Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $$y = a_px + b_p$$, zaś okrąg: $$r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $$y$$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $$x$$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$$y = a_px + b_p$$
$$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$$
$$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$
$$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$

Wstawiając $$x_1$$ i $$x_2$$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $$y$$: $$y_1 = a_px_1 + b_p$$
$$y_2 = a_px_2 + b_p$$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $$y = -x + 1$$ z okręgiem o równaniu $$6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$$.

Podstawiając do równania okręgu $$y$$ z równania prostej otrzymujemy:

$$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$$
$$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$$
$$36 = 2x^2 + 2$$
$$17 = x^2$$
$$x_1 = √{17}$$
$$x_2 = -√{17}$$

Teraz możemy obliczyć $$y$$:
$$y_1 = -√{17} + 1$$
$$y_2 = √{17} + 1$$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $$(√{17}, -√{17} + 1)$$ oraz $$(-√{17}, √{17} + 1)$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku

 

Obliczamy cenę brutto komputera: 

 

 

Obliczamy, jaki procent ceny {premium}brutto stanowi podatek VAT: 

   

 

 

 

 

n - cena netto tego komputera

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy, ile procent ceny brutto stanowi cena netto

 

 

 

 

n - cena netto

b - cena brutto

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy cenę brutto komputera, gdyby jego cena netto została podniesiona o 100 zł (czyli gdyby cena netto wynosiła 2100+100=2200 zł)

Zostało to już obliczone w podpunkcie a) - cena brutto tego komputera wynosiłaby wtedy 2706 zł. 

Rzucamy raz sześcienną kostką

 

Jeśli wyrzucimy 1, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 2 wyniki - orzeł lub reszka. 

Jeśli wyrzucimy 2, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 4 wyniki - na każdym z dwóch miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2=4).

Jeśli wyrzucimy 3, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 8 wyników - na każdym z trzech miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2=8).

Jeśli wyrzucimy 4, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 16 wyników - na każdym z czterech miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2∙2=16).

Jeśli wyrzucimy 5, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 32 wyników - na każdym z pięciu miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2∙2∙2=32).

Jeśli wyrzucimy 6, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 64 wyników - na każdym z sześciu miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2∙2∙2∙2=64).

 

Liczba wszystkich możliwości jest więc równa:

 

 

 

 

Wyniki doświadczenia rozpoczynające się od liczby nieparzystej to:

Jeśli wyrzucimy 1, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 2 wyniki - orzeł lub reszka. 

Jeśli wyrzucimy 3, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 8 wyników - na każdym z trzech miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2=8).

Jeśli wyrzucimy 5, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 32 wyników - na każdym z pięciu miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2∙2∙2=32).

Ilość wyników nieparzystych:

 

 

Pozostałe wyniki rozpoczynają się więc od liczby parzystej, czyli ich ilość jest równa:

 

 

Wyników zaczynających się od liczby parzystej jest więc rzeczywiście 2 razy więcej niż tych zaczynających się od liczby nieparzystej:

 

 

Dla jakich wartości parametru k...

 

Zauważmy, że wraz ze wzrostem n-ów mianownik będzie rosnąc. Jeżeli w liczniku będzie liczba dodatnia to wartość wyrażenia będzie maleć. Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

będzie maleć gdy k będzie dodatnie, gdyż wraz ze wzrostem n-ów wartość wyrażenia będzie maleć. A więc:

 

Sprawdź, czy wektory ...

Wektory u i v mają ten sam kierunek i zwrot gdy istnieje dodatnia liczba a taka, że u=av.

 

 

 

 

 

Wektory u i v mają wspólny kierunek, lecz przeciwny zwrot. {premium}

 

 

 

 

 

 

Wektory u i v mają wspólny kierunek i zwrot.

 

 

 

 

 

 

 

 

Takie a nie istnieje.

Wektory mają różne zwroty i kierunki.

 

       

  

 
 

 

  

 

 

Istnieje takie a, czyli wektory u i v mają zgodne zwroty i kierunki.  

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x)...

 

Obliczamy:

 

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy,

gdy  

Sprawdźmy, dla jakiego  tak jest.

 

 

 

 

Wówczas wielomian  ma postać:

 

Wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  

Oznacza to, że wielomian  jest podzielny przez dwumian  

Wykonajmy dzielenie  algorytmem Hornera:

         
         
         

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  

otrzymaliśmy iloraz  

Wielomian  możemy zapisać następująco:

 

{premium}

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

 

 

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  to:  


 

Obliczamy:

 

 

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy,

gdy  

Sprawdźmy, dla jakiego  tak jest.

 

 

 

 

Wówczas wielomian  ma postać:

 

Wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  

Oznacza to, że wielomian  jest podzielny przez dwumian  

Wykonajmy dzielenie  algorytmem Hornera:

          
         
         

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  

otrzymaliśmy iloraz  

Wielomian  możemy zapisać następująco:

 

Niech  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

 

 

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  to:  


 

Obliczamy:

 

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy,

gdy  

Sprawdźmy, dla jakiego  tak jest.

 

 

 

 

 

Wówczas wielomian  ma postać:

 

Wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  

Oznacza to, że wielomian  jest podzielny przez dwumian  

Wykonajmy dzielenie  algorytmem Hornera:

         
          
         

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  

otrzymaliśmy iloraz  

Wielomian  możemy zapisać następująco:

 

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

 

 

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  to:  


 

Obliczamy:

 

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy,

gdy  

Sprawdźmy, dla jakiego  tak jest.

 

 

 

 

 

Wówczas wielomian  ma postać:

 

Wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  

Oznacza to, że wielomian  jest podzielny przez dwumian  

Wykonajmy dzielenie  algorytmem Hornera:

         
         
         

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  

otrzymaliśmy iloraz  

Wielomian  możemy zapisać następująco:

 

Niech  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

 

 

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  to:  

Wyznacz punkty

 

  

 

 

  

 

Pole obszaru ograniczonego osiami układu i wykresem funkcji to {premium}pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 9 i 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole obszaru ograniczonego osiami układu i wykresem funkcji to pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 14 i 8:

 

 

 

 

 

 

 

Pole obszaru ograniczonego osiami układu i wykresem funkcji to pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2,5 i 7,5:

 

 

 

 

Nie trzeba pamiętać podanych powyżej wzorów. Wystarczy rozumieć, co oznacza punkt przecięcia z daną osią.

Zauważmy, że jeśli punkt przecina oś OX, to jego druga współrzędna jest równa 0. Możemy więc podstawić y=0 i wyliczyć x.

Zróbmy to dla kolejnych przykładów.

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jeśli punkt przecina oś OY, to jego pierwsza współrzędna jest równa 0. Możemy więc podstawić x=0 i wyliczyć y.

Zróbmy to dla kolejnych przykładów.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla jakich wartości parametru a

Liczba 5 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 5 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Musimy jeszcze sprawdzić, czy dla a=6 liczba 5 jest rzeczywiście tylko jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Liczba 5 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

 

Liczba 3 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 3 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Otrzymaliśmy dwie wartości a. Musimy sprawdzić, czy dla tych wartości liczba 3 jest rzeczywiście jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u:

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W obu przypadkach liczba 3 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

Jeśli liczba -½ ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+½)² oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia drugiego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+½)²  jest stopnia 2, a 4-2=2). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -½ jest rzeczywiście tylko dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Dla czynnika kwadratowego otrzymaliśmy inne niż -½ pierwiastki, więc możemy zapisać rozwiązanie:

 

 

 

 

Jeśli liczba -1 ma być trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+1)³ oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia pierwszego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+1)³  jest stopnia 3, a 4-3=1). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania (korzystając przy tym ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy) i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -1 jest rzeczywiście tylko trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Czwarty pierwistek wielomianu w to 2, więc liczba -1 jest trzykrotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Możemy więc zapisać odpowiedź:

 

 

 

Uzasadnij równość, jeżeli...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

Wykaż, że nie istnieje ...

 

 {premium}

 

 

 

   

 

    

Na jednej prostej zaznaczono

Najpierw obliczymy, ile jest trójkątów, których wierzchołki leżą w zaznaczonych punktach. 

Możemy wybrać 2 wierzchołki z górnej prostej i 1 wierzchołek z dolnej prostej lub wybrać 1 wierzchołek z górnej prostej oraz 2 wierzchołki z dolnej prostej. 

  

        

 

 

 

Teraz obliczymy, ile jest czworokątów, których wierzchołki leżą w zaznaczonych punktach. 

Musimy wybrać 2 wierzchołki z górnej prostej i 2 wierzcholki z dolnej prostej.