Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przekształcanie wykresu funkcji

W tym temacie zajmiemy się kilkoma przekształceniami wykresu dowolnych funkcji.
Najpierw na podstawie wykresu $$y=f(x)$$ narysujmy wykres $$y = |f(x)|$$. Jak to zrobić?

Zastanówmy się, co tak naprawdę zrobiliśmy nakładając wartość bezwzględną na wartość funkcji. Jedyne punkty, które ulegają zmianie, to te, które znajdują się pod osią x - są one odbite symetrycznie względem tej prostej.

1
rys 1.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10) $$

2
rys 1.2 $$|f1(x)|$$


3
rys 2.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$$

4
rys 2.2 $$|f1(x)|$$



5
rys 3.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$


6
rys 3.2 $$|f1(x)|$$


Drugim przekształceniem jest przemnożenie argumentu funkcji przez jakąś stałą $$C$$. Co się wtedy dzieje? Można na to spojrzeć w ten sposób: jeśli wcześniej funkcja osiągała wartość $$y$$ w punkcie $$x$$, to teraz osiąga tę wartość w punkcie $$x/C$$, czyli w argumencie $$C$$ razy bliższym punktu $$(0,0)$$. Skoro dzieje się tak z każdym punktem wykresu, to całość jest tak jakby "ściśnięta" $$C$$ razy (albo "rozciągnięta", bo jeśli $$C$$ < $$1$$, to $$x/C$$ jest dalej niż $$x$$.).

Ponadto jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $$y=0$$ - dość jasne, bo po ujemne argumenty stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

7
rys 4.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$$

8
rys 4.2 $$f1(4×x)$$



9
rys 5.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$$

10
rys 5.2 $$f1({1}/{2}×x)$$



11
rys 6.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$

12
rys 6.2 $$f1(-3×x)$$


Ostatnie przekształcenie, które omówimy, to przemnożenie wartości funkcji przez stałą $$C$$. Każdy punkt idzie więc $$C$$ razy wyżej lub niżej, a z tego wynika, że cała funkcja jest "rozciągnięta" (albo ściśnięta - jak w poprzednim przykładzie) - tyle, że pionowo, w osi y.

Oczywiście jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $$x=0$$ - dość jasne, bo po ujemne wartości stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

13
rys 7.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$$

14
rys 7.2 $$4×f1(x)$$



15
rys 8.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2) / (x+3)(x-5)$$

16
rys 8.2 $$0.5 × f1(x)$$



17
rys 9.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$

18

rys 9.2 $$(-2)×f1(x)$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rzucamy dwukrotnie kostką ...

Przy dwukrotnym rzucie kostką możemy uzyskać 36 wyników

(6 wyników w pierwszy rzucie oraz 6 wyników w drugim rzucie, więc zgodnie z regułą mnożenia 6∙6 wyników). 

`overline(overline(Omega))=36` 


`A\ \ -\ \ "suma liczb oczek, które wypadną w obu rzutach, jest równa co najmniej 4"` 

`A'\ \ -\ \ "suma liczb oczek, które wypadną w obu rzutach, jest mniejsza niż 4"` 

{premium}

Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A':

`A'={(1,1),\ (1,2),\ (2,1)}` 

`overline(overline(A))=3` 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

`P(A')=3/36=1/12`  

`P(A)=1-P(A')=1-1/12=11/12` 


`B\ \ -\ \ "iloczyn oczek, które wypadną w obu rzutach, jest mniejszy od 25"` 

`A'\ \ -\ \ "suma liczb oczek, które wypadną w obu rzutach, jest większy lub równy 25"` 

 

Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu B':

`B'={(5,5),\ (5,6),\ (6,5),\ (6,6)}` 

`overline(overline(A))=4` 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

`P(B')=4/36=1/9`  

`P(B)=1-P(A')=1-1/9=8/9` 

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami...

`x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=c/a*((-b)/a)=(-bc)/a^2` 

`(-bc)/a^2=|m|*(2|m|-4)` 

 

Przypadek I.

`m>=0` 

`m*(2m-4)=2m^2-4m` 

`p=4/4=1` 

`m=1` 

 

Przypadek II.

`m< 0` 

`-m(2*(-m)-4)=2m^2+4m` 

`p=(-4)/4=-1` 

`m=-1` 

 

Odp. `m=-1 \ \ "lub" \ \ m=1` 

Wyznacz te wartości parametru m, dla których...

`"a)"\ -x^2+(m+2)x+8m-1< 0` 

Współczynnik przy `x^2` jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu.

Nierówność będzie spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, gdy parabola będzie znajdowała się poniżej osi `OX,` 

czyli wystarczy sprawdzić, dla jakich wartości parametru `m` zachodzi `Delta< 0.` 

`Delta=(m+2)^2+4(8m-1)=m^2+4m+4+32m-4=m^2+36m` 

`Delta< 0 <=> m^2+36m< 0` 

`m(m+36)< 0` 

`m in (-36,\ 0)` 

Odp. `m in (-36,\ 0).` 

{premium}

 

`"b)"\ 2x^2+(3+m)x+2>0` 

Współczynnik przy `x^2` jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry.

Nierówność będzie spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, gdy parabola będzie znajdowała się powyżej osi `OX,` 

czyli wystarczy sprawdzić, dla jakich wartości parametru `m` zachodzi `Delta< 0.` 

`Delta=(m+3)^2-16=(m+3-4)(m+3+4)=(m-1)(m+7)` 

`Delta< 0 <=> (m-1)(m+7)< 0` 

`m in (-7,\ 1)` 

Odp. `m in (-7,\ 1).` 

 

`"c)"\ (4-m)x^2-3x+m+4>0` 

Nierówność będzie spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, gdy parabola będzie znajdowała się powyżej osi `OX,` 

czyli wystarczy sprawdzić, dla jakich wartości parametru `m` zachodzi `Delta< 0` i kiedy ramiona paraboli są skierowane do góry. 

Mamy więc:

`4-m>0\ ^^\ Delta< 0` 

`m< 4\ ^^\ 9-4(4-m)(m+4)< 0` 

`m< 4\ ^^\ 9-4(16-m^2)< 0` 

`m< 4\ ^^\ 4m^2-55< 0` 

`m< 4\ ^^\ m^2< 55/4` 

`m< 4\ ^^\ |m|< sqrt55/2` 

`m< 4\ ^^\ m< sqrt55/2\ ^^\ m> -sqrt55/2` 

`m in (-sqrt55/2,\ sqrt55/2)` 

Odp. `m in (-sqrt55/2,\ sqrt55/2).` 

 

`"d)"\ (m+1)x^2-2(m-1)x+3m-3< 0` 

Nierówność będzie spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, gdy parabola będzie znajdowała się poniżej osi `OX,` 

czyli wystarczy sprawdzić, dla jakich wartości parametru `m` zachodzi `Delta< 0` i kiedy ramiona paraboli są skierowane do dołu. 

Mamy więc:

`m+1< 0\ ^^\ Delta< 0` 

`m< -1\ ^^\ 4(m-1)^2-12(m-1)(m+1)< 0` 

`m< -1\ ^^\ (m-1)[4(m-1)-12(m+1)]< 0` 

`m< -1\ ^^\ 4(m-1)(m-1-3m-3)< 0` 

`m< -1\ ^^\ 4(m-1)(-2m-4)< 0` 

`m< -1\ ^^\ -8(m-1)(m+2)< 0` 

`m in (-oo,-1)\ ^^\ m in (-oo,-2) uu (1,+oo)` 

`m in (-oo,-2)` 

Odp. `m in (-oo,-2).` 

Wyznacz równanie stycznej...

`a) \ f(x) = x^2, \ \ P=(1,1)` 

`f^' (x) = 2x` 

 

`f(1) = 1` 

`f^'(1) = 2` 

 

`y-f(x_0) = f^'(x_0) (x-x_0)` 

`y-f(1) = f^' (1) (x - 1)` 

`y - 1 = 2(x-1)` 

`y=2x-2+1` 

`y=2x-1` 

 

 

`b) \ f(x) = x^2` 

`f^' (x) = 2x` 

 

`f(-2) = 4` 

`f^' (-2) = -4` 

 

`y-f(-2) = f^' (-2) ( x +2)` 

`y - 4 = -4(x+2)` 

`y= -4x-8 + 4` 

`y=-4x-4` 

 

 

 

 

 

Wyznacz dziedzinę funkcji ...

`a)` 

`f(x)=x+x^2+x^3+...` 

`|x|<1` 

`x<1\ \ \ wedge \ \ \x> -1` 

`x in (-1;1)` 

`f(x)=x/(1-x)` 

`b)` 

`f(x)=-x+x^2-x^3+...` 

`q=-x` 

`|-x|<1` 

`-x<1\ \ \^^\ \ \-x> -1`  

`x> -1\ \ \wedge\ \ \x<1` 

`x in (-1;1)` 

 

`f(x)=(-x)/(1+x)` 

`c)`  

`f(x)=1+1/x+1/x^2+...` 

`q=1/x` 

`|1/x|<1` 

`1/x<1\ \ \vee\ \ \1/x> -1`  

`x>1\ \ \vv\ \ \x<-1` 

`x in RR\\ [-1;1]` 

 

`f(x)=1/(1-1/x)=1/((x-1)/x)=x/(x-1)` 

`d)` 

`f(x)=-1+3/x-9/x^2+...` 

`a_1=-1` 

`q=-3/x` 

`|-3/x|<1` 

`x>3\ \ \vv\ \ \x<-3` 

`x in RR\\[-3;3]` 

 

`f(x)=-1/(1+3/x)=-x/(3+x)`  

Jaką kwotą będziemy dysponowali ...

`a)` 

`5000*(1+0,045)^5=5000*(1,045)^5~~5000*1,246=ul6230` 

 

`b)` 

`5000*(1+0,055)^8=5000*(1,055)^8~~5000*1,535=ul7675` 

 

`c)` 

`5000*(1+0,03)^10~~5000*1,3439=ul(6719,5)` 

 

`d)` 

`5000*(1+0,04)^10~~5000*1,4802=ul7401`     

Oblicz.

Korzystamy z następujących twierdzeń:

Jeżeli a,x i y >0 oraz a1, to:

`log_(a)(x*y)=log_(a)x+log_(a)y` 

`log_(a)(x/y)=log_(a)x-log_(a)y` 

 

`"a)"\ log_(6)4+log_(6)9=log_(6)(4*9)=log_(6)36=2` 

`"b)"\ log8+log125=log(8*125)=log1000=3` 

`"c)"\ log_(3)54-log_(3)2=log_(3)(54/2)=log_(3)27=3` 

`"d)"\ log_(5)15-log_(5)75=log_(5)(15/75)=log_(5)(1/5)=log_(5)5^-1=-1` 

`"e)"\ log_(7)19-log_(7)19/49=log_(7)(19/(19/49))=log_(7)49=2` 

`"f)"\ log_(1/2)0,6-log_(1/2)0,15=log_(1/2)((0,6)/(0,15))=log_(1/2)(60/15)=log_(1/2)4=log_(1/2)(1/2)^-2=-2` 

`"g)"\ log_(5)0,04-log_(5)0,008=log_(5)((0,04)/(0,008))=log_(5)(40/8)=log_(5)5=1`   

`"h)"\ log6-log2-log3=log_()(6/2)-log3=log3-log3=log_()(3/3)=log1=0`  

`"i)"\ log_()(7/4)-log14-log125=log_()((7/4)/14)-log125=log_()(1/8)-log125=` 

`\ \ \ \ =log_()((1/8)/125)=log_()(1/1000)=log10^-3=-3`

Porównaj miary podanych kątów.

a) `2 \ "rad"=(180*2\pi)^o=(360/pi)^o~~(360/3,14)^o~~114,6^o` 

`2 \ "rad" > 2^o` 

 

b) `2 \ "rad"=(180*2\pi)^o=(360/pi)^o~~(360/3,14)^o~~114,6^o` 

`2 \ "rad" > 20^o` 

 

c) `2 \ "rad"=(180*2\pi)^o=(360/pi)^o~~(360/3,14)^o~~114,6^o` 

`2 \ "rad" < 200^o` 

 

d) 

`2 \ "rad"=(180*2\pi)^o=(360/pi)^o~~(360/3,14)^o~~114,6^o` 

`2 \ "rad" < 2000^o` 

Zbadaj liczbę rozwiązań...

a) 

`{(2x^2-3x=2+y \ \ |-2),(x^2+2(m-1)x=4m+y):}` 

`{(2x^2-3x-2=y),(x^2+2(m-1)x=4m+2x^2-3x-2):}` 

 

`x^2+2(m-1)x=4m+2x^2-3x-2` 

`x^2+2mx-2x=4m+2x^2-3x-2` 

`x^2+2mx-2x-4m-2x^2+3x+2=0` 

`-1x^2+2mx+1x-4m+2=0` 

`-1x^2+x(2m+1)-4m+2=0` 

`Delta=(2m+1)^2-4*(-1)*(-4m+2)=4m^2+4m+1+4(-4m+2)=4m^2+4m+1-16m+8=4m^2-12m+9` 

 

Δ

`4m^2-12m+9=0` 

`Delta_m=(-12)^2-4*4*9=144-144=0` 

`m=(-(-12))/(2*4)=(12/8)=3/2` 

Odpowiedź:

`"jedno rozwiązanie" \ \ (Delta_m=0) \ \ "dla" \ \ m=3/2` 

`"dwa rozwiązania" \ \ (Delta_m>0) \ \ "dla" \ \ m in (-oo, 3/2)uu(3/2,+oo)` 


b) 

`{(y=mx^2+1),(x^2-2mx=y-m):}` 

`{(y=mx^2+1),(x^2-2mx=mx^2+1-m):}` 

`x^2-2mx=mx^2+1-m` 

`x^2-2mx-mx^2-1+m=0` 

`x^2(1-m)-2mx-1+m=0` 

 

Rozważmy przypadek, gdy `a!=0 \ \ "czyli" \ \ 1-m!=0 \ \ "czyli" \ \  1!=m`   

`Delta=(-2m)^2-4*(1-m)*(-1+m)=4m^2-4*(-1+1m+1m-m^2)=4m^2+4-4m-4m+4m^2=8m^2-8m+4` 

`8m^2-8m+4=0 \ \ \ |:4` 

`2m^2-2m+1=0` 

`Delta_m=(-2)^2-4*2*1=4-8=-4` 

`Delta_m < 0 \ \ "brak miejsc zerowych"` 

`2m^2-2m+1>0 \ \ "dla każdego m"` 

 

Rozważmy przypadek, gdy `1=m` 

`x^2(1-m)-2mx-1+m=0` 

`x^2(1-1)-2*1x-1+1=0` 

`-2x=0 \ \ |:(-2)` 

`x=0` 

 

Odpowiedź:

`"dwa rozwiązania dla" \ \  m in (-oo, 1)uu(1,+oo)` 

`"jedno rozwiązanie dla" \ \ m=1` 

Przedstaw wyrażenie...

`"cos"beta="sin"(90^o -beta)` 

 

`"sin"alpha-"cos"beta="sin"alpha-"sin"(90^o - beta)=2"cos"(alpha+90^o-beta)/2"sin"(alpha-(90^o - beta))/2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ =2"cos"(alpha+90^o-beta)/2"sin"(alpha-90^o + beta)/2=2"cos"((alpha-beta)/2+(90^o)/2)"sin"((alpha+beta)/2+(90^o)/2)` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ =2"cos"((alpha-beta)/2+45^o)"sin"((alpha+beta)/2+45^o)`