Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przekształcanie wykresu funkcji

W tym temacie zajmiemy się kilkoma przekształceniami wykresu dowolnych funkcji.
Najpierw na podstawie wykresu $y=f(x)$ narysujmy wykres $y = |f(x)|$. Jak to zrobić?

Zastanówmy się, co tak naprawdę zrobiliśmy nakładając wartość bezwzględną na wartość funkcji. Jedyne punkty, które ulegają zmianie, to te, które znajdują się pod osią x - są one odbite symetrycznie względem tej prostej.

1
rys 1.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10) $

2
rys 1.2 $|f1(x)|$


3
rys 2.1 $f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$

4
rys 2.2 $|f1(x)|$



5
rys 3.1 $f1(x) = 1/x + 5$


6
rys 3.2 $|f1(x)|$


Drugim przekształceniem jest przemnożenie argumentu funkcji przez jakąś stałą $C$. Co się wtedy dzieje? Można na to spojrzeć w ten sposób: jeśli wcześniej funkcja osiągała wartość $y$ w punkcie $x$, to teraz osiąga tę wartość w punkcie $x/C$, czyli w argumencie $C$ razy bliższym punktu $(0,0)$. Skoro dzieje się tak z każdym punktem wykresu, to całość jest tak jakby "ściśnięta" $C$ razy (albo "rozciągnięta", bo jeśli $C$ < $1$, to $x/C$ jest dalej niż $x$.).

Ponadto jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $y=0$ - dość jasne, bo po ujemne argumenty stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

7
rys 4.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$

8
rys 4.2 $f1(4×x)$



9
rys 5.1 $f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$

10
rys 5.2 $f1({1}/{2}×x)$



11
rys 6.1 $f1(x) = 1/x + 5$

12
rys 6.2 $f1(-3×x)$


Ostatnie przekształcenie, które omówimy, to przemnożenie wartości funkcji przez stałą $C$. Każdy punkt idzie więc $C$ razy wyżej lub niżej, a z tego wynika, że cała funkcja jest "rozciągnięta" (albo ściśnięta - jak w poprzednim przykładzie) - tyle, że pionowo, w osi y.

Oczywiście jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $x=0$ - dość jasne, bo po ujemne wartości stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

13
rys 7.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$

14
rys 7.2 $4×f1(x)$



15
rys 8.1 $f1(x) = (x-2)(x+2) / (x+3)(x-5)$

16
rys 8.2 $0.5 × f1(x)$



17
rys 9.1 $f1(x) = 1/x + 5$

18

rys 9.2 $(-2)×f1(x)$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykresy funkcji f i g to proste...

Skorzystamy z następującego twierdzenia:

Współczynnik kierunkowy a prostej o równaniu y = ax + b jest równy tangensowi nachylenia tej prostej do osi x. {premium}



a)

Zauważmy, że jeśli poprowadzimy prostą równoległą do osi x przechodzącą przez punkt P przecięcia prostych f i g, to każda z prostych f i g będzie przecinać tą prostą pod tym samym kątem, pod którym przecina oś x

Korzystając z rysunku zauważmy, że miara kąta ostrego 𝛼 pod jakim przecinają się te proste jest równa różnicy miar kątów pod którym każda z tych prostych przecina oś x

1. Obliczmy miarę kąta 𝛼1 pod jakim prosta f(x) = 2x + 3 przecina oś x:

  

Korzystając z zaawansowanego kalkulatora dostajemy 

więc

  


2. Obliczmy miarę kąta 𝛼2 pod jakim prosta g(x) = x - 7  przecina oś x:

 


Zatem miara kąta ostrego  𝛼 pod jakim przecinają się proste f i g jest równa:

  



b) 

Zauważmy, że jeśli poprowadzimy prostą równoległą do osi x przechodzącą przez punkt P przecięcia prostych f i g, to każda z prostych f i g będzie przecinać tą prostą pod tym samym kątem, pod którym przecina oś x 

1. Zauważmy, że współczynnik kierunkowy funkcji  f(x) = -4/9x - 8 jest ujemny, oznacza to, że kąt 𝛼1 pod jakim prosta f przecina oś x jest kątem rozwartym, czyli możemy zapisać:

gdzie 𝛽 jest miarą kąta ostrego przyległego do kąta 𝛼1

Korzystając z przypomnianego twierdzenia dostajemy

   

 

Korzystając z zaawansowanego kalkulatora dostajemy 

więc

 


2. Obliczmy miarę kąta 𝛼2 pod jakim prosta g(x) = 0,9x + 5  przecina oś x:

 

Korzystając z zaawansowanego kalkulatora dostajemy 

więc

  


Korzystając z rysunku zauważmy, że miara kąta ostrego 𝛼 pod jakim przecinają się proste  f i g jest równa sumie miar kąta przyległego do kąta 𝛼1 i kąta  𝛼2 czyli



c)

Zauważmy, że jeśli poprowadzimy prostą równoległą do osi x przechodzącą przez punkt P przecięcia prostych f i g, to każda z prostych f i g będzie przecinać tą prostą pod tym samym kątem, pod którym przecina oś x

Korzystając z rysunku zauważmy, że miara kąta ostrego 𝛼 pod jakim przecinają się te proste jest równa różnicy miar kątów pod którym każda z tych prostych przecina oś x

1. Zauważmy, że współczynnik kierunkowy funkcji  f(x) = -1/5x - 8 jest ujemny, oznacza to, że kąt 𝛼1 pod jakim prosta f przecina oś x jest kątem rozwartym, czyli możemy zapisać:

gdzie 𝛽1 jest miarą kąta ostrego przyległego do kąta 𝛼1

Korzystając z przypomnianego twierdzenia dostajemy

   

 

Korzystając z zaawansowanego kalkulatora dostajemy 

więc

 

 


2. Zauważmy, że współczynnik kierunkowy funkcji  f(x) = -6/7x - 4 jest ujemny, oznacza to, że kąt 𝛼2 pod jakim prosta g przecina oś x jest kątem rozwartym, czyli możemy zapisać:

gdzie 𝛽2 jest miarą kąta ostrego przyległego do kąta 𝛼2

Korzystając z przypomnianego twierdzenia dostajemy

   

 

Korzystając z zaawansowanego kalkulatora dostajemy 

więc


Zatem miara kąta ostrego 𝛼 pod jakim przecinają się proste f i g jest równa:

  

Rozwiąż równanie...

 

 

 {premium}

 

zatem:

 

 


 

 

 

 

To równanie jet sprzeczne, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

zatem:

 

 

 


 

 

 

 

zatem:

 

 

Przyjrzyj się równaniu i spróbuj je ...

a) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

 

 

Zatem:

 {premium}

Zauważmy, że mianowniki obu ułamków są takie same. Rozwiązaniem danego równania jest taka liczba rzeczywista  dla której zachodzi równość  

Wobec tego:

 


b) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

 

 

Zatem:

 

Zauważmy, że mianowniki obu ułamków są takie same. Dane równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ liczby 2 oraz 3 nie są równe.

Wobec tego:

 


c) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

 

 

Zatem:

 

Zauważmy, że mianowniki obu ułamków są liczbami przeciwnymi. Rozwiązaniem danego równania jest taka liczba rzeczywista  dla której zachodzi równość  Rozwiązaniem tego równania jest  ale liczba ta nie należy do dziedziny równania.

Wobec tego:

 


d) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

 

 

 

Zatem:

 

Zauważmy, że wyrażenie znajdujące się po lewej stronie równania jest równe 1. Rozwiązaniem danego równania jest taka liczba rzeczywista  dla której ułamek  jest równy 1.

Wobec tego:

 


e) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

 

 

 

Zatem:

 

Zauważmy, że wyrażenie znajdujące się po lewej stronie równania jest równe -1. Rozwiązaniem danego równania jest taka liczba rzeczywista  dla której ułamek  jest równy -1.

Wobec tego:

 


f) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

 

 

Zatem:

 

Zauważmy, że wyrażenie znajdujące się po lewej stronie równania jest równe wyrażeniu znajdującemu się po stronie prawej. Równanie to spełniają wszystkie liczby należące do dziedziny równania.

Wobec tego:

 

Podaj przykład wielomianu w, którego wykres...

a) Szukamy wielomianu stopnia drugiego, czyli wielomianu postaci:

 

Podstawiamy współrzędne punktów A, B, C do wzoru wielomianu w - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy współczynniki a, b i c:

 {premium}

 

 

Podstawiamy c=1 do pozostałych równań w układzie.

 

 

Podstawiamy a=b-1 do trzeciego równania w układzie.

 

 

 

Podstawiamy b=-1/2 do pierwszego równania w układzie.

 

 

 

Otrzymujemy:

 


b) Szukamy wielomianu stopnia trzeciego, czyli wielomianu postaci:

 

Podstawiamy współrzędne punktów A, B, C do wzoru wielomianu w - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy współczynniki a, b, c i d:

 

 

 

Podstawiamy d=1 do pozostałych równań w układzie.

 

 

Dodajemy pierwsze i trzecie równanie stronami.

 

 

Podstawiamy b=-3/2 do trzeciego równania w układzie.

 

 

Chcemy podać przykład wielomianu, więc możemy przyjąć dowolną wartość c, np. c=0. Wówczas:

 

 

Otrzymujemy:

 


c) Szukamy wielomianu stopnia czwartego, czyli wielomianu postaci:

 

Podstawiamy współrzędne punktów A, B, C do wzoru wielomianu w - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy współczynniki wielomianu:

 

 

 

Podstawiamy a0=1 do pozostałych równań w układzie.

 

 

Dodajemy pierwsze i trzecie równanie stronami.

 

 

Chcemy podać przykład wielomianu, więc możemy przyjąć dowolną wartość a2, np. a2=0. Wówczas:

 

Podstawiamy a4=-3/2 i a2=0 do trzeciego równania w układzie.

 

 

Chcemy podać przykład wielomianu, więc możemy przyjąć dowolną wartość a1, np. a1=0. Wówczas:

 

 

Otrzymujemy:

 


d) Szukamy wielomianu stopnia ósmego, czyli wielomianu postaci:

 

Podstawiamy współrzędne punktów A, B, C do wzoru wielomianu w - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy współczynniki wielomianu:

 

 

 

Podstawiamy a0=1 do pozostałych równań w układzie.

 

 

Dodajemy pierwsze i trzecie równanie stronami.

 

 

Chcemy podać przykład wielomianu, więc możemy przyjąć dowolne wartości a6, a4, a2 np. a6=a4=a2=0. Wówczas:

 

Podstawiamy a8=-3/2 i a6=a4=a2=0 do trzeciego równania w układzie.

 

 

Chcemy podać przykład wielomianu, więc możemy przyjąć dowolną wartości a5, a3, a1 np. a5=a3=a1=0. Wówczas:

 

 

Otrzymujemy:

 

Pewna uczelnia przyjmuje kandydatów na studia ...

a)

Obliczamy średnie ważone:

JL3/95:

 {premium}


MK2/55
:

 

MD6/18:

 


b)

Obliczamy średnie ważone:

JL3/95:

 


MK2/55
:

 

MD6/18:

 

Jeśli liczbę ... zapisano w postaci ...

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy: {premium}

 

 

 

Odp. A

Rozwiąż równanie.

 

 

 {premium}


 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

Określ dziedzinę funkcji f i naszkicuj ...

Określamy dziedzinę funkcji:

Aby naszkicowac wykres przekształcimy {premium}wzór funkcji (do postaci: a/x-p+q):

Rysujemy wykres funkcji 1/x, a następnie przesuwamy ten wykres o wektor [0,-1] (o 1 jednostkę w dół).

Określamy dziedzinę funkcji:

Aby naszkicowac wykres przekształcimy wzór funkcji (do postaci: a/x-p+q):

(tak rozkładamy licznik ułamka, aby pojawiło się w nim wyrażenie z mianownika)    

Rysujemy wykres funkcji 1/x, a następnie przesuwamy ten wykres o wektor [-2,1] (o 2 jednostki w lewo i 1 jednostkę w górę).

Określamy dziedzinę funkcji:

Aby naszkicowac wykres przekształcimy wzór funkcji (do postaci: a/x-p+q):

(tak rozkładamy licznik ułamka, aby pojawiło się w nim wyrażenie z mianownika)    

Rysujemy wykres funkcji 2/x, a następnie przesuwamy ten wykres o wektor [1,1] (o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w górę).

Udowodnij, że jeżeli...

Wiemy, że:

 

Zatem:

 

 

Mamy udowodnić, że prawdziwa jest równość:{premium}

 

  

  

 

 

 

 

 

 

c.n.u.

Dla jakich wartości parametru ...

Dla m=-1 dana nierówność przyjmuje postać:

 

 

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x.


Dla m≠-1 mamy nierówność kwadratową. Dana nierówność kwadratowa będzie prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, jeżeli parabola o równaniu y=(m+1)x2-(m+1)x+m będzie w całości znajdowała się pod osią x. Spełnione muszą być zatem dwa warunki:

  • m+1<0  (ramiona paraboli skierowane są do dołu)

 

 

  • Δ<0 (parabola nie ma miejsc zerowych)

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

 

Rozwiązujemy nierówność Δ<0.

 

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc ramiona paraboli danej równaniem y=-3m2-2m+1 skierowane są do dołu. Zatem:

 

Łącząc oba warunki, otrzymujemy, że:

 


Ostatecznie, z obu przypadków, dostajemy, że: