Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $$X$$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $$f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$$

2) Liczymy pochodną:
$$f'(x) = 3x^2+6x-4$$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$$
$$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $$f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$$

gdzie $$W$$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$$W = A(x^2 + Bx + C)$$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $$A$$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $$f(x)$$ dostajemy $$1$$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $$f(x) = {x^5 + ...}/{5}$$, to $$f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $$B$$ i $$C$$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$$

5) Widać, że $$C×(-2)×(-3)$$ musi być równe $$({-24}/{5})$$ - dostajemy więc $$C = {-4}/{5}$$.

6) Teraz możemy obliczyć $$B$$ - skupmy się na współczynniku przy $$x$$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
$${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$$

7) Podstawiając za $$C {4}/{5}$$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$$B = {-11}/{5}$$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$$
której pierwiastkami są
$$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$$
$$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $$-2, -3, x_1, x_3$$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj dziedzinę wyrażenia ...

`a)` 

`w(x)=(4x^2+4x)/(x^3+1)` 

`D:` 

`x^3+1ne0` 

`xne-1` 

`D=RR\\{-1}` 

      

`w(x)=(4x^2+4x)/(x^3+1)=(4x(x+1))/((x+1)(x^2-x+1))=(4x)/(x^2-x+1)` 

 

`b)` 

`w(x)=(2x^2+6x+18)/(27x-x^4)` 

`D:` 

`27x-x^4ne0` 

`x(27-x^3)ne0` 

`x(3-x)(9+3x+x^2)ne0` 

`x ne0\ \ \wedge\ \ \x-3ne0\ \ \wedge\ \ \9+3x+x^2ne0`    

`x ne 0\ \ \wedge\ \ \xne3` 

Rozważmy:

`f(x)=x^2+3x+9`     

`W=(-b/(2a);f(-b/(2a)))`  

`-b/(2a)=-3/2` 

`f(-3/2)=9/4-9/2+9>0`   

Zauważmy że współczynnik przy najwyższej potędze trójmianu jest dodatni. Dodatkowo wierzchołek paraboli

będącej wykresem funkcji f leży nad osią OX, zatem f nie ma miejsc zerowych.

`f(x)ne0\ "dla każdego x"` 

Podsumowując:

`D=RR\\{0;3}`         

 

`w(x)=(2x^2+6x+18)/(27x-x^4)=(2(x^2+3x+9))/(x(3-x)(x^2+3x+9))=2/(x(3-x)` 

 

`c)` 

`w(x)=(x^3-8x^2+x-8)/(x^3-8x^2-x+8)` 

`D:` 

`x^3-8x^2-x+8ne0` 

`x^2(x-8)-(x-8)ne0` 

`(x^2-1)(x-8)ne0` 

`(x-1)(x+1)(x-8)ne0` 

`x-1ne0\ \ \wedge\ \ \x+1ne0\ \ \wedge\ \ \x-8ne0`  

`D=RR\\{-1;1;8}`            

 

`w(x)=(x^3-8x^2+x-8)/(x^3-8x^2-x+8)=(x^2(x-8)+(x-8))/(x^2(x-8)-(x-8))=`  

`=((x^2+1)(x-8))/((x^2-1)(x-8))=(x^2+1)/(x^2-1)`  

Hurtownia pościeli zamawia poduszki

Wiemy, że wielkości zamówień realizowanych przez kolejnych dostawców mają się do siebie jak 3:2:4. Oznaczmy więc prawdopodobieństwo zamówienia u pierwszego dostawcy jako 3x, u drugiego - jako 2x, a u trzeciego - jako 4x. 

Z treści zadania wiadomo, że hurtownia zamawia poduszki tylko u tych trzech dostawców, więc suma tych prawdopodobieństw musi być równa 1. 

`3x+2x+4x=1` 

`9x=1\ \ \ |:9` 

`x=1/9` 

`3x=3*1/9=1/3` 

`2x=2*1/9=2/9` 

`4x=4*1/9=4/9` 

 

Wprowadźmy więc oznaczenia zdarzeń:

`I\ \ -\ \ "poduszka została dostarczona przez hurtownię I"` 

`II\ \ -\ \ "poduszka została dostarczona przez hurtownię II"` 

`III\ \ -\ \ "poduszka została dostarczona przez hurtownię III"` 

 

`P(I)=1/3` 

`P(II)=2/9` 

`P(III)=4/9` 

 

`M\ \ -\ \ "wybrana poduszka jest rozmiaru M"` 

`L\ \ -\ \ "wybrana poduszka jest rozmiaru L"` 

 

Z treści zadania wiadomo, że:

`P(M|I)=50%=50/100=1/2` 

Pozostałe poduszki dostarczane przez pierwszego dostawce są więc rozmiaru L:

`P(L|I)=1-1/2=1/2`   

 

 

`P(M|II)=30%=30/100=3/10` 

Pozostałe poduszki dostarczane przez drugiego dostawce są więc rozmiaru L:

`P(L|II)=1-3/10=7/10` 

 

 

Szukamy prawdopodobieństwa dostarczenia poduszek w rozmiarze M przez dostawcę III. Wprowadźmy więc oznaczenia:

`P(L|III)=p` 

`P(M|III)=1-p` 

 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo, że losowo wybrana poduszka jest rozmiaru L:

`P(L)=P(L|I)*P(I)+P(L|II)*P(II)+P(L|III)*P(III)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1/2*1/3+7/strike10^5*strike2^1/9+p*4/9=1/6+7/45+4/9p`      

Z treści zadania wiadomo, że to prawdopodobieństwo wynosi jedna trzecia:

`1/6+7/45+4/9p=1/3\ \ \ \ \ |*9` 

`9/6+strike9^1*7/strike45^5+4p=3` 

`3/2+7/5+4p=3\ \ \ \ |*10` 

`3/strike2^1*strike10^5+7/strike5^1*strike10^2+40p=30` 

`15+14+40p=30` 

`29+40p=30\ \ \ |-29` 

`40p=1\ \ \ |:40` 

`p=1/40` 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo (należy pamiętać, że trzeba je wyrazić w procentach - tak brzmi polecenie)

`P(M|III)=1-1/40=39/40=39/40*100%=3900/40%=390/4%=195/2%=97,5%` 

 

 

Podaj dziedzinę i wzór funkcji

Wiemy, że przekątna kwadratu o boku a jest dana wzorem:

`asqrt2` 

 

W zadaniu podano, że przekątna ma długość x. Wyznaczmy więc długość boku kwadratu z poniższego równania:

`x=asqrt2\ \ \ |:sqrt2` 

`a=x/sqrt2=(xsqrt2)/(sqrt2*sqrt2)=(xsqrt2)/2` 

 

Wyznaczymy wzór opisujący pole kwadratu o boku a:

`P(x)=((xsqrt2)/2)^2=(x^2*2)/4=(x^2)/2=1/2x^2` 

 

Oczywiście długość przekątnej i boku muszą być wyrażone liczbami dodatnimi, dlatego zapisujemy dziedzinę: 

`D=(0;\ +infty)`

 

Kreślimy wykres funkcji:

 

Licznik rowerowy podaje pokonaną odległość mnożąc liczbę n obrotó

Nasze obliczenia: 

`S_1=10\ 000*2*3,142*35\ cm=` `2\ 199\ 400\ cm` 

 

Obliczenia licznika: 

`S_2=10\ 000*2*3*35\ cm=2\ 100\ 000\ cm` 

 

Różnica: 

`S_1-S_2=2\ 199\ 400\ cm-2\ 100\ 000\ cm-99\ 400\ cm=994\ m=0,994\ km` 

Dany jest okrąg o środku P i promieniu r. Podaj

a)

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Szkicujemy koło oraz proste równoległe do osi OX. Obliczamy punkty przecięcia prostych z okręgiem- punkty A1 i A2.  

`(2,4) \ \ stackrel(r=2)=> \ \ \ A_1(2, \ 4+2) \ vee \ \ \ A_2 (2, \ 4-2)`

                             `A_1 (2,6) \ \ \ \ vee \ \ \ \ A_2(2,2)`

 

Zauważamy, że punkty należące do prostych mają taką samą współrzędną igrekową. Nic dziwnego- proste te są równoległe do osi OX. Zatem drugie współrzędne punktów przecięcia prostych z okręgiem określają nam równanie prostej. 

`y=2`

`y=4`

b)

`(-3,1) \ \ stackrel(r=5)=> \ \ \ A_1(-3, \ 1+5) \ vee \ \ \ A_2 (-3, \ 1-5)`

                                   `A_1 (-3,6) \ \ \ \ \ vee \ \ \ \ A_2(-3,-4)`

`y=6`

`y=-4`

c)

`(-5,-3 1/2) \ \ stackrel(r=4 1/2)=> \ \ \ A_1(-5, \ \ -3 1/2+4 1/2) \ vee \ \ \ A_2 (-3, \ \-3 1/2-4 1/2)`

                                   `A_1 (-5,1) \ \ \ \ \ vee \ \ \ \ A_2(-5,-8)`

`y=1`

`y=-8`

Dla każdej z poniższych funkcji liniowych podaj współczynnik

`a)\ a=1,\ \ b=7`

`b)\ a=-1,\ \ b=1`

`c)\ a=sqrt2,\ \ b=0`

`d)\ a=0,\ \ b=-4`

`e)\ a=3/2,\ \ b=-4/2=-2`

`f)\ a=-5/4,\ \ b=8/4=2`

Ustal liczbę punktów wspólnych...

a) `2x^2+x+1=6x^2+3x-2` 

`2x^2+x+1-6x^2-3x+2=0` 

`-4x^2-2x+3=0` 

`Delta=(-2)^2-4*(-4)*3=4+48=52` 

Dwa punkty wspólne.


b) `2x^2+x+1=-x^2+x-3` 

`2x^2+x+1+x^2-x+3=0` 

`3x^2+4=0` 

`Delta=0^2-4*3*4=-48` 

Brak punktów wspólnych.


c) `2x^2+x+1=-2x^2-3x` 

`2x^2+x+1+2x^2+3x=0` 

`4x^2+4x+1=0` 

`Delta=4^2-4*4*1=16-16=0` 

Jeden punkt wspólny.


d) `2x^2+x+1=x^2-sqrt2x-sqrt2+1` 

`2x^2+x+1-x^2+sqrt2x+sqrt2-1=0` 

`x^2+x+sqrt2x+sqrt2=0` 

`x^2+x(1+sqrt2)+sqrt2=0` 

`Delta=(1+sqrt2)^2-4*1*sqrt2=1+2sqrt2+2-4sqrt2=3-2sqrt2` 

`3-2sqrt2 >0` 

Dwa punkty wspólne.

 

Wyznacz współrzędne środków boku kwadratu ABCD

`s_(AB)((-3+1)/2 \ , \ (2+0)/2)=ul(s_(AB)(-1,1))`

`s_(BC)((1+3)/2 \ , \ (0+4)/2)=ul(s_(AB)(2,2))`

`s_(CD)((3+(-1))/2 \ , \ (4+6)/2)=ul(s_(CD)(1,5))`

`s_(AD)((-3+(-1)/2 \ , \ (2+6)/2)=ul(s_(AD)(-2,4))`

Wyznacz cztery liczby tworzące ciąg...

`a) \ a_1+a_2 + a_3 = 0` 

`a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1` 

Stąd wynika, że:

`a_4 = 1` 

`a_1 + 3r = 1` 

 

`a_1 + a_2 + a_3 = 0`   

`a_1 + a_1 + r + a_1 + 2r =0` 

`3a_1 + 3r = 0` 

`a_1 + r =0` 

 

Zauważmy, że:

`a_1 + 3r = 1` 

`a_1 + r + 2r = 1` 

`0+2r = 1` 

`r = 1/2` 

A więc:

`a_1 +3 * 1/2 = 1` 

`a_1 = -1/2` 

`a_2 = 0` 

`a_3 = 1/2` 

`a_4 = 1` 

 

`b) \ r = 1` 

`a_2 * a_3 * a_4 = -60` 

`(a_1+r)*(a_1+2r)*(a_1+3r) = -60` 

`(a_1+1) *(a_1+2)*(a_1+3) = -60` 

Rozłóżmy liczbę -60 na czynniki:

`-60= 30 *(-2) = -10*(-3)*(-2) = -2*5*(-3)*(-2) = -5*(-4) * (-3)` 

Przekształćmy zapis żeby łatwo było odczytać ile wynosi pierwszy wyraz ciągu:

`(-5)*(-4)*(-3) = (-6+1)(-6+2)(-6+3)` 

A więc:

`a_1 = -6` 

`a_2 = -5` 

`a_3 = -4` 

`a_4 = -3` 

Naszkicuj wykresy funkcji f i g

`a)`

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie hiperboli y=1/x o 2 jednostki w prawo, a wykres funkcji g powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o 1 jednostkę w górę. 

`x=2,\ \ y=0\ \ \ -\ \ \ "asymptoty funkcji f"`

`x=2,\ \ y=1\ \ -\ \ "asymptoty funkcji g"`

 

 

 

`b)`

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie hiperboli y=4/x o 1 jednostkę 1 lewo, a wykres funkcji g powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w dół

 

 

`x=-1,\ \ \ y=0\ \ -\ \ "asymptoty funkcji f"`

`x=-1,\ \ y=-2\ \ -\ \ "asymptoty funkcji g"`