Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $$(0,0)$$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $$x^2 + y^2 = r^2$$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $$a$$ i $$b$$ i zapisując je w postaci $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $$(a, b)$$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $$a$$ i pionie $$b$$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $$O_1$$ o promieniu $$r = 5$$ i środku w punkcie $$(2,3)$$ opisuje równanie $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $$O_1$$ należy punkt $$(-2, 0)$$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $$(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$$ jest prawdziwe. Obliczając:

$$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $$r$$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $$r$$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2$$ <= $$r^2$$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $$x$$ i $$y$$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $$(x-1)^2 + (y-5)^2$$ <= $$3^2$$ należy punkt $$(1,1)$$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$$(1-1)^2 + (1-5)^2$$ <= $$9$$
$$16$$ <= $$9$$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj w układzie współrzędnych kąt ...

`a)`  

`P(1,4)` 

`x=1` 

`y=4` 

`r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt17` 

`sin alpha=y/r=4/sqrt17=(4sqrt17)/17` 

`cos alpha=x/r=1/sqrt17=sqrt17/17` 

`tg \ alpha=sin alpha/cos alpha=((4sqrt17)/17)/(sqrt17/17)=4` 

 

`b)` 

`P(-1,4)` 

`x=-1` 

`y=4` 

`r=sqrt(16+1)=sqrt17` 

 

`sinalpha=y/r=4/sqrt17=(4sqrt17)/17`  

`cos alpha=x/r=-1/sqrt17=-sqrt17/17` 

`tg\ alpha= ((4sqrt17)/17)/(-sqrt17/17)=-4` 

 

`c)` 

`P(-3,2)` 

`x=-3` 

`y=2` 

`r=sqrt(9+4)=sqrt13` 

 

`sin alpha=y/r=2/sqrt13=(2sqrt13)/13` 

`cos alpha=x/r=(-3)/sqrt13=(-3sqrt13)/13` 

`tg\ alpha=((2sqrt13)/13)/((-3sqrt13)/13)=-2/3` 

 

`d)` 

`P(-2,3)` 

`x=-2` 

`y=3` 

`r=sqrt(4+9)=sqrt13` 

 

`sin alpha=y/r=3/sqrt13=(3sqrt13)/13` 

`cos alpha=x/r=(-2)/sqrt13=(-2sqrt13)/13` 

`tg \ alpha=((3sqrt13)/13)/((-2sqrt13)/13)=-3/2`     

Proste m i l przecinają się...

Oba kąty przyległe tworzą, wraz z kątem alfa, kąty półpełne.

`alpha = 35^o` 

`180- alpha = 180-35^o = 145^o` 

 

Suma kątów przyległych to:

`145^o + 145^o = 290^o` 

Odpowiedź A

Dane są funkcje ...

`f(x)=3x-5` 

`g(x)=sqrt(x+2)` 

 

`a)` 

`h(x)=f(x)/g(x-1)=(3x-5)/(sqrt(x-1+2)` 

`D:` 

`sqrt(x-1+2)ne0\ \ \wedge\ \ \x-1+2>=0` 

`x+1>0` 

`x> -1` 

`D=(-1;+oo)` 

 

`b)` 

`h(x)=g(x+3)/f(x)=sqrt(x+5)/(3x-5)` 

`D:` 

`x+5>=0\ \ \wedge\ \ \ 3x-5ne0` 

`x>=-5\ \ \wedge\ \ \xne5/3` 

`D=[-5;+oo)\\{5/3}`    

 

`c)` 

`h(x)=f(1-x)/g(-x)=(3(1-x)-5)/sqrt(-x+2)` 

`D:` 

`-x+2>0` 

`x<2` 

`D=(-oo;2)` 

 

`d)` 

`h(x)=sqrt(f(x))/g(2-x)=sqrt(3x-5)/(sqrt(2-x+2)` 

`D:` 

`3x-5>=0\ \ \wedge\ \ \2-x+2>0` 

`x>=5/3\ \ \wedge\ \ \x<4` 

`D=[5/3;4)` 

 

`e)` 

`h(x)=f(2x)+g(3x)=3* 2x -5+sqrt(3x+2)`  

 

`D:` 

`3x+2>=0` 

`x>=-2/3` 

`D=[-2/3;+oo)` 

 

`f)` 

`h(x)=f(1/x)-g(-|x|)=3/x-5-sqrt(-|x|+2)` 

 

`D:` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \-|x|+2>=0` 

`x ne 0\ \ \wedge\ \ \|x|<=2\ implies x<=2\ \ \wedge\ \ \x>=-2` 

`D=[-2;2]\\{0}`       

Wykaż, że...

Jeżeli okrąg jest styczny do prostej to odległość środka okręgu od prostej musi być równa długości promienia tego okręgu.

 

a) Policzmy odległość środka okręgu od prostej.

Współrzędne punktu:

`x_0 = 1, \ \ y_0 = 2`

Równanie ogólne prostej:

`-x+y+3=0`

Współczynniki:

`A=-1, \ \ B=1, \ \ C=3`  

Podstawmy do wzoru:

`d= (|Ax_0 + By_0 + C|)/(sqrt(A^2 + B^2)) = (|-1*1 + 1 * 2 + 3|)/(sqrt((-1)^2 + 1^2))= 4/sqrt2 = (4sqrt2)/2 = 2sqrt2 =r`

A więc rzeczywiście prosta jest styczna do okręgu.

 

 

b) analogicznie do poprzedniego podpunktu:

Współrzędne punktu:

`x_0 = 5, \ \ y_0 = 1`

Równanie ogólne prostej:

`2x+y-1=0`

Współczynniki:

`A=2, \ \ B=1, \ \ C=-1`

Podstawmy do wzoru:

`d=(|Ax_0 + By_0 + C|)/(sqrt((A)^2 +(B)^2)) = (|2*5+1*1 -1|)/(sqrt(4+1)) = 10/sqrt5 = (10sqrt5)/5 = 2sqrt5=r`

Wykazaliśmy, że prosta jest styczna do okregu.

Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary

a)

Trójkąt wyznaczony przez kąt środkowy i cięciwę łączącą punkty przecięcia ramion tego kąta z okręgiem jest równoboczny, ponieważ ramiona tego kąta to promienie, a długość cięciwy jest również- jak oznaczono na rysunku- o długości promienia. 

Kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego wynoszą 60o, dlatego:

`alpha=60^o`

`beta=60^o`

Kąt γ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy ß, ma więc miarę dwa razy od niego mniejszą.

`gamma=60^o:2=30^o`

b)

I sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

`alpha=60^o`

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty γ i ß jest równoramienny, a co za tym idzie, kąty leżące przy jego ramionach - γ i ß- są równe.

`gamma=beta`

Trzeci kąt tego trójkąta równoramiennego- oznaczmy jako δ- jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany α, zatem ma miarę dwa razy większą niż α.

`delta=60^o*2=120^o`

Teraz korzystamy z sumy miar kątów w trójkącie, która wynosi zawsze 180o. Sumujemy kąt δ, gamma, ß.

`delta+gamma+beta=180^o`

Wstawiamy gamma=ß i delta=60o

`120^o +beta+beta=180^o`

`120^o +2beta=180^o`

`2beta=180^o-120^o`

`2beta=60^o`

`beta=30^o`

II sposób

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego

`alpha=60^o`

Trójkąt o kątach wewnętrznych α i ß to trójkąt prostokątny (jest to trójkąt oparty na średnicy tego okręgu). Kąt który w sumie z kątem γ buduje kąt prosty jest również kątem wewnętrznym trójkąta równobocznego, zatem

`90^o=60^o +gamma`

`90^o-60^o=gamma`

`gamma=30^o`

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty γ i ß jest równoramienny, a co zatym idzie, kąty leżące przy jego ramionach -zatem γ i ß- są równe.

`gamma=beta`

c)

 

Czworokąt o kącie wewnętrznym α jest rombem, ponieważ wszystkiego jego boki są długości r. Naprzeciwległe kąty rombu mają równe miary, zatem oznaczamy ten kąt również jako α.

Po dorysowaniu promienia w jednym miejscu zauważamy, że romb ten można podzielić na dwa trójkąty równoboczne, zatem kąt α budują dwa kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego- kąty o mierze 60o.

`alpha=2*60^o=120^o`

Obliczamy teraz kąt ß korzystając z własności, że kąt pełny ma miarę 360o.

`alpha+beta=360^o`

`120^o +beta=360^o`

`beta=360^o-120^o`

`beta=240^o`

Kąt γ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy α.

`gamma=120^o:2=60^o`

 

Oblicz pole powierzchni i objętość...

Ścianą ośmiościanu jest trójkąt równoboczny. Mamy 8 takich trójkątów a więc pole powierzchni to ośmiokrotne pole trójkąta równobocznego.

Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a:

`P = (a^2sqrt3)/4` 

Pole powierzchni całkowitej

`P_c = 8P = 8*(4^2 sqrt3)/4 = 8*4*sqrt3 = 32sqrt3 \ ["cm"^2]` 

 

Ośmiościan to dwa ostrosłupy czworokątne prawidłowe sklejone podstawami. Objętość ostrosłupa możemy obliczyć ze wzoru:

`V = 1/3*P_p *H` 

W podstawie znajduje się kwadrat o boku długości 4.

Przekątna kwadratu:

`d = 4sqrt2` 

`d/2 = 2sqrt2` 

 

Wysokość możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta znajdującego się po prawej stronie ostrosłupa:

`H^2 + (2sqrt2)^2 = 4^2` 

`H^2 + 8 = 16` 

`H^2 = 8` 

`H = 2sqrt2` 

 

Obliczmy podwojoną objętość ostrosłupa żeby poznać objętość ośmiościanu.

`V_8 = 2V = 2*1/3*4^2 * 2sqrt2 = 2*1/3*16*2sqrt2 = (64sqrt2)/3 \ ["cm"^3]` 

Przedstaw ilustrację graficzną

`a)` 

`{(y-x-1<=0\ \ \ |+x+1), (2y+x-2>=0\ \ \ |-x+2), (x-6<=0\ \ \ |+6):}` 

`{(y<=x+1), (2y>=-x+2\ \ \ \|:2), (x<=6):}` 

`{(y<=x+1), (y>=-1/2x+1), (x<=6):}` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu prostej y=x+1. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+1=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 1)` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=3+1=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 4)` 

 

 

Teraz wyznaczymy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-1/2x+1. 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*2+1=-1+1=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*4+1=-2+1=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ -1)` 

 

Rysujemy te proste oraz prostą x=6. 

 

Zaznaczamy obszar znajdujący się jednocześnie pod prostą y=x+1, nad prostą y=-1/2x+1 oraz na lewo od prostej x=6. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`b)` 

`{(y-x+4>=0\ \ \ |+x-4), (y+3x>=0\ \ \|-3x), (y-3<=0\ \ \ |+3):}` 

`{(y>=x-4), (y>=-3x), (y<=3):}` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu prostej y=x-4.

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0-4=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -4)` 

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=5-4=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 1)` 

 

Teraz wyznaczymy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-3x. 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-3*1=-3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ -3)` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-3*2=-6\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ -6)` 

 

Rysujemy te proste oraz prostą y=3.

 

 

Zaznaczamy obszar znajdujący się jednocześnie nad prostą y=x-4, nad prostą y=-3x oraz pod prostą y=3. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

`{(y+x-6<=0\ \ \ |-x+6), (y-2x<=0\ \ \ |+2x), (y-x+2>=0\ \ \ |+x-2):}` 

`{(y<=-x+6), (y<=2x), (y>=x-2):}` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu prostej y=-x+6. 

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=-5+6=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 1)` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+6=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 3)` 

 

Teraz wyznaczymy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x. 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 2)` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 4)` 

 

Teraz wyznaczymy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=x-2.

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0-2=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -2)` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=3-2=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 1)` 

 

Rysujemy te proste. 

 

Zaznaczamy obszar znajdujący się pod prostą y=-x+6, pod prostą y=2x oraz nad prostą y=x-2.

Uprość wzór funkcji ...

`"W poniższym zadaniu wykorzystamy wzory redukcyjne."` 

 

`a)` 

`f(x)=cosxsin(pi/2-x)+sin(-x)cos(pi/2-x)=` 

`=cosxcosx-sinxsinx=cos^2x-sin^2x=cos2x` 

 

`f(x)=cos2x` 

` `

`b)` 

`f(x)=cos(-x)sin(pi/2+x)+sin(pi-x)cos(pi/2+x)=` 

`=cosx*cosx+sinx*(-sinx)=cos^2x-sin^2x=cos2x` 

 

`f(x)=cos2x` 

`c)` 

`f(x)=cos(3/2pi-x)cos(pi-x)-sin(pi+x)sin(3/2pi+x)=` 

`=-sinx(-cosx)-(-sinx)(-cosx)=sinxcosx-sinxcosx=0` 

`f(x)=0`  

Robotnik drążył studnię o głębokości...

`a_1=21` 

`r=9` 

`a_20=a_1+19r` 

`a_20=21+19*9` 

`a_20=21+171` 

`a_20=192` 

 

`S_20=(21+192)/2*20` 

`S_20=213/2*20` 

`S_20=213*10` 

`S_20=2130` 

 

Odp. Wydrążenie całej studni będzie kosztować 2130 zł.

Podaj dla jakich wartości x spełnione jest równanie

`a)`

`|x|=2`

`x=2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2`

 

 

`b)`

`|x|=10`

`x=10\ \ \ "lub"\ \ \ x=-10`

 

 

`c)`

`|x|=1/100`

`x=1/100\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1/100`

 

 

`d)`

`|x|=0`

`x=0`

 

 

`e)`

`|x|=-3`

brak rozwiązań - wartość bezwzględna określa odległość od 0 na osi liczbowej, nigdy nie osiągnie wartości ujemnej