Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $(0,0)$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $x^2 + y^2 = r^2$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $a$ i $b$ i zapisując je w postaci $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $(a, b)$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $a$ i pionie $b$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $O_1$ o promieniu $r = 5$ i środku w punkcie $(2,3)$ opisuje równanie $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $O_1$ należy punkt $(-2, 0)$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$ jest prawdziwe. Obliczając:

$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $r$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $r$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$(x-a)^2 + (y-b)^2$ <= $r^2$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $x$ i $y$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $(x-1)^2 + (y-5)^2$ <= $3^2$ należy punkt $(1,1)$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$(1-1)^2 + (1-5)^2$ <= $9$
$16$ <= $9$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na hiperboli o równaniu ...

Punkt C należy do hiperboli  , zatem jest postaci:

 

Dodatkowo z treści zadania wiemy, że x<0. {premium}

 

 

 

 

Obliczmy pole trójkąta o tych współrzędnych.

Przypomnijmy wzór na pole trójkąta:

 

 

 

 

 

Dodatkowo wiemy, że x<0, zatem:

 

 

Aby wyznaczyć wartość x, dla której pole trójkąta jest najmniejsze rozpatrzmy funkcję:

 

Należy wyznaczyć minimum tej funkcji (wtedy trójkąt ABC będzie najmniejszy). Wyznaczmy pochodną funkcji f, a następnie ekstrema tej funkcji.

 

 

Sprawdźmy kiedy f'(x)=0.

 

 

 

 

Wiemy, że x<0 zatem otrzymujemy:

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne punktu C.

 

 

 

 

 

 

 

Numery obowiązujących dowodów osobistych składają się z trzech (wielkich) ...

_ _ _ _ _ _ _ _ _

Pierwszą literę możemy wybrać na 26 możliwości.

Drugą literę możemy wybrać na 26 możliwości.

Trzecią literę możemy wybrać na 26 możliwości.   {premium}

Pierwszą cyfrę możemy wybrać na 1 sposób (tzw. cyfra kontrolna).

Drugą cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Trzecią cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Czwartą cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Piątą cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Szóstą cyfrę możemy wybrać na 10 sposobów (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

 

Ilość możliwości:

 

 

Zauważmy, że uwzględniliśmy sytuacje, gdzie na miejscu cyfr występują same zera. Należy odjąć te sytuacje.

Ilość takich sytuacji:

 

 

Łączna ilość wszystkich możliwości:

 

 

W okręgu o promieniu 3 cm cięciwa AB wyznacza długości...

Korzystając ze wzoru na długość łuku:  otrzymujemy:

{premium}  

 

 

 

 

 

Trójkąt AOB jest równoramienny, wobec tego:

  

 

Kąt zawarty między styczną a cięciwą AB :

 

Najmniejszą...

Dana jest nierówność

 

rozpisując otrzymujemy{premium}

zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej  

skąd dostajemy, że nierówność jest spełniona dla

 

więc najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, która spełnia tą nierówność jest liczba

 

 

Odp. B. 

Wyznacz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji

 

 

 

 

  

{premium}   

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

           

W liceum odbywają się zajęcia SKS ...

A - ilość osób uczęszczających na siatkówkę

B - ilość osób uczęszczających na koszykówkę

 

Z treści zadania wiemy, że: {premium}

Ilość osób uczęszczających na obydwa zajęcia: 5

Ilość osób uczęszczających tylko na siatkówkę: 15-5=10

Ilość osób uczęszczających tylko na koszykówkę: 12-5=7

Łączna ilość chłopców: 5+10+7=22

W urnie jest 48 kul białych...

Ilość białych kul:  

Ilość czarnych kul:  

{premium}  - ilość dołożonych kul 

 

Ilość wszystkich kul:  

 

Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli:  

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D

Funkcja f(x)= ...

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

Odp. B

Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Postać iloczynowa: 

 


a)  

 

{premium}  


b)  

 

 


c)  

 

 

 


d)  

 

 

 

Ciąg nieskończony ...

 

{premium}  

 

 

Dla n naturlanego otrzymane wyrażenie jest zawsze ujemne.

Ciąg jest malejący.