Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $$y = a_px + b_p$$, zaś okrąg: $$r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $$y$$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $$x$$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$$y = a_px + b_p$$
$$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$$
$$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$
$$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$

Wstawiając $$x_1$$ i $$x_2$$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $$y$$: $$y_1 = a_px_1 + b_p$$
$$y_2 = a_px_2 + b_p$$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $$y = -x + 1$$ z okręgiem o równaniu $$6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$$.

Podstawiając do równania okręgu $$y$$ z równania prostej otrzymujemy:

$$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$$
$$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$$
$$36 = 2x^2 + 2$$
$$17 = x^2$$
$$x_1 = √{17}$$
$$x_2 = -√{17}$$

Teraz możemy obliczyć $$y$$:
$$y_1 = -√{17} + 1$$
$$y_2 = √{17} + 1$$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $$(√{17}, -√{17} + 1)$$ oraz $$(-√{17}, √{17} + 1)$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania

Do banku A wpłaciliśmy 8000 złotych na lokatę

Jeśli oprocentowanie w banku B jest o 1,5 punktu procentowego wyższe niż w banku A, to w banku B zarobilibyśmy więcej o 1,5% z kwoty 8000 zł.

`1,5%*8000=(1,5)/strike100^1*strike8000^80=` `1,5*80=120\ "zł"`

Oblicz piętnasty wyraz ciągu arytmetycznego.

a) Zauważmy, że pierwszy wyraz to -4 a różnica wynosi 5.

`{(a_1 = -4),(r=5):}`

`a_15 = a_1 + 14r = -4 + 14*5 = -4 + 70 = 66`

`b) \ 7/3 \ , \ 5/3 \ , \ 3/3 \ , \ 1/3 \ , \ - 1/3`

A więc:

`{(a_1 = 7/3),(r = -2/3):}`

`a_15 = a_1 + 14r = 7/3 + 14*(-2/3) = 7/3 -28/3 = -21/3 = -7`

`c) \ -sqrt5 \ , \ 0 \ , \ sqrt5 \ , \ 2sqrt5 \ , \ 3sqrt5`

A więc:

`{(a_1 = -sqrt5),(r = sqrt5):}`

`a_15 = a_1 + 14r = -sqrt5 + 14sqrt5 = 13sqrt5`

Na rysunku obok przedstawiono wykresy funkcji

Liczby spełniające to równanie to pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji f i g.

Zatem liczby spełniające to równanie to 2 i 4.

Iloczyn 2 i 4 to 8, więc prawidłowa jest odpowiedź D.

Okrąg F1 o równaniu ...

`F_1:x^2-4x+y^2-4y=0`

`x^2-4x+4+y^2-4y+4=8`

`(x-2)^2+(y-2)^2=8`

`S_1=(2;2)`

`r_1=sqrt8=2sqrt2`

`F:x^2+2x+y^2+2y=0`

`(x+1)^2+(y+1)^2=2`

`S=(-1;-1)`

`r=sqrt2`

`"Przypadek I."`

`P=(x;y)-"środek jednokładności"`

`ul(k=r_1/r=(2sqrt2)/sqrt2=2`

`2vec(SP)=vec(S_1P)`

`2[x+1;y+1]=[x-2;y-2]`

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`2x+2=x-2\ implies\ x=-4`

`2y+2=y-2\ implies \ y=-4`

`ul(P=(-4;-4)`

`"Przypadek II."`

`ul(k=-r_1/r=-2`

`2vec(SP)=vec(PS_1)`

`2[x+1;y+1]=[2-x;2-y]`

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`2x+2=2-x\ implies\ x=0`

`2y+2=2-y\ implies \ y=-`

`ul(P=(0;0)`

Wykonaj działania. Zapisz niezbędne założenia.

a) Założenia:

`a ne 0 \ , \ b geq 0`

`a^(-3) *b^(2/3) * a^1 * b^(1/3) = a^(-3+1)*b^(2/3+1/3) = a^(-2)*b`

b) Założenia:

`b ne 0 \ , \ x geq 0`

`4x^3*b^(-4)*2/3x^(1/2)*b^3 = 8/3*x^(3+1/2)*b^(-4+3) = 8/3*x^(7/2) * b^(-1)`

c) Założenia:

`a > 0`

`(2^(-3)*a^(1/4))^(-2) = (2^(-3))^(-2) * a^(1/4*(-2)) =2^6 * a^(-1/2) = 64/sqrta *sqrta/sqrta = (64sqrta)/a`

d) Założenia:

`x > 0`

`x^(3/4) : x^(-5) = x^(3/4 -(-5)) = x^(3/4 + 20/4) = x^(23/4)`

Wielokąty przedstawione na rysunku...

a) Wielokąty są podobne w skali:

`k=(|AE|)/(|PU|) = 5/3`

A więc brakujące długości boków wynoszą:

`(|ED|)/(|UT|) = 5/3`

`6/(|UT|) = 5/3`

`(|UT|)/6 = 3/5`

`|UT| = 18/5`

`(|CD|)/(|ST|) = 5/3`

`5/(|ST|) = 5/3`

`|ST| = 3`

`(|BC|)/(|RS|) = 5/3`

`5/(|RS|) = 5/3`

`|RS| = 3`

`(|AB|)/(|PR|) = 5/3`

`4/(|PR|) = 5/3`

`(|PR|)/4 = 3/5`

`|PR| = 12/5`

Brakujące miary kątów:

`|/_DCB| = |/_TSR| = 234^o`

`|/_SRP| = |/_CBA| = 66^o`

`|/_UTS| = |/_EDC| = 20^o`

`|/_PUT| = |/_AED| = 130^o`

b) Skala podobieństwa:

`k = (|AB|)/(|PR|) = 5/3`

Brakujące długości boków:

`(|DC|)/(|TS|) = 5/3`

`2/(|TS|) = 5/3`

`(|TS|)/2 = 3/5`

`|TS| = 6/5`

`(|AD|)/(|PT|) = 5/3`

`(4,5)/(|PT|) = 5/3`

`(|PT|)/(4,5) =3/5`

`|PT| = 3/5 * 4,5`

`|PT| = 3/5 * 9/2`

`|PT| = 27/10`

`|PT| = 2,7`

`(|BC|)/(|RS|) = 5/3`

`5/(|RS|) = 5/3`

`(|RS|)/5 = 3/5`

`|RS| = 3`

Miary brakujących kątów:

`|/_DCB| = 360^o - (104^o + 63^o + 76^o) = 360^o - 243^o = 117^o`

`|/_TPR| = |/_BAD| = 76^o`

`|/_PRS| = |/_CBA| = 63^o`

`|/_ADC| = |/_STP| = 104^o`

`|/_RST| = |/_DCB| = 117^o`

Wykaż, że jeśli równanie ...

`x^2+kx+4=0`

`"Rownanie jest sprzeczne gdy"\ Delta<0.`

`Delta=k^2-16`

`k^2-16<0`

`k^2<16`

`k<4\ \ \vee\ \ \-k< 4\ implies \ k> -4`

`k in (-4,4)`

Oblicz granicę.

`lim_(x->0)(sin2x)/(sinx)=lim_(x->0)(2sinxcosx)/(sinx)=lim_(x->0)(2cosx)=2*1=2`

`lim_(x->pi/4)(sqrt2cosx-1)/(cos2x)=lim_(x->pi/4)(sqrt2cosx-1)/(2cos^2x-1)=lim_(x->pi/4)(sqrt2(cosx-sqrt2/2))/(2(cos^2x-1/2))=`

`=lim_(x->pi/4)(sqrt2(cosx-sqrt2/2))/(2(cosx-sqrt2/2)(cosx+sqrt2/2))=lim_(x->pi/4)(sqrt2)/(2(cosx+sqrt2/2))=`

`=sqrt2/(2(cospi/4+sqrt2/2))=sqrt2/(2(sqrt2/2+sqrt2/2))=sqrt2/(2*sqrt2)=1/2`

Zapisz zbiór rozwiązań układu nierówności...

`a) \ {(2x-5 leq 11),(1-4x<5):}`

`{(2x leq 16),(-4x < 4):}`

`{(x leq 8),(x > -1):}`

`-1 < x leq 8`

`x in (-1, 8]`

Liczby całkowite należące do tego przedziału to:

`0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , . . . , \ 8`

`b) \ {(6x+4 > 10),(-4+2x leq 8):}`

`{(6x > 6),(2x leq 12):}`

`{(x>1),(x leq 6):}`

`x in (1, 6]`

Liczby całkowite należące do tego przedziału to:

`2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6`

`c) \ {(7x<0),(3x+7>4):}`

`{(x<0),(3x > -3):}`

`{(x<0),(x > -1):}`

`-1 < x < 0`

`x in (-1, 0)`

Zbiór liczb całkowitych należących do tego przedziału jest pusty.

Wyznacz równania stycznych do okręgu...

`a) \ x^2+y^2+4x+2y-35=0`

`x^2+4x+y^2+2y-35=0`

`x^2+4x+4-4+y^2+2y+1-1-35=0`

`(x+2)^2 +(y+1)^2 =40`

Środek okręgu:

`S = (-2, -1)`

Promień:

`r^2 = 40`

`r = 2sqrt10`

Równanie dowolnej prostej równoległej do prostej y = 3x:

`y = -1/3x + q`

Przekształćmy na postać ogólną:

`1/3x + y - q =0`

`x + 3y - 3q=0`

Środek okręgu musi być oddalony od tej prostej o długość promienia:

`d = (|1*(-2) +3*(-1)-3q|)/sqrt(1^2+3^2)`

`2sqrt10 = (|-2-3-3q|)/sqrt10`

`20 = |-5-3q|`

`20 = |5+3q|`

Stąd:

`5+3q = 20 \ \ vv \ \ 5+3q = -20`

`3q = 15 \ \ vv \ \ 3q = -25`

A więc równania stycznych to:

`x+3y -15=0`

lub

`x+3y+25=0`

b) Dowolna prosta, do wykresu której należy punkt `A = (x_A, y_A)` , ma równanie:

`y = a(x-x_A)+y_A`

zatem:

`y = a(x-3)-4`

Postać ogólna:

`y = ax - 3a - 4`

`-ax + y + 3a + 4 =0`

Odległość środka okręgu od tej prostej ma być równa długości promienia:

`d = (|-a*3 + 1*1 + 3a+4|)/sqrt((-a)^2 + 1^2)`

`sqrt5 = (|-3a+1+3a+4|)/sqrt(a^2+1)`

`sqrt5 = 5/sqrt(a^2+1)`

Podnieśmy równanie do kwadratu:

`5 = 25/(a^2+1)`

`5(a^2+1) = 25`

`5a^2 + 5 = 25`

`5a^2 = 20`

`a^2 = 4`

`a = 2 \ \ vv \ \ a = -2`

A więc równania stycznych to:

`y_1 = 2(x-3)-4 = 2x - 6 - 4 = 2x - 10`

`y_2 = -2(x-3)-4 = -2x+6-4 = -2x+2`

Wyznaczmy punkty przecięcia okręgu z tymi prostymi:

`{((x-3)^2+(y-1)^2 = 5),(y=2(x-3)-4):}`

`(x-3)^2 + (2x-10-1)^2 = 5`

`(x-3)^2 + (2x-11)^2 = 5`

`x^2 -6x + 9 + 4x^2 -44x + 121 = 5`

`5x^2 -50x +125 =0 \ \ \ |:5`

`x^2 -10x + 25 =0`

`(x-5)^2 =0`

`x - 5 =0`

`x = 5`

stąd:

`y=0`

Pierwszy punkt przecięcia to:

`(5, 0)`

`{((x-3)^2+(y-1)^2=5),(y=-2x+2):}`

`(x-3)^2 + (-2x+2-1)^2 = 5`

`(x-3)^2 + (1 - 2x)^2 = 5`

`x^2-6x+9 + 1 - 4x + 4x^2 = 5`

`5x^2 -10x + 10 = 5`

`5x^2-10x + 5=0 \ \ \ |:5`

`x^2-2x+1=0`

`(x-1)^2=0`

`x-1 = 0`

`x = 1`

stąd:

`y = 0`

Drugi punkt przecięcia to:

`(1,0)`

Oba punkty leżą na prostej y = 0. Długość odcinka, którego końcami są punkty przecięcia okręgu ze stycznymi wynosi 4.

c) Prosta równoległa do prostej x - y + 6 =0 jest dana równaniem:

`x - y + C=0`

Rysunek poglądowy:

Promień koła wynosi:

`r^2 = 20`

`r = sqrt20`

`r = 2sqrt5`

Długość cięciwy oznaczymy przez l, cięciwa ma mieć długość:

`l = 6sqrt2`

A więc połowa długości cięciwy wynosi:

`l/2 = 3sqrt2`

A więc:

`|CD| = r = 2sqrt5`

`|BD| =l/2 = 3sqrt2`

Odległość odcinka CB jest równa odległości środka okręgu od prostej zawierającej cięciwę. Z twierdzenia Pitagorasa:

`|CB|^2 + |BD|^2 = |CD|^2`

`d^2 + 18 = 20`

`d^2 = 2`

`d = sqrt2`

odległość środka okręgu od cięciwy policzymy ze wzoru na odległość punktu od prostej:

`d = (|1*0-1*0 + C|)/sqrt(1^2 +(-1)^2)`

`d = (|C|)/sqrt2`

Stąd:

`sqrt2 = (|C|)/sqrt2`

`|C| = 2`

`C_1 = 2 \ \ vv \ \ C_2 = -2`

A więc możliwe równania prostych to:

`x-y+2 =0`

lub

`x-y -2=0`