Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $$y = a_px + b_p$$, zaś okrąg: $$r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $$y$$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $$x$$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$$y = a_px + b_p$$
$$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$$
$$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$
$$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$

Wstawiając $$x_1$$ i $$x_2$$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $$y$$: $$y_1 = a_px_1 + b_p$$
$$y_2 = a_px_2 + b_p$$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $$y = -x + 1$$ z okręgiem o równaniu $$6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$$.

Podstawiając do równania okręgu $$y$$ z równania prostej otrzymujemy:

$$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$$
$$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$$
$$36 = 2x^2 + 2$$
$$17 = x^2$$
$$x_1 = √{17}$$
$$x_2 = -√{17}$$

Teraz możemy obliczyć $$y$$:
$$y_1 = -√{17} + 1$$
$$y_2 = √{17} + 1$$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $$(√{17}, -√{17} + 1)$$ oraz $$(-√{17}, √{17} + 1)$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz granicę.

a)

`lim_(x->oo)(sqrt(x^2+2)-x)=lim_(x->oo)(sqrt(x^2+2)-x)*(sqrt(x^2+2)+x)/(sqrt(x^2+2)+x)=` 

`=lim_(x->oo)(x^2+2-x^2)/(sqrt(x^2+2)+x)=lim_(x->oo)2/(sqrt(x^2(1+2/x^2))+x)=` 

`=lim_(x->oo)2/(xsqrt(1+2/x^2)+x)=lim_(x->oo)(2)/(x(sqrt(1+2/x^2)+1))=` 

`=lim_(x->oo)2/(x(1+1))=lim_(x->oo)2/(2x)=lim_(x->oo)1/x=0` 


b)

`lim_(x->oo)(x-sqrt(x^2+4))=lim_(x->oo)(x-sqrt(x^2+4))*(x+sqrt(x^2+4))/(x+sqrt(x^2+4))=` 

`=lim_(x->oo)(x^2-(x^2+4))/(x+sqrt(x^2+4))=lim_(x->oo)(x^2-x^2-4)/(x+sqrt(x^2(1+4/x^2)))=` 

`=lim_(x->oo)(-4)/(x+xsqrt(1+4/x^2))=lim_(x->oo)(-4)/(x(1+sqrt(1+4/x^2)))=` 

`=lim_(x->oo)(-4)/(x(1+1))=lim_(x->oo)(-4)/(2x)=lim_(x->oo)(-2)/x=0` 


c)

`lim_(x->oo)(sqrt(x+7)-sqrtx)=lim_(x->oo)(sqrt(x+7)-sqrtx)*(sqrt(x+7)+sqrtx)/(sqrt(x+7)+sqrtx)=` 

`=lim_(x->oo)(x+7-x)/(sqrt(x+7)+sqrtx)=lim_(x->oo)(7)/(sqrt(x+7)+sqrtx)=` 

`=lim_(x->oo)7/(sqrt(x(1+7/x))+sqrtx)=lim_(x->oo)7/(sqrtx(sqrt(1+7/x)+1))` 

`=lim_(x->oo)7/(sqrtx(1+1))=lim_(x->oo)7/(2sqrtx)=0` 


d)

`lim_(x->oo)3/(sqrtx-sqrt(x-4))=lim_(x->oo)3/(sqrtx-sqrt(x-4))*(sqrtx+sqrt(x-4))/(sqrtx+sqrt(x-4))=` 

`=lim_(x->oo)(3(sqrtx+sqrt(x-4)))/(x-(x-4))=lim_(x->oo)(3(sqrtx+sqrt(x-4)))/(x-x+4)=` 

`=lim_(x->oo)(3(sqrtx+sqrt(x-4)))/(4)=lim_(x->oo)(3(sqrtx+sqrtx(1-4/x)))/4=` 

`=lim_(x->oo)(3sqrtx(1+1-4/x))/4=lim_(x->oo)(6sqrtx)/4=+oo` 


e)

`lim_(x->oo)(sqrt(x^2+3)+x)=lim_(x->oo)(sqrt(x^2+3)+x)*(sqrt(x^2+3)-x)/(sqrt(x^2+3)-x)=` 

`=lim_(x->oo)(x^2+3-x^2)/(sqrt(x^2+3)-x)=lim_(x->oo)3/(sqrt(x^2+3)-x)=` 

`=lim_(x->oo)3/(sqrt(x^2(1+3/x^2))-x)=lim_(x->oo)3/(xsqrt(1+3/x^2)-x)=` 

`=lim_(x->oo)3/(x(sqrt(1+3/x^2)-1))=lim_(x->oo)3/(x*0)=0` 


f)

`lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+5x)+x)=lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+5x)+x)*(sqrt(x^2+5x)-x)/(sqrt(x^2+5x)-x)=` 

`=lim_(x->-oo)(x^2+5x-x^2)/(sqrt(x^2+5x)-x)=lim_(x->-oo)(5x)/(sqrt(x^2+5x)-x)=` 

`=lim_(x->-oo)(5x)/(sqrt(x^2(1+5/x))-x)=lim_(x->-oo)(5x)/(-xsqrt(1+5/x)-x)=` 

`=lim_(x->-oo)(5x)/(-x(sqrt(1+5/x)+1))=lim_(x->-oo)(5)/(-sqrt(1+5/x)+1)=5/(-2)=-5/2` 


g)

`lim_(x->-oo)4/(x+sqrt(x^2-4x))=lim_(x->-oo)=4/(x+sqrt(x^2-4x))*(x-sqrt(x^2-4x))/(x-sqrt(x^2-4x))=` 

`=lim_(x->-oo)(4(x-sqrt(x^2-4x)))/(x^2-(x^2-4x))=lim_(x->-oo)(4(x-sqrt(x^2-4x)))/(4x)=` 

`=lim_(x->-oo)(x-sqrt(x^2-4x))/x=lim_(x->-oo)(x-sqrt(x^2(1-4/x)))/x=` 

`=lim_(x->-oo)(x+xsqrt(1-4/x))/x=lim_(x->-oo)(2x)/x=2` 


h)

`lim_(x->oo)x/root(3)(x)=lim_(x->oo)x/root(3)(x)*((root(3)(x))^2)/(root(3)(x))^2=lim_(x->oo)(x(root(3)(x))^2)/x=lim_(x->oo)(root(3)(x))^2=+oo` 


i)

`lim_(x->oo)(sqrtx)/(xroot(3)(x))=lim_(x->oo)(sqrtx)/(xroot(3)(x))*((root(3)(x))^2)/(root(3)(x))^2==lim_(x->oo)(x)/(x*x)=lim_(x->oo)1/x=0` 

 

Okrąg o środku w punkcie ...

`O=(-1;2)` 

`r=sqrt10` 

`(x+1)^2+(y-2)^2=10` 

Rozważmy podpunkt B:

`A=(-2;-5)` 

`B=(2;2)` 

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej odcinek AB.

`y=ax+b` 

`-5=-2a+b\ iff\ 5= 2a-b` 

`2=2a+b` 

Dodajmy równania stronami:

`7=4a\ implies \ a=7/4` 

`b=2-2a=2-7/2=-3/2` 

`y=7/4x-3/2` 

Rozważmy układ równań:

`{(y=7/4x-3/2),((x+1)^2+(y-2)^2=10):}` 

`(x+1)^2+(7/4x-3/2-2)^2=10` 

`x^2+2x+2+49/16x^2-2*7/4*7/4x+49/16=10` 

`65/16x^2+66/16x-79/16=0`     

`65x^2+66x-79=0` 

`Delta=4356+4*65*79>0` 

Czyli równanie ma dwa rozwiązania, a co za tym idzie, prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.

`"Odpowiedź B."`  

Lewa strona równania ...

`a)` 

`a_1=3` 

` ` `S_n=48` 

`r=a_2-a_1=5-3=2` 

`S_n=(2a_1+r(n-1))/2*n=48`  

`(6+2n-2)n=96` 

`2n^2+4n=96` 

`n^2+2n-48=0` 

`Delta=4+4*48=196` 

`sqrt(Delta)=14` 

 

`n_1=(-2+14)/2=6` 

`n_2=(-2-14)/2=-8 !in NN`  

 

`S_n=(a_1+x)/2*n=48`  

`(a_1+x)/2*n=48` 

`3+x=(48*2)/6` 

`x=16-3=ul13` 

 

`b)` 

`S_n=(2*a_1+r(n-1))/2*n` 

`a_1=8` 

`r=a_2-a_1=-2` 

 

`S_n=(2*8-2(n-1))/2*n=-220` 

`(16-2n+2)n=-220*2` 

` ` `-2n^2+18n+440=0` 

`-n^2+9n+220=0` 

 

`Delta=81+4*220=961` 

`sqrt(Delta)=31` 

 

`n_1=(-9-31)/(-2)=20` 

`n_2=(-9+31)/(-2)=-11!in NN` 

 

`S_n=(a_1+x)/2*20=-220` 

`a_1+x=-22 `  

`x=-22-8=ul(-30)` 

 

`c)` 

`a_1=2` 

`r=a_2-a_1=7-2=5` 

 

`S_n=(2*a_1+r(n-1))/2*n=156` 

 

`(4+5n-5)n=312` 

`5n^2-n-312=0` 

`Delta=1+6240=6240` 

`sqrt(Delta)=79` 

 

`n_1=(1-79)/10=-7,8 !in NN` 

`n_2=(1+79)/10=8` 

 

`S_n=(2+x)/2*8=156` 

`2+x=312/8=39` 

`x=ul(37)` 

 

`d)` 

`a_1=-7` 

`r=a_2-a_1=-3+7=4` 

`S_n=(2*a_1+r(n-1))/2*n=110` 

`S_n=(-14+4n-4)/2*n=110` 

`4n^2-18n-220=0` 

`Delta=324+3520=3844` 

`sqrt(Delta)=62` 

 

`n_1=(18+62)/8=10` 

`n_2=(18-62)/8=-44/8 !in NN` 

 

`S_n=(a_1+x)/2*n=110` 

`-7+x=220/10` 

 

`x=ul29` 

Czy kolejne kąty czworokąta wpisanego...

Wiemy, że jeśli czworokąt można wpisać w okrąg, to sumy przeciwległych kątów czworokąta są równe i wynoszą po `180^@.` 

W kolejnych podpunktach sprawdzimy, czy tak jest.

`"a)"\ 72^@+108^@=180^@` 

Odp. Tak.

{premium}

 

`"b)"\ 46^@+134^@=180^@` 

`15^@+165^@=180^@` 

Odp. Tak.

 

`"c)"\ 58^@+123^@=181^@` 

Odp. Nie.

Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe...

Niech `f(x)=ax^2+bx+c.`  

 

`x_1x_2=-12` 

`c/a=-12\ "/"*a` 

`c=-12a` 

{premium}

 

Odcięta wierzchołka paraboli to  `1/2,` stąd:

`-b/(2a)=1/2\ "/"*(-2a)` 

`b=-a` 

 

Wstawiamy tak wyznaczone współczynniki `b,\ c` do wzoru funkcji `f:` 

`f(x)=ax^2-ax-12a` 

 

Wiemy, że `f(1/2)=3 1/16,` stąd:

`1/4a-1/2a-12a=49/16\ "/"*4` 

`a-2a-48a=49/4` 

`-49a=49/4\ "/":(-49)` 

`a=-1/4` 

 

Podstawiamy wyznaczoną wartość `a` do wzoru funkcji `f:` 

`f(x)=-1/4x^2+1/4x+3-` wzór funkcji `f` w postaci ogólnej

Oblicz wartości pozostałych...

`cos alpha=-3/8` 

 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`sin^2alpha+(-3/8)^2=1` 

`sin^2alpha+9/64=1 \ \ \ |-9/64` 

`sin^2alpha=55/64` 

Skoro `alpha` lezy w drugiej ćwiartce, to `sin alpha` ma znak dodatni.

`sin alpha=sqrt55/8` 

 

`tg alpha=(sinalpha)/(cosalpha)=(sqrt55/8)/(-3/8)=sqrt55/-3=-sqrt55/3` 

Narysuj w układzie współrzędnych kąt ...

`a)`  

`P(1,4)` 

`x=1` 

`y=4` 

`r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt17` 

`sin alpha=y/r=4/sqrt17=(4sqrt17)/17` 

`cos alpha=x/r=1/sqrt17=sqrt17/17` 

`tg \ alpha=sin alpha/cos alpha=((4sqrt17)/17)/(sqrt17/17)=4` 

 

`b)` 

`P(-1,4)` 

`x=-1` 

`y=4` 

`r=sqrt(16+1)=sqrt17` 

 

`sinalpha=y/r=4/sqrt17=(4sqrt17)/17`  

`cos alpha=x/r=-1/sqrt17=-sqrt17/17` 

`tg\ alpha= ((4sqrt17)/17)/(-sqrt17/17)=-4` 

 

`c)` 

`P(-3,2)` 

`x=-3` 

`y=2` 

`r=sqrt(9+4)=sqrt13` 

 

`sin alpha=y/r=2/sqrt13=(2sqrt13)/13` 

`cos alpha=x/r=(-3)/sqrt13=(-3sqrt13)/13` 

`tg\ alpha=((2sqrt13)/13)/((-3sqrt13)/13)=-2/3` 

 

`d)` 

`P(-2,3)` 

`x=-2` 

`y=3` 

`r=sqrt(4+9)=sqrt13` 

 

`sin alpha=y/r=3/sqrt13=(3sqrt13)/13` 

`cos alpha=x/r=(-2)/sqrt13=(-2sqrt13)/13` 

`tg \ alpha=((3sqrt13)/13)/((-2sqrt13)/13)=-3/2`     

Uzasadnij, że podana ...

`a)` 

`5/|x-3|+2<=3/|x-3|+1` 

`D=RR\\{3}` 

 

`5/|x-3|-3/|x-3|+2<=1` 

`2/|x-3|<=-1` 

Sprzeczność, ponieważ lewa strona nierówności jest zawsze dodatnia.

 

`b)` 

`|x+3|/|x^2+x-6|<=0` 

`D:` 

`x^2+x-6ne0` 

`Delta=1+24=25` 

`sqrtDelta=5` 

`x_1=(-1-5)/2=-3` 

`x_2=(-1+5)/2=2` 

`D=RR\\{-3;2}` 

 

Zauważmy, że licznik |x+3| jest zawsze dodatni dla x z dziedziny, zatem całe wyrażenie

znajdujące się po lewej stronie nierówności jest silnie większe od zera. Sprzeczność.

 

`c)` 

`3/(2+|x|)>=2` 

`3>=2(2+|x|)` 

`2|x|<=-1` 

`|x|<=-1/2` 

Sprzeczność, ponieważ wartość bezwzględna dowolnego wyrażenia jest nieujemna.                 

Figura F₂ jest obrazem figury F₁ w pewnej

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym...

`r=(2P)/(a+b+c)=(2*1/2*a*b)/(a+b+c)=(ab)/(a+b+c)` 

`R=1/2c` 

 

Chcemy pokazać, że `a+b=2*(ab)/(a+b+c)+2*1/2c` 

`a+b=(2ab)/(a+b+c)+c \ \ \ \|*(a+b+c)` 

`(a+b)(a+b+c)=2ab+c(a+b+c)` 

`a^2+ab+ac+ab+b^2+bc=2ab+ac+bc+c^2 \ \ \ |-2ab-ac-bc` 

`a^2+b^2=c^2` 

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.