Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przekształcanie wykresu funkcji

W tym temacie zajmiemy się kilkoma przekształceniami wykresu dowolnych funkcji.
Najpierw na podstawie wykresu $y=f(x)$ narysujmy wykres $y = |f(x)|$. Jak to zrobić?

Zastanówmy się, co tak naprawdę zrobiliśmy nakładając wartość bezwzględną na wartość funkcji. Jedyne punkty, które ulegają zmianie, to te, które znajdują się pod osią x - są one odbite symetrycznie względem tej prostej.

1
rys 1.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10) $

2
rys 1.2 $|f1(x)|$


3
rys 2.1 $f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$

4
rys 2.2 $|f1(x)|$



5
rys 3.1 $f1(x) = 1/x + 5$


6
rys 3.2 $|f1(x)|$


Drugim przekształceniem jest przemnożenie argumentu funkcji przez jakąś stałą $C$. Co się wtedy dzieje? Można na to spojrzeć w ten sposób: jeśli wcześniej funkcja osiągała wartość $y$ w punkcie $x$, to teraz osiąga tę wartość w punkcie $x/C$, czyli w argumencie $C$ razy bliższym punktu $(0,0)$. Skoro dzieje się tak z każdym punktem wykresu, to całość jest tak jakby "ściśnięta" $C$ razy (albo "rozciągnięta", bo jeśli $C$ < $1$, to $x/C$ jest dalej niż $x$.).

Ponadto jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $y=0$ - dość jasne, bo po ujemne argumenty stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

7
rys 4.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$

8
rys 4.2 $f1(4×x)$



9
rys 5.1 $f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$

10
rys 5.2 $f1({1}/{2}×x)$



11
rys 6.1 $f1(x) = 1/x + 5$

12
rys 6.2 $f1(-3×x)$


Ostatnie przekształcenie, które omówimy, to przemnożenie wartości funkcji przez stałą $C$. Każdy punkt idzie więc $C$ razy wyżej lub niżej, a z tego wynika, że cała funkcja jest "rozciągnięta" (albo ściśnięta - jak w poprzednim przykładzie) - tyle, że pionowo, w osi y.

Oczywiście jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $x=0$ - dość jasne, bo po ujemne wartości stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

13
rys 7.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$

14
rys 7.2 $4×f1(x)$



15
rys 8.1 $f1(x) = (x-2)(x+2) / (x+3)(x-5)$

16
rys 8.2 $0.5 × f1(x)$



17
rys 9.1 $f1(x) = 1/x + 5$

18

rys 9.2 $(-2)×f1(x)$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są wielomiany W i P.

Powołamy się na odpowiednie twierdzenie:

Jeżeli W i Q są niezerowymi wielomianami, to stopień wielomianu{premium} będącego iloczynem W٠Q jest sumą stopni wielomianów W i Q.

Mamy:

 

 

Zdanie A jest prawdziwe.


Po wykonaniu odejmowania W(x)-P(x) otrzymamy wielomian stopnia 7, bo wyraz 3x7 się nie zredukuje.

Zdanie B jest prawdziwe.


Wyraz wolny wielomianu W(x)٠P(x) jest iloczynem wyrazów wolnych każdego z tych wielomianów:

 

Zdanie C jest prawdziwe.

Wyznacz pochodną funkcji f...

a)

 

 

 

 


b)

{premium}  

 

 

 


c)

 

 

 

 


d)

 

 

 

 

Rozwiąż równanie ...

 

 

  

  

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Długość boku trójkąta i wysokość opuszczona ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

      

Dany jest ciąg ...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O pewnym ciągu geometrycznym...

Skorzystajmy z definicji sumy k początkowych wyrazów:{premium}

  

Sprawdźmy, czy zdanie II jest prawdziwe, czyli czy spełniony jest warunek:

 

 

 

Sprzeczność

 

I - FAŁSZ

II - FAŁSZ

III - PRAWDA

IV - PRAWDA

 

Punkty A i B należą do wykresu funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma wzór y=ax+b. 

Podstawiamy pierwsze współrzędne punktów w miejsce x oraz drugie współrzędne punktów w miejsce y. 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkty A, B, C nie są współliniowe

 

{premium}

Z nierówności trójkąta dla trójkąta ABC możemy zapisać:

 

Ale zauważmy, że:

 

Teraz przypuśćmy, że teza nie jest prawdziwa, jeśli dojdziemy przez to do sprzeczności, to będzie oznaczało, że zakończyliśmy dowód i ze nierówność z tezy zachodzi (ponieważ przyjęcie tezy przeciwnej zaprowadzi do sprzeczności)

Zatem przypuśćmy, że:

 

Teraz wykorzystamy gwiazdkę:

Ten warunek jest sprzeczny z nierównością trójkąta - w trójkącie PBC długość boku PC musi być mniejsza niż suma długości boków PB i BC.

 

Jeśli stożek i walec mają równe pola powierzchni...

 

 

 

 

Z pierwszej równości otrzymujemy:

 

{premium}  

 

 

 

Z trzeciej równości otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  

 

Odp. C

Długość ramienia trapezu równoramiennego jest równa...

Rysunek poglądowy:

Obliczmy za pomocą trygonometrii zależności pomiędzy bokami trójkąta AED

 

 

 

 

 

 

W trójkącie ABD:

{premium}  

 

 

Wiemy, że:

 

 

 

 

 

Pole trapezu:

 

 

 

Przekształćmy pomocniczo wyrażenie:

 

 

zatem: