Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $$y = a_px + b_p$$, zaś okrąg: $$r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $$y$$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $$x$$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$$y = a_px + b_p$$
$$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$$
$$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$
$$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$

Wstawiając $$x_1$$ i $$x_2$$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $$y$$: $$y_1 = a_px_1 + b_p$$
$$y_2 = a_px_2 + b_p$$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $$y = -x + 1$$ z okręgiem o równaniu $$6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$$.

Podstawiając do równania okręgu $$y$$ z równania prostej otrzymujemy:

$$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$$
$$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$$
$$36 = 2x^2 + 2$$
$$17 = x^2$$
$$x_1 = √{17}$$
$$x_2 = -√{17}$$

Teraz możemy obliczyć $$y$$:
$$y_1 = -√{17} + 1$$
$$y_2 = √{17} + 1$$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $$(√{17}, -√{17} + 1)$$ oraz $$(-√{17}, √{17} + 1)$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Do banku A wpłaciliśmy 8000 złotych na lokatę

Jeśli oprocentowanie w banku B jest o 1,5 punktu procentowego wyższe niż w banku A, to w banku B zarobilibyśmy więcej o 1,5% z kwoty 8000 zł. 

 

`1,5%*8000=(1,5)/strike100^1*strike8000^80=` `1,5*80=120\ "zł"` 

Oblicz piętnasty wyraz ciągu arytmetycznego.

a) Zauważmy, że pierwszy wyraz to -4 a różnica wynosi 5.

`{(a_1 = -4),(r=5):}` 

 

`a_15 = a_1 + 14r = -4 + 14*5 = -4 + 70 = 66` 

 

`b) \ 7/3 \ , \ 5/3 \ , \ 3/3 \ , \ 1/3 \ , \ - 1/3` 

A więc:

`{(a_1 = 7/3),(r = -2/3):}` 

 

`a_15 = a_1 + 14r = 7/3 + 14*(-2/3) = 7/3 -28/3 = -21/3 = -7` 

 

`c) \ -sqrt5 \ , \ 0 \ , \ sqrt5 \ , \ 2sqrt5 \ , \ 3sqrt5` 

A więc:

`{(a_1 = -sqrt5),(r = sqrt5):}` 

 

`a_15 = a_1 + 14r = -sqrt5 + 14sqrt5 = 13sqrt5` 

Na rysunku obok przedstawiono wykresy funkcji

Liczby spełniające to równanie to pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji f i g. 

Zatem liczby spełniające to równanie to 2 i 4. 

Iloczyn 2 i 4 to 8, więc prawidłowa jest odpowiedź D. 

Okrąg F1 o równaniu ...

`F_1:x^2-4x+y^2-4y=0` 

`x^2-4x+4+y^2-4y+4=8` 

`(x-2)^2+(y-2)^2=8` 

`S_1=(2;2)` 

`r_1=sqrt8=2sqrt2`  

 

`F:x^2+2x+y^2+2y=0` 

`(x+1)^2+(y+1)^2=2` 

`S=(-1;-1)`   

`r=sqrt2` 

 

`"Przypadek I."` 

`P=(x;y)-"środek jednokładności"` 

`ul(k=r_1/r=(2sqrt2)/sqrt2=2`   

`2vec(SP)=vec(S_1P)` 

`2[x+1;y+1]=[x-2;y-2]` 

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`2x+2=x-2\ implies\ x=-4` 

`2y+2=y-2\ implies \ y=-4` 

`ul(P=(-4;-4)`       

 

`"Przypadek II."` 

`ul(k=-r_1/r=-2`  

`2vec(SP)=vec(PS_1)` 

`2[x+1;y+1]=[2-x;2-y]`  

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`2x+2=2-x\ implies\ x=0`  

`2y+2=2-y\ implies \ y=-`  

`ul(P=(0;0)`       

Wykonaj działania. Zapisz niezbędne założenia.

a) Założenia:

`a ne 0  \ , \ b geq 0`  

 

`a^(-3) *b^(2/3) * a^1 * b^(1/3) = a^(-3+1)*b^(2/3+1/3) = a^(-2)*b` 

 

b) Założenia:

`b ne 0 \ , \ x geq 0` 

 

`4x^3*b^(-4)*2/3x^(1/2)*b^3 = 8/3*x^(3+1/2)*b^(-4+3) = 8/3*x^(7/2) * b^(-1)`  

 

c) Założenia:

`a > 0` 

 

`(2^(-3)*a^(1/4))^(-2) = (2^(-3))^(-2) * a^(1/4*(-2)) =2^6 * a^(-1/2) = 64/sqrta *sqrta/sqrta = (64sqrta)/a` 

 

d) Założenia:

`x > 0`  

 

`x^(3/4) : x^(-5) = x^(3/4 -(-5)) = x^(3/4 + 20/4) = x^(23/4)`  

Wielokąty przedstawione na rysunku...

a) Wielokąty są podobne w skali:

`k=(|AE|)/(|PU|) = 5/3` 

 

A więc brakujące długości boków wynoszą:

`(|ED|)/(|UT|) = 5/3` 

`6/(|UT|) = 5/3` 

`(|UT|)/6 = 3/5` 

`|UT| = 18/5` 

 

`(|CD|)/(|ST|) = 5/3` 

`5/(|ST|) = 5/3` 

`|ST| = 3` 

 

`(|BC|)/(|RS|) = 5/3` 

`5/(|RS|) = 5/3` 

`|RS| = 3` 

 

`(|AB|)/(|PR|) = 5/3` 

`4/(|PR|) = 5/3` 

`(|PR|)/4 = 3/5` 

`|PR| = 12/5` 

 

Brakujące miary kątów:

`|/_DCB| = |/_TSR| = 234^o` 

`|/_SRP| = |/_CBA| = 66^o` 

`|/_UTS| = |/_EDC| = 20^o` 

`|/_PUT| = |/_AED| = 130^o` 

 

b) Skala podobieństwa:

`k = (|AB|)/(|PR|) = 5/3`  

 

Brakujące długości boków:

`(|DC|)/(|TS|) = 5/3` 

`2/(|TS|) = 5/3` 

`(|TS|)/2 = 3/5` 

`|TS| = 6/5` 

 

`(|AD|)/(|PT|) = 5/3` 

`(4,5)/(|PT|) = 5/3` 

`(|PT|)/(4,5) =3/5` 

`|PT| = 3/5 * 4,5` 

`|PT| = 3/5 * 9/2` 

`|PT| = 27/10` 

`|PT| = 2,7` 

 

`(|BC|)/(|RS|) = 5/3` 

`5/(|RS|) = 5/3` 

`(|RS|)/5 = 3/5` 

`|RS| = 3` 

 

Miary brakujących kątów:

`|/_DCB| = 360^o - (104^o + 63^o + 76^o) = 360^o - 243^o = 117^o` 

 

`|/_TPR| = |/_BAD| = 76^o` 

`|/_PRS| = |/_CBA| = 63^o` 

`|/_ADC| = |/_STP| = 104^o` 

`|/_RST| = |/_DCB| = 117^o` 

Wykaż, że jeśli równanie ...

`x^2+kx+4=0` 

 

`"Rownanie jest sprzeczne gdy"\ Delta<0.` 

 

`Delta=k^2-16` 

`k^2-16<0` 

`k^2<16` 

`k<4\ \ \vee\ \ \-k< 4\ implies \ k> -4`  

 

`k in (-4,4)` 

Oblicz granicę.

a)

`lim_(x->0)(sin2x)/(sinx)=lim_(x->0)(2sinxcosx)/(sinx)=lim_(x->0)(2cosx)=2*1=2` 

 

b)

`lim_(x->pi/4)(sqrt2cosx-1)/(cos2x)=lim_(x->pi/4)(sqrt2cosx-1)/(2cos^2x-1)=lim_(x->pi/4)(sqrt2(cosx-sqrt2/2))/(2(cos^2x-1/2))=` 

`=lim_(x->pi/4)(sqrt2(cosx-sqrt2/2))/(2(cosx-sqrt2/2)(cosx+sqrt2/2))=lim_(x->pi/4)(sqrt2)/(2(cosx+sqrt2/2))=` 

`=sqrt2/(2(cospi/4+sqrt2/2))=sqrt2/(2(sqrt2/2+sqrt2/2))=sqrt2/(2*sqrt2)=1/2` 

 

Zapisz zbiór rozwiązań układu nierówności...

`a) \ {(2x-5 leq 11),(1-4x<5):}` 

`{(2x leq 16),(-4x < 4):}` 

`{(x leq 8),(x > -1):}` 

`-1 < x leq 8` 

`x in (-1, 8]` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to:

`0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , . . . , \ 8`  

 

`b) \ {(6x+4 > 10),(-4+2x leq 8):}` 

`{(6x > 6),(2x leq 12):}` 

`{(x>1),(x leq 6):}` 

`1 

`x in (1, 6]` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to:

`2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \  , \ 6`  

 

`c) \ {(7x<0),(3x+7>4):}` 

`{(x<0),(3x > -3):}` 

`{(x<0),(x > -1):}` 

`-1 < x < 0` 

`x in (-1, 0)` 

Zbiór liczb całkowitych należących do tego przedziału jest pusty.

Wyznacz równania stycznych do okręgu...

`a) \ x^2+y^2+4x+2y-35=0` 

`x^2+4x+y^2+2y-35=0` 

`x^2+4x+4-4+y^2+2y+1-1-35=0` 

`(x+2)^2 +(y+1)^2 =40` 

 

Środek okręgu:

`S = (-2, -1)` 

Promień:

`r^2 = 40` 

`r = 2sqrt10`  

 

Równanie dowolnej prostej równoległej do prostej y = 3x:

`y = -1/3x + q` 

Przekształćmy na postać ogólną:

`1/3x + y - q =0` 

`x + 3y - 3q=0`   

 

Środek okręgu musi być oddalony od tej prostej o długość promienia:

`d = (|1*(-2) +3*(-1)-3q|)/sqrt(1^2+3^2)` 

`2sqrt10 = (|-2-3-3q|)/sqrt10` 

`20 = |-5-3q|` 

`20 = |5+3q|` 

Stąd:

`5+3q = 20 \ \ vv \ \ 5+3q = -20` 

`3q = 15 \ \ vv \ \ 3q = -25` 

 

A więc równania stycznych to:

`x+3y -15=0`  

lub

`x+3y+25=0` 

 

b) Dowolna prosta, do wykresu której należy punkt `A = (x_A, y_A)` , ma równanie:

`y = a(x-x_A)+y_A` 

zatem:

`y = a(x-3)-4` 

 

Postać ogólna:

`y = ax - 3a - 4` 

`-ax + y + 3a + 4 =0` 

 

Odległość środka okręgu od tej prostej ma być równa długości promienia:

`d = (|-a*3 + 1*1 + 3a+4|)/sqrt((-a)^2 + 1^2)`  

`sqrt5 = (|-3a+1+3a+4|)/sqrt(a^2+1)` 

`sqrt5 = 5/sqrt(a^2+1)` 

Podnieśmy równanie do kwadratu:

`5 = 25/(a^2+1)` 

`5(a^2+1) = 25` 

`5a^2 + 5 = 25` 

`5a^2 = 20` 

`a^2 = 4` 

`a = 2 \ \ vv \ \ a = -2` 

 

A więc równania stycznych to:

`y_1 = 2(x-3)-4 = 2x - 6 - 4 = 2x - 10` 

`y_2 = -2(x-3)-4 = -2x+6-4 = -2x+2`  

 

Wyznaczmy punkty przecięcia okręgu z tymi prostymi:

`{((x-3)^2+(y-1)^2 = 5),(y=2(x-3)-4):}` 

`(x-3)^2 + (2x-10-1)^2 = 5` 

`(x-3)^2 + (2x-11)^2 = 5` 

`x^2 -6x + 9 + 4x^2 -44x + 121 = 5` 

`5x^2 -50x +125 =0 \ \ \ |:5` 

`x^2 -10x + 25 =0` 

`(x-5)^2 =0` 

`x - 5 =0` 

`x = 5` 

stąd:

`y=0`  

Pierwszy punkt przecięcia to:

`(5, 0)` 

 

`{((x-3)^2+(y-1)^2=5),(y=-2x+2):}` 

`(x-3)^2 + (-2x+2-1)^2 = 5` 

`(x-3)^2 + (1 - 2x)^2 = 5` 

`x^2-6x+9 + 1 - 4x + 4x^2 = 5` 

`5x^2 -10x + 10 = 5` 

`5x^2-10x + 5=0 \ \ \ |:5` 

`x^2-2x+1=0` 

`(x-1)^2=0` 

`x-1 = 0` 

`x = 1` 

stąd:

`y = 0`  

Drugi punkt przecięcia to:

`(1,0)` 

 

Oba punkty leżą na prostej y = 0. Długość odcinka, którego końcami są punkty przecięcia okręgu ze stycznymi wynosi 4.

 

c) Prosta równoległa do prostej x - y + 6 =0 jest dana równaniem:

`x - y + C=0` 

 

Rysunek poglądowy:

 

Promień koła wynosi:

`r^2 = 20` 

`r = sqrt20` 

`r = 2sqrt5` 

 

Długość cięciwy oznaczymy przez l, cięciwa ma mieć długość:

`l = 6sqrt2` 

A więc połowa długości cięciwy wynosi:

`l/2 = 3sqrt2` 

 

A więc:

`|CD| = r = 2sqrt5` 

`|BD| =l/2 = 3sqrt2`

Odległość odcinka CB jest równa odległości środka okręgu od prostej zawierającej cięciwę. Z twierdzenia Pitagorasa:

`|CB|^2 + |BD|^2 = |CD|^2` 

`d^2 + 18 = 20` 

`d^2 = 2` 

`d = sqrt2` 

 

odległość środka okręgu od cięciwy policzymy ze wzoru na odległość punktu od prostej:

`d = (|1*0-1*0 + C|)/sqrt(1^2 +(-1)^2)` 

`d = (|C|)/sqrt2` 

Stąd:

`sqrt2 = (|C|)/sqrt2` 

`|C| = 2` 

`C_1 = 2 \ \ vv \ \ C_2 = -2` 

A więc możliwe równania prostych to:

`x-y+2 =0` 

lub

`x-y -2=0`