Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $$(0,0)$$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $$x^2 + y^2 = r^2$$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $$a$$ i $$b$$ i zapisując je w postaci $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $$(a, b)$$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $$a$$ i pionie $$b$$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $$O_1$$ o promieniu $$r = 5$$ i środku w punkcie $$(2,3)$$ opisuje równanie $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $$O_1$$ należy punkt $$(-2, 0)$$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $$(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$$ jest prawdziwe. Obliczając:

$$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $$r$$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $$r$$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2$$ <= $$r^2$$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $$x$$ i $$y$$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $$(x-1)^2 + (y-5)^2$$ <= $$3^2$$ należy punkt $$(1,1)$$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$$(1-1)^2 + (1-5)^2$$ <= $$9$$
$$16$$ <= $$9$$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wszystkie wartości współczynnika...

Jeżeli funkcja kwadratowa dana wzorem:

`f(x) = ax^2 + bx + c` 

ma dwa różne miejsca zerowe to:

`Delta > 0` 

 

`a) \ f(x) = 2x^2 -4x + c` 

`Delta = (-4)^2 -4*2*c= 16 -8c` 

 

`16-8c > 0` 

`16 > 8c` 

`2 > c` 

 

`b) \ f(x) = -x^2+5x+c` 

`Delta = 5^2 -4*(-1)*c = 25 + 4c` 

 

`25+4c > 0` 

`4c > -25` 

`c > -25/4 = - 6 1/4` 

 

`c) \ f(x) = 1/4x^2 -6x - c` 

`Delta = (-6)^2 -4*1/4*(-c) = 36 + c` 

 

`36+ c > 0` 

`c > -36` 

 

`d) \ f(x) = x^2 - x - c` 

`Delta = (-1)^2 -4*1*(-c) = 1 + 4c` 

 

`1+4c > 0`  

`4c > -1` 

`c > -1/4` 

Odwrotność największej spośród liczb

`(5sqrt5)^-2=1/(5sqrt5)^2=1/(5^2*sqrt5^2)=1/(25*5)=1/125=8/1000=0,008`  

`0,2^3=0,008`  

`0,04^2=0,0016` 

`((1/5)^2)^-1=(1/5)^-2=5^2=25` 

 

Największą liczbą jest ostatnia z powyższych liczb, jej odwrotność to `1/25` , więc należy zaznaczyć odpowiedź C.

Sześcian o krawędzi a ma przekątną

`a)\ sqrt48*sqrt3=sqrt(48*3)=sqrt(16*3*3)=sqrt16*sqrt(3*3)=4*3=12\ cm`

 

`b)\ a*a=12`

`\ \ \ a=sqrt12=sqrt4*sqrt3=2sqrt3\ cm`

Teraz obliczamy długość przekątnej: 

`\ \ \ asqrt3=2sqrt3*sqrt3=2*3=6\ cm`

 

 

`c)\ asqrt3=sqrt75\ \ \ |:sqrt3`

`\ \ \ a=sqrt75:sqrt3=sqrt(75:3)=sqrt25=5\ cm`

 

`\ \ \ V=a^3=5^3=125\ cm^3`

Oblicz podaną sumę:

`a)` 

`S_n=3+7+11+15+19+...+103` 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

`r=4` 

`a_1=3` 

`a_n=103=a_1+(n-1)r` 

`3+4(n-1)=103` 

`4(n-1)=100\ implies\ n-1=25` 

`n=26`   

 

Zatem:

`S_26=3+7+...+103=(3+103)/2*26=53*26=1378` 

 

`b)` 

`S_n=-2-8-14-20+...+(-176)` 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

`r=-6` 

`a_1=-2` 

`a_n=-176=a_1+(n-1)r` 

`-2-6(n-1)=-176` 

`n-1=174/6=29` 

`n=30` 

 

Zatem:

`S_30=-2-8+...+(-176)=(-2-176)/2*30=-178*15=-2670` 

 

`c)` 

`S_n=-7-4-1+2+5+...+227` 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

`r=3` 

`a_1=-7` 

`a_n=227=a_1+(n-1)r` 

`-7+3(n-1)=227` 

`n-1=234/3=78` 

`n=79` 

 

Zatem:

`S_79=-7-4+...+227=(-7+227)/2*79=110*79=8690` 

 

`d)` 

`S_n=29+22+15+...+(-272)` 

Zauważmy, że składnikami sumy są kolejne wyraz ciągu arytmetycznego o własnościach:

`r=-7` 

`a_1=29`  

`a_n=-272=a_1+(n-1)r` 

`29-7(n-1)=-272` 

`n-1=301/7=43` 

`n=44`   

 

Zatem:

`S_44=29+22+...+(-272)=(29-272)/2*44=243*22=5346`   

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej

`y=a(x-p)^2+q`

 

`W=(-1,\ 3)\ \ \ =>\ \ \ p=-1,\ \ q=3\ \ \ =>\ \ \ y=a(x+1)^2+3`

 

Teraz podstawiamy współrzędne punktu A w miejsce x i y

`13=a*(-6+1)^2+3`

`13=a*(-5)^2+3`

`13=25a+3\ \ \ |-3`

`10=25a\ \ \ |:25`

`a=10/25=2/5`

 

`ul(ul(y=2/5(x+1)^2+3))`

 

Zapisz liczbę w postaci ...

`"a)"\ 5sqrt5=5*5^(1/2)=5^(1+1/2)=5^(1 1/2)`  

`"b)"\ 49sqrt7=7^2*7^(1/2)=7^(2+1/2)=7^(2 1/2)` 

`"c)"\ 125root(3)5=5^3*5^(1/3)=5^(3+1/3)=5^(3 1/3)` 

`"d)"\ 5root(3)25=5root(3)(5^2)=5*5^(2/3)=5^(1+2/3)=5^(1 2/3)` 

`"e)"\ 16sqrt8=2^4*8^(1/2)=2^4*(2^3)^(1/2)=2^4*2^(3/2)=2^(4+3/2)=2^(5 1/2)` 

`"f)"\ 8root(3)16=2^3*16^(1/3)=2^3*(2^4)^(1/3)=2^3*2^(4/3)=2^(4 1/3)` 

`"g)"\ 4/root(3)2=2^2/2^(1/3)=2^(2-1/3)=2^(1 2/3)` 

`"h)"\ root(3)2/(2sqrt2)=2^(1/3)/2^(3/2)=2^(1/3-3/2)=2^(2/6-9/6)=2^(-1 1/6)` 

Funkcja f(x)...

Skoro dodatnie wartości przyjmuje dla argumentów większych od 4 to znaczy, że funkcja jest rosnąca. Współczynnik kierunkowy musi być dodatni. Liczba 4 jest miejscem zerowym.

Wyznaczmy wpierw zbiór m-ów dla których funkcja jest rosnąca:

`m(m-3)>0` 

`m_1 = 0 \ \ vv \ \ m_2 = 3` 

Parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc:

`m in (-oo, 0) \cup (3,oo)` 

 

Miejscem zerowym musi być liczba 4, a więc:

`f(4)=0` 

`m(m-3)*4+8m-8=0` 

`4m(m-3)+8m-8=0` 

`4m^2 -12m + 8m -8 =0` 

`4m^2 -4m-8=0` 

`m^2 -m -2=0` 

`m^2 + m - 2m -2 =0` 

`m(m+1)-2(m+1)=0` 

`(m+1)(m-2)=0` 

`m_1 = -1 \ \ vv \ \ m_2 = 2` 

Dla m=2 funkcja jest malejąca a więc jedynym rozwiązaniem jest m=-1.

Odpowiedź: m = -1

Wyrażenie x/6y...

`A.\ x/(6y)* 5/5=(5x)/(30y)!=(5x)/(5+6y)`

`B.\ x/(6y) *3/3=(3x)/(18y)`

`C.\ x/(6y)* x/x=(x^2)/(6xy)!=(x^2)/(6y^2)`

`D.\ x/(6y) *2/2=(2x)/(12y)!=(2x)/(3y)`

Uzupełnij tabelę

Spośród dwóch samochodów

`"długość trasy:"\ \ \ s\ [km]` 

`"czas jazdy drugiego samochodu:"\ \ \ t\ [h]` 

`"czas jazdy pierwszego samochodu:"\ \ \ (100%-20%)*t=80%*t=0,8t\ [h]` 

`"średnia prędkość drugiego samochodu:"\ \ s/t\ [km//h]` 

`"średnia prędkość pierwszego samochodu:"\ \ s/(0,8t)=1/(0,8)*s/t=10/8*s/t=5/4*s/t=1,25s/t\ [km//h]` 

 

 

Obliczamy, o ile większą średnią prędkość od drugiego samochodu miał pierwszy samochód (czyli jakim procentem różnicy prędkości jest prędkość drugiego samochodu):


`(1,25s/t-s/t)/(s/t)=(0,25s/t)/(s/t)=0,25=25%`