Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $(0,0)$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $x^2 + y^2 = r^2$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $a$ i $b$ i zapisując je w postaci $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $(a, b)$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $a$ i pionie $b$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $O_1$ o promieniu $r = 5$ i środku w punkcie $(2,3)$ opisuje równanie $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $O_1$ należy punkt $(-2, 0)$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$ jest prawdziwe. Obliczając:

$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $r$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $r$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$(x-a)^2 + (y-b)^2$ <= $r^2$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $x$ i $y$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $(x-1)^2 + (y-5)^2$ <= $3^2$ należy punkt $(1,1)$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$(1-1)^2 + (1-5)^2$ <= $9$
$16$ <= $9$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ równań i podaj jego ...

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

  

Którą z podanych nierówności...

Sprawdźmy A.

Założenie  

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

Narysujmy ten wielomian i odczytajmy rozwiązanie z rysunku.

 

 

Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy:

 

Jest to suma przedziałów jaką chcieliśmy uzyskać.

 

Odp. A

Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych ...

Zacznijmy od przykładu i poszukajmy jakiejś liczby naturalnej, która przy dzieleniu przez   daje resztę  ,

np.  .

 

Liczbę taką można przedstawić w postaci

 , 

gdzie   jest szukaną liczbą, a   jest dowolną liczbą naturalną (bo   jest liczbą naturalną).

 

Następną liczbą naturalną, która przy dzieleniu przez   daje resztę  , jest liczba o   większa od  , czyli {premium}

 .

 

Suma kwadratów tych liczb jest równa  

 .

Wyznaczamy  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  jest liczbą naturalną, więc

 .

Wyznaczamy  

 

oraz  

 .

 

Szukane liczby to:   i  .

Obwód czworokąta jest równy 52 cm

Rysunki są tylko pomocnicze - trójkąt równoboczny nie musi wyglądać na nim jak rówboboczny, ważne są długości boków, które oznaczamy literą x. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest ramieniem trójkąta równoramiennego. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest podstawą trójkąta równoramiennego. 

 

{premium}

`4x=46`

`x=46/4=23/2=11,5`

W pierwszym przypadku boki czworokąta mają długość 11,5 cm, 11,5 cm, 11,5 cm oraz 17,5 cm. 

 

 

`4x-12=52\ \ \ |+12`

`4x=64\ \ \ |:4`

W drugim przypadku boki czworokąta mają długość 16 cm, 16 cm, 10 cm, 10 cm. 

W trapezie ABCD, w którym...

Rysunek poglądowy:{premium}

Trójkąty DCE i ABE są podobne, wyznaczmy skale podobieństwa:

 

Skala podobieństwa pól jest kwadratem skali podobieństwa boków:

 

 

 

  

Pole trapezu:

 

Wyznacz współrzędne środka okręgu o średnicy PQ

a)

Współrzędne środka okręgu:

{premium}

Promień:

b)

Współrzędne środka okręgu:

Promień:

Oblicz podaną sumę:

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

 

 

 

{premium}  

   

 

Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

 

  

 

 

 

   

 

Zatem:

   

W jakich punktach przecinają się wykresy ...

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia tych wykresów.

 {premium}

 

 

 

 


Podstawiamy pomocniczą zmienną.

 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

 

 

 

 


Mamy więc:

 - równanie sprzeczne

 


Wyznaczamy drugą współrzędną puntu przecięcia.

 


Wykresy tych funkcji przecinają się w punkcie o współrzędnych .

 

Rozłóż sumę algebraiczną...

{premium}

 

 

 

 

 

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem ...

Przekrój osiowy stożka ma kształt trójkąta równobocznego o boku długości 6. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}

Średnica podstawy stożka ma długość 6. 

Promień podstawy ma długość: 

 

Pole podstawy wynosi: 

 


Wysokość trójkąta będącego przekrojem jest jednocześnie wysokością stożka. 

Wysokość stożka ma więc długość: 

 


Objętość stożka wynosi: 

 

  


Poprawna odpowiedź: D.