Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $$y = a_px + b_p$$, zaś okrąg: $$r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $$y$$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $$x$$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$$y = a_px + b_p$$
$$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$$
$$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$
$$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$

Wstawiając $$x_1$$ i $$x_2$$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $$y$$: $$y_1 = a_px_1 + b_p$$
$$y_2 = a_px_2 + b_p$$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $$y = -x + 1$$ z okręgiem o równaniu $$6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$$.

Podstawiając do równania okręgu $$y$$ z równania prostej otrzymujemy:

$$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$$
$$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$$
$$36 = 2x^2 + 2$$
$$17 = x^2$$
$$x_1 = √{17}$$
$$x_2 = -√{17}$$

Teraz możemy obliczyć $$y$$:
$$y_1 = -√{17} + 1$$
$$y_2 = √{17} + 1$$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $$(√{17}, -√{17} + 1)$$ oraz $$(-√{17}, √{17} + 1)$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Do utworzenia kilkuliterowych kodów

Mamy do dyspozycji sześć liter (A, B, C, I, J, K). 

Najpierw przeanalizujmy tworzenie kodów sześcioliterowych. 

Na pierwszym miejscu możemy postawić jedną z sześciu liter - 6 możliwości. 

Na drugim miejscu możemy postawić jedną z pięciu pozostałych liter - 5 możliwości. 

Na trzecim miejscu możemy postawić jedną z czterech pozostałych liter - 4 możliwości. 

Na czwartym miejscu możemy postawić jedną z trzech pozostałych liter - 3 możliwości. 

Na piątym miejscu możemy postawić jedną z dwóch pozostałych liter - 2 możliwości. 

Na szóstym miejscu możemy postawić tylko jedną (ostatnią) literę - 1 możliwość. 

Liczba możliwych do utworzenia kodów sześciocyfrowych wynosi więc:

`6*5*4*3*2*1=720` 

 

 

Teraz przeanalizujmy tworzenie kodów pięciocyfrowych. 

Najpierw przeanalizujmy tworzenie kodów sześcioliterowych. 

Na pierwszym miejscu możemy postawić jedną z sześciu liter - 6 możliwości. 

Na drugim miejscu możemy postawić jedną z pięciu pozostałych liter - 5 możliwości. 

Na trzecim miejscu możemy postawić jedną z czterech pozostałych liter - 4 możliwości. 

Na czwartym miejscu możemy postawić jedną z trzech pozostałych liter - 3 możliwości. 

Na piątym miejscu możemy postawić jedną z dwóch pozostałych liter - 2 możliwości. 

Liczba możliwych do utworzenia kodów pięciocyfrowych wynosi więc:

`6*5*4*3*2=720` 

 

Otrzymane wyniki są równe. 

W pewnej firmie pracuje 36 mężczyzn

Zilustrujmy przebieg losowania na diagramie:

 

`A\ \ -\ \ "wycieczkę wygra co najmniej jedna kobieta"` 

Zdarzeniu A sprzyjają aż 3 gałęzie drzewa, dlatego rozpatrzymy zdarzenie przeciwne. 

`A'\ \ -\ \ "wycieczki nie wygra żadna kobieta, czyli wygra dwóch mężczyzn"` 

Zaznaczmy gałęzie opisujące zdarzenie A':

 

`P(A')=36/48*35/47=1260/2256~~0,56` 

 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

`P(A)=1-P(A')~~1-0,56=0,44` 

 

Sinus jednego z kątów ostrych...

`sin alpha = a/c` 

`a/c = 1/4` 

`4a = c` 

Oznaczmy długość drugiej przyprostokątnej przez b, wtedy z twierdzenia Pitagorasa:

`a^2 + b^2 = c^2` 

`a^2 + b^2 = (4a)^2` 

`a^2 + b^2 = 16a^2` 

`b^2 = 15a^2` 

`b = sqrt15a` 

 

`"Dla" \ a = 1` 

`b = sqrt15` 

Odpowiedź D

Wykaż, że w dowolnym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków ...

Najpierw uzasadnimy, że odcinki AB i ED są równoległe (korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa)

`{(|EC|/|DC|=x/y), (|AC|/|BC|=(2x)/(2y)=x/y):}\ \ \ \ =>\ \ \ |EC|/|DC|=|AC|/|BC|\ \ \ =>\ \ \ AB || ED`

 

 

Jeśli wiemy już, że odcinki AB i ED są równoległe, to możemy zaznaczyć pary kątów odpowiadających: 

  

Trójkąty ACB oraz ECD są podobne (cecha kąt kąt kąt), więc możemy zapisać proporcje: 

`|AC|/|EC|=|AB|/|ED|`

`(2x)/x=z/a`

`2=z/a\ \ \ |*a`

`2a=z\ \ \ |:2`

`a=1/2z`

Pokazaliśmy, że odcinek a jest dwukrotnie krótszy od odcinka z. 

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami

a)

Dorysowujemy kąt środkowy AOB oparty na tym samym łuku co kąt ACB. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma miarę dwa razy większą od tego kąta wpisanego:

`|angleAOB|=2*45^o=90^o`

Trójkąt AOB jest równoramienny i prostokątny. Jego ramiona pokrywają się promieniami, dlatego długość promienia może obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

`r^2+r^2=4^2`

`2r^2=16`

`r^2=8`

`r=sqrt8=sqrt(4*2)=ul(ul(2sqrt2cm))`

b)

 I przypadek:

`x^2+3^2=5^2`

`x^2+9=25`

`x^2=16`      `/sqrt`

`x=4 cm`

`h=4cm+5cm=9 cm`

Obliczamy długość ramienia tego trójkąta:

`3^2+9^2=b^2`

`9+81=b^2`

`90=b^2`   `/sqrt`

`b=sqrt90=sqrt(9*10)=ul(ul(3sqrt10cm))`

 

II przypadek:

 

`3^2+c^2=5^2`

`9+c^2=25`

`c^2=25-9`

`c^2=16`          /`sqrt`

`c=4 cm`

`x=r-c=5cm-4cm=1cm`

Obliczamy długość ramienia trójkąta:

`x^2+3^2=b^2`

`1^2+3^2=b^2`

`b^2=10`    `/sqrt`

`b=ul(ul(sqrt10cm))`

 

Oblicz granicę.

a) `lim_(x->-6) (sqrt(1+2x^2))/(sqrt(|x|+3))=(sqrt(1+2*(-6)^2))/(sqrt(|-6|+3))=(sqrt(1+2*36))/sqrt(6+3)=sqrt(73)/sqrt(9)=sqrt73/3` 

b) `lim_(x->0) sqrt(x^2+2x+4)/(x-4)=sqrt(0^2+2*0+4)/(0-4)=sqrt4/(-4)=2/(-4)=-1/2` 

c) `lim_(x->2) sqrt(x^4+9)/sqrt(3x-2)=sqrt(2^4+9)/sqrt(3*2-2)=sqrt(16+9)/sqrt(6-2)=sqrt25/sqrt4=5/2`   

Dla jakich n spełniony jest warunek...

`n in N` 

`a) \ a_n > M` 

`4n-5>1000` 

`4n > 1005` 

`n > 251,25` 

A więc:

`n geq 252` 

 

`a_n > 2M` 

`4n-5>2000` 

`4n > 2005`  

`n > 501,25` 

A więc:

`n geq 502`  

 

`b) \ a_n > M` 

`0,01n^2-10>50` 

`0,01n^2> 60` 

`n^2 > 6000` 

 

Zauważmy, że:

`77^2 = 5929` 

`78^2 = 6084` 

 

`n geq 78` 

 

`a_n > 2M` 

`0,01n^2 - 10 > 100` 

`0,01n^2 > 110` 

`n^2 > 11000` 

 

Zauważmy, że:

`104^2 = 10816` 

`105^2 = 11025` 

 

`n geq 105` 

 

`c) \ a_n > M` 

`(n^4+10n)/n>100` 

`n^4+10n > 100n` 

`n^4-90n>0` 

`n(n^3-90)>0 \ \ \ |:n` 

`n^3-90>0` 

`n^3>90` 

 

Zauważmy, ze:

`4^3 = 64` 

`5^3 = 125` 

Zatem:

 

`n geq 5` 

 

`a_n > 2M` 

`(n^4+10n)/n>200` 

`n^4+10n>200n` 

`n^4-190n>0` 

`n(n^3-190)>0 \ \ \ |:n` 

`n^3-190>0` 

`n^3 > 190` 

 

Zauważmy, ze:

`5^3 = 125` 

`6^3 = 216` 

Zatem:

 

`n geq 6` 

 

`d) \ a_n > M` 

`n^4-100>10000` 

`n^4 > 10100` 

 

Zauważmy, że:

`10^4 = 10000` 

Zatem:

 

`n geq 11` 

 

 

`a_n > 2M` 

`n^4 -100 > 20000` 

`n^4 > 20100` 

 

Zauważmy, że:

`11^4 = 14641` 

`12^4 = 20736` 

Zatem:

 

`n geq 12` 

Wyznacz miarę łukową kąta ...

`a)` 

`12:30` 

`alpha-`miara kąta wypukłego utworzonego przez wskazówki zegara 

Zauważmy, że tarczę zegara możemy podzielić na 24 równych części.

Łuk naszego kąta zawiera dokładnie 11 części, zatem:

`alpha=11/24*360^@=11/24*2pi=11/12pi` 

 

`b)` 

`17:40` 

Zauważmy, że tarczę zegara możemy podzielić na 36 równych części.

Łuk naszego kąta zawiera dokładnie 7 części, zatem:

`alpha=7/36*360^@=7/36*2pi=7/18pi` 

 

`c)` 

`21:05` 

Zauważmy, że tarczę zegara możemy podzielić na `12*12=288` równych części.

Łuk naszego kąta zawiera dokładnie `3*24-1+12=83`    części, zatem:

`alpha=83/288*360^@=83/144pi`     

 

`d)` 

`22:15` 

Zauważmy, że tarczę zegara możemy podzielić na `4*12=48` równych części.

Łuk naszego kąta zawiera dokładnie `3*4+4+3=19` części, zatem:

`alpha=19/48*360^@=19/48*2pi=19/24pi`  

Funkcja f przyjmuje wartość równą -4 ...

`f(6)=-4` 

`f(-2)=8` 

 

`g(x)=f(x+6)-2` 

`g(-8)=f(-2)-2=8-2=6` 

`g(0)=f(6)-2=-4-2=-6` 

`g(0)=-6` 

 

`"Odpowiedź D."`   

Rozwiąż nierówność

`a)` 

`#underbrace(x^3+2x^2+2x+1)_(w(x))>0` 

 

Zapiszemy wielomian w w postaci iloczynowej. 

`w(x)=x^3+2x^2+2x+1=x^3+1+2x^2+2x=(x+1)(x^2-x+1)+2x(x+1)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =(x+1)(x^2-x+1+2x)=(x+1)#(#underbrace((x^2+x+1))_(Delta=1^2-4*1*1=))_(=1-4<0)` 

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Warto zauważyć, że współczynnik przy x² jest dodatni, więc parabola x²+x+1 znajduje się w całości nad osią OX - przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Możemy więc podzielić nierówność przez (x²+x+1) - nie ma obawy, że dzielimy przez zero. Nie zmieni się także kierunek nierówności, bo wyrażenie x²+x+1 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

 

`(x+1)(x^2+x+1)>0\ \ \ \ \ |:(x^2+x+1)>0` 

`x+1>0\ \ \ |-1` 

`x> -1` 

`ul(ul(x in (-1;\ +infty)))` 

 

 

 

 

`b)` 

`#underbrace(x^3-x^2-10x+12)_(w(x))>=0` 

 

Chcemy zapisać wielomian w w postaci iloczynowej. Wiadomo, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w to 12. Dzielniki 12 to -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Szukamy wśród nich pierwiastków wielomianu w:

`w(2)=2^3-2^2-10*2+12=8-4-20+12=-4` 

`w(3)=3^3-3^2-10*3+12=27-9-30+12=0` 

 

Liczba 3 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-3. Wykonajmy dzielenie pisemne.

   

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-3)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ \ +\ \ 2x\ \ -\ \ 4))_(Delta=2^2-4*1*(-4)=))_(=4+16=20))_(sqrtDelta=sqrt20=sqrt4*sqrt5=2sqrt5))_(x_1=(-2-2sqrt5)/2=-1-sqrt5))_(x_2=(-2+2sqrt5)/2=-1+sqrt5)=(x-3)(x+1+sqrt5)(x+1-sqrt5)`  

 

Szkicujemy wykres wielomianu w, z którego odczytamy zbiór rozwiązań nierówności.

Jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, to rozpoczynamy rysowanie od prawej górnej strony, a jeśli jest ujemny to rozpoczynamy od prawej dolnej strony. Wykres zmienia znak tylko w pierwiastkach krotności nieparzystej. Oznacza to, że w pierwiastku krotności jeden wykres "przechodzi" na drugą stronę osi OX, a w pierwiastku krotności dwa wykres "odbija się" od osi OX.  

 

`ul(ul(x in <<-1-sqrt5;\ -1+sqrt5>>uu<<3;\ +infty)))` 

 

 

 

`c)` 

`#underbrace(x^4+4x^3-4x-1)_(w(x))<=0` 

 

Zapiszemy wielomian w w postaci iloczynowej. 

`w(x)=x^4+4x^3-4x-1=x^4-1+4x^3-4x=(x^2)^2-1^2+4x(x^2-1)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x^2-1)(x^2+1)+4x(x^2-1)=(x^2-1)(x^2+1+4x)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x^2-1)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 4x\ +\ 1))_(Delta=4^2-4*1*1=))_(=16-4=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(-4-2sqrt3)/2=-2-sqrt3))_(x_2=(-4+2sqrt3)/2=-2+sqrt3)=(x-1)(x+1)(x+2+sqrt3)(x+2-sqrt3)` 

 

Podobnie jak poprzednio, szkicujemy wykres wielomianu. 

Oszacujmy:

`-2-sqrt3~~-2-1,73=-3,73` 

`-2+sqrt3~~-2+1,73=-0,27` 

 

 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-2-sqrt3;\ -1>>uu<<-2+sqrt3;\ 1>>))`