Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Punkty przecięcia prostej i okręgu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Punkty przecięcia prostej i okręgu

Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.

Załóżmy, że prostą określa równanie $y = a_px + b_p$, zaś okrąg: $r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.

Biorąc z pierwszego z nich $y$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $x$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).

Podstawiając:

$y = a_px + b_p$
$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$
$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$

Otrzymujemy więc rozwiązania:

$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$
$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$

Wstawiając $x_1$ i $x_2$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $y$: $y_1 = a_px_1 + b_p$
$y_2 = a_px_2 + b_p$

Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:

Znaleźć miejca przecięcia prostej $y = -x + 1$ z okręgiem o równaniu $6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$.

Podstawiając do równania okręgu $y$ z równania prostej otrzymujemy:

$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$
$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$
$36 = 2x^2 + 2$
$17 = x^2$
$x_1 = √{17}$
$x_2 = -√{17}$

Teraz możemy obliczyć $y$:
$y_1 = -√{17} + 1$
$y_2 = √{17} + 1$

Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $(√{17}, -√{17} + 1)$ oraz $(-√{17}, √{17} + 1)$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kulisty balon ma promień równy...

a) Przed dopompowaniem powietrza:

 

 

 

Po dopompowaniu powietrza:

{premium}

 

 

A więc pole powierzchni wzrosło o:

 


b) Przed spuszczeniem powietrza:

 

 

 

Po spuszczeniu powietrza:

 

 

 

A więc pole powierzchni zmalało o:

 

Z kwadratu o boku długości 2 wycięto...

Pole powstałej figury możemy obliczyć jako różnicę pola{premium} kwadratu o boku 2 i czterech wycinków o kącie środkowym 90⁰, z których dwa mają promień 2-√2, a dwa pozostałe - √2.

 

Z prostokątnego kawałka blachy o wymiarach ...

Rysunek pomocniczy:

    {premium}

Zał:

 

 

 

 

Szukamy takiej wymiernej wartości x, aby było spełnione:

 

 

 

 

  

 

 

Zauważmy, że x=5 jest jednym z rozwiązań tego równania, ponieważ:

 

 

 

 

Zatem możemy zapisać:

 

 

 

 

Zatem jedynym wymiernym rozwiązaniem równania jest x=5.

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

Zatem wymiary tego naczynia to 5 cm, 30 cm, 60 cm.

 

 

Na ile sposobów można usadzić ...

Na dowolnym miejscu przy okrągłym stole, którego miejsca nie są numerowane, usadźmy najpierw jedną kobietę. {premium}

Druga kobieta może wybrać jedno spośród 3 miejsc, trzecia - jedno spośród 2 pozostałych miejsc, czwartej kobiecie zostanie przyporządkowane 1 pozostałe wolne miejsce.

Pierwszy mężczyzna może wybrać jedno spośród 4 miejsc, drugi - jedno spośród 3 pozostałych miejsc, trzeci - jedno spośród 2 pozostałych miejsc, czwartemu mężczyźnie zostanie przyporządkowane 1 pozostałe wolne miejsce.

Liczba wszystkich możliwości:

 

Rozwiązaniem nierówności ...

Rozwiązujemy daną nierówność.

 {premium}

 

 

 

 

 

 

Zatem

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest 12 razy...

n-1, n, n+1 - trzy kolejne liczby naturalne, n-1 ∈ N {premium}

n2+2 - kwadrat środkowej liczby zwiększony o 2


Suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest 12 razy większa od kwadratu środkowej z nich:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Dla n=4:

 

 


Odp. Szukane liczby to 3, 4, 5.

Wyznacz zbiór wartości oraz przedziały...

Wykresem funkcji f(x)=a(x-xw)2+yw jest parabola o wierzchołku w punkcie W(xw, yw).

Jeśli a>0, to:

  • f(D)=<yw, +oo);
  • funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, xw> i rosnąca w przedziale <xw, +oo).

Jeśli a<0, to:

  • f(D)=(-oo, yw>;
  • funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, xw> i malejąca w przedziale <xw, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(4, -16).{premium}

a>0, więc:

  • f(D)=<-16, +oo),
  • funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, 4> i rosnąca w przedziale <4, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(3, 9).

a<0, więc:

  • f(D)=(-oo, 9>,
  • funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 3> i malejąca w przedziale <3, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(-1, -5).

a>0, więc:

  • f(D)=<-5, +oo),
  • funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, -1> i rosnąca w przedziale <-1, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(1/2, 3).

a<0, więc:

  • f(D)=(-oo, 3>,
  • funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 1/2> i malejąca w przedziale <1/2, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(-3, 19).

a<0, więc:

  • f(D)=(-oo, 19>,
  • funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, -3> i malejąca w przedziale <-3, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(-6, -8).

a>0, więc:

  • f(D)=<-8, +oo),
  • funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, -6> i rosnąca w przedziale <-6, +oo).
Oblicz x i y.

 

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że trójkąt DBC to trójkąt o kątach   zatem:   {premium}

 

 

Zauważmy, że trójkąt ADC to trójkąt równoramienny prostokątny, zatem:

 

oraz

 

 

Czyli mamy:

 

 


 

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że trójkąt DBC to trójkąt równoramienny prostokątny, zatem:

 

oraz

 

 

Zauważmy, że trójkąt ABC to trójkąt o kątach   zatem:

 

 

 

 

 

Czyli mamy:

 

 

 

 

Liczba a stanowi 16%...

Wiemy, że:

  {premium}

 

 

 

 

 

 

Odp.: B

Wykaż, że jeśli...

Ciąg an jest ciągiem geometrycznym, zatem:{premium}

 

 

Wyznaczmy n+1 wyraz ciągu bn:

 

 

A więc: