Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $$y = a_px + b_p$$, zaś okrąg: $$r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $$y$$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $$x$$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$$y = a_px + b_p$$
$$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$$
$$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$
$$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$

Wstawiając $$x_1$$ i $$x_2$$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $$y$$: $$y_1 = a_px_1 + b_p$$
$$y_2 = a_px_2 + b_p$$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $$y = -x + 1$$ z okręgiem o równaniu $$6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$$.

Podstawiając do równania okręgu $$y$$ z równania prostej otrzymujemy:

$$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$$
$$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$$
$$36 = 2x^2 + 2$$
$$17 = x^2$$
$$x_1 = √{17}$$
$$x_2 = -√{17}$$

Teraz możemy obliczyć $$y$$:
$$y_1 = -√{17} + 1$$
$$y_2 = √{17} + 1$$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $$(√{17}, -√{17} + 1)$$ oraz $$(-√{17}, √{17} + 1)$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj kąt nachylenia wykresu funkcji liniowej

`a)\ tgalpha=1\ \ \ =>\ \ \ alpha=45^o`

`b)\ tgalpha=-sqrt3=-tg60^o\ \ #=^(II\ "ćwiartka")\ \ tg(180^o-60^o)=tg120^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=120^o`

`c)\ tgalpha=-sqrt3/3=-tg30^o\ \ #=^("II ćwiartka")\ \ tg(180^o-30^o)=tg150^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=150^o`

Trzy liczby tworzą ciąg ...

`x,y,z-"ciąg arytmetyczny"` 

 

`{(x+y+z=18),(x^2+z^2=104):}`  

`{(3x +3r=18),(x^2+(x+2r)^2=104):}` 

`{( x + r=6),(x^2+(x+2r)^2=104):}` 

`x=6-r` 

`x^2+(x+2r)^2=(6-r)^2+(6+r)^2=104` 

`36-12r+r^2+36+12r+r^2=104` 

`2r^2=32` 

`r^2=16` 

`r=4\ \ \vv\ \ \r=-4` 

 

`"I". \ r=4` 

`x=6-r=2` 

`y=x+r=6` 

`z=x+2r=10` 

 

`"II".\ r=-4` 

`x=6-r=10` 

`y=x+r=6` 

`z=x+2r=2` 

 

`{(x=2),(y=6),(z=10):}\ \ \"lub"\ \ \{(x=10),(y=6),(z=2):}`   

W jednym układzie współrzędnych...

a)

Przekształcenie względem osi OX.


b)

Przekształcenie względem osi OX.


c)

Przekształcenie względem osi OX.

Wykres funkcji f(x)...

Zauważmy, że:

`f(x) = g(x-3)+1 = (2/3)^(x-3)+1` 

Zatem wykres funkcji g przesunięto o wektor [3,1] a więc o 3 jednostki w prawo i jedną jednostkę w górę.

Odpowiedź C

Pierwsze trzy znaki kodu to litery

`a)` 

`#underbrace(ul(\ \ \ \ \ )\ ul(\ \ \ \ \ ) \ ul(\ \ \ \ \ ))_("litery")\ #underbrace(ul(\ \ \ \ \ )\ ul(\ \ \ \ \ )\ ul(\ \ \ \ \ ) \ ul(\ \ \ \ \ ))_("cyfry")` 

Na pierwszym, drugim, trzecim miejscu możemy postawić jedną z trzech liter.

Na pozostałych czterech miejscach możemy postawić jedną z czterech cyfr.

Zgodnie z regułą mnożenia liczba takich kodów jest równa:

`3*3*3*4*4*4*4=6912` 

 

 

`b)` 

Na pierwszym, drugim, trzecim, czwartym miejscu możemy postawić jedną z czterech liter.

Na pozostałych pięciu miejscach możemy postawić jedną z pięciu cyfr.

Zgodnie z regułą mnożenia liczba takich kodów jest równa: 

`4*4*4*4*5*5*5*5*5=800\ 000` 

 

Wykaż, że przekątne równoległoboku...

Pole trójkąta o bokach oraz kącie α zawartym pomiędzy nimi jest dane wzorem:

`P= 1/2 *a *b * sin alpha`

Trójkąty ABE i CED mają równe pola, również trójkąty ADE i BCE mają równe pola więc musimy tylko pokazać, że:

`P_(ABE) = P_(BCE)`

`P_(ABE) = 1/2 * a * b * sin(180- alpha) stackrel("*")(=) 1/2 a b sin alpha = P_(BCE)`   

Przejście oznaczone gwiazdką:

`sin(180^o - alpha) = sin alpha` 

 

 

b) Z podpunktu a) wiemy, że przekątne dzielą równoległobok na cztery trójkąty o takich samych polach. Zatem pole równoległoboku jest równe czterokrotności pola jednego takiego trójkąta:

`P= 4P_(tr) = 4* 1/2 * p/2 * q/2 * sin alpha = 4/8 pq sin alpha = 1/2 p q sin alpha` 

 

`c) = 1/2 * 10 * 14 * sin30^o = 70 * 1/2 = 35 \ [cm^2]` 

 

d) Skoro przekątne tworzą z jednym bokiem kąty o mierze 12° i 33° to znaczy, że kąt pomiędzy przekątnymi ma miarę 135°, zatem pole wynosi: 

`P= 1/2 *6 * 10 * sin 135^o = 30 * sin (180^o - 45^o ) = 30 * sin 45^o = 30 * sqrt2/2 = 15sqrt2 \ [cm^2]` 

 

 

Rozwiąż równanie.

`a)` 

`4x^2-5x=0` 

`x(4x-5)=0`  

`x=0\ \ \vee\ \ \ 4x-5=0\ implies\ x=5/4` 

 

`x in {0;5/4}` 

 

`b)` 

`x^2 /2=7x` 

`x^2=14x` 

`x^2-14x=0` 

`x(x-14)=0` 

`x=0\ \ \vee \ \ \x-14=0 \ implies\ x=14` 

`x in {0;14} ` 

 

`c)` 

`x=sqrt(2)x^2` 

`sqrt(2)x^2-x=0` 

`x(sqrt(2)x-1)=0`  

`x=0 \ \ \vee \ \ \sqrt(2)x-1=0 \ implies \ x=1/sqrt(2)`   

`x in {0;1/sqrt(2)} ` 

 

`d)` 

`25x^2-1=0` 

`(5x-1)(5x+1)=0` 

`5x-1=0\ \ \vee \ \ \5x+1=0` 

`x=1/5\ \ \vee\ \ \x=-1/5` 

`x in {-1/5,1/5}` 

 

`e)` 

`9-36x^2=0` 

`(3-6x)(3+6x)=0` 

`3-6x=0\ \ \vee\ \ \3+6x=0` 

`x=1/2\ \ \vee \ \ \x=-1/2` 

 

`x in {-1/2;1/2} ` 

 

`f)` 

`(1-x^2)/2=(x^2-1)/3\ \ |*2*3` 

`3(1-x^2)=2(x^2-1)`

`3-3x^2=2x^2-2`

`5x^2=5`  

`x^2=1`  

`x=1\ \ \vee\ \ \x=-1`

`x in {-1;1}`         

 

`g)` 

`x^2-4x+9=-4x` 

`x^2+9=0` 

 

`x^2=-9` 

`"Brak rozwiązań."` 

 

`h)` 

`x(x+2)=-1` 

`x^2+2x+1=0` 

`(x+1)^2=0` 

`(x+1)(x+1)=0` 

`x+1=0` 

`x=-1`  

`x in {-1}` 

 

`i)` 

`x(x-8)=4(x-9)`

`x(x-8)-4(x-9)=0`

`x^2-8x-4x+36=0`

`x^2-12x+36=0`  

`(x-6)^2=0`  

`(x-6)(x-6)=0`

`x-6=0` 

 

`x=6` 

`x in {6}` 

W pewnej szkole są trzy klasy...

Pierwsza klasa liczy 21 uczniów, średni wzrost 172 cm.

Druga klasa liczy 23 uczniów, średni wzrost 174 cm.

Trzecia klasa liczy 23 uczniów, średni wzrost 170 cm.

Ilość wszystkich klas: 3

Liczymy średnią arytmetyczną trzech liczb.

 

`(172+174+170)/3=516/3=172` 

 

Odp. Średni wzrost wszystkich uczniów to 172 cm.

W trójkącie ABC dana jest środkowa...

Rysunek poglądowy:

Skoro punkt E to połowa odcinka AC i punkt F to połowa odcinka BC to:

`|EF|=1/2 |AB|` 

Odcinki EF i AB są równoległe. Zwróćmy uwagę na kąty w trójkątach DEF i BDF, poniższe kąty są naprzemianległe a więc są równe:

`/_BDF= /_EFD` 

`/_FBD=/_DEF` 

Trójkąt DEF jest równoramienny zatem:

`/_DEF=/_EFD` 

Stąd otrzymujemy, że:

`/_BDF = /_FBD` 

A więc trójkąt BDF jest równoramienny.

 

Analogicznie można wykazać, że trójkąt ADE jest równoramienny gdyż następujące kąty są naprzemianległe a więc są równe:

`/_EDA=/_DEF` 

`/_DAE=/_EFD` 

Stąd

`/_DAE=/_EDA` 

 

A więc:

`/_BAC=/_CBA` 

a więc trójkąt ABC jest równoramienny.

Znajdź taką liczbę dwucyfrową, żeby suma jej cyfr wynosiła 11

Niech szukana liczba będzie postaci ab, gdzie a i b to cyfry (0, 1, ..., 8, 9), oczywiście a nie może być równe 0. 

Wartość liczby ab to 10a+b (np. 23=2∙10+3)

 

Liczba powstała po przestawieniu cyfr to ba, jej wartość to 10b+a.

 

Zapiszmy informacje podane w treści zadania: 

`{(a+b=11), (10b+a>33 1/3%(10a+b)):}`

 

Zamieńmy procent na ułamek:

`33 1/3%=(100/3)%=100/3*1/100=1/3`

 

`{(a+b=11\ \ |-b), (10b+a>1/3(10a+b)\ \ \ |*3):}`

`{(a=11-b), (30b+3a>10a+b\ \ \ |-3a-b):}`

`{(a=11-b), (29b>7a):}`

`{(a=11-b), (29b>7(11-b)):}`

`{(a=11-b), (29b>77-7b\ \ \ |+7b):}`

`{(a=11-b), (36b>77\ \ \ |:36):}`

`{(a=11-b), (b>2.13(8)):}`

 

b jest cyfrą, mamy więc następujące możliwości: 

`{(b=3), (a=11-3=8):}\ \ vee\ \ {(b=4), (a=7):}\ \ vee\ \ {(b=5), (a=6):}\ \ vee\ \ {(b=6), (a=5):}\ \ vee\ \ {(b=7), (a=4):}\ \ vee\ \ {(b=8), (a=3):}\ \ vee\ \ {(b=9), (a=2):}`