Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania wielomianowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania wielomianowe

Dotychczas zajmowaliśmy się jedynie równaniami liniowymi i kwadratowymi -nadszedł czas na rozwinięcie ich na wielomiany wyższego stopnia.

Ogólna postać równania wielomianowego to:

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$$

Rozwiązywanie takiego równania polega na niczym innym, jak znajdowaniu pierwiastków wielomianu. Oczywiście nie zawsze jest to wykonalne, jednak na maturze przykłady są tak ułożone, aby dało się to zrobić poznanymi przez nas metodami:

1) rozkładaniem wyrażenia na czynniki
2) stosując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
a także stosując nową, której nauczymy się w tym rozdziale:
3) poprzez podstawienie

Zwykle naszym celem będzie doprowadzenie do równania kwadratowego, z którym potrafimy sobie poradzić. Weźmy na przykład równanie:

$$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$$

1) Po pierwsze można zauważyć, że po wyłączeniu odpowiednich czynników przed nawias

$$3x^2(x + 2) + 3(x+2) = 0$$

możliwe staje się rozłożenie wielomianu na czynniki

$$3(x-2)(x^2 + 1) = 0$$

Gdy mamy już postać iloczynową, sprawdzamy po prostu, gdzie zerują się wszystkie nawiasy. W naszym przypadku pierwszy z nich ma pierwiastek w punkcie $$x=2$$, zaś drugi nie ma go wcale (jest sumą kwadratu i liczby dodatniej). Jedynym rozwiązaniem naszego równania jest więc $$x=2$$.


2) Druga metoda opiera sie na wypisaniu dzielników pierwszego i ostatniego współczynnika i sprawdzeniu wszystkich ich kombinacji. Jednak zanim to zrobimy warto podzielić obie strony przez równania przez 3 - uprościmy sobie w ten sposób pracę.
$$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$$ $$|:3$$
$$x^3+2x^2+x+2 = 0$$

a) Dzielniki 1 to: 1, -1
b) Dzielniki 2 to: 1, 2, -1, -2

Próbując różnych kombinacji odnajdujemy w końcu pierwiastek równy $$-2$$, a po podzieleniu wielomianu przez dwumian $$x+2$$ korzystając ze schematu Hornera otrzymujemy $$(x+2)(x^2+1) = 0$$. Dalsza część jest analogiczna jak w przypadku poprzedniej metody.

Sposób drugi może wydawać się bardziej skomplikowany i czasochłonny, ale jeżeli nie dostrzeżemy, jak należy rozkładać wielomian - jest to nasza jedyna droga.

Trzecia metoda - podstawienia - sprawdza się, gdy mamy do czynienia na przykład z równaniem dwukwadratowym. Jest to równanie postaci:

$$ax^{2n} + bx^n + c = 0$$

Mimo, że mamy tu do czynienia z wielomianem wysokiego stopnia, podstawiając $$x^n = t$$ otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

$$at^2 + bt + c = $$

Rozwiązujemy więc to równanie: załóżmy, że ma ono pierwiastki równe $$t_1$$ oraz $$t_2$$. Wracamy wtedy do podstawienia i otrzymujemy rozwiązania:

$$x_1 = t_1^n$$ oraz $$x_2 = t_2^n$$.

Przykład:
Rozwiązać równanie $$x^8 - 5x^4 + 6 = 0$$.

Pierwszy krok to podstawienie $$t = x^4$$. Zapisujemy równanie w nowej formie:
$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

Obliczając deltę i standardowo wyliczając pierwiastki otrzymujemy:

$$t_1 = 2$$ oraz $$t_2 = 3$$. Wracając do podstawienia uzyskujemy wyniki $$x_1 = 2^4 = 16$$ oraz $$x_2 = 3^4 = 81$$. Należy jeszcze pamiętać o sprawdzeniu, czy wyniki rzeczywiście są pierwiastkami równania wyjściowego. Dlaczego?

Ponieważ jeśli pierwiastkami byłyby liczby ujemne, to po podniesieniu do parzystej potęgi stałyby się dodatnie i w oczywisty sposób nie spełniałyby równania.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiąż równanie:
$$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$$

Pierwsza obserwacja, jakiej dokonujemy, to to, że $$x = 0$$ jest rozwiązaniem tego równania. Możemy więc założyć, że szukamy innych i podzielić obustronnie przez $$x$$.

$$2x^4 - 3x^3 + 2x - 3 = 0$$

Teraz będziemy rozwiązywali to równanie metodą wyłączania przed nawias. Zauważmy, że dzieląc nasz wielomian na dwa składniki możemy łatwo wyłączyć pewien wspólny czynnik:

$$x^3(2x - 3) + (2x - 3) = 0$$

$$(2x - 3)(x^3 + 1) = 0$$

Mając już taką postać możemy odnaleźć kolejne rozwiązanie, gdy zeruje się pierwszy czynnik:

$$2x - 3 = 0$$
$$2x = 3$$
$$x = {3}/{2}$$

Zakładając teraz, że $$x ≠ {3}/{2}$$ podzielmy obustronnie przez $$(2x - 3)$$.

Przechodzimy teraz wreszcie do ostatniej części rozwiązania:

$$x^3 + 1 = 0$$
$$x ^3 = -1$$

Możemy spierwiastkować obie strony (pierwiastkiem trzeciego stopnia)

$$x = -1$$

otrzymując w ten sposób trzecie rozwiązanie.

Doszliśmy więc do tego, że rozwiązaniami wyjściowego równania $$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$$ są liczby $$0, {3}/{2}, -1$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W prostokącie, który nie jest kwadratem ...

`a)` 

`"Czy czworokąt ABCD jest kwadratem?"` 

`"Zauważmy, że kąty przy wierzchołkach A i C są proste."`  

`"Jest tak, ponieważ trójkąty EHA i GCF mają kąty o mierze"\ 45^@.` 

`180^@-45^@-45^@=90^@` 

 

`alpha,beta,delta,lambda- "jako kąty naprzemienne są równe"\ 45^@.` 

`"Tym samym kąty przy wierzchołkach B i D również są proste z tej samej przyczyny co kąty przy A i B."` 

`"Kąty czworokąta są proste jako kąty wierzchołkowe."` 

 

`"Zauważmy, że dwusieczne tworzą dwie pary prostych równoległych."` 

`"Z tego wnioskujemy, że"\ |DC|=|AB|\ "i"\ |AD|=|CB|.` 

`"Udowodniliśmy, że ABCD jest kwadratem."` 

{premium}

 

`b)` 

`"Dwusieczne kątów zewnętrznych pokrywają się z dwusiecznymi kątów wewnętrznych."` 

`"Podpunkt b robimy dokładnie tak samo jak a."`   

Kolarz w ciągu 3 sekund przejeżdża drogę

`2\ godz.\ 40\ min=2*60\ mi n+40\ mi n=160\ mi n=160*60\ sek`

 

Mamy zgodność jednostek czasu, możemy zapisać proporcję: 

`3\ sek\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ 15\ m`

`160*60\ sek\ \ \ -\ \ \ x\ m`

`x=(160*60*15)/3=160*20*15=160*300=48\ 000\ m=48\ km`

 

 

Sprawdź, czy dowolne ...

`a)` 

`alpha in(90^@;180^@)` 

`beta in (180^@;270^@)` 

Załóżmy dla tego i dalszych podpunktów, że:

`P_1 =(x_1;x_2)-`  pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta alfa

`P_2=(x_2;y_2)-`  pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta beta

  

`sinalphastackrel{?}>tgbeta`     

`sinalpha=y_1/sqrt(x_1^2+y_1^2)`    

`tgbeta=y_2/x_2` 

Weźmy przykładowe wartości spełniające założenia zadania:

`tgbeta=-3/-1=3>1` 

`max{sinalpha: alpha-"dowolny kąt"}<=1`  

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

 

`b)` 

`sinalpha+cosbeta<0`  

`sinalpha<-cosbeta`  

`y_1/sqrt(x_1^2+y_1^2)<-x_2/sqrt(x_2^2+y_2^2)`  

`x_1,x_2,y_2<0`  

`y_1>0`   

Zauważmy, że dla następujących wartości nierówność nie jest zachowana.

`(x_1;y_1)=(-1;2)`   

`(x_2;y_2)=(-1;-2)`  

`y_1/sqrt(1^2+4^2)<-x_2/sqrt(1^2+4^2)`   

`y_1<-x_2` 

`2<1`    

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

 

`c)` 

`tgalpha+ctgbeta/2<0` 

`tgalpha<-ctgbeta/2` 

Oznaczmy:

`gamma=beta/2` 

`gamma in (90^@;135^@)`    

`P_3=(x_3;y_3)-`  pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta gamma

 

`tgalpha<-ctggamma`   

`y_1/x_1<-x_3/y_3` 

`x_1,x_3 <0` 

`y_1,y_3>0` 

 

 

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest zawsze ujemna a prawa zawsze dodatnia.

Nierówność jest prawdziwa.

 

`d)`    

`tgbeta  < tgalpha` 

`y_2/x_2 < y_1/x_1`   

`x_1,y_2,x_2<0` 

`y_1>0` 

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest zawsze dodatnia a prawa zawsze ujemna.

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

Ćwiczenie 4

`a)` 

`S_7=3*(1-(-2)^7)/(1-(-2))=3*129/3=129` 

`b)` 

`S_5=-4*(1-3^5)/(1-3)=-4*(1-243)/-2=2*(-242)=-484` 

Sprawdź, czy oba równania opisują tę samą ...

`a)`  `x+3y-2=0` 

`A=1`, `B=3`, `C=-2` 

 

`x-3y+2=0` 

`A=1`, `B=-3``C=2` 

 

Równania nie opisują tej samej prostej (żadnego z równań nie można przekształcić tak, aby otrzymać równanie drugie).


`b)`  `3x+7y-2=0 \ \ \ \ \ \ \ \|*2`

`6x+14y-4=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \|*(-1)` 

`-6x-14y+4=0` 

 

Równania opisują tę samą prostą (równanie {premium}pierwszej prostej przekształcone zostało na równanie drugiej prostej). 


`c)`   `3x+6=0` 

`A=3`, `B=0`, `C=6` 

 

`2y+4=0` 

`A=0`, `B=2``C=0` 

 

Równania nie opisują tej samej prostej (żadnego z równań nie można przekształcić tak, aby otrzymać równanie drugie).


`d)`   `1/2x+2y-3=0 \ \ \ \ \ \ \ |*2` 

`1x+4y-6=0` 

`A=1`, `B=4`, `C=-6` 

 

`x-4y+6=0` 

`A=1`, `B=-4``C=6` 

 

Równania nie opisują tej samej prostej (żadnego z równań nie można przekształcić tak, aby otrzymać równanie drugie).

Tramwajem zatrzymującym się

`a)` 

Pierwsza osoba może wysiąść na jednym z ośmiu przystanków - 8 możliwości. 

Druga osoba może wysiąść na jednym z siedmiu pozostałych przystanków - 7 możliwości. 

Trzecia osoba może wysiąść na jednym z sześciu pozostałych przystanków - 6 możliwości. 

Czwarta osoba może wysiąść na jednym z pięciu pozostałych przystanków - 5 możliwości. 

Piąta osoba może wysiąść na jednym z czterech pozostałych przystanków - 4 możliwości. 

Szósta osoba może wysiąść na jednym z trzech pozostałych przystanków - 3 możliwości. 

Siódma osoba może wysiąść na jednym z dwóch pozostałych przystanków - 2 możliwości. 

 

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

`8*7*6*5*4*3*2=40\ 320` 

 

 

`b)` 

Nikt nie wysiada na pierwszym przystanku, więc do dyspozycji mamy 7 przystanków. Podobnie jak poprzednio - pierwsza osoba może wysiąść na jednym z siedmiu przystanków. Druga - na jednym z sześciu przystanków i tak dalej. 

 

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

`7*6*5*4*3*2*1=5040` 

Jest to liczba permutacji zbioru 7-elementowego. 

 

Liczba 3 jest granicą ciągu...

`A. \ lim_(n -> oo) (3-n)/(2n) = lim_(n -> oo) (n(3/n - 1))/(2n) = lim_(n -> oo) (3/n -1)/2 = -1/2` 

 

`B. \ lim_(n -> oo) (sqrt(3n) +2)/(sqrtn) = lim_(n -> oo) (sqrtn(sqrt3+2/sqrtn))/(sqrtn) = lim_(n -> oo) sqrt3+2/sqrtn = sqrt3+0 = sqrt3` 

 

`C. \ lim_(n -> oo) (n^2-9)/(n^2+3n) = lim_(n -> oo) (n^2 (1-9/n^2))/(n^2(1+3/n)) = lim_(n ->oo) (1-9/n^2)/(1+3/n) = (1-0)/(1+0)=1` 

 

`D. \ lim_(n -> oo) (2+3^(n+1))/(3^n) = lim_(n -> oo) (3^n (2/3^n +3))/(3^n) = lim_(n -> oo) 2/3^n + 3 = 0+3=3` 

Odpowiedź D

Boki trójkąta ABC zawierają się w prostych o równaniach...

Mając dwie proste o równaniach w postaci ogólnej:

`A_1 x + B_1 y + C_1 =0` 

`A_2 x + B_2 y + C_2 =0` 

 

wiemy, że będą prostopadłe gdy:

`A_1A_2 = - B_1 B_2` 

 

Zauważmy, że proste:

`4x-3y+10=0`  

oraz

`3x+4y-100=0` 

są prostopadłe bo:

`4*(-3)=-3*4` 

`-12 = -12` 

skoro istnieją dwie proste prostopadłe do siebie, zawierające boki trójkąta, to z tego wynika, że trójkąt jest prostokątny.

Beata poprosiła koleżanki o pomoc ...

x - liczba poproszonych koleżanek

y - liczba zaproszeń przypadająca na jedną osobę (w przypadku gdy mamy x koleżanek)

`x,y in NN`  

 

`{((x-2)(y+6)=72),(xy=72):}`  

`y=72/x` 

`(x-2)(72/x+6)=72` 

`72+6x-144/x-12=72` 

`6x^2-12x-144=0` 

`x^2-2x-24=0` 

`Delta=4+96=100` 

`sqrtDelta=10` 

 

`x_1=(2-10)/2=-4 notin NN`  

`x_2=(2+10)/2=6`           

`x=6` 

Pamiętajmy, że dwie Panie nie przyszły, zatem 6-2=4.

Zaproszenia wypisywały 4 osoby.  

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego...

Rysunek:

Z twierdzenia Pitagorasa:

`2^2 + 2^2 = x^2` 

`x^2 = 8` 

`x = 2sqrt2` 

 

Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie:

`P_1 = (x^2 sqrt3)/4 = (8 sqrt3)/4 = 2sqrt3` 

 

Potrojone pole trójkąta prostokątnego stanowiącego ścianę boczną:

`3P_2 = 3*1/2*2*2 = 3*2 = 6`  

 

Pole powierzchni całkowitej:

`P_c = P_1 + 3P_2 = 2sqrt3 + 6 = 2(sqrt3+3) \ ["cm"^2]`