Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania i nierówności z parametrem

Mając równanie z parametrem zwykle odpowiedzieć na pytanie, ile ma ono rozwiążań - w zależności od parametru. Weźmy równanie:

$$mx + 1 = 4$$

Przekształcając je do postaci:

$$x = {3}/{m}$$

widzimy, że jeśli tylko $$m ≠ 0$$, równanie ma jedno rozwiązanie. Jeśli natomiast $$m = 0$$ - równanie sprowadza się do sprzeczności $$1 = 4$$ i nie ma rozwiązań.

W przypadku równań kwadratowych postępujemy dokładnie tak samo.

Przykład: kiedy równanie $$x^2 + mx + 2 = m$$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste (w zależności od parametru m)? Przekształcając dochodzimy do postaci:

$$x^2 + mx + (2+m) = 0$$

z której możemy wyliczyć deltę:

$$△ = m^2 - 4m - 8$$

Równanie ma dwa rozwiązania, jeśli $$△$$ > $$0$$. Pytamy więc, kiedy funkcja kwadratowa $$f(m) = m^2 - 4m - 8$$ jest większa od 0.

Rozwiązując ją dochodzimy do pierwiastków:
$$m_1 = 2 - 2√{3}$$
$$m_2 = 2 + 2√{3}$$

Współczynnik przy $$m^2$$ jest dodatni, więc funkcja ta jest dodatnia w przedziale $$(-∞, m_1)$$ oraz $$(m_2, ∞)$$ - i to właśnie są przedziały, dla których początkowe równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz sumę ośmiu wyrazów...

`{(a_3=5,2),(a_6=41,6):}` 

`{(a_1q^2=5,2),(a_1q^5=41,6):}` 

`{(a_1q^2=5,2),(a_1q^2*q^3=41,6):}` 

`{(a_1q^2=5,2),(5,2*q^3=41,6 \ \ \ |:5,2):}` 

`{(a_1q^2=5,2),(q^3=8):}` 

`{(a_1q^2=5,2),(q=2):}` 

`{(a_1*4=5,2 \ \ \ |:4),(q=2):}` 

`{(a_1=1,3),(q=2):}` 

 

`S_8=(a_1*(1-q^8))/(1-q)` 

`S_8=(1,3*(1-2^8))/(1-2)` 

`S_8=(1,3*(1-256))/(-1)` 

`S_8=(1,3*(-255))/(-1)` 

`S_8=331,5` 

 

 

 

Napisz równanie stycznej do okręgu...

a) Dowolna prosta przechodząca przez punkt A jest dana równaniem:

`y = a(x-4) , \ \ \ a in R` 

Stąd:

`y = ax - 4a` 

`-ax + y + 4a =0` 

Odległość środka okręgu od prostej musi być równa długości promienia:

`d = sqrt8` 

`(|-a*0+1*0+4a|)/sqrt((-a)^2 + 1^2) = sqrt8` 

`(|4a|)/sqrt(a^2+1) = sqrt8` 

`|4a| = sqrt(a^2+1)sqrt8 \ \ \ |()^2` 

`16a^2 = 8(a^2+1)` 

`16a^2 = 8a^2 + 8` 

`8a^2 = 8` 

`a^2 =1` 

Stąd:

`a_1 = 1 \ \ vv \ \ a_2 = -1` 

Równania stycznych:

`y = x-4 \ \ , \ \ y = -(x-4)` 

`y = x-4 \ \ , \ \ \ y = -x + 4` 

 

b)

Dowolna prosta przechodząca przez punkt A jest dana równaniem:

`y = ax+5 , \ \ \ a in R` 

Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

`-ax + y - 5 =0` 

Odległość środka okręgu ma być równa długości promienia:

`d = 2sqrt5` 

`(|-a*0+1*0-5|)/sqrt((-a)^2 + 1^2) = 2sqrt5` 

`5 = sqrt(a^2+1)*2sqrt5 \ \ \ |()^2` 

`25 = (a^2+1)*20` 

`25 = 20a^2 + 20` 

`20a^2 = 5` 

`a^2 = 1/4` 

`a_1 = 1/2 \ \ vv \ \ a_2 = -1/2` 

Równania stycznych:

`y = 1/2x + 5 \ \ , \ \ y = -1/2x + 5` 

Oblicz wartość funkcji f dla ...

`"a)"\ f(x)=3^x` 

`f(-4)=3^(-4)=(1/3)^4=1/81` 

`f(-3)=3^(-3)=(1/3)^3=1/27`

`f(-1/2)=3^(-1/2)=(1/3)^(1/2)=sqrt(1/3)=1/sqrt3=sqrt3/3` 

`f(1/2)=3^(1/2)=sqrt3` 

`f(3)=3^3=27` 

`f(4)=3^4=81` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`    

`"b)"\ f(x)=4^x` 

`f(-4)=4^(-4)=(1/4)^4=1/256`  

`f(-3)=4^(-3)=(1/4)^3=1/64`  

`f(-1/2)=4^(-1/2)=(1/4)^(1/2)=sqrt(1/4)=1/sqrt4=1/2`  

`f(1/2)=4^(1/2)=2`  

`f(3)=4^3=64`  

`f(4)=4^4=256` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`     

`"c)"\ f(x)=(1/4)^x`   

`f(-4)=(1/4)^(-4)=4^4=256`   

`f(-3)=(1/4)^(-3)=4^3=64`   

`f(-1/2)=(1/4)^(-1/2)=4^(1/2)=sqrt4=2`   

`f(1/2)=(1/4)^(1/2)=sqrt(1/4)=1/2`   

`f(3)=(1/4)^3=1/64`  

`f(4)=(1/4)^4=1/256`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`     

`"d)"\ f(x)=(1/2)^x`   

`f(-4)=(1/2)^(-4)=2^4=16`   

`f(-3)=(1/2)^(-3)=2^3=8`    

`f(-1/2)=(1/2)^(-1/2)=2^(1/2)=sqrt2`   

`f(1/2)=(1/2)^(1/2)=sqrt(1/2)=1/sqrt2=sqrt2/2`    

`f(3)=(1/2)^3=1/8`   

`f(4)=(1/2)^4=1/16` 

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego...

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy obliczyć b:

`b^2+b^2=a^2` 

`2b^2=a^2` 

`sqrt2b=a \ \ \ |:sqrt2` 

`b=a/sqrt2` 

`b=(sqrt2)/2a` 

{premium}

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy obliczyć c - krawędź boczną:

`6^2+(2/3h_p)^2=c^2` 

`36+(2/3*(asqrt3)/2)^2=c^2` 

`36+(asqrt3)/3)^2=c^2` 

`36+3/9a^2=c^2` 

`36+1/3a^2=c^2` 

`sqrt(36+1/3a^2)=c` 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy obliczyć h -wysokość ściany bocznej:

`6^2+(1/3h_p)^2=h^2` 

`36+(1/3*(asqrt3)/2)^2=h^2` 

`36+((asqrt3)/6)^2=h^2` 

`36+3/36a^2=h^2` 

`36+1/12a^2=h^2` 

`sqrt(36+1/12a^2)=h` 

 

Obliczmy pole ściany bocznej na dwa sposoby.

`P=1/2*a*h, \ \ P=1/2*b*c` 

Wobec tego otrzymujemy równość:

`1/2ah=1/2bc \ \ \ |*2` 

`ah=bc` 

`asqrt(36+1/12a^2)=sqrt2/2asqrt(36+1/3a^2)` 

Podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy:

`a^2(36+1/12a^2)=2/4a^2(36+1/3a^2) \ \ \ |:a^2` 

`36+1/12a^2=1/2(36+1/3a^2)` 

`36+1/12a^2=18+1/6a^2 \ \ \ |-18-1/12a^2` 

`18=1/6a^2-1/12a^2` 

`18=1/12a^2 \ \ \ |*12` 

`18*12=a^2` 

`216=a^2` 

 

`P_p=(a^2sqrt3)/4=(216sqrt3)/4=54sqrt3` 

`V=1/3*P_p*H=1/3*54sqrt3*6=108sqrt3 ["cm"^3]` 

 

Odp. C

 

 

Zapisz liczbę w postaci potęgi o podstawie 3

`a)\ 3^4*3^(1-sqrt2)=3^(4+1-sqrt2)=3^(5-sqrt2)`

`b)\ 3^3:3^(2-sqrt2)=3^(3-(2-sqrt2))=3^(3-2+sqrt2)=3^(1+sqrt2)`

`c)\ (3^(sqrt7-sqrt3))^(sqrt7+sqrt3)=3^((sqrt7-sqrt3)(sqrt7+sqrt3))=3^(sqrt7^2-sqrt3^2)=3^(7-3)=3^4=81`

`d)\ (3^sqrt3)^(1-sqrt3)=3^(sqrt3(1-sqrt3))=3^(sqrt3-3)`

`e)\ 6^sqrt7:2^sqrt7=(6:2)^sqrt7=3^sqrt7`

`f)\ (sqrt3)^pi*(sqrt3)^pi=sqrt3^(pi+pi)=sqrt3^(2pi)=(sqrt3^2)^pi=3^pi`

 

Naszkicuj wykres funkcji okresowej ...

`a)` 

`g(x)=|x|` 

`x in [-1;1)` 

`"Wykres g(x):"`  

`"Skoro funkcja f ma okres T=2 to w przedziałach postaci [-1;1)+2n, gdzie n jest całkowite"`  

`"jej wykres będzie identyczny jak wykres funkcji g(x) na przedziale [-1;1)."` 

`("Przykładowy przedział postaci [-1;1)+n dla n=1: [-1;1)+2=[1;3).")` 

`"Wykres funkcji f(x):"`    

`b)` 

`g(x)=x` 

`"Skoro funkcja f ma okres T=2 to w przedziałach postaci [-1;1)+2n, gdzie n jest całkowite"`

`"jej wykres będzie identyczny jak wykres funkcji g(x) na przedziale [-1;1)."`   

`"(Wykres funkcji f jest koloru czerwonego.")` 

 

`c)` 

`g(x)=1-x^2` 

`"Podobnie jak w poprzednich przykładach wykres funckji f, na przedziałach postaci [-1;1)+2n jest"` 

`"identyczny jak wykres g na przedziale [-1;1)."` 

 

`d)` 

`g(x)=3/2x^3` 

`"Analogicznie do poprzednich przykładów:"` 

` "(Wykres f(x) jest zaznaczony kolorem czerwonym.")`

Jaki kąt z powierzchnią ziemi tworzą ...

`"a)"\ h=170\ "cm",\ \ x=0,9\ "m"` 

Zamieniamy cm na m:

`h=170\ "cm"=1,7\ "m"` 

Wartość kąta (oznaczamy go jako α), jaki tworzą z ziemią promienie słoneczne, obliczymy korzystając z funkcji tg:

`"tg"alpha=h/x` 

`"tg"alpha=(1,7)/(0,9)=17/9~~1,8889` 

`alpha~~62^@` 

 

 

`"b)"\ h=180\ "cm",\ \ x=3\ "m"` 

Zamieniamy cm na m:

`h=180\ "cm"=1,8\ "m"` 

Wartość kąta (oznaczamy go jako α), jaki tworzą z ziemią promienie słoneczne, obliczymy korzystając z funkcji tg:

`"tg"alpha=h/x`  

`"tg"alpha=(1,8)/(3)=0,6` 

`alpha~~31^@` 

Rozwiąż równania:

`"a)"\ x|x|+|2x-3|=4` 

Naszkicujmy przybliżone wykresy funkcji znajdujących się pod wartością bezwzględną, aby określić ich znak.

Widzimy, że:

`(xge0\ ^^\ 2x-3ge0) <=> x in << 3/2,+oo)\ => |x|=x,\ |2x-3|=2x-3` 

`(xge0\ ^^\ 2x-3< 0) <=> x in << 0,\ 3/2)\ =>\ |x|=x,\ |2x-3|=-2x+3` 

`(x< 0\ ^^\ 2x-3< 0) <=> x in (-oo,\ 0)\ =>\ |x|=-x,\ |2x-3|=-2x+3` 

W takim razie mamy trzy przypadki:

`{(x in << 3/2,+oo)),(x^2+2x-3=4):}\ vv\ {(x in << 0,\ 3/2)),(x^2-2x+3=4):}\ vv\ {(x in (-oo,\ 0)),(-x^2-2x+3=4):}` 

`{(x in << 3/2,+oo)),(x^2+2x-7=0):}\ vv\ {(x in << 0,\ 3/2)),(x^2-2x-1=0):}\ vv\ {(x in (-oo,\ 0)),(-x^2-2x-1=0):}` 

`{(x in << 3/2,+oo)),(x^2+2x+1-8=0):}\ vv\ {(x in << 0,\ 3/2)),(x^2-2x+1-2=0):}\ vv\ {(x in (-oo,\ 0)),(-(x+1)^2=0):}` 

`{(x in << 3/2,+oo)),((x+1)^2=8):}\ vv\ {(x in << 0,\ 3/2)),((x-1)^2=2):}\ vv\ {(x in (-oo,\ 0)),(-(x+1)^2=0):}` 

`{(x in << 3/2,+oo)),(x+1=2sqrt2\ vv\ x+1=-2sqrt2):}\ vv\ {(x in << 0,\ 3/2)),(x-1=2sqrt2\ vv\ x-1=-2sqrt2):}\ vv\ {(x in (-oo,\ 0)),(x+1=0):}` 

`{(x in << 3/2,+oo)),(x=2sqrt2-1 in << 3/2,+oo)\ vv\ x=-2sqrt2-1 notin << 3/2,+oo)):} vv {(x in << 0,\ 3/2)),(x=2sqrt2+1 notin << 0,\ 3/2)\ vv\ x=-2sqrt2+1 notin << 0,\ 3/2)):}` 

`vv\ {(x in (-oo,\ 0)),(x=-1 in (-oo,\ 0)):}` 

Odp. `x in {-1,\ 2sqrt2-1}.` 

{premium}

 

`"b)"\ x^2=|x+1|+|x-1|` 

Naszkicujmy przybliżone wykresy funkcji znajdujących się pod wartością bezwzględną, aby określić ich znak.

Widzimy, że:

`(x+1ge0\ ^^\ x-1ge0) <=> x in << 1,+oo)\ => |x+1|=x+1,\ |x-1|=x-1` 

`(x+1ge0\ ^^\ x-1< 0) <=> x in << -1,\ 1)\ =>\ |x+1|=x+1,\ |x-1|=-x+1` 

`(x+1< 0\ ^^\ x-1< 0) <=> x in (-oo,-1)\ =>\ |x+1|=-x-1,\ |x-1|=-x+1` 

W takim razie mamy trzy przypadki:

`{(x in << 1,+oo)),(x^2=x+1+x-1):}\ vv\ {(x in << -1,\ 1)),(x^2=x+1-x+1):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),(x^2=-x-1-x+1):}` 

`{(x in << 1,+oo)),(x^2-2x=0):}\ vv\ {(x in << -1,\ 1)),(x^2=2):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),(x^2+2x=0):}` 

`{(x in << 1,+oo)),(x(x-2)=0):}\ vv\ {(x in << -1,\ 1)),(x^2=2):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),(x(x+2)=0):}` 

`{(x in << 1,+oo)),(x=0 notin << 1,+oo)\ vv\ x=2 in << 1,+oo)):}\ vv\ {(x in << -1,\ 1)),(x=sqrt2 notin << -1,\ 1)\ vv\ x=-sqrt2 notin << -1,\ 1)):}\ vv` 

`vv\ {(x in (-oo,-1)),(x=0 notin (-oo,-1)\ vv\ x=-2 in (-oo,-1)):}` 

Odp. `x in {-2,\ 2}.` 

 

`"c)"\ x^2+2|x-3|+13=|x+1|+6x` 

Naszkicujmy przybliżone wykresy funkcji znajdujących się pod wartością bezwzględną, aby określić ich znak.

Widzimy, że:

`(x+1ge0\ ^^\ x-3ge0) <=> x in << 3,+oo)\ => |x+1|=x+1,\ |x-3|=x-3` 

`(x+1ge0\ ^^\ x-3< 0) <=> x in << -1,\ 3)\ =>\ |x+1|=x+1,\ |x-3|=-x+3` 

`(x+1< 0\ ^^\ x-3< 0) <=> x in (-oo,-1)\ =>\ |x+1|=-x-1,\ |x-3|=-x+3` 

W takim razie mamy trzy przypadki:

`{(x in << 3,+oo)),(x^2+2(x-3)+13=x+1+6x):}\ vv\ {(x in << -1,\ 3)),(x^2+2(-x+3)+13=x+1+6x):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),(x^2+2(-x+3)+13=-x-1+6x):}` 

`{(x in << 3,+oo)),(x^2-5x+6=0):}\ vv\ {(x in << -1,\ 3)),(x^2-9x+18=0):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),(x^2-7x+20=0):}` 

`{(x in << 3,+oo)),(x^2-5x+25/4-25/4+6=0):}\ vv\ {(x in << -1,\ 3)),(x^2-9x+81/4-81/4+18=0):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),(x^2-7x+49/4-49/4+20=0):}` 

`{(x in << 3,+oo)),((x-5/2)^2=1/4):}\ vv\ {(x in << -1,\ 3)),((x-9/2)^2=9/4):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),((x-7/2)^2=-31/4-\ "sprzeczność"):}` 

`{(x in << 3,+oo)),(x-5/2=1/2\ vv\ x-5/2=-1/2):}\ vv\ {(x in << -1,\ 3)),(x-9/2=3/2\ vv\ x-9/2=-3/2):}` 

`{(x in << 3,+oo)),(x=3 in << 3,+oo) \ vv\ x=2 notin << 3,+oo)):}\ vv\ {(x in << -1,\ 3)),(x=6 notin << -1,\ 3)\ vv\ x=3 notin << -1,\ 3)):}` 

Odp. `x=3.` 

 

`"d)"\ x^2+25=3x+5|x+1|+5|x-4|` 

Naszkicujmy przybliżone wykresy funkcji znajdujących się pod wartością bezwzględną, aby określić ich znak.

Widzimy, że:

`(x+1ge0\ ^^\ x-4ge0) <=> x in << 4,+oo)\ => |x+1|=x+1,\ |x-4|=x-4` 

`(x+1ge0\ ^^\ x-4< 0) <=> x in << -1,\ 4)\ =>\ |x+1|=x+1,\ |x-4|=-x+4` 

`(x+1< 0\ ^^\ x-4< 0) <=> x in (-oo,-1)\ =>\ |x+1|=-x-1,\ |x-4|=-x+4` 

W takim razie mamy trzy przypadki:

`{(x in << 4,+oo)),(x^2+25=3x+5(x+1)+5(x-4)):}\ vv\ {(x in << -1,\ 4)),(x^2+25=3x+5(x+1)+5(-x+4)):}\ vv` 

`vv\ {(x in (-oo,-1)),(x^2+25=3x+5(-x-1)+5(-x+4)):}` 

`{(x in << 4,+oo)),(x^2-13x+40=0):}\ vv\ {(x in << -1,\ 4)),(x^2-3x=0):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),(x^2+7x+10=0):}` 

`{(x in << 4,+oo)),(x^2-13x+169/4-169/4+40=0):}\ vv\ {(x in << -1,\ 4)),((x(x-3)=0):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),(x^2+7x+49/4-49/4+10=0):}` 

`{(x in << 4,+oo)),((x-13/2)^2=9/4):}\ vv\ {(x in << -1,\ 4)),((x(x-3)=0):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),((x+7/2)^2=9/4):}` 

`{(x in << 4,+oo)),(x-13/2=3/2\ vv\ x-13/2=-3/2):}\ vv\ {(x in << -1,\ 4)),((x=0\ vv\ x=3):}\ vv\ {(x in (-oo,-1)),(x+7/2=3/2\ vv\ x+7/2=-3/2):}` 

`{(x in << 4,+oo)),(x=8 in << 4,+oo)\ vv\ x=5 in << 4,+oo)):}\ vv\ {(x in << -1,\ 4)),(x=0 in << -1,\ 4)\ vv\ x=3 in << -1,\ 4)):}\ vv` 

`vv\ {(x in (-oo,-1)),(x=-2 in (-oo,-1)\ vv\ x=-5 in (-oo,-1)):}` 

Odp. `x in {-5, -2,\ 0,\ 3,\ 5,\ 8}.` 

Wyznacz dwie liczby naturalne dodatnie...

Niech `x,\ y in bbN_+` będą dwiema liczbami naturalnymi dodatnimi.

Wiemy, że ich iloczyn jest równy potrojonej sumie tych liczb, czyli:

`xy=3(x+y)` 

Przekształćmy powyższe równanie i wyznaczmy z niego `y` jako funkcję `F` zmiennej `x.` 

`xy=3x+3y` 

`xy-3y=3x` 

`(x-3)y=3x\ "/":(x-3)!=0 =>x!=3` 

`y=(3x)/(x-3)` 

Przekształćmy dalej powyższy wzór, by przedstawić go w postaci wzoru funkcji homograficznej:

`y=(3x-9+9)/(x-3)=[3(x-3)+9]/(x-3)=3+9/(x-3)=9/(x-3)+3` 

Otrzymaliśmy:

`F(x)=9/(x-3)+3,\ \ \ D=bbR-{3}`  

Podczas przekształceń w pewnym momencie zakładaliśmy, że `x!=3,` by móc podzielić przez `x-3.` 

Wstawimy teraz `3` do początkowego równania i sprawdzimy czy zakładając, że `x!=3` nie pominęliśmy

żadnego rozwiązania. 

`3y=3(3+y)\ "/":3` 

`y=3+y` 

`0=3` 

Dla `x=3` otrzymujemy równanie sprzeczne. Możemy więc bezpiecznie wyrzucić `x=3` z dziedziny funkcji.    

 

Wracając do tego, co otrzymaliśmy, mamy:

`y=9/(x-3)+3`        

Zakładaliśmy, że `yin bbN_+,` zatem `9/(x-3)+3` jest również liczbą naturalną dodatnią.

Oznacza to, że `(x-3)` jest całkowitym dzielnikiem liczby `9.` Całkowite dzielniki liczby `9` to `-9,-3,-1,\ 1,\ 3,\ 9.`  

Stąd mamy:

`x-3=-9vvx-3=-3vvx-3=-1vvx-3=1vvx-3=3vvx-3=9` 

Czyli:

`x=-6notinbbN_+vvx=0notinbbN_+vvx=2inbbN_+vvx=4inbbN_+vvx=6inbbN_+vvx=12inbbN_+` 

Otrzymujemy:

  • dla `x=2` mamy `y=-9+3=-6< 0->`to rozwiązanie odrzucamy, bo `y< 0`   
  • dla `x=4` mamy `y=9+3=12->` to rozwiązanie jest ok, obie liczby są naturalne i dodatnie
  • dla `x=6` mamy `y=3+3=6->` ok
  • dla `x=12` mamy `y=1+3=4->` ok

W takim razie dostaliśmy dwa rozwiązania. Szukane liczby są równe `4` i `12` lub `6` i `6.` 

Suma wyrazów bieżnego ciągu geometrycznego...

Nasz ciąg ma postać:

`a_1 \ , \ a_2 \ , \ a_3 \ , \ a_4 \ , \ . . . `  

 

 

`S_(2n)=a_2 + a_4 + . . . + a_(2n) = q(a_1+a_3+...+a_(2n-1)) = 8q`

`6=8q` 

`q = 3/4` 

 

Suma wyrazów parzystych i nieparzystych jest równa sumie całego szeregu:

`S_n = S_(2n) + S_(2n-1) = 6+8=14` 

`a_1/(1-q) = 14` 

`a_1/(1/4) = 14` 

`4a_1 = 14` 

`a_1 = 14/4 = 7/2` 

Odpowiedź D