Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$
$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $x$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $(-∞, x_1)$ funkcja rośnie, w przedziale $< x_1, x_2 >$ - maleje i w przedziale $(x_2, ∞)$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $X$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$

2) Liczymy pochodną:
$f'(x) = 3x^2+6x-4$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$
$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$

gdzie $W$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$W = A(x^2 + Bx + C)$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $A$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $f(x)$ dostajemy $1$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $f(x) = {x^5 + ...}/{5}$, to $f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $B$ i $C$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$

5) Widać, że $C×(-2)×(-3)$ musi być równe $({-24}/{5})$ - dostajemy więc $C = {-4}/{5}$.

6) Teraz możemy obliczyć $B$ - skupmy się na współczynniku przy $x$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$

7) Podstawiając za $C {4}/{5}$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$B = {-11}/{5}$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$
której pierwiastkami są
$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$
$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $-2, -3, x_1, x_3$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Za 16 biletów do cyrku zapłacono 303 zł

{premium}

 

 

Określ średnią arytmetyczną, medianę ...

a)

Porządkujemy liczby.

 

Obliczamy średnią arytmetyczną podanych liczb.

 {premium}


Liczba wyrazów jest liczbą nieparzystą (5), więc mediana jest równa wyrazowi środkowemu (3), czyli liczbie 102.


Najczęściej występującą liczbą jest 102, więc dominanta jest równa 102.


b)

Porządkujemy liczby.

 

Obliczamy średnią arytmetyczną podanych liczb.

 


Liczba wyrazów jest liczbą parzystą (6), więc mediana jest równa średniej arytmetycznej wyrazów środkowych (3 i 4):

 


Każda liczba występuje tylko raz, więc nie ma dominanty.


c)

Porządkujemy liczby.

 

Obliczamy średnią arytmetyczną podanych liczb.

 


Liczba wyrazów jest liczbą nieparzystą (11), więc mediana jest równa wyrazowi środkowemu (6), czyli liczbie 3.


Najczęściej występującą liczbą jest 2, więc dominanta jest równa 2.


d)

Porządkujemy liczby.

 

Obliczamy średnią arytmetyczną podanych liczb.

 


Liczba wyrazów jest liczbą parzystą (12), więc mediana jest równa średniej arytmetycznej wyrazów środkowych (6 i 7):

 


Najczęściej występującą liczbą jest 3, więc dominanta jest równa 3.

Funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c...

Wiemy, że funkcja f przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy gdy:

 

Z tego wynika, że:{premium}

 

a) Wyznaczmy równanie osi symetrii wykresu funkcji f:

 


b) Współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f to:

 

zatem:

 

 

 

 

Wyznaczmy wzór funkcji f w postaci ogólnej:

 

zatem:

 


c) Wzór funkcji f w postaci ogólnej:

 

Wyznaczmy wzór funkcji g:

 

 

 

Oblicz ...

   

 {premium}


   


   

 

 

 


   

 

 

 

Wskaż postać iloczynową funkcji ...

Mamy daną funkcję:

 

 

Aby wskazać postać iloczynową funkcji

 ,

musimy znać współczynnik przy najwyższej potędze{premium}

(odczytujemy z podanego wzoru funkcji, że  ) i wyznaczyć jej miejsca zerowe,

czyli punkty, w których funkcja przyjmuje wartość równą  .

 

Zapiszmy wzór funkcji w postaci ogólnej

 

Rozwiążmy równanie kwadratowe

 

 

 

 

 

Postać iloczynowa:  

 

Odpowiedź: B

a) Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy...

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

 

 

Obliczamy sumę dziesięciu początkowych wyrazów o numerach parzystych, czyli: 

 

 

 

 

 

 

 


 

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu to suma wyrazów o numerach parzystych i suma wyrazów o numerach nieparzystych.

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Czy podane nierówności są równoważne?

{premium}

 

 

Nierówności nie są równoważne - rozwiązaniem pierwszej z nich jest zbiór liczb mniejszych od 69, a rozwiązaniem drugiej jest zbiór liczb większych od 69. 


 

 

Te nierówności są równoważne. 

Wyznacz wyraz wolny

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

Sporządźmy tabelę aby naszkicować wykres funkcji f:

x -2 -1 1{premium} 2
y 0 1/2 3/2 2

Wiemy, że:

 

Naszkicujmy wykresy funkcji:

 

a) Wzór funkcji g to:

 

b) Na podstawie wykresu możemy odczytać, że nierówność:

 

jest spełniona dla:

 

Punkty A = (1, 1), B = (3, 5) i C = (-1, 3) są wierzchołkami...

 

 

 

 

{premium}  

czyli

 

 

a więc:

 

 

b) Wyznaczmy środek boku AC:

  

Prosta równoległa do prostej AB ma taki sam współczynnik kierunkowy jak ona:

 

Podstawmy współrzędne punktu S:

 

 

Równanie szukanej prostej to:

 

 

c) Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt C:

 

Skoro proste mają być prostopadłe względem siebie to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy - 1:

 

 

Wstawmy współrzędne punktu C:

 

 

 

Równanie szukanej prostej to:

 

 

d) Wyznaczmy środek odcinka AB:

  

Przypomnijmy, że prosta AB jest dana równaniem:

 

 

Wyznaczmy prostą prostopadłą do tej prostej przechodzącą przez środek odcinka AB:

 

 

 

 

Wstawmy współrzędne środka odcinka AB:

 

 

 

 

Równanie szukanej prostej to: