Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $$X$$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $$f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$$

2) Liczymy pochodną:
$$f'(x) = 3x^2+6x-4$$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$$
$$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $$f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$$

gdzie $$W$$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$$W = A(x^2 + Bx + C)$$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $$A$$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $$f(x)$$ dostajemy $$1$$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $$f(x) = {x^5 + ...}/{5}$$, to $$f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $$B$$ i $$C$$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$$

5) Widać, że $$C×(-2)×(-3)$$ musi być równe $$({-24}/{5})$$ - dostajemy więc $$C = {-4}/{5}$$.

6) Teraz możemy obliczyć $$B$$ - skupmy się na współczynniku przy $$x$$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
$${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$$

7) Podstawiając za $$C {4}/{5}$$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$$B = {-11}/{5}$$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$$
której pierwiastkami są
$$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$$
$$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $$-2, -3, x_1, x_3$$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych ...

W zadaniu korzystamy z następujących definicji funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych:

 

 

   

 

 

 

 

Rysunek:

 

 

 

 

 

 

 

  

Rysunek:

 

 

 

 

  

  

  

  

 

    

Rysunek:

 

 

  

 

   

   

   

   

 

    

Rysunek:

 

 

  

 

   

      

   

   

a) Uzasadnij, że jeśli czworokąt...

 

 - promień okręgu opisanego na tym czworokącie

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 

Jeśli na okręgu można opisać czworokąt to spełniony jest warunek

 

Wobec tego  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla jakich wartości parametru...

 

 

 

    {premium}

 

Założenie I:

 

 

 

Założenie II:

 

 

 

 

 

Zatem ostatecznie:

 


 

 

 

 

Założenie I:

 

 

 

 

Założenie II:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem ostatecznie:

 


 

 

 

 

Założenie I:

 

 

 

 

Założenie II:

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem ostatecznie:

 

Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty A i B

W każdym przykładzie wyznaczymy współczynniki kierunkowe funkcji f i g, a potem sprawdzimy, czy te współczynniki są równe - jeśli tak, to funkcje f i g są równoległe. 

Funkcja liniowa ma wzór y=ax+b, wystarczy wstawić współrzędne punktów w miejsce x i y, aby wyliczyć współczynniki a i b. 

a, b z indeksem f oznaczają współczynniki funkcji f, natomiast a, b z indeksem g oznaczają współczynniki funkcji g

 

 

 

 

Wykresy są równoległe.  

 

 

 

 

 

 

 

Wykresy funkcji są równoległe.

  

 

 

 

 

 

 

Wykresy nie są równoległe.

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykresy funkcji są równoległe. 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Trzy liczby x, y, z których suma wynosi 24 ...

 

 

 

Korzystamy z następujących zależności:

I. Dla ciagu arytmetycznego:

 

II. Dla ciagu geometrycznego:

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

Dla jakich wartości parametru p...

 

 

Powyższe równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie niezależnie od wartości parametru  

Jest nim  

Oznacza to, że równanie  musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie różne od  

lub może mieć dwa rozwiązania, ale jedno z nich musi być równe  

Zatem powinny zachodzić warunki:

{premium}

 

 

Obliczamy wyróżnik  

 

 

 

Rozwiązujemy układ  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mamy więc:

 

 

Rozwiązujemy układ  

 

 

 

 

Korzystając z poprzednich obliczeń otrzymujemy:

      

 

Mamy więc:

 

 

Zbierając rozwiązania uzyskane z  i otrzymujemy:

 

 

Odp. Równanie ma dwa różne rozwiązania dla  

Który z ciągów...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku przedstawiono wykres ...

a)

Wykres funkcji g(x)

podglad pliku {premium}

 

Wykres funkcji h(x) jest taki sam jak wykres funkcji g(x), ponieważ wszystkie wartości funkcji g(x) są dodatnie.

 

Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru m:

brak rozwiązań dla  

jedno rozwiązanie dla  

dwa rozwiązania dla  

nieskończenie wiele rozwiązań dla  


b)

Wykres funkcji g(x)

podglad pliku

Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru m:

dwa rozwiązania dla  

trzy rozwiązania dla  

cztery rozwiązania dla  

brak rozwiązań dla  

 

Wykres funkcji h(x)

podglad pliku

Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru m:

brak rozwiązań dla  

cztery rozwiązania dla  

osiem rozwiązań dla  

siedem rozwiązań dla  

sześć rozwiązań dla  

dwa rozwiązania dla  

Oblicz.

a)

 

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 


d)