Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $$(0,0)$$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $$x^2 + y^2 = r^2$$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $$a$$ i $$b$$ i zapisując je w postaci $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $$(a, b)$$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $$a$$ i pionie $$b$$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $$O_1$$ o promieniu $$r = 5$$ i środku w punkcie $$(2,3)$$ opisuje równanie $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $$O_1$$ należy punkt $$(-2, 0)$$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $$(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$$ jest prawdziwe. Obliczając:

$$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $$r$$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $$r$$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2$$ <= $$r^2$$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $$x$$ i $$y$$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $$(x-1)^2 + (y-5)^2$$ <= $$3^2$$ należy punkt $$(1,1)$$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$$(1-1)^2 + (1-5)^2$$ <= $$9$$
$$16$$ <= $$9$$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia.

`a) \ 2*7^(log_7 3) = 2*3 = 6` 

 

`b) \ 9^(log_3 5) = (3^2)^(log_3 5) = (3^(log_3 5))^2 = 5^2 = 25` 

 

`c) \ 3^(1/2 log_3 2) = 3^(log_3 2^(1/2)) = 3^(log_3 sqrt2) = sqrt2` 

 

`d) \ (0,16)^(log_(0,4) 4)= ((0,4)^2)^(log_(0,4) 4) = ((0,4)^(log_(0,4) 4))^(2) = 4^2 = 16` 

 

`e) \ (log_3 8)/(log_3 2) = log_2 8 = 3`  

 

`f) \ 1/2 log_7 36 - log_7 (6/7) = log_7 36^(1/2) - log_7 (6/7) = log_7 6 - log_7 (6/7) = log_7 ((6)/(6/7)) = log_7 (6*7/6) = log_7 7 = 1` 

Uczniowie pisali sprawdzian...

Średnia ocen w grupach:

Przez a oznaczmy sumę wszystkich ocen w grupie A.

Przez b oznaczmy sumę wszystkich ocen w grupie B.

Przez c oznaczmy sumę wszystkich ocen w grupie C.

 

Średnia ocen w grupach A i B:

`(a+b)/18=4` 

`a+b = 72` 

Średnia ocen w grupach B i C:

`(b+c)/16=3` 

`b+c = 48` 

 

 

 

Średnia ocen w całej klasie:

`(a+b+c)/24 = 3,5` 

`(72 +c)/24 = 3,5` 

`72+c = 84` 

`c = 12` 

 

`b+c=48` 

`b+12=48` 

`b=36` 

 

`a+b=72` 

`a+36=72` 

`a = 36` 

 

A więc średnie wynoszą:

Grupa A:

`36/8 = 4,5` 

Grupa B:

`36/10 = 3,6` 

Grupa C:

`12/6 = 2` 

 

Oblicz iloraz i wyznacz wzór ...

`"a)"\ a_3=-12,\ \ a_4=24`

Obliczamy iloraz q. Zauważmy, że:

`a_4=a_3*q`

`24=(-12)*q\ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:(-12)`

`q=-2`

Wyznaczamy wyraz a1. Zauważmy, że:

`a_3=a_1*q^2`

`-12=a_1*4\ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4`

`a_1=-3`

 

Wyznaczamy wzór ogólny ciągu geometrycznego:

`a_n=a_1*q^(n-1)`

`a_n=(-3)*(-2)^(n-1)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ a_2=-27,\ a_5=-8`

Obliczamy iloraz q. Zauważmy, że:

`a_5=a_2*q^3`

`-8=(-27)*q^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:(-27)`

`q^3=8/27`

`q=2/3`

 

Wyznaczamy wyraz a1. Zauważmy, że:

`a_2=a_1*q`

`-27=a_1*2/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ |*3/2`

`a_1=-27*3/2=-81/2` 

 

Wyznaczamy wzór ogólny ciągu geometrycznego:

`a_n=a_1*q^(n-1)`

`a_n=(-81/2)*(2/3)^(n-1)` 

Możemy także zapisać do w prostszej postaci:

`a_n=-3^4/2^1*2^(n-1)/3^(n-1)=-3^4/3^(n-1)*2^(n-1)/2^1=-3^(4-n+1)*2^(n-1-1)=-3^(5-n)*2^(n-2)`    

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ a_3=4,\ \ a_8=-1/8`

Obliczamy iloraz q. Zauważmy, że:

`a_8=a_3*q^5` 

`-1/8=4*q^5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:4`

`-1/32=q^5` 

`a=-1/2` 

Wyznaczamy wyraz a1. Zauważmy, że:

`a_3=a_1*q^2`

`4=a_1*1/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ |*4` 

`a_1=16` 

 

Wyznaczamy wzór ogólny ciągu geometrycznego:

`a_n=a_1*q^(n-1)`

`a_n=16*(1/2)^(n-1)` 

Możemy uprościc wzór:

`a_n=2^4*1/(2^(n-1))=2^4/2^(n-1)=2^(4-n+1)=2^(5-n)` 

Mamy 80 m bieżących siatki ...

`x,y-"długości boków prostokatnego ogórdka"` 

`P-"pole ogródka"`  

 

`2x+2y-4=80` 

`x+y=42` 

`x=42-y` 

 

`P=xy=(42-y)y=-y^2+42y` 

`"Szukamy takiego y że funkcja P(y) osiąga maksimum wartości. (Będzie to współrzędna wierzchołka paraboli)"` 

`y=-b/(2a)=42/2=21` 

`x=42-21=21` 

`{(y=21),(x=21):}` 

W pierwszym miesiącu działalności ...

Wydatki firmy w pierwszym miesiącu wyniosły `10000 zł`,

w drugim `10000 zł-500zł=9500zł`,

trzecim `10000zł-2*500zł=10000zł-1000zł=9000zł`, ...

Z każdym następnym miesiącem wydatki malały o `500zł`.

Zapiszmy to w postaci ciągu o pierwszym wyrazie 

`a_1=10000` 

oraz różnicy ciągu 

`r_a=-500`.

Przypomnijmy {premium}wzór ogólny ciągu arytmetycznego `(a_n)` 

`a_n=a_1+(n-1)*r`.

Zatem 

`a_n=10000+(n-1)*(-500)`.

 

Wpływy firmy w pierwszym miesiącu wyniosły `3000 zł`,

w drugim `3000 zł+200zł=3200zł`,

trzecim `3000zł+2*200zł=3000zł+400zł=3400zł`, ...

Z każdym następnym miesiącem wpływy rosły o `200zł`.

Zapiszmy to w postaci ciągu o pierwszym wyrazie 

`b_1=3000` 

oraz różnicy ciągu 

`r_b=200`.

Zatem 

`b_n=3000+(n-1)*200`.

 

Chcemy wiedzieć, w którym miesiącu działalności wydatki równały się wpływom, czyli

`a_n=b_n` 

`10000+(n-1)*(-500)=3000+(n-1)*200` 

`10000-500n+500=3000+200n-200 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+500n` 

`10500=700n+2800 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|-2800` 

`7700=700n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:700` 

`11=n` 

`n=11`.

Wydatki równały się wpływom w jedenastym miesiącu działalności firmy.

Dane są współrzędne punktu B oraz wektora ...

`a)` 

`B(3,-2),\ vec{AB}=[4,3]` 

`x_B-x_A=4` 

`y_B-y_A=3` 

 

`x_A=x_B-4` 

`y_A=y_B-3` 

`"Powyższe wzory będziemy używać w następnych podpunktach."`  

 

`x_A=3-4=-1` 

`y_A=-2-3=-5` 

 

`A(-1,-5)` 

 

`b)` 

`B(-4,5)` 

`vec(AB)=[-3,-2]` 

 

`x_A=x_B-(-3)` 

`y_A=y_B-(-2)` 

 

`x_A=-1` 

`y_A=7` 

 

`A(-1,7)` 

 

`c)` 

`B(10,-6)` 

`vec{AB}=[4,-2]` 

 

`x_A=x_B-4` 

`y_A=y_B-(-2)` 

 

`x_A=6` 

`y_A=-4` 

 

`A(6,-4)` 

 

`d)` 

`B(-5,4) ` 

`vec{AB}=[-1,8]` 

 

`x_A=x_B-(-1)` 

`y_A=y_B-8` 

 

`x_A=-4` 

`y_A=-4`  

 

`A(-4,-4)`     

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Wiemy, że krawędź podstawy graniastosłupa ma 3 cm. Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. 

`|AB|=|BC|=|CD|=|AD|=3\ [cm]` 

 

Odcinek EF także ma długość 3 cm. 

 

Wiemy, że:

`cosalpha=0,8` 

Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się przy danym kącie do długości przeciwprostokątnej.

`|FG|/|EG|=0,8` 

 

Oznaczmy długość odcinka EG jako a. 

`|FG|/a=0,8\ \ \ |*a` 

`|FG|=0,8a` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąt EFG możemy zapisać:

`|EF|^2+|FG|^2=|EG|^2` 

`3^2+(0,8a)^2=a^2` 

`9+0,64a^2=a^2\ \ \ |-0,64a^2` 

`9=0,36a^2 \ \ \|:0,36` 

`a^2=9:0,36` 

`a^2=900/36` 

`a^2=25` 

`a=5\ [cm]` 

 

Mając a, możemy zapisać długości boków:

`|EG|=5\ [cm]`  

`|FG|=0,8*5=4\ [cm]` 

 

Podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku 4 cm. Wysokość graniastosłupa ma długość 4 cm (długość odcinka FG). 

Obliczamy objętość:

`V=5*5*4=100\ [cm^3]` 

 

Wykonaj działania. Podaj dziedzinę każdego wyrażenia.

`"a)"` Wyznaczamy dziedzinę:

`x+1!=0<=>x!=-1` 

`D=bbR-{-1}`    

Wykonujemy działania:

`(6-x)/(x+1)+1=(6-x)/(x+1)+(x+1)/(x+1)=(6-x+x+1)/(x+1)=7/(x+1)` 

 

`"b)"` Wyznaczamy dziedzinę:

`x+2!=0<=>x!=-2` 

`D=bbR-{-2}`    

Wykonujemy działania:

`3/(x+2)+(2x-4)/(x+2)=(3+2x-4)/(x+2)=(2x-1)/(x+2)` 

 

`"c)"` Wyznaczamy dziedzinę:

`x^2+3!=0<=>x^2!=-3` 

`D=bbR`    

Wykonujemy działania:

`(4x+5)/(x^2+3)-(3+4x)/(x^2+3)=(4x+5-(3+4x))/(x^2+3)=(4x+5-3-4x)/(x^2+3)=2/(x^2+3)` 

 

`"d)"` Wyznaczamy dziedzinę:

`x^2+2x+1!=0<=>(x+1)^2!=0<=>x+1!=0<=>x!=-1` 

`D=bbR-{-1}`    

Wykonujemy działania:

`(6x+3)/(x^2+2x+1)-3=(6x+3)/(x^2+2x+1)-[3(x^2+2x+1)]/(x^2+2x+1)=(6x+3-3(x^2+2x+1))/(x^2+2x+1)=` 

`=(6x+3-3x^2-6x-3)/(x^2+2x+1)=(-3x^2)/(x^2+2x+1)`  

 

`"e)"` Wyznaczamy dziedzinę:

`x!=0` 

`x^2+x!=0<=>x(x+1)!=0<=>(x!=0^^x+1!=0)<=>(x!=0^^x!=-1)` 

`D=bbR-{-1,\ 0}`   

Wykonujemy działania:

`1/x-(x^2+3)/(x^2+x)=1/x-(x^2+3)/[x(x+1)]=(x+1)/[x(x+1)]-(x^2+3)/[x(x+1)]=(x+1-(x^2+3))/[x(x+1)]=(x+1-x^2-3)/[x(x+1)]=` 

`=(-x^2+x-2)/[x(x+1)]`  

 

`"f)"` Wyznaczamy dziedzinę:

`x^2-4!=0<=>(x-2)(x+2)!=0<=>(x-2!=0^^x+2!=0)<=>(x!=2^^x!=-2)` 

`D=bbR-{-2,\ 2}`   

Wykonujemy działania:

`1-(5x-10)/(x^2-4)=(x^2-4)/(x^2-4)-(5x-10)/(x^2-4)=(x^2-4-(5x-10))/(x^2-4)=(x^2-4-5x+10)/(x^2-4)=(x^2-5x+6)/(x^2-4)=` 

`=(x^2-2x-3x+6)/[(x-2)(x+2)]=[x(x-2)-3(x-2)]/[(x-2)(x+2)]=[strike((x-2))(x-3)]/[strike((x-2))(x+2)]=(x-3)/(x+2)`   

Oblicz długość wektora ...

`a)` 

`vecu=[-3;4]` 

`|vecu|=sqrt(u_1^2+u_2^2)=sqrt((-3)^2+4^2)=sqrt25=5` 

 

`b)` 

`vecu=[-5;-12]` 

`|vecu|=sqrt(u_1^2+u_2^2)=sqrt((-5)^2+(-12)^2)=sqrt(25+144)=sqrt169=13`  

 

`c)` 

`vecu=[3;3]` 

`|vecu|=sqrt(u_1^2+u_2^2)=sqrt(3^2+3^2)=sqrt18=3sqrt2` 

Balon znajdujący się na pewnej wysokości oraz dwa punkty...

Rysunek poglądowy:

`tg \ 45^o = h/y` 

`h = tg \ 45^o *y` 

`h = y` 

 

`tg \ 75^o = h/x` 

`h = tg \ 75^o x` 

 

Skorzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów:

`tg (alpha + beta) = (tg \ alpha + tg \ beta)/(1 - tg \ alpha * tg \ beta)`  

zatem

`tg \ 75^o = tg (30^o + 45^o) = (tg \ 30^o + tg \ 45^o)/(1 - tg \ 30^o * tg 45^o) = (sqrt3/3 + 1)/(1 - sqrt3/3) = (1/3(sqrt3 + 3))/(1/3(3-sqrt3))*(3+sqrt3)/(3+sqrt3)= (3+sqrt3)^2/(9-3)` 

`=(9 + 6sqrt3+3)/6 = (12+6sqrt3)/6 = 2 + sqrt3` 

 

A więc:

`h = (2+sqrt3)x` 

 

Skoro y = h to:

`y = (2+sqrt3)x` 

 

Wiemy, że długość podstawy to 60 m, zatem:

`x + y = 60` 

`y = 60 - x` 

 

A więc:

`60 - x = (2+sqrt3)x`  

`60 - x  = 2x + sqrt3x` 

`3x + sqrt3x = 60` 

`x(3+sqrt3) = 60` 

`x = 60/(3+sqrt3) *(3-sqrt3)/(3-sqrt3)` 

`x = (60(3-sqrt3))/6` 

`x = 10(3-sqrt3)` 

 

Zatem:

`h = tg \ 75^o * x = (2+sqrt3)*10(3-sqrt3) = 10*(6 - 2sqrt3+3sqrt3 -3) = 10(3+sqrt3) \ ["m"]`