m_2=(10+8sqrt2)/2=5+4sqrt2` 

Odp. `m=5+4sqrt2` 

Między liczby 3 oraz -9 wstaw cztery liczby

`a_1=3,\ \ \ a_2,\ \ \ a_3,\ \ \ a_4,\ \ \ a_5,\ \ \ a_6=-9`

 

Znamy pierwszy oraz szósty wyraz ciągu, więc możemy znaleźć r: 

`a_6=a_1+5r`

`-9=3+5r\ \ \ |-3`

`-12=5r\ \ \ |:5`

`r=-12/5=-2 2/5=-2,4`

 

 

`a_2=3+(-2,4)=0,6`

`a_3=0,6+(-2,4)=-1,8`

`a_4=-1,8+(-2,4)=-4,2`

`a_5=-4,2+(-2,4)=-6,6`

 

Między 3 i -9 należy wstawić kolejno liczby 0,6; -1,8; -4,2; -6,6