Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$
$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $x$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $(-∞, x_1)$ funkcja rośnie, w przedziale $< x_1, x_2 >$ - maleje i w przedziale $(x_2, ∞)$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $X$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$

2) Liczymy pochodną:
$f'(x) = 3x^2+6x-4$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$
$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$

gdzie $W$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$W = A(x^2 + Bx + C)$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $A$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $f(x)$ dostajemy $1$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $f(x) = {x^5 + ...}/{5}$, to $f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $B$ i $C$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$

5) Widać, że $C×(-2)×(-3)$ musi być równe $({-24}/{5})$ - dostajemy więc $C = {-4}/{5}$.

6) Teraz możemy obliczyć $B$ - skupmy się na współczynniku przy $x$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$

7) Podstawiając za $C {4}/{5}$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$B = {-11}/{5}$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$
której pierwiastkami są
$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$
$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $-2, -3, x_1, x_3$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór

Długości boków powinny być wyrażone liczbą dodatnią. 

 

 

 

{premium}

 

Pani Anna ma torebki w trzech kolorach ...

a)

Ilość czerwonych torebek: 3

Ilość czerwonych par butów: 2

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru czerwonej torebki i czerwonej pary butów: 3٠2=6 {premium}

 

Ilość białych torebek: 4

Ilość białych par butów: 3

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru białej torebki i białej pary butów: 4٠3=12

 

Ilość czarnych torebek: 6

Ilość czarnych par butów: 5

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru czarnej torebki i czarnej pary butów: 6٠5=30

 

Ilość interesujących nas możliwości: 6+12+30=48

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 48 sposobów.


b)

Ilość białych lub czerwonych torebek: 3+4=7

Ilość wszystkich par butów: 2+3+5=10

Zgodnie z regułą mnożenia ilość możliwości wyboru białej lub czerwonej torebki i dowolnego koloru butów: 7٠10=70

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 70 sposobów.


c)

Ilość czarnych torebek: 6

Ilość wszystkich par butów: 10

Ilość możliwości wyboru czarnej torebki i dowolnego koloru butów: 6٠10=60

 

Ilość czerwonych lub białych torebek (czarne torebki uwzględniliśmy wyżej): 3+4=7

Ilość czarnych par butów: 5

Ilość możliwości wyboru czerwonej lub białej torebki i czarnych butów: 7٠5=35

 

Ilość interesujących nas możliwości: 60+35=95

Odp. Pani Anna może wybrać taki zestaw na 95 sposobów.

 

Oblicz wartości pozostałych funkcji ...

 

  

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych można

 

 

 

{premium}

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

Największą liczbą całkowitą

  

  

Największa liczba całkowita mniejsza od powyższej to -2, więc prawidłowa jest odpowiedź C. 

   

W pewnej klasie jest

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Rozwiąż równanie.

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

      

 

 

Skorzystamy z faktu, że:

 

zatem

 

wracając do naszego równania:

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

W trójkącie prostokątnym ABC wysokość CD

 

Liczba ...

Upraszczamy wyrażenia: {premium}

 

 


Liczba  jest mniejsza od liczby . Sprawdzamy, ile razy.

 


Odpowiedź: B

Oblicz granicę ciągu określonego...

a) 

 

 

 

 

 

 


b) 

 

 

 

 

 

 


c)