Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $$y = a_px + b_p$$, zaś okrąg: $$r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $$y$$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $$x$$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$$y = a_px + b_p$$
$$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$$
$$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$
$$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$$

Wstawiając $$x_1$$ i $$x_2$$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $$y$$: $$y_1 = a_px_1 + b_p$$
$$y_2 = a_px_2 + b_p$$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $$y = -x + 1$$ z okręgiem o równaniu $$6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$$.

Podstawiając do równania okręgu $$y$$ z równania prostej otrzymujemy:

$$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$$
$$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$$
$$36 = 2x^2 + 2$$
$$17 = x^2$$
$$x_1 = √{17}$$
$$x_2 = -√{17}$$

Teraz możemy obliczyć $$y$$:
$$y_1 = -√{17} + 1$$
$$y_2 = √{17} + 1$$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $$(√{17}, -√{17} + 1)$$ oraz $$(-√{17}, √{17} + 1)$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania

Oblicz granicę.

`lim_(x->oo)(sqrt(x^2+2)-x)=lim_(x->oo)(sqrt(x^2+2)-x)*(sqrt(x^2+2)+x)/(sqrt(x^2+2)+x)=`

`=lim_(x->oo)(x^2+2-x^2)/(sqrt(x^2+2)+x)=lim_(x->oo)2/(sqrt(x^2(1+2/x^2))+x)=`

`=lim_(x->oo)2/(xsqrt(1+2/x^2)+x)=lim_(x->oo)(2)/(x(sqrt(1+2/x^2)+1))=`

`=lim_(x->oo)2/(x(1+1))=lim_(x->oo)2/(2x)=lim_(x->oo)1/x=0`

`lim_(x->oo)(x-sqrt(x^2+4))=lim_(x->oo)(x-sqrt(x^2+4))*(x+sqrt(x^2+4))/(x+sqrt(x^2+4))=`

`=lim_(x->oo)(x^2-(x^2+4))/(x+sqrt(x^2+4))=lim_(x->oo)(x^2-x^2-4)/(x+sqrt(x^2(1+4/x^2)))=`

`=lim_(x->oo)(-4)/(x+xsqrt(1+4/x^2))=lim_(x->oo)(-4)/(x(1+sqrt(1+4/x^2)))=`

`=lim_(x->oo)(-4)/(x(1+1))=lim_(x->oo)(-4)/(2x)=lim_(x->oo)(-2)/x=0`

`lim_(x->oo)(sqrt(x+7)-sqrtx)=lim_(x->oo)(sqrt(x+7)-sqrtx)*(sqrt(x+7)+sqrtx)/(sqrt(x+7)+sqrtx)=`

`=lim_(x->oo)(x+7-x)/(sqrt(x+7)+sqrtx)=lim_(x->oo)(7)/(sqrt(x+7)+sqrtx)=`

`=lim_(x->oo)7/(sqrt(x(1+7/x))+sqrtx)=lim_(x->oo)7/(sqrtx(sqrt(1+7/x)+1))`

`=lim_(x->oo)7/(sqrtx(1+1))=lim_(x->oo)7/(2sqrtx)=0`

`lim_(x->oo)3/(sqrtx-sqrt(x-4))=lim_(x->oo)3/(sqrtx-sqrt(x-4))*(sqrtx+sqrt(x-4))/(sqrtx+sqrt(x-4))=`

`=lim_(x->oo)(3(sqrtx+sqrt(x-4)))/(x-(x-4))=lim_(x->oo)(3(sqrtx+sqrt(x-4)))/(x-x+4)=`

`=lim_(x->oo)(3(sqrtx+sqrt(x-4)))/(4)=lim_(x->oo)(3(sqrtx+sqrtx(1-4/x)))/4=`

`=lim_(x->oo)(3sqrtx(1+1-4/x))/4=lim_(x->oo)(6sqrtx)/4=+oo`

`lim_(x->oo)(sqrt(x^2+3)+x)=lim_(x->oo)(sqrt(x^2+3)+x)*(sqrt(x^2+3)-x)/(sqrt(x^2+3)-x)=`

`=lim_(x->oo)(x^2+3-x^2)/(sqrt(x^2+3)-x)=lim_(x->oo)3/(sqrt(x^2+3)-x)=`

`=lim_(x->oo)3/(sqrt(x^2(1+3/x^2))-x)=lim_(x->oo)3/(xsqrt(1+3/x^2)-x)=`

`=lim_(x->oo)3/(x(sqrt(1+3/x^2)-1))=lim_(x->oo)3/(x*0)=0`

`lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+5x)+x)=lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+5x)+x)*(sqrt(x^2+5x)-x)/(sqrt(x^2+5x)-x)=`

`=lim_(x->-oo)(x^2+5x-x^2)/(sqrt(x^2+5x)-x)=lim_(x->-oo)(5x)/(sqrt(x^2+5x)-x)=`

`=lim_(x->-oo)(5x)/(sqrt(x^2(1+5/x))-x)=lim_(x->-oo)(5x)/(-xsqrt(1+5/x)-x)=`

`=lim_(x->-oo)(5x)/(-x(sqrt(1+5/x)+1))=lim_(x->-oo)(5)/(-sqrt(1+5/x)+1)=5/(-2)=-5/2`

`lim_(x->-oo)4/(x+sqrt(x^2-4x))=lim_(x->-oo)=4/(x+sqrt(x^2-4x))*(x-sqrt(x^2-4x))/(x-sqrt(x^2-4x))=`

`=lim_(x->-oo)(4(x-sqrt(x^2-4x)))/(x^2-(x^2-4x))=lim_(x->-oo)(4(x-sqrt(x^2-4x)))/(4x)=`

`=lim_(x->-oo)(x-sqrt(x^2-4x))/x=lim_(x->-oo)(x-sqrt(x^2(1-4/x)))/x=`

`=lim_(x->-oo)(x+xsqrt(1-4/x))/x=lim_(x->-oo)(2x)/x=2`

`lim_(x->oo)x/root(3)(x)=lim_(x->oo)x/root(3)(x)*((root(3)(x))^2)/(root(3)(x))^2=lim_(x->oo)(x(root(3)(x))^2)/x=lim_(x->oo)(root(3)(x))^2=+oo`

`lim_(x->oo)(sqrtx)/(xroot(3)(x))=lim_(x->oo)(sqrtx)/(xroot(3)(x))*((root(3)(x))^2)/(root(3)(x))^2==lim_(x->oo)(x)/(x*x)=lim_(x->oo)1/x=0`

Okrąg o środku w punkcie ...

`O=(-1;2)`

`r=sqrt10`

`(x+1)^2+(y-2)^2=10`

Rozważmy podpunkt B:

`A=(-2;-5)`

`B=(2;2)`

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej odcinek AB.

`y=ax+b`

`-5=-2a+b\ iff\ 5= 2a-b`

`2=2a+b`

Dodajmy równania stronami:

`7=4a\ implies \ a=7/4`

`b=2-2a=2-7/2=-3/2`

`y=7/4x-3/2`

Rozważmy układ równań:

`{(y=7/4x-3/2),((x+1)^2+(y-2)^2=10):}`

`(x+1)^2+(7/4x-3/2-2)^2=10`

`x^2+2x+2+49/16x^2-2*7/4*7/4x+49/16=10`

`65/16x^2+66/16x-79/16=0`

`65x^2+66x-79=0`

`Delta=4356+4*65*79>0`

Czyli równanie ma dwa rozwiązania, a co za tym idzie, prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.

`"Odpowiedź B."`

Lewa strona równania ...

`a)`

`a_1=3`

` ` `S_n=48`

`r=a_2-a_1=5-3=2`

`S_n=(2a_1+r(n-1))/2*n=48`

`(6+2n-2)n=96`

`2n^2+4n=96`

`n^2+2n-48=0`

`Delta=4+4*48=196`

`sqrt(Delta)=14`

`n_1=(-2+14)/2=6`

`n_2=(-2-14)/2=-8 !in NN`

`S_n=(a_1+x)/2*n=48`

`(a_1+x)/2*n=48`

`3+x=(48*2)/6`

`x=16-3=ul13`

`b)`

`S_n=(2*a_1+r(n-1))/2*n`

`a_1=8`

`r=a_2-a_1=-2`

`S_n=(2*8-2(n-1))/2*n=-220`

`(16-2n+2)n=-220*2`

` ` `-2n^2+18n+440=0`

`-n^2+9n+220=0`

`Delta=81+4*220=961`

`sqrt(Delta)=31`

`n_1=(-9-31)/(-2)=20`

`n_2=(-9+31)/(-2)=-11!in NN`

`S_n=(a_1+x)/2*20=-220`

`a_1+x=-22 `

`x=-22-8=ul(-30)`

`c)`

`a_1=2`

`r=a_2-a_1=7-2=5`

`S_n=(2*a_1+r(n-1))/2*n=156`

`(4+5n-5)n=312`

`5n^2-n-312=0`

`Delta=1+6240=6240`

`sqrt(Delta)=79`

`n_1=(1-79)/10=-7,8 !in NN`

`n_2=(1+79)/10=8`

`S_n=(2+x)/2*8=156`

`2+x=312/8=39`

`x=ul(37)`

`d)`

`a_1=-7`

`r=a_2-a_1=-3+7=4`

`S_n=(2*a_1+r(n-1))/2*n=110`

`S_n=(-14+4n-4)/2*n=110`

`4n^2-18n-220=0`

`Delta=324+3520=3844`

`sqrt(Delta)=62`

`n_1=(18+62)/8=10`

`n_2=(18-62)/8=-44/8 !in NN`

`S_n=(a_1+x)/2*n=110`

`-7+x=220/10`

`x=ul29`

Czy kolejne kąty czworokąta wpisanego...

Wiemy, że jeśli czworokąt można wpisać w okrąg, to sumy przeciwległych kątów czworokąta są równe i wynoszą po `180^@.`

W kolejnych podpunktach sprawdzimy, czy tak jest.

`"a)"\ 72^@+108^@=180^@`

Odp. Tak.

{premium}

`"b)"\ 46^@+134^@=180^@`

`15^@+165^@=180^@`

Odp. Tak.

`"c)"\ 58^@+123^@=181^@`

Odp. Nie.

Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe...

Niech `f(x)=ax^2+bx+c.`

`x_1x_2=-12`

`c/a=-12\ "/"*a`

`c=-12a`

{premium}

Odcięta wierzchołka paraboli to `1/2,` stąd:

`-b/(2a)=1/2\ "/"*(-2a)`

`b=-a`

Wstawiamy tak wyznaczone współczynniki `b,\ c` do wzoru funkcji `f:`

`f(x)=ax^2-ax-12a`

Wiemy, że `f(1/2)=3 1/16,` stąd:

`1/4a-1/2a-12a=49/16\ "/"*4`

`a-2a-48a=49/4`

`-49a=49/4\ "/":(-49)`

`a=-1/4`

Podstawiamy wyznaczoną wartość `a` do wzoru funkcji `f:`

`f(x)=-1/4x^2+1/4x+3-` wzór funkcji `f` w postaci ogólnej

Oblicz wartości pozostałych...

`cos alpha=-3/8`

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`

`sin^2alpha+(-3/8)^2=1`

`sin^2alpha+9/64=1 \ \ \ |-9/64`

`sin^2alpha=55/64`

Skoro `alpha` lezy w drugiej ćwiartce, to `sin alpha` ma znak dodatni.

`sin alpha=sqrt55/8`

`tg alpha=(sinalpha)/(cosalpha)=(sqrt55/8)/(-3/8)=sqrt55/-3=-sqrt55/3`

Narysuj w układzie współrzędnych kąt ...

`a)`

`P(1,4)`

`x=1`

`y=4`

`r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt17`

`sin alpha=y/r=4/sqrt17=(4sqrt17)/17`

`cos alpha=x/r=1/sqrt17=sqrt17/17`

`tg \ alpha=sin alpha/cos alpha=((4sqrt17)/17)/(sqrt17/17)=4`

`b)`

`P(-1,4)`

`x=-1`

`y=4`

`r=sqrt(16+1)=sqrt17`

`sinalpha=y/r=4/sqrt17=(4sqrt17)/17`

`cos alpha=x/r=-1/sqrt17=-sqrt17/17`

`tg\ alpha= ((4sqrt17)/17)/(-sqrt17/17)=-4`

`c)`

`P(-3,2)`

`x=-3`

`y=2`

`r=sqrt(9+4)=sqrt13`

`sin alpha=y/r=2/sqrt13=(2sqrt13)/13`

`cos alpha=x/r=(-3)/sqrt13=(-3sqrt13)/13`

`tg\ alpha=((2sqrt13)/13)/((-3sqrt13)/13)=-2/3`

`d)`

`P(-2,3)`

`x=-2`

`y=3`

`r=sqrt(4+9)=sqrt13`

`sin alpha=y/r=3/sqrt13=(3sqrt13)/13`

`cos alpha=x/r=(-2)/sqrt13=(-2sqrt13)/13`

`tg \ alpha=((3sqrt13)/13)/((-2sqrt13)/13)=-3/2`

Uzasadnij, że podana ...

`a)`

`5/|x-3|+2<=3/|x-3|+1`

`D=RR\\{3}`

`5/|x-3|-3/|x-3|+2<=1`

`2/|x-3|<=-1`

Sprzeczność, ponieważ lewa strona nierówności jest zawsze dodatnia.

`b)`

`|x+3|/|x^2+x-6|<=0`

`D:`

`x^2+x-6ne0`

`Delta=1+24=25`

`sqrtDelta=5`

`x_1=(-1-5)/2=-3`

`x_2=(-1+5)/2=2`

`D=RR\\{-3;2}`

Zauważmy, że licznik |x+3| jest zawsze dodatni dla x z dziedziny, zatem całe wyrażenie

znajdujące się po lewej stronie nierówności jest silnie większe od zera. Sprzeczność.

`c)`

`3/(2+|x|)>=2`

`3>=2(2+|x|)`

`2|x|<=-1`

`|x|<=-1/2`

Sprzeczność, ponieważ wartość bezwzględna dowolnego wyrażenia jest nieujemna.

Figura F₂ jest obrazem figury F₁ w pewnej

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym...

`r=(2P)/(a+b+c)=(2*1/2*a*b)/(a+b+c)=(ab)/(a+b+c)`

`R=1/2c`

Chcemy pokazać, że `a+b=2*(ab)/(a+b+c)+2*1/2c`

`a+b=(2ab)/(a+b+c)+c \ \ \ \|*(a+b+c)`

`(a+b)(a+b+c)=2ab+c(a+b+c)`

`a^2+ab+ac+ab+b^2+bc=2ab+ac+bc+c^2 \ \ \ |-2ab-ac-bc`

`a^2+b^2=c^2`

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.