Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania i nierówności z parametrem

Mając równanie z parametrem zwykle odpowiedzieć na pytanie, ile ma ono rozwiążań - w zależności od parametru. Weźmy równanie:

$$mx + 1 = 4$$

Przekształcając je do postaci:

$$x = {3}/{m}$$

widzimy, że jeśli tylko $$m ≠ 0$$, równanie ma jedno rozwiązanie. Jeśli natomiast $$m = 0$$ - równanie sprowadza się do sprzeczności $$1 = 4$$ i nie ma rozwiązań.

W przypadku równań kwadratowych postępujemy dokładnie tak samo.

Przykład: kiedy równanie $$x^2 + mx + 2 = m$$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste (w zależności od parametru m)? Przekształcając dochodzimy do postaci:

$$x^2 + mx + (2+m) = 0$$

z której możemy wyliczyć deltę:

$$△ = m^2 - 4m - 8$$

Równanie ma dwa rozwiązania, jeśli $$△$$ > $$0$$. Pytamy więc, kiedy funkcja kwadratowa $$f(m) = m^2 - 4m - 8$$ jest większa od 0.

Rozwiązując ją dochodzimy do pierwiastków:
$$m_1 = 2 - 2√{3}$$
$$m_2 = 2 + 2√{3}$$

Współczynnik przy $$m^2$$ jest dodatni, więc funkcja ta jest dodatnia w przedziale $$(-∞, m_1)$$ oraz $$(m_2, ∞)$$ - i to właśnie są przedziały, dla których początkowe równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ nierówności.

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

    

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

   

  

 

    

  

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

  

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

Dane są okrąg o środku O ...

 

 

  

  

 

`|DB|=sinalpha`  

 

 

 

`|DO|=cosalpha` 

 

 

 

    

  

 

 

`"Trójkąty ABO i ACO maja wspólny kąt przy wierzchołku A oraz każdy z nich zawiera kąt prosty."` 

 

    

  

 

`|BO|/|CB|=|AB|/|BO|` 

`1/|CB|=|AB|/1=|AB|` 

      

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej

Jeśli funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość, to jej ramiona są skierowane w górę, czyli współczynnik a jest dodatni. 

Najmniejszsa wartość osiągana jest w wierzchołku i wynosi ona 0.

Jeśli osią symetrii jest prosta x=-3, to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa -3.

 

 

 

Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o rzędnej (współrzędna y) równej 1 1/8, czyli: 

 

 

 

Przedstaw wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `(-2)/(-1/2)=2:1/2=2*2=4` 

 

 

 

 

 

 `36-32=4` 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `(-20/7)^2+20/7*15=` 

 

 

 `(20/7-50/7)/(10/7)=` `(-30/7)/(10/7)=` `(-3*10/7)/(10/7)=-3` 

 `(70/7)/(10/7)=` `(7*10/7)/(10/7)=7` 

   

Na 42-kilometrowym torze gokartowym...

 - droga jaką pokonał Adam

 - droga jaką pokonał Wojtek

 

 - prędkość z jaką poruszał się Adam

 - prędkość z jaką poruszał się Wojtek

 

 - czas, w którym pokonał trasę Adam

 - czas, w którym pokonał trasę Wojtek

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiając tą zależność do pierwszego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź:

Prędkość z jaką poruszał się Adam:  

Prędkość z jaką poruszał się Wojtek:  

Czas, w którym pokonał trasę Adam:  

Czas, w którym pokonał trasę Wojtek:  

 

Dane są wielomiany...

Uporządkujmy wielomiany:

 

 

 

 

Porównajmy tylko najwyższe potęgi poszczególnych wielomianów:

Najwyższymi potęgami są

   

 

 

 

a) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

 

 

 

b) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

 

 

 

c) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

Różnica miar kątów przeciwległych ...

 

 

 

 

 

 

  

   

 

  

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie...

a)  

 

 

 


b)  

 

 

 

 

 


c)  

 

 

 

 

 

 

 


d)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 


e)  

 

 

 

 

 


f)  

 

 

 

 

 

 

Dla jakiej liczby rzeczywistej ...