Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania i nierówności z parametrem - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Równania i nierówności z parametrem

Mając równanie z parametrem zwykle odpowiedzieć na pytanie, ile ma ono rozwiążań - w zależności od parametru. Weźmy równanie:

$mx + 1 = 4$

Przekształcając je do postaci:

$x = {3}/{m}$

widzimy, że jeśli tylko $m ≠ 0$, równanie ma jedno rozwiązanie. Jeśli natomiast $m = 0$ - równanie sprowadza się do sprzeczności $1 = 4$ i nie ma rozwiązań.

W przypadku równań kwadratowych postępujemy dokładnie tak samo.

Przykład: kiedy równanie $x^2 + mx + 2 = m$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste (w zależności od parametru m)? Przekształcając dochodzimy do postaci:

$x^2 + mx + (2+m) = 0$

z której możemy wyliczyć deltę:

$△ = m^2 - 4m - 8$

Równanie ma dwa rozwiązania, jeśli $△$ > $0$. Pytamy więc, kiedy funkcja kwadratowa $f(m) = m^2 - 4m - 8$ jest większa od 0.

Rozwiązując ją dochodzimy do pierwiastków:
$m_1 = 2 - 2√{3}$
$m_2 = 2 + 2√{3}$

Współczynnik przy $m^2$ jest dodatni, więc funkcja ta jest dodatnia w przedziale $(-∞, m_1)$ oraz $(m_2, ∞)$ - i to właśnie są przedziały, dla których początkowe równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

Wyznacz współrzędne ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

  

  

 

  

 

 

 

 

  

    

  

 

   

Z urny, w której jest dwa razy więcej

 

Opiszmy zdarzenie na drzewku. Na gałęziach drzewka zapisano odpowiednie prawdopodobieństwa

 

 

Zaznaczono gałęzie, które opisują zdarzenie A. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powierzchnia zadrukowanej części kartki...

 

Wymiary kartki to:

 

 

Pole zadrukowanej części wynosi 192 cm2 a więc:

 

 

 

Czyli funkcja opisująca pole kartki jest równa:

Obliczmy pochodną

 

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jest to minimum gdyż:

 

czyli

 

Zatem wymiary kartki wynoszą:

 

 

Oblicz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym...

 

 

 

Chcemy pokazać, że  

 

 

 

 

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.

  

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru...

Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

Jeżeli równanie ma mieć dwa różne rozwiązania to wyróżnik funkcji musi być dodatni.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podglad pliku

 

 

Zauważmy, że jeżeli x = 2m, to równanie po lewej stronie jest równe 0 a liczba 2m będzie pierwiastkiem. Łatwo wtedy zauważyć, że nie będziemy mieli wtedy kolejnych rozwiązań.

Podstawmy pod równanie kwadratowe x = 2m, jeżeli wyliczone wartości parametru m będą należeć do rozwiązania równania to musimy je odrzucić z rozwiązania gdyż wtedy mamy tylko jedno rozwiązanie.

 

 

 

 

 

 

 

Zatem odrzucamy liczbę  

 

Zatem uwzględniając powyższe założenie otrzymujemy, że:

 

Przedstaw liczbę w postaci...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

a)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:{premium}

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


b)

 

Przesuwając o wektor  

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


c)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  

Wyznacz współrzędna wierzchołków trójkąta...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

   

 

Z pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego i czwartego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

Z trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek pomocniczy:

Thumb 48 285

Łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny.

 

 

 

 

 

 

 

Równanie okręgu: