Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $$X$$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $$f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$$

2) Liczymy pochodną:
$$f'(x) = 3x^2+6x-4$$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$$
$$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $$f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$$

gdzie $$W$$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$$W = A(x^2 + Bx + C)$$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $$A$$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $$f(x)$$ dostajemy $$1$$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $$f(x) = {x^5 + ...}/{5}$$, to $$f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $$B$$ i $$C$$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$$

5) Widać, że $$C×(-2)×(-3)$$ musi być równe $$({-24}/{5})$$ - dostajemy więc $$C = {-4}/{5}$$.

6) Teraz możemy obliczyć $$B$$ - skupmy się na współczynniku przy $$x$$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
$${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$$

7) Podstawiając za $$C {4}/{5}$$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$$B = {-11}/{5}$$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$$
której pierwiastkami są
$$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$$
$$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $$-2, -3, x_1, x_3$$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt równoboczny...

 

Skorzystamy z twierdzenia cosinusów:

`|AE|^2 = |AB|^2 +|BE|^2 - 2*|AB|*|BE|*cos 60^o = a^2 + 4/9a^2 -2*a * 2/3a * 1/2 =` 

`13/9a^2 -2/3a^2 = 13/9a^2 -6/9a^2 = 7/9a^2` 

`|AE| = (sqrt7a)/3` 

 

Z twierdzenia sinusów:

`(|AD|)/(sin(/_EBA)) = (|BD|)/(sin (/_BAD))` 

`((sqrt7a)/3)/(sin 60^o) = (1/3a)/(sin (/_BAD))` 

`sin (/_BAD) = 1/3a*(sin60^o)/((sqrt7a)/3)` 

`sin(/_BAD) = 1/3a * 3/(sqrt7a)*sqrt3/2 = sqrt3/(2sqrt7)*sqrt7/sqrt7 = sqrt21/(2*7) = sqrt21/14 approx 0,3273` 

Z tablic odczytujemy, że:

`sin 19^o approx 0,3256` 

A więc:

`/_BAD approx 19^o` 

Stąd:

`/_DAE = 60^o - 2*19^o = 60^o - 38^o =22^o` 

Odpowiedź B

Wyznacz miary kątów α, ß i γ. Oblicz pole ...

a) dziewięciokąt foremny

Ze  środka okręgu prowadzimy promienie do wierzchołków dziewięciokąta.

Wówczas promienie dzielą dziewięciokąt na 9 przystających trójkątów równoramiennych.

Wyznaczamy miarę kąta pomiędzy ramionami w trójkącie (kat pełny dzielimy na 9 części):

`alpha=360^@:9=40^@` 

Trójkąt jest równoramienny, więc w jego podstawie znajdują się kąty o równej mierze, stąd:

`beta=(180^@-40^@):2=140^@:2=70^@` 

Zauważmy, że kąt `gamma` jest sumą dwóch kątów znajdujących się przy podstawie trójkątów, więc:

`gamma=2*beta=2*70^@=140^@`  

 

Pole dziewięciokąta foremnego możemy otrzymać mnożąc pole trójkąta przez 9:

`P_(9)=9*1/strike2^1*strike4^2*4*sin40^@=72*sin40^@~~72*0,6428~~46,28\ [j^2]`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) dziesięciokąt foremny

Ze  środka okręgu prowadzimy promienie do wierzchołków dziesięciokąta.

Wówczas promienie dzieląfigurę na 10 przystających trójkątów równoramiennych.

Wyznaczamy miarę kąta pomiędzy ramionami w trójkącie (kąt pełny dzielimy na 10 części):

`alpha=360^@:10=36^@`  

Trójkąt jest równoramienny, więc w jego podstawie znajdują się kąty o równej mierze, stąd:

`beta=(180^@-36^@):2=144^@:2=72^@`  

Zauważmy, że kąt `gamma` jest sumą dwóch kątów znajdujących się przy podstawie trójkątów, więc:

`gamma=2*beta=2*72^@=144^@`  

 

Pole dziesięciokąta foremnego możemy otrzymać mnożąc pole trójkąta przez 10:

`P_(10)=10*1/strike2^1*strike4^2*4*sin36^@=80*sin36^@~~80*0,5878~~47,02\ [j^2]`    

Ćwiczenie 6 Dane ...

`a)` 

`r=a_2-a_1` 

`r=m+6-4=m+2` 
 

`a_4=a_3+r=2m+8+m+2=3m+10` 

`a_5=a_4+m+2=4m+12` 

 

`"Ciąg jest rosnący gdy:"` 

`m+2>0 implies ul(m> -2)` 

`"Ciąg jest malejący gdy:"` 

`m+2< 0 implies m< -2` 

`"Ciąg jest stały dla:"` 

`m+2=0 implies m=-2` 

 

`b)` 

`r=a_2-a_1`

`r=m-3-1/2m=1/2m-3` 

`a_4=a_3+r=3/2m-6+1/2m-3=2m-9` 

`a_5=a_4+r=2m-9+1/2m-3=5/2 m-12` 



`"Ciąg jest rosnący gdy:"` 

`r>0 iff 1/2m-3>0 implies m>6` 

`"Ciąg jest malejący dla:"` 

`1/2m-3< 0 implies m< 6` 

`"Ciąg jest stały dla:""`   

 `1/2m-3=0 implies m=6` 

 

`c)` 

`r=a_2-a_1`

`r=m^2-1`  

`a_4=a_3+4=2m^2-1+m^2-1=3m^2-2` 

`a_5=a_4+r=3m^2-3+m^-1=4m^2-3` 

 

`"Ciąg jest rosnący dla:"` 

`m^2-1>0 implies m^2>1 implies m>1\ \ \vee\ \ \m< -1`

`m in (- infty,-1) cup (1, infty)`

`"Ciąg jest malejący dla:"` 

`m^2-1< 0 implies m< 1\ \ \vee\ \ \m> -1` 

`m in (-1,1)` 

``

`"Ciąg jest stały dla:"` 

`m^2-1=0 implies m=1\ \ \vee\ \ \m=-1`

 

`d)` 

`r=a_2-a_1`

`r=m-m^2=m(1-m)`   

`a_4=a_3+r=2m-m^2+m-m^2=3m-2m^2` 

`a_5=a_4+r=3m-2m^2+m-m^2=4m-3m^2` 

 

`"Ciąg jest rosnący dla":` 

`m(m-1)>0 implies m>1\ \ \wedge\ \ \m>0 implies m>1` 

`"lub"\ m< 1\ \ \wedge\ \ \m< 0 implies m< 0`   

`m in (- infty,0) cup (1, infty)`

`"Ciąg jest malejący dla:"` 

 `m(m-1)<0 implies m<0\ \ \wedge\ \ \m>1\ "nie ma takiego m" `  

`"lub"\ m>0\ \ \wedge\ \ \m< 1.`   

`m in (0,1)`  

`"Ciąg jest stały dla:"` 

`m(m-1)=0 implies m=0\ \ \vee\ \ \m=1`  

 

Oblicz. Odpowiedź podaj w notacji wykładniczej

`a)\ (7,2*10^18*strike(4,9)^7*10^7)/(strike(5,6)^8*10^32)=(strike(7,2)^(0,9)*7*10^18*10^7)/(strike8^1*10^32)=(6,3*10^25)/10^32=6,3*10^(25-32)=6,3*10^-7`

`b)\ (1,44*10^11*strike(5,4)^3*10^23)/(strike(1,8)^1*10^5*3,6*10^8)=(1,44*10^11*10^23*strike3^1)/(10^5*10^8*strike(3,6)^(1,2))=(strike(1,44)^(1,2)*10^34)/(10^13*strike(1,2)^1)=1,2*10^(34-13)=1,2*10^21`

`c)\ 4\ 410\ 000\ 000:0,021=(4,41*10^9):(21*10^-3)=(4,41*10^9)/(21*10^-3)=(4,41)/21*10^9/10^-3=`

`\ \ \ =0,21*10^(9-(-3))=0,21*10^(9+3)=0,21*10^12=0,21*10*10^11=2,1*10^11`

`d)\ 10\ 240:0,000\ 000\ 08=(1,024*10^4):(8*10^-8)=(1,024*10^4)/(8*10^-8)=(1,024)/8*10^4/10^-8=`

`\ \ \ =0,128*10^(8-(-4))=0,128*10^(8+4)=0,128*10^12=0,128*10*10^11=1,28*10^11`

`e)\ 0,000\ 000\ 216:360\ 000=(216*10^-9):(36*10^4)=(216*10^-9)/(36*10^4)=216/36*10^-9/10^4=`

`\ \ \ =6*10^(-9-4)=6*10^-13`

`f)\ 0,000\ 000\ 000\ 08:2,5=(8*10^-11):2,5=(8*10^-11)/(2,5)=8/(2,5)*10^-11=80/25*10^-11=`

`\ \ \ =16/5*10^-11=3,2*10^-11`

Naszkicuj wykres funkcji...

`f(x)=sin(pi/2-x)+|cosx|` 

`f(x)=cosx+|cosx|` 

 

I przypadek.

`cosx>=0` 

`f(x)=cosx+cosx` 

`f(x)=2cosx` 

 

II przypadek.

`cosx< 0` 

`f(x)=cosx-cosx` 

`f(x)=0` 

 

Ostatecznie:

`f(x)={(2cosx, \ \ "gdy" \ \ cosx>0),(1, \ \  "gdy" \ \ cosx< 0):}` 

 

 

`ZW=< 0, 2>` 

 

Przedziały monotoniczności:

- funkcja stała `x in < pi/2+2kpi, 3/2pi+2kpi>, \ \ k in "C"` 

- funkcja rosnąca `x in <     -pi/2+2kpi, \ 0+2kpi>, \ \ k in "C"` 

- funkcja malejąca `x in < 0+2kpi, pi/2+2kpi>, \ \ k in "C"` 

Inwestor za kwotę K złotych...

a - pieniądze zainwestowane w firmę A

b - pieniądze zainwestowane w firmę B

 

`{(a+b=K),(104%*a + 108%*b = 107%*K):}` 

`{(a+b=K),(1,04a + 1,08b = 1,07K):}`  

`{(b=K-a),(1,04a + 1,08(K-a) = 1,07K):}` 

Rozwiążmy osobno drugie równanie:

`1,04a + 1,08K - 1,08a = 1,07K` 

`-0,04a = -0,01K` 

`4a = K` 

`a = 1/4K*100% = 25%K` 

A więc 

`b = 75%K` 

Odpowiedź: Inwestor zainwestował 25% początkowego kapitału w akcje firmy A i 75% w akcje firmy B.

Na rysunku zilustrowano zasadę działania peryskopu...

1) Kąty naprzemianległe są równe:

`/_KBA = /_CBL = /_BCM = /_NCD` 

 

2) Równość pozostałych kątów jak np:

`/_ABL = /_DCM` 

wynika z tego, że składają się z równości kątów z 1) oraz dołożonego kąta prostego.

Oblicz sinus kąta

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

 

`a)` 

Podstawą ostrosłua prawidłowego trójkątnego jest kwadrat. Bok kwadratu ma 18 cm. Odcinek ES ma taką długość, jak połowa boku tego kwadratu. 

`|ES|=18:2=9\ [cm]` 

 

Wysokość ostrosłupa ma 12 cm:

`|SW|=12\ [cm]` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ESW obliczymy, jaką długość ma odcinek EW:

`9^2+12^2=|EW|^2` 

`81+144=|EW|^2` 

`|EW|^2=225` 

`|EW|=15\ [cm]` 

 

Sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przeciwprostokątnej znajdującej się naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. 

`sinalpha=|SW|/|EW|=12/15=4/5` 

 

 

`b)` 

Jeśli wszystkie krawędzie mają długość 10 cm, to odcinek AB także ma 10 cm. Odcinek ES jest 2 razy krótszy:

`|ES|=10:2=5\ [cm]` 

 

Jeśli wszystkie krawędzie ostrosłupa mają 10 cm, to ściana boczna jest trójkątem równobocznym o boku 10 cm. Odcinek EW jest wysokością tego trójkąta. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy obliczyć, jaką długość ma odcinek EW:

`|EW|=(10sqrt3)/2=5sqrt3\ [cm]` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ESW obliczymy, jaką długość ma odcinek SW:

`5^2+|SW|^2=(5sqrt3)^2` 

`25+|SW|^2=25*3` 

`25+|SW|^2=75\ \ \ |-25` 

`|SW|^2=50` 

`|SW|=sqrt50=sqrt25*sqrt2=5sqrt2\ [cm]` 

 

Obliczamy szukaną wartość sinusa:

`sinalpha=|SW|/|EW|=(5sqrt2)/(5sqrt3)=sqrt2/sqrt3=(sqrt2*sqrt3)/(sqrt3*sqrt3)=sqrt6/3` 

 

 

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)=3-x` 

 

`a)` 

`g(x)=f(|x|)=3-|x|`  

`h(x)=1-f(|x|)=1-(3-|x|)`  

Zauważmy że powstały prostokąt można podzielić na dwa trójkąty o podstawie równej 5 i wysokości równej 2,5.

`P=2*1/2*2,5*5=12,5` 

 

`b)` 

`g(x)=|f(x)|=|3-x|`  

`h(x)=f(|x-2|)=3-|x-2|`  

Zauważmy że powstały prostokąt ma boki następującej długości:

`sqrt2 \ "i"\ 2sqrt2` 

`P=sqrt2*2sqrt2=4` 

Miary trzech kolejnych kątów ...

`alpha,beta,delta-"ciąg arytmetyczny"` 

`r-"różnica powyższego ciągu"` 

 

`r=47^@` 

W czworokącie wpisanym w okrąg suma naprzeciwległych kątów wynosi 180 stopni.

`alpha+delta=180^o` 

 

`beta=alpha+r=alpha+47^@` 

`delta=alpha+2r=alpha+94^@` 

`alpha+delta=alpha+alpha+94^@=180^o` 

`2alpha=86^@` 

`ul(alpha=43^@`  

`ul(beta=alpha+47^@=90^@`  

`ul(delta=alpha+94^@=137^@`