`a)\ tgalpha=1\ \ \ =>\ \ \ alpha=45^o`
`b)\ tgalpha=-sqrt3=-tg60^o\ \ #=^(II\ "ćwiartka")\ \ tg(180^o-60^o)=tg120^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=120^o`
`c)\ tgalpha=-sqrt3/3=-tg30^o\ \ #=^("II ćwiartka")\ \ tg(180^o-30^o)=tg150^o\ \ \ =>\ \ \ alpha=150^o`
`x,y,z-"ciąg arytmetyczny"`
`{(x+y+z=18),(x^2+z^2=104):}`
`{(3x +3r=18),(x^2+(x+2r)^2=104):}`
`{( x + r=6),(x^2+(x+2r)^2=104):}`
`x=6-r`
`x^2+(x+2r)^2=(6-r)^2+(6+r)^2=104`
`36-12r+r^2+36+12r+r^2=104`
`2r^2=32`
`r^2=16`
`r=4\ \ \vv\ \ \r=-4`
`"I". \ r=4`
`x=6-r=2`
`y=x+r=6`
`z=x+2r=10`
`"II".\ r=-4`
`x=6-r=10`
`y=x+r=6`
`z=x+2r=2`
`{(x=2),(y=6),(z=10):}\ \ \"lub"\ \ \{(x=10),(y=6),(z=2):}`
a)
Przekształcenie względem osi OX.
b)
Przekształcenie względem osi OX.
c)
Przekształcenie względem osi OX.
Zauważmy, że:
`f(x) = g(x-3)+1 = (2/3)^(x-3)+1`
Zatem wykres funkcji g przesunięto o wektor [3,1] a więc o 3 jednostki w prawo i jedną jednostkę w górę.
Odpowiedź C
`a)`
`#underbrace(ul(\ \ \ \ \ )\ ul(\ \ \ \ \ ) \ ul(\ \ \ \ \ ))_("litery")\ #underbrace(ul(\ \ \ \ \ )\ ul(\ \ \ \ \ )\ ul(\ \ \ \ \ ) \ ul(\ \ \ \ \ ))_("cyfry")`
Na pierwszym, drugim, trzecim miejscu możemy postawić jedną z trzech liter.
Na pozostałych czterech miejscach możemy postawić jedną z czterech cyfr.
Zgodnie z regułą mnożenia liczba takich kodów jest równa:
`3*3*3*4*4*4*4=6912`
`b)`
Na pierwszym, drugim, trzecim, czwartym miejscu możemy postawić jedną z czterech liter.
Na pozostałych pięciu miejscach możemy postawić jedną z pięciu cyfr.
Zgodnie z regułą mnożenia liczba takich kodów jest równa:
`4*4*4*4*5*5*5*5*5=800\ 000`
Pole trójkąta o bokach a i b oraz kącie α zawartym pomiędzy nimi jest dane wzorem:
`P= 1/2 *a *b * sin alpha`
Trójkąty ABE i CED mają równe pola, również trójkąty ADE i BCE mają równe pola więc musimy tylko pokazać, że:
`P_(ABE) = P_(BCE)`
`P_(ABE) = 1/2 * a * b * sin(180- alpha) stackrel("*")(=) 1/2 a b sin alpha = P_(BCE)`
Przejście oznaczone gwiazdką:
`sin(180^o - alpha) = sin alpha`
b) Z podpunktu a) wiemy, że przekątne dzielą równoległobok na cztery trójkąty o takich samych polach. Zatem pole równoległoboku jest równe czterokrotności pola jednego takiego trójkąta:
`P= 4P_(tr) = 4* 1/2 * p/2 * q/2 * sin alpha = 4/8 pq sin alpha = 1/2 p q sin alpha`
`c) = 1/2 * 10 * 14 * sin30^o = 70 * 1/2 = 35 \ [cm^2]`
d) Skoro przekątne tworzą z jednym bokiem kąty o mierze 12° i 33° to znaczy, że kąt pomiędzy przekątnymi ma miarę 135°, zatem pole wynosi:
`P= 1/2 *6 * 10 * sin 135^o = 30 * sin (180^o - 45^o ) = 30 * sin 45^o = 30 * sqrt2/2 = 15sqrt2 \ [cm^2]`
`a)`
`4x^2-5x=0`
`x(4x-5)=0`
`x=0\ \ \vee\ \ \ 4x-5=0\ implies\ x=5/4`
`x in {0;5/4}`
`b)`
`x^2 /2=7x`
`x^2=14x`
`x^2-14x=0`
`x(x-14)=0`
`x=0\ \ \vee \ \ \x-14=0 \ implies\ x=14`
`x in {0;14} `
`c)`
`x=sqrt(2)x^2`
`sqrt(2)x^2-x=0`
`x(sqrt(2)x-1)=0`
`x=0 \ \ \vee \ \ \sqrt(2)x-1=0 \ implies \ x=1/sqrt(2)`
`x in {0;1/sqrt(2)} `
`d)`
`25x^2-1=0`
`(5x-1)(5x+1)=0`
`5x-1=0\ \ \vee \ \ \5x+1=0`
`x=1/5\ \ \vee\ \ \x=-1/5`
`x in {-1/5,1/5}`
`e)`
`9-36x^2=0`
`(3-6x)(3+6x)=0`
`3-6x=0\ \ \vee\ \ \3+6x=0`
`x=1/2\ \ \vee \ \ \x=-1/2`
`x in {-1/2;1/2} `
`f)`
`(1-x^2)/2=(x^2-1)/3\ \ |*2*3`
`3(1-x^2)=2(x^2-1)`
`3-3x^2=2x^2-2`
`5x^2=5`
`x^2=1`
`x=1\ \ \vee\ \ \x=-1`
`x in {-1;1}`
`g)`
`x^2-4x+9=-4x`
`x^2+9=0`
`x^2=-9`
`"Brak rozwiązań."`
`h)`
`x(x+2)=-1`
`x^2+2x+1=0`
`(x+1)^2=0`
`(x+1)(x+1)=0`
`x+1=0`
`x=-1`
`x in {-1}`
`i)`
`x(x-8)=4(x-9)`
`x(x-8)-4(x-9)=0`
`x^2-8x-4x+36=0`
`x^2-12x+36=0`
`(x-6)^2=0`
`(x-6)(x-6)=0`
`x-6=0`
`x=6`
`x in {6}`
Pierwsza klasa liczy 21 uczniów, średni wzrost 172 cm.
Druga klasa liczy 23 uczniów, średni wzrost 174 cm.
Trzecia klasa liczy 23 uczniów, średni wzrost 170 cm.
Ilość wszystkich klas: 3
Liczymy średnią arytmetyczną trzech liczb.
`(172+174+170)/3=516/3=172`
Odp. Średni wzrost wszystkich uczniów to 172 cm.
Rysunek poglądowy:
Skoro punkt E to połowa odcinka AC i punkt F to połowa odcinka BC to:
`|EF|=1/2 |AB|`
Odcinki EF i AB są równoległe. Zwróćmy uwagę na kąty w trójkątach DEF i BDF, poniższe kąty są naprzemianległe a więc są równe:
`/_BDF= /_EFD`
`/_FBD=/_DEF`
Trójkąt DEF jest równoramienny zatem:
`/_DEF=/_EFD`
Stąd otrzymujemy, że:
`/_BDF = /_FBD`
A więc trójkąt BDF jest równoramienny.
Analogicznie można wykazać, że trójkąt ADE jest równoramienny gdyż następujące kąty są naprzemianległe a więc są równe:
`/_EDA=/_DEF`
`/_DAE=/_EFD`
Stąd
`/_DAE=/_EDA`
A więc:
`/_BAC=/_CBA`
a więc trójkąt ABC jest równoramienny.
Niech szukana liczba będzie postaci ab, gdzie a i b to cyfry (0, 1, ..., 8, 9), oczywiście a nie może być równe 0.
Wartość liczby ab to 10a+b (np. 23=2∙10+3)
Liczba powstała po przestawieniu cyfr to ba, jej wartość to 10b+a.
Zapiszmy informacje podane w treści zadania:
`{(a+b=11), (10b+a>33 1/3%(10a+b)):}`
Zamieńmy procent na ułamek:
`33 1/3%=(100/3)%=100/3*1/100=1/3`
`{(a+b=11\ \ |-b), (10b+a>1/3(10a+b)\ \ \ |*3):}`
`{(a=11-b), (30b+3a>10a+b\ \ \ |-3a-b):}`
`{(a=11-b), (29b>7a):}`
`{(a=11-b), (29b>7(11-b)):}`
`{(a=11-b), (29b>77-7b\ \ \ |+7b):}`
`{(a=11-b), (36b>77\ \ \ |:36):}`
`{(a=11-b), (b>2.13(8)):}`
b jest cyfrą, mamy więc następujące możliwości:
`{(b=3), (a=11-3=8):}\ \ vee\ \ {(b=4), (a=7):}\ \ vee\ \ {(b=5), (a=6):}\ \ vee\ \ {(b=6), (a=5):}\ \ vee\ \ {(b=7), (a=4):}\ \ vee\ \ {(b=8), (a=3):}\ \ vee\ \ {(b=9), (a=2):}`