Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przekształcanie wykresu funkcji

W tym temacie zajmiemy się kilkoma przekształceniami wykresu dowolnych funkcji.
Najpierw na podstawie wykresu $$y=f(x)$$ narysujmy wykres $$y = |f(x)|$$. Jak to zrobić?

Zastanówmy się, co tak naprawdę zrobiliśmy nakładając wartość bezwzględną na wartość funkcji. Jedyne punkty, które ulegają zmianie, to te, które znajdują się pod osią x - są one odbite symetrycznie względem tej prostej.

1
rys 1.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10) $$

2
rys 1.2 $$|f1(x)|$$


3
rys 2.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$$

4
rys 2.2 $$|f1(x)|$$



5
rys 3.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$


6
rys 3.2 $$|f1(x)|$$


Drugim przekształceniem jest przemnożenie argumentu funkcji przez jakąś stałą $$C$$. Co się wtedy dzieje? Można na to spojrzeć w ten sposób: jeśli wcześniej funkcja osiągała wartość $$y$$ w punkcie $$x$$, to teraz osiąga tę wartość w punkcie $$x/C$$, czyli w argumencie $$C$$ razy bliższym punktu $$(0,0)$$. Skoro dzieje się tak z każdym punktem wykresu, to całość jest tak jakby "ściśnięta" $$C$$ razy (albo "rozciągnięta", bo jeśli $$C$$ < $$1$$, to $$x/C$$ jest dalej niż $$x$$.).

Ponadto jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $$y=0$$ - dość jasne, bo po ujemne argumenty stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

7
rys 4.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$$

8
rys 4.2 $$f1(4×x)$$



9
rys 5.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$$

10
rys 5.2 $$f1({1}/{2}×x)$$



11
rys 6.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$

12
rys 6.2 $$f1(-3×x)$$


Ostatnie przekształcenie, które omówimy, to przemnożenie wartości funkcji przez stałą $$C$$. Każdy punkt idzie więc $$C$$ razy wyżej lub niżej, a z tego wynika, że cała funkcja jest "rozciągnięta" (albo ściśnięta - jak w poprzednim przykładzie) - tyle, że pionowo, w osi y.

Oczywiście jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $$x=0$$ - dość jasne, bo po ujemne wartości stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

13
rys 7.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$$

14
rys 7.2 $$4×f1(x)$$



15
rys 8.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2) / (x+3)(x-5)$$

16
rys 8.2 $$0.5 × f1(x)$$



17
rys 9.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$

18

rys 9.2 $$(-2)×f1(x)$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeśli...

Z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 

Kąt alfa jest kątem ostrym a więc sinus jest dodatni.

 

 

 

 

 

Zatem:

 

Odpowiedź D

Rozwiąż układy równań

`{(4(2x-y+3)-3(x-2y+3)=48), (3(3x-4y+3)+4(4x-2y-9)=48):}`{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj...

Zbiór wartości funkcji f(x) to zbiór:

 

 

Funkcja g(x) to funkcja f(x) przesunięta o 3/2 jednostki w górę. Jej zbiór wartości to:

 

 

Funkcja h(x) to funkcja f(x) przesunięta o 1 jednostkę w dół. Jej zbiór wartości to:

 

 

Wykresy:

W trójwyrazowym ciągu arytmetycznym ...

Przypomnijmy, że w ciągu arytmetycznym  zachodzi zależność

 

dla wszystkich  i .

 

W szczególności warunek ten zachodzi pomiędzy {premium}trzema sąsiednimi wyrazami.

Wiemy, że drugi wyraz ciągu jest równy , zatem

 

.

Możemy obliczyć już sumę wszystkich wyrazów tego ciągu

.

Oblicz granicę ciągu określonego...

a) 

 

 

 

 

 

 


b) 

 

 

 

 

 

 


c) 

 

 

 

Ile punktów wspólnych wykresów funkcji ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

          

 

 

 

 

 

 

 

   

  

  

 

 

 

 

 

 

 

  

          

W chórze śpiewa 9 dziewcząt

 

 

 

Do wykonania utworu trzeba wybrać 6 z 9 dziewcząt oraz 2 z n chłopców. Liczba takich wyborów jest równa:

 

 

 

Wiemy, że liczba wszystkich takich wyborów jest 84 razy większa od liczby członków chóru:

 

 

 

 

 

 

  

         

 

Oczywiście liczba chłopców musi być wyrażona liczbą naturalną, dlatego n=6. 

Liczba wszystkich członków chóru jest więc równa 9+6=15, czyli prawidłowa jest odpowiedź B. 

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym...

a) Wyznaczmy pierwszy wyraz podanego ciągu stosując zależność:

 

Podstawmy podane wartości z treści zadania:{premium}

 

 

 

Ze wzoru na n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

 

a więc:

 

Stąd:

 

 

 

Pomocniczo przekształćmy wyrażenie po lewej stronie równania:  

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawy potęgi są takie same oraz funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Możemy więc porównać ze sobą wykładniki:

 

 

b) Obliczmy pierwszy wyraz tego ciągu:

  

 

 

 

 

 

Wiemy, że n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:

Zatem:

 

 

 

 

 

 

Analogicznie jak w podpunkcie a), możemy porównać ze sobą wykładniki:

 

 

 

c) Dowolny n-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy opisać wzorem:

 

 

 

 

 

Porównajmy wykładniki.

 

 

 

 

d) Zauważmy, że:

 

 

 

 

Dodatkowo zauważmy, że:

 

Stąd wynika:

 

Wiemy, że:

 

Tak więc:

 

Przeczytaj podany w ramce ...

 

 

 

 

    

Wykonaj działania ...