Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $y = a_px + b_p$, zaś okrąg: $r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $y$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $x$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$y = a_px + b_p$
$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$
$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$
$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$

Wstawiając $x_1$ i $x_2$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $y$: $y_1 = a_px_1 + b_p$
$y_2 = a_px_2 + b_p$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $y = -x + 1$ z okręgiem o równaniu $6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$.

Podstawiając do równania okręgu $y$ z równania prostej otrzymujemy:

$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$
$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$
$36 = 2x^2 + 2$
$17 = x^2$
$x_1 = √{17}$
$x_2 = -√{17}$

Teraz możemy obliczyć $y$:
$y_1 = -√{17} + 1$
$y_2 = √{17} + 1$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $(√{17}, -√{17} + 1)$ oraz $(-√{17}, √{17} + 1)$.

Spis treści

Rozwiązane zadania

Naszkicuj wykres funkcji:

Z definicji wartości bezwzględnej:

Stąd:

Sprowadźmy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

Zatem:

Wykres funkcji jest sumą wykresów funkcji:

gdzie oraz gdzie

Wykres funkcji otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji o wektor

Obliczamy wartości funkcji i na końcach przedziałów, na których są określone:

Szkicujemy wykresy funkcji i na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

{premium}

Z definicji wartości bezwzględnej:

Stąd:

Sprowadźmy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

Zatem:

Wykres funkcji jest sumą wykresów funkcji:

gdzie oraz gdzie

Wykres funkcji otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji o wektor

Obliczamy wartości funkcji i na końcach przedziałów, na których są określone:

Szkicujemy wykresy funkcji i na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

Z definicji wartości bezwzględnej:

Stąd:

Wykres funkcji jest sumą wykresów funkcji:

gdzie oraz gdzie

Sprowadzamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

Wykres funkcji otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji o wektor

Obliczamy wartości funkcji i na końcach przedziałów, na których są określone:

Szkicujemy wykresy funkcji i na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

dla

Z definicji wartości bezwzględnej:

Stąd:

Wykres funkcji jest sumą wykresów funkcji:

gdzie oraz gdzie

Sprowadzamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

Wykres funkcji otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji o wektor

Obliczamy wartości funkcji i na końcach przedziałów, na których są określone:

Szkicujemy wykresy funkcji i na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

Sformułuj definicję...

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (-∞;b). Liczba g jest{premium} granicą funkcji f w -∞, jeśli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do -∞, o wyrazach należących do dziedziny funkcji f, ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Wyznacz asymptoty poziome...

Asymptota

{premium}

Asymptota

Poprawnym zaokrągleniem liczby

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do sześciu miejsc po przecinku to 0,499897, więc odpowiedź A jest błędna.

{premium}

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do pięciu miejsc po przecinku to 0,49990=0,4999, więc odpowiedź B jest błędna.

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do trzech miejsc po przecinku to 0,500=0,5, więc odpowiedź C jest błędna.

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do całości to 0, więc odpowiedź D jest prawidłowa.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu...

a) Wierzchołek ma współrzędne (1,2). Jedno z miejsc zerowych to liczba 0, oba miejsca zerowe są równo odległe od wierzchołka. Drugie miejsce zerowe łatwo można bez obliczeń wyznaczyć patrząc na wykres ale dla ćwiczenia wyliczymy je:

Zbiór wartości:

Funkcja rosnąca dla:

Funkcja malejąca dla:

Obliczmy współczynnik a posługując się postacią iloczynową.

{premium}

Postać iloczynowa i postać kanoniczna:

b) Z wykresu możemy odczytać, że miejscami zerowymi są liczby -1,3. Pierwsza współrzędna wierzchołka to:

Postać iloczynowa:

Z wykresu możemy odczytać:

A więc postać iloczynowa jest równa:

wyznaczmy drugą współrzędną wierzchołka:

Postać iloczynowa jest równa postaci kanonicznej:

Zbiór wartości:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

c) Miejscami zerowymi są liczby -2 i 1 zatem pierwsza współrzędna wierzchołka to:

Z wykresu można odczytać, że:

zatem:

Postać iloczynowa:

Obliczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli:

Postać kanoniczna:

Zbiór wartości:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

{premium}

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

Oblicz sumę wszystkich ujemnych ...

Dany jest ciąg arytmetyczny -9,2 ; -8,8 ; -8,4 ; ...

Zatem:

{premium}

Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać:

Wyznaczamy numery wyrazów ciągu, które są ujemne.

Wyrazy są ujemne, czyli 23 początkowe wyrazy tego ciągu są ujemne.

Obliczamy ile wynosi suma tych wyrazów.

Liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu

Jeśli liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to możemy dwukrotnie podzielić wielomian w przez dwumian (x-a).

Po dzieleniu otrzymaliśmy trójmian kwadratowy. Oczywiście można by było wykonać drugi raz dzielenie pisemne przez (x+1), ale możemy szybko rozłożyć trójmian na czynniki używając do tego delty.

{premium}

Wykonujemy dwukrotnie dzielenie pisemne: