Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania i nierówności z parametrem

Mając równanie z parametrem zwykle odpowiedzieć na pytanie, ile ma ono rozwiążań - w zależności od parametru. Weźmy równanie:

$$mx + 1 = 4$$

Przekształcając je do postaci:

$$x = {3}/{m}$$

widzimy, że jeśli tylko $$m ≠ 0$$, równanie ma jedno rozwiązanie. Jeśli natomiast $$m = 0$$ - równanie sprowadza się do sprzeczności $$1 = 4$$ i nie ma rozwiązań.

W przypadku równań kwadratowych postępujemy dokładnie tak samo.

Przykład: kiedy równanie $$x^2 + mx + 2 = m$$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste (w zależności od parametru m)? Przekształcając dochodzimy do postaci:

$$x^2 + mx + (2+m) = 0$$

z której możemy wyliczyć deltę:

$$△ = m^2 - 4m - 8$$

Równanie ma dwa rozwiązania, jeśli $$△$$ > $$0$$. Pytamy więc, kiedy funkcja kwadratowa $$f(m) = m^2 - 4m - 8$$ jest większa od 0.

Rozwiązując ją dochodzimy do pierwiastków:
$$m_1 = 2 - 2√{3}$$
$$m_2 = 2 + 2√{3}$$

Współczynnik przy $$m^2$$ jest dodatni, więc funkcja ta jest dodatnia w przedziale $$(-∞, m_1)$$ oraz $$(m_2, ∞)$$ - i to właśnie są przedziały, dla których początkowe równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania, stosując podstawienie ...

`a)` 

`2x^4-13x^2+6=0` 

`t=x^2` 

`2t^2-13t+6=0` 

`Delta=169-48-121` 

`sqrtDelta=11` 

 

`t_1=(13-11)/4=1/2` 

`t_2=(13+11)/4=6` 

 

`x^2=1/2` 

`x=1/sqrt2\ \ \vee\ \ \x=-1/sqrt2` 

 

`x^2=6` 

`x=sqrt6\ \ \ vee\ \ \x=-sqrt6` 

 

`x in {-sqrt6;-1/sqrt2;1/sqrt2;sqrt6}` 

 

`b)` 

`x^4-x^2-12=0` 

`t=x^2` 

`t^2-t-12=0` 

`Delta=1+48=49` 

`sqrtDelta=7` 

 

`t_1=(1-7)/2=-3` 

`t_2=8/2=4` 

 

`x^2=-3` 

`"Brak rozwiązań."` 

 

`x^2=4` 

`x=2\ \ \vee\ \ \x=-2` 

 

`x in {-2;2}` 

 

`c)` 

`4x^4+3x^2-1=0` 

`t=x^2` 

`4t^2+3t-1=0` 

`Delta=9+16=25` 

`sqrtDelta=5` 

 

`t_1=(-3-5)/8=-1` 

`t_2=(-3+5)/8=1/4` 

 

`x^2=-1` 

`"Brak rozwiązań."` 

 

`x^2=1/4` 

`x=1/2\ \ \vee \ \ \ x=-1/2` 

 

`x in {-1/2;1/2}` 

 

`d)` 

`x^4-29x^2+100=0` 

`t=x^2` 

`t^2-29t+100=0` 

`Delta=841-400=441` 

`sqrtDelta=21` 

 

`t_1=(29+21)/2=25` 

`t_2=(29-21)/2=4` 

 

`x^2=25` 

`x=5\ \ \vee\ \ \x=-5` 

 

`x^2=4` 

`x= 2\ \ \vee\ \ \x= 2` 

 

`x in {-5;2;2;5}`   

 

Uzupełnij definicję...

a) Ciąg (an) jest niemalejący, jeśli

`a_(n+1) - a_n geq 0` 

 

b) Ciąg (an) jest nierosnący, jeśli

`a_(n+1) - a_n leq 0` 

Robotnik drążył studnię o głębokości...

`a_1=21` 

`r=9` 

`a_20=a_1+19r` 

`a_20=21+19*9` 

`a_20=21+171` 

`a_20=192` 

 

`S_20=(21+192)/2*20` 

`S_20=213/2*20` 

`S_20=213*10` 

`S_20=2130` 

 

Odp. Wydrążenie całej studni będzie kosztować 2130 zł.

Wyznacz wzór ogólny podanego ...

`"a)"\ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ ...` 

Wyznaczamy różnicę np:

`r=7-5=2` 

Podstawiamy dane do wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

`a_n=a_1+(n-1)r` 

`a_n=1+(n-1)*2=1+2n-2=2n-1` 

Wyznaczamy 100 wyraz podanego ciągu:

`a_100=2*100-1=200-1=199` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ 6,\ 6 1/3,\ 6 2/3,\ 7,\ 7 1/3,\ ...` 

Wyznaczamy różnicę np:

`r= 7 1/3-7=1/3` 

Podstawiamy dane do wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

`a_n=6+(n-1)*1/3=6+1/3n-1/3=1/3n+5 2/3`  

Wyznaczamy 100 wyraz podanego ciągu:

`a_100=1/3*100+5 2/3=100/3+5 2/3=33 1/3+5 2/3=39`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 6,\ 2,-2,-6,-10,\ ...` 

Wyznaczamy różnicę np:

`r=-6-(-2)=-6+2=-4`  

Podstawiamy dane do wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

`a_n=6+(n-1)*(-4)=6-4n+4=-4n+10`   

Wyznaczamy 100 wyraz podanego ciągu:

`a_100=(-4)*100+10=-400+10=-390` 

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej f...

`f(x) = 4^x` 

A więc:

`(f(x) +2f(x))^2 - 36 =0` 

`(3*f(x))^2 - 36 =0` 

`(3f(x)-6)(3f(x)+6)=0` 

`3(f(x)-2)*3(f(x)+2)=0` 

`(f(x)-2)(f(x)+2)=0` 

`f(x)-2=0 \ \ vv \ \ f(x) + 2 =0` 

`f(x) = 2 \ \ vv \ \ f(x) = -2` 

Funkcja f jest stale większa od 0 a więc:

`f(x) = 2` 

`4^x = 2` 

`4^x = 4^(1/2)` 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

`x = 1/2` 

 

zatem

`f(1/2) = 4^(1/2) = 2` 

stąd:

`A=(1/2 , 2)` 

Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą

`a)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+4=0+4=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 4)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1+4=2+4=6\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 6)`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-4=0-4=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -4)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2-4=4-4=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)`

 

Przez odpowiednie punkty rysujemy proste y=2x+4, y=2x-4, y=-2 oraz x=6 w jednym układzie współrzędnych. 

 

Zaznaczamy obszar znajdujący się jednocześnie pod prostą y=2x+4, nad prostą y=2x-4, nad prostą y=-2 oraz na lewo od prostej x=-6. 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3, -2), (1; -2), (6; 8) oraz (6; 16). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-3;\ -2):\ \ \ x+y=-3+(-2)=-5` 

`(1;\ -2):\ \ \ \ \ x+y=1+(-2)=-1` 

`(6;\ 8):\ \ \ \ \ \ \ x+y=6+8=14` 

`(6;\ 16):\ \ \ \ \ \ x+y=6+16=22` 

Największa wartość tej sumy wynosi 22, a najmniejsza wynosi -5.

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`b)` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+9:

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-2)+9=-4+9=5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-2;\ 5)` 

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-4)+9=-8+9=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-4;\ 1)` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-6.   

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1-6=2-6=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ \ \ (1;\ -4)`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2-6=4-6=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ -2)` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należacych do prostej y=-x-3:

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1-3=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ -4)` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2-3=-5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ -5)` 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-½x+4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*0+4=0+4=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 4)`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*2+4=-1+4=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 3)` 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajduje się jednocześnie pod pierwszą prostą, nad drugą prostą, nad trzecią prostą oraz pod czwartą prostą). 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-4; 1), (1; -4), (4; 2) oraz (-2; 5).  Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-4;\ 1):\ \ \ x+y=-4+1=-3`  

`(1;\ -4):\ \ \ x+y=1+(-4)=-3` 

`(4;\ 2):\ \ \ \ \ x+y=4+2=6` 

`(-2;\ 5):\ \ \ x+y=-2+5=3` 

Największa wartość sumy wynosi 6, a najmniejsza wartość sumy wynosi -3. 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`c)` 

Przekształćmy pierwszą nierówność:

`x-6<=0\ \ \ |+6` 

`x<=6` 

 

 

Przekształćmy drugą nierówność:

`x-y+3>=0\ \ \ |-x-3` 

`-y>=-x-3\ \ \ |*(-1)` 

`y<=x+3` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=x+3:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 3)` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1+3=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 4)` 

 

 

Przekształćmy trzecią nierówność:

`x+y-7<=0\ \ \ |-x+7` 

`y<=-x+7` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-x+7:

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+7=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 4)` 

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=-5+7=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 2)` 

 

 

Przekształćmy czwartą nierówność:

`x+3y+3>=0\ \ \ |-x-3` 

`3y>=-x-3\ \ \ |:3` 

`y>=-1/3x-1` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-¹/₃x-1. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*0-1=0-1=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -1)` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*3-1=-1-1=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ -2)` 

 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajdujący się jednocześnie na lewo od pierwszej prostej, pod drugą prostą, pod trzecią prostą oraz nad czwartą prostą):

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3; 0), (6; -3), (6; 1) oraz (2; 5). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-3;\ 0):\ \ \ x+y=-3+0=-3` 

`(6;\ -3):\ \ \ x+y=6+(-3)=3` 

`(6;\ 1):\ \ \ \ \ x+y=6+1=7` 

`(2;\ 5):\ \ \ \ \ x+y=2+5=7` 

Największa wartość sumy jest równa 7, a najmniejsza jest równa -3.  

 

Wykresy funkcji f(x) = ...

Dla `b=4`: ` \ f(x)=x^2+4x` 

`x`  `-5`  `-4`  `-3`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2` 
`3`  `4` 
`5` 
`y`  `5`  `0` 
`-3`  `-4`  `-3`  `0`  `5`  `12`  `21`  `32`    `45` 


 `f(-5)=(-5)^2+4*(-5)=25-20=5` 

 `f(-4)=(-4)^2+4*(-4)=16-16=0` 

 `f(-3)=(-3)^2+4*(-3)=9-12=-3` 

 `f(-2)=(-2)^2+4*(-2)=4-8=-4` 

 `f(-1)=(-1)^2+4*(-1)=1-4=-3` 

 `f(0)=0^2+4*0=0` 

 `f(1)=1^2+4*1=1+4=5` 

 `f(2)=2^2+4*2=4+8=12` 

 `f(3)=3^2+4*3=9+12=21` 

 `f(4)=4^2+4*4=16+16=32` 

 `f(5)=5^2+4*5=25+20=45` 

{premium}

 

Dla `b=2`: ` \ f(x)=x^2+2x` 

`x`   `-3`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2`   `3` 
`y`  `3`  `0`  `-1`  `0`  `3`  `8`  `15` 


 `f(-3)=(-3)^2+2*(-3)=9-6=3` 

 `f(-2)=(-2)^2+2*(-2)=4-4=0`

 `f(-1)=(-1)^2+2*(-1)=1-2=-1` 

 `f(0)=0^2+2*0=0` 

 `f(1)=1^2+2*1=1+2=3` 

 `f(2)=2^2+2*2=4+4=8` 

 `f(3)=3^2+2*3=9+6=15`  

 

Dla `b=0`: ` \ f(x)=x^2` 

`x`   `-3`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2`   `3` 
`y`  `9`  `4`  `1`  `0`  `1`  `4`  `9` 


 `f(-3)=(-3)^2=9` 

 `f(-2)=(-2)^2=4`

 `f(-1)=(-1)^2=1` 

 `f(0)=0^2=0` 

 `f(1)=1^2=1` 

 `f(2)=2^2=4` 

 `f(3)=3^2=9`  

 

Dla `b=-2`: ` \ f(x)=x^2-2x` 

`x`   `-3`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2`   `3`  `4` 
`y`  `15`  `8`  `3`  `0`  `1`  `0`  `3`   `8` 


 `f(-3)=(-3)^2-2*(-3)=9+6=15` 

 `f(-2)=(-2)^2-2*(-2)=4+4=8`

 `f(-1)=(-1)^2-2*(-1)=1+2=3` 

 `f(0)=0^2-2*0=0` 

 `f(1)=1^2-2*1=1-2=-1` 

 `f(2)=2^2-2*2=4-4=0` 

 `f(3)=3^2-2*3=9-6=3`  

 `f(4)=4^2-2*4=16-8=8`  

 

Dla `b=-4`: ` \ f(x)=x^2-4x` 

`x`   `-3`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2`   `3`  `4`  `5` 
`y`  `21`  `12`  `5`  `0`  `-3`  `-4`  `-3`  `0`  `5`  


`f(-3)=(-3)^2-4*(-3)=9+12=21` 

`f(-2)=(-2)^2-4*(-2)=4+8=12` 

`f(-1)=(-1)^2-4*(-1)=1+4=5` 

`f(0)=0^2-4*0=0` 

`f(1)=1^2-4*1=1-4=-3` 

`f(2)=2^2-4*2=4-8=-4` 

`f(3)=3^2-4*3=9=12=-3` 

`f(4)=4^2-4*4=16-16=0` 

`f(5)=5^2-4*5=25-20=5` 

 

Zajmiemy się teraz ustaleniem współczynnika `b` tak, aby prosta  `y=-9` miała dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą  `f(x)=x^2+bx`.

Punktem tym musi być wierzchołek paraboli `(p,q)`. Zatem  `q=-9`.

Przypomnijmy jeszcze wzór na druga współrzędną wierzchołka: `q=(-Delta)/(4a)`.

`Delta=b^2-4*1*0=b^2` 

Podstawmy teraz znane wartości do wzoru i rozwiążmy równanie

`-9=(-b^2)/(4*1)`

`-9=(-b^2)/(4) \ \ \ \ \ |*4`

`-36=-b^2 \ \ \ \ \ |*(-1)`

`36=b^2` 

`b^2=36 \ \ \ \ \ |sqrt` 

`b=-6`  lub   `b=6`   

Wyznacz pierwszy wyraz ...

`a)` 

`{(a_3+a_5=24),(a_3*a_5=135):}` 

`{(2a_1+6r=24),((a_1+2r)(a_1+4r)=135):}` 

`{( a_1=12-3r),((a_1+2r)(a_1+4r)=135):}` 

`135=(a_1+2r)(a_1+4r)=(12-3r+2r)(12-3r+4r)=135` 

`(12-r)(12+r)=135` 

`144-r^2=135` 

`r^2=9` 

`r=3\ \ \vv\ \ \r=-3` 

 

`"I".\ r=3` 

`a_1=12-3r=12-9=3` 

 

`"II".\ r=-3` 

`a_1=12-3r=12+9=21` 

 

`{(a_1=3),(r=3):}\ \ \"lub"\ \ \{(a_1=21),(r=-3):}` 

 

`b)` 

`{(a_9-a_6=21),(a_9*a_6=2146):}` 

 

`{(a_1+8r-a_1-5r=21),((a_1+8r)*(a_1+5r)=2146):}`   

`{(3r=21),((a_1+8r)*(a_1+5r)=2146):}`   

`r=7` 

`2146= (a_1+8r)*(a_1+5r)=(a_1+56)(a_1+35)` 

`a_1^2+91a_1+1960=2146` 

`a_1^2+91a_1-186=0` 

`Delta=8281+744=9025` 

`sqrtDelta=95` 

`a_(1_1)=(-91+95)/2=2` 

`a_(1_2)=(-91-95)/2=-93`  

`{(a_1=2),(r=7):}\ \ \"lub"\ \ \{(a_1=-93),(r=7):}` 

W kulę o promieniu R wpisano dwa stożki...

Oznaczenia:

`r` - promień stożków

`h_1` - wysokość mniejszego stożka

`l_1` - tworząca mniejszego stożka

`x+R` wysokość większego stożka

`l_2` tworząca większego stożka

`x+R=?` 

 

`2*P_(b1)=P_(b2)` 

`2*pirl_1=pirl_2 \ \ \ |:pir` 

`2l_1=l_2` 

 

Z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

`r^2+h_1^2=l_1^2` 

oraz

`(x+R)^2+r^2=l_2^2` 

`x^2+2xR+R^2+r^2=(2l_1)^2` 

`x^2+2xR+R^2+r^2=4l_1^2` 

`x^2+2xR+R^2+r^2=4(r^2+h_1^2)` 

`x^2+2xR+R^2+r^2=4r^2+4h_1^2 \ \ \ |-r^2` 

`x^2+2xR+R^2=3r^2+4h_1^2` 

Zauważmy, że `x=R-h_1` 

`(R-h_1)^2+2(R-h_1)R+R^2=3r^2+4h_1^2` 

`R^2-2Rh_1+h_1^2+2R^2-2Rh_1+R^2=3r^2+4h_1^2 \ \ \ |-h_1^2` 

`4R^2-4Rh_1=3r^2+3h_1^2`  

 

Dodatkowo wiemy, że:

`x^2+r^2=R^2` 

`(R-h_1)^2+r^2=R^2` 

`R^2-2Rh_1+h_1^2+r^2=R^2 \ \ \ |-R^2` 

`h_1^2+r^2=2Rh_1 \ \ \ rArr \ \ \ l_1^2=2Rh_1` 

 

Podstawiając do wcześniejszej równości otrzymujemy:

`4R^2-2(h_1^2+r^2)=3r^2+3h_1^2` 

`4R^2-2h_1^2-2r^2=3r^2+3h_1^2` 

`4R^2=5r^2+5h_1^2` 

`4R^2=5(r^2+h_1^2)` 

`4R^2=5l_1^2` 

`4/5R^2=l_1^2` 

`2/sqrt5R=l_1` 

`(2sqrt5)/5R=l_1` 

 

`l_2=2*l_1=2*(2sqrt5)/5R=(4sqrt5)/5R` 

 

`l_1^2=2Rh_1` 

`4/5R^2=2Rh_1 \ \ \ |:2R` 

`2/5R=h_1` 

 

`h_1+x+R=2R` 

`2/5R+x+R=2R \ \ \ |-2/5R` 

`x+R=1 3/5R` 

Korzystając z tablic matematycznych lub kalkulatora podaj przybliżoną

`a)\ tgalpha=0,231\ \ \ =>\ \ \ alpha~~13^o`

`b)\ tgalpha=-0,649\ \ \ =>\ \ \ -tgalpha=0,649\ \ \ =>\ \ \ tg(180^o-alpha)=0,649\ \ \ =>\ \ \ 180^o-alpha~~33^o\ \ \ =>\ \ \ alpha~~180^o-33^o=147^o`

`c)\ tgalpha=3,271\ \ \ =>\ \ \ alpha~~73^o`

`d)\ tgalpha=-8,144\ \ \ =>\ \ \ -tgalpha=8,144\ \ \ =>\ \ \ tg(180^o-alpha)=8,144\ \ \ =>\ \ \ 180^o-alpha~~83^o\ \ \ =>\ \ \ alpha~~180^o-83^o=97^o`

`e)\ tgalpha=2,356\ \ \ =>\ \ \ alpha~~67^o`

`f)\ tgalpha=-0,81\ \ \ =>\ \ \ -tgalpha=0,81\ \ \ =>\ \ \ tg(180^o-alpha)=0,81\ \ \ =>\ \ \ 180^o-alpha=39^o\ \ \ =>\ \ \ alpha~~180^o-39^o=141^o`