Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przekształcanie wykresu funkcji

W tym temacie zajmiemy się kilkoma przekształceniami wykresu dowolnych funkcji.
Najpierw na podstawie wykresu $$y=f(x)$$ narysujmy wykres $$y = |f(x)|$$. Jak to zrobić?

Zastanówmy się, co tak naprawdę zrobiliśmy nakładając wartość bezwzględną na wartość funkcji. Jedyne punkty, które ulegają zmianie, to te, które znajdują się pod osią x - są one odbite symetrycznie względem tej prostej.

1
rys 1.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10) $$

2
rys 1.2 $$|f1(x)|$$


3
rys 2.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$$

4
rys 2.2 $$|f1(x)|$$



5
rys 3.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$


6
rys 3.2 $$|f1(x)|$$


Drugim przekształceniem jest przemnożenie argumentu funkcji przez jakąś stałą $$C$$. Co się wtedy dzieje? Można na to spojrzeć w ten sposób: jeśli wcześniej funkcja osiągała wartość $$y$$ w punkcie $$x$$, to teraz osiąga tę wartość w punkcie $$x/C$$, czyli w argumencie $$C$$ razy bliższym punktu $$(0,0)$$. Skoro dzieje się tak z każdym punktem wykresu, to całość jest tak jakby "ściśnięta" $$C$$ razy (albo "rozciągnięta", bo jeśli $$C$$ < $$1$$, to $$x/C$$ jest dalej niż $$x$$.).

Ponadto jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $$y=0$$ - dość jasne, bo po ujemne argumenty stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

7
rys 4.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$$

8
rys 4.2 $$f1(4×x)$$



9
rys 5.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$$

10
rys 5.2 $$f1({1}/{2}×x)$$



11
rys 6.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$

12
rys 6.2 $$f1(-3×x)$$


Ostatnie przekształcenie, które omówimy, to przemnożenie wartości funkcji przez stałą $$C$$. Każdy punkt idzie więc $$C$$ razy wyżej lub niżej, a z tego wynika, że cała funkcja jest "rozciągnięta" (albo ściśnięta - jak w poprzednim przykładzie) - tyle, że pionowo, w osi y.

Oczywiście jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $$x=0$$ - dość jasne, bo po ujemne wartości stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

13
rys 7.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$$

14
rys 7.2 $$4×f1(x)$$



15
rys 8.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2) / (x+3)(x-5)$$

16
rys 8.2 $$0.5 × f1(x)$$



17
rys 9.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$

18

rys 9.2 $$(-2)×f1(x)$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Określ monotoniczność funkcji f

Skorzystamy z twierdzenia podanego na stronie 104. 

 

`a)\ a=5>0\ \ \ =>\ \ \ f uarr`

`b)\ a=-3<0\ \ \ =>\ \ \ fdarr`

`c)\ a=3-2sqrt2=sqrt9-sqrt4*sqrt2=sqrt9-sqrt8>0\ \ \ =>\ \ \ fuarr`

`d)\ a=0\ \ \ =>\ \ \ f\ -\ "stała"`

Rozwiąż nierówność.

a)

`cosx-cos2x < 1` 

`cosx-(2cos^2x-1) < 1` 

`cosx-cos^2x+1 < 1 \ \ \ |-1` 

`-cos^2x+cosx < 0` 

Wykonajmy podstawienie `t=cosx, \ \ \ t in < -1, 1>` 

 

`-t^2+t < 0` 

`-t(t-1) < 0` 

`t in (-oo, 0)uu(1,+oo)` 

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy `t in < -1,0)` 

 

`cos x in < -1,0)` 

`x in (pi/2+2kpi, 3/2pi+2kpi), \ \ k in "C"` 


b)

`sin^3x+sinx< 0` 

`sinx(sin^2x+1)< 0` 

Wykonajmy podstawienie `t=sinx, \ \ \ t in < -1, 1>` 

 

`t(t^2+1)< 0` 

`t in (-oo, 0)` 

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy `t in < -1, 0)` 

 

`sin x in < -1, 0)` 

`x in (pi+2kpi, 2pi+2kpi), \ \ k in "C"` 


c)

`|sinx| <=1/2` 

Narysujmy wykres funkcji `|sinx|` 

`x in < -pi/6+kpi, pi/6+kpi>, \ \ k in "C"` 

Wykaż, że wysokości trójkąta prostokątnego...

Dwie wysokości trójkąta to przyprostokątne, mają punkt wspólny w wierzchołku. Ostatnia wysokość wychodzi z tego wierzchołka i pada na przeciwprostokątną, więc wysokość ta przecina się z pozostałymi wysokościami w tym samym punkcie.

Prosta l2 jest obrazem prostej l1 ...

`a)` 

`l_1:y=2x-1` 

`P=(0;1)` 

`k=3` 

`A-"dowolny punkt leżący na prostej"\ l_1` 

`A=(x;y)=(x;2x-1)` 

`A'-"punkt A przekształcony przez rozważaną jednokładność"` 

`A'=(a,b)` 

 

`3vec(AP)=vec(A'P)` 

`3[-x;1-2x+1]=[-a;1-b]` 

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`-3x=-a\ implies\ a=3x` 

`3(-2x+2)=1-b\ implies\ b=6x-5`  

`A'=(3x;2*3x-5)` 

Podstawmy zamiast 3x tylko x.

`(x;2x-5)` 

Powyższy punkt należy do prostej:

`l_2:ul(y=2x-5` 

 

`b)` 

`l_1:x+2y-4=0` 

`l_1:y=-x/2+2`   

`P=(2;-1)` 

`k=-2`  

`A-"dowolny punkt leżący na prostej"\ l_1` 

`A=(x;y)=(x;-x/2+2)`  

`A'-"punkt A przekształcony przez rozważaną jednokładność"` 

`A'=(a,b)` 

 

`-2vec(AP)=vec(A'P)`   

`-2[2-x;-1+x/2-2]=[2-a;-1-b]` 

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`-4+2x=2-a\ implies\ a=-2x+6`   

`2(-x/2+3)=-1-b\ implies\ b=x-7`        

`A'=(-2x+6;x-7)`   

`A'=(-2x+6;-(-2x+6)/2-4)`   

Podstawmy zamiast -2x+6 tylko x.

`A'=(x;-x/2-4)`   

Powyższy punkt należy do prostej:

`l_2:ul(y=-x/2-4` 

Naszkicuj proste

 

Wykresami funkcji nie są wykresy l3, l4, l6. W każdym z tych wykresów wartości x równej odpowiednio 4, -5 i 0 przypisano nieskończenie wiele wartości (a funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru x przypisuje DOKŁADNIE JEDEN element ze zbioru y). Ogólnie warto zapamiętać, że proste będące wykresem równania x=liczba nie są wykresami funkcji. 

Dany jest pięciokąt o polu równym...

Pole tego pięciokąta składa się z pola pięciu trójkątów.

Pole jednego trójkąta wyraża się wzorem `P_Delta=1/2*a*r` 

`P_1=1/2*5,8*6=17,4` 

`P_2=1/2*6*6=18` 

`P_3=1/2*8,2*6=24,6` 

`P_4=1/2*11,6*r=34,8` 

`P_5=1/2*x*6=3"x"` 

 

`P=P_1+P_2+P_3+P_4+P_5` 

`144=17,4+18+24,6+34,8+3"x"` 

`144=94,8+3"x" \ \ \ |-94,8` 

`49,2=3x \ \ \ |:3` 

`16,4=x` 

 

Odp. Długość piątego boku to 16,4 cm.

W pięciu konkurencjach teleturnieju...

Średnia ważona:

`(10*5+30*8+20*6+40*3+10*n)/(10+30+20+40+n) = (50+240+120+120+10n)/(n+100) = (10n+530)/(n+100) = (10n+1000-470)/(n+100)= (10n+1000)/(n+100) - 470/(n+100)=` 

`=10* (n+100)/(n+100) - (470)/(n+100) = 10 - (470)/(n+100)` 

Średnia ważona co najmniej równa 7:

`10 - 470/(n+100) geq 7` 

`-470/(n+100) geq -3` 

`470/(n+100) leq 3`  

`470 leq 3n+300` 

`170 leq 3n` 

`170/3 leq n` 

`(168+2)/3 leq n` 

`168/3 + 2/3 leq n`

`56 + 2/3 leq n` 

Najmniejsza naturalna wartość wagi n wynosi 57.

Odpowiedź C 

Uprość wyrażenie wymierne....

`a)\ (x^2-5x+6)/(2x^2-5x-3)=(x^2-2x-3x+6)/(2x^2+x-6x-3)=(x(x-2)-3(x-2))/(x(2x+1)-3(2x+1))=((x-3)(x-2))/((x-3)(2x+1))=(x-2)/(2x+1)\ dla\ x!=3`

 

`b) \ (y^3 - 13y^2 + 39y - 27)/(y^3 - 9y^2 + 27y - 27) = (y^3 - 3y^2 - 10y^2 + 30y + 9y-27)/(y^3 - 3y^2 - 6y^2 + 18y + 9y -27)=(y^2(y-3)-10y(y-3)+9(y-3))/(y^2(y-3)-6y(y-3)+9(y-3))=((y-3)(y^2-10y+9))/((y-3)(y^2-6y+9))` 

`=((y-3)(y^2-y-9y+9))/((y-3)(y-3)^2) = ((y-3)(y(y-1)-9(y-1)))/((y-3)^3) = ((y-3)(y-1)(y-9))/((y-3)^3) = ((y-1)(y-9))/((y-3)^2)` 

 

`c)\ (a^4-16)/((a^4+8a^2+16)(2a^3-8a))=((a^2+4)(a^2-4))/((a^2+4)^2*2a(a^2-4))=(1)/(2a(a^2+4))\ dla\ a!=0\ i\ a!=2\ i\ a!=-2`

Zbadaj parzystość funkcji f.

`a)` 

`f(x)=-sinx` 

`-sinx=sin(-x)=-sin(-x)`  

`-f(x)=f(-x)`  

`"f jest nieparzysta."`  

 

`b)` 

`f(x)=sinx/cosx` 

`f(-x)=sin(-x) /cos(-x)=-sinx/cosx` 

`f(-x)=-f(x)` 

`"f jest nieparzysta."` 

 

`c)` 

`f(x)=sinxcosx` 

`f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx` 

`f(-x)=-f(x)` 

`"f jest nieparzysta."`  

 

`d)` 

`f(x)=sin^2x` 

`f(-x)=sin(-x)*sin(-x)=(-sinx)(-sinx)=sin^2x` 

`f(x)=f(-x)` 

`"f jest parzysta."`     

    

`e)`  

`f(x)=xsinx` 

`xsinx=-xsin(-x)`   

`f(x)=f(-x)` 

`"f jest parzysta."` 

 

`f)` 

`f(x)=x^2sinx` 

`f(-x)=xsin(-x)=-x^2sinx`  

`f(x)=-f(-x)` 

`"f jest nieparzysta".` 

 

`g)` 

`f(x)=xsin^2x` 

`f(-x)=-x(sin(-x)sin(-x))=-x(-sinx*(-sinx))=-xsin^2x` 

`f(-x)=-f(x)` 

`"f jest nieparzysta."` 

 

`h)` 

`f(x)=-|sinx|` 

`f(-x)=-|sin(-x)|=-|-sinx|=-|sinx|`  

`f(-x)=f(x)` 

`"f jest parzysta."` 

 

`i)` 

`f(x)=cosx+1` 

`f(-x)=cos(-x)+1=cosx+1` 

`f(x)=f(-x)` 

`"f jest parzysta."` 

 

`j)` 

`f(x)=(sinx+1)/x` 

`f(-x)=(sin(-x)+1)/(-x)=(-sinx+1)/-x` 

`f(x)nef(-x)ne -f(-x)` 

`"f nie jest parzysta, ani nieparzysta."` 

 

`k)` 

`f(x)=xcosx` 

`f(-x)=-xcos(-x)=-xcosx` 

`f(-x)=-f(x)` 

`"f jest nieparzysta."` 

 

`l)` 

`f(x)=-x^2cosx` 

`f(-x)=-x^2cos(-x)=-x^2cosx` 

`f(-x)=f(x)` 

`"f jest parzysta."`         

Wysokość graniastosłupa

Wiemy, że graniastosłup ABCDEFGH jest prawidłowy czworokątny, więc czworokąt ABCD jest kwadratem, a więc odcinki BC i CD są jednakowej długości. 

Przekątna DB ma długość 8 cm. Wiemy, że długość przekątnej kwadratu o boku a dana jest wzorem a√2. Obliczmy więc, jaką długość ma bok kwadratu:

`asqrt2=8` 

`a=8/sqrt2=(8sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)=(8sqrt2)/2=4sqrt2\ [cm]` 

 

Jednym z wielościanów jest ostrosłup o podstawie BCD i wierzchołku M. Odcinek CM to wysokość tego ostrosłupa. 

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa BCDM, czyli pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych a.

`P_p=1/2*4sqrt2*4sqrt2=1/strike2^1*4*4*strike2^1=16\ [cm^2]`

 

Wiemy, że wysokość graniastosłupa (czyli odcinek CG) ma długość 6 cm. 

Odcinek CM jest 2 razy dłuższy od odcinka GM. Oznaczmy długość odcinka GM jako x, a długość odcinka CM jako 2x. 

`2x+x=6` 

`3x=6\ \ \ |:3` 

`x=2\ [cm]` 

`|CM|=2*2=4\ [cm]` 

`|MG|=2\ [cm]` 

 

Wiemy już, jaką wysokość ma ostrosłup BCDM. Obliczamy objętość:

`V_(BCDM)=1/3*16*2=32/3=10 2/3\ [cm^3]` 

 

Obliczmy objętość graniastosłupa:

`V=4sqrt2*4sqrt2*6=16*2*6=16*12=192\ [cm^3]` 

 

Jeśli od objętości graniastosłupa odejmiemy objętość ostrosłupa BCDM, to otrzymamy objętość drugiego wielościanu:

`V_2=192-10 2/3=181 1/3\ [cm^3]`