Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przedziały monotoniczności - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przedziały monotoniczności

Skoro pochodna funkcji mówi o tym, czy funkcja rośnie, czy maleje, to można na jej podstawie powiedzieć, w jakich przedziałach funkcja jest monotoniczna. Zasada jest oczywista: jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie - jeśli ujemna, maleje.

Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$

Na pierwszy rzut oka niezbyt widać, ja można sprawdzić jej monotniczność: można co prawda wyliczyć jej pierwiastki, ale byłoby to dość skomplikowane z uwagi na jej 3 stopień.

Używając pochodnej sprawa staje się prostsza:
$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$

Skoro mamy już funkcję kwadratową, możemy obliczyć jej pierwiastki:
$x_1 = {-2-√{13} }/{3}$
$x_2 = {-2+√{13} }/{3}$

Skoro wiemy też, że przy największej potędze $x$-a jest znak dodatni, to możemy powiedzieć, że w przedziale $(-∞, x_1)$ funkcja rośnie, w przedziale $< x_1, x_2 >$ - maleje i w przedziale $(x_2, ∞)$ - znowu rośnie.
 

Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $X$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$

2) Liczymy pochodną:
$f'(x) = 3x^2+6x-4$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$
$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$

gdzie $W$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$W = A(x^2 + Bx + C)$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $A$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $f(x)$ dostajemy $1$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $f(x) = {x^5 + ...}/{5}$, to $f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $B$ i $C$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$

5) Widać, że $C×(-2)×(-3)$ musi być równe $({-24}/{5})$ - dostajemy więc $C = {-4}/{5}$.

6) Teraz możemy obliczyć $B$ - skupmy się na współczynniku przy $x$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$

7) Podstawiając za $C {4}/{5}$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$B = {-11}/{5}$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$
której pierwiastkami są
$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$
$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $-2, -3, x_1, x_3$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj przykład wzoru funkcji postaci ...

a)  Asymptotą wykresu funkcji  jest prosta .

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostki w prawo, więc asymptotą tej funkcji jest prosta o równaniu .{premium}


b)  Wyznaczamy wzór funkcji przecinającej oś  w punkcie o współrzędnych 

 

Z definicji logarytmu:

 

 

Mamy więc:

 


c)  Miejscem zerowym wykresu funkcji  jest punkt o współrzędnych 

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostkę w prawo, więc miejsce zerowe tej funkcji ma współrzędne .


d)  Asymptotą wykresu funkcji  jest prosta .

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostkę w lewo i o  jednostek wzdłuż osi . Asymptotą tej funkcji jest więc prosta o równaniu .

Wyznaczamy wartość , wiedząc że funkcja przecinającej oś  w punkcie o współrzędnych 

 

 

 

 

Mamy więc:

 


e)  Asymptotą wykresu funkcji  jest prosta .

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostki w lewo i o  jednostek wzdłuż osi . Asymptotą tej funkcji jest więc prosta o równaniu .

Wyznaczamy wartość , wiedząc że funkcja przechodzi przez początek układu współrzędnych.

 

 

 

 

Mamy więc:

 

Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiążmy pierwszą część nierówności:

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Druga część nierówności:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Część wspólna warunków:

 

a więc:

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy przedział lewej strony alternatywy:

  

 

 

 

Podsumowując:

 

x musi być różny od -2 tak więc rozwiązaniem nierówności będzie powyższy przedział z wyłączeniem liczby -2:

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lewa nierówność:

 

 

 

Prawa nierówność:

 

 

 

 

Suma dwóch zbiorów:

 

Liczbę 2 musimy wyrzucić ze zbioru rozwiązań:

 

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pierwsza nierówność:

  

Druga nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suma dwóch zbiorów:

 

Ze zbioru rozwiązań musimy wyrzucić liczbę 2/3, ostatecznie:

 

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

Pierwsza nierówność:

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

Druga nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Część wspólna obu rozwiązań:

 

 

Liczba -1 jest poza dziedziną więc musimy wyrzucić ją ze zbioru rozwiązań:

 

Przedstaw podane wyrażenie ...

a)   {premium}


b)   

 

W wycinek koła o promieniu...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  {premium}

Obliczmy pole wycinka tego koła:

 

Obliczmy długość promienia okręgu wpisanego w ten wycinek:

 

 

 

oraz

 

 

 

 

więc:

 


Obliczmy pole koła wpisanego w ten wycinek:

 


Obliczmy stosunek pola koła wycinka do pola koła wpisanego w ten wycinek:

 


Odp.: Stosunek pola wycinka koła do pola koła wpisanego w ten wycinek wynosi 3:2. 


Zbadaj ciągłość funkcji.

a)

    {premium}

 

Funkcja jest ciągła w 0.


b)

 

 

Funkcja nie jest ciągła w 1.

Sprawdź wartości podane ...

Sprawdzamy wartości funkcji kąta 45°:

 

{premium}  

 

 

 

Sprawdzamy wartości funkcji kąta 30°:

  

  

  

 

 

Sprawdzamy wartości funkcji kąta 60°:

  

  

  

 

Obwód czworokąta jest równy 52 cm

Rysunki są tylko pomocnicze - trójkąt równoboczny nie musi wyglądać na nim jak rówboboczny, ważne są długości boków, które oznaczamy literą x. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest ramieniem trójkąta równoramiennego. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest podstawą trójkąta równoramiennego. 

 

{premium}

`4x=46`

`x=46/4=23/2=11,5`

W pierwszym przypadku boki czworokąta mają długość 11,5 cm, 11,5 cm, 11,5 cm oraz 17,5 cm. 

 

 

`4x-12=52\ \ \ |+12`

`4x=64\ \ \ |:4`

W drugim przypadku boki czworokąta mają długość 16 cm, 16 cm, 10 cm, 10 cm. 

Oblicz pole kwadratu, gdy dane ...

I przypadek

Wierzchołki K=(-1,1) i M=(2,1) są sąsiednimi wierzchołkami. 

Odcinek KM jest wtedy bokiem kwadratu. Obliczamy ile wynosi długość boku tego kwadratu. {premium}

  

Bok kwadratu ma długość 3. 

UWAGA!!! 

Można zauważyć, że rzędne tych punktów są takie same  i wynoszą 1. 

Punkty te leżą więc na prostej równoległej do osi OX. 

Odległość między tymi punktami wynosi: 

|KM|=|2-(-1)|=|2+1|=|3|=3


Pole tego kwadratu wynosi: 

 



II przypadek

Wierzchołki K=(-1,1) i M=(2,1) są przeciwległymi wierzchołkami. 

Odcinek KM jest wtedy przekątną kwadratu. 

    

Przekątne kwadratu mają równe długości i przecinają się pod kątem prostym. 

Każdy kwadrat jest rombem, więc obliczając pole kwadratu możemy skorzystać ze wzoru na pole rombu. 

 

Liczba...

Korzystając z tablic trygonometrycznych dostajemy, że 

 

więc{premium}

 

więc

 

Odp. C. 

Dany jest prostokąt o bokach...

Pole prostokąta:

 

 

a) Bok a:

  

  • Bok b:

{premium}  

 

Pole prostokąta:

 

 

Odpowiedź: Pole zmaleje o 4%.

 

b) Bok a:

 

  • Bok b:

 

 

Pole prostokąta:

 

 

Odpowiedź: Pole nie ulegnie zmianie.