Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $y = a_px + b_p$, zaś okrąg: $r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $y$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $x$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$y = a_px + b_p$
$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$
$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$
$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$

Wstawiając $x_1$ i $x_2$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $y$: $y_1 = a_px_1 + b_p$
$y_2 = a_px_2 + b_p$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $y = -x + 1$ z okręgiem o równaniu $6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$.

Podstawiając do równania okręgu $y$ z równania prostej otrzymujemy:

$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$
$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$
$36 = 2x^2 + 2$
$17 = x^2$
$x_1 = √{17}$
$x_2 = -√{17}$

Teraz możemy obliczyć $y$:
$y_1 = -√{17} + 1$
$y_2 = √{17} + 1$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $(√{17}, -√{17} + 1)$ oraz $(-√{17}, √{17} + 1)$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

Wyznacz współrzędne ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

  

  

 

  

 

 

 

 

  

    

  

 

   

Z urny, w której jest dwa razy więcej

 

Opiszmy zdarzenie na drzewku. Na gałęziach drzewka zapisano odpowiednie prawdopodobieństwa

 

 

Zaznaczono gałęzie, które opisują zdarzenie A. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powierzchnia zadrukowanej części kartki...

 

Wymiary kartki to:

 

 

Pole zadrukowanej części wynosi 192 cm2 a więc:

 

 

 

Czyli funkcja opisująca pole kartki jest równa:

Obliczmy pochodną

 

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jest to minimum gdyż:

 

czyli

 

Zatem wymiary kartki wynoszą:

 

 

Oblicz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym...

 

 

 

Chcemy pokazać, że  

 

 

 

 

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.

  

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru...

Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

Jeżeli równanie ma mieć dwa różne rozwiązania to wyróżnik funkcji musi być dodatni.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podglad pliku

 

 

Zauważmy, że jeżeli x = 2m, to równanie po lewej stronie jest równe 0 a liczba 2m będzie pierwiastkiem. Łatwo wtedy zauważyć, że nie będziemy mieli wtedy kolejnych rozwiązań.

Podstawmy pod równanie kwadratowe x = 2m, jeżeli wyliczone wartości parametru m będą należeć do rozwiązania równania to musimy je odrzucić z rozwiązania gdyż wtedy mamy tylko jedno rozwiązanie.

 

 

 

 

 

 

 

Zatem odrzucamy liczbę  

 

Zatem uwzględniając powyższe założenie otrzymujemy, że:

 

Przedstaw liczbę w postaci...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

a)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:{premium}

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


b)

 

Przesuwając o wektor  

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


c)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  

Wyznacz współrzędna wierzchołków trójkąta...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

   

 

Z pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego i czwartego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

Z trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek pomocniczy:

Thumb 48 285

Łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny.

 

 

 

 

 

 

 

Równanie okręgu: