Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Przekształcanie wykresu funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przekształcanie wykresu funkcji

W tym temacie zajmiemy się kilkoma przekształceniami wykresu dowolnych funkcji.
Najpierw na podstawie wykresu $$y=f(x)$$ narysujmy wykres $$y = |f(x)|$$. Jak to zrobić?

Zastanówmy się, co tak naprawdę zrobiliśmy nakładając wartość bezwzględną na wartość funkcji. Jedyne punkty, które ulegają zmianie, to te, które znajdują się pod osią x - są one odbite symetrycznie względem tej prostej.

1
rys 1.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10) $$

2
rys 1.2 $$|f1(x)|$$


3
rys 2.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$$

4
rys 2.2 $$|f1(x)|$$



5
rys 3.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$


6
rys 3.2 $$|f1(x)|$$


Drugim przekształceniem jest przemnożenie argumentu funkcji przez jakąś stałą $$C$$. Co się wtedy dzieje? Można na to spojrzeć w ten sposób: jeśli wcześniej funkcja osiągała wartość $$y$$ w punkcie $$x$$, to teraz osiąga tę wartość w punkcie $$x/C$$, czyli w argumencie $$C$$ razy bliższym punktu $$(0,0)$$. Skoro dzieje się tak z każdym punktem wykresu, to całość jest tak jakby "ściśnięta" $$C$$ razy (albo "rozciągnięta", bo jeśli $$C$$ < $$1$$, to $$x/C$$ jest dalej niż $$x$$.).

Ponadto jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $$y=0$$ - dość jasne, bo po ujemne argumenty stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

7
rys 4.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$$

8
rys 4.2 $$f1(4×x)$$



9
rys 5.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2)/(x+3)(x-5)$$

10
rys 5.2 $$f1({1}/{2}×x)$$



11
rys 6.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$

12
rys 6.2 $$f1(-3×x)$$


Ostatnie przekształcenie, które omówimy, to przemnożenie wartości funkcji przez stałą $$C$$. Każdy punkt idzie więc $$C$$ razy wyżej lub niżej, a z tego wynika, że cała funkcja jest "rozciągnięta" (albo ściśnięta - jak w poprzednim przykładzie) - tyle, że pionowo, w osi y.

Oczywiście jeśli mnożymy przez stałą mniejszą od zera, wykres odbija się symetrycznie względem prostej $$x=0$$ - dość jasne, bo po ujemne wartości stają się dodatnie, a dodatnie ujemne.

13
rys 7.1 $$f1(x) = (x-2)(x+3)(x-5)(x+10)$$

14
rys 7.2 $$4×f1(x)$$



15
rys 8.1 $$f1(x) = (x-2)(x+2) / (x+3)(x-5)$$

16
rys 8.2 $$0.5 × f1(x)$$



17
rys 9.1 $$f1(x) = 1/x + 5$$

18

rys 9.2 $$(-2)×f1(x)$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC...

a) Z twierdzenia sinusów:

`a/(sin alpha) = 6/(sin 45^o) = 6/(sqrt2/2) = 6*2/sqrt2 = 6*sqrt2 = 6sqrt2` 

 

A więc:

`b/(sin beta) = 6sqrt2` 

`sin beta = b/(6sqrt2) = 8/(6sqrt2) *sqrt2/sqrt2 = (8sqrt2)/12 = (2sqrt2)/3 approx 0,9428` 

Z tablic wartości trygonometrycznych:

`sin 71^o approx 0,9455` 

stąd:

`beta approx 71^o`  

 

Trzeci kąt ma miarę:

`gamma = 180^o - (alpha + beta) approx 180^o -(45^o + 71^o) = 180^o - 116^o = 64^o` 

Z twierdzenia sinusów:

`c/(sin gamma) = 6sqrt2` 

`c approx 6sqrt2 * sin 64^o approx 6sqrt2* 0,8988 approx 7,63 \ ["cm"]` 

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie:

`R = a/(2*sin 45^o) = 6/(2*sqrt2/2) = 6/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 = (6sqrt2)/2 = 3sqrt2 \ ["cm"]` 

 

`b) \ c/(sin gamma)= 20/(sin 135^o) = 20/(sin 45^o) = 20/(sqrt2/2) = 20*2/sqrt2 = 40/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 = (40sqrt2)/2 = 20sqrt2` 

Z twierdzenia sinusów:

`b/(sin beta) = 20sqrt2` 

`sin beta = b/(20sqrt2) approx 0,53` 

Z tablic wartości trygonometrycznych:

`sin 32^o approx 0,5299` 

a więc:

`beta approx 32^o` 

 

A więc:

`alpha = 180^o - (beta + gamma) approx 180^o - (32^o + 135^o) = 180^o - 167^o = 13^o` 

 

Zatem:

`a/(sin 13^o) = 20sqrt2` 

`a = 20sqrt2 * sin 13^o approx 20sqrt2*0,225 approx 6,4 \ ["cm"]` 

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie:

`R = c/(2*sin gamma) = 20/(2*sin 135^o) = 10/(sin 45^o) = 10/(sqrt2/2) = 10*2/sqrt2 = 20/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 = (20sqrt2)/2 = 10sqrt2` 

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego...

Rysunek:

`y = x/2` 

 

`tg \ alpha = (2x)/y = (2x)/(x/2) = 2x * 2/x = 4` 

Do której ćwiartki układu ...

`"a)"\ x=log_(1/4)1024` 

Z definicji logarytmu mamy:

`(1/4)^x=1024` 

`(1/4)^x=4^5` 

`4^-x=4^5` 

Podstawmy potęg są równe, więc zapisujemy równość pomiędzy ich wykładnikami.

`-x=5` 

Stąd:

`x=-5` 

 

`y=log_(sqrt2)4` 

Z definicji logarytmu mamy:

`(sqrt2)^y=4` 

`(2^(1/2))^y=2^2` 

`2^(1/2y)=2^2`  

Podstawmy potęg są równe, więc zapisujemy równość pomiędzy ich wykładnikami.

`1/2y=2`   

Stąd:

`y=4` 

 

Otrzymujemy punkt o współrzędnych:

`x=-5,\ \ y=4`

Punkt ten leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ x=log_(2)pi` 

Z definicji logarytmu mamy:

`2^x=pi` 

`2^x~~3,14`    

Zauważmy, że:

`2<3,14<4` 

`2^1<3,14<2^2`   

`2^1<2^x<2^2`    

Stąd:

`1<x<2` 

 

`y=log_(1/2)pi`  

Z definicji logarytmu mamy:

`(1/2)^y=pi`  

`(1/2)^y~~3,14`  

Zauważmy, że:

`2<3,14<4` 

`2^1<3,14<2^2` 

`(1/2)^(-1)<3,14<(1/2)^-2` 

`(1/2)^(-1)<(1/2)^y<(1/2)^-2`    

Stąd:

`-2<y< -1`    

 

 

Otrzymujemy więc współrzędną x o dodatnim znaku oraz współrzędną y o ujemnym znaku:

`1<x<2`  

`-2<y< -1`     

 

Punkt ten leży w czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Rozwiąż równanie.

`a) \ 3^(x+3)+ 5*3^(x-1) = 86` 

`3^(x-1+4) +5*3^(x-1) = 86` 

`3^(x-1)*81 + 5*3^(x-1) = 86` 

`3^(x-1) (81+5) = 86` 

`3^(x-1) * 86 = 86 \ \ \ |:86` 

`3^(x-1) = 1` 

`3^(x-1) = 3^0` 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

`x-1 =0` 

`x=1` 

Rozwiązaniem równania jest liczba

`1` 

 

`b) \ 2^(x+3) + 2^x = 54` 

`2^x * 8 + 2^x = 54` 

`2^x (8+1) = 54` 

`2^x * 9 = 54` 

`2^x = 6` 

Z definicji logarytmu:

`x = log_2 6` 

Rozwiązaniem równania jest liczba

`log_2 6` 

 

`c) \ 7^(x+2) - 2*7^(x+1) + 5*7^x = 280` 

`7^x * 49 - 2*7^x * 7 + 5*7^x = 280` 

`7^x (49-14+5) = 280` 

`7^x *40 = 280` 

`7^x = 7` 

Z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

`x = 1`  

Rozwiązaniem równania jest liczba

`1` 

Oblicz

`a)\ root(3)(-8000)=-20`

`b)\ root(3)(-0,001)=-0,1`

`c)\ root(3)(-125/64)=-5/4=-1 1/4`

`d)\ root(3)(-3 3/8)=root(3)(-27/8)=-3/2=-1 1/2`

Wypisz pary trójkątów przystających...

`a)\ Delta ACD equiv Delta BCD`

`b)\ Delta ADE equiv Delta BCF`

`Delta ADG equiv Delta BCG`

`c)\ Delta ACE equiv Delta BCD`

`Delta BCG equiv Delta ACH`

`Delta CDG equiv Delta CEH`

`Delta ADF equiv Delta BEF`

Wyznacz równanie okręgu ...

`O=(0;0)` 

`y=-9/x` 

 

Szukamy równania okręgu stycznego do hiperboli.

`K:\ x^2+y^2=r^2` 

`y=-9/x` 

Najbliżej środka układu współrzędnych leży punkt hiperboli należący do prostej y=-x.

Oznaczmy go jako P.

`P=(x;y)=(x;-9/x)` 

Skoro leży na prostej y=-x to:

`x=9/x` 

`x^2=9` 

`x_1=3\ \ \vv\ \ \x_2=-3` 

`y_1=-9/3=-3`   

`y_2=-9/(-3)=3`         

`P=(3;-3)\ \ \vv \ \ \P=(-3;3)` 

Przyjmijmy, że:

`P=(3;-3)`  

Policzmy odległość punkt P od od punktu S.

`|OP|=sqrt(3^2+(-3)^2)=sqrt18=3sqrt2` 

Zatem:

`r=3sqrt2` 

Szukane równanie okręgu jest postaci:

`ul(x^2+y^2=18` 

 

Współczynnik kierunkowy prostej l prostopadłej do prostej...

Doprowadźmy równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej:

`2x-sqrt2y-1=0` 

`sqrt2y = 2x-1` 

`y = 2/sqrt2x - 1/sqrt2` 

`m: \ y = sqrt2x - 1/sqrt2` 

Iloczyn współczynników kierunkowych prostej m i prostej l jest równy -1:

`a * sqrt2 = -1` 

`a = -1/sqrt2 = -sqrt2/2` 

Odpowiedź D

Wyrazy: a1,a2,a4 rosnącego ciągu geometrycznego...

Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

`2a_2 = a_1 + a_4` 

Ciąg an jest geometryczny czyli:

`2a_1q = a_1 + a_1 q^3` 

`2a_1q -a_1q^3=a_1` 

`a_1q(2-q^2)= a_1` 

a1 jest różne od zera gdyż ciąg geometryczny jest rosnący, możemy podzielić równanie przez wyraz a1.

 

`q(2-q^2)=1` 

`2q - q^3=1` 

`q^3-2q+1=0` 

`q^3-q-q+1=0` 

`q(q^2-1)-(q-1)=0` 

`q(q-1)(q+1)-(q-1)=0` 

`(q-1)[q(q+1)-1]=0` 

`(q-1)(q^2+q-1)=0` 

`q_1 = 1` 

Obliczmy deltę dla trójmianu:

`Delta = 1-4*(-1) = 1+4=5` 

`sqrtDelta = sqrt5` 

 

`q_2 = (-1-sqrt5)/2 < 0` 

`q_3 = (-1+sqrt5)/2` 

 

Zatem rozwiązaniami są:

`q_1 = 1 \ \ vv \ \ q_3=(sqrt5-1)/2` 

 

Ciąg an ma być rosnący zatem q1 odpada z rozwiązania. Skoro q3 jest większe od 0 i mniejsze od 1 to a1 musi być ujemne żeby ciąg był rosnący.

`q = (sqrt5-1)/2 \ , \ a_1 < 0` 

Uzasadnij, że jeśli jeden bok prostokąta

Drugi bok ma długość n, gdzie n jest liczbą naturalną. Jeśli jest to długość boku, to należy zauważyć, że nie może być ona równa zero. 

Długość przekątnej prostokąta możemy obliczyć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. 

 

`1^2+n^2=d^2`

`1+n^2=d^2`

`d^2=n^2+1`

`d=sqrt(n^2+1)`

 

Chcemy uzasadnić, że powyższy pierwiastek jest liczbą niewymierną.  Jeśli n było liczbą naturalną, to n2 także jest liczbą naturalną. Jeśli do liczby naturalnej dodamy 1, to uzyskamy także liczbę naturalną, więc n2+1 jest liczbą naturalną. Jeśli więc wyrażenie pod pierwiastkiem jest liczbą naturalną, to ten pierwiastek byłby liczbą wymierną tylko wtedy, gdyby wyrażenie pod pierwiastkiem było kwadratem pewnej liczby naturalnej. Musiałaby więc zachodzić równość:

`n^2+1=x^2\ \ \ \ \ \ (x \-\ "l. naturalna")`

Można to zapisać w sposób równoważny:

`1=x^2-n^2`

`x^2-n^2=1\ \ \ \ (**)`

 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Wzór ten pojawił się w drugiej gimnazjum, jednak przypomnimy go:

`a^2-b^2=(a-b)(a+b)`

 

Możemy więc zapisać równość oznaczoną gwiazdką w równoważny sposób:

`(x-n)(x+n)=1`

Liczby x oraz n są liczbami naturalnymi. Różnica x-n jest więc liczbą całkowitą, a suma x+n jest liczbą naturalną. Iloczyn liczby całkowitej i naturalnej jest równy 1 tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe 1. Musiałyby więc zachodzić równości:

`{(x-n=1), (x+n=1):}\ \ \ |+` 

`2x=2\ \ \ |:2` 

`x=1` 

Wstawiamy obliczoną wartość x do drugiego równania:

`1+n=1\ \ \ |-1` 

`n=0` 

Nie jest to możliwe, ponieważ n jako długość boku musi być liczbą większą od 0. 

Otrzymaliśmy sprzeczność, co oznacza, że liczba n2+1 nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej, więc pierwiastek z liczby n2+1 nie może być liczbą wymierną.