Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $(0,0)$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $x^2 + y^2 = r^2$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $a$ i $b$ i zapisując je w postaci $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $(a, b)$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $a$ i pionie $b$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $O_1$ o promieniu $r = 5$ i środku w punkcie $(2,3)$ opisuje równanie $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $O_1$ należy punkt $(-2, 0)$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$ jest prawdziwe. Obliczając:

$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $r$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $r$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$(x-a)^2 + (y-b)^2$ <= $r^2$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $x$ i $y$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $(x-1)^2 + (y-5)^2$ <= $3^2$ należy punkt $(1,1)$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$(1-1)^2 + (1-5)^2$ <= $9$
$16$ <= $9$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz ciąg geometryczny, w którym...

 

 

Rozwiążmy drugie równanie:

 

 

 

 

 

Wracając do pierwszego równania:

 

 

 

 

 

Wstawiając za  otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:

 

 

Rysujemy wykres funkcji o określonej dziedzinie:{premium}

 

 

Odczytujemy zbiór wartości:

  

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do pierwszej części wykresu:

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do drugiej części wykresu:

 

Odczytujemy zbiór wartości:

 

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do pierwszej części wykresu:

 

 

 

Obliczmy współrzędne dwóch punktów należących do drugiej części wykresu:

 

 

 

Odczytujemy zbiór wartości:

 

Uzupełnij...

 

 

 

 

            

Podaj warunki, dla których wyrażenie wymierne....

Wyrażenie to ma sens, gdy a≠0 i b≠0.

 

Wyrażenie to ma sens, gdy p≠0 i r≠0. 

 

Wyrażenie to ma sens, gdy a≠0 i b≠0.

 

Wyrażenie to ma sens, gdy x≠0 i x≠- 1/3.

` `

Wyrażenie to ma sens, gdy a≠-4 i a≠0.

Zapisz zaznaczony zbiór w postaci sumy przedziałów

Punkt A(3,-5) jest wierzchołkiem rombu ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Przekątne rombu przecinają się w połowie.

 

 

 

 

 

     

 

(Zamiast korzystać z własności wektorów można zapisać nieznane współrzędne punktu C następująco:

 

(punkt C leży na prostej y=-3x+4)

następnie:

 

 

Z powyższej zależności wyznaczymy c, czyli współrzędne wierzchołka C bez użycia wektorów.)

 

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, zatem: 

  

 

  

  

  

Rozwiązaniem poniższego układu są współrzędne jednego z wierzchołków rombu.

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy nieznane równania prostych zawierających boki rombu.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których...

 

Mamy:

 współczynnik kierunkowy

 wyraz wolny

By funkcja była rosnąca, musi zachodzić:    

  

 

 

By wykres funkcji przecinał oś  poniżej punktu  musi zachodzić:

 

 

 

Bierzemy część wspólną rozwiązań nierówności:

 

 

Odp.  

Ile początkowych wyrazów ...

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

Pierwiastkiem równania...

-2 jest pierwiastkiem tego równania, więc

Wyznacz wartości parametru b...

 

Zakładamy, że  ponieważ liczba pod pierwiastkiem musi być większa lub równa 0.  

 

a) nie ma rozwiązań, gdy   

 

 

Uwzględniając założenie: 

 

 

b) ma dwa rozwiązania, gdy  

 

 

 

c) ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy