Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$
$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $x$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $(-∞, x_1)$ funkcja rośnie, w przedziale $< x_1, x_2 >$ - maleje i w przedziale $(x_2, ∞)$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $X$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$

2) Liczymy pochodną:
$f'(x) = 3x^2+6x-4$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$
$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$

gdzie $W$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$W = A(x^2 + Bx + C)$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $A$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $f(x)$ dostajemy $1$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $f(x) = {x^5 + ...}/{5}$, to $f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $B$ i $C$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$

5) Widać, że $C×(-2)×(-3)$ musi być równe $({-24}/{5})$ - dostajemy więc $C = {-4}/{5}$.

6) Teraz możemy obliczyć $B$ - skupmy się na współczynniku przy $x$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$

7) Podstawiając za $C {4}/{5}$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$B = {-11}/{5}$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$
której pierwiastkami są
$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$
$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $-2, -3, x_1, x_3$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego ...

 

 {premium}

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

  

 

 

 

   

 

 

  

 

 

    

Rozwiąż równanie...

Założenie:

 {premium}

 

Dziedzina:

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązaniem równania jest liczba 2.

Oblicz granicę.

a)  {premium}  

b)  

c)    

Podaj przybliżenia liczb 5^(sqrt3) i 5^(sqrt5)

 

{premium}

   

 

Wyznacz wyrazy ...

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

    

Środkowe trójkąta ABC przecinają się ...

 

 

   

     {premium}

  

 

  

 

Środek ciężkości, czyli punkt przecięcia środkowych trójkąta ma współrzędne:

 

Wiedząc, że  otrzymujemy:

 

 

 

 

Wykaż, że cos ...

Rozpisując lewą stronę równości otrzymujemy:

      {premium}

 

 

 

Zał:

 

Na rysunku obok przedstawiono

 

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX tę część wykresu funkcji f, która {premium}znajduje się pod osią OX. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 10, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 10 punktów wspólnych:

 

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g musimy odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu funkcji f, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 6, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 6 punktów wspólnych:

 

 

 

 

 

Wykres funkcji y=f(-|x|) otrzymujemy z wykresu funkcji f, korzystając z tego, że:

- dla x≤0 (należących do dziedziny) zachodzi równość f(-|x|)=f(x). 

- wykres funkcji y=f(-|x|) jest symetryczny względem osi OY. 

Wystarczy więc odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu, która znajduje się po lewej stronie osi OY. 

 

 

Zauważmy, że wykres funkcji y=f(x) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, więc jest wykresem funkcji nieparzystej. 

Dla funkcji nieparzystej zachodzi warunek:

  

Jeśli za argument x weźmiemy |x| to otrzymujemy:

  

Oznacza to, że wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX wykres otrzymany w podpunkcie b). 

 

Każdy z tych sposobów prowadzi do otrzymania następującego wykresu:

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 4, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 4 punkty wspólne:

 

Skorzystaj z twierdzenia o odcinkach siecznych...

Wiemy, że trójkąty PAB i CDP są równoramienne a więc:

  

{premium}  

 

Zatem:

 

 

A więc z twierdzenia o odcinkach siecznych punkty A, B, C i D należą do okręgu opisanego na tym trapezie.

Podaj wzór...

 

 

{premium}