Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $$X$$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $$f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$$

2) Liczymy pochodną:
$$f'(x) = 3x^2+6x-4$$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$$
$$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $$f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$$

gdzie $$W$$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$$W = A(x^2 + Bx + C)$$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $$A$$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $$f(x)$$ dostajemy $$1$$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $$f(x) = {x^5 + ...}/{5}$$, to $$f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $$B$$ i $$C$$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$$

5) Widać, że $$C×(-2)×(-3)$$ musi być równe $$({-24}/{5})$$ - dostajemy więc $$C = {-4}/{5}$$.

6) Teraz możemy obliczyć $$B$$ - skupmy się na współczynniku przy $$x$$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
$${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$$

7) Podstawiając za $$C {4}/{5}$$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$$B = {-11}/{5}$$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$$
której pierwiastkami są
$$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$$
$$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $$-2, -3, x_1, x_3$$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz sumę szeregu geometrycznego.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt P(2,2) należy do wykresu ...

Wiemy, że punkt P(2,2) nalezy do wykresy funkcji f(x)=ax.

Podstawiając współrzędne tego punktu do wzoru funkcji wyznaczymy a:

Stąd:

Wzór funkcji jest postaci:

 

 

Sprawdzamy, czy dane punkty należą do wykresu funkcji f(x).

W tym celu do wzoru funkcji podstawiamy współrzędne x i sprawdzamy, czy otrzymany y jest równy współrzędnej y danego punktu. 


 

Punkt ten NIE należy do wykresu funkcji f(x).


 

Punkt ten należy do wykresu funkcji f(x).


  

Punkt ten NIE należy do wykresu funkcji f(x).


   

Punkt ten należy do wykresu funkcji f(x).

Wśród poniższych funkcji znajdują się funkcje kwadratowe

Funkcje kwadratowe są postaci y=ax²+bx+c, gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste, a jest liczbą różną od 0.

 

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego...

a)

Zauważmy, że  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b)

Zauważmy, że  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


c)

Zauważmy, że  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wskaż sumę n początkowych wyrazów ciągu ...

Suma  początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego  wyraża się wzorem

.

 

 {premium}

  

 

 

Odpowiedź: D

Jeżeli funkcja kwadratowa f(x) nie ma miejsc ...

Skoro funkcja  nie ma miejsc zerowych, to jej wykres musi leżeć:

nad osią :  

   

lub pod osią : 

 

W odpowiedzi A wykres  powstał przez przesunięcie wykresu  o  jednostkę w górę.

Gdyby wykres funkcji  leżał niewiele pod osią , to po przesunięciu o  jednostkę w górę, mógłby przeciąć oś , tym samym mieć miejsca zerowe.    {premium}

 

W odpowiedzi B wykres  powstał przez przesunięcie wykresu  o  jednostkę w dół.

Gdyby wykres funkcji  leżał niewiele nad osią , to po przesunięciu o  jednostkę w dół, mógłby przeciąć oś , tym samym mieć miejsca zerowe. 

 

W odpowiedzi C wykres  powstał przez przesunięcie wykresu  o  jednostkę w prawo.

Przesunięcie wzdłuż osi  nie spowoduje przecięcia wykresu z tą osią, zatem wykres  nie ma miejsc zerowych. 

 

Odpowiedź: C

Naszkicuj wykres funkcji f, przekształcając ...

 

Założenie:  

 

 

Należy przekształcić tą funkcję symetrycznie względem osi OY.

 

podglad pliku


 

Założenie:  

 

 

Należy odbić symetrycznie względem osi OX, te wartości funkcji, które znajdują się pod osią OX.

 

podglad pliku


 

Założenie:  

 

 

Usuwamy część wykresu znajdującą się po lewej stronie osi OY.

Prawą stronę odbijamy symetrycznie na lewą stronę względem osi OY.

 

podglad pliku

 

 

Właściciel sklepu kupuje aparaty fotograficzne, płacąc producentowi

Kupując po 120 zł i sprzedając po 180 zł, za jeden aparat właściciel osiąga 60 zł zysku. 

Oznaczmy przez x obniżkę (w zł) ceny aparatu. Wtedy zysk osiągnięty ze sprzedaży jednego aparatu spadnie o x złotych, ale ilość sprzedanych aparatów wzrośnie o x, czyli zamiast 40 sprzedanych aparatów będzie ich 40+x (1 zł obniżki to 1 sprzedany aparat więcej). 

Zatem całkowity zysk wyraża się wzorem: 

Oczywiście x musi być liczbą dodatnią, ilość sprzedanych aparatów (40+x) musi być dodatnia, podobnie zysk ze sprzedaży jednego aparatu (60-x) powinien być dodatni - przyjmujemy, że właściciel nie sprzedaje aparatów taniej niż po cenie hurtowej, więc zapiszmy założenia: 

{premium}

Funkcja kwadratowa opisująca zysk ma ujemny współczynnik a, więc ramiona paraboli są skierowane w dół - jest osiągane maksimum (w wierzchołku). 

Obliczmy więc, przy jakiej obniżce osiągnięty zysk będzie największy: 

 

Należy więc obniżyć cenę aparatu o 10 zł, więc powinna ona wynosić 180 zł - 10 zł = 170 zł. 

W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ...

 

 

   

 

 

 

 

 

  

   

 

 

          

 

   

Rozwiąż nierówność

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. 

Liczba 5 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (1) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

Liczba 0 jest pierwiastkiem krotności parzystej (2) wielomianu - wykres nie zmienia tam znaku. 

 

 

 

Rozwiązanie nierówności:

 

 

Przydatny będzie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. 

Liczba 3 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (1) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

Liczba -3 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (1) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

Liczba 0 jest pierwiastkiem krotności parzystej (2) wielomianu - wykres nie zmienia tam znaku. 

 

 

Rozwiązanie nierówności:

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. 

Liczba 0 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (3) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

Liczba √2 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (1) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

Liczba -√2 jest pierwiastkiem krotności nieparzystej (1) wielomianu - wykres zmienia tam znak. 

 

Rozwiązanie nierówności:

 

 

Przydatny będzie wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. 

Liczba √3 jest pierwiastkiem krotności parzystej (2) wielomianu - wykres nie zmienia tam znaku. 

Liczba -√3 jest pierwiastkiem krotności parzystej (2) wielomianu - wykres nie zmienia tam znaku. 

 

 

Rozwiązanie nierówności: