Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przekształcanie wykresu funkcji

W tym temacie zajmiemy się kilkoma przekształceniami wykresu dowolnych funkcji.
Najpierw na podstawie wykresu $y=f(x)$ narysujmy wykres $y = |f(x)|$. Jak to zrobić?

Zastanówmy się, co tak naprawdę zrobiliśmy nakładając wartość bezwzględną na wartość funkcji. Jedyne punkty, które ulegają zmianie, to te, które znajdują się pod osią x - są one odbite symetrycznie względem tej prostej.

1
rys 1.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10) $

2
rys 1.2 $|f1(x)|$


3
rys 2.1 $f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$

4
rys 2.2 $|f1(x)|$



5
rys 3.1 $f1(x) = 1/x + 5$


6
rys 3.2 $|f1(x)|$


Drugim przekształceniem jest przemnożenie argumentu funkcji przez jakąś stałą $C$. Co się wtedy dzieje? Można na to spojrzeć w ten sposób: jeśli wcześniej funkcja osiągała wartość $y$ w punkcie $x$, to teraz osiąga tę wartość w punkcie $x/C$, czyli w argumencie $C$ razy bliższym punktu $(0,0)$. Skoro dzieje się tak z każdym punktem wykresu, to całość jest tak jakby "ściśnięta" $C$ razy (albo "rozciągnięta", bo jeśli $C$ < $1$, to $x/C$ jest dalej niż $x$.).

Ponadto jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $y=0$ - dość jasne, bo po ujemne argumenty stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

7
rys 4.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$

8
rys 4.2 $f1(4×x)$



9
rys 5.1 $f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$

10
rys 5.2 $f1({1}/{2}×x)$



11
rys 6.1 $f1(x) = 1/x + 5$

12
rys 6.2 $f1(-3×x)$


Ostatnie przekształcenie, które omówimy, to przemnożenie wartości funkcji przez stałą $C$. Każdy punkt idzie więc $C$ razy wyżej lub niżej, a z tego wynika, że cała funkcja jest "rozciągnięta" (albo ściśnięta - jak w poprzednim przykładzie) - tyle, że pionowo, w osi y.

Oczywiście jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $x=0$ - dość jasne, bo po ujemne wartości stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

13
rys 7.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$

14
rys 7.2 $4×f1(x)$



15
rys 8.1 $f1(x) = (x-2)(x+2) / (x+3)(x-5)$

16
rys 8.2 $0.5 × f1(x)$



17
rys 9.1 $f1(x) = 1/x + 5$

18

rys 9.2 $(-2)×f1(x)$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Poniżej podano kilka wielkości ...

1.

Mamy tutaj do czynienia z przybliżeniem z niedomiarem. Obliczamy błąd bezwzględny tego przybliżenia, odejmując przybliżenie od dokładnej wartości.{premium}

 

 

2.

Mamy tutaj do czynienia z przybliżeniem z nadmiarem. Obliczamy błąd bezwzględny tego przybliżenia, odejmując dokładną wartość od przybliżenia.

 

 

3.

Mamy tutaj do czynienia z przybliżeniem z nadmiarem. Obliczamy błąd bezwzględny tego przybliżenia, odejmując dokładną wartość od przybliżenia.

 

Liczba...

Skorzystamy z następującego prawa działań na logarytmach

 {premium}


Otrzymujemy

  

 

Odp. B. 

Prawdopodobieństwo wylosowania trzech...

Mamy 10 wyrobów, w tym 3 wadliwe i 7 bez usterek. 

Przedstawmy możliwe scenariusze losowań w postaci drzewa:{premium}


A - "wylosowano trzy wyroby bez usterek"

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Podaj współczynnik kierunkowy...

a) Przemieszczając się z punktu A o 4 jednostki w prawo i 2 jednostki do góry dojdziemy do punktu B. Współczynnik kierunkowy wynosi:{premium}

 

b) Przemieszczając się z punktu A o 7 jednostki w prawo i 1 jednostkę do góry dojdziemy do punktu B. Współczynnik kierunkowy wynosi:

 

c) Przemieszczając się z punktu A o 5 jednostek w lewo i 9 jednostek do góry dojdziemy do punktu B. Współczynnik kierunkowy wynosi:

 

d) Przemieszczając się z punktu A o 8 jednostki w lewo i 2 jednostki do góry dojdziemy do punktu B. Współczynnik kierunkowy wynosi:

 

a) Pięciu posłów - trzech z partii ...

a) Zastanówmy się jak mogą siedzieć posłowie tych partii, jeśli posłowie tej samej partii siedzą koło siebie.

X - posłowie pierwszej partii (jest ich trzech)

Y - posłowie drugiej partii (jest ich dwóch)

{premium}

Wobec tego mamy dwie opcje, aby posłowie obu partii siedzieli koło siebie. 

Następnie zauważmy, że pierwszy poseł partii X może wybrać swoje miejsce spośród 3,

drugi poseł partii X może wybrać swoje miejsce spośród 2, a trzeciemu posłowi partii X zostaje tylko jedno miejsce.

Podobnie pierwszy poseł partii Y może wybrać swoje miejsce spośród 2, drugiemu posłowi partii Y zostaje tylko jedno miejsce.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości mamy:

 

 

Na początku zadania pokazaliśmy, ze są dwie możliwości, więc wszystkich możliwych sposobów jest  


b) Zastanówmy się jak mogą siedzieć posłowie tych partii, jeśli posłowie tej samej partii nie siedzą koło siebie.

X - posłowie pierwszej partii (jest ich trzech)

Y - posłowie drugiej partii (jest ich czterech)

 

Zauważmy, że jedyne ulokowanie miejsc wygląda następująco:

Pierwszy poseł partii Y może wybrać swoje miejsce na 4 sposoby.

Drugi poseł partii Y może wybrać swoje miejsce na 3 sposoby.

Trzeci poseł partii Y może wybrać swoje miejsce na 2 sposoby.

Czwarty poseł partii Y może wybrać swoje miejsce na 1 sposób.

 

Pierwszy poseł partii X może wybrać swoje miejsce na 3 sposoby.

Drugi poseł partii X może wybrać swoje miejsce na 2 sposoby.

Trzeci poseł partii X może wybrać swoje miejsce na 1 sposób.

 

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości mamy:

 

W przedstawionym na rysunku ...

Rysunek: {premium}

Zatem jest to kąt A'CC'.

Rozwiąż nierówność:

Nierówność:

 

 {premium}

Jeżeli ma istnieć suma szeregu to:

 

 

 

 

 

Możemy skorzystać ze wzoru na sumę:

 

 

 

 

 

 

Uwzględniając założenie:

 

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia symetralnych boków...

Wyznaczmy środki boków AB i BC:

 

 

 

  • Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

 

 

{premium}  

 

 

stąd

 

 

 

 

Równanie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt P:

 

 

 

 

czyli

 

 

  • Wyznaczmy równanie prostej BC:

 

 

 

 

 

 

stąd

 

 

 

czyli

 

 

Równanie prostej prostopadłej do prostej BC przechodzącej przez punkt Q:

 

 

 

a więc

 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia się symetralnych:

 

  

 

 

 

czyli

 

 

Punkt przecięcia symetralnych ma współrzędne:

 

Wiedząc, że liczby są pierwiastkami równania...

Znając dwa pierwiastki wielomianu, możemy wielomian W(x) zapisać w postaci iloczynowej:{premium}

 


 


 


Z powyższej postaci wielomianu W(x) wynika, że jest on podzielny przez wielomian P(x)=x2-x-3. Wykonujemy pisemnie dzielenie W(x):P(x)


Zatem:

 

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu Q(x):

 

 

 

 


Odp. Pozostałymi pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby √2 oraz -√2.

Rodzice Roberta mają na działce truskawki

{premium}