Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$$
$$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $$(-∞, x_1)$$ funkcja rośnie, w przedziale $$< x_1, x_2 >$$ - maleje i w przedziale $$(x_2, ∞)$$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $$X$$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $$f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$$

2) Liczymy pochodną:
$$f'(x) = 3x^2+6x-4$$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$$
$$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $$f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$$

gdzie $$W$$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$$W = A(x^2 + Bx + C)$$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $$A$$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $$f(x)$$ dostajemy $$1$$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $$f(x) = {x^5 + ...}/{5}$$, to $$f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $$B$$ i $$C$$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$$

5) Widać, że $$C×(-2)×(-3)$$ musi być równe $$({-24}/{5})$$ - dostajemy więc $$C = {-4}/{5}$$.

6) Teraz możemy obliczyć $$B$$ - skupmy się na współczynniku przy $$x$$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
$${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$$

7) Podstawiając za $$C {4}/{5}$$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$$B = {-11}/{5}$$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$$
której pierwiastkami są
$$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$$
$$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $$-2, -3, x_1, x_3$$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz pole trójkąta, którego boki zawierają...

Jeżeli boki trójkąta zawierają się w osiach układu współrzędnych to trójkąt ten jest prostokątny. Wyznaczmy punkty przecięcia prostej z osiami.

 

Punkt przecięcia z osią OX:

`"Dla" \ y = 0` 

`x-0-2=0` 

`x-2=0` 

`x=2` 

Współrzędne:

`(2, 0)` 

 

Punkt przecięcia z osią OY:

`"Dla" \ x = 0` 

`0-y-2=0` 

`y=-2` 

Współrzędne:

`(0,-2)` 

 

Zauważmy, że obie przyprostokątne mają długość 2. Pole trójkąta to:

`P = 1/2*2*2 = 2` 

Rozwiąż równanie.Rozwiąż równanie.

`a)` 

`(4x+3)/(2x-5)=4` 

`D:` 

`2x-5 ne0\ implies\ x ne 5/2` 

`D=RR\\{5/2}` 

 

`(4x+3)/(2x-5)=4` 

`4x+3=4(2x-5)` 

`4x+3=8x-20` 

`4x=23` 

`ul(x=23/4= 5 3/4`       

    

`b)` 

`(2x-3)/(2x+3)=1`  

`D:` 

`2x+3ne0\ implies\ x ne -3/2` 

`D=RR\\{-3/2}` 

   

`(2x-3)/(2x+3)=1`   

`2x-3=2x+3` 

`-3=3` 

Sprzeczność - brak rozwiązań.      

 

`c)` 

`(8x-6)/(12-16x)=1/2` 

`D:` 

`12-16x ne0\ implies\ x ne 3/4` 

`D=RR\\{3/4}` 

 

`(8x-6)/(12-16x)=1/2` 

`8x-6=6-8x` 

`16x=12` 

`x=3/4 notin D` 

Brak rozwiązań.     

 

`d)` 

`3/(x-2)=4/(x+2)` 

`D:` 

`x-2ne0\ implies\ x ne 2` 

`x+2ne0\ implies\ x ne -2` 

`D=RR\\{-2;2}` 

 

`3/(x-2)=4/(x+2)` 

`3(x+2)=4(x-2)` 

`3x+6=4x-8` 

`ul(x=14`      

 

`e)` 

`5/(2x-4)=6/(3x+5)` 

`D:` 

`2x-4ne0\ implies\ x ne 2` 

`3x+5ne0\ implies\ x ne -5/3` 

`D=RR\\{-5/3;2}` 

 

`5/(2x-4)=6/(3x+5)` 

`5(3x+5)=6(2x-4)` 

`15x+25=12x-24` 

`3x=-49` 

`ul(x=-49/3=-16 1/3`  

 

`f)` 

`(4-x)/(x+1)=(10-3x)/(x+4)` 

`D:` 

`x+1ne0\ implies\ x ne -1` 

`x+4ne0\ implies\ x ne -4` 

`D=RR\\{-4;-1}` 

 

`(4-x)/(x+1)=(10-3x)/(x+4)`     

`(4-x)(x+4)=(10-3x)(x+1)` 

`16-x^2=10x+10-3x^2-3x` 

`2x^2-7x+6=0` 

`Delta=49-48=1` 

`sqrtDelta=1` 

`ul(x_1=(7-1)/4=3/2`  

`ul(x_2=(7+1)/4=2`        

 

`g)` 

`(2x-5)/(2x+1)=(x-1)/(x+3)`  

`D:` 

`2x+1ne0\ implies\ x ne -1/2` 

`x+3ne0\ implies\ x ne -3` 

`D=RR\\{-3;-1/2}` 

 

`(2x-5)/(2x+1)=(x-1)/(x+3)`  

`(2x-5)(x+3)=(x-1)(2x+1)` 

`2x^2+6x-5x-15=2x^2+x-2x-1` 

`2x-14=0` 

`ul(x=7`        

 

`h)` 

`(x+4)/(2x)=(x+4)/(x-4)` 

`D:` 

`2xne 0\ implies\ x ne0` 

`x-4ne0\ implies\ x ne4` 

`D=RR\\{0;4}` 

 

`(x+4)/(2x)=(x+4)/(x-4)` 

`(x+4)(x-4)=2x(x+4)` 

`x^2-16=2x^2+8x` 

`x^2+8x+16=0`   

`(x+4)^2=0` 

`x+4=0` 

`ul(x=-4`     

     

 

 

`i)` 

`(5x)/(5x-2)=(x+1)/(x-1)` 

`D:` 

`5x-2ne0\ implies\ x ne 2/5` 

`x-1ne0\ implies\ x ne 1` 

`D=RR\\{2/5;1}`        

 

`(5x)/(5x-2)=(x+1)/(x-1)` 

`5x(x-1)=(x+1)(5x-2)` 

`5x^2-5x=5x^2-2x+5x-2` 

`8x-2=0` 

`ul(x=1/4`       

Jeśli |AB|=4 oraz ...

Odp: D

Dany jest trójkąt o podstawie a i wysokości o 1 dłuższej

`a)` 

Pole na początku wynosi: 

`P_1=1/2*a*(a+1)=1/2a^2+1/2a` 

 

Pole po zwiększeniu wysokości o 2:

`P_2=1/2*a*(a+1+2)=1/2a*(a+3)=` `1/2a^2+3/2a` 

 

Obliczamy, o ile zwiększyło się pole: 

`P_2-P_1=(1/2a^2+3/2a)-(1/2a^2+1/2a)=` 

`=1/2a^2+3/2a-1/2a^2-1/2a=2/2a=a` 

 

 

`b)` 

`P_1=(x+3)*(x+3)=x(x+3)+3(x+3)=` 

`\ \ \ \ =x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9` 

 

`P_2=(x+3+2)(x+3+1)=(x+5)(x+4)=` 

`\ \ \ \ =x(x+4)+5(x+4)=` 

`\ \ \ \ =x^2+4x+5x+20=x^2+9x+20` 

 

`P_2-P_1=(x^2+9x+20)-(x^2+6x+9)=` 

`=x^2+9x+20-x^2-6x-9=` `3x+11` 

Wyznacz liczbę naturalną n spełniającą...

`a) \ 2 * 2^2 * 2^3 * . . . *2^n = (1/4)^(-95)` 

`2*2^2 * 2^3 * . . . * 2^n = (2^(-2))^(-95)` 

`2^(1+2+3+ . . . + n) = 2^190` 

`1+2+3 + . . . + n = 190` 

Suma ciągu arytmetycznego:

`S_n = (a_1 + a_n)/2 * n = (1+n)/2*n` 

 

Suma ciągu arytmetycznego równa się 190:

`(1+n)/2 * n = 190` 

`n(1+n)=380` 

`n^2 + n = 380` 

`n^2 + n - 380=0` 

`Delta = 1 -4*1*(-380) = 1 + 1520 = 1521` 

`sqrtDelta = sqrt1521 = 39` 

`n_1 = (-1+39)/2 = 38/2 = 19` 

`n_2 < 0` 

 

`b) \ 2^2 * 2^4 * 2^6 * . . . * 2^(2n) = 64^(10-n)` 

`2^(2+4+6+. . . +2n) = (2^6)^(10-n)` 

`2^(2+4+6+ . . . + 2n) = 2^(60-6n)` 

`2+4+6+ . . . + 2n = 60 - 6n` 

Suma ciągu arytmetycznego:

`S_n = (a_1 + a_n)/2 * n = (2+2n)/2*n = (n+1)n` 

zatem:

`(n+1)n = 60 - 6n` 

`n^2 + n = 60 - 6n` 

`n^2 +7n - 60 =0` 

`n^2 - 5n + 12n - 60 =0` 

`n(n-5) + 12(n-5)=0` 

`(n-5)(n+12) =0 \ \ \ |:(n+12)` 

`n-5=0` 

`n=5` 

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych...

Gdy podstawa potęgi jest większa od 1 to funkcja jest rosnąca, jeżeli jest mniejsza od 1 i większa od 0 to funkcja jest malejąca. Można to zapisać językiem matematycznym jako:

`f(x) = a^x` 

Gdy:

`a > 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "to" \ f(x) nearr` 

`1 > a > 0 \ \ \ \ \ \ "to" \ f(x) searr` 

 

 

Niebieski kolor 

`f(x) = 2^x` 

`x`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2`  `3`  `4` 
`y`  `1/4`  `1/2`  `1`  `2`  `4`  `8`  `16` 

 Czerwony kolor

`g(x) = (1/2)^x` 

`x`  `-4`  `-3`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2` 
`y`  `1/4`  `1/2`  `1`  `2`  `4`  `8`  `16` 

 

Zauważmy, że wykresy są symetryczne względem prostej y=1.

 

Niebieski kolor:

`f(x) = 4^x` 

`x`  `-1/2`  `0`  `1/2`  `1`  `3/2` 
`y`  `1/2`  `1`  `2`  `4`  `8` 

Czerwony kolor:

`g(x)=(1/4)^x` 

`x`  `-3/2`  `-1`  `-1/2`  `0`  `1/2` 
`y`  `8`  `4`  `2`  `1`  `1/2` 

Zauważmy, że wykresy są symetryczne względem prostej y=1.

Rozwiąż nierówność...

`a) \ 1/((x-2)^2) leq 1/(x-2` 

Założenie:

`x -2 ne 0 => x ne 2`  

 

`1/((x-2)^2) - 1/(x-2) leq 0` 

`1/((x-2)^2) - (x-2)/((x-2)^2) leq 0` 

`(1-x+2)/((x-2)^2) leq 0` 

`(-x+3)/((x-2)^2) leq 0 \ \ \ |:(-1)` 

`(x-3)/((x-2)^2) geq 0` 

`x-3 geq 0` 

`x geq 3` 

`x in [3, infty)` 

 

 

`b) \ 1/((x-2)^3) leq 1/((x-2)^2)` 

Założenie:

`x -2 ne 0 => x ne 2` 

 

`1/((x-2)^3) - 1/((x-2)^2) leq 0` 

`1/((x-2)^3) - ((x-2))/((x-2)^3) leq 0` 

`(1 - (x-2))/((x-2)^3) leq 0` 

`(-x +3)/((x-2)^3) leq 0 \ \ \ |:(-1)` 

`(x-3)/((x-2)^3) geq 0 \ \ \ |*(x-2)^4` 

`(x-3)(x-2) geq 0` 

`x_1 = 3, \ \ x_2 = 2` 

`x in (-infty, 2) \cup [3, infty)` 

 

 

`c) \ 1/((x-2)^3) leq 1/(x-2)` 

Założenie:

`x -2 ne 0 => x ne 2` 

 

`1/((x-2)^3) - 1/(x-2) leq 0` 

`1/((x-2)^3) - ((x-2)^2)/((x-2)^3) leq 0` 

`(1-(x^2-4x+4))/((x-2)^3) leq 0` 

`(1-x^2+4x -4)/((x-2)^3) leq 0` 

`(-x^2 +4x -3)/((x-2)^3) leq 0 \ \ \ |:(-1)` 

`(x^2-4x+3)/((x-2)^3) geq 0` 

`(x^2 -x -3x +3)/((x-2)^3) geq 0` 

`(x(x-1) -3(x-1))/((x-2)^3) geq 0 \ \ \ | * (x-2)^4` 

`(x-1)(x-3)(x-2) geq 0` 

`x_1 = 1 , \ \ \ x_2= 3, \ \ \ x_3 = 2` 

`x in [1,2) \cup [3, infty)` 

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych

Wyznaczmy n z danego równania:

`2n+3k=18\ \ \ \ |-3k` 

`2n=18-3k\ \ \ |:2` 

`n=9-3/2k` 

 

Liczby n i k mają być liczbami naturalnymi, więc w szczególności musi zachodzić warunek n≥0. Rozwiążmy nierówność.

`n>=0` 

`9-3/2k>=0\ \ \ |-18`  

`-3/2k>=-9\ \ \ |:(-3)` 

`1/2k<=3\ \ \ |*2` 

`k<=6` 

Oczywiście k także musi być liczbą naturalną, więc k≥0.

Liczby naturalne k, które są nie mniejsze niż 0 oraz nie większe niż 6 to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Zauważmy, że aby n było liczbą naturalną, to k musi być podzielne przez 2 (inaczej ułamek 3/2 nie skróci się z k). Mamy więc następujące możliwości:

`1)\ k=0\ \ \ =>\ \ \ n=9-3/2*0=9-0=9\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (9;\ 0)` 

`2)\ k=2\ \ \ =>\ \ \ n=9-3/strike2^1*strike2^1=9-3=6\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (6;\ 2)` 

`3)\ k=4\ \ \ =>\ \ \ n=9-3/strike2^1*strike4^2=9-6=3\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (3;\ 4)` 

`4)\ k=6\ \ \ =>\ \ \ n=9-3/strike2^1*strike9^3=9-9=0\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (0;\ 6)` 

 

Oblicz błąd bezwzględny

`a)\ |x-a|/|x|=|3,1-3|/|3,1|=|0,1|/(3,1)=(0,1)/(3,1)=1/31=0,0322...~~0,032=3,2%`

`b)\ |x-a|/|x|=|45,9-46|/|45,9|=|-0,1|/(45,9)=(0,1)/(45,9)=1/459=0,0021...~~0,002=0,2%`

`c)\ |x-a|/|x|=|45,9-45|/|45,9|=|0,9|/(45,9)=(0,9)/(45,9)=9/459=0,0196...~~0,020=0,02=2%`

Sprawdź, nie wykonując dzielenia

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian (x-a) jest równa w(a). 

Obliczamy reszty dla kolejnych a:

`w(-1)=(-1)^3-2*(-1)^2-5*(-1)+4=-1-2*1+5+4=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1-2+5+4=6`

 

`w(1)=1^3-2*1^2-5*1+4=1-2-5+4=-2`

 

`w(2)=2^3-2*2^2-5*2+4=8-2*4-10+4=`

`\ \ \ \ \ \ \ =8-8-10+4=-6`

 

`w(3)=3^3-2*3^2-5*3+4=27-2*9-15+4=`

`\ \ \ \ \ \ \ =27-18-15+4=-2`

 

Prawidłowa jest odpowiedż A.