Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $$y = a_px + b_p$$, zaś okrąg: $$r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $$y$$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $$x$$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$$y = a_px + b_p$$
$$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$$
$$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$
$$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$

Wstawiając $$x_1$$ i $$x_2$$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $$y$$: $$y_1 = a_px_1 + b_p$$
$$y_2 = a_px_2 + b_p$$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $$y = -x + 1$$ z okręgiem o równaniu $$6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$$.

Podstawiając do równania okręgu $$y$$ z równania prostej otrzymujemy:

$$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$$
$$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$$
$$36 = 2x^2 + 2$$
$$17 = x^2$$
$$x_1 = √{17}$$
$$x_2 = -√{17}$$

Teraz możemy obliczyć $$y$$:
$$y_1 = -√{17} + 1$$
$$y_2 = √{17} + 1$$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $$(√{17}, -√{17} + 1)$$ oraz $$(-√{17}, √{17} + 1)$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Skorzystaj z tego, że ...

Przyjmujemy, że:

 

 

 

 

 

  

 

Wykaż, że dany ciąg jest arytmetyczny

Ciąg jest arytmetyczny, jeśli różnica wyrazu o indeksie (n+1) i n jest stała (jest to r, czyli różnica ciągu arytmetycznego)

 

 

 

 `-4` 

 

 

 

Udało nam się znaleźć r, więc ten ciąg jest arytmetyczny. 

 

 

 

Można to także uzasadnić, korzystając z twierdzenia 2 ze strony 175. 

Musimy sprawdzić następujący warunek:

 `(a_(n+1)+a_(n-1))/2` 

 

 `((-4(n+1)+17)+(-4(n-1)+17))/2=` 

 

 `(-8n+34)/2=-4n+17=a_n`        

Oblicz.

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie.

a)

 

 

 

 

Możemy zapisać krócej:

 


b)

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 (kolor zielony)

 (kolor pomarańczowy)

 (kolor fioletowy)

 

Pomocniczo:

 

 

 

 

Odp.  

Łatwiej możemy zapisać: 

 


d)

 

 

 (kolor zielony)

 (kolor pomarańczowy)

 (kolor fioletowy)

Pomocniczo:

 

 

 

 

 

 

Odp.  

 

Które wyrazy ciągu (an) należą ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

     

 

 

 

 

 

 

  

  

 

     

 

 

` `

Wyznacz zbiór rozwiązań...

 

 

 

  ` `

 

 

   - zbiór rozwiązań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  - zbiór rozwiązań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozważmy stożek o promieniu podstawy równym...

Rozważmy przekrój osiowy stożka i okrąg w niego wpisany i na nim opisany - będą one

odpowiadały stożkowi i kulom: wpisanej i opisanej na tym stożku.

Ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt będziemy chcieli obliczyć  

Obliczamy pole  

 

Obliczamy długość przeciwprostokątnej      

 

 

Obliczamy  

      

Analogicznie, ze wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie obliczamy   

 

 

Obliczamy  

 

Obliczamy granicę:

     

 

 

Wyprowadź wzór

{premium}

 

 

 

 

   

Wykaż, że proste zawierające wysokości trójkąta...

Dowód:

Trójkąt ABC są rozwartokątny. Punkt D jest punktem ptzrecięcia dwóch wysokości (które są poza trójkątem).

Trójkąt BCD jest ostrokątny, więc jaego wysokości przecinają się w jednym punkcie. Wysokość trójkąta ABC wychodząca z wierzchołka A pokrywa się z wysokością trójkąta BCD wychodzącą z wierzchołka D.

Więc wszystkie wysokości trójkąta ABC przecinają się w punkcie D.

Dane są funkcje ...