Równania wielomianowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wielomianowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania wielomianowe

Dotychczas zajmowaliśmy się jedynie równaniami liniowymi i kwadratowymi -nadszedł czas na rozwinięcie ich na wielomiany wyższego stopnia.

Ogólna postać równania wielomianowego to:

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$

Rozwiązywanie takiego równania polega na niczym innym, jak znajdowaniu pierwiastków wielomianu. Oczywiście nie zawsze jest to wykonalne, jednak na maturze przykłady są tak ułożone, aby dało się to zrobić poznanymi przez nas metodami:

1) rozkładaniem wyrażenia na czynniki
2) stosując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
a także stosując nową, której nauczymy się w tym rozdziale:
3) poprzez podstawienie

Zwykle naszym celem będzie doprowadzenie do równania kwadratowego, z którym potrafimy sobie poradzić. Weźmy na przykład równanie:

$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$

1) Po pierwsze można zauważyć, że po wyłączeniu odpowiednich czynników przed nawias

$3x^2(x + 2) + 3(x+2) = 0$

możliwe staje się rozłożenie wielomianu na czynniki

$3(x-2)(x^2 + 1) = 0$

Gdy mamy już postać iloczynową, sprawdzamy po prostu, gdzie zerują się wszystkie nawiasy. W naszym przypadku pierwszy z nich ma pierwiastek w punkcie $x=2$, zaś drugi nie ma go wcale (jest sumą kwadratu i liczby dodatniej). Jedynym rozwiązaniem naszego równania jest więc $x=2$.


2) Druga metoda opiera sie na wypisaniu dzielników pierwszego i ostatniego współczynnika i sprawdzeniu wszystkich ich kombinacji. Jednak zanim to zrobimy warto podzielić obie strony przez równania przez 3 - uprościmy sobie w ten sposób pracę.
$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$ $|:3$
$x^3+2x^2+x+2 = 0$

a) Dzielniki 1 to: 1, -1
b) Dzielniki 2 to: 1, 2, -1, -2

Próbując różnych kombinacji odnajdujemy w końcu pierwiastek równy $-2$, a po podzieleniu wielomianu przez dwumian $x+2$ korzystając ze schematu Hornera otrzymujemy $(x+2)(x^2+1) = 0$. Dalsza część jest analogiczna jak w przypadku poprzedniej metody.

Sposób drugi może wydawać się bardziej skomplikowany i czasochłonny, ale jeżeli nie dostrzeżemy, jak należy rozkładać wielomian - jest to nasza jedyna droga.

Trzecia metoda - podstawienia - sprawdza się, gdy mamy do czynienia na przykład z równaniem dwukwadratowym. Jest to równanie postaci:

$ax^{2n} + bx^n + c = 0$

Mimo, że mamy tu do czynienia z wielomianem wysokiego stopnia, podstawiając $x^n = t$ otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

$at^2 + bt + c = $

Rozwiązujemy więc to równanie: załóżmy, że ma ono pierwiastki równe $t_1$ oraz $t_2$. Wracamy wtedy do podstawienia i otrzymujemy rozwiązania:

$x_1 = t_1^n$ oraz $x_2 = t_2^n$.

Przykład:
Rozwiązać równanie $x^8 - 5x^4 + 6 = 0$.

Pierwszy krok to podstawienie $t = x^4$. Zapisujemy równanie w nowej formie:
$t^2 - 5t + 6 = 0$

Obliczając deltę i standardowo wyliczając pierwiastki otrzymujemy:

$t_1 = 2$ oraz $t_2 = 3$. Wracając do podstawienia uzyskujemy wyniki $x_1 = 2^4 = 16$ oraz $x_2 = 3^4 = 81$. Należy jeszcze pamiętać o sprawdzeniu, czy wyniki rzeczywiście są pierwiastkami równania wyjściowego. Dlaczego?

Ponieważ jeśli pierwiastkami byłyby liczby ujemne, to po podniesieniu do parzystej potęgi stałyby się dodatnie i w oczywisty sposób nie spełniałyby równania.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiąż równanie:
$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$

Pierwsza obserwacja, jakiej dokonujemy, to to, że $x = 0$ jest rozwiązaniem tego równania. Możemy więc założyć, że szukamy innych i podzielić obustronnie przez $x$.

$2x^4 - 3x^3 + 2x - 3 = 0$

Teraz będziemy rozwiązywali to równanie metodą wyłączania przed nawias. Zauważmy, że dzieląc nasz wielomian na dwa składniki możemy łatwo wyłączyć pewien wspólny czynnik:

$x^3(2x - 3) + (2x - 3) = 0$

$(2x - 3)(x^3 + 1) = 0$

Mając już taką postać możemy odnaleźć kolejne rozwiązanie, gdy zeruje się pierwszy czynnik:

$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = {3}/{2}$

Zakładając teraz, że $x ≠ {3}/{2}$ podzielmy obustronnie przez $(2x - 3)$.

Przechodzimy teraz wreszcie do ostatniej części rozwiązania:

$x^3 + 1 = 0$
$x ^3 = -1$

Możemy spierwiastkować obie strony (pierwiastkiem trzeciego stopnia)

$x = -1$

otrzymując w ten sposób trzecie rozwiązanie.

Doszliśmy więc do tego, że rozwiązaniami wyjściowego równania $2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$ są liczby $0, {3}/{2}, -1$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczba a jest pierwiastkiem

 

Jeśli liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x-2. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

{premium}   

 

 

 

 

Jeśli liczba 6 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x-6. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc wielomian nie ma innych pierwiastków.

 

 

 

 

Oczywiście możemy wykonać dzielenie pisemne, jak w poprzednich podpunktach, ale zauważmy, że wielomian w można łatwo przedstawić w postaci iloczynowej (przydatny będzie wzór skróconego mnóżenia na różnicę sześcianów). 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeśli liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x+5. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

 

  

Na diagramie kołowym przedstawiono ...

Suma miar kątów środkowych na tym diagramie wynosi 360o. Zatem: {premium}

  


Zdarzenie A polega na wylosowaniu buku. 

Obliczamy ile wynosi miara kąta środkowego odpowiadającego tej odpowiedzi. 

 

Zatem: 

 


Obliczamy ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia A. 

 

Przyjmijmy, że ciąg ...

Na pewno rosnące są ciągi:

 

 {premium}

 


Ciąg (cn) będzie malejący (bo ciąg (an) jest rosnący).

Na przykład:

 

 


Ciąg (dn) nie musi być rosnący.

Na przykład:

 

 

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu:

 

 

 

Ciąg (dn) nie jest ani rosnący, ani malejący.

Wykaż, że jeśli...

 

 

 

 {premium}

 

A więc:

 

Za 16 biletów do cyrku zapłacono 303 zł

{premium}

 

 

Oblicz f(-2), f(0)...

        {premium}

 

 



 

 

 


 

 

 

Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

    

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

   

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

       

  

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

        

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

Ze zbioru {1, 2, 3, ..., 11}

Mamy 11 liczb - 6 liczb nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9, 11) oraz 5 liczb parzystych (2, 4, 6, 8, 10). 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 11 liczb:

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 6 liczb nieparzystych:

{premium}  

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać parę złożoną z liczby parzystej i nieparzystej:

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 5 liczb parzystych:

 

 

Obliczamy prawdopodobieństwa, które zapiszemy na gałęziach drzewka:

 

 

  

 

Rysujemy drzewko i zapisujemy na gałęziach odpowiednie prawdopodobieństwa.

  

 

 

 



 

 

  

Określ monotoniczność funkcji

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz przybliżone rozwiązanie ...

 

 

 

 

 

 

{premium}