Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania i nierówności z parametrem

Mając równanie z parametrem zwykle odpowiedzieć na pytanie, ile ma ono rozwiążań - w zależności od parametru. Weźmy równanie:

$$mx + 1 = 4$$

Przekształcając je do postaci:

$$x = {3}/{m}$$

widzimy, że jeśli tylko $$m ≠ 0$$, równanie ma jedno rozwiązanie. Jeśli natomiast $$m = 0$$ - równanie sprowadza się do sprzeczności $$1 = 4$$ i nie ma rozwiązań.

W przypadku równań kwadratowych postępujemy dokładnie tak samo.

Przykład: kiedy równanie $$x^2 + mx + 2 = m$$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste (w zależności od parametru m)? Przekształcając dochodzimy do postaci:

$$x^2 + mx + (2+m) = 0$$

z której możemy wyliczyć deltę:

$$△ = m^2 - 4m - 8$$

Równanie ma dwa rozwiązania, jeśli $$△$$ > $$0$$. Pytamy więc, kiedy funkcja kwadratowa $$f(m) = m^2 - 4m - 8$$ jest większa od 0.

Rozwiązując ją dochodzimy do pierwiastków:
$$m_1 = 2 - 2√{3}$$
$$m_2 = 2 + 2√{3}$$

Współczynnik przy $$m^2$$ jest dodatni, więc funkcja ta jest dodatnia w przedziale $$(-∞, m_1)$$ oraz $$(m_2, ∞)$$ - i to właśnie są przedziały, dla których początkowe równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wpisz w kratki dwanaście początkowych ...

`"a) n-ty wyraz ciągu równa się reszcie zdzielenia liczby n przez 3"` 

W kratki należy kolejno wpisać:

`1,\ 2,\ 0,\ 1,\ 2,\ 0,\ 1,\ 2,\ 0,\ 1,\ 2,\ 0` 

 

Wykres ciągu:



`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

`"b) n-ty wyraz ciągu równa się reszcie zdzielenia liczby n przez 4"`  

W kratki należy kolejno wpisać:

`1,\ 2,\ 3,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 0` 

 

Wykres ciągu:

Podaj przykład funkcji malejących ...

`a)` 

`f:\ (0;+oo)->RR` 

`g:\ (0;+oo)->RR` 

`f,g-"funkcje malejące"` 

`bb(Teza):h(x)=f(x)*g(x)-"funkcja rosnąca"`  

 

`f(x)=-x`    

`g(x)=-x`  

`h(x)=f(x)*g(x)=x^2` 

`D_(h)=D_(f)=D_(g)=(0;+oo)` 

 

Czy h rosnąca?

`x_1,x_2,tin(0;+oo)`  

`x_2=x_1+t` 

`ul(x_2>x_1`  

`h(x_1)=x_1^2` 

`h(x_2)=x_2^2=x_1^2+2x_1t+t^2`  

`ul(h(x_2)>h(x_1)`  

Pokazaliśmy, że funkcja h jest rosnąca.

 

`b)` 

`f:\ (0;+oo)->RR` 

`g:\ (0;+oo)->RR` 

`f,g-"funkcje rosnące"`  

`bb(Teza):h(x)=f(x)*g(x)-"funkcja malejąca"`   

 

`f(x)=-1/x `      

`g(x)=x^2`     

`h(x)=f(x)*g(x)=-x`   

`D_(h)=D_(f)=D_(g)=(0;+oo)` 

 

Czy h malejąca?

`x_1,x_2,tin(0;+oo)`  

`x_2=x_1+t`  

`ul(x_2>x_1`   

`h(x_1)==-x_1` 

`h(x_2)=-x_2=-x_1-t`  

`ul(h(x_2)<h(x_1)`   

Pokazaliśmy, że funkcja h jest malejąca.

Rozwiąż równanie. Zapisz, dla jakich x...

`a) \ 5/(2x) = 3/(5x)` 

`5*5x = 3*2x` 

`25x = 6x` 

`19x =0` 

 

`"Dla" \ x = 0`  

równanie nie ma sensu liczbowego

 

 

`b) \ x/(x+2)=3/(x-2)` 

`x(x-2) = 3(x+2)` 

`x^2 - 2x = 3x + 6` 

`x^2 -5x - 6 =0` 

`x^2 + x - 6x - 6 =0` 

`x(x+1) - 6(x+1)=0` 

`(x+1)(x-6)=0` 

`x_1 = -1 \ \ vv \ \ x_2 = 6` 

Rozwiązaniami równania są liczby:

`-1 , 6` 

 

`"Dla" \ x in {-2,2}` 

równanie nie ma sensu liczbowego

 

 

`c) \ (x-3)/(x+2) = -x + 1`

`x-3 = (x+2)(-x+1)` 

`x-3 = -x^2 + x -2x + 2` 

`x-3 = -x^2 - x + 2` 

`x^2 + 2x - 5 =0` 

`Delta = 4 - 4*1*(-5) = 4 + 20 = 24` 

`sqrtDelta = sqrt24 = 2sqrt6` 

`x_1 = (-2-2sqrt6)/2 = -1-sqrt6` 

`x_2 = (-2+2sqrt6)/2 = -1+sqrt6` 

`(x-(-1-sqrt6))(x-(-1+sqrt6))=0` 

`(x+1+sqrt6)(x+1-sqrt6)=0` 

 

`"Dla" \ x = -2` 

równanie nie ma sensu liczbowego 

 

 

`d) \ x/2 = 3/x + (x-1)/2` 

`x/2 = 6/(2x) + (x(x-1))/(2x)` 

`x/2 = (x^2 - x + 6)/(2x)` 

`2x^2 = 2x^2 - 2x + 12` 

`2x = 12` 

`x = 6` 

 

`"Dla" \ x = 0` 

równanie nie ma sensu liczbowego

Rozwiąż nierówność

Oszacujmy podaną liczbę:

`-sqrt(27-10sqrt2)~~-sqrt(27-10*1,4)=-sqrt(27-14)~~-sqrt13=-sqrt(12,96)=-3,6`

 

`a)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-4, a druga zeruje się dla x=3. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -4)`

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|`

`\ \ \ -(x+4)<9+(x-3)`

`\ \ \ -x-4<9+x-3`

`\ \ \ -x-4<6+x\ \ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x-4<6\ \ \ |+4`

`\ \ \ -2x<10\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x> -5`

`(x> -5\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -4))\ \ \ =>\ \ \ ul( x in (-5;\ -4))`

 

 

`2)\ x in <<-4;\ 3)`

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|`

`\ \ \ x+4<9+(x-3)`

`\ \ \ x+4<9+x-3`

`\ \ \ x+4<x+6\ \ \ |-x`

`\ \ \ 4<6`

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-4;\ 3))`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|`

`\ \ \ x+4<9-(x-3)`

`\ \ \ x+4<9-x+3`

`\ \ \ x+4<12-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 2x+4<12\ \ \ |-4`

`\ \ \ 2x<8\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<4`

`(x<4\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<3;\ 4))`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-5;\ 4)))`

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

`b)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=4, a druga zeruje się dla x=-3. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)`

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|`

`\ \ \ -(x-4)<=9+(x+3)`

`\ \ \ -x+4<=9+x+3`

`\ \ \ -x+4<=12+x\ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x+4<=12\ \ \ |-4`

`\ \ \ -2x<=8\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>= -4`

`(x>= -4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-4;\ -3))`

 

 

`2)\ x in <<-3;\ 4)`

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|`

`\ \ \ -(x-4)<=9-(x+3)`

`\ \ \ -x+4<=9-x-3`

`\ \ \ -x+4<=6-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 4<=6`

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-3;\ 4))`

 

 

`3)\ x in <<4;\ +infty)`

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|`

`\ \ \ x-4<=9-(x+3)`

`\ \ \ x-4<=9-x-3`

`\ \ \ x-4<=6-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 2x-4<=6\ \ \ |+4`

`\ \ \ 2x<=10\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=5`

`(x<=5\ \ \ "i"\ \ \ x in <<4;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<4;\ 5>>)`

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<-4;\ 5>>))`

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`c)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-3, a druga zeruje się dla x=0. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)`

`\ \ \ |x+3|+1>|x|`

`\ \ \ -(x+3)+1> -x`

`\ \ \ -x-3+1> -x`

`\ \ \ -x-2> -x\ \ \ |+x`

`\ \ \ -2> 0`

Powyższa nierówność jest sprzeczna, więc w pierwszym przedziale wyjściowa nierówność nie ma rozwiązań.

 

`2)\ x in <<-3;\ 0)`

`\ \ \ |x+3|+1>|x|`

`\ \ \ x+3+1> -x`

`\ \ \ x+4> -x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 2x+4>0\ \ \ |-4`

`\ \ \ 2x> -4\ \ \|:2`

`\ \ \ x> -2`

`(x> -2 \ \ \ "i"\ \ \ x in <<-3;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-2;\ 0))`

 

`3)\ x in <<0;\ +infty)`

`\ \ \ |x+3|+1>|x|`

`\ \ \ x+3+1>x`

`\ \ \ x+4>x\ \ \ |-x`

`\ \ \ 4>0`

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z trzeciego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-2;\ +infty)))`

 

Podana liczba nie spełnia tej nierówności. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`d)`

`|3-6x|-11<|4x-2|`

`|-6(x-1/2)|-11<|4(x-1/2)|`

`|-6|*|x-1/2|-11<|4|*|x-1/2|`

`6|x-1/2|-11<4|x-1/2|\ \ \ |-4|x-1/2|`

`2|x-1/2|-11<0 \ \ \ |+11`

`2|x-1/2|<11\ \ \ |:2`

`|x-1/2|<11/2`

`-11/2<x-1/2<11/2\ \ \ |+1/2`

`-10/2<x<12/2`

`-5<x<6`

`ul(ul(x in (-5;\ 6))`

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

Wykres funkcji liniowej jest nachylony

`tgalpha=-sqrt3\ \ \ =>\ \ \ -tgalpha=sqrt3\ \ \ =>\ \ \ tg(180^o-alpha)=sqrt3\ \ \ =>\ \ \ 180^o-alpha=60^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=180^o-60^o=120^o`

 

`odp.\ C`

Wyznacz brakującą liczbę w parze tak

Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce x, a drugą współrzędną podstawiamy w miejsce y. 

 

`a)\ x=1,\ y=?`

`\ \ \ 3*1-8y=7\ \ \ |-3`

`\ \ \ -8y=4\ \ \ |:(-8)`

`\ \ \ y=-4/8=-1/2`

 

 

`b)\ x=-3,\ y=?`

`\ \ \ 3*(-3)-8y=7\ \ \ |+9`

`\ \ \ -8y=16\ \ \ |:(-8)`

`\ \ \ y=-2`

 

 

 `c)\ x=?,\ y=-2` 

`\ \ \ 3x-8*(-2)=7`

`\ \ \ 3x+16=7\ \ \ |-16`

`\ \ \ 3x=-9\ \ \ |:3`

`\ \ \ x=-3`

 

 

`d)\ x=?,\ y=4`

`\ \ \ 3x-8*4=7`

`\ \ \ 3x-32=7\ \ \ |+32`

`\ \ \ 3x=39\ \ \ |:3`

`\ \ \ x=13`

Rozwiąż równanie.

`b) \ |(x-6)/(x+3)|=3 \ \ \ "|" * |x+3| , \ \  x ne -3` 

`|x-6| = 3|x+3|` 

`x-6=3(x+3) \ \ "lub" \ \ x-6= -3(x+3)` 

`x - 6 = 3x + 9 \ \ "lub" \ \ x-6 = -3x -9` 

`-2x = 15 \ \ "lub" \ \ 4x = -3` 

`x = -15/2 \ \ "lub" \ \ x = -3/4` 

 

 

`c) \ |(2x+4)/(x-2)|=3 \ \ \ "|" * |x-2| , \ \ x ne 2` 

`|2x+4| = 3|x-2|` 

`2x+4=3(x-2) \ \ "lub" \ \ 2x+4=-3(x-2)` 

`2x+4 = 3x - 6 \ \ "lub" \ \ 2x+4 = -3x + 6` 

`-x = -10 \ \ "lub" \ \ 5x = 2` 

`x= 10 \ \ "lub" \ \ x = 2/5` 

Uprość

`a)`

Pierwszy podpunkt możemy rozwiązać na dwa sposoby. Najpierw rozwiążemy, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy i kwadrat różnicy:

`(x+1)^2-(x-1)^2=x^2+2x+1-(x^2-2x+1)=x^2+2x+1-x^2+2x-1=4x`

 

Teraz rozwiążemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`(x+1)^2-(x-1)^2=((x+1)-(x-1))*((x+1)+(x-1))=`

`=(x+1-x+1)*(x+1+x-1)=2*2x=4x`

 

 

 

`b)`

`(2x+1)^2+(x-2)^2=((2x)^2+2*2x+1^2)+(x^2-2*x*2+2^2)=`

`=(4x^2+4x+1)+(x^2-4x+4)=4x^2+4x+1+x^2-4x+4=5x^2+5`

  

 

Dane są zbiory

Zbiór A to zbiór liczb całkowitych, których kwadrat jest nie większy od 10. 

`A={k in C:\ k^2<=10}={-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3}` 

 

Zbiór A to zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest nie większy od 10. 

`B={n in N:\ n^2<=10}={0,\ 1,\ 2,\ 3}` 

 

`A\\B={-3,\ -2,\ -1}` 

 

Prawidłowa jest odpowiedź B. 

Rozwiąż równanie.

`a) \ 4/(1+x) + 1/(1-x) = 17/(1-x^2)` 

Założenie:

`1+x ne 0=> x ne -1`  

`1-x ne 0 => x ne 1` 

`D_f = R \ \\ \ {-1,1}` 

 

`4/(1+x) + 1/(1-x) = 17/((1-x)(1+x)) \ \ \ |*(1+x)(1-x)` 

 

`4(1-x) + 1*(x+1) = 17` 

`4 - 4x + x + 1 = 17` 

`-3x + 5 =17 \ \ \ |-5` 

`-3x = 12 \ \ \ |:(-3)` 

`x = -4` 

 

`b) \ 1/(x^2+x) + 2/(x^2) = 3/x` 

Założenie:

`x^2 + x ne 0`  

`x(x+1) ne 0` 

`D_f = R \ \\ \ {-1,0}` 

 

`1/(x(x + 1)) + 2/(x^2) = 3/x \ \ \ |* x` 

`1/(x+1) + 2/x = 3` 

`x/(x(x+1)) + (2(x+1))/(x(x+1)) = 3 \ \ \ |*x(x+1)` 

`x+2(x+1) = 3x(x+1)` 

`x + 2x + 2 = 3x^2 + 3x` 

`3x^2 -2 =0` 

`3(x^2 - 2/3) =0` 

`3(x - sqrt2/sqrt3)(x+sqrt2/sqrt3)=0` 

`x_1 = - sqrt2/sqrt3 * sqrt3/sqrt3 = - sqrt6/3` 

`x_2 = sqrt2/sqrt3 * sqrt3/sqrt3 = sqrt6/3`  

Rozwiązaniem równania są liczby x1 i x2.

 

`c) \ 2/(3x+1) - 4/(3x-1) = (1+x^2)/(1-9x^2)` 

`1-9x^2 ne 0` 

`(1-3x)(1+3x) ne 0` 

`x ne 1/3 \ \ \ vv \ \ \ x ne -1/3` 

`D_f = R \ \\ \ {-1/3, 1/3}` 

 

`2/(1+3x) + 4/(1-3x) = (1+x^2)/((1-3x)(1+3x))  \ \ \ | *(1+3x)(1-3x)` 

`2(1-3x) + 4(1+3x) = 1+x^2` 

`2 - 6x + 4 + 12x = 1 + x^2` 

`x^2 -6x - 5 =0` 

`Delta = (-6)^2 -4*(-5) = 36 + 20 = 56` 

`sqrtDelta = sqrt56 = sqrt(4*14) = sqrt4 * sqrt14 = 2sqrt14` 

 

`x_1 = (-(-6) - 2sqrt14)/2 = 3 - sqrt14` 

`x_2 = (-(-6) + 2sqrt14)/2 = 3 + sqrt14` 

Rozwiązaniem równania są liczby x1 i x2.

 

 

 

`d) \ (x+5)/(x+4) - (x+1)/(x-1) = (6x+2)/((x+4)(x-1))` 

Założenie:

`x+4 ne 0 => x ne -4` 

`x-1 ne 0 => x ne 1` 

`D_f = R \ \\ \ {-4,1}`  

 

 

`(x+5)/(x+4) - (x+1)/(x-1) = (6x+2)/((x+4)(x-1)) \ \ \ |*(x+4)(x-1)` 

`(x+5)(x-1) - (x+1)(x+4) = 6x+2` 

`x^2 + 4x - 5 - x^2 -5x - 4 = 6x + 2` 

`-x - 9 = 6x + 2` 

`7x = -11 \ \ \ |:7` 

`x = -11/7` 

Rozwiązaniem równania jest liczba -11/7

 

`e) \ x/(x-1) + 3/(x-4) -1 = 3/(x^2-5x+4)` 

`x^2 -5x + 4 ne 0`  

`x^2 - x - 4x + 4 ne 0` 

`x(x-1)-4(x-1) ne 0` 

`(x-1)(x-4) ne 0` 

 `D_f = R \ \\ \ {1,4}` 

 

 

`x/(x-1) + 3/(x-4) - 1 = 3/((x-1)(x-4)) \ \ \ |*(x-1)(x-4)` 

`x(x-4) + 3(x-1) - (x-1)(x-4) = 3` 

`x^2 - 4x + 3x - 3 -(x^2 - 4x - x + 4) =3` 

`x^2 -x - 3 - x^2 + 5x - 4 = 3` 

`4x -7 = 3` 

`4x = 10` 

`x = 5/2` 

Rozwiązaniem równania jest liczba 5/2

 

 

`f) \ (x+4)/(x^2-4x) - (x-4)/(2x^2-8x) = (x+8)/(2x^2 -32)` 

`2x^2 - 8x ne 0` 

`2(x^2 -4x) ne 0` 

`2x(x-4) ne 0` 

 `D_f = R \ \\ \ {0,4}` 

 

 

`2x^2 -32 ne 0` 

`2(x^2 - 16) ne 0` 

`2(x-4)(x+4) ne 0 => x ne {-4,4}` 

 

A więc :

`D_f = R \ \\ \ {-4,0,4}` 

 

 

`(x+4)/(x(x-4)) - (x-4)/(2x(x-4)) = (x+8)/(2(x-4)(x+4)) \ \ \ |*2x(x-4)(x+4)` 

`2(x+4)(x+4) - (x-4)(x+4) = (x+8)x` 

`2(x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 16) = x^2 + 8x` 

`2x^2 + 16x + 32 - x^2 + 16 = x^2 + 8x` 

`x^2 + 16x + 48 = x^2 + 8x` 

`8x + 48 =0` 

`8x = -48` 

`x = -6` 

 

Rozwiązaniem równania jest liczba -6.