Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $y = a_px + b_p$, zaś okrąg: $r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $y$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $x$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$y = a_px + b_p$
$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$
$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$
$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$

Wstawiając $x_1$ i $x_2$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $y$: $y_1 = a_px_1 + b_p$
$y_2 = a_px_2 + b_p$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $y = -x + 1$ z okręgiem o równaniu $6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$.

Podstawiając do równania okręgu $y$ z równania prostej otrzymujemy:

$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$
$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$
$36 = 2x^2 + 2$
$17 = x^2$
$x_1 = √{17}$
$x_2 = -√{17}$

Teraz możemy obliczyć $y$:
$y_1 = -√{17} + 1$
$y_2 = √{17} + 1$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $(√{17}, -√{17} + 1)$ oraz $(-√{17}, √{17} + 1)$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji:

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Sprowadźmy wzór funkcji  do postaci kanonicznej:

 

Zatem:

 

Wykres funkcji  jest sumą wykresów funkcji:

 gdzie  oraz  gdzie   

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor  

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor 

Obliczamy wartości funkcji  i  na końcach przedziałów, na których są określone:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji  i  na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji  

{premium}

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Sprowadźmy wzór funkcji  do postaci kanonicznej:

 

Zatem:

 

Wykres funkcji  jest sumą wykresów funkcji:

 gdzie  oraz  gdzie  

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor  

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor 

Obliczamy wartości funkcji  i  na końcach przedziałów, na których są określone:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji  i  na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji  

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

 

Wykres funkcji  jest sumą wykresów funkcji:

 gdzie  oraz  gdzie   

Sprowadzamy wzór funkcji  do postaci kanonicznej:

 

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor 

Obliczamy wartości funkcji  i  na końcach przedziałów, na których są określone:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji  i  na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji  

 

 dla  

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Wykres funkcji  jest sumą wykresów funkcji:

 gdzie  oraz  gdzie   

Sprowadzamy wzór funkcji  do postaci kanonicznej:

 

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor  

Wykres funkcji  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  o wektor 

Obliczamy wartości funkcji  i  na końcach przedziałów, na których są określone:

 

 

Szkicujemy wykresy funkcji  i  na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji  

Sformułuj definicję...

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (-∞;b). Liczba g jest{premium} granicą funkcji f w -∞, jeśli dla każdego ciągu (xn) rozbieżnego do -∞, o wyrazach należących do dziedziny funkcji f, ciąg (f(xn)) jest zbieżny do g.

 

  

Wyznacz asymptoty poziome...

a)

 

 

 

Asymptota  


b)

 

{premium}  

 

Asymptota  


c)

 

 

 

Asymptota  


d)

 

 

 

Asymptota  


e)

 

 

 

Asymptota  


f)

 

  

  

Asymptota  

Poprawnym zaokrągleniem liczby

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do sześciu miejsc po przecinku to 0,499897, więc odpowiedź A jest błędna. 

{premium}

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do pięciu miejsc po przecinku to 0,49990=0,4999, więc odpowiedź B jest błędna. 

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do trzech miejsc po przecinku to 0,500=0,5, więc odpowiedź C jest błędna. 

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do całości to 0, więc odpowiedź D jest prawidłowa. 

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu...

a) Wierzchołek ma współrzędne (1,2). Jedno z miejsc zerowych to liczba 0, oba miejsca zerowe są równo odległe od wierzchołka. Drugie miejsce zerowe łatwo można bez obliczeń wyznaczyć patrząc na wykres ale dla ćwiczenia wyliczymy je:

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Zbiór wartości:

 

 

 

Funkcja rosnąca dla:

 

Funkcja malejąca dla:

 

 

 

Obliczmy współczynnik a posługując się postacią iloczynową.

{premium}  

 

 

 

 

 

Postać iloczynowa i postać kanoniczna:

 

 

b) Z wykresu możemy odczytać, że miejscami zerowymi są liczby -1,3. Pierwsza współrzędna wierzchołka to:

 

 

Postać iloczynowa:

 

 

Z wykresu możemy odczytać:

 

 

 

 

 

A więc postać iloczynowa jest równa:

 

wyznaczmy drugą współrzędną wierzchołka:

 

 

Postać iloczynowa jest równa postaci kanonicznej:

 

 

 

  

 

 

Zbiór wartości:

 

 

 

Funkcja malejąca:

 

Funkcja rosnąca:

 

 

 

c) Miejscami zerowymi są liczby -2 i 1 zatem pierwsza współrzędna wierzchołka to:

 

 

 

 

Z wykresu można odczytać, że:

 

zatem:

 

 

  

 

 

Postać iloczynowa:

 

Obliczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli:

 

 

Postać kanoniczna:

 

 

 

 

 

 

Zbiór wartości:

 

 

 

Funkcja malejąca:

 

Funkcja rosnąca:

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt

a)

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

 

    

 

{premium}

     

 

b)

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

 

    

 

     

 

c)

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

 

    

 

   

Oblicz sumę wszystkich ujemnych ...

Dany jest ciąg arytmetyczny -9,2 ; -8,8 ; -8,4 ; ...

Zatem: 

 
{premium}

 


Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać: 

 

Wyznaczamy numery wyrazów ciągu, które są ujemne. 

 

      

Wyrazy  są ujemne, czyli 23 początkowe wyrazy tego ciągu są ujemne. 


Obliczamy ile wynosi suma tych wyrazów. 

 

Liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu

Jeśli liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to możemy dwukrotnie podzielić wielomian w przez dwumian (x-a). 

 

 

 

Po dzieleniu otrzymaliśmy trójmian kwadratowy. Oczywiście można by było wykonać drugi raz dzielenie pisemne przez (x+1), ale możemy szybko rozłożyć trójmian na czynniki używając do tego delty. 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

Wykonujemy dwukrotnie dzielenie pisemne:

              

 

 

 

 

Trasę o długości 144 km samochód ...

 

 czas przejazdu trasy s przez samochód

 średnia prędkość samochodu na odcinku s

 średnia prędkość motocykla na odcinku s

{premium}  

 

 

   

Wiemy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  

    

     

 

Średnia prędkość motocyklu na trasie s wyniosła 48 km/h, natomiast średnia prędkość samochodu na tej samej trasie jest równa 72 km/h. 

Ile wyrazów...

Żeby obliczyć ile wyrazów ujemnych ma ciąg

rozwiążemy nierówność{premium}

po spierwiastkowaniu nierówność stronami i otrzymujemy 

      

rozpisując nierówność z wartością bezwzględną otrzymamy 

więc

  

zauważmy, że

 

zatem  liczbami naturalnymi dodatnimi należącymi do otrzymanego przedziału są liczby 1 i 2, więc dla

 

wyrazy tego ciągu są ujemne. 

Łącznie mamy więc 2 wyrazy ujemne. 

 

Odp. C.