Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania i nierówności z parametrem

Mając równanie z parametrem zwykle odpowiedzieć na pytanie, ile ma ono rozwiążań - w zależności od parametru. Weźmy równanie:

$mx + 1 = 4$

Przekształcając je do postaci:

$x = {3}/{m}$

widzimy, że jeśli tylko $m ≠ 0$, równanie ma jedno rozwiązanie. Jeśli natomiast $m = 0$ - równanie sprowadza się do sprzeczności $1 = 4$ i nie ma rozwiązań.

W przypadku równań kwadratowych postępujemy dokładnie tak samo.

Przykład: kiedy równanie $x^2 + mx + 2 = m$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste (w zależności od parametru m)? Przekształcając dochodzimy do postaci:

$x^2 + mx + (2+m) = 0$

z której możemy wyliczyć deltę:

$△ = m^2 - 4m - 8$

Równanie ma dwa rozwiązania, jeśli $△$ > $0$. Pytamy więc, kiedy funkcja kwadratowa $f(m) = m^2 - 4m - 8$ jest większa od 0.

Rozwiązując ją dochodzimy do pierwiastków:
$m_1 = 2 - 2√{3}$
$m_2 = 2 + 2√{3}$

Współczynnik przy $m^2$ jest dodatni, więc funkcja ta jest dodatnia w przedziale $(-∞, m_1)$ oraz $(m_2, ∞)$ - i to właśnie są przedziały, dla których początkowe równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty A(1,2) i B(6,2) są wierzchołkami trójkąta...

Ramionami tego trójkąta są odcinki AB i AC, oznaczmy współrzędne wierzchołka C jako:

 

 

 

 

Obliczmy długość odcinka AB:

 

 

a więc:

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy długość odcinka AC:

Niezależnie od tego czy druga współrzędna wynosi -1 czy 5 to długość odcinka AC będzie taka sama.

 

Odpowiedź B

Krysia wpłaciła do banku pewną kwotę

x - kwota wpłacona przez Krysię na początku

 

Obliczamy, ile wyniosą odsetki (na razie nie uwzględniamy podatku)

 

Obliczamy, jaka kwota zostanie {premium}odliczona od odsetek: 

 

Zatem właściwe odsetki (te które otrzyma Krysia) wynoszą: 

 

Wiemy, że cała kwota, którą odebrała Krysia wynosi 2580 zł: 

Dane są dwa okręgi o promieniach...

a)

 

Zauważmy, że:

 

 

{premium}  

Wobec tego  

Okręgi przecinające się.

b)

 

Zauważmy, że:

 

 

Wobec tego  

Okręgi rozłączne zewnętrznie.

c)

 

 

 

Wobec tego  

Okręgi styczne zewnętrznie.

d)

 

Zauważmy, że: 

 

 

 

Wobec tego  

Okręgi przecinające się.

Wskazówka minutowa zegara ma ...

a) godziny 

W czasie godziny punkt na końcu wskazówki zegara zatoczy pełny okrąg, czyli obróci się o 360o.

Pokona drogę równą długości okręgu o promieniu 10 cm (bo promień okręgu jest długością wskazówki).

Stąd mamy:

 

{premium}

b) 250 minut 

W czasie 250 minut = 4 godz 10 min punkt na końcu wskazówki zegara zatoczy cztery pełne okrągi, czyli obróci się o 1440o oraz pokona jeszcze 10/60 długości okręgu (co będzie odpowiadać obrotowi o 60o).

Stąd mamy:

   

 

c) doby 

W czasie doby punkt na końcu wskazówki zegara zatoczy 24 pełne okręgi, czyli obróci się o 8640o.

Wskazówka pokona drogę równą 24 długościom okręgu o promieniu 10 cm (bo promień okręgu jest długością wskazówki).

Stąd mamy:

 

 

d) roku 

W czasie doby wskazówka zegara zatoczy 24 pełne okręgi, czyli obróci się o 8640o.

Rok ma 365 dni, czyli punkt na końcu wskazówki zatoczy 8760 pełnych okręgów.

Stąd mamy:

 

W przypadku roku przestępnego (366 dni), punkt na końcu wskazówki zatoczy 8784 pełnych okręgów.

Wówczas:

 

Oblicz, ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych

 

Możemy użyć cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 - 8 cyfr. 

Na każdym z pięciu miejsc możemy postawić jedną z ośmiu cyfr. 

Zgodnie z regułą mnożenia ilość takich liczb pięciocyfrowych jest równa:

{premium}  

 

 

 

Możemy użyć cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 7 cyfr. 

Na pierwszym miejscu musimy postawić cyfrę różną od 0 (6 możliwości) - gdybyśmy postawili 0, to otrzymana cyfra nie byłaby pięciocyfrowa. 

Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy postawić jedną z siedmiu cyfr. 

Zgodnie z regułą mnożenia ilość takich liczb pięciocyfrowych jest równa:

  

 

 

 

Możemy użyć cyfr 0, 2, 4, 6, 8 - 5 cyfr. 

Na pierwszym miejscu musimy postawić cyfrę różną od 0 (4 możliwości) - gdybyśmy postawili 0, to otrzymana cyfra nie byłaby pięciocyfrowa. 

Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy postawić jedną z pięciu cyfr. 

Zgodnie z regułą mnożenia ilość takich liczb pięciocyfrowych jest równa:

 

Wiadomo, że wariancję zestawu danych ...

Rozpisując (1) wzór otrzymujemy:

 

    {premium}

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy (2) wzór.

Zatem pokazaliśmy, że (1) wzór jest równoważny (2).

Zapisz w postaci sumy algebraicznej

{premium}

  

Wyznacz ogólny wyraz...

Wyznaczmy n-ty wyraz ciągu:

 

Zauważmy, że:

 

Ciąg jest arytmetyczny a jego różnica wynosi 6, czyli jest rosnący.{premium}

 

Wyznaczmy n-ty wyraz ciągu:

 

Zauważmy, że:

 

Ciąg jest arytmetyczny a jego różnica wynosi 2, czyli jest rosnący.

 

Wyznaczmy n-ty wyraz ciągu:

 

Zauważmy, że:

 

Ciąg jest arytmetyczny a jego różnica wynosi -2, czyli jest malejący.

 

Wyznaczmy n-ty wyraz ciągu:

 

Ciąg jest arytmetyczny a jego różnica wynosi -1/2, czyli jest malejący.

Korzystając z rysunku, oblicz ...

W zadaniu korzystamy z własności:

{premium}  

 

 

a) Dany jest punkt P(4,1).

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych mamy:

 

Stąd:

   

 

c) Dany jest punkt P(3/2,7/2).

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych mamy:

 

Stąd:

    

Rozwiąż nierówności:

a)

 

     {premium}

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 


d)

 

 

 

Podstawa potęgi  (12) jest liczbą z przedziału (0;1), zatem znak nierówności zmieniamy na przeciwny: