Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $$(0,0)$$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $$x^2 + y^2 = r^2$$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $$a$$ i $$b$$ i zapisując je w postaci $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $$(a, b)$$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $$a$$ i pionie $$b$$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $$O_1$$ o promieniu $$r = 5$$ i środku w punkcie $$(2,3)$$ opisuje równanie $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $$O_1$$ należy punkt $$(-2, 0)$$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $$(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$$ jest prawdziwe. Obliczając:

$$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $$r$$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $$r$$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2$$ <= $$r^2$$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $$x$$ i $$y$$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $$(x-1)^2 + (y-5)^2$$ <= $$3^2$$ należy punkt $$(1,1)$$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$$(1-1)^2 + (1-5)^2$$ <= $$9$$
$$16$$ <= $$9$$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest okrąg o równaniu...

`x^2+y^2 + ax + by + c =0` 

`x^2 + ax + y^2 + by + c =0` 

`x^2 + 2*x*a/2 + y^2 + 2*y*b/2 + c = 0` 

`x^2 + 2*x*a/2 + a^2/4 - a^2/4 + y^2 + 2 * y *b/2 + b^2/4 - b^2/4 + c =0` 

`(x+a/2)^2 + (y+b/2)^2 + c -a^2/4 - b^2/4=0` 

`(x+a/2)^2 + (y+b/2)^2 = a^2/4 + b^2/4 - c` 

`r^2 = (a^2+b^2)/4 - c` 

`r = sqrt((a^2+b^2)/4 - c)` 

 

a) Odległość okręgu od prostej y=0:

`d = (|Ax+By+C|)/sqrt(A^2+B^2) = (|0*(-a/2)+1*(-b/2)|) = |-b/2| = |b/2|` 

Odległość jest równa długości promienia okręgu:

`|b/2| = sqrt((a^2+b^2)/4-c)` 

Założenie:

`(a^2+b^2)/4 - c >= 0` 

`a^2+b^2 geq 4c` 

 

Podnieśmy obustronnie do kwadratu:

 `(b/2)^2 = (a^2+b^2)/4 - c` 

`b^2/4 = a^2/4 + b^2/4 - c` 

`a^2/4 -c =0` 

`a^2 -4c =0` 

co kończy dowód.

 

 

`b) \ a^2 -4 = 0` 

`a^2 = 4` 

`a = 2 \ \ vv \ \ a = -2` 

Promień:

`r^2 = (4+b^2)/4 - 1 = 1 + b^2/4 - 1 = b^2/4` 

`r = (|b|)/2` 

 

Współrzędne środka:

`S_1 = (1, -b/2) \ , \ r= (|b|)/2` 

lub

`S_2 = (-1, -b/2) \ , \ r= (|b|)/2` 

Do prostej przechodzącej przez punkty ...

`P=(sqrt2;-1)` 

`Q=(-sqrt2;1)` 

 

`PQ:\ y= ax+b` 

`{(-1=sqrt2a+b),(1=-sqrt2a+b):}` 

`{( 1=-sqrt2a-b),(1=-sqrt2a+b):}` 

`2=-2sqrt2a `  

`sqrt2a=-1`  

`a=-1/sqrt2=-sqrt2/2` 

`b=1+sqrt2a=1+sqrt2*(-sqrt2)/2=0`    

`PQ:\ y=-sqrt2/2x`  

 

Sprawdźmy punkt z podpunktu D:

`(4;-2sqrt2)` 

`-2sqrt2=-sqrt2/2*4` 

`-2sqrt2=-2sqrt2` 

`0=0` 

Punkt z podpunktu D należy do prostej przechodzącej przez punkty P i Q.

`"Odpowiedź D."`   

 

W prostokącie o polu 48cm² i obwodzie 28cm

Oznaczmy sobie boki tego prostokąta jak a i b. Wtedy:

`a*b=48cm^2`

`2*(a+b)=28cm^2`

Rozwiążmy układ równań:

`{(ab=48),(2(a+b)=28 \ \ \ :2):}`

`{(ab=48),(a+b=14):}`

`{(ab=48),(a=14-b):}`

`{((14-b)b=48),(a=14-b):}`

`{(14b-b^2-48=0),(a=14-b):}`

Pierwsze równanie jest kwadratowe. Liczymy deltę i miejsca zerowe:

`Delta=b^2-4ac`

`Delta=14^2-4*(-1)*(-48)=196-192=4`

`sqrtDelta=sqrt4=2`

`b_1=(-b-sqrtDelta)/(2a)=(-14-2)/(-2)=8`

`b_2=(-b+sqrtDelta)/(2a)=(-14+2)/(-2)=6`

`a_1=14-8=6`

`a_2=14-6=8`

Prostokąt ma wymiary 6 cm na 8 cm. 

Są to również długości przekątych rombu, powstałego  w skutek połączenia środków boków prostokąta

 

Obliczmy długość boku tego rombu

`3^2+4^2=x^2`

`x^2=9+16`

`x^2=25`      `/sqrt`

`x=sqrt25`

`x=5cm`

`O=4*5cm=20cm`

Możemy obliczyć wysokość tego rombu, obliczając najpierw pole z długości przekątnych i przyrównując tą wartość do wzoru pole równoległoboku `P=a*h`

`P=1/2*d_1*d_2`

`P=1/2*6cm*8cm=24cm^2`

`P=a*h`

`24cm^2=5cm*h`     `/:5cm`

`h=(24cm^2)/(5cm)`

`h=4 8/10 cm`

 

Obliczmy teraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego:

`sinalpha= (4 8/10)/5=(48/10)/5=48/50=96/100=0,96`

Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka potrzebnego do wyliczenia cosinusa kąta ostrego

`y^2+(4 8/10)^2=5^2`

`y^2+(48/10)^2=25`

`y^2+24/5=25`

`y^2+576/25=625/25`

`y^2=625/25-576/25`

`y^2=49/25`     `/sqrt`

`y=7/5 cm`

`cosalpha=(7/5)/(5)=7/25=28/100=0,28`

`tgalpha=(4 8/10)/(7/5)=48/(strike10)*(strike5)/7=48/2*1/7=24/7`

`ctgalpha=(7/5)/(4 8/10)=(7/5)/(48/10)=7/(strike5)*(strike10)*/48=7*2/48=7*1/24=7/24`

Długości boków trójkąta prostokątnego ...

`a<b<c` 

`a=b-2`

`b=b` 

`c=b+2` 

 

`sin alpha=b/c=b/(b+2)` 

`sin beta=a/c=(b-2)/(b+2)=cosalpha` 

 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`(b/(b+2))^2+((b-2)/(b+2))^2=1`  

`b^2+b^2-4b+4=(b+2)^2` 

`2b^2-4b+4=b^2+4b+4` 

`b^2-8b=0` 

`b(b-8)=0` 

`b=0\ \ \vee\ \ \b=8` 

`b>0, \ \ "ponieważ jest długością boku."` 

`b=6` 

 

`sin alpha=b/(b+2)=8/10=4/5` 

`sin beta=(b-2)/(b+2)=6/10=3/5` 

`(sin alpha+sin beta)^2=(4/5+3/5)^2=(7/5)^2=49/25`       

Oblicz wartości sumy algebraicznej dla

`a)` 

`x=-1` 

`(-1)^3-4*(-1)^2+2*(-1)-6=` `-1-4*1-2-6=` `-13` 

 

 

`x=1/2` 

`(1/2)^3-4*(1/2)^2+2*1/2-6=`  `1/8-4*1/4+1-6=` `-5 7/8` 

 

 

`x=4` 

`4^3-4*4^2+2*4-6=` `64-64+8-6=2` 

 

 

 

`b)` 

`x=-1` 

`-2*(-1)^3-8*(-1)^2-6*(-1)+5=` 

`=-2*(-1)-8*1+6+5=` `5`   

 

 

`x=1/2` 

`-2*(1/2)^3-8*(1/2)^2-6*1/2+5=` 

`=-2*1/8-8*1/4-3+5=`  

`=-1/4-2-3+5=-1/4` 

 

 

`x=4` 

`-2*4^3-8*4^2-6*4+5=` 

`=-2*64-8*16-24+5=` 

`=-128-128-24+5=-275` 

 

Dany jest ciąg (an)...

`a) \ {(a_1 = x),(a_(n+1) = a_n - n^2 "," \ \ \ n geq 1):}` 

`a_2 = a_(1+1) = a_1 - 1 = x-1` 

`a_3 = a_(2+1) = a_2 - 2^2 = x-1 -4 = x-5` 

`a_4 = a_(3+1) = a_3 - 3^2 = x-5 -9 = x-14` 

`a_5 = a_(4+1) = a_4 - 4^2 = x-14 -16 = x-30` 

 

`a_2 + a_5 = 9` 

`x-1 + x-30 = 9` 

`2x -31 = 9` 

`2x = 40` 

`x = 20` 

 

`b) \ {(a_1 = x),(a_(n+1) = 2a_n + (-1)^(n-1) "," \ \ \ n geq 1):}` 

`a_2 = a_(1+1) = 2a_1 + (-1)^(1-1) = 2x+1` 

`a_3 = a_(2+1) = 2a_2 + (-1)^(2-1) = 2(2x+1) -1 = 4x+2 -1 = 4x + 1` 

`a_4 = a_(3+1) = 2a_3 + (-1)^(3-1) = 2(4x+1) + 1 = 8x+2+1 = 8x+3` 

`a_5 = a_(4+1) = 2a_4 + (-1)^(4-1) = 2(8x+3) -1 = 16x + 6 - 1 = 16x + 5` 

 

`a_2 + a_5 = 9` 

`2x+1 + 16x+5 = 9` 

`18x + 6 = 9` 

`18x = 3` 

`x = 1/6` 

Przedstaw za pomocą tabeli przykład...

a)

Na przykład:

`x`  `1`  `2`  `3` 
`y`  `0`  `1`  `0` 

 

 

b)

`x`  `1`  `2`  `3` 
`y`  `-1`  `0`  `1` 
Działka budowlana ma kształt...

a)

 

Zauważmy, że trójkąt `AED`  jest charakterystyczny, o kątach `30^o, 60^o, 90^o` 

`|ED|=a, \ \ |AD|=2a, \ \ |EA|=asqrt3` 

Wobec tego `|ED|=20, \ \ |EA|=20sqrt3` 

`P_(AED)=1/2*20*20sqrt3=200sqrt3~~346,41` 

 

Zauważmy, że trójkąt `BCF` jest charakterystyczny, o kątach `30^o, 60^o, 90^o` 

`|FB|=b, \ \ |BC|=2b, \ \ |CF|=asqrt3` 

`|FB|=15, \ \ |CF|=15sqrt3` 

`P_(BCF)=1/2*15*15sqrt3=112,5sqrt3~~194,86` 

 

Zauważmy, że 

`|CG|=|EA|+50+|BF|=20sqrt3+50+15=65+20sqrt3` 

`|DG|=|CF|-|DE|=15sqrt3-20` 

`P_(CDG)=1/2*(65+20sqrt3)*(15sqrt3-20)~~297,96` 

 

`P_(EFCG)=(65+20sqrt3)*15sqrt3~~2588,75`  

 

`P_(ABCD)=P_(EFCG)-P_(ADE)-P_(BCF)-P_(CDG)~~2588,75-346,41-194,86-297,96~~1749,52~~1750` 


b)

 

Korzystając z tw. cosinusów możemy wyznaczyć długość przekątnej AC.

`|AC|^2=60^2+30^2-2*60*30*cos150^o` 

`cos150^o=cos(90^o +60^o)=-sin60^o=-sqrt3/2` 

`|AC|^2=3600+900-3600*(-sqrt3/2)` 

`|AC|^2=3600+900+1800sqrt3` 

`|AC|^2~~7617,69` 

`|AC| ~~87,28` 

 

Korzystając z tw. cosinusów możemy wyznaczyć miarę kąta `ADC` 

`|AC|^2=50^2+40^2-2*50*40*cosADC` 

`7617,69~~2500+1600-4000*cosADC` 

`7617,69~~4100-4000cosADC \ \ \ |-4100` 

`3517,69~~ -4000cosADC \ \ \ |:(-4000)` 

`-0,88~~cosADC \ \ \ |:(-1)` 

`0,88~~ -cosADC` 

`0,88~~cos(180^o +ADC)` 

`cos28^o~~cos(180^o -ADC)` 

`|/_ADC| ~~152^o` 

 

`P_(ABCD)=P_(ABC)+P_(ACD)` 

`P_(ABC)=1/2*60*30*sin150^o=900*sin150^o=900*1/2=450` 

`sin150^o=sin(90^o +60^o)=cos60^o=1/2` 

 

`P_(ACD)=1/2*50*40*sin152^o=1000*sin152^o~~1000*0,4695~~469,5` 

`sin152^o=sin(90^o +62^o)=cos62^o~~0,4695` 

 

`P_(ABCD)~~450+469,5~~919,5~~920` 

Oblicz potęgę punktu P...

a)

`|PA|=3` 

`|PB|=3` 

`-1*|PA|*|PB|=-1*3*3=-9` 


b)

`|PS|=2` 

`|PB|=3+2=5` 

`|PA|=3-2=1` 

`-1*|PA|*|PB|=-1*5*1=-5` 


c)

`|PS|=5` 

`|PA|=2` 

`|PB|=2+3+3=8` 

`|PA|*|PB|=2*8=16` 


d)

`|PA|=|PS|-|SA|=|PS|-r=|PS|-3` 

`|PB|=|PA|+|AS|+|SB|=|PA|+3+3=|PA|+6` 

 

`|PS|=sqrt((3-0)^2+(3-0)^2)=sqrt(9+9)=sqrt18=3sqrt2` 

 

`|PA|=3sqrt2-3` 

`|PB|=3sqrt2-3+6=3sqrt2+3` 

 

`|PA|*|PB|=(3sqrt2-3)*(3sqrt2+3)=(3sqrt2)^2-3^2=9*2-9=18-9=9` 


e)

`|PS|=sqrt((3-0)^2+(3-10)^2)=sqrt(3^2+(-7)^2)=sqrt(9+49)=sqrt58` 

`|PA|=|PS|-|AS|=sqrt58-3` 

`|PB|=|PA|+|AS|+|SB|=sqrt58-3+3+3=sqrt58+3` 

 

`|PA|*|PB|=(sqrt58-3)*(sqrt58+3)=sqrt58^2-3^2=58-9=49` 


f)

`|PS|=sqrt((3-0)^2+(3-(-10)^2))=sqrt(3^2+13^2)=sqrt(9+169)=sqrt178` 

`|PA|=|PS|-|AS|=sqrt178-3` 

`|PB|=|PS|+|SB|=sqrt178+3` 

 

`|PA|*|PB|=(sqrt178-3)*(sqrt178+3)=sqrt178^2-3^2=178-9=169` 

Wyznacz zbiory

`a)`

`AuuB=(1,\ 6)`

`AnnB=(2,\ 4)`

`A\\B=(1,\ 2>>`

`B\\A=<<4,\ 6)`

 

 

 

`b)`

`AuuB=<<-4,\ 3)`

`AnnB={1}`

`A\\B=<<-4,\ 1)`

`B\\A=(1,\ 3)`

 

 

`c)`

 

`AuuB=<<-5,\ 3>>`

`AnnB=<<1,\ 3>>`

`A\\B=emptyset`

`B\\A=<<-5,\ 1)`

 

 

`d)`

`AuuB=(-3,\ 2>>`

`AnnB=(-1,\ 2>>`

`A\\B=(-3,\ -1>>`

`B\\A=emptyset`