Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $$(0,0)$$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $$x^2 + y^2 = r^2$$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $$a$$ i $$b$$ i zapisując je w postaci $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $$(a, b)$$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $$a$$ i pionie $$b$$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $$O_1$$ o promieniu $$r = 5$$ i środku w punkcie $$(2,3)$$ opisuje równanie $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $$O_1$$ należy punkt $$(-2, 0)$$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $$(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$$ jest prawdziwe. Obliczając:

$$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $$r$$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $$r$$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2$$ <= $$r^2$$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $$x$$ i $$y$$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $$(x-1)^2 + (y-5)^2$$ <= $$3^2$$ należy punkt $$(1,1)$$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$$(1-1)^2 + (1-5)^2$$ <= $$9$$
$$16$$ <= $$9$$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech x=a+b oraz y=a-b...

 

 

 

  

 

 

Uzasadnij, że nierówność

  

    

 

Zauważmy, że aby wykazać nierówność z tezy, możemy wykazać nierówność równoważną:

 

 

Rozpiszmy lewą stronę powyższej nierówności:

 

 

Zauważmy, że każdy z (n-1) czynników jest ułamkiem o liczniku 1 oraz o mianownikach będących kolejnymi liczbami naturalnymi od 2 do n. Z założenia wiadomo, że n jest liczbą naturalną większą od 2. Ułamek 1/3 jest mniejszy niż 1/2, podobnie ułamek 1/4 jest mniejszy od 1/2, tak samo wszystkie pozostałe ułamki są mniejsze od 1/2. Stąd możemy zapisać:

  

 

    

 

Żądana nierówność zachodzi, co kończy dowód. 

Rzucamy cztery razy kostką ...

a)

 {premium}

 

b)

Prawdopodobieństwo nie otrzymania szóstki:

 

Prawdopodobieństwo otrzymania jednej szóstki:

 

Prawdopodobieństwo otrzymania dwóch szóstek: 

 

 

Prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej dwóch szóstek:

 

 

Oblicz długość okręgu opisanego...

a)

 

 

 

 

 

 


b)

Obliczmy kąt przy wierzchołku C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu ...

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

    

Określ stopień wielomianu u+w w zależności od parametru a

{premium}

 

 

 

 

Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=x² o 1 jednostkę w górę (wiemy to dzięki wierzchołkowi).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=-1/2x²  o 2 jednostki w górę. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=3x² o 1 jednostkę w prawo i 3 jednostki w dół (wierzchołek ma współrzędne (1, -3))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=1/2x²  o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół. 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=-x²  o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w dół. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=-x²  o 3 jednostki w lewo. 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Dla jakich wartości parametru a rozwiązania...

Skorzystamy z następującego twierdzenia:

Jeżeli  są rozwiązaniami równania  to

 

 

 

Chcemy, by rozwiązania równania spełniały warunki:

 

 

Podstawiamy powyższe warunki do pierwszego równania w układzie z twierdzenia i wyznaczamy  

 

{premium}

 

 

 

Stąd:

 

 

 

Podstawiamy wyznaczone rozwiązania do drugiego równania w układzie z twierdzenia i wyznaczamy  

 

 

 

Odp.  

Oblicz.

 

 

 

 

  

 

Wśród uczniów pewnej szkoły przeprowadzono ...

Oznaczmy jako x ilość odpowiedzi "TAK" na pytanie A. 

Ilość odpowiedzi "TAK": {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Odp. 90% uczniów, którzy odpowiadali na pytanie A odpowiedziało, że lubi szkołę.