Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania i nierówności z parametrem

Mając równanie z parametrem zwykle odpowiedzieć na pytanie, ile ma ono rozwiążań - w zależności od parametru. Weźmy równanie:

$mx + 1 = 4$

Przekształcając je do postaci:

$x = {3}/{m}$

widzimy, że jeśli tylko $m ≠ 0$, równanie ma jedno rozwiązanie. Jeśli natomiast $m = 0$ - równanie sprowadza się do sprzeczności $1 = 4$ i nie ma rozwiązań.

W przypadku równań kwadratowych postępujemy dokładnie tak samo.

Przykład: kiedy równanie $x^2 + mx + 2 = m$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste (w zależności od parametru m)? Przekształcając dochodzimy do postaci:

$x^2 + mx + (2+m) = 0$

z której możemy wyliczyć deltę:

$△ = m^2 - 4m - 8$

Równanie ma dwa rozwiązania, jeśli $△$ > $0$. Pytamy więc, kiedy funkcja kwadratowa $f(m) = m^2 - 4m - 8$ jest większa od 0.

Rozwiązując ją dochodzimy do pierwiastków:
$m_1 = 2 - 2√{3}$
$m_2 = 2 + 2√{3}$

Współczynnik przy $m^2$ jest dodatni, więc funkcja ta jest dodatnia w przedziale $(-∞, m_1)$ oraz $(m_2, ∞)$ - i to właśnie są przedziały, dla których początkowe równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile osi symetrii ma...

a) 

Trójkąt równoboczny ma 3 osie symetrii, są nimi proste, w których zawierają się wysokości trójkąta.{premium}


b) 

Równoległobok, który nie jest rombem i nie jest prostokątem nie ma osi symetrii


c)

Prostokąt jeśli nie jest kwadratem ma 2 osie symetrii, są nimi proste łączące środki przeciwległych boków prostokąta. 

Prostokąt jeśli jest kwadratem ma 4 osie symetrii, są nimi proste, w których zawierają się przekątne kwadratu i proste przechodzące przez środki przeciwległych boków kwadratu. 


d)

Sześciokąt foremny ma 6 osi symetrii, są nimi proste, w których zawierają się dłuższe przekątne sześciokąta i proste przechodzące przez środki przeciwległych boków sześciokąta. 

Dłuższe ramię trapezu prostokątnego...

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku {premium}

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, czyli 

 

czyli na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o dwóch prostych przeciętych trzecią prostą dostajemy, że odcinek KO jest równoległy do podstaw AB i CD trapezu.

Ponadto zauważmy, że odcinek KO przechodzi przez środek O ramienia BC, czyli jest to odcinek łączący środki ramion trapezu

Korzystając z tego faktu, dostajemy, że długość odcinka KO jest równa średniej arytmetycznej podstaw trapezu ABCD, czyli 

 

czyli suma długości podstaw trapezu jest równa długości dłuższego ramienia. 

 

c.n.d.

W trójkącie prostokątnym dany jest ...

 

 

 

 

  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość boku c (przeciwprostokątnej):

{premium}  

 

 

 

   

 

 

Obliczamy obwód trójkąta:

 

 

Wyznaczamy sinα oraz cosα:

 

 

 

  

     

   

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość boku c (przeciwprostokątnej):

 

   

   

   

     

 

 

Obliczamy obwód trójkąta:

  

 

Wyznaczamy sinα oraz cosα:

  

 

Rozłóż wielomian na czynniki...

  {premium}


 

 


 

 


 

 


 


 

 


 

 


 

 

Przerysuj poniższą tabelę do zeszytu ...

 

  

       {premium}

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Zauważmy, że do ramienia końcowego kąta 0o należy punkt (1, 0), zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że do ramienia końcowego kąta 90o należy punkt (0, 1), zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że do ramienia końcowego kąta 180o należy punkt (-1, 0), zatem:

 

 

 

 

α

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

sin α

 

 

 

           

cos α

 

 

 

     

 

 

 

tg α

 

       

 

 

 

 

 

Narysuj płaszczyznę...

a) Rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę π jest{premium} prosta m. Prosta k zawiera się w płaszczyźnie π' równoległej do płaszczyzny π.


b) Rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę π jest punkt P. Prosta k zawiera się w płaszczyźnie π' prostopadłej do płaszczyzny π.


c) Rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę π jest prosta m.

Sprawdź, czy proste k i l są ...

 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek:

 

 

 

 

Zatem proste k i l są równoległe.


 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek:

 

 

 

 

Zatem proste k i l są równoległe.


 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek:

 

 

 

 

Zatem proste k i l nie są równoległe.


 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek:

 

 

  

Zatem proste k i l nie są równoległe.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym ...

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Z tw. cosinusów otrzymujemy:    {premium}

   

 

 

Obliczmy wysokość tego graniastosłupa:

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego graniastosłupa.

 

 

 

 

Uzasadnij, że spośród punktów...

Jeśli punkt leży wewnątrz okręgu to potęga jest równa  

Niech  - będzie środkiem okręgu

Niech  {premium}  - będzie punktem, przez który prowadzimy prostą przecinającą okrąg w punktach  

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  

Potęga ta będzie najmniejsza, gdy   

Zauważmy, że odległość  będzie równa  gdy punkt  pokryje się z punktem  , czyli środek będzie punktem P, co należało pokazać.

W trzycyfrowej liczbie naturalnej liczba jedności ...

 

 

 

{premium}