Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przekształcanie wykresu funkcji

W tym temacie zajmiemy się kilkoma przekształceniami wykresu dowolnych funkcji.
Najpierw na podstawie wykresu $y=f(x)$ narysujmy wykres $y = |f(x)|$. Jak to zrobić?

Zastanówmy się, co tak naprawdę zrobiliśmy nakładając wartość bezwzględną na wartość funkcji. Jedyne punkty, które ulegają zmianie, to te, które znajdują się pod osią x - są one odbite symetrycznie względem tej prostej.

1
rys 1.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10) $

2
rys 1.2 $|f1(x)|$


3
rys 2.1 $f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$

4
rys 2.2 $|f1(x)|$



5
rys 3.1 $f1(x) = 1/x + 5$


6
rys 3.2 $|f1(x)|$


Drugim przekształceniem jest przemnożenie argumentu funkcji przez jakąś stałą $C$. Co się wtedy dzieje? Można na to spojrzeć w ten sposób: jeśli wcześniej funkcja osiągała wartość $y$ w punkcie $x$, to teraz osiąga tę wartość w punkcie $x/C$, czyli w argumencie $C$ razy bliższym punktu $(0,0)$. Skoro dzieje się tak z każdym punktem wykresu, to całość jest tak jakby "ściśnięta" $C$ razy (albo "rozciągnięta", bo jeśli $C$ < $1$, to $x/C$ jest dalej niż $x$.).

Ponadto jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $y=0$ - dość jasne, bo po ujemne argumenty stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

7
rys 4.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$

8
rys 4.2 $f1(4×x)$



9
rys 5.1 $f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$

10
rys 5.2 $f1({1}/{2}×x)$



11
rys 6.1 $f1(x) = 1/x + 5$

12
rys 6.2 $f1(-3×x)$


Ostatnie przekształcenie, które omówimy, to przemnożenie wartości funkcji przez stałą $C$. Każdy punkt idzie więc $C$ razy wyżej lub niżej, a z tego wynika, że cała funkcja jest "rozciągnięta" (albo ściśnięta - jak w poprzednim przykładzie) - tyle, że pionowo, w osi y.

Oczywiście jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $x=0$ - dość jasne, bo po ujemne wartości stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

13
rys 7.1 $f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$

14
rys 7.2 $4×f1(x)$



15
rys 8.1 $f1(x) = (x-2)(x+2) / (x+3)(x-5)$

16
rys 8.2 $0.5 × f1(x)$



17
rys 9.1 $f1(x) = 1/x + 5$

18

rys 9.2 $(-2)×f1(x)$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

Wyznacz współrzędne ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

  

  

 

  

 

 

 

 

  

    

  

 

   

Z urny, w której jest dwa razy więcej

 

Opiszmy zdarzenie na drzewku. Na gałęziach drzewka zapisano odpowiednie prawdopodobieństwa

 

 

Zaznaczono gałęzie, które opisują zdarzenie A. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powierzchnia zadrukowanej części kartki...

 

Wymiary kartki to:

 

 

Pole zadrukowanej części wynosi 192 cm2 a więc:

 

 

 

Czyli funkcja opisująca pole kartki jest równa:

Obliczmy pochodną

 

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jest to minimum gdyż:

 

czyli

 

Zatem wymiary kartki wynoszą:

 

 

Oblicz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym...

 

 

 

Chcemy pokazać, że  

 

 

 

 

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.

  

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru...

Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

Jeżeli równanie ma mieć dwa różne rozwiązania to wyróżnik funkcji musi być dodatni.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podglad pliku

 

 

Zauważmy, że jeżeli x = 2m, to równanie po lewej stronie jest równe 0 a liczba 2m będzie pierwiastkiem. Łatwo wtedy zauważyć, że nie będziemy mieli wtedy kolejnych rozwiązań.

Podstawmy pod równanie kwadratowe x = 2m, jeżeli wyliczone wartości parametru m będą należeć do rozwiązania równania to musimy je odrzucić z rozwiązania gdyż wtedy mamy tylko jedno rozwiązanie.

 

 

 

 

 

 

 

Zatem odrzucamy liczbę  

 

Zatem uwzględniając powyższe założenie otrzymujemy, że:

 

Przedstaw liczbę w postaci...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

a)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:{premium}

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


b)

 

Przesuwając o wektor  

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


c)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  

Wyznacz współrzędna wierzchołków trójkąta...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

   

 

Z pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego i czwartego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

Z trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek pomocniczy:

Thumb 48 285

Łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny.

 

 

 

 

 

 

 

Równanie okręgu: