Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równoległość i prostopadłość - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równoległość i prostopadłość

W geometrii analitycznej często zachodzi potrzeba zbadania, czy dane dwie proste są równoległe albo prostopadłe. Sposobem na sprawdzenie tego jest przyjrzenie się ich równaniom w postaci $y = ax+b$.

Aby dwie proste były równoległe, muszą być nachylone pod tym samym kątem do osi $x$ (powstaną wtedy kąty odpowiadające, co właśnie warunkuje równoległość prostych).

1 równoległe

Tym, co określa kąt nachylenia, jest współczynnik $a$, więc aby dwie proste, określone równaniami $y_1 = a_1x + b_1$ i $y_2 = a_2x + b_2$ były równoległe, musi zachodzić $a_1 = a_2$. Współczynnik $b$ nie ma na to oczywiście żadnego wpływu, bo jedyne, co warunkuje, to odległość między nimi.

Badanie prostopadłości prostych jest równie łatwe. Ponownie: współczynnik $b$ nie ma tutaj żadnego znaczenia, liczy się jedynie kąt nachylenia do prostej X.

2 prostopadłe

Jeśli spojrzymy na rysunek z zaznaczonymi odpowiednimi kątami przekonamy się, że

$a_1 = an α = {m}/{n} = {1}/{ {n}/{m} } = {1}/{ an α}$ = ctg α$

Ale przecież $α = 180° - β$, więc $- ctg α = ctg β = a_2$

Z jedynki trygonometrycznej: $ an α × (-ctg α) = -1$. Warunkiem prostopadłości jest więc $a_1 × a_2 = -1$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Okrąg o środku ...

 - ponieważ są to kąty wierzchołkowe.

 

 - ponieważ są to kąty wierzchołkowe

 - ponieważ trójkąty  są równoramienne

Wobec tego  

 

Podobnie dla trójkątów  

 

 

Więc: 

 

 

Trójkąty   są równoramienne, czyli:

 

 

Trójkąty ABP i EFP są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.

Oblicz granicę.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

` `

Rozwiąż nierówność ...

 

 

      {premium}

 

Przypadek, gdy  

 

 

sprzeczność

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

Suma całkowitych rozwiązań mniejszych od 15:

 

 

Wskaż dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W...

Dzielnikami są:  

Sprawdzamy, który z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu  

 

 

 {premium}

 

Odp. Żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu  


Dzielnikami są:  

Sprawdzamy, który z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu  

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkiem wielomianu jest liczba  

Figura na rysunku składa się z czterech...

Pola trzech pierwszych prostokątów tworzą ciąg geometryczny zatem:

  

Pola trzech ostatnich prostokątów tworzą ciąg arytmetyczny zatem:

`2P_3 = P_2 + P_4` 

 

 

 

Stąd:

 

 

`4P_3^2 - 17 P_3 + 4 =0` 

 

 

 

 

 

 

Pole musi być dodatnie zatem:

 

 

Pole figury jest równe:

 

Odpowiedź C

Na rysunku obok przedstawiono

 

W przedziale <1; 2) funkcja jest malejąca. Zbiór wartości będzie więc postaci:{premium}

 

 

 

 

Patrząc na wykres wnioskujemy, że zbiór wartości będzie postaci:

  

Wyznacz wyrażenie W=2S-3T

 

 

  

 

{premium}

 

 

  

Liczby 1, 2, 3, 4, 5 ustawiamy w szereg...

Możliwe przypadki:{premium}

  • 3, 4, __,  __,  __
  • __, 3, 4, __, __
  • __, __, 3, 4, __
  • __, __, __, 3, 4

W każdym z tych (czterech) przypadków liczby 3 i 4 są na ustalonych miejscach, a na pozostałych miejscach ustawiamy liczby 1, 2 i 5 w sposób losowy. Zgodnie z regułą mnożenia możemy to zrobić na 3٠2٠1=6 sposobów. Ponadto, liczby 4 i 3 możemy zamienić miejscami, więc ilość otrzymanych wyników należy jeszcze pomnożyć przez 2. Wobec tego, ilość możliwych ustawień obliczamy następująco:

 

Wyznacz współczynniki wielomianu W(x) tak, aby...

 

 {premium}

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

Cztery ponumerowane kule umieszczono ...

Pierwszą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Drugą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Trzecią kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Czwartą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby. {premium}

Łączna ilość wszystkich możliwości:

 

 

a) A - każda kula trafi do innej szuflady

Pierwszą kulę możemy umieścić w jednej z czterech szuflad, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby.

Drugą kulę możemy umieścić w jednej z trzech szuflad, czyli możemy to zrobić na 3 sposoby.

Trzecią kulę możemy umieścić w jednej z dwóch szuflad, czyli możemy to zrobić na 2 sposoby.

Czwartą kulę możemy umieścić w pustej szufladzie, czyli możemy to zrobić na 1 sposób.

 

 

 

b) B - wszystkie kule trafią do jednej szuflady

Mamy 4 możliwości - kule trafią do pierwszej szuflady lub kule trafią do drugiej szuflady lub kule trafią do trzeciej szuflady lub kule trafią do czwartej szuflady