Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $$(0,0)$$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $$x^2 + y^2 = r^2$$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $$a$$ i $$b$$ i zapisując je w postaci $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $$(a, b)$$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $$a$$ i pionie $$b$$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $$O_1$$ o promieniu $$r = 5$$ i środku w punkcie $$(2,3)$$ opisuje równanie $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $$O_1$$ należy punkt $$(-2, 0)$$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $$(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$$ jest prawdziwe. Obliczając:

$$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $$r$$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $$r$$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2$$ <= $$r^2$$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $$x$$ i $$y$$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $$(x-1)^2 + (y-5)^2$$ <= $$3^2$$ należy punkt $$(1,1)$$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$$(1-1)^2 + (1-5)^2$$ <= $$9$$
$$16$$ <= $$9$$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Mamy 240 metrów bieżących siatki ...

`a,b-"długości boków prostokąta"` 

 

`2a+2b=240` 

`a+b=120` 

`a=120-b` 

 

`a*b=(120-b)*b=-b^2+120b` 

`f(b)=-b^2+120b` 

`"Szukamy wartości największej funkcji f."` 

`"Wykres f jest parabolą o ramionach zwróconych w doł, zatem wartość największa to"\ f(x_w).` 

`x_w=-120/(-2)=60` 

`f(60)=-(60)^2+120*60=-3600+7200=3600` 

`ul(b=60)` 

`ul(a=120-b=60` 

Kapitał w wysokości 800 zł ...

`a)` 

`800*(1,08)^2*(1,04)^3~~1050` 

`"Z podatkiem:"` 

`0,08*0,8=0,064` 

`0,04*0,8=0,032` 

`800*(1,064)^2*(1,032)^3~~995` 

 

`b)` 

`800*(1,04)^3*(1,08)^2~~1050` 

`"Z podatkiem:"` 

`0,08*0,8=0,064` 

`0,04*0,8=0,032` 

`800*(1,032)^3*(1,064)^2~~995` 

`"Kolejność w tym wypadku nie ma znaczenia bo mnożenie jest przemienne."` 

 

`c)` 

`800*(1,07)^2*(1,05)^2*(1,02)~~1030` 

`"Z podatkiem":` 

`0,07*0,8=0,056` 

`0,05*0,8=0,04` 

`0,02*0,8=0,016` 

`800*(1,056)^2*(1,04)^2*(1,016)~~980` 

Podaj przedziały monotoniczności funkcji

`a)` 

`"Funkcja"\ f\ "jest rosnąca, gdy"\ x in (-infty;\ 0>>.` 

`"Funkcja"\ f\ "jest malejąca, gdy"\ x in <<0;\ +infty).` 

 

`b)` 

`"oś symetrii:"\ \ \ x=0` 

`"wierzchołek paraboli:"\ \ \ W=(0;\ 0)` 

 

Narysuj wykres funkcji f i ...

a) `g(x)=(-4)/x` 

Przesuwając o 4 jednostki w prawo otrzymujemy:

`f(x)=(-4)/(x-4)` 

Asymptota pionowa x=0, asymptota pozioma y=4.


b) `g(x)=3/x`  

Przesuwając o 5 jednostek w dół otrzymujemy:

`f(x)=3/x-5` 

Asymptota pionowa x=0, asymptota pozioma y=-5.


c) `g(x)=1/x` 

Przesuwając o 3 jednostki w lewo i 2 jednostki w dół otrzymujemy:

`f(x)=1/(x+3)-2` 

Asymptota pionowa x=-3, asymptota pozioma y=-2.

Wyznacz sumę wielomianów

`b)` 

`(5x^3-6x^2+2)+(2x^3+4x^2+5x-3)=ul(ul(ul(5x^3)))-ul(ul(6x^2))+ul(2)+ul(ul(ul(2x^3)))+ul(ul(4x^2))+5x-ul(3)=7x^3-2x^2+5x-1` 

 

`c)` 

`(-x^3+x^2-6x+8)+(4x^3+6x-7)=ul(ul(ul(-x^3)))+x^2-ul(ul(6x))+ul8+ul(ul(ul(4x^3)))+ul(ul(6x))-ul7=3x^3+x^2+1`    

Wykaż, ze wykres funkcji...

Jeżeli funkcje g są symetryczne do osi OX to musi zachodzić warunek:

`f(x) = -g(x)` 

A więc:

`L= f(x) = log_a x = 1/(log_x a) = 1/(log_x (1/a)^(-1)) = 1/(-log_x (1/a)) = -1/(log_x (1/a)) = -log_(1/a) x = -g(x) = P` 

 

A więc wykresy funkcji f, g są symetryczne względem osi OX.

Wyznacz iloraz q ciągu geometrycznego...

`a) \ a_4 = 5` 

`a_1 * q^3 = 5` 

`40 * q^3 = 5` 

`q^3 = 1/8` 

`q = 1/2` 

 

`b) \ a_5 = 4` 

`a_1 * q^4 = 4` 

`1 * q^4 = 4` 

`q^4 = 4` 

`|q^2| = 2` 

`q^2 = 2` 

`|q| = sqrt2` 

`q_1 = sqrt2 \ \ vv \ \ q_2 = -sqrt2` 

 

`c) \ a_5 = - 3sqrt6` 

`a_2 * q^3 = - 3 sqrt6` 

`-sqrt2 * q^3 = -3sqrt2*sqrt3` 

`q^3 = 3sqrt3` 

`q^3 = sqrt27` 

`q^3 = 3^(3/2)` 

`q^3 = (3^(1/2))^3` 

`q = sqrt3` 

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)=-1/2x+1` 

 

`a)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=[-2;4]` 

`f-"liniowa, zatem monotoniczna"`  

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

`ul(D=[-6;6]`  

 

`f(x)>=0` 

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"` 

`ul(x in (-oo;2]\ \ \wedge\ \ \D=[-6;2]`  

 

`b)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=(-2;0)cup[1;4]` 

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=0` 

`x=2` 

 

`-1/2x+1=1` 

`x=0` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=[-6;0]cup(2;6)`   

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ wedge\ \ \D=[-6;0]`   

 

`c)`   

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW={-2}cup(2;4)`   

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=2`  

`x=-2`  

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=(-6;-2)cup{6}`    

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ \ wedge\ \ \D=(-6;-2)`    

Naszkicuj w tym samym układzie współrzędnych ...

`f(x)=-x^2+3` 

`a)` 

`{(y=-x^2+3),(y=x+1):}` 

`{(x=-2),(y=-1):}\ \ \"lub"\ \ \{(x=1),(y=2):}` 

 

`b)` 

`{(y=-x^2+3),(y=-x+1):}` 

`{(x=-1),(y=2):}\ \ \"lub"\ \ \{(x=2),(y=-1):}` 

 

`c)` 

`{(y=-x^2+3),(y=2x):}` 

`{(x=-3),(y=-6):}\ \ \"lub"\ \ \{(x=1),(y=2):}` 

 

`d)` 

 

`{(y=-x^2+3),(y=2x+3):}` 

`{(x=-2),(y=-1):}\ \ \"lub"\ \ \{(x=0),(y=3):}` 

 

 

`e)` 

`{(y=-x^2+3),(y=-x-3):}` 

`{(x=-2),(y=-1):}\ \ \"lub"\ \ \{(x=3),(y=-6):}` 

`f)` 

`{(y=-x^2+3),(y=-3x+5):}` 

`{(x=1),(y=2):}\ \ \"lub"\ \ \{(x=2),(y=-1):}` 

 

 

Podaj punkty symetryczne do podanych ...

Podajemy punkty symetryczne do podanych punktów wzgledem punktu O:

`A\ -\ E` 

`B\ -\ H` 

`C \ -\ G` 

`D\ -\ F`