Równania okręgu i koła - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania okręgu i koła

Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $$(0,0)$$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $$x^2 + y^2 = r^2$$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $$a$$ i $$b$$ i zapisując je w postaci $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $$(a, b)$$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $$a$$ i pionie $$b$$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $$O_1$$ o promieniu $$r = 5$$ i środku w punkcie $$(2,3)$$ opisuje równanie $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $$O_1$$ należy punkt $$(-2, 0)$$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $$(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$$ jest prawdziwe. Obliczając:

$$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 

Koło

Koło jest czymś bardzo podobnym do okręgu: z tą tylko różnicą, że nie zawiera jedynie punktów odległych o $$r$$ od środka, a wszystkie punkty, których odległość jest mniejsza lub równa $$r$$. Wynika, że równanie okręgu zamienia się w nierówność koła:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2$$ <= $$r^2$$

Sprawdzanie, czy dany punkt należy do koła przebiega analogicznie jak w przypadku okręgu: podstawiając pod $$x$$ i $$y$$ współrzędne punktu i porównując wartości po dwóch stronach nierówności.

Przykład: czy do koła opisanego nierównością $$(x-1)^2 + (y-5)^2$$ <= $$3^2$$ należy punkt $$(1,1)$$?

Podstawiając współrzędne otrzymujemy:

$$(1-1)^2 + (1-5)^2$$ <= $$9$$
$$16$$ <= $$9$$

Nie jest to prawdą, więc punkt nie należy do koła.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz dziedzinę funkcji ...

 

 

 

 

 

   

Modół z dowolnej liczby jest nieujemny.

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

Modół z dowolnej liczby jest nieujemny.

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Wyrażenie algebraiczne...

Na rysunku obok przedstawiono szkic wykresu...

a)

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności policzmy pierwszą pochodną funkcji.

 

 

 

 

 

 

Sprawdźmy, kiedy  

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  nie ma pierwiastków, ponieważ  

Wobec tego rozwiązaniem powyższej nierówności jest  

 

Funkcja jest rosnąca w  

Funkcja jest malejąca w  


b)

Z podpunktu a) wiemy, że funkcja jest rosnąca w przedziale  

Wobec tego największa wartość funkcji w przedziale  będzie w punkcie  

 


c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykresy podanych funkcji...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Własności wspólne:

- dziedzina

- zbiór wartości

- miejsca zerowe

- funkcje okresowe

- funkcje przedziałami monotoniczne

 

 

 

Suma sześcianu i kwadratu...

Oznaczmy liczbę spełniającą warunek przez x, wtedy suma sześcianu i kwadratu tej liczby jest równa 12:

 

 

Zauważmy, że wielomian:

 

dla x = 2 ma wartość równą 0, a więc dwumian x-2 wystąpi w rozkładzie wielomianu f na czynniki:

 

 

 

 

 

 

 

Wielomian jest stale większy od 0.

 

 

Jedyna liczba rzeczywista spełniająca warunek to 2.

Zapisz liczbę b w postaci ...

 

  

 

 

   

 

 

 

 

 

    

 

Magda i Ola podjęły pracę wakacyjną w dwóch różnych pizzeriach

Opiszmy zarobki dziewcząt (w zł) w zależności od liczby dostarczonych pizz (tą liczbę oznaczmy x) jako funkcje:

 

Policzmy, ile zarabia każda z dziewczyn, jeśli dostarczy 30 pizz:

 

 

ODP: Jeśli średnia liczba dostaw wynosi 30, to korzystniejsze warunki pracy wybrała Magda.

 

 

 

 

ODP: Zarobek dziewczyn będzie identyczny, jeśli średnia liczba dostaw wyniesie 40. 

Określ dziedzinę i naszkicuj...

a)

 

 

 

 

Granica nie istnieje.


b)

 

 

 

 

Granica istnieje.


c)

 

 

 

 

Nie jest to granica niewłaściwa.

W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg...

W oparciu o twierdzenie o kątach wpisanych na tym samym łuku, możemy przyjąć oznaczenia jak na rysunku poniżej:

By pokazać, że dwusieczne kątów  oraz  są równoległe, wystarczy pokazać, że  

{premium}

Z sumy kątów trójkąta dla  mamy:

 

Z sumy kątów trójkąta dla  mamy:

 

Z sumy kątów trójkąta dla  mamy:

 

Z sumy katów trójkąta dla  mamy:

 

 

Po pomnożeniu równań  i  przez  otrzymujemy:

 

 

Zapiszmy powyższe równania trochę inaczej:

 

 

W miejsce wyrażeń w nawiasach podstawiamy zależności wyznaczone z równań  i  

 

 

Odejmujemy równania stronami:

 

 

 co należało dowieść.

Do wykresu proporcjonalności odwrotnej

 

{premium}