Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania wielomianowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania wielomianowe

Dotychczas zajmowaliśmy się jedynie równaniami liniowymi i kwadratowymi -nadszedł czas na rozwinięcie ich na wielomiany wyższego stopnia.

Ogólna postać równania wielomianowego to:

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$$

Rozwiązywanie takiego równania polega na niczym innym, jak znajdowaniu pierwiastków wielomianu. Oczywiście nie zawsze jest to wykonalne, jednak na maturze przykłady są tak ułożone, aby dało się to zrobić poznanymi przez nas metodami:

1) rozkładaniem wyrażenia na czynniki
2) stosując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
a także stosując nową, której nauczymy się w tym rozdziale:
3) poprzez podstawienie

Zwykle naszym celem będzie doprowadzenie do równania kwadratowego, z którym potrafimy sobie poradzić. Weźmy na przykład równanie:

$$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$$

1) Po pierwsze można zauważyć, że po wyłączeniu odpowiednich czynników przed nawias

$$3x^2(x + 2) + 3(x+2) = 0$$

możliwe staje się rozłożenie wielomianu na czynniki

$$3(x-2)(x^2 + 1) = 0$$

Gdy mamy już postać iloczynową, sprawdzamy po prostu, gdzie zerują się wszystkie nawiasy. W naszym przypadku pierwszy z nich ma pierwiastek w punkcie $$x=2$$, zaś drugi nie ma go wcale (jest sumą kwadratu i liczby dodatniej). Jedynym rozwiązaniem naszego równania jest więc $$x=2$$.


2) Druga metoda opiera sie na wypisaniu dzielników pierwszego i ostatniego współczynnika i sprawdzeniu wszystkich ich kombinacji. Jednak zanim to zrobimy warto podzielić obie strony przez równania przez 3 - uprościmy sobie w ten sposób pracę.
$$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$$ $$|:3$$
$$x^3+2x^2+x+2 = 0$$

a) Dzielniki 1 to: 1, -1
b) Dzielniki 2 to: 1, 2, -1, -2

Próbując różnych kombinacji odnajdujemy w końcu pierwiastek równy $$-2$$, a po podzieleniu wielomianu przez dwumian $$x+2$$ korzystając ze schematu Hornera otrzymujemy $$(x+2)(x^2+1) = 0$$. Dalsza część jest analogiczna jak w przypadku poprzedniej metody.

Sposób drugi może wydawać się bardziej skomplikowany i czasochłonny, ale jeżeli nie dostrzeżemy, jak należy rozkładać wielomian - jest to nasza jedyna droga.

Trzecia metoda - podstawienia - sprawdza się, gdy mamy do czynienia na przykład z równaniem dwukwadratowym. Jest to równanie postaci:

$$ax^{2n} + bx^n + c = 0$$

Mimo, że mamy tu do czynienia z wielomianem wysokiego stopnia, podstawiając $$x^n = t$$ otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

$$at^2 + bt + c = $$

Rozwiązujemy więc to równanie: załóżmy, że ma ono pierwiastki równe $$t_1$$ oraz $$t_2$$. Wracamy wtedy do podstawienia i otrzymujemy rozwiązania:

$$x_1 = t_1^n$$ oraz $$x_2 = t_2^n$$.

Przykład:
Rozwiązać równanie $$x^8 - 5x^4 + 6 = 0$$.

Pierwszy krok to podstawienie $$t = x^4$$. Zapisujemy równanie w nowej formie:
$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

Obliczając deltę i standardowo wyliczając pierwiastki otrzymujemy:

$$t_1 = 2$$ oraz $$t_2 = 3$$. Wracając do podstawienia uzyskujemy wyniki $$x_1 = 2^4 = 16$$ oraz $$x_2 = 3^4 = 81$$. Należy jeszcze pamiętać o sprawdzeniu, czy wyniki rzeczywiście są pierwiastkami równania wyjściowego. Dlaczego?

Ponieważ jeśli pierwiastkami byłyby liczby ujemne, to po podniesieniu do parzystej potęgi stałyby się dodatnie i w oczywisty sposób nie spełniałyby równania.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiąż równanie:
$$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$$

Pierwsza obserwacja, jakiej dokonujemy, to to, że $$x = 0$$ jest rozwiązaniem tego równania. Możemy więc założyć, że szukamy innych i podzielić obustronnie przez $$x$$.

$$2x^4 - 3x^3 + 2x - 3 = 0$$

Teraz będziemy rozwiązywali to równanie metodą wyłączania przed nawias. Zauważmy, że dzieląc nasz wielomian na dwa składniki możemy łatwo wyłączyć pewien wspólny czynnik:

$$x^3(2x - 3) + (2x - 3) = 0$$

$$(2x - 3)(x^3 + 1) = 0$$

Mając już taką postać możemy odnaleźć kolejne rozwiązanie, gdy zeruje się pierwszy czynnik:

$$2x - 3 = 0$$
$$2x = 3$$
$$x = {3}/{2}$$

Zakładając teraz, że $$x ≠ {3}/{2}$$ podzielmy obustronnie przez $$(2x - 3)$$.

Przechodzimy teraz wreszcie do ostatniej części rozwiązania:

$$x^3 + 1 = 0$$
$$x ^3 = -1$$

Możemy spierwiastkować obie strony (pierwiastkiem trzeciego stopnia)

$$x = -1$$

otrzymując w ten sposób trzecie rozwiązanie.

Doszliśmy więc do tego, że rozwiązaniami wyjściowego równania $$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$$ są liczby $$0, {3}/{2}, -1$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż pary trójkątów podobnych.

`a) \ (|IG|)/(|AC|) = (|IH|)/(|BC|) = (|GH|)/(|AB|) = 3` 

zatem trójkąty ABC i GHI są podobne.

 

`(|KM|)/(|DE|)=(|ML|)/(|EF|)=(|KL|)/(|DF|)=2` 

zatem trójkąty DEF i KLM są podobne.

 

b) Zauważmy, że nie istnieją takie dwa trójkąty żeby stosunki długości odpowiednich przyprostokątnych były równe zatem brak trójkątów podobnych.

 

Zauważmy, że trójkąt DEF nie jest podobny ani do trójkąta ABC gdyż:

`(|BC|)/(|DE|) = 2` 

`(|AC|)/(|EF|)=(7)/(4,5) ne 2` 

 

natomiast trójkąty DEF i IGH nie są podobne gdyż odcinki IH i DE mają równą długość natomiast odcinki EF i IG mają różne długości.

 

Trójkąty ABC i IGH nie są równe gdyż:

`(|BC|)/(|IH|) = 2`  

`(|AC|)/(|IG|)= 7/(7,5) ne 2` 

Oblicz x i y. W miejsce ...

`"a)"\ x=log100=2`  

`\ \ \ y=log_(3)81=4` 

`\ \ 2<4\ \ \ \ \ ===>\ \ \ \ \ x<y` 

 

`"b)"\ x=log0,1=log_()1/10=-1`  

`\ \ \ y=log_(5)0,2=log_(5)2/10=log_(5)1/5=-1` 

`\ \ \ -1=-1\ \ \ ===>\ \ \ x=y` 

 

`"c)"\ x=log_(4)2=1/2` 

`\ \ \ y=logsqrt10=log10^(1/2)=1/2` 

`\ \ \ 1/2=1/2\ \ \ ===>\ \ \ x=y` 

 

`"d)"\ x=log1=0` 

`\ \ \ y=log_(1/2)sqrt2=log_(1/2)2^(1/2)=log_(1/2)((1/2)^-1)^(1/2)=log_(1/2)(1/2)^(-1/2)=-1/2` 

`\ \ \ -1/2<0\ \ \ ===>\ \ \ y<x` 

 

`"e)"\ x=log_()1/sqrt10=log_()1/10^(1/2)=log_()10^(-1/2)=-1/2` 

`\ \ \ y=log_(8)1/2=log_(8)2^(-1)=log_(8)(root(3)8)^(-1)=log_(8)8^(-1/3)=-1/3` 

`\ \ \ -1/2<-1/3\ \ \ ===>\ \ \ x<y` 

 

`"f)"\ x=log_(1/2)1/64=log_(1/2)(1/2)^6=6` 

` \ \ \ y=log10^6=6` 

`\ \ \ 6=6\ \ \ ===>\ \ \ x=y` 

Oblicz wysokość i pole rombu, o którym wiadomo...

`"a)"` Rysunek pomocniczy:

 

Mamy dane:

`a=16\ "cm"` 

`alpha=60^@` 

Dla trójkąta `DeltaAED` mamy:

`sinalpha=h/a\ "/"*a`  

`h=asinalpha`      

`h=16*sin60^@=16*sqrt3/2=8sqrt3\ ["cm"]` 

Obliczamy pole romby:

`P=ah` 

`P=16*8sqrt3=128sqrt3\ ["cm"^2]` 

 

`"b)"` Rysunek pomocniczy:

    

Mamy dane:

`d=6\ "cm"` 

`alpha=30^@` 

Dla trójkąta `DeltaABS` mamy:

`cosalpha=(1/2d)/a` 

`a=(1/2d)/cosalpha` 

`a=(1/2*6)/cos30^@=3/(sqrt3/2)=6/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(6sqrt3)/3=2sqrt3\ ["cm"]` 

oraz

`sinalpha=(1/2p)/a\ "/"*2a` 

`p=2asinalpha` 

`p=2*2sqrt3*sin30^@=4sqrt3*1/2=2sqrt3\ ["cm"]` 

Obliczamy pole rombu:

`P=1/2pd` 

`P=1/2*2sqrt3*6=6sqrt3\ ["cm"^2]` 

Pole rombu możemy obliczyć również ze wzoru:            

`P=ah` 

Stąd:

`h=P/a` 

`h=(6sqrt3)/(2sqrt3)=3\ ["cm"]` 

Poniżej przedstawiono wykres ...

`"a)"\ f(x)=2^x-2`  

Aby narysować wykres funkcji g(x), odbijamy wykres funkcji f(x) symetrycznie względem osi OX.

Zbiór wartości:

`Z_w=(-oo,2)` 

Miejsce zerowe:

`x=1` 

Równanie asymptoty poziomej:

`y=2` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ f(x)=(1/2)^x-1` 

Aby narysować wykres funkcji g(x), odbijamy wykres funkcji f(x) symetrycznie względem osi OX.

Zbiór wartości:

`Z_w=(-oo,1)` 

Miejsce zerowe:

`x=0`  

Równanie asymptoty poziomej:

`y=1` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ f(x)=(1/4)^x-4` 

Aby narysować wykres funkcji g(x), odbijamy wykres funkcji f(x) symetrycznie względem osi OX.

Zbiór wartości:

`Z_w=(-oo,4)` 

Miejsce zerowe:

`x=-1`  

Równanie asymptoty poziomej:

`y=4`  

Określ stopień sumy

`a)` 

`u(x)+w(x)=(px^4+x-1)+(x^4+x^2+1)=px^4+x-1+x^4+x^2+1=(p+1)x^4+x^2+x`  

 

`{("st"(u+w)=4,\ \ \ "gdy"\ \ \ p+1ne0), ("st"(u+w)=2,\ \ \ "gdy"\ \ \ p+1=0):} \ \ \ =>\ \ \ {("st"(u+w)=4,\ \ \ "gdy"\ \ \ pne-1), ("st"(u+w)=2,\ \ \ "gdy"\ \ \ p=-1):}` 

 

 

`b)` 

`u(x)+w(x)=(px^4+2)+(-2x^4-px^3)=px^4+2-2x^4-px^3=(p-2)x^4+(2-p)x^3=(p-2)x^4+(-(p-2))x^3` 

 

`{("st"(u+w)=4,\ \ \ "gdy"\ \ \ p-2ne0), ("st"(u+w)=0,\ \ \ "gdy"\ \ \ p-2=0):} \ \ \ =>\ \ \ {("st"(u+w)=4,\ \ \ "gdy"\ \ \ pne2), ("st"(u+w)=0,\ \ \ "gdy"\ \ \ p=2):}` 

 

 

`c)` 

`u(x)+w(x)=((p^2-4)x^3+x)+((p-2)x^2+1)=(p^2-4)x^3+x+(p-2)x^2+1=(p^2-4)x^3+(p-2)x^2+x+1` 

 

`{("st"(u+w)=3,\ \ \ "gdy"\ \ \ p^2-4ne0\ \ \ "i"\ \ \ p-2ne0), ("st"(u+w)=2,\ \ \ "gdy"\ \ \ p^2-4=0\ \ \ "i"\ \ \ p-2ne0),("st"(u+w)=1,\ \ \ "gdy"\ \ \ p^2-4=0\ \ \ "i"\ \ \ p-2=0):}\ \ \ =>\ \ \ {("st"(u+w)=3,\ \ \ "gdy"\ \ \ p^2ne4\ \ \ "i"\ \ \ pne2), ("st"(u+w)=2,\ \ \ "gdy"\ \ \ p^2=4\ \ \ "i"\ \ \ pne2),("st"(u+w)=1,\ \ \ "gdy"\ \ \ p^2=4\ \ \ "i"\ \ \ p=2):}\ \ \ =>\ \ \ {("st"(u+w)=3,\ \ \ "gdy"\ \ \ pne-2\ \ \ "i"\ \ \ pne2), ("st"(u+w)=2,\ \ \ "gdy"\ \ \ p=-2),("st"(u+w)=1,\ \ \ "gdy"\ \ \ p=2):}`    

Rozłóż wielomian na czynniki.

`a) \ 9a^2 - 30a + 25 = (3a)^2 - 2 * 3a * 5 + 5^2  = (3a-5)^2` 

 

`b) \ 9/16x^2 - 3xy+4y^2 = (3/4x)^2 - 2*3/4x * 2y + (2y)^2 = (3/4x-2y)^2` 

 

`c) \ 8m^3 - 60m^2 + 150m - 125 = 8m^3 - 125 - 30(2m^2 - 5m) = (2m)^2 - 5^3 -30m(2m-5) = (2m-5)(4m^2 +10m +25)-30m(2m-5)=` 

`= (2m-5)(4m^2+10m+25-30m) = (2m-5)(4m^2-20m+25) = (2m-5)((2m)^2 - 2*2*5+5^2) = (2m-5)(2m-5)^2 = (2m-5)^3` 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić wykres funkcji f symetrycznie względem osi OY. 

 

Podajemy wzór funkcji g. Należy pamiętać, że przy odbiciu symetrycznym względem osi OY przedziały, w których określona jest funkcja, zmienią się odpowiednio. 

`g(x)=f(-x)={(-x+3\ \ \ "dla"\ \ \ x in (2;\ +infty)), (1\ \ \ "dla"\ \ \ x in <<1;\ 2>>), ((-x)^2\ \ \ "dla"\ \ \ x in (-infty;\ 1)):}={(-x+3\ \ \ "dla"\ \ \ x in (2;\ +infty)), (1\ \ \ "dla"\ \ \ x in <<1;\ 2>>), (x^2\ \ \ "dla"\ \ \ x in (-infty;\ 1)):}` 

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny...

`P_2` - pole podstawy ostrosłupa

`P_1` - pole przekroju

`h_2` - wysokość ostrosłupa

`h_1` - wysokość ostrosłupa powyżej przekroju

 

`P_1/P_2=k^2` 

Wiemy, że `P_2=2P_1` 

Wobec tego:

 

`(P_1)/(2P_1)=k^2` 

`1/2=k^2` 

`1/sqrt2=k` 

`sqrt2/2=k` 

 

`h_1/h_2=sqrt2/2` 

`h_1=sqrt2/2h_2` 

 

`h_1/(h_2-h_1)=?` 

 

`h_1/(h_2-h_1)=(sqrt2/2h_2)/(h_2-sqrt2/2h_2)=(sqrt2/2h_2)/(h_2(1-sqrt2/2))=(sqrt2/2)/(1-sqrt2/2)=(sqrt2/2)/((2-sqrt2)/2)=sqrt2/2*2/(2-sqrt2)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ =sqrt2/(2-sqrt2)=sqrt2/(2-sqrt2)*(2+sqrt2)/(2+sqrt2)=(2sqrt2+2)/(4-2)=(2sqrt2+2)/2=(sqrt2+1)/1` 

 

Zauważmy, że odpowiedź podana w zbiorze zadań:

`1/(sqrt2-1)=1/(sqrt2-1)*(sqrt2+1)/(sqrt2+1)=(sqrt2+1)/(sqrt2^2-1^2)=(sqrt2+1)/(2-1)=sqrt2+1` 

Jest taka sama jak wynik otrzymany w naszym rozwiązaniu.

 

 

Pierwiastkami wielomianu w(x)

Pierwiastki wielomianu f to  -1, 2 i 3. Stopień wielomianu f to 3 (wiadomo z treści zadania), a liczba pierwiastków wielomianu (liczonych z krotnościami) jest nie większa od stopnia tego wielomianu, więc wnioskujemy, że każdy z pierwiastków ma krotność 1. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 2, więc możemy zapisać:

`w(x)=2(x+1)(x-2)(x-3)` 

Wykonajmy mnożenie i uporządkujmy wielomian w:

`w(x)=(2x+2)(x-2)(x-3)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(2x^2-4x+2x-4)(x-3)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(2x^2-2x-4)(x-3)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2x^3-6x^2-2x^2+6x-4x+12=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2x^3-8x^2+2x+12` 

 

Z treści zadania wiemy jednak, że wielomian w(x) dany jest wzorem:

`w(x)=2x^3+ax^2+bx+c` 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, porównajmy więc odpowiednie współczynniki: 

`x^3:\ \ \ 2=2` 

`x^2:\ \ \ a=-8` 

`x^1:\ \ \ b=2` 

`x^0:\ \ \ c=12` 

 

Znamy współczynniki a, b, c:

`{(a=-8), (b=2), (c=12):}` 

 

 

Teraz przejdziemy do rozwiązania nierówności. Skorzystamy ze znanej postaci iloczynowej wielomianu w:

`w(x)>=x+1` 

`2(x+1)(x-2)(x-3)>=x+1\ \ \ \ |-(x+1)`  

`2(x+1)(x-2)(x-3)-(x+1)>=0`   

Wyciągamy wyrażenie (x+1) przed nawias:

`(x+1)(2(x-2)(x-3)-1)>=0` 

`(x+1)((2x-4)(x-3)-1)>=0` 

`(x+1)(2x^2-6x-4x+12-1)>=0` 

`(x+1)#(#(#(#(#underbrace((2x^2-10x+11))_(Delta=(-10)^2-4*2*11=))_(=100-88=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(10-2sqrt3)/(2*2)=(5-sqrt3)/2))_(x_2=(5+sqrt3)/2)>=0` 

`(x+1)*2(x-(5-sqrt3)/2)(x-(5+sqrt3)/2)>=0` 

`2(x+1)(x-(5-sqrt3)/2)(x-(5+sqrt3)/2)>=0` 

 

` ` Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Wszystkie pierwiastki są krotności nieparzystej, więc zmieniamy w nich znak wykresu. 

Oszacujmy:

`(5-sqrt3)/2~~(5-1,73)/2=(3,27)/2=1,635` 

`(5+sqrt3)/2~~(5+1,73)/2=(6,73)/2=3,365` 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`x in <<-1;\ (5-sqrt3)/2>>uu<<(5+sqrt3)/2;\ +infty)` 

Miara jednego z kątów trójkąta wynosi...

Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

`alpha=120^@` 

`x=4` 

`y=8` 

Obliczamy długość boku `a:`  

`a=x+y` 

`a=4+8=12` 

Z twierdzenia o dwusiecznej mamy:

`y/c=x/b` 

`8/c=4/b\ "/":4` 

`2/c=1/b` 

`c=2b` 

Zapisujemy twierdzenie cosinusów i wyznaczamy długość boku `b:` 

`a^2=b^2+c^2-2bc cosalpha` 

`a^2=b^2+(2b)^2-2b*2bcosalpha` 

`a^2=5b^2-4b^2cosalpha` 

`12^2=5b^2-4b^2cos120^@` 

`144=5b^2-4b^2cos(180^@-60^@)` 

`144=5b^2+4b^2cos60^@` 

`144=5b^2+4b^2*1/2` 

`144=5b^2+2b^2` 

`144=7b^2\ "/":7` 

`b^2=144/7` 

`b=12/sqrt7=(12sqrt7)/7` 

Obliczamy długość boku `c:` 

`c=2b` 

`c=2*(12sqrt7)/7=(24sqrt7)/7` 

Odp. Boki trójkąta mają długości: `12,\ (12sqrt7)/7,\ (24sqrt7)/7.`