Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $$X$$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $$f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$$

2) Liczymy pochodną:
$$f'(x) = 3x^2+6x-4$$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$$
$$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $$f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$$

gdzie $$W$$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$$W = A(x^2 + Bx + C)$$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $$A$$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $$f(x)$$ dostajemy $$1$$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $$f(x) = {x^5 + ...}/{5}$$, to $$f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $$B$$ i $$C$$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$$

5) Widać, że $$C×(-2)×(-3)$$ musi być równe $$({-24}/{5})$$ - dostajemy więc $$C = {-4}/{5}$$.

6) Teraz możemy obliczyć $$B$$ - skupmy się na współczynniku przy $$x$$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
$${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$$

7) Podstawiając za $$C {4}/{5}$$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$$B = {-11}/{5}$$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$$
której pierwiastkami są
$$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$$
$$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $$-2, -3, x_1, x_3$$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz zbiory...

`a) \ A \cup B = [4,8)` 

`A \cap B = [5,6)` 

`A \ \\ \ B = [4,5) \cup (6,8]` 

`B \ \\ \ A = emptyset` 

 

Liczba 5 należy do sumy i iloczynu zbiorów A,B.

 

`b) \ A \cup B = [5,7)` 

`A \cap B = (5,6]` 

`A \ \\ \ B = {5} \cup (6,7)` 

`B \ \\ \ A = emptyset` 

 

Liczba 5 należy do sumy i do różnicy zbiorów A i B.

 

`c) \ A \cup B = [-1,oo)` 

`A \cap B = (0,4)` 

`A \ \\ \ B = [-1,0] \cup (5,oo)` 

`B \ \\ \ A = [4,5]` 

 

Liczba 5 należy do sumy i różnicy zbiorów B i A.

 

`d) \ A \cup B = (-oo,8]` 

`A \cap B = {5} \cup (6,7)` 

`A \ \\ \ B = (-oo, 5) \cup [7,8]` 

`B \ \\ \ A = (5,6]` 

 

Liczba 5 należy do sumy i iloczynu zbiorów A i B.

Wyznacz równanie okręgu symetrycznego ...

`x^2+y^2+6x-4y-3=0` 

`(x+3)^2+(y-2)^2=16` 

`r=4` 

`S=(-3;2)` 

 

`a)` 

`k:y=x-3` 

`S'-"punkt syetryczny do punkt S względem prostej k"` 

`S'=(s;t)` 

Wyznaczmy prostą m prostopadłą do prostej k i zawierającą punkt S.

`m:y=-x+b` 

`2=-(-3)+b` 

`b=-1` 

`m:y=-x-1` 

Znajdzmy punkt przecięcia P prostych m i k.

`{(y=x-3),(y=-x-1):}` 

`x-3=-x-1` 

`2x=2` 

`x=1` 

`y=1-3=-2` 

`P=(1;-2)` 

 

`vec(SP)=vec(PS')` 

`[1+3;-2-2]=[s-1;t+2]` 

`s-1=4\ implies \ s=5` 

`t+2=-4\ implies \ t=-6` 

`S'=(5;-6)` 

`ul((x-5)^2+(y+6)^2=16` 

 

`b)` 

`k:y=-2x+6` 

`S'-"punkt syetryczny do punkt S względem prostej k"` 

`S'=(s;t)`  

Wyznaczmy prostą m prostopadłą do prostej k i zawierającą punkt S.

`m:y=1/2x+b` 

`2=1/2(-3)+b` 

`b=2+3/2=7/2`  

`m:y=1/2x+7/2`  

Znajdzmy punkt przecięcia P prostych m i k.

`{(y=-2x+6),(y=1/2x+7/2):}`  

`-2x+6=1/2x+7/2`  

`-5/2x=-5/2` 

`x=1` 

`y=-2x+6=-2+6=4` 

`P=(1;4)` 

 

`vec(SP)=vec(PS')` 

`[1+3;4-2]=[s-1;t-4]`  

`s-1=4\ implies \ s=5` 

`t-4=4-2\ implies \ t=6` 

`S'=(5;6)` 

`ul((x-5)^2+(y-6)^2=16` 

W trójkącie ABC boki mają długości odpowiednio..

Narysuj trójkąt o podanych wymiarach (narysuj odcinek o długości jednego boku, potem z jednego końca odmierz kolejny bok a z drugiego końca ostatni bok. Punkt przecięcia wyznacza trzeci wierzchołek) i sprawdź czy jest on prostokątny (wtedy środek okręgu jest na przeciwprostokątnej), ostrokątny (środek jest wewnątrz trójkąta) czy rozwartokątny (środek okręgu jest na zewnątrz trójkąta).

Rozważmy koła o promieniach różnej długości

`O\ -\ "obwód koła"`

`d\ -\ "długość średnicy koła"`

`O=pi*d,\ \ \ \ \ \ d>0`

Jest to proporcjonalność prosta, współczynnik proporcjonalności to π. 

Oblicz pole trójkąta prostokątnego ...

`"Zauważmy, że trójkąty CDA, DAB i ABC są podobne. (Mają kąty tej samej miary.)"` 

`alpha=delta` 

`gamma=beta`   

`"Z podobieństwa trójkątów CDA i DAB otrzymyjemy, że:"` 

`3/(|AD|)=(|AD|)/4` 

`|AD|=sqrt12=2sqrt3` 

`P=1/2a*h=1/2*7*2sqrt3=ul(7sqrt3` 

Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników

`a)`

`{(-3x+2y=-7\ \ \ |*(-1)), (5x+2y=1):}`

`{(3x-2y=7), (5x+2y=1):}\ \ \ |+`

`{(8x=8\ \ |:8), (5x+2y=1):}`

`{(x=1), (5*1+2y=1\ \ |-5):}`

`{(x=1), (2y=-4\ \ |:2):}`

`{(x=1), (y=-2):}`

 

 

`b)`

`{((7x-3y)/5=(5x-y)/3-(x+y)/2\ \ \ |*30), (3(x-1)=5(y+1)):}`

`{(6(7x-3y)=10(5x-y)-15(x+y)), (3x-3=5y+5\ \ |-5y+3):}`

`{(42x-18y=50x-10y-15x-15y), (3x-5y=8):}`

`{(42x-18y=35x-25y\ \ \ |-35x+25y), (3x-5y=8):}`

`{(7x+7y=0\ \ |:7), (3x-5y=8):}`

`{(x+y=0\ \ \ |*(-3)), (3x-5y=8):}`

`{(-3x-3y=0), (3x-5y=8):}\ \ \ |+`

`{(-8y=8\ \ |:(-8)), (-3x-3y=0):}`

`{(y=-1), (-3x-3*(-1)=0):}`

`{(y=-1), (-3x+3=0\ \ \ |+3x):}`

`{(y=-1), (3x=3\ \ |:3):}`

`{(y=-1), (x=1):}`

 

 

 

 

`c)`

`{(2x-3y-1=(x-5y)/2-1/2\ \ \ |*2), (1 3/4y-1/4x=(3y)/2+1/4\ \ \ |*4):}`

`{(4x-6y-2=x-5y-1\ \ \ |-x+5y+2), (7y-x=6y+1\ \ |-6y):}`

`{(3x-y=1), (y-x=1):}`

`{(3x-y=1), (-x+y=1):}\ \ \ |+`

`{(2x=2\ \ |:2), (-x+y=1\ \ |+x):}`

`{(x=1), (y=1+x=1+1=2):}`

 

 

 

`d)`

`{((x-4)(x+4)=(x+2)^2-y), ((2x-y)/2-(x-y)/3=1\ \ \ |*6):}`

`{(x^2-16=x^2+4x+4-y\ \ |-x^2), (3(2x-y)-2(x-y)=6):}`

`{(-16=4x+4-y\ \ |-4), (6x-3y-2x+2y=6):}`

`{(-20=4x-y), (4x-y=6):}`

`{(4x-y=-20\ \ |*(-1)), (4x-y=6):}`

`{(-4x+y=20), (4x-y=6):}\ \ \ |+`

`{(0=26), (4x-y=6):}`

Układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązań.    

     

` `

 

 

Oblicz

`a)` 

`7^(1/2)*7^(1/3)*7^(1/6)=7^(1/2+1/3+1/6)=7^(3/6+2/6+1/6)=7^(6/6)=7^1=7`  

 

 

`b)` 

`(9^(1/3)*9^(1/4)):9^(1/12)=(9^(1/3+1/4)):9^(1/12)=(9^(4/12+3/12)):9^(1/12)=9^(7/12):9^(1/12)=9^(7/12-1/12)=9^(6/12)=9^(1/2)=sqrt9=3` 

 

 

`c)` 

`5^(-1/2):(5^(1/4)*5^(1 1/4))=5^(-1/2):(5^(1/4+1 1/4))=5^(-1/2):5^(1 1/2)=5^(-1/2-1 1/2)=5^-2=1/5^2=1/25`  

 

 

`d)` 

`(16^(-3/2))^(1/3)*(16^(3/4))^(1/3)=16^(-3/2*1/3)*16^(3/4*1/3)=16^(-1/2)*16^(1/4)=16^(-1/2+1/4)=16^(-2/4+1/4)=` 

`=16^(-1/4)=(2^4)^(-1/4)=2^(4*(-1/4))=2^-1=1/2`   

 

 

`e)` 

`(4^(3/4))^(2/3):(4^(-5/3))^(3/2)=4^(3/4*2/3):4^(-5/3*3/2)=4^(1/2):4^(-5/2)=4^(1/2-(-5/2))=4^(1/2+5/2)=4^(6/2)=4^3=64` 

 

 

`f)` 

`(6^(1/2))^-3*(6^(1/3))^(-2)*6^(1/6)=6^(1/2*(-3))*6^(1/3*(-2))*6^(1/6)=6^(-3/2)*6^(-2/3)*6^(1/6)=` 

`=6^(-3/2+(-2/3)+1/6)=6^(-9/6-4/6+1/6)=6^(-12/6)=6^-2=1/6^2=1/36`   

 

`g)` 

`6^(3/2)*2^(1/2)*3^(-1/2)=2^(3/2)*3^(3/2)*2^(1/2)*3^(-1/2)=2^(3/2+1/2)*3^(3/2+(-1/2))=2^(4/2)*3^(2/2)=2^2*3^1=4*3=12` 

 

 

`h)` 

`(15^(3/2):sqrt5)*sqrt3=(5^(3/2)*3^(3/2):5^(1/2))*3^(1/2)=(5^(3/2-1/2)*3^(3/2))*3^(1/2)=(5^(2/2)*3^(3/2))*3^(1/2)=` 

`=5*3^(3/2)*3^(1/2)=5*3^(3/2+1/2)=5*3^(4/2)=5*3^2=5*9=45`   

 

`i)` 

`(20^(3/4)*5^(1 1/4)):2^(-1/2)=(4^(3/4)*5^(3/4)*5^(1 1/4)):2^(-1/2)=((2^2)^(3/4)*5^(3/4+1 1/4)):2^(-1/2)=` 

`=(2^(2*3/4)*5^2):2^(-1/2)=2^(3/2)*5^2:2^(-1/2)=2^(3/2-(-1/2))*5^2=2^(3/2+1/2)*25=2^2*25=4*25=100`          

Kwadrat K1 jest obrazem kwadratu ...

`a)` 

`P-"środek jednokładności"` 

`P=(x;y)` 

`a-"bok kwadratu"\ K_1` 

`b-"bok kwadratu"\ K_2` 

`k=a/b=2/4=ul(1/2`  

`A-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_1`   

`A'-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_2\ "odpowiadający wierzchołkowi A w"\ K_1` 

`A=(2;3)` 

`A'=(-2;-1)` 

 

`vec(A'P)=1/2vec(AP)` 

`[x+2;y+1]=1/2[x-2;y-3]`  

`x+2=1/2x-1\ implies\ x=-6` 

`y+1=1/2y-3/2\ implies\ y=-5`     

`ul(P=(-6;-5)`  

 

`"lub"` 

 

`k=-a/b=-1/2` 

`P=(-2;-1)` 

 

`b)` 

`P-"środek jednokładności"` 

`P=(x;y)`  

`a-"bok kwadratu"\ K_1` 

`b-"bok kwadratu"\ K_2` 

`k=a/b=4/2=ul(2`  

`A-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_1`   

`A'-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_2\ "odpowiadający wierzchołkowi A w"\ K_1` 

`A=(2;3)` 

`A'=(3;-1)`  

 

`kvec(A'P)=vec(AP)` 

`2[x-3;y+1]=[x-2;y-3]`  

`2x-6=x-2\ implies\ x=4`  

`2y+2= y-3\ implies\ y=-5`     

`ul(P=(4;-5)`   

 

`"lub"` 

 

`k=-a/b=-2` 

`P=(4;-1)` 

Rozłóż wielomian w na czynniki

`a)`

`w(x)=x^4-2x^3-3x^2=x^2(x^2-2x-3)=**`

 

 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16`

`sqrtDelta=4`

`x_1=(2-4)/2=-2/2=-1`

`x_2=(2+4)/2=6/2=3`

 

 

`**=x^2(x+1)(x-3)`

 

 

 

 

`b)`

`w(x)=2x^5-x^4-x^3=x^3(2x^2-x-1)=**`

 

 

`Delta=(-1)^2-4*2*(-1)=1+8=9`

`sqrtDelta=3`

`x_1=(1-3)/(2*2)=-2/4=-1/2`

`x_2=(1+3)/(2*2)=4/4=1`

 

 

`**=x^3*2*(x+1/2)(x-1)=2x^3(x+1/2)(x-1)`

 

 

 

 

`c)`

`w(x)=-2x^3-x^2+6x=x(-2x^2-x+6)=**`

 

 

`Delta=(-1)^2-4*(-2)*6=1+48=49`

`sqrtDelta=7`

`x_1=(1-7)/(2*(-2))=(-6)/(-4)=3/2`

`x_2=(1+7)/(2*(-2))=-8/4=-2`

 

 

`**=x*(-2)(x-3/2)(x+2)=-2x(x-3/2)(x+2)`

 

 

 

`d)`

`w(x)=20x^5+14x^4+2x^3=2x^3(10x^2+7x+1)=**`

 

 

`Delta=7^2-4*10*1=49-40=9`

`sqrtDelta=3`

`x_1=(-7-3)/(2*10)=-10/20=-1/2`

`x_2=(-7+3)/(2*10)=-4/20=-1/5`

 

 

`**=2x^3*10*(x+1/2)(x+1/5)=20x^3(x+1/2)(x+1/5)`

 

 

 

`e)`

`w(x)=x^4-3x^3+5/4x^2=x^2(x^2-3x+5/4)=**`

 

 

`Delta=(-3)^2-4*1*5/4=9-5=4`

`sqrtDelta=2`

`x_1=(3-2)/2=1/2`

`x_2=(3+2)/2=5/2`

 

 

`**=x^2(x-1/2)(x-5/2)`

 

 

 

`f)`

`w(x)=2x^5-4x^4+x^3=2x^3(x^2-2x+1/2)=**`

 

 

`Delta=(-2)^2-4*1*1/2=4-2=2`

`sqrtDelta=sqrt2`

`x_1=(2-sqrt2)/2=1-sqrt2/2`

`x_2=(2+sqrt2)/2=1+sqrt2/2`

 

 

`**=2x^3(x-1+sqrt2/2)(x-1-sqrt2/2)`

Suma rozwiązań równania...

`cos(pi x + pi/3) = 1/2`

Podstawienie:

`pix + pi/3 = u`

 

`cos u = 1/2`

`u = -pi/6 + 2kpi \ \ vv \ \ u = pi/6 + 2kpi`

`pix +pi/3 = -pi/6 + 2kpi \ \ vv \ \ pix + pi/3 = pi/6 + 2kpi`

`pix = -pi/2 + 2kpi \ \ vv \ \ pix = -pi/6 + 2kpi` 

`x = -1/2 + 2k \ \ vv \ \ x = -1/6 + 2k`

 

`"Dla" \ k=1` 

`x_1 = -1/2 + 2 = 3/2` 

`x_2 = -1/6 +2 = 11/6`

 

`"Dla" \ k=2`

`x_3 = -1/2 + 4 = 7/2`

`x_4 = -1/6 + 4 = 23/6`

 

Suma:

`x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3/2 + 11/6 + 7/2 + 23/6 = 10/2 + 34/6 = 5 + 5 4/6 = 10 2/3`

Odpowiedź C