Równania wielomianowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wielomianowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania wielomianowe

Dotychczas zajmowaliśmy się jedynie równaniami liniowymi i kwadratowymi -nadszedł czas na rozwinięcie ich na wielomiany wyższego stopnia.

Ogólna postać równania wielomianowego to:

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$

Rozwiązywanie takiego równania polega na niczym innym, jak znajdowaniu pierwiastków wielomianu. Oczywiście nie zawsze jest to wykonalne, jednak na maturze przykłady są tak ułożone, aby dało się to zrobić poznanymi przez nas metodami:

1) rozkładaniem wyrażenia na czynniki
2) stosując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
a także stosując nową, której nauczymy się w tym rozdziale:
3) poprzez podstawienie

Zwykle naszym celem będzie doprowadzenie do równania kwadratowego, z którym potrafimy sobie poradzić. Weźmy na przykład równanie:

$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$

1) Po pierwsze można zauważyć, że po wyłączeniu odpowiednich czynników przed nawias

$3x^2(x + 2) + 3(x+2) = 0$

możliwe staje się rozłożenie wielomianu na czynniki

$3(x-2)(x^2 + 1) = 0$

Gdy mamy już postać iloczynową, sprawdzamy po prostu, gdzie zerują się wszystkie nawiasy. W naszym przypadku pierwszy z nich ma pierwiastek w punkcie $x=2$, zaś drugi nie ma go wcale (jest sumą kwadratu i liczby dodatniej). Jedynym rozwiązaniem naszego równania jest więc $x=2$.


2) Druga metoda opiera sie na wypisaniu dzielników pierwszego i ostatniego współczynnika i sprawdzeniu wszystkich ich kombinacji. Jednak zanim to zrobimy warto podzielić obie strony przez równania przez 3 - uprościmy sobie w ten sposób pracę.
$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$ $|:3$
$x^3+2x^2+x+2 = 0$

a) Dzielniki 1 to: 1, -1
b) Dzielniki 2 to: 1, 2, -1, -2

Próbując różnych kombinacji odnajdujemy w końcu pierwiastek równy $-2$, a po podzieleniu wielomianu przez dwumian $x+2$ korzystając ze schematu Hornera otrzymujemy $(x+2)(x^2+1) = 0$. Dalsza część jest analogiczna jak w przypadku poprzedniej metody.

Sposób drugi może wydawać się bardziej skomplikowany i czasochłonny, ale jeżeli nie dostrzeżemy, jak należy rozkładać wielomian - jest to nasza jedyna droga.

Trzecia metoda - podstawienia - sprawdza się, gdy mamy do czynienia na przykład z równaniem dwukwadratowym. Jest to równanie postaci:

$ax^{2n} + bx^n + c = 0$

Mimo, że mamy tu do czynienia z wielomianem wysokiego stopnia, podstawiając $x^n = t$ otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

$at^2 + bt + c = $

Rozwiązujemy więc to równanie: załóżmy, że ma ono pierwiastki równe $t_1$ oraz $t_2$. Wracamy wtedy do podstawienia i otrzymujemy rozwiązania:

$x_1 = t_1^n$ oraz $x_2 = t_2^n$.

Przykład:
Rozwiązać równanie $x^8 - 5x^4 + 6 = 0$.

Pierwszy krok to podstawienie $t = x^4$. Zapisujemy równanie w nowej formie:
$t^2 - 5t + 6 = 0$

Obliczając deltę i standardowo wyliczając pierwiastki otrzymujemy:

$t_1 = 2$ oraz $t_2 = 3$. Wracając do podstawienia uzyskujemy wyniki $x_1 = 2^4 = 16$ oraz $x_2 = 3^4 = 81$. Należy jeszcze pamiętać o sprawdzeniu, czy wyniki rzeczywiście są pierwiastkami równania wyjściowego. Dlaczego?

Ponieważ jeśli pierwiastkami byłyby liczby ujemne, to po podniesieniu do parzystej potęgi stałyby się dodatnie i w oczywisty sposób nie spełniałyby równania.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiąż równanie:
$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$

Pierwsza obserwacja, jakiej dokonujemy, to to, że $x = 0$ jest rozwiązaniem tego równania. Możemy więc założyć, że szukamy innych i podzielić obustronnie przez $x$.

$2x^4 - 3x^3 + 2x - 3 = 0$

Teraz będziemy rozwiązywali to równanie metodą wyłączania przed nawias. Zauważmy, że dzieląc nasz wielomian na dwa składniki możemy łatwo wyłączyć pewien wspólny czynnik:

$x^3(2x - 3) + (2x - 3) = 0$

$(2x - 3)(x^3 + 1) = 0$

Mając już taką postać możemy odnaleźć kolejne rozwiązanie, gdy zeruje się pierwszy czynnik:

$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = {3}/{2}$

Zakładając teraz, że $x ≠ {3}/{2}$ podzielmy obustronnie przez $(2x - 3)$.

Przechodzimy teraz wreszcie do ostatniej części rozwiązania:

$x^3 + 1 = 0$
$x ^3 = -1$

Możemy spierwiastkować obie strony (pierwiastkiem trzeciego stopnia)

$x = -1$

otrzymując w ten sposób trzecie rozwiązanie.

Doszliśmy więc do tego, że rozwiązaniami wyjściowego równania $2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$ są liczby $0, {3}/{2}, -1$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem ...

 

 

 

 

 

  

  

    {premium}

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Prostokąt ABCD jest wpisany w okrąg...

Rysunek pomocniczy:


Mamy dane:

 


Wyznaczamy współrzędne punktów A i B (punkty przecięcia prostej AB i okręgu):{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

 

 

 

Współrzędne środka okręgu: S=(-2, -3).


Korzystając z działań na wektorach obliczamy współrzędne punktu C=(xC, yC)

 

 

 

Porównujemy odpowiednie współrzędne wektorów.

 

 

 


Analogicznie obliczamy współrzędne punktu D=(xD, yD)

 

 

 

Porównujemy odpowiednie współrzędne wektorów.

 

 

 


Obliczamy długości boków AB i BC:

 

 


Obliczamy pole prostokąta:

 


Odp. Pole prostokąta jest równe 40.

W prostokącie ABCD: |AB| = 15 cm, |BC| = 9 cm...

Rysunek poglądowy:

 

Jeżeli prostokąty są podobne to:

 

 

{premium}  

 

 

Pole i obwód prostokąta ABCD:

 

 

 

Pole i obwód prostokąta EBCF:

 

 

 

Pole i obwód prostokąta AEFD:

 

 

Obliczmy długość odcinka AE:

  

 

Wskaż rysunek...

Treść:

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek:    

 

Rozwiązanie:{premium}

Znajdziemy zbiór liczb spełniający poniższy warunek

 


1)

Rozwiążemy nierówność "1"

 {premium}

2)

Rozwiążemy nierówność "2"

Rozwiązaniem warunku (*) jest zatem zbiór liczb spełniających jednocześnie nierówność "1" i "2"

czyli

Odp. D.    

Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań...

Zacznijmy od wyznaczania zbioru rozwiązań nierówności x2-9 < 0.

 

 {premium}

 


a) Widzimy, że zbiorem rozwiązań nierówności x2-9 < 0 jest już przedział, który chcemy otrzymać. Należy więc dobrać tak wartość parametru m, żeby wyrażenie w drugim nawiasie (x- m) nie popsuło rozwiązania. Będzie tak, gdy wyrażenie w nawiasie nie będzie miało rozwiązań, czyli dla m > 0.


b) Oczekiwany zbiór nierówności otrzymalibyśmy po przemnożeniu wyrażenia (x2-9) przez liczbę ujemną. Oznacza to, że wyrażenie w drugim nawiasie (x- m) powinno być mniejsze od zera. Aby tak było, musielibyśmy ustalić konkretną wartość x, dla dowolnego x takie m nie istnieje.


c) Przedział, który chcemy otrzymać sugeruje, że pierwiastkami równania x- m=0 powinny być liczby 2 i -2. Będzie tak dla m=4.

Sprawdźmy to:

 

 

 

Wskaż wyrażenie, które....

   nie jest jednomianem

Wyrażenie ...

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy: {premium}

 

 

Odp. D

Pole rombu o boku długości...

Zauważmy, że pole rombu to pole dwóch trójkątów przystających.

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta  

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu...

a) Wierzchołek ma współrzędne (1,2). Jedno z miejsc zerowych to liczba 0, oba miejsca zerowe są równo odległe od wierzchołka. Drugie miejsce zerowe łatwo można bez obliczeń wyznaczyć patrząc na wykres ale dla ćwiczenia wyliczymy je:

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Zbiór wartości:

 

 

 

Funkcja rosnąca dla:

 

Funkcja malejąca dla:

 

 

 

Obliczmy współczynnik a posługując się postacią iloczynową.

{premium}  

 

 

 

 

 

Postać iloczynowa i postać kanoniczna:

 

 

b) Z wykresu możemy odczytać, że miejscami zerowymi są liczby -1,3. Pierwsza współrzędna wierzchołka to:

 

 

Postać iloczynowa:

 

 

Z wykresu możemy odczytać:

 

 

 

 

 

A więc postać iloczynowa jest równa:

 

wyznaczmy drugą współrzędną wierzchołka:

 

 

Postać iloczynowa jest równa postaci kanonicznej:

 

 

 

  

 

 

Zbiór wartości:

 

 

 

Funkcja malejąca:

 

Funkcja rosnąca:

 

 

 

c) Miejscami zerowymi są liczby -2 i 1 zatem pierwsza współrzędna wierzchołka to:

 

 

 

 

Z wykresu można odczytać, że:

 

zatem:

 

 

  

 

 

Postać iloczynowa:

 

Obliczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli:

 

 

Postać kanoniczna:

 

 

 

 

 

 

Zbiór wartości:

 

 

 

Funkcja malejąca:

 

Funkcja rosnąca:

Ile jest podzielnych przez 5 liczb trzycyfrowych ...

_ _ _

Przypadek I.

Cyfrą jedności jest 0. {premium}

Na pierwszym miejscu może być 1,2,3,4,5,6,7,8,9, czyli 9 możliwości wyboru cyfry.

Na drugim miejscu może być 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (oprócz cyfry, którą wybraliśmy na pierwsze miejsce), czyli 8 możliwości wyboru cyfry.

 

 

Przypadek II.

Cyfrą jedności jest 5.

Na pierwszym miejscu może być 1,2,3,4,6,7,8,9, czyli 8 możliwości wyboru cyfry.

Na drugim miejscu może być 0,1,2,3,4,6,7,8,9 (oprócz cyfry, którą wybraliśmy na pierwsze miejsce), czyli 8 możliwości wyboru cyfry.

 

 

Ilość wszystkich możliwości: