Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $(0,0)$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $x^2 + y^2 = r^2$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $a$ i $b$ i zapisując je w postaci $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $(a, b)$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $a$ i pionie $b$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $O_1$ o promieniu $r = 5$ i środku w punkcie $(2,3)$ opisuje równanie $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $O_1$ należy punkt $(-2, 0)$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$ jest prawdziwe. Obliczając:

$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $r$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $r$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$(x-a)^2 + (y-b)^2$ <= $r^2$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $x$ i $y$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $(x-1)^2 + (y-5)^2$ <= $3^2$ należy punkt $(1,1)$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$(1-1)^2 + (1-5)^2$ <= $9$
$16$ <= $9$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj działania. Odpowiedź podaj...

 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

 

Korzystając z powyższych obliczeń możemy zapisać, że:{premium}

 

Wykonujemy działania:

 


 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

 

Wykonujemy działania:

 


Oznaczmy:

 

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników liczby 45 jest pierwiastkiem wielomianu w:

 

 

 

Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x+5.

Wykonujemy dzielenie w:(x+5), stosując schemat Hornera.

  1 2 -6 45
-5   -5 15 -45
  1 -3 9 0

Otrzymujemy:

 

Stąd:

 

 


Wracamy do wykonywanych działań.

 



 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

 

Wykonujemy działania:

 


 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

Wykonujemy działania:

 


 

Określamy dziedzinę wyrażenia:

 

 

 

Wykonujemy działania:

 

Oblicz długość przeciwprostokątnej ...

Oznaczmy:

a, b - długości przyprostokątnych tego trójkąta 

c - długość przeciwprostokątnej tego trójkąta

 

Z treści zadania wiemy, że:

 

     {premium}

 

oraz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wielomian W(x) przy dzieleniu przez...

Z twierdzenia o rozkładzie wielomianu wiemy, że istnieją wielomiany  i  dla których

 

gdzie  lub   

 

U nas  Wtedy:

 lub  

 

Wynika stąd, że wielomian  możemy zapisać w postaci:

 gdzie  

Wówczas:

 

{premium}

 

Wiemy, że reszty z dzielenia wielomianu  przez dwumiany  oraz   są odpowiednio równe  oraz  

więc na podstawie twierdzenia o reszcie otrzymujemy:

 

 

Obliczamy:

 

 

Podstawiamy do układu:

 

Odejmujemy równania stronami:

 

 

 

 

Podstawiamy wyznaczone  do wzoru  

 

Odp.  

Wyznacz wiersze trójkąta Pascala dla...

Na bokach trójkąta Pascala znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią.

Zatem 9-ty i 10-ty wiersz wyglądają następująco:{premium}


Otrzymujemy:

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji f.

 

  • Dziedzina:

 

 

  • Punkty przecięcia z osiami:

 

Wykres przechodzi przez punkt (0,0)

 

 

 

  

 

Miejscem zerowym funkcji jest liczba:

 

 

  • Obliczamy granice funkcji f:

 

 

 

Asymptota pozioma jest dana równaniem:

 

 

  • Pochodna funkcji f:

 

 

 

Ekstrema i monotoniczność:

 

Na lewo od punktu 0 pochodna ma znak ujemny, na prawo znak dodatni a więc jest to minimum.

 

 

       
       
  malejąca  minimum rosnąca
{premium}

 

 

 

 

 

 

  • Dziedzina:

 

 

  • Punkty przecięcia z osiami:

 

Wykres przechodzi przez punkt (0,9/4)

 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

 

 

  • Obliczamy granice funkcji f:

 

 

 

Asymptota pozioma jest dana równaniem:

 

 

  • Pochodna funkcji f:

 

 

 

Ekstrema i monotoniczność:

 

Na lewo od punktu 1 pochodna ma znak dodatni, na prawo znak ujemny a więc jest to maksimum.

       
       
  rosnąca maksimum malejąca

 

 

 

 

 

  • Dziedzina:

 

 

  • Punkty przecięcia z osiami:

 

Wykres przechodzi przez punkt (0,0)

 

 

 

 

 

Miejscami zerowymi funkcji są liczby:

 

 

  • Obliczamy granice funkcji f:

 

 

Nie ma asymptoty poziomej.

 

  • Pochodna funkcji f:

 

 

 

Ekstrema i monotoniczność:

 

Na lewo od punktu 2/3 pochodna ma znak ujemny, na prawo znak dodatni a więc jest to minimum.

 

 

         
  brak       
  0 malejąca minimum rosnąca

 

 

 

Oblicz średnią arytmetyczną...

Jeśli równanie kwadratowe ax2+bx+c=0 ma pierwiastki x1, x2, to:

  •  
  •  

 

 

 

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x1, x2.{premium}

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

 

 

Obliczamy średnią arytmetyczną pierwiastków równania:

 

Obliczamy średnią geometryczną pierwiastków równania:

 


 

 

 

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x1, x2.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

 

 

Obliczamy średnią arytmetyczną pierwiastków równania:

 

Obliczamy średnią geometryczną pierwiastków równania:

 


 

 

 

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x1, x2.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

 

 

Obliczamy średnią arytmetyczną pierwiastków równania:

 

Obliczamy średnią geometryczną pierwiastków równania:

 


 

 

 

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x1, x2.

Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania, korzystając ze wzorów Viete'a:

 

 

Obliczamy średnią arytmetyczną pierwiastków równania:

 

Obliczamy średnią geometryczną pierwiastków równania:

 

Funkcja f jest określona...

Wiemy, że:

 

zatem łatwo możemy zauważyć, że: {premium}

 

 

Odp.: A

Przesuwając wykres funkcji f, można...

 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 1 jednostkę w prawo i{premium} 7 jednostek w górę.


 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 5 jednostek w lewo i 4 jednostki w dół.


 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo i 5 jednostek w górę.


 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 1 jednostkę w lewo i 8 jednostek w dół.

Proste k, l, m leżące w tej samej płaszczyźnie

Jako przykład można podać proste zawierające boki sześcianu. 

{premium}

 

Niech prosta k będzie prostą zawierającą bok AD. 

Prosta l niech będzie prostą zawierającą bok DH. 

Proste l i k są prostopadłe (bo boki AD i DH są prostopadłe). 

Niech prosta n będzie prostą zawierającą bok DC. 

Proste l i n są prostopadłe (bo boki DH i DC są prostopadłe). 

Proste k i n nie są równoległe - są prostopadłe (bo boki AD i DC są prostopadłe). 

Funkcja kwadratowa f(x)=9x^2-12x+4 ...

 

 

 

 

 

 

{premium}