Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $y = a_px + b_p$, zaś okrąg: $r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $y$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $x$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$y = a_px + b_p$
$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$
$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$
$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$

Wstawiając $x_1$ i $x_2$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $y$: $y_1 = a_px_1 + b_p$
$y_2 = a_px_2 + b_p$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $y = -x + 1$ z okręgiem o równaniu $6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$.

Podstawiając do równania okręgu $y$ z równania prostej otrzymujemy:

$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$
$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$
$36 = 2x^2 + 2$
$17 = x^2$
$x_1 = √{17}$
$x_2 = -√{17}$

Teraz możemy obliczyć $y$:
$y_1 = -√{17} + 1$
$y_2 = √{17} + 1$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $(√{17}, -√{17} + 1)$ oraz $(-√{17}, √{17} + 1)$.

Spis treści

Rozwiązane zadania

Dane są wielomiany W i P.

Powołamy się na odpowiednie twierdzenie:

Jeżeli W i Q są niezerowymi wielomianami, to stopień wielomianu{premium} będącego iloczynem W٠Q jest sumą stopni wielomianów W i Q.

Mamy:

Zdanie A jest prawdziwe.

Po wykonaniu odejmowania W(x)-P(x) otrzymamy wielomian stopnia 7, bo wyraz 3x⁷ się nie zredukuje.

Zdanie B jest prawdziwe.

Wyraz wolny wielomianu W(x)٠P(x) jest iloczynem wyrazów wolnych każdego z tych wielomianów:

Zdanie C jest prawdziwe.

Wyznacz pochodną funkcji f...

{premium}

Rozwiąż równanie ...

{premium}

Długość boku trójkąta i wysokość opuszczona ...

{premium}

Dany jest ciąg ...

{premium}

O pewnym ciągu geometrycznym...

Skorzystajmy z definicji sumy k początkowych wyrazów:{premium}

Sprawdźmy, czy zdanie II jest prawdziwe, czyli czy spełniony jest warunek:

Sprzeczność

I - FAŁSZ

II - FAŁSZ

III - PRAWDA

IV - PRAWDA

Punkty A i B należą do wykresu funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma wzór y=ax+b.

Podstawiamy pierwsze współrzędne punktów w miejsce x oraz drugie współrzędne punktów w miejsce y.

{premium}

Punkty A, B, C nie są współliniowe

{premium}

Z nierówności trójkąta dla trójkąta ABC możemy zapisać:

Ale zauważmy, że:

Teraz przypuśćmy, że teza nie jest prawdziwa, jeśli dojdziemy przez to do sprzeczności, to będzie oznaczało, że zakończyliśmy dowód i ze nierówność z tezy zachodzi (ponieważ przyjęcie tezy przeciwnej zaprowadzi do sprzeczności)

Zatem przypuśćmy, że:

Teraz wykorzystamy gwiazdkę:

Ten warunek jest sprzeczny z nierównością trójkąta - w trójkącie PBC długość boku PC musi być mniejsza niż suma długości boków PB i BC.

Jeśli stożek i walec mają równe pola powierzchni...

Z pierwszej równości otrzymujemy:

{premium}

Z trzeciej równości otrzymujemy: