Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $$y = a_px + b_p$$, zaś okrąg: $$r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $$y$$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $$x$$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$$y = a_px + b_p$$
$$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$$
$$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$
$$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$

Wstawiając $$x_1$$ i $$x_2$$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $$y$$: $$y_1 = a_px_1 + b_p$$
$$y_2 = a_px_2 + b_p$$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $$y = -x + 1$$ z okręgiem o równaniu $$6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$$.

Podstawiając do równania okręgu $$y$$ z równania prostej otrzymujemy:

$$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$$
$$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$$
$$36 = 2x^2 + 2$$
$$17 = x^2$$
$$x_1 = √{17}$$
$$x_2 = -√{17}$$

Teraz możemy obliczyć $$y$$:
$$y_1 = -√{17} + 1$$
$$y_2 = √{17} + 1$$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $$(√{17}, -√{17} + 1)$$ oraz $$(-√{17}, √{17} + 1)$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz miary kątów...

`a)\ beta=360^o-220^o=140^o,\ alpha=beta/2 = 70^o,\ gamma=220^o/2 = 110^o`

`b)\ 40^o = delta \ , gamma = alpha = 40^o , beta = 180^o - 80^o = 100^o`

`c)\ alpha=40^o,\ beta=180 - 80^o = 100^o,\ gamma=beta/2 = 50^o\ delta=180^o-50^o=130^o`

Ze zbioru {1, 2, 3, ..., 11}

Mamy 11 liczb - 6 liczb nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9, 11) oraz 5 liczb parzystych (2, 4, 6, 8, 10). 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 11 liczb:

`((11),(\ 2))=(11!)/(2!*9!)=(strike(9!)*strike10^5*11)/(1*strike2*strike(9!))=55` 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 6 liczb nieparzystych:

`((6),(2))=(6!)/(2!*4!)=(strike(4!)*5*strike6^3)/(1*strike2*strike(4!))=15` 

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać parę złożoną z liczby parzystej i nieparzystej:

`((6),(1))*((5),(1))=(6!)/(1!*5!)*(5!)/(1*4!)=(strike(5!)*6)/(1*strike(5!))*(strike(4!)*5)/(1*strike(4!))=6*5=30` 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 5 liczb parzystych:

`((5),(2))=(5!)/(2!*3!)=(strike(3!)*strike4^2*5)/(1*strike2*strike(3!))=10` 

 

Obliczamy prawdopodobieństwa, które zapiszemy na gałęziach drzewka:

`P("skreślono 2 liczby nieparzyste")=15/55=3/11` 

`P("skreślono liczbę parzystą i nieparzystą")=30/55=6/11` 

`P("skreślono 2 liczby parzyste")=10/55=2/11`  

 

Rysujemy drzewko i zapisujemy na gałęziach odpowiednie prawdopodobieństwa.

`A\ \ -\ \ "wylosowano liczbę parzystą"`  

 

 

 



 

`P(A)=strike3^1/11*5/strike9^3+strike6^2/11*4/strike9^3+2/11*1/3=5/33+8/33+2/33=15/33=5/11` 

  

 

Rozwiąż równanie

`a)\ 6x^2-18=0\ \ \ |:6`

`\ \ \ x^2-3=0\ \ \ |+3`

`\ \ \ x^2=3`

`\ \ \ x=sqrt3\ \ \ l ub\ \ \ x=-sqrt3`

 

 

 

 

`b)\ x^2+4=0\ \ \ |-4`

`\ \ \ x^2=-4`

Sprzeczność, ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny (jest większy lub równy 0)

 

 

 

 

`c)\ 4/5x^2-2=0\ \ \ |+2`

`\ \ \ 4/5x^2=2\ \ \ |*5/4`

`\ \ \ x^2=10/4`

`\ \ \ x^2=5/2`

`\ \ \ x=sqrt(5/2)=sqrt5/sqrt2=(sqrt5*sqrt2)/2=sqrt10/2\ \ \ \ l u b\ \ \ x=-sqrt10/2`

 

 

 

`d)\ 4x^2+1=0\ \ \ |-1`

`\ \ \ 4x^2=-1\ \ \ |:4`

`\ \ \ x^2=-1/4`

Sprzeczność tak jak w b) - kwadrat liczby zawsze będzie nieujemny   

Przedstaw liczbę w postaci

`a)\ root(3)16+root(3)54=root(3)8*root(3)2+root(3)27*root(3)2=2root(3)(2)+3root(3)2=5root(3)2`

`b)\ root(3)250-2root(3)128=root(3)125*root(3)2-2*root(3)64*root(3)2=5root(3)(2)-2*4*root(3)(2)=`

`\ \ \ =5root(3)(2)-8root(3)(2)=-3root(3)2`

`c)\ root(3)81+2root(3)24-root(3)375=root(3)27*root(3)(3)+2*root(3)8*root(3)(3)-root(3)125*root(3)3=`

`\ \ \ =3root(3)(3)+2*2*root(3)(3)-5root(3)3=3root(3)3+4root(3)(3)-5root(3)(3)=2root(3)3`

Podaj przykład funkcji homograficznej ...

Chcemy podać przykład funkcji, której dziedziną jest R\{p}, a zbiorem wartości zbiór R\{q}.

Wzór takiej funkcji będzie wyglądać następująco:

`f(x)=a/(x-p)+q`

Liczba p, którą wyrzucamy z dziedziny wyznacza równanie asymptoty pionowej: x=p, czyli jest także pierwszą współrzędną wektora przesunięcia funkcji y=a/x. Liczba q, którą wyrzucamy ze zbioru wartości wyznacza równanie asymptoty poziomej: y=q, czyli jest także drugą współrzędną wektora przesunięcia funkcji y=a/x.

 

`"a)"\ p=0,\ q=1`

Przykładowe funckje homograficznej:

`f(x)=2/x+1`

`g(x)=-5/x+1`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ p=0,\ q=-5`

Przykładowe funckje homograficznej:

`f(x)=1/(x)-5`

`g(x)=-2/(x)-5`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ p=1,\ q=4`

Przykładowe funckje homograficznej:

`f(x)=-3/(x-1)+4`

`g(x)=-1/(x-1)+4`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ p=-7,\ q=0`

Przykładowe funckje homograficznej:

`f(x)=-1/(x+7)`

`g(x)=5/(x+7)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"e)"\ p=-7,\ q=-3`

Przykładowe funckje homograficznej:

`f(x)=-2/(x+7)-3`

`g(x)=1/(x+7)-3`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"f)"\ p=sqrt2,\ q=sqrt2`

Przykładowe funckje homograficznej:

`f(x)=-4/(x-sqrt2)+sqrt2`

`g(x)=-2/(x-sqrt2)+sqrt2`

Dany jest wykres funkcji

W podpunkcie a musimy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

W podpunkcie b - o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

W podpunkcie c - o 3 jednostki w dół wzdłuż osi OY.

 

Uzasadnij, że jeżeli

`"założenia:"\ \ \ a+b+c=0`  

`"teza:"\ \ \ ab+bc+ca<=0` 

`"dowód:"` 

Jeśli suma liczb a, b, c jest równa 0, to kwadrat sumy tych liczb także musi być równy 0. 

`a+b+c=0\ \ \ =>\ \ \ (a+b+c)^2=0` 

 

Wykonajmy podnoszenie do kwadratu:

`(a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)=` 

`=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac` 

 

 

Wartość powyższego wyrażenia jest równa 0:

`a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0` 

Możemy zapisać równość w postaci równoważnej:

`2ab+2bc+2ac=-(a^2+b^2+c^2)\ \ \ \ |:2` 

`ab+bc+ac=-1/2(a^2+b^2+c^2)` 

 

Suma kwadratów liczb a, b, c na pewno jest liczbą nieujemną (bo kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny). Po pomnożeniu sumy kwadratów liczb  a, b, c przez ujemną liczbę -1/2 otrzymamy liczbę niedodatnią.

`ab+bc+ac=#underbrace(-1/2#underbrace((a^2+b^2+c^2))_(>=0))_(<=0)` 

Udowodniliśmy żądaną nierówność.  

 

Przekątne ośmiokąta foremnego poprowadzone z jednego...

`"a)"` Obliczamy miarę kątów wewnętrznych ośmiokąta foremnego.

Wzór ogólny dla `n-`kąta foremnego: `(n-2)*180^@.` 

Zatem dla ośmiokąta mamy:

`(8-2)*180^@=1080^@`   

Obliczamy miarę jednego kąta wewnętrznego ośmiokąta:

`1080^@/8=135^@` 

Wszystkie przekątne wychodzą z wierzchołka `A` pod tym samym kątem. Mamy więc:

`/_BAC=/_CAD=/_DAE=/_EAF=/_FAG=/_GAH=1/6*/_BAH=1/6*135=22,5^@`               

Odcinek `AE` jest najdłuższą przekątną ośmiokąta, dzieli więc kąt `FED` na pół, zatem:

`/_AED=/_FEA=1/2*/_FED=1/2*135^@=67,5^@`    

Obliczamy miarę kąta `AFE` z sumy kątów trójkąta `AFE:` 

`/_AFE=180^@-(/_EAF+/_FEA)=180^@-22,5^@-67,5^@=90^@` 

`/_EDA=/_AFE=90^@` 

Obliczamy miarę kata `GFA` jako różnicę miar kątów `GFE` i `AFE:` 

`/_GFA=/_GFE-/_AFE=135^@-90^@=45^@` 

`/_ADC=/_GFA=45^@` 

Obliczamy miarę kąta `AGF` z sumy miar kątów trójkąta `AGF:` 

`/_AGF=180^@-(/_FAG+/_GFA)=180^@-22,5^@-45^@=112,5^@` 

`/_DCA=/_AGF=112,5^@`     

Obliczamy miarę kata `HGA` jako różnicę miar kątów `HGF` i `AGF:`  

`/_HGA=/_HGF-/_AGF=135^@-112,5^@=22,5^@` 

`/_ACB=/_HGA=22,5^@` 

Kąty `AHG` `CBA` to kąty wewnętrzne ośmiokąta, czyli ich miary to:   

`/_AHG=/_CBA=135^@`  

Po wpisaniu miar kątów rysunek będzie wyglądał następująco:

 

`"b)"` Rysunek pomocniczy:

`L_1=2pir-`długość okręgu wpisanego w ośmiokąt

`L_2=2piR-`długość okręgu opisanego na ośmiokącie  

Chcemy pokazać, że 

`L_1/L_2=cos22^@30',` 

czyli że

`(2pir)/(2piR)=cos22^@30'.` 

Ostatecznie wystarczy pokazać, że

`r/R=cos22^@30'.` 

Wiemy, że `30'=0,5^@.`  

Obliczamy miarę kąta `BOA:` 

`/_BOA=360^@*1/8=45^@` 

Obliczamy miarę kąta `BOP:` 

`/_BOP=1/2*/_BOA=1/2*45^@=22,5^@` 

Trójkąt `BOP` jest trójkątem prostokątnym. Korzystając z funkcji trygonometrycznych dla tego trójkąta

możemy zapisać następującą zależność:

`r/R=cos(/_BOP)=cos22,5^@=cos22^@30',` co kończy dowód.     

    

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie...

Pamiętajmy, że promień stanowi 2/3 wysokości trójkąta równobocznego. Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a jest dana wzorem:

`h=(asqrt3)/2` 

Zatem: 

`r = 2/3h` 

`15=2/3*(asqrt3)/2`

 

`15 = sqrt3/3 a` 

`a = 15 * 3/sqrt3` 

`a = 45/sqrt3 *sqrt3/sqrt3 = (45sqrt3)/3 = 15sqrt3 \ ["cm"]` 

 

Pole trójkąta równobocznego o boku długości a jest dane wzorem:

`P = (a^2sqrt3)/4 = ((15sqrt3)^2 sqrt3)/4 = (675 sqrt3)/4 \ ["cm"^2]` 

Chcemy położyć kostkę ...

`A.` `x>=0` 

`(2x+4)(2x+8)=4x^2+24x+32` 

`4x^2+24x+32-32=64` 

`4x^2+24x-64=0` 

`f(x)=x^2+6x-16=0`  

`Delta=36+63=100`  

`sqrtDelta=10` 

 

`x_1=(-6+10)/2=ul(2`  

`x_2=(-6-10)/2=-8 notin D_f` 

 

`B.` `x>=0` 

`(2x+4)(4x+8)=8x^2+32x+32` 

`8x^2+32x+32-32=66`   

`8x^2+32x-66=0` 

`f(x)=4x^2+16x-33=0`  

`Delta=256+528=784` 

`sqrtDelta=28` 

 

`x_1=(-16+28)/8=12/8=ul(3/2`  

`x_2=(-16-28)/8=-44/8 notin D_f`   

 

`C.` `x>=0` 

`(2x+8)(4x+4)=8x^2+40x+32` 

`8x^2+40x+32-32=78` 

`8x^2+40x-78=0` 

`f(x)=4x^2+20x-39` 

`Delta=400+624=1024` 

`sqrtDelta=32` 

 

`x_1=(-20+32)/8=12/8=ul(3/2` 

`x_2=(-20-32)/8=-52/8 notin D_f`