Równania wielomianowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wielomianowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania wielomianowe

Dotychczas zajmowaliśmy się jedynie równaniami liniowymi i kwadratowymi -nadszedł czas na rozwinięcie ich na wielomiany wyższego stopnia.

Ogólna postać równania wielomianowego to:

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$

Rozwiązywanie takiego równania polega na niczym innym, jak znajdowaniu pierwiastków wielomianu. Oczywiście nie zawsze jest to wykonalne, jednak na maturze przykłady są tak ułożone, aby dało się to zrobić poznanymi przez nas metodami:

1) rozkładaniem wyrażenia na czynniki
2) stosując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
a także stosując nową, której nauczymy się w tym rozdziale:
3) poprzez podstawienie

Zwykle naszym celem będzie doprowadzenie do równania kwadratowego, z którym potrafimy sobie poradzić. Weźmy na przykład równanie:

$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$

1) Po pierwsze można zauważyć, że po wyłączeniu odpowiednich czynników przed nawias

$3x^2(x + 2) + 3(x+2) = 0$

możliwe staje się rozłożenie wielomianu na czynniki

$3(x-2)(x^2 + 1) = 0$

Gdy mamy już postać iloczynową, sprawdzamy po prostu, gdzie zerują się wszystkie nawiasy. W naszym przypadku pierwszy z nich ma pierwiastek w punkcie $x=2$, zaś drugi nie ma go wcale (jest sumą kwadratu i liczby dodatniej). Jedynym rozwiązaniem naszego równania jest więc $x=2$.


2) Druga metoda opiera sie na wypisaniu dzielników pierwszego i ostatniego współczynnika i sprawdzeniu wszystkich ich kombinacji. Jednak zanim to zrobimy warto podzielić obie strony przez równania przez 3 - uprościmy sobie w ten sposób pracę.
$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$ $|:3$
$x^3+2x^2+x+2 = 0$

a) Dzielniki 1 to: 1, -1
b) Dzielniki 2 to: 1, 2, -1, -2

Próbując różnych kombinacji odnajdujemy w końcu pierwiastek równy $-2$, a po podzieleniu wielomianu przez dwumian $x+2$ korzystając ze schematu Hornera otrzymujemy $(x+2)(x^2+1) = 0$. Dalsza część jest analogiczna jak w przypadku poprzedniej metody.

Sposób drugi może wydawać się bardziej skomplikowany i czasochłonny, ale jeżeli nie dostrzeżemy, jak należy rozkładać wielomian - jest to nasza jedyna droga.

Trzecia metoda - podstawienia - sprawdza się, gdy mamy do czynienia na przykład z równaniem dwukwadratowym. Jest to równanie postaci:

$ax^{2n} + bx^n + c = 0$

Mimo, że mamy tu do czynienia z wielomianem wysokiego stopnia, podstawiając $x^n = t$ otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

$at^2 + bt + c = $

Rozwiązujemy więc to równanie: załóżmy, że ma ono pierwiastki równe $t_1$ oraz $t_2$. Wracamy wtedy do podstawienia i otrzymujemy rozwiązania:

$x_1 = t_1^n$ oraz $x_2 = t_2^n$.

Przykład:
Rozwiązać równanie $x^8 - 5x^4 + 6 = 0$.

Pierwszy krok to podstawienie $t = x^4$. Zapisujemy równanie w nowej formie:
$t^2 - 5t + 6 = 0$

Obliczając deltę i standardowo wyliczając pierwiastki otrzymujemy:

$t_1 = 2$ oraz $t_2 = 3$. Wracając do podstawienia uzyskujemy wyniki $x_1 = 2^4 = 16$ oraz $x_2 = 3^4 = 81$. Należy jeszcze pamiętać o sprawdzeniu, czy wyniki rzeczywiście są pierwiastkami równania wyjściowego. Dlaczego?

Ponieważ jeśli pierwiastkami byłyby liczby ujemne, to po podniesieniu do parzystej potęgi stałyby się dodatnie i w oczywisty sposób nie spełniałyby równania.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiąż równanie:
$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$

Pierwsza obserwacja, jakiej dokonujemy, to to, że $x = 0$ jest rozwiązaniem tego równania. Możemy więc założyć, że szukamy innych i podzielić obustronnie przez $x$.

$2x^4 - 3x^3 + 2x - 3 = 0$

Teraz będziemy rozwiązywali to równanie metodą wyłączania przed nawias. Zauważmy, że dzieląc nasz wielomian na dwa składniki możemy łatwo wyłączyć pewien wspólny czynnik:

$x^3(2x - 3) + (2x - 3) = 0$

$(2x - 3)(x^3 + 1) = 0$

Mając już taką postać możemy odnaleźć kolejne rozwiązanie, gdy zeruje się pierwszy czynnik:

$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = {3}/{2}$

Zakładając teraz, że $x ≠ {3}/{2}$ podzielmy obustronnie przez $(2x - 3)$.

Przechodzimy teraz wreszcie do ostatniej części rozwiązania:

$x^3 + 1 = 0$
$x ^3 = -1$

Możemy spierwiastkować obie strony (pierwiastkiem trzeciego stopnia)

$x = -1$

otrzymując w ten sposób trzecie rozwiązanie.

Doszliśmy więc do tego, że rozwiązaniami wyjściowego równania $2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$ są liczby $0, {3}/{2}, -1$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Strumień wody wypuszczanej z pewnego węża...

a) Aby dowiedzieć się na jakiej wysokości znajdował się wylot węża musimy obliczyć drugą współrzędną przecięcia wykresu z osią y:

   {premium}


b) Aby dowiedzieć się jak daleko w poziomie od wylotu węża sięgał strumień wody musimy obliczyć pierwszą współrzędną przecięcia wykresu z osią x:

 

 

 

 

 

 


c)  Aby dowiedzieć się na jaką wysokość sięgał strumień wody musimy obliczyć drugą współrzędną wierzchołka paraboli:

 

 

Podaj wzory funkcji, których...

Wykres zaznaczony niebieskim kolorem nad wykresem funkcji y=0,5x przecina oś y w punkcie (0; 4) do wykresu tej funkcji należy punkt (-2; 3)

wyznaczmy wzór tej funkcji:  {premium}

 

 

 

zatem wzór tej funkcji to:

 


Wykres zaznaczony niebieskim kolorem pod wykresem funkcji y=0,5x przecina oś y w punkcie (0; -3) do wykresu tej funkcji należy punkt (-2; -4)

wyznaczmy wzór tej funkcji:

 

 

 

zatem wzór tej funkcji to:

 

Okrąg podzielono na 6 równych ...

Wyznaczmy długość tego okręgu, czyli długość sześciu łuków jednakowej długości. {premium}

 

 

Wyznaczmy promień tego okręgu.

 

 

Oblicz, dla jakiej wartości parametru...

 

 

 

Funkcja   jest monotoniczna dla  . 

Skoro   dla  , to możemy stwierdzić, że funkcja   jest malejąca, a więc  (zauważmy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów zmierzających do 0).

      

Etap 1

{premium}

Musimy wyznaczyć, dla jakiego m funkcja   przyjmuje wartość    

Skorzystajmy z definicji logarytmu i podstawmy   w miejsce x.

 

 

  

 

  

 

     

 

  

   

Dane są ciągi...

 

Ciąg rosnący.

 

{premium}  

 

Ciąg rosnący.

 

 

 

 

 

Ciąg rosnący.

 

 

Ciąg malejący.

Naszkicuj wykres funkcji f.

 Narysujmy wykres funkcji:

 

Thumb zada1


Następnie prawą stronę wykresu funkcji f1(x) odbijamy symetrycznie względem osi OY, w ten sposób powstaje wykres funkcji 

{premium}  


Thumb zada2

Następnie wykres funkcji f2(x) odbijamy symetrycznie względem osi OX i wówczas powstaje wykres funkcji:

 

Thumb zada3

Następnie wykres funkcji f3(x) przesuwamy o wektor [0,1] i wówczas powstaje wykres funkcji f(x)

 

Thumb zada4

 Narysujmy wykres funkcji:

 

Thumb zada1

Następnie prawą stronę wykresu funkcji f1(x) odbijamy symetrycznie względem osi OY, w ten sposób powstaje wykres funkcji 

 

Thumb zada2

Następnie wykres funkcji f2(x) przesuwamy o wektor  i wówczas powstaje wykres funkcji f(x)

 

 

Thumb zadb



 W pierwszych dwóch krokach postępujemy analogicznie jak w podpunkcie a) i b)

Następnie wykres funkcji f2(x) przesuwamy o wektor  i wówczas powstaje wykres funkcji f(x)

 

Thumb zadc

a) Odcinek A'B' jest podobny ...

a)

Wiemy, że:

 

Obliczamy długość odcinka A'B', jeśli odcinek AB ma długość 2.{premium}

 

 

 


b)


Odpowiadające kąty w wielokątach podobnych mają równe miary, więc:

 


c)

Trójkąt K'L'M' jest podobny do trójkąta KLM w skali 1/3, więc:

 

Zatem:

 

Wiemy, że:

 

Więc:

 

 

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni...

Treść:

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe 63 . Bok tego trójkąta ma długość
A. 32 B. 23 C. 26 D. 62

 

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenie:

a -  długość boku tego trójkąta

 

Obliczmy długość boku tego trójkąta:  {premium}

 

 

 

Odp.: C

Napisz równanie kierunkowe...

 

Wyznaczmy wartość współczynnika kierunkowego prostej m:

   {premium}

 

 

Wyznaczmy wartość wyrazu wolnego prostej m:

 

 

 

więc:

 


 

Wyznaczmy wartość współczynnika kierunkowego prostej m:

 

  

Wyznaczmy wartość wyrazu wolnego prostej m:

 

 

 

więc:

 


 

Wyznaczmy wartość współczynnika kierunkowego prostej m:

 

  

 

Wyznaczmy wartość wyrazu wolnego prostej m:

 

 

 

więc:

 


 

Wyznaczmy wartość współczynnika kierunkowego prostej m:

 

  

Wyznaczmy wartość wyrazu wolnego prostej m:

 

 

 

więc:

 

 

Zbadaj, czy wykres funkcji f ...

a)

 

 

 

      {premium}

 

Prosta x=5 jest asymptotą pionową.


b)

 

 

 

 

 

Funkcja f nie ma asymptot pionowych.


c)

 

 

 

 

 

Prosta x=2 jest asymptotą pionową.


d)

 

 

 

 

 

Prosta x=0 jest asymptotą pionową.


e)

 

 

 

 

 

 

Prosta x=0 jest asymptotą pionową.

 

 

 

Prosta x=2 jest asymptotą pionową.


f)

 

 

 

 

 

 

Prosta x=-3 jest asymptotą pionową.

 

 

 

Prosta x=0 nie jest asymptotą pionową.